intTypePromotion=3

Bài giảng Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Thuỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

0
405
lượt xem
168
download

Bài giảng Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán THCS thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn nhỏ trong nước và ngoài nước. Tuy nhiên lại không có nhiều tài liệu viết riêng về nội dung này, do vậy để phục vụ giảng dạy của bản thân, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học đội tuyển học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh thi vào các trường chuyên lớp chọn nên tôi đ; viết chuyên đề nay. Trong chuyên đề này tôi chỉ...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

  1. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ----------------------------------------------------------- A. Më ®Çu I. Lý do chän chuyªn ®Ò: Trong ch−¬ng tr×nh to¸n THCS th× ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn vÉn lu«n l mét ®Ò t i hay v khã ®èi víi häc sinh. C¸c b i to¸n nghiÖm nguyªn th−êng xuyªn cã mÆt t¹i c¸c k× thi lín nhá trong n−íc v ngo i n−íc. Tuy nhiªn l¹i kh«ng cã nhiÒu t i liÖu viÕt riªng vÒ néi dung n y, do vËy ®Ó phôc vô gi¶ng d¹y cña b¶n th©n, ®Æc biÖt l c«ng t¸c båi d−ìng häc ®éi tuyÓn häc sinh giái v båi d−ìng häc sinh thi v o c¸c tr−êng chuyªn líp chän nªn t«i ® viÕt chuyªn ®Ò n y. Trong chuyªn ®Ò n y t«i chØ míi ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò nghiÖm nguyªn ( cô thÓ l c¸c d¹ng v ph−¬ng ph¸p gi¶i) chø kh«ng ®i s©u v× vèn hiÓu biÕt cßn cã h¹n. II. Ph¹m vi vµ môc ®Ých cña chuyªn ®Ò: 1. Ph¹m vi cña chuyªn ®Ò: - Áp dông víi ®èi t−îng häc sinh kh¸- giái c¸c khèi 8- 9 2. Môc ®Ých chuyªn ®Ò: - Trao ®æi víi ®ång nghiÖp v häc sinh mét sè ph−¬ng ph¸p còng nh− l mét sè b i to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong ch−¬ng tr×nh båi d−ìng häc sinh kh¸- giái c¸c líp 8, 9 - Gióp häc sinh biÕt vËn dông c¸c ph−¬ng ph¸p trªn mét c¸ch linh ho¹t trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c b i to¸n vÒ nghiÖm nguyªn tõ dÔ ®Õn khã. ------------------------------------------------------------ 2 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  2. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn B- Néi dung. Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông tÝnh chia hÕt. Các tính ch t thư ng dùng : – N u a ⋮ m và a ± b ⋮ m thì b ⋮ m. – N u a ⋮ b, b ⋮ c thì a ⋮ c. – N u ab⋮ c mà ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ c. – N u a⋮ m, b⋮ n thì ab⋮ mn. – N u a⋮ b, a⋮ c v i ƯCLN(b , c) = 1 thì a⋮ bc. – Trong m s nguyên liên tiÕp, bao giê cũng t n t i m t s là b i c a m. 1. Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + by =c. vÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2x + 25y = 8 (1) Gi¶i: Cã thÓ dÔ d ng thÊy r»ng y ch½n. §Æt y =2t ph−¬ng tr×nh (1) trë th nh: x + 25t = 4 Tõ ®ã ta cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.  x = 4 − 25t   y = 2t t ∈ Z  Chó ý: ta cßn cã c¸ch thø hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. §ã l ph−¬ng ph¸p t×m nghiÖm riªng ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Ta dùa v o ®Þnh lý sau: NÕu ph−¬ng tr×nh ax + by =c. víi (a;b) = 1 cã nghiÖm l ( x0; y0) th× mäi nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh nhËn tõ c«ng thøc.  x = x0 + bt   y = y0 − at t ∈ Z  §Þnh lý n y chøng minh kh«ng khã ( b»ng c¸ch thÕ trùc tiÕp v o ph−¬ng tr×nh) dùa v o ®Þnh lý n y ta chØ cÇn t×m mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh ax + by =c. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cã hÖ sè a,b,c nhá th× viÖc t×m nghiÖm riªng kh¸ ®¬n gi¶n xong víi ph−¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè a,b,c lín th× kh«ng dÔ d ng chót n o, do ®ã ta ph¶i dïng ®Õn thuËt to¸n ¥clÝt. 3 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  3. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2.§−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè: VÝ dô2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 5 y + 3xy = 8 (2) Gi¶i: (2) ⇔ x ( 2 + 3 y ) + 5 y = 8 ⇔ 3  x ( 2 + 3 y ) + 5 y  = 24   ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y = 24 ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 15 y + 10 = 34 ⇔ 3 x ( 2 + 3 y ) + 5(2 + 3 y ) = 34 ⇔ ( 2 + 3 y ) (3 x + 5) = 34 V× 34=17.2=34.1=(-17).(-2) = (-1).(-34) nªn ta cã b¶ng kÕt qu¶: 3x + 5 -34 -1 2 17 2 + 3y -1 -34 17 2 x -13 -2 -1 4 y -1 -12 5 0 VÝ dô3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x + 2 y + 3xy − 2 x − y = 6 (3) 2 2 Gi¶i: ( 3) ⇔ x + x ( 3 y − 2 ) + 2 y − y + a = 6 + a ( a l mét sè ch−a biÕt ®−îc x¸c ®Þnh sau). 2 2 XÐt ph−¬ng tr×nh; x 2 + ( 3 y − 2 ) .x + 2 y 2 − y + a = 0 Cã ∆ = ( 3 y − 2 ) − 4 ( 2 y 2 − y + a ) = y 2 − 8 y + 4 − 4a 2 Chän a = -3 Ta cã ∆ = y 2 − 8 y + 16 = ( y − 4 ) 2 ⇒ x1 = − y − 1; x2 = −2 y + 3 tõ ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh −íc sè: ( x + y + 1) ( x + 2 y − 3) = 3 Suy ra kÕt qu¶: ( x; y ) ∈ {( −6; 6 ) , ( 0; 2 ) , ( −4; 2 ) , ( −10;6 )} 3.T¸ch gi¸ trÞ nguyªn. VÝ dô 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: xy − x − y = 2 (4) Gi¶i: ( 4 ) ⇔ x ( y − 1) = y + 2 Ta cã y = 1 kh«ng ph¶i l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh y+2 ⇒ y − 1 ∈¦ (3) = {−3; −1;1;3} 3 Víi y ≠ 1 ta cã: x = ⇔ x = 1+ y −1 y −1 ⇔ y ∈ {−2; 0; 2; 4} ⇒ ( x; y ) ∈ {( 0; −2 ) , ( −2;0 ) , ( 4; 2 ) , ( 2; 4 )} 4 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  4. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 2: Ph−¬ng ph¸p lùa chän Modulo ( hay cßn gäi l xÐt sè d− tõng vÕ) Tr−íc tiªn ta cã c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Mét sè chÝnh ph−¬ng khi chia cho 3 d− 0;1. chia cho 4 d− 0;1. chia cho 8 d− 0;1;4. vv.. 1. XÐt sè d− hai vÕ. VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh: 9 x + 2 = y 2 + y (*) Gi¶i: Ta cã: VT = 9 x + 2 ≡ 2 ( mod 3) ⇒ VP = y + y ≡ 2 ( mod 3) ⇔ y ( y + 1) ≡ 2 ( mod 3) 2 ⇒ y ≡ 1( mod 3) ( v× nÕu y=3k hoÆc y = 3k+2 th× VP ≡ 0 ( mod 3) ). ⇒ y = 3k + 1 (trong ®ã k ∈ Z ) thay v o pt(*) ta cã : 9 x + 2 = ( 3k + 1) + ( 3k + 1) ⇔ 9 x = 9k 2 + 9k ⇔ x = k 2 + k 2 x = k 2 + k  VËy  y = 3k + 1 k ∈ Z  VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau: (2 )( )( )( ) + 1 2 x + 2 2 x + 3 2 x + 4 − 5 y = 11879 x Gi¶i: Ta cã 2 ; 2 + 1; 2 + 2; 2 + 3; 2 + 4 l 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp 2 x ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 )⋮ 5 x x x x x MÆt kh¸c ¦CLN( 2 x ;5) = 1 nªn ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 )⋮ 5 Víi y ≥ 1 th× VT = ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 5 y ⋮ 5 cßn VP = 11879 ≡ 4 ( mod 5) suy ra ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm. Víi y =0 ta cã : (2 + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) − 50 = 11879 ⇔ ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) = 11880 x ⇔ ( 2 x + 1) ( 2 x + 2 ) ( 2 x + 3) ( 2 x + 4 ) = 9.10.11.12 ⇒ 2 x + 1 = 9 ⇔ 2 x = 8 ⇔ 2 x = 23 ⇔ x = 3 VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm duy nhÊt ( x; y ) = ( 3;0 ) 3x + 1 = ( y + 1) 2 VÝ dô 7: T×m x, y nguyªn d−¬ng tho¶ m n : Gi¶i: 3 + 1 = ( y + 1) ⇔ 3 = y ( y + 2 ) (**) 2 x x Ta cã VT = 3 ≡ 1( mod 2 ) ⇒ VP = y ( y + 2 ) ≡ 1( mod 2 ) x Suy ra y l sè lÎ m y v y+2 l hai sè lÎ liªn tiÕp  y = 3m  Tõ pt(**) ⇒  y + 2 = 3n m + n = x  5 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  5. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ta cã y +2 > y ⇒ n > m ≥ 1 NÕu m > 1 th× y v y+ 2 ®Òu chia hÕt cho 3 ( v« lÝ v× ( y; y+2) =2 ) VËy m =1 ⇒ n = 0 ⇒ x=1 ⇒ y =1 2.Sö dông sè d− ®Ó chØ ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. VÝ dô 8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 19 x + 5 y + 1890 = 19754 + 2013 30 Gi¶i: Ta cã x ,y nguyªn d−¬ng ⇒ 5 ⋮ 5; 1890⋮ 5 ⇒ VT = 19 x + 5 y + 1890 ≡ 19 x ( mod 5 ) y MÆt kh¸c: 19 ≡ −1( mod 5) ⇒ 19 x ≡ (−1) x ( mod 5) NÕu x ch¨n th× 19 x ≡ 1( mod 5 ) ; nÕu x lÎ th× 19 x ≡ −1( mod 5) ≡ 4 ( mod 5 ) ⇒ VT ≡ 1; 4 ( mod 5 ) cßn VP ≡ 3 ( mod 5 ) Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. VÝ dô 9: T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y biÕt: x 2 + x − 1 = 32 y +1 Gi¶i: Ta cã: VP = 3 ≡ 0 ( mod 3) (*) 2 y +1 NÕu x =3k ( k ∈ N * ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 2 ( mod 3) NÕu x =3k +1 ( k ∈ N ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1( mod 3) NÕu x =3k +2 ( k ∈ N ) th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1( mod 3) VËy víi ∀x ∈ Z + th× VT = x 2 + x − 1 ≡ 1; 2 ( mod 3) (**) Tõ (*) v (**) suy ra kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y tho¶ m n b i to¸n. Chó ý: NhiÒu b i to¸n thi v« ®Þch c¸c n−íc ®«i khi ph¶i xÐt ®Õn Modulo kh¸ lín VD ( IMO n¨m 1999). VÝ dô 10: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: m2 = n5 − 4 Gi¶i: m ≡ 0;1;3; 4;5;9 ( mod11) cßn n − 4 ≡ 6; 7;8 ( mod11) suy ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2 5 Chó ý: §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã sù tham gia cña c¸c sè lËp ph−¬ng th× Modulo th−êng dïng l Mod9 V× x3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) VÝ dô 11: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x3 + y 3 + z 3 = 2011 ( 8) Gi¶i: Dùa v o nhËn xÐt trªn: Ta cã x ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) ; y 3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) z 3 ≡ 0;1;8 ( mod 9 ) 3 ⇒ VT = x3 + y 3 + z 3 ≡ 0;1; 2;3; 6; 7;8 ( mod 9 ) Cßn VP = 2011 ≡ 4 ( mod 9 ) nªn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm 6 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  6. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 3: Dïng bÊt ®¼ng thøc. 1. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh m c¸c biÕn cã vai trß nh− nhau th× ng−êi ta th−êng dïng ph−¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c biÕn. VÝ dô 12: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: x + y + z = 3 xyz Gi¶i. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ 3 xyz = x + y + z ≤ 3 z ⇒ xy ≤ 1 ⇒ x = 1; y = 1 ⇒ z = 1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l (x;y;z)= ( 1;1;1). Chó ý: §èi víi ph−¬ng tr×nh nghÞch ®¶o c¸c biÕn ta còng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p n y ( nÕu vai trß c¸c biÕn còng nh− nhau). Ta cã c¸ch gi¶i kh¸c cña vÝ dô 9: 111 ++ =3 Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho xyz ta cã: xy zx yz Gi¶i: 111 3 ++ = 3 ≤ 2 ⇒ x2 ≤ 1 ⇒ x = 1 Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ xy zx yz x Suy ra: y = 1; z =1. 111 VÝ dô 13: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: + + =1 xyz Gi¶i: 1 1 1 3 Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ + + = 1 ≤ ⇒ x ≤ 3 x y z x LÇn l−ît thö x = 1 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. 111 1112 + + =1⇔ + = ≤ ⇒ y ≤ 4 XÐt x = 2 ta cã 2yz yz2y MÆt kh¸c y ≥ x = 2 ⇒ y ∈ {2;3; 4} ta thö lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y: y= 2 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. y=3 ⇒ z=6 y=4 ⇒ z=4 111 1122 + + =1⇔ + = ≤ ⇒ y ≤ 3 xÐt x =3ta cã: 3yz yz3y MÆt kh¸c y ≥ x = 3 ⇒ y = 3 ⇒ z = 3 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l : ( x; y; z ) ∈ {( 2;3;6 ) , ( 2; 4; 4 ) , ( 3;3;3)} 7 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  7. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô 14: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: x! + y! = (x+y)! (*) Gi¶i: V× vai trß cña x, y nh− nhau nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y Ta cã: (x+y)! =x! + y! ≤ 2.y! ⇒ x ≤ 1 v× nÕu x > 1 th× 2.y! ≥ (y+2)! 2.y! ≥ y! (y+1)(y+2) ⇔ 2 ≥ ( y + 1)( y + 2) ( v« lÝ v× y ≥ 1) VËy x = 1 Thay v o PT (*) ta cã 1+y! = (y+1)! ⇔ 1 + y ! = y !( y + 1) ⇔ y. y ! = 1 ⇒ y = 1 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = y = 1 2.¸p dông bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn. Ví dô 15 Tìm các s nguyên dương x, y tho mãn phương trình : (x 2 + 1)(x 2 + y 2 ) = 4x 2 y Gi i : Áp d ng b t ñ ng th c Cô–si ta có : x 2 + 1 ≥ 2x , d u b ng xÈy ra khi x = 1. x 2 + y 2 ≥ 2xy , d u b ng xÈy ra khi x = y. Vì x, y nguyên dương nên nhân các b t ñ ng th c trên v theo v ta ñư c : (x 2 + 1)(x 2 + y 2 ) ≥ 4x 2 y , d u b ng có khi và ch khi x = y = 1. V y phương trình có nghi m duy nh t x = y = 1. VÝ dô 16: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: ( x + y + 1) = 3 ( x 2 + y 2 + 1) 2 Gi¶i: ¸p dông B§T Bunhiacopski ta cã ( x + y + 1) ≤ (1 + 1 + 1) ( x 2 + y 2 + 1) 2 111 = = = 1 hay x = y = 1 DÊu b»ng xÈy ra khi xy1 VËy Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = y = 1 VÝ dô 17: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: ( ) 3 x 6 + z 3 − 15 x 2 z = 3 x 2 y 2 z − y 2 + 5 Gi¶i: ( ) 3 x 6 + z 3 − 15 x 2 z = 3x 2 y 2 z − y 2 + 5 ( ) +(y ) ( ) 3 3 ⇔ x2 + 5 + z 3 = 3x 2 z y 2 + 5 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 3 sè ta cã : ( x 2 ) + ( y 2 + 5) + z 3 ≥ 3x 2 z ( y 2 + 5) DÊu = x©y ra 3 3 khi x 2 = y 2 + 5 = z Tõ ph−¬ng tr×nh x 2 = y 2 + 5 ⇒ ( x − y ) ( x + y ) = 5 ⇒ x = 3; y = 2 ⇒ z = 9 V©y nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l ( x;y;z) = ( 3;2;9). 8 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  8. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ghi chó: ViÖc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc v o gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn rÊt Ýt dïng v× Èn ý dïng bÊt ®¼ng thøc rÊt dÔ bÞ lé . Tuy nhiªn còng cã mét v i tr−êng hîp dïng bÊt ®¼ng thøc kh¸ hay nh− vÝ dô sau: VÝ dô 18.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 3( x 4 + y 4 + x 2 + y 2 + 2) = 2( x 2 − x + 1)( y 2 − y + 1) Gi¶i: ( ) ( x + 1) Ta cã ≥ 0 ⇔ 2 x + 4x + 2 ≥ 0 ⇔ 3 x2 + x + 1 ≥ x2 − x + 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 12 2 2 x4 + x2 + 1 = x2 + 1 − x2 = x2 + x + 1 x2 − x + 1 ≥ x − x +1 Do (*) 3 ( ) 12 2 y4 + y2 + 1 ≥ y − y +1 T−¬ng tù ta còng cã (**) 3 Céng theo vÕ cña (*) v (**) ta cã ( ) ( ) 12 1 2 2 x4 + y 4 + x2 + y 2 + 2 ≥ x − x +1 + y2 − y +1 3 3 ( )( ) ( )( ) 1 1 ⇔ x 4 + y 4 + x 2 + y 2 + 2 ≥  x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1  ≥ .2 x 2 − x + 1 y 2 − y + 1 2 2  3 3  ( + 2 ) ≥ 2 ( x − x + 1)( y ) ⇔ 3 x4 + y 4 + x2 + y 2 − y +1 2 2 DÊu “=” xÈy ra khi x = y= 1 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l x = y= 1. VÝ dô 18.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau víi x, y, z l c¸c sè ®«i mét kh¸c x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) 2 nhau. Gi¶i: x3 + y3 + z 3  x + y + z  3 ≥ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc    3 3 (x + y + z) 3 ⇒ x + y + z = (x + y + z) 2 ≥ ⇒ x+ y+z ≤9 3 3 3 9 V× x, y, z ®«i mé kh¸c nhau suy ra x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6 ⇒ x + y + z ∈ {6; 7;8} LÇn l−ît thö c¸c gi¸ trÞ cña x + y + z ta t×m ®−îc (x;y;z)= (1;2;3) v c¸c ho¸n vÞ cña nã. 9 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  9. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 3. ¸p dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña tõng vÕ: Ta chØ ra mét hoÆc mét v i gi¸ trÞ cña biÕn tho¶ m n ph−¬ng tr×nh råi chøng minh ®ã l nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 19: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 3x + 4 x = 5 x Gi¶i: x x Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho 5x ta cã:   +   = 1 3 4   5 5 Thö víi x = 1 ta thÊy kh«ng ph¶i l nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. Víi x = 2 ta cã VT =VP = 1 tho¶ m n b i to¸n. x 2 x 2 x x 2 2 Víi x ≥ 3 ⇒   <   v   <   suy ra   +   <   +   = 1 3 3 4 4 3 4 3 4         5 5 5 5 5  5 5  5 VËy Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. ( 3) + ( 4) = ( 5) x x x Tõ vÝ dô 19: suy ra c¸ch l m b i tËp sau: T×m sè tù nhiªn x sao cho §èi víi ph−¬ng tr×nh trªn ta cßn cã b i to¸n tæng qu¸t h¬n. T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x; y; z tho¶ m n 3x + 4 y = 5z . ®¸p sè: x = y = z = 2 nh−ng c¸ch gi¶i trªn v« t¸c dông víi b i n y. (§Ógi¶i b i n y th× h÷u hiÖu nhÊt l xÐt Modulo). 4. Dïng ®iÒu kiÖn ∆ ≥ 0 hoÆc ∆ ' ≥ 0 ®Ó ph−¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm. VÝ dô 20: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + 2 y 2 = 2 xy + 2 x + 3 y Gi¶i: x + 2 y = 2 xy + 2 x + 3 y ⇔ x − 2 x ( y + 1) + 2 y − 3 y = 0 ta 2 2 2 2 5 − 29 5 + 29 cã: ∆ ' = ( y + 1) − ( 2 y 2 − 3 y ) = − y 2 + 5 y + 1 ≥ 0 ⇔ ≤ y≤ 2 2 2 V× y nguyªn nªn y ∈ {0;1; 2;3; 4;5} Thay lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y v o ph−¬ng tr×nh v t×m x t−¬ng øng ta ®−îc: ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( 2; 0 )} NhËn xÐt:Nãi chung ph−¬ng ph¸p n y ®−îc dïng khi f(x ; y) cã d¹ng tam thøc bËc hai f(z) = az2 + bz + c trong ®ã a 0 th× dïng ph−¬ng ph¸p ® nãi trong vÝ dô 3 ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè mét c¸ch nhanh chãng. 10 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  10. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 4:Ph−¬ng ph¸p chÆn hay cßn gäi l ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸. Chñ yÕu dùa v o hai nhËn xÐt sau: • Kh«ng tån t¹i n ∈ Z tháa m·n a 2 < n 2 < ( a + 1) víi a l mét sè nguyªn. 2 • NÕu a 2 < n 2 < ( a + 2 ) víi a; n ∈ Z th× n = a + 1. 2 Ta cã vÝ dô sau: VÝ dô 21: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 4 + x 2 + 1 = y 2 Gi¶i: XÐt hiÖu ( x 2 + 1) − y 2 = x 2 ≥ 0 ⇒ ( x 2 + 1) ≥ y 2 2 2 XÐt hiÖu y 2 − x 4 = x 2 + 1 > 0 ⇒ y 2 > x 4 Suy ra: ( x 2 ) < y 2 ≤ ( x 2 + 1) ⇒ y 2 = ( x 2 + 1) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã: 2 2 2 x2 =0 ⇔ x = 0 NhËn xÐt trªn cã thÓ më réng víi sè lËp ph−¬ng ta cã vÝ dô sau: VÝ dô 22: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x3 − y 3 = 2 y 2 + 3 y + 1 Gi¶i: B»ng c¸ch biªn ®æi nh− vÝ dô trªn ta cã: ( y − 1) < x3 ≤ ( y + 1) ⇒ x = y; x = y + 1. 3 3 LÇn l−ît xÐt c¸c tr−êng hîp x = y v x = y +1 ta t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: ( x; y ) ∈ {( −1; −1) ; (1; 0 )} . Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph−¬ng. Các tính ch t thưêng dùng : – S chính phương không t n cùng b ng 2, 3, 7, 8. – S chính phương chia h t cho s nguyên t p thì chia h t cho p2 . – S chính phương khi chia cho 3, cho 4 ch có th dư 0 ho c 1. – S chính phương chia cho 5, cho 8 thì s dư ch có th là 0, 1 ho c 4. – S chính phương l chia cho 4, 8 thì s dư ñ u là 1. – L p phương c a mét s nguyên chia cho 9 ch có th dư 0, 1 ho c 8. … 11 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  11. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn D¹ng 1: sö dông mÖnh ®Ò 1 sau: x = k 2  víi x, y, z nguyªn v xy = z2 víi (x;y) = 1 th×  y = t 2 voi k , t ∈ Z kt = z  ThËt vËy ta chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng: Gi¶ sö x, y kh«ng l sè chÝnh ph−¬ng nªn trong ph©n tÝch th nh sè nguyªn tè cña x hoÆc y tån t¹i mét sè chøa Ýt nhÊt mét sè nguyªn tè p víi sè mò lÎ.( sè p víi sè mò lÎ tr¸i víi ®iÒu kiÖn z2 l sè chÝnh ph−¬ng) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. VÝ dô 23: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x 4 + 3x 2 + 1 − y 2 = 0 Gi¶i: ( )( ) 2 x 4 + 3x 2 + 1 − y 2 = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = y 2 Ta cã: ( 2 x 2 + 1; x 2 + 1) = 1  x2 + 1 = t 2 Suy ra:  2 Tõ ph−¬ng tr×nh x 2 + 1 = t 2 ⇔ ( x − t ) ( x + t ) = −1 ⇒ x = 0 ⇒ y = 1  2 x + 1 = z 2  x = 0 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l :  y =1 D¹ng 2: sö dông mÖnh ®Ò 2 sau: NÕu n; t l c¸c sè nguyªn tho¶ m n n( n+1) = t2 th× hoÆc n = 0 hoÆc n+1 =0. Chøng minh: Gi¶ sö n ≠ 0; n + 1 ≠ 0 ⇒ t ≠ 0 VËy n 2 + n = t 2 ⇔ 4n 2 + 4n =4t 2 ⇔ ( 2n + 1) =4t 2 + 1 ⇔ ( 2n + 1) - 4t 2 =1 ⇔ ( 2n + 1 − 2t ) ( 2n + 1 + 2t ) = 1 2 2 V× n; t l c¸c sè nguyªn nªn tõ ph−¬ng tr×nh −íc sè trªn suy ra n=0 hoÆc n =-1 ⇒ ( Dpcm ) ¸p dông mÖnh ®Ò trªn ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn trong vÝ dô sau: VÝ dô 24: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + 2 xy + y 2 + 5 x + 5 y = x 2 y 2 − 6 Gi¶i: x 2 + 2 xy + y 2 + 5 x + 5 y = x 2 y 2 − 6 ⇔ ( x + y + 2 ) ( x + y + 3) = x 2 y 2 ⇒ x + y + 2 = 0 hoÆc x + y + 3 = 0 tõ ®ã t×m ®−îc nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh. Ph−¬ng tr×nh n y vÉn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nh−ng viÖc dïng mÖnh ®Ò trªn gióp cho lêi gi¶i b i to¸n trë nªn ng¾n gän h¬n. 12 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  12. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n. ( hay cßn gäi l ph−¬ng ph¸p xuèng thang). Ph−¬ng ph¸p n y dïng ®Ó chøng minh mét ph−¬ng tr×nh f(x,y,z,…) n o ®ã ngo i nghiÖm tÇm th−êng x = y = z = 0 th× kh«ng cßn nghiÖm n o kh¸c. Ph−¬ng ph¸p n y ®−îc diÔn gi¶i nh− sau: B¾t ®Çu b»ng viÖc gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ,...) l nghiÖm cña f(x,y,z,…). Nhê nh÷ng biÕn ®æi, suy luËn sè häc ta t×m ®−îc mét bé nghiÖm kh¸c ( x1 ; y1 ; z1 ;...) sao cho c¸c nghiÖm quan hÖ víi bé nghiÖm ®Çu tiªn bëi mét tû sè k n o ®ã. VÝ dô: x0 = kx1 ; y0 = ky1 ; z0 = kz1 ;... Råi l¹i tõ bé ( x2 ; y2 ; z2 ;...) sao cho c¸c nghiÖm quan hÖ víi bé nghiÖm ( x1 ; y1 ; z1 ;...) bëi mét tû sè k n o ®ã. VÝ dô: x1 = kx2 ; y1 = ky2 ; z1 = kz2 ;... Qu¸ tr×nh tiÕp tôc dÉn ®Õn x0 ; y0 ; z0 ,... chia hÕt cho ks víi s l mét sè tù nhiªn tuú ý ®iÒu n y xÈy ra khi v chØ khi x = y = z =…= 0. §Ó râ r ng h¬n ta xÐt vÝ dô sau: VÝ dô 25: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + y 2 = 3 z 2 Gi¶i: Gäi ( x0 ; y0 ; z0 ) l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. XÐt theo mod3 ta chøng minh x0 ; y0 chia hÕt cho 3. ThËt vËy: râ r ng vÕ ph¶i chia hÕt cho 3 suy ra: x02 + y02 ⋮ 3 ta cã: x0 ≡ 0;1( mod 3) ; y0 ≡ 0;1( mod 3) do ®ã: x0 + y0 ⋮ 3 ⇒ x0 ⋮ 3; y0 ⋮ 3 2 2 2 2 ®Æt x0 = 3x1 ; y0 = 3 y1 ; z0 = 3z1 thÕ v o v rót rän ta ®−îc 3 ( x12 + y12 ) = z02 ⇒ z0 ⋮ 3 ⇒ z0 = 3 z1 ThÕ v o v rót gän ta ®−îc. x12 + y12 = 3 z12 do ®ã nÕu ( x0 ; y0 ; z0 ) l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn th× ( x1 ; y1 ; z1 ) còng l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. tiÕp tôc qu¸ tr×nh suy luËn trªn dÉn ®Õn x0 ; y0 ; z0 ⋮ 3k ®iÒu ®ã chØ xÈy ra khi. x0 = y0 = z0 = 0 . VÝ dô 26: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 + y 2 + z 2 = 2 xyz Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ) l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. x0 2 + y0 2 + z0 2 = 2 x0 y0 z0 ⇒ x0 2 + y0 2 + z0 2 ch½n ( do 2 x0 y0 z0 ch½n) nªn cã hai tr−êng hîp xÈy ra. Tr−êng hîp 1: Cã hai sè lÎ, mét sè ch½n. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x0,y0 lÎ; z0 ch½n. XÐt theo mod4 ta cã: x0 2 + y0 2 + z0 2 ≡ 2 ( mod 4 ) cßn 2 x0 y0 z0 ⋮ 4 ( do z0 ch½n) ⇒ v« lý Tr−êng hîp 2: c¶ 3 sè ®Òu ch½n. §Æt x0 = 2 x1 ; y0 = 2 y1 ; z0 = 2 z1 thÕ v o v rót gän ta cã: x12 + y12 + z12 = 4 x1 y1 z1 lËp lu©n nh− trªn ta ®−îc x1 ; y1 ; z1 ch½n Qu¸ tr×nh l¹i tiÕp tôc ®Õn x0 ; y0 ; z0 ⋮ 2k víi k ∈ N * ®iÒu ®ã xÈy ra khi x0 = y0 = z0 = 0 Tãm l¹i nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l ( x0 ; y0 ; z0 ) = ( 0; 0;0 ) 13 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  13. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 7: Nguyªn t¾c cùc h¹n ( hay cßn gäi l nguyªn lÝ khëi ®Çu cùc trÞ) VÒ mÆt h×nh thøc th× ph−¬ng ph¸p n y kh¸c víi ph−¬ng ph¸p lïi v« h¹n nh−ng vÒ ý t−ëng sö dông thi nh− nhau. ®Òu chøng minh ph−¬ng tr×nh ngo i nghiÖm tÇm th−êng kh«ng cã nghiÖm n o kh¸c. Ph−¬ng ph¸p b¾t ®Çu b»ng viÖc gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 ,...) l nghiÖm cña f(x;y;z;…) víi ®iÒu kiÖn r ng buéc víi bé ( x0 ; y0 ; z0 ,...) . VÝ dô nh− x0 nhá nhÊt hoÆc x0 + y0 + z0 + ... nhá nhÊt… B»ng nh÷ng phÐp biÕn ®æi sè häc ta t×m ®−îc mét bé nghiÖm kh¸c ( x1 ; y1 ; z1 ;...) tr¸i víi ®iÒu kiÖn r ng buéc trªn. VÝ dô khi chän bé ( x0 ; y0 ; z0 ,...) víi x0 nhá nhÊt ta l¹i t×m ®−îc bé ( x1; y1; z1;...) tho¶ m n x1 < x0 tõ ®ã dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm ( x0 ; y0 ; z0 ) = ( 0; 0;0 ) . Ta xÐt vÝ dô sau: VÝ dô 27: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4 . Gi¶i: Gi¶ sö ( x0 ; y0 ; z0 , t0 ) l nghiÖm cña 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4 víi ®iÒu kiÖn x0 nhá nhÊt Tõ ph−¬ng tr×nh suy ra t ch¨n. §Æt t = 2.t1 thÕ v o v rót gän ta ®−îc: 4 x0 4 + 2 y0 4 + z0 4 = 8t14 Râ r ng z0 ch½n. §¨t z0 = 2.z1 ⇒ 2 x04 + y04 + 8 z14 = 4t14 ⇒ y0 ch½n. §¨t y0 = 2. y1 ⇒ x0 + 8 y14 + 4 z14 = 2t14 ⇒ x0 ch½n. §¨t x0 = 2.x1 ⇒ 8 x14 + 4 y14 + 2 z14 = t14 ⇒ ( x1 ; y1 ; z1 ; t1 ) còng l 4 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn v dÔ thÊy x1 < x0 (v« lý do ta chän x0 nhá nhÊt). Do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt. ( x; y; z; t ) = ( 0; 0; 0;0 ) . Chó ý trong vÝ dô trªn ta còng cã thÓ chän x0 + y0 + z0 nhá nhÊt lý luËn nh− trªn ta còng dÉn ®Õn x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0 tõ ®ã còng dÉn ®Õn kÕt luËn cña b i to¸n. 14 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  14. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Ph−¬ng ph¸p 8: Sö dông mÖnh ®Ò c¬ b¶n cña sè häc. Tr−íc tiªn ta ®Õn víi b i to¸n nhá sau. Cho p l sè nguyªn tè cã d¹ng p = k .2t + 1 víi t nguyªn d−¬ng; k l sè tù nhiªn lÎ. CMR nÕu x 2 + y 2 ⋮ p th× x ⋮ p; y ⋮ p. t t Chøng minh. Gi¶ sö x ⋮ p ⇒ y ⋮ p. theo Ferma nhá x ≡ 1( mod p ) ; y p −1 ≡ 1( mod p ) ; p = k .2t + 1 nªn p −1  x k .2 ≡ 1( mod p ) t  ⇒ x 2 + y 2 ≡ 2 ( mod p ) t t  k .2t  y ≡ 1( mod p )  ( ) MÆt kh¸c do k lÎ nªn theo h»ng ®¼ng thøc a 2 n +1 + b2 n +1 ta cã: x k .2 + y k .2 = x 2 + y 2 . A t t t t ( A l mét sè n o ®ã). Râ r ng x k .2 + y k .2 ≡ 0 ( mod p ) (do gi¶ thiÕt x 2 + y 2 ⋮ p ) t t t t Do ®ã theo vÝ dô 20, vÝ dô 21 th× ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. XÐt tr−êng hîp nhá cña b i to¸n trªn: Khi t= 1; v× k lÎ nªn k = 2s+1 ⇒ p = 4s+3 lóc ®ã ta cã mÖnh ®Ò sau: P l sè nguyªn tè cã d¹ng p = 4s+3. Khi ®ã nÕu x 2 + y 2 ⋮ p th× x ⋮ p; y ⋮ p. MÖnh ®Ò hÕt søc ®¬n gi¶n n y l¹i l mét c«ng cô v« cïng hiÖu qu¶ víi nhiÒu b i to¸n khã. VÝ dô28: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x 2 − y3 = 7 ( ®©y l ph−¬ng tr×nh nhá cña ph−¬ng tr×nh Mordell) ph−¬ng tr×nh Mordell l ph−¬ng tr×nh cã d¹ng x2 +k = y3 ( k; x; y∈Z) Gi¶i: Tr−íc tiªn ta cã bæ ®Ò sau: Mäi sè nguyªn tè d¹ng A = 4t+ 3 ®Òu cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè d¹ng p = 4s +3. Chøng minh: Gi¶ sö A kh«ng cã −íc sè n o cã dang p = 4s +3 A = ( 4t1 + 1) ( 4t2 + 1) = 4 ( 4t1t2 + t1 + t2 ) + 1 = 4h + 1 ( v« lý) Do ®ã A cã mét −íc d¹ng 4t1 +3; NÕu 4t1 +3 th× bæ ®Ò ®−îc chøng minh. NÕu 4t1 +3 l hîp sè lý luËn t−¬ng tù ta l¹i cã 4t1 +3 cã mét −íc sè d¹ng 4t2 +3. NÕu 4t2 +3 l hîp sè ta l¹i tiÕp tôc. V× qu¸ tr×nh trªn l h÷u h¹n nªn ta cè ®iÒu ph¶i chøng minh. Quay l¹i b i to¸n. x 2 = y 3 + 7 xÐt y ch½n ⇒ y 3 + 7 ≡ 7 ( mod 8 ) ⇒ x 2 ≡ 7 ( mod 8 ) v« lý do x 2 ≡ 0;1; 4 ( mod 8) ) xÐt y lÎ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng x 2 + 1 = y 3 + 8 ⇒ x 2 + 1 = ( y + 2 ) ( y 2 − 2 y + 4 ) nÕu y = 4k + 1 ⇒ y + 2 = 4k + 3 nÕu y = 4k + 3 ⇒ y 2 − 2 y + 4 = ( 4k + 3) − 2. ( 4k + 3) + 4 = 4h + 3 do ®ã y lu«n cã mét −íc d¹ng 2 4n + 3 v theo bæ ®Ò trªn th× 4n + 3 lu«n cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè p = 4s +3 ⇒ x 2 + 1⋮ p = 4s + 3 theo mÖnh ®Ò trªn x ⋮ p; y ⋮ p. ( v« lÝ ) Do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm. 15 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  15. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn VÝ dô 29: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: x2 +5= y3 Gi¶i XÐt y ch½n ⇒ y ≡ 0 ( mod 8) ⇒ x + 5 ≡ 0 ( mod 8) ⇒ x 2 ≡ 3 ( mod 8) V« lý v× x 2 ≡ 0;1; 4 ( mod 8) . 3 2 XÐt y lÎ nÕu y = 4k+ 3 ⇒ y 3 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ x 2 + 5 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ x 2 ≡ 2 ( mod 4 ) ( v« lÝ v× x 2 ≡ 0;1( mod 4 ) ) NÕu y = 4k+1 vݪt ph−¬ng tr×nh d¹ng x 2 + 4 = y 3 − 1 ⇒ x 2 + 4 = ( y − 1) ( y 2 + y + 1) Râ r ng y 2 + y + 1 = ( 4k + 1) + ( 4k + 1) + 1 = 4t + 3 2 Do ®ã y 3 − 1 cã Ýt nhÊt mét −íc nguyªn tè p = 4s +3. ⇒ x 2 + 4⋮ p = 4 s + 3 ⇒ 4⋮ p ⇒ p = 2 ( v« lý do ®ã ph−¬ng trªn v« nghiÖ× cuèi cïng ®Ó thÊy thªm sù hiÖu qu¶ cu¶ mÖnh ®Ò n y ta ®Õn víi b i to¸n Euler. VÝ dô 30: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 4 xy − x − y = z 2 Gi¶i: C¸ch 1: Lêi gi¶i cña Euler Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm ( x; y; z ) = ( a; b; c ) víi c l gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z. Suy ra: 4ab − a − b = c 2 ⇒ 16ab − 4a − 4b = 4c 2 ⇒ (16ab − 4a ) − ( 4b − 1) − 1 = 4c 2 (*) Céng v o hai vÕ cña (*) 4 ( 4a − 1) − 8 ( 4a − 1) .c ta cã: 2 ( 4a − 1) ( 4b − 1) − ( 4b − 1) − 1 + [4(4a − 1)2 − 8(4a − 1).c] = 4c 2 + [4(4a − 1)2 − 8(4a − 1).c] ⇒ ( 4a − 1)  4 ( b + 4a − 1 − 2c ) − 1 = 4 c − ( 4a − 1)  (**) 2     VËy nÕu ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm l (a;b;c) th× ph−¬ng tr×nh (*) còng cã nghiÖm l (a;b+4a-1-2c;c-4a+1) V× c l gi¸ trÞ nhá nhÊt cña z suy ra z = c − ( 4a − 1) > c 2 ⇒ 2 4 c − ( 4a − 1)  = ( 4a − 1)  4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c  > 4c 2 = ( 4a − 1)( 4b − 1) − 1 2     ⇒ 4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c > ( 4b − 1) ⇒  4b − 1 + 4 ( 4a − 1) − 8c  > ( 4b − 1)   ⇒ 4 ( 4a − 1) − 8c > 0 ⇒ 4a − 1 > 2c (1) V× a v b cã vai trß nh− nhau nªn ta cã 4b − 1 > 2c (2) Tõ (1) v (2) suy ra: 4a − 1 ≥ 2c + 1; 4b − 1 ≥ 2c + 1 PT (*): 4c2 = ( 4a − 1) ( 4b − 1) ≥ ( 2c + 1) − 1 ⇒ 4c 2 ≥ 4c 2 + 4c ⇒ c ≤ 0 v« lÝ 2 Suy ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. C¸ch 2: dïng mÖnh ®Ò trªn. 16 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  16. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 4 xy − x − y = z 2 ⇔ 4 ( 4 xy − x − y ) = 4 z 2 ⇔ 16 xy − 4 x − 4 y = 4 z 2 ⇔ ( 4 x − 1)( 4 y − 1) = 4 z 2 + 1 ⇔ ( 4 x − 1)( 4 y − 1) = ( 2 x ) + 12 2 Râ r ng 4 x − 1; 4 y − 1 ®Òu cã d¹ng 4t + 3 ThËt vËy: 4x-1 = 4(x-1)+3; 4y-1 = 4(y-1)+3. Do ®ã ( 4 x − 1) ( 4 y − 1) cã it nh©t mét −íc nguyªn tè p = 4s +3. ⇒ z 2 + 1⋮ p = 4s + 3 ⇒ 1⋮ p v« lý do ®ã ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm. C¸c d¹ng c¬ b¶n cña ph−¬ng tr×nh v« ®Þnh nghiÖm nguyªn ® giíi thiÖu víi c¸c b¹n ë trªn. ViÖc s¾p xÕp c¸c d¹ng, ph−¬ng ph¸p l chñ ý cña t«i nªn Ýt nhiÒu sÏ sai sãt. Sau ®©y l phÇn nãi thªm vÒ mét sè ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh¸c. Mét sè d¹ng bµi tËp kh¸c. 1)Ph−¬ng tr×nh d¹ng mò: ( th−êng sö dông ph−¬ng ph¸p xÐt modulo nh−ng kh«ng ph¶i l lu«n lu«n). VÝ dô 31: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 7 = y 2 ( x, y ∈ Z ) Gi¶i: x = 0 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn x = 1 ⇒ y = ±3 xÐt x ≥ 2 ⇒ 2 x ≡ 0 ( mod 4 ) ⇒ 2 x + 7 ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ y 2 ≡ 3 ( mod 4 ) v« lÝ v× y 2 ≡ 0;1( mod 4 ) vËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( x; y ) ∈ {(1;3) ; (1; −3)} . VÝ dô 32: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2 x + 21 = y 2 ( x, y ∈ Z ) Gi¶i: XÐt x lÎ, ®Æt x= 2k +1 ⇒ 2 x = 2.4k = 2 ( 3 + 1) ≡ 2 ( mod 3) ⇒ 2 x + 21 ≡ 2 ( mod 3) k ⇒ y 2 ≡ 2 ( mod 3) v× y 2 ≡ 0;1( mod 3) (V« lÝ) XÐt x ch½n, ®Æt x= 2k ⇒ 22 k + 21 = y 2 ⇒ y 2 − 22 k = 21 ⇒ ( y − 2k ) ( y + 2k ) = 21 l ph−¬ng tr×nh −íc sè nªn ta dÔ d ng t×m ®−îc ( x; y ) ∈ {( 2;5 ) ; ( 2; −5 )} VÝ dô 33: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: 2 x + 2 y + 2 z = 2336 víi x < y < z . Gi¶i: 2 + 2 + 2 = 2336 ⇔ 2 (1 + 2 + 2 ) = 2336 = 25.73 ta cã 1 + 2 y − x + 2 z − x l sè lÎ y−x z−x x y z x (1)  2 x = 25 VËy   ( 2) y−x z−x 1 + 2 + 2 = 73  Tõ (1) suy ra x = 5 thay v o (2) ta cã 1 + 2 y −5 + 2 z −5 = 73 ⇔ 2 y −5 + 2 z −5 = 72 ⇔ 2 y −5 + 2 z −5 = 23.9 ⇔ 2 y −5 (1 + 2 z − y ) = 23.9 17 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  17. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 1 + 2 z − y = 9  2 z − y = 23 z − y = 3  y = 8   ⇔  y −5 ⇔  y −5 ⇔ ⇔ y −5 = 3  z = 11 2 = 2 2 = 2 3 3   VËy ( x; y; z ) = ( 5;8;11) Chó ý: Víi c¸ch gi¶i trªn ta cã thÓ gi¶i ®−îc b i to¸n sau: t×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng ( x ≤ y ≤ z; n ∈ Z ) tr×nh 2 x + 2 y + 2 z = 2n KQ: ( x; y; z ) = ( n − 2; n − 2; n − 1) VÝ dô 34: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau 5 x3 = 3 y + 317 Gi¶i: Trong ph−¬ng tr×nh n y cã sù tham gia cña sè lËp ph−¬ng v nh− ® nãi ë phÇn ph−¬ng ph¸p lùa chän modulo th× trong b i n y ta lùa chon mod9 Ta cã: víi y =1 suy ra x = 4. Víi y ≥ 2 ⇒ 3 y ≡ 0 ( mod 9 ) ⇒ 5 x3 = 3 y + 317 ≡ 2 ( mod 9 ) v« lý v× 5 x3 ≡ 0; 4;5 ( mod 9 ) Suy ra ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt ( x;y) = ( 4;1). Ta ®Õn víi b i to¸n khã h¬n. VÝ dô 35: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau x y = y x Gi¶i: Râ r ng x = y l mét nghiÖm. y xÐt x ≠ y kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x t do x ≥ 2 nªn ta chØ viÖc chøng minh 2t −1 > t ta chøng minh b»ng quy n¹p theo t. ta cã: t = 3 ®óng. Gi¶ sö kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k tøc l 2k −1 > k ta chøng minh kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k+1 Tøc l 2k ≻ k + 1 ThËt vËy: theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã: 2k −1 > k ⇒ 2k > 2k > k + 1 ( v× k >1) Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm víi t ≥ 3 VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn l : ( x; y ) ∈ {( a; a ) ; ( 2; 4 ) ; ( 4; 2 )} víi a ∈ Z . VÝ dô 36: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau: 2 x − 3 y = 1 Gi¶i: XÐt theo mod3 Ta cã: 2 x − 1 = 3 y xÐt víi y = 0 suy ra x = 1. xÐt y ≥ 1 ⇒ 3 y ≡ 0 ( mod 3) ⇒ 2 x − 1 ≡ 0 ( mod 3) mÆt kh¸c 2 x − 1 = ( 3 − 1) − 1 ≡ ( −1) − 1( mod 3) ⇒ x ch½n v× x ch½n th× ( −1) − 1 ≡ 0 ( mod 3) x x x §Æt x = 2k ta cã 22 k − 1 = 3 y ⇔ ( 2k − 1) ( 2k + 1) = 3 y 18 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  18. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn 2k + 1 = 3u k ( )( ) 2 − 1 = 3 ⇒ 2 + 1 − 2 − 1 = 2 = 3 − 3 ⇒ 3 + 2 = 3 v k k u v v u u + v = y  NÕu u = 0 suy ra 3v =-1 v« lý. x = 1 NÕu u ≥ 1 ⇒ 3u ≡ 0 ( mod 3) ⇒ 3v + 2 ≡ 0 ( mod 3) ⇒ v = 0 ⇒ u = 1 ⇒  y = 2 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm l : ( x; y ) ∈ {(1;0 ) ; ( 2;1)} 2)B i to¸n víi c¸c nghiÖm nguyªn tè: VÝ dô 37: T×m n ∈ N ®Ó: a) n 4 + n 2 + 1 l sè nguyªn tè. b) n5 + n + 1 l sè nguyªn tè c) n 4 + 4n l sè nguyªn tè Gi¶i: a) ta cã n + n + 1 = ( n + n + 1) ( n − n + 1) l sè nguyªn tè khi n2 − n + 1 = 1 ⇒ n = 1 4 2 2 2 b) n5 + n + 1 = ( n 2 + n + 1) ( n3 − n2 + 1) l sè nguyªn tè khi n3 − n2 + 1 = 1 ⇒ n = 1 n +1 n +1 2  2  ⇒ n + 4 =  n + 2 + 2  n + 2 − 2 2  l sè nguyªn tè khi c) Chó ý l n lÎ ⇒ n + 1⋮ 2 4 n n n 2    n +1 n +2 −2 =1 ⇒ n=1 n 2 2 VÝ dô 38: T×m c¸c sè nguyªn tè x ;y ;z tho¶ m n x y + 1 = z 2 Gi¶i Víi x lÎ ⇒ x + 1 = z ch½n ⇒ z ch½n m l¹i l sè nguyªn tè nªn z = 2 y 2 ⇒ x y = 3 ( kh«ng tån t¹i x; y tho¶ m n). XÐt x ch½n: ⇒ x = 2 vËy x y + 1 = z 2 ⇔ 2 y + 1 = z 2 NÕu y lÎ ®Æt y = 2k + 1: ⇒ 2 y = 2.4k ≡ 2 ( mod 3) ⇒ 2 y + 1 ≡ 0 ( mod 3) ⇒ z 2 ⋮ 3 ⇒ z = 3 ⇒ y = 3 NÕu y ch½n ⇒ y = 2 ⇒ 5 = z 2 v« lý vËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm: ( x; y, z ) = ( 2;3;3) Víi c¸ch l m t−¬ng tù ta cã thÓ gi¶i quyÕt ®−îc b i to¸n sau: T×m c¸c sè nguyªn tè x ;y ;z tho¶ m n x y + 1 = z . 3)C¸c ph−¬ng tr×nh chøng minh cã v« sè nghiÖm: VÝ dô 39: Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x3 + y 3 = z 4 cã v« sè nghiÖm. Gi¶i: 3 3 Ta x©y dùng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh n y. x + y = z ⇔   +   = z  x  y 3 3 4  z z x y ®¨t = a; = b ⇒ x = az; y = bz thÕ v o ph−¬ng tr×nh ta ®−îc z z z 3 ( a 3 + b3 ) = z 4 ⇒ z = a 3 + b3 ⇒ x = az = a ( a 3 + b3 ) ; y = bz = b ( a 3 + b3 ) VËy ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm d¹ng: ( x; y; z ) = ( a ( a 3 + b3 ) ; b ( a 3 + b3 ) ; a 3 + b3 ) . 19 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  19. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Chó ý c«ng thøc trªn ch−a ch¾c ® quÐt hÕt nghiÖm cña b i to¸n xong ta chØ cÇn nh− vËy ®Ó gi¶i quyÕt b i to¸n n y. VÝ dô 40: Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh x 4 + y 3 = z 7 cã v« sè nghiÖm. Gi¶i: a +1 a a Ta cã 2a + 2a = 2a +1 y = 2 3 ta cã: x 4 + y 3 = 2a + 2a = 2a +1 chän z = 2 §¨t x = 2 4 ; do x;y;z 7 a ⋮ 3 nguyªn nªn a ⋮ 4 ⇔ a = 84t + 48 ( t ∈ Z ) VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã v« sè nghiÖm  a + 1⋮ 7  d¹ng ( x; y; z ) = ( 221t +12 ; 228t +16 ; 212 t +7 ) . C¸c bµi tËp vËn dông: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau trªn Z. 3x + 7 y = 9 1) 25 x + 7 y = 16 2) x 2 + 3 xy − y 2 + 2 x − 3 y = 5 3) 2 x 2 + 3 y 2 + xy − 3 x − 3 = y 4) x14 + x2 + x3 + ... + x14 = 1599 4 4 4 5) x 2 + y 2 = 16 z + 6 6) x !+ y ! = z ! 7) x !+ y ! = ( x + y ) ! 8) 19 x3 − 17 y 3 = 50 9) 5 x 3 + 11y 3 + 13 z 3 = 0 10) x 2 = y 2 + 16 11) ( ) x2 + y2 = 6 z 2 + t 2 12) xy − 2 y − 3 x + x = 3 2 13) ( ) 5 x 2 + y 2 + xy = 7 ( x + 2 y ) 14) x − y − xy = 15 3 3 15) x 2 + xy + y 2 = x + y 16) 1 + x + x 2 + x3 = y 2 (GVG tØnhVP n¨m 2001) 17) x3 + y 3 = ( x + y ) 2 18) y 3 − x3 = 2 x + 1 19) x4 + x2 + 4 = y 2 − y 20) x2 + y2 = 7 z 2 21) x 2 = y 3 + 16 (HSG 9 tØnh Thanh Hãa 2009) 22) x + y + z = x .y 2 2 2 2 2 23) 20 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c
  20. www.VNMATH.com Chuyªn ®Ò: Mét Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ( ) 6 6 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 5t 2 24) 19 x + 28 y = 2001 2 2 25) x 2 + xy + y 2 = 2 x + y 26) x2 .y2 = z2 ( z 2 − x2 − y2 ) 27) n 4 + 2n 3 + 2n 2 + 2n + 1 = y 2 28) x3 .z 2 + ( y 3 − 2 xy ) z + x ( x − y ) = 0 (AM- 2005) 29) x 4 + x 2 − y 2 + y + 10 = 0 30) 2 ( x + y + z ) + 9 = 3 xyz 31) C¸c b i to¸n víi sè nguyªn tè. 33) t×m x ∈ N ; x 4 + 4 x l sè nguyªn tè. 112 ( x, y ∈ Z ; p ∈ P ) += 34) xyp 35) ( p − 1)!+ 1 = p n (n ∈ N , p l sè nguyªn tè) 36) p ( p + 1) + q ( q + 1) = n ( n + 1) ( p; q; n) l c¸c sè nguyªn tè) 37) p 2 = 8q + 1 ( p; q l c¸c sè nguyªn tè). C¸c b i to¸n khã. 38) (APMO) T×m n nguyªn d−¬ng ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. xn + ( 2 − x ) + ( 2 + x ) n n 39) (Brazil 1990) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh sau cã v« sè nghiÖm a 3 + 1990b3 = c 4 40) T×m x; y nguyªn d−¬ng ®Ó : 1!+ 2!+ 3!+ ... + x ! = y z (Nga 2008) 2x x = y y + z z 41)T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x,y,z biÕt: 42) (IMO 2006). T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x; y ®Ó: 1 + 2 x + 22 x +1 = y 2 43) T×m c¸c sè nguyªn x;y;z tho¶ m n 28 x = 19 y + 87 z 44) T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng n v k tho¶ m n k = n + 1 − n − 1 ( x; y; z ∈ Z )+ 45) T×m x;y;z biÕt x 4 + y 4 = z 4 21 Ng−êi Ng−êi thùc hiÖn: T¹ V¨n §øc – THCS Yªn L¹c

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản