Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền
nhiệt
Nghiêm Thị Thu Hà
20/11/2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Nghiêm Thị Thu Hà
Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến
sự truyền nhiệt
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngành: Cơ học vật thể rắn
Người hướng dẫn: PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức
Hà Nội - 2011
Lời cảm ơn
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS. TSKH Nguyễn
Đình Đức. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em kể từ khi em làm khóa luận tốt
nghiệp đại học (2008) liên tục cho đến khi em hoàn thành luận văn này (2011).
Em cũng vô cùng cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường
ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội đã tận tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp
đỡ chúng em trong suốt những năm học qua.
Nhân đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới gia đình cùng bạn
bè đã động viên, khích lệ em những năm học qua.
Em xin chân thành cảm ơn!
Cuối cùng, em xin chúc thầy cô lời chúc sức khỏe, công tác tốt. Chúc các bạn
mạnh khỏe, thành công trong cuộc sống.
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Học viên
Nghiêm Thị Thu Hà
Mục lục
1 Lời cảm ơn
4 Lời mở đầu
6 Chương 1. Các hệ thức cơ bản
6 1.1. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng 19
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt . . . . . . 19
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Mặt giữa không biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng 30
3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng . . . . . . . 30
3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kết luận chung 43
Những kết quả nghiên cứu của luận văn đã được công bố 45
Tài liệu tham khảo 46
Phụ lục 48
Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng 48
Phụ lục 2: Độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng 50
Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi 54
Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng 55
58 Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s
3
Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa 61
Lời mở đầu
Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu thành
phần khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những vật
liệu thành phần ban đầu, khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ. Vì vậy, nó có nhiều
tính năng ưu việt nổi trội như nhẹ, bền, đáp ứng được những đòi hỏi khắt khe của kĩ
thuật và công nghệ hiện đại.... Và nhờ những ưu điểm nổi bật đó mà chúng ngày càng
được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại như ngành chế tạo máy,
hàng không, vũ trụ, tên lửa, xây dựng, ô tô, chế tạo tàu thuyền,... và trong đời sống. Ví
dụ tấm composite được ứng dụng trong làm bảng biển, pano trong ngành quảng cáo,
trang trí nội thất, ngoại thất trong các công trình xây dựng, ốp mặt nền nhà, làm trần
nhà, mái vòm, hay ốp nội thất cho ô tô, tàu thuyền,....
Trong những năm gần đây, ứng xử của tấm dưới tác dụng của tải nhiệt được nhiều
tác giả nghiên cứu. Shariyat M. [14] đã nghiên cứu giải tích uốn nhiệt của tấm nhiều
lớp composite hình chữ nhật có tính chất của vật liệu biến đổi với nhiệt độ dưới sự
tăng nhiệt độ đều nhưng sử dụng lý thuyết tấm lớp lớn, xác định được nhiệt độ uốn,
từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tính chất hình học và cơ học của tấm
composite vào nhiệt độ uốn. Shiau, Kuo và Chen [15] đã sử dụng phương pháp phần
tử hữu hạn nghiên cứu chi tiết ứng xử uốn nhiệt của tấm composite nhiều lớp. Wu
Lanhe [10] dựa trên lý thuyết biến dạng trượt cấp một suy ra phương trình cân bằng
và ổn định của tấm dày vừa phải hình chữ nhật tựa bản lề được làm từ FGM dưới ảnh
hưởng của hai loại tải nhiệt là sự tăng nhiệt đều và gradient nhiệt thông qua bề dày
của tấm, suy ra nhiệt độ uốn, thảo luận ảnh hưởng của tỉ số hướng, sự dày tương đối
và chỉ số gradient và trượt ngang vào nhiệt độ uốn. Trong [11, 13], các tác giả trình
bày giải tích uốn nhiệt của tấm chức năng hình chữ nhật nhưng trong [11], các tác giả
nghiên cứu tấm dưới tác dụng của nhiệt riêng trong mặt phẳng và sự tăng nhiệt đều
thông qua bề dày của tấm, đánh giá ảnh hưởng của tính không đồng nhất vật liệu, tỉ
số hướng và khoảng nhiệt vào nhiệt độ uốn tới hạn, còn trong [13], với lý thuyết tấm
cổ điển suy ra các phương trình cân bằng, ổn định, tương thích của tấm FGM không
hoàn hảo dưới tác dụng của ba loại tải nhiệt như sự tăng nhiệt đều, sự tăng nhiệt phi
tuyến thông qua bề dày của tấm, và sự tăng nhiệt dọc trục, thu được các nghiệm hoàn
toàn cho sự biến đổi nhiệt độ uốn tới hạn.
Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có
độn các hạt hình cầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá trình truyền
nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm
khi có truyền nhiệt dừng và không dừng. Trên cơ sở nghiệm giải tích tìm được, tác
giả tính toán số để nghiên cứu ứng xử uốn của tấm được làm từ vật liệu composite
nền PVC cốt hạt Titan, qua đó làm rõ vai trò các hạt. Hiện nay, Vật liệu composite
polyme độn các hạt Titan được ứng dụng rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới.
Ở Việt Nam, composite polyme hạt Titan được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp
đóng tàu, trong ống dẫn dầu khí, hóa chất và gần đây là các chíp sinh học cũng như
sử dụng trong các vật liệu phát quang OLED. Các hạt Titan có vai trò cải thiện đáng
kể tính năng cơ lý của vật liệu. Lưu ý là bài toán truyền nhiệt không dừng cho các ống
kỹ thuật bằng composite độn các hạt Titan đã được nghiên cứu trong [3].
Luận văn gồm:
Chương 1: Các hệ thức cơ bản.
Chương 2: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng.
Chương 3: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng.
Kết luận chung.
Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng chắc
chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được
sự nhận xét, đánh giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
5
thiện.
Chương 1
Các hệ thức cơ bản
1.1. Phương trình truyền nhiệt
Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định luật truyền
nhiệt Fourier [1]:
(1.1) c j = kT, j
− trong đó, c j( j = 1, 2, 3) là các thành phần của vectơ dòng nhiệt, k là hệ số truyền nhiệt
của môi trường, nó phải dương để bảo toàn tốc độ sản entropi dương. Quá trình nhiệt
đàn hồi là quá trình thuận nghịch, nên phương trình năng lượng có dạng:
i jde i j + dq,
s (1.2) du = 1 r
và định luật thứ hai nhiệt động lực học có dạng
(1.3) dq = T ds,
ở đây tốc độ dòng nhiệt trên một đơn vị khối lượng môi trường bằng
(1.4) = 1 r c j, j. dq dt −
Kết hợp (1.2) và (1.3), ta thu được:
i jde i j + T ds,
s (1.5) du = 1 r
sT Đưa vào hàm năng lượng tự do Helmholz f (e i j, T ) xác định bởi hệ thức f = u − với sự biến đổi trạng thái vô cùng nhỏ của môi trường, d f là vi phân toàn phần:
sdT (1.6) d f = du T ds, − −
Thay (1.5) vào (1.6) ta có:
i jde i j
s (1.7) d f = sdT, 1 r −
i j
mặt khác: f dT (1.8) d f = + ¶ ¶e ¶ f ¶ T
So sánh hai hệ thức của d f , suy ra
i j = r
i j
f s , s = ¶ ¶e ¶ f ¶ T −
f , S = r s là hàm năng lượng tự do và entropi trên một đơn vị thể tích, các Gọi F = r
hệ thức tên có thể viết dưới dạng
i j =
i j
s (1.9) . , S = ¶ F ¶e ¶ F ¶ T −
Định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng [1]:
ij
n s (1.10) e ij = s kkd ij + a D T d ij, 1 + n E E −
trong đó,
(1.11) D T = T T0 , −
với T0 là nhiệt độ tuyệt đối của tấm ở trạng thái tự nhiên.
từ đây, ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng:
ij = le
kkd ij + 2me
ij
s (1.12) (3l + 2m ) a D T d ij. −
Từ hệ thức đầu của (1.9) và (1.12) ta tính biểu thức của hàm năng lượng tự do
ije ij −
l F = (3l + 2m ) a (e kk)2 + me D T e kk + F0 , 2
F0 chỉ là hàm của T . Thay F vào hệ thức thứ hai của (1.9) ta tính entropi
kk
(1.13) S = (3l + 2m ) ae . dF0 dT −
Đặt i = j = k trong (1.10) ta được
7
+ 3a D T , e kk = s kk (3l + 2m )
rồi đem thay vào (1.13), kết quả nhận được biểu thức khác của entropi
kk + 3 (3l + 2m ) a 2D T
(1.14) . S = as dF0 dT −
Nhờ biểu thức (1.12) và (1.13) của entropi có thể tính tỉ nhiệt Cv khi biến dạng
không đổi và tỉ nhiệt Cp khi ứng suất không đổi.
Kết hợp (1.3) và (1.4) ta được
, 1 r c j, j = T ds dt −
i j
mặt khác ¶ s = + , ¶e ds dt de i j dt ¶ s ¶ T dT dt
suy ra
i j
(1.15) + c j, j = T ¶ S ¶e de i j dt (cid:18) (cid:19)
¶ t xác định tỉ nhiệt Cv.
¶ S dT ¶ T dt − từ đây suy ra khi biến dạng không đổi de i j = 0 thì T ¶ S
Vậy,
T = Cv = T ¶ S (e i j, T ) ¶ T d2F0 dT 2 −
i j, T )
và tương tự ¶ S (s T = 3 (3l + 2m ) a 2T Cp = T d2F0 dT 2 . −
là hằng số của vật liệu không phụ thuộc nhiệt dộ, ¶ T Xem rằng Cv,Cp, a cũng như l , m
T
T
từ hệ thức của Cv tìm được biểu thức của F0
ZT0
ZT0
dT dT F0 = Cv T
Đặt kết quả này vào (1.13) ta nhận được biểu thức của entropi
kk +Cvln
(1.16) S = (3l + 2m ) ae . T T0
Dùng các biểu thức của c j theo (1.1) và của S, ta đưa phương trình (1.15) về dạng
kk ¶ t
8
¶e + (3l + 2m ) a T . kT, j j = Cv ¶ T ¶ t
kk ¶ t
hay ¶e (1.17) + (3l + 2m ) a T . k(cid:209) 2T = Cv ¶ T ¶ t
Phương trình (1.17) được gọi là phương trình truyền nhiệt và là phương trình cơ bản
¶e
kk
tham gia trong bài toán biên của lý thuyết đàn hồi nhiệt.
¶ t , thì khi đó phương trình có
Nếu trong phương trình (1.17), ta bỏ qua số hạng
dạng
. k(cid:209) 2T = Cv ¶ T ¶ t
¶ T ¶ t trong đó
Phương trình trên có thể thu được nhờ điều kiện cân bằng nhiệt. Lượng nhiệt hấp
là mật độ khối. thụ trên đơn vị thể tích của vật thể trong một đơn vị thời gian là bằng Cr C là nhiệt dung riêng của vật liệu, r
Mặt khác, lượng nhiệt mất trên một đơn vị thể tích vật thể trong một đơn vị thời
gian là div c, trong đó c là vectơ dòng nhiệt.
Giả thiết nguồn nhiệt trong vật thể sinh ra nhiệt c0 trên một đơn vị thể tích và đơn
vị thời gian, và tính đến phương trình (1.1), điều kiện cân bằng nhiệt cung cấp phương
trình truyền nhiệt
(1.18) div(k gradT ) + c0 = Cr ¶ T ¶ t
Khi hệ số dẫn nhiệt k là hằng số, (1.18) dẫn tới
(1.19) (cid:209) 2T + = c0 k ¶ T ¶ t 1 a1
trong đó, a1 = k/ (Cr ) là độ khuếch tán nhiệt. Nếu không có nguồn nhiệt (c0 = 0),
phương trình (1.19) trở thành
(1.20) (cid:209) 2T = ¶ T ¶ t 1 a1
Nghiệm của (1.20) xác định trường nhiệt độ không dừng. Với trường nhiệt độ dừng,
phương trình (1.20) đưa về phương trình Laplace
(1.21) (cid:209) 2T = 0 ,
Để nghiệm của phương trình (1.19) là duy nhất, các điều kiện biên và đầu cần
9
được đưa vào. Các điều kiện biên thường được kết hợp với sự trao đổi nhiệt phức trên
bề mặt của vật thể nơi cả ba loại truyền nhiệt (dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ) có thể xảy
ra đồng thời.
Trong lý thuyết dẫn nhiệt ta sử dụng các điều kiện biên sau [9, 19]:
1. Nhiệt độ bề mặt xác định
(1.22) T (xk,t) = f (xk,t) ,
trong đó xk là một điểm trên bề mặt của vật thể và f (xk,t) là hàm đã cho.
Ví dụ: Hình 1.1, điều kiện biên là
T (0,t) = 1500C ,
T (L,t) = 700C .
2. Dòng nhiệt qua mặt vật thể xác định
(1.23) , c (xk,t) = ¶ T (xk,t) ¶ n k −
trong đó n là pháp tuyến ngoài từ bề mặt ngoài của vật thể tại điểm xk.
Ví dụ: Như hình 1.2, với tấm có bề
dày L, dòng nhiệt đều là 50K/m2 từ hai
phía của tấm, khi đó ta có
= 50 , = 50 ¶ T (0,t) ¶ x ¶ T (L,t) ¶ x k − −
Trong trường hợp cụ thể c = 0, ta có điều kiện biên đoạn nhiệt cho vật thể mà được
cách ly trao đổi nhiệt bên ngoài
(1.24) = 0 , ¶ T (xk,t) ¶ n
Ví dụ: Hình 1.3, điều kiện biên sẽ là
10
= 0 , T (L,t) = 600C ¶ T (0,t) ¶ x
3. Nhiệt độ môi trường xác định J và luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa bề mặt và
môi trường xung quanh
J (1.25) = b ] [T (xk,t) ¶ T (xk,t) ¶ n − k −
trong đó b là hệ số truyền nhiệt bề mặt
(hay độ dẫn biên). Hệ số truyền nhiệt bề mặt b phụ thuộc vào các đặc trưng nhiệt
dộ và vật lý của bề mặt và môi trường
xung quanh.
Ví dụ: Hình 1.4
1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị
Giả thiết Kirchhoff [1, 16]:
1. Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ trở thành pháp tuyến của mặt
giữa sau khi biến dạng (giả thiết về pháp tuyến thẳng).
2. Ứng suất pháp theo hướng trực giao với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng
suất khác, nên có thể bỏ qua.
Ta gọi bản hay tấm mỏng là một vật thể có chiều cao h nhỏ so với các kích thước
11
của mặt đáy. Mặt phẳng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của bản gọi là mặt
giữa. Chọn hệ trục tọa độ như sau: trục Ox, Oy nằm trong mặt giữa, còn trục z thẳng
góc với mặt giữa.
Đối với tấm mỏng, ta có trạng thái ứng suất phẳng suy rộng nên s zz = 0 tại mọi
2 và các thành phần khác theo (1.12) ta có: nơi còn s xz = s yz = 0 tại z =
xx
(cid:14) D T (3l + 2m ) a h ± s xx = l (e xx + e yy + e zz) + 2me −
yy
D T (3l + 2m ) a s yy = l (e xx + e yy + e zz) + 2me −
zz
D T (3l + 2m ) a s zz = l (e xx + e yy + e zz) + 2me −
xy
s xy = 2me
Vì s zz = 0 nên ta có
zz
(3l + 2m ) a D T = 0 l (e xx + e yy + e zz) + 2me −
suy ra:
a D T e zz = e xx e yy + l l + 2m l l + 2m 3l + 2m l + 2m − −
a D T, s xx = e xx + e yy −
(1.26) a D T, s yy = e yy + e xx thay vào các hệ thức của s xx, s yy ta được: 2ml l + 2m 2ml l + 2m 4m (l + m ) l + 2m 4m (l + m ) l + 2m 2m (3l + 2m ) l + 2m 2m (3l + 2m ) l + 2m −
xy.
12
s xy = 2me
2(1+n ), l =
En (1+n )(1
2n ), (1.26) có thể viết lại như sau: − E
với m = E
yy
D T ) , (1 + n ) a s xx = n 2 (e xx + ne 1 −
xx
− E (1.27) (1 + n ) a D T ) , s yy = n 2 (e yy + ne 1 −
s xy = e xy . − E 1 + n
Theo công thức Cauchy, tính biến dạng của tấm [8, 9]:
z e xx =
z e yy = (1.28)
z + . e xy = ¶ u ¶ x − ¶ v ¶ y − ¶ u 1 ¶ y 2 ¶ 2w ¶ x2 , ¶ 2w ¶ y2 , ¶ v ¶ x ¶ 2w ¶ x¶ y − (cid:18) (cid:19)
trong đó, u, v, w các chuyển vị của các điểm tại mặt giữa theo trục x, y, z tương ứng.
Thay (1.28) vào (1.27), ta được liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị:
E z D T + n (1 + n ) a , s xx = n 2 1 − (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:21) − E (1.29) D T z , (1 + n ) a + n s yy = n 2 1 ¶ u ¶ x ¶ v ¶ y ¶ 2w ¶ y2 ¶ 2w ¶ x2 − (cid:21) (cid:19) (cid:18) (cid:20) −
2z + . s xy = ¶ u ¶ y ¶ 2w ¶ x2 + n ¶ 2w ¶ y2 + n ¶ 2w ¶ x¶ y E 2 (1 + n ) ¶ v ¶ y − ¶ u ¶ x − ¶ v ¶ x − (cid:20) (cid:21)
1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn
h/2
h/2
h/2
Ta có
Z h/2
Z h/2
Z h/2
−
−
−
(1.30) Nx = s xxdz, Ny = s yydz, Nxy = s xydz
Thay (1.29) vào (1.30), tích phân, ta được biểu thức xác định các lực Eh + n , Nx = n 2 n 1 NT 1 − (cid:19) (cid:18) − Eh (1.31) + n , Ny = n 2 n 1 ¶ u ¶ x ¶ v ¶ y ¶ v ¶ y ¶ u ¶ x − NT 1 − (cid:18) − −
13
+ . Nxy = ¶ u ¶ y (cid:19) ¶ v ¶ x Eh 2 (1 + n ) (cid:19) (cid:18)
Các lực Nx, Ny biểu thị lực dãn, còn Nxy = Nyx biểu thị lực tiếp trên một đơn vị dài.
h/2
h/2
h/2
Tương tự, thay (1.29) vào các biểu thức sau
Z h/2
Z h/2
Z h/2
−
−
−
(1.32) Mx = s xxzdz, My = s yyzdz, Mxy = s xyzdz
rồi thực hiện tích phân, ta được các biểu thức xác định mômen
D , Mx = MT n 1 − − (cid:19) (cid:18)
(1.33) D , My = − MT n 1 ¶ 2w ¶ x2 + n ¶ 2w ¶ y2 + n − − (cid:19) (cid:18) −
. n ) D (1 Mxy = ¶ 2w ¶ y2 ¶ 2w ¶ x2 ¶ 2w ¶ x¶ y − −
h/2
h/2
trong đó,
Z h/2
Z h/2
−
−
Eh3 (1.34) . zD T dz , D = NT = a E D T dz , MT = a E n 2) 12 (1 −
Các mômen Mx, My gọi là mômen uốn, còn Mxy = Myx là mômen xoắn trên một đơn − vị dài. D gọi là độ cứng trụ khi uốn.
1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm
Ta thiết lập phương trình cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của lực cắt ngoài
q (x, y) và các lực trong [1, 7].
Tổng hình chiếu các lực lên trục x:
dx dy dy dx Nx + Nxdy + Nxy + Nxydx = 0 , ¶ Nxy ¶ y ¶ Nx ¶ x − − (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
suy ra
(1.35) + = 0 . ¶ Nx ¶ x ¶ Nxy ¶ y
tương tự theo trục y ta có
14
(1.36) + = 0 . ¶ Nxy ¶ x ¶ Ny ¶ y
Phương trình các mômen theo đường nằm trong mặt phẳng bên phía trái và song song
với trục y:
dx dy dy dx Mx + Mxdy + Mxy + ¶ Mx ¶ x ¶ Mxy ¶ y − − (cid:18)
(cid:18) dydx dx (cid:19) qdxdy dxdy = 0 Qx + Mxydx ¶ Qy ¶ y (cid:19) ¶ Qx ¶ x dx 2 − dx 2 − − − (cid:18) (cid:19)
(1.37) + Qx = 0 . ¶ Mx ¶ x Bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được ¶ Mxy ¶ y −
Tương tự, theo chiều song song với trục x
(1.38) + Qy = 0 . ¶ Mxy ¶ x
¶ My ¶ y − Khi chiếu các lực lên trục z ta cần chú ý đến độ võng của tấm. Xét uốn bản trong
¶ w ¶ x , cosa
≈ mặt phẳng xz, hình chiếu của lực Nx lên trục z có giá trị khác không; với chú ý sin a tg a = ≈
dx dy + + Nxdy Nx + 1, thành phần lực này lên trục z bằng ¶ Nx ¶ x ¶ w ¶ x ¶ w ¶ x − (cid:18) (cid:19) (cid:18) ¶ 2w ¶ x2 dx (cid:19)
dxdy . Nx bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao dẫn đến ¶ 2w ¶ x2 dxdy + ¶ Nx ¶ x ¶ w ¶ x
Lập luận tương tự, ta nhận được hình chiếu của lực Ny
15
dxdy . Ny ¶ 2w ¶ y2 dxdy + ¶ Ny ¶ y ¶ w ¶ y
và của lực tiếp Nxy = Nyx
dxdy + + dxdy . 2Nxy ¶ 2w ¶ x¶ y ¶ Nxy ¶ x ¶ w ¶ y ¶ Nxy ¶ y ¶ w ¶ x (cid:18) (cid:19)
Lực cắt trên mặt trực giao với trục x chiếu lên trục z với chú ý về góc như trên sẽ
bằng
dx dy = dxdy . Qxdy + Qx + ¶ Qx ¶ x ¶ Qx ¶ x − (cid:19) (cid:18) Tương tự, lực cắt Qy chiếu lên trục z sẽ là
dxdy ¶ Qy ¶ x
+ + Ny + 2Nxy Nx ¶ 2w ¶ x2 + ¶ 2w ¶ x¶ y
+ + + + + q = 0 , và lực cắt ngoài qdxdy . Vậy, tổng các lực chiếu lên trục z ¶ Nx ¶ x ¶ Nxy ¶ x ¶ Ny ¶ w ¶ y ¶ y ¶ Qx ¶ x ¶ 2w ¶ y2 + ¶ w ¶ x ¶ w ¶ x ¶ w ¶ y ¶ Nxy ¶ y ¶ Qy ¶ y
hay
+ + + + + + ¶ Qx ¶ x ¶ Qy ¶ y ¶ Nx ¶ x ¶ Ny ¶ y ¶ w ¶ y (cid:18) (cid:19)
(1.39) + q = 0 , +Nx ¶ Nxy ¶ y (cid:19) ¶ 2w ¶ x2 + Ny ¶ w ¶ x (cid:18) ¶ 2w ¶ y2 + 2Nxy ¶ Nxy ¶ x ¶ 2w ¶ x¶ y
Với chú ý (1.35) và (1.36), khi đó (1.39) trở thành
(1.40) + + q = 0 , + Nx ¶ Qx ¶ x ¶ Qy ¶ y ¶ 2w ¶ x2 + Ny ¶ 2w ¶ y2 + 2Nxy ¶ 2w ¶ x¶ y
Rút Qx, Qy từ (1.37) và (1.38) và thay vào (1.40) dẫn đến phương trình sau:
(1.41) + + Ny ¶ 2Mx ¶ x2 + ¶ 2Mxy ¶ x¶ y ¶ 2My ¶ y2 + Nx ¶ 2w ¶ x2 + 2Nxy ¶ 2w ¶ x¶ y ¶ 2w ¶ y2 + q = 0 .
Phương trình (1.41) chính là phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán cân bằng
bản và ổn định của tấm.
Trong trường hợp không có cắt ngoài q, phương trình (1.41) có dạng
16
(1.42) + + Ny ¶ 2Mx ¶ x2 + 2 ¶ 2Mxy ¶ x¶ y ¶ 2My ¶ y2 + Nx ¶ 2w ¶ x2 + 2Nxy ¶ 2w ¶ x¶ y ¶ 2w ¶ y2 = 0 .
Thế (1.33) vào (1.42), ta được
D n ) 2D (1 ¶ 2 ¶ x2 ¶ 2w ¶ y2 MT n 1 − − − (cid:18) −
D + + Ny + Nx (cid:20) ¶ 2 ¶ y2 ¶ 2w ¶ x2 + n ¶ 2w ¶ y2 + n (cid:19) ¶ 2w ¶ x2 (cid:21) MT n 1 ¶ 4w ¶ x2¶ y2 + ¶ 2w ¶ x¶ y − ¶ 2w ¶ x2 + 2Nxy ¶ 2w ¶ y2 = 0 . − − (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21) −
hay
1 D + n ¶ 4w ¶ x4 + 2 ¶ 4w ¶ x2¶ y2 + ¶ 4w ¶ y4 1 − (cid:18) −
(1.43) Nx 2Nxy Ny ¶ 2MT ¶ y2 (cid:19) ¶ 2w ¶ y2 = 0 . − ¶ 2MT ¶ x2 + (cid:18) ¶ 2w ¶ x¶ y − (cid:19) ¶ 2w ¶ x2 −
phương trình (1.43) có thể viết lại như sau:
1 (1.44) D(cid:209) 2(cid:209) 2w + (cid:209) 2MT Nx 2Nxy Ny n 1 ¶ 2w ¶ y2 = 0 . ¶ 2w ¶ x2 − − ¶ 2w ¶ x¶ y − −
trong đó (cid:209) 2 là toán tử Laplace
(cid:209) 2 = ¶ 2 ¶ x2 + ¶ 2 ¶ y2 .
1.5. Điều kiện biên
Xét một số trường hợp đơn giản về điều kiện biên thường gặp trong các bài toán
đối với tấm hình chữ nhật
1. Biên tựa bản lề: (Hình 1.8) chẳng hạn cạnh y = 0 tựa tự do, khi đó điều kiện
biên là
(w)y=0 = 0 , (1.45)
(My)y=0 = 0 .
hay
(w)y=0 = 0 ,
17
D = 0 ¶ 2w ¶ y2 + n ¶ 2w ¶ x2 MT n 1 − − (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21)y=0 − (1.46)
Hệ thức (1.45) có thể viết lại như sau
D (1.47) = 0 MT n 1 ¶ 2w ¶ y2 − − (cid:18) (cid:19)y=0 −
2. Biên bị ngàm: (Hình 1.9) ví dụ cạnh y = 0 bị ngàm, thì điều kiện biên sẽ là
(1.48) = 0 . (w)y=0 = 0 , ¶ w ¶ y (cid:18) (cid:19)y=0
3. Biên tự do: giả sử cạnh y = 0 tự do. Theo Poisson, điều kiện biên sẽ là
(1.49) (My)y=0 = 0 , (Mxy)y=0 = 0 , (Qy)y=0 = 0 .
Nhưng theo Kirchhoff, tại cạnh đó điều
kiện biên sẽ là
= 0 . Qy + (My)y=0 = 0 , ¶ Mxy ¶ x (cid:19)y=0 (cid:18) (1.50)
Thay (1.33) vào (1.37) và (1.38), ta
được biểu thức xác định lực cắt như sau
1 D , Qx = n ¶ 3w ¶ x3 + ¶ 3w ¶ x¶ y2 1 − − (cid:18) (cid:19) −
1 D . Qy = n ¶ 3w ¶ y3 + ¶ 3w ¶ x2¶ y 1 − − (cid:19) (cid:18) − ¶ MT ¶ x (1.51) ¶ MT ¶ y (1.52)
Khi đó,(1.50) trở thành
18
D = 0 , ¶ 2w ¶ y2 + n ¶ 2w ¶ x2 MT n 1 − − (cid:18) (cid:19) (1.53) − 1 D n ) = 0 . n (cid:20) ¶ 3w ¶ y3 + (2 ¶ 3w ¶ x2¶ y 1 (cid:21)y=0 ¶ MT ¶ y − − − (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21)y=0 −
Chương 2
Uốn tấm composite mỏng khi có truyền
nhiệt dừng
2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt
Giả thiết tấm composite có độn các hạt hình cầu có độ dài hai cạnh là a, b, chiều
dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp tấm có sự trao đổi nhiệt đối lưu
2, và khi có sự khác nhau lớn về nhiệt độ giữa các mặt ổn định trên bề mặt z = h ± 2, thì có gradient nhiệt độ cao thông qua bề dày của tấm gây ra uốn nhiệt. Bài z = (cid:14) h ± toán đặt ra là hãy xác định độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng. (cid:14)
Để giải được bài toán đó cần xác định được môdun đàn hồi cho composite. Giả
thiết nền và hạt đều là vật liệu đàn hồi đồng nhất đẳng hướng, có tính đến tương tác
giữa nền và hạt. Khi đó, ta có [18]:
Km) x (Kc , K = Km +
3Gm
N
− Km) 1 + (Kc Km + 4 − (2.1) 15 (1 (cid:30) (cid:0) n m) (Gm (cid:1) . G = Gm − 7 − 5n m + (8 − 10n m) − − Gc) x Gc Gm
Vi
(cid:229)
i=1 V
trong đó, x = là tỷ lệ thể tích các hạt độn. Gm, Gc tương ứng là môdun trượt của
pha nền và pha hạt; Km, Kc tương ứng là môdun kéo nén thể tích của pha nền, pha hạt; n m, n c tương ứng là hệ số Poisson của pha nền và pha hạt.
Với a m, a c là hệ số dãn nở nhiệt của pha nền, pha hạt tương ứng, khi đó hệ số dãn
nở nhiệt của composite cốt hạt được xác định như công thức sau [4]:
Kc (3Km + 4Gm) x (2.2) . a = a m + (a c a m) − Km (3Kc + 4Gm) + 4 (Kc Km) Gmx −
.
2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm
Do có sự trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt tấm, và gradient nhiệt theo bề dày của
tấm, nên phương trình truyền nhiệt dừng (1.21) có dạng [12]:
(2.3) d2T dz2 = 0
Với điều kiện biên (1.25) sẽ là
k , = b 1 (T T1) tại z = − (2.4)
, = b 2 (T T2) tại z = h 2 − h 2 ¶ T ¶ z ¶ T ¶ z k −
− trong đó, T1, b 1 tương ứng là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt
2 z = 2; T2, b 2 là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h h −
tương ứng; k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu, và giả thiết được xác định theo công thức (cid:14) (cid:14)
[3]
(2.5) k = (1 x ) km + x kc. −
Đặt :
(2.6) , g 1 = g 2 = b 1 k b 2 k
Khi đó, điều kiện biên (2.4) trở thành:
, = g 1 (T T1) tại z = − (2.7)
, = g 2 (T T2) tại z = ¶ T ¶ z ¶ T ¶ z h 2 − h 2 −
− Tích phân phương trình (2.3) ta được nghiệm T có dạng
T = C0 +C1z ,
trong đó, C0,C1 là các hằng số được xác định từ điều kiện biên. Thay biểu thức nghiệm
T này vào điều kiện biên (2.7), ta được hệ gồm hai phương trình hai ẩn C0,C1
1 + g 1 g 1C0 = g 1T1 C1 h 2 − − (cid:18) (2.8)
20
1 + g 2 g 2C0 = g 2T2 C1 (cid:19) h 2 − − − (cid:18) (cid:19)
Giải hệ (2.8), ta được
, C0 = 1 + g 2 + T2g 2 1 + g 1 h 2 h 2 (cid:19)(cid:21) (cid:19) T1g 1 (cid:20) (cid:18) (cid:18) (2.9)
, − C1 = 1 g 1 + g 2 + g 1g 2h g 1g 2 (T2 T1) g 1 + g 2 + g 1g 2h
(2.10) T = + g 1g 2(T2 1 + g 2 1 + g 1 T1g 1 + T2g 2 Với C0,C1 xác định theo (2.9), thay vào biểu thức nghiệm của T , ta thu được h 2 h 2 − 1 g 1 + g 2 + g 1g 2h T1)z (cid:21) (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:20) Khi đó, thế (2.10) vào biểu thức (1.11), dẫn tới
+ D T = T0 + T1g 1 1 + g 2 + T2g 2 1 + g 1 h 2 h 2 − 1 g 1 + g 2 + g 1g 2h (cid:19) (cid:20) (cid:18)
(2.11) + z . − (cid:19)(cid:21) (cid:18) g 1g 2(T2 T1) g 1 + g 2 + g 1g 2h
2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng
2.3.1. Mặt giữa không biến dạng
Thay (1.31) vào (1.35) và (1.36), tương ứng ta được hệ sau
Eh 1 + = 0 n 2 n 1 1 Eh 2 (1 + n ) − (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) − Eh − 1 = 0 + + n 2 n 1 ¶ 2u ¶ x2 + n ¶ 2v ¶ y2 + n ¶ 2v ¶ x¶ y ¶ 2u ¶ x¶ y 1 ¶ NT ¶ x ¶ NT ¶ y ¶ 2u ¶ y2 + ¶ 2u ¶ x¶ y ¶ 2v ¶ x¶ y ¶ 2v ¶ x2 Eh 2 (1 + n ) − (cid:19) (cid:18) − −
Eh 1 Eh = 0 n 2 n 1 1 Eh 2 (1 + n ) 2 (1 n ) (2.12) − Eh − Eh − 1 = 0 n 2 n (cid:18) (cid:19) hay hệ trên có thể viết lại như sau ¶ 2u ¶ x2 + ¶ 2v ¶ y2 + ¶ NT ¶ x ¶ NT ¶ y 1 1 Eh 2 (1 + n ) 2 (1 n ) ¶ 2v ¶ x¶ y − ¶ 2u ¶ x¶ y − − − − ¶ 2u ¶ y2 + ¶ 2v ¶ x2 + thay biểu thức D T ở (2.11) vào biểu thức NT ở (1.34), tích phân ta được
(2.13) NT = N1 = const
khi đó, hệ (2.12) trở thành
1 1 = 0 n 2 1 1 2 (1 + n ) 2 (1 n ) (2.14) − 1 − 1 = 0 n 2 1 ¶ 2u ¶ x2 + ¶ 2v ¶ y2 + ¶ 2u ¶ y2 + ¶ 2v ¶ x2 + ¶ 2v ¶ x¶ y ¶ 2u ¶ x¶ y 1 2 (1 + n ) 2 (1 n ) − −
21
Do tấm tựa bản lề tại các cạnh nên điều kiện biên có dạng
w = v = 0; Mx = 0, tại x = 0, x = a
w = u = 0; My = 0, tại y = 0, y = b
¥ ¥
m=1
n=1
sin (cid:229) (cid:229) u = umn cos Nghiệm u, v thỏa mãn điều kiện biên trên có dạng mp x a np y b
¥ ¥
m=1
n=1
cos (cid:229) (cid:229) v = vmn sin np y b mp x a
trong đó m, n là các số tự nhiên.
Thay biểu thức nghiệm của u, v vào hệ (2.14), ta có:
¥ ¥
m=1
n=1 (cid:26)
(cid:229) (cid:229) cos sin =0 umn + vmn n2 2b2 mp x a np y b 1 1 + n mn 2ab (1 n ) (1 (cid:19) (cid:27) (cid:18) − ¥ ¥
m=1
n=1 (cid:26)
(cid:229) (cid:229) sin cos = 0 + umn vmn m2 2a2 mp x a np y b 1 1 + n m2 n )a2 + − n2 n )b2 + mn 2ab (1 n ) (1 (cid:19) (cid:27) (cid:18) − −
Do hệ đúng với mọi x, y nên ta có
1 1 = 0 umn + vmn n 1 mn ab 1 1 + n 2 (1 n ) (cid:18) (cid:19) (2.15) − 1 − 1 = 0 vmn + umn n 1 m2 a2 + n2 1 b2 + 2 n2 1 b2 2 m2 a2 mn ab 1 1 + n 2 (1 n ) (cid:19) (cid:18) − −
hay hệ (2.15) có thể viết lại như sau
n ) − + vmnmn = 0 umn 2b2m2 + a2n2 (1 ab (1 + n ) (2.16) n ) = 0 − umnmn + vmn 2a2n2 + b2m2 (1 ab (1 + n )
Từ phương trình đầu của hệ (2.16) suy ra:
n ) vmn = umn 2b2m2 + a2n2 (1 − abmn (1 + n ) −
thay vào phương trình thứ hai của hệ đó, ta có
22
n ) 2a2n2 + b2m2 (1 n ) 2b2m2 + a2n2 (1 − − mn = 0 umn " # a2b2mn (1 + n )2 (cid:1) (cid:0) (cid:1) − (cid:0)
hay
(2.17) umnImn = 0 ,
trong đó,
2b2m2 + a2n2 (1 n ) 2a2n2 + b2m2 (1 n ) − − Imn = mn − (cid:0) a2b2mn (1 + n )2 (cid:1) (cid:0) (cid:1)
2
2b2m2 + a2n2 (1 2a2n2 + b2m2 (1 n ) Biến đổi biểu thức Imn, ta được a2b2m2n2 (1 + n )2 − − − Imn = n ) a2b2mn (1 + n )2 (cid:1) (cid:0) (cid:1)
2 (1 n ) (cid:0) a2n2 + m2b2 = − − a2b2mn (1 + n )2 (cid:0) (cid:1)
2 nên Imn < 0. Do đó, từ (2.17) suy ra: umn = 0
1 6 n 6 1 Do: − suy ra vmn = 0
Vậy u = 0, v = 0
Như vậy, khi nhiệt độ được truyền theo bề dày của tấm theo quy luật (2.10), (2.11)
thì nó không gây ra chuyển vị tại các điểm ở mặt giữa theo phương x, y nên không có
biến dạng nhiệt tại mặt giữa.
2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm
Mặt giữa của tấm không bị biến dạng, khi đó, (1.31) trở thành:
, Nx = n −
(2.18) , Ny = n NT 1 − NT 1 − − Nxy = 0 ,
Thay biểu thức NT ở (2.13) vào (2.18), ta được
N1 Nx = Ny = n = N0 , 1 − (2.19)
− Nxy = 0 ,
tương tự, thay D T từ (2.11) vào biểu thức của MT ở (1.34), thực hiện tích phân, ta thu
được
23
(2.20) MT = M0 = const
Thay (2.20) vào biểu thức xác định mômen (1.33), ta được
D , Mx = M0 n 1 − − (cid:18) (cid:19)
(2.21) D , My = − M0 n 1 ¶ 2w ¶ x2 + n ¶ 2w ¶ y2 + n − − (cid:19) (cid:18) −
. n ) D (1 Mxy = ¶ 2w ¶ y2 ¶ 2w ¶ x2 ¶ 2w ¶ x¶ y − −
trong đó, D được xác định như trong (1.34).
Thế (2.19) và (2.21) vào (1.43), ta được phương trình xác định uốn tấm trong
trường hợp có sự truyền nhiệt dừng là
D (2.22) = 0 . N0 ¶ 4w ¶ x4 + 2 ¶ 4w ¶ x2¶ y2 + ¶ 4w ¶ y4 ¶ 2w ¶ x2 + ¶ 2w ¶ y2 − (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) hay
(cid:209) 2 (cid:209) 2w w (2.23) =0 . N0 D − (cid:18) (cid:19) Do tấm tựa bản lề tại các cạnh, nên điều kiện biên có dạng
D tại x = 0, x = a. w = 0, Mx = n = 0, M0 1 − − (cid:18) (cid:19) (2.24)
D tại y = 0, y = b. w = 0, My = n = 0, ¶ 2w ¶ x2 + n ¶ 2w ¶ y2 + n ¶ 2w ¶ y2 ¶ 2w ¶ x2 − M0 1 − − (cid:19) (cid:18) − Phương trình (2.23) có thể được đưa về hệ gồm hai phương trình sau:
(2.25) (cid:209) 2w w = f . (cid:209) 2 f = 0 , N0 D −
hay cụ thể là
f = 0
(cid:19) (cid:18) (2.26)
w w = f ¶ 2 ¶ y2 ¶ 2 ¶ y2 N0 D − (cid:19) (cid:18) ¶ 2 ¶ x2 + ¶ 2 ¶ x2 + Mặt khác, ta có thể xem các điều kiện biên của tựa bản lề như sau:
tại x = 0, x = a, w = 0,
(2.27)
24
w = 0, tại y = 0, y = b. ¶ 2w ¶ y2 = 0, ¶ 2w ¶ x2 = 0,
Do đó, sử dụng các điều kiện biên (2.27), ta thu được các điều kiện biên cho hàm ẩn
f : M0 f + = 0, tại x = 0, x = a n ) D (1
− M0 f + = 0, tại y = 0, y = b n ) D (1 − Suy ra, hàm ẩn f trong phương trình đầu tiên của hệ (2.26):
M0 , f = D (1 n ) − −
Khi đó, phương trình thứ hai của hệ (2.26) thành:
M0 w (2.28) w = , ¶ 2 ¶ x2 + ¶ 2 ¶ y2 N0 D D (1 n ) − − (cid:19) (cid:18) −
đây chính là phương trình cơ bản xác định độ võng w của tấm.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện biên w = 0 được thỏa mãn, nếu w biểu thị qua chuỗi
Fourier [1]: ¥ ¥
n=1
m=1
sin (2.29) (cid:229) (cid:229) , w = wmn sin mp x a np y b
trong đó, m, n là các số tự nhiên. Ta cũng biểu diễn M0 dưới dạng chuỗi Fourier:
¥ ¥
m=1
n=1
(cid:229) (cid:229) sin (2.30) , M0 = amn sin mp x a np y b
trong đó,
, m, n = 1, 3, 5, ... (2.31)
16M0 p 2mn 0 m, n = 2, 4, 6, ... amn =
Thay (2.29) và (2.30) vào phương trình (2.28), và do phương trình đúng với mọi x, y,
và mặt giữa khi uốn phải đối xứng, các số hạng m, n chẵn tương ứng với độ võng
không đối xứng do đó chúng bằng 0, nên suy ra:
D
amn . m, n = 1, 3, 5, ... D (1 n )
wmn = 0 1 a2 + n2p 2 m2p 2 b2 + N0 − m, n = 2, 4, 6, ...
25
Vậy, ta được nghiệm giải tích của bài toán xác định độ uốn của tấm khi có truyền
nhiệt dừng là:
m=1,3,5,...
n=1,3,5,...
D
amn sin sin (2.32) (cid:229) . . w = (cid:229) mp x a np y b D (1 n ) 1 a2 + n2p 2 m2p 2 b2 + N0 −
trong đó,
h/2
h/2
Eh3 , D = , amn = 16M0 p 2mn n 2) 12 (1 − (2.33)
Z h/2
Z h/2
−
−
D T dz = N0 = zD T dz = a EM∗T . n N∗T , M0 = a E a E 1 a E n 1 − − − −
Do tấm đang xét là tấm composite có độn các hạt hình cầu với các hằng số môdun
kéo nén thể tích K và môdun trượt G được xác định theo công thức (2.1) và hệ số dãn
nở nhiệt theo công thức (2.2), nên ta có thể biểu diễn nghiệm (2.32) theo các hằng số
K, G.
Ta có [1]
, n = , E = 9KG 3K + G 3K 2G − 6K + 2G
thay vào biểu thức (2.33), ta được
N0 = N∗T , M0 = M∗T − (2.34)
D = , amn = 18KGa 3K + 4G h3G (3K + G) 3 (3K + 4G) 9KGa 3K + G 144KGa M∗T p 2mn (3K + G)
Thế (2.34) vào (2.32), ta thu được dạng khác của nghiệm xác định độ võng của tấm
m=1,3,5,...
n=1,3,5,...
(cid:229) sin (2.35) . w = (cid:229) wmn sin mp x a np y b
trong đó,
26
. wmn = , w1 = m2p 2 a2 + 864Ka M∗T p 2mnh3 (3K + G) 54Ka N∗T h3 (3K + G) n2p 2 b2 − 1 w1
2.4. Tính toán số
Với biểu thức nghiệm giải tích xác định độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng
(2.32), ta sẽ đi tính toán độ võng của tấm trong trường hợp cụ thể. Xét tấm composite
độn các hạt Titan được làm từ các vật liệu thành phần với các đặc trưng tương ứng
như sau [3, 4]:
Nền PVC: Em = 3.109(Pa), n m = 0.2, a m = 8.10−5/K, km = 0.16(W /m.K). Hạt Titan: Ec = 100.109(Pa), n c = 0.34, a c = 4.8.10−6/K, kc = 22.1(W /m.K). Giả sử, tấm có chiều dài a = 2.25m, chiều rộng b = 1.5m, bề dày h = 0.02m.
h − môi trường ở mặt (z = (z = h Môi trường xung quanh tấm là không khí, với hệ số truyền nhiệt đối lưu, nhiệt độ 2 ) tương ứng là b 1 = 60(W /m2.K), T1 = 3300K và ở mặt (cid:14)
Với các số liệu trên, thay vào biểu thức (2.11), sử dụng phần mềm Matlab 7.1 (xem 2) tương ứng là b 2 = 40(W /m2.K), T2 = 3000K. T0 = 2930K. (cid:14)
phụ lục 1), kết quả thu được là sự phân bố nhiệt độ trong tấm theo bề dày của tấm như
hình 2.1. Tương tự, thay vào biểu thức nghiệm giải tích (2.35), tác giả đã thu được độ
võng của tấm như hình 2.2. (Xem phụ lục 2). Chú ý biểu thức nghiệm xác định độ
võng của tấm (2.35) là một chuỗi kép vô hạn, nhưng chỉ cần vài số hạng đầu đã cho
Hình 2.1 Đồ thị phân bố nhiệt độ theo chiều dày tấm.
27
3. ta kết quả tương đối chính xác, vì vậy ở đây luận văn chỉ xét với m, n = 1 −
Bảng 2.1 Độ võng của tấm tại một số điểm
(x, y)
(0, 0)
(0.36, 0.24)
(0.9, 0.6)
(1.125, 0.75)
(1.8, 1.2)
(2.16, 1.44)
w
aaaaaaaaaa
0
0.0028
0.0008
0.0019
0.0027
0.0003
x =0.1
0
-0.0003
-0.0003
-0.0011
-0.0001
-0.0001
w | x =0.15
0
0.00027
-0.00022
-0.0007
0.0004
-0.00001
x =0.2
0
-0.0022
0.0028
0.0048
-0.0025
-0.0002
x =0.3
w | w | w |
Nhận xét: Nhìn vào hình 2.1, ta thấy sự truyền nhiệt theo bề dày của tấm từ mặt
h − trên (z = tăng (x 2 ) xuống mặt dưới (z = h 2 ) là tuyến tính và khi tỉ lệ thể tích hạt Titan tăng) thì sự chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới giảm. (cid:14) (cid:14)
Từ kết quả trên hình biểu thị độ võng của tấm dọc theo chiều dài tấm với những tỉ
lệ thể tích hạt Titan nhất định dưới ảnh hưởng của sự truyền nhiệt dừng theo bề dày
của tấm (Hình 2.2), ta thấy rằng khi trộn hạt Titan với những tỉ lệ thể tích khác nhau,
28
các hạt Titan đã làm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử uốn của tấm. Khi ta trộn hạt với tỉ lệ thể tích dưới hoặc bằng 20% (x 0.2) thì độ võng tại các điểm của tấm giảm và ≤
giữa các điểm là đồng đều hơn khi tăng tỉ lệ thể tích hạt. Vậy, với tỉ lệ thể tích tăng
≤ 20% ), các hạt Titan đã làm tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng dần ( nhiệt của tấm. Nhưng khi tỉ lệ thể tích hạt khoảng 30% (x = 0.3) thì ứng xử uốn của
tấm biến đổi mạnh, độ võng tại các điểm của tấm cao và giữa các điểm có sự chênh
lệch lớn. Như vậy, khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có
vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt
của tấm.
2.5. Kết luận
Trong chương 2, luận văn đã thu được kết quả như sau:
1. Thiết lập bài toán uốn tấm khi có truyền nhiệt dừng.
2. Giải tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt dừng (2.10), từ đó chỉ ra rằng
mặt giữa của tấm không có biến dạng nhiệt, xác định được các hằng số (2.34) và xác
định được độ võng của tấm w.
3. Trên cơ sở nghiệm giải tích uốn tấm tìm được, tác giả tính toán số với các
composite cốt hạt Titan nền PVC, do đó thấy được sự ảnh hưởng của các hạt tới ứng
xử uốn của tấm. Khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có vai
trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt của
29
tấm.
Chương 3
Uốn tấm composite mỏng khi có truyền
nhiệt không dừng
Xét tấm composite độn các hạt hình cầu với các hằng số đàn hồi được xác định
theo công thức (2.1)và hệ số dãn nở nhiệt theo công thức (2.2). Giả thiết tấm hình chữ
nhật có cạnh a, b, chiều dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp có sự
2, và có sự truyền nhiệt không dừng theo trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt z = h ±
bề dày của tấm. Bài toán đặt ra là hãy xác định uốn của tấm khi có truyền nhiệt không (cid:14)
dừng.
3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng
3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm
Do có truyền nhiệt không dừng và gradient thông qua bề dày của tấm nên phương
trình truyền nhiệt (1.20) là [9]:
(3.1) = a1 ¶ T ¶ t ¶ 2T ¶ z2 ,
Với điều kiện đầu và các điều kiện biên:
tại t = 0
k = b 1(T T1) tại z = (3.2) −
= b 2(T T2) tại z = h 2 − h 2 T = Ti ¶ T ¶ z ¶ T ¶ z − k −
trong đó, a1 = k Cr
trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặtz = là độ khuếch tán nhiệt của vật liệu, T1, b 1 tương ứng là nhiệt độ môi 2; T2, b 2 là nhiệt độ môi trường, hệ h −
(cid:14)
số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h 2 tương ứng; k tương ứng là hệ số dẫn nhiệt và được giả thiết xác định theo công thức (2.5), C, r nhiệt dung riêng, mật độ khối của (cid:14)
vật liệu, và giả thiết được xác định bởi các công thức sau [3]:
c , C =
r = (1 . x ) r m + xr − Cmr m (1 r m (1 x ) +Ccr cx x ) + r cx − −
Đặt :
(3.3) t = . , g 1 = , g 2 = a1t h2 , z = z h b 1h k b 2h k
thì phương trình (3.1) trở thành:
2 ,
(3.4) ¶ T ¶t = ¶ 2T ¶z
với điều kiện đầu và các điều kiện biên (3.2) xác định như sau:
tại t = 0 ,
, T1) tại z = (3.5) −
, T2) tại z = T = Ti ¶ T ¶z = g 1 (T ¶ T ¶z = g 2 (T 1 2 − 1 2 − −
Dùng phép biến đổi Laplace:
pt
¥
0
Z
dt , T ∗ = Te−
pt dt = pT ∗
suy ra ¥
Z0
e− Ti ¶ T ¶t −
khi đó, phương trình (3.4) và các điều kiện (3.5) tương ứng có dạng như (3.6) và (3.7):
p (3.6) = 0 , T ∗ Ti p d2T ∗ dz 2 − − (cid:18) (cid:19)
= 0 tại z = , T ∗ g 1 T1 p 1 2 − − (cid:19) (cid:18) (3.7)
= 0 tại z = , T ∗ dT ∗ dz − dT ∗ dz + g 2 T2 p 1 2 − (cid:18) (cid:19)
31
Nghiệm của phương trình (3.6) có dạng:
(3.8) , T ∗ = +C3ch√pz +C4sh√pz Ti p
trong đó, C3,C4 được xác định từ điều kiện biên (3.7).
Thay (3.8) vào điều kiện biên (3.7), ta được hệ phương trình hai ẩn C3,C4 là
T1) = √pch √psh + g 1ch + g 1sh +C4 C3 √p 2 √p 2 √p 2 √p 2 − (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18)
T2) = √pch √psh +C4 + g 2ch + g 2sh C3 √p 2 √p 2 √p 2 √p 2 g 1 (Ti − p g 2 (Ti − p − (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18)
Giải hệ phương trình này, ta thu được
2 + g 1sh √p
2
2 + g 2sh √p 2 (p + g 1g 2)
g 1 (Ti T1) T2) − , C3 = (cid:17) √pch √p (cid:16) √pch √p (cid:16) − p√p + g 2 (Ti − (cid:17) sh√p √p + (g 1 + g 2) ch√p
2
g 1 (Ti T1) g 2 (Ti T2) i 2 + g 1ch √p √psh √p − . C4 = (cid:16) (cid:16) (cid:17) h 2 + g 2ch √p √psh √p 2 (p + g 1g 2) p√p − − (cid:17) sh√p √p + (g 1 + g 2) ch√p (3.9) h i
Thế kết quả C3,C4 từ (3.9) vào (3.8), với chú ý (3.12), ta dẫn đến
(3.10) + T ∗ = Ti p A(p) B(p)
trong đó,
z z + + sh√p A(p) = g 1 (T1 Ti) 1 2 − 1 2 − − (cid:19) (cid:19)(cid:21) ch√p (cid:20)
+ z + + z (3.11) ch√p sh√p Ti) +g 2 (T2 (cid:18) 1 2 (cid:18) 1 2 − g 2 √p g 1 √p (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
32
B(p) = p (p + g 1g 2) + (g 1 + g 2) ch√p (cid:18) sh√p √p (cid:21) (cid:20)
x ex + e− 2
Chú ý ex , chx = , shx =
shxchy = [sh(x + y) + sh(x y)] , −
(3.12) chxshy = [sh(x + y) sh(x y)] , − −
shxshy = [ch(x + y) ch(x y)] , − −
x e− − 2 1 2 1 2 1 2 1 2
chxchy = [ch(x + y) + ch(x y)] . −
Ở đây, muốn đưa nghiệm T ∗ ở (3.10) về nghiệm ban đầu T , ta vận dụng định lí
psds ,
sau [9]: Ta có phép biến đổi Laplace của hàm f (s) là: ¥
0
Z
f ∗(p) = f (s)e−
Khi đó, định lí phát biểu như sau: Nếu phép biến đổi f ∗(p) là tỉ lệ của các hàm siêu việt F (p) và y (p), tức là
, f ∗(p) = F (p) y (p)
m
thì hàm ban đầu là
1 −
n=1
1 (3.13) (cid:229) f (s) = f ∗ (p) (p pn)kn eps dkn 1 − d pkn 1)! − (kn lim pn p → − i h trong đó, pn là nghiệm của y (p). Nếu y (p) chỉ có các nghiệm đơn pn (n = 1, 2, ...),
m
thì công thức (3.13) có thể đưa về dạng
n=1
F (cid:229) (3.14) f (s) = epns , y (pn) 0 (pn)
0 (pn) =
trong đó ¶y y . (pn) ¶ p
Giải phương trình B(p) = 0 tức là
p = 0 (p + g 1g 2) + (g 1 + g 2) ch√p sh√p √p (cid:21)
(cid:20) phương trình trên có nghiệm p1 = 0 và pn+1 = m 2 n (n = 1, 2, ...) trong đó, pn+1 là − nghiệm của phương trình
33
(p + g 1g 2) + (g 1 + g 2) ch√p = 0 sh√p √p
khi đó, m n = i√pn+1 được xác định bởi phương trình sau
m (3.15) tgm = . g 1 + g 2 g 1g 2 m 2 − với chú ý
sh(im ) = i sin m , ch(im ) = cos m
Áp dụng định lí trên, ta có nghiệm T ban đầu có dạng
¥
p
n=1
epn+1t p2ept (cid:229) + d d p A (p) B (p) m 2 n m 2 n ) (cid:1) (cid:20) (cid:21) A − B0 ( (cid:0) − T = Ti + lim 0 → Thực hiện tính toán, ta được
p2ept = . d d p A (p) B (p) A (0) B0 (0) lim 0 p → (cid:21) (cid:20) trong đó
z + z , A(0) = g 1(T1 Ti) + g 2(T2 Ti) 1 + g 1 1 2 1 2 − − − (cid:19)(cid:21) (cid:19)(cid:21) 1 + g 2 (cid:20) (cid:20) (cid:18) (cid:18)
B0(0) = g 1 + g 2 + g 1g 2 ,
(3.16)
Từ biểu thức B(p) trong (3.11) thực hiện đạo hàm theo p, ta có
B0(p) = (p + g 1g 2) + (g 1 + g 2) ch√p + sh√p √p
+ [(1 + g 1 + g 2) p g 1g 2] sh√p + √p (p + g 1g 2) ch√p − } 1 2√p {
n và chú ý sh(im n) = m 2
sin m n, ch(im n) = cos m n, suy ra khi đó, với pn+1 =
B0( . (1 + g 1 + g 2) m 2 sin m n + g 1g 2 m n cos m n m 2 n ) = − n + g 1g 2 − − m 2 n − − 1 2m n
(cid:0) (cid:3) (cid:1) (cid:9) tương tự, thế pn+1 =
z z + + A( Ti) sin m n − n ) = g 1(T1 m 2 − − (cid:19) (cid:19)(cid:21)
+ z + z + , Ti) + g 2(T2 sin m n (cid:8)(cid:2) m 2 n vào biểu thức A(p) ở (3.11) suy ra 1 2 − (cid:18) 1 2 1 2 − (cid:18) 1 2 − g 2 m n g 1 m n (cid:19) (cid:19)(cid:21) cos m n (cid:20) cos m n (cid:20) (cid:18) (cid:18)
34
(3.17)
Kết quả thu được nghiệm T như sau
t
m 2 n
¥
n=1
(cid:229) (3.18) , + e− T = Ti + A(0) B0(0) A( B0( m 2 n ) m 2 n ) − −
trong đó,
z + z , A(0) = g 1(T1 Ti) 1 + g 2 + g 2(T2 Ti) 1 2 1 2 − − − (cid:19)(cid:21) (cid:19)(cid:21) 1 + g 1 (cid:20) (cid:20) (cid:18) (cid:18)
B0(0) = g 1 + g 2 + g 1g 2 ,
n ) = g 1(T1 m 2
z z (3.19) A( + + Ti) cos m n sin m n − − (cid:19) (cid:19)(cid:21)
+ z + z + , + g 2(T2 Ti) sin m n (cid:20) cos m n 1 2 − (cid:18) 1 2 1 2 − (cid:18) 1 2 − g 2 m n g 1 m n (cid:18)
. B0( (cid:20) (1 + g 1 + g 2) m 2 (cid:18) sin m n + (cid:19)(cid:21) g 1g 2 m n cos m n (cid:19) n + g 1g 2 m 2 n ) = m 2 n − − − 1 2m n
t
m 2 n
(cid:0) (cid:3) (cid:1) (cid:9) (cid:8)(cid:2) Lấy T0 = Ti, khi đó, thay (3.18) vào biểu thức (1.11) ta được ¥
n=1
(3.20) (cid:229) + = . e− D T ∗ A(0) B0(0) A( B0( m 2 n ) m 2 n )
trong đó, A(0), B0(0), A( m 2 n ), B0( − − m 2 n ) xác định như (3.19). − − Thay biểu thức của t và z từ (3.3) vào (3.20), khi đó ta thu được biểu thức D T ∗
biểu diễn thông qua z,t như sau
2
¥
n t ,
hm e−
n=1
(cid:229) (3.21) + = D T ∗ A1(0) B0(0) A1( B0( m 2 n ) m 2 n ) − −
trong đó, h = a1 h2
+ , Ti) + g 2(T2 Ti) A1(0) = g 1(T1 z 2 1 2 z 2 − − 1 2 − 1 + g 2 (cid:20) 1 + g 1 (cid:20) (cid:18) (cid:18) (cid:19)(cid:21) (cid:19)(cid:21)
B0(0) = g 1 + g 2 + g 1g 2 ,
n ) = g 1(T1 m 2
(3.22) + + Ti) sin m n A1( z 2 z 2 − − (cid:19) (cid:19)(cid:21)
+ + + , Ti) cos m n (cid:20) cos m n sin m n + g 2(T2 1 2 − (cid:18) 1 2 z 2 1 2 − (cid:18) 1 2 z 2 − g 2 m n g 1 m n (cid:18)
. B0( (cid:20) (1 + g 1 + g 2) m 2 (cid:18) sin m n + (cid:19)(cid:21) g 1g 2 m n cos m n m 2 n ) = (cid:19) n + g 1g 2 − m 2 n − − 1 2m n
35
(cid:0) (cid:8)(cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:9)
3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm
theo (3.21), tương tự như phần 2.2 chương 2, ta Với biểu thức xây dựng được D T ∗ cũng chỉ ra được rằng đối với tấm mỏng mà nhiệt độ chỉ truyền theo bề dày của tấm
thì không gây ra biến dạng mặt giữa. Khi đó, thực hiện cách làm tương tự theo phần
2.3 chương 2, ta cũng thu được biểu thức nghiệm giải tích xác định uốn của tấm khi
có truyền nhiệt không dừng
m=1,3,5,...
n=1,3,5,...
sin (3.23) (cid:229) . w = (cid:229) wmn sin mp x a np y b
trong đó,
h/2
h/2
. , w1 = wmn = m2p 2 a2 + 54Ka Nt T h3 (3K + G) 864Ka Mt T p 2mnh3 (3K + G) n2p 2 b2 − 1 w1
T =
T =
Z h/2
Z h/2
−
−
dz Nt dz , Mt zD T ∗ D T ∗
3.2. Tính toán số
Để nghiên cứu cho trường hợp cụ thể, ta xét tấm composite độn các hạt Titan được
làm từ các vật liệu thành phần với các đặc trưng tương ứng như sau [3, 4]:
Nền PVC: Em = 3.109(Pa), n m = 0.2, a m = 8.10−5/K, km = 0.16(W /m.K),
Cm = 900(J/kg.K), r m = 1380(kg/m3).
Hạt Titan: Ec = 100.109(Pa), n c = 0.34, a c = 4.8.10−6/K, kc = 22.1(W /m.K),
Cc = 523(J/kg.K), r c = 4500(kg/m3).
Giả sử, tấm có chiều dài a = 2.25m, chiều rộng b = 1.5m, bề dày h = 0.02m.
h − môi trường ở mặt (z = (z = h Môi trường xung quanh tấm là không khí, với hệ số truyền nhiệt đối lưu, nhiệt độ 2) tương ứng là b 1 = 60(W /m2.K), T1 = 3300K và ở mặt (cid:14)
Sử dụng phần mềm Matlab 7.1, lập trình ta giải phương trình siêu việt (3.15) ứng 2) tương ứng là b 2 = 40(W /m2.K), T2 = 3000K. T0 = 2930K. (cid:14)
(x = 0.1, x = 0.15, x = 0.2,
36
với mỗi giá trị cụ thể của tỉ lệ thể tích hạt độn x x = 0.3 ), ta tìm được nghiệm m n (n = 1, 2, ...) tương ứng (xem phụ lục 3).
Sau khi tìm được nghiệm m n ứng với mỗi giá trị cụ thể x đó, thay vào biểu thức
theo (3.21), tiếp tục ứng dụng phần mềm Matlab (xem phụ lục 4), ta thu được sự D T ∗ phân bố nhiệt độ trong tấm theo bề dày tại những thời gian cố định xem hình 3.1-3.4.
Khi đã xác định được sự phân bố nhiệt độ trong tấm, nhờ biểu thức xác định độ
võng của tấm (3.23), áp dụng tính toán (xem phụ lục 5, 6), tác giả thu được độ võng
của tấm composite cốt hạt Titan tại thời gian cố định, và sự biến đổi độ võng của tấm
theo thời gian với những tỉ lệ trộn hạt Titan nhất định xem hình 3.5, 3.6. Tương tự như
Hình 3.1 Sự phân bố nhiệt độ theo bề dày tấm với x = 0.1
37
3 vì chỉ cần vài số hạng đầu của biểu phần 2.4, ở đây luận văn chỉ xét với m, n = 1 − thức nghiệm đã cho ta kết quả tương đối chính xác.
Hình 3.2 Sự phân bố nhiệt độ theo bề dày tấm với x = 0.15
Hình 3.3 Sự phân bố nhiệt độ theo bề dày tấm với x = 0.2
38
Hình 3.4 Sự phân bố nhiệt độ theo bề dày tấm với x = 0.3
Nhận xét: Nhìn vào đồ thị biểu diễn sự phần bố nhiệt độ trong tấm (Hình 3.1-3.4)
với những tỉ lệ thể tích hạt Titan nhất định, ta thấy khi thời gian nhỏ sự truyền nhiệt
tăng) sự chênh trong tấm theo bề dày từ mặt trên xuống mặt dưới là phi tuyến, nhưng khi thời gian đủ lớn sự truyền nhiệt là tuyến tính. Và khi tăng tỉ lệ thể tích hạt Titan (x
Bảng 3.1 Độ võng của tấm tại một số điểm với t=1200s
(x, y)
(0, 0)
(0.36, 0.24)
(0.9, 0.6)
(1.125, 0.75)
(1.8, 1.2)
(2.16, 1.44)
w
aaaaaaaaaa
0
0.0028
0.0008
0.0019
0.0027
0.0003
x =0.1
0
-0.0003
-0.0003
-0.0011
-0.0001
-0.0001
w | x =0.15
0
0.00035
-0.00027
-0.00078
0.00048
-0.00002
x =0.2
0
-0.0008
0.0012
0.0019
-0.0009
-0.0001
x =0.3
w | w | w |
39
lệch nhiệt độ giữa lớp trên và lớp dưới giảm.
Từ kết quả trên hình biểu thị độ võng của tấm dọc theo chiều dài tấm với những tỉ
lệ thể tích hạt Titan nhất định dưới ảnh hưởng của sự truyền nhiệt không dừng theo
bề dày của tấm (Hình 3.5), ta thấy rằng khi trộn hạt Titan với những tỉ lệ thể tích khác
40
nhau, các hạt Titan đã làm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử uốn của tấm. Khi ta trộn hạt với tỉ lệ thể tích 10% (x = 0.1), thì độ võng của tấm có giá trị dương và độ võng
tại các điểm có sự chênh lệch đáng kể. Nhưng khi ta trộn hạt với tỉ lệ thể tích từ hơn 10% đến 20% (0.1 < x 0.2 ) thì độ võng tại các điểm của tấm giảm (về giá trị tuyệt ≤ đối) và giữa các điểm là đồng đều hơn khi tăng tỉ lệ thể tích hạt. Còn khi thể tích hạt
20%), các hạt Titan đã làm tăng chiếm khoảng 30% thì độ võng của tấm lại tăng cao và giữa các điểm có sự chênh lệch lớn. Vậy, với tỉ lệ thể tích tăng dần (10% < x ≤ khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt của tấm. Nhìn vào hình 3.6 ta thấy
rằng khi tại những thời điểm đầu (khi thời gian còn ngắn)độ võng của tấm biến đổi
liên tục theo thời gian nhưng đến một thời gian nhất định thì độ võng của tấm hầu như
không biến đổi. Như vậy, khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan
sẽ có vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt, kháng
nhiệt và bền với thời gian của tấm .
Nhận xét chung cho quá trình truyền nhiệt dừng và truyền nhiệt không dừng:
Nhìn vào sự phân bố nhiệt độ trong tấm ở trong trường hợp không dừng khi thời gian đủ lớn (khi x = 0.1, x = 0.15 thì t cỡ khoảng 120s, còn với x = 0.2, x = 0.3 thì t
khoảng 1200s) so với trường hợp dừng thì rất gần nhau, khi đó độ võng của tấm ở cả
hai trường hợp truyền nhiệt dừng và không dừng là gần như nhau và trong trường hợp ứng với tỉ lệ hạt x = 0.1, x = 0.15 và với t = 1200s thì là giống nhau.
3.3. Kết luận
Ở chương này kết quả đạt được như sau:
1. Thiết lập bài toán biên uốn tấm khi có truyền nhiệt không dừng.
2. Giải tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt không dừng (3.18), từ đó chỉ ra
rằng mặt giữa của tấm không có biến dạng nhiệt và xác định được độ võng của tấm w.
3. Trên cơ sở nghiệm giải tích uốn tấm tìm được, tác giả tính toán số với các
composite cốt hạt Titan nền PVC, do đó thấy được sự ảnh hưởng của các hạt tới ứng
xử uốn của tấm. Khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có
vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt, kháng nhiệt và
41
bền với thời gian của tấm .
4. So sánh được độ uốn của tấm composite PVC - hạt Titan trong cả hai trường
hợp khi tấm chịu tác dụng của quá trình truyền nhiệt dừng và không dừng đã khảo sát,
ta thấy với thời gian đủ lớn thì độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt không dừng là gần
42
giống với độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng
Kết luận chung
Sau một thời gian nghiên cứu luận văn đã thu được những kết quả sau:
1. Thiết lập bài toán uốn tấm composite cốt hạt tựa bản lề tại các cạnh khi có sự
truyền nhiệt dừng và không dừng.
2. Giải phương trình truyền nhiệt dừng và không dừng trên cở sở điều kiện biên
đối lưu nhiệt ở hai bề mặt tấm, tìm ra biểu thức phân bố nhiệt độ trong tấm theo chiều
dày tấm.
3. Chỉ ra được với sự truyền nhiệt theo bề dày của tấm, thì sự truyền nhiệt ấy không
gây ra chuyển vị mặt giữa của tấm nên không gây ra biến dạng mặt giữa.
4. Từ biểu thức phân bố nhiệt độ trong tấm, áp dụng vào giải bài toán cho tấm
composite mỏng có độn các hạt với các cạnh tựa bản lề dưới ảnh hưởng của quá trình
truyền nhiệt dừng, quá trình truyền nhiệt không dừng, từ đó tìm được biểu thức nghiệm
giải tích độ võng của tấm dưới dạng chuỗi lượng giác kép, phụ thuộc vào các tham số
hình học của tấm, tính chất và tỷ lệ độn của các vật liệu thành phần, và tham số của
quá trình truyền nhiệt.
5. Trên cơ sở của biểu thức nghiệm vừa tìm được, ứng dụng tính toán độ võng của
tấm composite được làm từ vật liệu nền PVC có cốt hạt Titan trong cả hai bài toán có
truyền nhiệt dừng và không có truyền nhiệt dừng. Kết quả thu được đã khẳng định với
một tỉ lệ thể tích hợp lí các hạt sẽ đóng vai trò quan trọng làm tăng khả năng chống
uốn, chống dạn nứt cùng với khả năng kháng nhiệt của tấm, và bền với thời gian của
tấm.
6. So sánh độ uốn của tấm composite PVC - hạt Titan đã khảo sát chịu ảnh hưởng
của quá trình truyền nhiệt dừng và quá trình truyền nhiệt không dừng ta thấy với thời
gian đủ lớn thì độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt không dừng là gần giống với độ
uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng.
Hướng phát triển của luận văn: Trên cơ sở những kiến thức đã củng cố được trong
quá trình học tập và làm luận văn, cũng như các kết quả luận văn đã đạt được, tác giả
sẽ tiếp tục phát triển và hướng tới nghiên cứu
1. Tấm và vỏ composite dị hướng (cốt hạt, sợi, nhiều lớp) chịu tác động của các tải
trọng ngoài phức tạp
2. Tấm và vỏ composite dị hướng chịu ảnh hưởng của quá trình truyền nhiệt dừng
và không dừng.
3. Tấm và vỏ composite chức năng (có cơ tính biến đổi) FGM chịu tác động của
44
quá trình truyền nhiệt dừng, truyền nhiệt không dừng
Những kết quả nghiên cứu của luận văn
đã được công bố
1. Nguyen Dinh Duc, Nghiem Thi Thu Ha, The bending analysis of thin composite
plate under steady temperature field, Journal of Science (Mathematics – Physics) of
Vietnam National University, vol. 27, N2, pp 77-83, 2011.
2. Nguyen Dinh Duc, Nghiem Thi Thu Ha, Determining the deflection of thin com-
posite plates under unsteady temperature field, ( Submitted to International Journal
of Non-linear Mechanics, 2011)
Tài liệu tham khảo
[1] Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích (2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Nguyen Dinh Duc, Nguyen Thi Thuy (2010), "The composite cylinder under
unsteady, axisymmetric, plane temperature field", Journal of Science (Mathe-
matics – Physics) of Vietnam National University, vol. 26, pp. 83-92.
[4] Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung, Do Thanh Hang (2007), "An alternative
method determining the coefficient of thermal expansion of composite material
of spherical particles", Vietnam Journal of Mechanic, VAST, Vol. 29, No.1, pp.
58-64.
[5] Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đình Đức (2002), Vật liệu composite - cơ học và
công nghệ, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
[6] Trần Ích Thịnh (1994), Vật liệu composite - cơ học và tính toán kết cấu, NXB
Giáo dục, Hà Nội.
[7] Brush D. O., Almorth B. O. (1975), Bukling of Bars, Plates and Shells, Mc
Graw-Hill, New York.
[8] Christensen R. M. (1979), Mechanics of Composite Materials, John Wiley and
Sons Inc, New York.
[9] Kovalenco A. D. (1970), The foundation of thermeoelastic, Kiev, Naukova
Dumka.
[10] Wu Lanhe (2004), "Thermal buckling of a simply supported moderately thick
rectangular FGM plate", Composite Structures, vol. 64, pp. 211-218.
[11] Morimoto T., Tanigawa Y., Kawamura R. (2006), "Thermal buckling of func-
tionally graded rectangular plates subjected to partial heating", International
Journal of Mechanical Sciences, vol. 48,pp. 926-937.
[12] Naotake Noda, Richard B. Hetnarski, Yoshinobu Tanigawa (2003), Thermal
stresses-2nd, Taylor and Francis, New York.
[13] Samsam Shariat B. A., Eslami M. R. (2006), "Thermal buckling of imperfect
functionally graded plates", International Journal of Solids and Structures, vol.
43, pp. 4082-4096.
[14] Shariyat M. (2007), "Thermal buckling analysis of rectangular composite plates
with temperature dependent properties based on a layerwise theory", Thin-
Walled Structures, vol. 45, pp.439-452.
[15] Shiau L. C., Kuo S. Y., Chen C. Y. (2010), "Thermal buckling behavior of com-
posite laminated plates", Composite Structures, vol. 92, pp. 508-514.
[16] Timoshenko. T, Krieger. S (1959), Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill
Book Company, N.Y.
[17] Vanin G. A. (1985), Micro - Mechanics of Composite Materials, Kiev, Naukova
Dumka.
[18] Vanin G. A., Nguyen Dinh Duc (1996), "The theory of spherofibrous composite.
1:The input relations, hypothesis and models", Mechanics of composite materi-
als, vol. 32, pp. 291-305.
[19] Yunus A. C¸ engel (1998), Heat transfer: A Practical Approach, WBC McGraw-
47
Hill.
Phụ lục
Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng
clear all
Em = 3e9; poism = 0.2; anpham = 8e 5; km = 0.16; %nen −
Ec = 100e9; poisc = 0.34; anphac = 4.8e 6; kc = 22.1; %hat −
2 Km = Em/(3 (1 poism)); Gm = Em/(2 (1 + poism)); ∗
− 2 ∗ (1 ∗ poisc)); Gc = Ec/(2 (1 + poisc)); Kc = Ec/(3 ∗ ∗ − ∗
xi = 0.1;
kc; k = (1 xi) km + xi − ∗
∗ beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1/k; gama2 = beta2/k;
syms x y z;
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
gama1 T = T 0 + (T 1 (1 + gama2 0.01)+ − ∗
T 2 gama2 ∗ ∗ (1 + gama1 0.01)+
∗ gama1 ∗ gama2 (T 2 ∗ T 1) z)/ ∗ ∗ −
∗ gama2 (gama1 + gama2 + gama1 0.02); ∗ ∗
d = [ 0.01 : 0.001 : 0.01]; −
f or i = 1 : length(d)
T 01(i) = subs(T, z, d(i));
end
xi = 0.15;
ro2; k = (1 xi) k1 + xi k2; ro = (1 xi) ro1 + xi − ∗ ∗ − ∗
∗ beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1/k; gama2 = beta2/k;
syms x y z;
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
gama1 T = T 0 + (T 1 (1 + gama2 0.01)+ − ∗
T 2 gama2 ∗ ∗ (1 + gama1 0.01)+
∗ gama1 ∗ gama2 (T 2 ∗ T 1) z)/ ∗ ∗ −
∗ gama2 (gama1 + gama2 + gama1 0.02); ∗ ∗
d = [ 0.01 : 0.001 : 0.01]; −
f or i = 1 : length(d)
T 015(i) = subs(T, z, d(i));
end
(tương tự với x = 0.2, x = 0.3)
0)
plot(d, T 01,0 k −
hold on
0)
plot(d, T 015,0 k
− − .0) plot(d, T 02,0 k
49
− plot(d, T 03,0 k.0)
Phụ lục 2: Độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng
clear all
Em = 3e9; poism = 0.2; anpham = 8e 5; km = 0.16; −
Ec = 100e9; poisc = 0.34; anphac = 4.8e 6; kc = 22.1; −
2 Km = Em/(3 (1 poism)); Gm = Em/(2 (1 + poism)); ∗
− 2 ∗ (1 ∗ poisc)); Gc = Ec/(2 (1 + poisc)); Kc = Ec/(3 ∗ ∗ − ∗
xi = 0.1;
kc; k = (1 xi) km + xi − ∗
∗ beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1/k; gama2 = beta2/k;
syms x y z;
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
gama1 T = T 0 + (T 1 (1 + gama2 0.01)+ − ∗
T 2 gama2 ∗ ∗ (1 + gama1 0.01)+
∗ gama1 ∗ gama2 (T 2 ∗ T 1) z)/ ∗ ∗ −
∗ gama2 (gama1 + gama2 + gama1 0.02); ∗ ∗
z; T momen = T
NT = int(T, ∗ 0.01, 0.01); −
MT = int(T momen, 0.01, 0.01);
− Km) K = Km + (Kc xi/(1 + (Kc Km)/(Km + 4 Gm/3)); ∗
15 − (1 ∗ poism) G = Gm (Gm xi/ − Gc) − ∗
50
5 10 − poism + (8 (7 ∗ − poism) ∗ Gc/Gm); − ∗ ∗ − ∗
Kc anpha = anpham + (anphac anpham) (3 Km + 4 Gm) xi/ − ∗ ∗
∗ Gm (3 Kc + 4 Gm) + 4 (Kc ∗ Km) ∗ xi); (Km ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
∗ S1 = 0;
f or m = 1 : 2 : 3
S = 0;
f or n = 1 : 2 : 3
K anpha m n w(m, n) = 864 MT /(pi2 0.023 (3 K + G))/ ∗
∗ 54 ∗ K ∗ anpha ∗ pi2/2.252 + n2 ∗ pi2/1.52 ∗ ∗ NT / (m2 − ∗ ∗ ∗
∗ (0.023 ∗ K + G))); (3 ∗
m n sin(pi x/2.25) sin(pi y/1.5); ∗ w1(m, n) = w(m, n) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
S = S + w1(m, n);
end
S1 = S1 + S;
end
a = [0 : 0.045 : 2.25];
b = [0 : 0.03 : 1.5];
f or i = 1 : length(a)
wx01(i) = subs(S1, x, a(i));
wy01(i) = subs(wx01(i), y, b(i));
end
51
wy01
xi = 0.15;
kc; k = (1 xi) km + xi − ∗
∗ beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1/k; gama2 = beta2/k;
syms x y z;
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
gama1 (1 + gama2 0.01)+ T = T 0 + (T 1 ∗ −
T 2 gama2 ∗ ∗ (1 + gama1 0.01)+ ∗
gama2 ∗ +gama1 (T 2 ∗ T 1) z) ∗ − ∗
∗ gama2 /(gama1 + gama2 + gama1 0.02); ∗ ∗
z; T momen = T
NT = int(T, ∗ 0.01, 0.01); −
MT = int(T momen, 0.01, 0.01);
K = Km + (Kc xi/(1 + (Kc Km)/(Km + 4 Gm/3)); − Km) ∗
15 − (1 ∗ poism) − Gc) G = Gm (Gm xi/ − ∗
5 10 − poism + (8 (7 ∗ − poism) ∗ Gc/Gm); ∗ − −
Kc ∗ anpha = anpham + (anphac ∗ anpham) (3 Km + 4 Gm) xi/ − ∗ ∗
∗ Gm (3 Kc + 4 Gm) + 4 (Kc ∗ Km) ∗ xi); (Km ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
∗ S1 = 0;
f or m = 1 : 2 : 3
52
S = 0;
f or n = 1 : 2 : 3
K anpha m n w(m, n) = 864 MT /(pi2 0.023 (3 K + G))/ ∗
∗ 54 ∗ K ∗ anpha ∗ pi2/2.252 + n2 ∗ pi2/1.52 ∗ ∗ NT / (m2 − ∗ ∗ ∗
∗ (0.023 ∗ K + G))); (3 ∗
m n sin(pi x/2.25) sin(pi y/1.5); ∗ w1(m, n) = w(m, n) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
S = S + w1(m, n);
end
S1 = S1 + S;
end
a = [0 : 0.045 : 2.25];
b = [0 : 0.03 : 1.5];
f or i = 1 : length(a)
wx015(i) = subs(S1, x, a(i));
wy015(i) = subs(wx015(i), y, b(i));
end
wy015
(tương tự với x = 0.2, x = 0.3)
0)
plot(a, wy01,0 k −
hold on
0)
plot(a, wy015,0 k
− − .0) plot(a, wy02,0 k
53
− plot(a, wy03,0 k.0)
Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi
f unction v = nghiemppchiadoi( f , x0, eps)
j = 1;
f or i = 1 : (length(x0) 1) −
a = x0(i); b = x0(i + 1); f a = subs( f , a); f b = subs( f , b);
i f f a f b < 0 ∗
while (b a) > eps −
x = (b + a)/2;
f x = subs( f , x); f a = subs( f , a);
i f f x f a > 0
∗ a = x;
else
b = x;
end
end
x1 = (a + b)/2; f x1 = subs( f , x1);
i f abs( f x1) < eps
v( j) = x1;
j = j + 1;
end
end
54
end
Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng
clear all
Em = 3e9; poism = 0.2; anpham = 8e 5; km = 0.16;Cm = 900; rom = 1380; −
Ec = 100e9; poisc = 0.34; anphac = 4.8e 6; kc = 22.1;Cc = 523; roc = 4500; −
2 Km = Em/(3 (1 poism)); Gm = Em/(2 (1 + poism)); ∗
− 2 ∗ (1 ∗ poisc)); Gc = Ec/(2 (1 + poisc)); Kc = Ec/(3 ∗ − ∗ ∗
xi = 0.1;
roc; k = (1 xi) km + xi kc; ro = (1 xi) rom + xi ∗
∗ rom − roc − C = (Cm ∗ xi) +Cc (1 ∗ (1 xi)/(rom xi) + roc xi); ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ − ∗
beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1 0.02/k; gama2 = beta2 0.02/k; ∗ ∗
syms t u z
x0 = [0 : 0.01 : 25];
gama1 f = tan(u) (gama1 + gama2) u/(u2 gama2); − ∗ ∗
− muy = nghiemppchiadoi( f , x0, 0.00001)
muy =
3.3907 6.4154 9.5140 12.6336 15.7619 18.8945 22.0297
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
A0 = gama1 (T 1 T 0) (1 + gama2 (1/2 z/0.02))+ ∗ ∗ −
gama2 ∗ (T 2 − T 0) (1 + gama1 (1/2 + z/0.02)); ∗ ∗
∗ gama2; − B0 = gama1 + gama2 + gama1 ∗
ro asao = k/(C 0.022); ∗ ∗
55
T muy = 0;
f or i = 1 : length(muy)
gama1 Amuy = (T 1 T 0) (muy(i) cos(muy(i) (1/2 z/0.02))+ ∗ − 2 − ∗ ∗ ∗
gama2 ∗ sin(muy(i) − (1/2 z/0.02)))
2 (T 2 ∗ T 0) − (muy(i) − cos(muy(i) (1/2 + z/0.02))+ ∗ gama2 ∗ ∗ ∗ ∗
− sin(muy(i) (1/2 + z/0.02))); ∗ gama1 ∗ ∗
Bmuy = ((1 + gama1 + gama2) muy(i)2 + gama1 gama2) sin(muy(i))+ ∗
gama1 (muy(i)2 gama2) ∗ muy(i) ∗ cos(muy(i)); −
∗ asao deltaT muy = Amuy ∗ exp( ∗ muy(i)2 t)/Bmuy; ∗ ∗ ∗
− T muy = T muy + deltaT muy;
end
deltaT = A0/B0 + T muy;
deltaT 0 = subs(deltaT,t, 0);
d = [ 0.01 : 0.001 : 0.01]; −
f or i = 1 : length(d)
deltaT 0z(i) = subs(deltaT 0, z, d(i));
end
0,0 linewidth0, 1.2)
plot(deltaT 0z, d,0 b −
deltaT 10 = subs(deltaT,t, 10);
f or i = 1 : length(d)
deltaT 10z(i) = subs(deltaT 10, z, d(i));
end
hold on
0,0 linewidth0, 1.2)
56
plot(deltaT 10z, d,0 r − −
deltaT 60 = subs(deltaT,t, 60);
f or i = 1 : length(d)
deltaT 60z(i) = subs(deltaT 60, z, d(i));
end
.0,0 linewidth0, 1.2) plot(deltaT 60z, d,0 g −
deltaT 120 = subs(deltaT,t, 120);
f or i = 1 : length(d)
deltaT 120z(i) = subs(deltaT 120, z, d(i));
end
plot(deltaT 120z, d,0 k.0,0 linewidth0, 1.2)
deltaT 600 = subs(deltaT,t, 600);
f or i = 1 : length(d)
deltaT 600z(i) = subs(deltaT 600, z, d(i));
end
0,0 linewidth0, 1.2)
plot(deltaT 600z, d,0 k ∗
deltaT 1200 = subs(deltaT,t, 1200);
0,0 linewidth0, 1.2);
plot(deltaT 1200z, d,0 k −
(tương tự với x = 0.15, x = 0.2, x = 0.3)
%x = 0.15
muy = 3.3159 6.3740 9.4859 12.6123 15.7448 18.8802 22.0175
%x = 0.2
muy = 0.6499 3.2756 6.3524 9.4712 12.6013 15.7359 18.8729 22.0111
%x = 0.3
muy = 0.5373 3.2333 6.3300 9.4561 12.5899 15.7268 18.8653 22.0046 57
Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s
clear all
Em = 3e9; poism = 0.2; anpham = 8e 5; km = 0.16;Cm = 900; rom = 1380; −
Ec = 100e9; poisc = 0.34; anphac = 4.8e 6; kc = 22.1;Cc = 523; roc = 4500; −
2 Km = Em/(3 (1 poism)); Gm = Em/(2 (1 + poism)); ∗
− 2 ∗ (1 ∗ poisc)); Gc = Ec/(2 (1 + poisc)); Kc = Ec/(3 ∗ − ∗ ∗
xi = 0.1;
roc; k = (1 xi) km + xi kc; ro = (1 xi) rom + xi ∗
∗ rom − roc − C = (Cm ∗ xi) +Cc (1 ∗ (1 xi)/(rom xi) + roc xi); ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ − ∗
beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1 0.02/k; gama2 = beta2 0.02/k; ∗ ∗
syms t u z x y
x0 = [0 : 0.01 : 25];
gama1 f = tan(u) (gama1 + gama2) u/(u2 gama2); − ∗ ∗
− muy = nghiemppchiadoi( f , x0, 0.00001);
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
A0 = gama1 (T 1 T 0) (1 + gama2 (1/2 z/0.02))+ ∗ ∗ −
gama2 ∗ (T 2 − T 0) (1 + gama1 (1/2 + z/0.02)); ∗ ∗
∗ gama2; − B0 = gama1 + gama2 + gama1 ∗
ro asao = k/(C 0.022); ∗ ∗
58
T muy = 0;
f or i = 1 : length(muy)
gama1 Amuy = (T 1 T 0) (muy(i) cos(muy(i) (1/2 z/0.02))+ ∗ − 2 − ∗ ∗ ∗
gama2 ∗ sin(muy(i) − (1/2 z/0.02)))
2 (T 2 ∗ T 0) − (muy(i) − cos(muy(i) (1/2 + z/0.02))+ ∗ gama2 ∗ − ∗ ∗
∗ gama1 sin(muy(i) ∗ (1/2 + z/0.02))); ∗ ∗
Bmuy = ((1 + gama1 + gama2) muy(i)2 + gama1 gama2) sin(muy(i))+ ∗
gama1 (muy(i)2 gama2) ∗ muy(i) ∗ cos(muy(i)); −
∗ asao deltaT muy = Amuy ∗ exp( ∗ muy(i)2 t)/Bmuy; ∗ ∗ ∗
− T muy = T muy + deltaT muy;
end
deltaT = A0/B0 + T muy;
deltaT t = subs(deltaT,t, 1200);
deltaT t; deltaT tmomen = z
∗ N0sao = int(deltaT t, 0.01, 0.01); −
M0sao = int(deltaT tmomen, 0.01, 0.01);
− xi/(1 + (Kc K = Km + (Kc Km) Km)/(Km + 4 Gm/3)); ∗
15 − (1 ∗ poism) − Gc) G = Gm (Gm xi/ − ∗
5 10 − poism + (8 (7 − ∗ poism) ∗ Gc/Gm); ∗ − −
Kc ∗ anpha = anpham + (anphac ∗ anpham) (3 Km + 4 Gm) xi/ − ∗ ∗
∗ Gm (Km (3 Kc + 4 Gm) + 4 (Kc ∗ Km) ∗ xi); ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
∗ S1 = 0;
f or m = 1 : 2 : 3
59
S = 0;
f or n = 1 : 2 : 3
K anpha m n w(m, n) = 864 M0sao/(pi2 0.023 (3 K + G))/ ∗ ∗
∗ K ∗ anpha 54 ∗ pi2/2.252 + n2 ∗ pi2/1.52 (m2 ∗ ∗ N0sao/ ∗ − ∗ ∗
∗ K + G))); (3 ∗ (0.023 ∗
m n sin(pi x/2.25) sin(pi y/1.5); ∗ w1(m, n) = w(m, n) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
S = S + w1(m, n);
end
S1 = S1 + S;
end
a = [0 : 0.045 : 2.25];
b = [0 : 0.03 : 1.5];
f or i = 1 : length(a)
wx01(i) = subs(S1, x, a(i));
wy01(i) = subs(wx01(i), y, b(i));
end
wy01
(tương tự với x = 0.15x = 0.2, x = 0.3)
0)
plot(a, wy01,0 k −
hold on
plot(a, wy015,0 k.0)
0)
plot(a, wy02,0 k
60
plot(a, wy03,0 k − − .0) −
Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa
clear all
Em = 3e9; poism = 0.2; anpham = 8e 5; km = 0.16;Cm = 900; rom = 1380; −
Ec = 100e9; poisc = 0.34; anphac = 4.8e 6; kc = 22.1;Cc = 523; roc = 4500; −
2 Km = Em/(3 (1 poism)); Gm = Em/(2 (1 + poism)); ∗
− 2 ∗ (1 ∗ poisc)); Gc = Ec/(2 (1 + poisc)); Kc = Ec/(3 ∗ − ∗ ∗
xi = 0.2;
roc; k = (1 xi) km + xi kc; ro = (1 xi) rom + xi ∗
∗ rom − roc − C = (Cm ∗ xi) +Cc (1 ∗ (1 xi)/(rom xi) + roc xi); ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ − ∗
beta1 = 60; beta2 = 40;
gama1 = beta1 0.02/k; gama2 = beta2 0.02/k; ∗ ∗
syms t u z x y
x0 = [0 : 0.01 : 25];
gama1 f = tan(u) (gama1 + gama2) u/(u2 gama2); − ∗ ∗
− muy = nghiemppchiadoi( f , x0, 0.00001);
T 1 = 330; T 2 = 300; T 0 = 293;
A0 = gama1 (T 1 T 0) (1 + gama2 (1/2 z/0.02))+ ∗ ∗ −
gama2 ∗ (T 2 − T 0) (1 + gama1 (1/2 + z/0.02)); ∗ ∗
∗ gama2; − B0 = gama1 + gama2 + gama1 ∗
ro asao = k/(C 0.022); ∗ ∗
61
T muy = 0;
f or i = 1 : length(muy)
gama1 Amuy = (T 1 T 0) (muy(i) cos(muy(i) (1/2 z/0.02))+ ∗ − 2 − ∗ ∗ ∗
gama2 ∗ sin(muy(i) − (1/2 z/0.02)))
∗ gama2 2 (T 2 ∗ T 0) − (muy(i) − cos(muy(i) (1/2 + z/0.02))+ ∗ ∗ ∗ ∗
− sin(muy(i) (1/2 + z/0.02))); ∗ gama1 ∗ ∗
Bmuy = ((1 + gama1 + gama2) muy(i)2 + gama1 gama2) sin(muy(i))+ ∗
gama1 (muy(i)2 gama2) ∗ muy(i) ∗ cos(muy(i)); −
∗ asao deltaT muy = Amuy ∗ exp( ∗ muy(i)2 t)/Bmuy; ∗ ∗ ∗
− T muy = T muy + deltaT muy;
end
deltaT = A0/B0 + T muy;
deltaT ; deltaT momen = z
∗ N0sao = int(deltaT, 0.01, 0.01); −
M0sao = int(deltaT momen, 0.01, 0.01);
− xi/(1 + (Kc K = Km + (Kc Km) Km)/(Km + 4 Gm/3)); ∗
15 − (1 ∗ poism) − Gc) G = Gm (Gm xi/ − ∗
5 10 − poism + (8 (7 ∗ − poism) ∗ Gc/Gm); ∗ − −
Kc ∗ anpha = anpham + (anphac ∗ anpham) (3 Km + 4 Gm) xi/ − ∗ ∗
∗ Gm (3 Kc + 4 Gm) + 4 (Kc ∗ Km) ∗ xi); (Km ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −
∗ S1 = 0;
f or m = 1 : 2 : 3
62
S = 0;
f or n = 1 : 2 : 3
K anpha m n w(m, n) = 864 M0sao/(pi2 0.023 (3 K + G))/ ∗ ∗
∗ K ∗ anpha 54 ∗ pi2/2.252 + n2 ∗ pi2/1.52 (m2 ∗ ∗ N0sao/ ∗ − ∗ ∗
∗ K + G))); (3 ∗ (0.023 ∗
m n sin(pi x/2.25) sin(pi y/1.5); ∗ w1(m, n) = w(m, n) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
S = S + w1(m, n);
end
S1 = S1 + S;
end
wx02 = subs(S1, x, 1.125);
wy02 = subs(wx01, y, 0.75);
d = [0 : 10 : 1800];
f or i = 1 : length(d)
wt02(i) = subs(wy,t, d(i));
end
(tương tự với x = 0.3)
0)
plot(d, wt02,0 k − −
hold on
63
plot(d, wt03,0 k .0) −
