BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Minh Trí
MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN MINH TRÍ
MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
i
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ......................................................................... 5
1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: ........................................... 5
1.1.1. Không gian tôpô: .............................................................................. 5
1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: ................................................................ 6
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:...................................................................... 6
1.1.4. Không gian con tôpô: ........................................................................ 6
1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: .............................................................. 7
1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập: .............................................................. 7
1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: ........................................ 7
1.1.8. Các tiên đề tách: ................................................................................ 8
1.1.9. Các tiên đề đếm được: ...................................................................... 9
1.2. Không gian compact: .............................................................................. 9
1.2.1. Không gian compact: ........................................................................ 9
1.2.2. Không gian compact đếm được: ..................................................... 10
1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian: ........................ 10
1.2.4. Compact hóa: .................................................................................. 10
1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: ................................................................................ 11
1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: ............................................................... 11
1.2.7. Không gian giả compact: ................................................................ 11
1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: ......................................... 12
1.3.1. Không gian mêtric: ......................................................................... 12
1.3.2. Không gian mêtric hóa được: ......................................................... 12
1.4. Không gian paracompact: ..................................................................... 13
1.4.1. Không gian paracompact: ............................................................... 13
1.4.2. Không gian paracompact đếm được: .............................................. 13
ii
1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: ............................................. 13
1.5.1. Nhóm tôpô: ..................................................................................... 13
1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: ..................................................... 14
1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: ................................................................ 15
1.5.4. M-không gian, p-không gian: ......................................................... 15
Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô: .................................... 17
2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: .......................... 17
2.2. Chú ý: .................................................................................................... 21
2.3. Mệnh đề 2.3: ........................................................................................ 22
2.4. Mệnh đề 2.4: ........................................................................................ 23
2.5. Định lí 2.5: ........................................................................................... 23
2.6. Hệ quả 2.6: ............................................................................................ 26
2.7. Định lí 2.7: ............................................................................................ 26
2.8. Mệnh đề 2.8: ......................................................................................... 27
2.9. Mệnh đề 2.9: ......................................................................................... 27
2.10. Mệnh đề 2.10: ..................................................................................... 27
2.11. Mệnh đề 2.11: ..................................................................................... 28
2.12. Hệ quả 2.12: ........................................................................................ 29
2.13. Hệ quả 2.13: ........................................................................................ 29
2.14. Ví dụ: ................................................................................................... 29
Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tôpô ............................................... 31
3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: .............................................. 31
3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: ................................................................................ 32
3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: ................................................................................ 32
3.1.3. Hệ quả 3.1.3: ................................................................................... 36
3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: . 36
3.2.1. Bổ đề 3.2.1: ..................................................................................... 36
3.2.2. Bổ đề 3.2.2: ..................................................................................... 37
iii
3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 38
3.3.1. Định lí 3.3.1: ................................................................................... 38
3.3.2. Định lí 3.3.2: ................................................................................... 40
3.3.3. Định lí 3.3.3: ................................................................................... 42
3.3.4. Hệ quả 3.3.4: ................................................................................... 42
3.3.5. Hệ quả 3.3.5: ................................................................................... 43
3.3.6. Hệ quả 3.3.6: ................................................................................... 43
3.3.7. Định lí 3.3.7: ................................................................................... 44
3.3.8. Ví dụ: .............................................................................................. 44
3.3.9. Chú ý: .............................................................................................. 44
3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire: ............. 45
3.4.1. Định lí 3.4.1: ................................................................................... 45
3.4.2. Hệ quả 3.4.2: ................................................................................... 46
3.4.3. Hệ quả 3.4.3: ................................................................................... 47
3.4.4. Hệ quả 3.4.4: ................................................................................... 47
3.4.5. Hệ quả 3.4.5: ................................................................................... 47
3.4.6. Hệ quả 3.4.6: ................................................................................... 47
3.4.7. Hệ quả 3.4.7: ................................................................................... 47
3.4.8. Hệ quả 3.4.8: ................................................................................... 47
3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa
tôpô: ...................................................................................................... 48
3.5.1. Định lí 3.5.1: ................................................................................... 48
3.5.2. Bổ đề 3.5.2: ..................................................................................... 48
3.5.3. Định lí 3.5.3: .................................................................................. 50
3.5.4. Ví dụ: .............................................................................................. 51
3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: ............................. 51
3.6.1. Bổ đề 3.6.1: ..................................................................................... 52
3.6.2. Định lí 3.6.2: ................................................................................... 52
iv
3.6.3. Định lí 3.6.3: ................................................................................... 54
3.6.4. Hệ quả 3.6.4: ................................................................................... 55
3.6.5. Ví dụ: .............................................................................................. 55
3.6.6. Chú ý: .............................................................................................. 56
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 60
1
MỞ ĐẦU
× → là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một
:m G G G
× → là liên tục tách. Một nhóm nửa tôpô G mà
Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân
:m G G G
tôpô thỏa phép nhân
:In G G→ là liên tục thì được gọi là nhóm tựa tôpô.
phép toán nghịch đảo
Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, và
nhóm nửa tôpô đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.
Sự liên quan của các nhóm nửa tôpô tách được, các nhóm nửa tôpô
mêtric hóa được với các nhóm tôpô và paratôpô cũng rất được quan tâm bởi
nhiều nhà toán học:
Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng:
- Mọi nhóm nửa tôpô tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy
đủ thì là một nhóm tôpô.
- Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một
nhóm paratôpô.
Năm 1957, R.Ellis đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô compact địa
phương là một nhóm tôpô.
Năm 1960, W. Zelazko đã kết luận rằng mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa
được đầy đủ là một nhóm tôpô.
Năm 1982, N. Brand chứng minh được rằng mọi nhóm paratôpô Cech-
đầy đủ là một nhóm tôpô.
2
Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi
A.Bouziad (1996), P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. Moors (2001),
A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko (2005).
A. Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ là một
nhóm tôpô.
A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko cũng đã chứng minh được
rằng một nhóm paratôpô G là một nhóm tôpô nếu nó là một Gδ-không gian
con của không gian giả compact nào đó.
P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. B. Moors đã giới thiệu một lớp các
không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tôpô
Baire mạnh là một nhóm tôpô.
Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối
cũng đã được xây dựng từ đó.
Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số
phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A. V. Arhangel’skii đã đưa ra
và mở rộng các định lí của D. Montgomery và R. Eliss trên lớp rất rộng của
các không gian quạt-đầy đủ.
Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các
không gian quen thuộc, chẳng hạn:
- Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và
các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ.
- Mọi Gδ-không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là
không gian quạt-đầy đủ.
3
- Ảnh bất kì của một không gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở
là không gian quạt-đầy đủ.
- Một không gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy
đủ.
Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho
việc khảo sát các không gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng. Luận
văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ
với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng
với một phép nhân tựa liên tục, các không gian giải tích với tính chất Baire,…
Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức
chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau. Chương 2 giới thiệu
các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô và các tính chất của
chúng. Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ
trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên
tục, trên các không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta
sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận
văn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động
viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại,
các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán. Sự động viên và sự hướng dẫn
tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà
còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác
của cuộc sống xã hội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác
giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình
4
học và tôpô khóa 21 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin
Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình
độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao
học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng
Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường
Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn
thành luận văn này.
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm
phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này
nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô và
các nhóm tôpô.
Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện
việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo
thêm trong các tài liệu [7], [17].
1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô:
1.1.1. Không gian tôpô:
),X τ bao gồm một tập hợp X và
Một không gian tôpô là một cặp (
τ∅ ∈ và X τ∈ .
một họ τcác tập con của X thỏa các điều kiện sau:
( 1τ )
1U τ∈ và
2U τ∈ thì
∩ ∈ . U U τ 2
1
τ∈
( 2τ ) Nếu
τ⊂A
A
thì . ( 3τ ) Nếu
Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X.
6
1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:
Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β τ⊂ gọi là một cơ sở của không
),X τ nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của
gian tôpô (
một họ các tập thuộc β.
),X τ nếu
Một họ σ τ⊂ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô (
họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ.
Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở
của nó.
1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:
∈ ⊂ . Nếu lân
Cho X là không gian tôpô và x X∈ . Tập con V của X được gọi là
một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V
cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.
xU các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi
Một họ
U ∈ U sao cho U V⊂ .
x
lân cận V của x đều tồn tại lân cận
1.1.4. Không gian con tôpô:
),X τ là một không gian tôpô và một tập A X⊂ . Khi đó, họ
τ
∈ là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ
:
{ = ∩
} τ
A G A A
Cho (
)
, AA τ gọi là không gian tôpô con của không gian
trên X. Không gian (
),X τ .
tôpô (
7
oA của A là
1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên:
),X τ và tập A X⊂ , phần trong
Cho không gian tôpô (
hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của
o ∂ = − A A A
tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là .
, hay A trù mật nếu mọi Một tập A X⊂ gọi là trù mật nếu A X=
tập con mở của X chứa một điểm của A.
)o A = ∅ .
Tập A X⊂ gọi là không đâu trù mật nếu (
∈
1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:
\
{ } x A x
. Một điểm x X∈ là một điểm hội tụ của A X⊂ nếu
dA .
d
Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu
\
A A gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập của không gian X khi và chỉ khi tập { }x là tập mở, tức là
=
Điểm thuộc tập
∉ x X
\
X X \
\
{ } x
{ } x
{ } x
hay .
'Y τ là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới
,
1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng:
),X τ và (
)
Cho (
( ) f x trong Y đều tồn
Y gọi là liên tục tai x X∈ nếu mọi lân cận V của
f V− 1(
)
V⊂ , nghĩa là,
( f U
)
tại lân cận U của x trong X sao cho là một
lân cận của x.
) ( f G là tập
Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X,
mở (đóng) trong Y.
8
1
,f
f − đều
Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và
là ánh xạ liên tục.
0T -không gian: Không gian tôpô X là
0T -không gian nếu hai
1.1.8. Các tiên đề tách:
điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y
1T -không gian: Không gian tôpô X là 1T -không gian nếu hai điểm
hoặc một lân cận của y không chứa x.
khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một
2T -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là
2T -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân
lân cận của y không chứa x.
3T -không gian (Không gian chính quy):
cận U của x và một lân cận V của y sao cho U V∩ = ∅ .
⊂
∩ = ∅
∈ x U
,
V U V
,
Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x X∈ , mọi ,U V sao tập con đóng của X không chứa x , tồn tại các tập con mở
cho .
∈ ⊂ ⊂ .
Tương đương mọi x X∈ , mọi lân cận V của x đều chứa một lân
cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x U U V
1T -không gian và
3T -không gian nếu X là
Không gian tôpô X là
thỏa mãn điều kiện chính quy.
9
T -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian 3
1 2
T -không gian nếu X là 1T -không
3
1 2
Tychonoff): Không gian tôpô X là
f X →
:
[0,1]
gian và với mỗi x X∈ , mỗi tập con đóng F của X không chứa x, tồn
f x = và ( ) 0
f F = . ) 1 (
4T -không gian (không gian chuẩn tắc):
sao cho tại một hàm liên tục
4T -không gian nếu X là
1T -không gian và
Không gian tôpô X là
,A B bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các
⊂
A U B V ,
với hai tập con đóng
⊂ và U V∩ = ∅ .
tập mở rời nhau U và V sao cho
1.1.9. Các tiên đề đếm được:
Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu
mọi điểm x X∈ đều có một cơ sở lân cận đếm được.
Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô
của nó có một cơ sở đếm được.
Không gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con
đếm được thì gọi là không gian Lindeloff. Như vậy, một không gian
chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff.
1.2. Không gian compact:
1.2.1. Không gian compact:
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là
không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,
10
}s
U ⊂ của không gian X tồn tại một tập hữu hạn
s S
∪
nghĩa là mọi phủ mở {
S⊂ thỏa
= X U
U
∪ ∪ ...
U
{
}
2, s s 1
,..., k s
s
s
2
s 1
k
.
1.2.2. Không gian compact đếm được:
Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được
nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có
một phủ con hữu hạn.
1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian:
Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa
phương nếu với mọi x X∈ có một lân cận U của x thỏa U là một không
gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không
gian Tychonoff.
Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không
gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua
ánh xạ thương. Nói cách khác, k-không gian là một không gian
Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các
không gian compact địa phương.
1.2.4. Compact hóa:
),Y c , với Y là một không
Cho X là một không gian compact. Cặp (
:c X
Y→ là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa
Y= , được gọi là một compact hóa của không gian X.
( c X
)
gian compact và
11
C X là họ tất cả compact hóa của X. Ta định nghĩa một quan
(
)
Gọi
C X như sau:
(
)
c X c X≤ 2
1
c X→ thỏa
:f c X 1
2
fc 1
c= . 2
nếu tồn tại một ánh xạ hệ thứ tự trên họ
C X của tất cả compact hóa của một
(
)
Phần tử lớn nhất trong họ
không gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí
hiệu là Xβ .
:f X
Y→ là đầy đủ nếu X là một không gian
1.2.5. Ánh xạ đầy đủ:
−
Ánh xạ liên tục
1f
y
(
)
là các tập con Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ
:f X
compact của X.
Y→ xác định trên một không gian Hausdorff X là
Đơn ánh
đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng
( f X đóng trong Y.
)
đồng phôi và tập
1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ:
Gδ-tập trong các compact hóa Hausdorff của nó.
Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một
1.2.7. Không gian giả compact:
Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một
không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị
chặn.
12
1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa:
,X ρ gồm một tập X và một
1.3.1. Không gian mêtric:
)
Một không gian mêtric là một cặp (
: X X
ρ × → thỏa mãn các điều kiện sau:
hàm
= khi và chỉ khi x
y= ,
,
0
( x yρ
)
(M1)
,x y X∈ ,
x y ,
y x ,
( ρ
)
( ρ=
)
+
≥
,
với mọi (M2)
x y z X∈ . ,
x y ,
y z ,
x z ,
( ρ
)
( ρ
)
( ρ
)
với mọi (M3)
Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm,
( ,x yρ
)
được gọi là khoảng cách hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số
giữa x và y.
: X X
ρ × → thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện
x xρ
( , ) 0
Nếu hàm
= với mọi x X∈
(M1’)
,X ρ , họ các tập mở theo mêtric ρlà
thì được gọi là một giả mêtric trên tập X.
)
Với mọi không gian mêtric (
một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ. Không gian
mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric.
1.3.2. Không gian mêtric hóa được:
, )X τ gọi là không gian mêtric hóa được nếu X
Không gian tôpô (
đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên
ρτ τ=
). tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X (
13
, )X τ mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô
'τ
,
')X τ mêtric hóa được.
'τ τ⊂ và (
Không gian (
trên X sao cho
1.4. Không gian paracompact:
1.4.1. Không gian paracompact:
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là
một không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu
hạn địa phương.
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X
là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X luôn có một cái mịn đóng σ-rời rạc.
1.4.2. Không gian paracompact đếm được:
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được
nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một
cái mịn mở hữu hạn địa phương.
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm
được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X luôn có một cái mịn đóng σ-rời rạc.
1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan:
:f X Y
1.5.1. Nhóm tôpô:
× → là một hàm, ta nói:
X Y
Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và
)
,x y 0 0
,
Z ∈ × nếu với mỗi lân cận W của ) × ⊆ × chứa ( ,x y X Y
)
0
0
0
0
( f x y tồn tại một tích của các tập mở U V thỏa
( f U V W
) × ⊆ .
- f là liên tục nối tại (
14
X∈ và
Y∈ , các
0x
0y
- f là liên tục tách trên X Y× nếu với mỗi
y
x
)
( f x y ,
( f x y 0,
)0
hàm và là các hàm liên tục trên Y và X
tương ứng.
Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân
là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa
phép nhân là liên tục tách.
:In G G→ được định nghĩa
1
Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo
x−=
( ) In x
theo công thức , với mỗi x G∈ .
Một nhóm nửa tôpô với ánh xạ nghịch đảo liên tục được gọi là
nhóm tựa tôpô.
:In G G→ là liên tục. Như vậy, G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh
1
Một nhóm tôpô G là một nhóm paratôpô G thỏa ánh xạ nghịch đảo
,x y
× → ,(
)
xy − là liên tục.
xạ từ G G G
1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô:
Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một
nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ.
*G là một họ tất cả các lọc chính tắc trên G.
Mở rộng Raikov: Cho
xB là một lọc chính tắc trên G, với mỗi x G∈ . Đặt ( ) i x
B= x
*
Kí hiệu , với
:i G G→ . Tiếp theo, ta định nghĩa
mỗi x G∈ . Từ đó, ta có đơn ánh
*G biến thành một nhóm, sau đó ta xác
*G để cho
một phép toán trên
*G để
*G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ
định một tôpô trên
15
*
→ :i G i G
G
⊂ là một đẳng cấu tôpô. Khi đó,
(
)
*G được gọi là mở rộng Raikov của G.
kiểm tra rằng ánh xạ
1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ:
Nhóm tôpô Cech-đầy đủ là nhóm tôpô mà không gian cơ bản của nó
là Cech-đầy đủ.
1.5.4. M-không gian, p-không gian:
∈
Cho X là một không gian. Với mỗi A X⊂ và U là họ các tập con
:
U A
U
( st A ,
{ U
} ∩ ≠ ∅
) = U
st
của X, ta định nghĩa .
,
) st x U thay cho
(
{ }(
) x U . ,
Với x X∈ , ta viết
∀ ∈
∃ ∈
⊆
Cho X là một không gian, U là một phủ của X.
x X U ,
:
,
U
U
{ st x
} V
. Khi Cho V là một phủ của X thỏa:
đó, ta nói V là một làm mịn hình sao của U.
M-không gian: Một không gian X được gọi là một M-không gian
)nξ các phủ mở của X thỏa:
∈
nếu tồn tại một dãy (
}
)
x n
( st x ξ , n
:nx n ω∈ có một điểm
(i) Nếu , với mỗi n ω∈ , thì {
hội tụ.
1nξ + là một làm mịn hình sao của
nξ .
(ii) Với mỗi n ω∈ ,
p-không gian: Một không gian hoàn toàn chính qui là một p-không
)nU của họ các tập con mở của Xβ thỏa:
gian nếu tồn tại một dãy (
nU là phủ của X.
(i) Mỗi
16
⊂
,
,
∈ x X
X
( st x
)
n
U n
(ii) Với mỗi
=
,
,
Nếu ta có thêm
( st x
)
( st x
)
n
U n
n
U , thì X được gọi là một p-không gian n
(iii)
ngặt.
17
Chương 2
CÁC KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC
KHÔNG GIAN TÔPÔ
Trong chương này chúng tôi sẽ giới thiệu một số kiểu đầy đủ của các
không gian tôpô và một số tính chất quan trọng của chúng.
2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô:
}
:nH n ω∈ các tập con của không gian X ,
lim
}
{
:nH n ω∈ .
} :nH n ω∈
Cho một dãy {
∈
H
H
là tập hợp tất cả các điểm hội tụ của {
lim
:
} ∈ = ω
} ω
{
+ ⊆
1n
n
: H n n
{ cl H n n
X
. Nếu ,với mọi n ω∈ , thì
} :nU n ω∈
Một dãy { của các tập con mở trong không gian X được gọi là
∅ ≠
dãy dừng nếu nó thỏa các điều kiện sau:
U
⊆ , với mọi n ω∈ ;
U+ 1n
n
V U⊆
(S1)
}
n
n
:nV n ω∈ của các tập mở khác rỗng trong X thỏa
(S2) Mọi dãy {
}
{
lim :nV n ω∈ ≠ ∅ .
γ∈
U L
:
} ∩ ≠ ∅
, với mỗi n ω∈ , có một điểm hội tụ trong X, nghĩa là
phương γ của các tập con mở trong X, tập { U Một tập con L của không gian X là bị chặn nếu với mọi họ hữu hạn địa là hữu hạn.
Một không gian X là compact yếu nếu mọi họ hữu hạn địa phương của
các tập con mở trong X là hữu hạn, nghĩa là X bị chặn trong X. Trong không
gian Tychonoff, tính compact yếu tương đương với tính giả compact. Mọi
18
không gian compact đếm được là không gian compact yếu. Một tập con L của
một không gian Tychonoff X bị chặn nếu và chỉ nếu mọi hàm liên tục trong
=
∈
X bị chặn trong L.
:
lim
H
} ω ∈ =
} ω
{ cl U n n
X
{ : U n n
Từ điều kiện (S1) và (S2) ta thấy
là một tập con khác rỗng bị chặn trong X.
Một không gian X được gọi là µ-đầy đủ nếu bao đóng của mỗi tập con
∈
=
∈ là một dãy các họ tập con mở của X, và cho
α :
}:
U
n
{
} ω
α
bị chặn là compact.
A n
→
∈ là một dãy các ánh xạ. Một dãy
:
} ω
{ = α α
} ∈ ω
:n n
{ = π π n
A n
+ 1
A n : n
Cho Y là một không gian con trù mật của một không gian X, { = γ γ n
(
)
π α α+ =
nAα ∈ và
n
1
n
n
n
∈
=
α ( )
H
với mọi n.
n
. Xét các điều kiện sau: Cho được gọi là một c-dãy nếu } { ω U nα ;
β β∈ :
A n
}
1
(
:
là một tập con trù mật của X với mỗi n ω∈ . (SC1): { U
n
} Uβ β π α−∈ )
nAα∈ và n ω∈ .
1
=
là một tập con trù mật của tập Uαvới mọi (SC2): {
U
(
:
α
nAα∈ và n ω∈ .
n
{ U
} β β π α− ∈ )
1
⊆
(SC3): với mọi
(
:
U
β
α
nAα∈ và n ω∈ .
cl U X
} β π α−∈ ) n
∈
với mọi (SC4): {
{ = α α n
nA n :
∈ , dãy { } ω
} U nα ω∈ ;
n
(C1): Cho bất kì c-dãy là dãy
dừng.
19
∈
∈ , mỗi dãy
} ω
{ = α α n
nA n :
∈ ∩
∈ có một điểm hội tụ trong X.
ny
{
} Y U nα ω ;
n
∈
(C2): Cho bất kì c-dãy
{ = α α n
nA n :
∈ , dãy { } ω
} U nα ω∈ ;
n
(
(C3): Cho bất kì c-dãy là một cơ
)H α trong X.
∈
)H α (
sở của các lân cận mở của tập
} ∈ , tập ω
{ = α α n
nA n :
(C4): Cho bất kì c-dãy là tập con
∈
)H α (
compact khác rỗng của X.
} ∈ , tập ω
{ = α α n
: nA n
(C5): Cho bất kì c-dãy là tập con
compact đếm được khác rỗng của X.
nγ
Dãy γ và π được gọi là ω A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3) và mỗi
là một phủ của X.
Dãy γ và π được gọi là một A-sàng nếu chúng có tính chất (SC3),
nγ
(SC4) và mỗi là một phủ của X.
Dãy γ và π được gọi là một ω A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất
(SC1), (SC2).
Dãy γ và π được gọi là một A-sàng trù mật nếu chúng có tính chất
(SC1), (SC2), (SC4).
Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó
một không gian con trù mật Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2) và
(C4). Một không gian X được gọi là sàng-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với
tính chất (C2) và (C4) khi Y=X.
20
Một không gian X được gọi là q-đầy đủ trù mật nếu tồn tại trên nó một
không gian con Y và một A-sàng trù mật với tính chất (C2). Một không gian X
được gọi là q-đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng với tính chất (C2) và (C5) với
Y=X.
Một không gian X được gọi là quạt-đầy đủ trù mật nếu tồn tại một A-
sàng trù mật trên X với tính chất (C1). Một không gian X được gọi là quạt-
đầy đủ nếu tồn tại một A-sàng trên X với tính chất (C1).
Theo E.Michael ([27],[23]) : Một điểm x X∈ được gọi là một qD-điểm
∈ ∩ thì dãy {
x n
Y U n
n
} :nx n ω∈
{ } :nU n ω∈
nếu tồn tại một không gian con trù mật Y của X và một dãy các lân cận
của x trong X thỏa nếu có một
chùm điểm trong X.
Nếu Y=X thì x là một q-điểm.
x X∈ là một qD-điểm. Một không gian X được gọi là một q-không gian nếu
Một không gian X được gọi là một q-không gian trù mật nếu mỗi
=
∈
∈
→
mỗi x X∈ là một q-điểm. Mọi không gian q-đầy đủ đều là một q-không gian.
α :
:
{ U
}
α
A n
π , n
+ 1
A n
A n : n
{ γ n
} ω
) :
(
Cho
1X = {
x X∈
1
1X là trù mật trong X.
với tính chất (C2) và là một ωA-sàng trù mật H α αlà một c-dãy}. Khi đó, mọi điểm
là một qD-điểm. Tập
Một điểm x X∈ được gọi là một điểm của kiểu đếm được nếu tồn tại
một tập con compact F với một cơ sở đếm được của các lân cận mở { } :nU n ω∈
trong X thỏa x F∈ . Một không gian X được gọi là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm nếu mỗi x X∈ là một điểm của kiểu đếm được.
21
=
=
∈
→
2.2. Chú ý:
u
α :
:
{ U
}
α
A n
π , n
A n
A n : n
+ 1
{ γ n
} ∈ tồn ω
β
∈
→
=
=
:
:
v
∈ và các ánh xạ
a) Với mọi ωA-sàng
B q B , n n
n
+ 1
B n : n
}
{ V β
} ω
→
∈
:
{ ξ n } A n ω
{ h B : n n
n
tại một A-sàng
=
thỏa:
hπ +
⊆ Uβ
h n
q n
n
n
1
nBβ∈
cl V X
(
β )
q n
1. với mỗi và n ω∈ bất kì. và
2. Nếu u có tính chất (C1) thì v cũng có tính chất (C1).
3. Nếu u có tính chất (C2) và (C3) thì v cũng có tính chất (C2) và (C3).
4. Nếu u có tính chất (C2) và (C4) thì v cũng có tính chất (C2) và (C4).
Hơn nữa, nếu Y là một không gian con trù mật của X và u là một ωA-
sàng thì v là một A-sàng trù mật với các tính chất:
nξ
1
⊆
- Họ là rời nhau với mọi n ω∈ .
)
:
v µ
v β
nBβ∈ và mọi n ω∈ .
− q n
B n
+ 1
{ = ∈ β µ (
}
- với mỗi
k =
{ } 1, 2,3, 4,5
- Nếu và u có tính chất (Ck) thì v cũng có tính
chất (Ck).
b) Mọi không gian compact yếu là quạt-đầy đủ.
Theo các định nghĩa ở trên ta thấy được tính di truyền của các kiểu
không gian đầy đủ lên các không gian con đóng qua các phát biểu sau:
- Mọi không gian Tychonoff là không gian con đóng của không
gian giả compact nào đó, một không gian con đóng của một không gian
quạt-đầy đủ không nhất thiết phải là không gian quạt-đầy đủ.
22
- Mọi không gian con đóng của một không gian sàng-đầy đủ là
không gian sàng-đầy đủ.
- Mọi không gian con đóng của một không gian q-đầy đủ là không
gian q-đầy đủ.
- Mọi không gian q-đầy đủ là không gian q-đầy đủ trù mật.
- Mọi không gian sàng-đầy đủ là không gian q-đầy đủ, và mọi
không gian q-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ.
- Mọi không gian µ-đầy đủ, quạt-đầy đủ là không gian sàng-đầy đủ.
- Một không gian X là quạt-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó chứa
một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
Đối với một không gian quạt-đầy đủ thì tính chất đầy đủ được bảo toàn
trên các Gδ-không gian con. Điều đó thể hiện qua mệnh đề sau:
2.3. Mệnh đề 2.3: Mọi Gδ-không gian con của một không gian quạt-đầy đủ
là không gian quạt-đầy đủ. Đặc biệt, mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy
đủ.
=
=
∈
→
∈
Chứng minh:
u
α :
:
{ U
}
α
A n
π , n
A n
+ 1
A n : n
{ γ n
} ω
=
∈
Cho là một A-sàng với
Y
{ } U n ω
:n
=
tính chất (C1) trên một không gian X, và cho với
∈
:
n
:
B n
}
→
∈
∈
:
:
} B n ω
} A n ω
+ →
{ } :nU n ω∈ { { ξ V β n { q B : n n
1
h B : n n
n
n
} ω của họ các tập mở trong X, dãy các ánh xạ và {
là một dãy các tập con mở trong X. Khi đó, tồn tại một dãy ∈ β
thỏa:
23
=
U
hπ +
h n
q n
n
n
1
nBβ∈
(
β )
cl V β X
⊆ ∩ U n
q n
- và với mỗi và với bất
1
1
β
∩ = ∪
∩
∈
∈
kì n ω∈ ;
Y
Y
:
(
:
V µ
β
− q n
cl U X
{ V β
} µ ( )
{ = ∪ ∩ Y
} − β π α ) n
- với
nBµ∈
= ∩
∈
→
∈
mọi và n ω∈ ;
:
Y V
β β :
+ 1
, B q B n
n
n
: B n n
{ = W W β
}
ω là một A-
Khi đó
sàng với tính chất (C1) trên Y.
Mệnh đề sau cho ta thấy được mối quan hệ giữa không gian quạt-đầy đủ
và không gian Baire:
2.4. Mệnh đề 2.4: Nếu một không gian X có chứa một không gian con quạt-
đầy đủ trù mật thì X có tính chất Baire.
:f X
Một không gian X là một M-không gian đầy đủ nếu tồn tại một ánh xạ
Y→ vào một không gian mêtric hóa đầy đủ Y thỏa
y− 1( )
f
đóng liên tục
là compact đếm được. Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f là một ánh xạ tựa đầy đủ. Mọi M-không gian đầy đủ là q-đầy đủ.
Định lí sau đây cho thấy một số tính chất của các kiểu không gian đầy đủ
qua một ánh xạ liên tục mở và qua một mở rộng liên tục của ánh xạ đó.
:f X
Y→
2.5. Định lí 2.5: Cho X là một không gian mêtric.
Cho
một không gian Y, và là một ánh xạ liên tục mở của một không gian X vào 1X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của X.
f X (
)
Y⊆ . Hơn nữa, nếu X, Y là các không gian Tychonoff và
1
1
Khi đó tồn tại một không gian con quạt-đầy đủ trù mật 1Y của Y thỏa
24
β β :f X
β→ Y
là mở rộng liên tục của f, thì tồn tại một Gδ-không gian con
S
f Zβ=
(
)
paracompact Z của Xβ thỏa:
β=
Y
S
→ là một ánh xạ đầy đủ,
g
f Z Z :
S
= ∩ là một Gδ-không gian
1S
− 1
− 1
− 1
− 1
∩
⊆
=
∩
Z
f
y ( )
= ∩ X
g
y ( )
g
y ( )
(
Z
f
y ( ))
cl β
là một không gian con trù mật paracompact của Yβ ;
X
con trù mật của 1Y và
y S∈ ;
1
=
X
Z
)
với mỗi
= ∩ và
1X là một không gian q-đầy đủ,
1Z
S 1
f Z 1(
=
→
h
:
1Z là M-không gian đầy đủ;
f Z Z 1 1
S 1
Nếu , thì
là một ánh xạ tựa đầy đủ, và
X⊆ ;
1X là một không gian sàng-đầy đủ, thì Z
X⊆ .
Nếu
1X là µ-đầy đủ thì Z
Nếu X hoặc
=
∈
ω
∈ của họ các tập con mở
Chứng minh:
α :
:
n
{ U
}
α
γ n
A n
∈
:
Tồn tại một dãy
} ω
+ →
π n
A n
1
A n : n
1
∈
⊆
⊆
∈
của X và một dãy { các ánh xạ thỏa:
U
(
:
U
X
{ U
}
α α :
α
β
α
1
A 0
∩ ⊆ X 1
{ U
} β π α− ) n
(RC1) và
nAα∈ và n ω∈ ;
∩
∈
∈
với mọi
1
{ = α α n
nA n :
∈ , dãy { } ω
} X U nα ω ;
n
(RC2) với bất kì c-dãy
1X .
=
=
α
∈
bị chặn trong
f U (
}
α
η n
A n
∈
=
∈
=
∈
n
ω α X )
(
,
Y
Cho
{ V α { U nα :
) : } ω
} ω
n
n
, với mọi c-dãy với bất kì { α ( nα : V ) và
25
X
X α α { ( ) :
∈ . Chúng ta đặt
{ = α α
} ω
=
2
:n n
Y α α { ( ) :
=
Y 1
⊆
)
α ( )
là một c-dãy} và
X
X
( f X
)
Y⊆ . 1
2
2
1
⊆
∈
là một c-dãy}. Bằng cách xây dựng, f X ( α⊆ Y ), ( và
}
Y 1
A 0
1
∈
⊆
(
:
V α
V α
nAα∈
∩ ⊆ Y 1
{ α α V : } β π α− ) n
{ V β
∈
{ = α α
} ω
:n n
Hiển nhiên ta có và
với mọi } :nV n ω∈ và n ω∈ . Cho là một dãy các tập mở khác
nV
n
rỗng trong Y thỏa với bất kì n ω∈ . Chúng ta đặt là một c-dãy và { Vα⊆
)
Lim U n ω∈ ≠ ∅ và
{
}
= U U n
− 1( f V n
:n
α n
∈
⊆
:
:
} ω
{ Lim V n
} ω
∈ . Do đó, 1Y là một không gian con
n
n
( { f Lim U n
)
. Khi đó,
quạt-đầy đủ trù mật của Y.
=
β
∈
H
:
:
n
Giả sử rằng X và Y là các không gian Tychonoff. Khi đó, có các họ
∈ các tập con mở của Xβ , các họ rời
β
B n
{
}
{ ξ n
} ω
β
=
∈
∈
:
n
rời rạc
W : β
nB
{
}
{ ξ n
→
∈
∈
:
:
} B n ω
} B n ω
+ →
{ q A : n n
n
p B : n n
n
1
} ω các tập con mở của Yβ , các ánh xạ và các ánh xạ {
rạc
∈
thỏa mãn:
β β :
n
B n
{ = W W
}
n ω∈ ;
µ
⊆
µ
⊆
- là một tập con trù mật mở của Yβ với mỗi
:
(
:
(
H
W β
µ
β
cl W β µ Y
cl H β X
} β−∈ 1 ) p n
} β−∈ 1 p ) n
với - { và {
nBβ∈
β
mọi và n ω∈ ;
∩ X H
f H (
)
⊆ Uβ
= Wβ β
nBβ∈
(
β )
np
=
- và n ω∈ ; và với mọi
π n
q n
+ 1
q n
p n
+ 1
- với mọi n ω∈ .
26
=
∈
=
∈
=
∈
H
H
S
Z
{
} H n ω
{ } W n ω
β β :
:n
:n
n
B n
{
}
β=
Đặt , .
g
f Z Z :
S
và → Các không gian con Z, S và ánh xạ thỏa các điều kiện
của định lí.
2.6. Hệ quả 2.6: Nếu một không gian µ-đầy đủ X có chứa một không gian
con quạt-đầy đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy
đủ trù mật.
Định lí tiếp theo thể hiện mối quan hệ của không gian quạt-đầy đủ với
không gian Cech-đầy đủ:
2.7. Định lí 2.7: Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian
Cech-đầy đủ.
∈
∈
=
Chứng minh:
α :
n
:
{ U
}
α
A n
} ω
∈
:
dãy Nếu X là một không gian quạt-đầy đủ paracompact, thì tồn tại một { γ n
+ →
π n
A n
1
A n : n
nAα∈
của các phủ hữu hạn địa phương mở và } ω một dãy {
∈
∈
của các ánh xạ với các tính chất (C1), và n ω∈ . Cố định
α α g :
A n ,n
−
∈
=
=
(C2) thỏa Uα là một Fσ-tập trong X với mọi } các hàm liên tục không âm { ω thỏa
1(0)
X U \
g
2 n
− g α
α
β β :
nAα∈
A n
{
}
∑
ρ
=
∈
∈
và với mọi và n ω∈ . Khi
x y ( ,
)
α :
{
} ω
g α
A n ,n
∑
:f X
Y→
đó, là một giả mêtric liên tục trên X. Do
ρ
=
x y ( ,
)
d f x (
( ),
f y ( ))
đó, tồn tại một không gian mêtric (Y,d) và một ánh xạ liên tục
,x y X∈ . Cố định b X∈ và
∈
∈
∈
b
vào Y thỏa
{ = α α
} ω
:n n
} ω
n
+ >
1) 0
. Tồn tại một dãy một c-dãy với mọi { U nα :
( ) :n n
{ ε
} ω∈
ε n thỏa ( )
thoả ε> ( n và
27
ε
<
⊆
ρ X: ( ,
)
x y
{ = ∈ y
} ( ) n
nV
n
−
∈
f
⊆ = H
1(
f b ( ))
Uα } ω
{ U nα :
n
−
với bất kì n ω∈ . Từ
f
( ))
f b
Xcl H là compact, và f là một ánh xạ đầy đủ. Bây giờ ta dễ dàng kiểm tra được rằng (Y,d) là một không
gian paracompact X, các tập và H là một tập con bị chặn của không 1( và
gian mêtric đầy đủ.
2.8. Mệnh đề 2.8: Cho X là một không gian thỏa:
Với mọi tập con khác rỗng U, tồn tại một tập con mở khác rỗng V và
⊆ ⊆ ⊆
Z V U cl Z
một không gian con quạt-đầy đủ Z của X sao cho:
X
.
Khi đó X chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
2.9. Mệnh đề 2.9: Bất kì không gian quạt-đầy đủ địa phương nào cũng đều là
không gian quạt-đầy đủ.
2.10. Mệnh đề 2.10:
Cho G là một nhóm nửa tôpô hoặc là một không gian thuần nhất, V là
⊆ ⊆
Z V
một tập con mở của G, Z là một không gian con quạt-đầy đủ, với
cl Z X
. Ta có:
1. G có chứa không gian con quạt-đầy đủ trù mật nào đó.
2. Nếu Z V= , thì G là không gian quạt-đầy đủ.
Một tập Z là chuẩn tắc trong một không gian X nếu với bất kì tập con
⊆ ⊆
đóng F của không gian con Z và với mỗi tập con mở U của X chứa F tồn tại
⊆ . Hiển nhiên, Z là một không
F V
cl V U
X
một tập con V của X thỏa
gian con đóng chuẩn tắc của X.
28
2.11. Mệnh đề 2.11:
} :nU n ω∈
Cho Y là một tập con trù mật của X và { là một dãy các tập
=
∈
F
con mở khác rỗng của X với các tính chất:
{ } U n ω
:n
U+ ⊆
n
1
cl U X
n
∈
y
là tập con chuẩn tắc trong X;
n
Mỗi dãy { với mỗi n ω∈ ; } ∈ ∩ Y U n ω : n có một điểm hội tụ trong X.
Khi đó:
1. F là một không gian con đóng chuẩn tắc của không gian X.
2. Không gian con F là compact đếm được.
} :nU n ω∈
3. { là một cơ sở của F trong X.
Chứng minh:
=
∈
1. Hiển nhiên.
∈ là một dãy rời rạc của không gian con F.
:
L
{
} F n ω
x n
2. Cho
}
:nV n ω∈ các tập con mở của X thỏa
x V∈ với bất kì n ω∈ . Tồn tại một tập con mở W của X thỏa n
n
⊆ ⊆
⊆
∈
W W U
Khi đó tồn tại một họ rời rạc{
L W cl W
:
{ } V n ω
= ∩ ∩ . Khi đó V n
n
n
X
n
{ } :nW n ω∈
. Chúng ta đặt
là một họ rời rạc các tập con mở của X, điều này dẫn đến
⊆ ⊆
F V
cl V U
⊆ . Khi
mâu thuẩn.
X
∈
=
\
:
3. Cho U và V là hai tập con mở của X và
} H U cl V n ω X
n
n
đó { là một họ rời rạc các tập con mở của X. Do
29
U⊆
mH = ∅ và
nU
đó với một vài m ω∈ . Khẳng định 3 đã được chứng
minh.
2.12. Hệ quả 2.12:
Cho X là một không gian chuẩn tắc. Các khẳng định sau đây là tương
đương:
1. Không gian X là q-đầy đủ trù mật.
2. Không gian X có chứa một không gian con q-đầy đủ trù mật.
3. Không gian X là quạt-đầy đủ trù mật.
4. Không gian X có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
2.13. Hệ quả 2.13: Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu
nó có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
2.14. Ví dụ:
1ω
0W là tập tất cả các số thứ tự đếm được và
×
[0;1)
Cho
V W= 0
0
v
u
( α ,
)
( β< ,
)
là số thứ tự không xét thứ tự tuyến tính: đếm được đầu tiên. Trong tập
với α β< hoặc α β= và u < v. Không gian V0 với tôpô cảm sinh bởi thứ tự tuyến tính được gọi là đường thẳng dài. Không gian
x V∈ . Với tôpô cảm sinh bởi thứ tự
x ω< 1
0
{ } = ∪ V V ω 0 1
, trong đó với bất kì
tuyến tính là compact hóa Stone-Cech của không gian
)
0
0V . Cho Y là tập tất cả ,0 Vα ∈ , trong đó α là một số thứ tự không giới hạn. Hiển nhiên,
=
X V Y
các điểm (
0 \
0V là mêtric hóa địa phương và Cech-đầy đủ địa phương. Từ đó, X là một không gian sàng-đầy đủ. Chúng ta khẳng định
không gian con của
rằng X không phải là một Gδ-không gian con của một vài không gian giả
30
∈
= X Z
}
{
:nF n ω∈ là một dãy các tập
} F n ω :n
(
ϕ β
compact Z và ,trong đó { compact. Thật vậy, giả sử rằng X là một không gian con của không gian giả )
ψ β → , trong
: X
β→ và Z
: X
V
x ( )
x
con đóng của Z. Xét các ánh xạ liên tục
x X∈ . Bằng cách xây dựng,
đó
\Z Xβ
Φ = n
cl Fβ Z n
(
)
)
ϕ ψ= ( ) x ( ( − ϕψ ϕ− 1 1
= với bất kì )
1
=
Z= ∩ Φ . Không gian
. Chúng ta có là một tập con compact của
Xβ ψ ω−
\
(
)
Z 1
1
F n
n
1
=
(
)
thể giả sử rằng
),0 Yα ∈
)
(
)
H
α β⊆ (
)
Z X \
X H α∩ )
(
được và compact địa phương. Nếu ( là compact đếm ( H α ϕψ α− , thì ,0
≠ ∅ . Do đó,
≠ ∅
Z H α∩ )
(
)
n α ω∈ . Do đó, (
H
α ⊆ Φ với một vài (
)
n
α ( )
1
∈
=
− ϕ
Φ
∈
và . Vì Z là giả compact nên
n
X
:
n
} ω
( ϕ
)
)
(
:n
Z X 1 \
n
Z 1 \
{
} ω
. Vậy, và { ⊆ Φ là một Gδ-tập
1Z và X là Cech-đầy đủ, điều này dẫn đến mâu thuẫn.
con của không gian
1X thỏa không gian các số hữu tỉ
=
X
× X X
Tồn tại một không gian giả compact
2X là
2
1
. Bằng cách xây dựng, là một không gian con đóng. Cho
một không gian quạt-đầy đủ, mà không là không gian Cech-đầy đủ địa
phương và không là một Gδ-không gian con của không gian giả compact nào
đó.
31
Chương 3
MỘT SỐ KẾT QUẢ TRÊN CÁC
NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ TRÊN CÁC
KHÔNG GIAN CỤ THỂ
Trong chương này chúng tôi sẽ đề cập đến việc khảo sát các không gian
đầy đủ và các tính chất của chúng trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên
tục, các nhóm nửa tôpô với phép nhân tựa liên tục, các nhóm tôpô, nhóm
paratôpô, các không gian giải tích với tính chất Baire….
:f X Y
Z
3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục:
× → từ không gian tích X Y× vào một không gian Z
∈ × nếu với mỗi
X Y
Một ánh xạ
),a b
,
)
( f a b trong Z và mọi lân cận mở U của a trong X, tồn tại
được gọi là tựa liên tục mạnh bên phải tại một điểm (
lân cận mở W của
1U trong X và một tập mở V trong Y thỏa
⊂
U U b V ,
∈ , và
× ⊂ . Theo cách tương tự ta có thể định nghĩa
( f U V W
)
1
1
∈ × . Một ánh xạ f là
X Y
một tập con mở khác rỗng
),a b
∈ × nếu nó là tựa liên tục mạnh bên
X Y
ánh xạ tựa liên tục mạnh bên trái tại một điểm (
),a b
∈ × . X Y
tựa liên tục mạnh tại một điểm (
),a b
:f X
phải và bên trái tại (
Y→ từ một không gian X vào một không gian Y được
Một ánh xạ
gọi là tựa liên tục tại một điểm b X∈ nếu với mỗi lân cận mở V của f(b)
32
) ( f W V⊂ .
trong Y và mọi lân cận mở U của b trong X tồn tại một tập mở khác rỗng W
:f X Y
Z
trong X thỏa W U⊂ và
× → là tựa liên tục mạnh bên phải hoặc bên trái,
Nếu một ánh xạ
thì f là tựa liên tục.
3.1.1. Mệnh đề 3.1.1:
1X là một không gian con trù mật của không gian X, 1Y là một không gian con trù mật của Y, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một
=
∈
×
∈ . Khi đó:
Cho
g
,
)
(
f X Y a X b Y , 1
1
1
1
không gian Z,
1. Ánh xạ f là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại một điểm (a,b) nếu
và chỉ nếu ánh xạ g là tựa liên tục mạnh bên phải ( trái) tại (a,b).
2. Ánh xạ f là tựa liên tục tại một điểm (a,b) nếu và chỉ nếu ánh xạ g là
tựa liên tục tại (a,b).
=
c
( f a b ,
)
Chứng minh:
c W cl W W cl W W
⊆ . Giả sử U
và W là một lân cận của c trong Z. Cố định hai tập Cho
⊆ ⊆ 1
∈ ⊆ 2
Z
Z
1
2
con mở W1 và W2 của Z thỏa
×
= ∩ U U X
⊆ , trong đó
= ∩ . Với mọi
(
1
1
V V Y 1
x U∈ , ta 1
g U V 1 1
W 2
là một tập con mở của X và V là một tập con mở của Y thỏa
×
⊆
U cl U⊆
và 1
⊆ do tính liên tục tách của f. Vì
f
) { }( x
X
1,
)1 cl V Y
cl W W 2 1
Z
⊆ .
có
( f U V
) × ⊆
cl W W 1
Z
ta có
a X∈ , b là một qD-điểm của một không gian Y và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào một không gian Z. Khi đó:
3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: Giả sử rằng X là một không gian q-đầy đủ trù mật,
33
- f là tựa liên tục mạnh bên phải tại (a,b);
- Nếu X và Y là các không gian thuần nhất, thì f là tựa liên tục mạnh
bên phải tại mọi điểm của X Y× .
Chứng minh:
1X của X và một ωA-sàng trù
=
=
∈
→
∈
Cố định một không gian con trù mật
u
α :
:
{ U
}
α
A n
π , n
A n
+ 1
A n : n
{ γ n
} ω
với tính chất (C2) trên mật
a X∈ . Ta cố định một không
1
không gian X. Chúng ta có thể giả sử rằng
} :nH n ω∈
1Y của Y và một dãy các lân cận {
∈ ∩
y
Y H
gian trù mật
n
n
} :ny n ω∈
trong Y thỏa nếu
=
×
trong Y. Chúng ta có thể giả sử rằng thì dãy { b Y∈ 1 (ta lấy của điểm b có một chùm điểm { } trong 1Y , và b∪ 1Y
g
(
)
f X Y 1 1
=
ngược lại). Cho .
c
( ), f a b
Đặt . Giả sử rằng ánh xạ f không phải là ánh xạ tựa liên
),a b . Theo mệnh đề 3.1.1, ánh xạ g không phải
tục mạnh bên phải tại (
),a b . Khi đó tồn tại một lân cận
'U
là ánh xạ tựa liên tục mạnh bên phải tại (
×
≠ ∅ . Vì Z là tập chính qui, ta có thể tìm
\
lân cận V của b trong Y ta có
(
1W của c và một lân cận U của a thỏa với mỗi tập con mở khác rỗng của U ( ( f U V
)
) X Y W 1 1
1
⊂ ⊂
trong X và mỗi ) × ∩ '
⊂ . cl W W cl W W 1
Z
Z
0
0W và W của c thỏa
được các lân cận mở
Chúng ta xây dựng theo phương pháp qui nạp các dãy giảm chắc
} :nU n ω∈
} :nV n ω∈
chắn của các tập mở {
{ = α α
∈ và các dãy {
:n n
:nx n
1
Yω∈ ⊂ với các tính chất sau:
{
}
:ny n
1
ứng, một c-dãy và { } ω trong X và Y, tương } Xω∈ ⊂ và
34
⊆
⊆
y
H
,
,
,
U
U+ ⊆
∩ Uα
n
∈ ⊆ V n
cl V Y n
n
cl U X
1
n
n
x U n
∈ ⊆ n
cl U X
n
n
∈
⊆
×
,
\
\
)
( f U V W Z cl W
)
+ ⊆
cl V Y n
1
V n
1
( f x y n
n
Z
n
n
(i)
∈
U M⊆
với mỗi n ω∈ ; , và
M
( , )
:
{ = ∈
}
0
0
x X f x b W 0
0
∈
, thì ; (ii) Nếu
1n ≥ ,
M
x U
:
f x y ( ,
)
Z cl W
\
{ = ∈
}
n
Z
n
− 1
n
− 1
(iii) Nếu và
:
,
)
{ = ∈
}
cl U M⊆ n
X
n
cl V Y n
L⊆ . n
L n
y V n
− 1
f x ( n
− 1
∈ y W 0
, thì , và
∈
Chúng ta tiếp tục như sau:
M
( , )
:
{ = ∈
}
x X f x b W 0
0
0M là mở, theo
. Khi đó Bước 0: Đặt
a M∈
f a b M∈ ( , )
0
0
0Aα ∈ và
0
∩
, vì . Cố định tính liên tục tách của f, và
∩ .
a U
⊆ cl U M U
Uα
0U của X thỏa
∈ ⊆ 0
X
0
0
0
H
một tập con mở
0V là một tập con mở của Y thỏa
∈ ⊆ b V 0
0
Cho . Theo giả thiết, tập
∈ ∩ và
X
\
)
x U 0
0
1
( × f U V W 0
0
0
là khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn
,
)
y V 0 0
∈ ∩ thỏa Y 1
( f x y 0 0
Z W∈ \ 1
∈
.
( ,
)
\
M
Z cl W
{ = ∈
}
x M∈ , 0
1
: x U f x y 0
0
1
Z
1
Bước 1: Đặt . Khi đó,
)
α π α−∈ 0( 0
1
1M là mở trong X, do tính liên tục tách của f. Cho
∩
và
1
⊂ ∩ Xcl U U M Uα 0
1
1
và .
,
:
)
}
{ = ∈
0x trong X thỏa 1U là một lân cận mở của ∈ ⊂ x U M ∈ Đặt . Từ 1
b L∈ , và 1
0
0
0
L 1
y V f x y W ( 0
\
)
L H 1
Ycl V 1
V 0
1
( × f U V W 1
1
1
x U
X
1L là mở trong Y, do tính liên tục tách của f. Cho 1V là một lân cận mở của b ⊂ ∩ ∩ . Theo giả thiết, tập là trong Y thỏa ∈ ∩ thỏa Y 1
suy ra
∈ ∩ 1
y V 1 1
1
khác rỗng. Do đó, chúng ta có thể chọn 1 và
,
)
( f x y 1 1
Z W∈ \ 1
.
35
nV trong X và Y, tương ứng, một phần tử
nAα ∈
n
nU và x U∈ n
n
Bước n+1: Giả sử rằng chúng ta đã định nghĩa các tập mở
⊂
y
và
,
\
,
)
n
V∈ n
( f x y n
n
Z
0
∈ , và ∩ U M U b V n
n
α n
∈
. Khi đó, và các điểm ∈ Z cl W thỏa
M
x U f x y :
,
\
Z cl W
(
)
1
n
n
n
Z
{ + = ∈
}
1
chúng ta đặt . Rõ ràng, tập
(
)
x M +∈
+ ∈
α π α− n
n
n
1
n
n
1
⊆
∩
. Ta lấy , mở, và
M
U
1nM + là nx 1nU + là lân cận mở bất kì của ∩ . Đặt U
cl U X
n
+ 1
n
+ 1
n
α + 1 n
∈
trong X thỏa
:
,
)
( y V f x y W 0
1
n
n
L n
{ + = ∈
}
. Rõ ràng, tập hợp này là mở và có chứa
∈ ⊆ x U M n n
0
1nV + là lân cận mở bất kì của b trong Y
∩
H
điểm b, vì . Ta lấy
cl V Z n
+ 1
⊆ ∩ V n
n
+ 1
L n
+ 1
. thỏa
\
( f U
)
n
+× V n
+ 1
1
W 1
∩
∩
y
X
Lặp lại, theo giả thiết, tập
+∈ U
+ 1
x n
1
1
n
n
+ 1
Y 1
1
ta có thể chọn các điểm là khác rỗng, và chúng +∈ V thỏa n
,
y
) + ∈
( f x n
+ 1
1
n
Z W \ 1
= ∩
= ∩
∈
và . Bước n+1 đã hoàn tất.
∈ . Bằng cách xây
H
P
{ } cl V n ω :
{ } cl U n ω :
Y n
X
n
Cho
} :nx n ω∈
dựng, tồn tại một điểm hội tụ và P∈ của dãy { *x
U+ ⊂ ,
1
n
n
} :ny n ω∈
*y H∈ của dãy {
một điểm hội tụ trong X, và cl U X
+ 1
n
n
nU . Bây giờ, do
*x thuộc vào mỗi
∈
Z cl W
\
n
Z
trong Y. Vì * ⊂ ∈ M+ x U 1
*
suy ra với mỗi n ω∈ . Vì f là liên tục tách nên ta có
,
Z W∈ \
( *, f x y ( * f x y
∈
. nên điểm ) )
y
:
,
)
+∈ V n
1
n
+ 1
( y Y f x y W 0
n
{ ⊂ ∈
}
)
( f x y ,n
m
W∈ 0
. Do đó, Cố định n ω∈ . Khi đó,
, *
)
( f x y n
cl W∈ 0 Z
với mỗi m > n. Do tính liên tục tách của f, ta có . Khi đó, cũng do tính liên tục tách của f, thì
36
∈
⊂ , điều này dẫn tới mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải
y *, *
( f x
)
cl W W 0
Z
chứng minh.
1X của không gian X và một không gian con trù mật 1Y của không gian Y thỏa ánh xạ f là tựa liên tục mạnh tại mọi điểm của X Y× . Trong trường hợp đặc biệt, ánh xạ f là tựa liên tục.
1
1
3.1.3. Hệ quả 3.1.3: Giả sử rằng X và Y là các không gian q-đầy đủ trù mật, và f là một ánh xạ liên tục tách từ X Y× vào không gian Z. Khi đó tồn tại một không gian con trù mật
3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục:
3.2.1. Bổ đề 3.2.1:
Cho U là một lân cận mở của phần tử trung hòa e trong một nhóm nửa
× → . Khi đó:
:m G G G
*
1
*
∈
U
x G x e : .
tôpô G với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên phải
e
(
)
(
)
cl U∈ X
( Int m U−
{ = ∈
} )
*
- , với ;
a U∈ tồn tại một lân cận mở V của phần tử trung hòa
2
- Với mỗi điểm
aV
U⊆ .
thỏa
*
= ∪
⊆
Chứng minh:
.W V U⊆ với
U
:
{ W U U
Theo định nghĩa, mở trong G và
một vài lân cận V của phần tử trung hòa }e . Do đó, các phát biểu trên
được suy ra từ tính tựa liên tục mạnh bên phải của phép nhân đã cho.
37
3.2.2. Bổ đề 3.2.2:
" :nH n ω∈ là
' :nH n ω∈ và {
}
}
∈ ≠ ∅ . Giả
∈ ≠ ∅ và { ∩
} " :nH n ω
∈
∈ ∩ X
.
Cho G là một nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục mạnh bên
x n
' n
" n
(
} ' :nH n ω } ) H H n ω :
sử rằng mọi dãy phải, X là một không gian con trù mật của G, { hai dãy các tập con mở của G, { ∩ { đều có một điểm hội tụ trong G.
Khi đó G là một nhóm paratôpô.
=
=
Chứng minh:
H
∈ e H
H
H
+ ⊆
' n
" n
n
cl H G
1
n
n
và với Chúng ta có thể giả sử rằng
mỗi n ω∈ .
Giả sử rằng phép nhân không là phải liên tục đồng thời. Khi đó tồn
2 \
G
*
1
∈
=
V
.
)
)
{ = ∈
} .
U cl W ≠ ∅ với mỗi lân cận U của phần tử trung hòa. Chúng ta đặt ( ( ( H Int m V− x G x e H :
)
tại hai lân cận W và V của phần tử trung hòa thỏa Gcl V W⊆ và
∈
:
} ∈ X n ω
∈
:
} ∈ X n ω
} :nV n ω∈
{ nc
nb và {
và
và } :nW n ω∈ là
* ∈ ∩
.
.
∩ và X
c W W V⊆ với mỗi n ω∈ ;
Chúng ta định nghĩa bằng cách qui nạp hai dãy { của các điểm, và hai dãy { các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:
c V i
V i
− 1
i
i
i
⊆
∈
V b G cl W
\
.
2 \ b W cl W i i
G
i
i
G
và với mỗi n ω∈ ;
W H
W i
+ 1
⊆ ∩ i
i
+ 1
V i
+ 1
⊆ ∩ i
V W i
+ 1
*
và với mỗi n ω∈ .
X V
∈ ∩ . Vì (
)
0c
0,c e H∈ , khi đó tồn tại một lân
Bước 0: Cố định
W H⊆
. c W V⊆ . Chọn một điểm 0
2 0
0
0
0W của e thỏa
cận và
38
∈ ∩
V W⊆ 0 0
G
b 0
2 X W cl W 0 \
(
)
⊆
V b G cl W
\
X
∈ ∩ .
0.
G
0
và một lân cận và
0V của e thỏa c V 0
*
. Cuối cùng cố định một điểm 1
V
+ ∈ ∩ , khi đó tồn tại một lân cận
c 1n
V n
1nW + của e
Bước n+1: Vì
V
+ ⊆ . Bây giờ, chọn một điểm
2 c W . + n n 1
1
W n
+ 1
1
n
n
∈ ∩
thỏa
1nV + của e thỏa
V n
1
+⊆ W+ 1 n
b n
G
+ 1
2 1 \ X W cl W + n
+⊆ H (
∩ ∩ và V W n )
G cl W
\
X
và một lân cận
+ ⊆
+
V b . + 1 n n
1
G
c n
2
+∈ V n
1
. Cuối cùng, cố định một điểm và ∩ . Điều
này hoàn thành phần chứng minh qui nạp.
=
∈
⊆ .
Cho b là một điểm hội tụ của dãy { }nb , và c là một điểm hội tụ của
a
.
.
.
c b . n n
⊆ c W W c W V n
n
n
k
2 n
nk
=
.
a c b cl V W
= ∈ .
. Giả sử rằng n k< . Khi đó dãy { }nc
⊆ . Vì
a n
∈ c b cl V n
G
G
⊆
∈
\
.
.
Do đó, , và
a G W∈
\
c b V b G cl W k n
G
n
k
, ta có , dẫn tới mâu thuẫn.
3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô:
3.3.1. Định lí 3.3.1:
Giả sử một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù
mật. Khi đó G là một nhóm tôpô.
Chứng minh:
1
U U −∩
Giả sử G không phải là nhóm tôpô. Khi đó, tồn tại một tập con mở
U của G thỏa e U∈ và tập là không đâu trù mật trong G.
=
∈
∈
Cho X là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật trong G. Tồn tại
n
α :
:
}
{ V α
A n
{ γ n
} ω
∈
:
một dãy các họ của các tập con mở của không
} ω
+ →
π n
A n
1
A n : n
gian G và một dãy { các ánh xạ thỏa:
39
1
∩ ⊆ ∪
∈
⊆ ∪
∈
X
:
X
(
{ α α V :
V α
⊆ với V α
}0 A
{ V β
} ) β π α− n
(RC1) và
nAα∈ và n ω∈ ;
∩
∈
∈
mọi
{ = α α n
nA n :
∈ , dãy { } ω
} X V nα ω ;
n
(RC2) Với mọi c-dãy là
dãy dừng trong X.
0Aβ ∈
0
∩
=
Cố định
⊆ ∩ . Đặt
\
.
G
Gcl W W U Vβ
0
1
⊆ ⊆
∩
= ∅ .
U O−∩
O W cl X O
(
)
G
và . Khi đó, và một tập con mở khác rỗng W của G thỏa e W∈ )1 ( O W cl U U −
và
} :nU n ω∈
∈
∈
∈
:
Chúng ta sẽ định nghĩa một dãy {
} ∈ X n ω
} ω
nx
G, một dãy { các các tập con mở của nA n : các điểm, và một c-dãy { α n
∈ ∩
X U
x n
n
thỏa:
+ ∈ ∩ U
x 1n
n
∩
với mọi n ω∈ ; x O n
+ ⊆ ∩ U
cl U G n
1
n
α + 1 n
( π α n n
)1 α+ =
n
với mọi n ω∈ ; O V với mọi n ω∈ ;
0α β=
0
và với mọi n ω∈ .
∈ ∩ . X O
0α β=
0
0U O=
0x
nUα ,n
Cho , và
∈ ⊆
∈
∩
e W cl O
Giả sử rằng n ω∈ và
nx đã được xây dựng sẵn. Vì ( . Do đó,
)
G
x n
x O n
G n
G
∩
U
∩ ≠ ∅ . Lấy
, ta có và = cl x O cl X
n
x O X n
x 1n
x O n
n
1
1
⊆ ∪
. Vì
:
(
)
(
+ ∈
+ ∈ ∩
α π α− n
1n
n
n
n
x n
1
+ ∈ ∩ ∩ X U } )
{ β β π α− ∈ V
X V α n
∈
⊆
∩
, tồn tại và một tập
U
V
1nU + của G thỏa
x n
+ 1
n
+ 1
cl U G n
+ 1
⊆ ∩ U n
x O n
α + n 1
con mở .
40
= ∩
∈ . Hiển nhiên,
F
{ } cl U n ω :
G n
= ∩
Đặt
∈ và F ≠ ∅ . Tập hợp
V F W=
.
:
F
} ∈ = ω
{ Lim U n
} ω
{ : U n n
n
=
=
=
P cl V
là mở
\
\
)
( cl G P
)
G
( H cl X P G
G
và . Bằng trong G, và F V⊆ . Cho
cách xây dựng, P và H là các tập con đóng chính qui của G (một tập
đóng chính qui là bao đóng của một tập mở).
Vì F V⊆ và H V∩ = ∅ , ta có : F H∩ = ∅ .
= ∅ với một vài k ω∈ . Thật vậy,
H cl U∩ G k
H∩ ≠ ∅
Ta khẳng định rằng
nU
≠ ∅
G P \
(
)
W U n
= ∩ n
nW Vα⊆
giả sử ngược lại, với mọi n ω∈ . Điều này dẫn tới
} ω∈
n
n
, với mọi n ω∈ . Vì dãy { nα : V
∈ ≠ ∅ . Do đó,
Φ ⊆ ∩ và F H
{
} Lim W n ω ;n
F H∩ ≠ ∅ , dẫn tới mâu thuẫn. Vậy,
= ∅ với một vài k ω∈ .
H cl U∩ G k
⊆
U
V
P
và Φ = là dừng trong G, ta có
⊆ ⊆ , với mọi n
k≥ . Vậy,
cl U G n
n
nx V∈ với mọi
⊆
⊆ F U
k
n≥ . Tuy nhiên,
n≥ . Nên,
+
⊆ x O x W n
+ 1
+ 1
n
n
2
∈
∈
⊆
.
Do đó,
+ ∈
x k
cl V G
x cl WW k G
+ 1
x 1n
x O k
x O cl WW k G
1
⊆
∈
. Để ý rằng . với mọi k x , ta có k
e O cl WW O U
.
.
≠ ∅ . Dẫn tới mâu thuẫn.
O U −∩
G
Suy ra . Do đó,
Suy ra điều phải chứng minh.
3.3.2. Định lí 3.3.2:
Giả sử rằng một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật. Khi đó G là một
nhóm tôpô.
Chứng minh:
=
=
∈
→
∈ với tính chất (C2) trên
Cố định một không gian con trù mật X của G và một A-sàng trù
u
α :
:
{ U
}
α
A n
π , n
A n
+ 1
A n : n
{ γ n
} ω
mật
41
∈∩
∈
e
{ = α α
} ω
:n n
{ U nα :
} ∈ . ω
n
không gian G. Chúng ta có thể giả sử rằng e X∈ và tồn tại một c-dãy
× → là tựa liên tục mạnh
thỏa
:m G G G
Theo mệnh đề 3.1.2, phép nhân
bên phải tại mọi điểm của G G× .
{ = β β
} ∈ , ω
:n n
∈
:
Chúng ta sẽ định nghĩa bằng qui nạp một c-dãy
} X n ω
∈ , một dãy {
} :nH n ω∈ các tập mở,
nb
một dãy của các điểm {
}
:nV n ω∈ các lân cận mở của phần tử trung hòa thỏa:
⊆
∈
⊆
⊆
và một dãy {
H
∩ Uα
Uβ
b 0
b V . 0 0
0
0.H V U
0
0
0
β 0
H⊆
và ;
b V .n n
n
⊆
với mỗi n ω∈ ;
V n
+ 1
cl V G n
+ 1
⊆ ∩ n
V Uα +
1
n
⊆
⊆
∩
với mỗi n ω∈ ;
H
H
+ 1
+ 1
n
cl H G
n
n
Uβ +
1
n
U
H
∩ với mỗi n ω∈ ;
với mỗi n ω∈ ;
+ ⊆
H V . + 1 n n
1
n
β + 1 n
0β α=
0
(
),e e , tồn tại một lân cận
0H
b H∈
. Vì phép nhân là tựa liên tục mạnh bên phải tại Bước 1: cho
.H W Uα⊆
0W của e và một tập con mở khác rỗng . Cố định một điểm 0
0
0V
0
0
0
0
Uβ của e thỏa
thỏa của và một lân cận
H⊆
)
Gcl V W⊆ và
0
0
0
0
( Gcl b V . 0
1
.
(
)
+ ∈
β π β− n
1n
∈ nb Uβ +
1n
Bước n+1: Cố định thỏa . Vì phép nhân là
),nb e , tồn tại một lân cận
1nW + của e và
∩
tựa liên tục mạnh bên phải tại (
U
b V n n
β + 1n
∩
1nH + của . Cố định một điểm
thỏa một tập con mở khác rỗng
.
U
(
+∈
) + ⊆
b n
H+ 1
n
1
cl H W n
+ 1
G
n
1
b V n n
β + 1 n
và một lân
42
.
)
+⊆ H
1nV + của e thỏa
cl V G n
+⊆ W+ 1 n
1
( cl b V n n
+ 1
G
+ 1
n
1
cận mở và . Điều này
kết thúc việc qui nạp.
.
)
Uβ⊆
( cl H V n
G
n
n
∈ có một điểm hội tụ trong G. Bổ đề 4.2 chỉ ra
∈ ∩ X
:
(
)
x n
H V . n n
{
} n ω
và bất kì bất kì dãy Bằng cách xây dựng,
rằng G là một nhóm paratôpô. Vì mọi không gian q-đầy đủ trù mật đều
là không gian quạt-đầy đủ trù mật, và theo định lí 3.3.1, ta có G là một
nhóm tôpô.
3.3.3. Định lí 3.3.3:
Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu G
là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ.
Chứng minh:
Theo định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô. Mọi nhóm tôpô của kiểu
đếm được theo từng điểm đều là paracompact. Theo quả 2.6 thì G có
= ∩
X
}
một không gian con Cech-đầy đủ trù mật X.
:n
dãy { Kí hiệu Gρ là sự bổ sung Raikov của nhóm tôpô G. Tồn tại một { } ∈ . U n ω :nU n ω∈ của các tập con mở trong Gρ thỏa
Y
G Gρ⊆
\
Bằng cách xây dựng , nếu là một không gian con trù mật
c
G Gρ∈
\
X∩ = ∅
. Khi trong Gρ , thì Y là của phạm trù thứ nhất. Giả sử rằng
đó, cX là không gian con Cech-đầy đủ trù mật của Gρ ,và cX
Gρ=
, nghĩa là G là một nhóm Raikov , một điều mâu thuẫn. Do đó, G
đầy đủ. Suy ra G là Cech-đầy đủ.
3.3.4. Hệ quả 3.3.4: Với bất kì nhóm nửa tôpô G, các điều kiện sau là tương
đương:
43
1. G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ.
2. G có một không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
\bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG .
bG của G thỏa hiệu
3. G là một không gian Tychonoff, và có chứa một mở rộng compact
4. G là một không gian Tychonoff, và với bất kì mở rộng compact bG
\bG G là một tập của phạm trù thứ nhất trong bG .
của G, hiệu
5. G là một không gian q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng
điểm.
6. G là một nhóm paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm, và G có
chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
7. G là một không gian µ-đầy đủ, và G có chứa một không gian con
quạt-đầy đủ trù mật.
3.3.5. Hệ quả 3.3.5:
Giả sử rằng G là một nhóm paratôpô, và G là một không gian con trù
mật của một không gian compact yếu ( hoặc giả compact) Z. Giả sử thêm
\Z G là một tập của phạm trù thứ nhất trong Z. Khi đó, G là một nhóm
rằng
tôpô.
3.3.6. Hệ quả 3.3.6:
Cho H là một nhóm con Cech-đầy đủ của một nhóm tựa tôpô G. Khi đó H
là đóng trong G.
Chứng minh:
44
P cl H=
G
Cho . Ta có P là một nhóm con của G. Theo định lí 3.3.3
thì P là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ. Vì H là Raikov đầy đủ, ta có H P= . Suy ra H đóng trong P.
3.3.7. Định lí 3.3.7: Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một
nhóm nửa tôpô G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô.
Chứng minh:
Theo hệ quả 2.12, các không gian X và G là q-đầy đủ trù mật. Theo
định lí 3.3.2 thì G là một nhóm tôpô.
3.3.8. Ví dụ:
Theo ví dụ 1.4.17 (trong [7], trang 30), tồn tại một nhóm paratôpô đếm
∈
\
được đầu tiên không rời rạc G và một nhóm con đếm được rời rạc H sao cho
b cl H H G
H không đóng trong G. Cố định một điểm . Kí hiệu B là nhóm
H
{ } b∪
con của G được sinh bởi . Khi đó B là một nhóm paratôpô mêtric
hóa đếm được, và H là một nhóm con rời rạc không đóng. Hiển nhiên, B
không phải là một nhóm tôpô.
3.3.9. Chú ý:
A.V.Korovin đã xây dựng một nhóm Boolean giả compact tựa tôpô giao
hoán, nhưng không phải là một nhóm tôpô. Do đó, một nhóm tựa tôpô quạt-
đầy đủ không nhất thiết phải là một nhóm paratôpô. Đặc biệt, Định lí 3.3.1
không đúng với các nhóm tựa tôpô.
45
ωω=
3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire:
∈
=
,
t
t
,...
= t n t t
(
)
t 1,
0
0 1... n t
t nE t :
Cho J
} ∈ J n ω
là không gian các số vô tỉ, với tôpô thông thường. Nếu . Một họ { và n ω∈ , thì các tập con
của không gian X được gọi là một dãy sắp xếp của các tập con của X.
∈
∈ của X thỏa
,
t nE t :
Một không gian con Y của một không gian X là một A-FU-tập con của
} J n ω
= ∪ ∩
∈
∈
Y
E
n
:
t n
J∈ và n ω∈ tồn tại một tập con
{
} Jω t :
X nếu tồn tại một dãy sắp xếp {
{
}
X⊆ và một tập con mở U của X thỏa
= ∩ . F U
và với mọi t
t nE
đóng F
Một không gian Y là Cech-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một
vài không gian Cech-đầy đủ.
Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một vài
không gian q-đầy đủ.
Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một
vài không gian quạt-đầy đủ.
3.4.1. Định lí 3.4.1:
Y⊆ .
Cho Y là một A-FU-tập con trù mật của một không gian X, và cho Y có
tính chất Baire. Khi đó tồn tại một Gδ-tập con trù mật Z của X thỏa Z
=
∩
= ∪ ∩
∈
U
E
Chứng minh:
Y
E
:
n
F t n
t nU là mở
t n
t n
t n
{
} Jω t :
, với Cho
{
trong X, . Khi đó
} ∈ và cl U⊆ X
F t n
t n
t nF là đóng trong X, và
46
=
∩
∈
\
X
,
X
∈ là một Gδ-tập con của X, và
X
1
t n
t n
{ cl U U t : \
X
Y
} J n ω = ∩ là trù mật trong X. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng các tập
1
Y 1
X=
1X
t nE là đóng trong X.
= ∪ ∩
∈
∈
=
và
E
:
n
:
t
,
t ...
J t m t t 0 1
m
t n
Y t t t 0 1...
m
{
} ω
. Chúng Chúng ta đặt
{
}
= ∪
=
:
...
... t
cl Y X
F t n
t n
} ∈ . n ω
Y t t 0 1
{ Y t t 0 1
m
t n m
. Ta có ta có thể giả sử rằng
t nV
=
∪
<
Ta sẽ xây dựng các tập con mở của X như sau:
\
:
{
} E m n
V n
IntE n
m
= ∪
∈
1. Đặt với mỗi n ω∈ .
{ } V n ω
W 0
:n
Tập là mở và trù mật trong X.
J∈
t nV t :
}
0n ≥ và các tập { t ω∈ .
t trước. Cố định 0
t 1,
,..., n
=
∩
∪
2. Giả sử rằng đã được định nghĩa
IntE
\
E
:
...
t ...
...
...
{
} < k m
V t t 0 1
t m n
V t t 0 1
n
t t 0 1
t m n
t t 0 1
t k n
(
)
m ω∈ .
∈
Jω∈ t ,
J∈
: t nV t
Ta đặt với mỗi
}
}
= ∪
Họ { được xây dựng. Họ { là rời rạc, và
J
∈ là mở và trù mật trong X, với mỗi n ω∈ . Bằng
W n
t nV n : { V t : t n
}
= ∩
tập
∈ là mở và trù mật trong X, và Z
Y⊆ .
Z
{ } W n ω
:n
cách xây dựng,
3.4.2. Hệ quả 3.4.2: Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có
chứa một Gδ-không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
47
3.4.3. Hệ quả 3.4.3: Mọi không gian q-giải tích với tính chất Baire có chứa
một Gδ-không gian con q-đầy đủ trù mật.
3.4.4. Hệ quả 3.4.4: Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa
một Gδ-không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
3.4.5. Hệ quả 3.4.5: Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con
Cech-giải tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó G là một nhóm tôpô Cech-
đầy đủ.
3.4.6. Hệ quả 3.4.6: Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire
của một nhóm nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy
đủ trù mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô.
3.4.7. Hệ quả 3.4.7: Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không
gian con yếu-giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô.
3.4.8. Hệ quả 3.4.8:
Cho G là một nhóm nửa tôpô với một không gian con yếu-giải tích trù
mật Y với tính chất Baire. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
1. Không gian G là paracompact.
2. Không gian G là µ-đầy đủ.
3. Không gian G là Cech-đầy đủ.
4. G là một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm.
48
3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa
tôpô:
=
Chúng ta ứng dụng một số kết quả đã thu được trong phần trên để nghiên
X bG G
\
cứu cấu trúc của các nhóm nửa tôpô G mà hiệu ( với bG là
compact hóa của G) có lưới đếm được. Sau đây là các kết quả chính:
=
3.5.1. Định lí 3.5.1: Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có
\
có một lưới đếm được, thì G có
một compact hóa bG thỏa hiệu X bG G π-cơ sở đếm được và là đếm được thứ nhất, và hiệu X có một không gian
con mêtric hóa được và tách được trù mật.
Để chứng minh định lí này, chúng ta cần bổ đề tổng quát trên cấu trúc
của các không gian chính qui với một lưới đếm được.
3.5.2. Bổ đề 3.5.2:
= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa được và tách được,
Giả sử rằng X là một không gian chính qui với một lưới đếm được S .
Z
Khi đó, X Y
và Z có một lưới đếm được P sao cho mọi phần tử của P là không đâu trù
mật trong X.
Chứng minh:
=
Vì X là chính qui, ta có thể giả sử rằng mỗi phần tử của S là đóng
(
)
) Int M là phần
(
MP M Int M \
, với trong X. Với mỗi M ∈ S đặt
S
P
=
{
}
:MP M ∈
. Rõ ràng, mỗi phần tử của trong của M trong X. Đặt
=
=
∈ S
họP là đóng và không đâu trù mật trong X.
:
Y X Z
\
) Int M M
(
. Đặt . một lưới, và đặt
B
}
Cho Z là tập tất cả các điểm của X mà tại đó họ đếm được P là {
49
Khẳng định: Họ B là một cở sở của X tại mỗi điểm của Y.
)O y là một lân cận mở tùy ý của ( y trong X. Do đó, chúng ta có thể cố định một lân cận mở V của y trong
Thật vậy, lấy bất kì y Y∈ , và lấy
⊂
X thỏa không phần tử nào của họ P chứa y và được chứa trong V. Rõ
V O y
(
)
∈ ⊂ . Khi
. ràng, chúng ta có thể giả sử rằng
V⊂ . Bây giờ từ việc chọn V mà
y P∉ . Vì y M∈ ,
Do S là một lưới của X, tồn tại M ∈ S sao cho y M V
M
∈
đó, MP ∈P và MP
y
( Int M
)
⊂ ⊂
. Chúng ta cũng có việc định nghĩa MP chỉ ra rằng
Int M V O y
(
(
)
(
)
) Int M ∈B, và
. Vậy khẳng định trên đã được
chứng minh.
Do đó, Y là một không gian chính qui với một cơ sở đếm được,
nghĩa là, Y là mêtric hóa được và tách được.
= ∪ , với Y là một không gian mêtric hóa
Chúng ta sẽ tiếp tục chứng minh Định lí 3.5.1:
Z
Theo bổ đề 3.5.2, X Y
được tách được, và Z có một lưới đếm được P thỏa mọi phần tử của P
là không đâu trù mật trong X.
Quan sát thấy rằng X là trù mật tốt trong bG, vì không gian G là
không đâu compact địa phương.
Trường hợp 1: Y là trù mật trong X. Khi đó, Y là trù mật trong bG,
vì X là trù mật trong bG. Do Y có một cơ sở đếm được, suy ra bG có một π-cơ sở đếm được. Do đó, G có một π-cơ sở đếm được, vì G là trù
mật trong bG.
50
Trường hợp 2: Y không trù mật trong X. Kí hiệu U là phần bù trong
bG của bao đóng của Y trong bG. Khi đó, U là một không gian con mở
khác rỗng của bG.
Với một P ∈P tùy ý, kí hiệu
PF là bao đóng của P trong bG. Do P PF là không đâu trù mật trong bG.
\
là không đâu trù mật trong X, suy ra
= W U F P
P
Do đó, tập là một không gian con mở trù mật của U. Vì U
= ∩
H
∈P của U là một không gian Cech-đầy đủ trù mật trong
}
{ W P :P
là tự mở trong bG, và bG là compact, suy ra không gian con
U. Bây giờ điều đó được suy ra từ một chứng minh chuẩn rằng G có một
không gian con Cech-đầy đủ trù mật. Do đó, G tự là một nhóm tôpô
Cech-đầy đủ. Nếu một nhóm tôpô G có một compact hóa thỏa hiệu có
một lưới đếm được, thì G là một không gian mêtric hóa được tách được.
Gδ-chéo, và do đó, X là tách được và mêtric hóa được.
Trong trường hợp này hiệu X là một Lindeloff p-không gian với một
Quan sát thấy rằng, G là một không gian của kiểu đếm được theo
từng điểm, vì hiệu X là Lindeloff. Mặt khác, mọi nhóm nửa tôpô Tychonoff với một π-cơ sở đếm được có một Gδ-chéo. Do đó, G là
đếm được thứ nhất.
3.5.3. Định lí 3.5.3:
Nếu một nhóm nửa tôpô compact không địa phương G có một hiệu mêtric
hóa được tách được, thì G cũng là tách được và mêtric hóa được.
Chứng minh:
Từ định lí 3.5.1 suy ra rằng G có một π-cơ sở đếm được, nên G có
một Gδ-chéo. Chúng ta cũng thấy rằng G là một p-không gian Lindeloff,
51
vì G là một hiệu của một không gian mêtric hóa được tách được. Nhớ lại
rằng, mọi p-không gian Lindelof với một Gδ-chéo là tách được và
mêtric hóa được.
3.5.4. Ví dụ: Cho A là tập con của tâp các số hữu tỉ như là một không gian
con của đường thẳng Sorgenfrey S. Khi đó:
- A là một nhóm paratôpô mêtric hóa được;
- A không phải là một nhóm tôpô;
- A có một compact hóa mêtric hóa được.
Nhóm paratôpô B trong ví dụ 3.3.8 có cùng các tính chất trên. Các không
gian A, B, và là đồng phôi, nhưng chúng không phải là đẳng cấu tôpô như
các nhóm paratôpô.
3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm:
Một điểm x X∈ được gọi là một điểm có tính giả compact của X nếu tồn
} :nU n ω∈
∈
∈
tại một dãy dừng {
x
{ } U n ω
:n
của các tập con mở của X thỏa . Một không gian X được nói là giả compact từng điểm nếu
mỗi điểm của X là một điểm có tính giả compact. Rõ ràng, mọi không gian
quạt-đầy đủ là giả compact từng điểm. Hơn nữa, mọi q-không gian là giả
X⊆ trong một
compact từng điểm.
Xcl Yω của một tập Y
Chúng ta nhắc lại Gδ-bao đóng
µ
= ∪
⊆
không gian là tập tất cả các điểm x X∈ thỏa mọi Gδ-tập H chứa x đều
:
,
{ cl A A H A
cl H X
X
giao với Y. Tập là một tập con bị chặn của }X
được gọi là µ-bao đóng của H trong X.
52
µ=
* µ
X
cl Xβ X
Không gian con
*Xµ là một không gian con của sự bổ sung Dieudonné Xµ của X.
của compact hóa Stone-Cech Xβ của một không gian Tychonoff X được gọi là µ-bổ sung của X. Hiển nhiên,
Cho Gρ là sự bổ sung Raikov của một nhóm tôpô G và Gωρ là Gδ-bao
đóng của G trong Gρ . Rõ ràng, Gωρ là một nhóm con của Gρ .
ω
3.6.1. Bổ đề 3.6.1: Cho P là một tập con đóng bị chặn của một nhóm tôpô G.
= cl P cl P
ρ
ρ
G
G
. Khi đó
∈
Chứng minh:
x
\
ρω
} :nU n ω∈
cl P ρ G
cl P G
∈
∈
∩
Cho . Khi đó, tồn tại một dãy {
x
,
P U n
:
} ω
{
{ U n : n
n
= ∩
∈ là một họ
:
U
} V G U n ω
+ ⊆ với bất kì n ω∈ . Khi đó, {
n
n
cl U ρ G n
1
n
và các tập con mở của Gρ thỏa của } ∈ = ∅ ω
P V∩ ≠ ∅ với bất kì
n
n ω∈ .
hữu hạn địa phương mở của các tập con của G và
Một không gian X được gọi là một p-không gian paracompact nếu nó nhận
một ánh xạ đầy đủ vào một không gian mêtric hóa được. Một nhóm feathered
là một nhóm tôpô mà không gian cơ sở của nó là một p-không gian
paracompact. Một nhóm tôpô là một nhóm feathered khi và chỉ khi nó là
một không gian của kiểu đếm được theo từng điểm.
3.6.2. Định lí 3.6.2: Với bất kì nhóm tôpô G các điều kiện sau đây là tương
đương:
1. G là một không gian quạt-đầy đủ.
2. G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
53
3. Gρω là một không gian paracompact Cech-đầy đủ.
4. G là Gδ-trù mật trong Gρ và Gρ là một không gian paracompact
= ∪
Z G
* β µ G \ G
Cech-đầy đủ.
(
)
5. G là một Gδ-tập con của không gian giả compact
→ → → → là hiển nhiên.
Chứng minh:
2,5
1,3
3
4
Ta thấy 1
:nU n ω∈ của các tập con mở của G và một dãy
→
∈ các hàm liên tục thỏa
[
] 0,1 :
nf G :
Cho G là một nhóm tôpô giả compact theo từng điểm. Tồn tại một
} } n ω
1
1
=
⊆
dãy dừng { {
f −
f −⊆
∈ e U
U
( ) 0
( ) 1
+ ⊆
n
+ 1
− 1 + n 1
2 cl U + G n 1
⊆ , U n
nU
nG U \
1
= ∩
∈
, với và
H
{ } U n ω
:n
ϕ ρ → , với
bất kì n ω∈ . Khi đó
Gρ=
: G
X
X
là một nhóm con đóng bị chặn của G. Bao đóng Φ của H trong Gρ là một nhóm con compact và ánh xạ chiếu Φ là một ánh xạ liên tục mở và đầy /
đủ vào một không gian mêtric hóa được X.
1
=
=
=
G
G
G
( µ µ ϕ ρ− * G
)
Cố định một mêtric đầy đủ d trên không gian X. Ta có:
ωρ
(
)
Gρ .
. Suy ra Gωρ là một nhóm con của nhóm
=
=
=
= ∪
ρ β⊆
Giả sử rằng G là Gδ-trù mật trong Gρ . Khi đó,
G
G
G
* ρ µ µ G
β ρ G G \
Z G
G
(
)
ωρ
. Cho và G
=
=
là một không gian con của Gβ . Bằng cách xây dựng, G là một Gδ-tập con của
β β β Z
G
. Với mọi không gian Tychonoff X, không gian Z và Z
54
∪
⊆
β
X
* β µ \ X
X
X
(
)
là giả compact. Từ đó, Z là một không gian giả
1→ và
4
5→ đã được chứng minh.
compact. Mệnh đề 2.3 chỉ ra rằng G là quạt-đầy đủ. Như vậy, 4
Giả sử rằng Y là một không gian con quạt-đầy đủ trù mật của G.
Theo định lí 2.5 và hệ quả 2.6, tồn tại một không gian con paracompact
ρ= G
Cech-đầy đủ trù mật của Gωρ . Theo định lí 3.3.3, nhóm tôpô Gωρ là
4→ được chứng minh.
ωρ
Cech-đầy đủ. Do đó, G . Như vậy, 2
Vậy, định lí đã được chứng minh.
Giả sử rằng một nhóm tôpô G là một q-không gian. Khi đó, trong phần
} :nU n ω∈
chứng minh của định lí 3.6.2 chúng ta có thể giả sử rằng H là một tập con compact đếm được và {
= ψ ϕ
:G G Y
G
( ϕ
)
βψ
β→ là tựa
là một cơ sở của các lân cận của tập H → = trong G. Trong trường hợp này ánh xạ là tựa đầy đủ,
:Z Z
X
và G là một M-không gian đầy đủ. Hơn nữa, ánh xạ
đầy đủ, và Z là compact đếm được. Do đó, chúng ta đã chứng minh được
định lí sau:
3.6.3. Định lí 3.6.3: Với bất kì nhóm tôpô G, các điều kiện sau đây là tương
đương:
1. G là một M-không gian đầy đủ.
2. G là một q-không gian, và G có một không gian con quạt-đầy đủ trù
mật.
3. G là một q-không gian, và Gωρ là một không gian paracompact
Cech-đầy đủ.
55
Gρ là Cech-đầy đủ và paracompact.
4. G là một q-không gian, G là Gδ-trù mật trong Gρ , và không gian
= ∪
5. G là một Gδ-tập con của không gian compact đếm được
Z G
* β µ G \ G
(
)
.
} :nU n ω∈
∈
Cho X là một không gian chuẩn tắc. Nếu {
∈ có một chùm điểm {
} x U n ω : n n
các tập con mở, thì mỗi dãy { là một dãy dừng của } :nU n ω∈
trong X. Đặc biệt, mỗi điểm giả compact là một q-điểm. Do đó, định lí 3.6.2
và hệ quả 2.12 cho ta kết quả sau:
3.6.4. Hệ quả 3.6.4: Giả sử rằng G là một nhóm nửa tôpô, và không gian G là
chuẩn tắc và có một không gian con quạt-đầy đủ trù mật. Khi đó:
1. G là một M-không gian đầy đủ.
2. G là một nhóm tôpô.
= ∪
3. G là một Gδ-tập con của không gian compact đếm được
Z G
* β µ G \ G
(
)
.
Ví dụ sau chỉ ra rằng một nhóm tôpô mêtric hóa được với tính chất Baire
thì cần không phải là Cech-đầy đủ.
3.6.5. Ví dụ: Cho là trường các số thực và là trường con của các số hữu
tỉ. Khi đó, tồn tại một nhóm con cộng G của thỏa:
S
\
G
=
1. G và là các không gian con trù mật với tính chất Baire.
2. Trong G và S mọi tập con compact là đếm được.
.G
G=
3. .
56
.M
(
M=
Một không gian con M của là -môđun nếu M là một nhóm con )m L là - . Nếu L ⊆ , thì chúng ta kí hiệu cộng của và
môđun đại số sinh bởi tập L.
c
:
ω 2
α α< = F
}
là họ tất cả các tập con đóng không đếm được của Cho {
[ 1, 2
]
. Giả sử rằng
F = 0
.
} c
α α< :x
{
} c
α α< :y
và Dùng phép đệ qui siêu hạng, chúng ta xây dựng các dãy {
F∈
2
cα< < , và
. Giả sử rằng 0
x = 0
y 0
0 \
<
=
y
c
( m L
) α < , chúng ta có thể
L α
theo cách sau:
∈
∈
Cố định { và } β β β α đã được định nghĩa sẵn. Vì , x :
\
(
)
(
)
x α
F m L \ α α
= ∪ M L α α
{ } x α
y α
F m M α
α
=
<
=
<
cố định . Cho , và cố định .
X
α :
α :
{
} c Y ,
{
} c
x α
y α
= ∪
<
:
, và Bây giờ chúng ta đặt
G
cα< . Khi đó
{ G
} c
α
α α :
{ = G m x
} ≤ β β α
(
)
, với mỗi
là -môđun sinh bởi tập X. Chúng ta khẳng định rằng G Y∩ = ∅ . Do đó, G là -môđun
ta muốn.
3.6.6. Chú ý: Tồn tại một không gian tuyến tính mêtric hóa được đầy đủ tách
=
Y
L B \
được L và một không gian con tuyến tính trù mật B của L thỏa: B và
là các không gian con trù mật của không gian L; B và Y không là
X
=
ξ βω ω∈
các không gian mêtric hóa được đầy đủ.
∪ . Chúng ta đặt
\
{ } X ξ ω
L = và
=
⊆ . D.J.Lutzer và R.A.McCoy đã chứng minh rằng không gian
B C X
L
(
)
P
Thật vậy, lấy và
B không phải là mêtric hóa được đầy đủ và có tính chất Baire. Vì không gian B không phải là Cech-đầy đủ, không gian con Y có tính chất Baire.
57
KẾT LUẬN
Như vậy, luận văn đã giới thiệu một lớp rất rộng các kiểu không gian đầy
đủ : µ-đầy đủ, sàng-đầy đủ trù mật, sàng-đầy đủ, q-đầy đủ trù mật, q-đầy đủ,
quạt-đầy đủ trù mật, quạt-đầy đủ, cùng với các tính chất đặc trưng của chúng.
Luận văn cũng đã đề cập được một số ứng dụng của các tính chất của các
kiểu không gian đầy đủ đó trên các không gian khác. Chẳng hạn:
1. Nhóm tôpô với các tính chất đầy đủ:
- Nếu một nhóm paratôpô G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù
mật thì G là một nhóm tôpô.
- Nếu một nhóm nửa tôpô G là q-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô.
- Cho X là một không gian con trù mật chuẩn tắc của một nhóm nửa tôpô
G. Nếu X là quạt-đầy đủ trù mật thì G là một nhóm tôpô.
2. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ với các tính chất đầy đủ:
- Mọi không gian Cech-đầy đủ là sàng-đầy đủ.
- Mọi không gian quạt-đầy đủ paracompact là không gian Cech-đầy đủ.
- Nếu một không gian µ-đầy đủ X có chứa một không gian con quạt-đầy
đủ thì X có chứa một không gian con paracompact Cech-đầy đủ trù
mật.
- Một không gian X là sàng-đầy đủ trù mật nếu và chỉ nếu nó có chứa
một không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
58
- Cho G là một nhóm nửa tôpô của kiểu đếm được theo từng điểm. Nếu
G là q-đầy đủ trù mật, thì G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ.
- G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian
q-đầy đủ trù mật của kiểu đếm được theo từng điểm.
- G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một nhóm
paratôpô của kiểu đếm được theo từng điểm và G có chứa một không
gian con quạt đầy đủ trù mật.
µ-đầy đủ và G có chứa một không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
- G là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ khi và chỉ khi G là một không gian
3. Các không gian giải tích với các tính chất đầy đủ:
- Một không gian Y là q-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của một
vài không gian q-đầy đủ.
- Một không gian Y là yếu-giải tích nếu Y là một A-FU-tập con của
không gian quạt-đầy đủ nào đó.
- Cho X là một không gian con trù mật với tính chất Baire của một nhóm
nửa tôpô G. Nếu X là một A-FU-tập con của không gian q-đầy đủ trù
mật nào đó, thì G là một nhóm tôpô.
- Mọi không gian yếu-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ-
không gian con quạt-đầy đủ trù mật.
Bên cạnh đó, luận văn cũng đưa ra một số kết quả quan trọng nhằm giúp
cho việc chứng minh một số kết quả của A. Bouziad, P. Kenderov, I. S.
Kortezov, và W. B. Moors như:
59
- Mọi Gδ-không gian con của một không gian giả compact là không gian
quạt-đầy đủ.
- Nếu một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-đầy đủ trù
mật thì nó là một nhóm tôpô Cech-đầy đủ.
- Mọi không gian Cech-giải tích với tính chất Baire có chứa một Gδ-
không gian con Cech-đầy đủ trù mật.
- Cho G là một nhóm nửa tôpô có chứa một không gian con Cech-giải
tích trù mật với tính chất Baire. Khi đó, G là một nhóm tôpô Cech-đầy
đủ.
- Cho G là một nhóm paratôpô. Nếu G có chứa một không gian con yếu-
giải tích trù mật với tính chất Baire, thì G là một nhóm tôpô...
Luận văn đã đưa ra được phần lớn các mối liên quan giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với một số không gian khác nhau. Với các kết quả đã đạt được, ta có thể tiếp tục mở rộng thêm nhiều mối quan hệ khác nữa giữa các tính chất của các kiểu đầy đủ trên với các không gian khác.
60
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. V. Arhangel'skii, A class of spaces which contains all metric and all
locally compact spaces, Matem. Sb. 67 (1965), 55-88 (English
translation: Amer. Math. Soc. Transl. 92 (1970), 1-39).
[2] A. V. Arhangel'skii, On ˇ Cech-complete topological spaces, Vestnik
Moskov.Universiteta 2 (1961), 37-40.
[3] A. V. Arhangel'skii, Bicompact sets and the topology of spaces, Trudy
Mosk.Matem. Ob-va 13 (1965) 3-55 (English translation: Trans. Mosk.
Math. Soc. 13 (1965), 1-62).
[4] A. V. Arhangel'skii, Topological invariants in algebraic environment, In:
Recent Progress in General Topology II, M. Hu_sek and J. van Mill, eds,
North Holland, Amsterdam, 2002, pp. 1-57.
[5] A. V. Arhangel'skii, Remainders in compactifications and generalized
metrizability properties, Topology and Appl. 150 (2005), 79-90.
[6] A. V. Arhangel'skii, The Baire property in remainders of topological
groups and other results, Comment. Math. Univ. Carolinae. 50:2 (2009),
273-279.
[7] A. V. Arhangelskii and M. G. Tkachenko, Topological groups and related
structures, Atlantis Press. Amsterdam-Paris, 2008.
[8] A. V. Arhangelskii and E. A. Reznichenko, Paratopological and
semitopological groups versus topological groups, Topology and its
Appl. 151 (2005),107-119.
[9] A. Bouziad, The Ellis theorem and continuity in groups, Topology and its
Appl. 50 (1993), 73-80.
61
[10] A. Bouziad, Every ˇ Cech-analytic Baire semitopological group is a
topological group, Proceed. Amer. Math. Soc. 124:3 (1996), 953-959.
[11] N. Brand, Another note on the continuity of the inverse, Arch. Math. 39
(1982), 241-245.
[12] L. G. Brown, Topological complete groups, Proc. Amer. Math. Soc. 35
(1972), 593-600.
[13] J. Chaber, M. M.Coban and K. Nagami, On monotonic generalizations of
Moore spaces, ˇ Cech complete spaces and p-spaces, Fund. Math. 84
(1974), 107-119.
[14] M. Choban, The open mappings and spaces, Suplimente ai Rendicanti
del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, numero 29 (1992), 51-104.
[15] M. Coban and P. Kenderov, Dense Gateaux differentiability of the
supnorm in C(T) and topological properties of T. Comptes Rendue Acad.
Bulgare Sci. 38, no. 12 (1985), 1603-1604.
[16] R. Ellis, A note on the continuity of the inverse, Proc. Amer. Math. Soc. 8
(1957), 119-125.
[17] R. Engelking, General Topology, PWN. Warszawa, 1977.
[18] Z. Frolik, ˇ Cech analytic spaces, Comment. Math. Univ. Carolinae. 28
(1984), 367-368.
[19] R. V. Fuller, Relations among continuous and various non continuous
functions,Pacific J. Math. 25 (1968), 495-509.
[20] G. Hansel and J. P. Troallic, Quasicontinuity and Namioka’s Theorem,
Topol. Appl. 46 (1992), 135-149.
[21] M. Henriksen and J. R. Isbel, Some properties of compactifications,
Duke Math. Jour. 25 (1958), 83-106.
[22] S. Kempisty, Sur les fonctions quasicontinues, Fund. Math. 19 (1932),
184-197.
62
[23] P. Kenderov, I. S. Kortezov and W. B. Moors, Topological games and
topological groups, Topol. Appl. 109 (2001), 157-165.
[24] A. V. Korovin, Continuous actions of pseudocompact groups and axioms
of topological group. Comment. Math. Univ. Carolinae. 33 (1992), 335-
343.
[25] J. D. Lawson, Joint continuity in semitopological semigroups, Illinois
Math. J. 18 (1972), 275-285.
[26] D. J. Lutzer and R. A. McCoy, Category in function spaces, Paci_c J.
Math. 89 (1980), 1-24.
[27] E. Michael, A note on closed maps and compact sets, Israel J. Math. 2
(1964), 173-176.
[28] D. Montgomery, Continuity in topological groups, Bull. Amer. Math.
Soc. 42 (1936), 879-882.
[29] K. Morita, A survey of the theory of M-spaces, General Topology and
Appl. 1 (1971), 49-55.
[30] I. Namioka, Separate continuity and joint continuity, Paci_c J. Math. 51
(1974), 515-531.
[31] K. Numakura, On bicompact semigroups, Math. J. Okayama Univ. 1
(1952), 99-108.
[32] B. A. Pasynkov, Open mappings, Soviet Math. Dokl. 8 (1967), 853-856.
[33] H. Pfister, Continuity of the inverse, Proc. Amer. Math. Soc. 95 (1985),
312-314.
[34] E. A. Reznichenko, Extensions of functions defined on products of
pseudocompact spaces and continuity of the inverse in pseudocompact
groups, Topology Appl. 59 (1994), 233-244.
63
[35] H. H. Wicke, Open continuous images of certain kinds of M-spaces and
completeness of mappings and spaces, General Topology and Appl. 1
(1971), 85-100.
[36] H. H. Wicke and J. M. Worrell, On the open continuous images of
paracompact ˇ Cech complete spaces, Pacific J. Math. 37 (1971), 265-
276.
[37] A. D. Wallace, The structure of topological semigroups, Bull. Amer.
Math. Soc. 61 (1955), 95-112.
[38] W. Zelazko, A theorem on B0 division algebras, Bull. Acad. Pol. Sci. 8
(1960), 373-375.
