Những câu chuyện hay và lí thú về xác suất

Chia sẻ: Đặng Hải Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

527
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những câu chuyện hay và lí thú về xác suất, rèn luyện trí thông minh, tư duy logic toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Những câu chuyện hay và lí thú về xác suất

Nh ng câu chuy n lí thú và b ích v xác su t 1. Ch n ai ? Có m t báo treo gi i cho câu ñ xã h i như th này: “Vua, cha và th y ñi cùng thuy n v i ta. ð n gi a sông, thuy n b chìm. Ngư i duy nh t bi t bơi là ta. Ta ph i c u ai trư c?”. Qu là khó khăn. Gi i thư ng ñư c trao cho c u bé 12 tu i. C u tr l i: “C u ngư i g n mình nh t.”. Nghĩ l i, th y th t là có lý. C u ngư i g n mình nh t thì xác su t thành công cao hơn (v i ñi u ki n kho ng cách gi a m i ngư i r t nh so v i kho ng cách t h ñ n b ). Và xác su t c u xong, quay tr l i ñ c u ngư i th hai cũng cao. Th nhưng, n u c u bé vào tu i 21 và có v , còn ñ ra như th này: “N hoàng, m và v ñi cùng thuy n v i ta. ð n gi a sông, thuy n b chìm. Ngư i duy nh t bi t bơi là ta. Ta ph i c u ai trư c?”, ch c c u ch d i d t gì tr l i câu như v y ñâu. Còn m y ông giám kh o mà ch m câu ñ y gi i nh t cũng li u cái th n h n. Thư ng ñ ñã sinh ra Adam. Th y chàng bu n, bèn l y xương sư n c a chàng làm ra nàng Eva xinh ñ p. ð r i m t hôm, nàng nghe l i xui d i c a con r n (hình như trong Kinh Thánh không nói con r n này là ñ c hay cái) ăn qu c m. Nàng quy n rũ anh kh Adam sa ngã theo. H chơi trò chơi Ái Tình. H mãi mê ñ n n i Thư ng ð b c d c và ñu i h ra kh i Thiên ðàng. Có ph i chăng Ái Tình là th tình c m ñ u tiên c a gi ng Ngư i chúng ta?!. ð u Tiên và Trư ng T n nh t. Và ñ n m t ngày xa tít c a th k 21, m t anh chàng ñ ng trư c ch Tình và ch Hi u không bi t ch n cái gì, ñành ph i phó thác cho Thư ng ð : M i l n ñi chơi, anh chàng mu n ho c ñi v nhà m ho c ñi t i nhà ngư i yêu. M và ngư i yêu anh ta hai hư ng khác nhau c a con ñư ng (anh ta gi a). Anh ta thư ng phân vân không bi t v ñâu. Cu i cùng, anh ta ch n ñư c gi i pháp thích h p: h có xe buýt hư ng nào trư c, thì ñi v hư ng y. Xe buýt c a c hai hư ng c 15’ có m t chuy n. Sau m t năm, anh ta t ng k t l i thì phát hi n s l n ñi v nhà ngư i yêu l n g p hai l n s l n v v i m . Anh chàng sung sư ng: “Ái tình, Ái tình…Qu không sai ngư i ta g i ngươi là ñ tài muôn thu c a con ngư i. Thư ng ñ th t là tâm lý. Chính Ngài ñã xui khi n cho ta ch n ch Tình nhi u hơn.”. Khi nghe câu chuy n trên, m t cô b n c a tôi ñã reo lên: “Th mà em ch bi t cách ch n này. V a ñúng em có hai ý trung nhân gi a hai ñ u ñư ng. Em ch bi t ñi l i th nào cho ph i ñ o n a.”. Tôi nói: “T t nào…Nhưng thôi, c theo cách ñ y. Sau ít lâu v thông báo cho tôi bi t k t qu ra sao.”. B ng ñi m t d o, cô tiu ngh u b o v i tôi: “Anh , cái anh chàng em không ưa l m thì em ph i ñi ñ n g p năm l n anh kia. Thư ng ð qu là bên tr ng bên khinh.”. Th c ra, t khi Thư ng ð ñu i Adam và Eva xu ng th gian này thì Ngài ñã phó thác Ái Tình cho Trái Tim c a Con Ngư i r i. Còn… gi i thích hai hi n tư ng trên ph i dùng xác su t m i xong. 2. Thánh nhân ñãi k khù kh ? M t nhà thông thái nghĩ mình ñã bi t h t m i vi c trên ñ i. Có l n, ông g p m t bác nông dân trông th t là…nông dân. Quá t ph vào ki n th c c a mình, ông ta b o bác nông dân: “Bây gi , ông h i tôi m t câu, n u tôi không tr l i ñư c thì tôi tr ông 10 ñ ng. Sau ñó, tôi h i ông m t câu, ông không tr l i ñư c, ông tr tôi 1 ñ ng.”. Bác nông dân “ðư c, tôi ch p nh n cá cư c.”. “V y, như ng ông h i trư c.”, nhà thông thái tr l i. Bác nông dân nói “Tôi xin h i ông, con gì ch y xu ng núi b ng b n chân, mà ch y lên núi ch b ng ba chân.”. Suy nghĩ mãi, nhà thông thái ñành tr l i: “Tôi không bi t.”, và rút 10 ñ ng ra tr . Ông ta bèn h i: “Con gì ng v y?”. Bác nông dân rút 1 ñ ng tr nhà thông thái và nói: “Tôi cũng không bi t.”. Trong cu c s ng thư ng ngày và ngay c trong khoa h c, chúng ta ch ng ki n không bi t bao nhiêu trư ng h p: “Ai ñ i châu ch u ñá xe Tư ng r ng ch u ngã, ai dè xe nghiêng” như th … Trong cu n Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner ñã d n m t ví d tuy t di u v kh năng chi n th ng k m nh hơn như sau: Smit, Brown và John quy t ñ nh ñ u súng tay ba theo lu t sau: ñ u tiên h s b c thăm xem ai b n trư c, b n nhì và b n cu i. M i ngư i ñ n lư t mình ch b n ñư c m t phát và có th nh m vào b t kỳ ngư i nào. Cu c ñ u súng ti p di n ñ n khi ch còns ng sót m t ngư i. Tho thu n v lu t và b c thăm xong, ba ngư i ñ ng vào v trí c a mình (là ñ nh c a tam giác ñ u). C ba ñ u bi t kh năng hai ñ i th c a mình: Smit không bao gi trư t, Brown b n trúng ñ n 80% s l n b n, còn John thì b n trư t cũng như b n trúng(50/50). Ai s là ngư i có cơ h i s ng sót l n nh t? Bi t r ng c ba ñ u th c hi n chi n thu t t i ưu nh t. Và k t qu b c thăm ñư c s d ng cho c tr n ñ u. Khi tôi gi i thi u bài toán này v i nh ng ngư i b n, tôi ñã nh n r t nhi u ý ki n gi i ñáp khác nhau.
Có ngư i cho Smit có kh năng s ng sót nhi u hơn, có ngư i cho Brown thoát kh i hi m nguy cao nh t. M t trong s ý ki n ñó có lý lu n sau ñáng chú ý: vi c b c thăm s cho cơ h i ñ ng ñ u cho c ba b n trư c. V y xác su t c a m i ngư i ñư c b n trư c là 1/3. Ta xét xem xác su t s ng sót c a m i ngư i: *Trư ng h p 1: xác su t 1/3, Smit b n trư c. Chi n thu t t i ưu c a anh ta: b n vào Brown. Anh ta h Brown, lúc ñó John s b n vào chàng ta v i xác su t trúng ñích là 50%. N u tr t (cũng v i xác su t 50%) thì Smit s k t li u John. V y v i trư ng h p này xác su t c a anh chàng thi n x ñư c s ng sót là 1/3 x 1/2 = 1/6. Xác su t s ng sót c a John là 1/6 và c a Brown b ng 0. *Trư ng h p 2: xác su t 1/3, Brown b n trư c. Chi n thu t t i ưu c a anh ta: b n vào Smit. N u h th ñư c Smit v i xác su t 4/5, thì xác su t ñ u tr c ti p c a anh ta v i John khi John b n trư c là 4/9 ñ 5/9 (n u Brown b n trư c s là 8/9 ñ 1/9). Như th , theo hư ng này xác su t John s ng sót là 1/3 x 4/5 x 5/9= 4/27, Brown s ng sót là 1/3 x 4/5 x 4/9 = 16/135. N u không h ñư c Smit v i xác su t 1/5 thì m i ngư i Smit và John có xác su t ½ ñ b n ti p theo. Chúng ta có th tính toán cho trư ng h p này xác su t s ng sót c a t ng ngư i là: Smit: 1/60 + 1/120 =1/40 John: 1/540 +1/60 + 1/120 + 4/27=7/40 Brown: 8/540 + 16/135=2/15 (C ng t t c các s này l i v i nhau s ñư c 1/3) *Trư ng h p 3: John b n trư c v i xác su t 1/3. Smit: 1/24 + 1/120 =1/20 John: 1/24 +1/120 + 1/54 + 1/27=19/180 Brown: 4/27 + 4/135=8/45 (C ng t t c các s này l i v i nhau s ñư c 1/3) Như th xác su t s ng sót c a m i ngư i là: Smit: 1/6 +1/40 + 1/20=29/120 =0.242 John: 1/6 + 7/40 + 19/180 =161/360 =0.447 Brown: 2/15 + 8/45 = 14/45=0.311 Rõ ràng, cách tính trên ñã ch n cách t i ưu cho c ba ngư i là: Khi còn hai ñ i th , ngư i b n nh m vào k b n gi i hơn. Lúc ñó, n u cơ may ñ i th b b n ch t thì ngư i b n vào mình s là tay amatơ hơn. Và cơ h i s ng nhi u hơn. Lý lu n này ñã ñúng chưa? Hoá ra, anh chàng thi n x có xác su t s ng còn th p nh t. Nhưng các b n hãy chú ý m t ñi m r t nh thôi, nhưng cũng ñánh g y toàn b lý lu n trên ñây. N u xét vi c b n trư c là m t cơ h i t t c a ngư i b n ñ thoát hi m, chúng ta th y ñi u này ch ñúng v i Smit. Ngư c l i, không ñúng cho John và Brown (cái xác su t s ng sót c a Brown tăng lên vì do John ch n sai chi n thu t t i ưu). Khi John b n trư c, n u s d ng cách này xác su t s ng còn c a anh ta là 19/180 ñ i v i 1/6 và 7/40 khi Smit và Brown b n trư c tương ng. V y vi c gì John ph i b n vào ai ñó, b i vì b t kỳ ngư i nào b n ti p theo (v n còn ba ngư i) thì xác su t s ng còn c a John v n cao hơn khi anh ta nh m vào ngư i khác mà b n? Chi n thu t t i ưu c a John là b n lên tr i. [2] Ngoài nh ng con s trên, chúng ta th y John s d ng phương th c này ñ t nd ng cho hai ñ i th m nh lo i tr nhau. Quan tr ng nh t, theo ñúng lu t khi m t ñ i th c a John b lo i thì ngư i b n trư c l i là John. Và trong b t kỳ trư ng h p nào, anh ta cũng có xác su t hơn ½ s ng sót. Chi n thu t t i ưu c a Smit ñã rõ, anh ta ph i b n vào Brown. Còn Brown cũng v y, bi t r ng John s ngư ông ñ c l i mà b n vào John không ñư c. Ch còn cách b n vào Smit ñ tăng cao xác su t s ng còn mình lên. T nh ng lý lu n trên, chúng ta có th thi t l p bi u ñ xác su t cho c ba x th như hình 4: Xác su t cho m i ngư i Brown và Smit b n trư c là ½ (Khi còn ba ngư i John là outsider, không tính ñ n vì anh ta không b n vào ai c ). Và di n bi n ti p theo có th d nh n th y theo hình v . Xác su t c a ba ngư i ñư c tính như sau: Smit: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 = 3/10 Brown: 1/2 x 4/5 x 4/9 = 8/45 John: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 + 1/2 x 4/5 x 5/9 = 47/90 Như v y chúng ta th y m t “ngh ch lý” như sau: John-ngư i b n kém nh t l i có cơ may s ng sót hơn c cơ may c a hai anh chàng b n gi i c ng l i. Có ph i chăng thánh nhân ñãi k khù kh hay là ñi u kỳ di u c a xác su t.
3. L i an i c a Diêm Vương? Ng c Hoàng Thư ng ð th c gi c, Ngài phóng m t kh p cõi dương gian và ñ a ng c xem th n dân c a mình ra sao. ð n c a ñ a ng c, Ngài th y ba linh h n Ghost, Ma và Quái ñang x p hàng ch ñ n lư t nh p h kh u. Có l ñêm hôm qua, Ngài không g p ác m ng, nên trong lòng khoan khoái mu n m lư ng t bi. Ngài quy t ñ nh h i dương m t trong ba linh h n t i l i kia. Ngài bèn sai Nam Tào, B c ð u vi t tên ba linh h n lên ba t gi y và ñ o k . Sau ñó, Ngài b c m t t ñưa cho Nam Tào: -ðây là tên linh h n ñư c quay v dương gian. Các ngươi mau gõ dây thép xu ng cho Diêm Vương ñư c bi t! -D , tuân l nh. ðang yên gi c n ng, nh n ñư c ñi n kh n t Thiên ðình, Diêm Vương v i t nh ng , s a sang l i cân ñai áo mão cho v i ba linh h n Ghost, Ma, Quái ñ n và phán r ng: -Trong s các ngươi, có m t ngư i s ñư c quay v dương gian. Mau chu n b tinh th n s n sàng mà h i dương. -Chà… Ba linh h n quay ra, Diêm Vương th y Ma còn l n ch n không d t bèn h i: -Nhà ngươi còn chuy n gì không? -D , thưa Diêm Vương anh minh! Ch c Ngài không mu n ch ra ai trong chúng con ñư c quay v . Con ch xin Ngài ân hu nh . -ðư c! Ngươi c nói. -N u như m t trong hai linh h n kia ñư c tha v thì Ngài nêu ra tên ngư i ngư c l i. N u con ñư c tha v thì Ngài có th nêu b t kỳ tên m t trong hai linh h n kia. Diêm Vương suy nghĩ m t lúc, và nói: -Thôi ñư c, có m t ñi u an i cho ngươi, ñó là Quái. Linh h n Ma quay v , th y khoan khoái trong lòng vì nghĩ mình ñã l m ñư c Diêm Vương. B i vì, bây gi ch còn m t trong hai ngư i Ghost và Ma ñư c h i dương. V y xác su t h i dương c a mình là ½. B ng dưng khi chưa h i, thì xác su t h i dương là 1/3, bây gi lên ñư c ½ sư ng quá còn gì. Còn Diêm Vương thì l m b m: “ðúng là ng c t ! H n c tư ng ta cho h n m t ni m an i…”. Th thì xác su t ñư c h i dương c a Ma là bao nhiêu? Th c ra, xác su t c a Ma v n b ng 1/3. Lúc ban ñ u khi Ng c Hoàng Thư ng ð ch n tên ñ h i dương m t cách ng u nhiên như th , nên xác su t ñư c h i dương ban ñ u c a c ba là 1/3. ð n lư t Diêm Vương thì nhóm ba ngư i này ñư c chia thành hai nhóm nh . Nhóm th nh t là Ma, nhóm th nhì g m c Ghost và Quái v i xác su t tương ng là 1/3 và 2/3. Theo ñi u ki n c a Ma, Diêm Vương ch n gi a m t trong hai ngư i Ghost và Quái m t ngư i không ñư c h i dương. Xác su t Diêm Vương ch n ñư c b ng 1 và không nh hư ng gì ñ n xác su t t ng nhóm. Và khi Diêm Vương l t y b t kỳ m t ngư i nào trong nhóm hai thì xác su t nhóm hai và nhóm m t không thay ñ i. Có nghĩa xác su t c a Ma v n b ng 1/3 còn xác su t c a Ghost ñư c tăng lên thành 2/3 b i vì xác su t c a Quái ñã b ng 0. ð d hi u ta(ngư i chia bài) ch n ba con bài Át Cơ, Át Rô và Át Bích chia cho ba ngư i A, B, C. Xác su t c a m i ngư i nh n ñư c Át Bích khi chia xong (hay khi chưa l t con nào c nhưng m i con bài ñã an v cho m i ngư i) là 1/3. Bây gi , ta chia ra hai nhóm: nhóm có m i A và nhóm có con bài c a hai ngư i B, C. Rõ ràng nhóm c a hai ngư i B, C có xác su t có con Át Bích b ng 2/3. Nhìn hai lá bài c a B, C và ch n ra lá khác Át Bích l t ra (xác su t b ng 1). ði u này hoàn toàn không làm nh hư ng ñ n xác su t c a hai nhóm. Duy ch có ñi u, nhóm hai bây gi ch còn m t ngư i và xác su t c a anh ta tăng g p ñôi b ng 2/3. Trong khi ñó nhóm 1 xác su t c a A không ñ i b ng 1/3.[4] Ta l i t ñ t cho mình hai tình hu ng n a: -Sau khi chia bài ta rút m t con bài nào ñó và l t ra. N u con bài ñó không ph i Át Bích thì xác su t c a hai ngư i còn l i b ng bao nhiêu? Trư ng h p này, ta hoàn toàn không ch n gì c và xác su t con bài b l t là Át Bích v n b ng 1/3. Lúc này, ba con bài v n n m trong m t nhóm tính xác su t ñ ng nh t và b ng 1. Khi l t lá bài kia ra và phát hi n không ph i Át Bích, xác su t c a nhóm v n b ng 1, nhưng vì hai ph n bài còn l i hoàn toàn tương ñương nhau trong nhóm nên xác su t c a chúng tr thành ½. -Sau khi chia bài, ta l i c m l y c ba và l t m t con bài không ph i Át Bích ra. Lý lu n tương t trên ta cũng s th y xác su t c a m i tay bài còn l i là Át bích b ng ½. Hai trư ng h p này có xác su t gi ng nhau và lý lu n cũng gi ng nhau, v y t i sao ph i chia thành hai trư ng h p???
Trư ng h p nh t, ta cùng ba ngư i chơi phó m c cho s ph n khi l t con bài kia ra. Cái reo vui c a hai anh chàng còn l i vì ñư c tăng xác su t ñ i b ng cái s u th m c a anh th ba. Và anh th ba không trách ta không kéo dài th i gian vui thêm m t lúc. Vi c ban phát bu n vui là c a Thư ng ð . Trư ng h p hai, chính ta ch n và ta l i ban cho hai anh này m t ni m vui ng n ng i còn anh th ba m t n i bu n. (n u như có con Át Bích s ñư c 1000$ ch ng h n). 4. T ng k t Vi c ban phát bu n vui là vi c c a ta. Cũng không c n thi t hai ñ u ñư ng. N u như m t b n xe buýt có các s 01 ch y v nhà m , 02 ch y v nhà cô giáo, 03 ch y v N Hoàng và 04 ch y ñ n v i ngư i yêu, ta v n thi t l p ñư c l ch trình và tính xác su t c th cho t ng trư ng h p. Có ngư i nói, n u lý lu n trên thì ai cũng ch cho hai ñ i th c a mình sát h i l n nhau, r i ñ n lư t mình b n ch t ngư i còn l i. ði u này ñúng nhưng không dành cho Smit vì anh ta là ngư i b n trăm phát trăm trúng và ñây là cu c ñ u súng nên anh ta không th nh m vào c t ñi n mà b n ñư c. Anh ta ph i h sát ngư i nào ñó khi ñ n lư t. Và d n t i Brown cũng ph i b n vào Smit n u có lư t trư c Smit. Nh ng lý lu n trên có th s không ñúng v i trư ng h p 4 hay nhi u hơn ngư i. Ch ng h n có cu c ñ u súng tay t và thêm anh chàng Holmes nào ñ y v i xác su t b n trúng là 40%...thì xác su t s ng sót m i ngư i hoàn toàn khó tính. V n ñ r t quan tr ng là khi ñ y, ta g p m t vòng l n qu n. Tìm chi n thu t t i ưu xong tính xác su t. Nhưng khi tính toán xong ta m i nh n ra chi n thu t t i ưu như th nào. Vì l này, ngư i gi i c n tính toán t t c các kh năng x y ra và v ch ra chi n thu t t i ưu cho t ng ngư i. M t vi c làm không d dàng.