PH
ƯƠ
Ằ NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH C P 2 CÓ H S LÀ H NG
Ệ Ố
Ấ
Ế
SỐ
Là pt có d ng :ạ
=
ay
+ '
by
f x ( )
(1)
+ " y v i : a, b : h ng s ố ớ
ằ
Pt thu n nh t liên k t là : ấ
ế
ầ
+ "
y
ay
+ '
=
by y
= (2) 0 + + ay ' "
by
0
ủ
ệ
ầ
ấ
Cách tìm 2 nghi m đltt c a pt thu n nh t : G i pt :
ọ
2
+
k
ak b
+ = (*) 0
là pt đ c tr ng c a
ư
ặ
ủ (2) , pt (*) có :
D =
a
2 4 b
có các tr
-
: pt (*) có 2 nghi m phân bi
t :
ườ a. N u ế
ệ
ệ
ng h p sau : ợ D > 0
a
=
k 1,2
2
k x 1
k x 2
và
thì pt (2) có 2 nghi m đltt là : y
ệ e=
- – D
2
e= y 1
+ " 5 ' 6 y
= y
y
0
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
-
+ = 2 5 k
6 0
k
=
-
3
k 1
ệ
3
2
x
x
và
(cid:222)
2
ệ
ổ
3
x
x
e= y y 1
,
1
2
k= 22, - 2 nghi m đltt c a pt là : ủ e= - Nghi m t ng quát c a pt đã cho là : ủ C C ˛ = 2 ( , y C e 1
D =
+ ) ¡ C e 2
: pt (*) có nghi m kép :
b. N u ế
ệ
0
=
=
k
k 1
2
a 2
thì pt (2) có 2 nghi m đltt là :
ệ
-
x
x
a 2
a 2
và
- -
2
= = xe y
=
y
0
y
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
+ =
k+ 2 4
k
4 0
= -
e + y 1 + y " 4 ' 4
2
2
k 1
- 2 nghi m đltt c a pt là :
ệ
2
x
2
x
(cid:222)
và
2
ệ
ổ
= y y 1
2
2
x
1
2
- - + ) ¡
,
k= ủ xe- e-= - Nghi m t ng quát c a pt đã cho là : ủ = x y C e 1 -= x 2 e
1
2
1
2
D <
(cid:219) C C ˛ ( , , C C ˛ ( , ) ¡ C xe 2 + C C x ( y )
: pt (*) không có nghi m th c,
c. N u ế
ự (*) có 2 nghi m ph c :
ứ
ệ
ệ
0
a
i
=
= -
i
k 1,2
2
a 2
2
thì pt (2) có 2 nghi m đltt là :
ệ
- – D D –
x
x
a 2
a 2
và
+
=
+ " 2 ' 10 y
y
y
0
VD 1 : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
2
+
k
k+ 2
= 10 0
D = -
- - D D = = e sin x e cos x y 1 y 1 2 2
= - ' 1 10 pt có 2 nghi m ph c : ệ
9 ứ
- 2 nghi m đltt c a pt là :
ệ
x
x
và
= - – (cid:222) i 1 3 k 1,2
-= e
ủ -= e
ổ
ệ
sin 3 x y cos 3 x y 1
x
x
,
2
- - ) ¡ sin 3 cos 3 x
,
1
2
2 - Nghi m t ng quát c a pt đã cho là : ủ + = y C e x C e 2 1 -= + x x C e C ( 1
2
(cid:219) C C ˛ ( , 1 C C ˛ ( , ) ¡ sin 3 y x cos 3 )
+
=
+ " 3 ' 12 y
y
y
0
VD 2 : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
+
k+ 2 3
k
= 12 0
D = -
= - 9 48
39
pt có 2 nghi m ph c : ệ
ứ
- 2 nghi m đltt c a pt là :
ủ
ệ
- – 3 i 39 (cid:222) = = - – i k 1,2 3 2 39 2 2
x
x
3 2
3 2
và
2
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
ủ
ệ
ổ
- - = = e sin x y e sin x y 1 39 2 39 2
x
x
3 2
3 2
,
sin
cos
x
1
2
= y C e 1
+ x C e 2
39 2
- - C C ˛ ( , ) ¡
x
3 2
,
2
1
2
39 2 39 2
- (cid:219) = C C ˛ ( , ) ¡ y e sin + x C cos x ) C ( 1 39 2
V y : ptvptt c p 2 có h s là h ng s LUÔN có nghi m .
ệ ố
ố
ệ
ằ
ấ
ậ
M T S D NG Đ C BI T
Ộ Ố Ạ
Ặ
Ệ
=
+ "
y
ay
+ '
by
f x ( )
(1)
a=
1.
, (
x e P x ( )
(1) có nghi m riêng d ng :
( )P x là đa th c )ứ
ư
ặ
ệ
ạ
a=
ủ ( )Q x là đa th c và b c
, (
( )P x )
ứ
2
x
2
( )Q x = b c ậ f x ( ) a. N u ế a không là nghi m c a pt đ c tr ng thì ệ x e Q x ( ) ậ y
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt thu n nh t liên k t :
ế
ấ
ầ
+ = + + " 2 ' 5 y y y e ( x 1)
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
2
+ = + " 2 ' 5 y y y 0
4
+ = k k+ 2 5 0
- 2 nghi m đltt c a pt là :
ệ
x
x
và
(cid:222) i 1 2
-
ệ
2
cos 2 x sin 2 x y 1
D = - = - ' 1 5 = - + k 1,2 ủ -= -= e e 1 nghi m riêng c a pt đã cho có d ng : ủ 2 x e Ax (
- Có :
2
x
2
= + y 2 ạ + Bx C y )
2
+ + + ) + Ax B ) y
(cid:219) Bx C e + (2 + + = 2 x ' 2 e Ax ( = x 2 + Ax Bx B C 2 ) y Ax e '
2
2
x
(2 x 2 2 + 2 + + + + + y (2 2 2 (4 Ax 2 A B 2 )
Ax 2 (cid:219) = " 2 e = x 2 + Ax + Bx B + + + 2 ) C e + e y A 2 Bx B 4 C 4 )
- Th vào pt : ế
2
x
2
8 x 2 Ax 2 Ax = (4 + 4 + e 1)
(cid:219) " + " 2 ' 5 y y y + x 2 2 + = + A B e ( x 1)
(cid:222) ( x + 13 = (cid:217) B e 13 12 + A (13 A Ax 1 12 + 6 + 6 B C 13 ) = 13 C 1
ệ
2
x
(cid:219) = (cid:217) = - B A C + Bx 2 + A 0 2 215 2197 (cid:222)
21 x ( 13
= - y e + x ) Ax = (cid:217) 13 12 1 (cid:217) = 169 13 1 nghi m riêng c a pt đã cho là : ủ 12 169 215 2197
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
ủ
ệ
ổ
x
x
2
x
2
- - + - sin 2 cos 2 x e x + x ) = y C e 1 + x C e 2 1 ( 13 12 169 215 2197
1
2
(1) có nghi m riêng d ng :
b. N u ế a
C C ˛ ( , ) ¡
là nghi m ệ đ nơ c a pt đ c tr ng thì ủ
ặ
x
a=
ư ( )Q x là đa th c và b c
ạ ( )P x )
, (
ứ
ậ
ệ ( )Q x = b c ậ
2
x
e xQ x ( ) y
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt thu n nh t liên k t :
ế
ấ
ầ
- + " 5 ' 6 y = y y e (2 + x 1)
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
- + " 5 ' 6 y = y y 0
2 5
- + = k 6 0 k
-
ệ
2
3
x
x
và
(cid:222) 3 D = k 1
2
ệ
ạ
x
e= y y 1
2
= + y ) (
- Có :
2
2
x
(cid:219) = + = 25 24 1 = k= 22, - 2 nghi m đltt c a pt là : ủ e= - 1 nghi m riêng c a pt đã cho có d ng : ủ 2 e x Ax B 2 x e Ax ( Bx y )
2
+ + y Bx ) ) (2
(cid:219) = 2 x ' 2 e Ax ( = x 2 + e + y Ax e ' Ax )
2
2
x
(2 x 2 2 + 2 + + + + y (2 2 2 e (4 Ax 2 A B 2 )
Ax 2 (cid:219) = " 2 e = x 2 + + Ax B + Bx B + Bx B + ) + Ax + y e " (4 Bx A 2 4 Ax B 4 )
- Th vào pt : ế
8 x 2 - Ax = y + x e
1) x 2 (cid:219) - - e + (2 x 1) e
(cid:222) - 1 (cid:219)
ệ
2
x
(cid:222)
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
ệ
ổ
- - + " 5 ' 6 y y (2 = + x 2 2 Ax ) A B ( 2 - = = (cid:217) 2 2 2 A B A (cid:217) = - = - 1 B 3 A 1 nghi m riêng c a pt đã cho là : ủ = 2 x e 3 ) y
x ( 1 ủ
2
x
3
x
2
x
2
,
2
1
c. N u ế a
+ + - - C C ˛ ( , ) ¡ e ( x x 3 ) = y C e 1 C e 2
ư
ệ
ặ
x
a=
( )Q x là đa th c và b c
, (
(1) có nghi m riêng d ng : ạ ( )P x ) ( )Q x = b c ậ
ứ
ậ
là nghi m ệ kép c a pt đ c tr ng thì ủ 2 e x Q x ( )
2
x
y
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt thu n nh t liên k t :
ế
ấ
ầ
- + " 4 ' 4 y = y y e
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
- + " 4 ' 4 y = y y 0
2 4
- k + = k 4 0
D = k 1
2
= (cid:222)
ệ
2
2
x
x
và
2 - 2 nghi m đltt c a pt là :
2
y y 1
ệ
xe= ạ
' 0 k= ủ e= - 1 nghi m riêng c a pt đã cho có d ng : ủ 2 x 2 e x A
- Có :
2
= y
2 x Ae x
2
+ y
2
(cid:219) = 2 x ' 2 Ae x = x 2 2 + y ' e Ax Ax )
2
x
(2 x 2 2 + + + y (2 2 e (4 Ax A 2 )
Ax 2 (cid:219) = " 2 e = x 2 + ) Ax + Ax A 2 ) " e y (4
- Th vào pt : ế
8 x 2 - e
(cid:219)
(cid:222)
(cid:219)
ệ
2
(cid:222)
2 x e x
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
ủ
ệ
ổ
2
x
2
x
2
= y Ax = + " 4 ' 4 y y y A e= 2x x 2 2 e 1A = 2 1 A = 2 1 nghi m riêng c a pt đã cho là : ủ 1 2
,
2 x e x
1
2
+ + C C ˛ ( , ) ¡ = y C e 1 C xe 2 1 2
2
x
,
1
2
2 x C x C 2 1
x
=
b
+
(cid:219) = + + C C ˛ ( , ) ¡ y e ( ) 1 2
]
2.
f x ( )
b ( ) cos
x
x P x 2
P x P x là đa th c )ứ ( ),
, ( 1
2
a e a
[ b+
a. N u ế
( ) (1) có nghi m riêng d ng :
ệ
ạ
ư
x
P x ( ) sin 1 i =
]
y
không là nghi m c a pt đ c tr ng thì ủ [ a + e Q x
ệ b ( ) sin
ặ b ( ) cos
1
2
x Q x x
( ), ( ) ( ), Q x Q x là đa th c có b c b ng nhau và b ng b c cao nh t c a
(
ậ ằ
ấ ủ
ứ
ằ
ậ
1
2
2
P x P x ) ( ) 1
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt thu n nh t liên k t :
ế
ấ
ầ
+ = " y y sin 3 x
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
y+ = " y 0
k + = 2 1 0
ệ
(cid:222) 1 i= –
- 2 nghi m đltt c a pt là : x
và
2 =
+
= D = - ' 1,2k ủ = x y
cos ( x 0
)
e
1sin 3
x
0 cos 3
x
- Có :
(cid:222)
x sin 3 3 i 0 3
ệ
x
sin y 1 + = " y y b= (cid:217) = a 0 b+ a = + = „ (cid:222) i i 3
)
x
ạ + x B cos 3
(cid:219) k 1,2 - 1 nghi m riêng c a pt đã cho có d ng : ủ = 0 y e = y A
( A sin 3
- Có :
sin 3 + x B cos 3 x
-
- 3 sin 3 B B x 9 cos 3 x x
- Th vào pt : ế
y y y
(cid:219) - - sin 3 x (cid:222) - -
1 nghi m riêng c a pt đã cho là : ủ
ệ
(cid:219) = - 0 A = A ' 3 cos 3 x = - A 9 sin 3 " + = x sin 3 " y = 8 cos 3 x B x A 8 sin 3 = = (cid:217) 1 8 B A 0 8 1 (cid:217) = B 8 (cid:222)
= - y sin 3 + x 0 cos 3 x
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
(cid:219) = - y sin 3 x
ệ
ổ
1 8 1 8 ủ
,
1
2
2
- C C ˛ ( , ) ¡ sin + x C cos x sin 3 x = y C 1 1 8
(1) có nghi m riêng d ng :
b. N u ế
a b+
ệ
ệ
ạ
x
]
i là nghi m c a pt đ c tr ng thì ặ ư [ a + = b b x Q x e x Q x ( ) cos
ủ ( ) sin
y
x
2
1
( ), ( ) ( ), Q x Q x là đa th c có b c b ng nhau và b ng b c cao nh t c a
(
ậ ằ
ấ ủ
ứ
ậ
ằ
1
2
2
x
P x P x ) ( ) 1
VD : Gi
i : ả
Bài gi
iả :
- Pt thu n nh t liên k t :
ế
ấ
ầ
- + " 2 ' 10 y = y y e cos 3 x
- Pt đ c tr ng : ặ
ư
- + " 2 ' 10 y = y y 0
2 2
- k + k = 10 0
9 = – i 1 3
- 2 nghi m đltt c a pt là :
ệ
x
x
D = - ' k 1,2 ủ =
(cid:222)
= e e
y x -
)
2 cos 3
e
0sin 3
+ x
1cos 3
x
- Có :
cos 3 x ( = 1 x e x
(cid:222) 1
ệ
= + = (cid:222) x sin 3 y và 1 = + y y " 2 ' 10 y b= (cid:217) = a 3 b+ a i 1 3 i k 1
=
)
=
sin 3 y cos 3 x
(cid:219)
)
- 1 nghi m riêng c a pt đã cho có d ng : ủ ( x e x A ( x e Ax
ạ + x B + x Bx
sin 3
y
cos 3
x
- Có :
x e Ax (
x e A (
= + + ' sin 3 + x Bx x cos 3 ) sin 3 x 3 Ax cos 3 x
y + - B cos 3 x 3 Bx x sin 3 )
x
= + ' e Ax ( sin 3 + x Bx cos 3 + x A sin 3 x 3 Ax cos 3 x (cid:219) y + - x B 3 Bx
cos 3 = x + e Ax ( sin 3 " + x A x 3 Ax cos 3 x
x e A (
y + - B cos 3 x 3 Bx sin 3 + x 3 Ax cos 3 x
+ - B cos 3 x 3 Bx x sin 3 ) + cos 3 x Bx + x sin 3 ) + x sin 3 A sin 3 + x 3 cos 3 3 cos 3 A x
- - - - x 9 3 sin 3 B x 3 sin 3 B x 9 Bx
sin 3 x Ax = - - " e ( 8 Ax sin 3 x cos 3 ) + 2 sin 3 x A 6 + cos 3 x Ax cos 3 x x (cid:219) y + - - 6 cos 3 A x x 6 sin 3 ) B
- Th vào pt : ế
x
- 8 Bx + x sin 3 x cos 3 6 = y Bx e
x e B 0
(cid:219) - x = x 6 sin 3 e cos 3 x (cid:222)
(cid:219) = (cid:217) = B A 0
ệ
x
(cid:222) x B 2 cos 3 + " 2 ' 10 y y x x e A 6 cos 3 = = (cid:217) 1 6 B A 6 1 6 1 nghi m riêng c a pt đã cho là : ủ
- Nghi m t ng quát c a pt đã cho là :
= y e x sin 3 x
ệ
ổ
x
x
x
1 6 ủ
,
2
1
+ C C ˛ ( , ) ¡ sin 3 cos 3 x e x sin 3 x = y C e 1 + x C e 2 1 6
V BÀI THI
Ề
- C u trúc : ấ
ệ
+ Tr c nghi m : 70% + T lu n : 30%
ắ ự ậ
ị
ụ
(c c tr toàn c c) ế ự ế
ặ i ptvp tuy n tính c p 1 – Becnouly, ptvp tuy n tính c p 2 (các d ng đ c
ế
ấ
ấ
ạ
Toán kinh t Gi ả t)ệ bi
