Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập các Ideals nguyên tố trong các Pi – Đại số

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập các Ideals nguyên tố trong các Pi – Đại số bao gồm những nội dung về tập các Ideals nguyên tố trong vành giao hoán có đơn vị; một số kết quả cơ bản của Pi – vành không giao hoán; tập các Ideals nguyên tố trong các Pi – vành nguyên tố và nửa nguyên tố.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập các Ideals nguyên tố trong các Pi – Đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Hữu Hòa TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại Số và Lý Thuyết Số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THẦY HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư Tiến sỹ Bùi Tường Trí, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Tác giả xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy đã từng bước hướng dẫn tác giả tìm hiểu các kiến thức cơ bản và các kết quả nghiên cứu mới cũng như định hướng và hướng dẫn tác giả tự giải quyết các vấn đề được đề ra trong đề cương luận văn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Phó Giáo Sư Tiến sỹ Mỵ Vinh Quang, Tiến sỹ Trần Huyên những người thầy đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả nâng cao chuyên môn và phương pháp làm việc có hiệu quả trong suốt thời gian của khóa học sau đại học tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. Tác giả cũng xin trân trọng cám ơn đến quý thầy cô giáo thuộc Khoa Toán – Tin của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM, Phòng KHCN – SĐH của Trường Đại Học Sư Phạm Tp. HCM đã tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp tác giả trong suốt quá trình tham gia khóa học tại trường và quá trình hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và bạn bè cùng khóa học đã động viên, cổ vũ tinh thần giúp tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả luận văn
2 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... 1 MỤC LỤC .............................................................................................................. 2 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .................................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ .................................................................................................................. 6 1.1 Một số kết quả về vành giao hoán có đơn vị............................................... 6 1.2 Một số khái niệm về không gian tôpô ...................................................... 15 1.3 Một số tính chất về phổ nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị ............. 17 Chương 2: MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA PI – VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN .................................................................................................................. 26 2.1 Đại số tự do trên vành giao hoán có có đơn vị K ...................................... 26 2.2 Một số kết quả về PI – đại số nguyên thủy ............................................... 33 2.3 Địa phương hóa theo tâm ......................................................................... 41 2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thật sự ................................... 46 Chương 3: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG CÁC PI – VÀNH NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ ............................................................... 51 3.1 Ứng dụng của đồng nhất thức, đa thức tâm đối với PI – vành bất kỳ ........ 51 3.2 Phổ nguyên tố của PI – vành nguyên tố và nữa nguyên tố ........................ 61 3.2.1 Sự so sánh tập các ideals nguyên tố của vành bất kỳ với phổ nguyên tố của một vành con giao hoán .................................................................................... 61 3.2.2 Hạng của ideal nguyên tố ......................................................................... 64 3.2.3 Phổ nguyên tố bậc n của vành R .............................................................. 66 3.2.4 Ideal tối tiểu đối với g n ( R ) ..................................................................... 72 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 74
3 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ : Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (theo thứ tự) S : ideal sinh bởi tập con S của vành R. a : ideal chính sinh bởi một phần tử a của vành R. rad ( R ) : nilradical của vành R Jac ( R ) : căn Jacobson của vành R r (α) : radial của ideal α Spec(R) : phổ nguyên tố của vành R Spec A ( R ) : tập hợp các ideal nguyên tố của vành R mà chứa tập A Spec n ( R ) : phổ nguyên tố bậc n của vành R Z(R ) : tâm của vành R V (E) : tập tất cả các ideal nguyên tố p của vành R mà p chứa E, với E là một tập con của R deg x i f : bậc của biến x i của đa thức f ( x1 ,..., x i ,..., x m ) deg f : bậc của đa thức f ( x1 ,..., x i ,..., x m ) htf : chiều cao của đa thức f [n] : phần nguyên của số thực n RS : địa phương hóa vành R tại tập con đóng nhân S nằm trong tâm của R Sn ( x1 , x 2 ,..., x n ) : đa thức chuẩn tắc bậc n Cn ( x1 , x 2 ,..., x n ) : đa thức Capelli bậc n rank ( P ) : hạng của ideal nguyên tố P
4 MỞ ĐẦU Vấn đề trọng tâm của đại số giao hoán là nghiên cứu về các ideal nguyên tố. Khái niệm ideal nguyên tố là sự tổng quát hóa của khái niệm số nguyên tố trong số học và khái niệm tập hợp các điểm trong hình học. Vấn đề được tập trung chú ý của hình học là khái niệm “lân cận của một điểm” còn đối với đại số là quá trình địa phương hóa của một vành tại một ideal nguyên tố. Việc nghiên cứu phổ nguyên tố của lớp các vành giao hoán có đơn vị xem như đã hoàn chỉnh. Ta cố gắng nghiên cứu tập các ideals nguyên tố của một vài lớp PI – vành (tức là vành không giao hoán) và mô tả một số tính chất của tập các ideals nguyên tố trong các lớp PI – vành này. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Tập các ideals nguyên tố trong các PI – đại số” làm chủ đề cho luận văn và bước đầu tìm hiểu việc nghiên cứu, phát triển và hoàn chỉnh một số kết quả về mối liên hệ giữa tập hợp các ideals nguyên tố của vành R bất kỳ với tập các ideals nguyên tố của một vành con R1 giao hoán của R và đặc biệt hơn khi R1 là tâm của vành R. Hướng nghiên cứu mà chúng tôi tiếp cận là dựa trên một kết quả nghiên cứu của Rowen (giao của một ideal khác không với tâm của PI – vành nguyên tố luôn luôn khác không), từ đó ta có thể nghiên cứu tập hợp các ideals nguyên tố của một PI – vành nguyên tố bất kỳ thông qua việc nghiên cứu các ideals nguyên tố của tâm của nó tức là một vành giao hoán có đơn vị. Trong luận văn này chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu về tập các ideals nguyên tố của các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Luận văn được chia thành 3 chương CHƯƠNG I: Giới thiệu về vành giao hoán và các kết quả chính về phổ nguyên tố trong một vành giao hoán có đơn vị.
5 CHƯƠNG II: Giới thiệu các PI – vành không giao hoán và các kết quả cơ bản của các PI – vành không giao hoán. CHƯƠNG III: Tìm hiểu về tập hợp các ideals nguyên tố trong các PI – vành nguyên tố và nửa nguyên tố.
6 Chương 1: TẬP CÁC IDEALS NGUYÊN TỐ TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.1.1: Một vành giao hoán có đơn vị là một tập hợp R khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôi, một viết theo lối cộng và một viết theo lối nhân, thỏa mãn các điều kiện sau: i) R cùng với phép cộng là một nhóm abel. ii) R cùng với phép nhân là một nửa nhóm. iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là: Với mọi x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz ( y + z ) x = yx + zx iv) Với mọi x, y ∈ A thì xy = yx . v) Tồn tại phần tử 1 ∈ R sao cho x1 = 1x = x với mọi x ∈ R . Trong chương này chúng tôi chỉ đề cập đến vành giao hoán có đơn vị do đó nếu không nói gì thêm thì vành R thường được hiểu là một vành giao hoán có đơn vị, tức là một vành thỏa mãn 5 tính chất trên. Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành bất kỳ. Vành con α của R gọi là ideal của A nếu xa ∈ α với mọi x ∈ α,a ∈ R . Nhận xét: - Giao của một họ không rỗng các ideal của vành R là một ideal của R. - Cho S là một tập con của vành R. Khi đó có ít nhất một ideal của vành R chứa S (chẳng hạn R). Bởi vậy giao của tất cả các ideal của R chứa S là một ideal của R chứa S. Ideal này được gọi là ideal sinh bởi tập S, kí hiệu: S . Hiển nhiên đây là ideal bé nhất (theo quan hệ bao hàm) trong lớp các ideal của R chứa S.
7 Định nghĩa 1.1.3: Ideal sinh bởi tập gồm một phần tử {a} gọi là ideal chính sinh bởi a, kí hiệu: a . Định nghĩa 1.1.4: - Một ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p ≠ 1 và nếu xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p . - Một ideal m của vành R được gọi là ideal tối đại nếu m ≠ 1 và không có ideal α sao cho: m ⊂ α ⊂ 1 (bao hàm nghiêm ngặt). Mệnh đề 1.1.5: p là ideal nguyên tố của vành R khi và chỉ khi A là miền nguyên. p m là ideal tối đại của vành R khi và chỉ khi A là trường. m Hệ quả 1.1.6: Mọi ideal tối đại đều là ideal nguyên tố. Mệnh đề 1.1.7: Cho R là một vành. Giả sử p là một ideal nguyên tố và α, β là các ideal của R. Khi đó nếu αβ ⊂ p thì α ⊂ p hoặc β ⊂ p . Chứng minh: Giả sử α ⊄ p và β ⊄ p . Khi đó tồn tại x ∈ α; y ∈β sao cho x ∉ p; y ∉ p ⇒ xy ∉ p (vì p là ideal nguyên tố). Mặt khác xy ∈ αβ ⊂ p ⇒ xy ∈ p (vô lý). Vậy α ⊂ p hoặc β ⊂ p . Mệnh đề 1.1.8: Giả sử p là một ideal nguyên tố và α1 , α 2 ,..., α n là những ideal của R. Khi đó: n - Nếu ∩α i =1 i ⊂ p thì tồn tại i sao cho: αi ⊂ p . n - Nếu ∩α i =1 i = p thì tồn tại i sao cho: αi = p . Chứng minh:
8 Bằng phản chứng giả sử αi ⊂ p; ∀i = 1, n ⇒ ∃f i ∈ α i nhưng f i ∉ p với mọi i. n Suy ra: ∏ f ∉ p (vì p là ideal nguyên tố). i =1 i n n n Mặt khác do fi ∈ αi , ∀i = 1, n ⇒ ∏ fi ∈ ∏ αi ⊂ ∩ αi . i =1 i =1 i =1 n n n Theo giả thiết: ∩ αi ⊂ p nên ta có: i =1 ∏ fi ∈ p (mâu thuẫn với i =1 ∏f ∉ p ) i =1 i Vậy tồn tại i sao cho: αi ⊆ p . n Đặc biệt nếu: ∩α i = p ⇒ p ⊂ α i ; ∀i = 1, n . Mặt khác do kết quả trên thì tồn tại i 0 i =1 sao cho: αi0 ⊆ p . Vậy tồn tại i 0 sao cho: α i0 = p . Bổ đề Zorn: Cho S là tập không rỗng được sắp thứ tự bởi ≤ . Nếu mọi tập con T của S, được sắp toàn phần bởi ≤ , đều có cận trên thì S có phần tử tối đại. Định lý 1.1.9: Mọi vành R khác 0 có đều ít nhất một ideal tối đại. Hệ quả 1.1.10: Nếu α ≠ 1 là ideal của vành R thì α được chứa trong một ideal tối đại của R. Mọi phần tử không khả nghịch của vành R đều được chứa trong một ideal tối đại của R. Định nghĩa 1.1.11: Một phần tử x ∈ R được gọi là lũy linh nếu có số nguyên dương n sao cho: x n = 0 . Hiển nhiên, nếu x ≠ 0 , x lũy linh thì x là ước của 0. Tập hợp gồm các phần tử lũy linh của vành R là một ideal của R và được gọi là nilradical của R, kí hiệu: rad ( R ) . Khi đó: R không có phần tử lũy linh rad ( R ) khác 0. Mệnh đề 1.1.12: Nilradical của vành R là giao của các ideal nguyên tố của vành R. Chứng minh: Gọi ℜ là giao của tất cả các ideal nguyên tố của R.
9 Giả sử f ∈ R là phần tử lũy linh và p là ideal nguyên tố. Khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho: f n = 0 ∈ p ⇒ f ∈ p (vì p là ideal nguyên tố). Do đó: rad ( R ) ⊂ ℜ . Ngược lại: giả sử f là một phần tử không lũy linh, tức là ∀n ∈ ℕ* : f n > 0 . Xét Σ là tập hợp gồm các ideal α thỏa mãn tính chất: ∀n ∈ ℕ* : f n ∉ α . Hiển nhiên Σ ≠ ∅ (vì 0 ∈ Σ ). Σ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. Lấy T = {αi }i∈I là một tập con của Σ được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm. Đặt β = ∪ αi . Khi đó β là ideal của A, vì: ∀f ,g ∈β, ∀h ∈ A , do T được sắp i∈I thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm nên tồn tại αi ∈ T sao cho f ,g ∈ α i ⊂ β ⇒ f − g ∈ αi ⊂ β;hf ∈ αi ⊂ β . Vậy β là ideal của A. Vì αi ∈ Σ, ∀i ∈ I ⇒ f n ∉ αi , ∀i ∈ I, ∀n > 0 ⇒ f n ∉β, ∀n > 0 . Vậy β là cận trên của Σ . Theo bổ đề Zorn, tập Σ có phần tử tối đại p. Ta chứng minh p là ideal nguyên tố. Giả sử x, y ∉ p khi đó p + x ⊃ p,p + y ⊃ p (bao hàm nghiêm ngặt) và do đó không thuộc Σ . Vậy tồn tại m, n sao cho: f m ∈ p + x ,f n ∈ p + y . Suy ra: f m + n ∈ p + xy , nên p + xy ∉ Σ ⇒ xy ∉ p . Vậy p là ideal nguyên tố. Do đó có ideal nguyên tố p sao cho f ∉ p ⇒ f ∉ℜ . ⇒ ℜ ⊂ rad ( R ) . Vậy rad ( R ) = ℜ . Định nghĩa 1.1.13: Cho α là một ideal bất kỳ của vành R. Tập tất cả các phần tử x ∈ R sao cho có n > 0 : x n ∈ α , gọi là radical của ideal α , kí hiệu: r ( α ) . Mệnh đề 1.1.14: r ( α ) là một ideal của R. Mệnh đề 1.1.15: Radical của ideal α là giao của tất cả các ideal nguyên tố mà chứa α. Chứng minh:
10 Giả sử α là một ideal của R. Gọi A là giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa α . Ta chứng minh: r ( α ) = A . • r (α) ⊂ A ∀f ∈ R,f ∈ r ( α ) ⇒ ∃n ∈ ℕ, n > 0 : f n ∈ α Do đó với mọi idal nguyên tố p, p chứa α , ta có: f n ∈ p ⇒ f ∈ p ⇒ f ∈ A Vậy r ( α ) ⊂ A • r (α) ⊃ A ∀f ∈ R,f ∈ A . Bằng phản chứng, giả sử f ∉ r ( α ) . Gọi S là tập hợp tất cả các ideal β của R sao cho β ⊃ α và f n ∉β, ∀n ∈ ℕ* . Ta thấy S ≠ ∅ vì α ∈ S , do đó S có phần tử tối đại. Gọi p là phần tử tối đại của S với p là ideal nguyên tố chứa α . Vậy f ∉ p ⇒ f ∉ A (mâu thuẫn f ∈ A ). Vậy r ( α ) ⊃ A . Vậy r ( α ) = A . Định nghĩa 1.1.16: Một vành R có đơn vị 1 được gọi là vành Boole nếu: f 2 = f , ∀f ∈ R . Mệnh đề 1.1.17: Vành Boole là vành giao hoán. Chứng minh: Giả sử R là vành Boole. Với mọi f ,g ∈ R ta có: 2 f + g = ( f + g ) = f 2 + fg + gf + g 2 = f + fg + gf + g 2 2 ⇒ fg + gf = 0 ⇒ fg = −gf = ( −gf ) = ( gf ) = gf Vậy R là vành giao hoán. Mệnh đề 1.1.18: Mọi ideal nguyên tố trong vành Boole là ideal tối đại. Chứng minh: Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Boole R. Giả sử tồn tại ideal α của R sao cho: p ⊂ α ⇒ ∃f ∈ α : f ∉ p
11 Vì R là vành Boole nên: f ( f − 1) = f 2 − f = 0 ∈ p Suy ra f − 1 ∈ p (vì f ∉ p ) Suy ra f − 1 ∈ α ⇒ f − ( f − 1) ∈ α ⇒ 1 ∈ α ⇒ α = R . Vậy p là ideal tối đại của vành Boole R. Mệnh đề 1.1.19: Mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính. Chứng minh: Giả sử R là vành Boole, α là ideal hữu hạn sinh của R. Nếu α = f thì α là ideal chính. Nếu α = f ,g . Đặt h = f + g − fg . Ta chứng minh: f ,g = h Ta có h ∈ α ⇒ h ⊂ α Mặt khác: fh = f 2 + fg − f 2 g = f ⇒ f ∈ h   ⇒ α = f ,g ⊂ h gh = gf + g 2 − fg 2 = g ⇒ g ∈ h  Vậy f ,g = h do đó α là ideal chính. Bằng quy nạp ta có thể chứng minh được mọi ideal hữu hạn sinh trong vành Boole là ideal chính. Mệnh đề 1.1.20: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương: i) Mọi ideal trong R là hữu hạn sinh. ii) Mọi dãy tăng các ideal trong R, tức là: α1 ⊂ α 2 ⊂ α 3 ⊂ ... với αi ≠ α i +1 đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho: α n = α n +1 = α n + 2 = ... iii) Mọi tập không rỗng S gồm các ideal của R đều có phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm). Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử có một chuỗi tăng các ideal của R: α1 ⊂ α 2 ⊂ α 3 ⊂ ... với αi ≠ α i +1 .
12 ∞ Đặt: α = ∪ αi i =1 Khi đó ta có α là một ideal hữu hạn sinh của R, giả sử α = f1 ,f 2 ,...,f k với fi ∈ αi nào đó. Do đó ∃n ∈ ℕ, n > 0 : f1 ,f 2 ,...,f k ∈ α n Khi đó: f1 ,f 2 ,...,f k ⊂ α n ⊂ α = f1 ,f 2 ,...,f k ⇒ α n = α Vậy ∃n ∈ ℕ, n > 0 : α n = α n +1 = α n + 2 = ... ii) ⇒ iii) Giả sử S là tập không rỗng các ideal của R, vậy ∃α1 ∈ S . Nếu α1 không phải là phần tử tối đại của S ⇒ ∃α 2 ∈ S : α1 ⊂ α 2 . Tương tự như vậy nếu α 2 không phải là phần tử tối đại của S ⇒ ∃α3 ∈ S : α 2 ⊂ α3 … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal của R: α1 ⊂ α 2 ⊂ α3 ⊂ ... Theo giả thiết chuỗi tăng các ideal này hữu hạn, vậy S có phần tử tối đại. iii) ⇒ i) Giả sử α là một ideal bất kỳ trong R. Lấy f1 ∈ α . Nếu f1 = α thì α là hữu hạn sinh. Nếu f1 ≠ α ⇒ ∃f 2 ∈ α : f 2 ∉ f1 ⇒ f1 ⊂ f1 ,f 2 Nếu f1 ,f 2 = α thì α là hữu hạn sinh. Nếu f1 ,f 2 ≠ α ⇒ ∃f3 ∈ α : f3 ∉ f1 ,f 2 ⇒ f1 ,f 2 ⊂ f1 ,f 2 ,f3 Tiếp tục như vậy ta được một chuỗi tăng các ideal hữu hạn sinh của R. Gọi S là tập các ideal hữu hạn sinh, khi đó S ≠ ∅ và S có phần tử tối đại. Giả sử f1 ,f 2 ,...,f n là phần tử tối đại của S. Ta chứng minh: f1 ,f 2 ,...,f n = α . Thật vậy giả sử f1 ,f 2 ,...,f n ≠ α ⇒ ∃f n +1 ∈ α : f1 ,f 2 ,...,f n ⊂ f1 ,f 2 ,...,f n ,f n +1 ⇒ f1 ,f 2 ,...,f n ,f n +1 ∈ S (mâu thuẫn tính tối đại của f1 ,f 2 ,...,f n trong S) Vậy f1 ,f 2 ,...,f n = α do đó α là hữu hạn sinh. Vậy mọi ideal của R là hữu hạn sinh.
13 Định nghĩa 1.1.21: Một vành R được gọi là vành Nether nếu thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.20. Mệnh đề 1.1.22: Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương: i) Mọi dãy giảm các ideal trong R, tức là: α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... với αi ≠ α i +1 đều hữu hạn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương n sao cho: α n = α n +1 = α n + 2 = ... ii) Mọi tập không rỗng S các ideal của R đều có phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm). Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử S ≠ ∅ là một tập bất kỳ các ideal của R. Lấy α1 ∈ S nếu α1 là phần tử tối tiểu của S thì mệnh đề chứng minh xong, nếu α1 không phải là phần tử tối tiểu của S ⇒ ∃α 2 ∈ S : α1 ⊃ α 2 . Tương tự như vậy nếu α 2 không phải là phần tử tối đại của S ⇒ ∃α3 ∈ S : α 2 ⊃ α 3 … tiếp tục như vậy ta được một chuỗi giảm các ideal của A: α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... Theo giả thiết chuỗi này hữu hạn, nên S có phần tử tối tiểu. ii) ⇒ i) Xét một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R: α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... Gọi tập hợp S = {αi }i≥1 . Theo giả thiết S có phần tử tối tiểu, giả sử α n là phần tử tối tiểu của S. Vậy chuỗi ideal α1 ⊃ α 2 ⊃ α3 ⊃ ... là hữu hạn. Định nghĩa 1.1.23: Một vành R được gọi là vành Artin nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện tương đương của mệnh đề 1.1.22. Mệnh đề 1.1.24: Cho R là vành Artin, α là ideal của R. Khi đó vành thương R α cũng là vành Artin. Chứng minh: →R . Xét toàn cấu chính tắc: ϕ : R  α
14 Giả sử α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R . Khi đó : α α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là một chuỗi giảm bất kỳ các ideal của R, với αi = ϕ−1 αi . Do ( ) R là vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + 2 = ... , mà αi = ϕ ( αi ) với i = 1, 2,3... do đó ∃n ∈ ℕ* : α n = α n +1 = α n + 2 = ... Vậy α1 ⊃ α 2 ⊃ α 3 ⊃ ... là chuỗi hữu hạn các ideal của R , do đó R là vành α α Artin. Mệnh đề 1.1.25: Mọi ideal nguyên tố trong vành Artin R là ideal tối đại. Chứng minh: Giả sử p là ideal nguyên tố của vành Artin R. Khi đó R là miền nguyên. p Mặt khác ∀f ∈ R ,f ≠ 0 ta có: f ⊃ f 2 ⊃ f 3 ⊃ ... là chuỗi giảm các ideal của p R , theo mệnh đề trên ta có R là vành Artin nên ∃n ∈ ℕ* : f n = f n +1 = ... p p Suy ra: ∃g ∈ R : f n = f n +1.g ⇒ 1 = f .g p Vậy f khả nghịch trong R , do đó R là trường. p p Suy ra p là ideal tối đại trong R. Mệnh đề 1.1.26: Trong vành Artin R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại. Chứng minh: Xét tập hợp S gồm tất cả các giao hữu hạn: m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m k trong đó m i là các ideal tối đại của A. Hiển nhiên, S ≠ ∅ và m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m k là ideal của A, vậy S có phần tử tối tiểu, giả sử m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n là phần tử tối tiểu của S. Khi đó với mọi m là ideal tối đại của R, ta có: m ∩ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n ⊂ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n , do m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n là phần tử tối tiểu của S, nên m ∩ m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n = m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n , do đó:
15 m1 ∩ m 2 ∩ ... ∩ m n ⊂ m . Mặt khác do m là ideal tối đại của R, nên ∃i 0 ∈ {1,..., n} : m ⊃ mi0 . Suy ra m = mi0 (vì mi0 là ideal tối đại của R). Vậy trong R chỉ có hữu hạn các ideal tối đại. 1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.2.1: Cho một tập hợp X. Một họ τ gọi là một tôpô trên X nếu tỏa mãn các điều kiện: ( τ1 ) X và ∅ thuộc τ ; ( τ2 ) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ ; ( τ3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ . Định nghĩa 1.2.2: Cho một tập hợp X cùng một tôpô trên X gọi là một không gian tôpô. Định nghĩa 1.2.3: Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập ∅ và tất cả các tập con G của X có X \ G hữu hạn, là một tôpô trên X và tôpô này được gọi là tôpô Zariski. Định nghĩa 1.2.4: Cho τ là một tôpô trên X. Một họ con β của τ gọi là cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu mọi G ∈ τ mọi x ∈ G tồn tại V ∈β sao cho x∈V ⊂ G. Định nghĩa 1.2.5: Cho X là một không gian tôpô. • Không gian tôpô X gọi là T0 − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. • Không gian tôpô X gọi là T1 − không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. • Không gian tôpô X gọi là T2 − không gian (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ của X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅ .
16 • Không gian tôpô X gọi là T3 − không gian (hay không gian chính quy) nếu X là T1 − không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x ∈ U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅ . • Không gian tôpô X gọi là T 1 − không gian (hay không gian hoàn toàn chính 3 2 quy) nếu X là T1 − không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0;1] sao cho f ( x ) = 0 và f ( y ) = 1 với mọi y ∈ F . • Không gian hoàn toàn chính quy còn gọi là không gian Tikhonov. • Không gian tôpô X gọi là T4 − không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1 − không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩ V = ∅ . Mệnh đề 1.2.6: Cho X là không gian tôpô. Khi đó X là T1 − không gian khi và chỉ khi với mọi x ∈ X , tập {x} là tập đóng. Hệ quả 1.2.7: Không gian chuẩn tắc là không gian chính quy. Không gian chính quy là không gian Hausdorff. Hiển nhiên theo định nghĩa ta có không gian Hausdorff là T1 − không gian và T1 − không gian là T0 − không gian. Định nghĩa 1.2.8: Cho X là một không gian mêtric. • Một họ {Vα }( α∈I) các tập con của không gian X được gọi là một phủ của của tập con A của X nếu A ⊂ ∪ Vα . Nếu mọi Vα đều là tập mở thì phủ gọi là α∈I phủ mở. • Cho {Vα }( α∈I) là một phủ của A. Nếu J ⊂ I mà {Vα }( α∈J ) cũng là một phủ của A thì {Vα }( α∈J ) gọi là một phủ con của {Vα }( α∈I) . Nếu J là tập hữu hạn thì {V }( α α∈J ) gọi là một phủ con hữu hạn của phủ {Vα }( α∈I) . Định nghĩa 1.2.9: Cho X là không gian tôpô.
17 • Tập con A của X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. • Không gian X gọi là không gian compact nếu X là tập compact của X. • Tập con A của X được gọi là tập compact tương đối nếu bao đóng A là compact trong X. Mệnh đề 1.2.10: a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact. b) Tập con compact của một không gian Hausdorff là tập đóng. c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc. Định nghĩa 1.2.11: • Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng và rời nhau, tức là không tồn tại hai tập mỡ, khác rỗng U và V sao cho U ∪ V = X và U ∩ V = ∅ . • Tập con A của không gian X gọi là tập liên thông của X nếu A với tôpô cảm sinh là không gian liên thông. Mệnh đề 1.2.12: Không gian tôpô X là không gian liên thông khi và chỉ khi thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: a) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng khác rỗng, rời nhau. b) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa đóng vừa mở. 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Định nghĩa 1.3.1: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, với mỗi tập con E của R ta kí hiệu V(E) là tập tất cả các ideal nguyên tố p của R mà p chứa E. Mệnh đề 1.3.2: Cho R là vành, E là tập con của R. Nếu α là ideal của R sinh bởi E thì: V ( E ) = V ( α ) = V ( r ( α ) ) Chứng minh: V ( E) = V (α) Với mọi ideal nguyên tố p của R ta có:
18 p ∈ V (E) ⇔ p ⊃ E (theo định nghĩa V(E)) ⇔p⊃α (do α = E ) ⇔ p ∈ V (α) Từ đó V ( E ) = V ( α ) . V (α ) = V ( r ( α )) Do r ( α ) là giao của mọi ideal nguyên tố của R chứa α nên r ( α ) là ideal chứa α . Vì vậy với mọi ideal nguyên tố p của R ta có: p ∈ V (α) ⇔ p ⊃ α ⇔ p ⊃ r (α) ⇔ p ∈ V ( r ( α )) Từ đó V ( α ) = V ( r ( α ) ) . Mệnh đề 1.3.3: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, đặt X là tập gồm tất cả các ideal nguyên tố của R. Khi đó ta có: V ( 0 ) = X; V (1) = ∅ . Chứng minh: Do mọi ideal nguyên tố của R đều chứa 0 và không chứa 1 nên ta có: V ( 0 ) = X và V (1) = ∅ . Mệnh đề 1.3.4: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, nếu {E i }i∈I là một họ các tập   con của R thì: ∩ V ( E ) = V  ∪ E  . i∈I i i∈I i Chứng minh: Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta có: p ∈ ∩ V ( E i ) ⇔ p ∈ V ( E i ) ; ∀i ∈ I i∈I ⇔ p ⊃ Ei ; ∀i ∈ I ⇔ p ⊃ ∪ Ei i∈I
19   ⇔ p ∈ V  ∪ Ei   i∈I    Vậy ∩ V ( E ) = V  ∪ E  . i∈I i i∈I i Mệnh đề 1.3.5: Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, α, β là các ideal của R. Khi đó: V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) . Chứng minh: V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) Theo định nghĩa tích hai ideal ta có: αβ ⊂ α   ⇒ αβ ⊂ α ∩ β ⇒ V ( αβ ) ⊃ V ( α ∩ β ) αβ ⊂ β  Ngược lại, với mọi ideal nguyên tố p của R, ta có: p ∈ V ( αβ ) ⇔ p ⊃ αβ p ⊃ α ⇒ p ⊃ β ⇒ p ⊃ α ∩β ⇒ p ∈ V ( α ∩ β) Suy ra: V ( αβ ) ⊂ V ( α ∩ β ) Vậy: V ( αβ ) = V ( α ∩ β ) V ( α ) ∪ V ( β ) = V ( αβ ) Với mọi ideal nguyên tố p của vành R, ta có: p ∈ V ( α ) p ∈ V ( α ) ∪ V (β ) ⇔   p ∈ V ( β ) p ⊃ α ⇔ p ⊃ β ⇔ p ⊃ αβ ⇔ p ∈ V ( αβ )