[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
I. Một số ghi nhớ
*Định nghĩa:
0 baba
.
*
cacbba ,
*
cbcaba
*
dbcadcba ,
*
bcaccba 0,
*
bcaccba 0,
*
bdacdcba 0,0
*
00, bdacdcba
*
Nnbaba nn 0
*
nNnbaba
nn
,
lẻ
*
mnaaa mn 1
*
mnaaa mn 10
*
NnRaa n ,,0
2
, dấu = xảy ra khi a=0
*
, dấu = xảy ra khi
ba
(tương ứng)
*
Rbababa ,,0
22
, dấu = xảy ra khi
0 ba
*
Raaa ,||
, dấu = xảy ra khi
0a
hoặc
0a
(tương ứng)
*
Rbababa ,|,|||||
, dấu = xảy ra khi
0ab
hoặc
0. ba
(tương ứng)
*
Rbababa ,||,||||||
, dấu = xảy ra khi
0ab
hoặc
0. ba
(tương ứng)
*
1|cos|,1|sin| xx
*
bababa
,|,|||||
dấu = xảy ra khi
0, kbka
.
*
bababa
,|,|||||
dấu = xảy ra khi
0, kbka
.
*
bababa
,||,||||||
dấu = xảy ra khi
0, kbka
.
*
bababa
,||,||||||
dấu = xảy ra khi
0, kbka
.
* Bất đẳng thức Côsi
Cho n số không âm
n
aaa ,...,,21
khi đó ta có
nnn aaanaaa ...... 2121
; dấu "=" xảy ra
khi
n
aaa ...
21
.
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Cho hai dãy số
n
aaa ,...,,21
và
n
bbb ,...,,21
khi đó ta có
)...)(...()...(22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn bbbaaabababa
;
dấu "=" xảy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a ...
2
2
1
1
.
Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có
*
2
22
2
2222
22
1.1.)11)((
yxyx
yxyx
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
dấu "=" xảy ra khi
yx
.
*
2
222
2
222222
33
1.1.1.)111)((
zyxzyx
zyxzyx
dấu "=" xảy ra khi
zyx
.
II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1.Phương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh
ba
ta chứng minh
0 ba
.
Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng:
a.
zxyzxyzyx 222
b.
zxyzxyzyx 222
222
c.
)(23
222 zyxzyx
d.
)(
444 zyxxyzzyx
Hướng dẫn giải:
Ta xét hiệu
a.
.,,0])()()[(
2
1
)222222(
2
1
222
222222
Rzyxxzzyyx
zxyzxyzyxzxyzxyzyx
Dấu “=” xảy ra khi
zyx
.
b.Ta xét hiệu
Rzyxzyxzxyzxyzyx ,,0)(222 2222
.
Dấu “=” xảy ra khi
zyx
.
c.Ta xét hiệu
Rzyxzyxzyxzyx ,,)1()1()1()(23 222222
.
Dấu “=” xảy ra khi
1 zyx
.
d.Ta xét hiệu
0])()()[(
2
1
)()()(
2
1
222222
2
1
)(
222222222222222
222444
222444444
xzzyyxxyzxzyyzx
xyzzxyyzxzyx
xyzzxyyzxzyxzyxxyzzyx
với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi
zyx
.
Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. Chứng minh rằng:
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
)1(1
2222 dcbadcba
.
Hướng dẫn giải:
Ta xét hiệu
0])2()2()2()2[(
4
1
)]1(444444[
4
1
)1(1
2222
22222222
adacaba
dcbadcbadcbadcba
Với mọi số thực a, b, c, d. Dấu “=” xảy ra khi
1,2 dcba
.
2.Phương pháp biến đổi tương đương
Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng:
a.
baabba 1
22
b.
)(
22222 edcbaedcba
c.
))(())((4488221010 babababa
Hướng dẫn giải:
a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0])1()1()[(
2
1
01 22222 bababaabba
.
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
1 ba
.
b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0
2222
0)(
2222
22222
e
a
d
a
c
a
b
a
edcbaedcba
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
edcba 2222
.
c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
0)()(
0))((0)()(
00))(())((
422422222
66222222282228
84482102104488221010
bbaababa
bababaababbaba
babaabbababababa
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
ba
hoặc
ba
hoặc
0a
hoặc
0b
.
Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện
yxxy ,1
. Chứng minh
rằng:
22
22
yx
yx
.
Hướng dẫn giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
0)2(
02)2(222202)2(2222
022220
2222
022
2
222222
22
2222
yx
xyyxyxyxyx
yxyx
yx
yxyx
yx
yx
Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi
yx
xy
yx
1
02
hay
2
62
2
62
y
x
hoặc
2
62
2
62
y
x
.
Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng:
21
xz
z
zy
y
yx
x
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
yxz
z
xz
z
zyx
y
zy
y
zyx
x
yx
x
;;
.
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra
1
xz
z
zy
y
yx
x
.
Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
yxz
xz
xz
z
zyx
xy
zy
y
zyx
zx
yx
x
;;
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra
2
xz
z
zy
y
yx
x
.
3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng:
abcaccbba 8))()((
.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được
abba 2
bccb 2
acca 2
[Type text]
Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
Ví dụ 7: Giải phương trình
2
3
42
1
12
4
14
2
xxx
x
x
x
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
0,
4
2
ab
ba
b
a
x
x
. Phương trình trên trở thành
2
31
11
baa
b
b
a
.
Vế trái của phương trình
.
2
3
3
))(1)(1(
1
.3.))(1)(1(.3
2
1
3)
1
1
1
1
1
)](()1()1[(
2
1
3)
1
1
1
1
1
)(1(
3)1
1
()1
1
()1
1
(
1
11
3
3
baba
baba
baab
baba
baab
ba
baa
b
b
a
baa
b
b
a
Như vậy, vế trái
vế phải. Dấu “=” xảy ra khi
01
1
x
ba
b
a
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0.
Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất
(GTLN) của biểu thức
111
z
z
y
y
x
x
P
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
)
1
1
1
1
1
1
(3
1
11
1
11
1
11
zyxz
z
y
y
x
x
P
.
Vì x+y+z=1 nên
.
4
9
)2)(2)(2(
1
.3.)2)(2)(2(.3.
4
1
)
2
1
2
1
2
1
).()2()2()2(
4
1
)
111
).((
)
1
1
1
1
1
1
).((
1
1
1
1
1
1
3
3
yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzxyzyx
yxzzzxyyzyxx
zyx
zyx
zyx
zyx