ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009
/
U (x ) 1,2
⇒
y
=
=
=
x
1,2
1,2
/
2a d
b + . d
U(x ) 1,2 V(x ) 1,2
V (x ) 1,2
(AB) : y
=
x
2a d
b + . d
Bước 3. ðường thẳng
y
=
+
b / d
(
) 2a / d x
(
)
CT
CT
0= (tìm ñiểm tới hạn). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc ñoạn [a; b] (ta loại các
Chú ý: Giá trị cực trị là .
, f
f
min f(x), max f(x) ∈ x X
∈ x X
thay cho .
g(t(x))
t(x)
=
=
=
. IV. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải toán 1. Hàm số liên tục trên ñoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b]. ðể tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên ñoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Giải phương trình /f (x) nghiệm nằm ngoài ñoạn [a; b]). Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b). Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị ở bước 2 là các giá trị tương ứng cần tìm. Chú ý: a) ðể cho gọn ta dùng ký hiệu min max b) Nếu ñề bài chưa cho ñoạn [a; b] thì ta phải tìm MXð của hàm số trước khi làm bước 1. c) Có thể ñổi biến số t f(x) và viết y
= min f(x) min g(t) ∈ x X
∈ t T
= max f(x) max g(t) ∈ x X
∈ t T
Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là ñiều kiện của t ñối với x) thì: , .
=
2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên ℝ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên D (a; b) hoặc D = ℝ ta thực hiện các bước sau:
0= (tìm ñiểm tới hạn). Giả sử có n nghiệm x1; x2; …; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D).
Bước 1. Giải /f (x)
= , f(x1), f(x2), …, f(xn),
L 1
= . L 2
lim f(x) +→ a x
lim f(x) −→ b x
Bước 2. Tính
<
⇒
=
{
}
min f(x ), f(x ),..., f(x ) n
1
2
f min
min f(x ), f(x ),..., f(x ) n
1
2
1
Bước 3. 1) (1).
max f(x ), f(x ),..., f(x )
>
⇒
=
{ {
{
}
} }
} }
n
1
2
f max
max f(x ), f(x ),..., f(x ) n
2
{ min L , L 2 { max L , L 2
1
1 3) Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không ñạt min (hoặc max).
2) (2).
Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3. V. TIẾP TUYẾN VỚI ðỒ THỊ HÀM SỐ 1. Tiếp tuyến tại ñiểm M(x0; y0) thuộc ñường cong (C): y = f(x) Bước 1. Kiểm tra ñiểm M thuộc ñường cong (C).
y
−
y
=
−
x
)
/ ( f (x ) x 0
0
0
Bước 2. Áp dụng công thức .
f (x)
k
= ⇒ ⇒ ⇒ 0
M(x ; y ) 0 0
2. Tiếp tuyến với ñường cong (C): y = f(x) biết hệ số góc là k Bước 1. Giải phương trình / là tiếp ñiểm.
y
−
y
=
−
x
x ( k x
y 0 )
0
0
Bước 2. Áp dụng công thức .
=
k(x
−
+
y (1)
x ) 0
0
3. Tiếp tuyến ñi qua ñiểm M(x0; y0) với ñường cong (C): y = f(x) (M có thể thuộc (C)) Bước 1. Tiếp tuyến qua ñiểm M có dạng (d): y = k(x – x0) + y0.
f(x) / f (x)
k (2)
=
Bước 2. (d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: .
Bước 3. Giải hệ phương trình trên bằng cách thế k từ (2) vào (1), giải x và thế trở lại (2) ñể tìm k. Cuối cùng thế k vào phương trình của (d).
y = f x (hàm số chẵn)
(
)
VI. ðỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 1. ðồ thị hàm số
=
f(x)
=
)
1(C ) : y
và ta thực hiện các bước sau: Gọi (C) : y
( f x Bước 1. Vẽ ñồ thị (C) và chỉ giữ lại phần ñồ thị nằm phía bên phải trục tung. Bước 2. Lấy ñối xứng phần ñồ thị ở bước 1 qua trục tung ta ñược ñồ thị (C1). 2. ðồ thị hàm số y = f(x)
=
f(x)
=
f(x)
2(C ) : y
Trang 11
và ta thực hiện các bước sau: Gọi (C) : y
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 Bước 1. Vẽ ñồ thị (C). Bước 2. Giữ lại phần ñồ thị của (C) nằm phía trên trục hoành. Lấy ñối xứng phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành của (C) qua trục hoành ta ñược ñồ thị (C2). 3. ðồ thị hàm số
( y = f x
)
=
=
f(x)
=
( f x
)
( f x
)
1(C ) : y
2(C ) : y
3(C ) : y
Gọi , và .
Dễ thấy ñể vẽ (C3) ta thực hiện các bước vẽ (C1) rồi (C2) (hoặc (C2) rồi (C1)).
……………………………………………
D. HÌNH HỌC Chương I. HÌNH HỌC PHẲNG I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG
(cid:4) a
=
=
(b ; b ) 2
1
Cho , ta có:
(cid:4) (a ; a ), b 2 (cid:4) ± = b
1 (cid:4) a
±
±
=
(ka ; ka ), k
∈
ℝ .
(cid:4) ka
(a 1
b ) 2
2
1
2
1) . 2)
(cid:4) (cid:4) (cid:9) a b
(cid:4) a ⇔ =
b ; a 1 (cid:4) k.b
⇔
= ⇔ 0
−
= ⇔ =
0
≠ ≠ 0
a b 1 2
a b 2 1
(b 1
b ) 2
a 2 b
a 2 b
a 1 b 1
2
a 1 b 1
2
2
3) .
=
+ ⇒ =
a
a
+
a
(cid:4) a
(cid:4) a
(cid:4) (cid:4) a.b
=
+
2 a 1
2 2
2 1
2 2
a b 1 1
a b 2 2
+
a b 1 1
4) . .
(cid:4) (cid:4) a.b
=
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:11) a b cos(a, b)
⇒
(cid:4) (cid:4) (cid:11) cos(a, b)
=
=
+
a
+
b
2 a 1
2 2
a b 2 2 2 b 1
2 2
6) 5) (cid:4) (cid:4) a.b (cid:4) (cid:4) a b
(cid:4) a
(cid:4) b
⇒ ⊥ ⇔
+
=
0
a b 1 1
a b 2 2
.
−
−
⇒
AB
=
x
−
x
−
y
2 )
2 )
( + y
x ; y A
y ) A
B
B
B
A
( (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
x
y
B
B
A (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) 8) ðiểm M chia ñoạn AB theo tỉ số k MA k.MB
⇔
=
;
.
− A − 1
k.x k
− A − 1
k.y k
B ⇒ M
x
y
y
x
B
A
B
A
. 7) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) = AB (x
;
.
+ 2
+ 2
x
+
+
x
y
+
+
y
A
C
A
C
9) ðiểm I là trung ñiểm của ñoạn AB thì I
G
;
.
x B 3
y B 3
là 10) Tọa ñộ trọng tâm G của ABC∆
2
II. ðƯỜNG THẲNG 1. Phương trình ñường thẳng 1.1. Phương trình tổng quát
Ax By C
+ =
+
+
2 B
( 0 A
) > . 0
Phương trình tổng quát của ñường thẳng (d) có dạng
= −
( B; A)
=
− (B; A)
(cid:4) hoặc u
là vectơ chỉ phương (VTCP) của (d).
(cid:4) 1) u (cid:4) 2) n
=
(A; B)
là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d).
(cid:4) M (x ; y ) và n
=
(A; B)
pt(d) : A(x
−
+ x ) B(y
−
= . 0
0
0
0
0
y ) 0
thì (d): 3) (d) ñi qua
x
+
0
1.2. Phương trình tham số (ptts)
M (x ; y ) và có VTCP
=
ptts(d) :
(t
∈
ℝ . )
(cid:4) u
0
0
0
(u ; u ) 2
1
y
+
0
u t 1 u t 2
= x = y
(d) ñi qua thì
x
x
y
y
0
0
1.3. Phương trình chính tắc (ptct)
(cid:4) u
M (x ; y ) và có VTCP
=
0≠ thì
ptct(d) :
=
0
0
0
(u ; u ) 2
1
1 2u u
− u
− u 1
2
(d) ñi qua với .
pt(AB) :
=
pt(AB) :
=
y A y
− −
x x
y y
x x
− −
x B x
y y
− −
y B y
B
A
B
A
B
A
B
A
hoặc . 1.4. Phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm x − A − x
pt(d) :
+ = .
1
1.5. Phương trình ñoạn chắn
≠ ≠ thì
b)
0
x a
y b
Cho (d) ñi qua A(a; 0), B(0; b) (a
pt(Ox) : y
0= , pt(Oy) : x
0= .
Trang 12
1.6. ðặc biệt
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. Một số tính chất
A
≠ ≠ 0
≠
≠ ⇔ 0
⇔
≠
)
2
B 2
A B 2 1
A B 1 2
A 1 A
B 1 B 2
2
1
1
⇔
=
0,
≠ hoặc
0
≠ . 0
. Hoặc . 1) (d1) cắt (d2) ( Cho hai ñường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. 2.1. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng A B 1 1 A B 2 2
C A 1 C A
A B 1 1 A B 2 2
B C 1 B C 2
2
2
2
1
1
⇔
=
=
= . 0
2) (d1) song song (d2)
C A 1 C A
A B 1 1 A B 2 2
B C 1 B C 2
2
2
2
3) (d1) trùng (d2)
2.2. Góc giữa hai ñường thẳng
cos
ϕ
ϕ =
(cid:4) (cid:4) , n , n 1
2
(cid:4) (cid:4) n .n 2 1 (cid:4) (cid:4) n . n
1
2
Ax
+
By
+
C
0
0
Gọi . là góc và VTPT của (d1) và (d2), ta có:
=
M (x ; y ) ñến (d): 0
0
0
d(M ; (d)) 0
2
A
+
2 B
. 2.3. Khoảng cách từ
2
III. ðƯỜNG TRÒN 1. Phương trình ñường tròn
R
=
a
2 + − .
b
c
Cho ñường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R. 1.1. Phương trình chính tắc (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. 1.2. Phương trình tổng quát (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, 2. Vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn
Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 vị trí tương ñối sau ñây: 1) (d) tiếp xúc (C) ⇔ d(I; (d)) = R. 2) (d) cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt ⇔ d(I; (d)) < R. 3) (d) không cắt (C) ⇔ d(I; (d)) > R. 3. Vị trí tương ñối của hai ñường tròn
R
⇔
−
<
<
+
I I 1 2
R 1
R 1
2
2
. Cho (C1) tâm I1 bán kính R1 và (C2) tâm I2 bán kính R2, ta có 5 vị trí tương ñối sau ñây: 1) (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ I1I2 > R1 + R2. 2) (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) ⇔ I1I2 = R1 + R2. 3) (C1) cắt (C2) tại hai ñiểm phân biệt R
R
R
⇔
=
−
I I 1 2
1
2
. 4) (C1) tiếp xúc trong với (C2)
R
⇔
<
−
I I 1 2
R 1
2
. 5) (C1) và (C2) chứa nhau
2a
∈ ⇔
+
=
M (E) MF MF 2
1
. IV. CÁC ðƯỜNG CONIC 1. ELIP 1.1. ðịnh nghĩa Cho hai ñiểm cố ñịnh F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (a > c > 0). Tập (E) là một elip nếu 2) F1F2 = 2c là tiêu cự.
2
x
y
(E) :
+
= . Trong ñó, b2 = a2 – c2 và a > b > 0.
1
2
2
a
b
1) F1, F2 là 2 tiêu ñiểm. 3) A1(– a; 0), A2(a; 0), B1(0;–b), B2(0; b) là 4 ñỉnh của elip. 2 1.2. Phương trình chính tắc:
2
2
x
y
1.3. Bán kính qua tiêu ñiểm
= + a
x
= − a
x
(E) :
+
= ta có
1
MF 1
M
MF 2
M
2
2
c a
c a
a
b
, . Cho ñiểm M thuộc
2
2
a
b
e
e
1.4. Tâm sai
) 1< .
− a
(
c = = a 1.5. ðường chuẩn của elip
2
2
) : x
= − ⇔ = −
x
, (
∆
) : x
= ⇔ =
x
∆ ( 1
2
a c
a c
a e
.
a e 1.6. Tiếp tuyến với elip ðiều kiện tiếp xúc
2
2
y
(E):
+
= ta có: (d) tiếp xúc (E) ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 (C
1
0)≠ .
x 2
2
a
b Trang 13
Cho ñường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và elip
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 2. HYPERPOL 2.1. ðịnh nghĩa
⇔
2a
=
− MF MF 2
1
. Cho hai ñiểm cố ñịnh F1, F2 với F1F2 = 2c và hằng số 2a (c > a > 0). Tập (H) là một hyperpol nếu ∈ M (H)
1) F1(– c; 0), F2(c; 0) là 2 tiêu ñiểm. 2) F1F2 = 2c là tiêu cự. 3) A1(– a; 0), A2(a; 0) là 2 ñỉnh thuộc trục thực. B1(0;–b), B2(0; b) là 2 ñỉnh thuộc trục ảo.
2
x
y
−
= , c2 = a2 + b2.
1
2
2
a
2.2. Phương trình chính tắc (H) 2
b 2.3. Bán kính qua tiêu ñiểm
1) M thuộc nhánh phải (xM > 0): MF1 = exM + a, MF2 = exM – a. 2) M thuộc nhánh trái (xM < 0): MF1 = – exM – a, MF2 = – exM + a.
e
= > 1
c a
2
2.4. Tâm sai:
x
= ± = ±
a e
a c
2.5. ðường chuẩn:
y
= ±
x
b a
2.6. Tiệm cận:
0)≠
2
2
2
2
x
y
x
y
2.7. ðiều kiện tiếp xúc với ñường thẳng: a2A2 – b2B2 = C2 (C
−
= − là hyperpol liên hợp của
1
−
= . 1
2
2
2
2
a
b
a
b
F ∉ ∆ cố ñịnh. Tập (P) là một parapol nếu
∈ ⇔ M (P) MF
=
)∆ và ñiểm
(
)
( d M,
) ∆ .
Chú ý:
; 0
F
)∆ là ñường chuẩn.
p 2
1) là tiêu ñiểm, ( 3. PARAPOL 3.1. ðịnh nghĩa Cho ñường thẳng cố ñịnh (
p
=
∆ là tham số tiêu.
( d F,
)
2)
3) O(0; 0) là ñỉnh và MF là bán kính qua tiêu ñiểm của M (M thuộc parapol).
3.2. Phương trình chính tắc (P): y2 = 2px (p > 0). 3.3. Tâm sai: e = 1.
x
= − .
p 2
3.4. ðường chuẩn:
3.4. ðiều kiện tiếp xúc: 2AC = B2p. 3.5. Các dạng parapol khác: y2 = – 2px, x2 = 2py, x2 = – 2py (p > 0). Chương II. CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Quan hệ song song
(P)
∩
= (Q)
(P)
(P)
(P)
∩
∃ ⊂
a ⇔
⇔ 4) (P) // (Q) 6) a // (P) và (P)
(Q)
a, b
∩
= b= ⇒
(Q)
∩
(Q)
∩
∩ (Q)⊂
b= ⇒ c= ⇒
2) a // (P) Ø; Trong không gian cho các ñường thẳng a, b, c và mặt phẳng (P), (Q), (R). Ta có: 1) a // b ⇔ a, b ñồng phẳng và a b∩ = Ø; : a // b; 3) a // (P) Ø; a // b; a // b; và b ⊂ (P) a= (P) a // b // c. , a cắt b: a, b // (Q); và (R) , a // b và (P)
⇔ ⊄ a 5) (P) // (Q) ⇔ ∃ 7) (P) // (Q), (R) , b 8) a (P)⊂ 2. Quan hệ vuông góc
Trong không gian cho các ñường thẳng a, b, c và mặt phẳng (P), (Q), (R). Ta có:
(cid:11) 0 = 90 (a, b)
⊥ ⇔ b
c⊥ ;
1)
∩
(R), (Q)
(Q)
a= ⇒
a
(R)⊥
;
⊂ b, c a ⇔ ∃ ⊂ (P) ⊥ (P)⊂
b⊥ ⇒ c
a⊥ (ðịnh lý 3 ñường vuông góc).
a 2) a ⊥ ⇔ ∃ (P) 3) (P) ⊥ (Q) 4) (P) // (Q), a 5) (P) ⊥ 6) Ch(P)a = b, c
Trang 14
; , b cắt c: a b⊥ , a (P) ; (Q) ⊥ (P) : a ; a ⊥ ⇒ ⊥ (Q) và (P) (R) và c
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Thể tích
(S: diện tích ñáy, h: ñộ dài ñường cao). 1) Thể tích khối lăng trụ: V Sh=
Sh
V
=
2) Thể tích khối chóp: (S: diện tích ñáy, h: ñộ dài ñường cao).
V
=
Sh
2 R h
(R: bán kính ñáy, h: ñộ dài ñường cao). 3) Thể tích khối nón:
1 = π 3 2 R h
= π
3
4) Thể tích khối trụ: (R: bán kính ñáy, h: ñộ dài ñường cao).
V
R
1 3 1 3 = V Sh 4 = π 3
5) Thể tích khối cầu: (R: bán kính ñáy).
6) Cho khối tứ diện S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lấy lần lượt các ñiểm A’, B’, C’ khác S.
=
.
.
V S.A ' B' C ' V
SA ' SB' SC ' SA SB SC
S.ABC
Khi ñó .
= π
Rl
4. Diện tích (R: bán kính ñáy, l: ñộ dài ñường sinh).
= π
R(R l)
+ (R: bán kính ñáy, l: ñộ dài ñường sinh).
tpS
1) Diện tích xung quanh hình nón: xqS 2) Diện tích toàn phần hình nón:
= π
2 Rh
(R: bán kính ñáy, h: ñộ dài ñường cao).
= π
2 R(R h)
+ (R: bán kính ñáy, h: ñộ dài ñường cao).
tpS 2
3) Diện tích xung quanh hình trụ: xqS 4) Diện tích toàn phần hình trụ:
S
4 R= π
5) Diện tích mặt cầu: (R: bán kính ñáy).
(cid:4) (a ; a ; a ), b
=
(b ; b ; b ) 2 3
1
3
1
2
ta có: Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN I. CÔNG THỨC CƠ BẢN (cid:4) a
±
±
±
=
(ka ; ka ; ka ), k R
∈
= (cid:4) ± = b
(a 1
b ; a 2
3
b ) 3
2
1
2
3
2
. . 2) 1) Cho (cid:4) a
+
+
=
a
a
(cid:4) a
(cid:4) k.a (cid:4) a
b ; a 1 (cid:4) (cid:4) a.b
=
a b 1 1
a b 2 2
a b 3 3
2 a 1
2 + + ⇒ = a 3
2 2
2 a 1
2 + + a 2
2 3
AB
x
x
y
y
z
z
.
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) 5) AB
⇒
=
−
+
−
+
−
3) Tích vô hướng . . 4)
(
2 )
(
2 )
(
2 )
B
A
B
A
B
A
+
+
= (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
=
=
(cid:4) (cid:4) (cid:11) cos(a, b)
+
+
a
b
a
b
a b 1 1 2 + + a 2
a b 2 2 2 3
2 b 1
a b 3 3 2 2
2 1
2 3
6)
(cid:4) (cid:4) a.b (cid:4) (cid:4) a . b (cid:4) a
(cid:4) b
⇒ ⊥ ⇔
+
+
=
0
a b 1 1
a b 2 2
a b 3 3
.
(cid:4) (cid:4) a, b
;
;
a 2 b
a 3 b
a 3 b
a 2 b
2
3
a 1 b 1
a 1 b 1
2
=
(cid:4) 8) a
(cid:4) cùng phương b
(cid:4) a ⇔ =
(cid:4) k.b
⇔
3 (cid:4) (cid:4) a, b
(cid:4) 0
= ⇔ =
=
7) Tích có hướng .
) 0≠ .
b , b , b 2
1
3
a 2 b
a 3 b
a 1 b 1
2
3
(
⊥
(cid:4) b
⊥
(cid:4) (cid:4) 9) a, b
(cid:4) (cid:4) (cid:4) a, a, b
(cid:4)
(cid:4)
.
(cid:4) .
(cid:4) (cid:4) a, b
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:11) a . b .sin(a, b)
⇒
=
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:11) a, b sin(a, b) =
(cid:4) a . b
(cid:4)
10)
(cid:4) (cid:4) 11) a, b, c
⇔
=
0.
(cid:4) (cid:4) (cid:4) a, b c
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
x
y
z
B
B
B
ñồng phẳng
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) 12) ðiểm M chia ñoạn AB theo tỉ số k MA k.MB
⇔
=
;
;
− A − 1
k.x k
− A − 1
k.y k
− A − 1
k.z k
⇒ M
x
x
y
y
z
A
B
A
B
A
.
I
;
;
.
+ 2
+ 2
+ z B 2
x
+
+
x
y
+
+
y
z
+
A
C
A
C
A
13) ðiểm I là trung ñiểm của ñoạn AB thì
G
;
;
.
y B 3
z B 3
+ z C
x B 3 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
: 14) Tọa ñộ trọng tâm G của ABC∆
+
+
+
=
(cid:4) 15) Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa GA GB GC GD 0 z
+
+
+
+
y
y
y
y
x
x
x
x
+
z
A
B
C
B
C
D
A
B
A
z C
D
và có tọa ñộ:
;
G
;
+ 4
+ 4
+ 4
+ z D
Trang 15
.
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009
S
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, AC
∆
ABC
1 = 2
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, AD .AA ' .
V
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
=
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, AC .AD .
là . 16) Diện tích ABC∆
1 = 6
18) Thể tích tứ diện ABCD: ABCD
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4)
0
=
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) hoặc DE AB, AC (cid:9)
DE
⊥
(ABC)
=
0
17) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: ABCD.A ' B' C' D ' (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) 19) .
(cid:9)
DE (ABC)
∨ ∉
V (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) DE.AB (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) ⇔ 0 DE.AC = (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) DE. AB, AC ⇔ ∉ D (ABC) E (ABC).
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB.CD
20)
cos
α =
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) cos AB, CD
. 21) Góc α giữa ñường thẳng AB và CD thỏa
(
)
= AB.CD (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) MA, AB
.
=
( d M, AB
22) Khoảng cách giữa ñiểm M và ñường thẳng AB là
.
=
( d AB, CD
)
) AB (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, CD .AC (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, CD
23) Khoảng cách giữa AB và CD chéo nhau:
(cid:4)
(cid:4)
(cid:4) không cùng phương, khác 0
(cid:4) và nằm trên ( )α (hoặc các mặt phẳng chứa a, b
vuông góc với mặt phẳng ( )α là pháp vector của ( )α . II. MẶT PHẲNG 1. Vector pháp tuyến và cặp vector chỉ phương của mặt phẳng ðịnh nghĩa 1 (cid:4) (cid:4) Vector n 0≠ ðịnh nghĩa 2
song song với ( )α ) là cặp
(cid:4) Hai vector a, b vector chỉ phương (VTCP) của ( )α . Chú ý
(cid:4)
(cid:4) 1) Nếu a, b
(cid:4) là cặp VTCP của ( )α thì n
(cid:4) (cid:4) a, b
=
(cid:4) 2) Nếu ba ñiểm A, B, C ( )∈ α và không thẳng hàng thì n
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB, AC
là pháp vector của ( )α .
=
là PVT của ( )α .
=
(A; B; C)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
(cid:4) Cho mặt phẳng ( )α ñi qua ñiểm M0(x0; y0; z0) và nhận n
làm pháp vectơ thì phương trình tổng quát của ( )α : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Chú ý
(cid:4) Nếu mặt phẳng ( )α : Ax + By + Cz + D = 0 thì n
=
(A; B; C)
là pháp vector.
3. Các trường hợp riêng a) Mặt phẳng tọa ñộ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0.
a, b, c
0≠ thì phương trình mặt
b) Mặt phẳng chắn 3 trục tọa ñộ
)
Cho ( )α cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (
α ( ) :
+ + = (gọi là phương trình theo ñoạn chắn).
1
x a
y b
z c
phẳng
+
+
+
= có các pháp vector tương
0
4. Vị trí tương ñối của hai mặt phẳng
β ( ) : A x B y C z D 2 2
2
2
Cho hai mặt phẳng ( )α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và
α
β
(cid:4) n
=
=
(
)
(
)
1
1
1
A ; B ; C 2
2
2
ứng là .
β ⇔
⇔
≠
(cid:4) A ; B ; C , n (cid:4) (cid:4) n , nα
β
A : B : C 1
1
1
A : B : C 2
2
2
không cùng phương . 1) ( )α cắt ( )
β ⇔ ( )
=
=
=
A 1 A
2
B 1 B 2
C 1 C 2
D 1 D 2
. 2) ( )α trùng với
β ⇔ ( )
=
=
≠
A 1 A
2
B 1 B 2
C 1 C 2
D 1 D 2
Trang 16
. 3) ( )α song song với
(cid:4) ñược gọi là vector chỉ phương (VTCP) của ñường thẳng d nếu u
(cid:4) nằm trên d hoặc ñường thẳng chứa u
song
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 III. ðƯỜNG THẲNG 1. ðịnh nghĩa (cid:4) (cid:4) Vector u 0≠ song với d. Chú ý
x
+
0
u t 1
ðường thẳng trong không gian không có pháp vector. 2. Phương trình tham số của ñường thẳng
u t (t
ℝ . )
∈
(cid:4) u
=
(u ; u ; u ) 2 3
1
0
0
2 u t 3
= x = ptts d : y y + = + z z
thì: d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP
3. Phương trình chính tắc của ñường thẳng
(cid:4) u
=
0≠ thì
(u ; u ; u ) 2 3
1
u u u 1 2 3
x
x
y
y
z
z
0
0
0
với d qua M(x0; y0; z0) và có VTCP
ptct d :
=
=
− u
− u
− u 1
2
3
.
5. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng
2
M d∈
(cid:4) (cid:4) Cho hai ñường thẳng d1, d2 có VTCP là 1 u , u
M d∈ 1
1
2
2
(cid:4)
. Gọi ñiểm và , ta có:
=
0
1
(cid:4)
. a) Trường hợp 1: d1 và d2 ñồng phẳng
2
1
⇔
⇔ 1 (cid:4) (cid:4) u , u 1
(cid:4) 0
0
1
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:4) u , u M M 2 2 ≠
(không cùng phương). 1) d1 cắt d2
2
M d∉
=
2
M d∉ 1
2
1
(hoặc ). và và (cid:4) 0 2) d1 song song với d2
2
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:4) = u , u M M 2 2 (cid:4) (cid:4) u , u ⇔ 1 (cid:4) (cid:4) u , u 1
⇔
=
M d∈ 1
2
(hoặc ). 3) d1 trùng với d2
1
⇔
≠
0
1
(cid:4) và 0 M d∈ 1 2 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:4) (cid:4) u , u M M 2 2
(không ñồng phẳng). b) Trường hợp 2: d1 chéo d2
Chú ý: Ta có thể xét hệ phương trình của d1 và d2 ñể suy ra vị trí tương ñối như sau:
2
1) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ d1 cắt d2. 2) Hệ phương trình có vô số nghiệm ⇔ d1 trùng d2.
2
cùng phương ⇔ d1 song song với d2.
không cùng phương ⇔ d1 và d2 chéo nhau.
(cid:4) (cid:4) 3) Hệ phương trình vô nghiệm và 1 a , a (cid:4) (cid:4) 4) Hệ phương trình vô nghiệm và 1 a , a 6. Vị trí tương ñối của ñường thẳng và mặt phẳng
(cid:4) Cho ñường thẳng d ñi qua ñiểm M và có VTCP u
(cid:4) , mặt phẳng ( )α có VTPT n
.
(cid:4) (cid:4) u.n
⇔
≠
0
=
(hoặc hệ phương trình có nghiệm duy nhất). 1) d cắt ( )α
α ⇔
0
∉ α (hoặc hệ phương trình vô nghiệm).
2) d ( ) (cid:9) và M ( )
⊂ α ⇔ ( )
0
3) d
(cid:4) (cid:4) u.n (cid:4) (cid:4) = u.n (cid:4) (cid:4) (cid:9) u n
⊥ α ⇔ ( )
⇔
(cid:4) (cid:4) u, n
(cid:4) 0
=
. 4) d và M ( )∈ α (hoặc hệ phương trình có vô số nghiệm).
Ax
+
By
+
Cz
+
D
0
0
0
IV. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1. Khoảng cách a) Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) ñến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
d M, (P)
=
2
A
2 C
.
d(M, d)
=
∈ , (A d)
2 + B + (cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) MA, a (cid:4) a
∈
∈
)
b) Khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d: .
M d , M M d , M M d , M M d , M 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
)∈M dM dM dM d : d[d, (P)] = d[M, (P)]
Chú ý: Ta có thể tìm hình chiếu H của M trên d và d(M, d) = MH. d : d(d1, d2) = d(M1, d2) = d(M2, d1) d d d 2 2 2 2
∈
∈
(
(
(
) ) Q : Q Q Q
M M M M 1 1 1 1
e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song
Trang 17
c) Khoảng cách giữa d1 song song d2 ( d) Khoảng cách giữa ñường thẳng d và mặt phẳng (P) song song ( ) P , M P , M P , M P , M 2 2 2 2 d[(P), (Q)] = d[M1, (Q)] = d[M2, (P)]
=
∈
∈
, (M d , M d ) 1 2
d(d , d ) 1 2
1
2
. f) Khoảng cách giữa d1 chéo d2:
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 (cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) a , a .M M 1 2 2 (cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) a , a 1
2
1
2. Góc
=
(cid:4) (cid:4) a.b
(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:11) a b cos a, b
=
2
1
2
1
Công thức cơ bản:
) (cid:11) 1
(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) cos u , u
=
(cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) u .u 2 (cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) . u u 1
0
a) Góc giữa d1 và d2: (cid:11)( cos d , d
(cid:9)
d
⇒
=
0
0
d 1
2
2
⊥ ⇔ d 2
2 (cid:3)(cid:3)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:4) u .u 1
2
(cid:11)( d , d 1
)
Chú ý: 1) . 2) 1 d
=
Q
P
)(cid:11)( ( ) ( cos P , Q
. b) Góc giữa hai mặt phẳng:
) (cid:11) P Q
(cid:4) (cid:4) cos n , n
=
P
Q
0
. = (cid:4) (cid:4) n .n (cid:4) (cid:4) n n
(cid:4) (cid:4) n .n P Q
=
0
P
(cid:9)
Q
⇒
=
0
P
⊥
Q
⇔
)
(
)
)
(
)
)(cid:11)( ) ( ( P , Q
. . 2) ( Chú ý: 1) (
)
=
P
d
)(cid:11)( ( sin d, P
. c) Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng:
) (cid:11) d P
(cid:4) (cid:4) cos u , n
=
(cid:4) (cid:4) u .n (cid:4) (cid:4) n u
d
P
P
d
P
⇒
=
0
d
⊥
P
⇔
(cid:4) (cid:4) u .n d P
(cid:4) (cid:4) u , n d
(cid:4) 0
=
(cid:9)
(
)
) d ⊂ α hoặc
(
(
)
Chú ý: 1) . 2) .
2
2
2
V. MẶT CẦU 1. Phương trình chính tắc của mặt cầu Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính tắc là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
R
=
a
+
b
+ − > . d
0
c
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính
3. Vị trí tương ñối của mặt phẳng và mặt cầu
d I,(P)
⇔
>
R
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R ta có: a) Mặt phẳng không cắt mặt cầu .
⇔
d I,(P)
=
R
b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu .
⇔
d I,(P)
<
R
c) Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là ñường tròn .
I
( P∈
)
Chú ý: Khi thì giao tuyến là ñường tròn lớn có bán kính bằng bán kính mặt cầu.
………………………………………………….
f(x)dx
=
f(x)
a.f(x)dx
=
f(x)dx (a
≠
0)
f(x)
±
=
f(x)dx
±
g(x)dx
)/
g(x) dx
∫
∫ a.
∫
∫
∫
∫
; 2) ; 3) .
E. TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Tính chất 1) ( 2. Bảng nguyên hàm
+ ax C, a
a.dx
=
∈
+ au C, a
adu
=
∈
ℝ
ℝ
α+ 1
1) 1) Nguyên hàm mở rộng, u = u(x) ∫ Nguyên hàm của hàm số cơ bản ∫
α = x dx
+
C,
α ≠ −
1
α = u du
+
C,
α ≠ − 1
∫
∫
x α +
1
α+ 1u α + 1
2) 2)
=
ln x
+
C, x
≠
0
=
ln u
+
C, u
≠
0
∫
∫
3) 3)
C
C
dx x dx 2
du u du 2
∫
∫
1 = − + x
1 = − + u
x
u
Trang 18
4) 4)
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009
dx
du
=
2 x C
+
=
2 u C
+
∫
∫
x
u
5) 5)
x x e dx
=
e
+
C
u u e du
=
e
+
C
∫
∫
x
u
6) 6)
x a dx
=
+
C
u a du
=
+
C
∫
∫
7) 7)
a ln a =
cos xdx
sin x C
+
cos udu
sin u C
+
a ln a =
8) 8)
sin xdx
= −
cos x C
+
sin udu
= −
cos u C
+
∫ ∫
∫ ∫
9) 9)
dx
=
tan x C
+
=
tan u C
+
∫
∫
10) 10)
dx
= −
cot x C
+
= −
cot u C
+
∫
∫
1 2 cos x 1 2 sin x
du 2 cos u du 2 sin u
11) 11)
ðặc biệt
f(ax
+
b)dx
=
F(ax
+ +
b) C
f(x)dx
=
F(x) C
+
∫
1 a
Nếu thì .
∫ Các công thức thường gặp:
1 α+
(ax
+
α b) dx
=
+
C
=
.ln ax
+ + b
C
∫
∫
1 (ax . a
+ α +
b) 1
dx +
ax
b
1 a
+ ax b
+ ax b
; 2) ; 1)
e
=
.e
+
C
cos(ax
+
b)dx
=
.sin(ax
+ +
b) C
∫
∫
1 a
dx
3) ; 4) ;
sin(ax
+
b)dx
= −
.cos(ax
+ +
b) C
=
.tg(ax
+ +
b) C
∫
∫
1 a 1 a
1 a
2 cos (ax
+
b)
; α β và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó, với
a, b
;
)
) ∈ α β ta gọi
(
5) ; . 6)
−
b
b
là tích phân từ a ñến b của f(x). II. PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ 1. ðịnh nghĩa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng ( hiệu F(b) F(a)
f(x)dx
=
− F(b) F(a)
=
F(x)
a
∫
a
b
b
b
Ký hiệu: (công thức Newton - Leibniz).
f(x)dx
=
f(t)dt
=
f(u)du
= = ...
− F(b) F(a)
∫
∫
∫
a
a
a
a, b, c
;
Nhận xét: .
) ; α β và
) ∈ α β ta có:
(
a
b
a
2. Tính chất Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng (
f(x)dx
0=
f(x)dx
f(x)dx
∫
∫ = −
∫
a
a
b
b
b
b
c
b
1) ; 2) ;
k.f(x)dx
=
k
f(x)dx k
∀ ∈
ℝ ;
f(x)dx
=
f(x)dx
+
f(x)dx
∫
∫
∫
∫
∫
a
a
c
a
a
b
b
b
3) 4) .
[f(x)
±
g(x)]dx
=
f(x)dx
±
g(x)dx
∫
∫
∫
a
a
a
b
b
5) ;
f(x)
≥ ∀ ∈ 0 x
a; b
⇒
f(x)dx
≥
0
f(x)
≤ ∀ ∈ 0 x
a; b
⇒
f(x)dx
≤
0
∫
∫
a
a
b
b
6) , ;
f(x)
≥
g(x) x
∀ ∈
a; b
⇒
f(x)dx
≥
g(x)dx
∫
∫
a
a
b
7) ;
m f(x) M x
a; b
m(b
a)
∀ ∈
≤
≤
⇒
a) − ≤
f(x)dx M(b ≤
−
∫
a
; 8)
t ∫ G(t)= f(x)dx
a
Trang 19
9) Nếu t biến thiên trên [a; b] thì là một nguyên hàm của f(t) thỏa G(a) = 0.
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 3. Các kết quả cần nhớ
a
f(x)dx
=
0
∫
− a
a
a
. 1) Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên ñoạn [–a; a] thì
f(x)dx
=
2
f(x)dx
∫
∫
− a
0
. 2) Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên ñoạn [–a; a] thì
b
b
b
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức
udv
=
uv
−
vdu
∫
∫
a
a
a
(1)
f(x)g(x)dx
∫
a
/
2. Phương pháp giải toán b ta thực hiện như sau: Giả sử cần tính tích phân
=
=
=
f(x), dv
g(x)dx
du
u (x)dx
b
không Bước 1. ðặt u (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
vdu
∫
a
quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính ñược.
b
b
Bước 2. Thay vào công thức (1) ñể tính kết quả. ðặc biệt:
=
ax e .P(x)dx
P(x)
∫
b ∫ P(x)sin axdx, P(x)cos axdx,
∫
a
a
a
b
1) . , (P(x): ña thức) ta ñặt u
α P(x)ln xdx
ln xα=
∫
a
. 2) ta ñặt u
=
log x a
ln x ln a
Chú ý: .
b
IV. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI Phương pháp giải toán
I
f(x) dx
= ∫
a
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1
b
x
b
x 1
2
Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên ñoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x f(x) x1 0 x2 0 + + – b Bước 2
I
=
f(x) dx
=
f(x)dx
−
f(x)dx
+
f(x)dx
∫
∫
∫
∫
a
a
x
x 1
2
Tính .
b
b
f(x) dx
=
f(x)dx
∫
∫
a
a
Chú ý: Nếu trong khoảng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thì:
=
f(x), y
=
g(x), x
=
a, x
= là: b
b
S
=
f(x)
−
g(x) dx
∫
a
Trang 20
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Tính diện tích hình phẳng 1.1. Trường hợp 1 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các ñường y
