Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu - Vũ Văn Bắc

Chia sẻ: Trần Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu" đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp trung học cơ sở cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đó là các phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu - Vũ Văn Bắc

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU Thực hiện Vũ Văn Bắc Website : http://parksungbuyl.wordpress.com/ TÀI LIỆU CÓ THAM KHẢO TẠP CHÍ TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ Trong các số báo trên THTT có nghiên cứu khá sâu sắc về các phương trình vô tỉ. Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một lớp phương trình cũng rất quan trọng, thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS cũng như các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đó là các phương trình dạng phân thức có chứa ẩn ở mẫu. Chúng ta sẽ cùng giải quyết những khó khăn của các bạn học sinh khi gặp loại phương trình này thông qua các phương pháp giải sau. I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức Thí dụ 1. Giải phương trình 1 1 1 3 2  2  2  (1) x  5 x  4 x  11x  28 x  17 x  70 4 x  2 Lời giải  1 Điều kiện: x   10;7;4;1;  (*)  2 1 1 1 3 (1)     ( x  1)( x  4) ( x  4)( x  7) ( x  7)( x  10) 4 x  2 1 1 1  1 1 1  1 1 1  3           3  x  1 x  4  3  x  4 x  7  3  x  7 x  10  4 x  2 1 1 1  3      x 2  7 x  12  0  x  3; x  4 3  x  1 x  10  4 x  2 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm duy nhất x  3 . Thí dụ 2. Giải phương trình x 1 x  2 x  3 x  4     4 ( 2) x 1 x  2 x  3 x  4 Lời giải Điều kiện: x   3;2;1;4 (*) 2 4 6 8 ( 2)  1  1 1 1 4 x 1 x2 x3 x4  1 4   2 3  5x  8 5 x  12     0  0  x 1 x  4   x  2 x  3  ( x  1)( x  4) ( x  2)( x  3) 16 1 69   (5 x  8)( x  2)( x  3)  (5 x  12)( x  1)( x  4)  0  x 2  x   0  x    1  5 2 5  1 69  So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x    1  . 2 5  Thí dụ 3. Giải phương trình 1 1 1 1    (3) 2008 x  1 2009 x  2 2010 x  4 2011x  5 1
Lời giải  1 2 4 5  Điều kiện: x   ; ; ;  (*)  2008 2009 2010 2011  1 1 1 1 4019 x  6 4019 x  6 (3)       2008 x  1 2011x  5 2009 x  2 2010 x  4 (2008 x  1)(2011x  5) (2009 x  2)(2010 x  4)  1 1   4019 x  6     0  (2008 x  1)(2011x  5) (2009 x  2)(2010 x  4)  4019 x  6  0  (2008 x  1)(2011x  5)  (2009 x  2)(2010 x  4)  0  6 4019 x  6  x   4019  2  2 x  5 x  3  0  x  1; x   3  2 6 3 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x   ; x  1; x   4019 2 2. Đưa về phương trình bậc cao giải được Thí dụ 4. Giải phương trình 2x 13x 2  2  6 ( 4) 3 x  5 x  2 3x  x  2 Lời giải  2 Điều kiện: x  1;   3 (4)  2 x(3x  x  2)  13x (3 x 2  5 x  2)  6(3 x 2  5 x  2)(3 x 2  x  2) 2  54 x 4  117 x 3  105 x 2  78 x  24  0 1 4  (2 x  1)(3 x  4)(9 x 2  3 x  6)  0  x  ;x  2 3 1 4 So sánh với điều kiện (*) thì nghiệm của phương trình là x  ; x  . 2 3 Thí dụ 5. Giải phương trình 1 1 1   (5) x 1 x 1 2 x Lời giải Điều kiện: x  0; x  1 (*) 2 1 (5)  2  x 1 2 x +) Nếu 0  x  1 thì vế trái âm còn vế phải luôn dương nên phương trình vô nghiệm +) Nếu x  1 thì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình  2 2    x 4  2 x 2  16 x  1  0  x 2  3  8 x  1  0  x 2  2 2 x  3  2 2 x 2  2 2 x  3  2 2  0  x  2  2 2  1 ( x  1) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  2  2 2  1 . 2
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1. Đặt một ẩn phụ Thí dụ 6. Giải phương trình x 4  3x 2  1  3 (6) x3  x2  x Lời giải  1 5  Điều kiện: x  0;  (*)  2  x 4  3x 2  1 1 x2  2  3 2 1 t2  5 t  1 ( 6)  3 x 2 3 x  3 đặt t  x  ta được  3  t 2  3t  2  0   x x x 1 x t 1 t  2 2 x  1 x x 1 1 5 +) t  1  x   1  x2  x 1  0  x  x 2 1 +) t  2  x   2  x 2  2 x  1  0  x  1  2 x 1 5 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x  ; x  1 2 . 2 Thí dụ 7. Giải phương trình 2 13 6 2  2  (7 ) 3 x  4 x  1 3x  2 x  1 x Lời giải  1 Điều kiện: x  0;1;  (*)  3 2 13 1 (7 )    6 đặt 3 x   4  t ta được phương trình 1 1 x 3x  4  3x  2  x x 2 13 1   6  2t 2  7t  4  0  t  ; t  4 t t 6 2 1 4 1 +) t   6 x 2  11x  4  0  x  ; x  2 3 2 2 +) t  4  3 x  x  2  0  x 4 1 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm là x  ; x  . 3 2 Thí dụ 8. Giải phương trình 1 1 2   15 (8) x ( x  1) 2 Lời giải Điều kiện: x  1; x  0 (*) 2 ( x  1) 2  x 2 1 2x 2  2x  1  2 (8)  2 2  15  2 2  2 2  15  0      15  0 x ( x  1) x ( x  1) x ( x  1)  x ( x  1)  x ( x  1) 3
1 Đặt  t ta được phương trình t 2  2t  15  0  t  3; t  5 x ( x  1) 1  3  21 +) t  3   3  3x 2  3x  1  0  x  x( x  1) 6 1 5 5 +) t  5   5  5 x 2  5 x  1  0  x  x ( x  1) 10  3  21 5 5 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có bốn nghiệm x  ;x  . 6 10 2. Đặt hai ẩn phụ Thí dụ 9. Giải phương trình 2 2  x 1  x 1  x 2     12  (9)  x 2 x3  x 3 Lời giải Điều kiện: x  2; x  3 (*) x 1 x2 Đặt u  ;v  ta được u 2  uv  12v 2  (u  3v )(u  4v )  0  u  3v; u  4v x2 x3 x 1 x2 8  46 +) u  3v  3  x 2  4 x  3  3 x 2  12 x  12  2 x 2  16 x  9  0  x  x2 x3 2 x 1 x2 +) u  4v   4  x 2  4 x  3  4 x 2  16 x  16  5 x 2  12 x  19  0  x x2 x3 8  46 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  . 2 III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Thí dụ 10. Giải phương trình 3 4 1 2  2  2 (10) x  x  3 x  3x  9 2 x Lời giải Điều kiện: x  0 (*) 4 1 3 (10)  2  2  2 x  3x  9 2 x x  x3 2 2 Để ý rằng x  3x  9  0;2 x  0, x  0 . Do đó theo bất đẳng thức AM – GM thì 4 1  1 1 1  9 3 2  2  2 2  2  2   2. 2  2 x  3x  9 2 x  x  3 x  9 x  3x  9 4 x  6 x  6 x  18 x  x  3 1  13 Vì vậy (10)  x 2  3 x  9  4 x 2  x 2  x  3  0  x  2 1  13 So sánh với điều kiện (*) thì phương trình có nghiệm x  . 2 Chúng tôi đã cố gắng chia thành ba phương pháp chính phù hợp với các bạn THCS. Hy vọng qua bài viết này chúng ta có cái nhìn công bằng hơn cho những phương trình có chứa ẩn ở mẫu. Rất mong nhận được sự bổ sung thêm của các bạn để phương trình dạng này được phong phú hơn. Cuối cùng, xin mời các bạn vận dụng các phương pháp đã nêu để giải một số phương trình sau 1 1 1 1 1. 2  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 4
x 1 x  2 x  4 x  5 2.    0 x2 x3 x5 x6 1 1 1 1 3.    (T3/348 - THTT) 4 x  2006 5 x  2004 15 x  2007 6 x  2005 x2 4.  3x 2  6 x  3 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN.2007) ( x  2) 2 25 x 2 5. x 2   11 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong, T.P.Hồ Chí Minh.2007) ( x  5) 2 x 2 6125 210 12 x 6.  2   0 (T2/247 – THTT) 5 x x 5 x3  x 7. 2 2 ( x  x  1) 2 4x 5x 3 8. 2  2  x  x  3 x  5x  3 2 3 2 x 3x 9. x 3  3   2  0 (Tuyển sinh lớp 10 chuyên toán ĐHSPHN. 2000) ( x  1) x 1 2 2  x 2  x  2 x2  4 10. 10     11 0  x 1   x 1  x2 1 1 18 18 11. 2  2  2 x  2 x  3 x  2x  2 x  2x  1 4 x 2  16 3 5 7 12. 2  2  2  2 (Thi HSG toán lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi. 2007) x 6 x 1 x  3 x  5 2x 4  x 2  2x  1 13.  3  x (Bài 3(69) – TTT2) x3  1 1 1 1 14. 2  2  2 (Bài 2(72) – TTT2) 5x x  9 x  36 x  4 x  16 ( x  1) 4 1 15. 2 2  ( x 2  3) 4  2  3x 2  2 x  5 ( x  3) ( x  2) x3  m3 x3  n3 x3  p3 3 3 x  m x  n x  p 16.     . . .  0 (HSGQG.THPT. 1975) ( x  m) 3 ( x  n) 3 ( x  p) 3 2 2 x  m x  n x  p 5