zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Dãy số

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:46

Báo xấu

54
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên; hệ thống và phân tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó; qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Dãy số

Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảng dạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Học sinh giỏi. Khi dạy chương dãy số tôi thấy có một số vấn đề sau cần phải giải quyết: Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên việc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì đó là yêu cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo khoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài tập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi một chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán. Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như không xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sau thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu dễ đọc. Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Dãy số 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích. Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các bài toán về dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp số cộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số. 1
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Ph Hưng ạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số, giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên và các bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố. 4 . Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp 11 khi làm bài tập về dãy số hầu hết đề rất máy móc hiểu vấn đề rất lờ mờ không hệ thống một số ít học sinh có hứng thú với phần dãy số thì rất khó tìm được một tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên nhưng trong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố đều có ít nhất một bài về dãy số. Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài dãy số qua một số giờ tự chon nâng cao tại lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 và lớp 11A1 năm học 2012 – 2013 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình. 2
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi là dãy số tăng nếu un < un+1 , ∀n ﾥ * * Dãy số ( un ) gọi là dãy số giảm nếu un > un+1 , ∀n ﾥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ﾥ * suy ra ( un ) là dãy số tăng Nếu un+1 − un < 0, ∀n ﾥ * suy ra ( un ) là dãy số giảm * Nếu tồn tại số M sao cho un M , ∀n ﾥ * thì ( un ) bị chặn trên * Nếu tồn tại số m sao cho un m , ∀n ﾥ * thì ( un ) bị chặn dưới * Nếu dãy số ( un ) bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) là cấp số cộng � un+1 = un + d với ∀n ﾥ * , trong đó d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng. * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì tổng n S n = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) 2 d) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) là cấp số nhân � un+1 = un .q với ∀n ﾥ * , trong đó q là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân. * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân thì un = u1.q n−1 * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân vơi q 1, q 0 thì tổng 3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng 1 − qn S n = u1 + u2 + ... + un = u1. 1− q e) Một số đinh lí về giới hạn Nếu q < 1 thì lim q n = 0 Nếu q > 1 thì lim q n = + Nếu các dãy số an bn cn , ∀n ﾥ * và lim an = lim cn = L thì lim bn = L Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì ( un ) có giới hạn 2. Thực trạng của vấn đề Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong năm học 2011 – 2012 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương III và IV tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số và giới hạn của dãy số theo chương trình trung học phổ thông không chuyên tôi cho học sinh lớp 11A2 và 11A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau: u1 = 2 Câu I (3 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi: . un+1 = un + 2n − 3, n 1 un Hãy tìm giới hạn lim un+1 Câu II (3,5 điểm) Tìm công thức thu gọn tính A theo n biết: A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + n ( 2n + 1) Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1 un+1 = 2un + 5, n 1 Với đáp án và thang điểm như sau : CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I Theo đề suy ra u1 = 2 1.0 (3đ) u = u + 2.1 − 3 2 1 u3 = u2 + 2.2 − 3 … … 4
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng un = un−1 + 2 ( n − 1) − 3 Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được 1 + 2 + ... + ( n − 1) � un = 2 + 2 � � �− 3 ( n − 1) 1,0 � un = 2 + ( n − 1) n − 3 ( n − 1) = n 2 − 4n + 5 � un+1 = un + 2n − 3 = n 2 − 2n + 2 4 5 + 2 1− un n − 4n + 52 n n =1 lim = lim 2 = lim un+1 n − 2n + 2 2 2 1,0 1− + 2 n n un Vậy lim =1 un+1 II Ta có n ( 2n + 1) = 2n + n , 2 (3,5đ) thay n lần lượt bới 1, 2, 3, …, ta được : 1.3 = 2.12 + 1 2.5 = 2.22 + 2 3.7 = 2.32 + 3 1,5 … … n ( 2n + 1) = 2n 2 + n Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được A = 1 + 2 + ... + n + 2 ( 12 + 22 + ... + n 2 ) n ( n + 1) Ta có 1 + 2 + ... + n = (theo cấp số cộng) 0,5 2 n ( n + 1) ( 2n + 1) Và 12 + 2 2 + ... + n 2 = (học sinh phải 6 1,0 chứng minh đẳng thức này theo quy nạp) n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) 1 A= + = n ( n + 1) ( 4n + 5 ) 0,5 2 3 6 III � 5� 2,0 (3,5 đ) Theo đề bài un+1 = 2un + 5 � un+1 = 2 � un + � � 2� Ta nghĩ đến un+1 + a = 2 [ un + a ] � un+1 = 2un + a Mà un+1 = 2un + 5 nên ta phải có a = 5 Đặt vn = un + 5 � v1 = u1 + 5 = 6 và vn+1 = 2vn 5
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng ( vn ) là cấp số nhân có công bội q = 2 � vn = v1.q n−1 = 6.2n−1 = 3.2n 1,5 � un = vn − 5 = 3.2n − 5 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = 3.2n − 5 Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh ®¸p ¸n quy ®Þnh. Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: Điểm 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10 Lớp Lớp 11A2 4,0% 20% 60% 12% 4,0% ( 50 HS ) Lớp 11A5 6,1% 30,6% 51,3% 10% 2% ( 49 HS ) Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau : Câu I. – Một số học sinh không có lời giải Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính toán không chính xác Câu II. – Nhiều học sinh không có lời giải Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc Câu III. – Hầu hết học sinh không có lời giải Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ bản và Nâng cao đã có dự đoán và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức như đáp án rát ít học sinh có cách giải như đáp án. 3. Các phương pháp đã tiến hành Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 11A2 năm học 2012 – 2013 khi dạy chương III và IV tức là phần dãy số và giới hạn của dãy số với một số tiết tự chọn nâng cao tội đã tiến hành triển khai việc thực hiện đề tài sáng kiến này. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học 6
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng ủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh sinh ch một số bài tập để các em thảo luận, trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng. Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành ba phần sau: Dãy số với phương pháp quy nạp toán học Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi. PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài 1. ∀n ﾥ * hãy chứng minh các đẳng thức sau: n ( n + 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = (1) 2 n ( n + 1) ( 2n + 1) b) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = (2) 6 ( ) 2 � n n + 1 � c) 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = � � (3) � 2 � Ba bài tập trên là các bài toán rất cơ bản dễ dàng giải quyết theo phương pháp quy nạp. Ta thực hiện lời giải cho ý b). 1( 1 + 1) ( 2.1 + 1) Bước 1: Khi n = 1 thì (2) � 12 = � 1=1 6 Vậy (2) đúng với n = 1 Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với n = k ( k 1) tức là k ( k + 1) ( 2k + 1) 12 + 22 + 32 + ... + k 2 = (giả thiết quy nạp) 6 Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh: 7
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng 2 1 + 22 + 32 + ... + ( k + 1) = 2 ( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3) (*) 6 Thật vậy. Vế trái của (*) bằng k ( k + 1) ( 2k + 1) [ 12 + 22 + 32 + ... + k 2 ] + ( k + 1) = + ( k + 1) 2 2 6 k ( k + 1) ( 2k + 1) + 6 ( k + 1) ( k + 1) [ 2k 2 + k + 6k + 6] 2 = = 6 6 ( k + 1) [ 2k + 7k + 6] 2 ( k + 1) ( k + 2 ) ( 2k + 3) suy ra (*) đúng = = 6 6 Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng ∀n ﾥ * Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây: Bài 2. Rút gọn các biểu thức biểu thức n ( n + 1) a) A = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + 2 b) B = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) 3 3 3 3 Giải k ( k + 1) 1 a) ∀k ﾥ * ta có = [ k + k2] 2 2 1 Khi k = 1 � 1 = [ 1 + 12 ] 2 1 Khi k = 2 � 3 = [ 2 + 2 2 ] 2 1 Khi k = 3 � 6 = [ 3 + 32 ] 2 … … n ( n + 1) 1 Khi k = n � = [ n + n 2 ] 2 2 Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được 1 1 A= [ 1 + 2 + 3 + ... + n] + [ 12 + 22 + 32 + ... + n 2 ] 2 2 1 n ( n + 1) 1 n ( n + 1) ( 2n + 1) � A= . + . 2 2 2 6 1 � A = n ( n + 1) ( n + 2 ) 6 8
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà H ư∀ ngk ﾥ * ta có ( 2k − 1) = 8k − 12k + 6k − 1 3 3 2 b) Khi k = 1 � 13 = 8.13 − 12.12 + 6.1 − 1 Khi k = 2 � 33 = 8.23 − 12.2 2 + 6.2 − 1 Khi k = 3 � 53 = 8.33 − 12.32 + 6.3 − 1 … … Khi k = n � ( 2n − 1) = 8.n 3 − 12.n 2 + 6.n − 1 3 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được B = 8[ 13 + 23 + ... + n 3 ] − 12 [ 12 + 2 2 + ... + n 2 ] + 6 [ 1 + 2 + ... + n ] − n n 2 ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) 2 � B = 8. − 12. + 6. −n 4 6 2 � B = 2n ( n + 1) − 2n ( n + 1) ( 2n + 1) + 3n ( n + 1) − n 2 2 ( n + 1) ( 2n 2 − 2n + 1) − 1� � B = n� � � Bài 3. Tìm công thức tính giá trị của các biểu thức sau theo n a) S 2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) b) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) c) S 4 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) d) S k = 1.2....k + 2.3....( k + 1) . + ... + n ( n + 1) ... ( n + k − 1) Giải a) ∀k ﾥ * ta có k ( k + 1) = k + k 2 Khi k = 1 � 1.2 = 1 + 12 Khi k = 2 � 2.3 = 2 + 2 2 Khi k = 3 � 3.4 = 3 + 32 … … Khi k = n � n ( n + 1) = n + n 2 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được S 2 = [ 1 + 2 + 3 + ... + n ] + [ 12 + 22 + 32 + ... + n 2 ] n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) � S2 = + 2 6 1 � S 2 = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 b) ∀k ﾥ * ta có k ( k + 1) ( k + 2 ) = k + 3k + 2k 3 2 Khi k = 1 � 1.2.3 = 13 + 3.12 + 2.1 Khi k = 2 � 2.3.4 = 23 + 3.2 2 + 2.2 Khi k = 3 � 3.4.5 = 33 + 3.32 + 2.3 9
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng… … Khi k = n � n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = n 3 + 3.n 2 + 2.n Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được S3 = [ 13 + 23 + ... + n 3 ] + 3[ 12 + 22 + ... + n 2 ] + 2 [ 1 + 2 + ... + n ] n 2 ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) 2 S3 = +3 + 2. 4 6 2 1 � S3 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) 4 1 Vậy S 2 = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 1 S3 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 4 Từ đó dễ dàng dự đoán được công thức tính tổng S 4 và S k 1 c) S 4 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) ( n + 4 ) 5 1 d) S k = n ( n + 1) ...( n + k ) k +1 Tổng S 4 và S k được chứng minh theo phương pháp quy nạp. Trong quá trình giải quyết các bài toán trên ta đã khai thác khá sau các đẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu hỏi nếu không biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài toán được giải quyết như thế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau : Đặt S1 = 1 + 2 + ... + n � 2 S1 = 1.2 + 2.2 + 3.2 + ... + n.2 Và S 2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra S 2 − 2S1 = 1.2 + 2.3 + ... + ( n − 1) n n ( n + 1) � S 2 − 2S1 = S 2 − n ( n + 1) � S1 = 2 n ( n + 1) Vậy S1 = 1 + 2 + ... + n = 2 Tương tự như vậy S 2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) � 3S 2 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n ( n + 1) .3 Và S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) 10
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Tr Hưừng ẳng thức trên theo vế suy ra hai đ S − 2 S 2 = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + ( n − 1) n ( n + 1) 3 1 � S3 − 2S 2 = S3 − n ( n + 1) ( n + 2 ) � S 2 = n ( n + 1) ( n + 2 ) 2 1 Vậu S 2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 Theo cách đó ta sẽ tìm được S k = 1.2....k + 2.3....( k + 1) . + ... + n ( n + 1) ... ( n + k − 1) 1 = n ( n + 1) ...( n + k ) k Đến đây ta sẽ sử dụng các tổng S1 , S 2 và S3 để xây dựng các đẳng thức (2) và (3) 1 Từ S 2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 1 � 1( 1 + 1) + 2 ( 2 + 1) + ... + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 1 � 1 + 2 + ... + n + 12 + 22 + ... + n 2 = n ( n + 1) ( n + 2 ) 3 n ( n + 1) 2 1 � + 1 + 22 + ... + n 2 = n ( n + 1) ( n + 2 ) 2 3 n ( n + 1) ( 2n + 1) � 12 + 22 + ... + n 2 = (đây là đẳng thức (2) đã nêu) 6 1 Từ S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n ( n + 1) ( n + 2 ) = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) 4 Ta có ( k − 1) k ( k + 1) = k − k 3 Khi k = 2 � 1.2.3 = 23 − 2 Khi k = 3 � 2.3.4 = 33 − 3 … … Khi k = n + 1 � n ( n + 1) ( n + 2 ) = ( n + 1) − ( n + 1) 3 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được S3 = 23 + 33 + ... + ( n + 1) − �2 + 3 + ... + ( n + 1) � 3 � � � S3 = 13 + 23 + 33 + ... + ( n + 1) − � 1 + 2 + 3 + ... + ( n + 1) � 3 � � � S3 = 13 + 23 + 33 + ... + ( n + 1) − 3 ( n + 1) ( n + 2 ) 2 11
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng 1 Mà S3 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) suy ra 4 13 + 23 + 33 + ... + ( n + 1) − 3 ( n + 1) ( n + 2 ) 1 = n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) 2 4 ( ) ( ) 2 � n + 1 n + 2 � � 13 + 23 + 33 + ... + ( n + 1) = � 3 � � 2 � n ( n + 1) � 2 � � 1 + 2 + 3 + ... + n = � 3 3 3 3 �(đây là đẳng thức (3) đã nêu) � 2 � Bài 4. Tìm công thức thu gọn tính un theo n của các dãy số 1 1 1 1 a) un = + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n.( n + 1) 1 1 1 1 b) un = + + + ... + ; 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1) ( 2n + 1) 1 1 1 1 c) un = + + + ... + 2 1+ 2 3 2 +2 3 4 3 +3 4 ( n + 1) n + n n + 1 1 1 1 1 d/ un = + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + 2 ) 1 1 1 1 1 1 e) un = 1 + + + 1 + + + ... + 1 + + 12 22 22 32 n 2 ( n + 1) 2 Giải 1 = ( k + 1) − k = 1 − 1 a) ∀k ﾥ * ta có k ( k + 1) k ( k + 1) k k +1 1 1 1 Khi k = 1 � = − 1.2 1 2 1 1 1 Khi k = 2 � = − 2.3 2 3 1 1 1 Khi k = 3 � = − 3.4 3 4 … … 12
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng 1 1 1 Khi k = n � = − n ( n + 1) n n + 1 1 n Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un = 1 − � un = n +1 n +1 b) ∀k ﾥ * ta có 1 1 ( 2k + 1) − ( 2k − 1) 1 � 1 1 � = . = � − ( 2k − 1) ( 2k + 1) 2 ( 2k − 1) ( 2k + 1) 2 �2k − 1 2k + 1 � � 1 1� 1 1� Khi k = 1 � = �− � 1.3 2 � 1 3� 1 1� 1 1� Khi k = 2 � = �− � 3.5 2 � 3 5� 1 1� 1 1� Khi k = 3 � = �− � 5.7 2 � 5 7� … … 1 1� 1 1 � Khi k = n � = − ( 2n − 1) ( 2n + 1) 2� 2n − 1 2n + 1 � � � Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1� 1 � n un = 1 − � u = 2�� 2n + 1 � 2n + 1 n � c) ∀k ﾥ ta có * 1 1 k +1 − k = = ( k + 1) k + k k + 1 k k + 1 k + 1 + k k k +1 ( ) 1 1 1 � = − ( k + 1) k + k k + 1 k k +1 1 1 1 Khi k = 1 � = − 2+ 2 1 2 1 1 1 Khi k = 2 � = − 3 2+2 3 2 3 1 1 1 Khi k = 3 � = − 4 3+3 4 3 4 … … 1 1 1 Khi k = n � = − ( n + 1) n + n n +1 n n +1 13
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà ng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được Hộưng C 1 n +1 −1 un = 1 − � un = n +1 n +1 d) ∀k ﾥ * ta có 1 1 ( k + 2) − k 1� 1 1 � = . = � − � k ( k + 1) ( k + 2 ) 2 k ( k + 1) ( k + 2 ) 2 � k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) � 1 1 �1 1 � Khi k = 1 � = � − 1.2.3 2 � 1.2 2.3 � � 1 1 �1 1 � Khi k = 2 � = � − 2.3.4 2 � 2.3 3.4 � � 1 1 �1 1 � Khi k = 3 � = � − 3.4.5 2 � 3.4 4.5 � � … … 1 1� 1 1 � Khi k = n = � − � n ( n + 1) ( n + 2 ) 2 � n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 2 ) � Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1� 1 1 � n 2 + 3n un = � − �= 2 ( n + 1) ( n + 2 ) � 4 ( n + 1) ( n + 2 ) 2� n ( n + 3) � un = 4 ( n + 1) ( n + 2 ) k 2 ( k + 1) + ( k + 1) + k 2 2 2 1 1 e) ∀k ﾥ ta có 1 + 2 + * = ( ) k 2 ( k + 1) 2 2 k k + 1 k ( k + 1) + 1� 2 k 2 ( k + 1) + 2k ( k + 1) + 1 � = k ( k + 1) + 1 2 � � = = k ( k + 1) 2 2 k 2 ( k + 1) 2 k ( k + 1) 1 1 1 1 1+ + = 1 + − k 2 ( k + 1) 2 k k +1 1 1 1 1 Khi k = 1 � 1 + + = 1 + − 12 22 1 2 1 1 1 1 Khi k = 2 � 1 + 2 + 2 = 1 + − 2 3 2 3 14
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà … … Hưng 1 1 1 1 Khi k = n � 1 + + = 1 + − n 2 ( n + 1) 2 n n +1 Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1 n ( n + 2) un = n + 1 − � un = n +1 n +1 Bài 5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây u1 = 2 a) un +1 = un + 2n + 1; n 1 u1 = 1 b) un un +1 = ;n 1 1 + ( 3n + 2 ) un u1 = 1 c) un +1 = un2 + n 2 + 1; n 1 u1 = 3 d) un +1 = un + 2n 3 ; n 1 u1 = 1; u2 = 2 e) un +1 = 2un − un −1 + 1; n 2 Giải a) Theo đề bài suy ra ; u1 = 2 u2 = u1 + 2.1 + 1 u3 = u2 + 2.2 + 1 u4 = u3 + 2.3 + 1 … … un = un−1 + 2.( n − 1) + 1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un = 2 + 2 ( 1 + 2 + ... + ( n − 1) ) + n − 1 15
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng Mà 1 + 2 + ... + ( n − 1) = ( n − 1) n 2 � un = n + 1 + ( n − 1) n = n 2 + 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = n + 1 2 1 1 b) Từ công thức truy hồi suy ra = + 3n + 2; n 1 un+1 un Từ đó ta có 1 =1 u1 1 1 = + 3.1 + 2 u2 u1 1 1 = + 3.2 + 2 u3 u2 1 1 = + 3.3 + 2 u4 u3 … … 1 1 = + 3 ( n − 1) + 2 un un −1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được 1 = 1+ 3� �1 + 2 + ... + ( n − 1) � �+ 2 ( n − 1) un 1 � = 1+ 3 ( n − 1) n + 2 ( n − 1) = 3n 2 + n − 2 un 2 2 2 � un = 2 3n + n − 2 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = 3n 2 + n − 2 c) Từ công thức truy hồi suy ra un+1 = un + n + 1; n 1 2 2 2 Từ đó ta có u12 =1 u22 = u12 + 12 + 1 u32 = u22 + 22 + 1 u42 = u32 + 32 + 1 … … 16
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng u 2 = u 2 + ( n − 1) 2 + 1 n n −1 ộng n đẳng thức trên theo vế ta được C un2 = 12 + 22 + 32 + ... + ( n − 1) + n 2 n ( n + 1) ( 2n + 1) Mà 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = 6 12 + 22 + 32 + ... + ( n − 1) = 2 ( n − 1) n ( 2n − 1) 6 ( n − 1) n ( 2n − 1) + n = 1 n 2n 2 − 3n + 7 un2 = ( ) 6 6 1 � un = 6n ( 2n 2 − 3n + 7 ) 6 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = 6n ( 2n 2 − 3n + 7 ) 6 d) Theo đề bài suy ra ; u1 = 3 u2 = u1 + 2.13 u3 = u2 + 2.23 u4 = u3 + 2.33 … … un = un−1 + 2. ( n − 1) 3 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un = 3 + 2 � + ... + ( n − 1) � 3 1 � 3 + 2 3 � Mà �n ( n + 1) � 3 �( n − 1) n � 2 2 ( ) 3 13 + 23 + ... + n3 = � �� 1 + 2 3 + ... + n − 1 = � � � 2 � � 2 � n ( n − 1) 2 2 � un = 3 + 4 n 2 ( n − 1) 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u = 3 + 4 n e) Từ công thức truy hồi suy ra u1 = 1 u2 = 2 u3 = 2u2 − u1 + 1 u4 = 2u3 − u2 + 1 17
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng ... ... u = 2u − u +1 n n −1 n−2 n Cộng đẳng thức trên theo vế ta được u1 + un = un−1 + 2 + n − 1 � un = un−1 + n (*) Từ đề bài và (*) ta lại suy ra u1 = 1 u2 = u1 + 1 u3 = u 2 + 2 u 4 = u3 + 3 … … un = un−1 + n − 1 Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được un = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) = 1 + ( n − 1) n = 1 − n + 2) (n 2 2 2 1 2 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = ( n − n + 2 ) 2 Bài tập tương tự 1. Tìm cồng thức thu gọn tính un theo n của các dãy số = 12 + 42 + 7 2 + ... + ( 3n − 2 ) 2 a) un = 13 + 53 + 93 + ... + ( 4n − 3 ) 3 b) un 1 1 1 1 c) un = + + + ... + 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3) ( 4n + 1) 1 1 1 d) un = + + ... + 1.3.5 3.5.7 ( 2n − 1) ( 2n + 1) ( 2n + 3) 2. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây u1 = 1 a) un = un −1 + 2n 2 + 1; n 2 u1 = 1 b) un un +1 = ;n 1 1 + n un 3 18
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà Hưng u1 = 3 c) un = un −1 + n3 + 2n − 1; n 2 u1 = 1; u2 = 3 d) un +1 = 2un − un −1 + 2n; n 2 PHẦN II: DÃY SỐ QUY VỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân u1 = 9 Bài 1. Cho dãy số ( un ) xác định bởi công thức: un = un −1 + 3; n 2 Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số Giải Từ công thức truy hồi đã cho suy ra ( un ) là một cấp số cộng có u1 = 9 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát là un = u1 + ( n − 1) d � un = 9 + 3 ( n − 1) Vậy un = 3n + 6 u1 = 16 Bài 2. Cho dãy số ( un ) xác định bởi công thức: 1 un +1 = un ; n 1 2 Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số Giải Từ công thức truy hồi đã cho suy ra ( un ) là một cấp số nhân có u1 = 16 và công n −1 1 �1 � bội q = nên số hạng tổng quát là un = u1 .q n −1 � un = 16.� � = 25− n 2 �2 � Vậy un = 2 5− n Bài 3. Cho dãy số ( un ) xác định bởi công thức: u1 = 1 . Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số un +1 = un + 3n − 1 − 2.5n ; n 1 Giải Theo đề bài suy ra u1 = 1 19
Sáng kiến kinh nghiệm Nguy ễn Hà u 2 = u1 + 3.1 − 1 − 2.51 Hưng u3 = u2 + 3.2 − 1 − 2.52 ... ... un = un−1 + 3.( n − 1) − 1 − 2.5n −1 Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra �− ( n − 1) − 2 [ 5 + 5 + 5 + ... + 5 ] 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) � un = 1 + 3 � 1 2 3 n −1 � Trong đó 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) = ( n − 1) n 2 Và tổng A = 5 + 5 + ... + 5 là tổng n − 1 số hạng đầu của cấp số nhân có 1 2 n −1 số hạng thứ nhất a1 = 5 , công bội q = 5 1 − q n−1 1 − 5n−1 5 5n � A = Sn −1 = a1 � A = 5. =− + 1− q −4 4 4 un = 2 − n + 3 ( n − 1) n �5 5 � 1 − 2� n − + �= ( 3n 2 − 5n + 9 − 5n ) 2 �4 4 � 2 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = ( 3n 2 − 5n + 9 − 5n ) 2 u1 = a Bài 4. Cho dãy số ( un ) có . un +1 = 5 − un ; n 1 Tìm a để ( un ) là cấp số cộng. Giải Theo đề bài suy ra u1 = a; u2 = 5 − a; u3 = a Dãy số (un ) là cấp số cộng 5 � u2 − u1 = u3 − u2 � 5 − 2a = 2a − 5 � a = 2 Ta phải thử lại 5 5 5 5 5 Với a = thì theo đề bài suy ra u1 = , u2 = , u3 = ,..., un = 2 2 2 2 2 Nên (un ) là cấp số cộng với cồng sai d = 0 u1 = a Bài 5. Cho dãy số (un ) có : 12 với a 0 un+1 = ;n 1 un Tìm a để ( un ) là cấp số nhân Giải 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.