Sáng ki n kinh nghi m Nguy n Hàế ệ ễ
H ngư
I. ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
1. C s th c ti n c a v n đ nghiên c uơ ở ự ễ ủ ấ ề ứ
V i 13 năm đng trên b c gi ng năm nào tôi cũng đc tham giaớ ứ ụ ả ượ
gi ng d y cho h c sinh l p 11 và có m t s năm đc d y cho h c sinh ôn thiả ạ ọ ớ ộ ố ượ ạ ọ
H c sinh gi i. Khi d y ch ng dãy s tôi th y có m t s v n đ sau c nọ ỏ ạ ươ ố ấ ộ ố ấ ề ầ
ph i gi i quy t:ả ả ế
M t là: Theo qua đi m c a ngành Giáo d c và th i l ng ch ngộ ể ủ ụ ờ ượ ươ
trình d y h c nên n i dung c a ch ng dãy s đã đc gi m t i đáng k .ạ ọ ộ ủ ươ ố ượ ả ả ể
Tuy nhiên vi c gi m t i ch t p trung vào bài t p còn lí thuy t thì gi m t iệ ả ả ỉ ậ ậ ế ả ả
không đáng k vì đó là yêu c u t i thi u. Nên khi giáo viên d y lí thuy tể ầ ố ể ạ ế
ch ng này khá v t v , h c sinh h c lí thuy t cũng r t v t v nh ng khi làmươ ấ ả ọ ọ ế ấ ấ ả ư
bài t p trong Sách giáo khoa h c sinh th y r t đn gi n vì các bài t p h i khóậ ọ ấ ấ ơ ả ậ ơ
đã đc gi m t i, các bài t p còn l i đu t ng t ví d đã có trong ph n líượ ả ả ậ ạ ề ươ ự ụ ầ
thuy t nên h u h t h c sinh làm bài theo cách r t máy móc ít hi u rõ v n đế ầ ế ọ ấ ể ấ ề
do đó khi đ bài ch thay đi m t chút là h c sinh s c m th y khó khăn, chánề ỉ ổ ộ ọ ẽ ả ấ
ngán.
Hai là: Các v n đ v dãy s h u nh không xu t hi n trong các đấ ề ề ố ầ ư ấ ệ ề
thi tuy n sinh Đi h c nên nhi u h c sinh không h ng thú v i n i dung này.ể ạ ọ ề ọ ứ ớ ộ
Tài li u tham kh o v dãy s cũng r t ít do đó nh ng h c sinh có nhu c u tìmệ ả ề ố ấ ữ ọ ầ
hi u sau thêm v dãy s ho c nh ng h c sinh có ý đinh ôn thi H c sinh gi iể ề ố ặ ữ ọ ọ ỏ
r t khó tìm cho mình m t cu n tài li u d đc. ấ ộ ố ệ ễ ọ
Nh ng v n đ trên chính là lý do đ tôi ch n đ tài: Dãy sữ ấ ề ể ọ ề ố
2. M c đích c a sáng ki n kinh nghi mụ ủ ế ệ
Nh ng v n đ tôi trình bày trong b n sáng ki n v i m c đích sau:ữ ấ ề ả ế ớ ụ
M t là: Truy n đt đn h c sinh m t cái nhìn toàn di n v dãy sộ ề ạ ế ọ ộ ệ ề ố
theo quan đi m c a h c sinh trung h c ph thông không chuyên. H th ng vàể ủ ọ ọ ổ ệ ố
phân tích các bài t p v dãy s m t cách logic t khó đn r t khóậ ề ố ộ ừ ế ấ
Hai là: Qua vi c luy n t p các bài toán v dãy s ta s th y nó là cácệ ệ ậ ề ố ẽ ấ
phép th tuy t đp, nó là phép quy n p t các v n đ đn gi n đn ph c t pế ệ ệ ạ ừ ấ ề ơ ả ế ứ ạ
t ng quát là phép bi n đi đi n hình c a đi s và gi i tích.ổ ế ổ ể ủ ạ ố ả
Ba là: H ng d n h c sinh tìm l i gi i m t cách t nhiên cho các bàiướ ẫ ọ ờ ả ộ ự
toán v dãy s chánh s g ng ép máy móc. ề ố ự ượ
3. Đi t ng nghiên c u và ph m vi nghiên c uố ượ ứ ạ ứ
Đ hoàn thành đc bài vi t c a mình v i đ tài nói trên tôi đã ph iể ượ ế ủ ớ ề ả
nghiên c u trên các bài toán v dãy s : ph ng pháp quy n p toán h c, c p sứ ề ố ươ ạ ọ ấ ố
c ng, c p s nhân và gi i h n c a dãy s .ộ ấ ố ớ ạ ủ ố
1
Sáng ki n kinh nghi m Nguy n Hàế ệ ễ
H ngư
Ph m vi nghiên c u c a đ tài ch y u t p trung vào ch ng dãy s ,ạ ứ ủ ề ủ ế ậ ươ ố
gi i h n c a dãy s thu c ch ng trình trung h c ph thông không chuyên vàớ ạ ủ ố ộ ươ ọ ổ
các bài t p thi H c sinh gi i c p thành ph .ậ ọ ỏ ấ ố
4 . K ho ch nghiên c u ế ạ ứ
Trong quá trình d y h c v i nh ng trăn tr nh đã trình bày trongạ ọ ớ ữ ở ư
ph n c s th c ti n đ đa ra lý do ch n đ tài tôi th y khi cho các em h cầ ơ ở ự ế ể ư ọ ề ấ ọ
sinh l p 11 khi làm bài t p v dãy s h u h t đ r t máy móc hi u v n đớ ậ ề ố ầ ế ề ấ ể ấ ề
r t l m không h th ng m t s ít h c sinh có h ng thú v i ph n dãy s thìấ ờ ờ ệ ố ộ ố ọ ứ ớ ầ ố
r t khó tìm đc m t tài li u tham kh o cho h c sinh trung h c ph thôngấ ượ ộ ệ ả ọ ọ ổ
không chuyên nh ng trong h u h t các đ thi h c sinh gi i c p thành ph đuư ầ ế ề ọ ỏ ấ ố ề
có ít nh t m t bài v dãy s . ấ ộ ề ố
T nh ng khúc m c nói trên tôi đã nghiên c u đ tài dãy s qua m từ ữ ắ ứ ề ố ộ
s gi t chon nâng cao t i l p 11A2 năm h c 2011 – 2012 và l p 11A1 nămố ờ ự ạ ớ ọ ớ
h c 2012 – 2013 t đó xây d ng, hoàn thi n bài vi t c a mình.ọ ừ ự ệ ế ủ
2
Sáng ki n kinh nghi m Nguy n Hàế ệ ễ
H ngư
II. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
1. C s lý lu nơ ở ậ
a) Ph ng pháp quy n p toán h c ươ ạ ọ
b) Dãy s tăng, dãy s gi m và dãy s b ch nố ố ả ố ị ặ
* Dãy s ố
( )
n
u
g i là dãy s tăng n u ọ ố ế
*
1
,
n n
u u n
+
< ∀ ﾥ
* Dãy s ố
( )
n
u
g i là dãy s gi m n u ọ ố ả ế
*
1
,
n n
u u n
+
> ∀ ﾥ
V y: N u ậ ế
*
1
0,
n n
u u n
+
− > ∀ ﾥ
suy ra
( )
n
u
là dãy s tăngố
N u ế
*
1
0,
n n
u u n
+
− < ∀ ﾥ
suy ra
( )
n
u
là dãy s gi mố ả
* N u t n t i s ế ồ ạ ố
M
sao cho
*
,
n
u M n ∀ ﾥ
thì
( )
n
u
b ch n trênị ặ
* N u t n t i s ế ồ ạ ố
m
sao cho
*
,
n
u m n ∀ ﾥ
thì
( )
n
u
b ch n d iị ặ ướ
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
b ch n trên và b ch ng d i thì g i là dãy só b ch nị ặ ị ặ ướ ọ ị ặ
c) C p s c ngấ ố ộ
* Dãy s ố
( )
n
u
là c p s c ng ấ ố ộ
1n n
u u d
+
= +�
v i ớ
, trong đó
d
là s không đi g i là công sai c a c p s c ng.ố ổ ọ ủ ấ ố ộ
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s c ng thì ấ ố ộ
( )
1
1
n
u u n d= + −
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s c ng thì t ngấ ố ộ ổ
( )
1 2 1
... 2
n n n
n
S u u u u u= + + + = +
d) C p s nhânấ ố
* Dãy s ố
( )
n
u
là c p s nhân ấ ố
1
.
n n
u u q
+
=�
v i ớ
, trong đó
q
là
s không đi g i là công b i c a c p s nhân.ố ổ ọ ộ ủ ấ ố
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s nhân thì ấ ố
1
1
.
n
n
u u q
−
=
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s nhân v i ấ ố ơ
1, 0q q
thì t ngổ
3
Sáng ki n kinh nghi m Nguy n Hàế ệ ễ
H ngư
1 2 1
1
... . 1
n
n n
q
S u u u u q
−
= + + + = −
e) M t s đinh lí v gi i h nộ ố ề ớ ạ
- N u ế
1q<
thì
lim 0
n
q=
- N u ế
1q>
thì
lim
n
q= +
- N u các dãy s ế ố
*
,
n n n
a b c n ∀ ﾥ
và
lim lim
n n
a c L= =
thì
lim
n
b L=
- N u dãy s ế ố
( )
n
u
tăng và b ch n trên thì ị ặ
( )
n
u
có gi i h n ớ ạ
N u dãy s ế ố
( )
n
u
gi m và b ch n d i thì ả ị ặ ướ
( )
n
u
có gi i h nớ ạ
2. Th c tr ng c a v n đự ạ ủ ấ ề
Đ th c hi n đc đ tài c a mình tôi đã th c hi n kh o sát th c t nhể ự ệ ượ ề ủ ự ệ ả ự ế ư
sau:
Trong năm h c 2011 – 2012 sau khi h c sinh l p 11 đã h c h t ch ng IIIọ ọ ớ ọ ế ươ
và IV t c là khi đã nghiên c u khá đy đ v dãy s và gi i h n c a dãy sứ ứ ầ ủ ề ố ớ ạ ủ ố
theo ch ng trình trung h c ph thông không chuyên tôi cho h c sinh l pươ ọ ổ ọ ớ
11A2 và 11A5 làm bài ki m tra kh o sát 45 phút trong gi t ch n nâng caoể ả ờ ự ọ
v i đ ki m tra nh sau:ớ ề ể ư
Câu I (3 đi m) ểCho dãy s ố
( )
n
u
xác đnh b i: ị ở
1
1
2
2 3, 1
n n
u
u u n n
+
=
= + −
.
Hãy tìm gi i h n ớ ạ
1
lim
n
n
u
u
+
Câu II (3,5 đi m)ể Tìm công th c thu g n tính ứ ọ
A
theo
n
bi t:ế
( )
1.3 2.5 3.7 ... 2 1A n n= + + + + +
Câu III (3,5 đi m)ể Tìm s h ng t ng quát c a dãy s ố ạ ổ ủ ố
( )
n
u
xác đnh b i: ị ở
1
1
1
2 5, 1
n n
u
u u n
+
=
= +
V i đáp án và thang đi m nh sau :ớ ể ư
CÂU N I DUNGỘĐI MỂ
I
(3đ)
Theo đ suy ra ề
1
2u=
2 1
2.1 3u u= + −
3 2
2.2 3u u= + −
… …
1.0
4
Sáng ki n kinh nghi m Nguy n Hàế ệ ễ
H ngư
( )
1
2 1 3
n n
u u n
−
= + − −
C ng theo v ộ ế
n
đng th c trên ta đcẳ ứ ượ
( ) ( )
2 2 1 2 ... 1 3 1
n
u n n= + + + + − − −� �
� �
( ) ( )
2
2 1 3 1 4 5
n
u n n n n n
= + − − − = − +�
2
1
2 3 2 2
n n
u u n n n
+
= + − = − +�
1,0
22
2
12
4 5
1
4 5
lim lim lim 1
2 2
2 2 1
n
n
un n n n
u n n
n n
+
− +
− +
= = =
− + − +
V y ậ
1
lim 1
n
n
u
u
+
=
1,0
II
(3,5đ)
Ta có
( )
2
2 1 2n n n n+ = +
,
thay
n
l n l t b i 1, 2, 3, …, ta đcầ ượ ớ ượ :
2
1.3 2.1 1= +
2
2.5 2.2 2= +
2
3.7 2.3 3= +
… …
( )
2
2 1 2n n n n
+ = +
C ng các đng th c trên theo v ta đcộ ẳ ứ ế ượ
( )
2 2 2
1 2 ... 2 1 2 ...A n n= + + + + + + +
1,5
Ta có
( )
1
1 2 ... 2
n n
n+
+ + + =
(theo c p s c ng)ấ ố ộ 0,5
Và
( ) ( )
2 2 2
1 2 1
1 2 ... 6
n n n
n+ +
+ + + =
(h c sinh ph i ọ ả
ch ng minh đng th c này theo quy n p)ứ ẳ ứ ạ
1,0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 11 4 5
2 3 6
n n n n n
A n n n
+ + +
= + = + +
0,5
III
(3,5 đ) Theo đ bài ề
1 1
5
2 5 2 2
n n n n
u u u u
+ +
� �
= + = +�� �
� �
Ta nghĩ đn ế
[ ]
1 1
2 2
n n n n
u a u a u u a
+ +
+ = + = +�
Mà
1
2 5
n n
u u
+
= +
nên ta ph i có ả
5a=
Đt ặ
1 1
5 5 6
n n
v u v u= + = + =�
và
1
2
n n
v v
+
=
2,0
5