Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa Tôpô và các kết quả liên quan

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa Tôpô và các kết quả liên quan nêu lên những kiến thức cơ bản cần chuẩn bị; các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung cụ thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất kiểu đầy đủ của các nhóm nửa Tôpô và các kết quả liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Trí MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH TRÍ MỘT SỐ TÍNH CHẤT KIỂU ĐẦY ĐỦ CỦA CÁC NHÓM NỬA TÔPÔ VÀ CÁC KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
i MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ......................................................................... 5 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: ........................................... 5 1.1.1. Không gian tôpô: .............................................................................. 5 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô:................................................................ 6 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận:...................................................................... 6 1.1.4. Không gian con tôpô:........................................................................ 6 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: .............................................................. 7 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập:.............................................................. 7 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: ........................................ 7 1.1.8. Các tiên đề tách: ................................................................................ 8 1.1.9. Các tiên đề đếm được: ...................................................................... 9 1.2. Không gian compact: .............................................................................. 9 1.2.1. Không gian compact: ........................................................................ 9 1.2.2. Không gian compact đếm được: ..................................................... 10 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian: ........................ 10 1.2.4. Compact hóa: .................................................................................. 10 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: ................................................................................ 11 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: ............................................................... 11 1.2.7. Không gian giả compact: ................................................................ 11 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: ......................................... 12 1.3.1. Không gian mêtric: ......................................................................... 12 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: ......................................................... 12 1.4. Không gian paracompact: ..................................................................... 13 1.4.1. Không gian paracompact: ............................................................... 13 1.4.2. Không gian paracompact đếm được: .............................................. 13
ii 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: ............................................. 13 1.5.1. Nhóm tôpô: ..................................................................................... 13 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô:..................................................... 14 1.5.3. Nhóm tôpô Cech-đầy đủ: ................................................................ 15 1.5.4. M-không gian, p-không gian: ......................................................... 15 Chương 2: Các kiểu đầy đủ của các không gian tôpô:.................................... 17 2.1. Các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô: .......................... 17 2.2. Chú ý: .................................................................................................... 21 2.3. Mệnh đề 2.3: ........................................................................................ 22 2.4. Mệnh đề 2.4: ........................................................................................ 23 2.5. Định lí 2.5: ........................................................................................... 23 2.6. Hệ quả 2.6: ............................................................................................ 26 2.7. Định lí 2.7: ............................................................................................ 26 2.8. Mệnh đề 2.8: ......................................................................................... 27 2.9. Mệnh đề 2.9: ......................................................................................... 27 2.10. Mệnh đề 2.10: ..................................................................................... 27 2.11. Mệnh đề 2.11: ..................................................................................... 28 2.12. Hệ quả 2.12: ........................................................................................ 29 2.13. Hệ quả 2.13: ........................................................................................ 29 2.14. Ví dụ:................................................................................................... 29 Chương 3: Một số kết quả trên các nhóm tôpô ............................................... 31 3.1. Các kết quả trên các ánh xạ tựa liên tục: .............................................. 31 3.1.1. Mệnh đề 3.1.1: ................................................................................ 32 3.1.2. Mệnh đề 3.1.2: ................................................................................ 32 3.1.3. Hệ quả 3.1.3: ................................................................................... 36 3.2. Các kết quả trên các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục: . 36 3.2.1. Bổ đề 3.2.1: ..................................................................................... 36 3.2.2. Bổ đề 3.2.2: ..................................................................................... 37
iii 3.3. Các kết quả trên các nhóm tôpô, nhóm nửa tôpô, và nhóm paratôpô: 38 3.3.1. Định lí 3.3.1: ................................................................................... 38 3.3.2. Định lí 3.3.2: ................................................................................... 40 3.3.3. Định lí 3.3.3: ................................................................................... 42 3.3.4. Hệ quả 3.3.4: ................................................................................... 42 3.3.5. Hệ quả 3.3.5: ................................................................................... 43 3.3.6. Hệ quả 3.3.6: ................................................................................... 43 3.3.7. Định lí 3.3.7: ................................................................................... 44 3.3.8. Ví dụ: .............................................................................................. 44 3.3.9. Chú ý: .............................................................................................. 44 3.4. Các kết quả trên các không gian giải tích với tính chất Baire: ............. 45 3.4.1. Định lí 3.4.1: ................................................................................... 45 3.4.2. Hệ quả 3.4.2: ................................................................................... 46 3.4.3. Hệ quả 3.4.3: ................................................................................... 47 3.4.4. Hệ quả 3.4.4: ................................................................................... 47 3.4.5. Hệ quả 3.4.5: ................................................................................... 47 3.4.6. Hệ quả 3.4.6: ................................................................................... 47 3.4.7. Hệ quả 3.4.7: ................................................................................... 47 3.4.8. Hệ quả 3.4.8: ................................................................................... 47 3.5. Các kết quả trên các lưới đếm được trong các hiệu của các nhóm nửa tôpô: ...................................................................................................... 48 3.5.1. Định lí 3.5.1: ................................................................................... 48 3.5.2. Bổ đề 3.5.2: ..................................................................................... 48 3.5.3. Định lí 3.5.3: .................................................................................. 50 3.5.4. Ví dụ: .............................................................................................. 51 3.6. Các kết quả trên các nhóm giả compact từng điểm: ............................. 51 3.6.1. Bổ đề 3.6.1: ..................................................................................... 52 3.6.2. Định lí 3.6.2: ................................................................................... 52
iv 3.6.3. Định lí 3.6.3: ................................................................................... 54 3.6.4. Hệ quả 3.6.4: ................................................................................... 55 3.6.5. Ví dụ: .............................................................................................. 55 3.6.6. Chú ý: .............................................................................................. 56 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 60
1 MỞ ĐẦU Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân m : G × G → G là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân m : G × G → G là liên tục tách. Một nhóm nửa tôpô G mà phép toán nghịch đảo In : G → G là liên tục thì được gọi là nhóm tựa tôpô. Việc nghiên cứu các tính chất trên các nhóm tôpô, nhóm paratôpô, và nhóm nửa tôpô đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Sự liên quan của các nhóm nửa tôpô tách được, các nhóm nửa tôpô mêtric hóa được với các nhóm tôpô và paratôpô cũng rất được quan tâm bởi nhiều nhà toán học: Năm 1936, D.Montgomery đã chứng minh được rằng: - Mọi nhóm nửa tôpô tách được và mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm tôpô. - Mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được bởi một mêtric đầy đủ thì là một nhóm paratôpô. Năm 1957, R.Ellis đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô compact địa phương là một nhóm tôpô. Năm 1960, W. Zelazko đã kết luận rằng mọi nhóm nửa tôpô mêtric hóa được đầy đủ là một nhóm tôpô. Năm 1982, N. Brand chứng minh được rằng mọi nhóm paratôpô Cech- đầy đủ là một nhóm tôpô.
2 Gần đây, một số phát triển theo các kết quả trên cũng đã được đưa ra bởi A.Bouziad (1996), P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. Moors (2001), A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko (2005). A. Bouziad đã chứng minh rằng mọi nhóm nửa tôpô Cech-đầy đủ là một nhóm tôpô. A. V. Arhangel’skii và E. A. Reznichenko cũng đã chứng minh được rằng một nhóm paratôpô G là một nhóm tôpô nếu nó là một Gδ -không gian con của không gian giả compact nào đó. P. Kenderov, I. S. Kortezov và W. B. Moors đã giới thiệu một lớp các không gian Baire mạnh và đã chứng minh được rằng một nhóm nửa tôpô Baire mạnh là một nhóm tôpô. Và một số mối liên hệ đáng chú ý giữa tính liên tục tách và liên tục nối cũng đã được xây dựng từ đó. Dựa trên các kết quả ở trên, luận văn này sẽ tiếp tục nghiên cứu một số phương pháp về các tính chất kiểu đầy đủ mà A. V. Arhangel’skii đã đưa ra và mở rộng các định lí của D. Montgomery và R. Eliss trên lớp rất rộng của các không gian quạt-đầy đủ. Lớp các không gian quạt-đầy đủ cũng khá lớn, nó có mối quan hệ với các không gian quen thuộc, chẳng hạn: - Tất cả các không gian compact, các không gian compact đếm được, và các không gian giả compact đều là không gian quạt-đầy đủ. - Mọi Gδ -không gian con trù mật của một không gian quạt-đầy đủ là không gian quạt-đầy đủ.
3 - Ảnh bất kì của một không gian quạt-đầy đủ qua các ánh xạ liên tục mở là không gian quạt-đầy đủ. - Một không gian quạt-đầy đủ địa phương bất kì là không gian quạt-đầy đủ. Quan tâm đến các mối quan hệ trên, luận văn của chúng tôi dành cho việc khảo sát các không gian quạt đầy đủ và các tính chất của chúng. Luận văn cũng dành cho việc nghiên cứu các không gian trên trong mối quan hệ với: các ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô cùng với một phép nhân tựa liên tục, các không gian giải tích với tính chất Baire,… Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp theo sau. Chương 2 giới thiệu các kiểu đầy đủ khác nhau của các không gian tôpô và các tính chất của chúng. Chương 3 đưa ra các ứng dụng của các tính chất của các kiểu đầy đủ trên: các ánh xạ tựa liên tục, các nhóm nửa tôpô với một phép nhân tựa liên tục, trên các không gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta sẽ trình bày một số nhận xét về các kết quả trên và hướng mở rộng cho luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy luôn động viên và giúp tác giả tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại, các vấn đề lớn và các bài toán mở trong toán. Sự động viên và sự hướng dẫn tận tình của thầy không những giúp tác giả trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tác giả có thêm những cách nhìn nhận mới trong các lĩnh vực khác của cuộc sống xã hội. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin chân thành cám ơn quý thầy đã trực tiếp giảng dạy trên lớp hình
4 học và tôpô khóa 21 cùng quý thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ đưa ra cơ sở lí thuyết nhằm phục vụ cho các chương tiếp theo. Các kiến thức chủ yếu trong chương này nhằm mục đích giới thiệu các khái niệm cơ bản trong các không gian tôpô và các nhóm tôpô. Hầu hết các kiến thức được đưa ra đều rất ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp các phần sau. Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [7], [17]. 1.1. Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô: 1.1.1. Không gian tôpô: Một không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) bao gồm một tập hợp X và một họ τ các tập con của X thỏa các điều kiện sau: (τ 1 ) ∅ ∈τ và X ∈τ . (τ 2 ) Nếu U1 ∈τ và U 2 ∈τ thì U1 ∩ U 2 ∈τ . (τ 3 ) Nếu A ⊂ τ thì A ∈τ . Tập X được gọi là một không gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian X, các tập con của X thuộc τ được gọi là các tập mở của X, họ τ các tập con mở của X được gọi là tôpô trên X.
6 1.1.2. Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô: Cho τ là một tôpô trên X. Một họ β ⊂ τ gọi là một cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu mọi tập con mở khác rỗng của X đều bằng hợp của một họ các tập thuộc β . Một họ σ ⊂ τ gọi là một tiền cơ sở của không gian tôpô ( X ,τ ) nếu họ tất cả các giao hữu hạn các tập thuộc σ là một cơ sở của τ . Một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay tiền cơ sở của nó. 1.1.3. Lân cận, cơ sở lân cận: Cho X là không gian tôpô và x ∈ X . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U ∈ Ux sao cho U ⊂ V . 1.1.4. Không gian con tôpô: Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô và một tập A ⊂ X . Khi đó, họ τA ={G ∩ A : A ∈τ } là một tôpô trên A, gọi là tôpô cảm sinh bởi tôpô τ trên X. Không gian ( A,τ A ) gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( X ,τ ) .
7 1.1.5. Phần trong, bao đóng, biên: Cho không gian tôpô ( X ,τ ) và tập A ⊂ X , phần trong Ao của A là hợp của tất cả các tập mở bị chứa trong A, bao đóng A của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, và biên của A là ∂A = A − Ao . Một tập A ⊂ X gọi là trù mật nếu A = X , hay A trù mật nếu mọi tập con mở của X chứa một điểm của A. ( ) o Tập A ⊂ X gọi là không đâu trù mật nếu A = ∅. 1.1.6. Điểm hội tụ và điểm cô lập: Một điểm x ∈ X là một điểm hội tụ của A ⊂ X nếu x ∈ A \ { x} . Tập tất cả các điểm hội tụ của A gọi là tập có hướng của A, kí hiệu Ad . Điểm thuộc tập A \ A gọi là điểm cô lập. Một điểm x là điểm cô lập d của không gian X khi và chỉ khi tập { x} là tập mở, tức là { x} = X \ X \ { x} hay x ∉ X \ { x} . 1.1.7. Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: Cho ( X ,τ ) và (Y ,τ ') là hai không gian tôpô. Một ánh xạ f từ X tới Y gọi là liên tục tai x ∈ X nếu mọi lân cận V của f ( x ) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , nghĩa là, f −1 (V ) là một lân cận của x. Ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở (đóng) G trong X, f ( G ) là tập mở (đóng) trong Y.
8 Ánh xạ f gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 đều là ánh xạ liên tục. 1.1.8. Các tiên đề tách: T0 -không gian: Không gian tôpô X là T0 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. T1 -không gian: Không gian tôpô X là T1 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. T2 -không gian ( hay không gian Hausdorff): Không gian tôpô X là T2 -không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x,y của tập X tồn tại lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ∩ V =∅. T3 -không gian (Không gian chính quy): Không gian tôpô X có điều kiện chính quy nếu mọi x ∈ X , mọi tập con đóng  của X không chứa x , tồn tại các tập con mở U , V sao cho x ∈U ,  ⊂ V ,U ∩ V =∅. Tương đương mọi x ∈ X , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x nghĩa là tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈U ⊂ U ⊂ V . Không gian tôpô X là T3 -không gian nếu X là T1 -không gian và thỏa mãn điều kiện chính quy.
9 T 1 -không gian (không gian hoàn toàn chính quy – không gian 3 2 Tychonoff): Không gian tôpô X là T 1 -không gian nếu X là T1 -không 3 2 gian và với mỗi x ∈ X , mỗi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x) = 0 và f ( F ) = 1 . T4 -không gian (không gian chuẩn tắc): Không gian tôpô X là T4 -không gian nếu X là T1 -không gian và với hai tập con đóng A, B bất kỳ không giao nhau trong X , tồn tại các tập mở rời nhau U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V =∅. 1.1.9. Các tiên đề đếm được: Không gian tôpô X được gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x ∈ X đều có một cơ sở lân cận đếm được. Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. Không gian chính qui mà mọi phủ mở trong nó đều có một phủ con đếm được thì gọi là không gian Lindeloff. Như vậy, một không gian chính qui thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Lindeloff. 1.2. Không gian compact: 1.2.1. Không gian compact: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn,
10 nghĩa là mọi phủ mở {U s }s⊂ S của không gian X tồn tại một tập hữu hạn {s1 , s2 ,..., sk } ⊂ S thỏa X = U s1 ∪ U s2 ∪ ... ∪ U sk . 1.2.2. Không gian compact đếm được: Một không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu X là một không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm được của X có một phủ con hữu hạn. 1.2.3. Không gian compact địa phương và k-không gian: Một không gian tôpô X được gọi là một không gian compact địa phương nếu với mọi x ∈ X có một lân cận U của x thỏa U là một không gian con compact của X. Mọi không gian compact địa phương là không gian Tychonoff. Một không gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X là không gian Hausdorff và X là ảnh của một không gian compact địa phương qua ánh xạ thương. Nói cách khác, k-không gian là một không gian Hausdorff mà có thể được biểu diễn như là không gian thương của các không gian compact địa phương. 1.2.4. Compact hóa: Cho X là một không gian compact. Cặp (Y , c ) , với Y là một không gian compact và c : X → Y là phép nhúng đồng phôi của X lên Y thỏa c ( X ) = Y , được gọi là một compact hóa của không gian X.
11 Gọi C ( X ) là họ tất cả compact hóa của X. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên họ C ( X ) như sau: c2 X ≤ c1 X nếu tồn tại một ánh xạ f : c1 X → c2 X thỏa fc1 = c2 . Phần tử lớn nhất trong họ C ( X ) của tất cả compact hóa của một không gian Tychonoff X được gọi là compact hóa Cech-Stone của X, kí hiệu là β X . 1.2.5. Ánh xạ đầy đủ: Ánh xạ liên tục f : X → Y là đầy đủ nếu X là một không gian Hausdorff, f là ánh xạ đóng và tất cả các thớ f −1 ( y ) là các tập con compact của X. Đơn ánh f : X → Y xác định trên một không gian Hausdorff X là đầy đủ khi và chỉ khi nó là một ánh xạ đóng, tức là, f là một phép nhúng đồng phôi và tập f ( X ) đóng trong Y. 1.2.6. Không gian Cech-đầy đủ: Một không gian Tychonoff được gọi là Cech-đầy đủ nếu nó là một Gδ -tập trong các compact hóa Hausdorff của nó. 1.2.7. Không gian giả compact: Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn.
12 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa: 1.3.1. Không gian mêtric: Một không gian mêtric là một cặp ( X , ρ ) gồm một tập X và một hàm ρ : X × X →  thỏa mãn các điều kiện sau: (M1) ρ ( x, y ) = 0 khi và chỉ khi x = y , (M2) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) với mọi x, y ∈ X , (M3) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z ) với mọi x, y, z ∈ X . Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm ρ gọi là mêtric trên tập X và số ρ ( x, y ) được gọi là khoảng cách giữa x và y. Nếu hàm ρ : X × X →  thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) ρ ( x, x) = 0 với mọi x ∈ X thì được gọi là một giả mêtric trên tập X. Với mọi không gian mêtric ( X , ρ ) , họ các tập mở theo mêtric ρ là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric ρ . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh mêtric. 1.3.2. Không gian mêtric hóa được: Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric ρ trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric ρ trùng với tôpô τ của X (τ = τ ρ ).
13 Không gian ( X ,τ ) mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô τ ' trên X sao cho τ ' ⊂ τ và ( X ,τ ') mêtric hóa được. 1.4. Không gian paracompact: 1.4.1. Không gian paracompact: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu X là một không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.4.2. Không gian paracompact đếm được: Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu X là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đếm được của X luôn có một cái mịn đóng σ -rời rạc. 1.5. Nhóm tôpô và một số cấu trúc liên quan: 1.5.1. Nhóm tôpô: Cho X, Y, Z là các không gian tôpô và f : X × Y → Z là một hàm, ta nói: - f là liên tục nối tại ( x0 , y0 ) ∈ X × Y nếu với mỗi lân cận W của f ( x0 , y0 ) tồn tại một tích của các tập mở U × V ⊆ X × Y chứa ( x0 , y0 ) thỏa f (U × V ) ⊆ W .
14 - f là liên tục tách trên X × Y nếu với mỗi x0 ∈ X và y0 ∈ Y , các hàm y  f ( x0 , y ) và x  f ( x, y0 ) là các hàm liên tục trên Y và X tương ứng. Một nhóm paratôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục nối, một nhóm nửa tôpô G là một nhóm G với một tôpô thỏa phép nhân là liên tục tách. Cho một nhóm G, ánh xạ nghịch đảo In : G → G được định nghĩa theo công thức In ( x ) = x −1 , với mỗi x ∈ G . Một nhóm nửa tôpô với ánh xạ nghịch đảo liên tục được gọi là nhóm tựa tôpô. Một nhóm tôpô G là một nhóm paratôpô G thỏa ánh xạ nghịch đảo In : G → G là liên tục. Như vậy, G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh xạ từ G × G → G , ( x, y )  xy −1 là liên tục. 1.5.2. Bổ sung Raikov của nhóm tôpô: Nhóm Raikov đầy đủ là nhóm tôpô có thể nhúng được vào một nhóm mà tất cả các lọc trong nó đều hội tụ. * Mở rộng Raikov: Cho G là một họ tất cả các lọc chính tắc trên G. Kí hiệu Bx là một lọc chính tắc trên G, với mỗi x ∈ G . Đặt i ( x ) = Bx , với mỗi x ∈ G . Từ đó, ta có đơn ánh i : G → G . Tiếp theo, ta định nghĩa * một phép toán trên G để cho G biến thành một nhóm, sau đó ta xác * * định một tôpô trên G để G trở thành một nhóm tôpô, cuối cùng ta sẽ * *