Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,

LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA

VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

LĂNG THỊ THÀNH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,

LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA

VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả

nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Lăng Thị Thành

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................ i

MỤC LỤC ......................................................................................................................... ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .......................................... iii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ ............................................................................. iv

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1

1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................... 2

3. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................... 3

4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................... 3

5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 3

6. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................... 3

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................ 4

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán ....................................................................................... 4

1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................... 4

1.1.2. Kỹ năng giải toán .................................................................................................... 5

1.2. Thực trạng của việc dạy và học phương trình mũ, logarit ở trường THPT ......... 7

1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT .......................... 7

1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở trường

THPT .................................................................................................................................. 8

1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một số

trường THPT ................................................................................................................... 12

1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phương trình

mũ, logarit ở trường THPT ........................................................................................... 15

1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học ........................ 15

1.3.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức một cách máy móc hoặc áp dụng

không chính xác .............................................................................................................. 18

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

1.3.3. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận ........................................................... 20

1.3.4. Sai lầm khi chuyển đổi bài toán .......................................................................... 21

1.3.5. Sai lầm do cảm nhận trực quan ........................................................................... 22

1.4. Tiềm năng rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT thông qua dạy học

chủ đề phương trình mũ và logarit ............................................................................... 23

1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................................. 27

Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN RÈN

LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHO HS

THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM ................... 28

2.1. Định hướng đề xuất các biện pháp sư phạm ........................................................ 28

2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải phương trình

mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm ....... 31

2.2.1. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức “nền” cho HS......................................... 31

2.2.2. Tạo cơ hội để HS được thử thách thường xuyên với những bài toán

chứa sai lầm trong lời giải ............................................................................................. 36

2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải .. 43

2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit dựa vào các tư

tưởng chủ đạo của tư duy hàm.......................................................................... 52

2.3. Kết luận chương 2 .................................................................................................. 59

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................... 60

3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................................... 60

3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................ 60

3.3. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................. 60

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................................ 60

3.3.2. Phương pháp thực nghiệm................................................................................... 61

3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 61

3.4.1. Phân tích định lượng ............................................................................................ 61

3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................................ 68

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

iii

3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................................. 69

KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 70

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ................................. 71

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 72

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT Viết tắt Viết đầy đủ

1 GV Giáo viên

2 HS Học sinh

3 Nxb Nhà xuất bản

4 SGK Sách giáo khoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

iii

5 THPT Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học ................ 6161

Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm ........................................................ 6565

Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả ................................................................... 6565

Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học ....... 12

Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm ......... 13

Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải PT mũ và logarit ........ 14

Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả ............................................................... 15

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm .................................................... 65

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả .............................................................. 66

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, sự phát triển nhanh chóng của khoa học và

công nghệ đang đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động. Để thực hiện

sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong bối cảnh hội nhập quốc tế, người

lao động phải năng động, sáng tạo, có trình độ, có kiến thức chuyên môn và kỹ

năng thành thạo. Chuẩn mực của người giỏi ngày nay được “đo” bằng năng lực

chuyên môn, năng lực giải quyết các vấn đề. Đây là những phẩm chất không

phải có sẵn ở mỗi con người mà nó được hình thành và phát triển trong quá

trình giáo dục.

Học sinh (HS) Trung học phổ thông (THPT) là những người đang trưởng

thành, chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội. Việc

trang bị cho các em những kỹ năng, những phẩm chất của người lao động ngay

từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường là hết sức cần thiết. Luật Giáo dục năm

2005 [14]: “Phương pháp dạy học phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi

dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng

vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,

hứng thú học tập cho HS”.

Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong

những tình huống điển hình. Nội dung kiến thức môn Toán cần trang bị cho HS

không chỉ bao gồm các khái niệm, định lí mà còn bao gồm các kỹ năng, phương

pháp, mà giải bài tập toán chính là phương tiện không thể thiếu trong việc giúp

HS nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Thực tế cho thấy kỹ năng giải

toán của HS còn nhiều hạn chế. Mà một trong những biểu hiện có thể kể đến đó

là HS còn mắc phải nhiều sai lầm khi giải. Có những sai lầm do HS chưa nắm

vững kiến thức cơ bản, xét thiếu trường hợp, hoặc cũng có những sai lầm rất tinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

vi... Trước những sai lầm đó, GV cần phải kịp thời phát hiện để sửa chữa, uốn

nắn ngay trong giờ học. Mặt khác, GV cũng cần phải xem xét, dự đoán trước

những sai lầm mà HS có thể mắc phải. HS sẽ học được rất nhiều và nhớ rất lâu

kiến thức khi học qua các sai lầm, đồng thời cũng rèn luyện cho HS tính cẩn

thận, kiên trì, nhẫn nại trong cuộc sống. Như vậy, việc khắc phục và sửa chữa sai

lầm cho HS là cần thiết và có thể thực hiện được.

Hiện nay, nội dung phương trình mũ và logarit được đưa vào chương

trình lớp 12 THPT. Từ khi ra đời, hàm số mũ và logarit đóng vai trò là một

công cụ đơn giản hóa các phép tính nhân, chia và khai căn thành các phép tính

đơn giản hơn. Theo tiến trình phát triển của lịch sử, lý thuyết về mũ và logarit

ngày càng hoàn thiện và ứng dụng của nó ngày càng được làm rõ nét. Ví dụ

logarit được biết đến trong ứng dụng giải phương trình, bất phương trình mũ,

đếm số các chữ số của một số nguyên dương, đo độ PH của dung dịch, độ lớn

của âm thanh... hoặc hàm số mũ dùng để mô tả một số hiện tượng trong vật lý

như biểu diễn định luật phân rã phóng xạ… Nội dung phương trình mũ và

logarit trong chương trình toán phổ thông hiện hành với hệ thống bài tập khá

phong phú và mức độ khó dễ khác nhau, đây là một lĩnh vực có thể khai thác để

phân tích làm rõ những sai lầm mà HS có thể mắc phải nhằm rèn luyện kỹ năng

giải toán, phát triển tư duy cho HS trong quá trình dạy học. Mặc dù đã có nhiều

công trình nghiên cứu liên quan, nhưng đây vẫn là vấn đề cần được tiếp tục

nghiên cứu cả về phương diện lý luận và triển khai trong thực tiễn dạy học.

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn

luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc

phát hiện và sửa chữa sai lầm”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu xác định vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS

và phân tích một số sai lầm thường mắc phải của HS khi giải phương trình mũ

và logarit. Từ đó, đề xuất một số biện pháp sư phạm để hạn chế và khắc phục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

những sai lầm này nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS.

3. Giả thuyết khoa học

Nếu làm sáng tỏ được những sai lầm và đề xuất được một số biện pháp

sư phạm thích hợp để hạn chế, khắc phục sai lầm cho HS thì có thể giúp HS

nâng cao kỹ năng giải toán, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn

toán ở trường phổ thông.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải phương

trình mũ và logarit.

- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS

thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm khi giải phương trình mũ và logarit.

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của giả thuyết

khoa học.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu một số tài liệu

về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.

- Phương pháp điều tra, quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy học nội

dung phương trình mũ và logarit tại một số trường THPT thông qua hình thức

dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp GV.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số

trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu

đã đề xuất. Xử lý các số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học.

6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội

dung của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng

giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa

chữa sai lầm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán

1.1.1. Kỹ năng

Theo từ điển Tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến

thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [19].

Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ

liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện

những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lý luận hay thực hành xác định” [18].

Theo nhà tâm lí học Liên Xô K.K.Platơnôp: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là

sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương

thức hành động”.

“Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở

bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ

thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp” [25].

Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác

nhau về kỹ năng. Dù phát biểu theo góc độ nào, hầu hết chúng ta đều thừa nhận

rằng kỹ năng được hình thành khi chủ thể áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Để sở

hữu kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm

hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến năng lực của chủ thể

thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết để đạt

được mục đích đã định. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng.

Để hiểu rõ hơn về kỹ năng, cần phân biệt kỹ năng với một số dấu hiệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

gần giống kỹ năng:

- Kỹ năng khác phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi trường.

Phản xạ mang tính thụ động. Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý thức và

mang tính chủ động.

- Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một

cách vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách có

ý thức qua quá trình luyện tập.

- Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa từng

làm. Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức.

1.1.2. Kỹ năng giải toán

a) Khái niệm

“Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng

minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được” [24].

Theo tác giả Hoàng Chúng: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri

thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh…)” [3].

Như vậy, cơ sở của kỹ năng giải toán là các tri thức toán học, khi giải

một bài toán tức là thực hiện một hệ thống hành động có mục đích. Do đó, chủ

thể hành động cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện theo các yêu

cầu cụ thể của tri thức đó. Kỹ năng giải toán của HS có thể hiểu là khả năng

vận dụng có mục đích những tri thức, kinh nghiệm đã có vào giải những bài

toán cụ thể, thực hiện một hệ thống hành động để tìm ra lời giải bài toán một

cách khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá

trình hoạt động.

b) Một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS

Để tìm hiểu về một số biểu hiện của kỹ năng giải toán của HS, cần lưu ý

một số đặc điểm của kỹ năng như sau:

- Kỹ năng là mặt kỹ thuật của một hay một nhóm hành động nhất định.

Khi nói đến kỹ năng là nói đến hành động đúng đắn, thành thạo nhất định,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

không có kỹ năng chung chung, tách rời hành động.

- Thành phần của kỹ năng bao gồm: tri thức, kinh nghiệm, quá trình thực

hiện hành động, sự kiểm soát và hiệu chỉnh trực tiếp của ý thức, kết quả của

hành động.

- Tiêu chuẩn xác định sự hình thành và mức độ phát triển của kỹ năng là

tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và kết hợp nhịp nhàng, ăn khớp với

các hành động. Hành động còn vụng về sẽ chưa thể trở thành kỹ năng.

Kỹ năng giải toán của HS biểu hiện qua hoạt động giải bài tập toán và

được biểu hiện:

- Có tri thức về hành động đó.

- Kỹ năng phân tích, tổng hợp: HS cần có kỹ năng phân tích bài toán,

thiết lập mối liên hệ và phụ thuộc giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, liên

hệ với những tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả và

nhanh nhất.

- Kỹ năng thực hành: Sau khi đã phát hiện cách giải, HS cần phải tính

toán cẩn thận, chính xác. Sau đó sắp xếp các bước giải và trình bày một cách

khoa học, phải thể hiện từng bước rõ ràng, mạch lạc.

- Kỹ năng vận dụng các quy tắc suy luận logic, các định lý, tính chất, hệ

quả, mệnh đề… Yêu cầu HS vận dụng linh hoạt, chính xác, tránh máy móc.

- Kỹ năng vẽ hình, vẽ đồ thị hàm số.

- Nhóm kỹ năng tư duy: tư duy logic, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo.

- Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng này giúp HS

nắm được bản chất kiến thức đã học, biết vận dụng kiến thức Toán vào giải

quyết các vấn đề trong cuộc sống, gây hứng thú học tập cho HS. Tránh tình

trạng hiểu vấn đề một cách hình thức, xa rời với thực tiễn.

- Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề: Trong cuộc trò chuyện với

GS Ngô Bảo Châu, GS Đàm Thanh Sơn chia sẻ: “Có lẽ trong ngành khoa học

nào cũng vậy, muốn thành công ít nhất phải có hai kỹ năng: tìm ra vấn đề hay

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

và giải quyết được vấn đề.”

- Kỹ năng tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải và tránh sai lầm khi

giải toán. Theo Polya “Con người phải biết học ở những sai lầm và những

thiếu sót của mình”. Trong giải bài tập toán, việc phát hiện sai lầm và sửa chữa

sai lầm đó là một thành công của người học toán. Do vậy, GV cần giúp HS có

khả năng và thói quen tự kiểm tra, tự đánh giá lời giải sau mỗi bài tập. Việc

hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh cho HS sẽ góp phần

nâng cao chất lượng dạy và học.

c) Nhu cầu phát triển kỹ năng giải toán cho HS ở trƣờng THPT

Trong dạy học môn Toán, dạy học giải bài tập được xem là một trong

những tình huống điển hình. Chất lượng giải toán sẽ phản ánh rõ nhất trình độ

học toán của HS. Vì vậy, hoạt động rèn luyện kỹ năng giải toán là hoạt động

không thể thiếu của HS.

Thực tế có không ít HS gặp khó khăn khi lĩnh hội một số khái niệm, định

lí. HS có thể học thuộc nhưng không giải thích được đầy đủ, chính xác ý nghĩa

và bản chất của nó. Việc nắm kiến thức và kỹ năng thiếu vững chắc là nguyên

nhân dẫn đến vận dụng một cách máy móc, không biết hướng vận dụng hoặc

mắc phải sai lầm trong quá trình vận dụng. Hơn nữa, các bài toán đưa ra

thường được trừu tượng hóa hoặc bị che lấp bởi một số yếu tố nhằm đánh lạc

hướng tư duy của HS. Do vậy, HS cần có cách nhìn linh hoạt, sáng tạo trước

một bài toán cụ thể.

Sở hữu kỹ năng thành thạo sẽ giúp HS làm việc độc lập, sáng tạo không

chỉ trong nội bộ môn toán, mà còn có ứng dụng trong các ngành khoa học khác

và trong thực tiễn đời sống.

1.2. Thực trạng của việc dạy và học phƣơng trình mũ, logarit ở trƣờng THPT

1.2.1. Nội dung phương trình mũ, logarit trong chương trình THPT

Trong chương trình THPT, theo phân phối chương trình chuẩn lớp 12,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

nội dung phương trình mũ và logarit được thực hiện cụ thể như sau:

Phân phối Tên bài dạy Nội dung chương trình

Tiết 31, 32 I. Phương trình mũ, - Nêu dạng phương trình cơ bản.

phương trình logarit - Giúp HS nhận dạng và giải được

Bài tập phương trình mũ và logarit cơ bản.

Tiết 33, 34 II. Phương trình mũ, - Hướng dẫn HS giải phương trình mũ

phương trình logarit và logarit bằng một số phương pháp

Bài tập được đề cập. Bước đầu giúp HS nhận

dạng, giải thành thạo những phương

trình mẫu mực.

- Tạo cơ hội cho HS vận dụng các tính

chất của hàm số mũ và logarit để giải

những bài toán không mẫu mực.

Tiết 11, 12 Bài tập phương trình - Hệ thống lý thuyết, phân dạng bài tập.

(tự chọn) mũ, logarit - Luyện tập giải các phương trình mẫu

mực lẫn phương trình không mẫu mực.

- Có thể mở rộng, đưa vào thêm một số

phương pháp giải mà trong sách chưa đề

cập tới, chẳng hạn dùng bất đẳng thức.

1.2.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề phương trình mũ, logarit ở

trường THPT

a) Về kiến thức

- HS nắm vững khái niệm phương trình mũ và logarit cơ bản, nắm vững

những đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm. Chẳng hạn phương trình mũ cơ

bản nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Nắm được những khái niệm có liên quan: nghiệm phương trình, tập

nghiệm, phép biến đổi tương đương, hệ quả… Thông qua đó, củng cố và đào

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

sâu một số kiến thức về tập hợp và logic toán, cụ thể: khái niệm tập hợp, phần

tử, quan hệ bao hàm, các phép toán tập hợp, các phép toán logic “kéo theo” và

“tương đương”.

Ví dụ 1.1: Phép chuyển đổi từ phương trình

sang phương trình gọi là phép mũ hóa và phép chuyển từ (2)

sang (1) gọi là phép logarit hóa. Căn cứ vào định nghĩa và tính chất của hàm số

mũ và hàm số logarit, qua những ví dụ cụ thể cần cho HS thấy rõ: phép mũ hóa

làm mở rộng tập nghiệm và phép logarit hóa làm thu hẹp tập nghiệm, hay nói

cách khác (2) là hệ quả của (1).

b) Về kỹ năng

Tùy thuộc vào từng “mảng” kiến thức, từng nội dung môn học, có nhiều

kiểu phân chia kỹ năng phù hợp. Đối với chủ đề phương trình, ta cần rèn luyện

cho HS những kỹ năng thuộc về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể

kể ra một số kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính toán: Trước hết, cần phải khẳng định học toán gắn liền

với tính toán. Yêu cầu tính chính xác, nhanh, ngắn gọn là những yêu cầu cơ

bản, đầu tiên để học tốt môn Toán. Đồng thời, kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng

quan trọng trong thực tế của đời sống, sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi

giải toán phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, đặc biệt với các

bài toán chứa tham số với mức độ yêu cầu cao, khó và trừu tượng thì chỉ cần

tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần rèn luyện cho HS

khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, cần rèn luyện khả năng tính toán theo

những hướng sau:

+ Đặc biệt chú ý những kỹ năng nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả trong

trường hợp không dùng máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ước chừng…

+ Về mặt tính viết: Không cần thiết phải bỏ công sức cho HS tập luyện

tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

+ Từ bỏ việc tính toán với những phương tiện đã lỗi thời.

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải phương trình

thể hiện ở các mặt sau:

+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: Việc tính nhẩm và tính nhanh

rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (có thể trực tiếp nhẩm ra đáp số

mà không cần viết ra giấy) hoặc những bài toán chứa căn thức biến đổi đưa về

hằng đẳng thức (tính nhanh)…

+ Nhớ những số hay dùng, có thể nhớ máy móc hay nhớ theo quy luật

chẳng hạn: Bình phương các số từ 1 đến 20; các số lập phương từ 1 đến 10; các

giá trị log2, log3, log5, , … để thuận lợi khi giải phương trình mũ

và logarit.

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho HS, cần chú ý rèn luyện

cho HS các đức tính như cẩn thận, kiên trì, nhanh trí, tiến tới thói quen tính

toán chính xác. Đồng thời có thể đề ra nhiều cách giải khác nhau để HS có cơ

hội tính toán linh hoạt đa dạng, tìm ra những cách giải ngắn và độc đáo.

- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu mực, nhận dạng và giải thành

thạo các phương trình cơ bản hoặc quy về dạng cơ bản, giải phương trình theo

thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định. Kỹ năng phân tích,

tổng hợp để tìm ra mối liên hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm, linh hoạt

vận dụng tri thức đã có để tìm ra phương pháp giải đúng và nhanh nhất.

Ví dụ 1.2: Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất,

ta làm như sau:

Đặt và . Ta thấy f(x) là hàm số luôn đồng biến trên

và g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên nên phương trình có

nhiều nhất một nghiệm trên . Nhận thấy là một nghiệm của phương

trình đã cho nên phương trình có nghiệm duy nhất là .

- Kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kết hợp rèn luyện và nắm

vững một số phương pháp giải phương trình mũ, logarit thường gặp. Kỹ năng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

giải phương trình nói chung.

- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Nhiều HS thắc mắc giải toán phương trình tại

sao cần dùng đến đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ cần khi học nội dung

“hàm số”. Thực ra, nhiều bài toán giải phương trình, nhất là những bài toán

biện luận số nghiệm khi giải bằng phương pháp này thì sẽ nhận được kết quả

nhanh chóng và trực quan. HS cần biết cách giải phương trình bằng phương

pháp đồ thị để thấy mối liên hệ giữa phương trình và hàm số.

Ví dụ 1.3: Giải phương trình:

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

Ta có nhận xét: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của 2

đồ thị hàm số: và

Vẽ đồ thị 2 hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ (Hình 1.1).

Hình 1.1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Dựa vào hình vẽ, ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.

- Kỹ năng suy luận, chứng minh: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán

phương trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán. Để đưa

ra những suy luận, HS phải dựa vào những đặc điểm, nhận thức, dự đoán, phân

tích riêng của bản thân khi gặp những dạng toán chưa có sẵn cách giải.

c) Về tƣ duy

- HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình

theo thuật giải hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xác định.

- HS được rèn luyện về tính linh hoạt, khả năng sáng tạo, đặc biệt là khi

giải những phương trình không mẫu mực.

- HS được rèn luyện tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỉ luật trong khi giải những

phương trình theo thuật giải, công thức hoặc theo hệ thống quy tắc biến đổi xác định;

được giáo dục về tính cẩn thận, chính xác và thói quen tự kiểm tra lời giải.

1.2.3. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề phương trình mũ, logarit ở một

số trường THPT

a) Đối với GV

Việc tìm hiểu, phân tích thực tế dạy và học nội dung phương trình mũ và

logarit là việc làm rất cần thiết. Điều đó giúp chúng tôi có thêm cơ sở để xác

định đúng đắn các yêu cầu cũng như biện pháp sư phạm đặt ra trong luận văn. Để

tìm hiểu về thực trạng dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit ở trường THPT,

chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát phiếu thăm dò ý kiến của GV dạy toán (30

GV) thuộc các trường: THPT Cao Lộc (Huyện Cao lộc, tỉnh Lạng Sơn), THPT

Việt Bắc (thành phố Lạng Sơn), THPT Mê Linh (Đông Hưng, Thái Bình).

Nội dung tổng hợp từ phiếu điều tra được thể hiện trong biểu đồ sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Biểu đồ 1.1. Mức độ sử dụng các tình huống chứa sai lầm trong dạy học

Biểu đồ 1.2. Thái độ học tập của HS trước những bài toán chứa sai lầm

Chúng tôi cũng đã tiến hành phỏng vấn một số GV. Chúng tôi xin trích

dẫn một đoạn phỏng vấn cô giáo Nguyễn Thị Hương, GV Toán trường THPT Cao

Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn như sau:

- Hỏi: Cô vui lòng cho biết, khi học nội dung phương trình mũ và logarit,

HS có hay mắc phải sai lầm không và đó là những sai lầm gì?

- Cô Hương: Qua thực tế dạy học, tôi thấy khi học nội dung này HS

thường mắc sai lầm (ngay cả với những HS khá giỏi). Một số sai lầm thường

mắc phải như: không chú ý đến điều kiện khi biến đổi, áp dụng công thức một

cách máy móc, áp dụng sai, sáng tác ra các công thức mới…

- Hỏi: Theo cô, nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó là gì?

- Cô Hương: Theo tôi, đó là do HS không hiểu bản chất, không nắm chắc

phần kiến thức đó. Khi cần áp dụng, không thể nhớ chính xác mà lại không có

phương pháp để kiểm tra lại. Có lẽ thế mà trong bài kiểm tra tôi thường gặp

một số công thức mới do các em tự “sáng tác” ra.

- Hỏi: Theo cô, việc tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để thử thách

HS có tác dụng giúp HS phòng tránh và hạn chế được sai lầm hay không, và cô có

thường xuyên sử dụng biện pháp này trong quá trình giảng dạy hay không?

- Cô Hương: Tôi có sử dụng biện pháp này trong bài giảng và đúng là có

tác dụng tích cực. Nhưng chủ yếu chỉ thực hiện được với những đối tượng HS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

khá giỏi vì mất khá nhiều thời gian, còn những HS trung bình và kém hơn tôi

chú trọng cho các em cách áp dụng các tính chất và cách giải phương trình. Nói

chung, biện pháp này chỉ thỉnh thoảng được sử dụng.

Tổng hợp kết quả từ phiếu điều tra của GV, chúng tôi rút ra một số nhận

xét như sau:

- Trong dạy học, GV có chú ý tạo ra các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để

thử thách HS và phần lớn HS có phản ứng tích cực, tiếp thu tốt bài giảng. Tuy

nhiên, vì số lượng tiết dạy ít, nên hầu như GV e ngại việc sử dụng một số phương

pháp dạy học tích cực, mở rộng các dạng bài tập mới, nâng cao vì mất nhiều thời

gian, mà chỉ dừng lại ở những bài tập thuần túy, có thể nhìn thấy ngay cách giải.

Điều đó chưa thật sự gây được ấn tượng, hứng thú học tập cho HS.

- Cũng có GV tham vọng chữa được một số lượng bài tập lớn nên đã trở

thành người hướng dẫn, đưa ra lời giải, HS nghe và “chép” lời giải. HS không trực

tiếp hoạt động, tiếp xúc với những khó khăn ngay trên lớp để được giải đáp. Việc

đó vô tình khiến cho HS chỉ tiếp thu thụ động, không có dấu ấn về bài học.

- Bên cạnh đó, lại có GV tham vọng đưa vào bài học hệ thống bài tập đa

dạng. Điều này dẫn đến thực trạng là một bộ phận HS chưa kịp luyện tập thành

thạo, nắm vững những kỹ năng cơ bản đã phải đối mặt với một vấn đề mới

không vừa sức. Điều này vi phạm nguyên tắc dạy học “Đảm bảo sự thống nhất

giữa tính vừa sức chung và tính vừa sức riêng trong dạy học”.

b) Về phía HS

Để tìm hiểu về tình hình học tập của HS, chúng tôi đã tiến hành điều tra 83

HS lớp 12, trường THPT Cao Lộc, huyện Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn. Kết quả thu

được từ phiếu điều tra được thể hiện thông qua biểu đồ 1.3 và biểu đồ 1.4 sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Biểu đồ 1.3. Tỉ lệ HS mắc sai lầm thường gặp khi giải phương trình mũ và logarit

Từ thực tiễn tìm hiểu tại một số trường THPT cho thấy chất lượng dạy và học

nội dung phương trình mũ và logarit chưa cao. Vẫn còn bộ phận HS chưa thực sự chủ

động lĩnh hội kiến thức, vẫn còn trông chờ, phụ thuộc quá nhiều về phía GV, chủ yếu

học qua bài giảng của GV và tham khảo nội dung bài trong sách giáo khoa (SGK).

Đây là nội dung HS rất dễ mắc sai lầm, mà GV thì e ngại hoặc khó khăn

trong việc tìm ra những biện pháp để khắc phục. Thực tế đó cho thấy cần thiết

phải nghiên cứu, tìm ra những biện pháp thích hợp nhất để khắc phục dần

những khó khăn, nâng cao chất lượng dạy và học nội dung này.

Khi hỏi HS về tác dụng của việc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm

thường xuyên mắc phải, chúng tôi thu được kết quả như sau:

Biểu đồ 1.4. Biểu đồ đánh giá kết quả

1.3. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS khi giải phƣơng

trình mũ, logarit ở trƣờng THPT

1.3.1. Sai lầm do không nắm vững nội hàm các khái niệm toán học

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện thông qua các giai

đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số

mũ vô tỉ. Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa dựa trên lũy thừa với

số mũ nguyên dương. Định nghĩa này hoàn toàn tự nhiên, phù hợp với các công

thức đã biết, đặc biệt là công thức . Lũy thừa với

số mũ hữu tỉ được định nghĩa thông qua khái niệm căn bậc n của một số dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

“Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử , trong đó m

là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số

mũ r là số xác định bởi ”. Theo định nghĩa này thì lũy thừa

với số mũ hữu tỉ luôn biểu diễn được qua căn bậc n. Tuy nhiên không phải lúc

nào căn bậc n của một số cũng có thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, nó

chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là một số dương. Do đó, nếu không

chú ý đến điều kiện của cơ số thì HS sẽ dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển

đổi một biểu thức từ căn bậc n sang lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ.

Ví dụ 1.4: Không được viết .

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với

số mũ vô tỉ và giới hạn của một dãy lũy thừa. HS phải thừa nhận hai điều, đó

là: tồn tại giới hạn của dãy và giới hạn không phụ thuộc vào dãy . Sau

đó, SGK chỉ đưa ra ví dụ để minh họa chứ không có bài tập nào đề cập đến bản

chất của định nghĩa. Điều này làm cho HS gặp khó khăn khi tiếp nhận định

nghĩa, HS chỉ biết làm việc tính toán trên lũy thừa với số mũ vô tỉ nhưng không

hiểu được bản chất của nó.

Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, lũy thừa với số mũ thực

không được liệt kê mà được nêu là “có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số

mũ nguyên”. Điều đó cũng gây khó khăn nhất định đối với HS, nhất là đối với

HS yếu kém vì các tính chất về cơ bản là giống nhau, nhưng phạm vi cơ số đã

bị thu hẹp. Do đó, HS thường gặp sai lầm trong quá trình vận dụng.

Ví dụ 1.5: Giải phương trình:

HS giải như sau: Phương trình đã cho tương đương với:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Kết luận phương trình có 2 nghiệm là .

Phân tích lời giải: Sai lầm trong lời giải trên là khi đưa phương trình về dạng

cơ bản , HS đã kết luận mà quên mất điều kiện của cơ số.

Lời giải đúng: Phương trình đã cho tương đương với:

. Vậy phương trình có một nghiệm

Định nghĩa logarit được trình bày như sau: “Cho a là một số dương khác

1 và b là một số dương. Số thực để được gọi là logarit cơ số a của b

và kí hiệu là , tức là ”. Logarit được định nghĩa thông

qua khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Từ định nghĩa, ta rút ra 2 chú ý rất quan

trọng mà HS sẽ phải luôn chú ý khi giải phương trình, đó là:

i) Không có logarit của số 0 và số âm.

ii) Cơ số của logarit phải dương và khác 1.

Nhưng trên thực tế, HS rất hay quên điều kiện này.

Ví dụ 1.6: Giải phương trình sau:

HS giải như sau:

Điều kiện:

Ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

So sánh với điều kiện, phương trình có một nghiệm là .

Phân tích lời giải: Trong lời giải này, do HS chưa nắm rõ bản chất của

biểu thức lấy logarit nên đã mắc sai lầm khi biến đổi về logarit cơ

số 2. Vì vậy, ngay từ khi nêu định nghĩa, GV cần phải nhấn mạnh để HS thấy

rõ điều kiện của biểu thức lấy logarit cũng như cơ số của logarit và giải thích

tại sao lại có điều kiện đó.

Lời giải đúng:

So sánh với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là .

1.3.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức một cách máy móc hoặc áp

dụng không chính xác

Trong khi giải toán có thể HS luôn trong tư thế sẵn sàng vận dụng các

định lý, công thức nhưng trong quá trình biến đổi còn vụng về hoặc quên xem

xét liệu giả thiết bài toán có nằm trong phạm vi áp dụng của định lý, công thức

đó hay không? Vì vậy, HS vẫn thường mắc sai lầm mà không phát hiện ra.

Ví dụ 1.7: Giải phương trình

HS giải như sau:

Điều kiện:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Phương trình đã cho tương đương với:

. Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là

Phân tích lời giải: Lời giải trên của HS mắc phải sai lầm khi áp dụng

công thức biến đổi và . Bước

biến đổi đã làm thu hẹp điều kiện của phương trình.

Chúng tôi đã giao bài tập này cho 42 HS lớp 12A1 và nhận được 23 lời

giải mắc sai lầm như trên. Đa số HS đều dễ dàng liên tưởng đến công thức biến

đổi logrit của một tích và logarit của một thương, nhưng lại không chú ý đến

điều kiện để biến đổi. Áp dụng định lí theo chiều từ trái qua phải có vẻ dễ dàng

hơn đối với đa số HS, cũng giống như khi dạy học các hằng đẳng thức đáng

nhớ, HS có thể dễ dàng khai triển theo chiều thuận, nhưng lại tỏ ra lúng túng

khi cần thu gọn lại một biểu thức nào đó.

Lời giải đúng: Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

So sánh kết quả 2 lời giải, có một số HS sẽ cho rằng đây là hai cách giải.

Với 55% HS mắc phải sai lầm này, đây là một con số không nhỏ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Hơn nữa, HS cũng rất hay nhầm lẫn một số công thức sau:

Biểu thức sai Biểu thức đúng

và

Đôi khi, sai lầm này xuất hiện dưới dạng HS vận dụng một cách máy

móc những công thức “tự sáng tác” ra như:

1.3.3. Sai lầm liên quan đến khả năng suy luận

Suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp. Đó là quá trình tư

duy, xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới.

Một số quy tắc suy luận thường dùng là:

a) Tam đoạn luận khẳng định:

b) Tam đoạn luận phủ định:

c) Tam đoạn luận lựa chọn: hoặc

d) Tam đoạn luận có điều kiện (giả định):

Do không nắm vững kiến thức logic, HS mắc phải sai lầm về luận cứ,

nghĩa là sai lầm do HS căn cứ vào một điều không chính xác.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Ví dụ 1.8: Giải phương trình:

HS giải như sau: Điều kiện

Vậy, phương trình có 1 nghiệm

Phân tích lời giải: Ta đã biết, nếu thì , nhưng

ngược lại chưa hẳn đã đúng. Với lời giải trên, HS đã phạm phải sai lầm khi căn

cứ vào điều ngược lại chưa chính xác ấy.

Lời giải đúng: Điều kiện , phương trình tương đương với:

Lấy logarit hai vế của phương trình, ta được:

1.3.4. Sai lầm khi chuyển đổi bài toán

Ví dụ 1.9: Tìm m để phương trình

vô nghiệm.

, t > 0.

HS giải như sau: Đặt Phương trình trở thành: t2 – 2mt + 3m – 2 = 0 (2).

Để phương trình (1) vô nghiệm thì phương trình (2) phải vô nghiệm.

Điều kiện để (2) vô nghiệm là: ’ = m2 - 3m + 2 < 0 1 < m < 2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm khi 1 < m < 2.

Phân tích lời giải: Bài toán trên có hai sai lầm:

- Thứ nhất: Sau khi đặt ẩn phụ, HS có thói quen áp dụng điều kiện t > 0

với t = ax. Trong bài toán này, đặt thì điều kiện t > 0 chỉ là điều kiện

hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là t ≥ 2. Điều kiện này đặc biệt quan

trọng cho lớp bài toán có chứa tham số.

- Thứ hai: Sai lầm đáng nói trong bài toán này là HS chuyển đổi bài toán

không chuẩn. Cụ thể là: Bài toán yêu cầu tìm m để phương trình ẩn x vô nghiệm,

nhưng HS lại chuyển yêu cầu đó thành phương trình ẩn t vô nghiệm. Trong trường

hợp này, GV cần phân tích để HS thấy rõ: Nếu phương trình ẩn t vô nghiệm thì

phương trình ẩn x vô nghiệm. Nhưng ngược lại, nếu phương trình ẩn x vô nghiệm

thì chưa chắc phương trình ẩn t đã vô nghiệm, mà ta cần phải xét đến điều kiện của t.

Do đó, để phương trình đã cho vô nghiệm, ta cần xét:

Khả năng 1: Phương trình ẩn t vô nghiệm.

Khả năng 2: Phương trình ẩn t có nghiệm nhưng mọi nghiệm của phương

trình đều nhỏ hơn 2.

1.3.5. Sai lầm do cảm nhận trực quan

Ví dụ 1.10: Giải phương trình

HS giải như sau: Điều kiện:

Ta có:

Phân tích lời giải: Lời giải chứa sai lầm do HS viết: ,

cách viết đúng phải là .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Lời giải đúng:

Đặt . Phương trình trở thành: , có

nên phương trình ẩn t vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Sai lầm trên đôi khi còn ở dạng: mà cách viết

đúng phải là:

Những sai lầm trên không phải chỉ xảy ra đối với các đối tượng HS yếu

kém, mà ngay cả những đối tượng là HS khá giỏi cũng có thể mắc phải.

1.4. Tiềm năng rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT thông qua dạy

học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó trong quá trình dạy học

đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.

Một trong những chức năng đó là chức năng dạy học, rèn luyện kỹ năng làm

bài. Kỹ năng này bao gồm phương pháp phân tích để tìm ra lời giải, kỹ năng

trình bày lời giải bài toán, kỹ năng tính toán. Trong quá trình làm bài, nếu HS

sơ suất một số chỗ, bỏ qua một số bước, tính toán ẩu, thiếu điều kiện… thì đều

dẫn đến kết quả không mong muốn. Vì vậy, có những bài toán rất cơ bản, thoạt

nhìn đã thấy cách giải nhưng vẫn có HS làm sai.

Để học tốt môn Toán, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ không thể thiếu của

người học. Vì vậy, trong bất cứ nội dung nào, hệ thống bài tập đưa ra đều có

dụng ý sư phạm rèn luyện cho HS những kỹ năng trên. Nội dung phương trình

mũ và logarit cũng là một trong những “mảnh đất nhiều tiềm năng” có thể khai

thác để hình thành kỹ năng giải toán cho HS. Cụ thể:

- Kỹ năng phân tích đề bài, liên hệ với hệ thống kiến thức cũ, quy lạ về

quen để tìm ra phương pháp giải đúng đắn, hiệu quả. Thông qua giải bài tập,

HS khái quát hóa toán học và đưa ra phương pháp giải cho dạng đó.

Ví dụ 1.11: Giải các phương trình sau:

(1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

(2)

Lời giải.

1) Ta có (1)

Chia cả 2 vế cho ta được: .

Đặt , ta có:

Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm .

2) Ta có (2)

Chia cả 2 vế cho ta được:

Đặt , ta có:

Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm .

Sau khi giải 2 phương trình trên, HS có thể khái quát hóa cách giải

phương trình dạng:

Và sau đó, đưa kiến thức này vào hệ thống phương pháp giải phương

trình, hệ phương trình đẳng cấp đã biết.

- Vận dụng các công thức, định lý chính xác, suy luận logic có căn cứ.

Ví dụ 1.12: Giải phương trình

So sánh 2 lời giải sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Lời giải 1 Lời giải 2

Hai cách giải trên đều cho nghiệm đúng của phương trình. Nhưng lời giải

1 đã dựa vào một căn cứ không chính xác.

Ta đã biết, nếu , nhưng chưa chắc đã suy ra được

điều ngược lại. Ví dụ sau sẽ làm rõ điều đó.

Ví dụ 1.13: Giải phương trình .

Ta cũng so sánh 2 lời giải sau:

Lời giải 1 Lời giải 2

Điều kiện: . Điều kiện: .

(thỏa mãn)

- Rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo, vận dụng các kiến thức khác nhau

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

để giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.14: Giải phương trình

Điều kiện:

Cách 1:

(thỏa mãn điều kiện)

Cách 2: Ta có: .

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

(thỏa mãn điều kiện)

Cách 3: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

(thỏa mãn điều kiện)

Với kỹ năng nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp HS tư

duy linh hoạt, sáng tạo, đưa ra những lời giải ấn tượng, độc đáo. Đây là một kỹ

năng quan trọng giúp HS phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, thoát li khỏi

những kiến thức thông thường. Trong cuộc sống, giúp cho HS tự tin, rèn luyện

đức tính kiên trì, nhẫn nại, lao động sáng tạo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Xét ví dụ với lời giải khá ấn tượng sau:

Theo bất đẳng thức Bernoulli:

Nếu thì

Ta có: khi và chỉ khi

Giải ra, ta được phương trình có 4 nghiệm là .

- Ngoài ra, nội dung này cũng giúp HS rèn luyện kỹ năng làm bài, trình

bày lời giải khoa học, đúng đắn, tính toán cẩn thận, chính xác. Kỹ năng tính

toán rất quan trọng trong một lời giải. Sau khi định hướng được cách giải, cần

phải tính toán cẩn thận, có những tính toán nhầm rất lạ lùng như , hoặc

tính toán nhầm do dùng sai công thức như trong mục 1.3 đã nêu.

1.5. Kết luận chƣơng 1

Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề mang tính lý luận

liên quan đến kỹ năng giải toán của HS THPT. Đưa ra và phân tích một số khó

khăn, sai lầm mà HS thường mắc phải khi giải phương trình mũ và logarit. Từ

nghiên cứu lý luận và tìm hiểu tình hình thực tiễn, có thể thấy sự cần thiết và có

thể xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm giúp đỡ nâng cao kỹ năng giải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

toán cho HS.

Chƣơng 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN

KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHO HS THPT

THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

2.1. Định hƣớng đề xuất các biện pháp sƣ phạm

Định hƣớng 1: Tôn trọng, bám sát nội dung chƣơng trình SGK hiện hành

SGK là tài liệu học tập chính thống của HS, đảm bảo cung cấp cho HS

những kiến thức chuẩn nhất, phù hợp với bậc học, cấp học. Trong những năm

gần đây, thực hiện phương thức tuyển sinh 3 chung của Bộ giáo dục và đào tạo

với nguyên tắc của việc ra đề là không đánh đố, không quá khó, quá phức tạp

và bám sát kiến thức trong SGK hiện hành. Vì vậy, trong dạy học cần phải bám

sát nội dung chương trình và chuẩn kiến thức đã quy định.

Định hƣớng 2: Giúp HS lĩnh hội tri thức, đặc biệt là tri thức phƣơng

pháp, góp phần rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS

Yêu cầu của lí luận dạy học hiện đại là không những truyền thụ tri thức

sự vật cho HS mà còn phải coi trọng đặc biệt việc truyền thụ tri thức phương

pháp. Bởi vì phương pháp là những cái gì còn lại khi chúng ta đã quên đi

những kiến thức đã học. Đứng trước một vấn đề cụ thể, nếu có được hệ thống

tri thức phương pháp đầy đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành các hoạt động tìm tòi,

khám phá tri thức mới.

Định hƣớng 3: Đảm bảo tính khả thi, góp phần đổi mới phƣơng

pháp dạy học

“Khả thi” theo Từ điển Tiếng Việt nghĩa là khả năng thực hiện. Một biện

pháp sư phạm có tính khả thi, theo người viết phải khả thi với 2 nhóm đối

tượng là GV và HS. Nếu không khả thi với GV thì mục đích của việc đề xuất

biện pháp sư phạm không đạt được. Nếu không khả thi với đối tượng HS thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

biện pháp đưa ra không có ý nghĩa và không đem lại giá trị thực tiễn.

Trên quan điểm chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông là

chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển

toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Phương pháp dạy và học cần khắc

phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực,

chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, tập trung

dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm “giảng ít, học nhiều”.

Trong quá trình giảng dạy, GV cần phải sắp xếp lại nội dung, cấu trúc bài giảng

sao cho phù hợp với các đối tượng, vùng miền khác nhau.

Định hƣớng 4: Đảm bảo các yêu cầu về tính giáo dục, tính kịp thời,

tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS

Tính kịp thời. Môn toán ở nhà trường phổ thông bao gồm một hệ thống

các tri thức có mối quan hệ hữu cơ, biện chứng với nhau: Tri thức trước chuẩn

bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả như những mắt

xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ. Chính vì vậy, nếu không kịp thời phát

hiện và sửa chữa sai lầm thì sẽ gây ra tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm”. “Kịp

thời” có thể hiểu là không chậm trễ, vừa đúng lúc đang cần đến. Nếu không

ứng phó kịp thời, để sự việc qua lâu mới giải quyết thì sẽ không phát huy được

tác dụng. “Sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng

tăng bấy nhiêu” [17].

Tính kịp thời đòi hỏi sự nhanh nhạy của GV trước các tình huống điển

hình nhằm tác động đúng hoạt động học của HS. GV phải nghiên cứu và dự

đoán được các sai lầm của HS ở từng giai đoạn giải toán, từng giờ lên lớp, từng

thời điểm của năm học.

Tính chính xác. Tại sao Toán học cần có ký hiệu đặc biệt và vốn từ

vựng chuyên ngành? Đó là vì Toán học cần sự chính xác hơn lời nói thường

ngày. Các nhà Toán học gọi sự chính xác này của ngôn ngữ và logic là “tính

chặt chẽ”; phải mẫu mực về phương pháp, tư duy; lời giải phải chính xác cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

từng bài toán, đặc biệt là trong khi chỉ ra và sửa chữa sai lầm của HS.

GV cần phải diễn đạt chính xác ngôn ngữ toán học, các kí hiệu toán học.

Tính chính xác đòi hỏi GV phải đánh giá đúng mức độ sai lầm của HS, không nên

nhấn mạnh sai lầm của HS quá mức. Chẳng hạn, khi HS viết thì

thông thường GV cho rằng đây là một sai lầm nghiêm trọng về kiến thức cơ bản.

Tuy nhiên, đối với một số HS (nhất là HS yếu kém) thì có khi đó là sự vô ý gây nên.

Do đó, cũng nên tùy đối tượng HS mà GV đánh giá sai lầm.

GV đánh giá lời giải của HS phải công bằng, đón trước được tư duy của HS

trong mỗi bài giải. Ta hiểu “đánh giá” theo nghĩa không chỉ là việc cho điểm mà

bao gồm các kiểu xác nhận, nhận xét bằng lời, đồng tình hay không đồng tình. Sự

đánh giá của thầy phải đúng mức, có cơ sở vững chắc và công bằng. Cơ sở quan

trọng để đánh giá HS là bằng bài kiểm tra (miệng hay viết) nhưng cũng cần căn cứ

vào quá trình theo dõi HS. Hai HS có cùng điểm nhưng cũng có thể nhận được

những đánh giá khác nhau. Mục đích của việc này là để cho HS thấy được mục

đích của việc kiểm tra, đánh giá không chỉ ở chỗ HS nhận được một điểm số mà

điều quan trọng là qua đó chỉ cho HS thấy được chỗ mạnh, chỗ yếu của mình, chỗ

nào đã nắm vững, chỗ nào còn “hổng” để khắc phục.

Tính giáo dục. Tính giáo dục giúp HS có ý chí trong học tập, có tinh thần

vượt khó, kiên trì và cẩn thận để đi đến lời giải đúng. Ý chí trong học tập chiếm

một vị trí vô cùng quan trọng, nó thể hiện ở việc xác định đúng mục đích, động cơ

học tập. Tính giáo dục giúp HS có thói quen tốt như: tự kiểm tra lời giải của mình,

không giấu dốt, không gian lận để có được lời giải đúng, tích cực suy nghĩ để

chiếm lĩnh tri thức… Tính giáo dục giúp HS thấy được mọi sai lầm đều có thể sửa

chữa nếu tìm ra nguyên nhân và có ý chí khắc phục.

Để khắc phục sai lầm, GV cần phải có sự kiên trì, nhẫn nại, không ngại

khó, kịp thời biểu dương, khích lệ khi HS đã sửa chữa được sai lầm nhưng

không được nóng vội trong việc thực hiện các biện pháp nhằm chấm dứt ngay

sai lầm của HS, vì có những sai lầm đòi hỏi phải trải qua một quá trình lâu dài,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

phối hợp đồng thời nhiều biện pháp thì mới khắc phục được. Tính giáo dục

trong dạy học đòi hỏi người GV phải có năng lực và phẩm chất xứng đáng là

người thầy. Tuyệt đối không vì HS mắc sai lầm mà xúc phạm đến nhân cách

HS như Disterweg yêu cầu người thầy giáo phải hiểu tâm lý HS, dựa trên cơ sở

tâm lý của HS, “nguyên tắc đó là ngôi sao Bắc Đẩu của nền tảng sư phạm,

chung quanh nó quay tròn tất cả các phương pháp, tất cả các cách thức giáo

dục, đó là ý tưởng mà chúng ta luôn hướng tới” [5].

2.2. Một số biện pháp sƣ phạm nhằm phát triển kỹ năng giải phƣơng trình

mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

2.2.1. Trang bị đầy đủ, chính xác kiến thức “nền” cho HS

Như chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa từ

những đặc trưng cho số lượng và hình dạng của đối tượng. Có những khái niệm

toán học là kết quả của sự trừu tượng những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng

cũng có những khái niệm nảy sinh từ sự trừu tượng những cái đã trừu tượng

trước đó. Điều này gây ra cho HS những khó khăn trong việc hình dung khái

niệm một cách trực giác và có thể dẫn đến hiểu sai bản chất của khái niệm. Do

vậy, mặc dù HS có thể trả lời chính xác các câu hỏi, nêu đúng các định lý, công

thức… nhưng các em vẫn có thể nhầm lẫn trong việc vận dụng sự hiểu biết đó

vào những bài toán cụ thể.

Kiến thức nền là những tri thức nền tảng, làm “bàn đạp” để tiếp thu những

tri thức khoa học khác. Nội dung kiến thức nền phải đáp ứng được những yêu cầu

chung nhất, có thể vận dụng linh hoạt trong các bài toán cụ thể và trong các hoạt

động thực tiễn. Trong bài giảng, kiến thức nền là những khái niệm, định lý, hệ

quả, công thức liên quan trực tiếp đến bài học. Xuất phát từ thực trạng hiện nay,

kiến thức nền của người học vẫn còn “lỗ mỗ”, “hổng” hoặc không có trong khi

kiến thức nền có tính ứng dụng rất cao, hữu hiệu và cần thiết. Vì vậy, việc trang bị

kiến thức nền cho HS là khâu vô cùng quan trọng.

Chúng ta biết rằng dạy học là một công việc vừa có tính khoa học lại vừa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

có tính nghệ thuật, nó luôn đòi hỏi sự sáng tạo của người GV trong quá trình

giảng dạy. Và không thể có sự sáng tạo nào mà lại thiếu đi sự chuẩn bị chu đáo.

Cho nên việc chuẩn bị tốt trước khi lên lớp không những là điều cần thiết mà

còn là điều bắt buộc đối với GV. Để làm tốt công tác trang bị kiến thức nền cho

HS, GV cần lưu ý một số điểm sau:

- Thứ 1: Phải căn cứ vào trình độ, tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của HS tại

thời điểm xuất phát của một quá trình dạy học. Việc này có thể thực hiện bằng

biện pháp theo dõi từ trước hoặc bằng kiểm tra. Ngoài ra cũng cần quan tâm

đến thái độ, hành vi, thói quen, niềm tin… của HS.

- Thứ 2: Những khái niệm cơ bản với những dấu hiệu đặc trưng của chúng

cần phải lặp lại trong các bài giảng khi có cơ hội; xác định những khái niệm nào

cần đào sâu, mở rộng, những khái niệm nào chỉ mang tính chất thông báo; liên tục

nhấn mạnh những khái niệm then chốt; sử dụng các hoạt động trên lớp để củng cố

kiến thức mới học, nghĩa là sau khi dạy HS những khái niệm mới, GV cần cho HS

làm ngay bài tập dựa vào những kiến thức đó. Bài tập này có thể cho dưới dạng

ngắn nhưng phải làm cho HS hiểu rõ hơn những khái niệm mới.

Ví dụ 2.1: Sau khi dạy học khái niệm lũy thừa với số mũ 0, cho HS giải

quyết bài toán nhỏ sau.

Các phát biểu sau đúng hay sai, nếu sai sửa lại cho đúng.

Phát biểu 1) đúng vì

Phát biểu 2) sai vì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Phải sửa lại là:

HS nên được làm việc theo nhóm, có thể hỏi GV khi làm bài. Cách làm này

giúp HS có thể bày tỏ cặn kẽ những thắc mắc, những kiến thức còn “mông lung”,

chưa chắc chắn, giúp HS hiểu thấu đáo bài mới hơn. Ngoài ra, nó giúp cho việc có

mặt của HS có tác dụng tích cực và khuyến khích HS đi học đều đặn.

- Thứ 3: Giúp HS nắm vững bản chất khái niệm, tính chất và vận dụng

chính xác kiến thức đã học.

Ví dụ 2.2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào

nghịch biến trên ?

Với yêu cầu này, HS dễ dàng liên hệ được kiến thức cần vận dụng, đó là

dựa vào việc xét cơ số của hàm (nếu thì hàm số đồng biến trên ,

nếu thì hàm số nghịch biến trên ). Theo đó, có thể giải quyết nhiệm

vụ này như sau:

a) Hàm số đồng biến trên vì .

b) Hàm số nghịch biến trên vì .

c) Đối với hàm số này, nếu dùng phương pháp xét cơ số như trên, có thể

HS sẽ đề xuất hai hướng giải như sau:

Trường hợp 1: Vì nên hàm số đồng biến trên .

Trường hợp 2: Ta có . Vì nên hàm số đồng

biến trên .

Cách xác định cơ số của hàm số mũ trong trường hợp 1 là sai, cơ số của

hàm mũ này là . Như vậy, tuy cùng câu trả lời là đúng nhưng khi yêu cầu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

giải thích thì có một bộ phận HS đã hiểu sai bản chất vấn đề. Nếu GV chỉ mong

đợi câu trả lời là hàm số đồng biến hay nghịch biến thì sai lầm này không được

“chấn chỉnh” kịp thời và sẽ trở thành một “lỗ hổng” hoặc HS hiểu một cách

“mập mờ”, không chắc chắn.

Liên quan đến các bài toán xét tính đơn điệu, vẽ đồ thị hàm số mũ, các

bài tập trong SGK chỉ đề xuất các bài tập quen thuộc, HS chỉ cần xét đến cơ số

là có thể kết luận được tính đơn điệu của hàm số. Để khắc phục sai lầm này,

GV nên cân nhắc hướng xây dựng bài tập cho HS. GV có thể tạo ra các tình

huống học tập đòi hỏi HS phải suy luận, cân nhắc khi xác định cơ số hoặc phải

vận dụng các phương pháp khác để giải như: dùng định nghĩa, đạo hàm.

- Thứ 4: Giúp HS tạo “đường dẫn” giữa kiến thức mới với kiến thức đã

học. Thực tế, HS có tâm lí “ngại” tiếp nhận kiến thức mới chiếm một số lượng

không nhỏ. Nếu HS có thể liên hệ với những kiến thức cũ thì việc học kiến thức

mới sẽ diễn ra dễ dàng và thuận lợi hơn. Do đó, nên tổ chức cho HS tự lực hình

thành hoặc giúp đỡ họ hình thành tri thức mới, sử dụng tư duy logic khi cần

thiết, giúp HS thấy được thông tin nào cần ghi nhớ máy móc, thông tin nào có

thể được suy luận nhờ tư duy logic. Hãy giúp HS cách suy luận và tiếp nhận

kiến thức mới bằng phương pháp tư duy bởi vì một sơ đồ tư duy sẽ có tác dụng

hơn “hàng ngàn chữ viết” hay chỉ giảng giải bằng lời.

Ví dụ 2.3: GV hướng dẫn HS tiếp cận các quy tắc tính logarit như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Với số a dương và khác 1 và các số b, c dương. Ta có:

Việc trang bị kiến thức “nền” cho HS là vô cùng quan trọng, trực tiếp

hướng vào việc giúp HS tránh những sai lầm do không nắm vững nội hàm các

khái niệm toán học; sai lầm do áp dụng máy móc các công thức, định lí hoặc áp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

dụng không chính xác; sai lầm do cảm nhận trực quan.

2.2.2. Tạo cơ hội để HS được thử thách thường xuyên với những bài toán

chứa sai lầm trong lời giải

Trong dạy học, GV luôn chú trọng đến cách lập luận, rút ra những chú ý,

nhận xét nhằm giúp HS tránh những sai lầm khi giải toán. Nhưng nếu chỉ dừng lại

ở việc nhấn mạnh về mặt lý thuyết thì khó có thể hạn chế được những sai lầm đó.

Việc HS mắc phải sai lầm khi giải toán là điều thường xuyên gặp phải trong dạy

học. Tuy nhiên, nếu HS thật sự có ý chí, quyết tâm chinh phục những khó khăn đó

bằng chính năng lực của mình thì sai lầm đó sẽ trở thành “chất xúc tác” khiến họ

thay đổi và ngày càng hoàn thiện hơn. Vì vậy, để HS va chạm với những bài toán

chứa sai lầm có thể giúp HS phòng tránh những sai lầm thường mắc phải, đồng

thời đó là cơ sở để phân tích, củng cố lại phần kiến thức mà HS còn mơ hồ, giúp

HS tích lũy kinh nghiệm và nhờ đó sẽ giảm thiểu hoặc chấm dứt được những sai

lầm của bản thân. Thế nhưng không phải vì vậy mà có thể cho rằng mình có

quyền mắc sai lầm, lặp lại hết lần này đến lần khác vì đó là do bản thân lười biếng,

không có chí cầu tiến và tự cho phép mình xem mọi thứ là “quy luật” khi bản thân

mắc phải sai sót. Tư tưởng này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của J.Piaget:

“Chỉ có sự hoạt động được GV thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn

luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể

đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ” [11].

Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, chẳng hạn G.Polia cho

rằng: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”

[24]. Theo J.A.Komenxki thì: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho HS

kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn HS nhận ra,

sửa chữa khắc phục sai lầm” [30].

Một trong những cách thức để HS tiếp xúc với những sai lầm là cài đặt

“bẫy” vào trong các bài toán. “Bẫy” trong các bài toán là tình huống được GV

thiết kế mà nếu HS không nắm vững kiến thức thì sẽ mắc phải sai lầm. Mỗi khi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

HS mắc phải sai lầm đồng nghĩa với việc “sa bẫy”. Theo tác giả Lê Thống Nhất,

“bẫy trong các bài toán là các kiến thức mà HS dễ bị sai lầm ở một bước nào đấy

trong lời giải, các kiến thức này được sự chuẩn bị có chủ định của GV nhằm đạt

được tính hấp dẫn cùng với tính thử thách đối với HS” [17].

Việc cài đặt “bẫy” trong các bài toán như thế nào là hợp lí phụ thuộc rất

nhiều vào trình độ và năng lực sư phạm của GV. Chúng tôi cho rằng, “bẫy”

trong bài toán mang tính sư phạm phải đảm bảo phù hợp với trình độ của HS, chỉ

nên xoay quanh vùng phát triển gần nhất của kiến thức HS. Hay nói cách khác

HS chỉ cần nắm thật chắc kiến thức cơ bản thì có thể vượt qua được các “bẫy”

đó. Nếu đưa ra những vấn đề quá khó, vượt xa trình độ của HS thì “bẫy” sẽ trở

thành sự đánh đố, khiến HS bị lạc hướng. Khi đó, HS rơi vào bế tắc chứ không

“sa bẫy”. Do đó, các biện pháp có chủ định về sư phạm không thực hiện được.

Nếu “bẫy” quá dễ thì cũng không gây được hứng thú học tập cho HS. Việc tạo ra

các “bẫy” không phù hợp có thể gây ra tâm lí tự ti hay tự phụ cho HS. Chúng tôi

rút ra một số chú ý khi sử dụng biện pháp này như sau:

- Thứ 1: Trước tình trạng phân cực trình độ của HS (ngay trong một lớp

học) như hiện nay thì phương pháp dạy học phân hóa có tác dụng rút bớt dần sự

phân cực đó. Chính vì vậy, khi xây dựng hệ thống bài tập có chứa các “bẫy”, GV

nên căn cứ vào mức độ nhận thức chung của HS trong lớp để đưa ra các câu hỏi

phân hóa hay bài tập phân hóa phù hợp. Ra bài tập phân hóa là để cho các đối

tượng HS khác nhau có thể tiến hành các hoạt động khác nhau với trình độ khác

nhau. GV có thể phân hóa bằng cách sử dụng mạch bài tập phân bậc, giao cho

HS giỏi những bài tập có hoạt động ở bậc cao hơn so với các đối tượng HS khác,

hoặc tiến hành dạy học phân hóa ngay trong một bài tập. Chẳng hạn:

Đối với HS trung bình, yếu kém thường biểu hiện không nắm được kiến

thức và kỹ năng cơ bản thì bộc lộ những sai lầm nghiêm trọng và lỗ hổng kiến

thức. Với nhóm đối tượng này, GV có thể giao cho những bài toán dưới hình

thức trắc nghiệm (kiểm tra lý thuyết hoặc áp dụng, tính toán đơn giản) hay

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

dạng bài tập chỉ ra sai lầm trong lời giải.

Ví dụ 2.4: Chỉ ra đáp án đúng

a) b)

c) d)

Ví dụ 2.5: Chỉ ra sai lầm trong lời giải sau:

. Giải phương trình:

Điều kiện:

Khi đó, phương trình tương đương:

So sánh với điều kiện, là nghiệm của phương trình.

Đối với nhóm HS khá giỏi, bản thân các em có năng lực học toán, thích

làm toán thì GV có thể ra riêng những bài tập nâng cao, đòi hỏi khả năng vận

dụng kiến thức một cách tổng hợp, yêu cầu HS phát huy tính độc lập trong khâu

phát hiện, giải quyết vấn đề, trình bày và bảo vệ kết quả. Chẳng hạn: “Yêu cầu

HS giải bài toán chứa đựng một tình huống dễ dẫn tới sai lầm” hoặc “Yêu cầu HS

giải bài toán chứa đựng nhiều hơn một tình huống dễ dẫn tới sai lầm”.

Ví dụ 2.6: Cho phương trình ,

với m là tham số. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Hãy xác định m

để đạt giá trị nhỏ nhất.

Với bài toán này, nhận định ban đầu của HS là sẽ đưa các lũy thừa về

cùng cơ số 2. Tuy nhiên, do cấu tạo quá “dễ sợ” của phần lũy thừa làm cho HS

lúng túng và họ không biết biến đổi như thế nào để đưa phương trình về dạng

lũy thừa có cùng cơ số và phần lũy thừa tương đồng để đặt ẩn phụ. Do hình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

thức của lũy thừa như vậy, nên HS sẽ thiên về hướng biến đổi cos2x về dạng

nhằm đạt được , và rõ ràng đây là “ngõ cụt”, không thể

thực hiện được. Tất nhiên người GV có thể thông cảm với sai lầm này của HS,

bởi vì hình thức thể hiện bên ngoài của bài toán đã dẫn dắt các em đi theo con

đường như thế. Trong trường hợp này, GV nên có hoạt động giúp đỡ, gợi ý

theo hướng vẫn biến đổi cos2x nhằm đưa các hàm lượng giác về cùng góc

, và cuối cùng biến đổi được:

Suy ra, ta có

Khi đó phương trình trở thành:

Với điều kiện , đặt , phương trình trở thành:

Đến đây, phương trình đã trở nên quen thuộc, hầu hết HS có thể liên hệ

được phần kiến thức để giải quyết bài toán này đó là sử dụng định lí Vi-ét.

HS giải như sau: Theo định lí Vi-ét, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Suy ra, ta có

Khi đó:

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi

GV có thể dễ dàng phát hiện ra sự không bình đẳng giữa kết luận với các

yếu tố bình đẳng ở giả thiết trong lời giải trên. Theo tác giả Nguyễn Thái Hòe:

“Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán và cả kết quả của nó

giúp cho người giải toán thấy rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài

toán. Nói cụ thể hơn là người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều

kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?” [10].

Trong ví dụ này, biểu thức A là tổng của 2 số bình phương nên không thể

nhận giá trị âm. Sai lầm ở đây là HS chỉ đơn thuần đi tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức (tham số m), mà đúng ra HS phải tìm giá trị nhỏ

nhất của , với (x1, x2 là hai nghiệm của phương

trình đã cho), hay nói cách khác giá trị của A không thể âm và (do

). GV đặt câu hỏi cho sự mâu thuẫn này, HS sẽ nhận ra trong lời giải có

sai lầm và tìm cách sửa chữa.

Lời giải đúng:

Xét , với

Lập bảng biến thiên của biểu thức A:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi

Ví dụ trên không phải là quá khó nhưng đã kiểm tra được nhiều kiến

thức của HS. Như vậy, có thể cài đặt nhiều hơn một “bẫy” trong một bài toán.

Với nhiều bẫy ấy, khi HS vượt qua được “bẫy” này thì lại vấp phải “bẫy” kia.

Vấn đề thiết kế bao nhiêu “bẫy” phụ thuộc vào sự phỏng đoán một cách trực

giác của GV về trình độ lập luận của HS. Thiết kế và cài đặt “bẫy” vào trong

bài toán phải khéo léo và ăn khớp với tiến trình bài dạy. Mỗi cái “bẫy” là một

“sản phẩm nghệ thuật” đòi hỏi người GV phải luôn trau dồi, học tập, gắn bó,

yêu nghề, biết đặt mình vào vị trí của trò để lường trước được những sai lầm có

thể mắc phải của học trò. Nếu HS vượt qua được tất cả các bẫy để đi đến lời

giải đúng thì chính là đã qua một hình thức đo kiến thức.

- Thứ 2: Khi HS “sa bẫy”, GV cần phải kịp thời, khéo léo dẫn dắt để HS

vượt qua một cách tự nhiên, tự giác trong quá trình phát hiện và tìm biện pháp

khắc phục. GV không thể kết luận ngắn gọn rằng “em đã giải sai” hoặc đột

ngột đưa ra lời giải đúng. Chỉ ra chỗ sai và sửa như thế nào cho đúng, đó mới là

lời giải thích thuyết phục nhất đối với HS. Việc này có thể thực hiện thông qua

các câu hỏi gợi mở; nhấn mạnh lại một số kiến thức, kỹ năng biến đổi liên quan

đến bài toán; so sánh với một lời giải đúng khác (lời giải để so sánh phải nằm

trong phạm vi kiến thức của HS).

Ví dụ 2.7: Giải phương trình:

Lời giải của HS: Điều kiện:

Ta có (*)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

So sánh với điều kiện, không thỏa mãn nên phương trình vô nghiệm.

Là GV có thể dễ dàng chỉ ra sai lầm trong lời giải trên, nhưng nếu HS vừa

mới học xong kiến thức này thì việc chỉ ra sai lầm vẫn còn nhiều khó khăn. Ở

đây, GV có thể giúp đỡ HS chỉ ra sai lầm trong lời giải bằng cách:

- GV đặt câu hỏi: Khi biến đổi thành phương trình (**) thì tập xác định

của (**) có còn như ban đầu không? HS có thể tự kiểm tra bằng cách tìm tập

xác định của (**). Sau khi tự kiểm tra, thấy (**) là phương trình hệ quả của (*)

thì HS sẽ đặt nghi vấn: Có thể lời giải trên bị thiếu nghiệm nên lời giải trên

chứa sai lầm.

- Nhấn mạnh lại quy tắc biến đổi với chẵn.

- Cho HS so sánh với một lời giải có cách biến đổi hoàn toàn khác:

Với điều kiện: và , phương trình tương đương với:

So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm .

Sau khi chỉ ra được sai lầm, GV có thể yêu cầu HS tự trình bày hoặc GV

trình bày lời giải đúng.

Lời giải đúng:

Điều kiện:

Viết lại phương trình dưới dạng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm

- Thứ 3: Cần phải quan tâm đúng mức đến việc phân hóa về mặt số

lượng. Nghĩa là: Có một số HS cần làm nhiều bài tập cùng loại để rèn luyện

một số kỹ năng nào đó nên GV cần cân nhắc để ra đủ liều lượng bài tập sao cho

phù hợp với từng loại đối tượng HS. Với nhóm HS khá giỏi sẽ nhận thêm

những bài tập khác để đào sâu và nâng cao kiến thức.

2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải

Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải.

Từ đó, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải. Thuật giải theo nghĩa trực

giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị,

kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào

(INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp

bài toán đó. Tuy nhiên trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa

mang đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm

đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy

tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được

theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành

thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó.

Trong các tình huống dạy học thì dạy học giải phương trình là tình huống

rất tốt để phát triển tư duy thuật giải cho HS. Trong quá trình dạy học giải

phương trình, có những dạng phương trình đã có thuật giải, nhưng đa số

phương trình chúng ta gặp đều chưa có ngay thuật giải. Để giải những phương

trình dạng này, chúng ta phải biến đổi đưa về phương trình đã có thuật giải.

Quá trình này có thể thực hiện bằng cách hướng dẫn HS tìm tòi, suy nghĩ và

hướng đến xây dựng thuật giải cho bài toán nếu có thể.

Theo A.N.Kolmogrov: “Trong mọi trường hợp có thể được, việc đi tìm

các Algorit giải là một mục đích thực sự của Toán học”. Algorit thường được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

hiểu là bản ghi chính xác, tường minh tập hợp những thao tác sơ đẳng, đơn trị

theo một trình tự nhất định (tùy mỗi trường hợp cụ thể) để giải quyết bất kì vấn

đề nào thuộc cùng một loại hay kiểu.

Xuất phát từ vai trò của tư duy thuật giải trong giải phương trình nói

chung, chúng tôi đưa ra quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật

giải bao gồm các bước:

Bước 1: Tập luyện cho HS thói quen phân tích bài toán, nhận dạng

phương trình. Nếu phương trình đã có thuật giải thì HS tiến hành theo thuật

giải. Nếu không, chuyển sang bước 2.

Bước 2: Rèn luyện cho HS biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.

Trong bước này, GV cần gợi động cơ, hướng đích, lôi cuốn người học tích cực

tìm tòi những phương pháp biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Đây là

khâu quan trọng và cũng là khâu khó khăn nhất trong hoạt động giải phương

trình. GV cần hướng dẫn người học huy động kiến thức tổng hợp để tìm

phương pháp biến đổi thích hợp.

Bước 3: Cho HS tiến hành giải phương trình nhận được. Sau khi đã biến

đổi phương trình về dạng quen thuộc, HS vạch ra chương trình giải và thực hiện

chương trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: Lời giải không chứa sai lầm (về

kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu và ngôn

ngữ diễn đạt); từng bước biến đổi phải có cơ sở lý luận chính xác.

Bước 4: Kiểm tra lời giải, kết quả. Giải phương trình là hoạt động toán học

tổng hợp. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày HS có thể mắc sai lầm. Do

đó, GV cần phải kiểm tra và lường trước để chỉ ra những sai lầm HS thường mắc

phải, đồng thời phân tích để tìm ra nguyên nhân sai lầm và biện pháp khắc phục.

Bước 5: Rèn luyện cho HS khả năng nghiên cứu lời giải. Nghiên cứu –

khai thác – phân tích và tìm tòi lời giải khoa học sẽ giúp HS có thói quen tập

dượt nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất vấn đề trong giải toán. Hoạt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

động này góp phần giúp HS phát hiện thuật giải tối ưu.

Bước 6: Hướng dẫn HS tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng

cách khái quát hóa, tương tự hóa. Trong bước này, GV cần tập dượt cho HS các

thao tác tương tự đơn giản, tìm ra những đặc điểm chung về hình thức, nội dung,

phương pháp, từ đó xây dựng thuật giải cho dạng phương trình tổng quát.

Trong khi dạy HS xây dựng thuật giải cụ thể cho một dạng phương trình

nào đó, GV cần truyền cho HS những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương

pháp suy nghĩ, giúp HS tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống

mới. Quá trình xây dựng một thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa

có thuật giải.

Chúng tôi đề xuất một số kỹ năng cần truyền thụ nhằm giúp HS tự phát

hiện và xây dựng thuật giải, tựa thuật giải như sau:

- Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu

hiệu riêng biệt của bài toán. Từ đó, tìm ra thuật giải cho dạng phương trình.

Ví dụ 2.8: Giải phương trình:

Lần đầu tiên gặp phương trình này có lẽ ai cũng ái ngại vì cơ số phức

tạp. Nhưng nếu ta xem xét kỹ hai cơ số thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt:

Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn:

Đặt . Phương trình trở thành:

Giải phương trình ẩn t, tìm được t = 4 thỏa mãn điều kiện.

Với t = 4, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Ta có thuật giải phương trình dạng: A.af(x) + B.bf(x) = C, (a.b = 1).

Bước 1: Kiểm tra a.b = 1.

Bước 2: Đặt

Bước 3: Giải phương trình hay

Bước 4: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2

Bước 5: Giải phương trình:

Bước 6: Kết luận.

Ví dụ 2.9: Giải phương trình

Viết lại phương trình dưới dạng:

Xem xét mối liên hệ đặc biệt giữa các cơ số của lũy thừa, ta thấy:

. Suy ra

Từ nhận xét trên, ta chia 2 vế của phương trình cho , ta được:

có .

Đây là phương trình dạng với a.b = 1 đã có thuật giải.

Ta có thuật giải phương trình dạng: , ( ).

Bước 1: Kiểm tra

Bước 2: Chia 2 vế của phương trình cho , phương trình trở thành:

, trong đó

Bước 3: Đặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Bước 4: Giải phương trình hay

Bước 5: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2

Bước 6: Giải phương trình:

Bước 7: Kết luận.

Như vậy, một số phương trình nếu xem xét kỹ để phát hiện ra những đặc

điểm riêng biệt của chúng thì ta sẽ tìm được thuật giải.

- Rèn luyện kỹ năng “Quy lạ về quen”

Khi chữa bài tập, GV cần nhấn mạnh cho HS 2 vấn đề chính:

Thứ 1: Hướng giải quyết bài toán.

Thứ 2: Biến đổi như thế nào (dùng các công thức nào để biến đổi).

Việc nêu ý tưởng cho lời giải cần phải mạch lạc, có đường lối rõ ràng để

HS dễ nắm bắt. Qua đó, HS có thể làm được các bài tập tương tự và khó hơn,

tránh tình trạng “Làm bài nào, biết bài ấy”, “Thấy cây mà chẳng thấy rừng”.

GV cũng cần rèn luyện cho HS có thói quen xem xét một lời giải dưới nhiều

góc độ, khai thác, tìm tòi cách này, cách kia… để HS được luyện tập nhiều,

khắc sâu kiến thức, tránh dập khuôn máy móc và còn để HS có thể liên hệ với

những bài toán khó hơn. Làm được việc này là GV đã giúp cho HS “học một”

mà “biết mười”. Việc làm này cần được thực hiện ngay cả với những bài toán

cơ bản nhất để HS hiểu rằng các bài toán phức tạp cũng bắt đầu từ những bài

toán hết sức đơn giản.

Ví dụ 2.10: Giải phương trình

Lời giải đúng: Phương trình tương đương:

Sau khi giải phương trình này, ta có nhận xét như sau:

Nhận xét 1: Phương trình đã cho ở dạng cơ bản:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

nên ta có: (với ).

Nhận xét 2: Cũng có thể hiểu là: Ta đã lấy logarit cơ số 4 để được

phương trình trên. Hơn nữa, việc lấy logarit cơ số a bất kì ta vẫn

tìm được lời giải của bài toán.

Cụ thể, phương trình tương đương:

Với nhận xét 2, ta có thể giải được lớp phương trình phức tạp hơn có

dạng: bằng cách lấy logarit cơ số nào đó

(thường lấy logarit cơ số a hoặc b). Chẳng hạn lấy logrit cơ số a, ta có:

Nhận xét 3: Lớp phương trình có dạng cũng được làm

tương tự. Trường hợp đặc biệt của dạng này là phương trình có dạng:

. Ta biến đổi về dạng cơ bản như

sau: .

Phần lớn các phương trình đều chưa ở dạng quen thuộc để có thể sử dụng

ngay các thuật giải. Đối với các phương trình này, trong quá trình dạy học GV

cần rèn luyện cho HS kỹ năng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt được mục

đích này, có thể sử dụng phương pháp quen thuộc là xây dựng hệ thống bài

toán gốc cho từng dạng phương trình. Thông qua việc phân tích, biến đổi, nhận

ra một số đặc điểm đặc biệt của phương trình để đưa về bài toán gốc đã có thuật

giải. Chúng tôi xin dẫn ra dưới đây một số bài toán gốc với phương pháp giải

tương ứng có thể tham khảo:

Bài toán 1: Phương trình có dạng:

Bước 1: Đặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Bước 2: Phương trình đã cho trở thành:

Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t (đã biết thuật giải). Giả sử tìm

được t0 thỏa mãn bước 1.

Bước 4: Giải phương trình

Bài toán 2: Phương trình có dạng:

Bước 1: Chia 2 vế của phương trình cho (hoặc , hoặc

). Ta được:

Bước 2: Đặt . Ta được:

Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t. Giả sử tìm được t0 thỏa mãn bước 2.

Bước 4: Giải phương trình

Bài toán 3: Phương trình có dạng

Bước 1: Xét hàm số . Dùng lập khẳng định hàm số đơn điệu.

Bước 2: Khi đó:

Ví dụ 2.11: Giải phương trình:

Trước hết, ta lấy điều kiện .

Đây là phương trình chưa có thuật giải nhưng chúng ta có thể chuyển về

phương trình quen thuộc đã biết cách giải bằng cách biến đổi:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Từ đó, phương trình trở thành:

Khi viết phương trình dưới dạng (*), ít nhiều HS cũng dễ dàng liên hệ

được phương pháp chung để giải bài toán dạng này đó là dùng phương pháp

hàm số. Ta tiến hành như sau:

Xét hàm số . Có nên hàm số luôn đồng

biến trên . Do đó, từ , ta suy ra . Từ

đây, dễ dang tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình.

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, tìm cách giải hợp lí hơn bằng cách

khắc phục điều chưa hợp lí ở lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài

toán; tìm lời giải tối ưu hơn.

Ví dụ 2.12: Giải phương trình:

Có nhiều HS làm như sau: Đặt , điều kiện

Phương trình trở thành

Cách đặt ẩn phụ như trên đưa đến giải phương trình vô tỷ. Nếu không

nắm vững dạng phương trình này thì HS có thể mắc sai lầm.

Nếu GV gợi ý: Hãy biến đổi biểu thức ngoài căn giống biểu thức trong căn?

Phương trình .

Đặt , phương trình trở thành

Đối với dạng phương trình giải được bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về

phương trình cơ bản, GV cần làm cho HS luôn có ý thức kiểm tra điều kiện đối

với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của

phương trình mới, nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn

không. Dạng toán này đòi hỏi HS phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định. Do

đó, trong quá trình dạy giải bài tập GV hướng dẫn cho HS nhận dạng phương trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp, từ đó đưa đến cách giải tối ưu hơn.

- Trong SGK, HS được giới thiệu một số dạng phương trình và cách giải

chúng. Tuy nhiên trong SGK chưa nêu cách giải các dạng đó dưới dạng một thuật

giải. Do đó, sau khi dạy cho HS thuật giải, cần phải tổ chức cho HS thực hành trên

những bài toán cụ thể nhằm giúp HS nắm vững phương pháp giải các dạng phương

trình này. GV cũng cần chỉ rõ cho HS vấn đề: cần phải ghi nhớ và vận dụng thành

thạo các quy trình, thuật giải đã có sẵn. Bên cạnh đó phải luôn có ý thức huy động

tích cực vốn tri thức và năng lực để tìm ra những phương pháp khác nhau hoặc

phương pháp tối ưu hơn khi đứng trước các vấn đề cần giải quyết. Điều đó cũng

góp phần phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho HS.

- Trên cơ sở bài toán đã có thuật giải, việc đề xuất bài toán mới sẽ giúp

HS nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải.

Do đó, ngay sau khi dạy một thuật giải nào đó (có thể là một quy tắc, một công

thức…), GV có thể giao cho HS một số bài toán mới được suy ra từ thuật giải

đã biết hoặc hướng dẫn HS tự đề xuất bài toán mới. Đây là một biện pháp tốt

để phát triển tư duy thuật giải cho HS.

Ví dụ 2.13: Sau khi xây dựng thuật giải phương trình:

(trong ví dụ 2.8), GV hướng dẫn HS đề xuất bài toán

mới như sau. Ta có nhận xét:

Với nhận xét trên, HS dễ dàng đề xuất các bài toán sau:

Việc tiến hành giải một bài toán theo thuật giải, tựa thuật giải sẽ giúp HS

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

có được lời giải chính xác, tránh được những sai lầm thường gặp của bản thân.

2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phƣơng trình mũ và logarit dựa vào các tƣ

tƣởng chủ đạo của tƣ duy hàm

a) Rèn luyện kĩ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu

Dựa trên quan điểm vận dụng các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm,

chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tình huống được đưa

ra trong mỗi bài toán với tập hợp các dạng phương trình mẫu HS đã học. Đối

với đa số bài toán có thuật giải được đưa ra trong SGK thì việc thiết lập sự

tương ứng này được thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng. Việc

HS nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập được sự tương ứng giữa

bài toán đó với bài toán tổng quát đã có thuật giải. Các yêu cầu cơ bản khi tiến

hành rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng phương trình mẫu:

- Nắm vững quy tắc giải

- Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định

- Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học

b) Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình

Khi tiến hành giải phương trình, ta thường tìm cách biến đổi phương trình

đó về dạng đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải.

Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi

cho rằng quá trình biến đổi phương trình là quá trình mang tính “động”. Trong

quá trình “động” đó, ta khai thác các yếu tố “tĩnh” để đạt được mục đích (tìm

được nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình là hình thức, là dạng, là

loại phương trình. Mục đích của việc biến đổi là làm giảm nhẹ khó khăn, quy lạ

về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được được sự thay đổi tập

nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại

lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 2.14: Giải phương trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Ta phân tích quá trình biến đổi sau:

Biến đổi phương trình (1) thành:

Bình phương hai vế của (2) ta được:

Thực hiện biến đổi đồng nhất, ta được:

Đưa (4) về phương trình bậc hai dạng chính tắc:

Giải (5), ta được nghiệm của phương trình là:

Câu hỏi đặt ra là: Mối quan hệ giữa các phương trình trong quá trình biến

đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của phương trình đó thay đổi như thế nào?

Để trả lời được câu hỏi này, HS phải xác định được các phép biến đổi

được sử dụng, nắm vững các phép biến đổi hệ quả, các kiến thức đã học (dù

không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình).

Chẳng hạn: Với thì , còn nếu thì

với mọi giá trị của x và y. Từ đó, ta thấy được mối quan hệ giữa các phương

trình là:

Dựa vào sơ đồ trên, HS có thể biết được diễn biến của các tập nghiệm

qua từng bước biến đổi, do đó kết luận được: Nếu thay (1) bởi (5) thì có thể

vừa thiếu nghiệm, vừa thừa nghiệm. Vậy, khắc phục điều đó thế nào?

- Thử các giá trị 3 và 4 vào phương trình (1) để loại bỏ nghiệm ngoại lai

(nếu có). Ta thấy chỉ có giá trị 3 thỏa mãn (khắc phục thừa nghiệm).

- Thử các giá trị của x làm cho cơ số của lũy thừa nhận giá trị 1 (khắc

phục thiếu nghiệm do biến đổi từ (1) sang (2)). Ta được thỏa mãn

phương trình (1).

Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi phương trình nói chung, đầu tiên GV

phải giúp HS nắm chắc các khái niệm cơ bản, hiểu rõ điều cốt lõi của khái

niệm, hiểu được cách vận dụng để làm bài tập và luôn đề phòng những sai lầm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

thường gặp. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là khâu rất quan trọng

trong quá trình giải phương trình. Biến đổi sai sẽ dẫn đến bài toán giải sai,

nhưng không dễ dàng gì để HS nhận ra bước biến đổi sai lầm của mình.

Ví dụ 2.15: Giải phương trình

Lời giải của HS: Tập xác định .

Phương trình trở thành:

GV cần phải có hoạt động giúp đỡ HS tìm ra sai lầm.

GV hỏi: có phải là nghiệm duy nhất của bài toán không? Thực tế

thì cũng là một nghiệm của bài toán.

GV hỏi: Bước biến đổi nào đã làm mất nghiệm?

Với câu hỏi này buộc HS phải phân tích từng bước trong quá trình giải để tìm

ra vấn đề. HS hiểu rõ từng bước biến đổi dựa vào định nghĩa, định lí, hệ quả nào.

Bước 1: Dựa vào hệ quả .

Bước 2: Áp dụng: và

Bước 3: Dựa vào định nghĩa hàm số logarit và lũy thừa 2 vế.

Tuy nhiên, HS vẫn khó khăn trong việc chỉ ra sai lầm. GV cần có những

hoạt động để giúp HS xem xét, kiểm tra sự biến đổi từng bước.

Trong bài toán này, khi đưa về phương trình (2), ta đã thu hẹp tập xác định

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

của phương trình, mà phạm vi thu nhỏ vừa đúng nghiệm của phương trình ban đầu.

Cần phải khắc phục sai lầm này như thế nào?

Hướng 1: Thử giá trị làm thu hẹp tập xác định vào phương trình ban đầu

để tìm lại nghiệm bị mất (nếu có). Thay vào phương trình ban đầu ta thấy

thỏa mãn.

Hướng 2: Tìm cách biến đổi khác không làm thay đổi tập xác định của

phương trình. Có thể biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

Kiểm tra thấy và thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là và .

c) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá các giá trị

biểu thức thành phần

Có nhiều bài toán giải phương trình bằng cách đánh giá giá trị các biểu

thức thành phần sẽ cho ta kết quả nhanh chóng trong khi các cách làm khác có

thể phức tạp, khó khăn hơn, thậm chí là bế tắc không thể tìm ra đáp số. Ở đây

đây, chúng tôi muốn đề cập đến kỹ năng đánh giá giá trị biểu thức thành phần

dựa trên đặc điểm, tính chất của các hàm số thành phần có mặt trong phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

trình. Phải khẳng định rằng không phải bài toán nào cũng có thể giải được bằng

phương pháp đánh giá. Cần phải rèn luyện cho HS có “con mắt nhìn toán học”

nhạy bén, tinh tế khi đứng trước một bài toán.

Ví dụ 2.16: Giải phương trình:

HS thường không khỏi hoang mang khi nhìn thấy hình thức của phương

trình quá rắc rối như thế này. Vế trái là hàm lượng giác phức tạp, vế phải lại là

tổng hai hàm số mũ. GV cần giúp HS nghiên cứu đặc điểm của từng biểu thức

thành phần, tìm tập giá trị của chúng trên tập xác định. GV có thể đặt câu hỏi:

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của phương trình?

Câu hỏi 2: Hãy tìm tập giá trị của hàm ?

Ta có: .

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

Câu hỏi 3: Hãy tìm tập giá trị của vế trái?

Ta có: (Do )

Nhận thấy, với thì .

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

GV có thể chỉ cho HS thấy: với những phương trình cực kỳ phức tạp, sau

khi đã huy động tất cả những phương pháp quen thuộc mà vẫn không đem lại kết

quả thì hãy thử nghĩ đến phương pháp đánh giá giá trị các biểu thức thành phần.

Cơ sở để nghĩ đến phương pháp này là: nhận thấy hai vế của phương trình rất

khác biệt về tính chất, chúng có chứa các phép toán phức tạp và dường như giá

trị của từng vế có xu hướng không vượt quá, không bé hơn một giá trị nào đó.

Ví dụ 2.17: Giải phương trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Ta có:

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

Biến đổi và rút gọn, ta được:

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

d) Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán

Để giải phương trình, nguyên tắc chung là ta biến đổi đưa về những phương

trình đơn giản hơn và cuối cùng đưa về phương trình quen thuộc đã biết cách giải.

Tuy nhiên nếu hiểu từ “biến đổi” theo nghĩa thông thường thì không phải sự biến

đổi nào cũng dẫn đến kết quả. Với cách hiểu theo nghĩa rộng thì “biến đổi” là phát

biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này thì bài toán mới hoàn toàn tương

đương với bài toán ban đầu nhưng ở dạng dễ hiểu hơn và cho ta cách giải tự nhiên,

đơn giản hơn. Ở đây, chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi bài toán ban

đầu sang bài toán mới tương đương với nó bằng cách đặt ẩn phụ. Cần rèn cho HS

thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra

những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính nhằm tránh những sai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

lầm trong giải toán (như ví dụ 1.9 đã nêu).

e) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số

Ví dụ 2.18: Cho phương trình . Với giá trị nào

của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải đúng:

Vì với mọi m. Do đó, phương trình tương đương với:

Đặt .

Khi đó, phương trình trở thành:

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng

cắt đồ thì hàm số tại 4 điểm phân biệt.

Xét hàm số

Đạo hàm:

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta được:

1 x 2 3

0 - 0 + + y’ -

0 0

Từ đó, đường thẳng cắt đồ thì hàm số tại 4 điểm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

phân biệt khi và chỉ khi:

Vậy với thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Rõ ràng nếu sử dụng công cụ đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số

xác định được từ phương trình đã cho đem lại kết quả nhanh chóng, gọn gàng.

Đặc biệt là các bài toán phương trình chứa tham số.

Vậy câu hỏi đặt ra là: Khi nào giải phương trình thì ta lựa chọn công cụ

đạo hàm và cần rèn luyện cho HS những kỹ năng gì?

Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi đưa ra 2 chú ý sau:

- Rèn luyện cho HS kỹ năng xác định hàm số từ phương trình đã cho.

- Rèn luyện kỹ năng thực hiện các bước của một bài toán khảo sát sự

biến thiên của hàm số.

2.3. Kết luận chƣơng 2

Để phát triển cho HS kỹ năng giải phương trình nói chung đạt hiệu quả

cao đòi hỏi người GV phải có kỹ năng sư phạm, có nghệ thuật biến quá trình

dạy học thành một hệ thống làm việc có định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt

chẽ các hoạt động Toán học của HS.

Trong chương 2 của Luận văn, chúng tôi đã đưa ra các định hướng dạy

học nhằm tăng cường rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logairt. Từ đó

đề ra một số biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và

logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Những kết

quả nghiên cứu ở chương 2 nhằm góp phần thực hiện các mục đích, yêu cầu của

việc dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit; giúp HS nắm vững các kiến

thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng, tính linh hoạt, khả năng tìm tòi sáng tạo; nhằm

thực hiện hóa những biện pháp sư phạm trong điều kiện thực tế của quá trình dạy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

học, đạt được mục đích mà giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra.

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của

các biện pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 2 trong luận văn.

3.2. Nội dung thực nghiệm

Căn cứ vào phân phối chương trình môn toán ở trường THPT, quá trình

thực nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạy học một số tiết cụ

thể như sau:

Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu

1 Lũy thừa với số mũ thực Giúp HS nắm được đầy đủ, chính xác kiến

thức “nền”. Qua đó, phát triển kỹ năng biến 2 Logarit

đổi biểu thức mũ và logarit.

3, 4 Phương trình mũ và Nắm được một số phương pháp giải phương

logarit trình mũ và logarit. Bước đầu nhận dạng, giải

thành thạo những phương trình mẫu mực.

5, 6 Luyện tập giải phương Nắm vững lý thuyết và một số phương pháp

trình mũ và logarit giải đã đề cập trong tiết lý thuyết.

Có khả năng vận dụng linh hoạt, chính xác

kiến thức vào giải quyết những bài toán mới.

Hệ thống kiến thức, phân dạng bài tập là một

yêu cầu cần đạt được sau khi luyện tập.

3.3. Tổ chức thực nghiệm

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm

Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu trường THPT Cao Lộc, tỉnh Lạng

Sơn, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm kết quả

nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu về kết quả học tập

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

các lớp khối 12 của trường và nhận thấy: Lớp 12A1 (42 HS) và lớp 12A2 (41

HS) có số lượng HS gần bằng nhau và có kết quả học tập toán tương đương

nhau (xem bảng 3.1).

Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lƣợng đầu năm học

(Thực hiện tháng 8 năm 2014)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) Điểm kiểm tra xi (

1 2 6 6 8 9 6 4 7,11 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1

1 2 5 7 9 8 6 3 7,04 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2

Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đề xuất chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm

và lớp 12A2 làm lớp đối chứng.

GV giảng dạy lớp thực nghiệm và đối chứng là cô Nguyễn Thị Hương.

Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm trong tháng 11 và tháng 12 năm 2014.

3.3.2. Phương pháp thực nghiệm

* Tại lớp thực nghiệm

- GV dạy theo hướng tăng cường luyện tập các dạng hoạt động tương

ứng với nội dung bài học như đã đề xuất ở chương 2.

- Quan sát hoạt động học tập của HS, đánh giá trên hai mặt định tính và

định lượng để nhận định hiệu quả học tập của HS.

* Tại lớp đối chứng

GV dạy học bình thường, không tiến hành như đối với lớp thực nghiệm

và quan sát, đánh giá kết quả học tập của HS ở lớp đối chứng.

3.4. Đánh giá thực nghiệm sƣ phạm

Sau thời gian thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành phân tích, đánh

giá kết quả thu được trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định lượng và đánh

giá về mặt định tính.

3.4.1. Phân tích định lượng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

a) Đề kiểm tra (45 phút): Giải các phƣơng trình sau

Việc ra đề kiểm tra như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm. Trong số

đó, có câu chứa đựng những tình huống dễ dẫn tới sai lầm (tuy nhiên chúng tôi

không thiên về “đánh đố” học trò) nhằm khảo sát một số kỹ năng của HS. Chúng

tôi xin phân tích thêm để làm rõ hơn điều này.

Câu 1: Kỹ năng cần thiết để HS làm được câu này là việc phát hiện ra cơ

số thích hợp. Câu này dành cho HS trung bình.

Câu 2. HS cần phải có kỹ năng phân tích, đánh giá tinh tế đối với các toán

tử của phương trình, để từ đó vận dụng thuật giải đã biết. Câu này nhằm kiểm tra

khả năng phát hiện và thực hành quy tắc thuật giải của HS.

Câu 3. Trong câu này, HS có thể dễ dàng tìm được phương pháp giải

(phương pháp đặt ẩn phụ). Tuy nhiên trong quá trình biến đổi có không ít HS

cho rằng: hay .

Câu này rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi thông tin, diễn đạt lại thông

tin của đề bài, luôn đề cao tính chính xác của ngôn ngữ, công thức, kí hiệu toán

học. Đồng thời, khảo sát ý thức phòng tránh và sửa chữa sai lầm của HS khi

giải toán.

Phải khẳng định rằng: Cả 3 câu trên đều không quá phức tạp về mặt tính

toán. Nếu HS xác định đúng hướng giải và có sự phân tích hợp lí thì sẽ dẫn đến

kết quả. Cả 3 câu trên dành cho HS cả lớp.

Câu 4 (Dành cho HS khá, giỏi). Trong câu này có 2 tình huống mà HS có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

thể mắc sai lầm.

Thứ nhất: Khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, HS không biết

chia trường hợp.

Thứ hai: Do HS biến đổi: nên dẫn đến bế tắc, không

thể giải được phương trình: .

Câu này nhằm kiểm tra độ vững vàng về kiến thức của HS (kỹ năng giải

phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, kỹ năng biến đổi biểu thức mũ, logarit);

kiểm tra ý thức phòng tránh chủ động các sai lầm khi giải toán của HS.

Qua những phân tích sơ bộ trên có thể thấy rằng, đề kiểm tra thể hiện

được dụng ý: khảo sát sự phòng tránh và sửa chữa sai lầm khi HS giải toán;

khảo sát kỹ năng giải phương trình mũ và logarit nói riêng và kỹ năng giải

phương trình nói chung.

Đáp án:

Câu Nội dung đáp án Điểm

1 2đ

Vậy phương trình có nghiệm là .

2 1,5đ

Ta có:

Đặt , .

Khi đó, phương trình trở thành:

1,5đ Với , suy ra:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Với , suy ra:

Câu Nội dung đáp án Điểm

Vậy phương trình có 2 nghiệm và .

3 1,5đ . Điều kiện

Đặt , ta được:

Với , ta có: 1,5đ

So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là và

1đ 4

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

1đ . Khi đó: Nhận xét:

(1)

Phương trình này vô nghiệm.

(2) . Lấy logarit cơ số 3

cả 2 vế của phương trình, ta được:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .

b) Kết quả bài kiểm tra

Kết quả bài kiểm tra là cơ sở dữ liệu để chúng tôi tiến hành đánh giá và

được thể hiện thông qua bảng phân bố tần số sau:

Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) Điểm kiểm tra xi (

5 6 10 11 7 3 7,4 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1

Quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ 3.1 sau:

3 5 10 8 9 5 1 6,8 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm

Chúng tôi so sánh kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng dựa trên các số liệu số HS đạt điểm theo các mức điểm: yếu, kém; trung

bình; khá; giỏi và được thể hiện trong bảng sau:

Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả

Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Kết quả Lớp 12A1 Lớp 12A2

Yếu, Kém (< 4 điểm) 0 0% 3 7,3%

Trung bình (5 – 6 điểm) 11 26,2% 15 36,6%

Khá (7 – 8 điểm) 21 50% 17 41,5%

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

Giỏi (9 – 10 điểm) 10 23,8% 6 14,6%

Có thể quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ:

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả

Từ kết quả trên, ta có nhận xét:

- Tỉ lệ HS đạt điểm khá và giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối

chứng, chênh lệch 17,7%.

- Lớp thực nghiệm không có HS bị điểm yếu kém, trong khi đó, tỉ lệ này

ở lớp đối chứng chiếm 7,3%.

Chúng tôi cũng tiến hành xử lý số liệu để đánh giá mức độ phân tán của

các điểm đạt được xung quanh điểm trung bình theo từng lớp.

Nội dung Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

7,4 6,8 Điểm trung bình

2,008 2,289 Phương sai

1,42 1,51 Độ lệch chuẩn

Như vậy, điểm trung bình chung của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp

đối chứng; phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm nhỏ hơn so với lớp

đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng, kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm ít

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

chênh lệch hơn, chất lượng học tập đồng đều hơn.

Sử dụng phép thử t – Student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc

thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả:

Tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do và với mức ý nghĩa

ta được . Ta có . Như vậy thực nghiệm sư phạm đạt kết quả.

Tiến hành kiểm định phương sai của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và

lớp đối chứng là không có ý nghĩa”. Ta có kết quả:

Giá trị tới hạn tra trong bảng phân phối F ứng với mức ý nghĩa

, với các bậc tự do và là . Ta thấy

nên chấp nhận E0, tức là sự khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp thực

nghiệm và nhóm lớp đối chứng là không có ý nghĩa.

Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định

giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và đối

chứng là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”.

Với mức ý nghĩa , tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do

ta được . Ta có giá trị kiểm định:

với

Ta có . Như vậy, giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng tỏ sự khác

nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý nghĩa.

Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm cao hơn

lớp đối chứng. Đồng thời thể hiện tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

phạm đã đề xuất.

3.4.2. Phân tích định tính

Khi quá trình thực nghiệm mới bắt đầu, thông qua việc quan sát cũng như

kiểm tra sơ bộ về kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kỹ năng giải

phương trình mũ và logarit đối với HS ở cả lớp thực nghiệm và đối chứng, chúng

tôi nhận thấy: Sự tự phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán ở

cả hai lớp còn có phần hạn chế. GV chưa chú trọng một cách đúng mức việc

phát hiện, uốn nắn và sửa chữa sai lầm cho HS ngay trong các giờ học Toán, dẫn

đến HS rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm”.

Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các quan điểm dạy học được xây

dựng ở chương 2, chúng tôi đã có cuộc trao đổi với GV dạy thực nghiệm:

Câu hỏi: Thưa cô, Việc áp dụng các quan điểm dạy học mà chúng tôi đã

đề xuất có gây khó khăn, trở ngại gì cho cô trong quá trình thực hiện không?

Trả lời: Đối với tôi thì không có gì trở ngại trong việc vận dụng các quan

điểm này. Cách dẫn dắt vấn đề bằng cách đặt HS vào trong các tình huống chứa

sai lầm để họ tự thảo luận, tự tìm ra lời giải đúng vừa kích thích được tính tích

cực, độc lập của HS, vừa kiểm soát và ngăn chặn được những khó khăn, sai

lầm có thể nảy sinh.

Câu hỏi 2: Theo cô, việc vận dụng các quan điểm này trong thực tiễn dạy

học có khả thi hay không?

Trả lời: Theo tôi, không khó khả thi trong việc vận dụng các quan điểm này.

Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong

hoạt động học tập của HS ở cả hai lớp thực nghiệm và đối chứng, đặc biệt là sự

hoàn thiện về các kỹ năng giải phương trình mũ và logarit. Chúng tôi nhận thấy

lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực so với trước khi thực nghiệm. Cụ thể:

- HS được trang bị chính xác các khái niệm, định lí, quy tắc, thuật

giải,…, lựa chọn hợp lí các kiến thức vào giải toán.

- Không khí học tập sôi nổi, tích cực thông qua hoạt động thảo luận tìm sai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

lầm. HS học tập một cách tích cực hơn, những khó khăn và sai lầm của HS được

chỉ ra trong chương 1 cũng đã giảm đi rất nhiều. Đặc biệt là đã hình thành được

cho HS ý chí học tập, tạo cho họ niềm tin khi đứng trước những dạng toán mà

trước đây họ rất “ngại” vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm.

- HS có ý thức phòng tránh những sai lầm thường gặp, hình thành được

thói quen tự kiểm tra lời giải.

- Kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và logarit

nói riêng một lần nữa được rèn luyện, củng cố và hoàn thiện hơn.

3.5. Kết luận chƣơng 3

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả được rút ra từ thực nghiệm

cho phép khẳng định: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi

của các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp

phần rèn luyện kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và

logarit nói riêng; góp phần phòng tránh, hạn chế và tiến tới chấm dứt sai lầm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

cho HS khi học chủ đề này.

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, dưới sự chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo

hướng dẫn TS.Trần Việt Cường cùng với sự cố gắng của bản thân, luận văn đã

thu được những kết quả chính sau đây:

1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc rèn

luyện kỹ năng giải toán cho HS; hệ thống hóa quan điểm của nhiều nhà khoa học

về sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán; phân tích một số khó khăn và

sai lầm thường gặp khi học nội dung giải phương trình mũ và logarit.

2. Đề xuất 4 biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương

trình mũ và logarit cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Trong

mỗi biện pháp, ngoài trình bày nội dung, chúng tôi còn minh họa bằng các ví

dụ cụ thể.

3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả

của những biện pháp sư phạm được đề xuất.

Như vậy, có thể khẳng định: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN

1. Trần Việt Cường, Lăng Thị Thành (2015), Rèn luyện kỹ năng giải

phương trình mũ và logarit cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

chữa sai lầm, Tạp chí Thiết bị giáo dục số 116 tháng 4.

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. A.A.Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học, Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga).

2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ

biến khi giải toán, Nxb Giáo dục.

3. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT, Nxb

Giáo dục.

4. Crutexki V.A (1980), Những cơ sở của Tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục.

5. Đỗ Ngọc Đạt (2000), Bài giảng lí luận dạy học, Nxb Đại học Quốc gia Hà

Nội, Hà Nội.

6. Nguyễn Huy Đoàn (Chủ biên) (2010), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb

Giáo dục Việt Nam.

7. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán mũ, logarit, Nxb

Hà Nội.

8. Nguyễn Viết Hiếu (2013), “Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán

phổ thông và những điều cần biết về logarit”, Tạp chí Khoa học ĐHSP

TPHCM, 50 (84), tr. 55 – 67.

9. Nguyễn Thái Hòe (1996), Các Phương pháp giải toán, Nxb Giáo dục.

10. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb

Giáo dục.

11. IREM GRENOBLE (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán ở Pháp,

Nxb Giáo dục, Hà Nội.

12. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương

Thụy, Nguyễn Văn Hưởng (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (phần

2) – Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb Giáo dục.

13. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư

phạm, Hà Nội.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

14. Luật Giáo dục (2005), Nxb chính trị Quốc gia, Hà Nội.

15. Vương Dương Minh (1996), Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong

khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông, Luận án PTS khoa học sư

phạm – tâm lý.

16. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn

Toán, Nxb Đại học Sư phạm.

17. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ

thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học

sinh khi giải toán, Luận án PTS khoa học sư phạm – tâm lý, Trường Đại

học Sư phạm Vinh, Vinh.

18. Pêtrôvxki.A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Tập 2,

Nxb Giáo dục, Hà Nội.

19. Hoàng Phê (2009), Từ điển Tiếng Việt, Nxb Đà Nẵng, Đà Nẵng.

20. Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản

quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

21. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại

học môn toán Đại số sơ cấp, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.

22. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi

giải Toán, Nxb Hà Nội, Hà Nội.

23. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng

tạo khi giải toán, Nxb Hà Nội.

24. Pôlya G (1995), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

25. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nxb Giáo dục, Hà Nội.

26. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2013), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo

dục Việt Nam.

27. Lê Đình Thịnh, Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (1992), Mẹo và bẫy

trong các đề thi môn toán tập 1, 2, Nxb Đại học và Giáo dục chuyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

nghiệp, Hà Nội.

28. Lê Văn Tiến (2006), "Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học

tập", Tạp chí giáo dục (137), tr. 12 – 14.

29. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học môn Toán, Viện

khoa học Giáo dục.

30. Nguyễn Anh Tuấn (2003), “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết

vấn đề cho học sinh THCS trong dạy học khái niệm Toán học (thể hiện qua

một số khái niệm Đại số ở Trung học cơ sở)”, Luận án Tiến sĩ, Viện Khoa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

học Giáo dục, Hà Nội.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1

PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN PHỔ THÔNG

A. Thông tin cá nhân

Họ và tên giáo viên (GV): ....................................................................

Đơn vị công tác: ...................................................................................

B. Nội dung thăm dò ý kiến GV

Sau khi dạy học nội dung phương trình mũ và logarit, xin các Thầy (cô) vui

lòng đưa ra những nhận xét của mình theo các tiêu chí chỉ ra dưới đây (Với các ô

trống: chọn 1 đáp án ứng với các câu 1, 3, 4 và 5; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng

với các câu 2 và 8). Những thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ

cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác.

Câu 1. Theo Thầy (cô), nội dung phƣơng trình mũ và logarit là nội dung

dễ dạy hay khó dạy?

 Dễ dạy  Bình thường  Khó dạy

Câu 2. Đứng trƣớc một bài toán, những vấn đề Thầy (cô) quan tâm là:

 Cách giải bài toán

 Các dạng bài tập tương tự

 Phát triển bài toán theo hướng mở rộng, nâng cao

 Rút ra những kỹ năng cơ bản học sinh (HS) cần đạt được

Ý kiến khác: ..........................................................................................

...............................................................................................................

Câu 3. HS A lên bảng trình bày lời giải một bài toán. Sau khi nhận thấy lời

giải của HS A là sai, Thầy (cô) thƣờng khắc phục bằng cách:

 Gọi HS khác lên trình bày với lời giải khác

 Đưa ra lời giải chính xác

 Phân tích lời giải, tìm ra sai lầm và cùng nhau chính xác hóa lời giải

Ý kiến khác: ..........................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn

...............................................................................................................

Câu 4. Trong quá trình soạn giáo án, Thầy (cô) có quan tâm tạo ra những

tình huống có chứa sai lầm để thử thách HS?

 Luôn luôn  Thỉnh thoảng

 Rất ít  Không bao giờ

Câu 5. Thái độ học tập của HS nhƣ thế nào sau khi đƣợc nghe phân tích và

chỉ ra sai lầm mà mình mắc phải?

 Có hứng thú học tập, tiếp thu tích cực và không bao giờ tái phạm

những sai lầm đó nữa

 Tiếp thu nhưng vẫn tái phạm những sai lầm đó

 Thờ ơ, không có hứng thú với những bài toán chứa sai lầm

Câu 6. Thầy (cô) thƣờng gặp những khó khăn gì khi dạy học nội dung

phƣơng trình mũ và logarit?

...............................................................................................................

Câu 7. Theo Thầy (cô), khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, HS

thƣờng mắc phải những sai lầm gì?

...............................................................................................................

Câu 8. Theo Thầy (cô), nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải toán

chủ đề phƣơng trình mũ và logarit là:

 Không hiểu đúng khái niệm

 Áp dụng quy tắc, công thức, định lý một cách máy móc

 Lập luận thiếu logic

 Phân chia trường hợp riêng

Ý kiến khác: ..........................................................................................

...............................................................................................................

Xin chân thành cám ơn quý Thầy (cô)!

Phụ lục 2

PHIẾU HỎI HỌC SINH PHỔ THÔNG

A. Thông tin cá nhân

Họ và tên học sinh: ...............................................................................

Lớp: .......................................................................................................

Trường: .................................................................................................

B. Nội dung thăm dò ý kiến học sinh

Để góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động dạy và học, các em vui lòng

trả lời những câu hỏi trong phiếu này (Với các ô trống: chọn 1 đáp án ứng với

các câu 1, 4, 5 và 6; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng với các câu 2 và 3). Những

thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên cứu

khoa học, không vì một mục đích nào khác.

Câu 1: Sự hứng thú của em đối với chủ đề phƣơng trình mũ và logarit ở

mức nào dƣới đây?

 Thích  Bình thường  Không thích

Câu 2: Những khó khăn mà em gặp phải khi học chủ đề phƣơng trình mũ

và logarit là gì?

 Không có khó khăn gì, luôn chính xác

 Không thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập

 Có nhiều công thức gần giống nhau, rất dễ nhầm

 Không biết cách trình bày

 Tính toán sai

 Không thể định hướng được cách giải

Ý kiến khác: ..........................................................................................

...............................................................................................................

Câu 3: Khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, em thƣờng tham khảo

những tài liệu nào dƣới đây?

 Sách giáo khoa, Sách bài tập

 Bài giảng của giáo viên

 Các Sách chuyên đề về phương trình mũ và logarit

 Video các bài giảng, chương trình luyện thi trên internet

Ý kiến khác: ..........................................................................................

...............................................................................................................

Câu 4: Khi giải các dạng Toán thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit,

em có mắc phải những sai lầm mà thầy cô đã nhắc không?

 Có  Không

Câu 5: Sau khi đƣợc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm thƣờng xuyên mắc

phải, em thấy:

 Ghi nhớ, không bao giờ tái phạm

 Thỉnh thoảng tái phạm

 Luôn tái phạm

Câu 6: Trong các nội dung của môn Toán, em đánh giá những bài toán

thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit nhƣ thế nào?

 Dễ  Bình thường  Khó

Xin chân thành cám ơn các em!

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,

LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA

VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ,

LOGARIT CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA

VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................ i

MỤC LỤC ......................................................................................................................... ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .......................................... iii

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ ............................................................................. iv

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................ 4

Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN RÈN

LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHO HS

THPT THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM ................... 28

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................... 60

KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 70

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ................................. 71

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 72

Hình 1.1

Có thể bạn quan tâm

Khảo sát động cơ học tập của sinh viên Điều dưỡng tại Trường Đại học Duy Tân

Giảng dạy pháp luật quyền tác giả trong các trường đại học Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Biện pháp quản lý hoạt động tự học của học sinh ở các trường trung học cơ sở huyện Chương Mỹ, Thành phố Hà Nội

Tham gia chương trình Erasmus+ quy trình đăng ký và kinh nghiệm từ thực tiễn

Giải pháp mở ngành mới nhằm tăng sức hút tuyển sinh tại trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh

Kinh nghiệm áp dụng phương pháp lồng ghép kỹ năng giải quyết vấn đề vào giảng dạy pháp luật đại cương tạo trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh

Giải pháp nâng cao năng lực số của giảng viên trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh trong bối cảnh chuyển đổi số giáo dục

Nâng cao hiệu quả công tác nắm bắt chính trị, tư tưởng cho sinh viên trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh thông qua hoạt động đối thoại đa chiều

Định hướng kiểm định chất lượng CTĐT tại trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh theo Thông tư 04/2025/TT-BGDĐT

Cơ sở lí thuyết và ứng dụng hoạt động trải nghiệm sáng tạo trong dạy học Vật lí bậc trung học phổ thông

Sử dụng phần mềm Azota vào kiểm tra đánh giá thường xuyên trong dạy học đọc hiểu văn bản

The Impact of ChatGPT and AI on Higher Education in Vietnam

Thực trạng và giải pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy cho giáo viên Mĩ thuật bậc trung học cơ sở tại thành phố Biên Hòa, tỉnh Đồng Nai hiện nay

Các yếu tố ảnh hưởng đến quyết định đi làm thêm trong thời gian học tập của sinh viên Khoa Kinh tế, Trường Đại học Đồng Nai

Thiết kế khóa học trực tuyến hoàn toàn cho các môn toán dùng chung ở bậc đại học

Chính sách đặt hàng nhà nước đối với đào tạo, bồi dưỡng đội ngũ trí thức trong lĩnh vực khoa học và công nghệ - Thực trạng và đề xuất

Thực trạng học tiếng Nhật của sinh viên chuyên ngành Nhật Bản học tại Trường Đại học Công nghệ Đồng Nai và một số giải pháp cải thiện

Vận dụng mô hình lớp học đảo ngược trong quá trình giảng dạy học phần Lý thuyết số tại Trường Đại học An Giang

Thích nghi thang đo chiến lược tạo hạnh phúc cho trẻ của giáo viên mầm non

Tài liêu mới

Đề cương đồ án tốt nghiệp: Thành lập bản đồ địa chính khu vực xã Mỹ Lạc, huyện Thủ Thừa, tỉnh Long An bằng công nghệ GNSS-RTK

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Xác định quĩ đạo của chất điểm khi có phương trình vận tốc

Bài tiểu luận: Hệ thống sản xuất aspirin từ thiết bị vỏ áo hoạt động liên tục cho ra 10kg sản phẩm mỗi giờ

Báo cáo bài tập lớn Vật lý A1: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quĩ đạo của vật khi có phương trình chuyển động

Báo cáo bài tập lớn: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Bài tập lớn: Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt gián tiếp loại ống chùm thẳng đứng

Báo cáo bài tập lớn Vật lý A1: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quĩ đạo của vật khi có phương trình chuyển động

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Xác định quỹ đạo của vật bằng hàm Mathlab

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quỹ đạo của electron trong điện trường tĩnh

Báo cáo bài tập lớn: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Khóa luận tốt nghiệp: Nghiên cứu sự vận chuyển phóng xạ từ đất lên thực vật

Khóa luận tốt nghiệp: Bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 dạng bảo toàn trong hình tròn đơn vị

Khóa luận tốt nghiệp: Khảo sát điều kiện tách chiết và hoạt tính sinh học của cao chiết hoa đu đủ đực (Carica papaya L.) từ methanol và acetone

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP