PH NG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH C P IƯƠ Ế Ấ
I. H s h ng:ệ ố ằ
1. Ph ng trình thu n nh tươ ầ ấ
* D ng t ng quát:ạ ổ
Ay(n + 1) + by(n) = 0 (*) V i a, b là h ng s ≠ 0ớ ằ ố
* Cách gi iả:
Cách 1: Xét ph ng trình đ c tr ng: aλ + b = 0ươ ặ ư
λ = -b/a
Nghi m t ng quát c a ph ng trình (*) là:ệ ổ ủ ươ
Y(n) = c(-b/a)n
Cách 2: Truy h iồ
VD: y(n + 1) – 3y(n) = 0 (1)
- Cách 1: Xét ph ng trình đ c tr ng c a (1) là λ – 3 = 0 =>λ = 3ươ ặ ư ủ
=> Nghi m t ng quát c a (1) là: y(n) = C. 3ệ ổ ủ n
- Cách 2: Truy h i: y(n) ≠ 0 √ n, y(n + 1) = 3y(n)ồ
Ta có: y(1) = 3y(0)
Y(2) = 3y(1)
………….
Y(n) = 3y(n-1)
Nhân v v i v ta có: y(n) = y(0) * 3ế ớ ế n
Đ t y(0) = C => y(n) = C. 3ặn
2. Ph ng trình không thu n nh t:ươ ầ ấ
* D ng t ng quát:ạ ổ
Ay(n + 1) +by(n) = f(n) (a.b ≠ 0; f(n) ≠ 0)
•Cách gi i:ả
- Cách 1: Ph ng pháp ch n ươ ọ
B c 1ướ : Gi i ph ng trình thu n nh t ay(n+1) +by(n) = 0ả ươ ầ ấ
Ta tìm đ c nghi m t ng quát y(n) = (-b/a)ượ ệ ổ n .c
B c 2:ướ Tìm nghi m riêng ü(n) c a 1ệ ủ
Tr ng h p 1: Cho hàm f(n) = αườ ợ n.Pm(n)
V i Pớm(n) là đa th c b c m c a nứ ậ ủ
+ N u α không là nghi m c a ph ng trình đ c tr ng, nghĩa là α ≠ -ế ệ ủ ươ ặ ư
b/a. Nghi m riêng c a (1) có th tìm d i d ng: ü(n) = αệ ủ ể ướ ạ n. Qm(n)
Trong đó Qm(n) là m t đa th c b c m có h s ch a bi t và có thộ ứ ậ ệ ố ư ế ể
tìm b ng ph ng pháp h s b t đ nhằ ươ ệ ố ấ ị
+ N u α là nghi m c a ph ng trình đ c tr ng thì tìm nghi m riêngế ệ ủ ươ ặ ư ệ
d ng:ở ạ
ü(n) = n. αn. Qm(n)
Tr ng h p 2: Cho hàm f(n) = αườ ợ n. [ Pm(n)cos(nβ) + Ql(n).sin(nβ) ]
Nghi m riêng có th tìm d i d ng ü(n) = αệ ể ướ ạ n. [ Ph(n)cos(nβ) +
Qh(n).sin(nβ) ]
Trong đó h = max(l,m)
Cách gi i 2: Ph ng pháp bi n thiên h ng s :ả ươ ế ằ ố
B c 1:ướ Gi i ph ng trình thu n nh t ay(n+1) +by(n) = 0ả ươ ầ ấ
Ta tìm đ c nghi m t ng quát y(n) = (-b/a)ượ ệ ổ n .c
B c 2:ướ Tìm nghi m riêng c a ph ng trình thu n nh t b ng bi nệ ủ ươ ầ ấ ằ ế
thiên h ng sằ ố
Coi C = C(n) khi đó:
Y(n) = C(n). (-b/a)n
y(n+1) = C(n+1). (-b/a)n+1
Thay vào ph ng trình ươ
Ay(n + 1) +by(n) = f(n) ta đ c: a.C(n+1).(-b/a)ượ n+1 + b.C(n).(-b/a)n =
f(n)
C(n+1) – C(n) = (-1/b).(-a/b)n.f(n)
Đây là ph ng trình sai phân tuy n tính h s h ng đ i v i C(n) taươ ế ệ ố ằ ố ớ
có th gi i b ng các cách đã bi tể ả ằ ế
C(1) – C(0) = (-1/b). f(0).(-a/b)0
C(2) – C(1) = (-1/b). f(1). (-a/b)1
…………………
C(n) – C(n-1) = (-1/b). f(n-1). (-a/b)n-1
C ng theo t ng v ta đ c:ộ ừ ế ượ
n-1
C(n) – C(0) = (-1/b). ∑ f(i). (-a/b)i
i=0
L y h ng s t do là C(0) = C ta đ c ấ ằ ố ự ượ
n-1
C(n) = C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b)i
i=0
Thay vào y(n) ta đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình thu nượ ệ ổ ủ ươ ầ
nh t là ấ n-1
Y(n) = (-b/a)n.[ C +(-1/b). ∑ f(i). (-a/b)I ]
i=0
Ví dụ: Gi i ph ng trình: y(n+1) – 5y(n) = 5ả ươ n(n + 3)
Cách gi i 1: ả
B c 1ướ : Xét ph ng trình thu n nh t y(n+1) – 5y(n) = 0ươ ầ ấ
Xét ph ng trình đ c tr ng: λ – 5 = 0ươ ặ ư
λ = 5
y(n) = C.5n
B c 2:ướ Ta có: f(n) = 5n(n+3)
α=5 là nghi m c a ph ng trình đ c tr ngệ ủ ươ ặ ư
V y ü(n) = n5ận.(An+B)
ü(n+1) = (n+1)5n+1(An +A + B).
Thay vào ph ng trình ban đ u ta đ c:ươ ầ ượ
(n+1)5n+1(An + A + B) - 5n5n.(An+B) = 5n(n + 3)
5(n+1)(An + A +B) – 5n(An + B) = n+3
10An + 5(A + B) = n+3
10A = 1 và 5(A + B) = 3
A=1/10 và B = ½
ü(n) = n.5n(n/10 + 1/2)
Nghi m c a ph ng trình là y(n) = C.5ệ ủ ươ n + n.5n(n + 5)/10
Cách gi i 2:ả Xét ph ng trình thu n nh t y(n+1) – 5y(n) = 0ươ ầ ấ
Xét ph ng trình đ c tr ng: λ – 5 = 0ươ ặ ư
λ = 5
y(n) = C.5n
Coi C = C(n) ta có:
C(n+1) 5n+1- 5.5n.C(n) = 5n(n+3)
C(n+1) – C(n) = 5-1(n+3)
C(1) – C(0) = 5-1(0+3)
C(2) – C(1) = 5-1(1+3)
…………..
C(n) – C(n-1) = 5-1(n-1+3)
C ng v v i v ta đ c: C(n) – C(0) = 5ộ ế ớ ế ượ -1(3+4+5+…+n+2) = (n2 +
5n)/10
Đ t C = C(0) ặ
Thay C(n) vào y(n) ta đ c nghi m t ng quát c a ph ng trìnhượ ệ ổ ủ ươ
không thu n nh t là:ầ ấ
Y(n) = (C + (n2 + 5n)/10)
II. H s bi n thiên:ệ ố ế
a. Ph ng trình thu n nh t ươ ầ ấ
•D ng: a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = 0ạ
•Cách gi i: Truy h iả ồ
b. Ph ng trình không thu n nh t:ươ ầ ấ
•D ng: a(n).y(n+1) + b(n).y(n) = f(n) (1) f(n) ≠ 0ạ
•Cách gi iả: Dùng truy h iồ