Một số bất đẳng thức liên hệ với hàm Bessel loại một

Chia sẻ: Bautroibinhyen17 Bautroibinhyen17 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, bằng việc xét biểu diễn tích phân của hàm Bessel loại một và bất đẳng thức đối với hàm lõm và r-lõm, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức có liên hệ với hàm Bessel loại một. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bất đẳng thức liên hệ với hàm Bessel loại một

Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 19 – 22 An Giang University MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN HỆ VỚI HÀM BESSEL LOẠI MỘT Nguyễn Ngọc Huề1 1 ThS. Khoa Khoa học Tự nhiên & Công nghệ, Trường Đại học Tây Nguyên Thông tin chung: Ngày nhận bài: 02/05/14 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 25/08/14 Ngày chấp nhận đăng: 22/10/14 ABSTRACT Title: The inequalities and the first kind of Bessel Trong bài báo này, bằng việc xét biểu diễn tích phân của hàm Bessel loại một và bất đẳng thức đối với hàm lõm và r-lõm, chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức có liên hệ với hàm Bessel loại một. In this paper, in view of the integral representation of Bessel functions of the first kind and the inequalities for concave and r-concave functions, we establish some inequalities related to the Bessel functions of the first kind. TÓM TẮT Từ khóa: Hàm Bessel loại một, bất đẳng thức, hàm lõm Keywords: Bessel functions of the first kind, Inequalities, concave functions  J ( x ) nÕu x  0  x  f ( x )   lim J ( x ) nÕu x  0.  x 0 x   (0.2) Dễ thấy rằng f ( x)  f ( x) với mọi x  và 1 . Hơn nữa, f là hàm khả vi f (0)   2 (  1) liên tục trên . Ngoài ra, ta cũng có 1. GIỚI THIỆU Hàm Bessel loại một cấp , ký hiệu J ( x) , được xác định bởi một nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân cấp hai x2 y ''( x)  xy '( x)  ( x  2 ) y( x)  0 mà ta cũng gọi là phương trình Bessel chỉ số  . Ta biết rằng (Árpád & Neuman, 2005)   x J ( x)    2  (1)m ( x / 2)2 m  m!(  m  1) , x . f( x)   x f 1 ( x), m 0 với mọi x  . Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng đẳng thức (1.1) để đưa ra một số tính chất và bất đẳng thức mới cho hàm f dựa trên các tính chất của hàm lõm và r -lõm. M. Abramowitz và I. A. Stegun đã đề cập đến biểu diễn tích phân của hàm Bessel loại một dưới dạng (Abramowitz và Stegun, 1972) J ( x)  (0.3) 1 ( x / 2) (1  t 2 ) 1/2 cos( xt )dt. (1/ 2)(  1/ 2) 0 (0.1) Từ biểu thức này ta định nghĩa hàm 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ở đây, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả có liên hệ với các kết quả chính của chúng tôi. Định nghĩa 2.1 (Roberts & Vargerg, 1973). Một 19 Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 19 – 22 An Giang University hàm f được gọi là lõm trên  a, b nếu và chỉ nếu f (tx  (1  t ) y)  t f ( x)  (1  t ) f ( y) (1.1) với mọi t [0,1] và mọi x, y [a, b] . Trong (Roberts & Vargerg, 1973), A. W. Roberts và D. E. Vargerg đã nói đến điều kiện để hàm hai lần khả vi f là hàm lõm trên I là f ''( x)  0 với mọi x  I . Pearce, 2000) đã nói đến các kết quả nổi tiếng đối với một hàm lồi trên một đoạn. Ở đây, chúng tôi trình bày các kết quả này cho hàm lõm. Định lí 2.3 (Dragomir & Pearce, 2000). Cho p, q là các số thực dương và f là một hàm lõm liên tục trên [a1 , b1 ] . Khi đó, với a1  a  b  b1 , các bất đẳng thức sau đúng A y  pa  qb  1 1 pf (a)  qf (b) f   f (t)dt  2 ( f ( A  y)  f ( A  y))  p  q ,  p  q  2 y A y Định nghĩa 2.2 (Zabandan, Bodaghi & Kilicman, 2012). Một hàm dương f được gọi là r-lõm trên  a, b nếu với mỗi x, y [a, b] và t [0,1] ta có  tf r ( x )  (1  t ) f r ( y) 1/ r , r  0   f (tx  (1  t ) y)    t 1 t  f ( x )   f ( y )  , r  0.  trong đó A  pa  qb và 0  y  min{ p, q} . pq Định lí 2.4 (Dragomir & Pearce, 2000). Cho f là hàm lõm trên  a, b . Khi đó, với mọi t [a, b] , ta (1.2) có bất đẳng thức sau b 1 f (t ) 1 bf (b)  af (a)  t  f (b)  f (a) (1.7) f ( x )dx   . ba  2 2 ba a Hiển nhiên, hàm 0-lõm đơn giản là hàm logarítlõm và hàm 1-lõm là hàm lõm thông thường. Dễ thấy rằng nếu f là hàm r-lõm trên  a, b thì f r là 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH hàm lõm với r  0 . Trong mục này, trước tiên chúng tôi đưa ra một số tính chất của hàm f sau đó sử dụng chúng để đưa ra một số bất đẳng thức mới. Định lí 3.1. Với   0 , ta có các khẳng định sau: f là hàm lõm trên    ,   ; Định nghĩa 2.3 (Zhang & Zheng, 2010). Một hàm f :[a, b]  (0, )  (0, ) được gọi là hàm lõm hình học nếu và chỉ nếu f ( x t y1t )  f t ( x ) f 1t ( y)  2 2       với r [0,1]; f là hàm r -lõm trên  ,  2 2   (1.3) với mọi t [0,1] và mọi x, y [a, b] . Trong (Zhang & Zheng, 2010), Z. Zhang và N. Zheng đã đề cập đến điều kiện để hàm hai lần khả vi f là hàm lõm hình học trên I là 2 x  f ''( x ) f ( x )   f '( x )   f ( x ) f '( x )  0   với mọi x  I . f là hàm lõm hình học trên  0,   .  2   Chứng minh. (1) Dễ dàng kiểm tra được rằng với mọi x     ,   , ta có (1.4)  2 2   f ''v ( x )  Nhận xét 2.1. Giả sử rằng hàm dương f xác định trên  a, b là hàm lõm. Khi đó, bằng cách sử dụng 1/ r   f ( x )   f ( y)  t 1t 1 1 t 2 (1  t 2 )v1/2 cos( xt )dt  0. 2v (1 / 2)(v  1 / 2) 0 Vì vậy, hàm Bổ đề 2.5 trong (Zabandan & Bodaghi & Kilicman, 2012), ta có các bất đẳng thức sau f (tx  (1  t ) y)  tf ( x )  (1  t ) f ( y)  tf r ( x )  (1  t ) f r ( y)    (1.6) f lõm trên (2.1)    .  2 , 2    (2) Trường hợp này là hệ quả trực tiếp của khẳng định (1) và bất đẳng thức (2.5). (3) Với mọi x   0,   , ta có f ( x)  0 và (1.5)   đúng với mọi r  (0,1] . Các bất đẳng thức này cho ta mối liên hệ giữa các lớp hàm trên. f 'v ( x )  Nhận xét 2.2. Cho 0  r  s và giả sử f là hàm s lõm trên  a, b . Khi đó, bằng việc sử dụng Bổ đề 2  1 (2.2) 1 t(1  t 2 )v 1/2 cos( xt )dt  0. 2v (1 / 2)(v  1 / 2) 0 Vì vậy, kết hợp (3.1) và (3.2) cho ta 2 x  fv ''( x ) fv ( x )   fv '( x )   fv ( x ) f ' v ( x )  0      . Do đó, f thỏa mãn điều kiện với mọi x  0, v  2   2.5 trong (Zabandan & Bodaghi & Kilicman, 2012), dễ dàng suy ra rằng f cũng là hàm r -lõm trên  a, b . (2.4) và vì vậy nó là hàm lõm hình học trên S. S. Dragomir và C. E. M. Pearce (Dragomir và 20 Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 19 – 22 An Giang University Định lí 3.5. Giả sử rằng    a  b   . Khi đó, 2 2 với mọi t [a, b] và v  0 ta có bất đẳng thức sau khoảng  0,   .  2   Nhận xét 3.2. Với v  0 ta có bất đẳng thức Jensen cho hàm f v fv ( x )  fv ( y)  xy  fv   2  2  với mọi x, y     ,   . 1 b  ab fv (t )  tfv 1 (t )  t   fv ( x )dx. (2.9) 2  b  a a   Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí 18 trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1. Định lí 3.6. Cho    a  b   và q  p trong (2.3)  2 2   2 Định lí 3.3. Giả sử    a  b   và p, q  0 . Đặt 2 2 fv (a)  fv (b) 1 b 1 (b  a)1/ p  fv ( x )dx  2 b  a a 2 ( p  1)1/ p pa  qb và ba A 0 y min{ p, q} . Khi đó, với pq pq mọi v  0 và r  (0,1] , ta có   A y  pa  qb  1 1 A y r fv r  fv (t )dt  fv (t )dt  r  2 y A  y  p  q  (2 y ) A  y pf r (a)  qfv r (b) 1   fv r ( A  y )  fv r ( A  y )   v .   2 pq  A y A y      2 , 2    2 (2.5)  A y fv (t )dt  r  1/ q . (2.10) p 1  b a x q q fv 1 ( x ) dx  1/ q . (2.11) 2 sau f (a)  fv (b)  afv 1 (a)  bfv 1 (b) (b  a) (2.12) 1 b fv ( x )dx  v  . b  a a 2 4 với r  (0,1] . Do đó, áp dụng A y q fv 1 ( x ) dx Chứng minh. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức (3.10) và Định lí 3.1. Hệ quả 3.8. Cho    a  b   ta có bất đẳng thức Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Hệ quả 10 trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1. Định lí 3.9. Cho    a  b   . Khi đó, với mọi các bất đẳng thức (1.14) trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1, ta có 1 A y r 1 fv (t )dt  2 y A y (2 y)r q 2 f (a)  f (b) 1 (b  a)1/ p 1 b a fv ( x)dx  v 2 v  2 ( p  1)1/ p ba Theo khẳng định (2) của Định lí 3.1, hàm f v là r -lõm trên x đó p  1 . Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (2.4) r fv (t )dt . b a 2 t   ,   2 2 1 A y r 1 A y fv (t )dt  (2 y)r 2y  Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí 26 trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1. Hệ quả 3.7. Cho    a  b   và q  p trong r Chứng minh. Dễ thấy rằng hàm fv (t )  0 với mọi     . Do đó, theo bất đẳng thức Hölder với r  (0,1] , ta có p 1 2 đó p  1 . Khi đó, ta có bất đẳng thức sau 2  pa  qb  (2.6)  fv r  ,  pq  2 y [a, b] ta có các bất đẳng thức sau 1 b 1 b y  a fv (a)  fv ( y) fv (a)  fv (b) (2.13) fv ( x )dx  fv ( x )dx   b  a a b  a y ba 2 2 và pf r (a)  qf r (b) (2.7) 1 A y r 1 r r A y fv (t)dt  2  fv ( A  y)  fv ( A  y)  v p  q v .   2y và Kết hợp (3.6) và (3.7) cho ta bất đẳng thức cần chứng minh. □ Định lí 3.4. Giả sử rằng    a  b   và Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí 67 trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1. Định lí 3.10. Cho    a  b   và 0  s  r  1. Khi 1 y 1 b ab  ab ya  a y fv    fv  2   b  a fv  2   b  a a fv ( x )dx  b  a a fv ( x )dx.  2      2 2 r  (0,1] . Khi đó, với mọi t [a, b] và v  0 ta có 2  b a 1   ba  r fv (t )dt b a fv r (t )dt  r r r r fv r (t ) 1 bfv (b)  afv (a)  t  fv (b)  fv (a)   .  2 2 ba 2 đó, với v  0 , ta có các bất đẳng thức sau 1 b r f r 1 (b)  f r 1 (a) s f s 1 (b)  f s 1 (a) a fv ( x )dx  r  1 v fv r (b)  fvv r (a)  s  1 vfv s (b)  fvvs (a) ba các bất đẳng thức sau 1 ( b  a) r (2.14) (2.8)   fv (b)  fv (a) ln fv (b)  ln fv (a) . Chứng minh. Chứng minh của định lí được tiến hành như chứng minh của Định lí 3.3 nhưng áp dụng Định lí 19 trong (Dragomir & Pearce, 2000) và Định lí 3.1. (2.15) Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí 2.6 trong (Zabandan & Bodaghi & Kilicman, 2012) và Định lí 3.1. 21 Journal of Science – 2014, Vol. 4 (3), 19 – 22 An Giang University Applications. RGMIA Monographs, Victoria University. Korenev, B. G. (2002). Bessel Functions and their Applications. Taylor & Francis Inc. Neuman, E. (2004). Inequalities involving Bessel functions of the first kind, J. Inequal. pure. appl. math., Vol. 5, 4, Article 94. Watson, G. N. (1944). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge at the University press. Roberts, A. W., & Vargerg. D. E. (1973). Convex functions. Academic press, Inc. Zabandan, G., & Bodaghi, A. & Kilicman, A. (2012). The Hermite - Hadamard inequality for r-convex functions, J. Inequal. Appl., 2012:215. doi:10.1186/1029-242X-2012-215. Zhang, X. & Zheng, N. (2010). Geometrically convex functions and estimation of remainder terms for Taylor expansion of some functions, J. Math. Inequal., Vol. 4, 1, 15-25. TÀI LIỆU THAM KHẢO Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1972). “Bessel Functions of Integer Order,” “Bessel Functions of Fractional Order,” and “Integrals of Bessel Functions.” Chs. 9-11 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 9th printing. New York: Dover, pp. 355-389, 435-456, and 480-491. Adamchik, V. (1995). The Evaluation of Integrals of Bessel Functions via G-Function Identities, J. Comput. Appl. Math., 64, 283-290. Alomari, M., & Darus, M. (2008). The Hadamard’s inequality for s-convex function, Int. J. Math. Anal., Vol. 2, 13, 639 - 646. Árpád, B., & Neuman, E. (2005). Inequalities involving generalized Bessel functions, J. Inequal. pure. appl. math., Vol. 6, 4, art. 126. Dragomir, S. S., & Pearce, C. E. M. (2000). Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities and 22