CHUYÊN Đ 1: LŨY TH A – HÀM S MŨ , HÀM S LOGARITỀ Ừ Ố Ố
A/ LÝ THUY TẾ
Lũy th a th a v i s mũ nguyên ừ ừ ớ ố
Đ nh nghĩa: ịan =
. ...
n thuaso
aa a
, a ∈ R, n ∈ N*.
Khi a ≠ 0 ta có a0 = 1 , a-n =
1
n
a
, a-1 =
1
a
Tính ch t: v i a,b ấ ớ ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
. ; . ( )
;
( )
m n m n n n n
n
m n
m n
n n
n m mn
a a a a b ab
a a a
a
a b b
a a
+
−
= =
= =
=
Căn b c nậ:
•
m
n m
n
a a=
;
=
.
;
mn m n
a a
( )
= ;
mn m
n
a a
•
•
n
n n
n
a n chan
a
a n le
=
Tínhch tấ :
+ a > 1: m > n ⇒ am > an
+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ am < an
+ 0 < a < b * ax < bx khi x > 0 ;
* ax > bx khi x < 0
HÀM S LOGARITỐ:
1. Đ/n : y = logax ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*+ ; TGT:
R
logax = y ⇔ ay = x
N u : a > 1 HS: đ ng bi n trên R*ế ồ ế + ;
N u: 0 < a < 1 HS ngh ch bi n trên R*ế ị ế +
2. Công th cứ v logarit : ề0 < a ≠ 1
•loga1 = 0; logaa = 1;
•
log ;
x
a
a x=
log
a
x
a x=
( x > 0)
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
x x x x= +
, ( x1,x2 > 0 )
11 2
2
log log log
a a a
xx x
x= −
, (x1,x2 > 0 )
log log
n
a a
x n x=
(x > 0)
log
log log
a
b
a
x
xb
=
(x,b > 0 )
log .log log
a b a
b x x=
1
log log
a
b
ba
=
a
1
log .log x
a
x
α
α
=
Gi i pt mũả :
Đ a v d ng c b n :ư ề ạ ơ ả
* ax = ab ⇔ x=b đk: 0 < a ≠ 1
* ax = c (*)
N u c ế≤ 0 (*) vô nghiêm
N u c > 0 thì aếx = c ⇔
a
x=log c
Đ a v cùng m t c s :ư ề ộ ơ ố
( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a a f x g x
a
=⇔ =
< ≠
Đ t n ph : t= aặ ẩ ụ x ( đk t > 0) đ a v pt đ i sư ề ạ ố
v i n t .ớ ẩ
Dùng PP: Logarit hóa 2 v theo c s a.ế ơ ố
Đóan nghi m và CM nghi m đó duy nh t.ệ ệ ấ
B ng ph ng pháp đ th ằ ươ ồ ị
Gi i pt Logarit ả
Đ a v d ng c b n :ư ề ạ ơ ả
* logax = logab ⇔ x = b đk (0 < a ≠ 1 , b> 0)
* logax = c ⇔ x= logac đk (0 < a ≠ 1 )
Đ a v cùng m t c s d ng :ư ề ộ ơ ố ạ
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
Đk: g(x) ≥ 0 ; 0 <a ≠ 1
Gpt: f(x)=g(x)
Đ t t = logặax đ a pt đ i s v i n ư ạ ố ớ ẩ t
Đoán nghi m và CM nghi m đó duy nh t.ệ ệ ấ
B ng ph ng pháp đ th ằ ươ ồ ị
B t pt mũ :ấB t pt Logarit :ấ
- Bi n đ i đ a v ế ổ ư ề
D ng ạ 1 : af(x) >ag(x) (*) (0<a ≠1)
+ N u a>1 thì (*) ế⇔ f(x) > g(x)
+ N u 0<a<1 thì (*) ế⇔ f(x) < g(x)
D ngạ 2 : af(x) >c (0<a ≠1)
+ N u a>1 thì (*) ế⇔ f(x) > logac
+ N u 0<a<1 thì (*) ế⇔ f(x) < logac
-Có th đ t n ph ể ặ ẩ ụ
-Bi n đ i đ a vế ổ ư ề
D ng ạ 1 :logaf(x) >logag(x) (*) (0<a ≠1)
+ N u a>1 thì (*)ế⇔ f(x) > g(x)
+ N u 0<a<1 thì (*)ế⇔ f(x) > g(x)
D ngạ 2 : logaf(x) > c (*) (0<a ≠1)
+ N u a>1 thì (*)ế⇔ f(x) > ac
+ N u 0<a<1 thì (*)ế⇔ f(x) < ac
-Có th đ t n phể ặ ẩ ụ
1
B/ BÀI T P ÁP D NG:Ậ Ụ
I. LU TH A – HÀM S MŨ:Ỹ Ừ Ố
1.Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)
b)
c) ( )– 10.27 – 3 + (0,2)– 4.25– 2
d)
e) –
f)(x.a–1 – a.x –1). –
2.Tính các bi u th c sau:ể ứ
a)
2:22.2
53
b)
33
8.2.4
c)
16
11
a:aaaa
d)
2
1
3 3
a:a.a.a
e)
5
43
2
x.x.x
f)
53
b
a
.
a
b
g)
5152
53
3.2
6
++
+
g)
1
2
1
2
1
23)23()23(23
−
−++
−−+
h)
24 2123
2.2.4
−−−+
l)
2212221 5).525( −−+ −
3.Cho hai s a ,b > 0.Tính các bi u th c sau:ố ể ứ
a)
2
4
3
4
3
)a3a2(
+
−
b)
)aa)(aa)(aa(
5
1
5
2
5
4
5
2
5
2
5
1
−−−
−++
c)
)1aa)(1aa)(1aa(
44
+−+++−
d)
a1
)a1)(a1(
aa
2
1
2
1
2
1
+
−−
++
−
−
e)
)aa(a
)aa(a
4
1
4
3
4
1
3
2
3
1
3
4
−
−
+
+
f)
66
3
1
3
1
ba
abba
+
+
g)
)abba)(ba( 3
3
2
3
2
33 −++
h)
+++
33
3
1
3
1
a
b
b
a
2:)ba(
i)
1
3
1
1
22
22
4334
)ba(:
)ba(a
)ba(b3
)ba(
bab2a
aabbaa
−
−
−
+
−
−
++
++
+++
4.Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)A =
)52)(25104(
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
++−
b) B =
2
1
2
1
2
1
2
1
yx
x.yy.x
−
−
c) C =
ab
ba
)ba)(ba(
2
1
2
1
4
3
4
3
4
3
4
3
−
−
+−
d) D =
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
ax
ax
.)ax(
ax
ax
−
−
+
−
−
e) E =
)ba(:
ba
ba
b.aa
ba
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
3
−
+
−
−
+
−
f) F =
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
aa
a34a
a3a2
a9a4
−
+−
+
−
−
−
−
−
−
g)G =
2
1
2
1
2
2
3
2
1
2
1
2
aa
a1
a
2
aa
aa
−
−
−
−
+
−
−−
−
−
h) :
5.Cho bi tế 9x + 9– x = 23 ,hãy tính 3x + 3– x
6.Cho f(x) = Ch ng minh r ng n u a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1ứ ằ ế
II. HÀM S LÔGARIT: Ố
1.Tính
2
3
2164log
;
3
3
1327log
;
5
2328log
;
3
aaalog
; log3(log28) ;
3log
8
2
;
2log7
49
;
10log3 5
25
;
7log2 2
64
;
3log2 2
4+
;
8log3 10
10
; (
5log3 2
)25,0(
2. Ch ng minh r ngứ ằ
5
1
3
15log3
=
2
blog
ba
a
=
3.Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)
36log.3log 3
6
b)
81log.8log 4
3
c)
3
252 2log.
5
1
log
d) f)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
4.Cho log23 = a ; log25 = b.Tính các s sau: logố2,log2
3135
, log2180, log3, log1524,
30log 10
5. a)Cho log53 = a, tính log2515 b) Cho log96 = a , tính log1832
6.Cho log2 = a , log27 = b,tính log56
7.Cho log615 = a ,log1218 = b , tính log2524
8.Cho log257 = a ,log25 = b hãy tính
95
49
log 8
9. Ch ng minh r ngứ ằ log186 + log26 = 2log186.log26
10.Cho a2 + b2 = 7ab a > 0, b > 0,ch ng minh r ng : logứ ằ 7() = ( log7 a + log7b )
11.Cho a2 + 4b2 = 12ab a > 0, b > 0,ch ng minh r ng: log(a + 2b) – 2log2 = ( loga + logb )ứ ằ
12.Cho x2 + 4y2 = 12xy x > 0,y > 0, Ch ng minh r ng logứ ằ 3(x + 2y) – 2log32 = (log2x + log2y).
13.Cho log1218 = a , log2454 = b ,ch ng minh r ng ab + 5(a – b) = 1ứ ằ
14.So sánh các c p s sau:ặ ố
a) log43 và log56 b)
5log
2
1
và
3log
5
1
c) log54 và log45 d) log231 và log527
e) log59 và log311 f) log710 và log512
15.Tìm mi n xác đ nh c a các hàm s sau:ề ị ủ ố
a)y = log6 b) y = c) y =
III. Đ o hàm c a hàm lu th a – hàm s mũ – hàm s lôgarit:ạ ủ ỹ ừ ố ố
Tính đ o hàm c a các hàm s sau:ạ ủ ố
1. y = (5x2 – 4)ln3x
2. y =
41x+
. lnx6
3. y = (x + 2) ln
1
1x+
4. y =
4
ln( 1)x
x
+
5. y =
5 3 2
x
e−
6. y =
3 4
ln 2x
7. y =
5 2
sin x
8. y =
4
os 5c x
e
9. y =
5
5
log (cotx)
10. y = x2
41
x
e+
11. y = (x2 + 2) e2x
12. y = xlnx - xln5
13. y =
1
2
xlnx – xln2
14. y = (x2 – 2x + 2)ex
15. y = (sinx – cosx) e2x
16. y = 2x -
x
e
17. y = (3x + 1) e
IV. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ:
1.
13 86
2=
+− xx
2. 3
3x – 1 = 9x + 2
3.
xx
−−
=
)
2
25,0
(4.125,0
82
4.
23 2
2 4
x x− + =
5. 4x = 82x – 1
16. 9x + 6x = 2.4x
17. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 =
0
18.
022 64312 =− −++ xx
19.
1444
7325623
222
+=+
+++++−
xxxxxx
30.
2 3 1
x
x= +
31. 3x+1 + 3x-2 - 3x-3 +
3x-4 = 750
32. 3..25x-2 + (3x -
10)5x-2 + 3 - x = 0
33.5x + 5x +1 + 5x + 2 =
3
6. 3
4 – 2x =
2
5 3
9x x− −
7.
5008.5
1
=
−
x
x
x
8.
4 6
5x−
= 252x – 4
9.
3 4
3x−
= 92x – 2
10.
24 2
2 3
x x− −
=
11.
2
8
x
x+
= 36. 32 –x
12. 5x .
2 1
1
2
x
x
−
+
= 50
13. 3x .
2
8
x
x+
= 36
14. 3x-1 .
2
2x
= 8. 4x - 2
15. 52x-1+5x+1 - 250 = 0
20.
1
12
3
1
3
3
1+
+
xx
= 12.
21.
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
22.
1099 22 cossin =+ xx
23.
( ) ( )
43232 =++−
xx
24.
( ) ( ) ( ) ( )
3243234732
+=−+++
xx
25.
( )
05232.29
=−+−+
xx
xx
26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4
- 5x+3
27. 6. 4x - 13.6x +
6.9x = 0
28. 76-x = x + 2
29.
( ) ( )
43232
=++−
xx
3x + 3x + 3 - 3x +11
34.
3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2
35. 2x+2x-1+2x-2=7x+7x-
1+7x-2
36.
2442
)
2
5
()
5
2
(
−−
=
xx
37.
033.43
24
=+−
xx
38.
33,0.2
100
3
2
+=
x
x
x
39.
363.2 =
xx
40.
xxx
)22()154()154(
=++−
41.
xxx
)5()23()23( =++−
42.
3
2)125(7)215(
+
=++−
xxx
V. PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT:
1.
( ) ( )
5 5 5
log x log x 6 log x 2
= + − +
2.
5 25 0,2
log x log x log 3
+ =
3.
( )
2
x
log 2x 5x 4 2
− + =
4.
2
x 3
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+
+ − + =
−
5.
1.lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18
2
− + + = +
6.
1 2 1
4 lgx 2 lgx
+ =
− +
7.
2 2
log x 10log x 6 0+ + =
8.
3
log log 9 3
x
x+ =
9. 1/.
3
log log 9 3
x
x+ =
10/.
22
2
log 3.log 2 0x x− + =
11/.
( )
( )
5 5 5
1
.log 3 log 3 2 log 3 4
x x
x
+
+ − = −
12/.
( )
( )
2
3 3
log 5 log 2 5x x x
− − = +
13/.
2
3 3
log log
3 6
x x
x+ =
14/.
2
2 2 2 2
log 3.log 2 log 2x x x
− + = −
15/.
2 3 3 2 3
log .log .log 3 log 3logx x x x x x x+ + = + +
16/.
( ) ( )
3 2
3.log 2 2.log 1x x+ = +
18. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0
19.
022 64312 =− −++ xx
20.
1
12
3
1
3
3
1
+
+
xx
= 12.
21.
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
22.
1099 22 cossin =+ xx
23.
( ) ( )
43232 =++−
xx
24.
( ) ( ) ( ) ( )
3243234732
+=−+++
xx
25.
( )
05232.29
=−+−+
xx
xx
26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3
27. 6. 4x - 13.6x + 6.9x = 0
28/.
( ) ( )
2
22
log 4 log 2 5x x− =
16/.
( ) ( )
3 27 27 3
1
3
log log log logx x+ =
29/.
3 3
log 2 4 logx x+ = −
30/.
2 3 3 2
log .log 3 3.log logx x x x
+ = +
4