Chuyên đề 4: ( 6tiết)
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
*) KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức .
2. Các phương pháp thông thường :
+) Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC – AD = A(B+C-D).
+) Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
A2
2AB + B2 = (A
B)2
A3
3A2B + 3AB2
B3= (A
B)3
A2 – B2 = (A-B)(A+B)
A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2)
A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2)
+) Phương pháp nhóm các hạng tử :
AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B)
*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu
hai lập phương là :
An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B +....+ ABn-2 + Bn-1).
1. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là :
An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - ..... – AB2 + Bn-1).
2. áp dụng vào tính chất chia hết :
An – Bn
A – B với n
N và A
B ;
An + Bn
A + B với n lẻ và A
-B :
A2k – B2k
A2 – B2 với k
N và A
B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x2 – 6x + 8 ;
b) 9x2 + 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập
thành bình phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng
tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
a) Cách 1. x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x-
4)
Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4)
Cách 3. x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x-
4)
Cách 4. x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x
– 2)
b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai
cách sau là thông dụng nhất :
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x
+ 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng
hiệu của hai bình phương.
9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng
đẳng thức :
mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Như vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b được tách thành
b1 + b2 sao cho b1b2 =ac .
Trong thực hành ta làm như sau :
1. Tìm tích ac .
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức 9x2 + 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.
Bước 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.
Bước 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có
giá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6).
-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12.
Trong trường hợp tam thức
a
x2 + bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là
bình phương của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12.
Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12
là tam thức bậc hai đối với y. Ta có :
y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x
+6)(x2 +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1)
Cách làm như trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai
a
x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp được nhân tử
trong phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng
a
x2 – k thì k không là bình
phương của số hữu tỉ.
Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử được nữa(trong
phạm vi số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổng
bằng 1.
Còn theo cách 2, x2 + x+6 = x2 + 2x.
2
1+
4
1+
4
23 = (x +
2
1)2 +
4
23 .