zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)

Chia sẻ: Tabicani09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

44
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS được hoàn thành với một số dạng bài tập như sau: Nhẩm, tính nghiệm của phương trình bậc hai; Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình; Lập phương trình bậc hai; Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)

UBND HUYỆN GIA LÂM TRƢỜNG THCS LỆ CHI SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM “NÂNG CAO HIỆU QUẢ CỦA HỆ THỨC VI–ÉT TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI AX2 + BX + C = 0 " Tác giả: Đào Thị Hạnh Môn: Toán Cấp học: THCS Năm học 2018 - 2019
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” Môc lôc Nội dung Trang PHẦN I: LÝ do chän ®Ò tµi 1 PhÇN II: Néi dung 2 i. c¬ së lý luËn vµ c¬ së thùc tiÔn: 2 1.C¬ së thùc tiÔn: 2 2. Thực trạng và nguyên nhân 2 2.1.Thực trạng 2 2.2.Nguyªn nh©n 3 III. c¸c kiÕn thøc cÇn nhí 3 1.Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) 3 2. Hệ thức Viet và ứng dụng 4 IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP 4 Dạng 1: Nhẩm, tính nghiệm của phương trình bậc hai 4 Dạng 2: Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, 5 tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình Dạng 3: Lập phương trình bậc hai 6 Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng 7 Dạng 5: Tính giá trị của các biểu thức nghiệm 8 Dạng 6: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 9 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho 11 hai nghiệm này không phụ thuộc (hay độc lập) với tham số. Dạng 8: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa 12 nghiệm đã cho Dạng 9: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 14 Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 15
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” V. KÕt qu¶ thùc nghiÖm: 17 PhÇn III: bµi häc Kinh nghiÖm 18 PhÇn IV: KÕt luËn – KIẾN nghÞ - ®Ò xuÊt 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức VI-ÉT, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức VI-ÉT là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức VI-ÉT nói riêng vào giải các bài tập liên quan, phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó. Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm "Nâng cao hiệu quả của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình ax2 + bx + c = 0 " trong giảng dạy. 1
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” PHẦN II: NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN: 1. Cơ sở thực tiễn: Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp thời. Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương pháp dạy phù hợp. Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác. Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến "Ứng dụng của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c =0". Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng. Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0). Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai. 2. Thực trạng và nguyên nhân 2.1. Thực trạng Qua quá trình dạy học môn Toán nhiều năm tôi nhận thấy, việc giải áp dụng hệ thức Vi-ét trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 của học sinh là khá khó khăn. Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng môn toán nói chung và dạng toán này nói riêng, gây ra sự chán nản trong học tập của học sinh. Cụ thể, theo điều tra tình hình học tập môn toán ở 2
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” khối lớp 9 trong nhà trường khi học chương III và kết quả học kì II năm học 2018 -2019, cho thấy: Tình hình làm bài tập ở nhà: Tự giải: 35% Trao đổi và giải: 13,21% Chép bài: 51,79% Học sinh hứng thú dạng toán này Hứng thú: 25% Bình thường: 33,21% Không hứng thú: 41,79% Kết quả học sinh làm câu 4 trong đề kiểm tra chương III - Đại số 9 là: Đề bài: Ví dụ 2: Cho phương trình m x  2 ( m  2 ) x  m  3  0 2 a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hoàn chỉnh: 7,25% Nắm vững điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 42,33% Giải được điều kiện: 16,00% Không làm được: 34,42% 2.2. Nguyên nhân  Học sinh chưa có hứng thú học tập đối với nội dung này, do đó các em chưa quan tâm đúng mức khi áp dụng hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0  Học sinh vận dụng kiến thức đã học như giải phương trình, phương trình bậc hai một ẩn còn hạn chế.  Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động; các em nắm được kiến thức, lí thuyết nhưng chưa biết cách vận dụng vào giải toán.  Các em không tự tin khi giải dạng toán nên không mạnh dạn phát biểu, đưa ra ý kiến của bản thân trước tập thể.  Trình bày lời giải không khoa học, lập luận thiếu chặt chẽ, căn cứ và ngộ nhận. II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) Các dạng và cách giải x  0 Dạng 1: c = 0 khi đó 1   a x  b x  0  x  a x + b   0   2 b x    a c Dạng 2: b = 0 khi đó 1   ax  c  0  x   2 2 a 3
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” c c -Nếu   0 thì x    . a a c -Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm. a Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN   b  4ac  '  b '  ac 2 2   0: phương trình có 2 nghiệm phân ' 0: phương trình có 2 nghiệm biệt phân biệt b   b    b ' '  b ' ' x1  ; x2  x1  ; x2  2a 2a a a   0: phương trình có nghiệm kép ' 0: phương trình có nghiệm kép b b ' x1  x 2  x1  x 2  2a a   0 : phương trình vô nghiệm ' 0 : phương trình vô nghiệm 2. Hệ thức VI-ÉT và ứng dụng - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:  b S  x1  x 2    a  P  x x  c  1 2 a u  v  S - Nếu có hai số u và v sao cho  S 2  4P  thì u, v là hai nghiệm của uv  P phương trình x2 – Sx + P = 0. c - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a c - Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =  a IV. PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT. DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải: b c  Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x1  x 2   ; x 1 .x 2  a a 4
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” b c  Nhẩm: x1  x 2  m  n   ; x 1 .x 2  m .n  thì phương trình có a a nghiệm x1  m ;x 2  n  Nếu a + b + c = 0 thì phương c  trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = a c  Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =  a Ví dụ 1: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) 2 x  5 x  3  0 (1) 2 2) 3 x  8 x  1 1  0 (2) 2 HD: Ta thấy : 3 Phương trình (1) có dạng a  b + c = 0 nên có nghiệm x1   1 và x2  2 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1  1 và x2  3 Ví dụ 2: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: x  7 x  12  0 x  7 x  12  0 2 2 1) 2) HD: 1) Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm x1  3 ; x2  4 2) Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3).(-4) = 12 nên phương trình có nghiệm x1   3 ; x 2   4 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 3 5 x  3 7 x  2  0 2 2. 7 x  5 0 0 x  5 0 7  0 2 3. x 2  4 9 x  5 0  0 4. 4 3 2 1 x  2 1 x  4 3 0 0  0 2 DẠNG 2: CHO PHƢƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ CHƢA BIẾT, CHO TRƢỚC MỘT NGHIỆM, TÌM NGHIỆM CÕN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH. Phương pháp giải:  Thay nghiệm đã biết vào phương trình, giải phương trình tìm hệ số chưa biết.  Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại. Vídụ: a) Phương trình x  2 p x  5  0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. 2 b) Cho phương trình : x  7x  q  0 2 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. 5
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” HD: a) Thay x1  2 v à phương trình ban đầu ta được : 1 44p 5  0  p  4 5 5 Từ x1 x 2  5 suy ra x2   x1 2 b) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1  x 2  1 1 và theo VI-  x1  x 2  1 1  x1  9 ÉT ta có x1  x 2  7 , ta giải hệ sau:     x1  x 2  7  x2   2 Suy ra q  x1 x 2   1 8 Bài tập áp dụng: a) Phương trình x  5x  q  0 2 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. b) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x  qx  50  0 2 , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. DẠNG 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp:  Tính tổng hai nghiệm: S  x 1  x 2 và tích hai nghiệm P  x1 x 2  Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là X 2  SX  P  0 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x 2 Ví dụ : Cho x1  3 ; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên  S  x1  x 2  5 HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó  vậy x1 ; x 2 là nghiệm của phương  P  x1 x 2  6 trình có dạng: x  Sx  P  0  x  5 x  6  0 2 2 Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104 4. x1 = 1  2 và x2 = 1  2 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 6
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” Ví dụ: Cho phương trình : x  3x  2  0 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 . Không giải 1 phương trình trình, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x 2  x1 1 và y 2  x1  x2 HD: Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 1 1  1 1  x1  x 2 3 9 S  y1  y 2  x 2   x1   ( x1  x 2 )      ( x1  x 2 )   3  x1 x2  x1 x2  x1 x 2 2 2 1 1 1 1 9 P  y1 y 2  ( x 2  ) ( x1  )  x1 x 2  1  1   2 11  x1 x2 x1 x 2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  0 2 9 9 hay y  2 y   0  2y 9y 9  0 2 2 2 Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình 3x  5x  6  0 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 . Không giải 1 phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y 1  x1  và x2 1 y2  x2  x1 5 1 (Đáp số: y  2 y   0 hay 6y  5y 3  0 2 ) 6 2 2) Cho phương trình : x  5x 1  0 2 có 2 nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thỏa mãn y 1  x1 4 và y2  x2 4 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đó cho). (Đáp số : y  727 y  1  0 2 ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x  2x  m 2 2  0 có các nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y 2 sao cho : a) y 1  x1  3 và y2  x2  3 b) y 1  2 x1  1 và y2  2 x2  1 (Đáp số a) y  4y 3 m 2 2  0 b) y  2 y  (4m 2 2  3)  0 ) DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÖNG Phương pháp:  Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x  S x  P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 ) 2 Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4 Ví a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x  3 x  4  0 2 7
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” giải phương trình trình ta được x1  1 và x2   4 Vậy nếu a = 1 thì b =  4 nếu a =  4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P=2 2. S =  3 và P=6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2  y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a  b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Phương pháp:  Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x  x ) và x x 1 2 1 2 Ví dụ 1 a) x1  x 2  ( x1  2 x1 x 2  x 2 )  2 x1 x 2  ( x1  x 2 )  2 x1 x 2 2 2 2 2 2  x1   x1   x  x 2    x1  x 2   3 x1 x 2  2 b) x1  x 2  3 3  x2 2  x1 x 2  x 2 2 1   x  2 2 c) x1  x 2  ( x1 )  ( x 2 )   x2  2 x1 x 2   ( x1  x 2 )  2 x1 x 2   2 x1 x 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1   1 1 x1  x 2 d)   x1 x2 x1 x 2 Ví dụ 2 x1  x 2  ? Ta biết  x   x1   x1  2 2 2 1  x2   x2  4 x1 x 2  x1  x 2    x2  4 x1 x 2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 1) x  x 2 1 (   x  x   x  x  =…….) 2 2 1 2 1 2 ( = x   x1   x  x 2    x1  x 2   x1 x 2  =……. ) 2 2) x1  x 2 3 3 1  x2 2  x1 x 2  x 2 2 1   3) x1  x 2 4 4 ( = x 1 2  x2 2 x 1 2  x2 2  =…… ) 4) x1  x 2 6 6 (= ( x1 )  ( x 2 )  2 3 2 3 x 2 1  x2 2 x 4 1  x1 x 2  x 2 2 2 4  = ……..) Bài tập áp dụng 8
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” 1 1 5) x1  x 2 6 6 6) x1  x 2 5 5 7) x1  x 2 7 7 8)  x1  1 x2  1 2. Không giải phương trình, tính giỏ trị của biểu thức nghiệm Ví dụ: Cho phương trình : x  8 x  1 5  0 . Không giải phương trình, hãy tính 2 1 1 1) x1  x 2 2 2 2)  x1 x2 x1 x2 4)  x  2 3)  1  x2 x2 x1 8 34 HD: 1) 34 2) 3) 4) 46 15 15 Bài tập áp dụng a) Cho phương trình : 8 x  72 x  64  0 2 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1)  2) x1  x 2 2 2 x1 x2 b) Cho phương trình : 2x  3x 1  0 2 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1  x1 1  x2 1)  2)  x1 x2 x1 x2 x1 x2 3) x1  x 2 2 2 4)  x2  1 x1  1 c) Cho phương trình x  4 2 3x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , Không giải phương trình, tính 6 x1  1 0 x1 x 2  6 x 2 2 2 Q  5 x1 x 2  5 x1 x 2 3 3 DẠNG 6: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = 0 a  b  0  c  0  Loại 1: Phương trình vô nghiệm   a  0      0 Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm  a  b  c  0 9
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”   a  b  c  0 a  0 Loại 3: Phương trình có nghiệm   b  0  a  0      0  a  0   0  b Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất  a  0      0 a  0 Loại 5: Phương trình có nghiệm kép     0 a  0 Loại 6: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt     0 Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất m x  2 ( m  1) x  2  0 2 a  0   0  b HD: Phương trình có nghiệm duy nhất  a  0      0 a  0 m  0 m  0 TH1:       m  0 b  0  2 ( m  1)  0 m  1 a  0 m  0  m  0 TH2:      2 (hpt vô nghiệm với  '  0  ( m  1)  m .   2   0 2  m  1  0 m 1 0 2 Với mọi m) Vậy pt có nghiệm duy nhất  m  0 Với m = 0 thì  2 x  2  0  x   1 Ví dụ 2 : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 Tìm các giá trị của m để phương trình : a) Có nghiệm kép . b) Có 2 nghiệm phân biệt. c) Vô nghiệm . m  4 m  0 HD: a)    9   '  0 m   5 10
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” m  4 m  0 b)    9   '  0 m  ,m  0  5 c) + m = 0 : Có nghiệm. 9 +m  0 :  ' 0   m  4 5 DẠNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ. Phương pháp:  Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:  Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0)  Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số  Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Ví dụ 1: Cho phương trình :  m  1  x  2 m x  m  4  0 có 2 nghiệm x ; x . Lập hệ 2 1 2 thức liên hệ giữa x1 ; x 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : m  1 m  1  0 m  1 m  1         4  '  0  m  ( m  1)( m  4 )  0 5m  4  0 m  2  5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có:  2m  2 x  x2  x  x2  2  (1)  1  1 m 1 m 1     x .x  m  4  x .x  1  3 ( 2 )   1 2 1 2 m 1 m 1 Rút m từ (1) ta có: 2 2  x1  x 2  2  m  1  (3) m 1 x1  x 2  2 Rút m từ (2) ta có: 3 3  1  x1 x 2  m  1  (4) m 1 1  x1 x 2 Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3   2  1  x1 x 2   3  x1  x 2  2   3  x1  x 2   2 x1 x 2  8  0 x1  x 2  2 1  x1 x 2 11
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” Ví dụ 2: Gọi x1 ; x 2 là nghiệm của phương trình :  m  1  x 2  2mx  m  4  0 . Chứng minh rằng biểu thức A  3  x1  x 2   2 x1 x 2  8 không phụ thuộc giá trị của m. HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì : m  1 m  1  0 m  1 m  1         4  '  0  m  ( m  1)( m  4 )  0 5m  4  0 m  2  5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có :  2m x  x2   1 m 1  thay vào A ta có:  x .x  m  4  1 2 m 1 2m m 4 6 m  2 m  8  8 ( m  1) 0 A  3  x1  x 2   2 x1 x 2  8  3 .  2. 8    0 m 1 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A = 0 Với mọi m 1 và m  . Do đó biểu thức A không phụ thuộc 5 vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình : x   m  2  x   2 m  1   0 có 2 nghiệm x ; x . Hãy lập hệ 2 1 2 thức liên hệ giữa x1 ; x 2 sao cho x1 ; x 2 độc lập đối với m. 2) Cho phương trình : x   4m  1 x  2 m  4   0 2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Phương pháp: Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:  Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đó cho có hai nghiệm x1 và x2 a  0 a  0  hoặc    0  '  0 12
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”  Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).  Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : m x  6  m  1  x  9  m  3   0 2 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x và 1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x 2  x1 . x 2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :  m  0  m  0      '  9  m  2 m  1   9 m  2 7  0 2   '   3  m  2 1    9 ( m  3 ) m  0 2 2  m  0 m  0       '  9  m  1   0 m  1  6 ( m  1) x  x2   1 m Theo hệ th ức VI-ÉT ta có:  và từ giả thiết: x1  x 2  x1 x 2 .  x x  9 (m  3)  1 2 m Suy ra: 6 ( m  1) 9 ( m  3)   6 ( m  1)  9 ( m  3 )  6 m  6  9 m  2 7  3 m  2 1  m  7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x 2  x1 . x 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x   2 m  1 x  m  2  0 2 2 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x 2  5  x1  x 2   7  0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x 2 là :  '  ( 2 m  1)  4 ( m  2)  0 2 2  4m  4m  1  4m  8  0 2 2 7  4m  7  0  m  4  x1  x 2  2 m  1 Theo hệ thức VI-ÉT ta có:  và từ giả thiết 3 x1 x 2  5  x1  x 2   7  0 .  x1 x 2  m  2 2 Suy ra 13
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”  2 )  5 ( 2 m  1)  7  0 2 3(m  3m  6  10m  5  7  0 2  m  2 (T M )  3m  10m  8  0   2 4 m  (KTM )  3 Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x 2  5  x1  x 2   7  0 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : mx  2 m  4  x  m  7  0 2 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  2 x 2  0 2. Cho phương trình : x   m  1  x  5m  6  0 2 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1  3 x 2  1 3. Cho phương trình : 3 x   3 m  2  x  3 m  1   0 2 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1  5 x 2  6 Nhận xét: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở chỗ + Trong Ví dụ thì biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm x  x và tích 1 2 nghiệm x1 x 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Cũng trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x  x và tích nghiệm x x rồi từ đó vận dụng 1 2 1 2 tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và Ví dụ 2. DẠNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: a x  b x  c  0 (a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương 2 trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm …. Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu x1 x2 S  x1  x 2 P  x1 x 2  Điều kiện chung nghiệm P
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” cùng dấu   P>0 0 0 ;P>0 cùng + + S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 dương 0 ;P>0;S< cựng âm   S0 0 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2 x   3 m  1  x  m  m  6  0 có 2 nghiệm trái dấu. 2 2 HD: Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì    (3 m  1)  4 .2 .( m  m  6)  0 2 2   0    (m  7 )  0 m 2     m  m 6 2    2  m  3 P  0  P   0  P  ( m  3 )( m  2 )  0  2 Vậy với  2  m  3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. m x  2  m  2  x  3  m  2   0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2 2. 3m x  2  2 m  1 x  m  0 2 có 2 nghiệm âm. 3.  m  1  x 2  2x  m  0 có ít nhất một nghiệm không thỏa mãn. DẠNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A  m C   (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) k  B (*) Thì ta thấy : C  m (với A  0)  m in C  m  A  0 (với B  0 ) C  k  m ax C  k  B  0 Ví dụ 1: Cho phương trình : x 2   2m  1 x  m  0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : A  x1  x 2  6 x1 x 2 2 2 có giá trị nhỏ nhất.  x 1  x 2   ( 2 m  1) HD: Theo VI-ÉT:   x1 x 2   m Theo đề bài :  x1   2 A  x1  x 2  6 x1 x 2   8 x1 x 2 2 2 x2 15
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”   2 m  1  8m 2  4m  12m  1 2  (2 m  3)  8   8 2 3 Suy ra: m in A   8  2 m  3  0 h a y m  2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x  m x  m  1  0 2 Gọi x và x là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá 1 2 trị lớn nhất của biểu thức sau: 2 x1 x 2  3 B  x1  x 2  2  x1 x 2  1  2 2  x1  x 2  m HD: Theo hệ thức VI-ÉT thì :   x1 x 2  m  1 2 x1 x 2  3 2 x1 x 2  3 2 ( m  1)  3 2m  1  B     x1  x 2  2  x1 x 2  1  ( x1  x 2 )  2  2  2 2 2 2 2 2 m m Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: m  2   m  2 m  1 m  1 2 2 2 B   1 m 2 m 2 2 2 m  1 2 Vì  m  1  2  0  0 B 1  2 2 m Vậy m a x B = 1  m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m  2m  1  2 m 2 m 2  4m  4   m 2  2 m  2 2 1 B  2 2  2 2   m 2 m 2 2m  2 2 2 2 2 m  2 2 1 Vì  m  2  0  2  0 B   2 m  2 2 2 1 Vậy m in B    m  2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m  1 B   Bm 2  2m  2B  1  0 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)  2 2 m Ta có:   1  B ( 2 B  1)  1  2 B  B 2 Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì   0 16
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)” hay 2 B  B  1  0  2 B  B  1  0  2B  1  B  1  0 2 2  1 B   2B  1  0 2   B 1 0   1  B 1       B  1 2B  1  0  1 2  B         B 1 0 2 B 1  1 Vậy: m ax B = 1  m = 1; m in B    m  2 2 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : x   4m  1 x  2 m  4   0 2 .Tìm m để biểu thức  x1   có giá trị nhỏ nhất. 2 A  x2 2. Cho phương trình x  2 ( m  1) x  3  m  0 2 . Tìm m sao cho nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn điều kiện x 2 1  x2  10 2 . 3. Cho phương trình : x  2(m  4) x  m 2 2 8  0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn a) A  x1  x 2  3 x1 x 2 đạt giá trị lớn nhất b) B  x1  x 2  x1 x 2 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất 4. Cho phương trình : x  ( m  1) x  m 2 2  m  2  0 . Với giá trị nào của m, biểu thức C  x1  x 2 2 2 dạt giá trị nhỏ nhất. V. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM: Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy: - Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ thức VI-ÉT. - Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt được kiến thức đã học để giải toán... - Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ. - Điều tra tình hình học tập môn toán ở khối lớp 9 trong nhà trường khi học chương III năm học 2018 -2019, cho thấy: - Tình hình làm bài tập ở nhà: Tự giải: 70% Trao đổi và giải: 21,5% Chép bài: 8,5% - Học sinh hứng thú dạng toán này Hứng thú: 59% Bình thường: 29,8% Không hứng thú: 10,2% 17

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.