Luận văn Thạc sĩ Toán học: Việc xây dựng giải tích toán học trong thế kỷ 19

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của bản luận văn này được trình bày trong hai chương: Chương 1 - Trình bày hoàn cảnh ra đời những khái niệm cơ bản của giải tích toán học trong thế kỷ 19. Chương 2 - Trình bày quá trình phổ biến và phát triển giải tích toán học thế kỷ 19. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Việc xây dựng giải tích toán học trong thế kỷ 19

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LỆNH ANH MINH VIỆC XÂY DỰNG GIẢI TÍCH TOÁN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LỆNH ANH MINH VIỆC XÂY DỰNG GIẢI TÍCH TOÁN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Chuyên nghành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015 Người viết luận văn Lệnh Anh Minh Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khoái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN i http://www.lrc.tnu.edu.vn
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo nghiêm khắc của thầy giáo GS.TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy ở Viện Toán học - Viện Hàn lâm KHCN Việt Nam đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành được luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015 Người viết luận văn Lệnh Anh Minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNii http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỤC LỤC Lời cam đoan ........................................................................................................ i Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii Mục lục ............................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 Chƣơng 1: HOÀN CẢNH RA ĐỜI NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 ................................... 4 1.1. Khái niệm về hàm số .................................................................................... 4 1.2. Định nghĩa của Cauchy về các khái niệm cơ bản của giải tích .................... 6 1.2.1. Biến và hằng .............................................................................................. 6 1.2.2. Giới hạn ..................................................................................................... 6 1.2.3. Đại lượng vô cùng bé ................................................................................ 7 1.2.4. Liên tục ...................................................................................................... 7 1.2.5. Hội tụ ......................................................................................................... 7 1.2.6. Đạo hàm ..................................................................................................... 8 1.2.7. Tích phân ................................................................................................... 8 1.3. Cauchy và Cours d’analyse .......................................................................... 9 1.3.1. Biến và giới hạn ....................................................................................... 11 1.3.2. Đại lượng vô cùng bé .............................................................................. 13 1.3.3. Liên tục .................................................................................................... 13 1.3.4. Tổng của chuỗi số .................................................................................... 15 1.3.5. Đạo hàm ................................................................................................... 16 1.3.6. Tích phân ................................................................................................. 17 1.3.7. Phương trình hàm và định lý nhị thức ..................................................... 20 1.4. Gauss, Bolzano và Abel.............................................................................. 21 1.4.1. Gauss........................................................................................................ 21 1.4.2. Bolzano .................................................................................................... 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii http://www.lrc.tnu.edu.vn
1.4.3. Abel.......................................................................................................... 23 1.5. Sự hội tụ của chuỗi Fourier ........................................................................ 24 1.6. Weierstrass .................................................................................................. 27 1.7. Hàm đặc biệt và các ý tưởng mới trong giải tích ....................................... 30 Chƣơng 2: PHỔ BIẾN VÀ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH TOÁN HỌC THẾ KỶ 19 ....................................................................................................... 32 2.1. Phổ biến và sự chấp nhận của phân tích nghiêm ngặt trong giải tích ........ 32 2.2. Phá vỡ sự chặt chẽ ...................................................................................... 33 KẾT LUẬN CHUNG....................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiv http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU Tìm hiểu sự hình thành và phát triển của giải tích toán học thế kỷ 19 giúp chúng ta nhận thức rõ hơn bản chất của những khái niệm và kết quả trong giải tích toán học. Điều này hết sức quan trọng đối với những người làm công tác giảng dạy, với học sinh, sinh viên, và những người nghiên cứu về giải tích toán học. Vì thế chúng tôi chọn việc trình bày quá trình hình thành và phát triển của một số khái niệm và kết quả của giải tích toán học thế kỷ 19 làm đề tài luận văn của mình. Thế kỷ 19 thường được gọi là thời kỳ của sự chặt chẽ. Sự chặt chẽ không chỉ là vấn đề làm rõ một số khái niệm cơ bản và thay đổi cách chứng minh của một số định lý cơ bản; mà nó còn xâm chiếm gần như tất cả các phần của giải tích và làm cho nó có diện mạo như bây giờ chúng ta học trong trường trung học và đại học. Phong trào tiến tới sự chặt chẽ có thể được xem như là một quá trình sáng tạo. Nó tạo ra những lĩnh vực hoàn toàn mới của toán học, đặt nền tảng cho giải tích, topo với các khái niệm hoàn toàn mới như: liên tục (hội tụ) theo từng điểm và liên tục (hội tụ) đều, tính compact, tính đầy đủ, …. Tuy nhiên, sẽ là sai lầm khi cho rằng trong thế kỷ 19 sự chặt chẽ được coi là vấn đề cấp bách nhất trong giải tích. Phần lớn các nhà toán học làm việc chủ yếu để mở rộng và áp dụng các lý thuyết giải tích mà họ thừa hưởng từ những người đi trước. Chuỗi Fourier là đặc biệt quan trọng trong lĩnh vực này kể từ khi nó thách thức những ý tưởng cũ về các khái niệm hàm số, tích phân, hội tụ, liên tục, …, nhưng phương trình vi phân, lý thuyết thế vị, phương trình elliptic và các lĩnh vực khác cũng góp phần vào quá trình của sự chặt chẽ. Giảng dạy cũng là một động lực chính thúc đẩy sự chặt chẽ của giải tích. Một số nhà toán học thấy khó khăn khi phải giới thiệu về giải tích; và do đó họ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN1 http://www.lrc.tnu.edu.vn
quyết định cải cách nó. Đó chính là cơ sở trực tiếp của sự cải cách của Cauchy và Weierstrass, và việc xây dựng tập số thực của Dedekind và Méray. Người ta nhận thấy rằng những nền tảng của giải tích cần phải được sửa đổi. Trong thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19 ở Pháp, giải tích đã liên kết chặt chẽ với vật lý lý thuyết. Điều này có nghĩa sự chính xác của các quy tắc của giải tích có thể được chứng thực bởi thành công của nó trong các ứng dụng; cụ thể hơn, chẳng hạn, sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, hoặc tồn tại tổng của chuỗi được suy ra từ hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, trong suốt nửa đầu của thế kỷ 19, đặc biệt là ở Đức, các trường trung học và đại học, chứ không phải là các trường kỹ thuật, đã trở thành trung tâm đào tạo và nghiên cứu toán học. Điều này thúc đẩy sự phát triển của toán học thuần túy như là một lĩnh vực độc lập. Nhờ đó, nó cung cấp cho toán học, bao gồm giải tích, một nền tảng vững chắc của riêng nó, độc lập với các ứng dụng. Trong thời gian này giải tích tách rời khỏi hình học. Kể từ Euclid, hình học đã được coi là nền tảng tốt nhất để hình thành toán học, và mặc dù khái niệm về số đã được mở rộng để bao gồm số vô tỉ và số siêu việt, hầu hết các nhà toán học đã tìm cách lý giải các khái niệm mở rộng về số trong lý thuyết về đại lượng của Euclid. Bức tranh chung này đã thay đổi trong thế kỷ 19. Nhiều lỗ hổng đã được phát hiện trong lập luận của Euclid, và hệ tiên đề Hilbert trong hình học ra đời. Nó đã chỉ ra rằng định lý cơ bản của giải tích xưa nay vẫn được dựa trên trực giác hình học đang rất cần một cơ sở vững chắc hơn, là tiên đề về các dãy đoạn thắt. Đặc biệt một số nhà toán học đã tìm cách chứng minh định lý giá trị trung gian, trong đó nói rằng một hàm số liên tục nhận cả hai giá trị dương và âm trên một khoảng sẽ nhận giá trị bằng không. Số thực (và phức) được xây dựng từ các số hữu tỉ, số hữu tỷ lại được xây dựng từ các số tự nhiên, và giải tích được xây dựng mới hoàn toàn bỏ qua hình học. Mặc dù Pasch, Peano, Pieri và Hilbert đã đưa ra một nền tảng vững chắc của tiên đề hình học tại thời điểm đó, nó không bao giờ lấy lại được vai trò của mình trong cơ sở của giải tích. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN2 http://www.lrc.tnu.edu.vn
Người ta có thể phân chia quá trình chặt chẽ hoá của giải tích thành hai giai đoạn: giai đoạn một ở Pháp, chiếm ưu thế bởi Cauchy, và giai đoạn hai ở Đức chiếm ưu thế bởi Weierstrass. Điều này phản ánh hình ảnh chung được chấp nhận trong thế kỷ 19, theo đó, Pháp là quốc gia toán học hàng đầu cho đến khoảng giữa thế kỷ, sau đó Đức vượt lên dẫn trước. Nội dung của bản luận văn này được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày hoàn cảnh ra đời những khái niệm cơ bản của giải tích toán học trong thế kỷ 19. Chương 2 trình bày quá trình phổ biến và phát triển giải tích toán học thế kỷ 19. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN3 http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chƣơng 1 HOÀN CẢNH RA ĐỜI NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC TRONG THẾ KỶ 19 Trong chương này tôi trình bày hoàn cảnh ra đời các định nghĩa, định lý và các khái niệm cơ bản của Giải tích toán học trong thế kỷ 19. Nội dung chương này trình bày theo các tài liệu [1], [3], [4], [6], [7]. 1.1. Khái niệm về hàm số Kể từ Euler, giải tích đã được coi là lý thuyết các hàm số. Tuy nhiên, hàm số là gì? Ý nghĩa của khái niệm này thay đổi theo thời gian. Euler đã đưa ra hai định nghĩa: trong Introductio in analysis infinitorum (1748) (Nhập môn về giải tích vô cùng bé), hàm số được định nghĩa như là một biểu thức giải tích (ví dụ, một công thức) có chứa các hằng số và biến, nhưng trong Institutiones Calculi differentialis (1755) (Phép tính vi phân) nó được định nghĩa như là sự phụ thuộc của một biến phụ vào biến khác. Trong Cours d'Analyse (Giáo trình giải tích) của Cauchy, cuốn sách giáo khoa đầu tiên báo trước kỷ nguyên mới của sự chặt chẽ, hàm số được định nghĩa một cách duy nhất như là các biến phụ thuộc vào các biến số khác. Giả sử các đại lượng biến thiên được kết nối với nhau, sao cho khi giá trị của một trong trong những biến là đã biết, thì các giá trị của tất cả những biến còn lại có thể được biểu diễn bởi biến đó. Khi đó ta nói biến đó là biến độc lập; và các đại lượng khác được thể hiện qua các biến độc lập là những cái mà chúng ta gọi là hàm số của biến này. Sau Cauchy, Fourier từ bỏ một cách dứt khoát hơn với việc xem hàm số như Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN4 http://www.lrc.tnu.edu.vn
là các biểu thức giải tích. Trong công trình chính của mình Théorie analytique de la chaleur (Lý thuyết giải tích về nhiệt), ông viết: “Nói chung, hàm f ( x) biểu thị các giá trị liên tiếp nhau. Cho vô hạn các giá trị trên trục hoành x , thì có một số lượng tương ứng của biểu thức f ( x) . Tất cả đều có giá trị thực, dương, âm hoặc bằng 0. Chúng ta không buộc các biểu thức có một quy luật chung; nó nối tiếp lẫn nhau bằng bất cứ cách nào, và mỗi cái trong số đó được coi là một đại lượng riêng rẽ”. (Fourier năm 1822, 500), Evans (Ruthin năm 1984, 74). Dirichlet chấp nhận định nghĩa này trong bài báo của mình về chuỗi Fourier và đã định nghĩa một hàm số liên tục như sau: Ta giả sử rằng a và b là hai giá trị cố định và giả thiết rằng x là một đại lượng biến thiên, nhận tất cả các giá trị nằm giữa a và b . Bây giờ, nếu với mỗi x có tương ứng một giá trị duy nhất hữu hạn y , sao cho khi x biến thiên liên tục trên khoảng từ a đến b , y  f ( x) cũng biến thiên tương tự như vậy, khi đó y được gọi là một hàm số liên tục của x trên khoảng này. (Dirichlet năm 1837, 135), transl. (Ruthing năm 1984, 74). Ngay sau khi đưa ra định nghĩa về hàm số trong Cours d’analyse, Cauchy chia hàm số thành các lớp khác nhau, đầu tiên là các hàm số tường minh, trong đó ông đề cập đến logx, sinx, x  y, xyz , …, làm ví dụ. Tuy nhiên, khi chỉ có các mối quan hệ giữa hàm số và các biến, tức là các phương trình có những đại lượng phải thỏa mãn, chẳng hạn các phương trình đại số không giải, ta có các hàm số, mà các biến không được biểu diễn tường minh, được gọi là hàm ẩn. (Cauchy 1821, 32). Ở đây Cauchy ngụ ý rõ ràng rằng các hàm số hoặc là tường minh, hoặc ẩn, tức là nó luôn luôn được đưa ra thông qua một số phương trình hay một biểu thức. Sự phân chia của ông tạo thành các hàm số đơn giản và các hàm số phức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN5 http://www.lrc.tnu.edu.vn
tạp. Hơn nữa, Cauchy chuyển từ hàm thực sang hàm phức, bằng nhận xét đơn giản: “Khi các hằng số hoặc các biến chứa trong một hàm số, trước tiên ta xem nó là thực và sau đó ta giả thiết rằng nó là phức”. Fourier, mặt khác, có ý thức tránh xa gợi ý rằng hàm số là các biểu thức giải tích. Tuy nhiên, trong “chứng minh” của ông về sự hội tụ của chuỗi Fourier của một hàm f “tùy ý”. ông đã sử dụng một cách rõ ràng sự kiện khi “  một giá trị khác với x một đại lượng vô cùng nhỏ, thì giá trị f ( ) trùng với giá trị f ( x) ” (Fourier 1822, §423); Như vậy, ông ngầm cho rằng mọi hàm số là liên tục, theo ngôn ngữ hiện đại. Cauchy và Fourier không phải là trường hợp ngoại lệ. Điều đó là khá bình thường đối với các nhà toán học đầu thế kỷ 19 khi định nghĩa các hàm số một cách tổng quát, và sau đó ngầm gán cho chúng những tính chất khác nhau trong quá trình lập luận. Người đầu tiên cố gắng chỉ sử dụng những tính chất đã có trong định nghĩa ban đầu là Dirichlet. Trong các bài viết của mình về chuỗi Fourier, ông đã chứng minh sự hội tụ đối với trường hợp hàm số liên tục và hàm số đơn điệu theo bộ phận. Khái niệm hàm số Dirichlet dần dần thay thế biểu thức giải tích Euler trong sách giáo khoa. 1.2. Định nghĩa của Cauchy về các khái niệm cơ bản của giải tích 1.2.1. Biến và hằng Đại lượng biến thiên là đại lượng có thể nhận các giá trị liên tục khác nhau. Ngược lại, đại lượng hằng số là đại lượng nhận một giá trị cố định (Cauchy 1821, 19). 1.2.2. Giới hạn Khi các giá trị liên tiếp của cùng một biến tiến đến gần vô hạn một giá trị cố định, giá trị cuối cùng này được gọi là giới hạn của nó. (Cauchy 1821, 19), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN6 http://www.lrc.tnu.edu.vn
Transl. (Fauvel; Gray 1987, 566) 1.2.3. Đại lƣợng vô cùng bé Khi các giá trị liên tiếp của cùng một biến giảm vô hạn sao cho nó có thể nhỏ hơn số đã cho tuỳ ý, thì biến này được gọi là vô cùng bé hoặc đại lượng vô cùng bé. 1.2.4. Liên tục Giả sử f ( x) là hàm của biến x và giả sử rằng với mỗi giá trị của x giữa hai giới hạn đã cho, hàm này luôn luôn nhận một giá trị duy nhất và hữu hạn. Nếu đối với một giá trị của x giữa những giới hạn này, khi x tăng một lượng vô cùng nhỏ  , hàm số thay đổi bởi hiệu f ( x   )  f ( x) (1.1) nó phụ thuộc đồng thời vào biến mới  và giá trị của x . Khi đó hàm f ( x) sẽ là hàm liên tục nếu, đối với mỗi giá trị của x hiệu f ( x   )  f ( x) (1.2) giảm vô hạn cùng với  . Nói cách khác, hàm f ( x) liên tục đối với x giữa các giới hạn đã cho nếu giữa những giới hạn này, khi biến thay đổi vô cùng bé thì hàm thay đổi vô cùng bé. (Cauchy 1821, 43). 1.2.5. Hội tụ Chuỗi là một loạt vô hạn các đại lượng u0 , u1, u2 , u3 ,... (1.3) mà mỗi cái nối tiếp nhau theo một quy luật nhất định. Các đại lượng là những số hạng của dãy. Cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN7 http://www.lrc.tnu.edu.vn
sn  u0  u1  u2  ...  un1 (1.4) là tổng của n số hạng đầu tiên, trong đó n là một số nguyên tùy ý. Nếu tổng sn tiến đến một giới hạn nhất định S khi n tăng vô hạn, thì chuỗi được gọi là hội tụ, và giới hạn ở trên được gọi là tổng của dãy. Ngược lại, nếu tổng sn không tiến tới một giá trị cố định khi n tăng vô hạn, thì chuỗi là phân kỳ và nó không có tổng. (Cauchy 1821, 114) 1.2.6. Đạo hàm Giả sử đối với hàm số y  f ( x) liên tục giữa hai giới hạn nhất định của biến x , một số gia vô cùng bé của biến kéo theo một sự tăng vô cùng nhỏ của hàm số. Chẳng hạn, nếu ta cho  x  i , thì tử số và mẫu số của thương y f ( x  i )  f ( x)  (1.5) x i đều sẽ là vô cùng bé. Nhưng trong khi các số hạng đồng thời cùng tiến tới 0, tỷ lệ có thể hội tụ đến một giới hạn nào đó, dương hay âm. Giới hạn này, khi nó tồn tại thì nó có một giá trị nhất định đối với mỗi giá trị cụ thể của x . Dạng của f ( x  i )  f ( x) hàm số mới, là giới hạn của tỷ lệ , sẽ phụ thuộc vào dạng đã i cho của hàm số y  f ( x) . Để cho thấy sự phụ thuộc này, chúng ta gọi hàm mới là đạo hàm và chúng ta ký hiệu nó bởi y hoặc f ( x) . (Cauchy 1823, 22), 1.2.7. Tích phân Giả sử rằng hàm số y  f ( x) là liên tục đối với các biến x giữa hai giới hạn hữu hạn x  x0 , x  X . Ta kí hiệu x1, x2 ,..., xn1 là các giá trị mới của x giữa các giới hạn đó và ta giả sử rằng nó luôn tăng hoặc luôn giảm giữa giới hạn thứ nhất và giới hạn thứ 2. Ta có thể sử dụng các giá trị để phân chia hiệu X  x0 thành các thành phần Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN8 http://www.lrc.tnu.edu.vn
x1  x0 , x2  x1, x3  x2 ..., X  xn1 (1.6) Một khi điều này đã được thực hiện, ta hãy nhân mỗi phần tử với giá trị của f ( x) tương ứng vào phía bên trái của phần tử đó: Nghĩa là, x1  x0 sẽ được nhân với f ( x0 ) , x2  x1 với f ( x1 ) … và cuối cùng, X  xn1 với f ( xn1 ) Giả sử S   x1  x0  f ( x0 )   x2  x1  f  x1   ...   X  xn1  f ( xn1 ) (1.7) là tổng của các tích. Đại lượng S phụ thuộc vào 1: số n của các yếu tố được chia từ hiệu X  x0 ; 2: giá trị của các yếu tố này. Cần thấy rằng nếu các giá trị số của những yếu tố này trở nên rất nhỏ và số n rất lớn, sự phân chia này có tác động đến giá trị của S . Nếu chúng ta cho các giá trị số của các yếu tố giảm trong khi số lượng của chúng tăng lên, thì giá trị cuối cùng của S sẽ được hình thành. Nói cách khác, cuối cùng nó đạt đến một giới hạn nhất định, phụ thuộc duy nhất vào hàm f ( x) , và các giá trị các cận x0 , X của biến x . Giới hạn này được gọi là tích phân xác định (Cauchy 1823, 122-124), Transl. (Grabiner 1981, 171 và 174). 1.3. Cauchy và Cours d’analyse Augustin-Louis Cauchy được đào tạo kỹ sư tại Ecole Polytechnique (Trường Bách Khoa) và École des Fonts et Chaussées (Trường cầu đường) ở Paris, nhưng chỉ làm việc trong nghề này một vài năm. Sau khi khôi phục chế độ quân chủ vào năm 1815, ông bắt đầu dạy giải tích ở Ecole Polytechnique, và năm sau, ông đã trở thành một thành viên của Academie des Sciences. Ông là người ủng hộ trung thành của chế độ quân chủ Bourbon, vì vậy sau cách mạng năm 1830, ông tự nguyện đi đày ải lần đầu tiên ở Torino, và sau đó ở Prague, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN9 http://www.lrc.tnu.edu.vn
nơi ông dạy toán học cho con trai của Charles X đã bị truất ngôi. Năm 1838 ông trở về Paris, nhưng ông phải chờ đợi đến cuộc cách mạng tiếp theo (1848) mới có được một vị trí giảng dạy mới. Cauchy đã viết năm sách giáo khoa và hơn 800 bài báo, và cùng với Euler, ông là nhà toán học hiệu quả nhất. Ông có những đóng góp quan trọng đối với các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết hàm số phức, đại số, lý thuyết sai số, cơ học thiên thể và vật lý toán, đặc biệt là lý thuyết đàn hồi và quang học. Ông đã có những đóng góp cho nền tảng của giải tích liên quan đến mười lăm năm giảng dạy của mình tại Ecole Polytechnique. Vào lúc bắt đầu của thời kỳ này, chương trình đòi hỏi trước khi giảng dạy vi phân và tích phân, giáo viên cần trình bày cái được gọi là “giải tích đại số”, ít nhiều theo sách Introductio của Euler. Cauchy đã công bố bản thảo của ông, là một phần của giáo trình trong năm 1821. Nó mang tiêu đề Cours d'Analyse de l’ecole royale Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique (Giáo trình giải tích của trường Bách khoa. Phần một. Giải tích đại số). Các năm sau khi nó được xuất bản, chương trình đã trải qua những thay đổi lớn và một phần của Cours d'Analyse đã được giảm đi rất nhiều, và cuối cùng biến mất hoàn toàn. vào năm 1829 Lecons sur le calcul différentiel (Bài giảng phép tính vi phân). Cauchy không phải là một nhà giáo thành công. Hầu hết sinh viên không đánh giá cao phong cách rất lý thuyết của ông, và thậm chí đồng nghiệp và cấp trên của ông thường chỉ trích ông đã đi quá sâu. Nhưng chính là thông qua sách giáo khoa, Cauchy nổi tiếng là người khởi xướng phong trào hướng tới sự chặt chẽ. Thoạt nhìn, các định nghĩa của những khái niệm cơ bản của giải tích của Cauchy, theo quan điểm hiện đại, thì có vẻ dài dòng, mơ hồ và đặc biệt không chặt chẽ. Ông bỏ qua các đại lượng như  ,  , N , và trong nhiều trường hợp, bỏ qua bất đẳng thức của chúng. Tuy nhiên, như đã được chỉ ra cụ thể bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN10 http://www.lrc.tnu.edu.vn
Grabiner (Grabiner 1981), tất cả những yếu tố này đều có mặt khi Cauchy bắt đầu sử dụng khái niệm của mình để chứng minh. Điều này hoàn toàn khác với những người đi trước. Ví dụ, Euler đã định nghĩa hàm số liên tục Euler như các hàm số được đưa ra bởi một biểu thức giải tích và đã bao hàm rằng các phép toán áp dụng được đối với các hàm như vậy. Tuy nhiên, các phép toán có thể không áp dụng được cho các hàm Euler không liên tục. Cauchy đã định nghĩa một khái niệm mới về liên tục, nó được đánh giá cao hơn theo nghĩa đã tác động một cách chính xác trong một số chứng minh, ví dụ như, sự tồn tại của tích phân và các nghiệm của phương trình hàm. Mặc dù vậy, vẫn còn một sự không xác định trong một số định nghĩa của Cauchy và một số vấn đề trong chứng minh của ông chỉ được giải quyết bằng sự phát triển tiếp theo dựa trên các ý tưởng của ông. Grattan-Guinness cho rằng Cauchy “đánh cắp” một số ý tưởng từ bài viết của Bolzano năm 1817. Tuyên bố này đã bị một số nhà sử học bác bỏ. Có điểm tương đồng trong các công trình Euler, Lagrange, Lacroix, Poisson và Cauchy, cho thấy nguồn gốc tự nhiên của các khái niệm, định lý. Euler dường như đã có ý kiến rằng, tất cả các biểu thức đại số có một ý nghĩa tự nhiên cho tất cả các giá trị phức của các biến. Tuy nhiên, Cauchy nhấn mạnh rằng biểu thức giải tích chỉ có nghĩa trong miền đã định nghĩa nó. Nếu chúng ta muốn mở rộng các biểu thức giải tích ra ngoài miền định nghĩa, thì một định nghĩa mới là cần thiết. Cauchy nhấn mạnh điều này trong trường hợp chúng ta muốn mở rộng một hàm số thực đến miền phức. 1.3.1. Biến và giới hạn Cauchy đã tách minh ra khỏi Euler trong định nghĩa của ông về các đại lượng biến thiên. Euler đã định nghĩa nó như là một đại lượng không xác định hoặc một đại lượng nói chung chứa tất cả các giá trị xác định không loại trừ giá Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN11 http://www.lrc.tnu.edu.vn
trị nào. Các biến của Cauchy nhận một số giá trị khác nhau, nhưng không nhất thiết là tất cả các giá trị; nghĩa là chúng có thể được giới hạn trong một khoảng nào đó. Đặc biệt biến của Cauchy có thể có giới hạn. Ví dụ ta xét định lý sau đây: Định lý 1.3.1.1. Nếu f ( x) là hàm số dương với mọi giá trị của x và tỉ lệ f ( x  1) f ( x) hội tụ đến giá trị k khi x tiến ra vô cùng, thì biểu thức [f ( x)]1/ x cũng sẽ hội tụ đến giá trị đó. (Cauchy 1821, 58) Ở đây ta không có nghi ngờ gì về ý nghĩa của các thuật ngữ, đặc biệt là nếu chúng ta đọc chứng minh sau: Chứng minh: Ta giả sử rằng k là dương và có giá trị hữu hạn và cho  là một số đủ nhỏ. Từ các giá trị tăng của x ta có tỉ số f ( x  1) f ( x) hội tụ đến k , cho h là số có giá trị rất lớn và giá trị x bằng hoặc lớn hơn h , thì ta nói tỉ số trên luôn luôn nằm giữa các giới hạn k , k   (Cauchy 1821, 59) Như đã nhấn mạnh bởi Grabiner, Cauchy đã chứng minh nó với tất cả các đại lượng  , N và bất đẳng thức, những định nghĩa của ông, và ta thấy rằng ở đây ít nhất nó cũng phù hợp với các khái niệm hiện đại về giới hạn. D’Alembert (và cả Newton) đã xây dựng các phép toán trên các khái niệm giới hạn (hình học) quan trọng hoặc các biến, nhưng Cauchy đã làm sáng tỏ các ý Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN12 http://www.lrc.tnu.edu.vn
tưởng trước đó và thậm chí là thay đổi cả chúng. Cần phải nói rằng khái niệm về giới hạn của Cauchy khác với khái niệm hiện đại trong ít nhất một khía cạnh nào đó; Cauchy đôi khi cho phép một biến (hoặc một chuỗi) có nhiều hơn một giới hạn. Ví dụ, các công thức kiểm tra gốc của ông đối với chuỗi có các số hạng dương như sau (theo các ký hiệu của (1.3) và (1.4)): Định lý 1.3.1.2 Xét các giới hạn theo hướng của biểu thức (un )1/ n khi n tăng đến vô cùng và ký hiệu k là giá trị lớn nhất của những giới hạn này, hay nói cách khác, giới hạn có giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho ở trên. Dãy (1.3) sẽ hội tụ nếu k  1 , và phân kỳ nếu k  1 . (Cauchy 1821, 121) 1.3.2. Đại lƣợng vô cùng bé Cauchy viết rằng một biến có giới hạn là 0 thì biến đó trở thành vô cùng nhỏ. Điều này sinh ra một vấn đề mở rằng đại lượng như thế nào là vô cùng nhỏ (đại lượng rất nhỏ). Tuy nhiên, trong phần tiếp theo Cauchy đã thừa nhận rằng một biến có xu hướng tiến đến 0 là vô cùng bé; ví dụ: “Cho  là đại lượng vô cùng bé, đó là một biến mà giá trị số của nó giảm vô hạn đến 0” (Cauchy 1821, 38). Vô cùng bé được Cauchy sử dụng trong cuốn Cours d’Analyse và trong các cuốn sách giáo khoa khác. Cauchy thừa nhận sự đơn giản của vô cùng nhỏ nhưng không định nghĩa lại chúng. Các định nghĩa của Euler và Leibniz về vô cùng nhỏ là các hằng số, nhưng Cauchy đã định nghĩa chúng như các biến của một loại cụ thể. 1.3.3. Liên tục Khái niệm mới nhất và có lẽ quan trọng nhất trong Cours d'analyse là khái niệm về tính liên tục, nó khác với các khái niệm của Euler đã được chấp nhận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN13 http://www.lrc.tnu.edu.vn
một cách rộng rãi về tính liên tục. Khái niệm Euler là đại số và có đặc trưng toàn cục; khái niệm của Cauchy là những gì chúng ta có thể gọi là topo và có đặc trưng địa phương. Định nghĩa Euler về tính liên tục, mặc dù phổ biến rộng rãi, không được sử dụng một cách nhất quán. Ví dụ, Lagrange đã gán cho một tính chất của hàm liên tục mà giống với định nghĩa sau này của Cauchy. Lagrange đã bắt đầu với sự gia tăng các biến phụ thuộc và yêu cầu một sự gia tăng tương ứng của biến độc lập. Vì thế, ông thậm chí còn gần hơn đến việc xây dựng các công thức so với Cauchy. Fourier cũng đã sử dụng một tính chất tương tự như của Cauchy. Như vậy Cauchy đã thấy rằng thay vì những tính chất liên tục theo Euler, việc hàm có hoặc không có bước nhảy là quan trọng trực tiếp khi ta chứng minh định lý về các hàm số. Cauchy cho rằng sự gián đoạn có thể xảy ra tại một điểm, còn sự liên tục xảy ra trong một khoảng (có thể là trong một lân cận của một điểm). Bằng cách này Cauchy giữ lại một số ý tưởng trực quan và triết học về sự liên tục (thực ra, nó là không rõ ràng về tính chất liên tục và liên tục của hàm số tại một điểm). Trong những năm gần đây người ta đã tranh luận về tính chính xác của những định nghĩa Cauchy về liên tục. Cauchy đã đưa ra hai định nghĩa, định nghĩa thứ nhất không sử dụng vô cùng nhỏ, và định nghĩa thứ hai sử dụng vô cùng nhỏ. Định nghĩa đầu tiên nói rằng f ( x   ) – f ( x) tiến tới 0 đồng thời với  . Định nghĩa thứ hai không nói về một giá trị cụ thể của x , mà về sự gia tăng của “hàm số”. Điều này có thể được hiểu như là sự liên tục đều. a Cauchy đã không viết hàm số là liên tục trong khoảng  0,  (điều này sẽ x là sai lầm nếu liên tục có nghĩa là liên tục đều). Thay vào đó, ông đã viết rằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN14 http://www.lrc.tnu.edu.vn