zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Cơ khí - Chế tạo máy

Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Báo xấu

247
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT §2.1 Phân loại các lực Khi các lực từ bên ngoài tác dụng lên vật thể thì bên trong chúng xuất hiện các lực tương tác giữa các phần của vật thể với nhau. Theo quan điểm của cơ học các môi trường liên tục, các lực bên trong này phân bố liên tục trong lòng vật thể. Trong nghiên cứu, để cho tiện lợi, người ta phân các lực ra thành hai nhóm chính: Lực khối và Lực mặt . 2.1.1. Lực khối Lực khối là lực tác dụng lên mỗi thể tích phân...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 2

Lý Thuyết Đàn Hồi Chương II LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT §2.1 Phân loại các lực Khi các lực từ bên ngoài tác dụng lên vật thể thì bên trong chúng xuất hiện các lực tương tác giữa các phần của vật thể với nhau. Theo quan điểm của cơ học các môi trường liên tục, các lực bên trong này phân bố liên tục trong lòng vật thể. Trong nghiên cứu, để cho tiện lợi, người ta phân các lực ra thành hai nhóm chính: Lực khối và Lực mặt . 2.1.1. Lực khối Lực khối là lực tác dụng lên mỗi thể tích phân tố của vật thể. Lực khối phân tố, tác dụng lên thể tích vô cùng bé dV có độ lớn tỉ lệ với thể tích này và được xác định bằng biểu thức FdV , trong đó F là một véctơ hữu hạn, biểu thị lực khối tác dụng lên một đơn vị thể tích, được gọi là lực khối đơn vị. Lực khối đơn vị là hàm của toạ độ các điểm. Lực khối, tác dụng lên toàn vật thể, được định nghĩa như là hợp lực của các lực khối phân tố của toàn vật thể và được tính bằng tích phân trên toàn thể tích vật thể. FB = ∫∫∫ FdV (2.1) V Cơ sở của khái niệm về lực khối đưa ra trên đây trên sơ sở của giả thiết về tính liên tục của vật thể khảo sát. Lực trọng trường, lực quán tính, vv… là những ví dụ về các lực khối. Hình H2.1 biểu diễn lực khối là trọng lượng bản thân của một vật thể. Về sau, ta ký hiệu hình chiếu của vectơ F lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz trong một hệ toạ độ Đề- Các (De Cartre) gắn vào vật thể, tương ứng, là Fx, Fy, Fz ; X, Y, Z hoặc Bx By, Bz. 2.1.2. Lực mặt Lực mặt là lực tác dụng lên bề mặt giới hạn không gian bị chiếm chỗ bởi vật thể khảo sát và là kết quả tương tác vật lý giữa vật thể khảo sát với vật thể khác. Hình H2.2 biểu diễn lực mặt tác dụng lên mặt cắt tưởng tượng, cắt dầm khảo sát ra làm hai phần. Lực mặt phân tố tác dụng lên bề mặt vô cùng bé dS được xác định bằng biểu thức T n ( x )dS , trong đó, T n (x ) là vector hữu hạn và chính là lực mặt tác dụng lên một đơn vị diện tích của phân tố bề mặt Vectơ T n (x ) được gọi là ứng suất toàn phần hay lực mặt đơn vị (trên mặt có phấp tuyến ngoài n). 21
Lý Thuyết Đàn Hồi Cũng như trước đây đối với lực khối, lực mặt được định nghĩa như là hợp lực của tất cả các lực mặt phân tố tác dụng lên bề mặt khảo sát và được tính bằng cách tích phân các lực mặt phân tố trên toàn diện tích tác dụng: FS = ∫∫ T n (x )dS (2.2) S Lực mặt có thể là ngoại lực tác dụng lên bề mặt bao quanh vật thể, cũng có thể là nội lực tác dụng qua lại giữa các của phần vật thể khi chúng bị “tách” khỏi nhau bởi các mặt cắt nào đó. Trong trường hợp này, lực mặt có vai trò thay cho tác dụng từ phần vật thể bị cắt bỏ lên phần vật thể khảo sát §2.2. Vector lực mặt đơn vị và tensor ứng suất Để xác định sự phân bố của các nội lực tác dụng bên trong các môi trường liên tục, hãy xét một vật thể bất kỳ chịu tác dụng của các lực ngoài (tập trung hoặc/và phân bố) tùy ý. Ta thực hiện một mặt cắt như biểu thị trên hình vẽ H2.3. 22
Lý Thuyết Đàn Hồi Trên mặt cắt, xét một phân tố diện tích vô cùng bé ∆A , với pháp tuyến ngoài n. Hợp lực các lực mặt tác dụng lên ∆A được ký hiệu bởi ∆P . Trên diện tích vô cùng bé này, không để ý đến bất kỳ ngẫu lực nào. Vector lực mặt đơn vị, hay còn gọi là vector ứng suất toàn phần, được định nghĩa bởi. ∆P T n (n, x ) = lim (2.3) ∆A→ 0 ∆A Ký hiệu x chỉ vị trí của phân tố bề mặt khảo sát. Lực mặt đơn vị phụ thuộc vào cả vào vị trí trong không gian của phân tố diện tích khảo sát lẫn vector pháp tuyến ngoài của phân tố diện tích nói trên. Như vậy là cho dù khảo sát ngay tại một điểm nhưng khi thay đổi phương hướng mặt cắt đi qua điểm này, vector lực mặt đơn vị cũng thay đổi (cả về trị số lẫn phương, chiều). Trên cơ sở của nguyên lý Newton về tác dụng - phản tác dụng, ta có T n (n, x ) = −T n (− n, x ) (2.4) Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt khi mà phân tố diện tích ∆A trùng với mỗi một trong 3 mặt phẳng tọa độ, tức khi mà vector đơn vị pháp tuyến ngoài của diện tích trùng với hướng dương của trục toạ độ tương ứng. Hình H2.4 là minh họa cho trường hợp này, trong đó, phân tố diện tích ∆A chính là mặt bên của hình hộp phân tố tách ra từ vật thể khảo sát. Khi đó, lực mặt đơn vị (còn gọi là ứng suất toàn phần) trên từng mặt, song song với các mặt tọa độ, được xác định theo các công thức sau: T n (n = e1 ) = σ x e1 + τ xy e2 + τ xz e3 T n (n = e2 ) = τ yx e1 + σ y e2 + τ yz e3 (2.5) T (n = e3 ) = τ zx e1 + τ zyy e2 + σ z e3 n Trong đó, e1 , e 2 , e3 là các vector đơn vị trên các trục tọa độ, còn 9 đại lượng {σ x , σ y , σ x ,τ xy ,τ yx ,τ yz ,τ zy ,τ xz ,τ zx } là các thành phần của lực mặt đơn vị (tức của ứng suất toàn phần) trên mỗi một trong 3 mặt toạ độ, như minh họa trên hình H2.4, cụ thể: • σ x ,τ xy ,τ xz là các thành phần của lực mặt đơn vị trên mặt tọa độ x, T n (n = e1 ) ; 23
Lý Thuyết Đàn Hồi σ y ,τ yx ,τ yz là các thành phần của lực mặt đơn vị trên mặt tọa độ y, T (n = e2 ) ; • n σ z ,τ zy ,τ zx là các thành phần của lực mặt đơn vị trên mặt tọa độ z, T n (n = e3 ) ; • Các đại lượng { x , σ y , σ x ,τ xy ,τ yx ,τ yz ,τ zy ,τ xz ,τ zx } này được gọi là các thành phần ứng suất. σ Khi biến đổi (xoay) hệ tọa độ, các thành phần ứng suất tại một điểm cũng thay đổi theo. Sự thay đổi này phản ảnh trạng thái ứng suất tại một điểm (chứ không làm thay đổi trạng thái này). Các thành phần ứng suất, σ ij có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: σ x τ xy τ xz    σ = [σ ] = τ yx σ y τ yz  (2.6) τ zx τ zy σ z    Và cũng có thể biểu diễn dưới dạng một tenso hạng hai, σ ij , tuân thủ qui luật tổng quát chuyển hệ tọa độ đối với các thành phần của một tensor. Các thành phần ứng suất { x , σ y , σ z } chính là thành phần của vector ứng suất toàn phần trên các σ pháp tuyến ngoài của mặt chịu tác dụng, và được gọi là ứng suất pháp, còn các thành phần ứng suất còn lại, { xy ,τ yx ,τ yz ,τ zy ,τ xz ,τ zx }, nằm trong các mặt phẳng tiếp tuyến với mặt chịu lực, được gọi là các ứng τ suất tiếp hay ứng suất cắt. Qui tắc xác định dấu của các thành phần ứng suất: Không phụ thuộc gì vào các trục tọa độ, các ứng suất pháp sẽ là dương khi có tác dụng kéo, âm khi nén (từ ngoài vào bên trong vật thể) và với chúng, chỉ cần sử dụng một chỉ số dưới biểu thị pháp tuyến ngoài của bề mặt tác dụng để phân biệt vì mỗi một bề mặt chỉ có một pháp tuyến ngoài. Trong khi đó, trên mỗi bề mặt vuông góc với một trục tọa độ có hai thành phần ứng suất tiếp, theo phương hai trục tọa độ còn lại. Các ứng suất cắt trong trường hợp này cần đến hai chỉ số dưới để phân biệt: chỉ số trước cho biết trục tọa độ vuông góc với bề mặt chịu tác dụng còn chỉ số sau biểu thị phương tác dụng của ứng suất này và qui ước về dấu của các ứng suất cắt này như sau: trên bề mặt có pháp tuyến ngoài trùng với hướng dương của một trục tọa độ nào đó thì ứng suất cắt sẽ dương nếu như nó theo hướng dương của trục tọa độ tương ứng và ngược lại. Không có qui ước dấu cho ứng suất tiếp toàn phần (bằng tổng hợp của hai thành phần ứng suất tiếp theo hai trục tọa độ tương ứng). Qui tắc đơn giản trên đây về dấu của các thành phần ứng suất cần phải được nắm vững. Trên hình vẽ H2.4 biểu diễn các thành phần ứng suất được qui ước là dương (trên các mặt có pháp tuyến ngoài trùng với hướng dương của các trục tọa độ). Các khái niệm tensor ứng suất và lực mặt đơn vị trên đây được đưa ra dựa trên nguyên lý biến dạng bé, theo đó, không để ý đến sự sai khác giữa cấu hình biến dạng và không biến dạng của vật thể (cấu hình không biến dạng được dùng làm cấu hình qui chiếu). Sự sai khác nói trên là nhỏ, thường được bỏ qua và chỉ xét đến khi nghiên cứu các hiệu ứng cấp cao. Tuy nhiên, trong lý thuyết biến dạng lớn, sự sai khác về kích cỡ giữa hai cấu hình biến dạng và không biến dạng này lại là chủ đề chính, là cơ sở của việc việc hình thành các bài toán tương ứng. Chính việc xét đến sự sai khác này làm nảy sinh ra một khái niệm ứng suất bổ sung, gọi là tensor ứng suất Piola-Kirchhoff, biểu thị lực trên đơn vị diện tích của cấu hình qui chiếu. Trong một sơ đồ tổng quát hơn, ứng suất được biểu diễn bởi tensor ứng suất Cauchy. Tuy nhiên, trong giáo trình này, ta chỉ sử dụng nguyên lý biến dạng bé và do đó, không cần thiết phải nói đến sự khác biệt giữa các khái niệm ứng suất nói trên. Tiếp đến, hãy khảo sát cân bằng của một tứ diện phân tố có các cạnh dx, dy, dz dưới tác dụng của các lực mặt trên các mặt tọa độ và mặt xiên (H2.5). Lực khối được bỏ qua vì là vô cùng bé bậc cao hơn các lực mặt. Có thể biểu diễn vector đơn vị pháp tuyến ngoài n của mặt xiên này theo các vector đơn vị cơ bản của hệ trục tọa độ nhờ biểu thức sau n = n x e1 + n y e 2 + n z e 3 , (2.7) 24
Lý Thuyết Đàn Hồi trong đó, n x , n y , n z là các cosine chỉ phương của vector đơn vị pháp tuyến ngoài n trong hệ tọa độ cho trước còn e1 , e 2 , e 3 là các vector đơn vị trên các trục tọa độ của hệ này. Sử dụng điều kiện hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên tứ diện phân tố phải triệt tiêu (với lực khối được bỏ qua), ta thu được phương trình: T n + nxT (n = − e1 ) + n yT (n = − e2 ) + nzT (n = − e3 ) = 0 Từ đó, liên hệ với (2.4), có: T n = n x T (n = e1 ) + n y T (n = e 2 ) + n z T (n = e 3 ) (2.8) Sử dụng tiếp quan hệ (2.5), thu được T n = (σ x n x + τ yx n y + τ zx n z ).e1 ( ) + τ xy n x + σ y n y + τ zy n z .e 2 . (2.9) + (τ xz n y + τ yz n z + σ z n x ).e 3 Hay có thể viết gọn theo ký hiệu chỉ số (ký hiệu tensor) Ti n = σ ji n j (2.10) Dạng vô hướng của phương trình (2.9) là: Txn = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z T yn = τ xy n x + σ y n y + τ zy n z (2.9*) Tz = τ xz n x + τ yz n y + σ z n z n Tn theo các trục tọa độ Ox, Oy, Oz (Trong một số với Txn , T yn , Tzn là các thành phần của lực trên mặt xiên công thức, các thành phần này có thể được ký hiệu bởi X ν , Yν , Zν ). Phương trình (2.9)/(2.9*), biểu thị quan hệ giữa các ứng suất toàn phần trên mặt xiên và các mặt tọa độ của tứ diện phân tố, được gọi là phương trình điều kiện biên. Về thực chất, phương trình điều kiện biên đúng cho cả phân tố trên mặt biên lẫn phân tố trong lòng vật thể khảo sát. Các thành phần của vector ứng suất toàn phần trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz của bề mặt có pháp truyến ngoài n còn được ký hiệu bởi X n , Yn , Z n . 25
Lý Thuyết Đàn Hồi (T ) = ( ) + ( ) + ( ) n2 2 2 2 Txn T yn Tzn Từ đó, có: (2.11) = X n + Yn2 + Z n 2 2 Các biểu thức (2.9) và (2.10) cho phép tính toán trực tiếp ứng suất trên các mặt nghiêng bất kỳ theo các ứng suất trên các mặt tọa độ. Đây cũng chính là những công cụ rất hữu ích cho việc áp đặt các điều kiện biên tổng quát khi thiết lập và giải các bài toán Lý Thuyết Đàn hồi. §2.3 Các phương trình cân bằng Các thành phần ứng suất phân bố liên tục và được xác định một cách duy nhất vào các lực ngoài. Đối tượng khảo sát ở đây là vật thể dàn hồi trong trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các lực ngoài. Vì vật thể trong trạng thái cân bằng nên có thể áp dụng điều kiện cân bằng cho toàn thể hoặc một phần bất kỳ nào đó của nó. Nói cách khác, vector chính và momen chính của lực (ngoài) tác dụng lên toàn thể hoặc một phần bất kỳ của vật thể phải luôn bằng 0. Xét một miền con, với thể tích V và diện tích bề mặt S, bên trong một vật thể đàn hồi đang trong trạng thái cân bằng. Trên cơ sở của điều kiện cân bằng về vector chính của các lực tác dụng, ta có ∫∫ Ti dS + ∫∫∫ Fi dV = 0 (2.12) n S V Sử dụng (2.10), có thể viết lại (2.12) dưới dạng ∫∫ σ ji n j dS + ∫∫∫ Fi dV = 0 (2.13) S V Áp dụng đinh lý Gauss (1.46) chuyển tích phân trên mặt S trong (2.13) về thành tích phân trên miền V, ta có ( ) ∫∫∫ σ ji , j + Fi dV = 0 (2.14) V Vì hàm dưới dấu tích phân của (2.14) là liên tục và miền V là bất kỳ nên trên cơ sở của định lý giá trị zero (1.51), ta có ( ) σ ji , j + Fi = 0 (2.15). Quan hệ (2.15) tương ứng với 3 quan hệ vô hướng sau 26
Lý Thuyết Đàn Hồi ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fy = 0 (2.16) ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fz = 0 ∂z ∂y ∂z Quan hệ (2.16) được gọi là các phương trình cân bằng. Các thành phần ứng suất trong mọi môi trường đàn hồi phải thỏa mãn các phương trình cân bằng (2.16) để tồn tại trong trạng thái cân bằng tĩnh. Điều kiện cân bằng về momen chính của các lực tác dụng trên bề mặt có thể viết dưới được dạng ký hiệu chỉ số như sau ∫∫ ε ijk x j Tk dS + ∫∫∫ ε ijk x j Fk dV = 0 . (2.17) n S V Biểu diễn lực mặt trong (2.17) theo (2.10), có thể viết lại phương trình này ∫∫ ε ijk x j σ lk nl dS + ∫∫∫ ε ijk x j Fk dV = 0 . S V [( ] Với việc áp dụng định lý Gauss, phương trình trên dẫn đến ) ∫∫∫ ε ijk x j σ lk ,l + ε ijk x j Fk dV = 0 V Hàm dưới dưới tích phân có thể khai triển rồi sử dụng (2.15) để rút gọn như sau ∫∫∫ [ε ] x j ,l σ lk + ε ijk x j σ lk ,l + ε ijk x j Fk dV = ijk V ∫∫∫ [ε δ jl σ lk + ε ijk x j σ lk ,l + ε ijk x j Fk ]dV = ijk V ∫∫∫ [ε ] ( ) σ jk − ε ijk x j Fk + ε ijk x j Fk dV = ∫∫∫ ε ijk σ jk dV ijk V V Từ đ ó ( ) ∫∫∫ ε ijk σ jk dV = 0 V Cũng như trên đây, vì miền V là bất kỳ nên hàm dưới tích phân phải triệt tiêu, tức ε ijk σ jk = 0 . Nhưng vì bản thân ký hiệu hoán vị là phản xứng theo các chỉ số j và k nên σ jk , số hạng còn lại của tích trên, phải đối xứng, có nghĩa là τ xy = τ yx σ jk = σ kj ⇔ τ xz = τ zx (2.18) τ yz = τ zy Quan hệ (2.18) được gọi là qui tắc tương đồng của ứng suất tiếp. Kết quả trên cho thấy: Tensor ứng suất là đối xứng, và như vậy, trong bài toán 3 chiều, (3D), chỉ còn lại 6 thành phần ứng suất độc lập nhau. Phương trình cân bằng còn có thể viết dưới dạng ký hiệu chỉ số như sau: σ ij , j + Fi = 0 (2.19) Cũng chứng minh rằng các kết quả phương trình cân bằng (2.16) cùng với qui tắc tương đồng (2.18) có thể thu được bằng cách áp dụng trực tiếp điều kiện cân bằng tĩnh một cách trực (điều kiện vector chính và momen chính cùng triệt tiêu) của hệ lực tác dụng lên hình hộp phân tố, có các cạnh dx, dy, dz song song với các trục tọa độ (Xem H2.7). Trong trường hợp này, các thành phần ứng suất trên các mặt có tạo độ x + dx, y + dy, z + dz được xác định gần đúng theo các giá trị trên các mặt có tạo độ x, y, z cộng với các gia số 27
Lý Thuyết Đàn Hồi thích hợp, xác định theo khai triển Taylor. Chẳng hạn như, nếu ứng suất pháp trên mặt x là σ x thì trên mặt ∂σ x x + dx ứng suất pháp có giá trị là σ x + dx ,… ∂x Các thành phần trên các trục tọa độ của lực khối đơn vị tác dụng lên hình hộp phân tố là Fx , Fy , Fz , đặt tại trọng tâm hình hộp, còn các thành phần ứng suất trên các mặt đặt tại trọng tâm của mặt. Áp dụng điều kiện triệt tiêu vector chính các lực tác dụng lên hình hộp phân tố, ta thu được phương trình cân bằng (2.16) còn điều kiện triệt tiêu momen chính cho kết quả là qui tắc tương đồng ứng suất tiếp (2.18). §2.4 Biến đổi các thành phần ứng suất Ứng suất tại một điểm là một tensor (hạng 2), biểu diễn được bằng một ký hiệu với hai chỉ số, σ ij , do đó, các thành phần của nó cũng phải tuân thủ phép biến đổi khi xoay hệ tọa độ (xem §1.4). Theo qui tắc này, có thể biểu diễn các thành phần của ứng suất trong hệ tọa độ mới (hệ có dấu phNy) theo các thành phần trong hệ tọa độ ban đầu nhờ công thức thứ 3 trong (1.26): σ ij = Q ip Q jq σ pq (2.19) ' trong đó, ma trận xoay Qij trong trường hợp tổng quát được xác định bởi  l1 m1 n1  = l 2 m2 n2  . Qij = cos( xi' , x j ) (2.20)   l3 m3 n3    Khi đó, dạng vô hướng tương ứng của công thức (2.19) như sau: 28
Lý Thuyết Đàn Hồi σ x ' = σ l + σ y m + σ n + 2τ xy l1 m1 + 2τ yz m1 n1 + 2τ zx n1l1 ; 2 2 2 x1 1 z1 τ x ' y ' = σ x l1l 2 + σ y m1m2 + σ z n1 n2 + τ xy (l1 m2 + m1l 2 ) + τ yz (m1 n2 + n1 m2 ) + τ zx (l1 n2 + n1l 2 ); τ z ' x ' = σ x l1l 3 + σ y m1m3 + σ z n1n3 + τ xy (l1 m3 + m1l 3 ) + τ yz (m1 n3 + n1 m3 ) + τ zx (l1 n3 + n1l 3 ). (2.21) σ y ' = σ x l 22 + σ y m2 + σ z n2 + 2τ xy l 2 m2 + 2τ yz m2 n2 + 2τ zx n2 l 2 ; 2 2 τ y ' z ' = σ x l 2 l3 + σ y m2 m3 + σ z n2 n3 + τ xy (l 2 m3 + m2 l 3 ) + τ yz (m2 n3 + n2 m3 ) + τ zx (l 2 n3 + n2 l 3 ); σ z ' = σ x l 32 + σ y m3 + σ z n32 + 2τ xy l 3 m3 + 2τ yz m3 n3 + 2τ zx n3l 3 ; 2 Trường hợp riêng, trong bài toán hai chiều (2D), khi mà các thành phần ứng suất trên mặt vuông góc với một trục tọa độ nào đó, chẳng hạn trục z, đều băng 0 - ta gọi là trạng thái ứng suất phẳng- phép biến đổi hệ tọa độ chỉ là phép xoay quanh trục tọa z của hệ ban đầu, ma trân biến đổi (xoay quanh trục) có dang:  cosθ sin θ 0 Qij = − sin θ cosθ 0 , (2.22)   0 1 0   các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ xoay được xác định theo công thức sau σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cos θ ; σ y ' = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − 2 sin θ cos θ ; (2.23) τ x ' y ' = −σ x sin θ cos θ + σ y sin θ cos θ + τ xy (cos 2 θ − sin 2 θ ). Có thể viết lại (2.23) theo các hàm lượng giác của hai lần góc xoay: σ x +σ y σ x −σ y σ x' = cos 2θ + τ xy sin 2θ ; + 2 2 σ x +σ y σ x −σ y σ y' = cos 2θ − τ xy sin 2θ ; − (2.24) 2 2 σ y −σ x τ x' y ' = sin 2θ − τ xy cos 2θ . 2 §2.5 Ứng suất chính và vòng tròn Mohr 2.5.1.Ứng suất chính Như đã biết, ứng suất là một tensor đối xứng cấp 2, do đó, trên cơ sở những điều đã đề cập đến trong mục §1.6 về trị chính và hướng chính, cho một tesor ứng suất bất kỳ, ta có thể xác định được các trị chính và các hướng chính. Phương trình đặc trưng của tensor ứng suất sẽ là ( ) σ σ σ det σ ij − σδ ij = −σ 3 + I1 σ 2 − I 2 σ + I 3 = 0 . (2.25) Các nghiệm của phương trình đặc trưng (ký hiệu là σ 1 , σ 2 , σ 3 ) gọi là các ứng suất chính. Các bất biến của tensor ứng suất σij xác định được theo các ứng suất chính và theo các ứng suất trong hệ tọa độ thường nhờ các quan hệ sau: σ I3 = σ1 + σ 2 + σ 3 = σ x + σ y + σ z ; σ I 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 = σ xσ y + σ yσ z + σ z σ x − τ xy − τ yz − τ zx ; 2 2 2 (2.26) σ I 3 = σ 1σ 2σ 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ xτ yz − σ yτ zx − σ zτ xy . 222 2 2 2 Để cho gọn, chỉ số trên của các bất biến của tensor ứng suất có thể được bỏ qua nhưng tránh gây nhầm lẫn với các bất biến của tensor biến dạng (xem chương II). 29
Lý Thuyết Đàn Hồi Trong hệ tọa độ mà các trục tọa độ song song với các hướng chính (gọi là hệ tọa độ chính), ma trận ứng suất có dạng đường chéo σ 1 0 0 σ ij =  0 σ 2 0  , (2.27)   0 σ3 0   tức trong hệ tọa độ chính, các thành phần ứng suất tiếp đều triệt tiêu và chỉ còn lại các thành phần ứng suất pháp. Hình H2.8 minh họa các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ thường và trong hệ tọa độ chính của sùng một trạng thái ứng suất tại một điểm. 2.5.2.Vòng tròn Mohr Bây giờ,hãy khảo sát sự biến đổi của ứng suất toàn phần T n tác dụng trên một bề mặt bất kỳ (H2.9). Ký hiệu thành phần của ứng suất toàn phần T n trên pháp tuyến n, (ứng suất pháp), bởi N , còn thành phần trên mặt tác dụng, (ứng suất tiếp toàn phần), bởi S. Ta có: N = T n .n; (2.28) ()2 S = Tn − N2. Sử dụng hệ tọa độ chính và công thức (2.10), có thể viết N = T n .n = Ti n ni = σ ji n j ni (2.29) = σ 1n1 + σ 2 n2 + σ 3 n3 . 2 2 2 2 = T n .T n = Ti nTi n = σ ji n j σ ki nk T (2.30) = σ 12 n1 + σ 2 n2 + σ 2 n3 . 2 22 22 30
Lý Thuyết Đàn Hồi Thay các kết quả này vào (2.28), thu được N = σ 1 n12 + σ 2 n2 + σ 3 n3 ; 2 2 (2.31) S 2 + N 2 = σ 12 n12 + σ 2 n2 + σ 3 n3 . 22 22 v Các quan hệ (2.31) kết hợp với điều kiện n (n1 , n 2 , n3 ) là vector đơn vị, tức n12 + n 2 + n3 = 1 , ta có hệ 3 2 2 phương trình đại số ví 3 Nn số n12 , n 2 , n3 . Giải hệ phương trình này cho kết quả 2 2 S 2 + ( N − σ 2 )( N − σ 3 ) n= 2 ; (σ 1 − σ 2 )(σ 1 − σ 3 ) 1 S 2 + ( N − σ 3 )( N − σ 1 ) n2 = 2 ; (2.32) (σ 2 − σ 3 )(σ 2 − σ 1 ) S 2 + ( N − σ 1 )( N − σ 2 ) n3 = 2 . (σ 3 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) Không ảnh hưởng đến tính tổng quát, ta giả thiết rằng σ 3 ≤ σ 2 ≤ σ 1 , từ (2.32) ta có S 2 + (N − σ 2 )( N − σ 3 ) ≥ 0; S 2 + (N − σ 3 )( N − σ 1 ) ≤ 0; (2.33) S + (N − σ 1 )( N − σ 2 ) ≥ 0. 2 Trường hợp giới hạn, ứng với dấu “=” giữa hai vế, các phương trình (2.33) biểu thị ba vòng tròn trong hệ tọa độ N-S (H2.10). Các vòng tròn này mang tên nhà bác học Otto Mohr, người tìm ra đầu tiên (vào thế kỷ 19). Trên hình (2.10), các giá trị của N và S thỏa mãn các bất đẳng thức (2.33) nằm trong vùng được gạch chéo. Ví dụ 2.1 Biến đổi các thành phần ứng suất 3 1 1  Cho các thành phần ứng suất trong hệ tọa độ bất kỳ σ ij = 1 0 2 .   1 2 0   . 31
Lý Thuyết Đàn Hồi Hãy xác định các ứng suất chính, hướng chính và ứng suất toàn phần trên mặt có pháp tuyến ngoài  1 1 n 0,  ,  2 2 Để tìm các ứng suất chính, cần xác định trước các bất biến của tensor ứng suất: σ σ σ I1 = 3, I 2 = −6, I 3 = −8 . Phương trình đặc trưng sẽ là − σ 3 + 3σ 2 + 6σ − 8 = 0 . σ 1 = 4, σ 2 = 1, σ 3 = −1 . Phương trình này có 3 nghiệm: Thay nghiệm đầu tiên vào hệ (1.29), được − n1(1) + n 21) + n31) = 0; ( ( n1(1) − 4n 21) + 2n31) = 0; ( ( n1(1) + 2n 21) − 4n31) = 0. ( ( ( ) Giải hệ phương trình trên, tìm được hướng chính (sau chuNn hóa) n (1) = 2 / 6 , 1 / 6 , 1 / 6 . Tương tự ( 3 ) và ( ) (2 ) (3 ) như trên, tìm được hai hướng chính còn lại n = − 1 / 3 , 1 / 3 , 1 / n = 0 / 2, - 1/ 2,1/ 2 . Vector ứng suất toàn phần trên bề mặt định sẵn được xác định theo công thức (2.10) 3 1 1   0  2 2     Ti n = 1 0 2 1 2  = 2 2  .   1 2 0 1 2  2 2      §2.6 Tensor ứng suất cầu và tensor ứng suất lệch Để tiện lợi cho việc tính toán, nghiên cứu, người ta phân tensor ứng suất ra thành hai phần, có tên là tensor ứng suất cầu và tensor ứng suất lệch. Tensor ứng suất cầu của tensor σ ij được định nghĩa bởi 32
Lý Thuyết Đàn Hồi 1 ) σ ij = σ kk δij , (2.34) 3 còn tensor ứng suất lệch - bởi 1 ~ σ ij = σ ij − σ kk δij . (2.35) 3 Dễ dàng thấy rằng ) ~ σ ij = σ ij + σ ij (2.36) Tensor ứng suất cầu là đẳng hướng vì nó hoàn toàn như nhau trong mọi hệ tọa độ. Có thể chứng tỏ rằng Tensor ứng suất lệch và tensor σ ij có cùng các hướng chính như nhau. §2.7 Các quan hệ trong tọa độ trụ và tọa độ cầu Nhiều bài toán đàn hồi cần được thiết lập trong hệ tọa độ trụ hoặc trong hệ tọa độ cầu. Trong mục này, ta xác lập các quan hệ chủ yếu của lý thuyết ứng suất trong các hệ tọa độ này. Với ký hiệu vector/ma trận, phương trình cân bằng có thể biểu diễn dưới dạng sau: ∇.σ + F = 0, (2.37) trong đó, σ = σ ij ei e j - ma trận ứng suất được viết dưới dạng dyadic; ei – vector đơn vị cơ sở trong hệ tọa độ cong còn F là vector lực khối. Đối với hệ tọa độ trụ (H2.11), ma trận ứng suất được định nghĩa bởi  σ r τ rθ τ rz  σ = τ rθ σ θ τ θz  . (2.38)   τ rz τ θz σ z    Tiếp đến, các ứng suất có thể biểu diễn theo các lực mặt như sau: σ = e r Tr + eθ Tθ + e z T z , (2.39) trong đó, Tr = σ r e r + τ rθ eθ + τ rz e z ; Tθ = τ rθ e r + σ θ eθ + τ θz e z ; (2.40) Tz = τ rz e r + τ θz eθ + σ z e z . Sử dụng công thức đạo hàm tọa độ cong (1.59) và divergence của một vector (1.63), ta có 33
Lý Thuyết Đàn Hồi 1 ∂Tθ ∂Tz ∂Tr 1 ∇.σ = + Tr + + r ∂θ ∂r r ∂z τ ∂σ r ∂τ e r + rθ eθ + rz e z + (σ r e r + τ rθ eθ + τ rz e z ) 1 = ∂r ∂r ∂r r (2.41) 1  ∂τ ∂τ  +  rθ e r + τ rθ eθ + θz e z  r  ∂θ ∂θ  ∂τ ∂τ ∂σ z + rz e r + θz eθ + ez . ∂z ∂z ∂z Thay các kết quả trên vào ptcb (2.37) cho hệ tọa độ trụ, ta có được dạng vô hướng của phương trình này như sau ∂σ r 1 ∂τ rθ ∂τ rz + (σ r − σ θ ) + Fr = 0; + + r ∂θ ∂r ∂z ∂τ rθ 1 ∂σ θ ∂τ θz 2 + τ rθ + Fθ = 0; + + (2.42) r ∂θ ∂r ∂z r ∂τ rz 1 ∂τ θz ∂σ z 1 + τ rz + Fz = 0. + + r ∂θ ∂r ∂z r Với hệ tọa độ cầu (xem định nghĩa qua H1.5, các thành phần ứng suất biểu thị trên H2.12), ma trận ứng suất được cho bởi  σ R τ Rφ τ Rθ    σ = τ Rφ σ φ τ φθ  . (2.43) τ Rθ τ φθ σ θ    Một cách tương tự như đã làm trên đây, ta thu được các ptcb dạng vô hướng trong hệ tọa độ cầu như sau: ∂σ R 1 ∂τ Rφ 1 ∂τ Rθ 1 + (2σ R − σ φ − σ θ + τ Rφ cos φ ) + FR = 0; + + R ∂φ R sin φ ∂θ ∂R R ∂τ Rφ 1 ∂σ φ 1 ∂τ φθ 1 [ ] + (σ φ − σ θ )cos φ + 3τ Rφ + Fφ = 0; + + (2.44) ∂ φ R ∂φ R sin φ ∂θ R ∂τ Rθ 1 ∂τ φθ 1 ∂σ θ 1 + (2τ φθ cos φ + 3τ Rθ ) + Fθ = 0. + + R ∂φ R sin φ ∂θ ∂R R Các kết quả trên đây có vẻ phức tạp hơn nhiều so với hệ tọa độ Đề-Các. Tuy nghiên, trong những điều kiện cụ thể, chúng lại cho phép thu được các lời giải giải tích mà trong hệ tọa độ Đề-Các không thể có được. Ngoài ra, có thể thấy rằng trong các phương trình cân bằng (2.42) và (2.44) có chứa các thành phần bổ sung không dưới dạng đạo hàm. Các thành phần bổ sung này xuất hiện là do không gian bị uốn cong. Tuy nhiên, một cách trực giác hơn, có thể giải thích sự xuất hiện này nhờ việc khảo sát cân bằng của phân tố tương ứng trong từng hệ tọa độ, dưới tác dụng của các lực trên các mặt bên và các lực khối. 34
Lý Thuyết Đàn Hồi TÓM LƯỢC CHƯƠNG II Lực tác dụng lên vật thể đang hồi được phân thành hai loại: lực khối và lực mặt. Lực khối tác dụng lên mọi thể tích vật thể và là kết quả tương tác với tác nhân bên ngoài vật thể. Sử dụng nguyên lý của cơ học các môi trường liên tục, có thể định nghĩa mật độ của lực khối hay lực khối đơn vị F(x). Khi tính lực khối phân tố, lực khối đơn vị phân bố đều trên thể tích phân tố khảo sát. Lực khối tác dụng lên vật thể bằng tích phân của lực khối phân tố trên toàn bộ thể tích vật thể. Lực mặt là lực tác dụng lên bề mặt vật thể và là kết quả tương tác vật lý với vật thể khác. Lực mặt tác dụng lên một diện tích được xác định bằng tích phân của hàm số mật độ lực mặt (hay lực mặt đơn vị) trên diện tích đó. Lực mặt đơn vị còn có tên gọi thông dụng hơn là ứng suất toàn phần. Ứng suất toàn phần trên các mặt tọa độ có thể phân thành 3 thành phần: một ứng suất pháp tuyến và hai ứng suất tiếp tuyến. Như vậy, trên 3 mặt tọa độ tại mỗi điểm có 9 thành phần ứng suất. Các thành phần ứng suất tại một điểm có thể biểu thị dưới dạng một ma trận 3x3 hay dưới dạng một tensor cấp 2 đối xứng, gọi là ma trận ứng suất hay tensor ứng suất. Có thể chứng tỏ rằng, các thành phần của ma trận ứng suất (hay tensor ứng suất) tuân thủ qui tắc biến đổi hệ tọa độ (1.26)3. Mỗi một trạng thái ứng suất tồn tại một hệ trục tọa độ được gọi là hệ tọa độ chính của ứng suất sao cho trên các mặt tọa độ chỉ có ứng suất pháp. Các thành phần ứng suất pháp trong hệ tọa độ chính được gọi là các ứng suất chính. Các ứng suất chính là các ứng suất toàn phần cực trị. Giữa các thành phần ứng suất tại một điểm tồn tại các mối quan hệ có tên là các điều kiện biên và các điều kiện cân bằng. Điều kiện biên và điều kiện cân bằng là các mối quan hệ có tầm quan trọng then chốt trong Lý thuyết đàn hồi. Điều kiện cân bằng cùng với điều kiện biên vẫn chưa đủ cho việc giải quyết bài toán của Lý thuyết đàn hồi mà mục tiêu là xác định trạng thái ứng suất tại các điểm trong vật thể đàn hồi dưới tác dụng của các lực ngoài đã biết. Có thể nói: bài toán Lý thuyết đàn hồi là siêu tĩnh. 35

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2431 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.