Tài liệu "Rèn kỹ năng giải hệ phương trình và hình phẳng oxy" gồm 13 phần cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập, ví dụ cụ thể có lời giải về giải hệ phương trình và hình phẳng oxy. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
+ 2
+
)
(
-
( x x
= x
+ y
y
y
y
(
(
x
4
y
) + + = 1
6
2
x
) + - + y 1
7
+ y
1
2
+
(
)
1 9
+ 33
29
x
y
x
y
y
-
3
2
2
+
+
+
+
+ - + y 1 2 2 (
4
4
+ = 4
- = y ) 1
4
2
x
x
y
x
y
+ 3 x
=AN
AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
1 4
- =x
1 0.
biết rằng đường thẳng DM có phương trình
là điểm trên cạnh AC sao cho N - 3 1 ; 2 2
=
(
sao cho
AM
2
AB
, đường tròn tâm
đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết
I
)0;3
(
)
đường thẳng CD:
x
y+ 3
= 13 0
và đường thẳng BC đi qua điểm
. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và
K
7;14
điểm C có hoành độ dương.
2
2
2
-
+ = 2 - - x x + xy y + xy 2 xy y
2
+ - + = 2 2 x 3 y
2
2
ĐK:
2
2
2
+
= 2
2 y x x Lời giải: - ‡ - ‡ ‡ ‡ x xy 0; xy y 0; x 0; y 0
x
x
+ xy
+ xy
y
2
xy
1
- - Từ phương trình (1) ta có
(
) 2 +
)
2 = ⇒ =
x
y
1
( ⇒ - x
0
y
0
x
y
2
x
= 2 y
xy
(cid:219) - - -
Thay x
y= vào phương trình (2) ta có
x
x
3
y
y + xy (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0 y x (
+ = 2 2 )
(
+ 2 2 ) 2 +
+ =
+
-
+ = x
3
x
+ 2 2 x
x x
x
3
x
x
2
2
(cid:219) - (cid:219) -
2 2
x
2 0
2
2
- – 1 5 5 - + 1 5 = = x 1 = = x x y (cid:219) ⇒ ⇒ ⇒ - + 1 + = x x 2 + x = - = = x 2 = x 1; 2 x y 2 4 2 4
)
)
( , 4; 4
+ 2
5 5 - + 1 = Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là( x y ; ; - + 1 2 2
y
x
+ = + y y 2 4
2
x
2
+ y
- -
2
16
+ = y 4
+ y x
x
2 y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình -
+ 2 - -
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Từ phương trình (1) ta có x + y 2 y x 2
(
)
x
2
y
x
2
y
+ + 2
1 + + y
4 2
2
x
1 + y
2
x
y
= (cid:219) = 0 y (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
2
(cid:219) - - -
x
y= 2
vào phương trình (2) ta có
Thay
+ x + = 4 2 x x 2 y
+ = 2 x
4 2
+ x x
(cid:219) + - x
8 0
4 x
4 + - = 2 x x
4 x
(cid:219)
=
+
>
Đặt
⇒ - 2 t
t
x
t (
0)
4 x
= t
2
= 2 t = (cid:219) t 2 0 0 ( loai )
= ⇒ +
t
x
x
2
= (cid:219) 2
+ = (cid:219) = 4 4 0
⇒ = y 1
2
x
x
- Với
x y = ) (2;1)
là giao điểm của 2
N
B
12 29 ; 5 5 )3; 4 (
và
. Tìm tọa độ các đỉnh
EF y - = :
5 0
đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng của hình vuông ABCD.
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE BF= , gọi
Dễ thấy
045 ).
/ /
AC
⇒ ^
Khi đó:
AF CE
( do F là trực tâm )
^
CB
AB
EF BD (vì cùng tạo với AB góc EF
( I t
); 4
Phương trình
, gọi
ta có: IB IN=
BD y - = : 4
0
.
2 =
^
)
(
)
⇒
Khi đó: (
t
3
4
0
I
0; 4
t
t
2 +
2 29 (cid:219) = 5
( D -
Từ đó suy ra
khi đó phương trình AC là :
u
A
2
- +
- - -
(
)0;A (
) = (cid:219) u
Gọi
u ta có:
= (cid:219) 0
9
4
0
12 5 )3; 4 (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:6) (cid:5)(cid:5)(cid:5)(cid:6) AB AD .
) ( 0;1 (
)
u
A
x = 0 = ⇒ 1 = ⇒ 7
0;7
(
Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại (
(
)
(
A (
(
)
) 0;1 ;
) 0;1 ;
0;7
C
A
A
B
)0;7 ) C 3; 4 ;
) 0;7 ;
( D -
3; 4
. Vậy
Khi đó:
2
-
là các điểm cần tìm. (
)
y
2
2
2
+
+
+
2 x y
3
y
2
x
+ = 1
y
-
- -
y
2
1
y )
(
+ x
y
+ x
6
4
1
4
- = 2
4
4
ĐK :
y
1;
x
;
y
2
y
1 0
1 4
‡ ‡ - - - „
(
)2
y
2
2
2
+
+
+
Xét phương trình (1) ta có
2 x y
3
y
2
x
+ = 1
y
-
y
2
y
1
2
- =
- -
y
y
+ - 2 x
2
1 0
2
1 2
2
2
+ 2 x y (
(cid:219) -
⇒ + - = (cid:219) =
+ - 2 x
2
y
y
0
2
0
x
y
y
+ x
2
2
= 1
x
y
+ y 2 ) + + + 1 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(cid:219) -
(
)
+
+
xy
4
x
4
y
- = 2
+ x
4
6
+ x
4
1
vào phương trình 2 ta có
+ 2 x
(
)
Thay + 3 x
(cid:219) = y + 2 x
4
2 + = x 6 6
+ 4 x
6
1
+ 4 x (
(
(
)
(cid:219)
( + x
+ 4 x
) 2 + 1
5
+ 4 x
1
3
với
) 3 + + 4 x 1 t > 0
f t+ 2
) ( ) ( ) 3 2 + + = + + x 1 1 1 5 x Xét hàm số ( ) = + + 2 5 t t t t " > + > với 23 Ta có t t 5 0 Suy ra hàm số đồng biến ( ) t
0 với
" > t
0
y
6
f )
(
+
=
+ ⇒ - 2
Mà
( f x
) 1
f
4
x
+ ⇒ + = x
1
1
4
x
1
x
= (cid:219) x 0
2
y
2
= ⇒ = x 2 = ⇒ = x 0
(cid:219)
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3
x
+ - y
= 13 0
và
N
(2; 2)
. Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
=
Gọi I là tâm của hình vuông và G BI CM
suy ra G là trọng tâm tam
˙
AB
a= 2
ta có:
giác ABC. Đặt
BD
a= 2
2
5 2 = . CG ; 2 CM= 3 a 3
2
2
2
2
+
a 2 a 2 2 5 a = = = + = Khi đó GI ; IN ⇒ = GN ; CN CI IN 3 2 a 6 10 2
GC
=
=
(cid:7) MCN
0 45
2 CN GN GC CN 2 .
1 = ⇒ 2
- Do vâỵ (cid:7) GCN cos
)
= = Ta có (cid:7) ( .sin GCN d N CM NC ; ⇒ = NC 5 5 10
2
2
2
) (
)
(
)
) ( = (cid:219) t 11 3
( C t
t ;13 3
> t
3
) ( 4;1 )
C (cid:219) - - - . t Gọi ta có NC = 5 + 2 5 = ⇒ 4 ( loai 3 t = t
)4;1C (
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vậy là điểm cần tìm.
(
)
( y x
- + y x
+ x
y
2
) - + + y 1
2
= y 3
4
1
-
.
+
+ = 2
x
y
x
x
2
3 2
+
+
- + 6 (
x
1 2
y
2
x
2
y
+ + y x ) 1
+ x
+ - y
3
1 3
x
+ + y x 2
2
-
.
2
2
+ +
=
+
+
x
3 2
x
x
4
y
3
+ = 3
và trung tuyến qua đỉnh B là
+ - = y
2 0;
d
: 4
+ x
- = y
5
9 0
. Điểm
d x : 1
2
.
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
R =
thuộc cạnh AB và bán M 2; 1 2
15 6
, gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn (
y+ - =
4 0
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
(
)
đường thẳng AB và AD lần lượt tại
.Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết
và
E
3; 3
F
23 9 ; 5 5
phương trình đường tròn (
-
2
)C biết C có tung độ dương.
43
+ - - x + = y 1 x y 1 3 x
- - 1 y y 3 = + - x x
ĐK: 1
2
+ -
4 x Lời giải: - £ £ y > 4; x 0
43
x
x y
1 3
3
2
+
-
x
y
1
x
0
⇒ - x
+ = ⇒ = y
1 0
y
x
1
4
= + 1
x
y
+ = 1 y ) + + (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
(cid:219) - - Từ phương trình (1) ta có x (
2
Thay
y
x=
2 1
vào phương trình (2) ta có:
y
1
x
1
1
4 x
y 3 = + - x x
x 5 = + - x x
3 x
- - - - (cid:219) - -
2
(
)
=
)
+ x 2 (cid:219) - 0 ⇒ = ⇒ = 2 x y 3 x 2 x x 2 + - = 2 x 5 + + + 1 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
x y ;
(2;3)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (
= 2 + 2 - x + + y 4 2 2 xy 4 y + 2 x y 2 2
2
- x 2 + = + x 9 3 y 1 + 3 x
ĐK:
3
+
+ 2
= 2
2 Lời giải: - ‡ x + ‡ y 2 4 0; x 2
x
x
y
2
4
xy
+ 2 x y
4 2
2
2
- Từ phương trình (1) ta có
(
)
+ + 2 y 2 + x x (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(cid:219) - x 2 y + 2 y 0 ⇒ = x 2 y - 1 + + y = 4 2 2
x
2
2
+
=
x
y= 2
Thay
vào phương trình (2) ta có
x
9
3
y
+ 1
2
2
-
(
)
1 0
1 9
4
12
8 9
1
1
0
- = (cid:219) y
+ + 2 4 y
- + 3 y
y
- + y
= y
y
2
(cid:219) - - -
3
y
+ = (cid:219) 2 0 y
2 4
x x
= ⇒ = 1 y = ⇒ = 2 y
9
2
(
-
+ 3
0
y
y
9
1
y
y
) + 2 4
= (cid:219) 1
+
=
4
0,
(3)
(cid:219) - - - -
1
1
y
y
9
+
=
Xét phương trình (3) ta có
4
0
- - -
y
1
y
1
9
2
=
D <
- - -
- ⇒ +
0
t
y
4
1
t 4
do
= (cid:219) 0
9 0
nên phương trình (3) vô nghiệm
2
t
) { =
} (2;1); (4; 2)
x y ;
= 2
- -
)2 + 1
) ( :
25
-
- -
)
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn
và
4; 4
x ( M -
N
y ) 2; 4 2 là )C biết B có tung độ âm. (
(
A
4 0
3
=
-
=
2
˙
)
⇒ = ⇒
.
Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn ( )4; 4 tuyến AE. Do I là trung điểm của AM nên - = Phương trình đường thẳng AM: 4 . y x là trực tâm tam giác ABC . Gọi H AM CD ( cùng phụ với góc (cid:5)ABC ) do đó (cid:6) (cid:7)BN BM= Ta có : (cid:5) (cid:5)BAE BCD , lại có IN IM= Khi đó : BN BM= nên IB là trung trực của MN ( ) Phương trình IB là: x 1; 5
( B t 1;
= ⇒ 1
25
B
t
-
Điểm C đối xứng với B qua AM nên
- - C ; 19 5 7 5
(
- - - là các điểm cần tìm.
) 4; 4 ;
( ) 1; 5 ;
2
; A C B 7 5 19 5
+ + + + 2 x 5 x + = 4 2 y 2 x 3 y
4
- - - - - - + x 6 5 2 1 2 x - = 2 2 2 x 1 0 y 3
ĐK:
+
+
+ =
+
x Lời giải + + ‡ ‡ y 2 x 3 0; x 2
5
y
y
2
x
2
Xét phương trình (1) ta có
x ) 1
+ 3 + = 2 x y
22 x ( + x
4 2 + + - y x
2
2
(
+ (cid:219) - 2 2 3 0
( + x
) 1
⇒ = y
) 1
+ (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
4
+
+ (cid:219) - 0 x y 2 + = + 3 + + 2 1 y 2 x x
y
3
x
1 2
x
- = 2 2 2
x
1 0
y
( x=
)21
4
- - - - - Thay
( + x
) 1
3
x
x
1 2
x
x
1 0
2
2
(
)
(
)
- + 6 5 2 x - = 2 2 2 )
(
- +
(cid:219) - - - - - vào phương trình (2) ta có 2 + + 6 5 2
x
+ 2
5
+ x
2
- = 2
x
2
5 2
x
1
2
x
1
+ 2 x
1
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(cid:219) - - - -
2
=
+
+
f
t ( )
t
t 5
2
t
với
t > 0
Xét hàm số
=
+
+ >
0
, suy ra hàm số ( )
t đồng biến
f
" > t
0
Ta có
5 0
f
t '( )
t 2
" > t
1 t
loai
) =
(
Mà
( f x
2
f
) + ⇒ - = x 2
1
x
2
2
x
1
+ = (cid:219) 2 x x 6
5 0
y
36
= x 1 ( ) = ⇒ = x 5
=
)
(5;36)
x y ;
- - (cid:219) -
thuộc BC. Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF.
AD với
D
;
7 2
7 2
-
Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết
, F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng
E
;
3 2
5 2
-
. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
AK x :
- = y
3 0
2
-
EK AD
Ta có:
⇒ ^ DF
AK
.
^
AC KD
^
.
Do đó đương thẳng DF qua
và vuông góc với AK. Ta có
DF
: 2
x
0
D
7 y+ - = 2
-
Vì F thuộc DF nên ta gọi
t 2
;
F t
7 7 ; 2 2 7 2
+
-
t 2
Mặt khác I là trung điểm của EF nên
;
I
t 3 1 2 2
4
-
=
Ta có:
- + ; 3
t
(cid:8)(cid:8)(cid:9) = ID
,
- + ; 4
t
t 11 2 4
- -
(
)(
)
(
)
Khi đó,
(cid:8)(cid:8)(cid:9) IE (cid:8)(cid:8)(cid:9) (cid:8)(cid:8)(cid:9) IE ID .
t 3 2 4 = (cid:219) 0
+ 11 2 t
t 3 2
)( = 3
t
t
16
4
0
- - - -
(
)
t
;
loai
= ⇒ F
9 2
9 2
11 2
2
-
t 20
+ 140 t
= (cid:219) 225 0
(
)
⇒
t
F
I
2; 2
5 = ⇒ 2
5 3 ; 2 2
=
1
+ = y
x
(cid:219) - - -
⇒
⇒
PT đường thẳng
AD x :
+ = ⇒ = 0
A AD AK
y
( ) 1; 1
A
1
0 - = y
x = - y
+
˙ (cid:219) - -
Từ đó ta có
AF x :
3
y
+ = 2
0,
AE x : 3
+ - = y 2
0,
x 2 BC x : 3
3 0 = 14
y
0
- -
- - + = x 4 4 x + y
(
y 2 2 + x 1 )2
+ + + = 3 y 12 y x 2 1 x 4 + - x
>
ĐK:
> 0
3
4
x
+ y
+ = 4 x
+
2
+
+
+
3 3 Lời giải: y 0; x - - Xét PT(1):
( +
(
(
)
)
+ 2 x
3
+ - 3 x
2
x
) + 1
y
y 2 x + - x 4
2 1 = (cid:219) y 2 4
+ 0
)( + - 1 x
x
2
y
4
x
4
= 2
x
y
0
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(cid:219) -
2
+
+
x
x
2
2
) 4 +
(
(
)
( + x
) 1
2
x
) = (cid:219) y
0
x
y
2
0
( + y +
+ x 4 +
+ - x 4 4 + + 2
x
y
4
4
x
= + 4
+ + 2
x
x
y
1 + + 4 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0
2
2
⇒ - = (cid:219) = y
0
x
y
2 x . Thế
y
x=
2
2
2
2
+
+
=
+
(cid:219) - -
(
)
3
x
3
x
12
x
2
x
1
vào PT(2) ta được: ( + x
= 12
+ 3 x
+ 3
x
+ 4
x
) + - x
4
1
4 + - x
4 x
x = không là nghiệm của PT(2) nên chia cả hai vế của PT cho x ta được:
0
Do
+
(cid:219)
3
x
+ = 3
x
4
x
x
3
4
1
1
+ 3
+ + x
+ - x
12 x
4 + + x
4 + - x
4 + = x
4 x
4 x
2
2
=
+
(
)
Đặt
t
x
1,
> ⇒ = + - ⇒ + = t
0
1
x
x
t
t
1
4 x
4 + - x
t
2
2
(cid:219)
( - +
)(
4 x )
3
1 4
6 0
2
) 3
) ( + + = 1 3 t
( + + 2 t
+ - = (cid:219) 3 2 5 3 t t t
t
t
t
t
⇒ PT(2)
2
t (
2 )
- = (cid:219) = 2 0 - + = t
3 0
vn
t
(cid:219) (cid:219) - - (cid:219)
Với
=
)
x y ;
y - t = ⇒ + - = (cid:219) + - = (cid:219) 1 2 2 x x 1 4 + = 2 x 5 x 4 0 y 16 4 x 4 x
= ⇒ = x 1 1 = ⇒ = x 4 } { ( ) ) ( 1;1 , 4;16
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là (
2
+ + 2 - 2 x 5 x = y 2 4 y + x 9 + + x y 6 2
2
2
2
2
+
+
+ = + 2 - - + + 2 x x 2 y 4 y x 14 x 20
y
x
+ xy
y
= + + 2 y x
xy
- 6 8 6 2
2
+
+
) 1
+ + y
x
x
+ + + = y
x
xy
x
3 6 1 x (
=
AE AF=
, K là hình chiếu của F trên CD, đường thẳng AK cắt đường thẳng
,E F sao cho
AB 3
BE tại
các điểm
)1; 2 (
F
, biết điểm . Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD. H 6 2 ; 5 5
- là trọng tâm tam giác ABM, điểm là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA GD= . Tìm toạ các D ; 1 3 5 3
y + = . 2 0
đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình
y
+ -
+
= y
+ y
x
xy
2 4 y + + 2 y
- 3 2 3
+ =
+
xy
x
- 2 3 3 4 3
2
- y + + - Từ phương trình (1) ta có xy 3 2 = y x + y 3 + y x Lời giải: 2 4 y + + 2 y
(
x
0
⇒ = x
y
y
y
= + 3
x
y
2
+ =
+
+
+
(cid:219) - hay y x=
) 1 + + + 3 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0 x 3
y
xy
2
y
5
x
(
6 3 )
)
+ 4 ( +
y x= vào phương trình (2) ta có Thay
+ 4
( - = x
) 1
2
x
3
)( + + 2 x 1
x
4
2
(cid:219)
=
A
+ + x
0
2
B
3
AB
= + B x (
B 1; )(
+ + 2 x x ⇒ + A )
>
+ AB
B
0
4
(cid:219) (cid:219) - -
4; = 2 4 B = A B
> và 0 = A B A 9 AB + + = + 2 x x x 1 ( 4
4 )
(cid:219)
= Đặt A x + 2 A = A
=
(cid:219) y x 0 (cid:219) B + + = 2 x x 4 + (cid:219) x 4 4 4 3 ( loai x )
(0; 0)
x y ;
vn 0 = ⇒ = 0 = - )
3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (
- x + xy + x 5 + = 2 1 x 2 + x y
- + = y 7 11 y
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
x Lời giải:
2
ĐK:
- + ‡ y 5 0
3
2
+ 3
=
£ 0 y 11 x ‡ x £ 0
x
+ xy
+ x
5
+ = 2 1
x
2
xy
5
x
2
x
+ y
x
1
2
3
2
2
- (cid:219) - - - Từ PT đầu ta có
+ x ( x x
y - + y
1
x
x
x
x ) 1 =
3
3
1 + 2
5
1
1
x
x + x
= x
y + y
x
y + y
+ 2 x
x
+ xy
+ x 5
x
+ xy + xy - = 2
- - - - - (cid:219) (cid:219) - -
y
x
2
-
+
1
1
x
=
(
)
L
3
+ 2
- (cid:219) ⇒ = y
5
1 0 x + xy
+ x
x
x
+ y
x
2
2
+ 2
-
(
Thay vào PT dưới ta có
x
1 ) + = 1 7
x
11
+ (cid:219) 2 1
x
x
10
+ - x
= 6
x
0
= ⇒ = – ⇒ =
t
3
3
x
2
2
2
2
=
+
- -
(
(
)
Đặt:
- ⇒ 6
4
)( - = 6 4
t
x
t
x
x
) - = t
t
t
t
t
= ⇒ = –
4
10
11
t
x
10 y ⇒ = y
=
)
Kết hợp ĐK ta có: (
4 ) ( 3;10 ,
x y ;
- = ⇒ t { (
} ) 10;11
(cid:219) (cid:219)
AD với
thuộc BC .Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE AF=
D
.
15 1 ; 2 2
Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết điểm
, E có tung độ dương và phương trình đường thẳng
F
11 3 ; 2 2
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
AK x :
+ = y
1 0
2
-
Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.
KE
AD
⇒ ^ DE
AK
. Do đó đương thẳng DE qua
Ta có:
^
và vuông góc với AK. Khi đó ta có phương trình
D
AB KD
15 1 ; 2 2
^
.Vì E thuộc DE nên ta gọi
DE
: 2
x
y+ -
0
;
t 2
E t
31 = 2
31 2
2
2
-
)
Dễ thấy
( = 15 2 t
(cid:219) - - 5 = DE DF t 15 + 2
(
)
(
) 2 = (cid:219) 15
(
)
- loai t E ; 17 = ⇒ 2 17 2 (cid:219) - 4 2 t
=
⇒ ⇒ I 6; 2 AD x : + - = y 8 0 t E 3 2 13 = ⇒ 2 13 5 ; 2 2
(
⇒
A
A AD AK
AC x : 3
+ - y
= 18 0;
+ AB x :
3
y
= 14 0;
BC x : 3
= y
22 0
˙ - - - ⇒ Khi đó
(
(
) 5;3 ;
) 8; 2 ;
)5;3 20 3
3
+
+
+
=
(
)(
y
x
y
3
xy
- là toạ độ các điểm cần tìm. Do vậy A C B ; 2
+ +
) 1 (
1 5 7
10.
6
2
x
x
- + y
+ 4 x
2, ) = y
+ 3 x
-
x
1;
y
7
.
Điều kiện
3
+
+
)
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
+ 3 3
y
( xy x
y
+ + = (cid:219) y 2
x
( + x
)3 + + = y x y
2
.
‡ - £
(
Đặt
x
+ = ⇒ + - = (cid:219) 3 t 2 0
y
t
t
t
0
t
⇒ = - y 1
x
.
4
)( + + 2 1 t + +
x ) = (cid:219) = 2 t + +
+
=
+
Phương trình thứ hai trở thành
2
1 5
6 6
10
1 ) 1
x
x
( x x
x
4
2
-
2
= 6 15
6
x
x
9
+ 3
(cid:219) - - -
(
6 )(
)
+ - + x (
1 4 5 )
x )
+ - x
2
x
+ 3
= 6 3
x
+ 2 x
3
3
x
3
(cid:219) -
5 (
(
5
2
3
(
x
3
x
) + 1
2
) ( +
+ - x ( + - x ) x 3 = + + 6 3
x
+ 1 2 ) x 3 + + + 1 2 3
- - (cid:219) -
3
+
=
+
+
(
) 1
x
2
( ) 1
x
5 + + 6 3
+
+
+ ‡
(cid:219)
Để ý rằng
< " 2,
x
và (
1
x
)31
2 2,
x
1
.
2 + + 1 2 2 £ + 2
x 5 + 5 3
2 + + 1 2
x
<
+
+
‡ - " ‡ -
x = x 5 + + 6 3 (
⇒
Do đó
+ " 2,
)3 1
x
x
1
(1) vô nghiệm.
2 + + 1 2
x
x
=
= -
x = , hệ có nghiệm
3
x
3;
y
2
.
‡ -
trung điểm BC và N thuộc AC sao cho AC = 4AN. Biết rằng MN: 3x − y − 4 = 0 và yM > 0. Tìm tọa độ
đỉnh C
=
MDC
NDI
tan
tan
Gọi I là tâm hình vuông ABCD ta có: (cid:5) (cid:5) 1 = 2
=
=
DNM
(
)
N DN MN
)2; 2
do đó tứ giác NDCM là tứ giác nội vuông cân tại N. y+ 0 3 ( M t 4
- = 8 t - ;3
Do vậy (cid:5) (cid:5) (cid:5) 045 = NDM IDC ICM tiếp suy ra (cid:5) 090 = ⇒ D DNM Phương trình đường thẳng DN x : ⇒ = , gọi
ta có:
2
2
=
⇒ (
N )
⇒
MN
ND
M
3;5
= -
( với K là trọng tâm tam giác BCD)
2
˙
x
x
K
⇒
Khi đó
K
- -
) )
11 11 ; 3 3
y
y
= - K = - K
K
- -
(
)
= ⇒ = -
⇒
Lại có:
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) KM ( 2 3 ( 2 5 (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) KN
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) KC
;
C
5;5
x C
y C
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) Dễ thấy KD 5 1 KN KC
5 4
5 4
5 = - ; 3
5 3
5 4
11 3
11 3
2
2
(cid:219) - - - -
) =
+ + x 3 x + - 1 y y 2 y
2
)( = + 42 1
+ 2 - - 16 2 3 2 y x
x ‡
3 2
2
2
+
+
)(
) =
ĐK: Xét phương trình (1) ta có (
+ + 1
x
x
3
x
2
y
+ - 1
y
y
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(
+ x
) 2 + 1
+ x
1
+ x
+ 2 y
+ 2 y y
1
2
2
( (
) 2 + = 1 1 )
=
+
+
=
Xét hàm số
f
t ( )
t
t
t
+ với
1
t
> ⇒ 0
f
x
f y ( )
1
2
2
=
+
>
" > t
0
f
f
Ta có:
t '( )
t 2
+ + 1
0
Suy ra hàm số
t đồng biến với ( )
t 2
+
1
(
+
=
Mặt khác:
t )1
x
x
y
f
Thay
t ⇒ + = . f y ( ) 1 + = vào phương trình (2) ta có
y
1x
2
+ 2
+ 2
(cid:219)
x
y
x
x
= + x
x
2
16
= + 42 1
2
3
2
16
28 1
2
3
1
2
2
(
+
+
+
- - (cid:219) - -
x
x
x
x
x
x
+ 7
15
- = (cid:219) x 2
3
0
+ - 2 x 8
12
- = (cid:219) x 3
2
3
0
8
0
) = 12 1
- + 3
x
2
x
3
2
7
(cid:219) - - - - - -
x
+ x
8
= 12 0
=
-
3
x
2
y ⇒ = y
1
=
0
2
(cid:219) (cid:219)
+ 1
- + 3
x
2
x
3
+ x
7
6
x
- -
(cid:219) = - x
3
2
⇒ = y
2
2
3
x
= ⇒ = x 6
3 2
) (
=
- £ £
)
x y ;
) ( 6; 7 ; 2; 3 ; 3
2; 2
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (
- -
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
2
3
=
2
xy
3
y
2
2
+ - + - 1
2
y
x
+ + = 1 y x
- + 2 x
y
+ + + + x 1 y x 2 y + = - 1 1 - + y x + y 1
3
2
3
2
+ 3 x
(
+ + - - 3 x 2 x + + 2 3 y y - = + y 1 2 2 2 x 2 xy
)6;3
)6;1
là hình chiếu vuông góc của D lên CM và
=
AD
AB
, gọi (
)C là đường
4 3
)
5 0
- = y
5
2; 3
tròn đi qua 2 điểm B,C và tiếp xúc với cạnh AD tại E đồng thời cắt cạnh CD tại F, biết phương trình đường thẳng EF là: và điểm E có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh , điểm x B,C,D và viết phương trình đường tròn (
( A - )C .
2
+ 2
- -
+ + y
8 2
x
+ = y 2
8
0
x
4
10
-
+
2
- + y 1
+ y 6
8
x
8
-
+ ‡
ĐK :
+ 2 8
x
y
2 0;6
+ y
8
x
8 0;
y
1
2
+ 2
- = x 11 y 3 2 Lời giải: - ‡ ‡
Xét phương trình (1) ta có
4
10
x
+ = y 2
8
0
2
+ + 8 2 y )
-
x (
(
)
2
2
(
+ (cid:219) 2 2 - + 2 x y + x + - 8 y = 2 3 y 0 4
2
2
- =
+
(cid:219) 4 - + 2 x y 2 0 ⇒ - + = (cid:219) = y 2 0 x y + x 2 + 2 + + x = 2 3 y y
2 2
y
- + y 1
+ 6 y
8
x
8
- Thay y x= 2 ) + 8 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0 x 11 + vào phương trình (2) ta có 3
2
(cid:219) + 2 x 3 + - x 11 + - 2 x 1 4 0
)
+ 6 x ) + + 2 (cid:219) + 2 x 3 + 4 x 4 2 ( 2 2 + - x 1 + x 1 + = 2 x 8 ( + - x 3 2 + 6 x = x 8 4 0
(
)
2
2
1 (cid:219) 3 4 0 + 2 x x + 2 2 + + 1 + + 1 + - 2 + x 6 2 8 x x x x = + 1 4 3 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4) > 0 = ⇒ = x y 0 2
⇒ + x 3 4 x = (cid:219) 0 y 4 = - ⇒ = x 3 34 9
)
Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có nghiệm của hệ phương trình là (
) 0; 2 ,
-
(
3
= x y ; 4 34 ; 3 9
= + 6 xy 8 y
3
2
3
2
2
+ - 3 + + 3 2 3 + = 2 6 12 32 x x x x + y
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3
+
2 +
(
)
)
( + -
)
)
)
8 3
6
0
+ 2
2
+ - 3
2
0
4
x
y
( + xy x
+ y
= (cid:219) xy
x
y
+ x
y
( + x
y
( = xy x
y
) (
+ = y
x
2
2
- - -
)
(
( + - x
y
2
x
y
+ 3
xy
+ 2
+ x
) = (cid:219) 4
y
0
2
) ( +
+ 2
x
+ xy
y
+ x
2
+ = y
4 0
2
( ) 1
2
2
2
+
+
= 2
(cid:219) - -
)
Ta có ( ) 1
x
y
+ = (cid:219) y 2
4 0
4
x
+ 4
( x y
2
4
y
8
y
16 0
2
+ 2
(cid:219) - - - -
) + 2 )
4
x
( + x y ( + x y
2
+ + 2 y 4
y
+ 4 3
y
12 0
4
2 0
2
2
2
(cid:219) - - -
(
)
- + x 2
+ 2
( + 3
y
) 2 = (cid:219) 2
0
y
= y 12 - + = y x + =
= - y = -
2 0
y
x
2
Cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ, loại. 3
2
2
2
+
+
+
x
2
Với
3
x
+ + 3
2
x
3
x
+ = 2
6
x
12
x
+ . 8
x 2
2
(cid:219) (cid:219)
Ta có
2
y+ = ta thu được 3
+ + ˛ ℝ x x 3 + = 3 x + > " 0, x 3 2 3 4 2 + + ˛ ℝ + = 2 2 3 2 x x x + > " 0, x 3 4 7 8
2
2
3
2
2
3
(
)
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có + + + + + + x 3 x x 5 x + + + 3 1 1 = £ x 3 x + = 3 1.1. x 3 x 3
3
2
2
3
)
( 1.1. 2
2
2
2
+ + + + + 3 + 3 2 x x 3 3 x 2 x 4 + + + 2 1 1 = £ 2 x 3 x + = 2 x 3 x 2
3
2
3
2
2
2
+
+
+
+ +
+ 2
+ + + + + 3 3 + 3 x x 2 x x 3 x x + + 5 + 4 = 9 = + 2 Từ đây dẫn đến x 3 x + + 3 2 x 3 x + £ 2 x + x 2 3 . 3 3 6 3 3 3
x
x
x
x
x
2
6
12
)2 1
3 5
+ = 8
+ x
.
2
3
x
2
2
+ =
+ =
+
3 2
2 1
3
x
x
.
1
(cid:219) = - x
( Ta lại có Do đó phương trình có nghiệm khi các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, tức là + 3 x x + = 1 0 x ( ) = -
)
.
x y ;
1;3
‡
(
)
5; 2
E
và điểm A có tung độ âm. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
-
) 3; 1
^
⇒ =
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AN BC Lại có AE BM G AN BM
=
^ ˙
⇒
⇒ D
EG AB
/ /GE AC
GNE
GN⇒ =
vuông cân tại N
.
là trực tâm tam giác ABE khi đó 5 2
GE 2
^
Phương trình trung trực của GE là
2
x
y-
0
.
19 = 2
-
(
)
x
t
2
3
= A
- -
Gọi
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) ⇒ = AG
t ; 2
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) GN 2
N t
19 2
1
1
= y A
2 2 t
19 + 2
3 ⇒
- - - -
(
)
A
0; 2
2
2
=
=
-
(
)
(
)
(
)
ta có:
GA
GN 2
10
t 2
+ 6
t 4
= 17
10
⇒ - + - + t 9; 4 t 2
A
16
(
)
A
2; 2
= ⇒ 9 t 2 7 = ⇒ t 2
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(cid:219) - - (cid:219)
x
- = y
2 0;
+ : AC x
+ = 2 y
4 0
.
-
Mặt khác
Phương trình AB là 2 9 1 2 2 - = y 2 0;
2
+
)
y
2
0,
4
- + - 1 x
y
2
- ⇒ N + - y ; BC x : 3 = 13 0 - AB x : 2 + : AC x + = 2 y 4 0; + - : 3 BC x y = 13 0 là các đường thẳng cần tìm. Vậy
(
) ℝ .
˛ -
x y ;
24 = 1
( y 2 - + = 1 y x
6.
x
- x
2
‡ ‡ „
+ - y
- + ‡ x
Điều kiện
6
6
=
- + =
x
1
x
x
5
5
1
+ - y
y
6 x = - 6
y
x
- + x 1
5
y x y x 5 0; 5 0;1 - - - . Ta có
2
- - ‡ + - y 1 1 5 5 x x 7 x 0 (cid:219) ⇒ - + = - x 7 2 1 y x - - 4 4 + x = y 4 x + 14 x 49 - + = 1 y x + - + 5 y 5 x 1; 2 6 x + - + y 5 Kết hợp với phương trình thứ hai của hệ - + = - y x
2
2 +
(
)
2
7 (cid:219) (cid:219) (cid:219) ‡ ⇒ ‡ 4 y 20 y 5 7 = - = - 4 y x 10 + x 45 x y 5 20 4 £ x 6 £ x
(
)
)
2
( ) 1
2
2
( 2
)( 5 2 2
- 2 y + y 2 9 y y + 2 = - - - - Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( - + + + - y x 1 2 1 4 1 0 x + x 0 - - + 24 = (cid:219) 1 y 1
(
2
2
2
(
⇒
ℝ
) 1
2
) 1 2 )( 5 2 2
+ 2 - y ) y 9 y + y 2 + + + ˛ ‡ Vì 2 y 2 y + = 9 y y + > " 8 0, y > " 0, y 5 . - y 1
2
(cid:219) = = Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi . x y 5
- 5 0 )2 = 5 x 0 - = 1 x - = y (
3=BN
˛N BD sao cho
ND , Hlà hình chiếu vuông góc của N lên MC. Xác định toạ độ đỉnh C
của AB,
của hình vuông ABCD, biết N(2; 2), H(4; 3) và điểm C có hoành độ dương.
=
G BI CM suy ra G là trọng tâm tam
5
2
=
AB
a= 2
CG
;
.
˙ Gọi I là tâm của hình vuông và
BD
a= 2
2
2 CM= 3
a 3
a
2
a
2
2
5
a
2
2
=
=
=
+
=
Khi đó
GI
;
IN
ta có: giác ABC. Đặt
;
CN
CI
IN
3
2
a 6
10 2
2
2
+
⇒ = GN
GC
=
=
.
Do vậy (cid:8) GCN cos
(cid:8) MCN
0 45
2 CN GN GC CN 2 .
1 = ⇒ 2
Khi đó tam giác NHC vuông cân tại C ta có CH NH=
, phương trình HC: 2
x
y+ -
= 11 0
C
t
2
2
=
-
)
(
HC
HN
t
, ta có
5
) 2 = (cid:219) 4
5
Gọi
( C t
t ;11 2
( (
) 5;1 )
C
t
= ⇒ 5 = ⇒ 3
3;5
- (cid:219) -
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
(
(
)
Vậy,
là các điểm cần tìm.
C
) 5;1 ;
C
3;5
2
2
)(
+
)(
- + y
y
y
x
x
2
) = 1 2
+ 2
15
4
- -
x
+ x
+ 11
- = x 6
5
0
-
;
x
1
6 5
2
2
)(
+
‡ ‡
)(
x
4
x
2
- + y
y
+ 2
y
15
ĐK : y Xét phương trình (1) ta có (
2
3
+
- -
) = 1 2 )(
(
)
+ x 2
- = x 4
y
x
3
2
3
2
(cid:219) - - -
8 (
y (
3 )
1 2 )
(
)
= 4
1
2
1
4
1
x
+ x 2
x
y
+ y
y
3
=
=
+ 2
(cid:219) - - - - -
(
)
1
Xét hàm số
> ⇒ 0
t
t 4
t ( )
f x ( )
y
f
2
- -
với
Ta có
t 3
f
2
t '( ) =
-
t 2 + > t 4 4 0 ) - ⇒ =
+ x
1
1
y
x
y
y
Mà
-
với f t = " > 0 t ( (cid:219) = f 1 + vào phương trình (2) ta được phương trình 2 1
Thế
( ) f x x=
y
x
2 10
+ x
+ 12
x
- = 6 x
5
0
u
=
= (cid:219) 2
-
Đặt
u
5
x
6
t > (
0)
⇒ - 2 u 2
xu x
0
vn
)
y
5
- -
x
= (cid:219) = x
t
x
⇒ - 2 x
Với
5
6
+ = (cid:219) x 6 0
5
y
10
= x + = x u 2 0 ( = ⇒ = 2 x = ⇒ = x 3
(
-
và điểm B thuộc tia Oy. Tìm tọa độ các đỉnh của
, đường thẳng qua F và vuông góc với AE cắt cạnh CD tại K, = 23 0
)2;3 y-
-
=
=
= D
.
do vậy AM AB AD
AE
ta có: AMF
˙ D
từ đó suy ra (cid:8) 045 ) =
.sin
ADK KAF d F AK
. 4 5
ABF KAF = ⇒ = AF
;
Gọi M KF = D Khi đó AMK Mặt khác : (cid:8) ( AF
)
2 +
D
)
)
(
( A t
t - ;3
23
AF
( = - t
2
t 3
) 2 = 26
80
Gọi
ta có:
loai (
)
t
A
( 10 = ⇒ 6
6; 5
= t
) (
)
0;
u
u >
0
ta có:
- (cid:219) -
( +
)
u
= (cid:219) u
( Gọi B (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) (cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) AB BF .
= (cid:219) 0
+ 6.2
)( 5 3
0
3
=
(
(
)
⇒
B
Khi đó:
và
và do F thuộc cạnh BC nên ta có:
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) BC
(cid:6)(cid:6)(cid:6)(cid:7) BF
3
C
6;7
AB =
= u 1 = - u BF =
6 2
2 2
)0;1 D
ta có: ( ) 12;1
và kết luận.
Từ đó suy ra
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
- -
3
3
+
(
- £ - ˛
) ℝ .
x
8
x
- + 2 2 x
9
x
1
x
2
- - ‡ - -
10
x
50
x
3
2
x
+ - 2 5
x
2 3
x
5.
2 +
(
)
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE là
2 =
- =
x
y-
9 0
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ âm.
- - x , biết đường thẳng DE y C 3 2 1 2 5 2
(
, trên tia đối của tia BC lấy
có phương trình: 3
A
)5;3
điểm
sao cho AB BD=
, biết tâm đường tròn bàng tiếp góc A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác
)9;5D (
- =
x
x
y+ -
ABC lần lượt thuộc các đường thẳng
y+ 4
2 0
và 4
= 28 0
. Tìm toạ độ các đỉnh
;B C .
2
2
- -
- + 3 x
1
x
2
x .
- 12 + ‡ x 5 0
Điều kiện
‡ (cid:219) ‡ . x 2 1
)
( x x
2
2
3
2
- ‡ 2 0 23 x x
(
)
3
x
12
+ £ x 5
x
)( + + x 1
) 1
( x x
x
2
+ x
- + x 2
2
3
2
- - - - Bất phương trình đã cho tương đương với
(
x ( ) + + 2 .
1 2 ) 1
2
(cid:219) - - - ‡ x x x 0 x + x 2 x
)( 1 )
2
2
+ 2 (cid:219) - - - - + x 10 ) 6 2 ( x ( 3 2 3 2 3 + 2. 0 x x + x + 3 x + 2 x + 2 x x + ‡ 3 x x x
[ ]
3
3
2
- - (cid:219) - ‡ * 1 3. 2 0 + x + + 2 + + + x x 2 x 2 x 3 x x x + 3 x 2 x
=
(
)
Đặt
+ x 2
3
+
2
2
+
- ‡ t t 0 thì 3 x 2 x
+ 1 3 t
t 2
0
t
⇒ £ t
1
1
+ £ 2 3
x
x
+ (cid:219) 3 x
x
x
+ ‡ 3 x
4
x
2 0
[ ] 1
.
+¥
)
+ 2 [
1 3 x ‡
2
. Kết luận nghiệm
.
S =
2;
Nhận thấy [1] nghiệm đúng với
3
3
2
+
* (cid:219) - ‡ (cid:219) - £ £ (cid:219) - x + x [ ]
- - £
10
x
20
x
27
2
x .
x
2
+
+
4
x
10
x
20 0
3
‡
Điều kiện
.
x
3
27 0
+ 3 x x ‡ x
Bất phương trình đã cho tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
‡ (cid:219) ‡
3
2
2
(
+ 3 + + + £ - -
)
10 x 20 x 3 x + 27 4 + 3 x 9 x 4 x 4 x x x
( x x
) + 3 .
2
+ 2 (cid:219) £ - + 2 x 4 + 6 x 47 4 x 3 x 9
2
2
2
)
( + x 3
[ ] 1
2 x + £ + 2 3
2
=
(
)
(
)
t
t
thì [ ] 1
0
+ £ 2 t
t 3 4
t
)( 1
t
3
0
1
t
3
1
3
Đặt
x + 2
x + 2
3 x + x
3
x
9
2
x + 2
- - (cid:219) - £ - x x x x + (cid:219) 2 x x + 3 + 3 9 4 + x 3 . 3 9 3 4 x + 2 3 x + x x 3 x + x x 9 3 9 2 - - ‡ (cid:219) (cid:219) - - £ (cid:219) £ £ (cid:219) £ £
+ £
x
3 x
3
x
6
x
3x ‡
).
(Hệ vô nghiệm do
[ ] 2
2
2
9 0 +
+
)
3 x + 9 x + £ 9 (
9
3
9
x + 2 x
3 + 3 x
x
x
30
81 0
x
x
8
- (cid:219) (cid:219) - £ ‡
( A -
và trung
)2;0 ( H -
điểm của BC thuộc đường thẳng
chiếu của A trên BC và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là y- + =
, gọi E là hình )2;3 . Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.
4 0
: 4
d
x
Gọi K là trung điểm của BE dễ thấy AK là đường trung bình của tam giác
AK BF / /
AH
⇒
H
là trực tâm tam giác AKC do
EFB khi đó ta có:
^
^
vậy
AE CK HK AB / /
.
^ D
KH AC (
⇒
= suy ra trung điểm của AB là
Do vậy
⇒ )2;6
E
BC y :
6
là HK là đường trung bình của ABE 1 2
- . M ;6
)
)
( B t
; 6
( ⇒ - 1 C
t
; 6
2 Gọi ; K ; 6 - t
(
)
(
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) . CH AK
) = (cid:219) 3 .6 0
(
)
B
= ⇒ 7
t
t - Lại có: = (cid:219) 0 t 3 6 2 + 2 + - 2 = t 7 = - t - Với
6
7; 6
t
6; 6 ( C )
) Với
) ( 7; 6 ; ( = - ⇒ - B ) ( 7;6 ;
C ) 6; 6 ; ( C -
B
6;6
hoặc ngược lại là các điểm cần tìm.
4
4
4
2
- 3 - + x y - = 4 x 3 2 y ,
2
+ = + . 1 y x + + y x 1 1
x
;
y
0;3
x
y
0
.
Điều kiện
3 4
2
2
‡ ‡ - - ‡
Phương trình thứ hai tương đương (
(
+ = 2 1
+ (cid:219) 2 1
- + y
) 1
y
x
x
x
) + + 2 x
y
1
+ - x
+ = y
1
1 0
2
2
+
-
y
y
2
(
)
(
1
0
1
0
x
y
+ + 2 x
x
x
2
2
2
2
+
x + + 1
= (cid:219) + 1
x + + 1
1
x
y
= y
x
- (cid:219) - -
2
Vì điều kiễn xác định dẫn đến
2
2
4
4
) + + y + y > ⇒ = x + + 1 0 x y . + x y 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- Phương trình thứ nhất trở thành 4 3 2 + x 4 x + + 1 - = x 3 2 x .
4
x£
. Phương trình đã cho trở thành 4
.
Điều kiện
- + 2
4
2
3 4
3 2
3 x
3 = x
4
+ =
£ -
)
[
]
Đặt
, để ý
.
- = 2
a ; 4 4
( b a ,
0;
b
0
a b
2;
a
0;
b
0
⇒ ˛ ; a b
0; 2
⇒ £ ab
4
3 x
3 = x
Ta thu được hệ phương trình
2
2
- ‡ ‡ ‡ ‡
2
)
( ⇒ -
2
4
4
2
2
2
= + + = 4 2 (cid:219) - 4 2 ab = 2 2 a b 2 2 a b + 2 = + - + ab b ) a b 2 = 2 2 a b 2 2 b a
)
)
2
(cid:219) - - - - - 0 7 7 0 = ab
(
.
)( ( 1 ab + = (cid:219) = 2 x
9 0
3 2
ab
18
1
4
1
9
x
x
x
x
1
x
- (cid:219) - a ( = (cid:219) 2 2 1 a b = ⇒ - Loại trường hợp
+
- =
3
8 0
và
(3;5)
. Xác
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng CN có phương trình
x
y
M
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ dương.
=
Gọi I là tâm của hình vuông và G BI CM
suy ra G là trọng tâm tam giác
5
2
=
ta có:
;
.
ABC. Đặt
AB
a= 2
CG
BD
a= 2
2
2 CM= 3
a 3
2
2
2
5
a
a
a
2
2
=
=
=
+
=
Khi đó:
;
;
GI
IN
˙
CN
CI
IN
3
2
a 6
10 2
2
2
+
⇒ = GN
GC
=
=
Do vâỵ (cid:4) GCN cos
(cid:4) MCN
0 45
1 = ⇒ 2
=
=
)
2 CN GN 2 GC CN . Ta có: (cid:4) ( .sin
GCN d M CN
MC
;
10
⇒ = NC
20
) (
)
C
loai
2
2
=
-
(
(
)
(
)
ta có
MC =
20
) 2 + - t 5 3
t
5
20
.
Gọi
C
t t 8 3 ;
( = ⇒ - (
< t
8 3
C
16;3 ) 5;1
t 3 = ⇒ t 1
Vậy
là điểm cần tìm.
)5;1C (
2
2
2
2
)
(
+
+
+
x
5
= + 1
5
y
1
2
(cid:219) - (cid:219) -
x x )
y (
x
x
x
3
2
=
y
3
x
2
x
1
2
- - - - -
ĐK :
x
1;
x
> 3; y
0
2
2
2
2
(
)
+
+
Xét phương trình (1) ta có
y
x
x x
5
= + 1
5
y
+ 1
‡ „
+ 2 x
x x
+ = 2 5
5
1 + 2 y
1 y
1 + 2 y
2
2
=
+
⇒
f
t ( )
t
t
t
+ với
1
t >
0
f x ( )
Xét hàm số
1 y
= f
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
(cid:219)
2
t
2
=
+
>
t
0
f
t
Ta có
t '( )
t 2
+ + 1
0
với
2
+
t
1
=
Mà
f x ( )
f
⇒ = x
(cid:219) = y
1 y
1 y
1 x
2
" ‡
3
x
8
x
2
=
Thay
y
= vào phương trình (2) ta được
2 3
x
x
1
)
x ( x x
3
2
3
x
2
2
2
(
)
8 =
- - - -
2 3
x
x
1
- + 3
x
- = x
1 2
x
7
2
x
3
3
x
x
1
1 x + - x 3
x
1
2
(
=
(cid:219) - - (cid:219) - - - - -
Đặt
, suy ra phương trình (2) tương đương với
t
2
x
) + 3
t
- = (cid:219) 2 x 7
0
t
23 x
x
1
2
x
7
= t = t
- - - - -
2
(cid:1) Với
= ⇒ = x 1 y 1 - t = ⇒ 1 3 x - = ⇒ x 1 1 loai ( ) = - x 1 3
2
2
(cid:1) Với
2( loai ) - 27 + x = 50 0 x = ⇒ = 25 y x = - - (cid:219) (cid:219) t 2 x - ⇒ 7 3 x - = 1 x 2 x 7 1 25
‡ x 7 2 = x ‡ x 7 2
)1;3B (
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm là (1;1) và 25; 1 25
và
=
là hình chiếu của H
EC
2
EB
H
5 5 ; 2 2
lên đường thẳng DE. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết C có tung độ âm.
, điểm diện tích bằng 30. Gọi E là điểm thuộc cạnh BC sao cho
.
AB
. Khi đó ta có:
Ta có:
⇒ = BK
CD
=
Gọi K là giao điểm của DE 1 2 = ⇒ BE BK 30 .2
EB BK = EC CD = = BC CD .
3
S
BE BK .
( ) 5 1
ABCD
+
=
=
˙
Mặt khác:
+ 2 BE
= 2 BK
( ) 10 2
2
2
2
1 BE
1 BK
1 BH
2 5
= ⇒ =
= BE BK
3 5
BC
5
- =
.
y-
5 0
x
(cid:219)
t
= x C
=
)
⇒
( E t
t - ;3
5
Từ (1) và (2) suy ra Phương trình đường thẳng DE qua H và vuông góc với BH là: 3 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) EB
ta có:
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) CE
Gọi
2
( C t 3
t 2;9
) 21
)
t 3
5
) t ( + 2 3 3 t
5
( 2 1 = y C
- - (cid:219) - - - - -
t
C
2
2
=
=
2 +
(
)
(
)
Khi đó:
45
3
24
6 0
BC
3 t
9 t
+ = (cid:219) 2 5 t t
( (
)
7;6
loai
- - - (cid:219) -
(
)
(
⇒
C
4; 3
x
2
y
= 10 0
D
0; 5
= ⇒ 2 = ⇒ t C 3 ( ) - ⇒ - A
) 4; 3 ) ( ) 3;1
phương trình CD là:
Do vậy
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - -
+ 1 £ 1 .
2
2
+ 3
+ x x x + + x 1
x
x
2
2
3 4
- - £ .
1
3
2
- + 4 +
x +
27 4
8
x
x
x
- -
AH, trên tia HC lấy điểm D sao cho HA HD=
2; 2
E
CF x :
y+ 3
+ = ,đường
9 0
- có đường cao ) ( , đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại
(
)
thẳng BC đi qua
và điểm C có hoành độ dương.
K
5;12
là trung điểm của BC ,
và AB tại F. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết phương trình
)6; 2M (
đường tròn tâm B bán kính AB cắt đường thẳng DM tại
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông H 21 22 ; 5 5
2
ABCD biết rằng điểm A có hoành độ nhỏ hơn 3.
)
(
) ℝ .
- ‡ ˛
x
2
x
( + 2 1
x
x
+ ‡
4
x
0
Điều kiện
1 4
1 0 )
x ( x x
2
0
2
‡ x
Cách 1: Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
- £ £ (cid:219) - ‡
(
) 1
2
+ - ‡ - ‡ 4 x + + 1 x 2 x + (cid:219) 2 x x 2 x 2
) 1
2
+ 2 (cid:219) - ‡ - 1 ( + + x 4 ) x 2 x x 2 2 x 1 ( + 2 4 x x ( ) 1
)
Đặt
4
a
a ;
x
= x
2
b
0
2
2
2
2
2
2
2
- ‡ ‡ ta có
)
(
0; )
(
)
+ = 1 ( ) 1
2
(cid:219) + ‡ + + (cid:219) ‡ (cid:219) - £ (cid:219) a b + + 1 4 x ( b a ( + a 2 b a 2 ab b 2 a b 0 a b 0
(cid:219) - (cid:219) - ˛ - - = a b } + = 4 x 1 x 2 x - = (cid:219) 2 6 x x + { 3 + x 10;3 10
}
+ 10;3
- Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm S = 1 0 { 3 10 .
x = -
.
Cách 2:
1 4
Ngoài trường hợp trên ta có 4
x + > , bất phương trình đã cho tương đương với
1 0
2
2
2
+
Nhận xét bất phương trình không thỏa mãn với
(
4
+ + 1
2
1
1
2
2
) 1
x
x
x
+ (cid:219) 2 x
+ + 4 x
x
x
x
2
2
- ‡ - ‡
2
+ 2
(
)
2
2
2
( + 2 4
) 1
1
+ 2.
2
+ + 4 1 x
x
x
x
x
(cid:219) + x
x 4
2 x + 1
x 4
2 x + 1
x
x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - (cid:219) - ‡ - ‡
=
(
)
Đặt
t
t
0
thu được
2 2 x x + x 1 4
2
2
+
- ‡
+ ‡ t
1
t 2
+ (cid:219) 2 2
t
+ ‡ 2 t
+ (cid:219) 2 2 t
2
( (cid:219) = t
)2 1
0
t
1
2
- £
}
+ = 4 x 1
x
2
x
- = (cid:219) 2 x 6
x
{ 3
10;3
+ x
.
10
(cid:219) - (cid:219) - ˛ -
1 0 }
{ 3
S =
+ 10;3
10
.
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
2
2
2
2
2
=
-
(
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có )(
)
+ + 1
( + 2 1
2 1
2
4
x
x
x
+ + 4 x 1
x
= 2
x
( + 2
x
+ 2
x
) 1
+ 2
x
) 1
)
(
2
2
- £ -
( )
⇒
4
x
+ + 1
x
2
x
+ ⇒ 2 x 1
4
x
+ + 1
x
2
x
+ 2 x
1
x
1 4
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi (*) xảy ra dấu đẳng thức
2
- £ - £ " ‡ - *
4
x
2
x
2
2
+ 1 =
+ =
}
.
x
x
x
x
x
4
- = (cid:219) x 2
6
+ 1 0
{ 3
10;3
10
x 1
1
- (cid:219) (cid:219) (cid:219) - (cid:219) - ˛ -
}
1 { 3
S =
+ 10;3
10
.
Quan sát điều kiện ta thu được nghiệm
+ - 2
3 2
x
1 5
-
(
) ℝ .
£ ˛
1
x
- + 1 2
x + - x
6 5
-
1 2
Điều kiện
.
(cid:219) > x
1 2
2
2 5
x
+ „ 6 x
2
5
‡ x
2
2
-
(
⇒
2
x
)( 1 10
+ x
) > (cid:219) 0 1
10
x
- > 2 8
x
1 0
( 4 5
x
+ x
2
) > ⇒ 25
6
2 5
x
+ > x 6
2
5
.
Do đó
1 " > ⇒ - x 2
2
2
+ - 2
- +
- - -
(
(
.
Bất phương trình đã cho tương đương với + - 2 2
1 5 2 5
3 2
- + 1
x
x
x
x
6 5
3 2
+ £ 1 x
x
+ - 1 2 5
x
) 1
2
x
) 1
)
Đặt
2
x
- = 1
a ;
+ = 2 1
x
( > b a
0;
> b
0
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
£ - (cid:219) -
)
a
a
b
a
+ 6
19
a
6
ab
b 13
0
ta thu được ( 4 5
9
ab
v
a
b
2
2
£ - (cid:219) £ - (cid:219) - - ‡
ℝ
b 3 (
2 5 )(
)
a b
+ 19
a
b 13
0
+ ‡ a b
x
1
+ ‡ x 2
1
x
2
x
2 0
x
(cid:219) - ‡ (cid:219) ‡ (cid:219) - (cid:219) - (cid:219) ˛
Kết hợp tất cả các trường hợp ta thu được nghiệm
)
= +¥ . S ; 1 2
AB AC<
có
BM x
2 0
:
, đường thẳng qua trung điểm M của AC và vuông
-
(
)
, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác
E
-
5; 6 và C có hoành độ dương,
y- + =
1 0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Gọi K là điểm đối xứng với E qua M khi đó AKCE là hình bình hành ( có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )
AK CE / /
⇒
Khi đó:
A B K ,
,
thẳng hàng.
AB CE / /
⇒
BM AE
.
+
^ ^
)
Dễ thấy M là trực tâm tam giác BKC do vậy BM KC Phương trình đường thẳng AE qua E và vuông góc với AM là ) 2
A
2
x
y
+
-
) + ⇒ 2; t ( ) +
( 1; 2 (
t
2 t
( C t 4 3; 2 t )( ) = (cid:219) = – 4 4 2 0 t
1
2
Lại có
- -
( , gọi M t 2 )( + 2 4 t )
4 t ) (
+ - = ⇒ 4 0 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) = (cid:219) . 0 CE AC ( = - ⇒ -
Với
loai
t
-
1; 4 )
(
⇒ =
Với
t
C
- = y
1 0
= B AB BI
) 0; 1
- ˙ -
C ( 7; 0 (
AB x : 3 ) (
Vậy
là các điểm cần tìm.
A
1 = ⇒ 1 ( ) 1; 2 ;
⇒ ) 0; 1 ;
B
7;0
C
3
-
x
+ = y
2
3 3
2
,
3
+ +
3 3
-
2
+ y
y
2
y x 1
=
2.
-
+ x x
2 5
-
3
3
+ > ⇒ + ‡
x > . Từ đó dẫn đến
x
3 0
y
3 0
.
Điều kiện
5 6
3
3
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương (
)
(
+ = 3 3
2
3
2
3
3 3
3 3
3
0
x
+ y
x
x
y
) + + 3 x
+ - x
+ = y
3
3
2
2
- -
2 )
+
3
y
x
x
3
(
)
(
2
3
0
3 3.
0
x
y
+ + 3 x
x
x
y
3
3
3
3
+
= (cid:219) + 3
y
+ (cid:219) 3 3 y ( + + 3
xy + + 3
+ y = y
x
3
) + + 2
2
2
x +
+
3
- (cid:219) - -
ℝ
Vì
2
x
+ + 3
> " 0,
x y ;
⇒ = x
y
.
y 3
x 3
+
y
3
xy + + 3
x
2
Khi đó phương trình thứ hai trở thành 2
˛
2
- + x 1 x - (cid:219) - - = (cid:219) 2 - + = 2 x x 2 1 2 6 x 5 + = 2 4 x 2 x 2 4 6 x 5 - x
(
( 1 4 4 2
) + 1
) 1
(cid:219) - - - 6 ( x 2 x 2 x
Đặt
+ = x 2 ) 5 ) + 1 ( > y 0 2 x - = 1 t ; - = 5 x 6 y ta thu được hệ phương trình
2
2
2
)(
)
⇒ + 2 t
( + + y t
2
+ 2 t
y x = + (cid:219) - - - t 4 4 y y t + y t 4 = (cid:219) y 4 0 = (cid:219) t y 4 0 - 2 ( 4 0 t 4 2 + = 1 4 ) + = x 1 y = t y + + = y t
2
2
‡ ‡ x x - (cid:219) (cid:219) (cid:219) ˛ • . = (cid:219) y t - = 2 x 1 6 x 5 x 1 2 1; 3 2 - - - 4 1 6 4 5 3 0 2 x + = x x x 1 2 + = 5 x
+ + = (cid:219) 4 0
y
t
+ + 2 x 3
- = 6 x
5
0
(Vô nghiệm do
5 x > ). 6
)
x y ;
.
So sánh với điều kiện ta có nghiệm (
•
3 3 ; 2 2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
( ) = 1;1 ,
=
.
-
= 2 AB + = y 3
2 3 0
B
A
M
N
E
D
C
=
=
⇒
Gọi N là trung điểm của AD, E là hình chiếu của B trên MN
2
MN d M AB (
;
)
3
a
2
2 =
=
=
=
=
Theo giả thiết
AB AD BM a BE
,
EM
a
a 4
2
a = ⇒ 2
-
Do AB < CD và MN = 2 nên
a + NE EM = (cid:219) + a 2 8 4 3 3 = (cid:219) = - a 2 2
⇒
A x
+ = y 3
3 0
A
( 3
m
3;
˛ - - Gọi
m ) (
3
) + - m 3
m 3
3
=
=
⇒
MN
: 3
x
+ - y
= 3
0
(
)
2
3
; d A MN
m
2
- -
(
)
)
3
)
+
=
x
3
x
y
- + y
1
2
- A 2 = - (cid:219) - (cid:219) ⇒ d A MN ; ( ) 4 2 3 2 m = - 3 4 2 3 - - - m 2 3 2 - ⇒ = m = 2 3 3; 2 ( A 2 3 2 3 2 3; 2 3 2 = ⇒ m 2 ⇒ = m
2
2
- +
+ 2
1 14
y
- = y
2
3 8 5
y
10
y
4
+ x
5
x
4
- - - -
24; y
3
)
‡ - - ‡ x 2 3 0 y
3
2
+ + = x 3 y - + y
(
(
) + 1
) 1
) 1
3
2
=
ĐK: Xét phương trình (1) ta có ( ( x ( 2 ) 3 + x ) 2 + + (cid:219) - - - 1 ( x x y = x 3 y 2 y
⇒
x
f
f y (
2
= + + - 3 t > t ( ) t t 2 2 Xét hàm số
) )
=
+
x
f
f y (
1) - ⇒ = - y
1)
x
(cid:219) = 1
y
x
1
2 ( ( + f = t '( ) 3 t t 6 3 t + > với 0 với " > t 2 2 mà f
2
2
- +
- =
+ 2
Ta có
7
x
1 14
y
2
y
3 8 5
y
10
y
4
+ x
5
x
4
2
- +
- - - - y x= + vào phương trình (2) ta có 1 Thay
x
= 4 12 5
x
+ 9 4
x
5
x
4
7
- + x
2
- +
- +
=
(cid:219) - - -
Đặt
⇒ = 2 t
t
1 2
5
x
4
x
x
9 4
x
1 14 + 5 x
- +
4
x
1 2
4 (3)
2
- -
Suy ra phương trình (2) trở thành
= 12
t
- +
3
4 = t = t
x
- = x 4 - = x 4
3 (4)
(
- +
(cid:219) (cid:219) ⇒ - t 7
Xét pt(3) ta có
1 2
4
) 1
0
⇒ = ⇒ = 1
2
x
- = (cid:219) 4 x
x
x
y
1 2
x
- +
-
1 + - + 1 1 ⇒ - = -
2 = - + x 4 1 - + x
4
3
x
1 9 12
Xét phương trình (4) ta có
x
1 2
- = 4 x
4
x
16
- = - 4
x
4
x
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- (cid:219)
= (cid:219) =
⇒ - 2 x
20
+ x
68 0
x
10 4 2
–
x =
Thử lại ta chọn 10 4 2 =
-
+ 10 4 2
10 4 2
⇒ = y
1
x
Với
+
- -
10 4 2; 10 4 2 1
- -
,
-
4 0
d x :
)C có tâm thuộc cạnh AC đi qua
2 điểm A và M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
(H không thuộc AC). Tìm tọa độ các H 4;
đỉnh B,C của tam giác ABC biết diện tích tam giác ABC bằng
, đường tròn ( 5 2 25 4
.
nên AB là tiếp
^
( cùng chắn (cid:5)AM ).
=
=
= ⇒ =
MB MA MH
BHM
BC
.
)C thuộc AC mà AB AC Tâm I của đường tròn ( ) (cid:4) (cid:4) tuyến của đường tròn ( = ⇒ BAM AHC Mặt khác tứ giác ABCH nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên (cid:4) 0 90
= D
C
1 2 .
nên AM là trung trực của BH.
Do vậy 2 tam giác cân tại M là : MAB MAH và MB MH= Do đó AB AH=
x
y+ -
Phương trình đường thẳng BH là:
2
0
21 = 2
2
+ - y
x
0
D
⇒
⇒
E
B
5;
6;
Trung điểm của BH là nghiệm của hệ
1 2
3 2
- = y
2
21 = 2 4 0
- x
=
=
=
=
(
)
⇒ =
Khi đó:
.
S
2
S
d B AM AM MA MB
;
.
ABC
ABM
(
)
S ABC d B AM ;
5 5 4
-
⇒
t
M
;
C
( ) 1;1
1 = - ⇒ 4
7 2
2
=
2 +
2 =
-
(
)
) + ⇒ t
MB
+ t
Gọi
( M t 2
4;
t 2
2
3 2
125 16
(
)
⇒
t
M
C
7; 4
1 4
5 = ⇒ 4
13 5 ; 2 4
- (cid:219)
(
)
là các điểm cần tìm.
Vậy
B
6;
( ) 1;1 ;
C
;
C
7; 4
3 2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
-
3
2
3
2
- ‡ - ˛
2
x
- + 1
3
x
3
+ 4
x
6
x
8 (
x
ℝ ).
2
2
+
) ℝ .
- - ‡ - - ˛
x
4
x
13
x
+ 173 6
x
5
2
x
x
. Điểm I là một điểm thuộc
+
=
, biết điểm C thuộc
cạnh AB , đường thẳng DI cắt đường thẳng BC tại K thoả mãn
2
2
( 1 )2;0D ( 1 DK
1 DI
1 10
- = y
2
d x :
3 0
và có tung độ dương. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
-
M
;
;
N
;
và phân giác ngoài góc A cắt đường tròn (
. Tìm
)C lần lượt tại điểm thứ 2 là
- - -
15 2
3 2
(
(
toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AB và BC lần lượt đi qua các điểm
)C , phân giác trong 7 2 F
3 2 ) 4;3 ;
) 0;11
E
2
2
+
x
3
x
+ + 2
x
1
3
x
9 (
x
ℝ ).
- ‡ - ˛
2
2
2
+ + ‡ 3 x 2 0 x
ĐK:
+ 2 x
+ + 4 x
1 2
x
1.
+ x
+ ‡ 3 x
2
3
x
9
2
(cid:219) - - ‡ (cid:219) ‡ (*). Khi đó ( ) 1 x 1 x 3
2
2
2
‡ x 9 3
(
)
)
(
2
x
4
x
10 2
+ x
)( 1
+ x
)( 1
x
2
0
x
+ x
2
5
x
)( 1
x
2
0
2
2
2
+
+
(cid:219) - - - - £ (cid:219) - - - - £
(
)
)
(
(
x
) 1
+ 2
x
2
+ 2 x
)( 1
x
2
- + 0
2
x
1
x
x
1 2
x
0
(2)
2
)
(
)(
2
+ £
(cid:219) - - - - £ (cid:219) - - £
⇒
Với (*)
- + 2 1
x
+ > 2 x
khi đó ( ) 2
0
x
1 2
x
2
0
+ 2 x
1 2
x
2
2
2
£ +
(cid:219) - - (cid:219) - £
(
)
x
+ 1 4
x
2
x
4
x
9 0
2
13
x
2
13.
Kết hợp với (*) ta được 3
x£
£ + 2
13.
Đ/s: 3
x£
£ + 2
13.
2
(cid:219) - £ (cid:219) - - £ (cid:219) - £
x
+ + 2 x
2
+ ‡ 3 x
2
+ 2 x
2
10 (
x
ℝ ).
- ˛
2
2
ĐK:
x ‡
(*). Khi đó ( ) 1
+ + 2 x
+ 5 2 2 x
3.
x
+ ‡ 2 x
2
+ 2
x
10
3 2
2
2
+
+ 2
+
- (cid:219) -
(
)
(
)
+ - 2 x
+ 5 2 2
x
3.
+ £ 2 x
x
2
0
x
+ x
2
2
2
x
3
2 2
+ £ 3. x
x
2
x
2
0
2
2
+
(cid:219) - (cid:219) - - -
x
+ - 2 x
2
2
x
0
+ - x
+ = 2 x 2
2
x
3
0
3
)2
(
(cid:219) - £ (cid:219) -
2
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
+ ‡ 2 3 0 2 x 3 0 (cid:219) - (cid:219) x x + = x 2 2 + (cid:219) x 2 3 2 5. - x + x + = x 2 2 2 3 x + ‡ x (cid:219) = – = – 2 5
Kết hợp với (*) ta được
x = – 2
5
thỏa mãn.
Đ/s:
x = – 2
5.
(
B
)2;5
=
, N là điểm , gọi K là trọng tâm tam giác ABD, biết phương trình đường thẳng NK
DN
NC
2
và điểm N có hoành độ dương. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
y+ 3
0
x
- =
1 0
y-
x
=
⇒
.
2
2
2
=
˙
K KB KN )
(
(
)
Gọi
) 2 + - t 6 3
KN
10
2
t
t t 7 3 ;
N
- (cid:219) -
(
) 2 = (cid:219) 2
1
t
Chứng minh tam giác NKB vuông cân tại K ( với K là trọng tâm tam giác ABD). Khi đó phương trình đường thẳng KB là: 3 )1; 2 ( Do vậy K ( = ) loai (
) 4;1
N
KD ta có: ( = 3 t = ⇒ 1 t
Khi đó
= . 2
(cid:219) -
KN KC = KA KE
, E là giao điểm của KN và AB ta có: M 1 1 ; 2 2
Do vậy
AB x :
3 0;
AD x :
1 0
2
= ⇒ - + = y + - = y (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) NK (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) KE
(
)
(
.
D
A
) 1; 2 ;
Tìm được
2
2
- - 1 5 ⇒ - ; E 2 2 ) C 2; 1 ; ( 5; 2
(
) ℝ .
- - £ - ˛
+ + x
7 4
x
3
+ 2
x
19
x
143
x
2
- + ‡ x 8 7 0 x
Điều kiện
2
- ‡ (cid:219) ‡ . x x 7
2
2
3 0 + - ‡ x 2 19 143 0
(
)(
)( 1
) + 3
2
- - - - - £ - 8 x x x 7 x 2 x 19 x 143
2
+ (cid:219) - - - £ - + + x ( x Bất phương trình đã cho tương đương với + 48 8 x ) 3 . 7 16 )( 1 8 x x x 7 x x 11
)
( )
(cid:219) - - £ - - * 102 ( 8 x 3. x + + 2 x 4 x 3 15 x 7 7
)
Đặt
0
x
2 4
+ = 3 x
u
;
- = 7 x
0;
v
2
2
2
- ‡ , khi đó (*) trở thành + 4 x ( > v u
2
+ 2
v 15
)( v u 3
u
0
0
+
u
u u
25 v + 5 v
2
2
- - £ (cid:219) - - ‡ (cid:219) ‡
uv u 8 (
+ 13
66
+ 29
178
2 v u 3 . 3 v ( ) 1
0
x
x
x
x
2
2
(cid:219) - - ‡
( )( > " x
ℝ ;
+¥
)
) v 5 ) ℝ nên (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. .
+ - ˛ - ˛ + x > " 66 0, x x x 13 29 x
7;
178 0, [ S =
(
A
) 2; 1
- - , trực Do Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có
)2;1H (
tâm và =BC 2 5
(
3; 4-
N
- . Gọi D, E là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C. Biết trung điểm M của BC ) nằm trên đường thẳng d x : . Viết phương trình BC. 1 0 - = y 2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
và DE đi qua điểm Lời giải:
2
)
(
)
C
) ( :
( ) 5 1
) 2 + 1
t 2
= t
.
ta có: (
t+ 1;
( M t 2
2
2
=
( ) 5 2
y+
T
2
- - -
(
Gọi (C) là đường tròn tâm M đường kính BC. Gọi y x Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE khi đó đường tròn (T) đường kính AH: ( ) x : Do 2 điểm D và E đều thoả mãn các phương trình (1) và (2) ) = t
) 2 + 1
t 2
5
y
x
Ta xét hệ
2
2
+
=
x
y
5
+
+
- - -
⇒
( ) 1
( t 2 2
x
2
yt
1
= 2 t
0
)
là phương trình đường thẳng DE. = ⇒ 5
t
M
2
- -
Do DE đi qua điểm N nên ta có:
( t 6 2
) + - 1
= + 8 t 1
t
( 11;5 ( = - ⇒ -
1
) 1; 1
M
t
+ + =
2
x
Khi đó phương trình đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH có dạng
2
x
y + - y
3 0 = 27
0
+ + =
3 0; 2
y
x
+ - y
x
= 27
0
.
Đ/s: 2
2
+
(cid:219) -
(
) ℝ .
- ‡ - ˛
3
x
5
x
2
18
+ 2 x
18
x
5
x
+ + 1
2
‡
Điều kiện
2
2
2
1 + - ‡ (cid:219) ‡ . x x 2 0 x 1 3 5 + - ‡ x 18 5 0 - x 3 18
(
)
)( 1 3
2
2
+ + + - ‡ - x Bất phương trình đã cho tương đương với )( + - + x 1 + x 4 5 x x x x 2 + 18 x 18 x 5
(
)
( )
)( 1 3
( 5 3
) 1
+
+ + (cid:219) - - (cid:219) - - - * 4 3 ( + x 4 x 2 4 ) 1 . + ‡ x 9 x 7 4 3 x + ‡ 2 x 1. x 2 + 2 x x 2 2 x
)
Đặt
23 x
2
x
- = 1
u
;
+ = 2 x
0
2
2
‡ thì (*) trở thành
)
> 0; v )( + u v
‡ - (cid:219) - £ (cid:219) £ + 2 15 x ( v u ( v uv 4 u 5 u v 5 0 u v
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
+ - 1 37 (cid:219) - £ £ (cid:219) - £ £ + 2 x x + (cid:219) x x x x 3 2 1 + - 2 3 3 0 6 37 1 6 - £ £ x . Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 1 3 37 1 6
)C là đường tròn tâm
)1; 4E (
lần lượt là chân đường cao hạ từ D xuống
A bán kính AB, điểm K thuộc (
)C , gọi
,
F
32 11 ; 5 5
AK và từ K xuống CD. Viết phương trình cạnh AB biết D thuộc đường thẳng
.
d x :
y- =
0
= =
( do tam giác ADK cân tại K) (so le trong) = D
, từ đó suy ra E và F
DFK
- =
.
x
y-
8 0
do vậy phương trình đường thẳng AK qua E và
=
D
A AB AK
. Suy ra
- = 4 y
3
0
x
˙ -
)
- = 3 0 ) ( 8;1 ;
y+ 4 ) 4; 4 ;
) 5; 3 ;
( ) 1;0 ;
)1;0 ( ⇒ A - = y+ 4 x 3 0 là đường thẳng cần tìm. ( ( A 1; 5
: 3 AB x ( D
C
K
B
.
- -
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
+ 2
- +
3 3
8
(
- ‡ ˛
1
x
2 2
x +
x + +
x 2 + 2
10
x
2
)
-
19 x x + - + x
3 2 + - 1 x
2 x ( + 2 x
8 + 7 x
6 7 6 4 x £ 0
+ 2 + - 2 x 2 x 8
là hình chiếu vuông
)1; 2H (
là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A góc của A lên BD. Điểm M ;3
x
2 +
9 2 y+ - = 4 0
)
(
) 2 = 3
8
2
x
y
- =
, đường , biết điểm D và có tung độ không dương. Viết phương trình cạnh AB và tìm toạ độ
1 0
y-
x
- -
2
+
1
2
1
x
=
2
+ + x +
x 2
y
3
y
của tam giác ADH là 4 . Tìm toạ độ đỉnh B ,C và viết phương trình đường thẳng BC Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB BC= tròn đường kính AB đồng thời tiếp xúc với cạnh CD có phương trình ( thuộc đường thẳng đỉnh A.
8
12
+ -
y
3 2
x
y
+ = 3
x 2
+
9
x
16
- -
0
Điều kiện:
3 0
„ y ‡ y 3 - + ‡ y x
= -
Nhận thấy
không thỏa mãn hệ.
x
1 2
2
2
2
+
+
(
+
+
2
x
3
y
3
y
3
2
-
(1)
Với
(3)
-x
,
+ + 1 x = + 1
y
2
x
)2 1 = + 1
y
1 2
(cid:219) (cid:219) „
= t
= -
ℝ
f
( ) t
{ } \ 0ℝ
Xét hàm số
trên
có
f
( ) t
t
0
{ } \ 0
3 2
2
+
x 2 x 2 3+ t
+
¢ ˛
) (cid:219) =
(
f
( ) t
{ } \ 0ℝ
(3)
t ) = 1
< " 3 ( f y
t + x 2
f
x
1
Nên
nghịch biến trên
suy ra
thế vào (2) ta được
(cid:219)
(cid:219) = y
)
)
x
2
( 4 3
2
12
8
2 3
7 3
x
- = x
2
+ - 4
2 2
x 2
2
+
+
x
x
( x 2 3 + + 4
= 2 2
2
x
x
9
16
9
16
+ 2
2 2
x
+ + 4
4 2
- = x
9
x
16
y 2 = x
2
2
+ 2
=
- - - (cid:219) (cid:219) -
2 2
x
+ + 4
4 2
- = x
9
x
16
9
x
32 16 8 2
x
8
Nếu
x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
(cid:219) - - -
=
1
x
(cid:219) = y
2
4 2 3
8 2 + 3
9
32
= (cid:219) 0
x
2
)
( 8 32 9
x
2
= -
(cid:219) = -
1
x
y
9
= 32
x
8 2 + 3
+ 2
2 8 2
x
x
8
- - (cid:219) - (cid:219) -
(
)
2 8 2
x
= - 2 8
x
vn
2
9
x
16
+ x
= 32
0
4 2 3 £ x
=
+
- (cid:219) -
)
Vậy hệ có các nghiệm (
x y ,
4 2 8 2 ;
;
1
2 7 ; 3 3
3
3
4 2 3
8 2 + 3
,
1 ,
4
x
2
- + 2 x
4 2
1 - + - 2 y
+ 1 = y
y 2
- -
+ - 2
- = x
x
1 2
2 x y
+ 2 y
4
1
ĐK:
x
2;
y
0
2
‡ „
x ‡
2
ta có:
Nhận xét
PT
( ) 2
- = 2 y
1 2
y
+ 4
y
1
1 x
1 + - 2 x
2
(cid:219)
2
t
t
>
=
(cid:219) + 2 y 2 y 4 1 1 + = + 2 1 y x 1 + x
)
(
f
( ) t
'
= + 1
0
t R
f
( ) t
= + t
+ 2 1
t
t R
t 2
2
+ + 1 +
1
1
t
˛ " ˛ Xét hàm số ta có:
(
)
f
( ) t
+
t 1 x
- +
= (cid:219) Do vậy hàm số đồng biến trên R ta có 2 y f 2 y f 1 = x
x
x
2
- + 2 x
4 2
2
=
+ = x 2 =
- Thế vào PT(1) ta có
t
x
2
+ x
Đặt
2
x
2
x
4
Khi đó: 2 t
+ = (cid:219) 2
t
- - - -
(
)
2 2 . Ta có: 2 t 2 = t 1 = - t + = (cid:219) x
2 - = x
2 1
TH1:
x
2
+ + (cid:219) 2 x
- = + + 2 1
x
2
+ + x
2 2
x
2 1
vn
- -
2
x
x
TH2:
- = 2
x
+ - x
2 2
x
2
- = + -
1 4
2
x
2 4
x
+ + x
2 4
2 (cid:219) = + = x 2
2
AM= 2
và B. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho
, điểm
)1; 4N (
‡ ‡ (cid:219) (cid:219) ⇒ = y
y+ - =
2 0
.
.
Xét các tứ giác nội tiếp ADNM và MNCD ta có
0
=
= ⇒ 90
.
.
Mặt khác (cid:2) (cid:2) (cid:2)0 + MDA MCB ANB Phương trình đường thẳng BN là: y
4
2; 4
- =
^
(
x
M
=
(
)
Lại có:
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AB
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) AM
3
0; 2
M
.
y
hay AN BN 90 ) ( = ⇒ - B ) 1 ) 1
M
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- ⇒ ⇒ - 3 3 ( = 3 3
- =
y+ 2
9 0
x
- + = y
BC x :
6 0
0;
(
1;5 (
)
là toạ độ các đỉnh cần tìm.
Vậy
Phương trình đường thẳng CD qua N và vuông góc với MN là: - = Phương trình các cạnh AD x y : ) ) ( C - Từ đó suy ra D 3;3 ; ) ( ) ( 1;5 ; 2; 4 ;
3;3
D
C
B
2
3
+
- -
.
- ‡ -
4
x
19
2
- + 3 x
8
x
1
4
3
2
+
+
4
x
4
x
19 0
Điều kiện
.
x
2
2
4 x ‡ x
Bất phương trình đã cho tương đương với
3
2
3
+
+
- ‡ (cid:219) ‡
(
)(
)(
4
x
4
x
4
x
19 4
x
+ - + 32 x
1 4
x
+ 2
+ 2 x
4
x
) 1
2
x
2
- ‡ - - -
(
+ x
x
+ 2 x
x
x
) + 1 .
2
4
4
3
2
2
2
(cid:219) - ‡ - -
)( x )
x
x
+ 2 x
x
+ 2 x
x
+ + x 3
+ 2
4
2 3
4
3
+ 2.
2
4
[ ] 1
2
+ 2
(cid:219) - ‡ -
)
Đặt
ta có
x
+ = 2 x
3
a ;
x
+ = 4 x
2
20 4 ( + x ( b a
> 0; b
0
2
2
2
- ‡
2
(
[ ] 1
+ 2 a
4
ab
)( a b a
0
0
+
9 b b 3
2
2
2
2
2
+
- - (cid:219) ‡ (cid:219) - - ‡ (cid:219) ‡
(
b 3 )(
(
)
b
a
a
x
+ 0
5
) b 3 )( + x 2 8
2 b a . a 0
[ ] 2
+¥
)
2
. Kết luận tập hợp nghiệm
.
b 9 x ‡
a + a b ) x 34 21 [ S =
2;
2
2
+
(cid:219) - - ‡ (cid:219) ‡
2
0
C x ( ) :
= x
y
(
-
)2; 0
H
.
giác ABC bằng
2 3
. Lại có (cid:2) 090
nên AB là đường kính của
)1; 0 (
I
Tam giác ABC vuông tại A và AC tiếp xúc với (C) tại A nên 3 điểm A, B, AHB = I thẳng hàng với (C).
=
=
= ⇒ =
Khi đó:
.
AB AC AC
AC
ABCS
1 2
2 3
2 3
=
+
⇒
= ⇒ D
Mặt khác
= = 1
AH
IA R
AHI
là tam giác
2
2
2
1 AH
1 AB
1 AC
0
0
=
=
đều Ta có: (cid:2) IAH
(cid:2)0 ABC
= ⇒ 60
30
3
2
là điểm cần tìm.
= 2
2 +
-
1 3 ; 2 2
x
y
2
3
⇒ B
.
HB AB= . Do đó cos 30 = + 2 x y x 0 2 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ ( )
2
3
+ 2
-
.
- - ‡ - - -
32
x
19
2
+ - 3 x
x
x
1
x
2
2
3
(
+ 2
x
19 0
x
x
4
32
19 0
3
2
- - ‡ - - ‡
Điều kiện
x 8 + - 2 x
x
x
1 0
x )( + ‡ x 1
- ‡ (cid:219) - (cid:219) ‡
0
x
x
2
.
x
2
2
x
4 (
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
‡ ‡
2
3
) - + 1
3
Nhận xét
( 4 x x + - + 3 2 x
- + 2 - - 3 x x x - - ‡ 0 x 2 . 2 x + - 2 x x 1 - = x 2 4 3 - - - - 4 x 3 + - + 2 x 1 x 2 = x 2 2 x x 1 2 > " x 2 2
2
+ 2
x
x
x
+ - 3 x
x
x
x
3
2
+ 2
x Bất phương trình đã cho tương đương với 3 - - ‡ - - - 4 8 32 19 1 2
( +
)
) 1
)( 1
)( 1
x
x
x
+ - + - 3 2 x
x
x
x
x
x
x
2
2
- - ‡ - - - - 2 ( 4 8 32 19 4 2 4 2
(
)( 1
) + £ 2 .
+ x
x
x
2
(cid:219) - - - - 13 4 1 0
+ x 4 (
)
x (
+ 3
x
x
+ - 2 x
x
+ 2 x
2
2
(cid:219) - - £ 5 4 2. 1 9 2 0 3 27 ) + + 2 x 1
x
x
(cid:219) +
+ x 3 + 2 1
+ x 3 + 2 1
x
x
2
- - 2 2 - £ 5 4 9. 0
x
2
=
(
)
(
)
⇒ +
Đặt
t
t
t 5 4
t 9
0
t
)( + t 1 9
5
0
t
1
+ x 3 + 2 1
x
2
2
- 2 ‡ - £ (cid:219) - ‡ (cid:219) ‡ , 0
x
+ ‡ x 3
+ (cid:219) x 2
1
x
. Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
1 3
(cid:219) - £
cạnh AB, biết
và
I
)1; 0 (
- - lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam J 3; 2 3
x
:
- = y
và đường thẳng CD đi qua
. Tìm tọa
( E -
)4;8
D -
giác ABD biết điểm C thuộc đường thẳng 2 0 độ các đỉnh của tam giác ABC biết D có tung độ dương. Lời giải:
/ /
, lại có
⇒ ^
16 0
= .
^ ^ ^
˙ -
JG AB mặt khác do vậy I là trực tâm . y+ + ) .
2; 4
C
=
Khi đó
.
= C CD (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) CJ
2
( D ⇒ - (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) JM M
;1
7 2
)
.
⇒ - giải ID DM^
t ; 6
16
( D t
- -
=
+
)
;
16
t 1; 6
Gọi (cid:3)(cid:3)(cid:4) ( = - ID t
17
(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) MD
t
t ; 6
7 2
)
3
3; 2
( = - ⇒ - D
t
- - - -
(
) =
Khi đó: (
) 1
17
0
t
+ t
+ t 6
)( + t 16 6
(
)
+
7 2
;
loai
⇒ - D
179 74
179 74
55 37
= - t
(cid:219) - -
(
(
)
là các điểm cần tìm.
A
) 4;0 ;
B
2; 4
Khi đó
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- -
2
2
3
+ 2
3
x
12
+ + 5 x
x
2
x
x
1 2
x
10
x
5
)
- - - ‡ -
2
x
12
+ ‡ x
5 0
2
-
Điều kiện:
. Trước hết, để ý rằng:
2
x
0
x
2
x
3
- ‡ (cid:219) ‡
x
3
2
2
2
2
2
=
- ‡
1 0 (
)
(
)
2
x
10
+ = x 5
3
x
+ 12 x
5
x
2
x
3
x
+ + 2 12
x
5
x
2
x
+ - 2 3 x
12
x
5
x
2
x
)
(
)(
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
3
2
2
3
2
2
- - - - - - - -
x
x
x
- + x
x
x
+ x
x
x
1
3
+ - x 12
2
1
2
3
12
5
2
3
2
2
- ‡ - - (cid:219) - ‡ -
5 (
x
x
x
x
+ 3 x
- + x 2
1 2
)( 1
+ 3
2
5
3
2
2
2
3
+
+
(cid:219) - - - ‡ -
(
x
x
x
x
0
+ x 2
2
2
+
(cid:219) - - ‡
) x )( + 2 (
x 12 ) x )(
+ + x 10 )
6 2 (
+ 2 x
+ x
x
+ 3 x
x
x
+ 3 x
+ 2 x
x
x
3
2
2
3
+ 2
0
3
2
3
+
+
(cid:219) - - - ‡
( )
+ 3 x
+ - 2 x
x
x
x
+ + 2 x
x
x
+ 2 x
x
2
0
3
2
3
3
3 ) )(
) )
x ( (
3
2
2
+
(cid:219) - - ‡ *
x ‡
2
suy ra
Với điều kiện
x
x
+ + x
3
x
+ > x 2
3
0
3
-
( )
2
0
2
+ x
+ - 2 x
x
+ ‡ 2 3 x
x
x
3
x
4
x
2 0
do đó ‡ 2 x +
+¥
)
[
.
S =
2;
* (cid:219) - (cid:219) (cid:219) ‡ - ‡
(
- 2 x - + 2 3 x 2 ‡ ˛ 1 x
2
- - - 2 1 x
2
8 x 2 Lời giải - ‡ x 2 0
Điều kiện:
2
2
- - ‡ (cid:219) „ ‡ x 2 0 x 2 x 3 4 2 3 - - „ 2 1 x 2 x
x
; 8
x
- > (cid:219) > x
2 1 0
2
x
, khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
„ ‡ - -
2 3
3 4
2
3 8 8 3 4
x
x
2
- + 2
3
2
8
2
2
- ‡ - - -
x
x
1
3
2
2 1 ( 2 3
2
2
(cid:219) - ‡ - -
- + x 2 (
)
x
x
x
x
x
2
x ( + x 2 2 ( 2 2 2
x ) 1 ) 1
3
2
) 2 ( + 2 2
) + 1
- + x 3
( 2 3
2
2
(cid:219) - - - ‡ - -
(
)
2
x
1
3
x
2
- = 0
2
x
1
3
x
2
x
1
1 2
2
(cid:219) - - - £ (cid:219) - (cid:219)
+ = x
1 0
5
) 1 ‡ x (cid:219) = 4 x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
-
2
; 8
x
- < (cid:219) x
£ < 2 1 0
2
x
, khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
x
„ ‡ - -
3 4
3 4
2 3
2
2
)
x
x
x
x
x
x
2 3 - + 2
2
2
8
2
2
3
+ 2
( 2 2
) 1
( 2 3
2
2
2
- £ - - - (cid:219) - £ - -
x )
x
x
x
x
x
3 ) + 1
- + x 3
- + 2 1 ) 1
3
1 ( + 2 2
x ) 1
2
( 2 3
2
2
2
(cid:219) - - - ‡ - -
( (
( 2 2 2 )
2
x
1
3
x
0
2
x
(cid:219) - - - ‡ " ˛
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
2 3 ; 3 4 { } 1
¨
(
)4;3
B
- =
AC x : 5
= . S 2 3 ; 3 4
và , gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC , trên tia đối của tia BH lấy 5 0 , biết hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng BC là K thuộc đường thẳng
.Tìm toạ độ các đỉnh A,C,D.
y+ 2
0
=
(2 góc đối đỉnh)
=
=
.
)
⇒ =
( cùng phụ với (cid:1)ABH ) suy ra (cid:1) (cid:1)BAH KBE , phương trình ;
( BH d K BE
D
x
Ta có (cid:1) (cid:1)HBC EBK Lại có : (cid:1) (cid:1)HBC BAC = D Từ đó ta có : BKE đường thẳng BH là :
BAC y+ 5
= 19 0
.
-
t 3
12
=
=
=
(
)
(
)
(
)
Gọi
khi đó:
.
d K BE ;
d B AC ;
K
t t 7 2 ;
26
12 26
)
K
t
- -
( = ⇒ - (
9;8 )
K
t
8 = ⇒ 0
7; 0
Với
(cid:219)
( K - (
(
(
)
Với
K
1; 2
A
D )
là các điểm cần tìm.
-
)9;8 ) ⇒ 7; 0 ( ) 1; 0 ;
A
( loại vì K và B khác phía với đường thẳng AC ) ) ( 2;5 ; ( D -
( ) B 1;0 ; ) ( 4;3 ;
) C 4;3 ; ) ( 2;5 ;
1; 2
C
B
+
2
x
3 2
x
- = + y
y
4
2
2
+
+
=
2 x y
1
y
1
x
+ - 1
x
1
)
)(
ĐK : 2
x
y-
.
‡
Khi đó:
PT
0 ( ) 2
2 x y
+ 1
= 1
+ 2 y
+ + 2 x 1
x
)
(
2
1 + - 1
= x
x
(cid:219)
Do x = 0 không phải nghiệm nên:
( ) 2
)
(
2
2
2
=
+
+
+
>
(cid:219) PT + 1 y = 1 + 2 y 1 1 x 1 + 2 x + 1
(
)
)
f
( ) t
t
1
t
1
t R
ta có:
f
( ) t
'
= + 1
t
1
0
t R
(
) (
t 2
+
1
t
=
˛ " ˛ Xét hàm số
)
Do vậy hàm số
đồng biến trên R ta có:
f
( ) t
y
( f y
f
1 x
1 = x
+
(cid:219)
Khi đó thế vào PT(1) ta có:
2
x
3 2
x
4
2
=
-
+
Đặt
ta có:
t
2
x
0
t
t 3
- = (cid:219) 4 0
(
)
loai
4
1 x
1 1 = + x x = t 1 = - t
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- ‡
=
=
x
1;
y
1
= (cid:219) 1
1
1 0
t
- = (cid:219) 2 2 x
x
Với
=
1 - = (cid:219) 2 x x
;
2
y
)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (
; 2
.
x y ;
1 2
1 = x 2 ( ) = 1;1 ;
=
-
,Oxy cho hình thoi ABCD có hai đỉnh B, D lần lượt .
; đường thẳng AC có phương trình
= 31 0
x
03
-+ y
,0
d
8
x
:
:
d 1
2
- -
B
- ˛
8;( bB dD 2(
), b ;3
d
).
y
8 2
I
- ˛
C
A
Gọi dB y :1 dD x :2 (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) ⇒ = - + b BD (
3;
2
d
-
3
và trung điểm BD là
⇒-= x = ⇒- 3 + - b d + b
8) d 2 2
D
++ - - 8 I ; . db 2
= ^ - - = BD AC 13 0 0 0 (cid:219) (cid:219) (cid:219) ⇒ Theo tính chất hình thoi ˛ - 9 0 1 I AC + b 8 + 6 b d 13 - = 9 d d = b = (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) u BD . AC ˛ I AC
)8;0( B ; Suy ra -
-⇒ I -= + ˛ )1;1( A AC x : 1 2 7 y 7( a ;31
2
3
A
(10; 3)
2 +
=
= = AC . BD =⇒ AC 15 2 =⇒ IA . S ABCD D Mặt khác, 1 2 9 . 2 -⇒+ A 31 S 2 BD a ). 15 2
⇒
7
a
+ a
a
⇒ -
2 =
6
A
( 11; 6)
63 2
9 2
= a = a
225 9 2 2 -⇒ C A )3;10( (
9 4 ).6;11
- (cid:219) - (cid:219) -
Vì A có hoành độ dương nên
2
2
3
+
+ = +
+
)
4
( x x
1
y
3
x
y
Vậy A(10; 3), B(0; 8), C(-11; 6) và D(-1; 1).
2
+ y
10
x
+ = x
16
4 0
-
ĐK:
3
‡
PT
3y ( ) 1
x ( + x
3
=
(cid:219)
1 3 ( +
f
)3 + + = 1 x ( ) t
t
t
+ + 2 y x ) t R f
,
+ 2 3 x ( ) = t
'
y + > 2 t 3
t R
3
2
3
=
+
˛ " ˛ Xét hàm số:
1 0 ) 1
f
( f x
y
x
3
x
3
x
+ = y
1
Do đó hàm số đồng biến trên R. Ta có
Thay vào PT(2) ta có:
3
2
2
+ +
+
+
(
)
2
x
2 10
x
16
+ = (cid:219) x 4 0
( 5 2
x
+ x
2
2
x
)( 1 2
+ 2 x
) + 2
2
x
( = 6
x
) 1
0
= ⇒ =
x
y
+
(
x
x
2
- - - -
x
5 0
1
+ = (cid:219) x 2
3
1 0
6 2
2
2
= ⇒ =
) 1 + + x
x
x
x
2
2
2
+ 1 + x 2
2
+ = (cid:219) 2
+ x 1 = (cid:219) + x 2
2
2
x
y
1 1 2
5 21 8
(cid:219) - - - - -
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
(
)3; 4
E
)6;3
F
. Tìm tọa độ đỉnh D của hình vuông ABCD.
tại
Tam giác DBK vuông cân tại B do có BD BK=
=
.Khi đó tứ giác BEDF nội tiếp đường
BC
DK
1 2
=
= DFE DBE
( do
- =
.
5 0
2
( D t
t - ;3
5
tròn đường kinh DF nên (cid:1) (cid:1) 045 cùng chắn cung DE) . Do vậy tam giác DEF vuông cân tại D. phương trình DE là: 3 x ) EF= 2 Gọi
y-
ta có:
DE
2
2
2
2
=
(
)
(
)
t
+ 3
t 3
9
10
( = (cid:219) t
) 1
1
0
= t = t
(cid:219) - - (cid:219) -
(
(
) 0; 5 ;
) 2;1
D
D
là các điểm cần tìm.
Vậy
-
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
+ + = 1 3 y - + 2 + y 2 x
2
+ + - = 4 - - y 2 )3 y y + y y x 1 11 15
(
) ℝ .
- x ( 13 ) ( x 12 5 ‡ ˛ 1 x
29 x (
2 +
- + x ) + x 3 x 2 1
(
)
. Hình chiếu vuông góc của các điểm B, D lên AC lần lượt là
) 2 = 1
9
2
y
x
- -
Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết B, D có tung độ dương . H , K 22 14 ; 5 5 13 11 ; 5 5
AD =
3 2.
và
đường tròn đi qua các điểm B,C và G cắt cạnh CD tại N . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD
M
biết điểm N có hoành độ âm, điểm là trung điểm của AD và phương trình đường thẳng 3 3 ; 2 2
GN x :
y+ 3
= 11 0
.
-
(
)
.
- - £ -
+ x
3
2
x
3 3
( x x
) 1
x ‡
.
3 2
)
( + x
3
2
x
( x x
3
) 1
2
- - £ -
(
(
3 )
(
x
x
x
3
+ 2 x
3
3
3
x
5
x
2
2
(cid:219) - - - - - £ - -
) 1 ( (
- + x 1 ) )(
x ) 3 1
(cid:219) - - - - £ - - - + x x x 3 x 5 x 2
) 1 ( (
(
)( + 2 3
) 1
- + x 1 )( 1 )( 1 x - +
- - - x 2 ) 2 2 x x (cid:219) £ - x x x 3 )( 3 - + x 2 3 1
(
( ) 1
Điều kiện Bất phương trình đã cho tương đương với ( x ) + 1 ) + 1 1 ) ( + x 2 + 1 1 ) + - x 2 3
)
- (cid:219) - ‡ 1 x 0 x 1 + - + 1 1 x 2 - + ‡ < - + + = 1 x x 3 2 + < x 2 3 + " 1, x x Ta có + x 3 - + 3 1 x 3 2 x 1 - + x 1 1 2
3
⇒ + - x 1 3
0
1 x + - + 1 1 x
-
2
3 1
>
+ 3 x - + x 3 1 ( + x 2 - + x
2 0
2
x
x
2
.
(cid:219) - ‡ (cid:219) ‡
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
x ‡ Do đó ( )1 . Vậy, bất phương trình có nghiệm
3
3
)
(
2
y
2
x
4
xy
- + x 2
4 8
- = x
4
3
x
2
y
- - -
2
2
+
+
+
+
2
y
= + x
y
2
x
2
3
- - ‡ 4 xy 2 x 4 0
Điều kiện:
2
‡ ‡ 4 y
2
x + ‡ 2 y x
2
2
+
+ 2 x 0 + ‡ 2 0
(
(2)
( + y
+ y
+ + x 2
2
+ x
2
y
= x
) 1
0
(cid:219) - - y ) 1
1
2
1
(
0
2
2
) 1
0
y
x
2 2
2 2
1 2
2
x +
+
y +
+
+
2 y + + 1
+ 2
2
= (cid:219) 1
2
+ + 2
+ + 1
2
2
1
y
y
x
x
1 x + + x
y
y
y
x
x
y
= + + x
- - - - (cid:219) - -
(Do
)
y
x
2
y
- = x 2
1 0
2
3 4 - +
4 8
2
x
x
3
3 x
- = 3 Thay vào (2) ta được x 4 2 Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có: 3
3
2
2
=
+
(cid:219) - ‡ ‡
(
)
(
)
3
x
x
4
x
+ 2
x
2
- + 3 x
8
4 2
x
2
x
4
2 4
+
3
- - ‡ -
Dấu bằng xảy ra khi
(thỏa mãn)
(cid:219) =y
(cid:219) = x
2
2
-
5 2
x x
4 2
= 4 = 2
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
-
(
2; 5 2
)2; 2
F
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D thuộc tia Oy. và 2; E
=
1 3
˙ là trọng tâm tam
)
x
0
( 3 2
x
= - I
I
+
t
1
= -
- -
) (
)
⇒
(cid:2)(cid:2)(cid:3) ID
I
(cid:2)(cid:2)(cid:3) IE 3
;
( D t 0;
t >
0
3 2
4
y
y
3
= - I
I
t
2
(
(cid:219) Gọi ta có: - -
t
=
=
IF ID R
) 0;1 )
D (
2 9 = + 4
t
loai
1 3 = ⇒ 1 t = -
)
(
y = khi đó gọi
2
ta có:
- - 7 3 t 1 (cid:219) Ta có: 1 (cid:219) + 4 4 4 2
( A u
; 2
B
I
) 3;0 ;
Khi đó , phương trình đường thẳng AF là: 3 1 ; 2 2
)
(
u
A
C
)
(
)
= (cid:219) 0
( . 3
)( = (cid:219) 1
2
0
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) . AD AB
+ - u
u
( 1; 2 (
⇒ )
)
A
u
) 2; 1 ( EF loai
= ⇒ 1 = ⇒ 2
2; 2
- - - - ˛
(
(
(
là các điểm cần tìm.
-
A
( ) 1; 2 ;
) 3;0 ;
C
) 2; 1 ;
B
) 0;1
D
2
x
+
=
x
y
2
x
- + y
y 2
x
-
2
2
+ x
4
y
2
x
1
3
+ = y 2
- -
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Điều kiện:
0
1 2 + ‡ y
x
2
x
y
0
‡ x
- ‡
2
x
+ - x
y
= x
y
(1)
2
y 2
x
=
y - = x 2 0 - - - x 2 (cid:219) - (cid:219) (cid:219) - - = y x x x y 2 + + y x 2 x = y 2 x
)
vô nghiệm do
.
0>x
x
+ + y
2
x
= y
(cid:219) + x
2
x
2
0
x
y
2
x
y
- - y 2 + + y ( + x 2 )(
23 x
- + = x 2
2
x
2
x
1
+ x
x thay vào (2) ta được
2
2
2
-
(
)
(
2
x
x
+ x
2
1
+ + - 2 x x 2
1
+ = x 2
x
1 0
(3)
) + 1 1
2
x
+ x
) 1
= x
) 1
0
x
(cid:219) - - - (cid:219) - - - - - Nếu - Nếu 2 =y (
2
(
) 1 1
2
0 - - ‡ 0 2 - = 2 x 1 1
Ta có
‡x
Nên (3)
1 2
2
) 1
2 ( = x = x
)
‡ - (cid:219) với 0 x ) 1 x (cid:219) = (cid:219) = 1 x y 1 2 1 = x 1 - ‡ x ( ( 0 x
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x y ; 1; = 1 2
của AB, N thuộc BC sao cho BN = 2NC, MN: x + y – 1 = 0 và D(0; –1). Viết phương trình đường thẳng
Ny < . 0
CD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của hình vuông biết yM > 0 và
= ⇒ =
AB
NC
6
a
2
a
,
DN
a= 2
10
Đặt
DM a= 3
2
2
ta có: 5
DN
=
=
MN
a= 5
.
DMN
+ . Khi đó ta có (cid:4) 2 DM MN cos DM MN 2. .
1 5
=
=
)
⇒
DMN d D MN
DM
;
DM
.
Khi đó (cid:4) ( .sin
10 2
-
t
M
;
( ) l
3 = ⇒ 2
3 2
2
+
2 =
-
)
(
)
Gọi
ta có
t
2
t
( ;1M t
t
10 4
t
M
1 2
1 = ⇒ 2
1 1 ; 2 2
=
- - (cid:219)
) (
.
Khi
đó:
DM
⇒ = a
Gọi
ta
có:
( N u
;1
> u
u
) 1
10 2
2 6
-
(
)2
+ 2 u
= u
DN =
2
2 5 3
20 9
= u = u
4 3 2 3
(cid:219) - (cid:219)
=
=
+) Với
u = ta có:
, gọi K MN CD
ta có:
N
;
2
⇒ K
4 3
4 3
1 3
7 3 ; 4 4
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- ˙ - (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) MN (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) NK
Khi đó
- - ⇒ CD x : - = 7 y 7 0 BC x : 7 + - = ⇒ 9 0 y C ; 7 5 4 5
Lại có: (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) = ⇒ CN NB 2 B ⇒ - A 6 3 ; 5 5 1 2 ; 5 5
CD x :
- = y 7
7
0
1 2
1 2
+
+
= 1
2
1
2
y
.
- - - Vậy và A ; B ; C ; 1 2 ; 5 5 6 3 ; 5 5 7 5 4 5
2
x +
6
2
2
=
+
+
5
3
x
y
x 2
8 1
+
Điều kiện 2
1 0
. Phương trình thứ nhất tương đương với
.
x
y- + „
x
= + y
1 2
1 2
+
+
2
1
2
1
x
y
Xét hàm số
f
( ) t
= + t
;
t
0
thì
1 + 2
1
t 2
4
4
2
+
„
(
t 4
t 2
t 4
t 4
1 =
= - 1
2 > " 0,
0
.
( ) t
f
t
= 2
) 1 2
2
2
2
t 4 +
+
(
+ (
(
) 1
+ t 4 ) 2 1
2 t
2 t
) 1 =
)
.
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực. Thu được
+ 2 t ( ) f x
( f y
(cid:219) = x
y
2
+
+
6
x
8
2
=
Phương trình thứ hai khi đó trở thành
8 5
( + x
) 1
+ 2 x
2
3
5 2
x
+ 2 x
+ (cid:219) 3
2
- - ¢ „
+ = x 4 )
+ 2 x
2
x 4 + 1 ( + 5
+ + 2 2 x
) 1
= 3
0
2
2
(cid:219)
x ) 1 ( + 5
x
+ - 2 x ) 1
( ( + x
2
x ) 1
6 ( + 3 2 2 x ) ( + 3 2 2 x
= 3
+ + 2 2 x
0
2
>
(cid:219) -
)
x „
1
, đặt
thu được
Với
x
+ = 1
u
; 2
x
+ = 3
( v v
0
2
v
2
-
(
)(
)
u 2
+ uv 5
2
v
= (cid:219) 2 0
u
2
v
= (cid:219) 2 u v
0
u 2
= u = v
- - -
1
x
1
=
(cid:1)
(Hệ vô nghiệm).
u
v 2
2
2
2
+
+ =
+
2
x
1 8
x
12
+ x
2
= 11 0
‡ - ‡ - (cid:219) (cid:219) -
- + 4
14
- + 4
14
=
(cid:1)
.
2 u
v
⇒ = x
⇒ = y
2
2
2
1 + =
+
+
1 +
+ =
(
2
3 4
2
) 1
x
x
x
2
2
2
8
1 0
x
x
7 x - x
Xét các trường hợp x x - x
- + 4
14
14
=
- + 4 =
;
y
.
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất
x
2
2
‡ ‡ (cid:219) (cid:219)
tâm tam giác BCD,
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, điểm B thuộc đường thẳng
I
2;
3 2
3
x
= y
4
0
, đường thẳng BC đi qua M(5; 0). Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành đã cho, biết B có hoành
độ dương và C có hoành độ nguyên.
-
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
Do H là trực tâm tam giác BCD nên
, tương tự ta cũng có
DH BC
⇒ DH AD
^ ^
do đó tứ giác ABHD là tứ giác nội tiếp
AB BH
đường tròn đường kính AH, do đó I là trung điểm của
(
A
)0;3
AH vậy
^
x
= y
4
(
)
⇒
( vì
Giải hệ
B
4;3
Bx > ) 0
=
= IA IB
3
0 5 2
Phương trình đường thẳng BC qua B và M là:
.
BC x : 3
y+ -
= 15 0
-
)
)
⇒
Khi đó gọi
15
;
15
( C t
- + ; 3 t
K
( D t
- + 4; 3 t
t 2
3 t + ⇒ 9 2
=
- -
(
)
4
loai
C
t
2
=
”
(
) 2 + - +
Lại có:
= IA ID
t
4 2
t 3
= 15
3 2
25 4
5 2
= t
53 10
(cid:219) - - - (cid:219)
(
(
)
C
D
B
A
;
;
) 0;3 ;
;
4;3
Vậy
là điểm cần tìm.
53 9 ; 10 10
13 10
9 10
- -
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
+ + +
+
2
x
3
x
- = 1
2
2
3
+
y )(
y 2 (
) - + 1
3
3
+ + x 3 2 ) = 1
3
x
y
x
x
+ 3 x
x
x
2
-
2
1
7 1
x
= x
y
- - -
3
4
+ 3
+ 2
(
) 1
4
2
2
4
- = x 1
x
y
x
y
(
và
I
- - -
4
d x :
- = y
. Biết đường thẳng AB có phương trình 2
( )1; 2 = 14 0
và
-
)1; 2 ( . Gọi I - = y- , 7 0 , trung điểm của AC thuộc trục hoành và điểm C
)C đi qua
)4;1M (
2
2
3
3
+
+
+
+
(
)
7
x
y
4
9
x
+ = 9
0
2
4 +
4
y
2
+ = 4
0
4
xy y
x
hay
không thỏa mãn hệ.
1 1= -
‡
-x x và
0=y ta có:
0„y
Điều kiện: Nhận thấy -x Với 1
2
+ 2
„
(
)
y
y
4
=
+ (cid:219) 2
xy y
(2)
4
+ = - x 1
4
2
4 2
+
+
x + x
x = + x
1
1
y y
y y
4
4
2
+
y
4
- - (cid:219) (cid:219)
+ - x
1
(3)
y 2
+
y
1
1 = + x
4
y
(cid:219) -
ℝ
Xét hàm số
f
( ) t
= - t
trên ℝ có
f
( ) t
= + 1
> " 0
t
1 t
1 2 t
¢ ˛
(
f
( ) t
Suy ra
đồng biến trên ℝ nên
(3)
f
+ x
) = 1
f
+ = x
1
y 2
y 2
+
y
y
4
+ 4
2
2
4 +
(cid:219) (cid:219)
y
- = 4
y
4
thay vào (1) ta được
4 + x
0
+ = - x 1 1 ‡ y
3
3
3
(cid:219) (cid:219)
7 4
- + x x
+ = (cid:219) x 9
9
0
x
9
4
x
9
x
9
0
2 + + 3 x 9 3
1 + = 3 7 3
3
- - - -
(
)
)
(
(
)
x
x
+ x
9
9
4
7
+ x 9
9
8 27
=
0
2
2
3
3
3
3
3
2 +
(
(
)
(
)
+
+
+ ) 2
(
1 27 )( + x 7 9
4
x
7
4
x
) + 9
+ x 9
9
x
x
9
x
+ + 9
9
x
9
2 3
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - - (cid:219) - -
+ 2
(
)
(
)
x
x
x
+ x
2
)( 2 3
6
4
=
0
2
2
3
3
3
3
3
2 +
(
)
(
(
)
+
+
+
1 3 +
(
+ ) 2
4
x
7
4
)( + x 7 9
) + 9
+ x 9
9
11 3 x
x
x
9
x
9
9
x
9
2 3
2
+
+
(
) 1
x
=
- - (cid:219) - -
(
)
0
2
x
2
2
2
3
3
3
3
3
2 +
(
)
(
(
)
+
+
1 3 (
4
7
4
) + 9
9
x
x
+ 9 x
11 3 )( + 7 9 x
9
+ + 9
9
+ ) 9
x
x
x
x
2
vô nghiệm.
+ = - 2 y
2
(cid:219) - - -
2
2
(
- - £ - ˛
3
x
1
5
x
+ 14
x
3
x
+ x
)
( x x
3
0
- ‡
x
Điều kiện:
1 0
x
3
2
- ‡ (cid:219) ‡
14
+ ‡ x
x
5
3 0 Bình phương hai vế của bất phương trình, chúng ta có: 2
2
+
-
(
(
)(
3
6
) 1
3
9
) 1
5
14
3
x
x
x
x
+ 2 x
x
2
- - - - £ -
+ x (
x )(
3
x
x
+ 2 x
4
20
x
12
6
2
(cid:219) - - £ -
) 1 )
x ( x x
+ 4
x
3
2
x
10
x
3
2
2
(cid:219) - £ -
)
+ 2 (
6 )(
(
)
2
x
+ 4
x
3
2
x
3
x
x
x
3
0
2
(cid:219) - - - - - ‡
( )
x
+ - 4 x
3 2
0
x
x
x
3
2
+ + 2 4 x
(
)
2
(cid:219) - - ‡ *
tương đương:
Với điều kiện
x
‡ ⇒ 3
2
x
+ + x 3
4
> x
0
-
2
2
2
2
)( do đó bất phương trình ( )*
‡ ‡ 3 3 x x - ‡ (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:219) 4 3 2 0 4 13 x + - x x x - - - 3 4 + ‡ x x x x 3 ‡ + + ‡ 8 x 3 0 x + ‡ 3 x 4 x ‡ x
2 =
2 +
+ +¥ 4 ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T 4 13; . 2 =
)
(
(
)
)1;3B (
) 1
25
+ y
C
2
x
:
- và điểm
y- + =
1 0
d x :
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn tâm A có phương trình( , gọi D là một điểm chạy trên đường tròn (C) và C là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ các đỉểm C,D biết trọng tâm G của tam giác BCD thuộc đường thẳng .
=
= nên
)
( A - 1; 2
(
;
) 1
Do ABCD là hình bình hành có AB AD R ABCD là hình thoi. Ta có tâm .
G t t + , gọi I là tâm của hình thoi, do G là
Gọi
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) AG
(cid:2)(cid:2)(cid:3) AI
= trọng tâm tam giác BCD nên ta có .
(
) 1
) 1
I
I
(
)
(
)
I
I
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - 4 3 ( x x - = 1 1 x G 4 3 (cid:219) Do vậy + + y y + = 2 2 + + = 1 2 2 y G - = t t 4 3 4 3 4 3
+
+
t 3
1
. Mặt khác
vuông tại I nên ta có:
(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:3) IA IB = .
0
IAB
t 1 3 ;
⇒ I
D
9
11
4 3 t
3 t
=
=
2 +
)
(
Ta có:
+ 3 3 t ;
;
3 3 t ;
3
) = 11
0
4 (cid:2)(cid:2)(cid:3) AI
(cid:2)(cid:2)(cid:3) BI
( ⇒ - 3 t
+ 3 t
)( 9 3 t
4
2
4
(
(
)
(
)
⇒
⇒
= ⇒ 3
t
G
) 3; 4 ;
I
C
4;7
D
4; 2
4
2
= (cid:219)
- - - -
t 18
t 24
90 0
(
)
(
)
⇒
⇒
t
G
;
I
C
2;5
D
2; 0
5 5 ; 2 2
5 = ⇒ 3
5 8 ; 3 3
3 3 ; 2 2
3
(cid:219) - -
x
x
+ x 6
= y 3
7,
(
x y ;
) ℝ .
2
+
+
+
=
- +
+ - + y 2 ( )
y
x
x
x
+ x
2
+ 2 x 3 ) 1
2
1 4
y 3 .
- ˛
Điều kiện
.
x
+ ‡ y
2;
x
1 2
2
‡
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (
)
x
y
x
- + - 2 x 1
x
2
x
2
- -
3 )
+ ( + x
y
+ = 3 y 2 ( + 3
x
) + = y
2
2
x
+ - 1
x
x
x
(cid:219) - - -
) 1
2
+
)
( + x
y
( + 3
x
) + = y
2
( x x + x
x
2
x
x
2
x
+
- - (cid:219) -
)
(
( + x
y
( + 3
x
) + = y
2
x
) 1
1 - + 1
x
x
+ x
(cid:219) - -
=
=
⇒
Xét hàm số
1 x - + 1 t
f
( ) t
- + 2 3 t
t
2;
t
2
f
( ) t
t 2
- > " 3 0,
¢ ‡ ‡
Hàm số liên tục và đồng biến trên miền đang xét dẫn đến
.
2 x 2 . ( ) t
f
( )2 =
f
0
x
+
‡
1 0
x
1
.
> " 0,
Bên cạnh đó
x
⇒ - x
x
2
1 - + 1
+ x
x
x
3
=
‡ ‡ (cid:219) ‡
)
(
+ 1 3
+ 2 3 x
x
( + + 2 3
x
y
y
x
)3 1
6
.
- +
- -
1 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với + - + - + + - + 5 5 3 x x x y 2 Dễ thấy (
0,
1
x
t
t t 2 3 ;
2
đồng biến, liên tục.
x )31 =
- +
- ‡ " ‡
= + ‡ x y ) ( +
(
= (cid:219) 3 y 6 ( ) 5 = g t ⇒
5
x ( ) g t
Do đó
t 2 3
t
5
g
+ x
y
+ - + y
2 3
x
x
)3 1
6
.
x
2
Phương trình có nghiệm khi
(cid:219) = = x y
1
(Thỏa mãn hệ ban đầu).
và hàm ( ) = 2 6 + = y - =
x
1 0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
‡ - ‡
(
-
) 0; 1
N
của hình vuông biết
My > 0
= ⇒ =
AB
NC
6
a
2
a
,
10
Đặt
ta có:
DM a= 3
5
2
+
=
=
MN
a= 5
.
MDN
. Khi đó ta có: (cid:4) 2 DN cos
2 DM MN DN DM .
1 2
=
(
)
⇒
Khi đó
DN
0 .sin 45
d N DM ;
DN
2. = . 2
2
+
-
)
(
)
)
⇒
Gọi
ta có:
t
2
t
2 = (cid:219) = 2
t
1
D
( 1; 0
( ;1D t
t
- -
(
)
;
loai
M
3 2
2
+
-
)
)
(
2
u
Khi đó
MN =
, gọi
ta có:
u
( ;1M u
u-
5 2 = ⇒ 2
5 10
M
1 2
1 1 ; 2 2
=
-
ta có:
Gọi K MN CD
˙ = - (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) MN (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) NK 2 ; ⇒ - K 1 4 7 4
+ - - ⇒ Khi đó CD x : 7 - = 7 y 5 0 BC x : 5 7 y + = ⇒ 0 7 C ; 7 37 42 37
3
2
- Lại có (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3) CN NB 2 B ; = ⇒ - ⇒ - A 6 37 27 37 24 15 ; 37 37
3
+ = 1
y
y
+ +
1 + y
4 1
-
3
+
+
x x + = 2
7
x
2
y
2
y
3
9
+ x
> -
1
Điều kiện:
x ‡ y
2 9
2
2
- - (1) (cid:219) + - x 1 3 + - x 1 y 3 y 1 y 1
=
=
)
(
)
f
( ) t
2
t
- + 3
t t 3 3 . .
+¥ 3 0
t
0;
0;+¥
f
( ) t
t
t 3
1 - = " 2 t
1 t
¢ - ‡ ˛ - - 1 = + x trên ( Xét có
)
)
(
0;+¥
1 = + + t t 2 t ) + = x 1
1 2 t ( f y
3
+ 2
(cid:219) (cid:219) . Nên (3) f + = x 1 y Suy ra hàm số đồng biến trên (
9
y
- + 2
7
y
- = y 5
2
+ y 2
3
+ 3
2
- + + - 9
2
1
7
y
- = 2 2
5
0 3
2
+
+ 2
Thay vào (2) ta được
y (
+
(
)
(cid:219) + - y (
y (
y
y
y
) 1
7
2
y
y
9
=
0
2
2
2
) 2 + + 2
y
9
y
y ) 2 + 2
3
3
+
+
+
+
+ 2
(
(
5 (
)
y
) 1
) 1
y
7
y
2
y
- + 5
7
y
2
y
5
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - - - (cid:219) - -
)(
(
)(
y
)( 1
y
2
y
3
=
0
2
2
3
y
y 2 + + 2
9
y
) 3 + 2
3
+
+
+
+
+ 2
(
(
) (
)2
( + y ) 1
) 1
y
y
7
y
2
y
- + 5
7
y
2
y
5
+
1
1
y
- - - - (cid:219) - -
(
)(
2
) 3
= (cid:219) 0
y
y
2
2
2 3
3
9
+ + 2
2
+ y
y
= y = y
3
+
+
+
+
+ 2
(
(
(
) 1
) 1
7
2
- + 5
7
2
)2 5
y
y
y
y
y
y
x
y
8
3
y =
. Với )
} )
x y ,
= ⇒ = x { ) ( ( 3; 2 , 8;3
= ⇒ = Với 2 3 Vậy hệ có nghiệm (
.
và
( -A
)3;1
(cid:219) - - - -
5 0
- = y
d x :
2
. Gọi E là giao điểm thứ hai của CD và đường tròn tâm B bán
(
)
)
. Tìm tọa độ các
„E D . Hình chiếu vuông góc của D lên đường thăng BE là điểm
6; 2-
N
-
)
Gọi
ta có tâm hình chữ nhật là
( C t 2
t+ 5;
2
+ 1 t . I 1; + t 2
2
2
(
)
(
)
2 5 = +
(
(
(cid:219) = ⇒
1
t
C
) 7;1 ;
I
) 2;1
=
+ - t t 1 (cid:219) - Ta có : = IN IA t + 5 t + 4 2 2
= , mặt khác BC CD
^ Ta có BD BE R nên D và E đối xứng
⇒
AC BE / /
DN AC
tại K khi đí CK
là đường trung bình của tam giác NED hay D và N đối xứng
nhau qua AC:
^ nhau qua BC. Dễ thấy
(
1y = )
)
Khi đó
D
6; 4
( B⇒ -
2; 2
-
(
(
Đ/s:
là các điểm cần tìm.
B
) 2; 2 ,
C
) 7;1
+ 2
+ 2
- -
.
x
+ < 6 x
5
4
x
x 11
6
-
2
Điều kiện
2
1 + + ‡ (cid:219) ‡ . x 6 1 x x 1
5 + - ‡ 4 x 6 0 ‡ x
(
)( + x 1
) < 3
2
2
2
+ 2 - - x 11 Bất phương trình đã cho tương đương với )( + x x x + 2 x - + 1 2 4 x 11 6
(
)
( )
(
)
+ (cid:219) - - (cid:219) - - - * x ( x + + x 5 )( + 1 6 2 ) 3 . x 2 + < x 2 5 x 2 x + < 2 x 3. x + 2 3 x + 2 x 3 x 2
Đặt
0
> 0; b
+ 2 2
x
x
- = 3
a ;
+ = 2 x
‡ 11 ) thì (*) trở thành + 3 x ( b a
2
2
2
2
+ 1 21
(
)( + a b
) > (cid:219) > (cid:219) 3 a b
2 < - (cid:219) - - 2 0 3 5 0 ab 3 a b a + b - > x + (cid:219) 2 x - > (cid:219) 2 x x x - 1 21
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
> x > x 2
Kết hợp điều kiện ta thu được tập hợp nghiệm
= +¥ . S ; + 21 1 2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
(
)2
)( 1
- - x x 2 - = 1 - + 3 x y x
3
2
2
3
+ 2 - - + x y x + = y 4 5 13 x 11 20 2
- = 5
- + x
y
2
+
2 1 3
)
(
)
+ = 2 5
+ x 2
+ x
y
x
x
y
- - 2 5 3 3
( A -
) 2; 1
(
)2;1 ,
- , trực tâm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có
BC =
2 5.
1 0
d x :
- = y
2
- Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác lên các cạnh AC, AB. , tung độ của M
(
H Viết phương trình BC biết rằng trung điểm M của BC thuộc đường thẳng ) dương và DE đi qua điểm .
3; 4
N
-
, đường
(
G 5 10 ; 3 3
)0;3
I
- =
. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
)C đi qua A và tiếp xúc với cạnh BC tại B có tâm ( ) E 1; 1
- , điểm C thuộc đường thẳng 2 x y- 2 0 và có hoành độ nguyên,
2
3
2
tròn ( biết đường thẳng AB đi qua điểm A có
(
) ℝ .
- - ‡ - ˛
89
17
x
x
x
Điều kiện
3
2
2
- £ £ 17 x 17 . Bất phương trình đã cho tương đương với
x
5
x
+ - 88 1
17
x
0
2
- - - ‡
x
16
2
(
+ 18 x )(
)
x
4
x
22
+ x
0
2
+
x
1
17 +
4
x
2
- (cid:219) - - - ‡ -
(
)
x
4
x
x
0
( ) 1
2
+
1
x
= 2
(cid:219) - - ‡ -
+ - x
( 17
+ - 22 ) + + > " 2 x x
17 nên xét hai trường hợp
2
• Nếu
2
( 17
) + + ‡ + > + ‡ 2 x x
2
2
x
4 0
x
4
- ˛ - Nhận xét 22 x 5 0, x 17; 17 + 4 x - + < ⇒ - < 4 0 x 4 0; 22 + - x x x 0 , (1) vô nghiệm. + - > x 1 17 + x 4 = 2 - • Nếu + ‡ ⇒ + - x 4 0 22 x x 5 5 x x 4 . + - 1 17 x + x 4 - (cid:219) - ‡ (cid:219) ‡ Suy ra 22 + - x x 0 . . Do đó ( )1 + - 1 17 > 2 x £ x£ 17 .
3
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm 4
(
) ℝ .
- - ˛
x
x
) + 2
+ > 2 x
7
1 6
+ x
3
x
x
x
x
.
Điều kiện
2 3
1 2
Bất phương trình đã cho tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
‡ (cid:218) £
3
2
+
(
2
x
)( 1 3
x
) - > 2
1 6
x
7
x
3
x
2
2
- - - -
6
x
+ x
7
(
)
x
)( 1 6
- + 2 x
x
2
(
2
x
)( 1 3
x
1 ) + 2
> 1
- (cid:219) - - -
1
(
x
- + - 2 x
x
2
0
( ) 1
(
x
x
x 6 )( 1 3
< ) + 2
2
1
) 1 6
- (cid:219) - - -
Nhận định
26 x
- + > " 2 0,
x
x
ℝ nên kết hợp với điều kiện xác định ta có
˛
1
2
(cid:1) Nếu
, (1) nghiệm đúng.
x
x
x
6
- < ⇒ - + - 2 6
1 0
- < x 0;
1 0
-
(
x
x
x 6 )( 1 3
> 1
) + 2
2
- -
1
<
- <
(
)
⇒
(cid:1) Nếu
.
6
x
1 0
6
x
1 6
+ x
2
x
)( 1 3
x
= 2
- + 2 6 x
x
2
(
x
x
x 6 )( 1 3
2
) + 2
1
- - ‡ - - - -
1
2
x£ <
1
.
Suy ra ta có
hay
x
6
- + - x 2
0
, đi đến ( )1
- < (cid:219) < x 1 0
x
1
1 6
(
x
x
x 6 )( 1 3
2
> 1
) + 2
- (cid:219) - -
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
¥ ¨ . S ; ;1 = - 1 2 2 3
d
: 5
x
- + = y
1 0
là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ADN. Tìm tọa độ
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hinh vuông ABCD với điểm N(1; 2) là
đỉnh A của hình vuông ABCD.
trung điểm của BC,
=
AB
a= 2
Đặt
ta có: BN CN a
= , tam giác ABN vuông tại B suy ra
2
2
2
=
+
= ⇒ =
⇒
AN
AB
BN
AN a
25 a
5
= DN a
5
.
Tam giác AND có AM là đường trung tuyến
2
2
2
+
AN
AD
2
=
2 =
Ta có:
AM
2
DN 4
a 13 4
2
+
-
=
=
.
Khi đó (cid:2) 2 AN MAN
cos
2.
2 AM MN AM AN .
7 65
(
Khi đó
) (cid:2) = d N AM AN MAN sin
;
⇒ = AN
10 2
t
= ⇒ A
1 2
2
2 +
-
(
⇒
) + ⇒ 1
) 1
) 2 = 1
Gọi
( A t
;5 t
AN
( = - t
5 t
5 2
t
A
1 7 ; 2 2 -
1 = ⇒ 26
1 21 ; 26 26
- -
Vậy
là các điểm cần tìm.
;
A
A
1 7 ; 2 2
2
+
+ 2
(
)
x
) 1
- > x
1
x
2
x
x
(
˛ ℝ x ).
-
ĐK: 0
1x£
(*).
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
£
2
+
)
(
(
)
(cid:219) - - - -
x x
> 2
1
1
0
x
x
x
x
2
2
3
)(
)
2
x
) 1
x
x
> (cid:219)
0
0
( x 1 - + x
1
) 2 + x
x 1 - + 1 x
x 4 x x 2
( 1 2 + 1
x + x
x
( x 1 2 + x x
2
+ + 2 x > x
1
2
+
- - - - - - (cid:219) - -
)
(2)
( + 1 2
x
0
x +
1
x
x
+ + 22 x x + x x
1
1 > x
2
2
1
>
+
(cid:219) - - -
Với
0
£ ⇒ x 1
0.
x +
x
1
x
+ + 22 x x + x x
1
x
2
£ - -
1 2
> (cid:219) < 0 x
x
.
Kết hợp với (*) ta được
0
x£ <
thỏa mãn.
Do đó ( ) 2
1 2
1 2
(cid:219) -
Vậy (1) có nghiệm là
= T 0; . 1 2
)
+ 2 - - . Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua các điểm = 2 6) 5) x y ( 32 5
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. M(7;8) và
N
(
Đường tròn (
)T tâm
I
)5;6
AC x :
y- + =
1 0
.
là tâm hình thoi và bán kính
y+ -
= 11 0
.
=
R = . Khi đó PT đường thẳng 4 2 5
(
) +
Gọi
BD x : ); a b
ta có:
( AB a x :
7
( b y
) = 8
0
Khi đó ta có (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) ABn
+
2
a
2
=
=
- -
(
)
) 2 =
(
)
Ta có:
d I AB ;
R
( + a b
+ 2 a
b
2
2
2 b +
8 5
a
b
(cid:219)
(
)(
)
a
b 3
= a b 3
=
(
(
(
)
(
)
⇒
= ⇒
⇒
a
b= 3
) 3;1
AB x : 3
+ - y
29 0
) 7;8 ;
A
B
9; 2
C
) 3; 4 ;
( 1;10
D
• Với
chọn
=
+
(cid:219) - -
)
(
)
(
(
)
⇒
= ⇒
⇒
• Với 3a
b= chọn
( 1;3
AB x :
3
y
31 0
) 3; 4 ;
A
( 1;10
B
C
) 7;8 ;
D
9; 2
0 (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) ABn (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:4) ABn
2
+ 2
-
(
) ℝ .
2 3
x
+ - 5 x
2
27
x
98
x
29
x
x
4
- ‡ - - ˛
2
29 0
x
27
2
- ‡
Điều kiện
.
x
4
+ x 98 + ‡ x
5
2 0
4
3 x ‡ x
2
2
- (cid:219) ‡
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
27
x
98
+ x
29
2 3
x
+ - 5 x
2 3
x
4
( ) 1
2
- ‡ - -
x
+ x
44
2
>
x
‡ ⇒ 4
2 3
x
+ - x
5
2 3
- = x
4
0
. Khi đó
Nhận xét:
12 2
29 + - x
5
2 3
x
4
2 3
x
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- - - -
2
)(
(
)
36 12
)( 1
( ) 1
+ 98
27
+ 2 x
9
3
2
4
x
x
x
x
x
x
2
(cid:219) - ‡ - - - - - -
( 29 4 3 (
+ 5 x )(
(cid:219) - - - - ‡
+ 87
3
2
x
x
x
x
x
2
2
+
1 0 (
+ 57 12 )
15 ( 5 3
8
x
+ 14
x
12 3
x
x
8.
x
) 1
0
( ) 2
1 17
x
(cid:219) - - - - - ‡
+ 14 )
Đặt
thì (2) trở thành
23 x
14
+ = 8 x
u
;
- = 1 x
( > v u
> 0; v
2
2
2
-
0 )(
(
)
+ - ‡ (cid:219) - ‡ (cid:219) ‡ (cid:219) - - u 5 u 5 12 uv 17 v 0 + u v 17 v 0 u + ‡ v 3 x 14 x 8 x 1
2
+ - 5 13 5 13 (cid:219) - (cid:219) - (cid:219) ‡ (cid:218) ‡ 3 x + ‡ 15 x 9 0 + ‡ 2 x 5 x 3 0 x x 2 2
+ 5 13 = +¥ . Kết hợp điều kiện ta có tập hợp nghiệm S ; 2
BC= 3
(
)0;5
E
,
AD đường thẳng CD đi qua điểm
y- + =
8 0
x
(
)2;3
, biết trung điểm canh AB là
P hoành độ dương.
và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D có
(
)
= Gọi h là chiều cao hình thang ta có: h 2 d E AD ;
4
=
=
=
S
.3 2 12
h .
ABCD
+ AD BC 2
BC 2 , gọi F là trung điểm cạnh CD ta có EF là
BC =
2
.
EF x :
y- + =
5 0
=
=
=
.
2 2
BC
2
2
=
)
5
22 t
2
8
Gọi
EF )
)
) (
t
khi đó
Với
Khi đó ta có:
Do vậy đường trung bình của hình thang PT : + BC AB Suy ra EF 2 ( F t t + ; ta có: ( = - ⇒ - F (
2;3 )
= (cid:219) = – t ( = ⇒ - D 3 ) (
loai )
5;3 (
⇒
⇒
CD y : = ⇒ 2
2 = ⇒ 2
CD x :
2;7
F
t
2;10
D
C
y
2 0
Với
- + = : BC x =
2
x
=
(cid:219)
(
= ⇒ =
⇒
theo Talet ta có:
Gọi I AB CD
2; 4 (cid:3)(cid:3)(cid:4) IC
(cid:3)(cid:3)(cid:4) ID
I
3
) 2;1
)
y
( 3 2
I
˙ (cid:219) - -
= y I )
( ) 1;3 ;
B
I 10 ( A
1;7
1 IC 3 ID + - = ⇒ 5 0
x
-
Phương trình đường thẳng AB là: 2 ( (
(
y )
( ) 1;3 ;
) 2; 4 ;
) 1;7 ;
D
C
B
A
2;10
là các điểm cần tìm
-
+ 2
2 x y
4 4
x
x
,
2
- + = y ) +
x
x
- = 5 y
x
4.
- -
(
)
Điều kiện
x
2
x
3
0;
y
- ‡ £
Dễ thấy hệ có nghiệm thì
3
2
+ -
‡
5 . x - 2 4 0 (
.
x
- + x
2 x y
y
+ = (cid:219) 2 4
x
4 0
x
)( - = (cid:219) 4 x
⇒ = - y 4
) 1
0
x
y
4
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với = 2 1 x + = y x
Phương trình thứ hai trở thành
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
- -
2
2
(
) +
(
)
)
= - - (cid:219) - - - x 2 x 3 - = 5 y x 4 x + x 2 3 x 1 2 x 9 + - 3
2
(
)
)( + 3
( ) 1
) +
(
( = x
+
+
2
3
2
x
+
<
3 - - - 2 3 x + (cid:219) - (cid:219) 2 x x x 3 + = + x 3 - x ( x 6 = + + 1 2 2 x 2 9 + 3 3 x x - 3 ) + 2 + + 1 2 x 2 3 3 x x
Do
nên (1) vô nghiệm.
+ < + " x 3,
1
x
1
x 3
(
3 ) +
2 + + 1 2
x
x
2
x
3
3
=
3
x
3;
y
= . 1
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất
2
6
3
3
x = , hệ có nghiệm +
=
+
3
,
3
3 x y
xy
x
2 x y
‡ - -
(
) ℝ .
˛
x y ;
+ 3
- +
1 3
6
2
7.
2
x
= x
y
+ + 3 y
3
2
2
3
Điều kiện
y ‡
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
( ) 1
2
+ = + 3 x 3 x . x y x y
=
˛ ⇒ ℝ
ℝ .
f
= + 3 t
t t 3 ;
f
( ) t
t 3
+ > " 3 0,
1 2 ( ) t
t
¢ ˛ Xét hàm số
( ) (cid:219) = f x
x
y
f
2 x = y
2
(cid:219) . Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ℝ nên ( ) 1
( + +
)
)( = 1
+ 3 - + - - - Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 5 = (cid:219) 7 x + 1 1 - + 2 x - + 1 2 x x - = (cid:219) 3 5 x x 6 0 2 x 1 1 x x 6 x 0
2
(
(
)( + + 2 x 1
) = (cid:219) 6
) 1
( ) 2
2
Để ý rằng
1
x
- + + = (cid:219) - - x x 0 x x x 6 0 2 - + x 2 2 + - + 1 1 x 2 + x 2 1 1 2 + + + = + + + ‡ x 6 x x > " 0, x 1 2 23 4 1 2 1 1 2 - + x 1 1 (cid:219) 2 - + 2 x - = (cid:219) = x 1 0 2 ⇒ = . y 1
) x y = ;
( ) 1;1
.
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015!
nên ( )2 Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất (
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
