ôn tập kiến thức_ kĩ năng giải đề thi đại học_ cao đẳng môn toán 2010_03

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 1.2. Trường hợp 2

là:

Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các ñường y

=

f(x), y

=

g(x)

β

S

=

f(x)

−

g(x) dx

∫

α

Trong ñó

, α β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) = g(x).

Chú ý:

không có nghiệm thì:

; α β phương trình f(x)

=

g(x)

1) Nếu trong khoảng (

)

β

β

f(x)

−

g(x) dx

=

f(x)

−

 g(x) dx 

 

∫

∫

α

α

2) Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta ñổi vai trò x cho y trong công thức trên.

2. Tính thể tích khối tròn xoay 2.1. Trường hợp 1

Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường y

=

f(x)

≥ x 0

a; b

 ∀ ∈ 

  , y = 0, x = a và x = b

(a < b) quay quanh trục Ox là:

b

V

2 f (x)dx

= π∫

a

2.2. Trường hợp 2

Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường x

=

g(y)

≥ y 0

c; d

 ∀ ∈ 

  , x = 0, y = c và y = d

(c < d) quay quanh trục Oy là:

d

2

V

g (y)dy

= π∫

c

2.3. Trường hợp 3

, x = a và x = b

Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường y = f(x), y

=

g(x)

quay quanh trục Ox là:

(a

<

b, f(x)

≥

0, g(x)

 ≥ ∀ ∈  0 x

 a; b ) 

b

2

V

= π

2 f (x)

−

g (x) dx

∫

a

2.4. Trường hợp 4

, y = c và y = d

Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường x = f(y), x

=

g(y)

quay quanh trục Oy là:

(c

<

d, f(y)

≥

0, g(y)

 ≥ ∀ ∈  0 y

 c; d ) 

d

2

V

= π

2 f (y)

−

g (y) dy

∫

c

………………………………………………..

E. ðẠI SỐ TỔ HỢP Chương I. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN 1. Quy tắc ñếm

t

1.1. Quy tắc Với ñiều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách ñều), ta có: soá nhoû nhaá

soá lôùn nhaát

soá caùc soá

=

+

1

.

− à khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn ke

1.2. Các dấu hiệu chia hết 1) Chia hết cho 2: số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 2) Chia hết cho 3: số có tổng các chữ số chia hết cho 3. 3) Chia hết cho 4: số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4. 4) Chia hết cho 5: số có chữ số tận cùng là 0, 5. 5) Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. 6) Chia hết cho 8: số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8.

Trang 21

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009

7) Chia hết cho 9: số có tổng các chữ số chia hết cho 9. 8) Chia hết cho 10: số có chữ số tận cùng là 0. 9) Chia hết cho 11: số có hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 (ví dụ 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). 10) Chia hết cho 25: số có 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

0≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một

n

)

2. Quy tắc cộng 1) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả. 2) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk kết quả. 2. Quy tắc nhân 1) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo hai giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, ñồng thời ứng với mỗi cách ñó có n cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai. Khi ñó có mn cách thực hiện quá trình trên. 2) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo k giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai ñoạn thứ nhất, với mỗi cách ñó có m2 cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai, …, có mk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó, toàn bộ quá trình có m1.m2…mk cách thực hiện. II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ñược ký hiệu là Pn. Pn = n! = 1.2…n

phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự

n

0

≤ ≤ k

n

2. Chỉnh hợp ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (

0≥ . Mỗi cách chọn ra k (

)

)

nào ñó ñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là

k nA .

A

=

k n

(n

k)!

n ! −

phần tử của X ñược gọi là một tổ hợp

n

0

≤ ≤ k

n

3. Tổ hợp ðịnh nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (

0≥ . Mỗi cách chọn ra k (

)

)

chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là

k nC .

=

k C n

k !(n

k)!

n ! −

Nhận xét:

1) ðiều kiện ñể xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. 2) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.

4. Phương pháp giải toán 4.1. Phương pháp 1.

Bước 1. ðọc kỹ các yêu cầu và số liệu của ñề bài. Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai ñoạn. Bước 2. Tùy từng giai ñoạn cụ thể và giả thiết bài toán ñể sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp. Bước 3. ðáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.

4.2. Phương pháp 2.

ðối với nhiều bài toán, phương pháp 1 rất dài. Do ñó ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán

.

∪

A A X

= ⇒ =

A X \ A

Bước 1. Chia yêu cầu của ñề thành 2 phần là yêu cầu chung X (tổng quát) gọi là loại 1 và yêu cầu riêng A. Xét A là phủ ñịnh của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu riêng gọi là loại 2. Bước 2. Tính số cách chọn loại 1 và loại 2. Bước 3. ðáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.

Chú ý

1) Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương ñối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải. 2) Phương pháp phần bù có ưu ñiểm là ngắn tuy nhiên nhược ñiểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại.

Trang 22

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 Chương II. XÁC SUẤT I. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1. Phép thử và biến cố

– Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào ñó hay quan sát một hiện tượng nào ñó ñể xem có xảy ra hay không. Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử ñược gọi là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C…

VD 1

+ Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”. + Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng ñể kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩm tốt” hay

“chọn ñược phế phẩm”.

+ Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”.

2. Các loại biến cố

– Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ñược gọi là không gian mẫu ký hiệu là Ω . – Mỗi phần tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố ñược gọi là biến cố sơ cấp. a) Biến cố chắc chắn. Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắc chắn, ký hiệu là Ω . VD 2

+ Trong phép thử thả viên bi thì biến cố “viên bi rơi xuống ñất” là Ω .

+ Trong phép thử sinh viên thi hết môn XSTK thì biến cố “sinh viên có ñiểm” là Ω .

b) Biến cố không thể. Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu ∅ . VD 3

Biến cố “chọn ñược 3 con bài Át cùng màu” là không thể.

c) Số trường hợp ñồng khả năng

– Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau ñược gọi là ñồng khả năng. – Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp ñều ñồng khả năng thì số phần tử của không gian mẫu ñược gọi là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử.

= ∪ hay C = A + B. C xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra.

VD 4. Gọi một sinh viên trong nhóm ñể kiểm tra thì mỗi sinh viên trong nhóm ñều có khả năng bị gọi như nhau. d) Các phép toán Cho A, B là các biến cố bất kỳ. Khi ñó: 1) Tổng của A và B là C A B VD 5

Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi A1: “viên thứ nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và C: “bia bị trúng ñạn” thì

.

∪

A

C A = 1

2

=

= ∩ . C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra.

2) Tích của A và B là C AB A B VD 6

Một người chọn mua áo. Gọi A: “chọn ñược áo màu xanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và

C: “chọn ñược áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. VD 7

Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra. Gọi Ai: “chọn ñược linh kiện thứ i tốt” và

10

C: “chọn ñược 10 linh kiện tốt” thì

=

∩

∩ ∩

A

... A

C A = 1

2

10

i

∩ . A

= i 1

3) Phần bù của A, ký hiệu

.

= Ω

= ω ∈ Ω ω ∉

A

\ A

A

{

}

3. Quan hệ giữa các biến cố a) Biến cố xung khắc – Hai biến cố và B ñược gọi là xung khắc nếu chúng không ñồng thời xảy ra trong một phép thử. – Họ các biến cố A1, A2,…, An ñược gọi là xung khắc (hay ñôi một xung khắc) khi một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. Nghĩa là .

= ∅ ∀ ≠ ,

A

A

∩

j

i

i

j

VD 8

Một hộp có 3 viên phấn màu ñỏ, xanh và trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 viên. Gọi A: “chọn ñược viên màu ñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc.

.

∪

b) Biến cố ñối lập – Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2 ñiều sau: 1) A và B xung khắc với nhau. 2) Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra, nghĩa là A B = Ω VD 9. Trồng 1 cây bạch ñàn. Gọi A: “cây bạch ñàn sống”, B: “cây bạch ñàn chết” thì A và B là ñối lập. – Họ các biến cố {Ai} (i = 1,…, n) ñược gọi là hệ ñầy ñủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 ñiều sau: 1) Họ xung khắc, nghĩa là = ∅ ∀ ≠ . i

j

,

jA .A i

.

2) Phải có ít nhất 1 biến cố trong họ xảy ra, nghĩa là

∪

A

∪ ∪

A 1

2

... A = Ω n

Trang 23

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009

VD 10. Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ. II. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 1. ðịnh nghĩa xác suất (dạng cổ ñiển)

Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp ñồng khả năng, trong ñó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xác suất của A là:

P(A)

=

=

.

Soá bieán coá thuaän lôïi cho A Soá taát caû caùc bieán coá coù theå

m n

2. Tính chất của xác suất ≤ 1

P(A)

i) 0

≤ , với mọi biến cố A;

ii) P( )

∅ = ;

0

iii) P( )

Ω = .

1

.

3. Ý nghĩa của xác suất Xác suất là số ño mức ñộ tin chắc, thường xuyên xảy ra của 1 biến cố trong phép thử. Chú ý – Xác suất phụ thuộc vào ñiều kiện của phép thử. III. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1. Công thức cộng xác suất a) Biến cố xung khắc – A và B xung khắc thì: P(A B)

+ P(A) P(B)

=

∪

.

∪

A

∪

∪ ... A

=

+ +

– Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì:

)

( P A 1

2

n

+ P(A ) P(A ) 2

1

... P(A ) n

.

∪

P(A) P(B) P(AB)

+

−

n

b) Biến cố tùy ý – A và B là hai biến cố tùy ý thì: P(A B) = – Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì: n

− n 1

.

P

A

=

−

+

+ + −

...

i

P(A ) i

P(A A ) i j

P(A A A ) i k

j

( 1) P(A A ...A ) n

1

2

∑

∑

∑

∪

= i 1

<

< <

= i 1

i

j

i

j k

     

     

c) Biến cố ñối lập

= −

1 P(A)

.

( P A

)

2. Công thức nhân xác suất a) Xác suất có ñiều kiện Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B với P(B)

0> . Xác suất có ñiều kiện của A với ñiều kiện B ñã xảy ra ñược ký

.

hiệu và ñịnh nghĩa

=

( P A B

)

P(AB) P(B)

– Tính chất:

;

= −

1= ;

≤ ; 1

≤

0

– Xác suất có ñiều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xảy ra của 1 biến cố ñể dự báo xác suất xảy ra biến cố khác. )

( P A B

( P B B

)

( 1 P A B

)

( P A B

)

∪

=

+

nếu A1 và A2 xung khắc.

)

(

)

(

)

A B 2

P A B 2

P A B 1

và

.

. Khi ñó ta có P(AB)

P(A).P(B)

P(A)

P(B)

=

=

( P A 1 b) Công thức nhân – A và B là 2 biến cố ñộc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng ñến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là ( = P A B

( P B A

)

)

.

– Với A, B không ñộc lập (phụ thuộc) thì

P(AB)

=

=

( P(B)P A B

)

( P(A)P B A

)

Chương III. NHỊ THỨC NEWTON I. ðỊNH NGHĨA Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:

n

a

+

b

=

+

b C a

+

+ +

... C a

+ +

(

)n

0 n C a n

− 1 n 1 C a n

− 2 n 2 2 b n

− k n k k b n

n n ... C b n

b− k n k k C a n

= ∑

= k 0

1) Số hạng thứ k+1 là

thường ñược gọi là số hạng tổng quát.

T

+ = k 1

k

2) Các hệ số

k n k k b− C a n nC ñược tính theo công thức tổ hợp chập.

Tính chất

1)

2)

(0

≤ ≤ ;

n)

k

+

=

≤ ≤ .

n)

k

k C n

n k −= C n

k C n

k 1 − C n

k C (1 n 1 +

Trang 24

.

b+

b−

a

a

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Dạng khai triển Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số ñứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau. )n

hoặc (

)n 1) Khai triển ( 2) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên.

2. Dạng ñạo hàm cấp 1 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số ñứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 ñến n (hoặc giảm dần từ n ñến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng:

(1).

1

+

x

=

+

+ +

+ +

(

0 C n

2 2 + C x C x n

1 n

k k ... C x n

n n ... C x n

−

(2).

1

x

=

+

... C x

+ +

+

+

+ +

)n )n

0 n C x n

− 2 n 2 C x n

− 1 n 1 C x n

k n k n

n ... C n

( 1) ðạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). 2) Thay số thích hợp vào (1) hoặc (2) sau khi ñã ñạo hàm.

3. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton 3.1. Dạng tìm số hạng thứ k

− − k 1 n (k 1) k 1

Số hạng thứ k trong khai triển

là

− .

b

(a

n b)+

− nC a

3.2. Dạng tìm số hạng chứa xm

f(k)

1) Số hạng tổng quát trong khai triển

là

(a, b chứa x).

(a

− k n k k b

=

M(k).x

n b)+

nC a

k

0

0

0

2) Giải phương trình

f(k) m

= ⇒ , số hạng cần tìm là

k

b− n k

và hệ số của số hạng chứa xm là M(k0).

0

k nC a

3.3. Dạng tìm số hạng hữu tỉ

1) Số hạng tổng quát trong khai triển

là

, α β là hữu tỉ).

(a

n b)+

=

rm p q α β ( .

− k n k k b C a n

k C . n

∈

ℕ

k

0

0

0

2) Giải hệ

. Số hạng cần tìm là

.

(k

, 0

n)

k

k

b− n k

∈

≤ ≤ ⇒

ℕ

k nC a

0

ℕ

m p r q

    ∈

4. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton

−

Xét khai triển

có số hạng tổng quát là

.

(a

n bx)+

k n k k k b x

ðặt

.

u

=

b , 0

n

k

nC a ≤ ≤ ta có dãy hệ số là {

k

− k n k k C a n

}ku

ðể tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện:

u

k

+ k 1

k

0

0

0

Giải hệ bất phương trình

. Suy ra hệ số lớn nhất là

.

⇒

k

b− n k

0

k nC a

u

k

− k 1

 ≥ u   ≥ u

…………………………………………………

Trang 25

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 PHẦN II. 15 BỘ ðỀ LUYỆN TẬP

ðỀ SỐ 1

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm)

Cho hàm số (1), m là tham số. y = mx + 1 − x m

+

cos 2x

+

3 sin x

−

cos x

− = .

0

2

∈

[1; 3]

2 log x 3

log x 3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm ñiều kiện tham số m ñể hàm số (1) nghịch biến trên tập xác ñịnh. Câu II (2,0 ñiểm) của phương trình: sin 2x 1. Tìm nghiệm x

3

+

2x

≤

243

π 4

tgx

1

2. Giải bất phương trình: . Câu III (1,0 ñiểm)

dx

I

= ∫

− + x 2 cos x

0

. Tính tích phân

Câu IV (1,0 ñiểm)

a 5

=

− − =

3x

3)

. Tính thể tích khối tứ diện OO’AB theo a. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng 2a. Trên hai ñường tròn ñáy tâm O và O’ lấy lần lượt hai ñiểm A, B sao cho AB Câu V (1,0 ñiểm)

log (4y) 4

2

1

2 − − x

3 2y

−

y

+ =

m 0

 + 1  2  + x 

Tìm ñiều kiện của tham số m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực: log (4y 4 .

cos OAB

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm)

1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(2; 1) và ñường thẳng (d): x – y = 0. Tìm ñiểm B thuộc (d) sao cho (cid:11) 4 = − . 5 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho 4 ñiểm A(1; 6; 2), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4), D(5; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD). Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm. Câu VII.a (1,0 ñiểm)

≥

2, n

∈ ℤ .

S

=

+

+

+ + ...

A

A

A

1 2 2

1 2 3

1 2 4

1 2 n

Rút gọn tổng , với n

A 2. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm)

2

2 + − y

(C) : x

2y

0

4

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ABC∆ 4x vuông tại A. Biết tọa ñộ ñỉnh B(1; 1) và + = cắt cạnh BC tại H sao cho −

2

x

ñường tròn ñường kính AB là BC = 4BH. Tìm tọa ñộ ñỉnh A và C.

t

d : y 

z

t

 = = −  =

cos OAB

2. Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng và ñiểm A(1; 0; 0).

Tìm ñiểm B thuộc ñường thẳng d sao cho (cid:11) 1 = − . 3

+

+

+

=

+

≤ ≤ và n, k ∈ ℤ .

n

k

k C n

− k 3 4C n

− k 2 6C n

k C + n 4

− k 4 C n

− k 1 4C n ……………………Hết……………………..

Trang 26

Câu VII.b (1,0 ñiểm) Chứng minh: , với 4

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 ðỀ SỐ 2

3

2

y

=

− (1), m là tham số.

− (m 1)x

m

+

x

3

2

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm)

− (m 1)x

+

x

− = có 3 nghiệm phân biệt.

m 0

Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = –2. 2. Tìm ñiều kiện tham số m ñể phương trình

6 cos x

Câu II (2,0 ñiểm)

6 sin x

log x 2

log x 2

+ sin 2x − 1. Giải phương trình: . = 0 1 4 2 sin x 1 −

3x

2

2

2. Giải phương trình: − 3x.9 + 2.27 = . 0 Câu III (1,0 ñiểm)

I

=

x

− − 1

3 dx

Tính tích phân .

∫

− 2

Câu IV (1,0 ñiểm)

= AD a 2 Chứng tỏ BK (ANK)

⊥

Cho hình chóp S.ABCD có ñường cao SA bằng a và ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, . Gọi M, N là trung ñiểm của AD và SC. K là giao ñiểm của AC và BM. theo a. và tính diện tích của ANK∆

2009

2009

Câu V (1,0 ñiểm)

P

=

1

+

x

+

1

+

y

Cho x, y không âm thỏa x + y = 1. Tìm max, min của .

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm)

x

y

1

1

3

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai ñiểm A(1; 1), B(–2; 3) và ñường thẳng (d): 2x – 3y + 5 = 0. Chứng tỏ ñường thẳng (d) cắt ñoạn thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng:

=

=

=

=

d : 2

d : 1

y − − 2

− 1

+ 1

x 2

z 1

z + 1 − 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm A và song song với cả hai ñường thẳng d1, d2.

, .

Câu VII.a (1,0 ñiểm)

Một hộp có 12 viên phấn gồm: 4 viên màu xanh, 4 viên màu trắng và 4 viên màu ñỏ. Chọn từ hộp ra 4 viên, tính số cách chọn sao cho trong 4 viên ñược chọn phải có ñủ 3 màu.

+ − = , (BC) : x 0

− = . Tìm tọa ñộ 2 ñỉnh A, B của ABC∆

3y

y

3

0

2

2. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm) có ñiểm M(–1; 1) là trung ñiểm của cạnh AB .

y

x

1

1

3

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ABC∆ và (AC) : 2x + 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng:

=

=

=

=

d : 2

d : 1

z + 1 − 1

y − − 2

+ 1

x 2

z 1

− 1 Tìm ñiểm M trên d1, N trên d2 sao cho ba ñiểm A, M, N thẳng hàng.

, .

Câu VII.b (1,0 ñiểm)

Trang 27

Chọn ngẫu nhiên lần lượt (có hoàn lại) từng sản phẩm từ một kho hàng cho ñến khi gặp phế phẩm thì dừng. Biết xác suất chọn ñược phế phẩm mỗi lần chọn là 3%. Tính xác suất sao cho phải chọn ñến lần thứ 5? ……………………Hết……………………..

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 ðỀ SỐ 3

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm)

y

=

x x

+ +

3 2

Cho hàm số (1).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1).

2. Tìm m ñể (C) cắt (d) : y = x m − tại 2 ñiểm phân biệt A, B và AB nhỏ nhất. 1 2 Câu II (2,0 ñiểm)

5(1

+

cos x)

= + 2

4 sin x

−

4 cos x

2

2

1. Giải phương trình: .

log

− + +

2x

2

4 log (x

− + ≤ . 2)

2x

5

x

2

4

2. Giải bất phương trình:

π 2

Câu III (1,0 ñiểm)

I

=

dx

∫

sin x −

cos 2x

cos x

π 3

Tính tích phân .

0

Câu IV (1,0 ñiểm)

30=

z

2

. Gọi M, N có AB = AC = a, (cid:14) Cho tứ diện S.ABC có ñường cao SA bằng 2a và ABC∆ C lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính thể tích của khối AMBCN theo a. Câu V (1,0 ñiểm) Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa x

P

=

x

+

+

+

+

y

z

t

1 x

1 z

1 t

1 y

    

+ + + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:      

t         

y         

        

.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm)

1

2

z

3

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0 và ñường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Tìm ñiểm M trên (d) sao cho ñường tròn tâm M, bán kính bằng 1 tiếp xúc ngoài với (C). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(1; 2; 3) và hai ñường thẳng:

=

=

=

=

d : 1

d : 2

x 2

y + − 1

− 1

x 1

y − − 2

z − 1

, .

Tìm ñiểm B ñối xứng ñiểm A qua ñường thẳng d1. Câu VII.a (1,0 ñiểm)

z

= + (1

i) .

2 1 3

− +

2i 2i

Cho số phức . Tính z .

2. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm)

3

1

2

z

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0 và ñường thẳng (d): x – y = 0. Tìm ñiểm M trên (d) sao cho ñường tròn tâm M, bán kính bằng 1 tiếp xúc trong với (C). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm A(1; 2; 3) và hai ñường thẳng:

=

=

=

=

d : 2

d : 1

y − − 2

− 1

x 1

x 2

z − 1

y + − 1 Viết phương trình ñường thẳng d3 ñi qua A, vuông góc d1 và cắt d2.

, .

Câu VII.b (1,0 ñiểm)

z

4 3

3

i

=

1 + +

−

dưới dạng lượng giác. Viết số phức

(

  

i 3i

− 1  ) 4 .   − 5 ……………………Hết……………………..

Trang 28

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 ðỀ SỐ 4

4

2

y

=

+ (1). 7

8x

−

x

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm)

=

− . 9

Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2. Tìm ñiều kiện của tham số m ñể ñồ thị (C) tiếp xúc với ñường thẳng (d) : y mx

+

tan x

Câu II (2,0 ñiểm)

=

2 2

  sin x  

 π  +   4 

2 tan x 2 tan x

+

1

1. Giải phương trình: .

x

x

+ 3x 1 3

+

5.8

−

2.6

=

6

2. Giải hệ phương trình:

x

x

x

2.27

+

3.8

+

3.6

=

8

   

.

Câu III (1,0 ñiểm) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng S giới hạn bởi 4y = x2 và y = x quay quanh Ox. Câu IV (1,0 ñiểm) và khoảng Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a. Gọi G là trọng tâm SAC∆

a 3 6

cách từ G ñến (SCD) bằng .

3

3

3

3

3

3

Tính khoảng cách từ tâm O của ñáy ñến (SCD) và thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 ñiểm) Cho 3 số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

=

+

+

+

+

+

+

P

4(x

3 y )

4(y

3 z )

4(z

3 x )

2

x 2

z 2

    

    

y

y + + 2 z

x

.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm)

S 0; 0; 2 2 . Gọi M là trung ñiểm cạnh bên SA.

)

1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(2; 1) và (d1): x – y – 1 = 0, (d2): x – 2y – 6 = 0. Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với (d1) tại A và có tâm thuộc (d2). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O(0; 0; 0) và các ñỉnh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), ( Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SC và DM. Câu VII.a (1,0 ñiểm)

ℕ

1

3x−

)n

2 n

2 C n

, biết . A + = 315 với n ∈ , n ≥ 2 Tìm hệ số của x4 trong khai triển (

2. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm) có ñỉnh A(2;–7). Biết trung tuyến CM và ñường cao

S 0; 0; 2 2 . Gọi M là trung ñiểm cạnh bên SA.

)

1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ABC∆ BK lần lượt có phương trình x + 2y + 7 = 0, 3x + y + 11 = 0. Tìm tọa ñộ ñỉnh B và C. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O(0; 0; 0) và các ñỉnh A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), ( Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại ñiểm N. Tính thể tích của khối tứ diện S.CMN. Câu VII.b (1,0 ñiểm)

1+

2x

)19 ……………………Hết……………………..

Trang 29

. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 ðỀ SỐ 5

3

2

y

= − + x

+ (1).

1

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm)

Cho hàm số 3x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1). 2. Gọi (d) là ñường thẳng ñi qua ñiểm M(–1; 5) và có hệ số góc k. Tìm ñiều kiện của k ñể ñồ thị (C) cắt (d) tại 3 ñiểm phân biệt. Câu II (2,0 ñiểm) 1. Giải phương trình:

2 3 tan x

1 sin x . 2. − sin x   −   π  =  2 

2. Giải phương trình:

=

1 1

+ +

1 1

+ +

log x 3 log x 9

log x 27 log x 81

.

π 2

Câu III (1,0 ñiểm)

I

=

dx

Tính tích phân .

∫

sin 2x −

4 sin x

3

+

cos 2x

0

Câu IV (1,0 ñiểm)

=

Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, AB = BC = CA = AD = DB = a 2 . Gọi I, K lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, CD. Chứng tỏ rằng IK là ñoạn vuông góc chung của AB, CD và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu V (1,0 ñiểm)

x + +

+ . y

P

1

Cho 2 số thực x, y thỏa x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 1

II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm)

1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho (d1): 3x + 4y + 5 = 0, (d2): 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với (d1), (d2) và có tâm thuộc (d3): x – 6y – 10 = 0. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ba ñiểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M cách ñều A, B, C và (P). Câu VII.a (1,0 ñiểm)

1 3

  + x  

15    

x

Tìm hệ số của x3 trong khai triển .

2

y

+ − = . 6

0

= và (d) : x

4x

0

2 y + −

2. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 ñiểm)

1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho (C) : x Tìm tọa ñộ các ñỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C), biết ñỉnh A thuộc (d). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñiểm A(3; 1; 2) và B(1; 2; 0).

ϕ = .

cos

1 3

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, B và tạo với mp(Oxy) góc ϕ thỏa

=

+

+

S

... + +

3C

2C

0 2011C 2009

1 2010C 2009

2 2009C 2009

2008 2009

2009 2009

+ ……………………Hết……………………..

Trang 30

. Câu VII.b (1,0 ñiểm) Rút gọn tổng