Giải phương trình bậc cao: Kinh nghiệm, phương pháp giải hiệu quả

3) Èn x trªn tËp sè thùc lµ c¸c ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng: anxn ﾢ ;

1. §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao Ta gäi ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n (n (cid:0) + an-1xn-1+ ...+ a1x + ao = 0, trong ®ã n (cid:0)

a ;a ;...a (cid:0) ﾢ ; an (cid:0)

2. §Þnh lý: Trªn tËp sè thùc, mäi ph¬ng tr×nh bËc n lu«n ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc

bËc nhÊt vµ c¸c tam thøc bËc hai.

3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

D¹ng tæng qu¸t ax + b = 0 trong ®ã a, b (cid:0)

0 .

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm:

* Chó ý: Gi¶i ph¬ng tr×nh mx + n = 0, ph¬ng tr×nh ®· cho cha ch¾c ®· lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt nªn

khi gi¶i cÇn ph¶i xem xÐt hÕt c¸c trêng hîp :

ﾢ ; a (cid:0) - = x b a

+ NÕu m (cid:0) 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

+ NÕu m = 0 th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng 0x = n.

- x = n m

0(cid:0)

2ax

- NÕu n = 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm - NÕu n (cid:0) 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn + = víi a D¹ng tæng qu¸t: 0 XÐt (cid:0) + (cid:0)

= 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

+ (cid:0)

> 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt:

1,2

bx c = b2 – 4ac < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - = = x x b 2a - (cid:0) D b = x 2a

5. §Þnh lý: + Ph¬ng tr×nh anxn + an-1xn-1+ ..........+ a1x + ao = 0 nÕu cã nghiÖm

h÷u tû th× nghiÖm ®ã lµ íc cña

+ P(x) = 0 cã nghiÖm lµ a th× P(x) M ( x - a).

a a

Mét sè ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶I ph¬ng tr×nh bËc cao.

I. Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch

Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: F(x).G(x)…..H(x) = 0 (1)

(2)

§Ó ®a ph¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng (2) ta cã thÓ dïng c¸c c¸ch sau:

- Ph©n thÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

- §Æt nh©n tö chung

- Dïng h»ng ®¼ng thøc.

- Nhãm nhiÒu h¹ng tö.

- Thªm (bít) c¸c h¹ng tö.

- Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p nªu trªn.

= (cid:0) F(x) 0 (cid:0) = (cid:0) G(x) 0 (cid:0) (cid:0) ...... (cid:0) (cid:0) = (cid:0) H(x) 0

+ 3 + 3 = 3 -

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

(1)

x x + x + x ( 1) ( 1) ( 2)

* Lêi gi¶i (x 1)

x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8

+ 3 + 3 = 3 + - x + (x 1) (x 2) (cid:0)

x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0

(cid:0)

x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0

(cid:0)

(x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 0

(cid:0)

(x2 + x + 1)(x - 4) = 0

Víi häc sinh líp 8 lµm nh sau:

Do x2 + x + 1 =

nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4

(cid:0)

Víi häc sinh líp 9:

0 3 + > 4 1 � �+ x � � 2 � �

(*)

(*) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 2 0 4x

(**)

(cid:0) (cid:0)

Gi¶i ph¬ng tr×nh (*)

nªn (*) v« nghiÖm

Gi¶i (**) ta ®îc x =4

VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x = 4

ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x - 1.

- NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc

lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x + 1).

- Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc cña hÖ sè tù do lµ a0.

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (2)

* Lêi gi¶i (1) (cid:0)

x3 – x2 – 6x2 + 6x + 6x – 6 = 0

x2(x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = 0

(cid:0)

(x –1)(x2 – 6x + 6) = 0

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x 1 2 - (cid:0) x + = 6x 6 0 (cid:0) = x 1 = (cid:0) 3 x 3

* VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 1)3 +(2x + 3)3 = 27x3 + 8 (3)

* Lêi gi¶i (2) (cid:0)

x3 – 3x2 + 3x – 1 +8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 27x3 + 8

18x3 – 33x2 –57x – 18 = 0

(cid:0)

3(6x3 –11x2 – 19x – 6) = 0

(cid:0)

6x3 – 18x2 + 7x2 –21x +2x – 6 = 0

(cid:0)

6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0

(cid:0)

(x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 x

= (cid:0) 3 = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 7 97 3 + = (cid:0) 6x - = 7x 2 0 x (cid:0) (cid:0) 12

+ =

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

(§Ò thi v¶o trêng Lª Hång Phong, TPHCM , n¨m 2003 - 2004)

5x - x x 4 2

* Lêi gi¶i + 4 x 2 x

= + 3 - � 5x x 5x + = 10x 4 0 -

ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù do lµ a0 lín vµ cã nhiÒu íc sè.

Trong trêng hîp nµy ta sÏ ¸p dông nhËn xÐt sau ®Ó ®i lo¹i trõ bít c¸c íc kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

mét c¸ch nhanh chãng.

(cid:0) = = (cid:0) 2 x 2 x (cid:0) (cid:0) = - - - - � � + (x 2)(x 1)(x = 4x 2) 0 x x = - � (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 1 + = 4x 4 6 (cid:0) 1 = (cid:0) 2 x 6

* VÝ dô 5: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (5)

;9;6;3;2;1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)18

* Lêi gi¶i U(18)

HiÓn nhiªn -1, 1 kh«ng lµ nghiÖm cña (4) (cid:0)

f(1) (cid:0) 0, f(-1) (cid:0) 0

Ta thÊy

- = = - (cid:0) ﾢ 9 - f (1) 3 1 18 2

- - = = - (cid:0) ﾢ 11 f ( 1) + 3 1 44 4

Ph¬ng tr×nh (4) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = 3

¸p dông lîc ®å Hoãcne ta ®a ph¬ng tr×nh (5) vÒ d¹ng sau:

(x - 3)(4x2 - x + 6) = 0

(cid:0)

x - 3 = 0

(*)

4x2 - x + 6 = 0 (**)

x = 3

(*) (cid:0)

(cid:0)

(**)

4x2 - x + 6 = 0

(cid:0)

= (-1)2 - 4.4.6 < 0 (cid:0)

(**) v« nghiÖm

Nªn ph¬ng tr×nh (4) cã mét nghiÖm lµ: x = 3

(cid:0)

Chó ý:

- ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho ®a thøc ®Ó

h¹ bËc råi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.

- Cã thÓ dïng lîc ®å Hoãcne ®Ó x¸c ®Þnh íc sè nµo cña a0 lµ nghiÖm, íc sè nµo kh«ng lµ nghiÖm

vµ ®a ra ngay d¹ng ph©n tÝch.

- Bµi tËp d¹ng nµy t¬ng ®èi khã víi häc sinh nªn khi d¹y gi¸o viªn cÇn lu ý khai th¸c hÕt c¸c gi¶ thiÕt,

nhËn xÐt cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p nµo, h»ng ®¼ng thøc nµo ph©n tÝch cho thÝch hîp. Mçi bµi tËp

gi¶i xong gi¸o viªn nªn chèt l¹i vÊn ®Ò vµ c¸c kiÕn thøc cÇn sö dông trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tæng qu¸t,

bµi t¬ng tù, ®Æc biÖt dïng ®Ó båi dìng häc sinh giái nh»m ph¸t triÓn t duy.

II. Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô

Ph¬ng ph¸p nµy thêng ®îc dïng víi c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh sau:

2.1 Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 (a (cid:0)

0) (1)

* C¸ch gi¶i §Æt x2 = y (víi y (cid:0)

0) th× (1) (cid:0)

ay2 + by + c = 0

2.2 Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n

Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (2) víi

* C¸ch gi¶i

- NÕu x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) th× ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) cho xn

0(cid:0)

(cid:0)

n 1

(1) (cid:0)

= 0

n 1

0 n

n 1 x

- - a + + + + + + - + ..... a x .... a x 0 a x 1 a x n a x

n 1

= 0

§Æt

ta ®a ph¬ng tr×nh (2) vÒ ph¬ng tr×nh bËc n víi Èn y

- + + + + + = (cid:0) a .. a 0 - 1 n 1 x � x � � � � x a a � � 1 0 � � � � �

2.3 Ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc lÎ

x y 1 n x 1 = + (cid:0) x

* Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng a0x2n+1 + a1x2n + ..+ an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (3) víi

* C¸ch gi¶i

Ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm x = -1 (cid:0)

ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) cho x + 1 ta

®îc ph¬ng tr×nh ®èi xøng bËc ch½n.

2.4 Ph¬ng tr×nh ph¶n th¬ng

0(cid:0) * Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax4 + bx3 + cx2- bx + a = 0 (4) víi a hoÆc ax4- bx3 + cx2 + bx + a = 0 (5) víi a

0(cid:0)

* C¸ch gi¶i

Ta nhËn thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (4) suy ra ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 ta cã:

0(cid:0)

(4) (cid:0)

+ a 0 ax + - bx c b 1 = 2 x

+ + - (cid:0) + = c b x 0 1 2 x � a x � �

§Æt

+ = + (cid:0) = - x x y 2 y � � � � � � � � � 1 x

T¬ng tù cho ph¬ng tr×nh (5) ta ®Æt

(cid:0) 1 + x 1 x 1 2 x ta cã ph¬ng tr×nh ay2 + by + c + 2a = 0

= + x y 1 x

2.5. Ph¬ng tr×nh håi quy

* Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (6) trong ®ã

víi a

0(cid:0)

* C¸ch gi¶i: Khi x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (6) th× ta chia c¶ hai vÕ cña (6) cho x2 ta cã: (6) (cid:0)

t e a d � �= =� � b � �

+ = + ax + + bx c d e 0

§Æt

+ (cid:0) e + bx d + = c 0 � ax � � � � � 1 2 x 2 + (cid:0) d x + = c 0 t x � a x � �

ay2 + by + c + 2at = 0

2.6. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x+a)4+(x+b)4= c (7)

* C¸ch gi¶i:

§Æt

= + lóc ®ã (6) (cid:0) y x 1 1 2 x x 1 � � + � � x � � � � � t + + � � � x � � � t x

(7) (cid:0)

4 - = c

2.7. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong ®ã ad = bc

* C¸ch gi¶i:

Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2

� y = + x x = - y + a b 2 - + + 2 - 2y 3(a b) y 0 + a b 2 (a b) 8

[x2 + (a+d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = mx2 (8)

Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8) ta chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (8)

cho x2

(cid:0)

th× (8) (cid:0)

§Æt

+ + + + + + x (c b) m ad x bc x � x (a d) � � �� = � �

y = + x

(8) (cid:0)

(y a d)(y c d) m

2.8. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m trong ®ã a+d = b+c

* C¸ch gi¶i Ta nhãm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1)

§Æt y = (x+a)(x+d) thay vµo ph¬ng tr×nh (1) ta t×m ®ùc y0

Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+a)(x+d) = y0 ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)

ad x + + + + =

2.9. Ph¬ng tr×nh tam thøc Lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax2n + bxn + c = 0 (10) víi a ≠ 0 trong ®ã a, b, c (cid:0) NÕu a, b, c (cid:0)

ﾢ , n lµ nguyªn d¬ng, n > 2

* C¸ch gi¶i :

ﾢ * vµ n = 2 th× ph¬ng tr×nh (10) lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng

§Æt xn = y th× (10) (cid:0)

2.10. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong ®ã

, m = (d - a)(d - b)(d - c).

(cid:0) = (cid:0) x (cid:0) y + + = (cid:0) (cid:0) ay dy c 0

* C¸ch gi¶i :

d + + = a b c 2

* Chó ý: Trªn thùc tÕ, nhiÒu ph¬ng tr×nh bËc cao ph¶i biÕn ®æi míi ®a vÒ c¸c d¹ng c¬ b¶n nãi trªn

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – 5x2 + 6 = 0 (1)

* Lêi gi¶i: §Æt x2 = y (y (cid:0)

0) (cid:0)

y2 – 5 y + 6 = 0 =

(1) (cid:0) y

(y – 2)(y – 3) = 0 (cid:0)

(cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ NÕu y = 2 (cid:0) + NÕu y = 3 (cid:0)

x2 = 2 (cid:0) x2 = 3 (cid:0)

x x

= y 3 = (cid:0) = (cid:0) 2 3

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 (2)

(§Ò thi tèt nghiÖp THCS tØnh Hng Yªn , n¨m 1996 - 1997)

* Lêi gi¶i: Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (2), chia c¶ hai vÕ cña (2) cho x2 (cid:0)

0 ta ®îc

- x 0 5x 6 1 = 2 x

(*)

+ - - 5 x 6 0 1 2 x � � � x �

§Æt

+ 2 + 2 � = - x x y y 2

ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.

5 + - + x 1 � � � + = � � � x � � � 1 1 = 2 x x y2 – 5y + 8 = 0 = 25 – 40 < 0 (cid:0)

() (cid:0) XÐt (cid:0) VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = 0 (3)

* Lêi gi¶i: (2) (cid:0)

(x + 1)(x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1) = 0 = -

Gi¶i (*) : x4 +3x3 – 2x2 + 3x + 1 = 0 Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (*), chia c¶ 2 vÕ cña (*) cho x2 (cid:0)

0 ta ®îc:

(cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) + + 2 + = - (cid:0) x 3x 2x 3x 1 0 (*)

+ x 3x 2 0 3 - + + x

+ + + - = (cid:0) 3 x 2 0 1 2 x 1 x � x � �

§Æt

+ = - � y = + x x y 2 1 = 2 x � � � � � � � � � 1 x 1 2 x

- NÕu y1 = 1 (cid:0)

x2 - x + 1 = 0 (cid:0)

PT v« nghiÖm

y1 = 1, y2 = -4 = (cid:0) 1

+ x

- NÕu y2 = -4 (cid:0)

(cid:0)

x2 + 4x + 1 = 0 (cid:0)

1,2x

ta ®îc y2 + 3y - 4 = 0 (cid:0) 1 x 1 x

+ = - = - (cid:0) x 4 2 3

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6 (4)

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007)

* Lêi gi¶i:

+ + + (3x 4)(x 1)(6x 7)

= + + = (cid:0) 6 + 2 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 (*)

= 2 + - - -

§Æt 6x + 7 = t, ta cã: (*) (cid:0)

- Víi t = 3, ta cã

- Víi t = -3, ta cã

� (t 1)(t 1)t 72 t t = � � t 3 - + = 6x 7 3 =� x = 72 0 2 3 - + = - 6x 7 =� x 3 5 3

+ + =

* Bµi to¸n trªn ta còng cã thÓ gi¶i theo c¸ch sau: + 6 (3x 4)(x 1)(6x 7) = + 2

+ + (cid:0) 7x 4)(6x 7) (3x

§Æt

- Víi

(cid:0)

PT v« nghiÖm

- Víi

6 (**) + = + + + , khi ®ã (**) trë thµnh: t 3x + (cid:0) 7x 4 = 84x 49 12t 1 - (cid:0) = t (cid:0) (cid:0) 12t + - = (cid:0) t 6 0 (cid:0) = t (cid:0) (cid:0) 36x 3 4 2 3 - - = + + = + = � � t 3x 7x 4 12x + 28x 19 0 3 4 3 4 - (cid:0) = x (cid:0) = + + = + = � � � (cid:0) t 3x 7x 4 9x + 21x 10 0 - (cid:0) 2 3 2 3 = x (cid:0) (cid:0)

+ + + + = 5 3 2 3 (5)

* VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2004 - 2005)

x x x x ( 3 2)( 7 12) 24

* Lêi gi¶i: + + (x 3x 2)(x + + �

= + 24 = -

+ 7x 12) + + (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0 + + + = - � 5x 6) 24 0 + 5x 4)(x (x

§Æt

= + t x 5x 4 = - (cid:0) + ta ®îc: 6 t + - (cid:0) t = (cid:0) 2t 24 0 = (cid:0) 4 t

- NÕu

(cid:0) =

- NÕu

PT v« nghiÖm = - 0 ; x

VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x = 0 ; x = -5

= x 2 = - = + 2 + + = 6 � � t t � x 4 5x 10 0 x 0 5x 5

* VÝ dô 6 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0 (6)

* Lêi gi¶i: Ta thÊy x = 0 kh«ng lµ ph¬ng tr×nh cña (6) (cid:0)

ta chia c¶ hai vÕ cña (1) cho

, ta ®îc:

0(cid:0)

- x 3x 2 0 4 = 2 x

+ - - 3 x 2 0 4 2 x � � � x �

§Æt

+ 2 + 2 � = - x x y y 4 6 - + + x 2 � � � - = � � � x � � � 2 x 4 = 2 x

Ta ®îc ph¬ng tr×nh y2 - 3y + 2 = 0

NhÈm nghiÖm ta ®îc y1 = 1, y2 = 2

- NÕu y1 = 1 (cid:0)

= - (cid:0) 1 x - - � � (cid:0) x 1 x - = x 2 0 = (cid:0) 2 x 2 = x

- NÕu y2 = 2 (cid:0)

1,2

- - � � � x 2 x - = 2x 2 0 = x 1 3 2 = x

* VÝ dô 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x – 5)4 + (x – 7)4 = 16 (7)

(§Ò thi chän HSG To¸n 8, tØnh H¶i D¬ng, n¨m 2001 - 2002)

* Lêi gi¶i:

§Æt

(7) (cid:0)

(y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 

- - = - y = + x x 6 = +� x y 6 5 7 2

2y4 + 12y2 + 2 = 16

(cid:0)

y4 + 6y2 – 7 = 0

(cid:0)

(y2 – 1)(y2 + 7) = 0 (cid:0)

+ NÕu y = 1 ta cã x = 7

+ NÕu y = -1 ta cã x = 5

VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x1 = 7; x2 = 5

(cid:0) = y (cid:0) (cid:0) =� � y 1 1 = - (cid:0) y 7

* VÝ dô 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x2 (8)

(x2 + 13x + 30)(x2 + 11x + 30) = 2x2

(*)

* Lêi gi¶i: (8) (cid:0) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (2) cho x2 ta cã: � x � �

+ + + + 13 11 2 30 x 30 x � = � �

§Æt

(cid:0)

y(y+2) = 2 (cid:0)

y2 + 2y –2 = 0 (**)

+ y = + x 11 �� x �� 30 x

Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh

cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8)

+ + x = 11 y 30 x

* VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9)

* Lêi gi¶i:

Ph¬ng tr×nh (9) cã d¹ng 12(x + 7)(x + 8)(x + 9) = 60x (*) trong ®ã

= = - - - ; 60 (12 7)(12 8)(12 9) 12

(y – 5)(y – 4)(y – 3) = 5( y –12)

+ + 7 8 9 2 §Æt y = x + 12. Ta cã (9) (cid:0)

(cid:0)

y3 – 12y2 + 47y – 60 =5y – 60 y3 – 12y2 + 42y = 0 y(y2 – 12y + 42) = 0

(cid:0)

* VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5(x-1)(x-5)(x-3)(x-15) = 7x2 (10)

5(x2 - 16x + 15)(x2 - 8x + 15) = 7x2

(*)

= (cid:0) 0 y (cid:0) (cid:0) =� y 0 + = - (cid:0) y 12y 42 0

* Lêi gi¶i: (10) (cid:0) V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (*) nªn ta chia c¶ hai vÕ cña (*) cho x2 ta cã: � 5 x � �

+ - - 16 7 15 x 15 x � = 8 � �

§Æt

ta cã: 5y(y - 8) = 7 (cid:0)

5y2 - 40y – 7 = 0 (**)

- y = + x 8 �� + x �� 15 x

Gi¶i ph¬ng tr×nh (**) ta cã y0; gi¶i ph¬ng tr×nh

ta cã x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (10).

- 8 = + x y 15 x

III. Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc

Ta thªm bít h¹ng tö ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc thÝch hîp råi tõ ®ã ®a vÒ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh

vÒ luü thõa cïng bËc.

B»ng c¸ch biÕn ®æi hai vÕ cña ph¬ng tr×nh ta ®a ph¬ng tr×nh ®½ cho vÒ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: An =

+ NÕu n lµ sè ch½n th× A = ± B

+ NÕu n lµ sè lÎ th× A = B * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 2x2 + 8x +3 (1)

(§Ò thi vµo THPT t×nh Hng Yªn, n¨m häc 2006 - 2007)

* Lêi gi¶i: + =

* NÕu

2x + 4 + 8x 3 + = 2 + + = x � � x 1) 2x 2 + 8x 4 2 1 4x + + = (x - = - � 1 2 x 1 2x 2 x + (2x 2) = � x 1,2

* NÕu

PT v« nghiÖm.

- � + = - 1 + x x

2x 1 0 + = 2x 3 0 2x 2 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm: = (cid:0) 1 2

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(2)

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2002 - 2003)

* Lêi gi¶i:

x - = 2 x x � (cid:0) 1,2x 1 3

= - - - � x - = 2 x x 3x 3x 3x 1

= (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) 1 3 + (x 1) = + x 1 ) - = 4 1 1 4x 3 4x ( 3x

= (cid:0) x - 1 4 1

+ + - =

* VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(3)

x 2 0 - - x (x 1) 3x x 1

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn §HSP Hµ Néi, n¨m 2000 – 2001)

* Lêi gi¶i: §K: x (cid:0)

§Æt

Do ®ã x + t = xt

= + = + = = � t x t x ; xt - - - - x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: + - = 3(x t) 2 0 x + + 3

+ + 3 t

+ - = - �

Khi ®ã ta cã:

, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

(cid:0) � + (x t) + - (x t 1) 3xt(x t) 3(x t) 2 0 + = = 3 x t + - = x t 1 1 2 � 2 = - � 2 x + = 2x 2 0 - 1 x x 1

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 (4)

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2005 - 2006)

* Lêi gi¶i: + 2

6x + 3 = (cid:0) 5x + 12x 8) 0 (x 3 + = + 12x 8 0 + + 2 3 = - (cid:0) 4x + (x 2) 6x 4x - - + = - (cid:0) � x 2 x 4 = x 2 3 2 3 - - = 4 + 1 4 1

IV. Ph¬ng ph¸p 4: Dïng bÊt ®¼ng thøc

2003

= 2004 -

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(1)

(§Ò thi chän HSG To¸n 9, tØnh H¶i D¬ng, n¨m häc 2006 - 2007)

* Lêi gi¶i:

DÔ thÊy x = 9 vµ x = 10 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).

XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x. + NÕu x < 9 th× (cid:0) x - 9(cid:0) > 0 (cid:0)

x + - x 9 10 1

(cid:0)

(cid:0) x - 9(cid:0) 2003 + (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 > 1 (cid:0) + NÕu x > 10 th× (cid:0) x - 10(cid:0) > 0 (cid:0) (cid:0) x - 9(cid:0) 2003 + (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 > 1 (cid:0)

(cid:0) x - 9(cid:0) 2003 > 0 vµ (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 > 1 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 > 0 vµ (cid:0) x - 9(cid:0) 2003 > 1 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

+ NÕu 9 < x < 10 th× 0 < x – 9 < 1 (cid:0) 0 < 10 – x < 1 (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) x - 9(cid:0) 2003 < x – 9; (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 < (cid:0) x - 10(cid:0) < 10 – x (cid:0) x - 9(cid:0) 2003 + (cid:0) x - 10(cid:0) 2004 < x – 9 + 10 – x = 1 (cid:0)

ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

(cid:0)

- - - - -

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

(2)

3 1) (5

VËy ph¬ng tr×nh ®· ch cã 2 nghiÖm lµ x = 9; x = 10 3 � �

x x x + 5) = 8 1) ( 216( ) � x ( �

* Lêi gi¶i: §Æt x – 1 = y ; 5 – x = z. Ta cã

3 3 216y z

+ + = 8)

Theo B§T C«si :

VËy y = z = 2, do ®ã x = 3.

+ + (cid:0) (y z 8) (y z 3 3 216y z

V. Ph¬ng ph¸p 5: Dïng hÖ sè bÊt ®Þnh

Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lóc ®ã ta cã:

1 a a 1 2 a b 1 b b 1

TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2. B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ

nguyªn.

+ = (cid:0) a (cid:0) = (cid:0) b (cid:0) + b 2 = c (cid:0) a a 2 + + b 1 a b 2 1 (cid:0) = (cid:0) d

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)

* Lêi gi¶i:

Ta cã:

b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = 1

1 a a 1 2 a b 1 b b 1

Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x - 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

(1) lµ:

+ (cid:0) 4 a (cid:0) = - (cid:0) 10 (cid:0) (cid:0) + b 2 = 37 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) a 2 + + b 1 a b 2 1 14

;

x2 =

; x3 =

;

x1 =

x4 =

+ - - - 5 17 5 17 - + 1 29 1 29

* Chó ý: Víi ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ gi¶i ®îc víi ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm h÷u tû.

2 2 2 2

VI. Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Ngêi ta chøng minh ®îc r»ng ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n cã kh«ng qu¸ n nghiÖm thùc. Do ®ã nÕu ta

chØ ra ®îc n nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®¹i sè bËc n th× ®ã lµ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã.

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 víi m lµ tham sè (1)

* Lêi gi¶i:

NhËn xÐt

+ x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)

1 (cid:0)

2 � � �

+ 2 - - - (m m 1) 1 2 k

+ Víi m = 0 hoÆc m = 1 th× cã hai nghiÖm lµ x = 0 vµ x = 1 - XÐt m (cid:0) x (cid:0) 0 ; m (cid:0) Gäi k lµ nghiÖm cña (1) (cid:0) ) ( 1 � - + m m 1 � k � )

(

2 m m

0 ( v× nÕu x = 0 th× m = 0 hoÆc m =1) k (cid:0) 0. Chia 2 vÕ cña (1) cho k6 ta cã: 3 1 1 � � = � � 2 k k � � 3 1 � � = 1 � � 2 k � �

2 � � �

+ 2 - - - (cid:0) (m m 1) 1 k 1 1 � - + � 2 k k �

còng lµ nghiÖm cña (1). V× k lµ nghiÖm cña (1) nªn ta cã:

(cid:0)

1 k 2 - + 2 - - -

(

( ) m m k

) 3 = k 1

) + 2 k (m m 1)

(m2 – m)2[(1 - k)2 – (1 - k) + 1]3 = [(1 - k)2 – (1 - k)]2(m2 – m + 1)3

Ta cã m lµ nghiÖm cña (1) (cid:0)

còng lµ nghiÖm cña (1)

(cid:0) (1 - k) còng lµ nghiÖm cña (1) 1 m

do m lµ nghiÖm cña (1) (cid:0)

1 - m còng lµ nghiÖm cña (1)

1 - m lµ nghiÖm cña (1) (cid:0)

còng lµ nghiÖm cña (1)

(cid:0)

§iÒu kiÖn ®Ó 6 gi¸ trÞ : m; (1-m);

; 1-

;

; 1-

®«i mét kh¸c

1 1 m-

nhau lµ: m (cid:0)

0; m (cid:0)

1; m (cid:0)

-1; m (cid:0)

2; m (cid:0)

1 m 1 m 1 1 m-

+ NÕu m = 0, m = 1, th× x = 0; x = 1

+ NÕu m = -1, m = 2 vµ m =

th× ph¬ng tr×nh (1) ®Òu cã d¹ng:

1 2

1 1 m- 1 2

4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2 (x+1)2(x-2)2(2x-1)2 = 0

(cid:0)

Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm : x1 = -1; x2 = 2; x3 =

+ NÕu m (cid:0)

0, m (cid:0)

1, m (cid:0)

-1, m (cid:0)

2, m (cid:0)

th× ph¬ng tr×nh (1) cã 6 nghiÖm: m; (1-m);

; 1-

;

(cid:0) 1 2

; 1-

1 2 1 m 1 m

1 1 m- 1 1 m-

VII. mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (1)

* Lêi gi¶i: (1) (cid:0)

x4 – 2x2 + 1 + x4 – 8x2 + 16 = 0

(x2 – 1)2 + (x2 – 4)2 = 0

Kh«ng xÈy ra ®ång thêi x2 = 1 vµ x2 = 4

(cid:0)

VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = 0 (2)

* Lêi gi¶i: (2) (cid:0)

(x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = 0

x (cid:0)

x2 + 1 > 0; x2 – x + 1 > 0 (cid:0)

(x2 + 1)(x2 – x + 1) = 0 0 (cid:0) Ta thÊy x2 (cid:0) VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

(cid:0)

(3)

+ - - - + k x k k x

* VÝ dô 3: T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: + x 2 (2 2

2 � x �

(§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2000 - 2001)

1) 5 = 3 + 6 2) ( 1 � �

- - - + 2x(2k 1) 5k

* Lêi gi¶i: + 2 � 2) x (x � + + 2) (x (2k 1))

(2)

- - - (cid:0) (x + 2x 1 + 2x 1 � �

Ta cã:

- - - (cid:0) = + � 6k 3 � = + � 1 (k 1) � + (k 1) 1 2+ + � (x (2k 1)) � � 1 � nªn VT(2) ≥

L¹i cã

nªn 2x + 1 ≤ x2 + 2 (cid:0)

VP(2) ≤ x2 + 2

§Ó (2) cã nghiÖm th× VT = VP = x2 + 2

+ - - (cid:0) x + = 2 (2x 1) (x 1) 0

- - = x (2k 1) 0 (cid:0) (cid:0) � �� = k 1 (cid:0) = k 1 � = x 1 + = 2 - - = k 1 0 + = 2x 1 x 2 0 � � � � � = � k 1 � = x 1 � � (x 1) �

Bµi tËp luyÖn

Gi¶i ph¬ng tr×nh

Bµi 1:

a) x4 + x2 + 6x - 8 = 0

b) ( x2 + 1)2 = 4(2x - 1)

Bµi 2:

a) (x2 - 5x)2 +10(x2 - 5x) + 24=0

b) (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) =12

Bµi 3:

a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24

b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) =1680

Bµi 4:

a) (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1

b) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0

Bµi 5:

(x + 1)4 + (x - 3)4 = 82

Bµi 6:

(§Ò thi vµo THPT Chuyªn SPNN Hµ Néi, n¨m 2006 - 2007)

Bµi 7: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:

a) x4 - 3x3 + 6x + 13 = 0

- - x 4x + 2x + = 4x 1 0

b) x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + 2 = 0 x

Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh:

(8)

a) Gi¶i (8) khi a = 1.

- - 1 x 1 + - = - + (2a 1) 2a 3 0 x x

Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh:

(9)

(§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2006 - 2007) 2 1 � � � � = � � � �+ x � � � �

a) Gi¶i (9) khi m = 15.

(§Ò thi vµo THPT Hµ Néi- Amstesdam, n¨m 2003 - 2004)

+ m 1 x 1

Giải phương trình bậc cao

2. §Þnh lý: Trªn tËp sè thùc, mäi ph¬ng tr×nh bËc n lu«n ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc

3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn

- NÕu n = 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm - NÕu n (cid:0) 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn + = víi a D¹ng tæng qu¸t: 0 XÐt (cid:0) + (cid:0)

5. §Þnh lý: + Ph¬ng tr×nh anxn + an-1xn-1+ ..........+ a1x + ao = 0 nÕu cã nghiÖm

Mét sè ph¬ng ph¸p thêng dïng ®Ó gi¶I ph¬ng tr×nh bËc cao.

I. Ph¬ng ph¸p 1: §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

- NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x - 1.

- NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc

- Mäi nghiÖm nguyªn cña ®a thøc ®Òu lµ íc cña hÖ sè tù do lµ a0.

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (2)

* VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 1)3 +(2x + 3)3 = 27x3 + 8 (3)

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

* VÝ dô 5: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (5)

(cid:0)18

Chó ý:

II. Ph¬ng ph¸p 2: §Æt Èn phô

* Chó ý: Trªn thùc tÕ, nhiÒu ph¬ng tr×nh bËc cao ph¶i biÕn ®æi míi ®a vÒ c¸c d¹ng c¬ b¶n nãi trªn

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – 5x2 + 6 = 0 (1)

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 (2)

(*) (cid:0) XÐt (cid:0) * VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = 0 (3)

* Lêi gi¶i: (2) (cid:0)

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6 (4)

§Æt 6x + 7 = t, ta cã: (*) (cid:0)

* Bµi to¸n trªn ta còng cã thÓ gi¶i theo c¸ch sau: + 6 (3x 4)(x 1)(6x 7) = + 2

* VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 6 : Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0 (6)

* VÝ dô 7 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (x – 5)4 + (x – 7)4 = 16 (7)

* VÝ dô 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x2 (8)

* VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9)

III. Ph¬ng ph¸p 3: §a vÒ luü thõa cïng bËc

+ NÕu n lµ sè lÎ th× A = B * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 = 2x2 + 8x +3 (1)

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 (4)

IV. Ph¬ng ph¸p 4: Dïng bÊt ®¼ng thøc

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh

V. Ph¬ng ph¸p 5: Dïng hÖ sè bÊt ®Þnh

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1)

VI. Ph¬ng ph¸p 6: Dïng tÝnh chÊt vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 víi m lµ tham sè (1)

(

(

( ) m m k

) 3 = k 1

) + 2 k (m m 1)

VII. mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c * VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (1)

VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. * VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = 0 (2)

* VÝ dô 3: T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: + x 2 (2 2

Bµi tËp luyÖn

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

() (cid:0) XÐt (cid:0) VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = 0 (3)