Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số Tôpô và ứng dụng (mới nhất)

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH ------------------------ Nguyeãn Vuõ Thanh KHAÙI NIEÄM DAÀY ÑAËC TRONG ÑAÏI SOÁ THEO NGHÓA TOÂPOÂ VAØ MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG

Chuyeân ngaønh : Ñaïi soá vaø lí thuyeát soá Maõ soá : 60 46 05

LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC :

Thaønh phoá Hoà Chí Minh – Naêm 2006

PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ

MỤC LỤC

Trang Lời cảm ơn ...................................................................................................... 1

Lời nói đầu ...................................................................................................... 2

CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH

KHÔNG GIAO HOÁN. .......................................................... 5

I.1.Modul bất khả qui trung thành .................................................. 5

I.2. Radical của vành........................................................................ 7

I.3.Radical của một đại số.............................................................. 10

I.4.Vành nửa đơn............................................................................ 10

I.5.Vành Artin ................................................................................ 11

I.6. Định lý dày đặc........................................................................ 12

I.7.Vành nguyên tố......................................................................... 17

I.8.Vành đơn................................................................................... 18

CHƯƠNG II:TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI ........................... 19

II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô ......................... 19

II.2.Tôpô hữu hạn........................................................................... 25

II.3.Tôpô Zariski ............................................................................ 29

CHƯƠNG III:ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR............................... 33

III.1.PI-đại số trên vành giao hoán có đơn vị ................................ 33

III.2. Đại số K{ }X .......................................................................... 34

III.3. Định lý Kaplansky Amitrur .................................................. 36

CHƯƠNG IV: ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG. .... 43

IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)..................... 43

IV.2. Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự ............. 52

Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 61

LỜI CẢM ƠN

---------------

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong tổ Đại

số , quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí

Minh cùng quý thầy cô trong tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

TP.Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá

trình viết luận văn này, cùng toàn thể quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ

và Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp

trường THPT Chuyên Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và

nghiên cứu hoàn thành chương trình khoá học. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng

biết ơn đặc biệt đối với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn và

giúp đỡ chỉ bảo trong quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn này.

Quá trình xây dựng và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được

sự động viên và giúp đở về tinh thần của các bạn học viên khoá 14 chuyên

ngành Đại số. Tôi xin ghi nhận nơi đây lòng biết ơn sâu sắc nhất.

Tác giả luận văn

LỜI NÓI ĐẦU

------

Trong đại số không giao hoán có khái niệm dày đặc và “định lý dày

đặc” về vành nguyên thuỷ do Jacobson và Chevalley chứng minh làm cơ sở

để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur về đại số nguyên thuỷ trong PI đại

số,định lý dày đặc đã đặt nền móng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn,

đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu mới trong toán học. Tuy nhiên

trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lý

L End V

∈ =

Kaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f là đa thức trong K{X}, ánh xạ

là liên tục trong tôpô hữu hạn và (l1,l2,…,ln) → f (l1,l2,…,ln) với li

nếu f là đồng nhất thức trên tập dày đặc trong L thì f là đồng nhất thức trên L

mà không được trình bày và chứng minh rõ ràng.Cũng như vậy trong chứng

minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận tác giả của sách PI-

đại số cũng chỉ áp dụng các tính chất của tôpô Zariski mà không có chứng

minh.

Mục đích chính của luận văn là giải quyết hai vấn đề: Thứ nhất là xây dựng không gian tôpô trên tập YX tất cả các ánh xạ từ

End VΔ

X vào Y gọi là tôpô hữu hạn .Gọi V là không gian vectơ trên thể và

Δ ,ta sẽ chứng minh là tập đóng trong không gian tôpô VV.Tôpô hữu hạn trên VV cảm sinh

End VΔ

là tập tất cả các phép biến đổi tuyến tính của V trên

End VΔ

tôpô trên và A tác động dày đặc trong theo nghĩa đại số khi và

End VΔ

→

A =

chỉ khi A dày đặc (trù mật) trong theo nghĩa tôpô tức là :

End VΔ

∈ =

→

.Sau đó chứng minh ánh xạ (l1,l2,…,ln) f(l1,l2,…,ln) với

L End VΔ

là liên tục trong tôpô hữu hạn nhờ các ánh xạ (l,m) l+m , li

→

αl (với

Kα∈ ) là liên tục trong không gian tôpô hữu hạn.Dựa

(l,m) lm , l →

End VΔ

vào tính chất của hàm liên tục ta suy ra rằng nếu A dày đặc trong , f là

End VΔ

đồng nhất thức trên A thì f là đồng nhất thức trên .Áp dụng kết quả này

để chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur.

Thứ hai là xây dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn

chiều V trên trường vô hạn K làm cơ sở để chứng minh định lý Formanek về

đa thức tâm trên đại số ma trận mà trong sách PI-đại số của tác giả Nathan

Jacobson cũng chỉ nêu ra không chứng minh rõ.Xem K là không gian vectơ

V →

ϕ:

một chiều trên K với tôpô Zariski,khi đó hàm đa thức

,...,

)

α (cid:54) e i

( ααα n 2

1 =

∑

là liên tục đối với tôpô Zariski và mọi tập mở khác rỗng của V thì dày đặc

trong tôpô Zariski.Từ đó suy ra hàm đa thức triệt tiêu trên tập mở khác rỗng

của V thì triệt tiêu trên V.Áp dụng điều này để hoàn chỉnh việc xây dựng đa

thức tâm trên Mn(K) bằng phương pháp Formanek.Tiếp theo của luận văn là

sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nguyên

tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự.

Nội dung luận văn được chia thành bốn chương như sau:

Chương I:Một số khái niệm và các định lý về vành không giao hoán.

Chương này chủ yếu trình bày một số khái niệm,định lý,bổ đề cơ bản

đã có trong vành không giao hoán nhằm làm cơ sở lý luận cho chương III và

chương IV như: Rađical Jacobson của vành,đại số,các khái niệm vành nửa

đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành nguyên tố và mối quan hệ giữa chúng,

đặc biệt là khái niệm dày đặc và định lý dày đặc mà sẽ được sử dụng xuyên

suốt trong luận văn.

Chương II:Tôpô hữu hạn và tôpô Zariski.

Chương này xây dựng một tôpô trên tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y

gọi là tôpô hữu hạn làm cơ sở lý luận cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý

Kaplansky-Amitsur trong chương III đồng thời xây dựng tôpô Zariski trên

không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vô hạn K làm cơ sở để xây

dựng đa thức tâm trên đại số ma trận được trình bày ở chương IV.

Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur.

Hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về PI-đại số trên một vành giao

hoán có đơn vị và áp dụng kết quả đạt được ở chương II về tôpô hữu hạn để

hoàn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur trên đại số nguyên thuỷ.

Chương IV:Đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng.

Chương này nội dung chủ yếu là xây dựng đa thức tâm Formanek trên

đại số ma trận Mn(K) bằng việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tôpô

Zariski được trình bày ở chương II và áp dụng đa thức tâm để chứng minh

định lý Posner-Rowen về đại số nửa nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự.

Chắc chắc luận văn không tránh khỏi sai sót.Tác giả luận văn rất

mong nhận được những đóng góp ý kiến quý báo của quý thầy cô và các bạn

đồng nghiệp.

CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH

KHÔNG GIAO HOÁN.

Trong chương này chủ yếu chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ

bản đã có trong vành không giao hoán nhằm làm cơ sở lý luận cho các

chương sau,do đó có một số định lý chỉ nêu ra mà không phải chứng minh.

Trong chương này,kí hiệu R là vành không giao hoán, M là R modul

phải, EndRM là vành các R đồng cấu trên M.

I.1. Modul bất khả qui trung thành .

I.1.1. Định nghĩa :

M được gọi là R-modul trung thành nếu từ M.r = (0) suy ra r = 0.

I.1.2. Bổ đề :

Kí hiệu A(M) ={r∈R/M.r = (0) };ta có A(M) là ideal hai phía của R và

(MA

)

M là -modul trung thành.

Cho M là R-modul,a∈R, ánh xạ Ta:M→ M cho bởi mTa = ma, m∈ M là

đồng cấu nhóm cộng.Kí hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhóm

cộng.E(M) là một vành với các phép toán cộng,nhân các đồng cấu nhóm.

Xét ánh xạ ϕ: R → E(M)

a Ta (cid:54)

Vì Ta+b = Ta+ Tb và Tab = TaTb nên ϕ là đồng cấu vành.

(MA

)

Mặt khác : Ker ϕ = A(M) nên ≅ Im ϕ .

I.1.3. Bổ đề :

(MA

)

đẳng cấu với vành con của vành E(M) .

Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = (0) ,khi đó ϕ

là đơn cấu và nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a ≡ Ta ,a∈R

I.1.4. Định nghĩa :

Vành giao hoán tử của R trong M là C(M) = { f∈E(M) / Taf = fTa ,∀a∈R}

Rõ ràng C(M) là vành con của vành E(M).Với f∈C(M),∀m∈M,∀a∈R ta có:

(ma)f = (mTa)f =m(Taf) =m(fTa) =(mf)Ta =(mf)a ⇒ f là R đồng cấu modul.

Vậy C(M) = EndRM .

I.1.5. Định nghĩa :

M được gọi là R-modul bất khả qui nếu MR≠ (0) và M chỉ có hai modul

con tầm thường là (0) và M.

I.1.6. Bổ đề Schur:

Nếu M là R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể.

I.1.7. Bổ đề :

Nếu M là R-modul bất khả qui thì M đẳng cấu với modul R/ρ với ρ là

ideal phải tối đại của R .Hơn nữa tồn tại a∈R sao cho x-ax ∈ρ với mọi x∈R

(ρ được gọi là ideal phải chính qui).Ngược lại với ρ là ideal phải tối đại chính

qui thì R/ρ là R-modul bất khả qui.

Chứng minh:

Vì M là R-modul bất khả qui nên MR ≠ (0). S = { u∈M/ uR = (0) }là

modul con của M và S ≠ M nên S = (0).Do đó với m ≠ 0 thì mR ≠ 0 mà mR là

modul con của M nên mR = M .

(cid:54)

Xét ánh xạ ϕ :R→ M

r m.r

ϕ là toàn cấu R-modul và kerϕ ={r∈R/mr = 0}= ρ là ideal phải của R.

Ta có R/ρ ≅ M. M là bất khả qui nên R/ρ là modul bất khả qui do đó ρ là

ideal phải tối đại.Mặt khác từ mR = M ,∃ a∈R sao cho ma = m.Với mọi x∈R

ta có max = mx ⇒ m(x-ax) = 0 ⇒ x-ax∈ρ,∀x∈R.Vậy ρ là ideal phải tối đại

chính qui của R. Ngược lại nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì R/ρ là

modul bất khả qui.

Nhận xét: Nếu R có đơn vị thì mọi ideal phải tối đại của R đều là ideal

phải tối đại chính qui.

I.2. Radical của vành

I.2.1. Định nghĩa: Radical Jacobson của vành R,kí hiệu là J(R) là tập hợp

các phần tử của R linh hoá tất cả các modul bất khả qui trên R. Nếu R không

∩

có modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R và gọi là vành radical.Theo định

nghĩa ta có J(R) = A(M) ( giao lấy trên mọi M bất khả qui) là ideal hai

phía của R.

I.2.2. Định nghĩa :

ρ là ideal phải của R ,kí hiệu (ρ :R) = { x∈R/Rx ⊂ ρ }

I.2.3. Bổ đề :

a/Nếu ρ là ideal phải chính qui thì (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R

nằm trong ρ.

b/ Nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì A(M) = (ρ:R) với M = R/ρ .

I.2.4. Định lý:

J(R) = ∩ (ρ:R) trong đó ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui

của R và (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong ρ.

Áp dụng Bổ đề Zorn ta có bổ đề sau:

I.2.5.Bổ đề:

Nếu ρ là ideal phải chính qui của R (ρ ≠ R) thì ρ nằm trong một ideal

phải tối đại chính qui nào đó.

I.2.6. Định lý:

J(R) = ∩ ρ trong đó ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R.

Chứng minh:

∩

Theo định lí I.2.4 ta có J(R) = ∩ (ρ:R) và (ρ:R) ⊂ ρ nên J(R) ⊂ ∩ ρ. Đặt

T = ρ và lấy x∈T. Ta chứng minh x tựa chính qui tức ∃ w∈R sao cho :

x + w + xw = 0 .Xét tập A ={xy+y/y∈R} là ideal phải của R.

Nếu A ≠ R thì theo bổ đề I.2.5 tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ0 chứa A

(do A là chính qui với a = -x).

Vì x∈ T = ∩ ρ nên x∈ ρ0 ⇒ xy∈ ρ0 ,∀y∈R ⇒ y = (xy+y) - xy∈ ρ0, ∀y∈R

⇒ ρ0 = R (vô lí)

Vậy {xy + y/y∈R}= R.Với -x∈R ,∃ w∈R sao cho :

xw + w = -x ⇒ x + w + xw = 0.Nếu T⊄ J(R) thì tồn tại modul bất khả qui M

sao cho T⊄ A(M) ⇒ M.T ≠ (0) ⇒ ∃m∈M:mT ≠(0).Mà mT là modul con của

M và M là bất khả qui nên mT = M ,khi đó ∃t∈T sao cho mt = -m.Vì t∈T nên

∃s∈R:t + s + ts = 0 ⇒mt + ms + mts = 0 ⇒ mt = 0 ⇒ m = 0(vô lí).

Vậy T⊂ J(R) ⇒T = J(R) ⇒ J(R) = ∩ ρ .

I.2.7. Định nghĩa: a∈R được gọi là tựa chính qui phải nếu

∃ a/∈R :a + a/ + aa/ = 0.

a/ gọi là tựa nghịch đảo phải của a.Tương tự ta có định nghĩa tựa chính qui trái

và tựa nghịch đảo trái.Một ideal phải gọi là tựa chính qui phải nêú mọi phần

∩

tử của nó là tựa chính qui phải.Như vậy J(R) là ideal phải tựa chính qui phải.

Tương tự như trong chứng minh định lí 1.2.6 phần T = ρ ⊂ J(R) ta có

kết quả sau:

I.2.8. Định lý:J(R) là ideal phải tựa chính qui phải và chứa mọi ideal phải

tựa chính qui phải,tức là J(R) là ideal phải tựa chính qui phải tối đại duy nhất

của R.Ta kí hiệu Jr(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal phải tối đại chính qui phải của

R và Jl(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal trái tối đại chính qui trái của R.

Sau đây ta sẽ chứng minh:Jr( R) = Jl( R).

Tương tự định lí I.2.8 Jl( R) là ideal trái tựa chính qui trái tối đại duy nhất

của R.Giả sử a∈Jr( R) vừa tựa chính qui phải vừa tựa chính qui trái,khi đó tồn

tại b,c ∈ R sao cho :

a+b+ba = 0 và a+c+ac = 0 (1) suy ra ba+bc+bac = 0 và ac+bc+bac = 0 do đó

ba = ac (2).Từ (1) và (2) suy ra b = c. Nói khác đi tựa nghịch đảo trái và phải

của a trùng nhau.

Giả sử a∈Jr(R),a tựa chính qui phải nên ∃a/∈R sao cho a + a/ + aa/ = 0 ⇒

a/ = - a – aa/ ∈Jr(R).Với a/∈Jr(R) ∃a//∈R: a/ + a// + a/a// = 0, a và a// lần lượt là nghịch đảo trái ,phải của a/ nên a = a//.Từ đó suy ra a/ + a + a/a = 0 tức a là tựa

chính qui trái.Vậy Jr( R) là ideal trái tựa chính qui trái nên Jr(R) ⊂ Jl(R).

Tương tự Jl(R) ⊂ Jr(R), do đó Jr(R) = Jl(R).

Nhận xét: Tựa nghịch đảo phải (trái) của a là duy nhất.Thật vậy giả sử a +a/ +aa/ = 0 và a +a// +aa// = 0 , do a có nghịch đảo trái là a/ nên a +a/ +a/a = 0 từ đó suy ra a/ = a//.

I.2.9.Định nghĩa:

• Phần tử a∈R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n∈N sao cho an = 0 .

• Ideal phải (trái, hai phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái,hai phía)

nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.

• Ideal phải (trái, hai phía) ρ của R được gọi là lũy linh nếu tồn tại m∈N sao

cho a1a2…am = 0 với mọi ai∈ρ,tức tồn tại m∈N sao cho ρm = 0.

Nhận xét: a/Nếu ρ là lũy linh thì ρ là nil-ideal.

b/Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính qui.Thật vậy giả sử a∈R

lũy linh khi đó tồn tại n∈N sao cho an = 0.Gọi b = -a+a2-a3+…+(-1)n-1an-1 thì

a+b+ab = 0 suy ra a là tưạ chính qui phải.Tương tự a cũng là tựa chính qui

trái.

c/J(R) chứa mọi nil-ideal một phía.

d/ Nếu R có ideal phải lũy linh khác (0) thì R có ideal hai phía

lũy linh khác (0).

I.3. Radical của một đại số:

I.3.1. Định nghĩa:

A được gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau:

a/ A là một vành.

b / A là không gian vectơ trên trường F.

c / ∀a,b∈A, ∀α∈F thì α(ab) = (αa)b = a(αb).

Nếu A có đơn vị 1 thì α.1 với α∈F nằm trong tâm của A.Thật vậy ta có

(α.1)a = α(1.a) = α(a.1) = a(α.1),∀a∈A.

I.3.2. Mệnh đề:

A là một đại số trên trường F. Khi đó radical Jacobson của đại số A trùng

với radical Jacobson của vành A.

Chứng minh:

Giả sử ρ là ideal phải tối đại chính qui của A thì ρ là vành con của

A,hơn nữa ρ còn là không gian con của A trên F, tức Fρ⊂ρ.

Thật vậy,giả sử Fρ⊄ ρ thì Fρ +ρ =A (do ρ là ideal phải tối đại của A và

Fρ là ideal phải của A).Ta có A2 = (Fρ+ρ)A ⊂ (Fρ)A+ρA ⊂ρA⊂ρ.Vì ρ là

chính qui nên có a∈A sao cho x-ax∈ρ,∀x∈A nhưng ax∈A2⊂ ρ ⇒

x∈ρ,∀x∈A ⇒ ρ = A (vô lí) .

Vậy mọi ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là vành cũng chính

là ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là đại số.

Vậy Jvành(A)=Jđại số(A) .

I.4.Vành nửa đơn

I.4.1.Định nghĩa: R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = (0).

(RJ

)

I.4.2.Định lý: R là một vành thì là vành nửa đơn.

I.4.3. Định lý:

Nếu A là ideal hai phía của R thì J(A) = A ∩ J(R).

I.4.4. Hệ quả : Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng nửa đơn.

Chú ý : Kết quả định lý I.4.3 không còn đúng nếu A là ideal một phía .

Chẳng hạn lấy R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F. R là vành nửa

Fβα

∈

AJ ) (

đơn nên J(R) =(0).

⎛ ⎜⎜ ⎝

β ⎞ ∈⎟⎟ 0 ⎠

⎫ ⎬ ⎭

⎧ βα ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎨ 0 0 ⎠ ⎝ ⎩

Fβ ∈

là ideal phải của R và Lấy A= với β∈F

0 0

⎛ ⎜⎜ ⎝

2β ⎞ ⇒=⎟⎟ )0( 0 ⎠

β ⎞ ⎟⎟ 0 ⎠

⎫ ⎬ ⎭

⎧ ⎛ ⎜⎜ ⎨ ⎝ ⎩

x lũy linh và là nil ideal phải của A vì x2 =

⇒J(A) ≠ (0) .Do đó J(A) ≠ A ∩ J(R).

I.4.4. Định lý:

Kí hiệu Rn là vành các ma trận vuông cấp n trên R. Khi đó J(Rn) = (J( R))n

I.5. Vành Artin

I.5.1. Định nghĩa: Vành R gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác ∅ các

ideal phải đều có phần tử tối tiểu .Ta thường gọi vành Artin phải là vành

Artin.

Một vành là vành Artin khi và chỉ khi mọi dãy giảm các ideal phải của R

ρ1 ⊃ ρ2 ⊃…⊃ ρm ⊃… đều dừng , tức ∃ n∈ N sao cho ρn = ρn+1 =…

I.5.2. Các ví dụ:

- Trường , thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin.

- Vành các ma trận vuông cấp n trên một thể là vành Artin.

- Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin.

- Đại số hữu hạn chiều trên một trường là đại số Artin.

- Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin, nên vành thương của vành

Artin là vành Artin.

I.5.3. Định lý:

Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh.

I.5.4. Hệ quả :

Nếu R là vành Artin thì mọi nil ideal (phải , trái , hai phía) của R là

lũy linh.

Thật vậy vì mọi nil-ideal đều nằm trong J(R), mà J(R) là lũy linh nên

nil-ideal cũng lũy linh.

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một định lí quan trọng được áp

dụng nhiều sau này do Jacobson và Chevalley đưa ra đó là định lí dày đặc.

I.6. Định lý dày đặc :

I.6.1. Định nghĩa:

Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu nó có modul bất khả

qui trung thành.

Nhận xét : 1/Nếu M là R modul bất khả qui và A(M)={x∈R/Mx = 0 } thì

(MA

)

R thì

)

là vành nguyên thủy (bổ đề I.1.2).Đặc biệt nếu ρ là ideal phải tối đại

ρ là vành nguyên thủy. (

chính qui của R và nếu M = ρ

RM ≅

2) Nếu R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui

ME (

)

R →ϕ

, tức R có ideal phải tối đại chính qui và A(M) = (0). trung thành thì

a (cid:54)

Khi đó ánh xạ là đơn cấu nên có thể nhúng R vào

E(M) như vành con (theo bổ đề I.1.3)

3/Vành nguyên thuỷ là vành nửa đơn vì tồn tại ρ là ideal phải tối

đại chính qui và (ρ:R) = (0) ⇒ J(R) = ∩(ρ:R) = (0) (theo định lí I.2.4).

I.6.2. Định lý :

R là vành nguyên thuỷ khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính

qui ρ của R sao cho (ρ:R) = (0). Khi đó R là vành nửa đơn và nếu R giao hoán

có đơn vị thì R là một trường .

RR ≅⇒

Thật vậy nếu R là vành nguyên thuỷ giao hoán thì (ρ:R) = ρ = (0) là ideal

)0(

tối đại là một trường .

* Giả sử R là vành nguyên thuỷ và M là modul bất khả qui trung thành .Gọi

Δ = C(M) là giao hoán tử của R trong M , theo bổ đề Schur (bổ đề I.1.6) Δ là

(

M →:α

:μ

M →Δ×

, ) m αμ

. m α

) α

một thể . Khi đó M là một không gian vectơ trên Δ với phép nhân ngoài

trong đó thuộc Δ = C(M)

=EndRM.

I.6.3. Định nghĩa:

Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M ( hoặc R gọi là dày đặc trên M)

nếu với mọi n và v1,v2,…,vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên Δ và bất kì

n phần tử w1,w2,…,wn trong M thì tồn tại r∈R sao cho wi = vi.r (i =1,2,…,n)

dim

Chú ý : Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều trên Δ và R tác động

ΔEnd

MΔ

). trung thành và dày đặc trên M thì R= M ≅ Δn ( với n =

Δn là vành các ma trận vuông cấp n trên Δ.

Thật vậy :Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con

nếu đồng nhất r ≡ Tr :M→M với (m)Tr = mr.

ΔEnd

R ⊂⇒

M ∀α∈Δ ta có:(mα)Tr = m(αTr) = m(Trα) = (mTr)α ⇒Tr ∈

MEnd Δ

ΔEnd

M. . Ngược lại , giả sử v1,…,vn là cơ sở của M trên Δ và f ∈

Do R dày đặc trên M nên ∃ r∈R sao cho (vi)f = vi.r (i =1,2,…,n) ⇒

ΔEnd

M ⊂ R. Vậy R= (vi)f= (vi)Tr ⇒ f =Tr ≡ r∈R ⇒ M ≅ Δn.

Sau đây chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng làm cơ sở cho việc

chứng minh định lý Kaplasky-Amitsur sau này ,đó là định lý dày đặc.Định lý

này được chứng minh với khái niệm dày đặc theo nghĩa đại số.Sau này chúng

ta sẽ xây dựng một tôpô để khái niệm dày đặc trong đại số sẽ trùng với sự dày

đặc theo nghĩa tôpô và một số tính chất để hoàn thiện việc chứng minh định lý

Kaplasky-Amitsur.

I.6.4. Định lý (Định lý dày đặc)

R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành . Nếu

Δ = C(M) thì R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ.

Chứng minh :

Để chứng minh R dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ ta

chứng minh rằng với V là không gian vectơ con hữu hạn chiều của M trên Δ

và m∈M \ V ta tìm được r∈R với V.r = (0) nhưng m.r ≠0.

Thật vậy giả sử tìm được r như thế, m.r ≠0 và M là bất khả qui nên

mr.R=M, do đó ∀m’∈M ,∃ s∈R:mrs = m’ và Vrs = (0).

Lấy v1,v2,…,vn∈M độc lập tuyến tính trên Δ và w1,w2,…,wn∈M tuỳ ý.Gọi Vi

(i =1,2,…,n) là không gian con của M sinh bởi v1,v2,…,vi-1,vi+1,…,vn.

Vì vi∉Vi nên ∃ ti∈R : vi.ti= wi và Viti = (0) (ở đây ti = rs ở trên)

Đặt t = t1+t2+…+tn thì ta có vit = wi (i = 1,2,…,n) nên R dày đặc trên M.

Giả sử V là không gian con hữu hạn chiều của M trên Δ và m∈M\V. Ta

chứng minh rằng tìm được r∈R sao cho Vr = (0) nhưng mr ≠0. Ta sẽ chứng

m ≠∀

RrVm , ∈∃∉

≠

minh bằng qui nạp theo số chiều của V trên Δ.

(do mR = M . DimV = 0 ⇒ { } 0

⇒∃r∈R:mr≠0)

. Gọi V=V0+ωΔ với dimV0 = dimV-1, ω∉V0 .Theo giả thiết qui nạp nếu đặt

xVRx /

∈

})0(

0 =

A(V0) ={ thì y∉ V0 ⇒∃ r∈A(V0) sao cho yr ≠0 ⇒yA(V0)≠0.

Tương đương điều này là :∀r∈A(V0) mà yr = 0 ⇒ y∈V0 tức là nếu

)

)0(

m.A(V0)=(0) thì m∈V0.

0V∉ω nên

0 ≠VAω

)

.Mặt khác Ta có A(V0) là ideal phải của R , vì

0VAω (.

là modul con của M bất khả qui nên ω.A(V0) = M.

Giả sử phản chứng rằng với m∈M\V mà Vr =(0) thì kéo theo mr = 0, ta

tìm sự mâu thuẫn.

Ta định nghĩa f:M→M như sau: Với x∈M = ωA(V0) thì x = ωa với

a∈A(V0) ta đặt f(x) = ma .Giả sử x = ωa = ωa’ ⇒ ω(a-a’) = 0 ⇒ a-a’ linh hoá

V0 và linh hoá ω nên a-a’ linh hoá V ⇒ V(a-a’) = (0) ⇒ m(a-a’) = 0 ⇒

ma = ma’⇒ f(ωa) = f(ωa’) do đó f được định nghĩa tốt . Rõ ràng f∈E(M),

hơn nữa nếu x= ωa với a∈A(V0) mà A(V0) là ideal phải của R nên

ar∈A(V0),∀r∈R, khi đó xr = (ωa).r = ω(ar) ⇒ f(xr) = m(ar) = (ma)r = f(x).r

⇒ f∈EndRM = Δ.

Do đó với a∈A(V0) ta có ma = f(ωa) = f(ω).a ⇒ (m-f(ω)).a = 0 ,

∀a∈A(V0) ⇒(m-f(ω))A(V0) = 0 ⇒ m-ωf∈V0 (theo giả thiết qui nạp) ⇒

m∈V0+ωΔ = V (vô lý). Định lý đã được chứng minh.

Sau đây ta sẽ xét chiều ngược lại của định lí dày đặc.

I.6.5.Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của

vành EndDV thỏa điều kiện : với v≠ 0 ,v∈V và ω∈V tồn tại r∈R sao cho

ω = v.r thì R là vành nguyên thủy.

Chứng minh: V là R modul với phép nhân ngoài: V.R → V

(v,r) (v)r (cid:54)

V là R modul bất khả qui vì với 0 ≠ V1 là modul con của V ta có V1R⊂ V1

∃ v ≠ 0 ,v∈V1,∀ω∈V:∃r∈R:ω = vr∈V1 ⇒ V=V1 ⇒ V là R modul bất khả

qui.Hơn nữa R ⊂ E(V) nên V là R modul bất khả qui trung thành do đó R là

vành nguyên thủy.

I.6.6. Định lý: Nếu V là không gian vectơ trên thể D và R là vành con của

vành EndDV thỏa điều kiện : Với v1,v2 ∈ V độc lập tuyến tính trên D và ω1,

ω2 ∈V tồn tại r∈R sao cho v1r = ω1,v2r = ω2 thì R dày đặc trong V và vành

giao hoán tử của R trên V trùng với D.

Chứng minh : Theo định lý I.6.5 R là vành nguyên thủy do đó R dày đặc

trong V, giao hoán tử của R trên V là C(V)= Δ=EndRV .Vì R ⊂ EndDV nên

mọi phần tử của D giao hoán với mọi phần tử của R nên D ⊂ Δ.Giả sử

D≠Δ,nếu f∈Δ\D và nếu 0≠v∈V thì v và vf độc lập tuyến tính trên D vì nếu v

và vf phụ thuộc tuyến tính thì v = vf.α , α∈D ⇒ v(1-fα) = 0⇒1-fα = 0 ⇒

f = α-1∈ D (vô lí).v,vf độc lập tuyến tính trên D nên tồn tại r∈R:vr = 0 và

(vf)r = v.Vì f∈Δ =EndRV nên (vf)r = (vr)f = 0 ⇒ v = 0 (vô lí) .Vậy Δ = D.

Định lý dày đặc cho phép mô tả nhiều kết quả về vành nguyên thuỷ và mối

quan hệ của chúng với vành các ma trận.

I.6.7.Định lý :

Nếu R là vành nguyên thuỷ thì đối với thể Δ = C(M) hoặc R đẳng cấu với

Δn vành các ma trận vuông cấp n trên Δ hoặc với mọi m∈N tồn tại vành con

Sm của R sao cho Δm là ảnh đồng cấu của Sm.

Chứng minh:

Δ≅

= dim

Theo định lý dày đặc R dày đặc các phép tính biến đổi tuyến tính của M trên

MEnd Δ

với . Nếu M Δ. Nếu M hữu hạn chiều trên Δ thì

không hữu hạn chiều trên Δ , gọi v1,v2,…,vm,… là hệ vô hạn các vectơ độc lập

⊂

tuyến tính của M trên Δ.Đặt Vm= v1Δ+v2Δ+…+vmΔ là không gian con của M

{ VxVRx ∈= m

}m .

sinh bởi các vectơ v1,v2,…vm và gọi

V m

Δ→:φ End

x (cid:54)

Đặt

End Δ

Ker

xVS /

có tạo ảnh x∈R thoả φ là toàn cấu do tính dày đặc, thật vậy với x1∈

{ x ∈=

})0(

W mφ =

Δ≅

thì vix= vi x1 ⇒ = x1 (với i =1,2,…m).

W m

. Vậy Δm là ảnh đồng cấu của Sm.

Sau đây ta sẽ giới thiệu một lớp các vành chứa lớp các vành nguyên thủy, đó là vành nguyên tố.

I.7. Vành nguyên tố:

I.7.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu aRb = (0)

(a,b∈R) thì a = 0 hoặc b = 0

I.7.2. Bổ đề:Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu thỏa một trong các

điều kiện sau: 1) 2) 3) Linh hoá phải của ideal phải khác 0 của R bằng (0). Linh hoá trái của ideal trái khác 0 của R bằng (0). Nếu A,B là ideal của R và AB=(0) thì A=(0) hoặc B=(0).

I.7.3. Mệnh đề:

Vành nguyên thuỷ là vành nguyên tố .

Chứng minh : Giả sử ρ ≠(0) là ideal phải của vành nguyên thuỷ R và ρa = (0)

ta chứng minh a = 0. Vì R nguyên thuỷ nên tồn tại M là R modul bất khả qui trung thành. Vì từ

Mx = 0 ⇒ x= 0 nên Mρ≠(0).Mρ là modul con của M nên Mρ = M. Từ đó suy

ra Ma = Mρa = (0) ⇒ a = 0. Vậy R là vành nguyên tố.

∞

)( xf

∈

Nhận xét:Chiều ngược lại của mệnh đề I.7.3 không đúng,chẳng hạn với K

/ Kaxa i i

= ∑

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

∉)(

x sinh bởi x là ideal tối đại duy nhất vì

là một trường R=K[[x]]= là vành chính nên R là vành

)0(≠

thì khả nguyên tố .Ideal

nghịch trong R do đó R là vành địa phương và J( R)= x .R không là

vành nửa đơn nên R không là vành nguyên thuỷ.

I.7.4.Bổ đề:

Phần tử khác 0 trong tâm của vành nguyên tố R không là ước của 0

trong R.Từ đó nếu tâm Z của vành nguyên tố R có đơn vị là khác 0 thì Z là

một miền nguyên.

I.8.Vành đơn :

I.8.1. Định nghĩa: Vành R gọi là vành đơn nếu R2≠(0) và R không có ideal

nào khác ngoài (0) và R .Một thể là một vành đơn.

I.8.2. Nhận xét :

a/ Vành R đơn và Artin thì R là nửa đơn. Thật vậy J(R) là ideal lũy linh (định lý I.5.3) Vì R đơn nên R2= R suy ra R

không lũy linh, do đó J(R)= (0).Vậy R nửa đơn.

b/ Vành đơn có đơn vị là vành nửa đơn .

RJ (

)

RJ (

)

)0(

⇒

R ⇒≠

Thật vậy nếu R có đơn vị thì trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ nên

tồn tại modul bất khả qui (do R đơn ).

Vậy R nửa đơn.

c/ Vành R vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thuỷ. Thật vậy R nửa

đơn nên J(R) = (0), do đó trong R tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ.

Mà (ρ:R) là ideal hai phía chứa trong ρ nên (ρ:R) = (0) (do R đơn), suy ra R

là vành nguyên thuỷ ( theo định lý I.6.2).

I.8.3. Định lý (Wedderburn-Artin):

Nếu R là vành đơn Artin thì R đẳng cấu với Dn là vành các ma trận

vuông cấp n trên một thể D.Hơn nữa n là duy nhất và D tồn tại duy nhất sai

khác một đẳng cấu.Ngược lại với thể D bất kì , Dn là vành đơn Artin.

Để làm rõ khái niệm dày đặc trong đại số theo nghĩa tôpô,trong chương

II tiếp theo sẽ trình bày tôpô hữu hạn và tôpô Zariski.

CHƯƠNG II: TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI.

II.1.Một số khái niệm cơ bản về không gian tôpô.

II.1.1. Tôpô trên một tập hợp. Tập mở.

II.1.1.1. Định nghĩa:

Cho tập X ≠ ∅, ký hiệu ℘(X) là họ tất cả các tập con của X.

a) Một họ τ các tập con của X (τ ⊂ ℘(X)) gọi là một tôpô trên X nếu:

i) Tập hợp X và tập rỗng ∅ thuộc τ.

∈τ

ii) Hợp của một số tuỳ ý các tập thuộc τ là tập thuộc τ :

∪

I i ∈

. Gi ∈τ ( i∈I) ⇒

,...,2,1

)

∈

( τ

⇒

∈

∩

1 =

iii) Giao của hữu hạn tập thuộc τ là tập thuộc τ:

b) Cặp (X, τ) với τ là tôpô trên X gọi là không gian tôpô; mỗi tập G∈τ

gọi là tập mở đối với τ hay τ-mở.

II.1.1.2. Ví dụ:

a) Trên mỗi tập X ≠ ∅ luôn tồn tại các tôpô :

}X,∅=τ {

- Tôpô thô

- Tôpô rời rạc τ = ℘(X)

b) Cho tập vô hạn X. Ta định nghĩa họ τ như sau:

G∈τ khi và chỉ khi G = ∅ hoặc X \ G hữu hạn . Họ τ là một tôpô gọi là

tôpô bù hữu hạn.

II.1.2 . Tập đóng :

Tập hợp dạng X \ G với G∈τ gọi là đóng đối với τ hay τ-đóng.

Vậy: F đóng ⇔ X \ F mở. Khi đó ta có:

i) X , ∅ là các tập đóng.

Ii ∈

ii) Fi là tập đóng với mọi i∈I thì ∩ là tập đóng.

là tập đóng. iii) Fk là tập đóng với k =1,2,…,n thì ∪

II.1.3 . Cơ sở của tôpô:

II.1.3.1. Định nghĩa: Cho tôpô τ trên X. Họ B gọi là cơ sở của τ nếu :

B ⊂ τ và mỗi G∈τ , G là hợp của một họ các tập con của B.

′∈ BB

∀G∈τ , ∃ B’⊂ B: G = ∪ B

II.1.3.2. Ví dụ:

a) Họ các khoảng mở là cơ sở của các tôpô thông thường của R.

b) Họ các khoảng mở hữu hạn với đầu mút hữu tỉ là cơ sở của tôpô thông

thường của R.

II.1.3.3. Định lý : Họ B ⊂ τ là cơ sở của tôpô τ khi và chỉ khi nó có tính

chất: ∀G∈τ, ∀x∈G, ∃B∈B :x∈B ⊂ G.

II.1.3.4. Định lý : Họ B các tập con của X là cơ sở của một tôpô trên X

khi và chỉ khi có hai tính chất sau :

B∈B

i) X= ∪ .

ii) ∀B1,B2∈ B,∀x∈B1∩B2,∃B∈ B :B⊂ B1∩B2

II.1.4. Cơ sở lân cận:

G ∈∃

:τ

VGx ⊂∈

II.1.4.1. Định nghĩa: Cho không gian tôpô (X,τ) . Tập V ⊂ X gọi là một

lân cận của x nếu . Họ tất cả các lân cận của x ghi là Ux.

II.1.4.2. Mệnh đề: Họ Ux có các tính chất :

i) ∀V∈ Ux thì x∈V

ii) Nếu V1,V2 ∈ Ux thì V1∩V2∈ Ux

iii) Nếu V∈ Ux và V⊂ U thì U∈ Ux

iv) ∀ V∈ Ux ,∃W∈ Ux sao cho W⊂ V và W∈ Uy,∀y∈W.

II.1.4.3. Định lý :

Tập G là tập mở khi và chỉ khi G là lân cận của mọi điểm của nó.

II.1.4.4. Định nghĩa : Họ con B x⊂ Ux gọi là một cơ sở lân cận của x

nếu:

−

∀V∈ Ux,∃W∈ B x:W⊂ V

1 n

⎞ n Ν∈⎟ ⎠

⎫ ⎬ ⎭

⎧ ⎛ ⎜ ⎨ ⎝ ⎩

là một cơ sở lân cận của x trong tôpô Ví dụ :Họ B x=

thông thường của R.

II.1.4.5. Định lý :

1) Cho không gian tôpô X và với mỗi x∈X ta có B x là một cơ sở lân cận của

x. Khi đó :

i) x∈V với mọi V∈ B x

ii) ∀V1,V2∈ B x,∃V∈ B x:V⊂ V1∩V2.

iii) ∀V∈ B x,∃W∈ B x:∀y∈W,∃U∈ B y:U⊂ V.

2) Ngược lại nếu với mỗi x∈X được gắn với họ B x các tập con của X thoả

mãn i) , ii), iii) thì tồn tại duy nhất một tôpô trên X nhận B x là cơ sở lân

cận của x.

II.1.5 . Tôpô cảm sinh –không gian con:

II.1.5.1. Định nghĩa:

∩ GAG

τ∈

Cho không gian tôpô (X, τ) và tập A⊂ X.

là một tôpô trên A gọi là tôpô cảm sinh của τ trên A. Họ τA={}

Không gian tôpô (A, τA) gọi là không gian tôpô con của (X, τ)

Ví dụ : Nếu τ là tôpô rời rạc trên X và A⊂ X thì τA là tôpô rời rạc trên A.

II.1.5.2. Mệnh đề:

Giả sử τA là tôpô cảm sinh của τ trên A . Khi đó :

i) D là τA-mở ⇔∃ G là τ-mở:D = G∩A

ii) D là τA-đóng ⇔∃F là τ-đóng :D = F∩A

iii) D là τA-lân cận của a ⇔∃V∈Ua:D = A∩V

II.1.6. Bao đóng , điểm dính:

II.1.6.1. Định nghĩa: Cho A⊂ X

a) Điểm x gọi là điểm dính của tập A nếu ∀V∈Ux thì V∩A ≠∅

b) Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A .

Hiển nhiên: A⊂ A

II.1.6.2. Định lý :

A là tập đóng nhỏ nhất chứa A.

ii) A là tập đóng khi và chỉ khi A = A .

A ⊂⇒

Hệ quả:

AA =

i) A⊂ B

BABA ∪=∪

ii)

iii)

B ⊃ A

II.1.6.3.Định nghĩa:

Tập B⊂ A gọi là trù mật ( dày đặc) trong A nếu

Ví dụ: Q trù mật trong R

II.1.7. Ánh xạ liên tục:

II.1.7.1. Định nghĩa:

)

(

VWfUW :

∈∀

∈∃

⊂

Cho các không gian tôpô (X,T),(Y,S) và ánh xạ f: X→Y.

,)( af

−

thì

∈∀

) UV ∈

hoặc a) Ta nói f liên tục tại a∈X nếu :

a .

af (

)

nếu:

b) Nếu f liên tục tại mọi điểm của X thì ta nói f liên tục trên X.

II.1.7.2. Mệnh đề:

Cho các không gian tôpô X,Y,Z. Nếu ánh xạ f:X→Y liên tục tại a, ánh

xạ g:Y→Z liên tục tại b = f(a) thì ánh xạ hợp g0f :X→Z liên tục tại a.

II.1.7.3 Định lý : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ f:X→Y, các

mệnh đề sau là tương đương:

(

)

AfX :

Af ) (

A ⊂∀

⊂

1) f liên tục trên X

3) f-1(B) là tập đóng với mọi B đóng . 4) f-1(B) là tập mở với mọi B mở.

(1 V

)

⇒ − f

A ≠∩

)Ax ∈

Af ( )

Af ) (

Af (

Af ) (

V ∩⇒

∈⇒∅≠

⊂

Chứng minh: 1)⇒2) Xét tuỳ ý y= f(x)∈f( A ), x ∈ A . Ta có : ∀V∈Uy ta có f-1(V) ∈Ux

. Vậy ∅ (vì

1 −

(

( Af

))

(

)

⇒

⊂

A =⇒⊂⇒

( Af

)

( Af )

(

))

⊂

=⊂

2)⇒3) Xét tập đóng B⊂Y, đặt A=f-1(B), ta chứng minh A đóng .Từ 2)

. suy ra

1 −

BY \ (

)

fX \

(

)

(1 B

)

⇒

f −⇒

Vậy A đóng .

đóng mở. 3)⇒4) B mở ⇒Y\B đóng

4)⇒1) Xét x∈X tuỳ ý. Giả sử V là lân cận của f(x) , khi đó tồn taị G mở

trong Y sao cho f(x)∈G⊂V suy ra f-1(V) chứa tập mở f-1(G) chứa x và do đó f-1(V) là lân cận của x. Vậy f liên tục tại x.

Hệ quả: Để có 1) chỉ cần có 4) đúng cho mọi B thuộc một cơ sở của tôpô

trên Y.

II.1.8. Tích của các không gian tôpô:

II.1.8.1. Định nghĩa :

)

iTG ( ∈

∈

Cho X ≠∅ và họ các không gian tôpô (Xi,Ti), i∈I, các ánh xạ fi:X→Xi.

(1 − i Gf

∩

Ji ∈

là cơ sở của Họ các tập dạng: với J⊂ I, J hữu hạn,

một tôpô trên X, gọi là tôpô đầu xác định bởi họ (fi) , i∈I .

iX và họ các ánh

II.1.8.2. Định nghĩa :

i ∈I

Cho không gian tôpô (Xi,Ti),i∈I. Xét tập tích X =∏

xạ chiếu pi:X→Xi, i∈I.Tôpô đầu trên X xác định bởi họ ánh xạ (pi) , i∈I gọi là

)

tôpô tích trên X. Khi đó cơ sở của tôpô tích là họ các tập có dạng :

(1 − i Gp

∩

∏

Ji ∈

với J⊂I, J hữu hạn, Gi∈Ti ∀i∈J hoặc với Gi∈Ti ,

∀i∈J, J hữu hạn.

∏

1 =

Đặc biệt: Nếu I hữu hạn thì cơ sở của tôpô tích trên là họ các tập

∏

1 =

có dạng: trong đó Gi∈Ti (i =1,2,3,…,n)

II.1.8.3. Tính chất:

Ii ∈

xét tôpô tích . Giả Cho các không gian tôpô Xi (i∈I) , trên ∏

A i

∏∏ A = i

i I ∈

. sử Ai ⊂ Xi khi đó :

Sau đây chúng ta sẽ xây dựng một tôpô để khái niệm dày đặc trong đại

số được xem xét theo nghĩa tôpô và một số tính chất về tính liên tục làm cơ sở

để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur,đó là tôpô hữu hạn trên tập các

ánh xạ từ X vào Y.

II.2.Tôpô hữu hạn: Kí hiệu YX là tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y Với f∈YX, xét họ Bf các tập con của YX là : Vf = {g∈YX/g(xi)= f(xi);∀xi∈A; A hữu hạn ,∅ ≠A⊂ X}

∈

A ⊂∃⇔

Do đó : , A hữu hạn: gxi = fxi, ,∀xi∈A

II.2.1.Mệnh đề:

Tồn tại tôpô trên YX nhận họ Bf làm cơ sở lân cận của f.

Chứng minh:

Ta chứng minh Bf thoả i) ii) iii) định lý II.1.4.5

i) Rõ ràng f∈Vf, ∀Vf∈Bf

ii) ∀V1,V2∈Bf ta có:

V1={g∈YX/gxi = fxi ;∀xi∈A; A hữu hạn };

V2 = {g∈YX/gxi = fxi ;∀xi∈B; B hữu hạn } Khi đó V1∩V2={g∈YX/gxi = fxi;∀xi∈A∪B}∈Bf

Vậy ∀V1,V2∈Bf, ∃V=V1∩V2∈Bf:V⊂V1∩V2.

iii) ∀V∈Bf, ∃W=V∈Bf:∀g∈W, ∃U∈Bg:U⊂V

{ h

} A

Thật vậy, ∀g∈W thì gxi = fxi ∀xi∈A, A hữu hạn,∃U∈Bg với

hx i

gx i

x ∈∀ i

.Rõ ràng U⊂V vì ∀h∈U hxi = gxi ,∀xi∈A mà

gxi = fxi, ∀xi∈A ⇒ hxi = fxi, ∀xi∈A ⇒ h∈V. Vậy theo định lý II.1.4.5 phần 2/ tồn tại duy nhất một tôpô trên trên YX nhận Bf là cơ sở lân cận của f.Tôpô này gọi là tôpô hữu hạn trên tập YX.

Gọi V là không gian vectơ trên thể Δ và giả sử EndΔV là tập hợp các phép

biến đổi tuyến tính của V trên Δ.

II.2.2.Mệnh đề: EndΔV là tập đóng trong không gian tôpô VV.

End

f ∈∀

Chứng minh:

V Δ =

V Δ

End

∩

≠

Ta chứng minh .Thật vậy ta có :

V f

V ∈∀ f

ΔV

. ∅ ,

xgfy ,

(

)

xf (

End

∩

≠

∀x,y∈V ta chứng minh f(x+y)=f(x)+f(y).Với x,y cố định, chọn lân cận Vf

{ Vg ∈=

}) ,

V f

ΔV

của f ∅

Vh ∩∈∃⇒

End ⇒ hx = fx, hy= fy, h(x+y) = f(x+y).Vì h∈ EndΔV nên

∈∀

α,Vx

Δ∈

( x α

) xgfx ( α =

{ Vg ∈=

})

)

xhfx (,

End

x ( α

hx =⇒

) α =

∩

≠

Vh ∩∈∃⇒

ta chọn h(x+y) = h(x)+h(y) ⇒ f(x+y) = f(x)+f(y).Với

V f

ΔV

xh )(

xf )(

xh ) ( = αα

⇒

( ) = αα

∅

End

∈

⇒

.Vậy Vì h∈EndΔV nên

V Δ

EndΔ⇒

là tập đóng trong tôpô hữu hạn VV.

Tôpô hữu hạn trên Vv cảm sinh tôpô trên EndΔV theo mệnh đề II.1.5.2

D là tập mở trong EndΔV khi và chỉ khi tồn tại G mở trong VV sao cho

D = G∩ EndΔV.

II.2.3.Mệnh đề:

R tác động dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ khi và chỉ

khi R dày đặc ( trù mật) trong EndΔV theo nghĩa tôpô, tức R = EndΔV

Chứng minh:

(⇒) Giả sử R dày đặc trong EndΔV, khi đó mọi tập hữu hạn x1,…,xn ∈V độc

lập tuyến tính trên Δ và y1,y2,…,yn ∈V thì tồn tại r∈R sao cho rxi = yi

{ ,...,2,1∈

∀i

≠∩ R

∈∀f

Ta chứng minh R = EndΔV - Rõ ràng ⊂R EndΔV(do R ⊂ EndΔV và EndΔV đóng trong VV )

V f

(∈∀ f

BB f

là họ lân cận - ∅, EndΔV ta chứng minh f∈ R tức

End

của f trong tôpô cảm sinh trên EndΔV)

{ g ∈=

x ∈∀ i

V Δ

,A hữu hạn,A ⊂ V Với Vf∈Bf ta có

,...,2,1

End

là hệ độc lập tuyến tính tối đại trong A thì Giả sử x1,x2,…,xn

{ g ∈=

} n

α i

+ = 1

∑

1 =

(Vì nếu thì g(xn+1) =

f(xn+1)).Với x1,x2,…,xn ∈V là Δ độc lập tuyến tính và f(x1),f(x2),…,f(xn) ∈V

f ∈⇒

≠∩⇒∈⇒

End

.Vậy ∅ thì ∃r∈R sao cho rxi = fxi , i =1,2,…,n

V Δ

End

V Δ

End Δ

,ta chứng minh R dày đặc trong theo nghĩa đại (⇐) Giả sử

Δ -độc lập tuyến tính và y1,y2,…,yn∈V tùy ý .Ta

∈f

số.Giả sử x1,x2,…,xn là

chứng minh tồn tại EndΔV sao cho f(xi) = yi i = 1,2,…,n.Gọi V1 là không

gian con sinh bởi các phần tử x1,x2,…,xn thì V=V1⊕V2.Tồn tại duy nhất ánh

xạ tuyến tính f1:V1→V sao cho f1(xi) = yi i = 1,2,…,n.Ta chọn phép biến đổi

f 1

V 1

,...,2,1

End

∈f

R , chọn

và = 0 thì ∈f tuyến tính f:V→V thỏa EndΔV và f(xi) = yi

{ g ∈=

. i = 1,2,…,n. EndΔV =

Vf ∩ R ≠ ∅ ⇒ ∃r∈ Vf ∩ R ta có rxi = fxi = yi; i= 1,2,…,n.Vậy R dày đặc

trong EndΔV theo nghĩa đại số.

II.2.4. Mệnh đề:

Nếu L= EndΔV là đại số trên K thì các ánh xạ : (l,m)→ l+m; (l,m)→ lm;

l→αl (α∈K) là các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn.

Chứng minh:

(cid:54)

a/ Xét ánh xạ ϕ: L×L→L

(l,m) l+m

Ta chứng minh ϕ liên tục.Mọi lân cận của ϕ(l,m)= l+m:Vϕ(l,m) ta có :

Vl+m ={ h∈L/ hxi = (l+m)(xi) , ∀xi∈A,A hữu hạn }.Khi đó tồn tại các lân cận

Vl của l và Vm của m : Vl ={h1∈L⏐ h1xi = lxi ,∀xi∈A },

Vm={h2∈L⏐ h2xi = mxi ,∀xi∈A }

Khi đó Vl×Vm là lân cận của (l,m) và ϕ(Vl×Vm) ⊂ Vl+m .Thật vậy với h1∈Vl,

h2∈Vm thì h1xi =lxi; h2xi = mxi∀xi∈A ⇒(l+m)xi = lxi+mxi = (h1+h2)xi,∀xi∈A

⇒h1+h2∈Vl+m ⇒ϕ(h1,h2)∈ Vl+m ⇒ ϕ(Vl×Vm) ⊂ Vl+m ⇒ ϕ liên tục

b/ Xét ánh xạ ψ: L×L → L

(l,m) lm (cid:54)

Ta chứng minh ψ liên tục. Mọi lân cận của ψ(l,m) = lm :Vψ(l.m)=Vlm .Ta có:

Vlm={h∈L/hxi=lmxi,∀xi∈A,A hữu hạn}. Khi đó tồn tại các lân cận

)

(

} A

∈

mx i =

x ∈∀ i }A

V l V m

{ h ∈= 1 { h = 2

hL / 1 xhL / i

i x ∈∀ i

mx i

Vl của l và Vm của m:

Khi đó Vl×Vm là lân cận của (l,m) và ψ(Vl×Vm)⊂Vlm.Thật vậy với

(h1,h2) ∈ Vl×Vm ta có : h1h2xi = h1mxi = lmxi ,∀xi ∈A; ⇒ h1h2∈Vlm

(cid:54)

⇒ ψ(h1,h2) ∈Vlm ⇒ ψ(Vl×Vm)⊂ Vlm ⇒ ψ liên tục.

L →:γ

Tổng quát: ánh xạ biến (l1,…,ln) l1l2…ln là liên tục.

l α(cid:54) (α∈K)

c) Xét ánh xạ

Chứng minh γ liên tục.

⊂)

∀Vαl =⎨g∈L/gxi = αlxi,∀xi∈A , A hữu hạn⎬.

( V γ l

V l α

. Thật Khi đó tồn tại lân cận của l:Vl = ⎨g/gxi =lxi,xi∈A⎬.Khi đó

)

⇒

⊂

vậy:∀g∈Vl ta có gxi = lxi ∀xi∈A và γ(g)= αg∈Vαl vì αgxi = α.lxi∈Vαl

V ( γ l

V l α

⇒ γ liên tục.

{ }LKf ∈

...

(

End

)

→×××ϕ

(cid:54)

,...,

)

,...,

)

d) Từ a) b) c) suy ra rằng nếu f là đa thức thì ánh xạ:

l ,( 1

lf ,( 1

là liên tục.

II.2.5. Mệnh đề:

Nếu R là tập con dày đặc trong L = EndΔV và f là đồng nhất thức trên R

thì f cũng là đồng nhất thức trên L.

Ln →:ϕ

Chứng minh:

Xét L

(cid:54)

,...,

)

,...,

)

l ,( 1

lf ,( 1

)

( ϕ

⊂

( ϕ

là ánh xạ liên tục trong tôpô hữu hạn.

(

)

n L

⇒

n ϕ ⊂

L ϕ (

=⇒=

Áp dụng tính chất II.1.8.3 và định lý II.1.7.3 ta có

)

⇒ nRϕ (

{ }0 .

Vì R dày đặc trong L nên .

(

)

,0 ∈∃≠∀

≠

Vì f đồng nhất thức trên R nên f(l1,…,ln) = 0 ,∀li∈R

xfVx : 1 1

f 1

)

⊂

nRϕ (

Ta chứng minh { là tập đóng trong L. Thật vậy

}

{ }0\

{ } { } 0 0 ⇒=⇒

{ }0

{ }0⇒ là tập đóng

V f

{ gxLg ∈= 1

xf 11

(

)

=nLϕ

Khi đó

{ },0

Vậy tức f(l1,l2,…,ln) = 0,∀li ∈L ⇒ f là đồng nhất thức trên L.

II.3.Tôpô Zariski:

II.3.1. Định nghĩa :

Gọi V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường vô hạn K và

V →

e1,e2,…,en là cơ sở của V. Ta định nghĩa một hàm đa thức f trên V là ánh xạ:

,...,

)

α (cid:54) e i

( ααα n 2

1 =

∑

trong đó f(x1,x2,…,xn)∈K[x1,x2,…,xn]: vành đa thức n ẩn trên trường K.

Kí hiệu P(V) là tập các hàm đa thức thì P(V) là đại số trên K với phép

cộng, nhân và nhân vô hướng các hàm số.

Với cơ sở e1,…,en cho trước ta có đẳng cấu từ K[x1,…,xn] đến P(V)

K là trường vô hạn nên từ f(α1,…,αn) = 0 ,∀αi∈K suy ra f(x1,x2,…,xn) = 0

II.3.2. Định nghĩa :

V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K. e1,e2,…,en là cơ sở của

,...,

)

∈

≠

α i

fVe i

( ααα n 2

∑

1 =

⎫ ⎬ ⎭

⎧ ⎨ ⎩

V trên K. Với f(x1,x2,…,xn)∈K[x1,x2,…,xn], đặt

II.3.3. Bổ đề:

∪

Mf ∈

Họ τ các tập con của V có dạng với M⊂ K[x1,x2,…xn] tạo thành một

}

{ fU

,...,

]

xKf [ 1 ∈

là một cơ không gian tôpô trên V, gọi là tôpô Zariski. Khi đó họ

sở của τ.

Chứng minh:

- Rõ ràng U0= ∅,U1=V nên ∅,V∈τ

- Theo định nghĩa τ rõ ràng hợp tuỳ ý của một họ thuộc τ là thuộc τ.

τ∈ , khi đó:

∪∪ U , f

Mf ∈

Ng ∈

)

U (

∩

τ∈

- Giả sử

)

(

)

gf .

∪

Mf ∈

Ng ∈

Mf ∈ Ng ∈

,...,

)

≠

x n

(

xf ( 1 ,...,

)

≠

xg ( 1

x n

⎧ ⎨ ⎩

) Vì Uf ∩Ug= Uf.g ( do f(x1,…,xn).g(x1,…,xn) ≠0 ⇔

}

,...,

]

xKf [ 1 ∈

là một cơ sở của τ. Vậy (V, )τ là không gian tôpô và họ {

II.3.4. Mệnh đề:

Xem K là không gian vectơ một chiều trên K với tôpô Zariski, khi đó

hàm đa thức được định nghĩa ở II.3.1 là liên tục đối với tôpô Zariski.

Chứng minh:

(

\ UK

)

KD =

Tập đóng của K là K và các tập con hữu hạn của K. Thật vậy gọi D là tập

∪

∩

Mf ∈

(

)

đóng của K thì

≠ ∅ khi đó

\ fUK

∪

∩

Mf ∈

K U \

x K f

- Nếu D ≠ K thì hữu hạn vì

{ = ∈

} x = ( ) 0

xK ⊂ . Xét f(x)= (x-x1)…(x-xm) thì A=K\Uf là

hữu hạn với f ≠ 0.

}

x 1,..., m

- Ngược lại giả sử A={

tập đóng. Xét f(x1,…,xn)∈K[x1,…,xn] và ánh xạ :

V →:ϕ

( 1 ,..., αα n

(cid:54)∑ e α i i

1 =

)

∈

Lấy a∈K

}

α i

fVe i

,..., ( 1 αα n

∑

fVx /(

)(

)

∈=

−

Trường hợp 1: nếu a∉Imϕ thì ϕ-1(a) = ∅. Trường hợp 2: nếu a∈Imϕ thì ϕ-1(a) ={ x

,..., αα n

,...,

{ = V \ Uf-a là tập đóng.

}

{ , aa 1 2

Imϕ∈ia )

1 −

(

)

A )

UV \ (

1 − ϕ

thì Với A= là tập đóng bất kì của K(với

iaf −

∪ϕ

∪

1 =

là tập đóng do đó theo định lý II.1.7.3 ϕ là ánh

xạ liên tục.

II.3.5. Mệnh đề:

Mọi tập mở khác rỗng trong V thì dày đặc trong tôpô Zariski . Từ đó suy

ra hàm đa thức triệt tiêu trên một tập mở khác rỗng thì cũng triệt tiêu trên V.

Chứng minh:

Lấy tập mở khác rỗng Uf (f ≠ 0) thuộc cơ sở của tôpô Zariski .

U f = .

)

≠

Ta chứng minh

e α i i

( ,..., αα n

∑

1 =

⎫ ⎬ ⎭

⎧ ⎨ ⎩

Ta có

fUx ∈

=⇒=

∀x∈V ta chứng minh .Thật vậy ∀Ug là tập mở trong cơ sở chứa x, khi

U f

với mọi tập đó:Ug∩Uf = Ufg ≠ ∅ ( vì f.g ≠ 0 nên Ufg ≠ ∅)⇒

mở U≠ ∅ của V .Vậy mọi tập mở khác rỗng trong V thì dày đặc trong tôpô

V →:ϕ

Zariski.

)

Với f(x1,…,xn)∈K[x1,…,xn] ánh xạ

,..., ( 1 αα n

α (cid:54)∑ e i

1 =

là liên tục.

)

U ϕ ⊂ U ( ( ϕ

}0{) =

U≠∅ là tập mở của V mà ϕ(U) = {0}.

}0{)

⇒

( U ϕ V ( ) ϕ =

⇒=

Khi đó theo định lý II.1.7.3 (do { }0 là tập đóng trong K)

f triệt tiêu trên V.

...

(

End

)

→×××ϕ

(cid:54)

,...,

)

,...,

)

Sau đây chúng ta sẽ áp dụng tôpô hữu hạn và tính chất liên tục của

l ,( 1

lf ,( 1

để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur.

CHƯƠNG III.ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR:

III.1.PI đại số trên vành giao hoán có đơn vị:

III.1.1. Định nghĩa : A được gọi là đại số trên vành giao hoán có đơn vị

K nếu A thoả các điều kiện sau:

a/ A là một vành có đơn vị.

b/ A là modul trên K.

c/ Với ∀a,b∈A,∀α∈K : α(ab) = (αa)b = a(αb)

Trong phần này nếu có thêm M là K-modul và M là A-modul với A là

K-đại số thì ta có mối quan hệ: α(ax) = (αa)x = a(αx) với α∈K, a∈A, x∈M.

Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử x1,x2,… Khi đó

,...

...

x x i i 2 1

x i r

X là tập tất cả các phần tử có dạng 1, Các phần tử của vị nhóm

...

X được gọi là các đơn thức. Hai đơn thức bằng nhau

x x i i 2 1

x i r

x x j 1

j 2

nếu và chỉ nếu i1=j1,i2=j2,…

1 là đơn vị đối với phép nhân và

(

...

)(

...

)

...

x x i i 2 1

x i r

x x j 1

j 2

x x i i 2 1

x x x j i 1 r

j 2

{ }XK

l là đại số tự do sinh Ký hiệu à đại số vị nhóm của X trên K.

{ }XK

X →:σ

có tính chất cơ bản như sau: Với A là bởi tập đếm được các phần tử .ix

một đại số bất kì và ánh xạ thì luôn tồn tại duy nhất đồng cấu

{ }XK

η: →A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

i.ησ =

X K{X}

σ η

,...,

{ }XK

{ xxK 1

}mx

,...,

là đại số con của sinh bởi tập con hữu hạn Kí hiệu

}

{ }XK

{ , xx 1

}mx

)mi ≤≤

và nếu f∈ ,f∈K ta viết f = f(x1,…,xm). Ảnh của f

x → i

qua đồng cấu η với tương ứng ta viết là f(a1,…,am). (1i

III.1.2. Định nghĩa:

ai ∈∀

A f được gọi là đồng nhất thức trên A nếu f(a1,a2,…,am) = 0 với

III.1.3. Ví dụ:

1) Mọi đại số giao hoán thoả mãn đồng nhất thức f = [x1,x2] = x1x2 –x2x1

(

)

∀

2) Xét đại số ma trận vuông cấp 2 trên vành giao hoán có đơn vị M2(K). Chú ý rằng với a∈M2(K) có tra = 0 thì a2 giao hoán được với mọi ma trận ,tức a2 thuộc tâm của M2(K).

2 KMcba , ∈

và do đó Vì tr[a,b]=0 , ∀a,b∈M2(K) nên ta có [[a,b]2,c] = 0,

f = (x1x2 –x2x1)2x3 –x3(x1x2-x2x1)2 là đồng nhất thức trên M2(K), gọi là đồng

nhất thức Wagner.Phần sau chúng ta sẽ xây dựng đồng nhất thức trên Mn(K)

dựa trên đa thức tâm.

III.1.4. Định nghĩa:

Đa thức f(x1,x2,…,xm) được gọi là đa thức tâm trên A nếu f không là đồng

nhất thức trên A nhưng [f(x1,…,xm),xm+1] là đồng nhất thức trên A . Chẳng hạn đa thức (x1x2-x2x1)2 là đa thức tâm trên M2(K).

III.2. Đại số K{ } X

III.2.1. Một số khái niệm:

2 ...

( α≠

... + +

+ λ λ 1 2

λ n

λ λ 1 x x α 2 1

λ n x n

1) Bậc của đơn thức là .

2) Bậc của đa thức f∈K{ }X kí hiệu là degf là bậc lớn nhất của các đơn thức

có mặt trong f.

ix của đa thức f(x1,…,xn) là bậc của

ix khi xem f là đa thức theo

3) Bậc theo

ix , kí hiệu là deg

ix f.

biến

ix nếu tất cả các đơn thức của

4) Đa thức f∈K{ }X được gọi là thuần nhất theo

ix .

f đều có cùng một bậc theo

5) Đa thức f∈K{ }X được gọi là hoàn toàn thuần nhất nếu f thuần nhất theo

ix .

mọi

ix nếu

ix có mặt trong mọi đơn thức có mặt trong f

6) f gọi là trộn đều theo

ix .

và f gọi là trộn đều nếu nó trộn đều theo mọi

ix nếu bậc của x i trong mỗi đơn thức có mặt

7) f được gọi là tuyến tính theo

trong f đều bằng 1 và f được gọi là đa tuyến tính nếu nó tuyến tính theo

ix .

mọi biến

8) Chiều cao của đơn thức, là bậc của nó trừ số các biến có mặt trong đơn

thức đó.

9) Chiều cao của đa thức f, kí hiệu là ht(f) là chiều cao lớn nhất của các đơn

thức có mặt trong f.

Vậy f là đa tuyến tính khi và chỉ khi f trộn đều và có chiều cao bằng 0.

III.2.2. Bổ đề:

Mọi f∈K{ là tổng các đa thức được trộn đều fj sao cho:

a/ deg fj ≤ degf , htfj ≤ htf.

nếu f tuyến tính theo b/ fj tuyến tính theo

c/ Với mọi đại số A và nhóm con G của nhóm cộng A ,fj là G-giá trị

với nghĩa là fj(a1,…,am) ∈G, ∀ai∈A nếu f là G-giá trị.

Chứng minh:

Ta sẽ áp dụng qui nạp theo số t các có mặt trong f làm cho f không

được trộn đều theo . Nếu t = 0 thì f được trộn đều nên kết quả đúng.

Với t >0 giả sử f không trộn đều theo x1.

Đặt f1= f(0,x2,…,xm) và f2 = f-f1 .Khi đó f1 là tổng các số hạng trong f mà

x1 không có mặt do đó số các trong f1 và f2 không được trộn đều là nhỏ hơn

t. Theo giả thiết qui nạp bổ đề đúng cho f1 và f2 do đó bổ đề đúng cho f.

III.2.3. Định nghĩa:

{ }X được định nghĩa:

x xΔ

xΔ f(x1,x2,…,xm) = f(x1,…,xi-1,xi + xj,xi+1,…,xm) - f(x1,…,xm) –

)

mi ≤≤

trong K Cho f∈K{ }X , toán tử vi phân

x xΔ

. Nếu f tuyến tính theo thì f = 0. f(x1,…,xi-1,xj,xi+1,…,xm)

III.2.4. Bổ đề:

x xΔ

g là Nếu g là đơn thức có deg g >1 và xj không có mặt trong g thì

tổng của các đơn thức khác nhau gk trong đó xi , xj có mặt trong gk và có tính

chất nếu thay xj bởi xi trong gk thì gk trở thành g.

x xΔ

Từ bổ đề III.2.4 ta có deg g = degg và ht g < htg, từ đó ta có bổ đề sau:

III.2.5. Bổ đề:

x xΔ

f được trộn đều, Nếu f được trộn đều với deg f > 1 và deg f = 0 thì

x xΔ

deg f ≤ degf , deg f < htf và tập hợp các hệ số của f = deg f-1 ; ht ix

x xΔ

f là tập con của tập các hệ số của f.

III.3. Định lí Kaplansky-Amitsur

III.3.1.Định nghĩa: Một đa thức f được gọi là đồng nhất thức thực sự trên

A nếu f là đồng nhất thức trên A và có một hệ số của f không linh hóa A.Đại

số A có đồng nhất thức thực sự thì A được gọi là PI-đại số.

III.3.2.Bổ đề:

Nếu A có đồng nhất thức thực sự f thì A có đồng nhất thức đa tuyến

tính thực sự có bậc bé hơn hay bằng bậc của f.

Chứng minh: Áp dụng bổ đề III.2.2 với G = 0 ta có thể giả sử f được trộn

đều. Nếu htf = 0 thì f đa tuyến tính. Giả sử htf > 0 và tồn tại xi sao cho

deg f > 1.Ta có thể loại bỏ các hạng tử mà hệ số của chúng linh hóa A, giả

x xΔ

sử mọi hệ số khác 0 của f đều không linh hóa A. Xét f (với deg f = 0) là jx

x xΔ

đồng nhất thức thực sự trên A .Theo bổ đề III.2.5 deg f f ≤ degf , deg

x xΔ

f < htf.Áp dụng qui nạp theo chiều cao của đồng nhất thức f = deg f-1 ; ht ix

ta có kết quả.

III.3.3.Bổ đề:

F là đại số trên K thì Mn(F) không có đồng nhất thức thực sự có bậc

bé hơn 2n.

Chứng minh:

Giả sử A =Mn(F) có đồng nhất thức thực sự f có bậc d bé hơn 2n.Theo bổ

đề III.3.2 ta có thể giả sử f là đồng nhất thức thực sự đa tuyến tính bậc d < 2n.

...

x ππ π π π π d

1 2

∑ π

.Sắp xếp lại thứ tự các biến Giả sử f(x1,…,xd)=

α =d...12

xi ta có thể giả sử sao cho αA ≠ 0 với α∈K. Kí hiệu eij∈Mn(F) là ma

trận có phần tử ở hàng i cột j bằng 1∈F, còn các phần tử khác đều bằng 0 .

,...,

e 11 12 22

e n

, e n nn

−

có 2n-1 phần tử. Xét dãy d các ma Tập {

}

trận e11,e12,e22,e23,…,… Lấy tích d các ma trận theo đúng thứ tự trên ta được

)

k ≤≤

ma trận dạng e1k, còn lấy tích theo bất kì thứ tự khác thì bằng 0 . Do đó khi

thay x1→e11, x2→e12,… ta nhận được f(e11,e12,… ) = α e1k = 0 (với

)

[ ( α

e . .( α α ij

e e e i 1 1

k kj

e e k 1 1 i

e )] j k

.0Aα⇒ = (vô lý)

.( . e e α== k 1 i 1

). e kj

Với ta có ∀i,j

Vậy Mn(F) không có đồng nhất thức thực sự bậc bé hơn 2n.

III.3.4. Bổ đề :

F là trường trên K, V là không gian vectơ vô hạn chiều trên F. Khi đó

đại số các phép biến đổi tuyến tính EndFV không thoả mãn đồng nhất thức

thực sự nào.

Chứng minh:

Giả sử f là đồng nhất thức trên A =EndFV có bậc d, lấy x∈V tuỳ ý, M

là không gian con hữu hạn chiều của V chứa x và 2[M:F]> d.

Gọi B là đại số con không chứa đơn vị của A chuyển M vào M và

End V

)

= ∈ ϕ

( ϕ

; M M V M ( ϕ

⊂

) 0 =

{

}

chuyển V \ M vào 0 tức :

B End M M F

(

)

≅

. Giả sử n=[M:F] thì

f là đồng nhất thức trên A nên f là đồng nhất thức trên B ⇒ f là đồng nhất

.(1

)

.(1

)

⇒

thức trên Mn(F). Theo bổ đề III.3.3 suy ra rằng nếu α là hệ số bất kì của f thì

( .1 )( ) x α B

( .1 ) α A

⇒

0 = ⇒

. α

= ⇒ f không là đồng nhất thức thực sự trên A.

α⋅B=0, khi đó α.1B= 0

III.3.5 Bổ đề :

fc f F

∈ Δ

∈

Δ là một thể và là đại số trên K. Δ chứa trường con tối đại F ( trên K) và

}

mọi trường con F như thế tâm tập CΔ(F)= { c

Chứng minh :

Sự tồn tại trường con tối đại của Δ theo bổ đề Zorn. Nếu F là trường con

tối đại của Δ và c∈CΔ(F) thì đại số con E sinh bởi F và c là thể giao hoán nên

)

c F ⇒ ∈ ⇒

C F ( Δ

))

E là trường chứa F, vì F tối đại nên E = F ( vì hiển

(FCF Δ⊂

nhiên .

III.3.6 Bổ đề : A là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập của A trong

E, C = B∩A là tâm của A.

Giả sử a1,a2,…,ar ∈A là độc lập tuyến tính trên C thì a1,a2,…,ar là độc lập

)

∈

0, = ∀ .

b i

b a i i

b 0( i

r ∑ =

thì tuyến tính trên B tức : nếu

Chứng minh:

ba ,

=∗

∀

Aba ∈

Đại số đối A0 là đại số thoả A0 = A, A0 là K-modul và phép nhân

AaAa

aAa

0 ⇒=

⇒

. 0

0 =⇒=⇒

, nếu a ≠ 0 thì

EndC

. Đặt Ae=A⊗A0 và phép nhân ngoài được định nghĩa (a⊗b)x = axb thì A là một Ae-modul và ideal của A là modul con. Do đó nếu A là đại số đơn thì A là Ae-modul bất khả qui, EndAA = A và End AA = A do đó tâm của A là C =End eA A là một trường .Hơn nữa nếu A đơn thì A là Ae modul trung thành vì với x = a ⊗ a/ và xA = 0 AaA = A do đó Aa/ = 0 . Vậy nếu A là đơn thì tâm C là trường 0 và Ae tác động dày đặc đại số các phép biến đổi tuyến tính của A xem là không gian vectơ trên trường C , tức Ae dày đặc trong

Tác động của Ae trong A mở rộng tới sự tác động của Ae trong E sao cho

m(bx) = b(mx) với m∈Ae,b∈B,x∈E. Thật vậy xây dựng Ae×E→E được định

a′

′ =(ab)x a′ = b(ax a′ ) =b(mx)

nghĩa :(a⊗b)x =(ax)b với x∈E, a,b ∈A.

Khi đó m(bx)= a⊗ .(bx)=a(bx) a

i xhg∑

thì mx = . ( do b∈B = CE(A)).Khi đó nếu m = ∑ ⊗ i h

Vì a1,a2,…,ar là độc lập tuyến tính trên C và Ae dày đặc các phép biến

đổi tuyến tính của A trên C nên với hệ r vectơ 0,0,…,1,0,…,0 trong A

m ∈∃ j

sao cho mjaj=1 và mjak=0 với k≠j.

i ab

∑

= 1

Từ = 0 ⇒ mj( ∑ ) = 0

) 0

{ 1, 2,...,

}

b m a ( j i i

= ⇒ = ∀ ∈ j

r ∑ =

. ⇒

III.3.7. Định lý (Kaplansky-Amitsur)

≤

Cho A là đại số nguyên thuỷ có đồng nhất thức thực sự bậc d, thì tâm C

⎡ ⎢⎣

d ⎤ 2 ⎥⎦

của A là một trường , A là đại số đơn và [A:C] .

Chứng minh :

A là đại số nguyên thuỷ nên A là đại số dày đặc các phép biến đổi tuyến

tính của không gian vectơ V trên thể Δ.V là A-modul bất khả qui trung thành

và Δ =EndAV, A là vành con của E(V) với đồng nhất a ≡Ta , a∈A Ta(x)= ax,

⊂Δ

x∈V. V là K modul thì Ta(kx) = a(kx) = k(ax) = kTa(x) ⇒ Ta∈EndKV

End K

AC ( )

∈

⊂

vì A là đại số trên K nên ⇒A⊂ EndKV.Ta có

)

))

((

))

k .1((

x ))1.

x )(

∈

( δ

k x )()1.( δ

(.1( δ

k δ

VxKk , , δ ∈∀Δ∈ End V ∈⇒ δ

k.1 ,

Ta có tâm tập của A trong EndKV là ΔL .Tức là :CEnd V(A) = ΔL ≡ Δ

Gọi F là trường con tối đại của Δ và xét đại số A/ của K tự đồng cấu trên V

sinh bởi FL và A tức A/ = < FL,A > ⊂ EndKV.Vì các phần tử của FL giao hoán được với các phần tử của A nên A/ = FLA=AFL và FL nằm trong tâm của A/

(vì các phần tử của FL giao hoán được với các phần tử của FL và của A nên giao hoán được với A/).Vì thế A/ có thể xem là đại số trên F (hoặc trên FL).Nếu ta xem V là không gian vectơ trên F thì A/ là đại số các phép biến đổi tuyến tính của V trên F , tức A/ ⊂ EndFV ( do mọi phần tử của F giao hoán được với mọi phần tử của A/ ).Ta sẽ chứng minh rằng A/ dày đặc các phép

biến đổi tuyến tính của V trên F .

)

Vì V là A-modul và F-modul nên V là A/ -modul với phép nhân ngoài

iα

( xai

∑ i i aα

( (1) αi∈F, ai∈A ,x∈V ,tổng (1) là tổng hữu hạn. V là ).x=∑

A-modul bất khả qui nên ∀x≠ 0 ; x∈V ta có Ax =V ⇒A/x ⊃Ax=V⇒A/x=V

End

⇒ V là A/ -modul bất khả qui trung thành ( do A/⊂ E(V))

End /Δ

(giao hoán Theo định lí dày đặc thì A/ dày đặc trong với Δ/=

End

tử của A/ trên V)

End

Ta cần chứng minh: F = . V

End

( do mọi phần tử của F giao hoán được với mọi phần tử Ta có F ⊂

A′ . Do đó :

c Δ∈⇒

của A/) Lấy c∈ và c∈EndKV thì c giao hoán được với mọi phần tử của

(

)

c giao hoán với mọi phần tử của A

F L

FCc ∈ Δ L

c giao hoán với mọi phần tử của FL ⇒

F⊂

( do F là trường con tối đại của Δ và theo bổ đề III.3.5)

A′ V F=

do đó End . Từ đó ta suy ra được A′ dày đặc Vậy End A′ V

trong EndFV . Giả sử A có đồng nhất thức thực sự f bậc d. Ta có thể giả sử f

L=′

là đa tuyến tính (bổ đề III.3.2). Vì là đại số trên F nên f là đồng nhất

thức trên A′ .Áp dụng mệnh đề II.2.3: A′ là tập con dày đặc trong EndFV, f là

đồng nhất thức trên A′ thì f cũng là đồng nhất thức trên EndFV (theo mệnh đề

II.2.5) . Vậy f là đồng nhất thức thực sự trên EndFV bậc d. Theo bổ đề III.3.4

]

FV : [

≤

V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F, giả sử [V:F] = n khi đó EndFV ≅

d ≤⇒≤⇒ 2

d 2

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⇒⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

Mn(F). Theo bổ đề III.3.3 thì d ≥2n

Vì [V:F] = [V:Δ].[Δ:F] nên V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên Δ. Do A

là đại số dày đặc trong EndΔV nên A=EndΔV ≅Δm (Δ là thể ,m = dimΔV) từ đó

A là đại số đơn , tâm C của A là một trường.

.=′

Giả sử a1,a2,…,ar ∈A là độc lập tuyến tính trên tâm C của A. Theo bổ

LFA

(do F là tâm của đề III.3.6 a1,a2,…,ar độc lập tuyến tính trên F trong

[

CA :

]

r ≤⇒

≤

A′ dày

d 2

⎡ ⎢⎣

⎤ ⇒⎥⎦

⎡ ⎢⎣

⎤ ⎥⎦

′

(do đặc và A/) trong EndFV

(

)

[

′ A F :

]

)

⇒ =

≅

⇒

A End V M F F

. [V:F]=n

III.3.8. Định nghĩa:

,...,

)

(

) π

x ( 1K

x k

... x π π K

= ∑ π

Đa thức ở đây tổng được lấy trên

nhóm đối xứng và sgπ là dấu của hoán vị π được gọi là đa thức chuẩn bậc k.

III.3.9. Định lý Amitsur-Levitzki

Đa thức chuẩn S2n là đồng nhất thức trên Mn(K).

III.3.10. Định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzki.

Một đại số nguyên thuỷ A thoả mãn đồng nhất thức thực sự khi và chỉ

khi A là đơn và hữu hạn chiều trên tâm C của nó. Nếu d là bậc nhỏ nhất của đồng nhất thức thực sự trên A thì d =2n và [A:C]= n2. Hơn nữa A thoả mãn

đồng nhất thức chuẩn Sd.Sau đây chúng ta sẽ sử dụng tôpô Zariski để xây

dựng đa thức tâm trên đại số ma trận Mn(K).

Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng tôpô Zariski và sự liên tục của hàm đa

thức để chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận.

CHƯƠNG IV.ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP

DỤNG:

IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)

IV.1.1.Cho K là vành giao hoán tuỳ ý và xét Mn(K) .

)

tra (

...

n ( 1) det

−

+ + −

( ) det( λ =

I λ

n λ

n λ − )

Nếu a = (aij) ∈ Mn(K) thì đa thức đặc trưng của a là:

iη với hệ số nguyên. Giả sử

Xét vành đa thức Z[η1,…,ηn] n ẩn

g(η1,…,ηn) là đa thức đối xứng trong Z[η1,…,ηn]. Khi đó g(η1,…,ηn) =

,...,

∑

p 1

η i

p n

... η η n 1

và h là duy nhất vì h(p1,…,pn) ∈ Z[p1,…,pn] với

các đa thức đối xứng cơ bản p1,…,pn là độc lập đại số. Ta sử dụng g để định

nghĩa ánh xạ:

G a :

h tra (

,...,det

)

→

(1) từ Mn(K) đến K.

)

( − η η j

∏ <

Đặc biệt ta lấy và nhận được ánh xạ biệt thức D.

Nếu K là trường vô hạn thì các ánh xạ a→ tra ,…, a→ det a là các hàm đa

thức trên Mn(K). Do đó G định nghĩa ở (1) là hàm đa thức. Nếu K là trường

là các nghiệm đặc trưng của a thì đóng đại số và ρ1,…,ρn

tra

,...,det

∑

ρ i

... = ρ ρ n 1

nên

G a ( )

(

,...,

)

∑

ρ ρ ρ n

... 1

( ,..., ρ ρ n

vì thế G trùng với ánh xạ:

(2) a→g(ρ1,…,ρn) định nghĩa nhờ đa thức đối xứng g.

Đặc biệt nếu g = d thì ánh xạ D tương ứng là:

)

→

( − ρ ρ j

∏ <

(3) 2

Rõ ràng D(a) ≠ 0 khi và chỉ khi a có các nghiệm đặc trưng khác nhau đôi

một. Khi đó a đồng dạng với ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo

khác nhau đôi một. Tập các ma trận có tính chất này là tập mở trong tôpô

Zariski. Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) bằng phương

pháp Formanek.

,...,

Giả sử Z[η1,…,ηn+1] là đại số đa thức trên vành số nguyên Z n+1 ẩn

là đại số tự do trên Z sinh bởi x,y1,…,yn. η1,…,ηn+1 và giả sử {

}

Z x y 1

], ( )

(

,...,

)

∈

γγ ... α η η 1 n + 1 1 n +

( ) γ

[ ,..., η η n

= γ γ 1

n 1 +

= ∑ ( ) γ

(4) Nếu

γ n

1 +

thì ta định nghĩa:

γ x n

,...,

∈

{ } Z x y

γ γ y x x 2 1

2...

y x n

(5)

{

}

ρ f

( ) γ

Z x y 1

= ∑ ( ) γ

. Đặc b iệt Chú ý f→ ρf là cộng tính và ρf là đa thức tuyến tính theo mọi

→

e i i

y 1

e i j 1 1

e i j n n

n ρ∑ 1

γ n

1 +

...

γ x n

→

y x n

γ γ x y x 2 1

e i

e ... i j n n

e i j 1 1

j 2 2

1 +

...

....

j n

δ δ j i 1 2

j i 2 3

γ γ γ γ ... . ρ ρ ρ ρ n n 2 i j i i n n 2 1 γ γ γ γ δ ρ ρ ρ ρ n n 1 2 i i j i n n 2 1

e i j n 1

i n 1 −

, ,… thì : thay x→ , y

δ ij

≠

1 ⎧ = ⎨ ⎩

,...,

...

,...,

ρ f

e i ii

e i j 1 1

e i j n n

δ δ j i 1 2

j i 2 3

δ j n

( ρ ρ ρ j n

i n

i 1

). e i j 1 n

i 1 n −

n ⎛ ∑⎜ ⎜ 1 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

( ở đây ). Do đó:

(6)

(

,...,

)

(

,...,

)

e i j 1 1

e i j n n

e i i 1 2

e i i 2 3

e i n

e i j n n

i 1 n −

(6) bằng 0 với mọi dãy trừ và khi

(

, ..., ,

) .

ρ i

, ρ ρ n

i 1

đó (7)

Vì chỉ có n chỉ số dưới nên có 2 số trong dãy (i1,…, in, jn)là bằng nhau .

Giả sử f thoả:

η η−

i (

)

≠

,...,

η η− j

f η η 1

1n +

chia hết cho mọi trừ . (i)

,..., η η .

,...,

)

η η là đối xứng đối với

(ii)

( (

)1n + )

,..., η η n

f ( η= 1

, 1n

,...,

(

,...,

)

ρ f

e i ii

e i j 1 1

e i j n n

e i j 1 1

e i j n n

⎛ ∑⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Khi đó với mọi dãy trừ

(

,...,

)

ji khác nhau đôi một và

e i i 1 2

e i i 2 3

e i i 1 n

(

,...,

)

(

,...,

)

∑

ρ i

i i 1 2

i i 1 n

ρ i 1

, ρ ρ i 1 n

i i 1 1

với các

( ,..., ρ ρ

) e n i i 1 1

( do g đối xứng )

Ta định nghĩa:

,...,

)

,...,

)

x y ( , 1

x y ( , i

y i

n − = ∑ i =

(8)

với chỉ số dưới lấy theo modul n, tức:

qf(x,y1,…,yn) = pf(x,y1,…yn)+pf(x,y2,…yn,y1)+…+pf(x,yn,y1,…,yn-1)

(

,...,

)

∑

e i ii

e i j 1 1

e i j n n

với mọi cách chọn dãy Khi đó

(

,...,

)

(

,...,

)

e i j 1 1

e i j n n

e i i 1 2

e i i 2 3

e i i 1 n

trừ với ij khác nhau và

(

,...,

)

).1

∑

e i ii

( ,..., ρ ρ n

e i i 1 2

e i i 1 n

(9)

Cách chọn đơn giản của đa thức f thoả (i) và (ii) là đa thức Formanek:

)(

)

−

( η η η n i

η i

( − η η j

n ∏ 2;

) i

n ∏ 2 =

Z∈± 1

(10)

)

,...,

)

( − η η j

( η η η 1

( ,..., η η n

n = ∏ i <

và trong trường hợp này ta có : Hệ số của c là

là ánh xạ biệt thức đã xét ở trên .

Đặc biệt lấy g = d ta có thêm tính chất :

(iii) Với mọi trường K tồn tại a∈Mn(K) sao cho G(a) ≠ 0 với G là ánh xạ

định nghĩa ở (1)

Nếu K là trường vô hạn ta chọn ma trận chéo a với các phần tử trên đường

G a ( )

)

0 ≠ .

( ,..., ρ ρ n

( − ρ ρ j

∏ <

chéo khác nhau đôi một thì

λ K )( ∈

][ λ

Nếu K là trường hữu hạn ta áp dụng tính chất của trường hữu hạn là : tồn

tại một đa thức bất khả qui bậc n có hệ số cao nhất bằng 1 và tồn

tại ma trận a nhận h(λ) làm đa thức đặc trưng. Vì h(λ) có n nghiệm phân biệt

trong trường đóng đại số K của K và ánh xạ G:a→h(tra,…,deta) không đổi

khi mở rộng K do đó G(a)≠ 0.Sau đây chúng ta sẽ trình bày chứng minh định

lí Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)

IV.1.2. Định lý (Formanek)

[

,...,

]

∈

Z η η 1

1n +

1. Giả sử thoả mãn (i) ,(ii) ,(iii) . Khi đó qf(x,y1,…,yn)

định nghĩa ở (5) và (8) là đa thức tâm trên Mn(K) với mọi vành giao hoán

2. Tồn tại a∈Mn(K) sao cho G(a) không lũy linh và với a như thế tồn tại

b1,b2, …,bn ∈Mn(K) sao cho qf(a,b1,…,bn)≠0

)

]

∈

( ,..., η η n

[ ,..., η η n

và l là đối xứng thì : 3. Nếu f xác định ở 1) và

KMba

(

)

∀

i ∈

l nghĩa ở (1) ứng với (

,...,

). η η

và L được định (11) qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) ,với

Chứng minh :

Trước hết ta giả sử K là trường đóng đại số và ta sẽ chứng minh rằng

[qf(x,y1,…,yn),z] là đồng nhất thức trên Mn(K) và (11) là đúng. Điều này

tương đương với việc chứng minh các ánh xạ:

(a,b1,…,bn,c)→[qf(a,b1,…,bn),c] (12)

và (a,b1,…,bn)→qlf(a,b1,…,bn)-L(a)qf(a,b1,…,bn) (13) là ánh xạ 0.

và z nên ta chỉ cần Vì qf(x,y,…,yn) và [qf(x,y1,…,yn),z] tuyến tính theo

chứng minh với mọi cách chọn bi,c thuộc cơ sở của Mn(K) trên K là đủ.

Cố định bi và c thì các ánh xạ (12),(13) là các ánh xạ đa thức đối với a (từ Mn(K) vào Mn(K)) từ đó xác định các đa thức Pij,Qij theo n2 biến xij sao

(

,...,

,...)

→

∑

a e b 1 ij ij

, ) b c n

( P a ij

e ij

a 12

∑ , j i

cho các ánh xạ (12), (13) sẽ lần lượt là :

,...,

)

,...)

a 12

e ij

a b 1

b n

( Q a ij

→ ∑ , j i

( ,

,...,

( );

→

a b ( , 1

b c , ) n

P a ij

Do đó ta cần chứng minh các hàm đa thức

(a,b1,…,bn)→Qij(a)

là 0 ( khi cố định b1,b2,…,bn,c trong cơ sở) với mọi a thuộc tập mở Zariski của

Mn(K) ,tức G(a) ≠ 0.

)

( ,..., η η

( ,..., η η n

, η chia hết cho mọi 1n

η η− j

g đóng đại số nên G(a)= (

,...,

)(

ρ ρ ρ là các nghiệm đặc trưng của a), điều

Vì (i≠j) K

,...,

( ) ρ ρ ≠ ⇒ các

iρ khác nhau đôi một. Do đó a

kiện G(a)≠0 suy ra

đồng dạng với ma trận chéo và áp dụng tự đẳng cấu của Mn(K) ta có thể giả

sử a là ma trận chéo :

eρ= ∑ i ii

. Theo (9) ta có : và chọn cơ sở là tập hợp các ma trận {

}e

(

,...,

)

).1

∑

e i ii

( ,..., ρ ρ n

e i i 1 2

e i i 1 n

còn mọi cách chọn khác của

(

,...,

)

e i j 1 1

e i j n n

dãy 0. thì qf bằng

(

,...,

−

∑

e i ii

( ,..., ρ ρ n

,..., ( ρ ρ n

⎡ ⎣

⎤ ).1 ⎦

⎡ c g ⎣

⎤ ).1 ⎦

e i i 1 2

e i i 1 n

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

,...,

), ] 0,

c ).

= ∀

c g −

= ⇒[ 0

( ,..., ρ ρ n

b n

b c , i

a b ( , 1

Khi đó:

thuộc cơ sở của Mn(K) và mọi a thuộc tập mở của Mn(K) ⇒ ánh xạ (12) bằng

0 trên Mn(K) (mệnh đề II.3.5)

,...,

)

ρ ρ , qf(a,b1,…,bn)=g(ρ1,…,ρn).1 và

Tương tự ta có L(a)=l(

,...,

)

,...,

)

(lg)(

)

( f ( η η η η η 1

( g ). ( η η η η n

,..., η η n

đối

(

,...,

)

(lg)(

).1

⇒

∑

q lf

e i ii

,..., ρ ρ n

).1]

e e i i i i 1 2 n 1 g ).[ ( ,..., ρ ρ n

1 L a q ( ).

)

,...,

( ,..., ρ ρ n a b ( , 1

1 b n

xứng.

Do đó ánh xạ (13) bằng 0 trên Mn(K).

Vậy các ánh xạ (12),(13) bằng 0 trên Mn(K) nếu K là trường đóng đại số .

Nếu K là trường tuỳ ý và giả sử K là bao đóng đại số của K. Khi đó ta có thể

)

≠

nhúng Mn(K) vào trong Mn( K ). Do đó các kết quả trên đây cũng đúng trong

(KMa n∈∃

sao cho G(a) 0. Vì K là trường Mn(K). Với giả thiết f thoả iii) thì

nên G(a)≠ 0 khi và chỉ khi G(a) không lũy linh. Giả sử a có tính chất này. Vì a

)

(KM n

)

nên theo (9) ta có thể chọn đồng dạng với ma trận chéo trong

(KM n∈

)

b1,…,bn sao cho qf(a,b1,…,bn) ≠ 0.

(KM n

nên ta Do qf tuyến tính theo và mọi cơ sở của Mn(K) là cơ sở của

có thể chọn bi∈Mn(K) sao cho qf(a,b1,…,bn)≠0. Vậy định lý được chứng

minh với K là trường .

Bây giờ giả sử K là vành giao hoán. Xét vành đa thức m=(n+2)n2 ẩn

Z x [

,...,

],(1

)

≤

(1) y ij

( ) n y ij

z ij

. Khi đó nếu

)

(

)

∈

b 1

(1) b ( ij

b n

( ) n b ( ij

c ij

M K ( n

ành ,…, , ta có đồng cấu v a=(aij),

;...

;

→

a ij

k ( ) y ij

k ( ) b ij

Từ đó có thể từ Z[xij,…] đến K bằng cách thay thế x ij

,...])

[

(M Z n

x ij

(1) y ij

mở rộng đến đồng cấu vành từ đến M n(K) khi thay thế

)

,...

(

ij)→

Y 1

) (1 y ij

b→ 1

, Z=(c c x= (xij)→a;

Vì G và L là các đa thức với hệ số nguyên lấy trong các hệ số của đa thức

đặc trưng nên đồng cấu trên biến L(X) thành L(a). Vì Z[xij,…] có thể nhúng

vào một trường nên ta có:

[qf(X,Y1,…,Yn),Z] = 0 và qlf(X,Y1,…,Yn) = L(X).qf(X,Y1,…,Yn).

Áp dụng đồng cấu từ Mn(Z[xij,…]) đến Mn(K) ta nhận được:

K ( F là trường).

[qf(a,b1,…,bn),c] = 0 và qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn)

)

≠aG )(

Giả sử P là ideal tối đại trong K và F = P

(FMa n∈∃

sao cho Theo giả thiết . Chọn a∈Mn(K) mà đồng

) KM ( n →

FM ( n

a (cid:54) a

cấu chiếu : )

)(

=aG )(

aGaG )( =

. Suy ra nếu G(a) lũy linh thì (ở đây a =a+Mn(P)). Khi đó

(vô lý). Do đó G(a) không lũy linh . Vậy ∃a∈Mn(K) sao cho G(a) không lũy

linh. Với a∈Mn(K) mà G(a) không lũy linh trong K, vì nil radical của K là

)(

⇒

aGaG )( =

≠

≠aG )(

giao tất cả ideal nguyên tố của K nên tồn tại một ideal nguyên tố P trong K

KD =

. Khi đó với =a sao cho G(a)∉P a+Mn(P).

,...,

(

)

là miền nguyên và F là trường các thương của D. Khi đó Giả sử

,...,

) 0

≠ . Bỏ thương ta có thể giả sử

FMb n ∈

b ∃ 1

a b ( , 1

b n

,...,

(

sao cho

DMb n ∈

ib trong đồng cấu chiếu

b 1

,...,

) 0. ≠

Chọn bi∈Mn(K) là tạo ảnh của

a b ( , 1

b n

Mn(K)→Mn(D) ta được

IV.1.3. Định lí Amitsur:

Giả sử q0(x,y1,…,yn) = qc(x,y1,…,yn) (c là đa thức Formanek ).Khi đó tồn

tại các đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn) ,…,qn(x,y1,…,yn) trên Mn(K)

sao cho với mọi a,bi ∈ Mn(K) ta có: q0(a,b1,…,bn)λn –q1(a,b1,…,bn)λn-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn)Φa(λ)

với Φa(λ) là đa thức đặc trưng của a.Từ đó ta có q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) là đồng nhất

thức trên Mn(K) .

Chứng minh

Áp dụng phần 3 định lí Formanek (định lí IV.1.2) với f = c là đa thức

,...,

∑

p 1

η i

p n

... η η n 1

Formanek và l(η1,η2,…,ηn) lần lượt là các đa thức đối xứng cơ bản

)

tra (

...

n ( 1) det

( ) det( = λ

I λ

−

n λ

−

n λ − )

+ + −

− 1

)( qaL

)1(

...

)( qaL

)1(

...

−

−++

−

−++

)( λ

n λ

Ta có

n q λ 1

⇒ n

(với q1=L0(a)q0=qlc ) Phần sau của định lí suy ra từ định lí Hamilton-Cayley.

IV.1.4.Mệnh đề:

Mọi đa thức tâm với hệ số hằng là 0 trên Mn(K) thì đồng nhất thức

trên Mn-1(K).

Chứng minh:

)

Giả sử q(x1,x2,…,xm) là đa thức tâm có hệ số hằng là 0 trên

thì q(x1,x2,…,xm)

(1 KM n−∈

)

(do q có hệ số hằng là Mn(K).Thay xi=ui

(1 KM n−∈

0) vì q(u1,u2,…,um) nằm trong tâm của Mn(K) nên có dạng k1 do q

nên k = 0 suy ra q là đồng nhất thức trên Mn-1(K).

Ta có Mn(K) là một đại số đơn tâm hữu hạn chiều,sau đây ta sẽ mở rộng định

lí Hamilton-Cayley và đa thức tâm trên đại sô đơn tâm hữu hạn chiều.

IV.1.5. Định lý:

)(

)1(

...

n 1 −λλλχ =

−

−++

Cho K là trường vô hạn,A là đại số đơn tâm có số chiều n2 trên K.Khi đó:

1/Tồn tại đa thức bậc n ở đây T,…,N là

∈A

aT )(

)1(

...

aN )(

−

−++

n )( λλχ

n −λ 1

các hàm đa thức xác định trên A sao cho an-T(a)an-1+…+(-1)nN(a)=0,a

Đa thức được gọi là đa thức sinh nhỏ nhất

của a,T(a) và N(a) gọi là vết sinh và chuẩn sinh tương ứng của a

2/Vết sinh T là hàm tuyến tính trong A và triệt tiêu với mọi giao hoán tử [a,b]=ab-ba.Chuẩn sinh là đẳng cấp bậc n: N(αa)= αnN(a) và là nhân

tính.Hơn nữa T(1)=n và N(1)=1

)(λχa

có nghiệm phân biệt đại số 3/Phần tử a∈A gọi là tách được nếu

đóng K của K.Do đó tập hợp các phần tử như thế là tập mở khác rỗng trong

tôpô Zariski của A

4/Gọi q0(x,y1,…,yn) là đa thức Formanek trên Mn(K) thì q0 là đa thức

tâm trên A.Ngoài ra tồn tại các đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn)

,…,qn(x,y1,…,yn) trên Mn(K) có cùng tính chất như q0 sao cho : q0(a,b1,…,bn)λn –q1(a,b1,…,bn)λn-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn) χa(λ)

Từ đó ta có : q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) là đồng nhất

thức trên A .Nếu a tách được thì tồn tại bi∈A sao cho q0(a,b1,…,bn) 0. ≠

Từ định lý IV.1.4 ta có kết quả sau đậy :

Nếu A là đại số nguyên thuỷ thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc d=2n

thì đa thức Formanek fc trên Mn(K) là đa thức tâm đối với A.Mọi đa thức tâm

đối với A là đồng nhất thức đối với mọi đại số nguyên thuỷ thoả mãn đồng

nhất thức thực sự có bậc bé hơn 2n.

Sau đây chúng ta sẽ trình bày một số áp dụng của định lý Kaplanski

Amitsur và đa thức tâm Fomanek trên Mn(K).

IV.2.Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự

IV.2.1.Các radical trên đại số :

IV.2.1.1.Định nghĩa :

,...,

Đại số A được gọi là luỹ linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn

, 2 bb 1

}kb

tập con hữu hạn của A sinh ra một đại số con lũy linh.Tức là mọi {

tồn tại số m sao cho tích mọi m của bi thì bằng 0 .Một ideal một phía gọi là

lũy linh địa phương nếu nó có tính chất như là một đại số lũy linh địa phương.

IV.2.1.2.Định lý :

Tồn tại duy nhất một nil ideal tối đại,kí hiệu là unA (gọi là upper nil

radical) chứa mọi nil ideal của đại số A. Tồn tại duy nhất một ideal

lũy linh địa phương tối đại,kí hiệu là L(A) (gọi là Levitzki nil radical) chứa

mọi ideal lũy linh địa phương một phía của đại số A.

IV.2.1.3.Định nghĩa :

Trên đại số A xây dựng dãy ideal siêu hạn như sau :

N(0) là tổng tất cả ideal lũy linh của A,khi đó N(0) là nil ideal

= βα

) ( α

thì N(α) là ideal của A sao cho Nếu αlà số siêu hạn không giới hạn

(βN )

( ) β

) ( α

( β

là tổng tất cả ideal lũy linh của

∪

αβ <

)/α

Nếu α là số siêu hạn giới hạn thì )

α< α/ do đó tồn tại số siêu hạn đầu tiên T sao cho

Ta có N(α) < N( nếu

N(T)=N(T+1).Gọi N(T) là lower nil radical và kí hiệu là lnA.

)L A (

unA

⊂

không chứa nil ideal khác Từ các định nghĩa trên ta suy ra rằng : unA

(AL )

A không chứa ideal lũy linh khác 0 , L(

) = 0 và lnA 0,

IV.2.1.4.Định lý :

Lower nil radical lnA trùng với giao tất cả ideal nguyên tố của A.

IV.2.1.5.Định lý :

Nếu A không có nil ideal khác không (tức unA = 0) thì A[λ] là

nửa đơn.

IV.2.2. Đồng nhất thức trên đại số không có đơn vị

IV.2.2.1. Định nghĩa :

• f gọi là đa thức chính qui chặt nếu f ≠ 0 và các hệ số khác 0 của f thì

khả nghịch trong K.

• f gọi là đồng nhất thức chính qui chặt trên A nếu f là đồng nhất thức

trên A và f là chính qui chặt

• Nếu A thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc n thì A thỏa đồng nhất

thức chính qui chặt đa tuyến tính có bậc bé hơn hay bằng n.

IV.2.2.2. Định lý :

Một nil đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui chặt là lũy linh địa

phương.

IV.2.2.3. Định lý :

d 2

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

)0(

⊂

A là đại số thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc d .Khi đó mọi

đại số con B của A là nil thì .Với N(0) là tổng tất cả các ideal

lũy linh của A.

IV.2.2.4 .Định lý :

d 2

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣ L

)0(

⊂

A là đại số thỏa đồng nhất thức chính qui chặt bậc d thì

lnA = L(A) = unA và , L=N(1).

d 2

⎡ ⎢ ⎣

⊂

(0)

N N⊃

⎤ ⎥ ⎦ ⊂

Chứng minh:

(1)

Gọi N = unA là nil của A ta có và do đó N N( 1)

(0)

⊂

lũy linh và là tổng tất cả ideal lũy linh của (do

(0)

d 2

⎤ ⎥ ⎦

A N T ( )

(1)

)0(

⎡ ⎢ ⎣ L

⊃

... ⊃ ⊃

N = ⇒

⊂

).Mà N(1) N nên N=N(1) và

, lnA = L(A) = unA và

L=N(1).

IV.2.3. Địa phương hóa giao hoán:

IV.2.3.1. Định nghĩa :

),( xs

Cho S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân của vành giao hóan K và M là

}MxS

∈

∈ ,

s ∈∃

.Trên S×M ta định nghĩa quan K modul Xét tập : S×M={

hệ ~ như sau : (s1,x1) ~(s2,x2) ⇔ :s(s2x1-s1x2)=0 ,khi đó ~ là quan hệ

1 −

(

)

(

)

xs 12

xs 21

1 −

1 − xs 1 1 1 − xsk (

)

(

ss 21 )

1 − xs 2 2 =

tương đương trên S×M.Gọi MS là tập các lớp tương đương của (s,x) và kí hiệu là s-1x. Trên MS ta định nghĩa các phép toán như sau :

Khi đó MS là K modul và gọi là địa phương hoá của M tại S.

→

Ta có ánh xạ vs : x

{ Mx ∈

s ∈∃

Kervs=

1 −

(

)(

)

(

)

1 − s k 1 1

1 − s k 2

s s 1 2

k k 1 2

1-1x từ M đến MS là K đồng cấu modul và }0 Đặc biệt KS là K đại số giao hoán với phép nhân

Ánh xạ vs là đồng cấu đại số và vs(s) là khả nghịch trên KS vì (1-1s)(s-11)=1-11=1 trong KS

K M⊗

IV.2.3.2.Bổ đề: MS ≅ KS

IV.2.3.3. Định nghĩa:

Phần tử a của đại số A được gọi là chính qui nếu a không là ước

của 0 bên trái hoặc bên phải,tức là nếu aba = 0 thì b = 0.

IV.2.3.4. Định lý :

Xem AS là đại số trên K thì mọi đồng nhất thức f trên A cũng là

đồng nhất thức trên AS.Chiều ngược lại cũng đúng nếu mọi phần tử của S

đều là phần tử chính qui của A.

IV.2.3.5. Định lý :

Nếu C là tâm của A thì CS nằm trong tâm của AS và CS là tâm

của AS nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính qui của A.

Chứng minh: N ếu s,t∈S ,c∈C,a∈A thì (s-1c)(t-1a)=(st)-1(ca) v à (t-1a)(s-1c)=(st)-1(ac) do đó s-1c nằm trong tâm của S-1A.Giả sử mọi phần tử của S là chính qui và s-1c nằm trong tâm của AS thì từ (st)-1(ca)= (st)-1(ac) suy ra 1-1(ca)= 1-1(ac) (nhân hai vế cho 1-1(st) ).Vì vs là đơn cấu nên ac = ca với

mọi a∈A và c thuộc tâm của A.Do đó tâm của AS là CS.

IV.2.4. Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự

A là đại số trên K , C là tâm của A.Khi đó có thể xem A là đại số trên C

và nếu S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân C thì ta có địa phương AS.Ta

định nghĩa phép nhân ngoài trên AS như sau:

k(s-1a) = s-1(ka) , k∈K. Khi đó AS là K đại số.

Giả sử A là đại số nguyên tố thì mọi phần tử khác 0 của tâm C là chính

qui , C là miền nguyên.Nếu S là nửa nhóm con của nửa nhóm nhân C và 0∉S

thì là đơn cấu và xem A là con của AS .

IV.2.4.1.Bổ đề:

Nếu A là đại số nguyên tố và S là nửa nhóm con của C không chứa

0 thì là nguyên tố.

1 −

(

stu

)

(

xay

)

0= suy ra xay = 0 với mọi a A∈ ,

Chứng minh:

1 − ∈ t a A S

1 u y− =

Giả sử với mọi thì

s x− = hoặc 0

SA là

vì A nguyên tố nên x = 0 hoặc y = 0,do đó . Vậy

A= 0

A 0

nguyên tố.

A F

= = ⊗ = ⊗ A ),theo định lý IV.2.3.5 thì F là tâm của

A C S

A 0A

gọi là đại số tâm thương F = ⊗ A K

Đặc biệt lấy S=C\{ }0 ta có địa phương hóa của A.Nếu F là trường các thương của miền nguyên C thì ( v ì IV.2.4.2.Bổ đề(Amitsur)

A là đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự bậc n thì A thoả

nS ⎡ ⎤

⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

mãn đồng nhất thức chuẩn .

Chứng minh:

Xem A là đại số trên tâm C.Nếu k∈K thì k.1∈C và ka =(k.1)a.Thay

0f là đồng nhất thức của A trên C,khi đó

0f là

∈

⊂

thế hệ số k bởi k.1 ta được

{ } F X

A 0

{ } f0 C X

đồng nhất thức của trên trường F (do ).Vậy thỏa

)

mãn đồng nhất thức chính qui chặt nên các nil radical trùng nhau :

L A 0(

unA 0

0A là đại số nguyên tố suy ra

(0)

⊂

L = ⇒ = ⇒

d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎦⇒ ⎣ L

lnA .Theo bổ đề IV.2.2.3

unA 0

không có nil khác 0 (do N(0)=0 .Theo định

0f là đa tuyến tính thì

0f là đồng

0A λ là nửa đơn.Giả sử f,

[

]

lý IV.2.1.5 thì

0A λ .Giả sử P là ideal nguyên thuỷ của

[

]

] 0A λ thì

[

[ λ là đại số nguyên thuỷ trên một trường thoả đồng nhất thức thực sự

]

nhất thức bậc n đối với

nS ⎡ ⎤

⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

,...,

∈

(

,...,

)

là đồng nhất thức trên bậc n .Theo định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki

∈ P .

a a , 1 2

] [ A λ 0

[ λ .Do đó nếu

]

a a , 1

a 2

n 2

n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(

,...,

) 0,

= ∀ ∈

(

P J A

) 0 =

thì

a a , 1 2

a i

A 0

[ ] Sλ ⇒

∩

a 2

n ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

⊂

là đồng nhất Vì nên

A A ⊂ 0

] 0A λ mà

[

[ ] A λ 0

nS ⎡ ⎤

⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦

nên A thoả đồng nhất thức chuẩn thức trên

IV.2.4.3.Bổ đề :

A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự thì A không

chứa nil ideal khác 0.

Chứng minh:

Theo bổ đề IV.2.4.2 A thỏa đồng nhất chính qui chặt thì

lnA =L(A) = unA = 0 ,mà A là nguyên tố nên A không chứa nil ideal khác 0.

IV.2.4.4. Định lý :

A∩ ≠

A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự và I là ideal khác

0 của A thì . 0

Chứng minh:

2dS

Trước tiên giả sử A là nửa đơn và thoả mãn đồng nhất thức chuẩn .Nếu P

P là đại số nguyên thuỷ thoả đồng nhất thức thực sự

là ideal nguyên thuỷ thì

2dS

(

)

I P +

trên tâm của nó.Ta nên

P⊂ (do A

= PP

P là đại số đơn tâm có chiều không lớn hơn P nên (

P đơn).Vì

P∩

0P =∩

I ≠

có là ideal của A hoặc I

(do A nửa đơn).I không nằm trong nên tồn tại ideal và

0P nguyên tố

nguyên tố P sao cho I không nằm trong P suy ra I+P=A.Chọn

P lớn nhất ( do bậc của A

P không lớn hơn

(

)

của thoả I+ 0P =A có bậc

nM K (đa thức Formanek),khi

d).Gọi q là đa thức tâm có hệ số hằng 0 trên

n n≤ 0

đó q là tâm hoặc đồng nhất thức trên mọi đa thức nguyên thuỷ có bậc

P .

,...,

)

,...,

)

(

∈

∀ P

a ∀ ∈ i

, A a i

( q a 1

a n 0

q a .

a q .

,...,

∀ ∈

aq qa P P = ⇒ − ∈ ∀ ⇒ =

a A ∀ ∈ ⇒

∈ . C

q a ( 1

a )n

và q là tâm của

P nên

,...,

)

,...,

)

,...,

)

∈

0 ≠ ⇒

a n

a ∃ 1

( q a 1

n ∉ và a P 0

a n 0

P 0

,...,

)

I a :

I ∈ ⇒

∈ ⇒ ≠ ∈ ∩ q I C

a i

q a 1(

a i

I P ∈ + ⇒ ∃ ∈ 0

b i

i nên có thể giả sử b

a n 0

Vì q là tâm của

Bây giờ với A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự thì A không

]A λ thoả đồng [

chứa nil ideal khác 0 và A thoả đồng nhất thức chuẩn suy ra

]A λ là [

]C λ và

[

[ I λ là ideal của

]

∩

C I (

)

C I

≠ ⇒ ∩

≠ ⇒ ∩ ≠

]A λ ,theo trên ta có [

[ ] λ

[ ] γ

[ ] λ

nhất thức chuẩn.M ặt khác tâm của

IV.2.4.5.Hệ quả:

A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự và giả sử tâm C

của A là trường thì A là đại số đơn.

I C ≠∩

I ≠ 0

Chứng minh:

∩

I C C

I A

= ⇒ ∈ ⇒ =

là ideal của A thì .C là trường nên

Vậy A là đại số đơn.

IV.2.4.6. Định nghĩa :

A là đại số con của đại số Q gọi là cấp trái (phải) trong Q nếu mọi

1 ( − a b ba

−1)

phần tử chính qui của A có nghịch đảo trong Q và mọi phần tử của Q có dạng

với a,b∈A.

IV.2.4.7. Định lý (Posner –Rowen):

F A

= ⊗ (F là trường các thương của tâm C

A là đại số nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự .Thế thì :

1/ Đại số tâm thương

của A) đơn hữu hạn chiều trên tâm F.

2/A là cấp trái,phải trong A . 0

3/A và A thoả cùng một đồng nhất thức

Chứng minh:

A là nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự và tâm F là trường nên A 0

)

≅

là đơn . A là đơn có đơn vị nên A là đại số nguyên thuỷ suy ra A hữu hạn

nM D (

với D là thể.Vậy chiều trên tâm F ,do đó A 0 là đại số đơn Artin.A

1 −

c C a A , )

1 − c a

∈

mọi phần tử của A không có ước của 0 là khả nghịch.Mọi phần tử của A

có dạng (

Mọi phần tử chính qui trong A thì chính qui trong A nên có nghịch đảo trong

A .Vậy ta có kết quả quan trọng sau :

Mọi đại số nguyên tố trên vành giao hoán có đơn vị thoả đồng nhất

thức thực sự đều nhúng được vào đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm như là

cấp trái, phải.

KẾT LUẬN :Vậy chúng ta đã xây dựng được tôpô hữu hạn trên tập VV

End VΔ

là tập tất cả các phép biến đổi với V là không gian vectơ trên thể Δ ,

Δ End VΔ

tuyến tính của V trên , là tập đóng trong không gian tôpô VV.Tôpô

End VΔ

và A tác động dày đặc trong hữu hạn trên VV cảm sinh tôpô trên

End VΔ

A =

theo nghĩa đại số khi và chỉ khi A dày đặc (trù mật) trong theo

End VΔ

∈ =

→

nghĩa tôpô tức là: , ánh xạ (l1,l2,…,ln) →f(l1,l2,…,ln) với

L End VΔ

→

là liên tục trong tôpô hữu hạn nhờ các ánh xạ (l,m) l+m , li

αl (với

Kα∈ ) là liên tục trong không gian tôpô hữu hạn.Dựa

(l,m) lm , l →

End VΔ

vào tính chất của hàm liên tục ta suy ra rằng nếu A dày đặc trong , f là

End VΔ

đồng nhất thức trên A thì f là đồng nhất thức trên .Áp dụng kết quả này

ta đã chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur. Đồng thời ta đã xây

dựng tôpô Zariski trên không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vô hạn

K làm cơ sở để chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma

trận.Áp dụng điều này để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm trên Mn(K)

bằng phương pháp Formanek và sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý

Posner-Rowen về đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt 1.Bùi Tường Trí, Giáo trình đại số tuyến tính, Tài liệu lưu hành nội bộ.

Trường ĐHSP Tp.HCM – 2000.

2.Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục – 1985.

3.Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo dục – 1985

Tiếng Anh

4.I.N.Herstein Noncommutative rings.

5.Nathan Jacobson, PI-Algebras an Introduction, Springer – Verlag – Berlin –

Heidelberg – New York – 1975.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa Tôpô và một số ứng dụng

LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC :

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI NÓI ĐẦU

}

}

{

}

( (

)1n + )

}e

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi