Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
MỤC LỤC
C. KẾT LUẬN
2 A. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2 I. ĐẶT VẤN ĐỀ: .................................................................................................. 2 ....................................................... 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 3 ........................................................... 2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài 3 3. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 3 II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH .......................................................................... ....................................................................... 1. Cơ sở lí luận và thực tiển 3 4 ...................................................................... 2. Các biện pháp tiến hành 6 ........................................................................................................ B. NỘI DUNG I. MỤC TIÊU 6 ....................................................................................................... II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 6 ........................................................................ 1. Thuyết minh tính mới 6 ................................................................................... 22 2. Khả năng áp dụng ....................................................................................... 22 ................................................................................. 3. Lợi ích kinh tế xã hội 23 ....................................................................................................... 23 1. Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp .................... 23 2. Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp .............. 23 3. Đề xuất, kiến nghị ................................................................................... 26 .............................
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG
1
Saùng kieán kinh nghieäm
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
Ở Ầ A. M Đ U
Ấ Ặ Ề I. Đ T V N Đ :
ủ ấ ề ự ạ ứ 1. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u
ỗ ừ ổ Trong nhà tr
ạ ươ ườ ọ ầ ợ ươ
ươ ệ ả ả ơ
ọ ặ ế ẫ
ươ ự ữ ấ
ả ể ể ề ụ ộ ế ọ
ọ ơ ở ệ ớ ng trung h c c s hi n nay, m i th y cô giáo không ng ng đ i m i ệ ư ự ng pháp d y h c nh ng vi c tìm ra ph ph ng pháp h p lí, phát huy tính tích c c, sáng ủ ượ ọ ạ t o c a h c sinh, thu hút đ c h c sinh không ph i là chuy n đ n gi n! Ph ng pháp ị ọ ủ ạ d y h c c a giáo viên v n còn n ng tính thuy t trình, gi i thích sách giáo khoa, còn b ư ở ộ ng pháp đ ng b i sách giáo khoa, ch a có s gia công đáng k đ đ xu t nh ng ph ơ ộ ộ ứ ế ế ẫ ớ m i, d n đ n h c sinh ti p thu ki n th c m t cách th đ ng và không có c h i phát huy ạ ủ ả ự s sáng t o c a b n thân.
ề ệ ủ ọ
ặ ệ ự ọ ứ ậ ọ
ấ ự ễ ổ ế ủ ọ ế
ế ị
ứ ể ẩ ộ ẩ ứ ế ẩ ả ậ
ố ớ ọ ấ Đ i v i h c sinh: v khách quan cho th y hi n nay năng l c h c toán c a h c sinh ậ ụ ề ế ế còn r t nhi u thi u xót đ c bi t là quá trình v n d ng các ki n th c đã h c vào bài t p và ạ ỷ ệ ọ h c sinh y u kém còn cao. Tình tr ng ph bi n c a h c sinh khi làm toán th c ti n. T l ứ ị là không ch u nghiên c u kĩ bài toán, không ch u khai thác và huy đ ng ki n th c đ làm ả ặ i thì suy lu n thi u căn c ho c lu n qu n. Trình bày c u th , toán. Trong quá trình gi ỳ ệ tu ti n …
ầ ậ ả ổ
ự ặ ạ ộ ủ ả Vì v y yêu c u đ t ra c a c i cách là ph i đ i m i ph ọ ậ ủ ọ
ệ ự ng tích c c hoá ho t đ ng h c t p c a h c sinh, d ủ ộ giác, ch đ ng tìm tòi, phát hi n, gi
ạ ạ ứ
ọ ươ ch c h ề ễ ọ ạ ỏ i Toán
ướ ự ổ ứ ướ ế ấ ả ự ng h c sinh gi ể ả
ộ ạ ỉ
ắ ặ ể ư đó phát tri n t
ọ ắ ể ừ ệ t hoá m t bài toán đ t ế ạ ơ
ế ế ộ ữ ọ ọ ẽ ữ ứ ơ ọ
ọ ộ ậ ể ư ự
ề ớ ừ ấ ề ả ộ ạ ớ ọ ng pháp d y h c theo ẫ ủ ướ ng d n c a giáo i s t h ậ ứ ọ i quy t v n đ và có ý th c v n viên. H c sinh t ổ ậ ọ ế ụ d ng linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c vào bài t p và th c ti n. Trong đó có đ i ở ớ ạ ồ ưỡ ả m i d y, h c môn Toán. Trong quá trình gi ng d y, b i d ộ ệ ầ ườ tr ng THCS, c n ph i chú tr ng đ n vi c khai thác và phát tri n cho m t bài toán, nó ơ ơ ả ứ ủ ọ không ch cho h c sinh n m b t kĩ ki n th c c a m t d ng toán, mà c b n h n là nâng cao tính khái quát hoá, đ c bi duy, nâng cao tính ố ệ sáng t o cho các em h c sinh. H n n a, vi c liên k t các bài toán khác nhau, tìm m i liên M tộ ệ h chung gi a chúng s giúp cho h c sinh có h ng thú khoa h c h n khi h c Toán. ữ ạ ủ ọ ệ ề trong nh ng đi u ki n có th phát tri n t duy tích c c đ c l p sáng t o c a h c sinh ệ là phát hi n và gi ể ế ấ i quy t v n đ m i t v n đ quen thu c.
ọ ậ ừ ứ
ớ ấ
ậ ủ ỉ ạ ườ ệ
ụ ả
2
Saùng kieán kinh nghieäm
ệ ậ ả Trong quá trình công tác, b n thân tôi không ng ng h c t p, nghiên c u và v n ượ ự ự ế ả ổ ụ ậ ạ ủ gi ng d y c a mình. Qua quá trình t p hu n, đ d ng lý lu n đ i m i vào th c t c s ế ệ ủ ự ồ ộ ng tôi đã ti n hành c ng tác c a đ ng nghi p và s ch đ o c a ban giám hi u nhà tr ứ ấ ấ ạ ủ ể ậ nghiên c u và v n d ng quan đi m trên vào công tác gi ng d y c a mình và th y r t có ả hi u qu .
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ấ
ể ư ự ừ ữ ề ọ nh ng lý do trên tôi đã ch n đ tài Xu t phát t “Phát tri n t
duy tích c c, sáng ở ộ ự ỏ ệ i thông qua vi c xây d ng, khái quát và m r ng các bài toán
ầ ố ấ ượ ạ ọ ng d y h c môn Toán theo tinh
ớ ạ ủ ọ t o c a h c sinh khá, gi ố ọ ”.V i mong mu n góp ph n nâng cao ch t l ớ s h c ổ ầ th n đ i m i.
ủ ề ụ 2. Ý nghĩa và tác d ng c a đ tài
ọ ậ ệ ọ ng pháp suy lu n khoa h c, rèn luy n các thao tác t
ươ Hình thành cho h c sinh ph ư ừ ượ ợ ổ
ạ ề ự ậ ng t ọ hoá, l
ọ ấ ề ự ề ấ
ề c v n đ , quy l ạ i nhi u khía c nh khác nhau, có năng l c phát hi n v n đ , gi ễ ế ấ ộ ấ ệ ề ứ ề ả ư ng hoá, v quen, … có thói quen d đoán, tìm tòi, nhìn ả i ế ạ i quy t v n đ đó, di n đ t m t v n đ có s c thuy t
ủ duy quan tr ng c a toán h c nh : phân tích, t ng h p, khái quát hoá, tr u t ượ ươ ự t ng t ộ ấ ậ ề ướ nh n m t v n đ d ề ế ấ quy t v n đ , đánh giá cách gi ph c.ụ
ụ ệ Ngoài m c đích trên, đ tài cũng là m t tài li u tham kh o cho các giáo viên trong
ả ồ ưỡ ộ ư ả ứ ệ ạ ọ ề quá trình đ c và nghiên c u tài li u, cũng nh gi ng d y b i d ng môn toán.
ứ ạ 3. Ph m vi nghiên c u
ố ọ ề ả ấ ổ Kh o sát, đ xu t và m r ng các bài toán s h c d ng tính t ng trong ch ươ ng
ươ ọ ở ộ ng trình b i d ạ ỏ i toán THCS
trình toán THCS và trong ch ứ ố ượ ọ ồ ưỡ ng nghiên c u: H c sinh khá, gi Đ i t ng h c sinh gi ỏ ớ i l p 6, 7, 8 và 9
ƯƠ
Ế
II. PH
NG PHÁP TI N HÀNH
ơ ở
ậ
1. C s lí lu n và th c ti n ự ể ậ ơ ở a. C s lí lu n: ặ ủ ứ ổ ố ươ ố ự n lên làm ng – Đ c đi m c a l a tu i THCS là: mu n v
ể ể ả
ẵ ư ầ
ườ ớ i l n, mu n t ỉ ề ả ạ ộ ậ ạ ộ ọ ầ ộ
ề ậ ủ i các bài toán khó càng có đi u ki n thu n l
ạ ủ ọ ự ố mình ạ ộ ứ khám phá, tìm hi u trong quá trình nh n th c. Các em có kh năng đi u ch nh ho t đ ng ự ướ ọ ậ ọ ậ ng h c t p, s n sàng tham gia các ho t đ ng h c t p khác nhau nh ng c n ph i có s h ọ ạ ệ ẫ d n, đi u hành m t cách khoa h c và ngh thu t c a th y cô giáo. Ho t đ ng d y h c ậ ợ ệ i giúp cho vi c hình thành và phát toán, gi ộ ể ư tri n t
ệ ấ t nh t ể ệ ắ ạ ủ ọ ả ượ ế ấ ứ ề ề ả duy tích c c, đ c l p, sáng t o c a h c sinh m t cách t ư – T duy tích c c, đ c l p, sáng t o c a h c sinh đ ế + Bi ộ ố ặ c th hi n m t s m t sau: ụ i quy t v n đ , kh c ph c các t ộ ậ ự ươ t tìm ra ph ộ ậ ng pháp nghiên c u gi ư ưở ng t
ộ ấ ữ ứ ệ ế ậ ớ + Có kĩ năng phát hi n nh ng ki n th c liên quan v i nhau, nhìn nh n m t v n đ ề
3
Saùng kieán kinh nghieäm
ậ r p khuôn, máy móc. ở ề ạ nhi u khía c nh.
ư ế ỏ ạ ặ
ườ ữ ế ậ ợ ợ + Ph i có óc hoài nghi, luôn đ t ra các câu h i t ng h p nào n a không ? Các tr ệ i sao? Do đâu? Nh th nào? Li u ữ ng h p khác thì k t lu n trên có đúng n a
ch bi
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ả ườ có tr không ?
ể ệ ở ổ ế ộ ấ ậ ề ớ ừ ữ ộ ậ ả ề ề + Tính đ c l p còn th hi n + Có kh năng khai thác m t v n đ m i t ề ế ấ ả ấ i quy t v n đ . t nhìn nh n v n đ và gi ế ấ nh ng v n đ đã bi t.
ơ ở ự ễ
ề ấ ạ b. C s th c ti n: ả Qua nhi u năm gi ng d y, tôi th y:
ự ự ắ ữ ứ ế ế
ư ọ ậ ạ ườ ọ ườ l ứ ổ ế ọ – H c sinh y u toán là do ki n th c còn h ng, ch a th c s n m v ng ki n th c, duy trong quá trình h c t p. i h c, l i suy nghĩ, l ườ ư i t i l
ệ ậ ể ừ – H c sinh còn th đ ng, làm vi c r p khuôn, máy móc đ t ấ đó làm m t đi tính
ụ ộ ạ ủ ả ọ ộ ậ ự tích c c, đ c l p, sáng t o c a b n thân.
ọ ế ố
– H c không đi đôi v i hành làm cho các em ít đ ệ ớ ề ả ượ ớ ứ ể ế ế
ế ứ ắ c cũng c , kh c sâu ki n th c, ự rèn luy n kĩ năng đ làm n n t ng ti p thu ki n th c m i, do đó năng l c cá nhân không ượ đ c phát huy h t.
ọ ậ ư ọ ọ ng pháp h c t p phù
– Không ít h c sinh th c s chăm h c nh ng ch a có ph ư ươ ả ọ ậ ự ự ế ủ ộ ư ệ ự ứ ư ế ợ h p, ch a tích c c ch đ ng chi m lĩnh ki n th c nên hi u qu h c t p ch a cao.
ề ả ờ i gi i gi
ớ ờ – Nhi u h c sinh hài lòng v i l ạ i c a mình, mà không tìm l ế ọ ể
ạ ủ ả ả ủ i khác, không ộ ự khai thác phát tri n bài toán, sáng t o bài toán nên không phát huy h t tính tích c c, đ c ậ l p, sáng t o c a b n thân.
ự ự ộ ố ế ệ ể ạ – M t s giáo viên ch a th c s quan tâm đ n vi c khai thác, phát tri n, sáng t o
ờ ự ọ bài toán trong các các gi ư ệ ậ luy n t p, t ch n...
ệ ề ớ
ượ ứ ẽ ơ
ệ ượ c các bài toán v i nhau, phát ế ọ c ki n th c, quan tr ng h n là nâng ơ ứ ọ ể tri n m t bài toán s giúp cho h c sinh kh c sâu đ cao đ ộ ấ – Vi c chuyên sâu m t v n đ nào đó, liên h đ ộ ọ ượ ư c t ắ duy cho các em làm cho các em có h ng thú h n khi h c toán.
ả ạ ỏ ả ươ ướ c th c tr ng trên đòi h i ph i có các gi i pháp trong ph ọ ạ ng pháp d y và h c
ự Tr sao cho phù h p.ợ
ử ụ
ế ệ 2. Các bi n pháp ti n hành
ề ươ ụ ể ng pháp c th là:
ế ợ ệ ứ
ệ
4
Saùng kieán kinh nghieäm
ươ ươ ươ ươ ệ ề ể Đ hoàn thành đ tài tôi đã s d ng k t h p nhi u ph ọ ng pháp đ c sách, nghiên c u tài li u. + Ph ệ ự ng pháp th c nghi m. + Ph ế ổ ng pháp t ng k t kinh nghi m. + Ph ng pháp trò chuy n. + Ph
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ệ ề + Ph ộ ố ươ ử ụ Ngoài ra, tôi còn s d ng m t s ph
ươ ắ ng pháp đi u tra, tr c nghi m.
5
Saùng kieán kinh nghieäm
ng pháp khác.
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 Ộ B. N I DUNG
Ụ I. M C TIÊU
ạ
ả ữ i, mà còn ph i bi ả m t k t qu , m t cách gi i
ạ ở ộ ế ể ụ ế ỉ ừ ộ ướ ướ t khám phá, tìm tòi, khai thác bài toán theo nh ng h ả ộ ướ ớ ng phát tri n bài toán m i đó chính là m c tiêu h ế ng ti p ế ề t đ ế ng đ n i khác, m t h
ọ D y cho h c sinh bi ậ c n khác nhau, không ch d ng l ả ấ xu t cách gi ủ ề c a đ tài này.
Ả Ả Ề II. MÔ T GI Ủ I PHÁP C A Đ TÀI
ế ớ 1. Thuy t minh tính m i
ị ướ ư Qua nh ng bài toán mà h c sinh đã gi ả ượ i đ c, tôi đ nh h ọ ng cho h c sinh t
ư ươ ệ ể ặ duy ể t hoá, khái quát hoá đ phát tri n , so sánh, đ c bi
ữ ươ ng pháp nh : T ấ ề ớ ữ ọ ự ng t theo các ph ớ thêm nh ng v n đ m i, bài toán m i.
ầ ượ ộ Trong ph n này tôi xin đ
ộ ố ể ừ ộ ọ ượ ầ
ự ả ổ c phép phát tri n t ằ ng t ế ươ t, t thi
= + + + +
+
+
ể m t bài toán quen thu c đ xây ấ ự c, t m quan d ng m t s bài toán khác có liên quan. Nh m làm cho h c sinh th y đ ệ ữ ệ ọ tr ng trong vi c thay đ i các gi hoá bài toán, liên h gi a bài toán này ớ v i bài toán khác có liên quan.
S 1 2 3 4 ... 99 100
ổ ở ầ : Tính t ng: Bài toán m đ u
ệ ự ằ
+ + + = + 2 ở ổ ủ ộ Vi c tính t ng S bài toán trên là hoàn toàn quen thu c, b ng cách d a vào cách tính c a ở ọ nhà toán h c Gauss 1 Ta có: S + + = + +
=
=
�
S
5050
100.101 2
ậ sách giáo khoa toán 6 t p 1 + + 4 ... 99 100 + 1 + 3 + S 100 99 98 97 ... 2 + + + = + + 2S 101 101 101 101 ... 101 101(coù100 soáhaïng)
ừ ậ
+
=� S
100.(100 1) 2
ộ + + + + = + + + + + + T bài toán trên ta có m t nh n xét: 2S (100 1) (100 1) (100 1) ... (100 1) (100 1) (coù100 soáhaïng)
+ = + + + + + + = S 1 2 3 4 ... 99 100 ư ậ Nh v y: 100.(100 1) 2
ố ạ ở ộ ế ổ ớ N u m r ng t ng trên v i n s h ng ta có bài toán sau:
( n(cid:0) ễ
= + + + + + - + ﾥ ) ổ Bài toán 1a. Tính t ng: S 1 2 3 4 ... n 1 n
6
Saùng kieán kinh nghieäm
ở ầ ự ư ổ ượ D a vào cách tính t ng nh bài toán m đ u ta d dàng có đ c:
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
= + + + + + - + = S 1 2 3 4 ... n 1 n + n(n 1) 2
ề ế ữ ấ V n đ ti p theo là ngoài cách tính trên ta còn có cách tính nào khác n a hay
không?
ử ư Ta th phân tích khác nh sau:
= = 1 1
= = + 1 2 3 1.2 2 2.3 2
= = + + 1 2 3 6 3.4 2
= + + + = 1 2 3 4 10 4.5 2
ả = + + + + + - + = S 1 2 3 4 ... n 1 n Ph i chăng + n(n 1) 2
ể ứ ế ả ằ ươ ạ Ta có th ch ng minh k t qu trên b ng ph ng pháp quy n p:
ể ớ Ki m tra v i n = 1 ta có:
S(1) = 1 (đúng)
= = ớ S(n) S(k) Gi ả ử s đúng v i n = k, (k > 1) nghĩa là: + n(n 1) 2 + k(k 1) 2
ứ ứ ệ ầ ề Ta c n ch ng minh m nh đ này đúng v i n = k + 1 t c:
ớ + + + = + + + + + + + = S(k 1) 1 2 3 4 ... k k 1 (k 1)(k 2) 2
ậ ậ ả ế Th t v y theo gi thi
= + + + + + = S 1 2 3 4 ... k ạ t quy n p ta có: + k(k 1) 2
+ + + = + + + + + + + = + + = S(k 1) 1 2 3 4 ... k (k 1) (k 1) Suy ra: (đpcm) + k(k 1) 2 (k 1)(k 2) 2
ả ơ ị ố ạ ủ ữ ệ ổ
ố ạ ố ớ ướ ữ ử ả ộ ể bài toán trên kho ng cách gi a các s h ng là 1 đ n v . Li u có th tính t ng c a m t c tùy ý hay không? Ta th làm bài toán
Ở dãy s v i kho ng cách gi a các s h ng cho tr sau:
ổ Bài toán 1b. Tính t ng:
7
Saùng kieán kinh nghieäm
A = 2 + 4 + 6 + 8 +… + 2n
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
B = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1)
ậ Nh n xét:
ể ổ ượ ộ ễ ờ * T ng A có th tính đ + 1) + + + + (cid:0) + + + + + (cid:0) + = = + = A 2 4 6 8 2n 2(1 2 3 4 = n) 2 n(n 1) c m t cách d dàng nh cách phân tích: n (n 2 + + = + + + + (cid:0) + A B 1 2 3 4 = - + 2(n 1) 2n + n(2n 1) 2n(2n 1) = 2
= + - B n(2n + 1) n(n = 2 1) n Do đó:
2
ể ổ ượ ằ ự * T ng B có th tính đ c b ng cách khác d a vào cách phân tích sau:
+ = 1 3 = 2 4 2
2 3
+ + = = = 1 3 5 9
+ + + = 1 3 5 7 = 2 16 4
2 n
2 � = � �
� �+ 1 3 = � � 2 � � 2 � �+ 1 5 � � 2 � � 2 � �+ 1 7 = � � 2 � � + - (2n 1) + + = - 1 3 + (cid:0) (2n 1) 2 � 1 � �
ươ ự ư ậ T ng t nh v y ta có bài toán:
= + + + + + - ổ S 1 4 7 10 ... (3n 2)
ể ở ạ ổ Bài toán 1c. Tính t ng: ể Có th phát tri n bài toán 1 d ng t ng quát sau đây:
1
2
3
n
+ + + = S a a a + ... a
1
Bài toán 1d. Tính t ng:ổ + = (cid:0) 0, ﾥ 2 , d n ươ - V i (ớ , d nguyên d ng tùy ý). a 1 a n a n
1
2
3
8
Saùng kieán kinh nghieäm
ề Theo đ bài ta có: a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ………………………… an = an1 + d = a1 + (n – 1)d + + + = Suy ra: = na1 + d + 2d + 3d + 4d +…+ (n – 1)d + S a a a ... a n
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
1
- = + + + + + + = - na [1 2 3 4 ... = d + (n 1)]d na 1 (n 1)n 2 + n(a a ) 1 n 2
ớ ạ ề ế ủ ể ệ ấ ấ ộ ổ * T i đây l ệ i xu t hi n v n đ ti p theo là li u có th tính t ng c a m t dãy s ố
ố ạ ữ ả ớ v i kho ng cách d thay đ iổ gi a các s h ng hay không ?
ấ ừ ệ Xu t phát t vi c phân tích c a ủ bài toán 1a, ta có:
+ + + + + + = + + + + 1 3 6 10 ... ..... n(n 1) 1.2 2.3 3.4 2 2 2 2 + n(n 1) 2
ể ề ừ ấ T suy nghĩ trên, ta có th đ xu t bài toán sau:
ổ E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)
ể ư ề ầ ằ ớ
Bài toán 1e: Tính t ng: ố ắ Ta c g ng tìm cách phân tích đ đ a bài toán v g n v i bài toán 1 b ng cách sau đây:
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n+1)
2
2
+
+
+ +
= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)
2
2 3
... n
2
2
+
+
+ +
) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + ( 2 1
2
2 3
... n
ư ậ ể ượ ổ ầ ổ Nh v y đ tính đ c t ng E ta c n tính t ng: F = 2 1
ứ ệ ả ấ ề ế Vi c nghiên c u bài toán ạ ở ụ m c i 1e cho ta nhi u k t qu r t lí thú ta dành l
ờ ta xét bài toán sau: riêng, còn bây gi
Bài toán 2: Tính t ng:ổ P(n) = 12+ 22 +32 + .... + n2
ả ủ ự ể ế ả ậ ổ D a vào cách phân tích và k t qu c a bài toán 1đ tính t ng này ta l p b ng sau
2
ộ ợ ọ ủ đây (Theo m t g i ý c a nhà toán h c Polya )
1
2.
1)
1 1 1 1 1 3 3 2 2 4 5 3 5 3 3 3 9 14 6 7 3 4 4 16 30 10 9 3 5 5 25 55 15 11 3 6 6 36 91 21 13 3 n A(n) ( )A n P(n) S(n) ( ) P n ( ) s n
+
+
n
2.
1
1)
2.
1
n n (
1)
ế ả = ; v i ớ S(n) = ( k t qu bài toán 1), suy ra:
n n + ( 2 n n + ( 2
n + 3
1)(2 6
9
Saùng kieán kinh nghieäm
P(n) = .S(n) hay P(n) = = . ả ự D a vào b ng trên ta có: n + nP )( nS )( 3 n + 3
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 Có đ
ượ ế ử ụ ả ủ ự ế ả ố ố c k t qu này ta đã d a vào bài toán s 1a, s d ng k t qu c a nó và m i
ệ ữ ể ừ ở ộ ể quan h gi a S(n) và P(n) đ tính P(n). Cũng t đây ta phát tri n và m r ng đ đ ể ượ c
ớ các bài toán m i sau đây :
Bài toán 2a. Tính t ngổ :
A = 22 + 42 + 62 + .............+ (2n)2 B = 12 + 32 + 52 ……….. + (2n – 1)2
ằ ượ ế ả B ng cách làm t ng t c các k t qu sau đây :
ươ + ự ư bài toán 1b, ta thu đ nh + A = 2n(n 1)(2n 1) 3
ặ M t khác ta có:
2
3
+ + + + + + + = + 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) = =
(
) 2 + 2 A B 1 2 3 ... 2n
3
3 6
+ + + + + + - n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 4n n = = - - Và: B = A n(2n 1)(4n 1) 3 3 3 3
2
2
2
2
ể ở ạ ổ ể Có th phát tri n bài toán 2a d ng t ng quát sau đây:
1
2
3
n
+ + + ổ = C a a a + ... a Bài toán 2b. Tính t ng:
1-
= + ươ a (cid:0) 0, d nguyên d ng tùy ý V i ớ ) a n a n
ậ d ( 1 ể ự Ta có th d a vào quy lu t sau:
2 a 1
2
2
=
2
2
2
= a 2
2 a 1 ( (
= =
(
) + a d 1 ) + a d
2
a 3
) + a 2d 1
2
2
+ = + = -
(
n 1
2 � �
2
2
2
2
2
......................................... ) d a - a n � a (n 1)d � 1
2 (n 1) ]
1
2 d .
2 =na 1
+ + + + = + + + + + + 2 - - 2da [1 2 3 ... + + + 2 2 (n 1)] +d [1 2 3 ... Suy ra: = 2 C a 1 a 2 a 3 ... a n na 1 - - - + + 2a .d. 1 (n 1)n 2 (n 1)n(2n 1) 6
ụ ế ả ổ ể Áp d ng k t qu này ta có th tính các t ng sau nhanh chóng:
10
Saùng kieán kinh nghieäm
Bài toán 2c. Tính t ngổ :
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
2
2
2
2 D 1 4 7 ...
+ n 1
- - + + + = + - = 2 (3n 1)
n 1
n
n 1
= - n(6n 3n 1) 2 2 2 - = + + + + n E 2 4 8 ... 2 + + = + + = - ﾥ F 3 6 12 ... 3.2 a .2 ; n 1) - = 3(2 1) (vôùi a n
Bài toán 3: Tính t ng sau:
ổ ể ự K(n) =13 + 23 + 43 +..........+ n3 ự ế
= 9
3
= +
ả = + 2 (1 2) = + + 2 36 (1 2 3) = + + + + + + = Ta có th d đoán k t qu bài toán d a vào cách phân tích sau đây: + 3 3 1 2 + 3 3 3 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 4 100 (1 2 3 4)
2
3
........................................................
3 3 3 1 2 3 ... n
2 (1 2 3 ... n)
+ + + + = + + + +
� = � �
ể ệ ặ ả ộ �+ n(n 1) � 2 � ầ ấ ế t y u đ t ra là có th tính đ Qua vi c kh o sát 3 bài toán trên, m t nhu c u t ượ c
ườ ợ ổ ấ ừ ổ t ng trong tr ng h p t ng quát hay không ? Ta hãy xu t phát t bài toán sau đây :
Bài toán 4 : Tính t ngổ : S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1)
Cách th 1:ứ
ư Nh đã trình bày ở bài toán 1e, ta có:
S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n + 1)
= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) + (12 + 22 + 32 + .... + n2)
+ + + + = + = + n(n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 6 n(n 1)(n 2) 3
Cách th 2:ứ
ử ố ể ệ ấ ạ ổ ầ ậ ố đ i nhau. Mu n v y ta c n tách
ế ỗ ạ ộ ộ m t th a s trong m i h ng t ệ thành m t hi u : a = b – c
ể Đ tính A ta bi n đ i A đ xu t hi n các h ng t ừ ố ử ớ V i S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n +1)
ế ẳ ứ ớ ượ Nhân hai v đ ng th c trên v i 3 ta đ c:
3.S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + 4.5(6 – 3) + …+ n.(n +1)[ (n +2) – (n – 1)]
+ n(n = S (n) Suy ra: 3.S(n) = n(n + 1)(n + 2) (cid:0) + 1)(n 2) 3
ậ Nh n xét :
2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n +1)
11
Saùng kieán kinh nghieäm
ặ Đ t : S
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
S1(n) = 1 + 2 + 3 + ............... + n
1(n) v i 2, thu đ
ệ ể ằ ớ ớ ượ Ta có th liên h nó v i bài toán 1b ng cách nhân S c:
2. S1(n) = 1.2 + 2.2 + 3.2 + ............... + n.2
Do đó:
S2(n) – 2.S1(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n.(n – 1)
2(n) – n(n+1)
ả ủ ẳ ứ ế V ph i c a đ ng th c này chính là : S
= S (n) Suy ra : 1 Vì v yậ : S2(n) – 2.S1(n) = S2(n) – n(n+1) + n(n 1) 2
2(n) nh ng l
ậ ượ ư ặ ư ạ c S i tính Nh n xét:
2(n) l
ề ằ ọ ố ợ ạ c t ng đ ả i ph i Trong cách làm trên m c dù ta ch a tính đ ượ ổ S1(n). Đi u quan tr ng là nó g i cho ta ý nghĩ r ng mu n tính S
ệ ớ ộ ổ ươ ự ữ ng t khác n a.
liên h v i m t t ng t Xét t ng ổ S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ….. + n(n +1)(n +2)
ớ Nhân S2(n) v i 3, ta có:
3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… ..+ n.(n +1).3
S3(n) – 3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n –1)n(n +1)
= S3(n) – n(n +1)(n + 2)
n( = ) S (n Do đó: : 2 + + )(n ) n 1 2 3
ổ Bài toán 5: Tính t ng: S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ….. + n.(n + 1).(n + 2)
+ + = ằ ươ ự ượ B ng cách t ng t ta tính đ c: S (n) 3
ể ể ở ạ ư ổ Có th phát tri n bài toán + n(n 1)(n 2)(n 3) 4 d ng t ng quát nh sau:
Bài toán 6: Tính t ng:ổ ươ ằ ự ổ B ng cách t Sk(n) = 1.2.…k + 2.3….(k + 1) + ……+ n (n + 1)……(n + k – 1) ng t ta xét t ng:
Sk+1(n) = 1.2.…(k + 1) + 2.3….(k + 2) + ……+ n (n + 1)……(n + k)
ớ Nhân Sk(n) v i (k + 1) ta có:
Sk+1(n) – (k+1) Sk(n) = Sk+1(n) – n (n +1)……(n + k)
+ + = n) Vì v y: ậ (S k n(n 1)....(n k) + k 1
ộ ấ ư ụ ề ưở ư ấ ơ ả ạ M t v n đ đáng l u ý là áp d ng cách tính t ng nh r t đ n gi n trên l i cho ta
12
Saùng kieán kinh nghieäm
ả ọ ế k t qu quan tr ng sau đây:
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 Bài toán 7: Tính t ngổ : Tk(n) = 1k + 2k + 3k +……………+ nk i suy lu n quy n p sau đây:
ể ậ ạ ầ ổ ố
Đ tính t ng trên, ta l n theo l Do : n( n + 1) = n2 + n , và theo bài toán 1e ta có :
2
2
S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ….. + n(n + 1)
3 3
+ + + + ) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + n) = ( 2 1 2 ... n
= T2(n) + S1(n)
2
+ + + n(n 1)(n 2) n(n 1) = = - - T n) ( (n) Suy ra : S 2 S (n) 1 2
2
2 3 1 2 3 ... n
3 + + 2 n(n 1)(2n 1) + + + + = Hay : 6
3(n) =13 + 23 + 33 + .......... + n3 , ta xét S2(n) v i chú ý r ng:
ươ ự ể ằ ớ ng t đ tính T
T (n – 1)n(n + 1) = n3 – n, Ta th yấ :
S3(n – 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n – 1)n(n +1) = (13 + 23 + 33 + .......... + n3) – ( 1 + 2 + 3 + ............... + n )
3
+
+
+
+
+ + - + (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) = = + - (n) (n 1) + Suy ra: T 3 S 3 S n) ( 1 4 2
2
3 3
..........
= 3 n
2 � �
+� n(n 1) � 2
V y :ậ 3 1 (cid:0) (cid:0)
2
2
2
2
ằ ươ ự ư ậ ế B ng cách t ng t nh v y ta tính s đ ẽ ượ Tk(n) n u bi c ế T1(n), T2(n)… Tk1(n) và Sk(n). t
= + + + + + ổ Bài toán 8: Tính t ng : R(n) 1.2 2.3 3.4 ... n(n 1)
Ta có:
R(n) = 1.2.(3 – 1) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(51) + …+ n.(n+1)[(n+2) – 1]
2
2
2
2
= [1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ n.(n+1).(n+2)] – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ….+ n.(n+1)] + + + + + + = – = + n(n 1)(n 2)(n 3) 4 + n(n 1)(n 2)(3n 5) 12
n(n 1)(n 2) 3 + + + = + + ổ Bài toán 9: Tính t ng sau: F(n) 1 .2 2 .3 3 .4 ... n (n 1)
Ta có: F(n) = 1.1.2 + (1+1).2.3 + (1+2).3.4 +…+ [1+(n – 1)].n.(n+1)
= [1.2 + 2.3 + 3.4 +…. + n.(n+1) ] + [ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ (n – 1).n(n+1)]
+ + + + + - = + = n(n 1)(n 2) 3 + (n 1) n(n 1)(n 2) 4 + n(n 1)(n 2)(3n 1) 12
13
Saùng kieán kinh nghieäm
+ = + + + ủ ố B(n) ... ổ Bài toán 10: Tính t ng c a dãy s sau: 1 1.2 1 2.3 1 3.4 1 + n(n 1)
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
ư ể Ta có th phân tích nh sau:
= - 1
1 2 1 3 1 4
1 1.2 1 1 = - 2 2.3 1 1 = - 3 3.4 ......................
......................
= - 1 + n.(n 1) 1 n 1 + n 1
= + + B(n) + + ... = - 1 V y:ậ 1 1.2 1 2.3 1 3.4 1 + n(n 1) 1 = + n 1 n + n 1
ể ở ộ ư ầ Có th m r ng d n bài toán nh sau :
= + + + + ổ C(n) ... Bài toán 11: Tính t ng sau : + + 1 1.2.3 1 2.3.4 1 3.4.5 1 n(n 1)(n 2)
ậ
= Nh n xét: 1 1.2.3 1 2.3 1 1 � -� 2 1.2 � � � �
=
= 1 1 1 � -� 2 2.3 3.4 � 1 1 1 � -� 2 3.4 4.5 �
1 � � 2.3.4 � 1 � � 3.4.5 � ..................................................................
..................................................................
= - + + 1 + + + 1 n(n 1)(n 2) 1 2 n(n 1) 1 (n 1)(n 2) � � � � � �
= + + = - C(n) + + ... + + + + 1 1.2.3 1 2.3.4 1 3.4.5 1 n(n 1)(n 2) 1 (n 1)(n 2) + n(n 3) + + 4(n 1)(n 2) � 1 1 � 2 2 � � = � �
= + + + + ổ D(n) ... Bài toán 12: Tính t ng sau: + + 1 1.2.3.4 1 2.3.4.5 1 3.4.5.6 1 + n(n 1)(n 2).(n 3)
14
Saùng kieán kinh nghieäm
ươ ự ư ở T ng t nh cách phân tích bài toán 11, ta có:
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
= 1 1.2.3.4 1 2.3.4 1 1 � -� 3 1.2.3 � � � �
=
= 1 3.4.5 1 4.5.6 1 1 � -� 3 2.3.4 � 1 1 � -� 3 3.4.5 � � � � � � �
1 2.3.4.5 1 3.4.5.6 ..................................................................
..................................................................
1 = - + + + + 1 + n(n 1)(n 2)(n 3) 1 + 3 n(n 1)(n 2) 1 + + )(n 2)(n 3) (n 1 � � � � � �
2
= + + D(n) + + ... + + 1 1.2.3.4 1 2.3.4.5 1 3.4.5.6
1 + n(n 1)(n 2)(n 3) + 1 = - + + n(n + 1 + (n 1)(n 2)(n 3) + 6n 11) + + 18(n 1)(n 2)(n 3) � 1 � 3 1.2.3 � � = � �
ơ ở ế ể ở ộ Trên c s đó ta có th m r ng đ n bài toán sau
= + + + + ổ L(n) ... Bài toán 13: Tính t ng sau: + - 1 1.3 1 3.5 1 5.7 1 (2n 1)(2n 1)
ậ Nh n xét:
= 1 1.3 1 2 1 � � -� � 1 3 � �
= 1 3.5
= 1 1 1 � � -� � 2 3 5 � � 1 1 1 � � -� � 2 5 7 � �
1 5.7 ...................................
...................................
1 1 = - + + - - 1 (2n 1)(2 n 1) 1 2 2n 1 2n 1 � � � � � �
ứ ế ế ẳ ộ ượ ế C ng các đ ng th c trên v theo v ta đ ả c k t qu :
= + + = L(n) + + ... + - 1 1.3 1 3.5 1 5.7 1 (2n 1)(2n 1) n + 2n 1
15
Saùng kieán kinh nghieäm
= + + + + ổ M(n) ... Bài toán 14: Tính t ng sau: + - 1 1.5 1 5.9 1 9.13 1 (4n 3)(4n 1)
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ươ
ự ậ ố bài toán s 11 ta phân tích cũng có quy lu t sau: ng t T
ậ Nh n xét:
= 1 1.5 1 4 1 � � -� � 1 5 � �
= 1 5.9 1 1 1 � � -� � 4 5 9 � �
= � � �
1 1 1 1 � -� 9.13 4 9 13 � .......................................
.......................................
1 = - + - - 1 (4n 3)(4n 1) 1 4 4n 3 1 + 4n 1 � � � � � �
ứ ế ẳ ộ ượ C ng v theo các đ ng th c trên ta đ c:
= + + = M(n) + + ... + - 1 1.5 1 5.9 1 9.13 n + 4n 1
1 (4n 3)(4n 1) ể ổ ả ủ ừ ế T k t qu c a bài toán 13 và 14 ta có th t ng quát lên bài toán sau:
3
4
= + + + + Q(n) ... ổ Bài toán 15: Tính t ng: 1 a a + n n 1
(cid:0) 0).
1
2
4
3
n
= - - - - a 1, a a a 1 a a 1 2 = a 1 a a 2 = ... a a a b ố ự ấ ỳ V i: ớ (b là s t nhiên b t k , b = a 2 1 a a 3 = + n 1
3 Khi đó ta có k t qu sau:
ế = 1 ả
+ n 1
+ n 1
n = + = + Q(n) + + ... a 1 a a 1 2 1 a a 2 3
1 a a n ả ể ứ ế ươ ạ 1 a a 3 4 Cũng có th ch ng minh k t qu này theo Ph ng pháp quy n p:
2
2
= = = Q(n) ớ V i n = 1 ta có: (đúng) 1 1.a 1 a
ứ ệ ề ả ử 1 a a 1 2 ớ s m nh đ đúng v i n = k, (k > 1) t c là: Gi
+ k 1
+ k 1
k = + + = Q(n) + + ... (đúng) a 1 a a 1 2 1 a a 2 3 1 a a 3 4 1 a a k
+
+
+
+
+
+
+ k 1
+ k 1
+ k 2 a k 1 k 2
+ k 1 + + + = = + = + + ... Q(n) Ta có: (1) a a a ka a 1 a a 1 2 1 a a 2 3 1 a a k 1 a k 1 k 2 1 a k 1 k 2
1a
16
Saùng kieán kinh nghieäm
1 a a 3 4 1= ặ M t khác ta có:
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
2
- b a a
3
- b a a
4
- b a a
+ k 1
- a a b = 1 = 2 = 3 ................ = k
ế ế ộ ượ C ng các đ ng th c trên v theo v ta đ c :
+ k 2
+ k 2
ứ - = + - a 1 (k 1)b
ẳ = a 1 - = - � a )
+ k 2 ka
+ k 2 a
+ k 1 a
+ k 2
+ k 1
+ k 1
a = � + (k 1)
)
1Vì a
1 ka + k 1 = - a
+ + k 2 k 1 (k 1)
+ k 2
+ k 1
b + = a + 1 (k 1)(a + = + 1= và ka 1 a Thay c:ượ
+
+
+
+
+ k 1
+ k 2 a k 1 k 2
+ k 2
+ 1 = + + + = = Q(n) + + ... a ka a + k 1 a 1 a a 1 2 1 a a 2 3 a + vào (1) ta đ 1 a a 3 4 1 a a k 1 a k 1 k 2
ệ ề Hay m nh đ đúng n = k + 1
ạ
ậ
:
(đpcm)
V y theo quy n p ta có
+ n 1
+ n 1
n = + + = Q(n) + + ... a 1 a a 1 2 1 a a 2 3 1 a a 3 4 1 a a n
ộ ố
ụ
ươ
ổ
ả
ụ ứ M t s ví d ng d ng ph
ng pháp tính t ng trong gi
i toán tìm x
ố ự ế nhiên x bi t: Bài toán 1a: Tìm s t
1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 500500
ả ờ ụ ứ ể ơ Áp d ng bài toán Gau – x ta có bi u th c nào? Tr l i ; x( x+ 1) : 2 = 500500
Gi i:ả 1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 500500
x( x+ 1) : 2 = 500500
Suy ra : x(x+1) = 500500 . 2 = 1001000 = 1000 . 1001
ố ự Vì x và x + 1 là hai s t ế nhiên liên ti p nên x = 1000
ố ự ế nhiên x bi t: ( x + 1) + ( x + 2) + ... + ( x + 100) = 7450 Bài toán 1b: Tìm s t
Gi i:ả ( x + 1) + ( x + 2) + ... + ( x + 100) = 7450
100x + ( 1 + 2 + 3+ ... + 100) = 7450
100 x + (100 + 1) .100 : 2 = 7450
17
Saùng kieán kinh nghieäm
ơ ả ề ạ ư 100 x + 5050 = 7450 ( Đ a bài toán v d ng c b n)
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 100 x = 7450 – 5050
100 x = 2400
x = 24
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
Bài toán 2: Tìm x, bi t:ế
1 1 1 12 20 30 42 56 72 90
ừ ầ ổ ọ T bài toán t ng quát trên giáo viên yêu c u h c x =
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
ố ự ủ ẫ ấ sinh phân tích các m u thành tích c a hai s t nhiên b t kì.
1 1 1 12 20 30 42 56 72 90
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
x =
1 1 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
- + - + - + - + - + - + -
x =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
x =
-1 1 3 10
x =
7 3 10 = 30 30 30
- x =
+ + ...
+ - x
1
6 6 + 5.7 7.9
6 109.111
318 = 555
ố ế Bài toán 2a: Tìm s nguyên x, bi t:
ặ ọ ườ ớ ử ố ằ ở ố ầ Khi g p bài toán này h c sinh th ng lung túng v i t s b ng 6 các phân s đ u và
318 555
phân s ố .
3
+ + ...
+ + ...
ố ạ ố ở Giáo viên g i ý: Phân tích s 6 = 2.3 sau đó nhóm các s h ng
2 109.111
6 6 + 5.7 7.9
6 109.111
2 2 � + � 5.7 7.9 �
� � �
=
+ + ...
+ - x
1
6 6 + 5.7 7.9
6 109.111
318 = 555
18
Saùng kieán kinh nghieäm
Gi i:ả
+ + ...
1
3
x
2 109.111
318 = 555
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 2 2 � + � 5.7 7.9 �
� � �
- - ượ ề (Đ nế bài toán đ c quy v bài toán quen
1
thu c)ộ
3
- + - + + ...
= x
1
1 1 1 1 5 7 7 9
1 109 111
318 555
� � �
� � �
1
- - -
3
x
1
318 = 555
1 � � 5 111 �
� � �
- - -
3.
x
1
106 555
318 = 555
- -
x = – 1
+
+
=
....
ạ ế ụ Giáo viên l ở ộ i ti p t c m r ng bài toán :
1 1 1 + + 2 6 12
1 + x x (
1)
2011 2012
=
+
+
....
1 + x x (
1)
+
+
+ + +
=
...
1 x
x
- + - + - + + - ...
2011 1 2012 1 +
1 1 1 + + 2 6 12 1 1 1 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4
2011 2012 1 + 1 x
= x
2011 1 2012
ố ế Bài toán 2b: Tìm s nguyên x, bi t:
1
1 +
x
1
= - 1
2011 = 1 2012 2011 = 2012 2012
1 2012
2011
1 + x 1 + = x � =� x
-
+
+
....
ạ ế ụ T ừ bài toán trên giáo viên l ở ộ i ti p t c m r ng bài toán:
1 1 1 + + 3 6 10
2001 1 = + 1) : 2 2003
x x (
1)
ố ế Bài toán 2c: Tìm s nguyên x, bi t:
+( x x 2
+
+
=
....
1)
1 1 1 + + 3 6 10
2001 2003
1 + x x ( 2
19
Saùng kieán kinh nghieäm
ướ ẫ ả ế ổ Giáo viên h ng d n cách gi ẫ ố i : Bi n đ i m u s x(x+1) : 2 =
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
+
+
2
....
1 1 1 + + 3 6 10
2001 2003
� � �
1 � = �+ x x ( 1) �
2
+ - ....
1 1 1 1 1 1 - + - + - + 2 3 3 4 4 5
1 x
2001 2003
� � �
1 � = �+ x 1 �
ế ượ ư ề ạ ậ Đ n đây bài toán đã đ c đ a v d ng bài t p 6b
2
1
2001 2003
1 1 � � = �+� � x 2 �
-
1
2 +
2001 = 1 2003
x
2
= - 1
2 +
x
1
2001 = 2003 2003
-
x + 1 = 2003
x = 2003 – 1
+
+
+
+
=
....
x = 2002
+
+
1 1 1 3.5 5.7 7.9
1 1)(2
(2
x
x
3)
100 609
ố ế Bài toán 2d: Tìm s nguyên x, bi t:
+
+
+
+
=
....
ừ ả ơ ọ T bài toán trên h c sinh tìm cách gi ễ i bài toán d dàng h n.
+
+
1 1 1 3.5 5.7 7.9
1 1)(2
(2
x
x
3)
100 609
- + - + - +
+
Gi i:ả
....
1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 7 9
1 + x
(2
1) 2
1 = + x
3
100 609
� � �
� � �
-
100 609
1 1 � � 2 3 2 �
1 � = �+ x 3 �
-
100 1 : 609 2
1 � � 3 2 �
1 � = �+ x 3 �
1
=
1 + x
2
3 203
-
2x + 3 = 203
x = 100
ữ ư ậ ộ Sau khi h cọ sinh v ng t t c các d ng bài t p trên , giáo viên đ a ra m t bài
20
Saùng kieán kinh nghieäm
ậ ụ ả ủ ậ ậ t p v n d ng các cách gi ạ ấ ả i c a các bài t p trên.
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
1
1
=
-
(
)
+ + ...
+ x
1,05 : 0,12 9
2,04 : � �
� �
+ 11.13 13.15
1 19.21
� � �
� .462 � �
t: ế Bài t p 3ậ : Tìm x, bi
1
1
+ + ...
+ 11.13 13.15
1
=
Vì
1 1 19 21
� � �
=
- - - ạ ậ (D ng bài t p 6)
5 231
1 19.21 1 1 1 1 � + + + ... � 2 11 13 13 15 � 1 1 1 � � 2 11 21 �
� = � �
=
-
-
(
)
.462
+ x
1,05 : 0,12 19
2,04 : � �
� �
5 231
ậ ạ Ta có: ( D ng bài t p 1)
20 - [2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 19
[2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 10 – 9
[2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 1
[2,04 : ( x + 1,05)] = 1. 0,12
( x + 1,05) = 2,04 : 0,12
( x + 1,05) = 17
x = 17 – 1,05
x = 15,95
ậ ươ ạ Các d ng bài t p t ng t ự
ố ế Tìm s nguyên x, bi t:
11
11
+
+
+
+
....
+ = x
11 23.34 34.45 45.56
11 90.101
1 101
+
+
=
1
....
1
1 1 1 b) + + + 3 6 10
1 + x x (
1)
2009 2011
- a)
ướ ạ ọ ọ
i này là d y h c cho h c sinh bi ậ ng ti p c n khác nhau, không ch d ng l
i, mà còn bi
ả ớ ọ ọ ế t khám phá, ạ ở ộ ế ỉ ừ i m t k t ể ộ ướ ng phát tri n bài toán ệ ạ ng pháp quy n p toán h c trong vi c
21
Saùng kieán kinh nghieäm
ế ủ ề ạ ụ ng đ n c a đ t Ngoài m c tiêu h ướ ế tìm tòi, khai thác bài toán theo h ả ấ ế ề ả ộ t đ xu t cách gi qu , m t cách gi i khác, m t h ế ử ụ ề ươ m i. Đ tài này còn giúp h c sinh bi t s d ng ph ố ọ ở ộ ể phát tri n và m r ng cho bài toán s h c.
ụ
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ả 2. Kh năng áp d ng
ệ ộ ố ộ ớ – Vi c phát tri n t
ữ ọ ể ừ ộ c áp d ng r ng rãi trong nh ng ti m t bài toán quen thu c đ xây d ng m t s bài toán m i có ỏ ụ i ể ự ế ọ ồ ưỡ t h c b i d ng h c sinh khá gi
ộ ng THCS. ể ượ ọ ở ườ tr
ề ệ ả
liên quan có th đ ả ấ trong c c p h c ệ – Đ i v i giáo viên: Có th s d ng đ tài này làm tài li u tham kh o trong vi c ọ ể ử ụ ỏ ồ ưỡ ọ ố ớ ạ d y h c và b i d ng h c sinh gi i.
3. L i ích kinh t
ợ ế ộ xã h i
ố ớ ọ a. Đ i v i h c sinh
ươ ơ ộ ự ạ ớ – V i ph ệ ng pháp này h c sinh c h i phát huy tính tích c c, sáng t o trong vi c
ọ ọ ấ ả t c các môn h c khác nói chung. ọ ậ h c t p môn toán nói riêng và t
ọ ầ ầ ự ữ
ự ươ ạ ớ
ế ệ ộ ậ ỹ – H c sinh d n d n hình thành nh ng k năng d đoán và suy lu n có lý, d đoán ọ ọ ậ ng pháp h c t p m i khoa h c, ạ ề ọ ở nhi u khía c nh khác nhau
ả ự ể ề ớ ứ ữ ế ấ thông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy n p và ph ể hi u qu . T mình có th chính lĩnh m t ki n khác khoa h c và phát tri n ki n th c đó thành nh ng v n đ m i.
ố ớ b. Đ i v i giáo viên
ươ ầ ổ ớ ọ
ể ề ọ ạ ng pháp d y h c toán, ộ ấ ng sáng t o h n trong vi c khai thác và phát tri n m t v n đ toán h c khi
ớ ề ưở ồ ưỡ ạ ọ ỏ – V i đ tài này giúp cho giáo viên ph n nào đ i m i ph ề có nhi u ý t ọ ạ d y h c và b i d ơ ng h c sinh khá gi ệ i.
ướ ữ ầ
ứ ậ ệ ọ
ậ ớ ơ ự ủ ộ ầ ả ơ ế ấ c đ u có nh ng k t ạ ữ ả ổ c c n ph i đ i m i h n n a trong vi c d y h c và ạ ủ ữ ng môn toán, c n ph i phát huy h n n a tính tích c c và ch đ ng sáng t o c a
ề ụ – Sau khi nghiên c u và áp d ng đ tài này tôi nh n th y b ứ ượ ầ ả ả qu kh quan. Tôi đã nh n th c đ ồ ưỡ b i d ọ h c sinh.
ứ ệ ầ – Qua vi c nghiên c u đ tài đã góp ph n nâng cao trình đ chuyên môn và hi u
22
Saùng kieán kinh nghieäm
ệ ả ạ ọ ỏ ề ệ ồ ưỡ ả qu trong vi c gi ng d y và b i d ng h c sinh khá, gi ộ ở ườ tr i môn toán ng THCS.
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
Ế Ậ
ử ụ ữ ụ ệ ề ệ ả C. K T LU N 1. Nh ng đi u ki n, kinh nghi m áp d ng, s d ng gi i pháp
ố ọ ể ớ
ướ ọ ọ ở ộ ề i, nhi u h
ạ ở ộ ế ọ ộ ả ọ
i ữ ể ạ
ề ở ộ ơ ả ớ ả ự ả
ẹ ệ ậ ứ ạ ừ ơ ề ộ ố ề – Trong đ tài này tôi đã ch n l c m t s bài toán s h c đi n hình v i nhi u cách ế ậ ụ ớ ng phát tri n và m r ng v i m c đích giúp cho các em h c sinh ti p c n ỉ ừ ộ ấ i mà ế t khai thác, m r ng và phát tri n nó theo nh ng khía c nh khác nhau, t o nên ế ệ nhiên xu t hi n, ự ả ả ả m t k t qu , m t cách gi ạ ấ chính s
ề ủ ư ọ ả ể gi ộ m t bài toán, m t v n đ toán h c không ch d ng l ả ph i bi ơ ữ nh ng k t qu m i hay h n, đ p h n. Các kh năng này không ph i t mà ph i tr i qua quá trình luy n t p, t say mê, yêu thích toán h c, đó chính là ti n đ c a t ế ả ừ các bài toán đ n gi n đ n ph c t p, t ạ ề duy sáng t o.
ồ ưỡ ệ ỉ
ế ả ứ ủ ơ ả ơ
ể ư ắ ệ ạ
ạ ộ ạ ể ừ t hoá m t bài toán đ t ế ệ ệ ơ ố
ộ ữ ọ ọ ơ ẽ ọ ọ ng vi c khai thác bài toán không ch cho h c – Trong quá trình gi ng d y, b i d ắ sinh n m b t kĩ ki n th c c a m t d ng toán mà c b n h n nó nâng cao tính khái quát ặ duy, nâng cao tính sáng t o cho các hoá, đ c bi đó phát tri n t ữ ọ em h c sinh. H n n a, vi c liên k t các bài toán khác nhau, tìm m i liên h chung gi a ứ chúng s giúp cho h c sinh có h ng thú khoa h c h n khi h c toán.
ệ ậ ụ ể ọ ữ ể ả
2. Nh ng tri n v ng trong vi c v n d ng và phát tri n gi
i pháp
ự ươ ở ộ – Vi c xây d ng, khái quát và m r ng các bài toán s h c trong ch
ố ọ ổ ướ các bài toán s h c d ng tính t ng mà h ạ ở i
ỉ ừ ế ụ ạ ủ ọ ệ
ừ ộ ạ ố ươ ọ ệ ng trình toán ủ ố ọ ạ ế THCS không ch d ng l ng đi ti p theo c a ự ề đ tài này là ti p t c phát huy tính tích c c, sáng t o c a h c sinh qua vi c khai thác và ở ộ m r ng t m t bài toán đ i s , hình h c trong ch ng trình toán THCS
ọ ụ ữ ằ
ớ ủ ề ướ ừ ọ ộ – Tôi huy v ng r ng, vi c áp d ng nh ng tính m i c a đ tài này s góp ph n gây ng, ầ ẽ ấ ượ c nâng cao ch t l
ệ ồ ưỡ ả ỏ ệ ệ ứ h ng thú cho h c sinh trong vi c h c b môn toán và t ng b ọ ệ hi u qu trong vi c b i d ọ ng h c sinh khá gi i.
ề ấ ế ị 3. Đ xu t, ki n ngh
ế ứ ọ
ấ Đ i v i các c p lãnh đ o: ữ ố ớ ệ ạ C n khuy n khích giáo viên nghiên c u ch n ra gi ặ ọ
ườ ữ ệ ả i ệ t là môn toán trong nhà ng các môn h c, đ c bi ng nh ng giáo viên có thành tích trong vi c nâng
ộ ấ ượ ạ ằ pháp h u hi u nh m nâng cao ch t l ng. Đ ng viên, giúp đ và khen th tr ườ cao ch t l ỡ ọ ở ng d y và h c ầ ấ ượ ưở ng. nhà tr
ả ố ớ ầ ư ả ứ nghiên c u tìm ra gi
Ph i không ng ng đ u t Đ i v i giáo viên: ả ừ ọ ậ ộ
ng giáo d c. Ph i không ng ng h c t p nâng cao trình đ chuyên môn nghi p v ệ ụ ợ đ ng nghi p, bi i pháp nâng cao ệ ụ ươ ng t cách áp d ng h p lí các ph
23
Saùng kieán kinh nghieäm
ế ạ ủ ả ừ ụ ấ ượ ch t l ừ ồ ệ ủ ả c a b n thân, tích lũy kinh nghi m t ả ề pháp, các chuyên đ toán vào quá trình gi ng d y c a b n thân.
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017 ầ ự
ệ ơ ọ ổ
ữ – C n nâng cao h n n a vi c đ i m i ph ủ ọ ươ ệ ố ớ ạ ộ ệ ặ ọ ướ ạ ng pháp d y h c theo h ồ ưỡ ạ t đ i v i vi c d y h c và b i d ng phát huy ng môn
ớ tính tích c c ho t đ ng c a h c sinh, đ c bi toán.
ọ ệ ệ ữ ỹ
ọ ậ ạ
ớ ấ ả ọ ậ ự – Vi c rèn luy n cho h c sinh nh ng k năng d đoán và suy lu n logic, khoa h c, ọ ầ ng pháp h c t p m i khoa h c c n ế ọ ọ t h c ươ ng h c sinh và trong t ớ ấ ả t c các ti
ố ơ ụ ự d đoán, quan sát, so sánh, khái quát, quy n p và ph ố ượ ườ ả ượ ng xuyên v i t ph i đ c áp th ả ệ ể ạ đ đ t hi u qu giáo d c ngày càng t t c các đ i t t h n.
ứ ệ
ự ờ ủ ộ ồ ắ ọ ể ề ấ Trong quá trình nghiên c u đ tài này, do th i gian th c hi n ng n nên tôi không ượ c s góp ý c a h i đ ng khoa h c đ đ tài ngày ề ượ ự c nh ng sai sót, r t mong đ
ữ ệ tránh đ ơ càng hoàn thi n h n
ự ệ Giáo viên th c hi n
24
Saùng kieán kinh nghieäm
ầ Tr n Đình Hoàng
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
Ả
Ệ
TÀI LI U THAM KH O
1.
ệ ạ ả ọ ở ườ tr ng ph ổ Hoàng Chúng: Rèn luy n kh năng sáng t o toán h c
thông. NXB TP.HCM. 1993
ạ ươ ể Ph ng pháp quy n p toán h c
Ạ Ọ Ư Ạ ộ ộ
Ạ Ọ Ư Ạ ậ ố ọ . NXB Đ I H C S PH M. Hà N i, 2004.
ễ ễ ễ ễ ữ ữ ữ ữ ổ ộ . NXB ĐH và TCCN. Hà N i, 1986
ọ . NXBGD. Hà N i, 2000 Lý Thuy t Sế ố. NXB Đ I H C S PH M. Hà N i, 2004 Bài t p s h c ố ọ S h c ph thông ễ ộ ạ ươ ươ ộ ố M t s ph 2. Nguy n H u Đi n: 3. Nguy n H u Hoan: 4. Nguy n H u Hoan: 5. Nguy n H u Hoan: 6. Đ ng Văn H ng Nguy n Chí Thanh:
ự ọ ậ ủ ọ ọ ng pháp d y h c môn toán theo Ạ Ọ Ư Ạ NXB Đ I H C S PH M.
Ạ Ọ Ư Ạ ế ộ C s s h c ơ ở ố ọ . NXB Đ I H C S PH M. Hà N i, 2005
ậ ộ ặ ướ h ng phát huy tính tích c c h c t p c a h c sinh THCS. ộ Hà N i, 2007. ễ 7. Nguy n Ti n Tài: ể ữ 8. Vũ H u Bình: Nâng cao và phát tri n toán 6 t p 2. NXBGD. Hà N i, 2011
ậ ậ ụ 9. Sách giáo khoa, Sách bài t p Toán 6, T p 1;2 NXB Giáo d c
ố ọ ể ễ ẵ ọ 10. Tuy n ch n 400 bài toán s h c 6. (Nguy n Anh Dũng, NXB Đà N ng)
ươ ứ ạ ạ ọ ộ 11. Ph ng pháp d y h c các n i dung môn Toán. (Ph m Gia Đ c, NXB ĐHSP, 6/2007)
ứ ặ ậ ơ ọ ự 12. H c và th c hành theo chu n ki n th c , kĩ năng, toán 6, t p 1;2(Đ ng Nh n, Tôn N ữ
ụ ệ ẩ Bích Vân, NXB Giáo d c Vi ế t Nam)
14.
ộ ố ụ ậ ề 13. Bài t p năng cao và m t s chuyên đ Toán 6( Bùi Văn Tuyên, NXB Giáo d c)
ế ự ơ ả ậ Toán c b n và nâng cao THCS, Toán 6, T p 1;2( TS. Vũ Th H u, NXB, Giáo
______________________________________
25
Saùng kieán kinh nghieäm
d c )ụ
Tröôøng THCS Nhôn Bình 0913690645 Naêm hoïc: 20162017
Ạ Ủ
Ậ
ƯỜ
Ế NH N XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ X P LO I C A BGH NHÀ TR
NG
26
Saùng kieán kinh nghieäm
