intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
145
lượt xem 14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

 Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức sau đây nhằm ôn tập lại kiến thức lý thuyết, cũng như các dạng bài tập của chuyên đề này giúp các bạn ôn thi Đại học hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức

  1. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số ghi nhớ *Định nghĩa: a  b  a  b  0 . * a  b, b  c  a  c *a b acbc * a  b, c  d  a  c  b  d * a  b, c  0  ac  bc * a  b, c  0  ac  bc * a  b  0, c  d  0  ac  bd * a  b, c  d  0  ac  bd  0 * a  b  0  a n  bn n  N * a  b  a n  bn n  N , n lẻ * a  1 a  a n m n  m * 0  a  1 a  a n m n  m * a 2n  0, a  R, n  N , dấu = xảy ra khi a=0 * (a  b)  4ab, 2 a, b  R , dấu = xảy ra khi a  b (tương ứng) * a  ab  b  0, 2 2 a, b  R , dấu = xảy ra khi a  b  0 * | a | a, a  R , dấu = xảy ra khi a  0 hoặc a  0 (tương ứng) * | a  b || a |  | b |, a, b  R , dấu = xảy ra khi ab  0 hoặc a.b  0 (tương ứng) * | a  b ||| a |  | b ||, a, b  R , dấu = xảy ra khi ab  0 hoặc a.b  0 (tương ứng) * | sin x | 1, | cos x | 1         * | a  b || a |  | b |, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.         * | a  b || a |  | b |, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.         * | a  b ||| a |  | b ||, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0.         * | a  b ||| a |  | b ||, a, b dấu = xảy ra khi a  kb , k  0. * Bất đẳng thức Côsi Cho n số không âm a1 , a2 ,..., an khi đó ta có a1  a2  ...  an  nn a1a2 ...an ; dấu "=" xảy ra khi a1  a2  ...  an . * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho hai dãy số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn khi đó ta có (a1b1  a2b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) ; a a a dấu "=" xảy ra khi 1  2  ...  n . b1 b2 bn Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có x2  y2  x  y  2 * ( x  y )(1  1 )  x.1  y.1   2  2 2 2 2 2  2 
  2. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) dấu "=" xảy ra khi x  y . x2  y 2  z 2  x  y  z  2 * ( x  y  z )(1  1  1 )  x.1  y.1  z.1   2  2 2 2 2 2 2 3  3  dấu "=" xảy ra khi x  y  z . II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh a  b ta chứng minh a  b  0 . Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng: a. x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx b. x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx c. x 2  y 2  z 2  3  2( x  y  z) d. x4  y 4  z 4  xyz ( x  y  z) Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu 1 x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  (2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  2 zx) 2 a. 1  [( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 ]  0 x, y, z  R. 2 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . b.Ta xét hiệu x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx  ( x  y  z)2  0 x, y, z  R . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . c.Ta xét hiệu x 2  y 2  z 2  3  2( x  y  z)  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 x, y, z  R . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 . d.Ta xét hiệu x 4  y 4  z 4  xyz ( x  y  z )  x 4  y 4  z 4  x 2 yz  xy 2 z  xyz 2  2 x 4  2 y 4  2 z 4  2 x 2 yz  2 xy 2 z  2 xyz 2  1 2 1 1   ( x 2  yz ) 2  ( y 2  xz ) 2  ( z 2  xy ) 2  [( x 2  y 2 ) 2  ( y 2  z 2 ) 2  ( z 2  x 2 ) 2 ]  0 2 2  với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi x  y  z . Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. Chứng minh rằng:
  3. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) a 2  b2  c 2  d 2  1  a(b  c  d  1) . Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu 1 a 2  b 2  c 2  d 2  1  a(b  c  d  1)  [4a 2  4b 2  4c 2  4d 2  4  4a(b  c  d  1)] 4 1  [(a  2b) 2  (a  2c) 2  (a  2d ) 2  (a  2) 2 ]  0 4 Với mọi số thực a, b, c, d. Dấu “=” xảy ra khi a  2, b  c  d  1. 2.Phương pháp biến đổi tương đương Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng. Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng: a. a 2  b2  1  ab  a  b b. a 2  b2  c 2  d 2  e2  a(b  c  d  e) c. (a10  b10 )(a 2  b2 )  (a8  b8 )(a 4  b4 ) Hướng dẫn giải: a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 1 a 2  b2  1  ab  a  b  0  [(a  b)2  (a  1)2  (b  1)2 ]  0 . 2 Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi a  b  1 . b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2 2 2 2 a  a  a  a  a  b  c  d  e  a(b  c  d  e)  0    b     c     d     e   0 2 2 2 2 2 2  2  2  2  Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi a  2b  2c  2d  2e . c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức (a10  b10 )(a 2  b 2 )  (a8  b8 )(a 4  b 4 )  0  a10b 2  b10a 2  a8b 4  a 4b8  0  a8b 2 (a 2  b 2 )  b8a 2 (b 2  a 2 )  0  a 2b 2 (a 2  b 2 )(a 6  b6 )  0  a 2b 2 ( a 2  b 2 ) 2 ( a 4  a 2b 2  b 4 )  0 Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi a  b hoặc a  b hoặc a  0 hoặc b 0. Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện xy  1, x  y . Chứng minh x2  y2 rằng: 2 2. x y Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
  4. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) x2  y2 x2  y 2  2 2x  2 2 y 2 2 0  0  x2  y2  2 2x  2 2 y  0 x y x y  x 2  y 2  2 2 x  2 2 y  ( 2 ) 2  2  0  x 2  y 2  2 2 x  2 2 y  ( 2 ) 2  2 xy  0  ( x  y  2 )2  0 x  y  2  0  2 6  x   2 Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi  xy  1 hay  x  y y   2  6   2  2 6  x  hoặc  2 . y   2  6  2 Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng: x y z 1   2. x y yz zx Hướng dẫn giải: x x y y z z Ta có  ;  ;  . x y x yz yz x yz zx zx y x y z Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra   1. x y yz zx Bạn đọc dễ dàng chứng minh được x xz y yx z zx  ;  ;  x y x yz yz x yz zx zx y x y z Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra    2. x y yz zx 3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được a  b  2 ab b  c  2 bc a  c  2 ac
  5. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 2x 4x 1 3 Ví dụ 7: Giải phương trình  x  x  . 4 1 2 1 2  4 x x 2 Hướng dẫn giải:  a  2 x a, b  0 a b 1 3 Đặt   . Phương trình trên trở thành    .  b  4 x b  a 2 b 1 a 1 a  b 2 Vế trái của phương trình a b 1 a b 1   (  1)  (  1)  (  1)  3 b 1 a 1 a  b b 1 a 1 ab 1 1 1 1 1 1 1  (a  b  1)(   )  3  [(a  1)  (b  1)  (a  b)](   )3 b 1 a 1 a  b 2 b 1 a 1 a  b 1 1 3  3.3 (a  1)(b  1)(a  b) .3. 3 . 2 3 (a  1)(b  1)(a  b) 2 a  1  Như vậy, vế trái  vế phải. Dấu “=” xảy ra khi b  1  x  0 . a  b  Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0. Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất x y z (GTLN) của biểu thức P    . x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn giải: x 11 y 11 z 11 1 1 1 Ta có P     3(   ). x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 Vì x+y+z=1 nên 1 1 1 1 1 1    ( x  y  z ).(   ) x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1  ( x  y  z ).(   ) xx yz y yxz zzx y  (2 x  y  z )  (2 y  x  z )  (2 z  x  y )).( 1 1 1 1   ) 4 2x  y  z 2 y  x  z 2z  x  y 1 1  .3.3 (2 x  y  z )(2 y  x  z )(2 z  x  y ) .3. 4 3 ( 2 x  y  z )( 2 y  x  z )(2 z  x  y ) 9  . 4
  6. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 9 3 3 Vì vậy, P  3   . Suy ra GTLN của P là , đạt được khi x=y=z=1/3. 4 4 4 Ví dụ 9: Với mọi bộ ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR: a b c    3. bca a cb abc Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được a b c abc    3.3 . bca a cb abc (b  c  a)(a  c  b)(a  b  c) Ta lại có a bc acb 2 (a  b  c)(a  c  b)    a , 2  2  tương tự (b  c  a)(a  b  c)  b2 , (b  c  a)(a  c  b)  c 2 . Từ đó, suy ra (b  c  a)(a  b  c)(a  c  b)  abc. a b c abc Vì vậy,    3.3  3. bc a a c b a bc abc Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 4.Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ví dụ 10: Với mọi số thực x. CMR: 1 cos 8 x  sin 8 x  . 8 Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (cos 4 x, sin 4 x) và (1, 1), ta có (cos 4 x  sin 4 x)2 (cos x  sin x)(1  1 )  cos x  sin x   cos x  sin x  8 8 2 2 4 4 2 8 8 . 2 Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (cos 2 x, sin 2 x) và (1, 1), ta được (cos 4 x  sin 4 x)(12  12 )  cos 2 x  sin 2 x   1  cos 4 x  sin 4 x  . 2 1 2 1 Vì vậy, cos8 x  sin 8 x  . 8  k Dấu “=” xảy ra khi cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0  x   . 4 2 Ví dụ 11: Với mọi bộ bốn số thực a, b, c, d. CMR: (a  c)2  (b  d )2  a 2  b2  c 2  d 2 .
  7. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế, (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  2 a 2  b 2 c 2  d 2  c 2  d 2  ac  bd  a 2  b 2 c 2  d 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (a, b); (c, d) ta suy ra đpcm. a b Dấu “=” xảy ra khi  . c d Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: 2 x  3 y  5  2 .  2 x  3 y 2  5 Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số ( 2 x; 3 y) và ( 2 ; 3 ) ta suy ra 25  (2 x  3 y)2  2  3(2 x 2  3 y 2 )  2 x 2  3 y 2  5 . 2x 3y Hệ phương trình trên chỉ có nghiệm khi   x  y  1. 2 3 5.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 13: Với hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: P  x3  2y 3 . Hướng dẫn giải: Ta có y=1-x, suy ra P  x3  2(1  x)3 . Xét hàm số f ( x)  x3  2(1  x)3 trên [0, 1]. Có f ( x)  3x 2  6(1  x)2  3( x  2  2 )( x  2  2 ) . Hàm số đồng biến trên khoảng (2  2 ,1) và nghịch biến trên khoảng (0,2  2 ) . f (0)  2, f (2  2 )  2( 2  1)2 , f (1)  1. Vậy P min  2( 2  1) tại ( x  2  2 , y  1  2 ) , 2 và P max  2 tại ( x  0, y  1) . ln x x Ví dụ 14: Với hai số thực x, y lớn hơn e thỏa mãn x>y. CMR:  . ln y y Hướng dẫn giải: ln x ln y Bất đẳng thức trên tương đương với  . x y ln t Xét hàm số f (t )  trên khoảng (e,) . t 1  ln t Ta có f (t )  2  0 t  e. t Vậy, f (t ) là hàm số nghịch biến trên khoảng (e,) . Suy ra f ( x)  f ( y) (đpcm). 6.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức véc tơ
  8. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Ví dụ 15: Với mọi số thực a. CMR: a2  a  1  a2  a  1  2 . Hướng dẫn giải:  1 3  1 3 Xét hai véc tơ u (a  ; v (a  ; ) . ), 2 2 2 2     Khi đó, bất đẳng thức trên được viết thành | u |  | v || u  v | , luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi 1 3   a u  kv  2  2  a  0. 1 3 a 2 2 III. Giới thiệu một số bài toán trong các đề thi đại học từ năm 2003-2014 Bài 1 (ĐH-khối A năm 2003): Với x, y, z là ba số dương và x  y  z  1. CMR: 1 1 1 x2  2  y 2  2  z 2  2  82 . x y z Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức về véc tơ và bất đẳng thức Côsi.  1  1  1 Xét a ( x; ) , b ( y; ), c ( z; ) . Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên là x y z 2       1 1 1 | a |  | b |  | c || a  b  c | ( x  y  z )      2 x y z 2 1 1 1  81( x  y  z )       80( x  y  z ) 2 2 x y z 1 1 1  18( x  y  z )     80 x y z  162  80  82 . 1 Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  . 3 1 1 1 Bài 2 (ĐH-khối A năm 2005): Với x, y, z là ba số dương và    4 . CMR: x y z 1 1 1    1. 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 Vì (a  b)2  4ab   (  ), a, b  0 . ab 4 a b
  9. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Suy ra, 1 1 1 1 1 1 1 1 1   (  )    (  ) , 2x  y  z 4 2x y  z 4  2x 4 y z  1 1 1 1 1 1 1 1 1   (  )    (  ) , x  2y  z 4 2y x  z 4 2y 4 x z  1 1 1 1 1 1 1 1 1   (  )    (  ) . x  y  2z 4 2z x  y 4  2z 4 x y  Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi 3 x yz . 4 Bài 3 (ĐH-khối B năm 2005): CMR với mọi số thực x thì ta có 12 15 20 ( ) x  ( ) x  ( ) x  3x  4 x  5 x . 5 4 3 Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. 12 15 15 20 12 20 ( ) x  ( ) x  2.3x , ( ) x  ( ) x  2.5x , ( ) x  ( ) x  2.4 x . 5 4 5 3 5 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được đpcm. Bài 4 (ĐH-khối D năm 2005): CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1 . 1  x3  y 3 1  y3  z3 1  z 3  x3   3 3. xy yz zx Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. 1  x3  y 3 3 1  x3  y 3  3xy   , tương tự xy xy 1  y3  z3 3 1  z 3  x3 3  ,  . yz yz zx zx Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 1  x3  y 3 1  y3  z3 1  z 3  x3 3 3 3 1       3 33 3 3. xy yz zx xy yz zx xyz Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Bài 5 (ĐH-khối A năm 2006): Với mọi số thực khác 0 và thỏa mãn 1 1 ( x  y) xy  x 2  y 2  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của A  3  3 . x y Hướng dẫn giải:
  10. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 1 1 1 1 1 Từ giả thiết ta suy ra   2 2 . x y x y xy 1 1 Đặt a  , b thì a  b  a 2  b2  ab . x y ab ab 2 2 Ta có ab     a  b  (a  b)  3ab  (a  b)  3 2 2   0  a b  4.  2   2  1 1 Ta lại có A  3  3  a3  b3  (a  b)(a 2  b2  ab)  (a  b) 2  16 . x y Vậy, GTLN của A là 16 xảy ra khi a=b và a+b=4 hay x=y=1/2. Bài 6 (ĐH-khối B năm 2006): Tìm giá trị nhỏ nhất của A  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  | y  2 | . Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp tọa độ và đạo hàm: Xét M(x-1; -y), N(x+1; y) ta có OM  ON  MN nên A  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  | y  2 | 4  4 y 2  | 2  y | . Xét hàm số f ( y)  4  4 y 2  | y  2 | . TH1: Nếu y  2  f ( y)  4  4 y 2  y  2  f ( y)  4  4 y 2  2 5  2  3 . 2 y  y2  1 TH2: Nếu y  2  f ( y)  4  4 y 2  y  2  f ' ( y)   f min  2  3 . y2  1 3 Vậy, GTNN của A là 2  3 xảy ra khi x=0 và y  . 3 Bài 7 (ĐH-khối A năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá x2 ( y  z) y 2 ( z  x) z 2 ( x  y) trị nhỏ nhất của P    . y y  2z z z z  2x x x x  2 y y Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x 2 ( y  z )  2 x 2 xy  2 x x , tương tự y 2 ( x  z )  2 y y , z 2 ( x  y)  2 z z . Đặt a  x x  2 y y , b  y y  2z z , c  z z  2x x thì ta có 4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a x x , y y , z z . 9 9 9 Suy ra,
  11. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 2  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a  P     9 b c a  2 c a b a b c    4(   )  (   )  6  9 b c a b c a   4.3  3  6  2. 2 9 Vậy, GTNN của P là 2 xảy ra khi x  y  z  1 . Bài 8 (ĐH-khối B năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của x 1  y 1  z 1  P  x    y    z   .  2 yz   2 zx   2 xy  Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ta có 1 x y  1 z y  1 z x  1   P  x 2  y 2  z 2             2 2  yz zx  2  xy zx  2  xy yz   2  1 2  1 1 1 x  y2  z2    z x y 1 1 1 1 1 1 1 1 1   x 2      y 2      z 2    2 x x 2 y y  2 z z 3 3 3 9     . 2 2 2 2 9 Vậy, GTNN của P là xảy ra khi x  y  z  1 . 2 Bài 9 (ĐH-khối B năm 2008) Với mọi số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  1 . 2( x 2  6 xy ) Tìm GTLN và GTNN của: P  . 1  2 xy  2 y 2 Hướng dẫn giải: Nếu x=0 thì P=0. 2( x 2  6kx2 ) 2(1  6k ) Nếu x  0 thì đặt y=kx. Khi đó, x 2 (1  k 2 )  1 và P   . x  2kx  3k x 2 2 2 2 1  2k  3k 2 Suy ra, 3Pk 2  2( P  6)k  P  2  0 . TH1: Nếu k=-1/6 thì P=0. TH2: Xét P  0 , để pt trên có nghiệm thì   2P2  6P  36  0  6  P  3 . Vậy GTNN của P là -6 , GTLN của P là 3. Bài 10 (ĐH-khối D năm 2008) Với mọi số thực x, y không âm. Tìm GTLN và GTNN ( x  y)(1  xy ) của: P  . (1  x) 2 (1  y) 2 Hướng dẫn giải:
  12. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) | ( x  y)(1  xy ) | ( x  y)(1  xy ) 1 | P |   . (1  x)2 (1  y )2 ( x  y  1  xy )2 4 Vậy GTNN của P là -1/4 , GTLN của P là 1/4. Bài 11 (ĐH-khối A năm 2009): CMR với mọi số thực dương x, y, z và thỏa mãn x( x  y  z)  3xy , ta có ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z )( y  z )  5( y  z )3 . Hướng dẫn giải: Đặt a  x  y, b  x  z, c  y  z . Từ giả thiết ta suy ra c2  a 2  b2  ab , 3 1 suy ra c 2  (a  b)2  3ab  (a  b)2  (a  b)2  (a  b)2  a  b  2c (*). 4 4 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức a3  b3  3abc  5c3 ; a, b, c  0 . a3  b3  3abc  5c3  (a  b)(a 2  b 2  ab)  3abc  5c3  (a  b)c 2  3abc  5c3  (a  b)c  3ab  5c 2 . 3 Từ (*) ta suy ra (a  b)c  2c 2 và 3ab  (a  b)2  3c 2 , từ đây suy ra đpcm. 4 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z. Bài 12 (ĐH-khối B năm 2009): Với mọi số thực x, y thỏa mãn ( x  y)3  4 xy  2 . Tìm GTNN của biểu thức A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 . Hướng dẫn giải: Ta dễ thấy ( x  y)2  4 xy , kết hợp với điều kiện ( x  y)3  4 xy  2 , suy ra x  y  1 . 3 3 A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1  ( x 2  y 2 ) 2  ( x 4  y 4 )  2( x 2  y 2 )  1 2 2 . 3 2 3 2 9 2  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  1  ( x  y )  2( x  y )  1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ( x  y)2 1 9 Đặt t  x 2  y 2  t   . Do đó A  t 2  2t  1 . 2 2 4 9 1 9 1 Xét hàm số f (t )  t 2  2t  1, t  . Ta có f (t )  t  2  0, t  . Suy ra 4 2 2 2 9 A min  f min  f (1/ 2)  . Xảy ra khi x=y=1/2. 16 Bài 13 (ĐH-khối D năm 2009): Với mọi số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  1 . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A  (4 x2  3 y)(4 y 2  3x)  25 y . Hướng dẫn giải: A  (4 x 2  3 y)(4 y 2  3x)  25 xy  16 x 2 y 2  12( x3  y 3 )  9 xy  25 xy .  16 x 2 y 2  12[( x  y)3  3xy ( x  y)]  34 xy  16 x 2 y 2  2 xy  12 Đặt t  xy , ta được A  16t 2  2t  12
  13. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ( x  y)2 1 1 Ta dễ thấy 0  xy   0t  . 4 4 4 1 1 Xét hàm số f (t )  16t 2  2t  12, 0  t  . Ta có f (t )  32t  2  f (t )  0  t  . 4 16 Ta có f(0)=12; f(1/16)=191/16; f(1/4)=25/2. 191 x  y  1 2 3 2 3 A min  f min  f (1/ 6)  . Xảy ra khi  hay ( x; y )   ;  hoặc 16  xy  1 / 16  4 4  2 3 2 3 ( x; y )   ;   4 4  x  y  1 hay ( x; y)   ;  . 25 1 1 A max  f max  f (1 / 4)  . Xảy ra khi  2  xy  1 / 4 2 2 Bài 14 (ĐH-khối B năm 2010): Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm GTNN của biểu thức A  3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  3( xy  yz  zx)  2 x 2  y 2  z 2 . Hướng dẫn giải: A  ( xy  yz  zx)2  3( xy  yz  zx)  2 1  2( xy  yz  zx) . Đặt t  xy  yz  zx , ta được A  t 2  3t  2 1  2t ( x  y  x) 2 1 1 Ta dễ thấy 0  xy  yz  zx   0t  . 3 3 3 1 Xét hàm số f (t )  t 2  3t  2 1  2t , 0  t  . 3 2 2 1 Ta có f (t )  2t  3   f (t )  2   0 0  t  . Suy ra f’(t) là hàm số 1  2t (1  2t ) 3/ 2 3 đồng biến trên miền xác định của t. f (t )  f (0)  1  f (t ) là hàm số đồng biến. Suy ra A min  f min  f (0)  2 . Xảy ra khi xy=yz=zx; xy+yz+zx=0 và x+y+z=1, hay (x, y, z)=(1, 0, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 1, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 0, 1). Bài 15 (ĐH-khối A năm 2011): Với mọi số thực x, y, z nằm trong đoạn [1; 4] thỏa mãn x  y, x  z . Tìm GTNN của biểu thức x y z P   . 2x  3y y  z z  x Hướng dẫn giải: 1 1 1 P   . y z x 23 1 1 x y z 1 1 2 Bạn đọc dễ chứng minh được   (*) với ab  1, a, b  0 . Dấu “=” 1  a 1  b 1  ab xảy ab=1 hoặc a=b.
  14. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 1 2 Áp dụng (*) cho P, ta được P  y  . 23 x 1 x y x, y [1,4]  t  1,2. x Đặt t  , vì x  y, y t2 2 t2 2 Khi đó, P  2  . Xét hàm số f (t )  2  , t  [1,2] . 2t  3 1  t 2t  3 1  t  8t 4  3t 3  18t 2  3t  18 Ta tính được f (t )  3  0, t  [1,2] . Suy ra f(t) là hàm số (2t 2  3) 2 (1  t ) 2 nghich biến trên đoạn [1, 2]. 34 P  f (2)  . Dấu “=” xảy ra khi x=4, y=1, z=2. 33 Bài 16 (ĐH-khối B năm 2011): Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn 2(a 2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) . Tìm GTNN của biểu thức  a 3 b3   a 2 b 2  P  4 3  3   9 2  2  . b a  b a  Hướng dẫn giải: a b 1 1 Vì 2(a 2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) nên 2    1  (a  b)  2   . b a a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 1 1 1  b a (a  b)  2    2 (a  b).2    2 2 2    . Suy ra a b a b  a b a b  b a a b 5 2    1  2 2 2       . b a  a b b a 2 a b 5 Đặt t    P  4t 3  9t 2  12t  18, t  . b a 2 5 5 Xét hàm số f (t )  4t 3  9t 2  12t  18, t   f (t )  6(2t 2  3t  2)  0, t  . 2 2 5 23 a b 5 1 1 P  f ( )   . Dấu “=” xảy ra khi   , a  b  2   , hay (a, b)=(1, 2) 2 4 b a 2 a b hoặc (a, b)=(2, 1). Bài 17 (ĐH-khối A năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 . Tìm GTNN của biểu thức P  3| x  y|  3| x  y|  3| x  y|  6( x 2  y 2  z 2 ) . Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh 3t  t  1, t  0 . Thật vậy, xét hàm số
  15. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) f (t )  3t  t  1, t  0  f (t )  3t ln 3  1  0, t  0 . Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét, và f (t )  f (0)  0  3  t  1, t  0 . t Vì vậy, ta có 3| x  y|  3| x  y|  3| x  y| | x  y |  | y  z |  | z  x | 3 (*). Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối | a |  | b || a  b | . Ta có (| x  y |  | y  z |  | z  x |) 2 | x  y |2  | y  z |2  | z  x |2  | x  y | (| y  z |  | z  x |)   | y  z | (| x  y |  | z  x |)  | z  x | (| x  y |  | y  z |) | x  y |2  | y  z |2  | z  x |2   | x  y |2  | y  z |2  | z  x |2  2(| x  y |2  | y  z |2  | z  x |2 ) Do đó, | x  y |  | y  z |  | z  x | 2(| x  y |2  | y  z |2  | z  x |2 )  .  6( x 2  y 2  z 2 )  2( x  y  z )2  6( x 2  y 2  z 2 ) Suy ra | x  y |  | y  z |  | z  x |  6( x 2  y 2  z 2 )  0 (**). Từ (*) và (**) ta suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=0. Bài 18 (ĐH-khối B năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 , x 2  y 2  z 2  1 . Tìm GTLN của biểu thức P  x5  y 5  z 5 . Hướng dẫn giải: Vì x  y  z  0 , x 2  y 2  z 2  1 nên 0  ( x  y  z)2  x 2  y 2  z 2  2 x( y  z)  2 yz  1  2 x 2  2 yz  2 yz  2 x2  1 .  6 6 Mà 2 yz  y 2  z 2  1  x 2 , suy ra 2 x 2  1  1  x 2  x   ; .  3 3  P  x5  y 5  z 5  x5  ( y 2  z 2 )( y 3  z 3 )  y 2 z 2 ( y  z )  5  x 2  (1  x 2 )( x)(1  x 2  yz )  xy 2 z 2  (2 x 3  x) 4  6 6 Xét hàm số f ( x)  2 x3  x trên đoạn   , ta có f ( x)  6 x  1  f ( x)  0 khi 2 ;  3 3  6 6 6 6 6 6 6 x . Ta tính được f ( )  f ( )   ; f ( )  f ( )  . Suy ra 6 3 6 9 3 6 9 6 5 6 5 6 6 6 f ( x)  P . GTLN của P là , xảy ra khi x  ,y  z  . 9 36 36 3 6
  16. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Bài 19 (ĐH-khối D năm 2012): Với mọi số thực x, y thỏa mãn ( x  4)  ( y  4)  2 xy  32 . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 P  x3  y3  3( xy  1)( x  y  2) . Hướng dẫn giải: Vì ( x  4)2  ( y  4)2  2 xy  32  ( x  y)2  8( x  y)  0  0  x  y  8 . 3 P  ( x  y)3  3( x  y)  6 xy  6  ( x  y)3  3( x  y)  ( x  y)2  6 . 2 Đặt t  x  y  t [0,8] . 3 1 5 Xét hàm số f (t )  t 3  t 2  3t  6  f (t )  3t 2  3t  3, f (t )  0  t  , hoặc 2 2 1 5 t (loại). 2 1  5 17  5 5 17  5 5 f (0)  6; f ( ) ; f (8)  398  f (t )  . 2 4 4 17  5 5 1 5 Vậy GTNN của A là , xảy ra khi x  y  . 4 4 Bài 20 (ĐH-khối A năm 2013): Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn (a  c)(b  c)  4c 2 . Tìm GTNN của biểu thức 32a3 32b3 a 2  b2 P   . (b  3c)3 (a  3c)3 c Hướng dẫn giải a b 32 x3 32 y 3 Đặt x  , y   xy  x  y  3 . Khi đó, P    x2  y 2 . c c ( y  3) ( x  3) 3 3 3 1 Ta có u 3  v3  (u  v)3  3uv(u  v)  (u  v)3  (u  v)2 (u  v)  (u  v)3 , u, v  0 . 4 4 3 3 32 x3 32 y 3  x y   ( x  y) 2  2 xy  3( x  y)  Suy ra   8    y  3 x  3  8  . ( y  3)3 ( x  3)3    xy  3( x  y)  9 
  17. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Thay xy=3-(x+y) vào ta dẫn đến 3 32 x3 32 y 3  ( x  y )2  2 xy  3( x  y )    8   ( x  y  1)3 . ( y  3) ( x  3) 3 3  xy  3( x  y )  9  Suy ra P  ( x  y  1)3  x 2  y 2  ( x  y  1)3  ( x  y)2  2(3  x  y) Đặt t=x+y, ta có t>0 và P  (t  1)3  t 2  2t  6 . ( x  y)2 xy  x  y  3   ( x  y)  t  2 . 4 Xét hàm số f (t )  (t  1)3  t 2  2t  6 , t  2 . t 1 1 3 f (t )  3(t  1) 2   3  3  0, t  2 . t  2t  6 2 1 7 2 (t  1) 2 Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét. f (t )  f (2)  1  2 . GTNN của P là 1 2 , xảy ra khi a=b=c. Bài 21 (ĐH-khối D năm 2013): Với mọi số thực dương x, y thỏa mãn xy  y  1. Tìm x y x  2y GTLN của biểu thức P  2  . x  xy  3 y 2 6( x  y ) Hướng dẫn giải xy y  1 1 1 1 1 1 1 x 1 Vì x, y>0 và xy  y  1  0  2  2  ( 2  )   (  ) 2   0   . y y y y 4 y 2 4 y 4 x x 2 1 x 1 y t 1 y t 2 Đặt t   0  t  . Suy ra P     . y 4 x x 2 x 6(  1) t 2  t  3 6(t  1)     3 y  y y t 1 t 2 1 Xét hàm số f (t )   , 0  t  , ta có t t 3 2 6(t  1) 4 7  3t 1 7 1 1 1 f (t )      0, 0  t  . 2 (t  t  3) 2 3 2(t  1) 2 2.3 3 2 4
  18. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Vậy f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét 5 7 5 7 f (t )  f (1/ 4)    P max   xảy ra khi x=4y và xy  y  1 hay (x=1/2; 3 30 3 30 y=2). Bài 22 (ĐH-khối A năm 2014): Với mọi số thực dương không âm x, y, z thỏa mãn x2 yz 1  yz x  y  z  2 . Tìm GTLN của biểu thức P  2 2 2 2   . x  yz  x  1 x  y  z  1 9 Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có 0  ( x  y  z)2  2(1  xy  xz  yz ) , x2  yz  x  1  x( x  y  z  1)  (1  xy  xz  yz )  x( x  y  z  1) . x2 x2 x Suy ra   . x  yz  x  1 x( x  y  z  1) x  y  z  1 2 Ta lại có, ( x  y  z ) 2  x 2  y 2  z 2  2 x( y  z )  2 yz  2  2 yz  2 x( y  z )  2  2 yz  [ x 2  ( y  z ) 2 ] ( x  y  z)2  4(1  yz )  (1  yz )  . 4 Vì vậy, ta suy ra x yz ( x  y  z )2 t t2 P    . x  y  z 1 36 t  1 36 Với t  x  y  z  t  0 và t 2  ( x  y  z)2  3( x2  y 2  z 2 )  6  0  t  6 . t t2 Xét hàm số f (t )   , 0  t  6 , ta có t  1 36 1 t (t  2)(t 2  4t  9) f (t )      f (t )  0 tại t=2. (t  1)2 18 18(t  1)2 5 31 6 5 f (0)  0, f (2)  , f ( 6)    f (t )  . 9 30 5 9 Vậy GTLN của P là 5/9, xảy ra khi x+y+z=2, x=y+z, x 2  y 2  z 2  2 , hay x=1, y=1, z=0 hoặc x=1, y=0, z=1.
  19. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Bài 23 (ĐH-khối B năm 2014): Với mọi số thực dương không âm a, b, c thỏa mãn a b c (a  b)c  0 . Tìm GTNN của biểu thức P    . bc a  c 2(a  b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có a 2a a  b  c  2 a(b  c)   , tương tự ta có bc abc b 2b  . ac abc 2(a  b) c 2(a  b) a  b  c 1 Vậy P       2  1/ 2  3 / 2 . a  b  c 2(a  b) a  b  c 2(a  b) 2 khi a=0, b=c>0 thì P=3/2. Vậy GTNN của P là 3/2. Bài 24 (ĐH-khối D năm 2014): Với mọi số thực x, y nằm trong đoạn [1; 2]. Tìm GTNN x  2y y  2x 1 của biểu thức P  2  2  . x  3 y  5 y  3x  5 4( x  y  1) Hướng dẫn giải Vì 1  x  2  ( x  1)( x  2)  0  x2  2  3x , tương tự ta có y 2  2  3 y . x  2y y  2x 1 x y 1 t 1 Vậy P        . 3x  3 y  3 3 y  3x  3 4( x  y  1) x  y  1 4( x  y  1) t  1 4(t  1) Với t  x  y  t  2,4 . t 1 1 1 Xét hàm số f (t )   , 2  t  4 , ta có f (t )    f (t )  0 t  1 4(t  1) (t  1) 2 4(t  1)2 tại t=3. 7 53 7 f (2)  11/ 12, f (3)  , f (4)   f (t )  . 8 60 8 Vậy GTNN của P là 7/8, xảy ra khi x+y=3; x=1 hoặc x=2; y=1 hoặc y=2 hay x=1, y=2, hoặc x=2, y=1.
  20. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2