BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Giang Tuyết Loan
MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI
GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Giang Tuyết Loan
MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI
GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS NGUYỄN BÍCH HUY
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong
suốt quá trình học. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học đã tạo điều
kiện cho chúng tôi được học tập tốt.
Tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy , người
thầy đã rất nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện đề tài này. Trong suốt thời gian học
tập và thực hiện khóa luận, tôi đã học tập được nhiều kiến thức bổ ích cũng như
nhiều kinh nghiệm dưới sự chỉ bảo ân cần của Thầy.
Mặc dù đã cố gắng hoàn thiện đề tài nhưng không tránh khỏi nhiều sai sót. Kính
mong được sự nhận xét đánh giá của các Thầy Cô.
Tôi xin kính chúc các Thầy Cô luôn khỏe mạnh, tiếp tục đạt nhiều thành công
trong sự nghiệp giảng dạy và nghiên cứu khoa học cũng như trong sự nghiệp
trồng người.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................................ 1
MỤC LỤC .............................................................................................................................................. 2
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................................................ 3
BẢNG KÍ HIỆU .................................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN .................................. 5
1.1. Một số định nghĩa và tính chất của ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị không giãn . 5
1.2. Một số định lí về điểm bất động ........................................................................... 9
1.3. Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co ............................................... 14
CHƯƠNG 2. ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG............................................................................................. 25
2.1. Liểm bất động của ánh xạ tăng đa trị .................................................................. 25
2.1.1. Nguyên lí Entropy ........................................................................................ 25
2.1.2. Một số khái niệm .......................................................................................... 26
2.2. Lát cắt của ánh xa tăng đa trị .............................................................................. 31
2.2.1. Các khái niệm liên quan ............................................................................... 31
2.2.2. Một số định lí về sự tồn tại lát cắt đơn điệu của ánh xạ đa trị tăng .............. 33
CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH ĐƯỢC ........................................... 45
3.1. Một số khái niệm liên quan ................................................................................. 45
3.2. Tập phân tích được, tính chất .............................................................................. 46
3.3. Sự tồn tại lát cắt của ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được ............................... 60
KẾT LUẬN .......................................................................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................. 74
2
LỜI MỞ ĐẦU
Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học trong những năm 1950 -1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả và nghiên cứu các mô hình phát sinh từ khoa học Tự nhiên và Xã hội. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân, tích phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong Tin học lý thuyết…
Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu ban đầu có giá trị là tập lồi. Nhờ tính chất này ta có thể chứng minh tồn tại lát cắt đơn trị của ánh xạ đa trị và nhờ đó nhiều kết quả về ánh xạ đơn trị được mở rộng lên ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Các ánh xạ đa trị với giá trị lồi được nghiên cứu khá đầy đủ.
Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu các ánh xạ đa trị với giá trị không lồi đã được đặt ra. Việc nghiên cứu các ánh xạ này phức tạp hơn nhiều và ta cần tìm các tính chất của ánh xạ có thể thay thế tính chất lồi, ví dụ tính co của ánh xạ, tính tăng của ánh xạ đối với thứ tự, tính phân tích được của tập ảnh,… Lớp các ánh xạ đa trị với giá trị không lồi chưa được nghiên cứu nhiều. Các kết quả nhận được chưa đầy đủ và còn nhiều vấn đề đang chờ sự nghiên cứu.
Luận văn nghiên cứu ba dạng của ánh xạ đa trị không lồi là ánh xạ co đa trị,
ánh xạ tăng đa trị và ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được. Gồm có ba chương :
Chương 1: “Ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị không giãn”.Trong chương này, khái niệm ánh xạ đa trị co và ánh xa đa trị không giãn được định nghĩa dựa vào khái niệm metric Hausdorff. Tôi trình bày một vài kết quả về điểm bất động của lớp ánh xạ đa trị này.
Chương 2: “Ánh xạđa trị tăng”. Chương này trình bày một số khái niệm về quan hệ thứ tự của hai tập hợp. Từ đó định nghĩa các kiểu tăng của ánh xạ đa trị. Trong chương này, tôi có trình bày định lý về điểm bất động và điều kiện đề có lát cắt đơn điệu của loại ánh xạ này.
Chương 3: “Ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được”.Chương này giới thiệu khái niệm ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được và một số tính chất của nó. Ngoài ra tôi trình bày một số điều kiện để tồn tại lát cắt liên tục của loại ánh xạ này. Kết quả chính của chương là định lí về điểm bất động của ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được.
3
BẢNG KÍ HIỆU
N : tập hợp số tự nhiên.
R : tập hợp số thực.
N X : tập hợp các tập con khác rỗng của X .
(
)
cl X : tập hợp các tập con đóng khác rỗng của X .
(
)
bcl X : tập hợp các tập con đóng, bị chặn, khác rỗng của X .
(
)
co X : tập hợp các tập con lồi khác rỗng của X .
(
)
*X : không gian đối ngẫu của không gian X .
,M T X : tập hợp các ánh xạ đo được từ T vào X .
(
)
pL T X : không gian các ánh xạ khả tích Bochner với chuẩn
( ,
)
1 p
p
=
≤ < +∞
=
u
ess
sup
u
, 1
p
( ) u t
( ) u t
∞
p
∫
T
( , )
B x r : quả cầu mở tâm x bán kính r .
U : bao đóng của U .
, .
4
CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ
KHÔNG GIÃN
Trong chương này chúng tôi trình bày một vài kết quả về điểm bất động của ánh
xạ co và ánh xạ đa trị không giãn.
Các kết quả được trích dẫn từ tài liệu [1].
1.1. Một số định nghĩa và tính chất của ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị
không giãn
)X d là không gian metric.
,
( , ) B C r
( , ) B x r
Cho (
> ta định nghĩa
C X r⊂ ,
0
=
∈ x C
Với .
,C K là hai tập con đóng khác rỗng của X . Ta
ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 [1]:Với
,C K là
=
>
⊆
D C K ,
(
) :
inf
0 :
C B K
(
ε , ),
⊆ K B C
(
ε , )
{ ε
] } [ ∈ +∞ 0,
D được gọi là metric Hausdorff.
định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp
=
=
=
Ví dụ 1.1.1 :
2R ,
:0
1,0
K
x y ,
:
y
2,1
≤ ≤ x
C
, x y
≤ ≤ x
≤ ≤ y
)
)
{ (
} 1 ,
{ (
} 2
Trong .
D C K = ,
5
(
)
⊆
Khi đó .
0ε> thỏa mãn
C B K ε , ) (
2
2
∈
⇒ ∃
∈
−
+
−
< ε
0,0
∈ ⇒ K
0,0
,
:
a
0
b
0
Thật vậy, với
)
(
)
( B C
) ε ,
(
) a b C
(
)
(
)
2
2
ε>
+
≥
ta có (
a
b
5
≤ ≤ a
2,
b
= nên 2
. mà 1
5
⊆
+
+
C B K
⊆ K B C
(
, 5
δ ),
(
, 5
δ )
0δ > ta chứng minh
2
2
2
∈ ∃
∈
−
+
−
≤
+
=
<
+ δ
,
,
2
2 1
2
5
5
K
a
b
Với .
) a b C
( , 1, 2
)
( 1
)
(
)
2
2
2
∈
−
+
≤
−
+
,2
,
1
c
∈ ∃ K
C
c
c
(
)
( ) , 1,1
(
) 1
(
) − 2 1
(
) 1
δ
≤
<
+
2
5
>
⊆
⊆
=
Với (
inf
0 :
(
ε , ),
(
ε , )
5
C B K
K B C
{ ε
}
=
=
=
Vậy .
C
,
( D C K
)
( d x y ,
)
{ } x K ,
{ } y
=
Nhận xét 1.1.1: Nếu thì .
C
d x K và
,
{ }, x K
)
) ,D C K nói
(
(
Nếu có hơn một phần tử thì
chung là không bằng nhau.
,C K đều là tập đóng, bị chặn, khác rỗng của không gian
,X d ta có định nghĩa khoảng cách giữa hai tập này như sau
MỆNH ĐỀ 1.1.1:Với
)
=
∈
inf
,
( d c K ,
)
(
{ ) d c k k K ,
}
=
∈
=
∈
C K ,
sup
,
,
,
K C ,
sup
,
( ρ
)
(
( ρ
)
(
{ ) d k C k K ,
}
{ ) d c K c C
}
=
metric(
,
max
C K ,
,
K C ,
( D C K
)
)
( ρ
{ ( ρ
} )
.
Khi đó định nghĩa này tương đương với định nghĩa 1.1.1.
α
=
>
⊆
Chứng minh
inf
0 :
C B K
(
ε , ),
⊆ K B C
(
ε , )
{ ε
}
Đặt
6
β
=
max
C K ,
,
K C ,
( ρ
)
{ ( ρ
} )
⊆
⊆
Chứng minh β α≤ .
0ε> thỏa mãn
C B K
K B C
(
ε , ),
(
ε , )
∃ ∈
⊆
Lấy
,
∈ k K c B k ε ( , )
:
C B K ε , ) (
(
) d c k ε<
< ⇒
ε
≤ . Lập luận tương tự ta có
ε≤ .
nên . Do đó Với c C∈ , do
C K ,
( d c K ,
( ,K Cρ
)
)
( ε ρ
)
Suy ra
α β ε ε
<
+ ∀ > .
Vậy β α≤ .
0
,
≤ ⇒ ∃ ∈
< + ε
C K ,
≤ ⇒ n
k K d c k :
n
,
n
Chứng minh
)
)
( ρ
)
( d c K ,
(
∈
+ ⇒ ⊆
Với c C∈ , ta có
c B k ( ,
β ε )
C B K
(
,
+ β ε )
⊆
+
. Do đó
K B C β ε ) (
,
α β ε ε
<
+ ∀ > . Suy ra α β≤ .
0
,
. Lập luận tương tự ta có
Do định nghĩa α nên ta có
Vậy α β= .
Nhận xét 1.1.2
≤
+
*)
,
( d x K ,
)
)
,C K đều là tập đóng, bị chặn, khác rỗng, x X∈ ta có ( ) d x C ,
( D K C
.
,A B là hai tập con đóng , bị chặn, khác rỗng của không gian Banach X và
=
*) với
,
,
t > . Khi đó
0
( D tA tB
)
( tD A B
)
α
=
β
=
số .
,
,
,
( D tA tB
)
( D A B
)
Thật vậy , đặt
7
⊂
⊂
tA B tB
,
0ε> thỏa mãn
) ε tB B tA ,
(
(
) ε ,
⊂
−
< ( do
+) Với .
,
a A b B ta tb ε :
∈ ∃ ∈ ,
( ) tA B tB ε
) Với
− a b
A B B
ε t
ε < ⇒ ⊂ , t
β
Do đó .
≤ ⇒ ≤ . β ε t
ε t
ε ⊂ B B A , t
α
=
>
⊂
⊂
Chứng minh tương tự ta có . Suy ra
tβ α≤ .
inf
0 :
tA B tB
,
(
) ε ,
(
{ ε
} ) ε tB B tA ,
≤
Mà nên
+ . tα β δ
0δ > bất kì, ta chứng minh
∈
−
<
+
β
⊂
β
+
=
∈ . Do
+) Với
b B a b :
A B B
,
y
ta a A
,
δ t
δ t
⇒ ⊂
+
−
<
+ nên
nên có Với mọi
,
tβδ
) ( tA B tB tβ δ
⊂
+
≤
. Suy ra ta tb
+ . Vậy
,
tα β δ
tα β≤
) ( tB B tA tβ δ
Chứng minh tương tự . Suy ra .
ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 [1] Cho C là tập con khác rỗng của X .
:F C
X→ có giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng được gọi là co nếu
≤
∀
Ánh xạ đa trị
∈ .
D F x F y ( ), ( )
,
,
x y C ,
k
,0
k≤ < thỏa mãn
1
)
)
( kd x y
(
≤
∀
∈ .
tồn tại hằng số
D F x F y ( ) ( ),
,
x y C ,
( d x y ,
)
(
)
0,
,
(0,0)
x
≠ x O
2
2
( ) F x
Và F được gọi là không giãn nếu
:F R
R→ định bởi
1 2 (0,0)
,
(0,0)
= x O
B = O
Ví dụ 1.1.2 Cho ,
xét với chuẩn Euclide.
8
2
,x y R∈ ta có
=
=
−
≤
−
D F x F y ( ), ( )
0,
x
,
B
0,
y
x
y
x
y
(
)
1 2
1 2
1 2
1 2
D B
Với
1 k = . 2
Vậy F là ánh xạ co với hệ số
F x ( )
0,
F
:[0,1]
R→ định bởi
31 x 3
=
. Ví dụ 1.1.3 :
[0,1]
) x y ∈ ,
3
3
3
3
=
=
−
D
x
y
x
y
D F x F y ( ), ( )
0,
)
(
1 3
1 3
1 3
, 0,
2
2
−
+
+
≤
−
=
x
y
x
xy
y
x
y
= − x
y
.3
(
)(
)
1 3
1 3
ta có Với (
Vậy F là ánh xạ không phải ánh xạ co.
1.2. Một số định lí về điểm bất động
ĐỊNH LÍ 1.2.1 [ Sam B. Nadler, Multip-valued Contraction Mappings, trang
,X d là không gian metric đầy đủ ,
:F X
X→ là ánh xạ đa trị co với giá
)
479, định lí 5 ]
Cho (
trị đóng, bị chặn, khác rỗng. Khi đó F có điểm bất động.
∈
Chứng minh
X∈ . Chọn
)
(
p 1
( F p 0
)0F p ≠ ∅ ). Vì
0p
∈
∈
( do Gọi k là hệ số co của F . Lấy
F p F p là các tập đóng bị chặn và
,
)
)
(
(
)
)
p 2
( F p 1
1
0
p 1
( F p 0
≤
nên tồn tại
,
,
+ k
(
)
(
)
( d p p 1 2
) D F p F p 0 1
(
)
sao cho
Thật vậy ,
9
⊆
>
,
inf
0 :
= :
(
(
ε , )
)
)
)
)
( F p 0
( B F p 0
}
( Do
,
{ ε F p F p là các tập đóng bị chặn nên
,
ε , ), (
) ) )
( (
) D F p F p 0 1 )
( (
0
1
( F p 1 ) ( D F p F p 0 1
( B F p 1 (
⊆ ) )
ε≤ <
hữu hạn.
,
,
+ k
(
(
(
)
(
)
) D F p F p 0 1
) D F p F p 0 1
(
)
(
)
Do tính chất infimun nên có
⊆
+
,
k
(
)
)
(
)
(
)
)
) ε ,
( F p 0
1
0
)
)
2
≤
sao cho
,
k
,
) )
⊆ (
( ( B F p 1 )
, )
(
p 2
( ( B F p 1 ( ∈ F p 1
⇒ ∈ p 1 ( d p p 1 2
( ( B F p D F p F p 1 ) ) + D F p F p 0 1
) ε , (
∈
≤
suy ra . sao cho
,
,
+ . k
)
(
)
(
(
)
p 3
( F p 2
(
)
d p p 2 3
) D F p F p 1 2
Tương tự ta chọn sao cho
)
+ ∈
p 1i
( F p i
i
≤
sao Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy { }ip thỏa mãn
+ vói mọi
,
,
k
1i ≥ .
)
)
)
+ 1
− 1
( d p p i i
( F p i
( ( D F p i
)
i
i
≤
+
≤
+
cho
,
,
,
k
k
)
)
)
)
+ 1
− 1
− 1
( d p p i i
( F p i
( kd p i
p i
( ( D F p i
)
− 1
2
i
i
i
≤
+
+
=
+
,
,
2
k
k
k
(
)
)
−
− 1
2
− 1
p i
( k d p i
p i
( k kd p i
)
i
i
+
≤ ≤ ...
,
ik
)
( k d p p 1
0
≤
+
Ta có
,
,
,
+ + ...
,
)
)
+
+
+
j
( d p p i i
+ 1
( d p i
p i
+ 1
2
p i
j
+ − 1 j
)
( d p p i i
( d p i
)
i
i
i
i
i
i
+ 1
≤
+
+
+ + −
,
ik
,
k
+ + ...
k
,
i
j
k
(
)
)
)
(
) 1
( + + i
) 1
( k d p p 1
0
( k d p p 1
0
+ − j 1 d p p 0 1
i
i
+ − j 1
+ − j 1
+ i n
+ i n
+
+
=
,
)
(
) i n k
( k d p p 1
0
∑
∑
=
=
n
n
0
0
+ + 1 i n
∞
(
+ i n
α = <
Do đó
1
) i n α
( +∑
lim →∞ n
=
n
0
) α + + 1 i n ( ) + i n α + i n
i
+ − 1 j
+ i n
→
0
,
Chuỗi hội tụ vì . Suy ra
(
) + i n α
i
i
j
( d p p + → khi ,i j → +∞ . 0
)
∑
=
n
0
khi ,i j → +∞ . Do đó
10
)
,X d là không gian metric đầy đủ nên { }ip
X∈ . Do đó
( )0F x .
0x
{
≤
+
+
hội tụ về hội tụ về Như vậy { }ip là dãy Cauchy. Mà ( }iF p ) (
,
,
)
)
(
)
)
)
( d x p 0 n
− 1
− 1
( F x 0
( ( d x F x , 0 0
)
( d p F p , n n
)
( ( D F p n
)
≤
+
∈
Ta có
,
,
)
)
)
p n
)1 ( F p − n
( d x p 0 n
− 1
( F x 0
( ( D F p n
)
= ⇒ ∈
( do ).
0
(
)
)
)0F x đóng ).
x 0
( F x 0
( ( d x F x , 0 0
)
( do Cho n → ∞ ta được
Vậy F có điểm bất động.
Nhận xét 1.2.1 [Sam B. Nadler, Multip-valued Contraction Mappings,trang 480]
,C K là hai tập đóng, bị chặn, khác
0α> tồn tại k K∈ sao cho
≤
+ . Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có sao cho
D C K α
,
Trong chứng minh định lí 1.1.1 ta thấy với
( d c k ,
)
)
≤
rỗng thì với mọi c C∈ , mọi (
,
)
( d c k ,
)
( D C K
= − −
−
( nếu K là tập compact thì hiển nhiên tồn tại ). Ví dụ : trong
a
1,
,...,
,...
1 n
1 2
=
=
, tập không gian 2l ( không gian các dãy số thực ) xét
C
,
,...,
K
,...,
} ,... ,
} ,...
{ a e e , 1 2
e n
{ e e , 1 2
e n
ie có tất cả các thành phần
1 2
2
=
trong đó
+ + 1
a
− a e n
2 n
2
1 2
=
+
. Khi đó bằng 0, trừ thành phần thứ I là bằng 1. Ta có
,
inf
,
∈ n N
a
( D C K
)
− a e n
{
ie nào để
} ( =
) 1
2
+
=
, nhưng không có
a
− a e i
(
1 ) 21
.
Nhận xét 1.2.2: Ta đã biết điểm bất động ( nếu có ) của ánh xạ đơn trị co là duy
nhất. Nhưng điều này không đúng với ánh xạ đa trị co.
)0,0O (
. Thật vậy, Trong ví dụ 1.1.2, F có duy nhất điểm bất động là
11
2
⇔ ∈
x R∈ là điểm bất động của F
⇒ ≤ x
x
⇔ ≡ . x O
( ) x F x
1 2
Nhưng điểm bất động của ánh xạ đa trị co xét trong ví dụ tiếp theo là không duy
1
a
1
b
→
=
nhất.
F
2 :[0,1]
2 [0,1] ,
,
x y ,
: 0
≤ ≤ x
,0
≤ ≤ y
( F a b
)
)
− 2
− 2
(
2
2
1
1
1
1
=
−
+
−
),
(
(
,
,
)
(
)
D F a b F a b 1 2
2
1
− a 1 2
− a 2 2
− b 1 2
− b 2 2
2
2
=
−
+
−
=
,
(
)
(
)
) ( ,
)
)
a 2
a 1
b 2
b 1
( ( d a b 1
1
a b , 2 2
1 2
1 2
Ví dụ 1.2.1 : .
1 k = . 2
Vậy F là ánh xạ co với hệ số
),a b là điểm bất động của F
1
a
1
b
⇔
∈
a b ,
,
⇔ ≤ ≤ 0
a
,0
≤ ≤ b
⇔ ≤ ≤ 0
a
,0
b
(
)
)
( ( F a b
)
− 2
− 2
1 3
1 ≤ ≤ 3
Ta có (
a b ,
: 0
≤ ≤ a
,0
≤ ≤ b
)
1 3
1 3
Vậy tập hợp điểm bất động của F là (
,X d là không gian metric đầy đủ với
X∈ và
r >
0
.
)
0x
ĐỊNH LÍ 1.2.2 [1] Cho(
:
X→ là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác
( F B x r ,
)
0
. Giả sử rằng
rỗng thỏa mãn
)
( < − 1
) k r
( ( d x F x , 0 0
)
(1)
1k≤ < là hằng số co. Khi đó F có điểm bất động, nghĩa là tồn tại
∈
Trong đó 0
)
( ) x F x∈
( x B x r 0,
thỏa mãn .
12
⊂
Chứng minh.
)
( B x r 0,
n
− 1
∈
−
,
k
(
( 1
) k r
( ) b
) − <
x n
)1 ( F x − n
d x x n n
1
)na và (
n
thỏa mãn Bằng quy nạp, ta xây dựng dãy { } nx
)
)
( < − 1
) k r
x 1
( F x∈ 0
( d x x 0, 1
Do (1) và định nghĩa inf nên có sao cho
a
)
nx thỏa mãn tính chất (
,n
( ) b . n
≤
<
−
Giả sử tồn tại
,
,
k
(
)
)
( 1n
) k r
− 1
− 1
( ) D F x F x n n
( kd x x n
n
(
)
a
(
)
,n
( ) b ). n
−
Khi đó ta có (do F co và
,
k
)
( 1n
) k r
+ ∈
) − <
x 1n
( F x n
1
( d x x n n
n
⊂
Do đó tồn tại sao cho .
k
r
,
n N
)
)
∀ ∈ suy ra { } nx
( B x r 0,
( d x x 0, n
( < − 1
)
− 1
p
n
n
p
−
=
−
Ta có .
,
...
k
k
k
k
r
( 1
) k r
x n
+ n p
( d x
)
( < + + + 1 k
)
( 1
)
Mặt khác .
∈
là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ. Suy ra { }nx
)
( x B x r 0,
≤
⇒
≤
. Vậy { }nx hội tụ về
,
,
,
,
(
( kd x x
)
( kd x x
)
( ) F x
)
) ( ) D F x F x n
n
( d x n
+ 1
n
(
)
= ⇒ ∈
. Ta có
0
( )F x đóng ).
( ) x F x
( ( ) d x F x ,
)
( do Cho n → +∞ ta được
Nhận xét 1.2.3 định lí 1.2.2 không những chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ đa trị co mà còn chỉ ra vùng chứa điểm bất động.
13
Ta có thể sử dụng định lí 1.2.2 để trực tiếp suy ra kết quả của định lí 1.2.1 như
X∈ , cố định lại. Chọn
r > sao cho
0
)
( < − 1
) k r
0x
( ( d x F x , 0 0
)
sau: Lấy ( k
là hệ số co).Theo định lí 1.2.2, F có điểm bất động.
1.3. Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co
:F U
X→ ,
:G U
X→ là hai ánh xạ đa trị với giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng. (U là bao
×
→ là ánh xạ đa trị có giá
H U :
[0,1]
X
ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 [1] Cho U là tập mở khác rỗng của X ,
đóng của U ) là đồng luân nếu tồn tại
=
=
trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn các tính chất sau :
H
F H ,
.,0
G
(
) .,1
(
)
∉
∀ ∈ ∂
∈
. (a)
x U t ,
[0,1]
), ( x H x t
∃
α α
≤ < thỏa mãn
,0
1
α≤
∈ (d) Tồn tại hàm tăng, liên
,
,
∀ ∈ t
[0,1],
x y U ,
) D H x t H y t , ,
(
(
)
( d x y ,
)
(b) .
)
φ
(c) (
:[0,1]
≤
φ
−
φ
tục
,
,
∀ ∈ , t s
[0,1],
∈ x U
( ) t
( ) s
(
)
) D H x t H x s , ,
(
)
→ R (
thỏa mãn
,X d là không gian metric và C là tâp hợp con khác rỗng của
Khi đó H được gọi là phép đồng luân của F và G .
)
X . Anh xạ đa trị
:F C
X→ có giá trị đóng, khác rỗng được gọi là liên tục nếu
Nhận xét 1.3.1 (
nó liên tục theo metric Haudorff D . Nghĩa là
X→ liên tục tại
0x C∈ )
⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈
<
εδ
< ⇒ δ
(
0 :
0,
,
,
(
)
)
x C d x x , 0
( ( ) D F x F x 0
(
)
:F C (
) ε
×
.
→ trong định nghĩa 1.3 là liên tuc.( trên
H U :
[0,1]
X
=
Như vậy phép đồng luân
U ×
[0,1]
x t ,
y s ,
,
+ − ). s
t
(
) ( ,
)
( d x y
)
( κ
)
xét metric
14
0ε>
[0,1]
), x t U∈ ×
∈
− <
, với mọi Thật vậy, tại (
s
s
t δ '
' 0δ > sao cho với
[
]0,1 ,
φ
φ−
( ) s
( ) t
ε < . 2
δ
=
∈ ×
thì Do φ liên tục tại t nên tồn tại
min
,
[0,1],
,
+ − < t δ
s
) y s U
( d x y
)
δ ',
ε α 2
α
≤
<
,
) D H x t H y t , ,
(
(
)
( d x y ,
)
(
)
<
( d x y ,
)
⇒
⇒
ε α 2
φ
φ
≤
−
<
t
− < s
δ '
,
,
) D H y t H y s ,
(
(
)
( ) s
ε 2 ( ) t
(
)
ε 2
≤
+
< . ε
,
,
,
,
,
) D H x t H y s ,
(
(
)
) D H x t H y t , ,
(
(
)
) D H y t H y s ,
(
(
)
(
)
(
)
(
)
U∈ ,
Chọn . Khi đó với mọi (
X→ là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng ,
:F U
,0X ) F U bi chặn.
và MỆNH ĐỀ 1.3.1 Giả sử U là tập con mở trong không gian Banach (
0G ≡ .
Khi đó F đồng luân với ánh xạ
=
×
→ định bởi
Chứng minh
H U :
[0,1]
X
0G ≡ . Ta chứng minh H là
( ,H x t
)
( ) tF x
và Đặt
=
=
phép đồng luân giữa F và G .
H
F H ,
.,0
G
(
) .,1
(
)
∉
∀ ∈ ∂
∈
. (a)
x
x U t ,
[0,1]
), = tF x H x t
( )
(
Với mọi , ta có ( do giả thuyết (b)
phản chứng ).
t ∈
,x y U∈ the0 mệnh đề 1.1, ta có
]0,1
=
=
≤
≤
,
,
,
,
,
)
( kd x y
)
(
)
( tkd x y
)
( ) tD F x F y
( ) D tF x tF y
(
(
(
)
(
)
)
[ )
(
( ) D H x t H y t , , ( với k là hệ số co của F ).
, Với mọi (c)
kα= thì điều kiện (c) của định nghĩa 1.3 thỏa mãn.
Chọn
15
⊂
r > sao cho
0
F U bị chặn nên tồn tại
B
(
)0, r
(
)
( F U
)
⊂
⊂
∈
Ta có . (d)
∈ . Ta chứng minh
B
0,
tr
B
0,
sr
t s ,
x U
( ) tF x
(
)
( ) sF x
(
)
[
] 0,1 ,
Với mọi ,
tF x sF x là tập đóng bị chặn khác rỗng. Với
,
( )
( )
( ) y F x∈
=
−
∈
≤
−
<
. Như vậy hai tập
inf
ty
z
,
z
ty
sy
= − t
s y
r t
− s
( ( ) d ty sF x ,
)
} ( ) sF x
{
=
∈
≤
sup
,
z
r t
− s
( ) tF x sF x ,
( )
(
)
( ρ⇒
)
} ( ) tF x
≤
ta có
− . s
r t
( ) ( ) sF x tF x ,
( ρ
{ ( ) d z sF x , )
≤
Tương tự
,
r t
− . s
( ) ( ) D tF x sF x
(
)
φ
Suy ra
→ xác định như sau
φ = . Khi đó tr
:[0,1]
R
( )t
≤
−
φ
φ
∈ .
,
,
∀ ∈ , t s
[0,1],
x U
( ) t
( ) s
)
) D H x t H x s , ,
(
(
)
(
,X d là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở
Chọn hàm số
)
ĐỊNH LÍ 1.3.1 [1] Cho (
X→ là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng,
:F U
X→ và
:G U
của X . Giả sử
F có điểm bất động trong U .
bị chặn, khác rỗng đồng luân với nhau và G có điểm bất động trong U . Khi đó
=
∈
×
Chứng minh
Q
t x ,
∈ U x H x t ,
:
)
(
] 0,1
[
{ (
} )
⇒
=
∈ ⇒ ≠ ∅ .
,0
0,
Q Q
(
)
)
Gọi H là phép đồng luân giữa F và G . Xét
( ∈ x G x 0 0
x 0
t x ,
Do G có điểm bất động nên tồn tại ) ( H x 0
"≤ như sau :với (
) ( ,
) s y Q∈ ,
s
≤
t x ,
s y ,
(
)
(
)
−
φ
2
( ) t
( φ
)
≤
( d x y ,
)
α
≤ t ⇔
( ) s − 1
Trong Q ta đặt quan hệ "
,αφnhư trong định nghĩa 1.3.
ở đây
16
"≤ là quan hệ thứ tự. Thật vậy,
φ
−
2
( ) t
( φ
)
≤
≤
,t x Q∈ , ta có
t
,
= ≤ 0
= ⇒ 0
t x ,
t x ,
Quan hệ "
)
( t d x x ,
)
(
)
(
)
α
( ) t − 1
t x ,
s y Q∈ , ta có ,
+) với (
) ( ,
)
≤
≤
t
s s ,
≤
t x ,
⇔
−
−
φ
φ
2
2
( ) t
( ) s
( φ
)
( φ
)
≤
t x ,
≤
≤
) ) s y ,
( s y , (
) )
,
,
( d x y ,
)
( d y x
)
( (
α
α
t
( ) s − 1
( ) t − 1
s
⇔
⇔
=
t x ,
s y ,
+) với (
(
)
(
)
=
0
)
= t ( d x y ,
t x ,
s y ,
k z Q∈ , ta có ,
.
) ( ,
)(
)
≤
≤
, s s
k
≤
, t x
⇔
φ
φ
−
−
2
2
k
( ) t
( ) s
( φ
)
( ( φ
)
≤
≤
≤
) ) , s y
( , s y (
) ) , k z
,
,
( , d x y
)
( d y z
)
( (
α
α
) −
t
( ) s − 1
1
+) với (
⇒
⇒
≤
t x ,
k z ,
(
)
(
)
−
φ
k
2
( ) t
)
≤
+
≤
,
,
)
( d x y ,
)
( d y z
( d x z
)
) −
α
≤ t w
( ( φ 1
.
=
Giả sử P là tập con được sắp thứ tự toàn phần của Q . Ta chứng minh P có cận
t ∈
t
* sup :
t x ,
[
]0,1
(
)
{ t
} ∈ ( do P
⊂
∈ sao cho
t→ . Ta có dãy tương ứng
*
:
t x ,
(
)
nt
{ t
} P
tồn tại ). nên *t trên trong Q . Đặt
≤
Khi đó có dãy tăng { } nt
t
P⊂ thỏa mãn (
)
(
)
t x , n n
x+ , 1 n
n
+ 1
t x ,n n
{ (
} )
( doφ tăng và P là tập con được
−
2
t
t
( φ
)
m
( ( φ
)
∀
∈
≤
sắp thứ tự toàn phần của Q ).
≥ ta có
m n N m n
,
,
,
)
( d x m
x n
α
) −
m 1
Chú ý rằng .
17
là dãy Cauchy, mà X là không gian metric đầy đủ
∈
∈
là dãy trong U ). Do φliên tục nên ta có { }nx nên { }nx hội tụ về *x U∈ ( do{ }nx
,
*, *
n N
∀ ∈ , cho n → +∞ ta được
( x H x t *
)
), ( x H x t n
n
t
x *, *
Q∈ . Vậy P có cận trên trong Q .
Ta có ( do H liên
)
t = .
tục ). Suy ra (
>
∈
Theo bổ đề Zorn thì Q có phần tử tối đại, Ta chứng minh 0 1
r
t
t < . Khi đó ta có thể chọn
0,
t ( ,1] 0
−
2
t
( φ
( φ
)0 )
⊂
=
thỏa mãn Giả sử 0 1
,
, U r
)
( B x r 0
α
( ) t − 1
≤
+
( doφ tăng và liên tục ).
,
(
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
) D H x t H x t , , 0
0
0
(
)
( d x H x t , ,
)
( d x H x t , ,
)
−
r
( 1
) α
≤
φ
−
=
Ta có
t
r
(
)
( φ
)
( ) t
( < − 1
) α
0
0
0
( d x H x t , ,
)
2
∈
Suy ra .
( .,H t
)
−
2
t
( φ
) )0 )
∈
⇒
∈ và
có điểm bất động , suy ra Theo định lí 1.2 thì
≤ = r
,
( , d x x 0
)
(
) t x Q ,
( x H t x
)
α
( x B x r 0, ( ( ) φ t − 1
≤
⇒
=
.
t
t≠ (mâu thuẫn ).
t x ,
t x ,
)
(
)
0
t x , 0 0
t x , 0 0
(
)
(
)
∈
=
. Mà Suy ra (
t = . Suy ra
) ,1
)
( x H x 0 0
( F x 0
U .
,X d là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở của
. Vậy F có điểm bất động trong Như vậy 0 1
)
X . Giả sử
:G U
X→ là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị
:F U
X→ và
Nhận xét 1.3.2 Cho (
chặn, khác rỗng đồng luân với nhau , H là phép đồng luân giữa F và G . Nếu G
18
t ∈
.,H t có điểm bất động trong U với mọi
(
)
[
]0,1
có điểm bất động trong U thì
×
→
=
.
H U ' :
[0,1]
,
( X H x t , '
)
[
] 0,1
t ∈ 0
( )0 H x t t ,
, xét . Thật vậy , với mỗi
'H là phép đồng luân giữa
' .,H t và G . Khi đó áp dụng định lí
(
)0
Ta chứng minh
=
3 ta có điều phải chứng minh.
H
= . G
,
)
(
)
( ' .,0
) ( ' .,1
H t H ., 0
∉
∉
∀ ∈ ∂
∈
(a)
x H x t , '
x U t ,
[0,1]
(
)
), ( x H x t
[
] 0,1
t t ∈ 0
α≤
,ta có suy ra ( do (b)
,
,
∀ ∈ t
[0,1],
∈ x y U ,
) D H x t H y t , ,
(
(
)
( d x y ,
)
(
)
α
⇒
≤
∈ .
,
'
'
,
∀ ∈ t
[0,1],
x y U ,
) D H x t H y t , ,
(
(
)
( d x y ,
)
(
)
φ
Ta có (c)
:[0,1]
→ R
≤
φ
−
φ
Tồn tại hàm tăng, liên tục (d)
,
,
∀ ∈ , t s
[0,1],
∈ x U
) D H x t H x s , ,
(
(
)
( ) t
( ) s
)
(
⇒
≤
φ
−
φ
,
'
'
,
∀ ∈ t s ,
[0,1],
∈ x U
( ) s
) D H x t H x s , ,
(
(
)
( ) t
)
(
,0X
U∈ ,
thỏa mãn
X→ là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng ,
:F U
(
và ĐỊNH LÍ 1.3.2 [1] Giả sử U là tập con mở trong không gian Banach ) F U bi chặn.
Khi đó (A1) hoặc (A2) xảy ra với
λ∈
(A1) F có điểm bất động trong U .
x
(
)0,1
( ) F xλ∈
sao cho . (A2) tồn tại x U∈∂ , và
Chứng minh
19
∉
λ
∀ ∈∂
λ
∈
u
u U
,
,
Giả sử (A2) không xảy ra và F không có điểm bất động trên U∂ . Khi đó
( ) F u
] 0,1
[
0G ≡ . Do 0 U∈ nên G có điểm bất động trong U . Theo định lí 1.3 thì F có
. Theo mệnh đề 1.2 thì F đồng luân với ánh xạ
điểm bất động trong U .
K là tập con đóng khác rỗng của E . Ta có các khái niệm sau đây :
là dãy bị chặn trong không gian Banach E , ĐỊNH NGHĨA 1.3.2 [1] Cho { }nx
+) Bán kính tiệm cận :
−
= :
x
trong K là số định bởi Bán kính tiệm cận của dãy { }nx
{ }
x n
( , r K x n
)
→+∞
inf limsup ∈ x K n
.
+) Tâm tiệm cận :
−
≤
trong K là tập hợp được định nghĩa như sau : Bán kính tiệm cận của dãy { }nx
= ∈ :
x K
x
{ }
{ }
x n
( A K x , n
)
( r K x , n
.
{
} )
: limsup →+∞ n
+) Dãy chính quy tương đối đối với K :
=
Dãy bị chặn { }nx được gọi là chính quy tương đối đối với K
{ }
( r K x , n
)
}
}knx
( { r K x , n k
)
nếu . của { }nx với mọi dãy con {
K =
[2,3]
n
∈ .
n N
( = −
)1 ,
nx
ta xét dãy bị chặn Ví dụ 1.3.1 trong không gian R ,
Ta có:
20
n
=
= :
x
x
≥ n k
{ }
( ) − − 1
( − −
n ) 1 ,
( r K x , n
)
{
}
inf lim sup ∈ →+∞ x K k
→+∞
inf limsup ∈ x K n
=
x
+ = 1
3
inf lim ∈ →+∞ x K k
= ∈
−
≤
x K
x
{ }
{ }
x n
( , A K x n
)
} )
: limsup →+∞ n
= ∈
=
+ ≤ 1
3
2
x K
x
{ {
( , r K x n } { }
: lim →+∞ n
k
n
2
− ,( 1)
= ≠ 1
− ,( 1)
= . 3
( r K
)
( r K
)
Dãy đang xét không phải là dãy chính quy tương đối đối với K vì
ĐỊNH LÍ 1.3.3 [1] Cho E là không gian Banach lồi đều và U là tập con mở, lồi,
:F U
E→ là ánh xạ đa trị không giãn có giá
×
bị chặn, khác rỗng của E . Giả sử
H U :
[0,1]
→ có U
trị compact, khác rỗng. Giả sử thêm tồn tại ánh xạ đa trị
giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn các tính chất sau :
F= .
( ) .,1H
(a)
G= có điểm bất động trong U .
( .,0H
)
(b)
α α≤ < sao cho với mọi
,x y U∈ , và
t ∈
,0
1
[0,1]
−
Với mỗi , tồn tại (c)
s
t∈ [0, ]
,
,
yα≤ x
) D H x t H y s ,
(
)
(
)
(
φ
thì .
→ R
:[0,1]
≤
φ
−
φ
(d)
∈ x U
,
,
∀ ∈ t s ,
[0,1],
( ) s
( ) t
(
)
) D H x t H x s , ,
(
(
thỏa mãn Tồn tại hàm số liên tục )
Khi đó,(A1) hoặc (A2) xảy ra với
∈
(A1) F có điểm bất động trong U .
t ∈
[0,1]
), ( x H x t
(A2) tồn tại . và x U∈∂ thỏa mãn
21
Chứng minh
( .,0H
)
Giả sử (A2) không đúng. Suy ra không có điểm bất động trong U∂ nên
( .,0H
)
có điểm bất động trong U .
t ∈
[0,1]
),H x t là phép đồng luân giữa
(
( H x
),0
)0,H x t (
Ta có và . với 0
)0,H x t (
⊂
∈
⊂ sao cho
t
U
0,1 ,
,
t
→ . 1
Theo định lí 1.3 thì có điềm bất động trong U .
)
[
n
] { } x n
( x H x t , n
n
n
n
=
< +∞ .
r
{ }
Do đó ta có thể chọn dãy { }
( r U x , n
)
Do { },nx U đều bị chặn nên
,
*
Ta có E là không gian Banach lồi đều nên E phản xạ, U là tập lồi đóng đối với
( X Xσ
)
U compact yếu.
topo sinh bởi chuẩn nên U đóng đối với topo yếu , mà U bị chặn nên
≠ ∅ ( Kazimierz Goebel và W.A.Kirk , Topics in metric fixed
{ }
( A U x , n
)
Suy ra
∈
point theory , định lí 9.1).
−
≤
−
,
{ }
x
r
y
≤ r
x n
x n
)
( x y A U x , n
→+∞
,limsup →+∞
n
n
x
y
x n
x n
⇒
≤
≤ 1
limsup →+∞
→+∞
n
1,limsup n
− r
− r
x
y
x n
x n
⇒
≤
≤ với n đủ lớn.
1,
1
− r
− r
x
y
K
∈ . Khi đó
Với . Ta có limsup
+ 2
−
−
x
x
x n
x n
x n
x n
≥ với n đủ lớn.
≥ ⇒ 1
1
limsup →+∞
n
+ − y 2 r
+ − y 2 r
Vì U lồi nên
22
−
= ⇒ = . Vậy
x
− + y
x
y
0
x n
x n
n
Do E là không gian lồi đều nên lim →+∞
{ }
{ }
( A U x , n
) { } x=
( A U x , n
)
∈
chỉ có duy nhất một phần tử. Giả sử .
)
( , x H x t n
n
n
∈
+
B F x D H x t , ,
,
)
(
( ) F x
( )
x n
n
n
)
(
1 m
−
<
+
Với mỗi , m N∈ ta có
y
,
( D H x t ,
)
( ) F x
( ) F x∈
x n
m n
n
n
(
)
m ny
1 m
sao cho (1) Suy ra tồn tại
y
( ) F x∈
ny
( )F x là tập compact nên dãy {
}m n m
Do hội tụ về ( nếu không xét
−
<
dãy con ).
y
,
( D H x t ,
)
( ) F x
x n
n
n
n
(
)
⊂
. Trong (1) cho m → +∞ ta được
( ) F x
( ) y F x∈
}kny
−
≤
+
y
y
y
y
x n k
n k
n k
≤
+
+
−
,
,
t
y
y
( H x
) ,1
n
) ,1
) ,1 ,
− ( H x n k
n k
)
−
φ
≤
+
α
−
−
+
) x
( ( D H x n k y
y
) ( ) 1
− x n k ( ( D H x n k ) ( φ t
n k
x n k
n k
−
≤
−
≤ ⇒ ∈
y
x
r
,
hội tụ về . Lại có dãy { } ny nên có dãy con {
x= .
{ }
( y A U x n
)
x n k
x n k
limsup →+∞
limsup →+∞
n
n
Suy ra . Vậy y
( ) x F x∈
Do đó .
E→ là ánh xạ đa trị không giãn
ĐỊNH LÍ 1.3.4 [1] Cho E là không gian Banach lồi đều và U là tập con mở, lồi,
bị chặn, khác rỗng của E , 0 U∈ . Giả sử
F U bị chặn. Khi đó,(A1) hoặc (A2)
:F U ( )
có giá trị compact, khác rỗng thỏa mãn
xảy ra với
23
λ∈
(A1) F có điểm bất động trong U .
x
[0,1]
( ) F xλ∈
thỏa mãn . (A2) tồn tại x U∈∂ và
=
×
Chứng minh
→ định bởi
[0,1]
: H U
X
0G ≡ . Áp dụng định lí 1.5
( ,H x t
)
( ) tF x
Đặt và
ta có điều phải chứng minh.
24
CHƯƠNG 2. ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG
2.1. Liểm bất động của ánh xạ tăng đa trị
Định lí điểm bất động của toán tử đơn trị tăng ( có thể không liên tục ) trong
không gian Banach sắp thứ tự đã được nghiên cứu rất rộng rãi và có nhiều áp
dụng vào phương trình vi phân. Một cách tự nhiên, chúng ta mở rộng một kết quả
tương tự cho toán tử đa trị và ứng dụng của nó. Trong chương này chúng tôi phát
biểu định lí điểm bất động của toán tử đa trị.
Trong chứng minh định lí điểm bất động, bài báo áp dụng nguyên lí Entropy của
,M ≤ là tập được sắp thứ tự và
Brezis-Browder. Nguyên lí này được phát biểu như sau :
)
S M → −∞ +∞ là hàm số thỏa mãn :
)
[
:
,
2.1.1. Nguyên lí Entropy : cho (
(i) Mọi dãy đơn điệu tăng trong M đều có cận trên.
S là toán tử tăng và bị chặn trên.
∈
=
(ii)
, v M v u
( S u
)
( ) S v
≥ ⇒ 0
0
0u M∈ sao cho
Khi đó tồn tại phần tử .
Chứng minh
= −∞ ∀ ∈ thì ta có điều phải chứng minh.
v M
,
( ) S v
≤ ...
u≤
)1S u ≠ −∞ , ta xây dựng các phần tử 1 ( u
2
Nếu
Giả sử tồn tại 1u M∈ sao cho
=
≥
∈
như sau. Giả sử có phần tử
sup
( S u
)
{ = ∈ u M u u :
}
( )
α = n
n
nu là phần
nu , ta đặt {
}
A n
α , n
n
S u u A , n
. Nếu thì
( S u
)
α > n
n
1nu + thỏa
∈
A n
n
+ 1
>
−
−
( S u
( S u
)
)
n
+ 1
α n
n
α n
u
1 2
, ta tìm được tử cần tìm. Nếu
25
>
∀ ∈ . Gọi
Nếu quá trình trên là vô hạn thì ta có dãy tăng { }nu thỏa :
2
,
n N
u u≥
( S u
( S u
)
) + −
1
n
n
α n
0u là cận trên của dãy { }nu . Với
0
, ta
≤
≤
−
≤
∈
có
2
( S u
)
( S u
)
∀ ∈ ⇒ ( ) S u
( S u
)
⇒ ( ) S u
α n
n
+ 1
n
,n u M n N
n
lim →∞ n
( giới
( S u
( )1S u ≠ −∞ ). Suy ra
}n )
=
≤
là dãy tăng , bị chăn trên và hạn tồn tại vì
( S u
( S u
( ) S u
( ) S u
)0
{ )0
. Do đó .
2.1.2. Một số khái niệm
1, Tập con K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu K là tập lồi
K
t ≥ , 0
( ∩ −
) { } = K θ
. đóng thỏa mãn tK K⊂ với mọi
x
y
≤ ⇔ − ∈ y x K
≥
2, Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi :
u [ ,
)
{ +∞ = ∈
} x X x u :
.
"< cho cặp tập con
,A B của X như sau
< ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈
≤ . Quan hệ này có tính bắc cầu.
A B
a A b B a b
:
,
⊂ →
3, Theo Nishnianidze , ta có quan hệ "
:F M X
y≤ thì
,x y M∈ , x
( N X
)
<
được gọi là tăng nếu 4, Toán tử đa trị
( ) F x
( F y
)
.
ĐỊNH LÍ 2.1.1 [2] Cho X là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K .
:F M N M→
(
)
0,X M lần lượt là không gian con và tập con đóng của X .
là
ánh xạ đa trị tăng thỏa mãn
( )F x đóng với mọi x M∈ .
(1)
26
<
,
{ }
)
∃ ∈ x M x 0 0
( F x 0
∩
≠ ∅ ∀ ∈ , hơn nữa
. (2)
X
x M
,
( ) F x
0
∀
∈
∃ ∈
∩
≤
,
y y ,
≤ . y
( ) F x
( ) y F x
y y , 1
2
X y : 0 1
2
∈
(3)
y
y
X
)
n
n
( F x n
0
∩ thì { }ny
là dãy tăng thỏa mãn hội tụ. (4) Nếu { } { } x ,n
<
Khi đó F có điểm bất động tối đại trong M .
:
M
{ } x M x
{ = ∈
} ( ) F x
0
Hơn nữa, nếu là tập hướng lên thì F có điểm bất
động lớn nhất trong M .
Chứng minh
x M∈
0
thì Bước 1 : không mất tính tổng quát ta giả sử F có tính chất với mọi
x
≤ ∀ ∈ ,
y
( ) F x M⊂
( ) y F x
0
→
=
và (*).
∩ +∞ . ( do
G M :
x [ ,
)
( ) ) N M G x ,
(
( ) F x
0
<
=
∈
Thật vậy , ta định nghĩa
≤ suy ra
y F x
x
y
∩ +∞ ≠ ∅ ). )
x [ ,
( ) :
( ) G x
( ) F x
{ } x
( ) F x
nên tồn tại
x
≤ ∀ ∈ ,
y
( ) y G x
∈
∩
≤
. Do định nghĩa nên ta có
y
'
y
'
( ) F x
( ) y G x∈
X y : 0
<
<
<
Với mọi , do giả thiết (3) nên có suy ra
( ) F x
( F y
)
{ } y
( ) F x
( F y
)
. Do đó . Do F tăng nên ta có suy ra { } y
( ) G x M⊂
0
.
Ta kiểm tra G thỏa các tính chất của F .
x M∈
( )G x đóng với mọi
( )F x đóng với mọi x M∈ ) .
0
∈
<
⇒ ∃ ∈
<
( (1)
,
:
≤ ⇒ y
{ }
)
)
)
x M x 0 0
( F x 0
( y F x 0
x 0
{ } x 0
( G x 0
. Ta có (2)
≤ , do giả thiết (3)
:
x
x M∈
{ } ⇒ < x
( ) F x
( ) F x
⇒ ∃ ∈ y 1
y 1
0
∈
∩
≤
∩
Với mọi (3)
≠ ∅ .
y
'
y
'
X
( ) F x
( ) ∈ 'y G x
( ) G x
X y : 0 1
∩ ⇒ X 0
0
nên có . Suy ra
27
⇒
∈
∩
≤
≤
⇒ ∃ ∈ y
'
y y ',
y
'
( ) F x
( ) F x
( ) ,y y G x∈ 1
2
,y y 1
2
X y : 0 1
2
∈ ⇒ ∃ ∈
≤
Với mọi
x M
y
''
:
x
y
''
( ) F x
0
∈
≤
.
∩ sao cho
X
y
'
y y ,
''
≤ . y
( ) y F x
0
∈
∩
≤
≤
≤
Do giả thiết (3) nên có
≤ . Vậy tồn tại
y y ,
≤ . y
, y y
, y x
y
( ) y G x
X y : 0 1
2
y 1
2
Suy ra
∩ . Suy ra
X
y
)
n
( ∈ y G x n n
0
∈
là dãy tăng thỏa mãn (4) Giả sử { } { } x ,n
y
X
)
n
( F x n
0
∩ . Theo giả thiết (4) thì { }ny
hội tụ.
Dễ thấy điểm bất động của G cũng là điểm bất động của F .
M⊂
Do đó ta có thể thay F bằng G để được tính chất (*).
0
là dãy tăng. Ta chứng minh { }nx bi chặn trên. Bước 2: Lấy dãy { } nx
∩
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
<
Ta có
X
)
)
)
( F x 1
0
y 1
( F x 1
∩ ⇒ X 0
{ } y 1
( F x 1
⇒
<
⇒ ∃ ∈
<
≤ .
,
)
)
)
)
{ } y 1
( F x 2
( w F x 2
y w 1
x 1
≤ ⇒ x 2
( F x 1
( F x 2
∩
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
∩ . Do giả thiết (3) nên có
X
X
)
)
( F x 2
0
( v F x 2
0
∈
≤
≤
∩ sao cho
,
y
X
y≤
w y v
,
y
)
2
( F x 2
0
y 1
2
2
2
∈
. Suy ra .
∩ thỏa mãn
y
X
y
)
−
−≤ y
n
− 1
( F x n
− 1
0
n
2
n
1
<
⇒ ∃ ∈
≤ .
y
)
)
( w F x
x n
− 1
≤ ⇒ x n
( F x n
− 1
( F x n
) ,n
w− 1
n
∩
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
∩ . Do giả thiết (3) nên có
X
X
)
)
0
0
( F x n
( v F x n
∈
≤
≤
∩ sao cho
Giả sử có . Ta có
y
X
y
y
w y v
y
)
− ≤
n
( F x n
0
1n
n
,n
n
∈
∩
. Suy ra . Vậy ta đã xây dựng
∀ ∈ . Do giả thiết (4) nên
y
X
n N
)
0,
n
( F x n
=
thỏa mãn
≤ ∀ ∈ (
y
,
n N
y
y M∈ Khi đó .
ny
y lim n →∞ n
hội tụ. Đặt . M là tập đóng nên được dãy tăng { }ny { }ny
y M∈
0
tăng ). Ta chứng minh do { }ny
28
∈
<
y
)
( F y
)
n
( F x n
∈
∈
⊂
∩ sao cho
Ta có ( do F tăng ). Theo giả thiết (3) ta có
X
y
M
y
z≤
)
( F y
)
nz
0
n
( F x n
0
n
n
∩ sao cho
( do ). Do giả thiết (3) ta có
X
z
( F y
)
+ ∈
z +≤
nz
1
0
n
n
1
∈
∩
.
∀ ∈ . Theo giả thiết (4) ta có
X
n N
( F y
)
nz
0,
=
∈
thỏa
z
z≤ (
( z F y
)
)F y đóng ), suy ra y
(
z lim n →∞ n
. Suy ra ( do Vậy ta có dãy tăng { }nz { }nz hội tụ. Đặt
do tính chất (*) ).
y M∈
0
Vậy . Như vậy { }nx bi chặn trên.
Bước 3 : F có điểm bất động tối đại trong M .
x M∈
0
2
=
∈
∩
∈
∈
M
X
≤ ≤ y
u v ,
:
,
(
)
)
(
)
xM
0
0
2 0
{ (
=
,đặt Với mỗi
− u v
S M :
sup
,
,
,
(
) ∈ u v M
( ) S x
) u F y v F z , ] [ → +∞ 0,
( ) ( ∈ y z M x , , {
} ≤ z u v , }
x
0
∩
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
∈
. Ta định nghĩa hàm .
X
'
',
) x x M '
( ) F x
( ) x F x
(
0
∩ ⇒ X 0
x
xM ≠ ∅ ( vì
M
M⊂
) và Khi đó
y≤ . Do đó S là được định nghĩa tốt và S là hàm giảm (
y
x
≤
nếu x
x
y M
M
( S y
)
( ) S x
≤ ⇒ ⊂ ⇒ y
x
)
)S−
0M và hàm (
Như vậy tập có các tính chất
0M đều có cận trên.
(iii) Mọi dãy đơn điệu tăng trong
(
)S−
là toán tử tăng và bị chăn trên bởi 0. (iv)
a M∈
)S−
0
∈
≥ ⇒
=
Áp dụng nguyên lí Entropy cho tập , ta tìm được thỏa
0M và hàm ( ( ) S a
( ) S x
x M x a 0,
mãn với mọi .
29
S a α> > . Khi đó tồn tại
0
( S a = . Giả sử trái lại
) 0
(
)
∈
∈
∩
Ta chứng minh
,
M
X
(
)2
(
)
( M y y ,
)
x x , 1 2
2 0
1
2
0
0
−
>
≤
∈
∩
∈
∩
≤
≤
y
α ,
)
)
y 1
2
y 1
y y , 2 1
( F x 1
X y , 0
2
( F x 2
X a , 0
x 1
x 2
thỏa
S y α> . Tồn tại
y
a
y≤
)
(
2
( F x∈ 2
)2
2
,
,
x x y y thỏa , 3 3
4
4
−
>
≤
∈
∩
∈
∩
≤
≤
Vì ( do và tính chất (*) ) nên
y
α ,
)
)
y 3
4
y 3
y y , 4 3
( F x 3
X y , 0
4
( F x 4
X y 0
2
x 3
x 4
≤
≤
.
x 2
x y , 3
2
y 3
∈
∩
−
. Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được Do tính chất (*) nên
y
y
> với mọi n N∈ .
)
n
( F x n
n
n
X y , 0
2
− 1
y α 2
n
thỏa mãn
∈
không hội tụ ( mâu thuẫn (4) ). dãy { } { } ,n x Suy ra { }ny
∩ là điểm bất động cực đại của F trong M .
X
( b F a
)
0
∈
≤
Ta chứng minh mọi
∩ , do tính chất (*) nên
X
a b b c ,
≤ suy ra (
), b c M∈
( ) c F b
a
0
∈
Lấy nên
≥ là điểm bất động
x M x b ,
b c= ( do
) 0 ( S a = ). Vậy
( ) b F b∈
∈
. Nếu có
X
x= .
( ) y F x
∩ . Dễ thấy (
) b y M∈ ,
0
a
<
của F , do giả thiết (3) nên có nên b
M
:
{ } x M x
{ = ∈
} ( ) F x
0
Bước 4 : , nếu là tập hướng lên. Ta chứng minh F
có điểm bất động lớn nhất trong M .
y M∈ 0
0
0M là tập định hướng nên có
≤
≤
. Lấy *x là điểm bất động của F . Do
x *
y b , 0
y 0
sao cho .
M
,
)
0
y∩ 0[
+∞ . Cụ thể như sau :
∩
<
Áp dụng lập luận như trên với tập
= M M '
[
,
+∞ , )
M
' :
{ } x M x
y 0
0
{ = ∈
} ( ) F x
0 '
⊂
M⊂
≤ ∀ ∈ . Theo n N
,
Đặt . Ta chứng minh mọi
0 '
x n
M y , 0 0
x n
đều bi chặn trên. Ta có { } dãy tăng { } nx
y M∈
y M∈
0 '
0
. Suy ra . bước 2 ta có { }nx bị chăn trên bởi
30
0 '
2
=
∈
∈
∈
'
u v ,
M
∩ '
X
:
∈ y z M x ,
2 '
≤ ≤ y
(
)
) u F y v F z ,
( ) ( ,
(
)
)
0
0
0
x M∈ { (
} ≤ z u v ,
xM .
∩
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
∩
⇒ ∈
, đặt Với
X
'
X
x
x
'
x M
'
∩ . ' X
( ) F x
( ) x F x
0
0
⇒ ≤ ≤ y 0
0
0
Ta có
',
) x x M∈ '
'x
'xM ≠ ∅ . Do đó ta có thể định nghĩa hàm S lập
. Vậy Suy ra (
y≥ 0
. luận như trong bước 3. Ta tìm được điểm bất động 1 b
b= . Vây
b
x≥
*
b≥ , suy ra 1b
. Vậy F có điểm bất động lớn nhất Suy ra 1b
trong M .
2.2. Lát cắt của ánh xa tăng đa trị
Các kết quả được trích từ tài liệu [3]
2.2.1. Các khái niệm liên quan
1. Tập sắp thứ tự bộ phận P ( poset ) là tập hợp khác rỗng và trên đó có quan hệ
thứ tự bộ phận.
≤
≤
2. Với
x P a
a ,( ]
:
a [ )
,a b P∈ , ta định nghĩa các tập hợp } x P x b :
{ = ∈
} x
{ = ∈
.
A
b⊂ ( ]
=
. Cận trên nhỏ nhất của 3. Ta nói b P∈ là một cận trên của A P⊂ nếu
A được gọi là cận trên đúng của A . Kí hiệu
b
sup
A
.
A
a⊂ [ )
=
. Cận trên nhỏ nhất của
A được gọi là cận trên đúng của A . Kí hiệu
inf
A
. 4. Ta nói a P∈ là một cận trên của A P⊂ nếu a
sup
,inf
x y tồn tại với mọi ,
{
} x y ,
{
}
,x y P∈ .
5. Một poset P được gọi là dàn nếu
6. Một tập con C P⊂ được gọi là xích nếu C là tập sắp thứ tự toàn phần.
31
X⊂ khác
7. Một poset X được gọi là Zorn- bị chặn trên / dưới nếu mọi xích Y
Y
Y
rỗng đều bị chặn trên / dưới.
8. Một poset X được gọi là đầy đủ theo xích hướng lên / xuống nếu sup / inf
X⊂ khác rỗng. . X được gọi là đầy đủ theo xích nếu X vừa đầy
với mọi xích Y
dủ theo xích hướng lên, vừa đầy đủ theo xích hướng xuống.
R T :
N X→
(
)
>
∃
y
x R t
,
( ) ∈ y R t
( ) + R t
( ) /
∃
<
,
y
/
( ) ∈ y R t
( ) − R t
( ) x R t
{ = ∈ { = ∈
} x } x
9. Cho poset X và . Với mọi t T∈ , ta kí hiệu
∈ ,Y Z N X
(
)
Inf
≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
≥
≥
Y
z Z z
y Y
Z
,
,
'
z
'&
z
z
[ Z y :
] '
Sup
≥
⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
≥
≥
Y
Z
y Y
y
z
z Z y ,
,
'
'
y & '
[ Y y :
]
^
Y
≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ y Y
z Z
Z
,
inf
{
} y z ,
) ∈ Z
(
Y
∨≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ y Y
z Z
Z
,
sup
{
} y z ,
) ∈ Y
(
Vt
≥ ⇔ ≥
≥
Y
Z
^ & Z
Y
Z∨
Y
wV
∈
Y
≥ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ y Y
z Z
Z
,
sup
Y hoac
inf
{
} y z ,
{
} y z ,
(
) ∈ Z
^
Inf
Sup
≥ ⇒ ≥
∨≥ ⇒ ≥
ta định nghĩa các quan hệ sau : 10. Cho poset X , với
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Nhận xét 2.2.1.1 , .
*≥ là một trong những quan hệ được định nghĩa như trên.
Gọi
,T X là hai tập sắp thứ tự bộ phận,
*
≥
ĐỊNH NGHĨA 2.2.2.1 [3] Cho
*≥ nếu
:R T
N X→
'
R t khi t
'
> . t
(
)
( R t
)
( )
được gọi là tăng đối với
32
2.2.2. Một số định lí về sự tồn tại lát cắt đơn điệu của ánh xạ đa trị tăng
≥
ĐỊNH LÍ 2.2.2.1 [3]: Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt
Inf R t− ( ) ,
≠ ∅ với mọi t T∈ .
đơn điệu nếu R là tăng đối với
≠ ∅ nên có
Chứng minh
R t−∈ ( )
( )R t−
tx
. Với mỗi t T∈ , do
:r T
X→
t
x t
Inf
′ ≥
Inf≥ nên
′ > , do R là tăng đối với
R t
( )
R t ( )
Xây dựng
t
∈
∈
≤
≤
Với t
R T r t
′ ( ), ( )
R t
′ ( )
∈ x R t
′ ( ):
x
′ ( ) & r t
x
r t ( )
<
−∈
∃ ∈
<
nên tồn tại Khi đó ( ) r t
x
r t ( )
x R t∈ ( )
x R t
y R t
y
r t ( )
R t ( )
( ) /
( ) :
{ = ∈
} x
= ⇒ ≤
nên với mọi . Do
x
r t ( )
r t ( )
r t′ ( )
Suy ra
Vậy r là lát cắt đơn điệu có từ R .
( )R t là Zorn-bị chặn dưới mạnh hơn điều kiện
≠ ∅ nên ta có hệ quả sau.
( )R t−
Nhận xét 2.2.2.2[3] Do điều kiện
Inf≥ và
Hệ quả2.2. 2.1 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn
( )R t là Zorn-bị chặn dưới với mọi t T∈
điệu nếu R là tăng đối với
Chứng minh
≠ ∅ . Thật vậy, do bổ
( )R t−
( )R t là Zorn-bị chặn dưới thì
Ta chứng minh nếu
z
R t∈ ( )
( )R t có phần tử tối tiểu. Hiển nhiên
0
đề Zorn thì .
Áp dụng định lý 2.2 ta có điều phải chứng minh.
33
Sup≥ và
≠ ,
ĐỊNH LÍ 2.2.2.2 [3] Một ánh xạ đa trị R từ poset T vào poset X có lát cắt đơn
R t+
( ) 0
t T∀ ∈ .
điệu nếu R là tăng đối với
≠ nên có
Chứng minh
R t+
( ) 0
R t+∈ ( )
tx
. Với t T∈ , do
:r T
X→
t
x t
∈
Sup≥ nên có
Xây dựng
′ > , do R là tăng đối với
t
y R t′ ( )
∈
≥
≥
=
′ ≥
sao cho Với t
′ . Do ( )
r t
R t+
′ ( )
y
′ ( ) & r t
y
r t ( )
y
r t′ ( )
r t
r t ( )
nên .Suy ra ( )
Vậy r là lát cắt đơn điệu của R .
Nhận xét 2.2.2.2 : hai điều kiện của R trong định lý 2.2 và định lý 2.3 chỉ là
điều kiện đủ để có lát cắt đơn điệu. Ta sẽ thấy rõ điều này qua các ví dụ sau.
X =
[0;1]
1
∈
x
[0;1)
Ví dụ 2.1: Cho
:R X
( N X→
)
( ) R x
=
x
0
1
+ x = 1
1
∈
[0;1)
x
định bởi:
− R x ( )
=
0
x
1
+ x = 2
≠ ∅ ∀ ∈
Ta có:
− R x ( )
x X
R không có lát cắt đơn điệu.
1
∈
x
[0;1)
r x ( )
Vậy
=
a
x
1
+ x = 2
Thật vậy, giả sử R có lát cắt đơn điệu r , khi đó
34
[0;1)
2
− < 1
< 1
a
a − < , do đó tồn tại
1 1
a ∈
[0;1)
x ∈ 0
x 0
Do thỏa mãn nên 2
> = a
r
)
(1)
r x 0(
Inf≥
R không tăng đối với
Inf
≥
suy ra (mâu thuẩn vì r tăng).
R
R t ( )
(0).
Ta dễ thấy
X =
[0;1]
=
(0;1)
0
x
Ví dụ 2.2.2.1 Cho
:R X
( ) R x
( N X→
)
−
∈
(0;1]
x
= 1
x 2
R là tăng đối với
Inf≥ .Thật vậy, xét x
′ > : x
Inf
định bởi
R x (
′ ≥ )
R x ( )
x x′∈ ,
(0;1]
Inf
) 1
(
thì ta có . Nếu
= thì ta có
R x′ = − ≥ nên ta có
R x (
′ ≥ )
R x ( )
x′∈
(0;1], x
0
x 2
1 2
x
0
− R x ( )
−
∈
x
(0;1]
∅ = = 1
x 2
R không có lát cắt đơn điệu.
∈
0
Nếu .
:R X
X =
[0;1]
( ) R x
( N X→
)
[0;1) =
x (0;1)
1
x
=
[0;1)
Inf≥ ,
Ví dụ 2.2.2.2: , định bởi
− R x ( )
1
∈ x 0 = ∅ = x
Dễ thấy R là tăng đối với
35
∈
0
[0;1)
x
( ) r x
=
1
x
=
1 2
Nhưng R vẫn có lát cắt đơn điệu là
:R T
N X→
(
)
Inf≥ và thỏa mãn với mọi
là tăng đối với ĐỊNH LÍ 2.2.2.3 [3] Cho X là dàn,T là poset,
∈ t T R t , ( )
≠ ∅ . Khi đó R có lát cắt đơn điệu.
( )R t−
là đầy đủ theo xích hướng xuống và
Chứng minh
Ta định nghĩa M là tập hợp các ánh xạ
:F T
)
( N X→
−
∀ ∈
⊆
⊆
thỏa mãn:
F t ( )
R t ( )
( ) t T R t :
∀ ∈ ∀
>
∈
⇒ ∈
(IIa)
∈ , x, y R(t) : (y
t
x& y
F t ( )
x F t
( ))
∀ ∈
(IIb)
t T R t ( ) :
( )R t
F là tăng đối với wV≥
là đầy đủ theo xích hướng xuống trong (IIc)
Rõ ràng R ∈M ≠ ∅ .
F t ( )
:F T
N X→
)
(
= F t ( )
∈ F R
như sau : (II) Ta định nghĩa:
≠ ∅∀ ∈ và điều kiên (IIa) nên ta có
− ( )R t
t T
≠ ∅∀ ∈ .
( )F t
t T
Định nghĩa (II) là hợp lí do
Bổ đề 1 F ∈ M
36
⊆
− ⊆ ( ) R t
F t ( )
R t ( )
∀ ∈ F M
+) F thỏa (IIa)
⊆
⊆
⊆
⊆
− R t ( )
F t ( )
R t ( )
Thật vậy: với t T∈ , ta có
−⇒ nên R ( ) t
F t ( )
R t ( )
∈ F M
Suy ra .
∈
>
∈
+) F thỏa (IIb).
∈ t T x y R t ,
( ); y
;
x& y
F t ( )
x F t∈ ( )
.Ta chứng minh Thật vậy: với
∈ y F t ( )
∀ ∈ F M
y F t∈ ( )
∈
∀ ∈ . Vậy
nên Ta có
x F t∈ ( )
x F t ( )
F M
Do F thỏa (IIb) nên có
( )F t là đầy đủ theo xích hướng xuống trong
+) F thỏa (IIc).
( )R t .
∈
∈
Với t T∈ , ta chứng minh
∀ ∈ . Do đó
F M
( Y N F t ( )
)
( Y N F t ( )
)
∀ ∈ . Vậy
∈ SupY F t ( )
F M
SupY F t∈ ( )
Thật vậy : Lấy xích . Suy ra
wV
′ ≥
′ > , ta chứng minh
+) F thỏa (IId).
t
F t
( )
F t ( )
Lấy t
∈ y F t
′ ( ),
∈ x F t ( )
∈ y F t
′ ( ),
∈ x F t ( )
∀ ∈ F M
, thì Với
,x y có thể so sánh được thì ta có điều phải chứng minh.
wV
′ ≥
∧ ∈
Nếu
F t
( )
F t ( )
y
( ) x F t
∨ ∈
y
x F t′ ( )
∧ ∈
.Do đó hoặc Do F là tăng w.r.t wV≥ nên
∨ ∈ x
y
x F t
F y : 0
F t ( ) 0
⊂ 0 ( ) R(t)
thì +)Nếu có
37
∧ ∈
∈
y
x R t x R t x
( ),
( ),
> ∧ và x
y
x F t∈ ( )
∧ ∈
∧ ∈
Khi đó
∀ ∈ . Suy ra
y
x F t ( )
y
x F t ( )
F M
∨ ∈
∨ ∈
∀ ∈ . Suy ra
Do (IIb) ta có
y
x F t′ ( )
y
x F t
′ ( )
F M
+)Nếu
+
−
′
>
∈
∈
Vây F là tăng đối với wV≥ .
t
t
,
y F t
′ ( )
x R t ( )
x≥ .
x
∨ > và y y
∧ < x x
Bổ đề 2 Nếu thì y
x≥ , ta có: y
Giả sử y
y F t+ ′ ∈ ( )
y
∨ ∈ x
F t′ ( )
∧ ∈
nên Do
x R t−∈ ( )
y
x F t ( )
y
∧ ∈ x
( ) R t
nên , do đó
Mâu thuẫn vì F là tăng đối với wV≥ .
N X→
:TF T
(
)
+
(
)
′
≥
TF t
( ) :
x F t
( ) /
∀ > ∀ ∈ t,
y F
t
′ ( ), t
y
{ = ∈
} x
như sau Với mỗi F M∈ , ta định nghĩa :
TF t ( )
≠ ∅∀ ∈ t T
Định nghĩa như trên là hợp lý, do bổ đề 3.2 ta có
TF M∈
Bổ đề 3
TF thỏa (IIa)
+)
− ⊆ ( ) R t
T F t ( )
T
∈
Ta chứng minh
x R t−∈ ( )
x F t ( )
− ⊆ ( ) R t
T F t ( )
+
(
)
T
′
>
∈
thì ( do ) Lấy
t
∈ t y F ,
′ ( ) t
x F t ( )
x≥ . Suy ra
. Với . Theo bổ đề 3.2 ta có y
38
⊂
⊆
TF t ( )
R t⊆ ( )
TF t ( )
F t ( )
R t ( )
đúng do
TF thỏa (IIb)
T
T
∈
>
∈
∈
+)
t
∈ ∀ ,
x y R t y ,
( ),
x
&
y F t ( )
( ) x F t
T
∈
. Ta chứng minh Với
.
y F t ( )
y F t∈ ( )
T
′
∈
> ∀ ∈
.
nên Ta có
x F t ( )
t
k F t+ ′ ( )
t
,
x> nên k
x≥ do đó
y≥ Mà y
Với . Ta có k
TF thỏa (IIc)
⊆
⊆
+)
Z
T ( ) F t
SupZ
T ( ) F t
′
=
∈
>
, ta cần chứng minh Cố định t T∈ , ta xét xích
x
SupZ
T F t ( )
t
t y F t+ ′ ∈ ( ) ,
x≥ .
. Nghĩa là có Giả sử thỏa y
> ∧ (*) x
y
wV
′ ≥
∧ ∈
⊆
Khi đó x
F
(t )
F t ( )
y F t+ ′ ∈ ( )
y
x F t ( )
R t ( )
Mặt khác ( do và )
z≥ (1)
T
∈
Với mọi z Z∈ ta có x
z F t y F t+ ′ ∈ ( ) ( ),
z≥ (2)
⇒ ∧ ≥ (**)
Do nên y
x
y
z
≠
(1),(2)
SupZ
( Mâu thuẩn) Từ (*),(**) ta có: x
TF thỏa (7d)
T
T
′
>
∈
+)
t
∈ t y F t ,
′ ( ) &
x F t ( )
⇒ ∈
y F t
′ ( ) &
∈ x F t ( )
Với
39
wV
′ ≥
∨ ∈
F t
( )
F t ( )
y
x F t′ ( )
∧ ∈
Do F là tăng w.r.t wV≥ nên . suy ra hoặc
y
x F t ( )
∧ ∈
.
y
x F t ( )
T
T
∧
∈
∈
⇒ ∧ ∈
y
x x R t x ,
( ),
> ∧ y
x
&
x F t ( )
x F t ( )
y
∨ ∈
,
Nếu thì theo (IIb) ta có
y
x F t′ ( )
T
T
′′
′
>
∈
Giả sử
t
t
&
z F t+ ∈ (
′′ )
x F t ( )
⇒ ≥ z
∈ x y F t ,
′ ( )
⇒ ≥ . z
y
∨ ∈
x
T y F t′ ( )
Với mỗi ta có
≥ ∨ . Do đó y
x
Suy ra z
TF là tăng đối với wV≥ .
T
Vậy
F F=
Bổ đề 4
T
⊆
. Ta chứng minh
.
Xét t T∈
F t ( )
T F t ( )
F t⊆ ( )
T F t ( )
F ta có
T
=
⊆
( ) F t
( ) F t
T ( ) F t
Theo định nghĩa
F M∈ . Mà
∈ F M
=
Theo bổ đề 3.3 và 3.1, ta có
( ) F t
T ( ) F t
Vậy
+ F t ( )
≠ ∅∀ ∈ do t T
+ F t ( )
+
là đầy đủ theo xích hướng dưới.
∈
Gọi r là lát cắt bất kì của F . Ta chứng minh r là đơn điệu
t
′ ≥ ta có ( ) r t
+ F t ( )
⇒ ∈ ( ) r t
F t ( )
⇒ ∈ r t ( )
T F t ( )
∈
′ ≥
. Với t
t
′ ≥ và ( ) ′
r t
+ F t
′ ( )
T F ).
r t
r t ( )
( do định nghĩa Do đó với t thì ta có ( )
40
Ta có điều phải chứng minh.
( )R t không thể thay thế bằng
Nhận xét: Tính đầy đủ theo xích hướng dưới của
tính Zorn-bị chặn trên.
:R X
X = −
[ 1;1]
( N X→
)
=
=
Ví dụ 2.2.2.3 Cho và
R
(0) X\ {0}, R(x)
,
∈ x X
\ {0}
x 2
wV≥
Định bởi
wV
′ > , ta chứng minh
R x (
′ ≥ )
R x ( )
Ta có : R tăng w.r.t
x
wV
Với x
∅ thì dể thấy
R x (
′ ≥ )
R x ( )
x x ,
X′∈
\ { }
=
+)Nếu
R
′ (0) X\ {0}, R(x )
0x = , ta có
′ x = 2
+)Nếu
∈ y R
′ ∈ (0), z R(x )
wV
∧
∨
. Với
y
z y ;
′ ≥ )
( R x
( ) R x
} { = z
} y z ;
. Do đó ta có Ta có {
∀ ∈ .
( )R x có tính Zorn-bị chặn trên x X
Suy ra
Nhưng R không có lát cắt đơn điệu.
ĐỊNH LÍ 2.2.2.4 [3] Cho X là một dàn , T là một tập poset hữu hạn,
:R T
N X→
(
)
là tăng đối với wV≥ . Khi đó R có một lát cắt đơn điệu.
+
′
Chứng minh:
/
′ ∃ ∈ t T : t
T
{ = ∈ t T
} > t
Ta định nghĩa
↓ T t
( ) :
T t /
',
t
{ ′= ∈ t
}
. Với mỗi t T∈ , ta định nghĩa
41
*
*
≤
x R t
x
x
↓ R t x ( ,
) :
( ) /
}
{ = ∈
*
*
*
≠ ∅∀ ∈
. Với mỗi t T∈ , ta đặt:
T +∈ , tồn tại
x
*( R t∈
)
)
)
↓ ( , R t x
↓ t T ( t
thỏa mãn Bổ đề Với mỗi *t
)
↓
+
↓
↓
*
=
− Z x ( )
T x Z x ( )
( ) \
* Z x ( )
) /
R t x ( , )
*( x R t∈ Với mỗi { = ∈ t T t (
} ≠ ∅ ,
0
ta kí hiệu:
)
x
*( R t∈
và xây dựng theo quy nạp như sau. Chọn
kx
*( R t∈
)
k
*
*
k
↓=
đã được định nghĩa Giải sử có
x
x=
+ Z x (
)
T t (
) (1)
*
*
*
≤
≠ ∅ ( do (1))
, Đặt Nếu
t
t< , ta có
↓ R t x ( ,
)
x R t
( ) /
x
x
{ = ∈
}
Với mỗi
kx không thỏa (1) thì ta chọn
t Z x−∈ (
)k
wV
≥
Nếu bất kì.
)
t
* < ⇒ t
*( R t
( ) R t
*
∨ ∈
∧ ∈
( do R là tăng w.r.t wV≥ )
y
*( x R t
)
∈ x R t
( ),
y
k = ∈ x
R t (
)
y
x R t ( )
k
k
k
∧
<
. Ta có hoặc Lấy
x
x
x
x
k ∧ ∈ x
R t ( )
x
k ∧ ∈ x
↓ R t x ( ,
)
k
k
k
∨ ∈
>
, thì do . Ta có ( Mâu thuẩn). Nếu
x
x
x
x
+ = ∨ 1 :
y
*( x R t
)
↓
)
+
k
k
+ 1
k
⊂
và ta định nghĩa Do đó
∈ t Z x
(
)
+ Z x (
)
+ Z x (
)
k
≠ ∅
)
∈ *( t T t ⇒ ↓ R t x ( ,
k
1
k
k
k
⇒ ∈
=
⇒ ∃ ∈
⇒ ∈
<
.
y R t y
( ),
< ∨ x
x
x +
↓ y R t x
( ,
)
y R t y
( ),
x
+
Ta có với
)1k
( t Z x+ ∈
Do đó .
42
kx thỏa mãn
k
*
↓=
)
)
+ ( Z x
( T t
Do T hữu hạn nên dãy này phải có điểm dừng, tức là tìm được
Ta chứng minh định lý
T +∈ , chọn
*x như bổ đề 3.5. Ta định nghĩa
R T :
\
2 \X
{ } ∅
{ } * t →
↓
*
↓ R t x ( ,
)
( *)
Cố định *t
R t ( )
∈
R t ( )
∈ t T t ↓ T t
( *)
t
=
Bởi :
*\T t nên R có lát
*
*
. Do định lý đã đúng cho Dễ thấy R là tăng đối với wV≥
x=
r t (
)
cắt đơn điệu r. Đặt , ta có một lát cắt đơn điệu của R trên T.
N X→
:R T
(
là tập tăng đối với Vt≥ . Khi đó R có một xích. T là tập poset và ĐỊNH LÍ 2.2.2.5 [3] Cho X là dàn con của tập tích Cartesian của hữu hạn các )
lát cắt đơn điệu.
Chứng minh:
M =
X
{ } 0;1;.............;n
c m
⊆ ∏ , trong đó mc là xích. Ta có thể coi
∈ m M
. Giả sử
=
≠
=
Theo định lý Zemerlo, mỗi mc điều có thể sắp thứ tự tốt với m>
(y;x) :
D
x≠ . Ta định nghĩa :
d
D y x min ( ; )
{ ∈ m M
}
/ ym
x m
>> ⇔ >
y
x
y
d
d
x d
, , Với y
∈
Bổ đề 1 X là một tập sắp thứ tự tốt với thứ tự >>.
Y N X
)
= : min
/
y Y
{
} ∈
c 1
y 1
Với mỗi , ta định nghĩa : Rõ ràng >> là một quan hệ thứ tự. (
43
=
= : min
y
/
∈ y Y
&
{
}
c 2
2
y 1
c 1
…..
……
......
)
c c 2, 1
,.........,cm
> > , 1
2
Đối với thứ tự là min của Y. thì (
≥ . Khi đó x
>> ∧ ⇔ ∨ >> . y
x
y
x
y
∈ x y X ,
&
y
x
− =
∨
− =
∈
<
Bổ đề 2 Giả sử
D
D y y ( ,
= x D x )
∧ ( , y x)
D
}
{ m M y / m
x m
=
Đặt . Ta thấy
d
min
D−
. Đặt
x
>> ∧ y
x
&
y
∨ >> y
x
x d
y> d
d
thì Nếu
y
y
>> ∨ y
x
&
y
∧ >> x
x
d
x> d d
Nếu thì
= Đặt ( ) min (t)
r t
R
( với quan hệ>>). Khi đó r là lát cắt của R theo định nghĩa.
′
>
=
=
Ta chứng minh r tăng.
t
t y ,
′ ( ), r t
x
r t ( )
∧ ∈
Giả sử
y
x R
′ ∨ ∈ (t), y x R(t )
≠ ∨ . Do đó
∨ >> (do
Vì R là tăng w.r.t Vt≥ nên ta có
x≥ thì
x
≠ ∧ y
x
&
y
x
y
y
∧ >> x
x
&
y
y
x
Nếu y
định nghĩa r).( Mâu thuẫn với bổ đề 2.7)
Ta có điều phải chứng minh.
44
CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH
ĐƯỢC
Các kết quả được trích dẫn từ tài liệu [4]
Tập phân tích được được đưa ra bởi T.R.Rockafellar vào năm 1968, sau đó nó trở
thành đối tượng cơ bản trong giải tích phi tuyến cũng như trong lý thuyết ánh xạ
đa trị. Tính chất của tập phân tích được giống như điều kiện lồi nên nó có thể
thay thế tính chất lồi trong bài toán liên quan đến điều khiển tối ưu, bao hàm thức
*X khả li và
,T ζ µ là không gian độ đo định nghĩa trên không gian metric khả li với σ−
,
vi phân…
)
Trong phần này chúng ta xét trên không gian Banach X với (
đại số ζ là các tập đo được Lebesgue cho bởi độ đo Radon hữu hạn µ. Không
) 1 Tµ = .
(
mất tính tổng quát ta có thể giả sử µ là độ đo xác suất nghĩa là
3.1. Một số khái niệm liên quan
Σ → được gọi là độ đo
X
∞
⊂ Σ ,
A
i
j
∩ = ∅ ∀ ≠ thì ,
A i
j
=
:m 1. vecto nếu thỏa mãn tính chất : với mọi dãy { } 1 n nA
∞
∞
=
m
)
A n
( m A n
∑
m
= 1
n
= 1
Khái niệm độ đo vecto [4] Một ánh xạ
Trong đó chuỗi trong vế phải là
Khái niệm đo đo Radon[ Wikipedia ]:
U thỏa mãn
)m U hữu hạn.
(
2. cho m là độ đo trên σ− đại số các tập Borel của không gian topo Hausdorff X . +) độ đo m được gọi là hữu hạn địa phương nếu tại mọi điểm của X có lân cận
=
⊂
+) Độ đo m được gọi là inner regular nếu mọi tập Borel B ta có
sup
:
,
( m B
)
)
(
{ m K K B K compact
}
.
45
+) độ đo Radon là độ đo trên σ− đại số các tập Borel của không gian topo
,T ζ µ là không gian
,
sup,
ess
ess
in
)
Khái niệm 3. Hausdorff X mà hữu hạn địa phương và inner regular. f [ Wikipedia ]: cho (
R→ , ta định nghĩa
:f X
>
=
∈
>
=
≠ ∅
inf
:
:
:
:
( ) x f x
( ) x f x
{
} a
)
( µ
} 0
ess
sup
f
∈
>
=
= ∅
:
( ) x f x
( { µ ( { µ
<
=
<
=
} 0 } 0 ≠ ∅
:
:
:
:
( ) x f x
( ) x f x
} a
{
( µ
)
{ ∈ a R +∞ { ∈ b R
} 0
ess
in
f f
−∞
∈
<
=
= ∅
:
:
( ) x f x
) } b ) } b
{ khi a R { khi a R : { ( { ∈ µ khi b R { ( { µ khi b R
) } a ) } a } 0 } 0
= sup =
⊂
độ đo, hàm
,
( K M T X
)
∈
≤
[4] Tập con được gọi là bị chặn p-khả tích nếu có 4.
,
( p a L T X
)
( ) u t
( ) a t
h.k.n trong T . thỏa mãn với mọi u K∈ thì
:P T
N X→
(
)
[4] Ánh xạ đa trị được gọi là 5.
V
⊂ với mọi tập mở V thỏa mãn
+ ( P V
)
P V+∈ (
)
T∈ nếu và chỉ nếu 0t là điểm trong của }
0t
T∈ nếu và chỉ nếu 0t là điểm trong của
. +) nửa liên tục trên tại 0t { ( ) = ∈ t T P t :
V
∩ ≠ ∅ với mọi tập mở V thỏa mãn
− ( P V
)
P V−∈ (
)
}
0t
T∈
. +) nửa liên tục trên tại 0t { ( ) = ∈ t T P t :
T∈ nếu vừa liên tục trên tại 0t
T∈ vừa liên tục dưới tại 0t
+) liên tục tại 0t
3.2. Tập phân tích được, tính chất
( ,
pL T X thỏa )
( ,
)
M T X hay
ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 [4] Một tập con K của
∈ với mọi
,u v K∈ và A ζ∈ được gọi là tập
)
v K
χ u A
χ+ − (1 A
mãn tính chất
phân tích được.
dec T X : tập hợp các tập con phân tích được khác rỗng của
,
M T X . ( ,
)
(
)
Ta gọi,
46
dcl T X : tập hợp các tập con phân tích đóng của
,
M T X . ( ,
)
(
)
)
pL T X . ( ,
,
(
)
pdec T X : tập hợp các tập con phân tích được khác rỗngcủa
pL T X . ( ,
)
,
(
)
pdcl T X : tập hợp các tập con phân tích được đóng của
Ví dụ 3.2.1 :
ϕ → là hàm liên tục,µ:
X → +∞ . Khi đó )
: X
R
=
→
=
ϕ
Giả sử
. .
K
( ) / R u t
( ) t h k n trong X
{ : u X
[0, }
là tập phân tích được.
⊂
Thật vậy,
,
( K M X R
)
. Với u K∈ thì u liên tục hầu khắp nơi nên u đo được. Suy ra
,u v K∈ , giả sử
,U V ∈ ℑ có
( µ U
)
( µ= V
) 0 = .
∈ t X U
\
∈ t X V
\
=
=
( ) u t
( ) v t
f
∈ t U
∈ t V
( ) t ( ) g t
( ) t ( ) t
ϕ
ϕ
A∈ ℑbất kì, ta có
∈ t A
( + − 1
)
( ) u t
( ) χ u t A
χ A
∈ t X A
\
∪
∈ t A U
\
\
\
(
) X A V
=
f
∈ ∩ t A U
∩
∈ t X A V \
( ) u t = ( ) v t ( ) ϕ t ( ) t ( ) g t
∩
=
+
=
X A V
\
A U
X A V
\
0
A U
( µ
) ∩ +
( µ
) ∩ ≤
( µ U
)
( µ V
)
⇒
∩
=
A U
0
) )
) )
( ( µ ( ( µ Suy ra
∈ . Vậy K là tập phân tích được.
u K
) ( ∩ ∪ ) ( ∩ ∪ ( + − 1
\ X A V )
χ u A
χ A
Với
47
⊂
MỆNH ĐỀ 3.2.1 [4] Các tập phân tích được có các tính chất sau.
( ,
)
K
( ,
)
α
dec T X p
dec T X p
} α α∈∧
∈ K
α∈∧
)
Pdcl T X . ( ,
∞
⊂
. Khi đó .Tương tự cho (i) Cho {
( ,X)
( ,
)
dec T p
n
dec T X p
} nK n ∈
}
∈ K
n
= 1
∈
là dãy tăng. Khi đó . (ii) Cho {
K dec∈
(T,X)
clK dcl T X
( ,
)
p
p
p
− ∈
(iii) Nếu thì ( clK là bao đóng của K ).
K u dec T X
( ,
)
(T,X)
K dec∈
u L∈
(T, X)
p
p
− ∈
∈
(iv) Cho và thì tập hợp .
K dcl T X
( ,
)
K u dcl T X
( ,
)
p
p
Tương tự , ta có .
Chứng minh
,u v
Kα
∈ và A ζ∈ . Khi đó với mọi α∈ ∧ ta có
α∈∧
(i) Lấy
+ − (1
)
v
)
∈ v Kα
χ u A
χ+ − (1 A
χ u A
χ A
∈ . Kα
α
∈∧
∞
ζ
∈
∈
nên
, u v
K
,An
}n nK
= 1
n
∞
,
+ − (1
)
∈ v K
u v K∈ . Suy ra n
χ u A
χ A
n
n
⊂ . K
n
= 1
∈
là dãy tăng nên có n thỏa mãn (ii) Lấy . Do {
u v ,
clK A ζ ,
,
u
K⊂ thỏa mãn
∈ .Khi đó có (
)
(
)
v n
n
n
n
→
→ . Suy ra
u
v
n
u v , n
χ
+ − (1
)
(1
)
v
u A n
χ A
v n
→ + − χ u A
χ A
χ
∈ ( do K phân tích được)
(iii) Lấy
(1
)
K
u A n
χ+ − A
v n
Mà
48
∈
(1
)
v
clK
χ u A
χ+ − A
p
∈
∈
Nên .
K dec T X u L T X
( ,
( ,
),
)
p
′∈ −
(iv) Với
′ ,
,
u v K u A ζ ∈
′
+
Lấy
u
′ u v ,
+ ∈ u K
′
⇒
+
+ ∈ ( do K phân tích được).
u
u
′ v
K
u
(
)
( + − 1
)(
)
χ A
χ A
′
⇒
′ v
+ ∈ u K
( + − 1
)
χ u A
χ A
′
⇒
′ ∈ − v K u
( + − 1
)
χ u A
χ A
Ta có
p
Tương tự cho trường hợp còn lại.
( ,
( ,
),
)
M T X L T X là phân tích được nên họ các tập phân tích
Ghi chú:[4] Vì
⊂
được chứa K là khác ∅ . Do đó theo mệnh đề 3.1 thì với mọi tập hợp
p K L T X
( ,
)
, tồn tại tập phân tích được nhỏ nhất và tập phân tích được đóng
nhỏ nhất chứa K . Ta gọi tương ứng là bao phân tích được và bao phân tích được
)
)
(
pdec K và (
pdcl K . Hiển nhiên
⊂
⊂
đóng và kí hiệu là
K dec K
(
)
)
p
dcl K ( p
p
.
u v L∈ . ,
=
MỆNH ĐỀ3.2.2 [4] Cho
,
,
+ − (1
v A ) :
} { =
} ∈ .
{ } dec u v p
{ dcl u v p
χ u A
χζ A
Khi đó
=
Chứng minh
∈ là tập đóng nên
K
+ − (1
v A ) :
} ζ
{ χ u A
χ A
⊂
,
,
⊂ K
{ } dec u v P
} { dcl u v P
Dễ thấy
Ta chứng minh K là tập phân tích được.
49
,
,A B C ζ∈ , ta chứng minh
+ − (1
)
v
u
+ − (1
)
v
∈ K
( + − 1
)
)
( χ χ u C A
χ A
)( χ χ B
C
χ B
=
Với
a
v
+ − (1
)
χ u A
χ A
∈ u x A = ∈ A v x
=
b
u
v
+ − (1
)
χ B
χ B
v x
B
∈ u x B = ∈
\
=
=
a
+ − (1
) b
χ C
χ C
\
) ∈ ∩ ∪ ∩ ) ∈ ∩ ∪ ∩ A C
( A C (
( B T C (
) ) B T C
∈ a x C ∈ b x C
u x b x
Ta có
D
A C
B T C
\
) = ∩ ∪ ∩
(
(
)
=
∈ . ζ
Đặt
a
+ − (1
) b
u
+ − (1
)
v
χ C
χ C
χ D
χ D
∈
≤ ≤ ∞ . Khi đó
Ta có
K dec T
( ,X) 1
p
p
n
n
K
⊂ và phân hoạch hữu hạn {
k
k
=
kA = của T, hàm
} 1
MỆNH ĐỀ3.2.3 [4] Cho
n
∈
u
K
k
χ A k
∑
= 1
k
∞
⊂
(a) Với dãy hữu hạn { } 1 ku
⊂ và mọi
p K L T X
( ,
)
K
k
=
∞
∞
∈
u
)
(b) Nếu là bị chặn p-khả tích thì với mọi { } 1 ku
k
dcl K ( p
k
= của T . Ta có
χ kA
∑
} 1 kA
k
= 1
phân hoạch {
Chứng minh
(a) ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Với n=2, (a) thỏa đo K là tập phân tích được.
2n ≥
Giả sử (a) đúng với
50
+
+
n
n
K
⊂ và {
k
k
= là phân hoạch của T . Đặt
) 1 ku
} 1 kA
= 1
1
n
=
=
−
1, 2,....,
1
n
B n
= ∪ A n
A + 1 n
B i
, A i i
i
Lấy dãy bất kì (
iB = là phân hoạch của T .
=
∈
. Khi đó { } 1
u
K
k
n ∑ ω χ B k = k 1
n
=
+
=
u
u
u
k
n
A
k
χ A n
+ 1
+ 1
n
∑
( ⇒ − 1
) χ ω χ A k
= 1
n ∑ ω χ A k = 1 k
k
n
=
∈
. Ta có Do đó
u
u
K
k
χ A
n
+ 1
A
χ A k
n
n
+ 1
+ 1
∑
( + − 1
) χ ω
k
= 1
Do đó: ( do K phân tích được)
⊂
ϕ∈
Vậy (a) đúng với n+1.
p K L T X
( ,
)
)
pL T X ( ,
(b). Giả sử là bị chặn p-khả tích bởi . Do mệnh
∞
∞
K
⊂ và phân hoạch {
k
k
=
= của T .
} 1 kA
đề 48 , ta có thể giả sử O K∈ .
∞
∈
Cố định { } 1 ku
u
)
k
dcl K ( P
χ kA
∑
= 1
k
Ta chứng minh:
0ε> , chọn n đủ lớn thỏa mãn
∞
P
=
<
dt
dt
e
µ (
)
P ϕ µ t ( ) (
)
Với
P u t ( ) k
∑ ∫
∞
k n
= + 1
A k
A k
∫
= 1
k
∞
=
(Định lý Vitaly-Hahn-Saks)
0
lim →+∞ n
= + 1
k n
µ
A k
n
n
=
=
∈
Vì
u
+ u O
K
v n
k
k
χ A k
χ A k
χ A k
+ 1
∑
∑
= 1
= 1
n
n
Ta đặt:
51
p
p
∞
∞
∞
p
−
=
≤
<
p ε
u
u
ϕ µ ( ) t (
dt
)
k
v n
k
χ A k
χ A k
∑
∑
∑ ∫
k
k n
k n
= 1
= + 1
= + 1
p
p
A k
∞
=
− χ χ
⇒
<
ε
, B
d
,
)
( d A P
A
p
u Kχ k
B P
A k
∑
k
= 1
∞
∈
( với )
u
)
k
dcl K ( p
χ kA
∑
k
= 1
. Do ε chọn tùy ý, ta có
Ghi chú Tập phân tích được có nhều tính chất đẹp. Tuy nhiên chúng cũng có
)
PL T X ( ,
một vài tính chất không mong muốn. Một tập phân tích được nhỏ hơn
thì không có điểm trong và tập phân tích được compact chỉ còn là tập một điểm.
pL T X trong đó )
( ,
p
=
MỆNH ĐỀ 3.2.4 [4] Cho B là quả cầu đơn vị trong
1
p≤ < ∞ . Khi đó
(
)
L T X ( ,
)
pdec B
∈
.
K dec T X
( ,
)
P
PL T X khi đó K là tập một điểm.
( ,
)
⊂
MỆNH ĐỀ 3.2.5 [4] Cho là tập compact tương đối của
,
)
( 1 K L T X
ĐỊNH LÍ 3.2.1[4 ] Tập con là tập phân tích được, đóng nếu và
K K=
P T :
cl X→
(
)
P
∈
( ,X) : u(t) P(t) h.k.n trong
T
{ = ∈ u M T
}
PK
∈
chỉ nếu có ánh xạ đo được thỏa . Với
(T,X) : u(t) P(t) h.k.n trong
T
PK
{ p = ∈ u L
}
. hay
Chứng minh
PK là tập hợp phân tích được.
∈
( ⇐ ) Ta chứng minh
,
∈ u v K A ζ ,P
Lấy
52
t u t ( ) ( )
( + − 1
) t v t ( ) ( )
χ A
χ A
v t ( )
∈ t A ∈ t T A
\
u t ( ) =
∈
∈
Ta có
P t v t ( ), ( )
P t h k n trong T
( )
. .
(1
)
∈ v K
⇒ + − χ u A
χ A
P
PK⇒ phân tích được.
Mà ( ) u t
PK là tập đóng.
Ta chứng minh
PK và
nu
u→ . Khi đó { }nu có dãy con {
}knu
→
=
hội tụ Giả sử { }nu là dãy trong
= . 0
A
A T A
:
,
\
( ) t
( )0 Aµ
0
} ( ) u t
{ = ∈ t T u
kn
∉
thì h.k.n đến u nghĩa là với
n N
( µ
) 0, = ∀ ∈ .
nA
{ ( ) = ∈ t T u t :
} ( ) P t
A n
n
∞
∈
∀ ∈
→
Đặt suy ra
,
\
( ) n N u t ,
( ) u t
( ) P t
( ) u t n
n
∈ , ta có t T A n
=
n
0
=
Khi đó với . Suy ra
0
( ) P t∈
( ) u t
( ) u t
( ) P t∈
0
∞ Aµ n = n
nên h.k.n trong T. ( do ( )P t đóng ). Mà
K L⊂
1(T,X)
∞
{
} 1 n np = . Đặt
=
P t ( )
{ cl p t
} = ( ) : n 1,2,....
n
là tập đóng nên K là tập khả li. Do đó K có tập con trù mật (⇒ )
K⊂ . Ta chứng minh
K K⊂
cl X→
P T :
(
)
PK
P
∩
là ánh xạ đo được, . Dễ thấy
≠ ∅
B u ε ( , )
0ε> và u K∈ , ta có
PK
∞
∞
p
Với
nk
= là trù mật trong K nên tồn tại dãy con { } 1 n np
=
hội tụ tới u. Do {
} 1
n
Đặt
53
=
∩
<
: P(t) B ( ),
: d
u t P ( ),
(t)
(
)
T 0
u t
ε 2
ε 2
t
≠ ∅ = t ∞
=
−
<
p t ( ) n
t u t : ( )
ε 2
= 1
n
(3.1.1)
∞
−
<
=
p t ( ) n
T 0
T n
= T n
ε 2
t u t ( ) :
n
= 1
là tập đo được và .
nA như sau
n
− 1
=
,
\
2n ≥
A T T A \ n
0
0
= với T A n k
k
= 1
∞
= là phân hoạch của T , do đó
Xét
k
→
→ ∞
Khi đó { } 0 n nA
\
0
T
khi k
= 1
n
µ
A n
−
u t ( )
< (3.1.3)
(3.1.2)
p t ( ) n
t A∈ , ta có n
ε 2
Hơn nữa, với
(3.1.4)
=
<
k
µ (
)
dt
( ) p t 1
∫
\
χ p 1 T
ε 2
A n
= 1
n
\
T
1
An
k = 1 n
k
=
k
Theo định lý Vitaly-Hahn-Saks, ta có thể chọn số nguyên k thỏa mãn
p
p n
A n
∑
\
+ pχ χ 1 T
A n
= 1
n
= 1
n
Xét hàm p như sau
p K∈ P
Dễ thấy
54
k
ε
−
=
−
+
<
k
µ (
)
u
p
( ) u t
dt
( ) p t n
1
∑ ∫
\
χ p 1 T
A n
= 1
n
A n
= 1
n
1
⇒ ∈
p B u ε ( , )
Do (3.1.3), (3.1.4) ta có
∈
Suy ra điều phải chứng minh.
= K K
( ,
)
P
dec T X p
Hệ quả 3.2.1 [4 ] Cho là tập phân tích được được cho
clK K=
P T :
N X→
(
)
clP
=
bởi ánh xạ đa trị ζ − đo được khi đó , trong đó clP
clP t )( )
d P t (
( ))
. được định nghĩa bởi (
Chứng minh
cl X→
(
)
clK K=
P X 0 :
0P
thỏa mãn . Theo định lý 3.1, tồn tại ánh xạ đo được
P t ( )
K
K⊂
P t⊂ ( ) 0
P
P
0
=
⊂
Dễ thấy nên h,k.n trong T. Do đó
(
) clP t ( )
( cl P t ( )
)
P t ( ) 0
0 ( )P t đóng)
h.k.n trong T. (3.1.5) (do
clPK là tập phân tích được , đóng chứa K. Do đó
=
⇒
⊂
Mặt khác
K
⊂ clK K
(
clP t )( )
P
P t 0 ( )
clP
0
=
.
(
clP t )( )
P t 0 ( )
n
⊂
⊂ hàm
h.k.n trong T. Kết hợp (3.1.5) ta có
K dec T R
( ,
)
K
p
i
=
∈ và
∈ .Nếu có thêm điều kiện K là bị chăn p-khả tích dưới
u K
u K
min i ≤ ≤ 1 n i
max i ≤ ≤ 1 n i
∞
MỆNH ĐỀ3.2.6 [4 ] Cho khi đó với mọi dãy { } 1 iu
u
cl K∈ (
)
K
n
i
=
⊂ , hàm inf n
. Tương tự, nếu K là bị chăn p-khả tích trên thì { } 1 iu
u
cl K∈ (
)
n
n
thì sup
55
Chứng minh
∈ và
u K
∈ u K
min i ≤ ≤ n i 1
max i ≤ ≤ 1 n i
=
<
Chứng minh ( dùng phương pháp quy nạp )
A
{ ( ) : t u t 1
} ( ) u t 2
. Với n=2, đặt
=
=
min
+ − (1
( ) t
) u
(
)
, u u 1
2
2
χ u 1 A
χ A
\
∈ t A ∈ t T A
( ) u t 1 ( ) u t 2
=
=
max
+ − (1
( ) t
(
)
, u u 1
2
2
) u 1
χ u A
χ A
\
∈ t A ∈ t T A
( ) u t 2 ( ) u t 1
Khi đó
∞
∈
Do K phân tích được nên ta có điều phải chứng minh.
⊂ . Với mỗi
P a L T R
( ,
)
K
=
=
∈ u K
n ∈ } , hàm
a n
i
min ≤ ≤ 1 i n
≥
* Giả sử K bị chặn p-khả tích dưới bởi . Lấy { } 1 n nu
≥ ≥ ...
≥ ≥ ...
( ) a t
a t ( ) 1
a t ( ) 2
a t ( ) n
h.k.n trong T. Và
=
∈
u
cl K (
)
n
a n
inf n
inf n
.
u
Theo định lý Lebesgue Dominated Convergence
cl K∈ (
)
n
n
∈
Tương tự sup
K dec T R
( ,
)
p
ess
inf
,
clK
{ u u K
} ∈ ∈
là bị chặn p-khả tích dưới. Khi đó Hệ quả 3.2.2 [4 ] Cho
ess
sup
,
clK
{ u u K
} ∈ ∈
Tương tự K là bị chặn p-khả tích trên thì
Chứng minh
56
Theo định lý 12 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable
∞
=
∈
Sets, trang 34 ]
⊂ nào đó).
K
ess
inf
,
u
clK
{ ∈ u u K
}
n
=
ess inf n
⊂
Ta có ( với { } 1 n nu
ess
sup
:
clK
{ ∈ u u K
}
∈
=
. Tương tự ta có
K dec T R
( ,
)
K
u
(.) :
∈ u K
p
{
}
∈
Với . Ta kí hiệu
K dec T R
( ,
)
p
Dễ thấy . Vì K bị chặn p-khả tích dưới nên theo hệ quả 3.2 ta
∈
=
∈
ϕ = ( ) t
ess
inf
u t
( ) :
∈ u K
ess
inf w( ) : w
t
K
}
{
{
}
( cl K
)
(3.1.6)
∈
∈
có:
( ,
)
p v L T R
K dec T X
( ,
)
p
MỆNH ĐỀ 3.2.7 [4 ] Cho và thỏa mãn
ϕ < ( ) t
v t ( )
h.k.n trong T.
Khi đó tồn tại u K∈ thỏa mãn:
u t ( )
v t< ( )
h.k.n trong T (3.1.7)
d O K (
,
)
p
ϕ = p
(3.1.8) Hơn nữa, ta có
K⊂ thỏa
Chứng minh
≥
≥
≥
≥
≥
Áp dụng định lý 12 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable Sets, trang 34 ], ta có dãy { }nu
..........
.....
tϕ ( )
( ) u t 1
( ) u t 2
( ) u t n
=
h.k.n trong T. (3.1.9)
tϕ ( )
u t Và lim ( ) n →+∞
n
h.k.n trong T.
57
=
<
:
T n
{ t u t ( ) n
} tϕ ( )
∞
Xét tập đo được
T 0
= T n
n
= 1
n
− 1
∞
=
=
\
,
\
2n ≥ là phân
A T T A T A , n 0
1
0
1
= được cho bởi
{ } 1 n nA
= với T A n k
k
= 1
là tập đo được. Khi đó họ Do (3.1.9),(3.1.10) nên họ { }nT tăng và
=
=
hoạch của T.
K
:
} 1, 2,.....
{ dec u n
0
n
p
⊂
=
K
:
⊂ K
{ dcl u n
} 1, 2,......
0
n
p
∞
=
∈
Do (3.1.9) nên tập là bị chặn p-khả tích và
u
u
K
n
χ nA
∑
n
= 1
<
Theo mệnh đề 3.3,
n
v t ( )
( ) u t
v t< ( )
∀ ∈ } )
nu t ( )
Suy ra (do
ϕ
≤
=
Ta chứng minh (3.1.8).
,
)
( d O K
p
− χ χ K
0
p
p
<
Ta có
+ h.k.n trong T.
u t ( )
tϕ ε ( )
0ε> bất kì, u K∈ thỏa
≤
≤
Lấy
,
)
( d O K
u
p
+ ϕ ε p
p
Do đó
d O K ϕ≤
(
)
,
0ε→ ta được
p
p
Cho
ω∈
∈
Suy ra đpcm
pL T X ( ,
)
( ,
)
K dcl T X p
=
−
ω
Cho . Với mỗi . Đặt
ϕω (
t )( )
ess
inf
u t ( )
t ( ) :
∈ u K
}
{
(3.1.11)
58
ω− ∈
=
∈ −
K
)
ϕω (
t )( )
ess
inf
u t
( ) :
u K
dcl T X ( , p
{
} ω
Vì và
ϕω ( )
K
( ω= d ,
)
p
p
p
→
Theo mệnh đề 3.7 ta có
ϕ :
L T X ( ,
)
L T R ( ,
)
p
p
→
. Vì (3.1.11) ta có thể định nghĩa ánh xạ
ϕ :
L T X ( ,
)
L T R ( ,
)
MỆNH ĐỀ 3.2.8 [4 ] Ánh xạ được cho bởi (3.1.11) là
Lipschitz với hệ số bằng 1.
∈
Chứng minh
p u v L T X
( ,
,
)
, z Kω ∈
0ε> . Theo mệnh đề 3.7 tồn tại
−
<
−
<
ε
Lấy và cố định
+ h.k.n trong T và
+ ε
vϕ
v t ( )
z t ( )
( )(t)
u t ( )
tω ϕ ( )
(u)(t)
thỏa mãn
h.k.n trong T.
≤
−
ϕ
Hơn nữa , do định nghĩa ϕ , ta có
u t ( )( )
u t ( )
z t ( )
ϕ
≤
−
ω
h.k.n trong T.
v t ( )( )
v t ( )
t ( )
ϕ
−
ϕ
≤
−
ω
−
−
h.k.n trong T.
v t ( )( )
u t ( )( )
v t ( )
t ( )
u t ( )
+ ω ε ( ) t
≤
−
+ h.k.n trong T.
v t ( )
u t ε ( )
ϕ
−
ϕ
≤
−
−
−
+ ε
Khi đó
u t ( )( )
v t ( )( )
u t ( )
z t ( )
v t ( )
z t ( )
≤
−
+ h.k.n trong T.
u t ( )
v t ε ( )
−
≤
+ ε
Tương tự
ϕ ϕ ( ) u
− u v
v ( ) p
p
Do đó
0ε→ ta có ϕ là lipschitz với hệ số bằng 1.
Cho
59
3.3. Sự tồn tại lát cắt của ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được
Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất của lát cắt liên tục của ánh xạ đa trị
→
nữa liên tục dưới có giá trị đóng, phân tích được.
p S :
dec T X ( ,
)
với S là không gian Xét ánh xạ đa trị nữa liên tục dưới
metric khả ly, p có giá trị phân tích được.
ψ → : S
1 L T R ( ,
)
ψ
=
s t ( )( )
es
sinf
u t
( ) :
∈ u P
{
} (s)
∈
định bởi. Chúng ta bắt đầu với một số tính chất của ánh xạ
1( , v L T R
)
s tψ> ( )( )
h.k.n trong T, Theo mệnh đề 3.7, với mỗi thỏa mãn ( ) v t
u t ( )
s tψ> ( )( )
u P S∈ ( )
tồn tại sao cho h.k.n trong T.
1
>
ψ
≠ ∅
R s ( )
s t h k n trong T ( )( )
. .
{ = ∈ v L T R v t ( , ) : ( )
}
(3.2.1)
Do đó với mỗi s S∈
( )R s là tập lồi và phân tích được.
→
Dễ thấy
P S :
)
→
∩
MỆNH ĐỀ 3.3.1 [4 ] Cho là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới
R S :
dec T R ( ,
)
1 co L T R
( ,
)
( , dec T X (
)
. Khi đó ánh xạ được cho bởi (3.2.1) là nửa
liên tục dưới.
⊂
Chứng minh
F
1( , L T R
)
R F+ (
)
là tập con đóng bất kì . Ta chứng minh là tập đóng. Lấy
n =
1, 2,.......
s→ thỏa mãn
F⊂ với
ns
0
)nR s (
⊂
dãy . Lấy
),
)
u t ( ) 0
tψ> ( s )( ) 0
v 0
R s ( 0
∈ u P s ( 0
thỏa mãn h.k.n trong T.
60
u
)
u→ . Xét hàm số
n
P s∈ ( n
nu
0
=
+
−
u
u
v n
n
v 0
0
1 + . n
∈
Do P nữa liên tục dưới nên có thỏa mãn
)
)
⊂ và F
v→ trong
F∈ .
v n
R s ( n
nv
0
1( , L T R . Do đó 0v
→
Ta có
P S :
dec T X ( ,
)
→
là anh1 xạ đa trị nửa liên tục MỆNH ĐỀ 3.3.2 [4 ] Cho
ϕ → S
:
1 L T X ( ,
)
r :
S
1 L T R ( ,
)
và dưới . Giả sử rằng tồn tại ánh xạ liên tục
−
ϕ
<
≠ ∅
( ) :
( ) G s
( ) u t
( )( ) s t
( )( ) . . r s t h k n trong T
{ = ∈ u P s
}
→
thỏa mãn với mọi s S∈ , tập hợp
G S :
dec T X ( ,
)
Khi đó là nữa liên tục dưới.
Chứng minh
( )G s là tập phân tích được. Vì
P s ( )
sϕ− ( )
Dễ thấy là nữa liên tục dưới nên
0ϕ≡ . Vì thế ta có thể giả sử
<
nếu cần thiết ta có thể giả sử
( ) :
( ) G s
( ) u t
( )(t) h.k.n r s
trong T
{ = ∈ u P s
}
.
1( , L T R . Lấy dãy
)
Ta chứng minh G nữa liên tục dưới. Lấy tập con đóng F của
n =
1, 2,.....
F⊂ với
)nG s (
ns
s→ thỏa 0
<
,
u t ( )
t )( )
)
r s ( o
u G s∈ 0(
0
∈
=
. Ta có h.k.n trong T. Lấy
u
n
),
1, 2......
n
P s ( n
nu
u→ . Ta 0
Do P nữa liên tục dưới nên có thỏa mãn
)
)
nu
u→ và 0
r s→ ( 0
r s ( n
có thể giả sử h.k.n trong T.
→
→
Áp dụng định lý Egorow, tồn tại dãy tăng { }iT gồm các tập đo được thỏa mãn
,
)
)
u
u
t )( ) (
ϕ < dt
)
0
( r s 0
iT
( r s n
r s ( 0
∫
1 i
iT T \
và trong
61
<
−
T
t )( )
h k n trong T . .
i k ,
r s ( 0
0
1 k
= ∈ t T u t ( ) : i
∞
∞
Xét tâp hợp
T i
},
k
= 1
= T i k ,
k
= 1
với mỗi i là dãy tăng các tập đo được thỏa mãn Ta có { T i k
µ < dt
t )( )
(
)
( )k i thỏa mãn
r s ( 0
∫
1 i
T T \ i
i k i , ( )
Do đó với mỗi i, có số
t )( )
µ < dt
(
)
r s ( 0
∫
2 i
T T \
i k i , ( )
<
−
→
→
Suy ra
u
)
)
t )( )
0
r s ( 0
n
u r s ( , n
i k iT , ( )
i k iT , ( )
u t ( ) 0
r s ( 0
1 k i ( )
∞
đều trên và trên
n n≥ 0
i
= thỏa mãn với
<
, ta có Do tính hội tụ điều nên tồn tại { } 1 in
t )( )
u t ( ) n
r s ( n
i k iT , ( )
∞
≤ ≤
trên .
)
v G s∈ ( n n
n i
n n + i 1
i
= là dãy tăng ngặt. Với
−
=
−
+
−
, với , ta Ta có thể giả sử { } 1 in
u
µ (
dt
)
µ (
dt
)
ω n
0
v t ( ) n
v t ( ) 0
u t ( ) n
u t ( ) 0
∫
∫
T T \
i k i , ( )
T i k i , ( )
≤
+
+
−
t )( )
µ (
dt
)
µ (
dt
)
u
u
r s ( n
u t ( ) 0
n
0 1
∫
∫
T T \
T T \
i k i , ( )
i k i , ( )
≤
−
+
+
−
)
)
µ (
dt
)
u
u
r s ( n
r s ( 0
r t ( ) 0
n
0
1
1
∫
2 T T \
i k i , ( )
≤
−
+
−
+
u
u
)
)
r s ( n
r s ( 0
n
0
1
1
4 i
có
→
Suy ra điều phải chứng minh.
P S :
dcl T X ( ,
)
ĐỊNH LÝ 3.3.1 (Bressan-Colombo-Fryszkowski). Giả sử
là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới. Khi đó P có lát cắt liên tục.
62
Chứng minh
→
Bước I
)
ϕ → S
:
1 L T R ( ,
)
: p S
1 ( , L T X
0ε> , ta xây dựng ánh xạ liên tục
ε
<
Với và
∈ s S
,
sϕ ( )
1
thỏa mãn với mỗi
∩
−
<
(3.2.2)
≠ ∅ .
( ) P s
( )( ) p s t
{ ( ) : u u t
} s tϕ ( )( )
ε>
và
u
∈ và S
)
P s∈ 0(
0
00, s
→
Cố định . Xét ánh xạ
S
:
1 L T R ( ,
)
ψ S
u
,
0
0
−
định bởi
es
sinf
u t ( )
( ) :
u t 0
{
} ∈ u P s ( )
ψ = s u , 0
0
.
=
) 0
sψ 0( , u
S
0
0
Hiển nhiên
(3.2.3)
=
∈
>
φ
ψ
s ( )
s t ( )( ) h.k.n
trong T
s u , 0
0
s u , 0
0
{ 1 cl v L T R v t ) : ( ) ( ,
}
→
Đặt ánh xạ đa trị :
S
:
( ,
)
φ S
,
u
)
( 1 clco L T R
0
0
là nữa liên tục dưới, do Do mệnh đề 3.10, ánh xạ
0
(
)
φ⊂ s
s 0
0,u
0
0,usφ có lát cắt
0
ϕ
→
. Do đó theo định lý lát cắt Michael, (3.2.3) nên
:
)
S
1 ( , L T R
= ) 0
s u , 0
0
sϕ 0( , s u 0
0
ϕ
<
thỏa mãn liên tục
V
s S
:
s ( )
s u , 0
0
s u , 0
0
1
= ∈
ε 2
Xét tập
(3.2.4)
63
,s uV
, s u 0
0
0
0
}
∈
∈
)
s
, S u
( P s
0
0
0
là họ tập mở trong là lân cận mở của 0s . Hơn nữa ,họ { V
s u , 0
0
không gian metric khả ly. Do đó, tồn tại phân hoạch liên tục hữu hạn địa phương
∞ n n
= tựa { V
}
∈
∈
s
S u ,
P s (
)
0
0
0
của { } 1 z
s , un
n
1
⊂
=
(0;1]
1, 2,.....
z
n
,
− n
V s
u
n
n
Lấy thỏa mãn
ϕ ϕ= s
n
V n
V= s
u
u
,n
n
,n
n
n =
1, 2,....
và Và tập hợp
ε z
µ ≤ (dt)
z
( ) s
( )( ) s t
n
∫ ϕ n
( ) s n 2
T
∞
µ
≤
Từ (3.2.4) , ta có s S∈ và mỗi
(dt)
z
( ) s
( )( ) s t
n
∑
∫ ϕ n
ε 2
n
= 1
T
Do đó (3.2.5)
∞
Theo định lý 18 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable
A s ( ) n
= có tính chất
n
} 1
Sets, trang 51] , tập hợp T có họ liên tục các phân hoạch {
s S∈ mỗi ,
n =
1, 2,....
∞
∞
−
<
µ
µ
s t ( )( )
(dt)
z
s ( )
s t ( )( )
(dt)
với mỗi
ϕ n
n
∑
∑
∫
∫ ϕ n
ε 2
n
n
= 1
= 1
T
A s ( ) n
(3.2.6)
∞
µ
<
ε
s tϕ ( )( )
(dt)
Do đó từ (3.2.5),(3.2.6) , ta có
n
∑ ∫
n
= 1
A s ( ) n
(3.2.7)
64
∞
∞
ϕ
p s ( )
s ( )
ϕ χ ( ) s
u χ n
n
A s ( ) n
A s ( ) n
= ∑
= ∑
n
= 1
n
= 1
Đặt và
,p ϕ là ánh xạ liên tục với mỗi
∈
∩
−
<
≠ ∅
s S P s , ( )
p s t ( )( )
{ u u t ( ) :
} s tϕ ( )( )
n
∧
=
Do (3.2.7) nên (3.2.2) thỏa mãn . Ta chứng minh
s ( )
,
s
}
{ i 1
i 2
i ,......, m
k
∈ V i
= 1
k
m
thỏa mãn Cố định s S∈ và đặt
p s ( )
u
i
s χ ( ) A
( ) s
k
= ∑
i k
= 1
k
m
ϕ
s ( )
ϕ χ ( ) s A
i
( ) s
k
= ∑
i k
= 1
k
s ( )
Ta có
k =
1, 2,....., m
ϕ ki
1
ε < 2
Hiển nhiên với ta có
P s∈ ( )
ku
−
<
Lấy thỏa mãn
( )( ) s t
( )( ) s t
( ) u t k
u i
ϕ i
k
k
m
h.k.n trong T.
u
s ( )
= ∑
u χ k A i k
k
= 1
Đặt
u P s∈ ( )
m
−
=
−
Do đó , do tính phân tích được
u t ( )
p s t ( )( )
u t ( ) k
u i
s ( )
t χ ( ) A i
∑
k
k
k
= 1
m
<
=
ϕ
Và
s t ( )( )
t ( )
s t ( )( )
ϕ i
χ A
( ) s
k
∑
i k
= 1
k
h.k.n trong T.
Bước II
65
=
P s ( )
P s 0 ( )
ε=
→
Với n=0, Đặt
1 L T X ( ,
)
p S 1 :
1 1 2
sϕ < ( )
, ta có ánh xạ liên tục và Do bước I , với
ϕ → S
1 L T R ( ,
)
1 :
1
1 1 2
∩
−
<
≠ ∅
( )( ) . . s t h k n trong T
{ ( ) : u u t
}
( ) P s 0
( )( ) p s t 1
ϕ 1
→
P T
dcl T X ( ,
)
và thỏa mãn với mỗi s S∈ ta có
=
∩
−
<
Khi đó theo mệnh đề 3.11, ánh xạ đa trị 1 :
s t ( )( ) h.k.n trong
T
{ u u t ( ) :
P s ( ) 1
p s t ( )( ) 1
ϕ 1
{ cl P s ( ) 0
} }
là nửa liên
tục dưới.
→
→
Giả sử ta xây dựng được dãy ánh xạ liên tục
,......,
1 L T X ( ,
),
,......,
:
S
1 L T R ( ,
)
p p , 1 2
p S : n
ϕ ϕ , 1 2
ϕ n
và axđt nữa liên
,...........,
:
dcl T X ( ,
)
tục dưới
− → S
P 0
P n
1
=
− , ta có
k
0,1,.....,
n
1
∩
−
<
<
T
s ( )
,
s t ( )( ) h.k.n trong
≠ ∅ và
ϕ n
p s t ( )( ) n
ϕ n
P s ( ) − n 1
{ u u t ( ) :
}
1
⊂
⊂
s ( )
......
1 n 2 −⊂ P n
P s ( ) − 1 n
2
P s ( ) 0
=
∩
−
<
thỏa mãn với mỗi s S∈ và mỗi
p s t ( )( )
s t ( )( ) h.k.n trong
T
P s ( ) n
− 1
n
ϕ n
{ u u t ( ) :
{ cl P s ( ) n
} }
Đặt
Ta chứng minh nó là ánh xạ đa trị liên tục.
1 L T X ( ,
)
np
+ → 1 : S
1 = 2nε + 1
<
,
∈ s S
Do bước I với , tồn tại ánh xạ liên tục và
1 L T R ( ,
)
sϕ + ( )
1
n
ϕ + → 1 : S
n
1
∩
−
<
≠ ∅
s t ( )( )
s t ( )( ) h.k.n trong
T
P s ( ) n
p n
+ 1
ϕ n
+ 1
{ u u t ( ) :
1 + 1 n 2 }
thỏa mãn với mỗi và
66
=
∩
−
<
( )( ) s t
( )( ) h.k.n trong s t
T
{ ( ) : u u t
+ 1
+ 1
( ) P s + 1 n
p n
ϕ n
{ ( ) cl P s n
} }
Đặt
dcl T X ( ,
)
nP
+ → S 1 :
≤
⊂
⊂
⊂
nữa liên tục dưới. Dễ thấy
.....
)
( d P s P s ( ) ( ), + 1
n
n
( ) P s 0
( ) P s + 1 n
( ) P s n
1 + 1 n 2
Và ,
1k ≥ ,
p→ và p là lát cắt. Với mỗi số n ∈ } và
np
⊂
⊂
Bước III Ta chứng minh
P s ( )
+ −
P n k
P s ( ) n
s 1( )
≤
≤
( ), s P
( ) s
ta có (3.2.8)
( d p
)
( d p
)
+ − 1
( ), ( ) s P s n
+ n k
n k
+ n k
1 + n k
2
Và do đó
−
≤
+
( ) s
( ) s
)
)
+ 1
+ 1
p + n k
p n
( ), ( ) s P s n
+ n k
( d p n
( ), ( ) s P s n
≤
+
≤
( d p 1 + n k
2
1 n 2
1 − 1 n 2
∞
⊂
Do đó
( ,
,
)
1 C S L T X
(
)
} n np
= 1
các hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Như vậy , dãy {
p→ , p là lát cắt cần
=
uniform Cauchy . Do đó có ánh xạ liên tục p sao cho
d p s P s ( ), ( )
d p s P s ( ) ( ),
= 0
np )
(
(
)
0
k
lim →∞ k
→
tìm theo (9.8), ta có
P S :
dcl T X ( ,
)
→
là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới HỆ QUẢ 3.3.1 [4 ] Cho
p F :
1 L T X ( ,
)
S⊂ là tập con đóng. Xét ánh xạ liên tục
thỏa mãn với và F
p s ( )
P s∈ ( )
. Khi đó p có thể mở rộng thành lát cắt liên tục của mỗi s F∈ ta có
u
)
S∈ và
P s∈ 0(
0
,s up
0
0
tồn tại lát cắt liên tục của P thỏa P. Cụ thể với 0s
(
)
u=
s up ,
s 0
0
0
0
mãn (3.2.9)
=
∈
∈
Hơn nữa , với mọi s S∈ ta có sự biểu diễn sau
P s ( )
p
s ( ) :
S u ,
s 0
0
P s ( 0
{
} )
s u , 0
0
(3.2.10)
67
Chứng minh
∈ s F
Xét ánh xạ đa trị FP được định bởi
P s ( ) F
∈
s
F
{ }( ) p s = P s ( )
→
(3.2.11)
)
( , dec T X
: FP S
là ánh xạ đa trị nữa liên tục dưới. Theo định lý Ta thấy
Bressan-Colombo-Fryszkowski thì FP có lát cắt liên tục,
F
)
u=
S∈ và
u
)
{ }0 s=
Fp s ( 0
0
P s∈ 0(
0
, ta có thể mở rộng bất Cụ thể : vì 0s
kì, suy ra đpcm.
→
ĐỊNH LÍ 3.3.2[Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable
P S :
dcl T X ( ,
)
Sets, trang 134, định lí 43 ] Cho là ánh xạ đa trị nửa liên tục
0;
:
ϕ → S
:
1 L T X ( ,
)
) r S → ∞ thỏa mãn với
(
dưới, giả sử có ánh xạ liên tục và
∩
≠ ∅
Φ = ( ) s
P s ( )
B
s r s ( ), ( )
( ϕ
)
mỗi s S∈ , tập hợp
:
( ,
)
Φ → S
1 N L T X
(
)
ϕ−
có lát cắt liên tục. Khi đó ánh xạ đa trị
P s ( )
(s)
)
(
1 r s ( )
là nửa liên tục dưới và có giá Chứng minh Vì ánh xạ đa trị
1r =
0ϕ≡ và
∩
≠ ∅
Φ = s ( )
P s ( )
B
(0,1)
∈
∈ Φ
trị đóng, phân tích được. Khi đó ta có thể giả sử
S u ,
(
)
0
s 0
,s up
0
0
+
1
u
0 1
<
V
s S
:
p
s ( )
và đặt là lát cắt liên tục của P thỏa mãn Cố định 0 s
(
)
u=
s up ,
s 0
0
s u , 0
0
s u , 0
0
0
0
1
2
= ∈
. Xét tập hợp
(3.2.12)
68
,s uV
0
0
Ta có là lân cận mở của 0s . Hơn nữa, do tính liên tục dưới nên họ
, s u 0
0
{ V
}
∈
,
)
s
∈ ( S u P s 0
0
0
z
là phủ mở của không gian S metric khả ly. Do đó có phân
s u , 0
0
∞ n n
= phụ thuộc { V
}
∈
s
,
)
∈ S u P s ( 0
0
0
. Đặt ns hoach liên tục hữu hạn địa phương { } 1
nu thỏa mãn
⊂
=
(0,1]
1,2,......
z
n
,
− 1 n
V s
u
n
n
=
=
p
,
p n
s
,
u
V n
V s
,
u
n
n
n
n
n =
1, 2,.....
và
+
u
z
( ) s
n
( 1
=
≤
)
z
z
( ) s
dtϕ (
n
( ) ( ) s p s n
n
( )( ) p s t n
1
∫
)1 n 2
T
Từ (3.2.12), ta có s S∈ và
∞
∞
+
u
z
s ( )
n
( 1
≤
z
s ( )
dtϕ (
)
(3.2.13)
n
p s t ( )( ) n
∑
∑
∫
)1 n 2
n
n
= 1
= 1
T
Do đó
∞
Theo định lý 18 [Andrzej Fryszkowski, Fixed Point Theory for Decomposable
A s ( ) n
= có tính chất với mỗi
} 1
n
=
s S n∈
,
1, 2,..........
+
u
z
( ) s
n
( 1
−
<
ϕ (
)
ϕ (
)
dt
z
( ) s
dt
( )( ) p s t n
n
( )( ) p s t n
∫
∫
)1 n 2
T
( ) A s n
Sets, trang 51] T có họ liên tục các phân hoạch {
∞
∞
+
u
z
s ( )
n
( 1
−
<
ϕ (
dt
)
z
s ( )
ϕ (
dt
)
(3.2.14)
p s t ( )( ) n
n
p s t ( )( ) n
∑
∑
∫
∫
)1 n 2
n
= 1
n
= 1
T
A s ( ) n
Suy ra
69
∞
∞
≤
ϕ ( ) (
dt
)
ϕ ( )( ) (
dt
< ) 1
Từ (3.2.13),(3.2.14) ta có
p s n
p s t n
∑
∑
∫
∫
n
= 1
n
= 1
A s ( ) n
A s ( ) n
∞
(3.2.15)
p s ( )
p s χ ( ) n
A s ( ) n
= ∑
n
= 1
Đặt
→
Khi đó p là lát cắt liên tục của P. Từ (3.2.15) ta có p là ánh xạ cần tìm.
P S :
dcl T X ( ,
)
∈
∈
là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới . HỆ QUẢ 3.3.2 [4 ] Cho
S u ,
)
r > , đặt 0
0
P s ( 0
∩
−= 1 V P B u r ,
s S P s : ( )
(
) { = ∈
} ≠ ∅
0
B u r , ) ( 0
→
và Cố định 0 s
R S :
1 N L T X
( ,
)
(
)
∩
P s ( )
∈ s F
)
( B u r , 0
− R s ( )
∈
P s ( )
s
F
=
được cho bởi Với tập con đóng F V⊂ , xét ánh xạ đa trị
Khi đó R có lát cắt liên tục
−
Chứng minh
P s ( )
u
(
)0
1 r s ( )
−
∩
≠ ∅
là ánh xạ đa trị nữa liên tục dưới, có giá trị đóng, phân Ta có
P s ( )
u
B
(0,1)
(
)0
1 ( ) r s
→
tích được và với mỗi s S∈ , tập hợp
1 N L T X
( ,
)
FP F :
(
)
→
=
−
∩
Theo định lý 3.4 ánh xạ đa trị được cho bởi
1 L T X ( ,
)
P s ( )
u
B
(0,1)
(
Fp F :
)0
FP s ( )
1 ( ) r s
→
=
+
có lát cắt liên tục . Đặt
p F :
1 L T X ( ,
)
p s ( )
rp
s ( )
u
0
F
ánh xạ liên tục như sau : .
70
Fp là lát cắt liên tục của
Fp là lát cắt của
FP . Theo hệ quả 3.3
FR . Suy ra
Ta có
→
ta có thể mở rộng thành lát cắt liên tục p của P. Do đó R có lát cắt liên tục.
P S :
dcl T X ( ,
)
→
=
. Khi đó P là nửa liên ĐỊNH LÍ 3.3.3 [4 ] Cho ánh xạ đa trị
1 L T X ( ,
) n 1,2,......
=
=
P s ( )
( ) :
thì với tục dưới khi và chỉ khi có ánh xạ liên tục
{
np S : } 1,2,.....
cl p s n n
mỗi s S∈ , ta có
(3.2.16)
∞
Chứng minh
1( , L T X . Với )
k =
1, 2,.....
= là tập con trù mật trong
−
=
=
∩
≠ ∅
V
P B u
,
s P s ( )
:
,
n k ,
n
n
1 k
1 k
B u
∞
∞
S
n k ,
= là tập con trù mật nên ta có
Xét họ tập mở Lấy { } 1 n nu
= . V = 1
n k ,
Do { } 1 n nu
Ta có, trong không gian metric khả li, tập mở có thể phân tích thành hợp đếm
n k = ,
1, 2,......
∞
được các tập con đóng. Do đó với mọi tồn tại tập đóng
V
F
m =
1, 2,.....
n k ,
n k m ,
,
n k mF , ,
=
n
= 1
∩ ( ) B
,
u
∈ s F
,
n
, n k m
=
1 k
thỏa mãn
( ) s
,
P , n k m
∈
s
F
,
, n k m
cl P s ( ) P s
→
Xét ánh xạ đa trị
:
S
dcl T X ( ,
)
n k mP . .
→
có lát cắt liên tục Theo định lý 3.4 và hệ quả 3.4 thì
:
S
1 L T X ( ,
)
n k mp . .
,n k mp ,
∈
=
=
. Hiển nhiên cũng là lát cắt của P.
s S P s ( ) ,
s n k m ( ) : ,
,
1,2,.....
n k m ,
,
{ cl p
}
(3.2.17) Ta chứng minh với mỗi
71
=
=
R s ( )
s n k m ( ) : ,
,
1, 2,.....
n k m ,
,
}
{ cl p
Đặt
R s ( )
P s⊂ ( )
P s ( )
R s⊂ ( )
∈
∈
Vì . Ta chứng minh .
∈ u P s
u
k =
1, 2,.....
,
( ) s S u P s
,n
1 k
∩ ( ) B
và Chọn n thỏa mãn Cố định
∈ s F
∈ u P
s V⊂
s , ( )
n k m
,
s , ( )
n k m
,
,n k
−
( ) s
u
p , , n k m
n
1
1 < . k
−
nên có m thỏa và . Do đó Khi đó
u
s ( )
n k mp , ,
1
2 < k
⇒
( d u R s ( ) ,
)
2 < k
Suy ra
u R s∈ ( )
P s ( )
R s⊂ ( )
,n k mp ,
Do k bất kì nên ta có . Suy ra .Do (3.2.17) nên dãy
thỏa (3.2.16).
3.4. Điểm bất động của ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được
1( , L T X . Khi đó mỗi
)
ĐỊNH LÍ [4 ] Cho K là tập con đóng phân tích được của
:f K
K→ có điểm bất động.
ánh xạ compact
=
Chứng minh
S
(
{ clco f K
} )
ψ
=
−
s t ( )( )
es
sinf
u t ( )
s t ( )
{
}
Đặt , theo định lý Mazur S là compact . Đặt
0ε> và s S∈ , xét tập khác rỗng
=
−
<
ψ
+
ε
∈ cl u K u t ( )
:
s t ( )
s t ( )( )
h k n trong T
. .
P s ( ) ε
}
{
Với
72
dcl T X ( ,
)
ε → P S :
Theo mệnh đề 3.11, là nữa liên tục dưới .Do đó Pε có lát cắt
K
ε → . :p S
ψ
liên tục
s
f K∈ (
)
= ( )( ) 0 . . s t
h k n trong T
−
ε
<
Với mỗi ta có
p s ( )
s
ε
1
Và do đó
=
→
−
(3.3.1)
≤ ε
:
f K (
)
S
⊂ là liên tục . Với mỗi s S∈ ,
s ( )
s
f ε
f ε
f p S 0. ε
1
⊂ thỏa mãn
Suy ra
)
s
f K (
)
S
)
( f p s ( ε ε
ε=
ε ⊂ s
Theo định lý Schauder, tồn tại
f K (
)
K⊂ ( nếu không xét dãy con). Ta đặt
(3.3.2)
=
sε
s 0
lim ε→ 0
Ta giả sử { }sε hội tụ trong
= . Từ (3.3.2), cho
)
0ε→ , ta có 0s là điểm bất động
s 0
( lim p s ε ε ε→
0
Do (3.3.1)
của f.
KẾT LUẬN
Luận văn đã nghiên cứu về một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi như lớp
ánh xạ co đa trị, ánh xạ tăng đa trị và ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được. Luận
văn chủ yếu nghiên cứu về các định lí điểm bất động của các lớp ánh xạ trên. Bên
cạnh việc tham khảo tài liệu, luận văn còn đưa ra một số nhận xét và ví dụ minh
họa cho các định lí.
Ngoài kết quả đã được trình bày thì luận văn còn một số vấn đề chưa giải quyết
được như : chứng minh định lí 2.2.2.5 là chứng minh kiểu xây dựng thì liệu có
tồn tại một thuật toán xây dựng lát cắt đơn điệu cho kiểu thứ tự trong định lí hay
73
không? Luận văn chỉ mới đưa ra các kết quả lí thuyết chứ chưa nghiên cứu về
ứng dụng của các kết quả đó.
Tôi hi vọng mình sẽ có điều kiện để nghiên cứu về vấn đề này nhiều hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Ravi P.Agarwal, Maria Meehan và Donal O’Regan, ”Fixed Point Theory and
Applications”.
2. Nguyễn Bích Huy, “Fixed points of increasing multivaluaed operators and an
application to discontinuous elipptic”, Nonlinear Analysis, 51 (2002),673-678.
3. Nikolai S.Kukushkin, “On the existence of monotone selection”, Preprint,
2010.
4. A.Fryszkowskii, “ Fixed Point Theory for Decomposable Sets”, Kluwer
Academic Publishers, 2004.
74
5. S.Carl, S.Heikkila, “Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications”,
Springer Verlag, 2011.
6. K. Deimling, “Nonlinear Functional Analysis”, Springer Verlag, 1985.
7. Sam B. Nadler, “Multip-valued Contraction Mappings”, 479-480.
75
