Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng bao gồm những nội dung về một số khái niệm và các định lý về vành không giao hoán; Tôpô hữu hạn và Tôpô Zariski; định lý Kaplansky Amitsur; đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH ------------------------ Nguyeãn Vuõ Thanh KHAÙI NIEÄM DAÀY ÑAËC TRONG ÑAÏI SOÁ THEO NGHÓA TOÂPOÂ VAØ MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG Chuyeân ngaønh : Ñaïi soá vaø lí thuyeát soá Maõ soá : 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC : PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ Thaønh phoá Hoà Chí Minh – Naêm 2006
MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ...................................................................................................... 1 Lời nói đầu ...................................................................................................... 2 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. .......................................................... 5 I.1.Modul bất khả qui trung thành .................................................. 5 I.2. Radical của vành........................................................................ 7 I.3.Radical của một đại số.............................................................. 10 I.4.Vành nửa đơn............................................................................ 10 I.5.Vành Artin ................................................................................ 11 I.6. Định lý dày đặc........................................................................ 12 I.7.Vành nguyên tố......................................................................... 17 I.8.Vành đơn................................................................................... 18 CHƯƠNG II:TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI ........................... 19 II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô ......................... 19 II.2.Tôpô hữu hạn........................................................................... 25 II.3.Tôpô Zariski ............................................................................ 29 CHƯƠNG III:ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR............................... 33 III.1.PI-đại số trên vành giao hoán có đơn vị ................................ 33 III.2. Đại số K { X } .......................................................................... 34 III.3. Định lý Kaplansky Amitrur .................................................. 36 CHƯƠNG IV: ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG. .... 43 IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)..................... 43 IV.2. Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự ............. 52 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 61
1 LỜI CẢM ƠN --------------- Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong tổ Đại số , quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh cùng quý thầy cô trong tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng toàn thể quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu hoàn thành chương trình khoá học. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đối với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chỉ bảo trong quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn này. Quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự động viên và giúp đở về tinh thần của các bạn học viên khoá 14 chuyên ngành Đại số. Tôi xin ghi nhận nơi đây lòng biết ơn sâu sắc nhất. Tác giả luận văn
2 LỜI NÓI ĐẦU ------ Trong đại số không giao hoán có khái niệm dày đặc và “định lý dày đặc” về vành nguyên thuỷ do Jacobson và Chevalley chứng minh làm cơ sở để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur về đại số nguyên thuỷ trong PI đại số,định lý dày đặc đã đặt nền móng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu mới trong toán học. Tuy nhiên trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f là đa thức trong K{X}, ánh xạ (l1,l2,…,ln) → f (l1,l2,…,ln) với li ∈ L = End FV là liên tục trong tôpô hữu hạn và nếu f là đồng nhất thức trên tập dày đặc trong L thì f là đồng nhất thức trên L mà không được trình bày và chứng minh rõ ràng.Cũng như vậy trong chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận tác giả của sách PI- đại số cũng chỉ áp dụng các tính chất của tôpô Zariski mà không có chứng minh. Mục đích chính của luận văn là giải quyết hai vấn đề: Thứ nhất là xây dựng không gian tôpô trên tập YX tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là tôpô hữu hạn .Gọi V là không gian vectơ trên thể Δ và EndΔV là tập tất cả các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ ,ta sẽ chứng minh V V End ΔV là tập đóng trong không gian tôpô V .Tôpô hữu hạn trên V cảm sinh tôpô trên EndΔV và A tác động dày đặc trong EndΔV theo nghĩa đại số khi và chỉ khi A dày đặc (trù mật) trong EndΔV theo nghĩa tôpô tức là : A= End ΔV .Sau đó chứng minh ánh xạ (l1,l2,…,ln) → f(l1,l2,…,ln) với li ∈ L = EndΔV là liên tục trong tôpô hữu hạn nhờ các ánh xạ (l,m) → l+m ,
3 (l,m) → lm , l → α l (với α ∈ K ) là liên tục trong không gian tôpô hữu hạn.Dựa vào tính chất của hàm liên tục ta suy ra rằng nếu A dày đặc trong EndΔV , f là đồng nhất thức trên A thì f là đồng nhất thức trên EndΔV .Áp dụng kết quả này để chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur. Thứ hai là xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vô hạn K làm cơ sở để chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận mà trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson cũng chỉ nêu ra không chứng minh rõ.Xem K là không gian vectơ một chiều trên K với tôpô Zariski,khi đó hàm đa thức ϕ: V →K n ∑α e i =1 i i f (α1 ,α 2 ,...,α n ) là liên tục đối với tôpô Zariski và mọi tập mở khác rỗng của V thì dày đặc trong tôpô Zariski.Từ đó suy ra hàm đa thức triệt tiêu trên tập mở khác rỗng của V thì triệt tiêu trên V.Áp dụng điều này để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) bằng phương pháp Formanek.Tiếp theo của luận văn là sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự. Nội dung luận văn được chia thành bốn chương như sau: Chương I:Một số khái niệm và các định lý về vành không giao hoán. Chương này chủ yếu trình bày một số khái niệm,định lý,bổ đề cơ bản đã có trong vành không giao hoán nhằm làm cơ sở lý luận cho chương III và chương IV như: Rađical Jacobson của vành,đại số,các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành nguyên tố và mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là khái niệm dày đặc và định lý dày đặc mà sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận văn.
4 Chương II:Tôpô hữu hạn và tôpô Zariski. Chương này xây dựng một tôpô trên tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là tôpô hữu hạn làm cơ sở lý luận cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur trong chương III đồng thời xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vô hạn K làm cơ sở để xây dựng đa thức tâm trên đại số ma trận được trình bày ở chương IV. Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur. Hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về PI-đại số trên một vành giao hoán có đơn vị và áp dụng kết quả đạt được ở chương II về tôpô hữu hạn để hoàn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur trên đại số nguyên thuỷ. Chương IV:Đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng. Chương này nội dung chủ yếu là xây dựng đa thức tâm Formanek trên đại số ma trận Mn(K) bằng việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tôpô Zariski được trình bày ở chương II và áp dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nửa nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự. Chắc chắc luận văn không tránh khỏi sai sót.Tác giả luận văn rất mong nhận được những đóng góp ý kiến quý báo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
5 CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. Trong chương này chủ yếu chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản đã có trong vành không giao hoán nhằm làm cơ sở lý luận cho các chương sau,do đó có một số định lý chỉ nêu ra mà không phải chứng minh. Trong chương này,kí hiệu R là vành không giao hoán, M là R modul phải, EndRM là vành các R đồng cấu trên M. I.1. Modul bất khả qui trung thành . I.1.1. Định nghĩa : M được gọi là R-modul trung thành nếu từ M.r = (0) suy ra r = 0. I.1.2. Bổ đề : Kí hiệu A(M) ={r∈R/M.r = (0) };ta có A(M) là ideal hai phía của R và M là R A(M ) -modul trung thành. Cho M là R-modul,a∈R, ánh xạ Ta:M→ M cho bởi mTa = ma, m∈ M là đồng cấu nhóm cộng.Kí hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhóm cộng.E(M) là một vành với các phép toán cộng,nhân các đồng cấu nhóm. Xét ánh xạ ϕ: R → E(M) a Ta Vì Ta+b = Ta+ Tb và Tab = TaTb nên ϕ là đồng cấu vành. Mặt khác : Ker ϕ = A(M) nên R A(M ) ≅ Im ϕ . I.1.3. Bổ đề : R đẳng cấu với vành con của vành E(M) . A(M ) Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = (0) ,khi đó ϕ là đơn cấu và nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a ≡ Ta ,a∈R
6 I.1.4. Định nghĩa : Vành giao hoán tử của R trong M là C(M) = { f∈E(M) / Taf = fTa ,∀a∈R} Rõ ràng C(M) là vành con của vành E(M).Với f∈C(M),∀m∈M,∀a∈R ta có: (ma)f = (mTa)f =m(Taf) =m(fTa) =(mf)Ta =(mf)a ⇒ f là R đồng cấu modul. Vậy C(M) = EndRM . I.1.5. Định nghĩa : M được gọi là R-modul bất khả qui nếu MR≠ (0) và M chỉ có hai modul con tầm thường là (0) và M. I.1.6. Bổ đề Schur: Nếu M là R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể. I.1.7. Bổ đề : Nếu M là R-modul bất khả qui thì M đẳng cấu với modul R/ρ với ρ là ideal phải tối đại của R .Hơn nữa tồn tại a∈R sao cho x-ax ∈ρ với mọi x∈R (ρ được gọi là ideal phải chính qui).Ngược lại với ρ là ideal phải tối đại chính qui thì R/ρ là R-modul bất khả qui. Chứng minh: Vì M là R-modul bất khả qui nên MR ≠ (0). S = { u∈M/ uR = (0) }là modul con của M và S ≠ M nên S = (0).Do đó với m ≠ 0 thì mR ≠ 0 mà mR là modul con của M nên mR = M . Xét ánh xạ ϕ :R→ M r m.r ϕ là toàn cấu R-modul và kerϕ ={r∈R/mr = 0}= ρ là ideal phải của R. Ta có R/ρ ≅ M. M là bất khả qui nên R/ρ là modul bất khả qui do đó ρ là ideal phải tối đại.Mặt khác từ mR = M ,∃ a∈R sao cho ma = m.Với mọi x∈R ta có max = mx ⇒ m(x-ax) = 0 ⇒ x-ax∈ρ,∀x∈R.Vậy ρ là ideal phải tối đại
7 chính qui của R. Ngược lại nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì R/ρ là modul bất khả qui. Nhận xét: Nếu R có đơn vị thì mọi ideal phải tối đại của R đều là ideal phải tối đại chính qui. I.2. Radical của vành I.2.1. Định nghĩa: Radical Jacobson của vành R,kí hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R linh hoá tất cả các modul bất khả qui trên R. Nếu R không có modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R và gọi là vành radical.Theo định nghĩa ta có J(R) = ∩ A(M) ( giao lấy trên mọi M bất khả qui) là ideal hai phía của R. I.2.2. Định nghĩa : ρ là ideal phải của R ,kí hiệu (ρ :R) = { x∈R/Rx ⊂ ρ } I.2.3. Bổ đề : a/Nếu ρ là ideal phải chính qui thì (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ρ. b/ Nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì A(M) = (ρ:R) với M = R/ρ . I.2.4. Định lý: J(R) = ∩ (ρ:R) trong đó ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R và (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong ρ. Áp dụng Bổ đề Zorn ta có bổ đề sau: I.2.5.Bổ đề: Nếu ρ là ideal phải chính qui của R (ρ ≠ R) thì ρ nằm trong một ideal phải tối đại chính qui nào đó. I.2.6. Định lý: J(R) = ∩ ρ trong đó ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R. Chứng minh:
8 Theo định lí I.2.4 ta có J(R) = ∩ (ρ:R) và (ρ:R) ⊂ ρ nên J(R) ⊂ ∩ ρ. Đặt T = ∩ ρ và lấy x∈T. Ta chứng minh x tựa chính qui tức ∃ w∈R sao cho : x + w + xw = 0 .Xét tập A ={xy+y/y∈R} là ideal phải của R. Nếu A ≠ R thì theo bổ đề I.2.5 tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ0 chứa A (do A là chính qui với a = -x). Vì x∈ T = ∩ ρ nên x∈ ρ0 ⇒ xy∈ ρ0 ,∀y∈R ⇒ y = (xy+y) - xy∈ ρ0, ∀y∈R ⇒ ρ0 = R (vô lí) Vậy {xy + y/y∈R}= R.Với -x∈R ,∃ w∈R sao cho : xw + w = -x ⇒ x + w + xw = 0.Nếu T⊄ J(R) thì tồn tại modul bất khả qui M sao cho T⊄ A(M) ⇒ M.T ≠ (0) ⇒ ∃m∈M:mT ≠(0).Mà mT là modul con của M và M là bất khả qui nên mT = M ,khi đó ∃t∈T sao cho mt = -m.Vì t∈T nên ∃s∈R:t + s + ts = 0 ⇒mt + ms + mts = 0 ⇒ mt = 0 ⇒ m = 0(vô lí). Vậy T⊂ J(R) ⇒T = J(R) ⇒ J(R) = ∩ ρ . I.2.7. Định nghĩa: a∈R được gọi là tựa chính qui phải nếu ∃ a/∈R :a + a/ + aa/ = 0. a/ gọi là tựa nghịch đảo phải của a.Tương tự ta có định nghĩa tựa chính qui trái và tựa nghịch đảo trái.Một ideal phải gọi là tựa chính qui phải nêú mọi phần tử của nó là tựa chính qui phải.Như vậy J(R) là ideal phải tựa chính qui phải. Tương tự như trong chứng minh định lí 1.2.6 phần T = ∩ ρ ⊂ J(R) ta có kết quả sau: I.2.8. Định lý:J(R) là ideal phải tựa chính qui phải và chứa mọi ideal phải tựa chính qui phải,tức là J(R) là ideal phải tựa chính qui phải tối đại duy nhất của R.Ta kí hiệu Jr(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal phải tối đại chính qui phải của R và Jl(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal trái tối đại chính qui trái của R. Sau đây ta sẽ chứng minh:Jr( R) = Jl( R).
9 Tương tự định lí I.2.8 Jl( R) là ideal trái tựa chính qui trái tối đại duy nhất của R.Giả sử a∈Jr( R) vừa tựa chính qui phải vừa tựa chính qui trái,khi đó tồn tại b,c ∈ R sao cho : a+b+ba = 0 và a+c+ac = 0 (1) suy ra ba+bc+bac = 0 và ac+bc+bac = 0 do đó ba = ac (2).Từ (1) và (2) suy ra b = c. Nói khác đi tựa nghịch đảo trái và phải của a trùng nhau. Giả sử a∈Jr(R),a tựa chính qui phải nên ∃a/∈R sao cho a + a/ + aa/ = 0 ⇒ a/ = - a – aa/ ∈Jr(R).Với a/∈Jr(R) ∃a//∈R: a/ + a// + a/a// = 0, a và a// lần lượt là nghịch đảo trái ,phải của a/ nên a = a//.Từ đó suy ra a/ + a + a/a = 0 tức a là tựa chính qui trái.Vậy Jr( R) là ideal trái tựa chính qui trái nên Jr(R) ⊂ Jl(R). Tương tự Jl(R) ⊂ Jr(R), do đó Jr(R) = Jl(R). Nhận xét: Tựa nghịch đảo phải (trái) của a là duy nhất.Thật vậy giả sử a +a/ +aa/ = 0 và a +a// +aa// = 0 , do a có nghịch đảo trái là a/ nên a +a/ +a/a = 0 từ đó suy ra a/ = a//. I.2.9.Định nghĩa: • Phần tử a∈R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n∈N sao cho an = 0 . • Ideal phải (trái, hai phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái,hai phía) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. • Ideal phải (trái, hai phía) ρ của R được gọi là lũy linh nếu tồn tại m∈N sao cho a1a2…am = 0 với mọi ai∈ρ,tức tồn tại m∈N sao cho ρm = 0. Nhận xét: a/Nếu ρ là lũy linh thì ρ là nil-ideal. b/Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính qui.Thật vậy giả sử a∈R lũy linh khi đó tồn tại n∈N sao cho an = 0.Gọi b = -a+a2-a3+…+(-1)n-1an-1 thì a+b+ab = 0 suy ra a là tưạ chính qui phải.Tương tự a cũng là tựa chính qui trái. c/J(R) chứa mọi nil-ideal một phía.
10 d/ Nếu R có ideal phải lũy linh khác (0) thì R có ideal hai phía lũy linh khác (0). I.3. Radical của một đại số: I.3.1. Định nghĩa: A được gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau: a/ A là một vành. b / A là không gian vectơ trên trường F. c / ∀a,b∈A, ∀α∈F thì α(ab) = (αa)b = a(αb). Nếu A có đơn vị 1 thì α.1 với α∈F nằm trong tâm của A.Thật vậy ta có (α.1)a = α(1.a) = α(a.1) = a(α.1),∀a∈A. I.3.2. Mệnh đề: A là một đại số trên trường F. Khi đó radical Jacobson của đại số A trùng với radical Jacobson của vành A. Chứng minh: Giả sử ρ là ideal phải tối đại chính qui của A thì ρ là vành con của A,hơn nữa ρ còn là không gian con của A trên F, tức Fρ⊂ρ. Thật vậy,giả sử Fρ⊄ ρ thì Fρ +ρ =A (do ρ là ideal phải tối đại của A và Fρ là ideal phải của A).Ta có A2 = (Fρ+ρ)A ⊂ (Fρ)A+ρA ⊂ρA⊂ρ.Vì ρ là chính qui nên có a∈A sao cho x-ax∈ρ,∀x∈A nhưng ax∈A2⊂ ρ ⇒ x∈ρ,∀x∈A ⇒ ρ = A (vô lí) . Vậy mọi ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là vành cũng chính là ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là đại số. Vậy Jvành(A)=Jđại số(A) . I.4.Vành nửa đơn I.4.1.Định nghĩa: R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = (0). I.4.2.Định lý: R là một vành thì R J (R) là vành nửa đơn.
11 I.4.3. Định lý: Nếu A là ideal hai phía của R thì J(A) = A ∩ J(R). I.4.4. Hệ quả : Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng nửa đơn. Chú ý : Kết quả định lý I.4.3 không còn đúng nếu A là ideal một phía . Chẳng hạn lấy R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F. R là vành nửa đơn nên J(R) =(0). ⎧⎛ α β⎞ ⎫ ⎛0 β ⎞ Lấy A= ⎨⎜⎜ ⎟⎟ α , β ∈ F ⎬ là ideal phải của R và x = ⎜⎜ ⎟⎟ ∈ J ( A) với β∈F ⎩⎝ 0 0 ⎠ ⎭ ⎝ 0 0 ⎠ 2 2 ⎛0 β ⎞ ⎧⎛ 0 β ⎞ ⎫ vì x = ⎜⎜ ⎟⎟ = (0) ⇒ x lũy linh và ⎨⎜⎜ ⎟⎟ β ∈ F ⎬ là nil ideal phải của A ⎝0 0 ⎠ ⎩⎝ 0 0 ⎠ ⎭ ⇒J(A) ≠ (0) .Do đó J(A) ≠ A ∩ J(R). I.4.4. Định lý: Kí hiệu Rn là vành các ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó J(Rn) = (J( R))n I.5. Vành Artin I.5.1. Định nghĩa: Vành R gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác ∅ các ideal phải đều có phần tử tối tiểu .Ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin. Một vành là vành Artin khi và chỉ khi mọi dãy giảm các ideal phải của R ρ1 ⊃ ρ2 ⊃…⊃ ρm ⊃… đều dừng , tức ∃ n∈ N sao cho ρn = ρn+1 =… I.5.2. Các ví dụ: - Trường , thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin. - Vành các ma trận vuông cấp n trên một thể là vành Artin. - Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. - Đại số hữu hạn chiều trên một trường là đại số Artin. - Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin, nên vành thương của vành Artin là vành Artin.
12 I.5.3. Định lý: Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh. I.5.4. Hệ quả : Nếu R là vành Artin thì mọi nil ideal (phải , trái , hai phía) của R là lũy linh. Thật vậy vì mọi nil-ideal đều nằm trong J(R), mà J(R) là lũy linh nên nil-ideal cũng lũy linh. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một định lí quan trọng được áp dụng nhiều sau này do Jacobson và Chevalley đưa ra đó là định lí dày đặc. I.6. Định lý dày đặc : I.6.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu nó có modul bất khả qui trung thành. Nhận xét : 1/Nếu M là R modul bất khả qui và A(M)={x∈R/Mx = 0 } thì R là vành nguyên thủy (bổ đề I.1.2).Đặc biệt nếu ρ là ideal phải tối đại A(M ) chính qui của R và nếu M = R ρ thì R ( ρ : R) là vành nguyên thủy. 2) Nếu R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành thì M ≅ R ρ , tức R có ideal phải tối đại chính qui và A(M) = (0). Khi đó ánh xạ ϕ : R → E ( M ) là đơn cấu nên có thể nhúng R vào a Ta E(M) như vành con (theo bổ đề I.1.3) 3/Vành nguyên thuỷ là vành nửa đơn vì tồn tại ρ là ideal phải tối đại chính qui và (ρ:R) = (0) ⇒ J(R) = ∩(ρ:R) = (0) (theo định lí I.2.4).
13 I.6.2. Định lý : R là vành nguyên thuỷ khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ của R sao cho (ρ:R) = (0). Khi đó R là vành nửa đơn và nếu R giao hoán có đơn vị thì R là một trường . Thật vậy nếu R là vành nguyên thuỷ giao hoán thì (ρ:R) = ρ = (0) là ideal tối đại ⇒ R ≅ R (0) là một trường . * Giả sử R là vành nguyên thuỷ và M là modul bất khả qui trung thành .Gọi Δ = C(M) là giao hoán tử của R trong M , theo bổ đề Schur (bổ đề I.1.6) Δ là một thể . Khi đó M là một không gian vectơ trên Δ với phép nhân ngoài μ : M × Δ → M μ (m,α ) = m.α = (m)α trong đó α : M → M thuộc Δ = C(M) =EndRM. I.6.3. Định nghĩa: Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M ( hoặc R gọi là dày đặc trên M) nếu với mọi n và v1,v2,…,vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên Δ và bất kì n phần tử w1,w2,…,wn trong M thì tồn tại r∈R sao cho wi = vi.r (i =1,2,…,n) Chú ý : Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều trên Δ và R tác động trung thành và dày đặc trên M thì R= End Δ M ≅ Δn ( với n = dim Δ M ). Δn là vành các ma trận vuông cấp n trên Δ. Thật vậy :Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất r ≡ Tr :M→M với (m)Tr = mr. ∀α∈Δ ta có:(mα)Tr = m(αTr) = m(Trα) = (mTr)α ⇒Tr ∈ End Δ M ⇒ R ⊂ End Δ M . Ngược lại , giả sử v1,…,vn là cơ sở của M trên Δ và f ∈ End Δ M. Do R dày đặc trên M nên ∃ r∈R sao cho (vi)f = vi.r (i =1,2,…,n) ⇒ (vi)f= (vi)Tr ⇒ f =Tr ≡ r∈R ⇒ End Δ M ⊂ R. Vậy R= End Δ M ≅ Δn.
14 Sau đây chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng làm cơ sở cho việc chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur sau này ,đó là định lý dày đặc.Định lý này được chứng minh với khái niệm dày đặc theo nghĩa đại số.Sau này chúng ta sẽ xây dựng một tôpô để khái niệm dày đặc trong đại số sẽ trùng với sự dày đặc theo nghĩa tôpô và một số tính chất để hoàn thiện việc chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur. I.6.4. Định lý (Định lý dày đặc) R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành . Nếu Δ = C(M) thì R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ. Chứng minh : Để chứng minh R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ ta chứng minh rằng với V là không gian vectơ con hữu hạn chiều của M trên Δ và m∈M \ V ta tìm được r∈R với V.r = (0) nhưng m.r ≠0. Thật vậy giả sử tìm được r như thế, m.r ≠0 và M là bất khả qui nên mr.R=M, do đó ∀m’∈M ,∃ s∈R:mrs = m’ và Vrs = (0). Lấy v1,v2,…,vn∈M độc lập tuyến tính trên Δ và w1,w2,…,wn∈M tuỳ ý.Gọi Vi (i =1,2,…,n) là không gian con của M sinh bởi v1,v2,…,vi-1,vi+1,…,vn. Vì vi∉Vi nên ∃ ti∈R : vi.ti= wi và Viti = (0) (ở đây ti = rs ở trên) Đặt t = t1+t2+…+tn thì ta có vit = wi (i = 1,2,…,n) nên R dày đặc trên M. Giả sử V là không gian con hữu hạn chiều của M trên Δ và m∈M\V. Ta chứng minh rằng tìm được r∈R sao cho Vr = (0) nhưng mr ≠0. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số chiều của V trên Δ. . DimV = 0 ⇒ V = {0} ∀m ≠ 0, m ∉ V , ∃r ∈ R : mr ≠ 0 (do mR = M ⇒∃r∈R:mr≠0) . Gọi V=V0+ωΔ với dimV0 = dimV-1, ω∉V0 .Theo giả thiết qui nạp nếu đặt
15 A(V0) = {x ∈ R / V0 x = (0)} thì y∉ V0 ⇒∃ r∈A(V0) sao cho yr ≠0 ⇒yA(V0)≠0. Tương đương điều này là :∀r∈A(V0) mà yr = 0 ⇒ y∈V0 tức là nếu m.A(V0)=(0) thì m∈V0. Ta có A(V0) là ideal phải của R , vì ω ∉ V0 nên ω. A(V0 ) ≠ (0) .Mặt khác ω . A(V0 ) là modul con của M bất khả qui nên ω.A(V0) = M. Giả sử phản chứng rằng với m∈M\V mà Vr =(0) thì kéo theo mr = 0, ta tìm sự mâu thuẫn. Ta định nghĩa f:M→M như sau: Với x∈M = ωA(V0) thì x = ωa với a∈A(V0) ta đặt f(x) = ma .Giả sử x = ωa = ωa’ ⇒ ω(a-a’) = 0 ⇒ a-a’ linh hoá V0 và linh hoá ω nên a-a’ linh hoá V ⇒ V(a-a’) = (0) ⇒ m(a-a’) = 0 ⇒ ma = ma’⇒ f(ωa) = f(ωa’) do đó f được định nghĩa tốt . Rõ ràng f∈E(M), hơn nữa nếu x= ωa với a∈A(V0) mà A(V0) là ideal phải của R nên ar∈A(V0),∀r∈R, khi đó xr = (ωa).r = ω(ar) ⇒ f(xr) = m(ar) = (ma)r = f(x).r ⇒ f∈EndRM = Δ. Do đó với a∈A(V0) ta có ma = f(ωa) = f(ω).a ⇒ (m-f(ω)).a = 0 , ∀a∈A(V0) ⇒(m-f(ω))A(V0) = 0 ⇒ m-ωf∈V0 (theo giả thiết qui nạp) ⇒ m∈V0+ωΔ = V (vô lý). Định lý đã được chứng minh. Sau đây ta sẽ xét chiều ngược lại của định lí dày đặc. I.6.5.Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành EndDV thỏa điều kiện : với v≠ 0 ,v∈V và ω∈V tồn tại r∈R sao cho ω = v.r thì R là vành nguyên thủy. Chứng minh: V là R modul với phép nhân ngoài: V.R → V (v,r) (v)r V là R modul bất khả qui vì với 0 ≠ V1 là modul con của V ta có V1R⊂ V1
16 ∃ v ≠ 0 ,v∈V1,∀ω∈V:∃r∈R:ω = vr∈V1 ⇒ V=V1 ⇒ V là R modul bất khả qui.Hơn nữa R ⊂ E(V) nên V là R modul bất khả qui trung thành do đó R là vành nguyên thủy. I.6.6. Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của vành EndDV thỏa điều kiện : Với v1,v2 ∈ V độc lập tuyến tính trên D và ω1, ω2 ∈V tồn tại r∈R sao cho v1r = ω1,v2r = ω2 thì R dày đặc trong V và vành giao hoán tử của R trên V trùng với D. Chứng minh : Theo định lý I.6.5 R là vành nguyên thủy do đó R dày đặc trong V, giao hoán tử của R trên V là C(V)= Δ=EndRV .Vì R ⊂ EndDV nên mọi phần tử của D giao hoán với mọi phần tử của R nên D ⊂ Δ.Giả sử D≠Δ,nếu f∈Δ\D và nếu 0≠v∈V thì v và vf độc lập tuyến tính trên D vì nếu v và vf phụ thuộc tuyến tính thì v = vf.α , α∈D ⇒ v(1-fα) = 0⇒1-fα = 0 ⇒ f = α-1∈ D (vô lí).v,vf độc lập tuyến tính trên D nên tồn tại r∈R:vr = 0 và (vf)r = v.Vì f∈Δ =EndRV nên (vf)r = (vr)f = 0 ⇒ v = 0 (vô lí) .Vậy Δ = D. Định lý dày đặc cho phép mô tả nhiều kết quả về vành nguyên thuỷ và mối quan hệ của chúng với vành các ma trận. I.6.7.Định lý : Nếu R là vành nguyên thuỷ thì đối với thể Δ = C(M) hoặc R đẳng cấu với Δn vành các ma trận vuông cấp n trên Δ hoặc với mọi m∈N tồn tại vành con Sm của R sao cho Δm là ảnh đồng cấu của Sm. Chứng minh: Theo định lý dày đặc R dày đặc các phép tính biến đổi tuyến tính của M trên Δ. Nếu M hữu hạn chiều trên Δ thì R = End Δ M ≅ Δ n với n = dim Δ M . Nếu M không hữu hạn chiều trên Δ , gọi v1,v2,…,vm,… là hệ vô hạn các vectơ độc lập tuyến tính của M trên Δ.Đặt Vm= v1Δ+v2Δ+…+vmΔ là không gian con của M sinh bởi các vectơ v1,v2,…vm và gọi S m = {x ∈ R Vm x ⊂ Vm }.
17 Đặt φ : S m → End ΔVm x x Vm φ là toàn cấu do tính dày đặc, thật vậy với x1∈ End ΔVm có tạo ảnh x∈R thoả vix= vi x1 ⇒ x V = x1 (với i =1,2,…m). Kerφ = Wm = {x ∈ S m / Vm x = (0)} thì m Sm ≅ Δ m . Vậy Δm là ảnh đồng cấu của Sm. Wm Sau đây ta sẽ giới thiệu một lớp các vành chứa lớp các vành nguyên thủy, đó là vành nguyên tố. I.7. Vành nguyên tố: I.7.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = (0) (a,b∈R) thì a = 0 hoặc b = 0 I.7.2. Bổ đề:Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu thỏa một trong các điều kiện sau: 1) Linh hoá phải của ideal phải khác 0 của R bằng (0). 2) Linh hoá trái của ideal trái khác 0 của R bằng (0). 3) Nếu A,B là ideal của R và AB=(0) thì A=(0) hoặc B=(0). I.7.3. Mệnh đề: Vành nguyên thuỷ là vành nguyên tố . Chứng minh : Giả sử ρ ≠(0) là ideal phải của vành nguyên thuỷ R và ρa = (0) ta chứng minh a = 0. Vì R nguyên thuỷ nên tồn tại M là R modul bất khả qui trung thành. Vì từ Mx = 0 ⇒ x= 0 nên Mρ≠(0).Mρ là modul con của M nên Mρ = M. Từ đó suy ra Ma = Mρa = (0) ⇒ a = 0. Vậy R là vành nguyên tố. Nhận xét:Chiều ngược lại của mệnh đề I.7.3 không đúng,chẳng hạn với K ⎧ ∞ ⎫ là một trường R=K[[x]]= ⎨ f ( x) = ∑ ai x i / ai ∈ K ⎬ là vành chính nên R là vành ⎩ i =0 ⎭ nguyên tố .Ideal x sinh bởi x là ideal tối đại duy nhất vì f ( x) ∉ x thì khả nghịch trong R do đó R là vành địa phương và J( R)= x ≠ (0) .R không là vành nửa đơn nên R không là vành nguyên thuỷ.
18 I.7.4.Bổ đề: Phần tử khác 0 trong tâm của vành nguyên tố R không là ước của 0 trong R.Từ đó nếu tâm Z của vành nguyên tố R có đơn vị là khác 0 thì Z là một miền nguyên. I.8.Vành đơn : I.8.1. Định nghĩa: Vành R gọi là vành đơn nếu R2≠(0) và R không có ideal nào khác ngoài (0) và R .Một thể là một vành đơn. I.8.2. Nhận xét : a/ Vành R đơn và Artin thì R là nửa đơn. Thật vậy J(R) là ideal lũy linh (định lý I.5.3) Vì R đơn nên R2= R suy ra R không lũy linh, do đó J(R)= (0).Vậy R nửa đơn. b/ Vành đơn có đơn vị là vành nửa đơn . Thật vậy nếu R có đơn vị thì trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ nên tồn tại modul bất khả qui R ρ ⇒ J ( R) ≠ R ⇒ J ( R) = (0) (do R đơn ). Vậy R nửa đơn. c/ Vành R vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thuỷ. Thật vậy R nửa đơn nên J(R) = (0), do đó trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ. Mà (ρ:R) là ideal hai phía chứa trong ρ nên (ρ:R) = (0) (do R đơn), suy ra R là vành nguyên thuỷ ( theo định lý I.6.2). I.8.3. Định lý (Wedderburn-Artin): Nếu R là vành đơn Artin thì R đẳng cấu với Dn là vành các ma trận vuông cấp n trên một thể D.Hơn nữa n là duy nhất và D tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu.Ngược lại với thể D bất kì , Dn là vành đơn Artin. Để làm rõ khái niệm dày đặc trong đại số theo nghĩa tôpô,trong chương II tiếp theo sẽ trình bày tôpô hữu hạn và tôpô Zariski.