Chuyên đề 6 :
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CHIA HẾT TRONG TẠP
HỢP Z CÁC SỐ NGUYÊN.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b
Z ( b
0)
NÕu cã q Z sao cho a = bq
Th× ta nãi:
a lµ béi cña b hoÆc b lµ íc cña a
a chia hÕt cho b hoÆc b chia hÕt a
KÝ hiÖu: a b
a b a = bq
M
M
b) Tính chất cơ bản của quan hệ “ chia hết” trong Z
Với mọi a, b, c, m
Z :
1. a/ 0 (a
0)
2. 1/ a
3. a/ a (a
0)
4. a/b và b/a
a =
b (a, b 0)
5. a/ b và b/ c
a/c (a, b 0)
(Tính chất bắc cầu)
6. c/a và c/b
c/ (am + bn) (c 0)
2. Phép chia có dư :
a) Định lí :
Cho hai số nguyên a, b (b> 0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số
nguyên q, r sao cho :
a = bq + r với 0
r b
.
r là số dư trong phép chia a cho b.
(r = 0 : thì a chia hết cho b)
Khi r
0
, có thể lấy số dư là số âm r’ = r- b.
b) Chia a cho b>0 thì số dư r là một trong b số :
+) b chắn
b
r= 0, 1, 2, 3,......+
2
(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,......-
2
)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,......
2
.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dương a và b được kí hiệu là
ƯCLN(a, b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên
điịnh lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, dư r
0
, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b).
Ví dụ :
Tìm ƯCLN(300, 105).
- Chia 300 cho 105, ta được dư 90
- chia 105 cho 90, ta được dư 15
- Chia 90 cho 15, ta được dư 0
Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15.
Có thể thấy rõ điều đó như sau :
300 = 105. 2 + 90
(300; 105) = (105; 90)
105 = 90 . 1 + 15
(105; 90 ) = (105; 15)
90 = 15 . 6
( 90; 15 ) = 15
Vậy : (300; 15) = 15
Trong thực hành, ta đặt phép tính như sau :
300 105
105 90 2
90 15 1
0 6
4. Một số định lí quan trọng :
*) Định lí 1 :
Một số d là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước của ƯCLN(a,
b). d/a và d / b
d / (a, b)
*) Định lí 2 :
Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a,
b)
m a vµ m b m [ a, b]
M M M
*) Định lí 3 :
(a,b). [a, b] = ab
*) Định lí 4 :
Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết
cho b.
ac b vµ (a, b) = 1 c b
M M
*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết
cho tích a.b.
c a, c b vµ (a, b) = 1 c a.b
M M M
II – Phương pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) phương pháp 1 :
Để chưng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trường hợp về số
dư khi chia n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)
5
M
Giải :
Xét mọi trường hợp khi chia n
Z
cho 5, ta có số dư là : r =
0, 1, 2.
a) r = 0
c) r =
2
2 2
2
n 5
b) r = 1 n = 5k 1
n 25 k 10k +1
(n 4) 5
M
M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5
M