Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

117
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán tập trung tìm hiểu về lũy đẳng, lũy đẳng tâm, lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ, lũy đẳng nguyên thủy, lũy đẳng địa phương và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép. Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí. Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn. TP. Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Vũ Vân Trang 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3 LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 5 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ..........................................................................5 1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................7 1.3. Radical của vành ......................................................................................................10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ............................................................................................. 15 2.1. Lũy đẳng ...................................................................................................................15 2.2. Lũy đẳng tâm ............................................................................................................18 2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .....................................................................19 2.4. Lũy đẳng nguyên thủy .............................................................................................19 2.5. Lũy đẳng địa phương ...............................................................................................20 2.6. Lũy đẳng bất khả quy ..............................................................................................23 2.7. Lũy đẳng đẳng cấu ...................................................................................................25 2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R .27 2.9. Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối ........................................................................34 KẾT LUẬN ................................................................................................................ 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 43 2
BẢNG KÝ HIỆU ℤ Vành các số nguyên 𝐴↠𝐵 B là ảnh toàn cấu của A 𝑍(𝑅) Tâm của vành 𝑅 𝑀𝑅 𝑅 – môđun phải 𝑀 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁) Nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀) Vành các 𝑅 – tự đồng cấu của 𝑀 𝑀𝑛 (𝐷) Vành ma trận vuông cấp n trên 𝐷 𝑈(𝑅) Nhóm các phần tử khả nghịch của vành 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅 Căn Jacobson của 𝑅 ACC Điều kiện dây chuyền tăng DCC Điều kiện dây chuyền giảm 3
LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 thì vành 𝑅 được phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con 𝑅𝑒 và 𝑅(1 − 𝑒). Theo nhiều nghiên cứu trong lý thuyết vành giao hoán, chúng ta chỉ thu hẹp nghiên cứu trong các vành 𝑅 không thể phân tích được nghĩa là 𝑅 ≠ 0 và 𝑅 không phân tích được thành tích trực tiếp của hai vành con khác không. Các vành này là các vành chỉ có các phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1. Đối với vành không giao hoán, nhận xét trên sẽ hợp lí nếu ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm”. Do đó, một vành 𝑅 khác không là không phân tích được nếu và chỉ nếu nó không có phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường. Tuy nhiên trong các vành này có thể có nhiều phần tử lũy đẳng không là lũy đẳng tâm không tầm thường. Do vậy trong lý thuyết các vành không giao hoán định lý về các lũy đẳng có vai trò nổi bật hơn trong lý thuyết các vành giao hoán. Đặc biệt là vai trò của lũy đẳng tâm trong sự phân tích khối của các vành. 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì 𝑅 là vành không giao hoán có đơn vị, môđun M là một 𝑅 – môđun phải. 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (1) R, + là một nhóm giao hoán. (2) R,. là một nửa nhóm. (3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với các phần tử tùy ý 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 và (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥 Nếu phép nhân trong 𝑅 giao hoán thì ta gọi 𝑅 là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi 𝑅 là vành có đơn vị. Định nghĩa 1.1.2 Một bộ phận 𝐴 khác rỗng của vành 𝑅 cùng với hai phép toán của vành 𝑅 cảm sinh trên 𝐴 thành một vành thì ta nói 𝐴 là vành con của vành 𝑅. Định nghĩa 1.1.3 Cho 𝑅 là một vành, một vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan trái (hoặc iđêan phải) của vành 𝑅 nếu thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅. Vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan của vành 𝑅 nếu 𝐴 vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của vành 𝑅. Định lý 1.1.4 Giả sử 𝐴 là iđêan của vành (𝑅, +, . ) trên nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa phép toán nhân như sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴. Khi đó (𝑅�𝐴 , +, . ) là một vành, gọi là vành thương của 𝑅 trên 𝐴. 5
Định nghĩa 1.1.5 Một phần tử 𝑎 của vành 𝑅 là lũy linh nếu tồn tại 𝑛 sao cho a n = 0 . Định nghĩa 1.1.6 Một iđêan một phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 được gọi là nil nếu 𝐴 chứa các phần tử lũy linh; 𝐴 được gọi là lũy linh nếu 𝐴𝑛 = 0 với 𝑛 là số tự nhiên nào đó. Định nghĩa 1.1.7 Cho 𝑅 là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong 𝑅 đều khả nghịch thì 𝑅 được gọi là một vành chia (hay là một thể). Định nghĩa 1.1.8 Vành 𝑅 là đơn nếu 𝑅 2 ≠ 0 và 𝑅 có đúng hai iđêan là (0) và 𝑅. Định nghĩa 1.1.9 Vành 𝑅 được gọi là Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có phần tử tối tiểu. Định nghĩa 1.1.10 Vành 𝑅 được gọi là Noether phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có phần tử tối đại. Định nghĩa 1.1.11 Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên tố nếu 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì 𝑎 = 0 hoặc 𝑏 = 0. Định nghĩa 1.1.12 Vành 𝑅 được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có iđêan lũy linh khác không. Định nghĩa 1.1.13 Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ được gọi là một đồng cấu vành nếu 𝑓 bảo toàn các phép toán, nghĩa là: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 được gọi là một tự đồng cấu của 𝑅. Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng 6
cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ thì ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′. 1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho 𝑅 là một vành tùy ý và 𝑀 là một nhóm cộng aben. 𝑀 được gọi là một 𝑅 – môđun phải nếu có một ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀, (𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟 sao cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 và ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì: (1) m(a + b) = ma + mb. (2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a. (3) (ma)b = m(ab). Định nghĩa 1.2.2 𝑀 là 𝑅 – môđun thì tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} được gọi là tập linh hóa của M trong R . Định nghĩa 1.2.3 𝑀 được gọi là 𝑅 – môđun trung thành nếu 𝑀𝑟 = (0) thì 𝑟 = 0. Như vậy 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành khi và chỉ khi 𝐴(𝑀) = {0}. Mệnh đề 1.2.4 𝐴(𝑀) là iđêan hai phía của 𝑅, hơn nữa 𝑀 là 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành. Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M . Khi đó, 𝐸(𝑀) lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường. Với mỗi a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M sao cho mTa= ma, ∀m ∈ M . Mệnh đề 1.2.5 𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với một vành con của vành 𝐸(𝑀). Đặc biệt nếu 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành thì 𝐴(𝑀) = {0} khi đó 𝑅 được xem là vành con của vành 𝐸(𝑀). Bây giờ ta xét những phần tử nào trong E ( M ) mà giao hoán được với tất cả Ta . Định nghĩa 1.2.6 Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅} 7
Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự đồng cấu môđun của 𝑀. Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự đồng cấu môđun của 𝑀. Định nghĩa 1.2.7 Cho 𝑅 – môđun 𝑀 và tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 được gọi là môđun con của 𝑀 nếu: 1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁 2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁 Định nghĩa 1.2.8 𝑀 được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu 𝑀𝑅 ≠ 0 và 𝑀 có đúng hai môđun con là (0) và 𝑀 Định nghĩa 1.2.9 Một vành 𝑅 được gọi là nửa đơn nếu 𝑅 là R - môđun đơn. Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur) Nếu 𝑀 là môđun đơn thì 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành chia. Định nghĩa 1.2.11 Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên thủy nếu 𝑅 có môđun trung thành bất khả quy. Định nghĩa 1.2.12 Môđun 𝑀 được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun đơn. Định nghĩa 1.3.13 𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu mọi dãy tăng các môđun con 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Noether. Môđun 𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu mọi dãy giảm các môđun con 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Artin. Mệnh đề 1.2.14 Nếu 𝑁 là một môđun con của 𝑅 – môđun 𝑀 thì tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng và 8
phép nhân vô hướng định bởi: (𝑥 + 𝑁) + (𝑦 + 𝑁) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑁, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 𝑎(𝑥 + 𝑁) = 𝑎𝑥 + 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅 là một 𝑅 – môđun. Khi đó 𝑅 – môđun 𝑀/𝑁 được gọi là môđun thương của 𝑅–môđun 𝑀 với môđun con 𝑁 của nó. Định nghĩa 1.2.15 Một dãy hợp thành của một 𝑅 – môđun 𝑀 là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con 𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑀𝑛 = {0} sao cho 𝑀𝑖−1 ⁄𝑀𝑖 là một môđun đơn, 𝑖 = 1, … , 𝑛. Khi đó số 𝑛 được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. Môđun 𝑀 có một dãy hợp thành được gọi là môđun có dãy hợp thành. Định lý 1.2.16 (Định lý Jordan-Holder) Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 có một dãy hợp thành với độ dài 𝑛, thì tất cả các dãy hợp thành của 𝑀 cũng có độ dài 𝑛. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các môđun con của 𝑀 đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. Định nghĩa 1.2.17 Nếu 𝑅 – môđun (trái hoặc phải) 𝑀 có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp thành của 𝑀 có cùng một độ dài. Khi đó độ dài các dãy hợp thành của 𝑀 được gọi là độ dài của môđun M. Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 không có dãy hợp thành thì ta nói 𝑀 có độ dài vô hạn. Định lý 1.2.18 Một 𝑅 – môđun 𝑀 có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi 𝑀 vừa là Noether vừa là Artin. Định nghĩa 1.2.19 Tập con S của R – môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức a1 x1 +…+ an xn = 0 với x1, …, xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1 =…= an. Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu M có một hệ sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một 9
cơ sở của M. Định nghĩa 1.2.20 Một R – môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: P→ M″ và mọi toàn cấu g: M→ M″ các R – môđun đều tồn tại một đồng cấu h: P → M sao cho gh=f. 1.3. Radical của vành Định nghĩa 1.3.1 Radical Jacobson (Căn Jacobson) của 𝑅, ký hiệu là 𝑟𝑎𝑑 𝑅, là tập tất cả các phần tử của 𝑅 linh hóa tất cả các 𝑅 – môđun bất khả quy của 𝑅. Nếu 𝑅 không có môđun bất khả quy nào thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑅. Theo định nghĩa thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =∩ 𝐴(𝑀), M chạy khắp các R - môđun bất khả quy, ta có 𝐴(𝑀) là iđêan hai phía nên 𝑟𝑎𝑑 𝑅 cũng là iđêan hai phía. Định nghĩa 1.3.2 Một iđêan phải 𝜌 của 𝑅 được gọi là chính quy nếu có 𝑎 ∈ 𝑅 sao cho 𝑥 − 𝑎𝑥 ∈ 𝜌, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Nếu 𝑅 có đơn vị (thật ra là đơn vị trái) thì tất cả các iđêan phải của nó đều chính quy. Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là tựa chính quy phải nếu có 𝑎′ ∈ 𝑅 sao cho 𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = 0. Ta gọi 𝑎′ là tựa nghịch đảo phải của 𝑎. Ta định nghĩa tương tự cho phần tử tựa chính quy trái. Chú ý nếu 𝑅 có đơn vị 1 thì 𝑎 là tựa chính quy phải nếu và chỉ nếu 1 + 𝑎 là khả nghịch phải trong 𝑅. Định nghĩa 1.3.4 Vành 𝑅 được gọi là nửa nguyên thủy (hay còn gọi là J – nửa đơn) nếu 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = (0) Bổ đề 1.3.5 Với 𝑦 ∈ 𝑅, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑦 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 (2) 1 − 𝑥𝑦 khả nghịch trái với 𝑥 ∈ 𝑅 10
(3) 𝑦𝑀 = 0 với 𝑀 là 𝑅 – môđun trái đơn bất kỳ. Định lý 1.3.6 (Định lý Hopkins – Levitzki) Cho 𝑅 là vành với 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là lũy linh và 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là nửa đơn (𝑅 được gọi là vành nửa nguyên thủy). Khi đó với bất kỳ 𝑅 – môđun trái 𝑀 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑀 là Noether. (2) 𝑀 là Artin. (3) 𝑀 có dãy hợp thành. Đặc biệt, (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether trái và nửa nguyên thủy; (B) Môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ trên vành Artin trái có dãy hợp thành. Định lý 1.3.7 Cho vành 𝑅 bất kỳ khác không, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝑅 có duy nhất một iđêan trái tối đại. (2) 𝑅 có duy nhất một iđêan phải tối đại. (3) 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành chia. (4) 𝑅\𝑈(𝑅) là một iđêan của 𝑅. (5) 𝑅\𝑈(𝑅) là nhóm với phép tính cộng. (5′) Với bất kỳ 𝑛, 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∈ 𝑈(𝑅) suy ra 𝑎𝑖 ∈ 𝑈(𝑅). (5″) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑈(𝑅) suy ra 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅) hoặc 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅). Nếu bất kỳ điều kiện nào ở trên được thỏa thì ta nói 𝑅 là vành địa phương. Định nghĩa 1.3.8 Vành 𝑅 được gọi là nửa địa phương nếu 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành Artin trái hoặc nếu 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành nửa đơn. Nhận xét: Nếu 𝑅 là nửa địa phương thì 𝑅 có một số hữu hạn các iđêan trái tối đại. Định nghĩa 1.3.9 Một vành 𝑅 được gọi là vành Dedekind – hữu hạn nếu 𝑎𝑏 = 1 kéo theo 𝑏𝑎 = 1 với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 bất kỳ. Mệnh đề 1.3.10 11
Vành 𝑅 nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn. Định nghĩa 1.3.11 Một 𝑅 – môđun phải 𝑀 ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 𝑀 không thể viết được dưới dạng tổng trực tiếp của hai 𝑅 – môđun con khác không của 𝑀. Định nghĩa 1.3.12 Một 𝑅 – môđun phải 𝑀 được gọi là không phân tích được mạnh nếu 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành địa phương. Nhận xét: Mọi môđun không phân tích được mạnh đều là không phân tích được vì 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành địa phương nên không có lũy đẳng không tầm thường. Mọi môđun đơn bất kỳ đều là môđun không phân tích được mạnh vì theo bổ đề Schur 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành chia nên là vành địa phương. Định lý 1.3.13 (Định lý Wedderburn – Artin) Cho 𝑅 là vành Artin đơn. Khi đó 𝑅 ≅ 𝑀𝑛 (𝐷), với 𝐷 là vành chia. Hơn nữa, 𝑛 là duy nhất và 𝐷 xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ngược lại, với vành chia 𝐷, 𝑀𝑛 (𝐷) là vành Artin đơn. Bổ đề 1.3.14 Cho 𝑅 là vành với các iđêan khác không 𝐵1 , … , 𝐵𝑟 và 𝐶1 , … , 𝐶𝑠 thỏa 𝑅 = 𝐵1 ⨁ … ⨁ 𝐵𝑟 = 𝐶1 ⨁ … ⨁ 𝐶𝑠 sao cho mỗi 𝐵𝑖 , 𝐶𝑖 không phân tích được như là một iđêan (tức không là tổng trực tiếp của hai iđêan con khác 0). Khi đó 𝑟 = 𝑠 và sau một hoán vị của các chỉ số, 𝐵𝑖 = 𝐶𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟. Bổ đề 1.3.15 (Bổ đề Nakayama) Với iđêan trái bất kỳ 𝐽 ⊆ 𝑅, các phát biểu sau là tương đương: (1) 𝐽 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 (2) Với 𝑅 – môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ M, 𝐽. 𝑀 = 0 suy ra 𝑀 = 0 (3) Với các 𝑅 – môđun trái 𝑁 ⊆ 𝑀 sao cho 𝑀/𝑁 là hữu hạn sinh, 𝑁 + 𝐽. 𝑀 = 𝑀 suy ra 𝑁 = 𝑀 Vành giao hoán, có đơn vị có nhiều hơn một phần tử, mọi phần tử khác không đều khả nghịch gọi là trường. 12
Một đại số 𝐴 trên trường 𝐹 là một không gian vectơ trên 𝐹 sao cho trên 𝐴 có một phép nhân và cùng với phép nhân này 𝐴 là một vành. Hơn nữa, cấu trúc không gian vectơ có thể khớp với cấu trúc vành theo luật : 𝑘(𝑎𝑏) = (𝑘𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑘𝑏), ∀𝑘 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 Số chiều của không gian vectơ 𝐴 trên 𝐹 được gọi là số chiều của đại số 𝐴 và kí hiệu là 𝑑𝑖𝑚𝐹 𝐴 hay viết gọn là dim 𝐴 nếu không sợ nhầm lẫn. 𝐹 được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 trong 𝐹[𝑥] đều có nghiệm trong 𝐹. Một đồng cấu từ đại số 𝐴 vào đại số 𝐴′ là ánh xạ ℎ: 𝐴 → 𝐴′ vừa là đồng cấu môđun, vừa là đồng cấu vành. Mệnh đề 1.3.16 Cho 𝑖 ∶ 𝑅 ⟶ 𝑆 là đồng cấu vành. Giả sử 𝑆 = 𝑅. 𝑥1 + ⋯ + 𝑅. 𝑥𝑛 với mỗi 𝑥𝑗 giao hoán (theo từng thành phần) với 𝑖(𝑅). Khi đó 𝑖(𝑟𝑎𝑑 𝑅) ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆. Hệ quả 1.3.17 Cho 𝑅 là vành giao hoán và 𝑆 là 𝑅 – đại số thỏa 𝑆 hữu hạn sinh như là một 𝑅 – môđun. Khi đó (𝑟𝑎𝑑 𝑅). 𝑆 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆. Định lý 1.3.18 Cho 𝑀𝑅 là 𝑅 – môđun không phân tích được có độ dài 𝑛 < ∞. Khi đó 𝐸 ≔ 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó 𝑚 = 𝑟𝑎𝑑 𝐸 thỏa 𝑚𝑛 = 0. Đặc biệt, 𝑀 là môđun không phân tích được mạnh. Mệnh đề 1.3.19 Cho 𝑅 là vành bất kỳ và 𝑀𝑅 là 𝑅 – môđun phải với các môđun con hoặc thỏa ACC hoặc thỏa DCC. Khi đó 𝑀 có thể phân tích được thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không phân tích được (Ta có thể nói gọn là 𝑀 có sự phân tích Krull – Schmidt) Định lý 1.3.20 (Định lý Krull – Schmidt – Azumaya) Cho 𝑅 là một vành và giả sử 𝑅 – môđun phải 𝑀 có hai sự phân tích thành các môđun con: 𝑀 = 𝑀1 ⨁ … ⨁𝑀𝑟 = 𝑁1 ⨁ … ⨁𝑁𝑠 với mỗi 𝑁𝑖 là không phân tích được và mỗi 𝑀𝑖 là không phân tích được mạnh. Khi đó 𝑟 = 𝑠 và ta có 𝑀𝑖 ≅ 𝑁𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 13
14
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này ta nghiên cứu một lý thuyết có hệ thống về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán. Sau đó ta xét hai bài toán lớn: bài toán 1 về khả năng nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành 𝑅 và bài toán 2 về sự phân tích khối. 2.1. Lũy đẳng Định nghĩa 2.1.1 Phần tử 𝑒 ≠ 0 trong 𝑅 là lũy đẳng nếu 𝑒 2 = 𝑒. Bổ đề 2.1.2 Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố. Giả sử ρ ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Khi đó ρ = 𝑒𝑅 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝑅. Chứng minh Do 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝜌 ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nên 𝜌2 ≠ (0), do đó tồn tại 𝑥 ∈ 𝜌 sao cho 𝑥𝜌 ≠ (0). Tuy nhiên 𝑥𝜌 ⊂ 𝜌 là iđêan phải của 𝑅 và do tính tối tiểu cùa 𝜌 thì 𝑥𝜌 = 𝜌. Vì vậy tồn tại 𝑒 ∈ 𝜌 thỏa 𝑥𝑒 = 𝑥 suy ra 𝑥𝑒 2 = 𝑥𝑒 vì vậy 𝑥(𝑒 2 − 𝑒) = 0. Giả sử 𝜌0 = {𝑎 ∈ 𝜌: 𝑥𝑎 = 0}; 𝜌0 là iđêan phải của 𝑅 và 𝜌 chứa 𝜌0 và 𝜌 ≠ 𝜌0 vì 𝑥𝜌 ≠ (0). Theo tính tối tiểu của 𝜌 ta có 𝜌0 = (0); vì 𝑒 2 − 𝑒 ∈ 𝜌0 nên 𝑒 2 = 𝑒 và vì 𝑥𝑒 = 𝑒 ≠ 0 ta có 𝑒 ≠ 0, tức là e là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑒 ∈ 𝜌 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ ρ là iđêan phải của 𝑅, chứa 𝑒 2 = 𝑒 ≠ 0 vì vậy 𝑒𝑅 ≠ (0). Do tính tối tiểu của ρ nên 𝑒𝑅 = ρ. Bổ đề 2.1.3 Cho 𝑅 là vành và 𝑎2 − 𝑎 lũy linh, 𝑎 ∈ 𝑅. Khi đó hoặc 𝑎 là lũy linh hoặc tồn tại đa thức 𝑞(𝑥)∈ ℤ[𝑥] thỏa 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác không. Chứng minh Giả sử (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 với 𝑘 ∈ ℕ, khai triển (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 ta được 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎) với 𝑝(𝑥)∈ ℤ[𝑥]. Khi đó 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎𝑘 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎)𝑝(𝑎) = 𝑎𝑘+2 𝑝(𝑎)2 15
Tiếp tục quá trình trên ta được 𝑎𝑘 = 𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 . Nếu a lũy linh thì ta có đpcm. Mặt khác nếu 𝑎𝑘 ≠ 0, vì 0 ≠ 𝑒 = 𝑎𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 = (𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 )𝑝(𝑎)𝑘 = 𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)2𝑘 = 𝑒 2 . Ta có thể viết 𝑒 = 𝑎𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 = 𝑎𝑞(𝑎) với 𝑞(𝑥)∈ ℤ[𝑥]. Định lý 2.1.4 Nếu 𝑅 là vành Artin và ρ ≠ (0) là iđêan phải không lũy linh của 𝑅 thì ρ chứa một lũy đẳng khác 0. Chứng minh Vì ρ không lũy linh nên ρ ⊄ 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Đặt 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑅� là nửa nguyên tố. Giả sử 𝜌̅ = {𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ∶ 𝑎 ∈ 𝜌} là ảnh của 𝜌 trong 𝑅� . Do 𝜌̅ ≠ (0) và 𝑅� là Artin suy ��0 có một lũy đẳng 𝑒̅ ≠ 0� 𝜌0 của 𝑅�. Theo (2.1.2) 𝜌 ra 𝜌̅ chứa một iđêan phải tối tiểu �� 0 = 𝑒̅ 𝑅�. Giả sử 𝑎 ∈ 𝜌 là tạo ảnh của 𝑒̅ tức là 𝑒̅ = 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅, vì 𝑒̅ 2 = 𝑒̅ suy sao cho 𝜌 ra 𝑎2 – 𝑎 là tạo ảnh của 0� tức là 𝑎2 − 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Do đó 𝑎2 − 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 suy ra 𝑎2 − 𝑎 lũy linh trong 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Ta chỉ ra rằng a không lũy linh, thật vậy nếu 𝑎𝑘 = 0, 𝑘 ∈ ℕ, khi đó 0 = 𝑎�𝑘 = 𝑒̅ 𝑘 = 𝑒̅ mâu thuẩn. Theo (2.1.3) tồn tại đa thức 𝑞(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] sao cho 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác 0. Do 𝑎 ∈ 𝜌 suy ra 𝑎𝑞(𝑎) ∈ 𝜌 vì vậy 𝑒 ∈ 𝜌. Định lý 2.1.5 Cho 𝑅 là vành bất kỳ và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 Chứng minh " ⊂ " Giả sử 𝑀 là 𝑅 – môđun bất khả quy. Ta sẽ chỉ ra rằng 𝑟𝑎𝑑 (𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑀. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: 𝑀𝑒 ≠ (0), tồn tại 𝑚∈𝑀 sao cho 𝑚𝑒 ≠ 0∈ 𝑀𝑒, khi đó (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑚𝑒 2 𝑅𝑒 = 𝑚𝑒𝑅𝑒, vì 𝑚𝑒 ≠ 0 và 𝑚𝑒 = 𝑚𝑒𝑒 ∈ 𝑚𝑒𝑅, M bất khả quy suy ra 𝑚𝑒𝑅 = 𝑀 do đó 𝑚𝑒𝑅𝑒 = 𝑀𝑒. Vậy 𝑀𝑒 là 𝑒𝑅𝑒 – môđun bất khả quy (Thật vậy nếu N ≠ (0) là 𝑒𝑅𝑒–môđun con của 𝑀𝑒 và 0 ≠ 𝑚𝑒 ∈ 𝑁 thì (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑒 ⊂ 𝑁 suy ra 𝑁 = 𝑀𝑒) và 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0) (vì mỗi phần tử của 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) đều có dạng 𝑒𝑅𝑒 nên 𝑀𝑒 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)). Nói cách khác nếu 𝑀𝑒 ≠ (0) thì 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0). 16
Trường hợp 2: 𝑀𝑒 = (0) thì 𝑀𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0). Do vậy trong hai trường hợp ta có 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑅 –môđun bất khả quy 𝑀, do đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑅). Vì vậy 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)𝑒 ⊂ 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒. " ⊃ " Giả sử 𝑎 ∈ 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ⊂ 𝑟𝑎𝑑𝑅 (vì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là iđêan hai phía), khi đó a có tựa nghịch đảo trái và phải 𝑎′ . Ta có 𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = 0 (i) nhân hai vế trái và phải của đẳng thức (i) với 𝑒 và sử dụng 𝑒𝑎𝑒 = 𝑎 ta có 0 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑒𝑎𝑎′𝑒 = 𝑎 + 𝑒𝑎′ 𝑒 + (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎′ 𝑒) = 𝑎 + 𝑒𝑎′ 𝑒 + 𝑎𝑒𝑎′𝑒. Suy ra 𝑒𝑎′ 𝑒 là tựa nghịch đảo phải của 𝑎. Vì phần tử tựa nghịch đảo của 𝑎 là duy nhất nên 𝑎′ = 𝑒𝑎′𝑒. Do đó mọi phần tử trong 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 đều tựa chính quy trong 𝑒𝑅𝑒. Hơn nữa 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 là một iđêan của 𝑒𝑅𝑒, thì iđêan tựa chính quy của 𝑒𝑅𝑒 được chứa trong 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) tức là 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒). Định lý 2.1.6 Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố và 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑒 là vành chia. Chứng minh " ⇒ " Giả sử 𝜌 = 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Nếu 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thì (0) ≠ 𝑒𝑎𝑒𝑅 ⊂ 𝑒𝑅 ⇒ 𝑒𝑎𝑒𝑅 = 𝑒𝑅 (do tính tối tiểu của 𝑒𝑅). Do đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅 sao cho 𝑒𝑎𝑒𝑦 = 𝑒, 𝑒𝑎𝑒𝑦𝑒 = 𝑒 2 suy ra (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑦𝑒) = 𝑒. Vì vậy 𝑒𝑅𝑒 là vành chia với phần tử đơn vị là 𝑒. " ⇐ " Giả sử 𝑒𝑅𝑒 là vành chia ta chứng minh rằng 𝜌 = 𝑒𝑅 là một iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Giả sử (0) ≠ 𝜌0 ⊂ 𝜌 là một iđêan phải của 𝑅, khi đó 𝜌0 𝑒 ≠ (0) thật vậy nếu 𝜌0 2 ⊂ 𝜌0 𝜌 = 𝜌0 𝑒𝑅 = (0) (mâu thuẩn giả thiết 𝑅 là nửa nguyên tố). Giả sử 𝑎 = 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 trong 𝑒𝑅𝑒; vì 𝑎 ∈ 𝑒𝑅 𝑣à 𝑒𝑎 = 𝑎 ta có 0 ≠ 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎𝑒 ∈ 𝜌0 ; vì 𝑒𝑅𝑒 là vành chia nên tồn tại 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 sao cho (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) = 𝑒. Tuy nhiên 𝑒 = (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) ∈ 𝜌0 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ 𝜌0 ⊂ 𝑒𝑅 = 𝜌. Do đó 𝜌0 = 𝜌 và 𝜌 là iđêan tối tiểu thật sự. Thay từ “trái” bởi từ “phải” trong định lý trên ta có được: Hệ quả 2.1.7 17
Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 thì 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑅𝑒 là một iđêan trái tối tiểu của 𝑅. Bổ đề Brauer 2.1.8 Cho 𝒜 là một iđêan trái tối tiểu trong vành 𝑅. Khi đó hoặc 𝒜 2 = 0 hoặc 𝒜 = 𝑅𝑒 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝒜 Chứng minh Giả sử 𝒜 2 ≠ 0. Khi đó 𝒜. 𝑎 ≠ 0 với 𝑎 ∈ 𝒜 do đó 𝒜. 𝑎 = 𝒜. Chọn 𝑒 ∈ 𝒜 sao cho 𝑎 = 𝑒𝑎. Tập 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝒜: 𝑥𝑎 = 0} là iđêan trái và 𝐼 ⊊ 𝒜, vì 𝑒 ∉ 𝐼. Do đó 𝐼 = 0. Mặt khác, 𝑒 2 − 𝑒 ∈ 𝒜 và (𝑒 2 − 𝑒)𝑎 = 0; do vậy 𝑒 2 − 𝑒 = 0. Vì 𝒜 là cực tiểu nên ta suy ra 𝒜 = 𝑅𝑒. Sự phân tích Pierce 2.1.9 Với lũy đẳng 𝑒 bất kỳ trong vành 𝑅, ta có: (1) 𝑅 = 𝑅𝑒 ⊕ 𝑅𝑓 (2) 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕ 𝑓𝑅 (3) 𝑅 = 𝑒𝑅𝑒 ⊕ 𝑒𝑅𝑓 ⊕ 𝑓𝑅𝑒 ⊕ 𝑓𝑅𝑓, với 𝑓 = 1 − 𝑒 là lũy đẳng bù của 𝑒. Chú ý: (4) 𝑒𝑅𝑒 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑒𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑒}, 𝑓𝑅𝑓 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑓𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑓} 2.2. Lũy đẳng tâm Định nghĩa 2.2.1 Phần tử lũy đẳng 𝑒 trong 𝑅 được gọi là lũy đẳng tâm nếu 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 với mọi 𝑥∈𝑅 Bổ đề 2.2.2 𝑒 là lũy đẳng tâm (tức là 𝑒 ∈ 𝑍(𝑅)) nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 0. Chứng minh Với 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑒𝑟𝑓 = 0 và 𝑓𝑟𝑒 = 0 dẫn đến 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟𝑒. Tiếp theo ta xét hai phần tử lũy đẳng 𝑒, 𝑒′ trong vành 𝑅 và toán tử 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) là nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑒𝑅 đến 𝑒′𝑅. Ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.2.3 18