PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ

Chia sẻ: Tran Cong Phuc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

4.294
lượt xem 386
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là hằng số

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ Là pt có dạng : y "+ ay '+ by = f ( x) (1) với : a, b : hằng số Pt thuần nhất liên kết là : y "+ ay '+ by = 0 (2) Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y "+ ay '+ by = 0 Gọi pt : k 2 + ak + b = 0 (*) là pt đặc trưng của (2) , pt (*) có : ∆ = a 2 − 4b có các trường hợp sau : a. Nếu ∆ > 0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt : −a ± ∆ k1,2 = 2 thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là : y1 = e k1x và y2 = e k2 x VD : Giải : y "− 5 y '+ 6 y = 0 Bài giải : - Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ⇒ k1 = 2, k2 = 3 - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e 2 x và y2 = e3 x - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : y = C1e 2 x + C2 e3 x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) b. Nếu ∆ = 0 : pt (*) có nghiệm kép : −a k1 = k2 = 2 thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :
−a −a x x y1 = e 2 và y = xe 2 2 VD : Giải : y "+ 4 y '+ 4 y = 0 Bài giải : - Pt đặc trưng : k 2 + 4k + 4 = 0 ⇒ k1 = k2 = −2 - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e −2 x và y2 = xe−2 x - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : y = C1e−2 x + C2 xe −2 x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) ⇔ y = e−2 x (C1 + C2 x) , (C1 , C2 ∈ ¡ ) c. Nếu ∆ < 0 : pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức : −a ± ∆i a ∆ k1,2 = =− ± i 2 2 2 thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là : −a x ∆ −a x ∆ y1 = e 2 sin x và y1 = e 2 cos x 2 2 VD 1 : Giải : y "+ 2 y '+ 10 y = 0 Bài giải : - Pt đặc trưng : k 2 + 2k + 10 = 0 ∆ ' = 1 − 10 = −9 ⇒ pt có 2 nghiệm phức : k1,2 = −1 ± 3i - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e − x sin 3x và y2 = e − x cos 3 x - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : y = C1e− x sin 3 x + C2 e − x cos 3 x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) ⇔ y = e − x (C1 sin 3 x + C2 cos 3 x) , (C1 , C2 ∈ ¡ )
VD 2 : Giải : y "+ 3 y '+ 12 y = 0 Bài giải : - Pt đặc trưng : k 2 + 3k + 12 = 0 ∆ = 9 − 48 = −39 ⇒ −3 ± 39i 3 39 pt có 2 nghiệm phức : k1,2 = =− ± i 2 2 2 - 2 nghiệm đltt của pt là : 3 3 − x 39 − x 39 y1 = e 2 sin x và y2 = e 2 sin x 2 2 - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : 3 3 − x 39 − x 39 y = C1e sin2 x + C2 e 2 cos x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 2 2 3 − x 39 39 ⇔ y = e 2 (C1 sin x + C2 cos x) , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 2 2 Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm .
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT y "+ ay '+ by = f ( x) (1) 1. f ( x) = eα x P( x) , ( P ( x) là đa thức ) a. Nếu α không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng : y = eα x Q ( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P ( x) ) VD : Giải : y "+ 2 y '+ 5 y = e 2 x ( x 2 + 1) Bài giải : - Pt thuần nhất liên kết : y "+ 2 y '+ 5 y = 0 - Pt đặc trưng : k 2 + 2k + 5 = 0 ∆ ' = 1 − 5 = −4 ⇒ k1,2 = −1 + 2i - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e− x sin 2 x và y2 = e − x cos 2 x - 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng : y = e2 x ( Ax 2 + Bx + C ) - Có : y ' = 2e 2 x ( Ax 2 + Bx + C ) + e 2 x (2 Ax + B) ⇔ y ' = e2 x (2 Ax 2 + 2 Ax + 2 Bx + B + 2C ) y " = 2e2 x (2 Ax 2 + 2 Ax + 2 Bx + B + 2C ) + e 2 x (4 Ax + 2 A + 2 B) ⇔ y " = e 2 x (4 Ax 2 + 8 Ax + 4 Bx + 2 A + 4 B + 4C ) - Thế vào pt : y "+ 2 y '+ 5 y = e 2 x ( x 2 + 1) ⇔ e 2 x (13 Ax 2 + 12 Ax + 13Bx + 2 A + 6 B + 13C ) = e 2 x ( x 2 + 1) ⇒ 13 A = 1 ∧ 12 A + 13B = 0 ∧ 2 A + 6 B + 13C = 1 1 12 215 ⇔ A= ∧B=− ∧C = 13 169 2197 ⇒ 1 nghiệm riêng của pt đã cho là : 1 12 215 y = e2 x ( x 2 − x+ ) 13 169 2197
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : 1 12 215 y = C1e− x sin 2 x + C2 e− x cos 2 x + e 2 x ( x 2 − x+ ) 13 169 2197 (C1 , C2 ∈ ¡ ) b. Nếu α là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng : y = eα x xQ( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P ( x) ) VD : Giải : y "− 5 y '+ 6 y = e 2 x (2 x + 1) Bài giải : - Pt thuần nhất liên kết : y "− 5 y '+ 6 y = 0 - Pt đặc trưng : k 2 − 5k + 6 = 0 ∆ = 25 − 24 = 1 ⇒ k1 = 2, k2 = 3 - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e 2 x và y2 = e3 x - 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng : y = e 2 x x( Ax + B) ⇔ y = e 2 x ( Ax 2 + Bx) - Có : y ' = 2e 2 x ( Ax 2 + Bx) + e 2 x (2 Ax + B) ⇔ y ' = e 2 x (2 Ax 2 + 2 Ax + 2 Bx + B) y " = 2e2 x (2 Ax 2 + 2 Ax + 2 Bx + B) + e2 x (4 Ax + 2 A + 2 B) ⇔ y " = e 2 x (4 Ax 2 + 8 Ax + 4 Bx + 2 A + 4 B) - Thế vào pt : y "− 5 y '+ 6 y = e 2 x (2 x + 1) ⇔ e 2 x (−2 Ax + 2 A − B) = e2 x (2 x + 1) ⇒ −2 A = 2 ∧ 2 A − B = 1 ⇔ A = −1 ∧ B = −3 ⇒ 1 nghiệm riêng của pt đã cho là : y = e2 x (−1x 2 − 3 x) - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
y = C1e 2 x + C2e3 x + e 2 x ( − x 2 − 3 x) , (C1 , C2 ∈ ¡ ) c. Nếu α là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng : y = eα x x 2Q ( x) , ( Q( x) là đa thức và bậc Q( x) = bậc P ( x) ) VD : Giải : y "− 4 y '+ 4 y = e 2 x Bài giải : - Pt thuần nhất liên kết : y "− 4 y '+ 4 y = 0 - Pt đặc trưng : k 2 − 4k + 4 = 0 ∆' = 0 ⇒ k1 = k2 = 2 - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e 2 x và y2 = xe 2 x - 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng : y = e2 x x 2 A - Có : y ' = 2 Ae 2 x x 2 + 2 Ae 2 x x ⇔ y ' = e 2 x (2 Ax 2 + 2 Ax) y " = 2e 2 x (2 Ax 2 + 2 Ax) + e 2 x (4 Ax + 2 A) ⇔ y " = e 2 x (4 Ax 2 + 8 Ax + 2 A) - Thế vào pt : y "− 4 y '+ 4 y = e 2 x ⇔ e2 x 2 A = e2 x ⇒ 2A =1 1 ⇔ A= 2 ⇒ 1 nghiệm riêng của pt đã cho là : 1 y = e2 x x 2 2 - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : 1 y = C1e2 x + C2 xe2 x + e 2 x x 2 , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 2
1 ⇔ y = e2 x ( x 2 + C2 x + C1 ) , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 2 2. f ( x) = eα x [ P ( x) sin β x + P2 ( x) cos β x ] , ( P ( x), P2 ( x) là đa thức ) 1 1 a. Nếu α + β i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng : y = eα x [ Q1 ( x) sin β x + Q2 ( x) cos β x ] ( Q1 ( x ), Q2 ( x ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P ( x ), P2 ( x ) ) 1 VD : Giải : y "+ y = sin 3 x Bài giải : - Pt thuần nhất liên kết : y "+ y = 0 - Pt đặc trưng : k 2 +1 = 0 ∆ ' = −1 ⇒ k1,2 = ±i - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = sin x và y2 = cos x - Có : y "+ y = sin 3 x = e0 x ( 1sin 3 x + 0 cos 3x ) ⇒ α = 0∧β =3 ⇒ α + β i = 0 + 3i = 3i ≠ k1,2 - 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng : y = e0 x ( A sin 3 x + B cos 3 x ) ⇔ y = A sin 3 x + B cos 3 x - Có : y ' = 3 A cos 3 x − 3B sin 3 x y " = −9 A sin 3 x − 9 B cos 3 x - Thế vào pt : y "+ y = sin 3 x ⇔ −8 A sin 3 x − 8 B cos 3 x = sin 3 x ⇒ −8 A = 1 ∧ −8 B = 0 1 ⇔ A=− ∧B=0 8 ⇒ 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1 y = − sin 3 x + 0 cos 3 x 8 1 ⇔ y = − sin 3 x 8 - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : 1 y = C1 sin x + C2 cos x − sin 3 x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 8 b. Nếu α + β i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng : y = eα x x [ Q1 ( x) sin β x + Q2 ( x) cos β x ] ( Q1 ( x ), Q2 ( x ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P ( x ), P2 ( x ) ) 1 VD : Giải : y "− 2 y '+ 10 y = e x cos 3 x Bài giải : - Pt thuần nhất liên kết : y "− 2 y '+ 10 y = 0 - Pt đặc trưng : k 2 − 2k + 10 = 0 ∆ ' = −9 ⇒ k1,2 = 1 ± 3i - 2 nghiệm đltt của pt là : y1 = e x sin 3 x và y2 = e x cos 3 x - Có : y "− 2 y '+ 10 y = e x cos 3x = e1x ( 0sin 3x + 1cos 3 x ) ⇒ α = 1∧ β = 3 ⇒ α + β i = 1 + 3i = k1 - 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng : y = e x x ( A sin 3 x + B cos 3 x ) ⇔ y = e x ( Ax sin 3 x + Bx cos 3 x ) - Có : y ' = e x ( Ax sin 3 x + Bx cos 3x) + e x ( A sin 3x + 3 Ax cos 3x + B cos 3x − 3Bx sin 3 x)
y ' = e x ( Ax sin 3 x + Bx cos 3x + A sin 3 x + 3 Ax cos 3x ⇔ + B cos 3x − 3Bx sin 3x) y " = e x ( Ax sin 3 x + Bx cos 3 x + A sin 3 x + 3 Ax cos 3x + B cos 3x − 3Bx sin 3x) + e x ( A sin 3x + 3 Ax cos 3x + B cos 3x − 3Bx sin 3x + 3 A cos 3x + 3 A cos 3x −9 Ax sin 3 x − 3B sin 3 x − 3B sin 3 x − 9 Bx cos 3x) y " = e x (−8 Ax sin 3 x − 8 Bx cos 3 x + 2 A sin 3 x + 6 Ax cos 3x ⇔ +2 B cos 3x − 6 Bx sin 3 x + 6 A cos 3x − 6 B sin 3x) - Thế vào pt : y "− 2 y '+ 10 y = e cos 3 x x ⇔ e x 6 A cos 3 x − e x 6 B sin 3 x = e x cos 3 x ⇒ 6 A = 1 ∧ 6B = 0 1 ⇔ A= ∧B=0 6 ⇒ 1 nghiệm riêng của pt đã cho là : 1 y = e x x sin 3 x 6 - Nghiệm tổng quát của pt đã cho là : 1 y = C1e x sin 3 x + C2e x cos 3x + e x x sin 3x , (C1 , C2 ∈ ¡ ) 6
VỀ BÀI THI - Cấu trúc : + Trắc nghiệm : 70% + Tự luận : 30%  Toán kinh tế (cực trị toàn cục)  Giải ptvp tuyến tính cấp 1 – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp 2 (các dạng đặc biệt)