Một số kĩ năng giải hệ phương trình - GV. Nguyễn Minh Nhiên

Chia sẻ: BuJin Kuriboy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi đại học những năm gần đây, các em học sinh thường gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình, nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, tài liệu "Một số kĩ năng giải hệ phương trình" này giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải hệ phương trình. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số kĩ năng giải hệ phương trình - GV. Nguyễn Minh Nhiên

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong các đề thi đại học những năm gần đây , ta gặp rất nhiều bài toán về hệ phương trình . Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt , bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải chúng I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ . *Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại x 2 ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x 2 − 4x + 1 ( 1) Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình xy + x + 1 = x 2 ( 2 ) Giải. x2 −1 Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + 1 = thay vào (1) ta được x x2 −1 � x2 −1 � 2 �x + �= 3x − 4x + 1 � ( x − 1) ( 2x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) 2 2 2 x x � x � x =1 � ( x − 1) ( 2x + 2x − x − 1) = ( x − 1) ( 3x − 1) � ( x − 1) ( 2x + 2x − 4x ) = 0 � x = 0 (loại) 3 2 3 2 x = −2 5 Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;1) , (2; − ) 2 *Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn xy + x + y = x 2 − 2y 2 ( 1) Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình x 2y − y x − 1 = 2x − 2y ( 2 ) Giải . Điều kiện : x≥1 ; y≥0 PT (1) � x − xy − 2y − ( x + y ) = 0 � ( x + y ) ( x − 2y ) − ( x + y ) = 0 ( từ điều kiện ta có x+y>0) 2 2 � x − 2y − 1 = 0 � x = 2y + 1 thay vào PT (2) ta được : y 2x + 2y = 2y + 2 � ( y + 1) ( ) 2y − 2 = 0 ( do y �� 0) y=2�x =5 *loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số y 2 = ( 5x + 4 ) ( 4 − x ) ( 1) Ví dụ 3. Giải hệ phương trình y 2 − 5x 2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = 0 ( 2 ) 1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 Giải . Biến đổi PT (2) về dạng y − ( 4x + 8 ) y − 5x + 16x + 16 = 0 2 2 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có ∆ ' = 9x 2 từ đó ta được nghiệm y = 5x + 4 ( 3) y = 4 − x ( 4 ) 4 x=− �y=0 Thay (3) vào (1) ta được : ( 5x + 4 ) = ( 5x + 4 ) ( 4 − x ) 2 5 x =0�y=4 x =4�y=0 Thay (4) vào (1) ta được : ( 4 − x ) = ( 5x + 4 ) ( 4 − x ) 2 x =0� y=4 4 Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , ( − ;0) 5 II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. x 2 + 1 + y ( y + x ) = 4y ( 1) Ví dụ 4. Giải hệ phương trình (x 2 + 1) ( y + x − 2 ) = y ( 2 ) Giải . x2 +1 +y+x = 4 y Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT �x 2 + 1 � � ( y + x − 2) = 1 � � y � x2 +1 a+b=2 x2 +1 = y Đặt a = ,b = y + x − 2 giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ y ab = 1 x+y=3 Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. 3 4xy + 4 ( x 2 + y 2 ) + =7 ( x + y) 2 Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 1 2x + =3 x+y Giải . Điều kiện : x +y ≠0 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 3 3( x + y) + ( x − y) + 2 2 =7 ( x + y) 2 HPT 1 x+ y+ +x−y=3 x+y 1 3a 2 + b 2 = 13 ( 1) Đặt a = x + y + ( a 2 ) ; b = x − y ta được hệ x+y a + b = 3 ( 2 ) 1 x+ y+ =2 �x + y = 1 �x = 1 Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ � x+y �� x − y = 1 �y = 0 x − y =1 III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu x 3 − 5x = y3 − 5y ( 1) Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình x 8 + y 4 = 1 ( 2 ) Giải . 8 1; y 4 1 Từ PT (2) ta có x �� x 1; y 1 Xét hàm số f ( t ) = t − 5t; t �[ −1;1] có f ' ( t ) = 3t − 5 < 0; ∀t �[ −1;1] do đó f(t) nghịch biến trên 3 2 khoảng (1;1) hay PT (1) � x = y thay vào PT (2) ta được PT : x 8 + x 4 − 1 = 0 Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được a = −1 + 5 � y = x = �4 −1 + 5 2 2 *loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2) x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình y + y 2 − 2y + 2 = 3x −1 + 1 Giải . a + a 2 + 1 = 3b ( 1) Đặt a = x − 1; b = y − 1 ta được hệ b + b 2 + 1 = 3a ( 2 ) Trừ vế với vế 2 PT ta được : a + a 2 + 1 + 3a = b + b 2 + 1 + 3b (3) t2 +1 + t Xét hàm số f ( t ) = t + t + 1 + 3 ;f ' ( t ) = 2 t + 3t ln 3 t +1 2 Vì t 2 + 1 > t 2 �− t � t 2 + 1 + t > 0 � f ' ( t ) > 0, ∀t do đó hàm số f(t) đồng biến trên R Nên PT (3) � a = b thay vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4) 3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 ( Theo nhận xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 nên PT (4) � ln a + a + 1 − a ln 3 = 0 ( lấy ln hai vế ) 2 ) ( ) Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + 1 − a ln 3; g' ( a ) = 2 a2 +1 − ln 3 < 1 − ln 3 < 0, ∀a R 1 hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0 Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1 IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản 2xy x+ = x2 + y 3 x − 2x + 9 2 Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình 2xy y+ = y2 + x 3 y − 2y + 9 2 Giải. 2xy 2xy Cộng vế với vế hai PT ta được + = x 2 + y 2 (1) 3 x − 2x + 9 2 3 y − 2y + 9 2 2xy 2 xy 2 xy 9 +−3 =( x+− 1) 2 Ta có : x =2x 3 2 � � 8 2 xy 3 x 2 − 2x + 9 3 x 2 − 2x + 9 2 2xy Tương tự xy mà theo bất đẳng thức Côsi x 2 + y 2 2 xy nên VT(1)≤VP(1) x − 2x + 9 3 2 x = y = 1 Dấu bằng xảy ra khi thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1) x=y=0 y = − x 3 + 3x + 4 Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình x = 2y3 − 6y − 2 Giải. �y − 2 = − ( x − 3x − 2 ) �y − 2 = − ( x + 1) ( x − 2 ) ( 1) 3 2 HPT � � �� x − 2 = 2 ( y − 3y − 2 ) �x − 2 = 2 ( y + 1) ( y − 2 ) ( 2 ) 3 2 Nếu x>2 từ (1) suy ra y2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT : 0976566882 xy − 3x − 2y = 16 x 3 ( 2 + 3y ) = 8 1) � 2 2) � 3 x + y 2 − 2x − 4y = 33 x ( y − 2) = 6 x 2 + 3y = 9 2 ( x 3 + 2x − y − 1) = x 2 ( y + 1) 3) 4) y 4 + 4 ( 2x − 3) y 2 − 48y − 48x + 155 = 0 y3 + 4x + 1 + ln ( y 2 + 2x ) = 0 � x + x + 2 + x + 4 = y −1 + y − 3 + y − 5 �x + y = 2 3 2 5) � 6) � 2 x + y + x 2 + y 2 = 44 x + xy + y 2 − y = 0 y e x = 2007 − y2 − 1 x 2 y 2 − 2x + y 2 = 0 7) 8) x 2x 3 + 3x 2 + 6y − 12x + 13 = 0 e = 2007 − y x2 −1 5