PH NG PHÁP Đ T N PH D NG 2 GI I PH NG TRÌNH MŨƯƠ Ặ Ẩ Ụ Ạ Ả ƯƠ
Ví d 1: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
( )
2
3 2 9 .3 9.2 0 1
x x x x
− + + =
Đ t ặ
3
x
t=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
( )
2
2 9 9.2 0
x x
t t− + + =
2
93 9 2
30
21
3 2 2
x
x
xx x
x
tx
x
t
=
== =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
==
=
Vây, pt có ... nghi m ...ệ
Ví d 2: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
( )
2 2
2 2
9 3 .3 2 2 0 1
x x
x x+ − − + =
Đ t ặ
2
3
x
t=
, đi u ki n ề ệ
1t
≥
(vì
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
( )
2 2 2
3 2 2 0t x t x+ − − + =
( )
( )
2
2
22
3 2 2
2
13 1 3
x
x
t
t x x
=
=
⇔ ⇔
= − = −
Gi i (2):ả
2
2
3 3
3 2 log 2 log 2
x
x x= ⇔ = ⇔ = ±
Gi i (3)ả
2
2
3 1
x
x= −
, ta có nh n xét:ậ
2
2
1 1 3 1 0
1 1 1 1
x
VT VT x
VP VP x
≥ = =
⇒ ⇔ ⇔ =
≤ = − =
Vây, pt có ... nghi m ...ệ
Ví d ụ3: Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
( )
2 3 2 2
.3 3 .3 2 .3 0, 0 1
x x x
m m m m m− + + − = ≠
a. Gi i ph ng trình v i m = 2.ả ươ ớ
b. Xác đ nh m đ ph ng trình có ba nghi m phân bi t.ị ể ươ ệ ệ
Đ t ặ
3
x
t=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
( )
2 3 2 2
. 3 . 2 . 0m t m t m t m− + + − =
( ) ( )
3 2 2
3 1 2 0t t m t m t⇔ + − + + =
Coi m là n, còn t là tham s , ta đ c ph ng trình b c 2 theo m, ta đ c:ẩ ố ượ ươ ậ ượ
( ) ( )
2
2
11
22 0 2
1
mt
tm
tf t mt t m
mt
=
=
⇔
= − + =
=
+
a. V i m = 2, ta đ c:ớ ượ
( ) ( )
3 3
2
11 1
23 log log 2
2 2
2 2 2 0
x
tx
f t t t VN
=
⇔ = ⇔ = = −
= − + =
Vây, v i m = 2 pt có ... nghi m ...ớ ệ
b. Ph ng trình đã cho có ba nghi m phân bi t ươ ệ ệ
⇔
ph ng trình (2) có 2 nghi mươ ệ
phân bi t d ng khác ệ ươ
1
m
và m > 0
2
'
1 0
0
2
00
0 1
01 0
1010
m
S
mm
P
fm
mm
− >
∆ >
>>
⇔ ⇔ ⇔ < <
>
>
≠
− ≠
V y v i 0 < m < 1 ph ng trình có ba nghi m phân bi t.ậ ớ ươ ệ ệ
Ví d ụ4: Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
2 3 1 3
4 2 2 16 0 1
x x x+ +
+ + − =
Đ t ặ
2
x
t=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
4 3
2 4 3
2 8 16 0
4 2 .4 2 0
t t t
t t t
+ + − =
⇔ − − − =
Đ t u = 4, ta đ c:ặ ượ
2 4 3
2 . 2 0u t u t t− − − =
( )
( )
( )
2
2
2
2
142 4 0
14 2
1 5 2 5 1 log 5 1
1 5
x
u t t t tt t
u t t t t t
tx
t
= − +
= −
⇔ ⇔ ⇔ + − =
= + + = +
= − −
⇔ ⇔ = − ⇔ = −
= − +
Vây, pt có ... nghi m ...ệ
Ví d 5: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
9 2 2 .3 2 5 0 1
x x
x x+ − + − =
Đ t ặ
3
x
t=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
( )
2
2 2 2 5 0t x t x+ − + − =
( ) ( )
13 5 2 2
5 2
x
t l x
t x
= −
⇔ ⇔ = −
= −
Ta đoán đ c nghi m x = 1ượ ệ
V trái (2) là m t hàm s đ ng bi nế ộ ố ồ ế
V ph i (2) là m t hàm ngh ch bi nế ả ộ ị ế
V y x = 1 là nghi m duy nh t c a pt (2)ậ ệ ấ ủ
Vây, pt có ... nghi m ...ệ
Ví d ụ6: Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
2
3 3 5 5 1
x x
+ + =
Đ t ặ
3
x
t=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (1) t ng đ ng v i:ươ ươ ớ
( ) ( )
( )
2
2
2
22 2 4
2
5 5
5 5
5 0 0 5
5 2 1 .5 1 0 2
5 5
t t
t t
tt
t t
t t
+ + =
⇔ + = −
− ≥ < ≤
⇔ ⇔
− + + − =
+ = −
Đ t u = 5, pt (2) có d ng:ặ ạ
( )
2 2 4
2 1 1 0u t u t− + + − =
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 2
2
2 1 2 1
5 0
5 1
2
2 1 2 1 5 1 4 0
2
1 17
1 17 1 17
23 log
2 2
1 17
2
x
t t
ut t l
t
t t t t t t
u
t l
x
t
+ − +
=
− − =
= −
⇔ ⇔ ⇔
+ + + = + + + − =
=
− −
=
− + − +
⇔ ⇔ = ⇔ =
− +
=
Vây, pt có ... nghi m ...ệ