Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

Ở Ầ

Ầ

Ầ PH N I: PH N M Đ U

Ọ Ề

I.1. LÝ DO CH N Đ TÀI

ấ ồ ọ ộ ọ ờ ệ Toán h c là b môn khoa h c trí tu cao nh t đ ng th i là chìa khoá m ở

ề ạ ấ ả ọ ọ ử c a, t o n n cho t t c các ngành khoa h c khác. Song toán h c mà chúng ta

ế ụ ầ ớ ơ ở ứ ư ế đã, đang và ti p t c nghiên c u nó ph n l n trên c s lý thuy t nh ng nó

ự ự ư ề ệ ầ ọ ọ cũng đã góp ph n nhi u cho thành t u khoa h c th c nghi m nh Lí h c, Hoá

ọ ọ ọ h c, thiên văn h c và Tin h c...

ừ ờ ủ ề ườ ọ ừ Ngay t th i kì ti n c a loài ng i, toán h c đã hình thành t ữ nh ng

ế ế ả ồ ộ ậ ụ ể ể v t c th đ đi đ n phép đ m r i so sánh. Tr i qua qú trình lao đ ng sáng

ườ ữ ế ệ ạ ọ ộ ạ t o con ng i không nh ng chi m lĩnh khoa h c ngày m t hi n đ i và sáng

ậ ủ ứ ữ ố ọ ạ t o, tìm ra nh ng quy lu t c a các con s , phép toán, công th c toán h c và c ả

ữ nh ng chân lý...

ế ế ộ ọ ụ ộ ư Ngày nay b môn Toán chi m m t u th quan tr ng trong giáo d c

ệ ọ ậ ỏ ở ạ ọ ườ ộ ự ầ ặ đ c bi t là trong d y h c, h c t p, nó đòi h i ng i th y giáo m t s lao

ữ ệ ậ ạ ạ ươ ể ạ ọ ộ d ng ngh thu t sáng t o, t o ra nh ng ph ng pháp đ d y các em h c sinh

ả ụ ủ ệ ườ ầ ọ h c và gi i các bài toán, đó cũng là nhi m v trung tâm c a ng i th y giáo

ạ d y Toán.

ế ằ ố ả ệ ậ ề ả Ai cũng bi t r ng mu n gi ệ i toán ph i luy n t p nhi u thông qua vi c

ả ạ ả ẫ ộ ọ gi i các bài toán đa d ng, g i các bài toán m t cách khoa h c, kiên nh n và t ỉ

ỉ ể ự ọ ổ ố ủ ư ọ m , đ t tìm ra đáp s c a chúng. Nh nhà tâm lí h c, toán h c c Xô Clat đã

ữ ể ế ượ ẽ ộ nói “Nh ng hi u bi t mà ta thu đ c m t cách không khó khăn thì s không

ự ề ể ừ ữ ỉ lâu b n, chúng ta ch (có th do s giúp t ể bên ngoài) nh ng gì mà ta tìm hi u

ượ ỉ ự ụ ứ ướ ư ố ố ễ ủ đ c cũng gi ng nh cây c i ch s d ng th n c do r c a chúng hút đ ượ c

ể ạ ượ ấ ạ ố ọ ệ ừ t trong lòng đ t” (Đ i tho i toán h c). Đ đ t đ ả ụ c nhi m v trong gi ng

ậ ườ ầ ạ ả ọ ế ậ ố ạ d y mu n v y ng i th y d y toán, h c sinh ph i kiên trì bi ụ t v n d ng

ứ ế ề ọ ố ộ ườ ki n th c đã h c trong nhi u tình hu ng khác nhau. M t bài toán th ng có

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ề ả ằ ỗ nhi u cách gi ỏ ỗ ạ i, m i bài toán n m trong m i d ng toán khác nhau, nó đòi h i

ả ậ ự ụ ứ ế ề ề ặ ọ ộ ph i v n d ng ki n th c đã h c trong nhi u lĩnh v c, nhi u m t m t cách

ả ế ệ ấ ề ạ ấ ộ sáng t o, do đó ph i x p bài toán nào vào v n đ nào là m t vi c r t khó, và

ở ộ ố ề ề ặ cũng khó m t s bài toán đ ượ ặ ở c g p ấ hai ho c nhi u v n đ khác nhau.

ươ ậ ấ ạ ậ ổ Trong ch ệ ng trình ph thông c p 2 hi n nay các lo i bài t p th t đa

ứ ạ ặ ọ ạ d ng, phong phú và không ít ph c t p, mà h c sinh g p khó khăn. Trong

ổ ủ ề ộ ố ươ ế ả khuôn kh c a đ tài này, xin nêu m t s ph ề ậ ng pháp đ c p đ n gi i toán

ấ ẳ ứ ự ả ằ ạ ị ạ ề v “B t đ ng th c và c c tr ”. Ph i nói r ng các lo i toán này là khó, đa d ng

ặ ươ ấ ừ ớ ề ậ ọ m c dù trong ch ng trình c p 2 (t ặ l p 8 9) đã đ c p song h c sinh g p

ế ắ ứ ề ướ ạ nhi u b t c khi đ ng tr c lo i toán này.

Ứ

Ụ

I.2. M C ĐÍCH NGHIÊN C U

ấ ượ ằ ọ ậ ộ Nh m nâng cao ch t l ệ ạ ố ng h c t p b môn đ i s nói chung. Rèn luy n

ả ư ữ ụ ắ ọ ọ kh năng t ứ duy, giúp h c sinh có nh ng h ng thú toán h c, kh c ph c tình

ụ ộ ậ ả ậ ạ t ng th đ ng, d p khuôn, máy móc trong quá trình gi ọ i bài t p. Giúp h c

ề ấ ẳ ứ ứ ủ ế ắ ố ị ớ sinh c ng c , kh c sâu ki n th c v b t đ ng th c bài toán tìm giá tr l n

ộ ố ạ ấ ỏ ị ườ ấ ủ nh t, tìm giá tr nh nh t c a m t s d ng toán th ặ ng g p.

Ờ

Ể

Ị

I.3. TH I GIAN, Đ A ĐI M

Ờ

I.3.1. TH I GIAN

ứ ề ể ờ Th i gian đ tôi nghiên c u đ tài là 2 năm

Ể

Ị

I.3.2. Đ A ĐI M

ể ự ể ệ ề ọ ớ ố ị Đ a đi m đ th c nghi m đ tài là h c sinh các l p kh i 8 kh i 9 ố ủ

ườ ề ạ ả tr ng THCS M o Khê II Đông Tri u Qu ng Ninh

Ớ Ề Ặ

Ự

Ậ

Ễ

I.4. ĐÓNG GÓP M I V M T LÝ LU N VÀ TH C TI N

ớ ự ụ ệ ặ ổ ệ Trong tình hình đ i m i s nghi p giáo d c, đ c bi t quan tâm t ớ i

ọ ậ ữ ọ ỏ ườ ầ ặ ế nh ng h c sinh có năng khi u, ham h c t p, thì đòi h i ng i th y đ c bi ệ t

ề ươ ỡ ả ạ ậ quan tâm, giúp đ các em v ph ng pháp gi i toán. Cũng các lo i bài t p này

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ệ ượ ề ậ ế ọ ỳ ỏ ừ ấ hi n nay hay đ c đ c p đ n và trong các k thi h c sinh gi ệ c p huy n i t

ấ ẳ ị ở ứ ự ể ằ ạ ị th tr lên, cũng có th nói r ng lo i toán b t đ ng th c c c tr không ch ỉ ở

ạ ố ữ ế ả ộ ọ trong b môn đ i s và c trong hình h c, không nh ng trong lý thuy t toán,

ự ễ ụ ể mà có th áp d ng trong th c ti n.

ầ ủ ữ ụ ữ ừ ề ấ T nh ng v n đ nêu trên, nh ng khó khăn, tác d ng, yêu c u c a toán

ự ọ ể ọ ề ọ h c, đó cũng là lí do chính đ ch n đ tài: Phát huy trí l c h c sinh trong gi ả i

ấ ẳ ị ở ớ ự ứ toán “B t đ ng th c c c tr ” l p 8 9.

Ộ

Ầ

Ầ PH N II: PH N N I DUNG

ƯƠ

II.1. CH

Ổ NG 1 : T NG QUAN

ượ ấ ơ ả ấ ẳ ủ ứ ị ắ N m đ ấ c đ nh nghĩa b t đ ng th c, các tính ch t c b n c a b t

ươ ấ ẳ ứ ứ ườ ứ ạ ố ẳ đ ng th c đ i s , các ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c th ng dùng.

ộ ố ạ ộ ố ứ ự ụ ụ ấ ẳ ị Nêu m t s ví d áp d ng b t đ ng th c. M t s d ng toán c c tr và

ươ ả ph ng pháp gi i chúng.

ƯƠ

Ộ

Ứ

Ề

II.2. CH

Ấ NG 2 : N I DUNG V N Đ NGHIÊN C U

Ứ

Ấ

Ẳ

II.2.1. B T Đ NG TH C

(cid:0) ế ể ể ả ỉ ườ ố ề Ta đ u bi R ch có th x y ra ba tr ợ ng h p:

a b > 0

a b < 0

t đ so sánh hai s a, b a > b (cid:0) a < b (cid:0) a = b (cid:0) a b = 0

ộ ệ ứ ấ ẳ ở ộ ứ ừ ạ ộ T đó m r ng ra b t đ ng th c là m t h th c có m t trong các d ng:

ứ ạ ố ứ ế ố ể ặ A>B ho c A < B trong đó A, B là các bi u th c đ i s ch a các bi n s hay

ề ộ ấ ẳ ố ầ ư ứ ọ các s . C n l u ý cho h c sinh là khi nói v m t b t đ ng th c mà không nói

ộ ấ ẳ ứ ơ rõ gì h n thì đó là m t b t đ ng th c đúng.

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ươ ậ ữ ả ắ ọ ọ Trong khi h c trong ch ng trình thì h c sinh ph i n m th t v ng, c ơ

ắ ề ị ấ ẳ ứ ấ ớ ả b n và sâu s c v đ nh nghĩa b t đ ng th c, cùng v i các tính ch t và ph ươ ng

ứ pháp ch ng minh.

ấ ỳ (cid:0) : a, b b t k R: a > b (cid:0) a b > 0 ị II.2.1.1. Đ nh nghĩa

a < b (cid:0) a b < 0

(cid:0) ặ ế ố ứ ữ ứ ữ ể A B > 0 A B là nh ng bi u th c ch a ch v bi n s

ho c A > B A < B (cid:0) A B < 0

ơ ở ọ ườ ể ứ ề ấ Đó là c s quan tr ng và th ề ấ ng l y đó đ ch ng minh nhi u bài toán v b t

ứ ẳ đ ng th c.

ả ứ ậ ầ ơ ỉ Trong quá trình gi i các bài t p không đ n thu n ch là ch ng minh

ữ ườ ặ ạ ứ nh ng b t đ ng th c đúng mà thông th ng ta g p các bài toán d ng:

A (cid:0) A B (cid:0) 0

ấ ẳ B (cid:0) B (cid:0) A (cid:0) A B (cid:0) 0

(cid:0) ”; “ (cid:0) ” thì sau khi đã ch ng minh đ

ườ ứ ượ Trong tr ợ ng h p “ ấ ẳ c b t đ ng

ứ ả ỉ ượ ế ố ữ ệ th c đúng ph i ch ra đ c các y u t ữ nào (quan h ) gi a các ch có trong

ứ ớ ộ ằ ệ ớ ặ ố ố ấ ẳ b t đ ng th c v i nhau ho c quan h v i m t h ng s , tham s nào đó.

ấ ả Ví d xụ 2 (cid:0) 0 v i ớ (cid:0) x thì d u b ng x y ra khi x =0 ằ

2 (cid:0)

ứ ẳ ộ ả ấ Hay đ ng th c quen thu c (a b) 0 thì d u “=” x y ra khi a b = 0 hay a =

ấ V i xớ 2 + y2 (cid:0) 0 (cid:0) x, y (cid:0) ả R thì d u “=” x y ra khi x = y = 0

ư ậ ả ề ấ ẳ ứ ệ Nh v y trong khi gi ề i các bài toán v b t đ ng th c thì vi c tìm đi u

ể ấ ệ ả ạ ộ ấ ề ả ộ ki n đ d u “=” x y ra l ơ i là m t v n đ không đ n gi n, nó là m t bài toán

ỏ ằ ẽ ượ ớ ả ố ớ ừ ạ ộ nh n m trong m t bài toán l n (s đ ễ c di n gi i đ i v i t ng lo i bài

ụ trong các ví d sau).

ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ ố II.2.1.2. Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c s

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ề ấ ẳ ứ ườ ứ ạ ạ ớ ị ỉ Vì bài toán v b t đ ng th c th ng đa d ng, ph c t p m i ch có đ nh

ể ả ế ượ ư ư ậ ữ ắ ậ ầ nghĩa thì ch a th gi i h t đ ữ c các bài t p. Nh v y c n n m v ng nh ng

a + m > b+ m (cid:0) a, b, m

ế am > bm n u m > 0 ấ tính ch t sau: II.2.1.2.1 a > b (cid:0) II.2.1.2.2 a > b (cid:0)

II.2.1.2.3 a > b và b > c => a > c

II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c

II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 =>

1 (cid:0) a

1 b

ế am < bm n u m < 0

II.2.1.2.7. a > b (cid:0)

a (cid:0)

II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd 0 và m (cid:0) 0 và n (cid:0)

Z+ => am > bm

II.2.1.2.8. a > b (cid:0)

Z+ =>

ấ ấ ơ ả ữ ầ ọ ị ế Đó là nh ng tính ch t r t c b n c n trang b cho h c sinh khi ti p

ề ề ấ ậ ấ ấ nh n v n đ này song các tính ch t trên không có tính ch t hai chi u.

ả ệ ế ậ ấ ổ ỏ ồ Trong khi gi i bài t p đòi h i vi c bi n đ i đ ng nh t hay t ươ ng

ươ ứ ơ ả ả ắ ỹ ế ọ ỏ đ ng là vô cùng quan tr ng, nó đòi h i ph i n m k ki n th c c b n và kĩ

ứ ơ ả ữ ế ả ầ ố ị năng kĩ x o. Cũng c n trang b cho các em nh ng v n ki n th c c b n nh ư

ấ ẳ ứ ữ ứ ể ậ ả ch ng minh và công nh n nh ng b t đ ng th c đúng đ các em gi i nhanh và

ự ư ầ ể ả góp ph n cho s t duy đ gi i các bài toán khó.

ụ ả ấ ẳ ữ Ví d : Trong khi gi ứ ể ấ i các bài toán ta có th l y nh ng b t đ ng th c

(cid:0) b)2 (cid:0)

ớ ư đáng nh nh : (a 0 (a + b c + d....+)2 (cid:0) 0

(cid:0) ổ T ng quát hoá (a b +...+)2k (cid:0) 0

(cid:0) ai (cid:0)

ố ươ ữ ng => 0 Ho c ặ (cid:0) ai mà ai là nh ng s d

ế ố ề ủ ứ ể ặ ộ ổ Ho c: trong bi u th c có t ng đ dài c a các y u t ẳ ạ v đo n th ng

ấ ề ố ệ ạ ủ ặ ho c các tính ch t v m i quan h c nh (góc) c a tam giác.

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ươ ứ ứ ẳ ấ II.2.1.3. Các ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c th ườ ng

dùng.

ứ ể ứ ự ị II.2.1.3.1. D a vào đ nh nghĩa t c đ ch ng minh: A > B ta xét:

ế ẳ ị A B n u A B > 0 thì kh ng d nh A > B là đúng.

ấ ẳ ứ ế N u A B < 0 thì b t đ ng th c sai.

ổ ươ ế ươ ế ề II.2.1.3.2. Dùng phép bi n đ i t ng đ ổ ng (có nhi u cách bi n đ i)

ứ ế ạ ẳ ồ ớ ch ng h n ch ng minh A > B ta bi n A > M; B > N r i so sánh M v i N:

M > N => A > B

ổ ươ ặ ươ ấ ơ ả ủ ấ ẳ ự ứ ế Ho c bi n đ i t ng đ ng d a vào các tính ch t c b n c a b t đ ng th c.

ấ ẳ ứ ụ ế ư ằ II.2.1.3.3. D a vào các b t đ ng th c đúng đã bi ẳ t nh các h ng đ ng

ứ ở th c...đã nói (2)

ộ ườ ớ ấ ẳ ứ ứ II.2.1.3.4. Dùng phép làm tr i: th ng ch ng minh v i b t đ ng th c là

ị ổ ữ ặ ộ ố ệ m t dãy s . Tách dãy đó thành nh ng nhóm có giá tr t ng đ c bi t nào đó

ấ ị ể ậ ộ ượ ị ổ ề ạ ử theo m t quy lu t nh t đ nh đ tính đ ồ c giá tr t ng g m nhi u h ng t .

1 + M2 + M3 + ...+Mn > P

ả ử Gi s : M

Khi đó ta tính (cid:0) ; (cid:0)

ể ứ ể ứ ứ ả II.2.1.3.5. Dùng phép ph n ch ng đ ch ng minh: Đ ch ng minh A >

(cid:0) ả ử ừ ế ề ẫ ả ế B ta gi s A B t ữ đó d n đ n nh ng đi u trái gi thi t.

(cid:0) (cid:0) ụ ứ Ví d : Ch ng mih:

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử Gi s :

(

)

(cid:0) (cid:0) (vô lý)

(cid:0) (cid:0) V y ậ

ạ ọ II.2.1.3.6. Dùng phép trung toán (hay quy n p toán h c)

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ố ợ ươ ợ II.2.1.3.7. Dùng ph i h p các ph ộ ng pháp trên m t cách h p lí và

lôgic.

ề ấ ẳ ứ ậ ấ ạ ứ ạ Nói chung các bài t p v b t đ ng th c là r t đa d ng và khá ph c t p.

ườ ụ ữ ậ ươ Thông th ng nh ng bài toán v n d ng ph ị ng pháp dùng đ nh nghĩa, phép

ổ ươ ế ươ ớ ọ ứ ả ầ ơ ỡ bi n đ i t ng đ ng ph n ch ng đ khó khăn h n và g n gũi v i h c sinh

ươ ặ ế ợ ơ h n ho c k t h p các ph ng pháp.

ứ ườ ướ ạ ế ề ấ ẳ Bài toán v b t đ ng th c th ng là cho d i d ng khi bi t m t s ộ ố

ấ ẳ ứ ở ứ ứ ể ề ệ ộ ề đi u ki n nào đó hãy ch ng minh m t bi u th c, b t đ ng th c nhi u (hay

ả ở ọ ườ ề ậ ở ạ ố đ c p) đ i s song có c trong hình h c cũng th ặ ng g p.

ả ề ấ ẳ ứ ệ Vi c gi i bài toán v b t đ ng th c là khó b i l ở ẽ ươ đ ng nhiên ngoài

ứ ế ớ ấ ẳ ả ậ ứ ụ ơ ả ki n th c c b n liên quan t ộ ỏ i b t đ ng th c, đòi h i ph i v n d ng m t

ắ ườ ổ ố ế ợ cách đúng đ n trong tr ợ ng h p nào cho phù h p. Kĩ năng bi n đ i t t giúp

ả ỡ ượ ữ ầ ầ cho trong khi gi i đ dài dòng và tránh đ c nh ng sai l m góp ph n cho s ự

ắ ạ ắ ư t ộ duy, sáng t o m t cách ch c ch n.

ả ướ ẫ ự ễ II.2.1.4. Th c ti n trong gi i toán và h ụ ng d n (các ví d )

2 > b2

ứ ằ II.2.1.4.1. Ch ng minh r ng a > b > 0 thì a

ể ứ ị Dùng đ nh nghĩa đ ch ng minh:

Xét a2 b2 = (a b) (a + b)

Vì a > b => a b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0

(cid:0) => (a b) (a + b) > 0 a2 b 2 > 0 (cid:0) a2 > b2

ơ ở ề ư ậ ứ ả ị ế ợ Nh v y trên c s đi u ph i ch ng minh dùng đ nh nghĩa và k t h p

ề ế ể ứ ề ậ ả ệ đi u ki n cho bi t đ lí lu n đi u ph i ch ng minh.

ệ ề ế ổ N u ta thay đ i đi u ki n ng ượ ạ c l ư i nh sau:

ế N u a > 0, b > 0 => a > b

a2 > b2

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

(cid:0) ở ứ ệ ế ị ế đây n u dùng đ nh nghĩa vi c ch ng minh xét a b đ n đây ta

ổ ế ượ ệ ề ậ không th bi n đ i ti p đ c, vì v y ta khai thác đi u ki n ta có:

a2 b2 > 0

ể ế Vì a2 > b2 (cid:0) (cid:0) (a b) (a + b) > 0

(cid:0) ả ắ ế ọ ượ ệ Đ n đây h c sinh ph i n m đ c vi c xét tích m.n > 0 m, n cùng

ể ậ ụ ấ d u đ v n d ng vào bài toán.

Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a b) (a + b) > 0 => a b > 0 (cid:0) a > b

ữ ướ ơ ả ầ ọ Trong nh ng b c đ u hình thành kĩ năng c b n cho h c sinh, giáo

ườ ộ ố ấ ẳ ứ ứ ơ viên th ả ng xuyên cho các em ch ng minh m t s b t đ ng th c đ n gi n,

ứ ượ ể ậ ụ ậ ồ r i sau khi đã ch ng minh đ c thì công nh n chúng đ v n d ng vào các bài

ơ ứ ạ toán ph c t p h n.

2 (cid:0)

ả ấ ằ ứ II.2.1.4.2. Ch ng minh (a + b) 4ab. Khi nào thì d u b ng x y ra?

2 4ab

ị Dùng đ nh nghĩa xét: (a + b)

(cid:0) a2 + b2 2ab = (a b)2 (cid:0) 0

(cid:0) ấ ằ ả => D u b ng x y ra khi a b = 0 a = b

ứ II.2.1.4.3. Cho a, b không âm. Ch ng minh

ba 2

(cid:0) (cid:0)

a )2; b = ( b )2

(cid:0) ề ớ ụ ệ ủ V i đi u ki n c a bài toán a 0, b (cid:0) ể ậ 0 nên ta có th v n d ng: a = (

ổ ươ ế ươ Dùng phép bi n đ i t ng đ ng ta có:

ba 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 ab

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế Xét v trái: VT

a + b 2 ab = ( a b )2 (cid:0) 0

ứ ề ả ả ấ nên => đi u ph i ch ng minh. D u “=” x y ra khi a = b

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ớ ấ ẳ ứ ệ Thông qua bài toán này giáo viên gi ấ i thi u b t đ ng th c trên (b t

ứ ố ớ ẳ đ ng th c Côsi v i 2 s không âm)

ể ớ ệ ị Có th gi ứ i thi u công th c (đ nh lí CôSi)

ớ ố V i 3 s không âm: a, b, c

Ta luôn có a + b + c (cid:0) 3 3 abc

....

ằ ả ấ D u b ng x y ra khi a = b = c

aa 1

1 + a2 + ...+an (cid:0)

i (i = ni,

ổ ớ T ng quát a n n v i các a ) không âm

ể ậ ụ ể ề ạ ấ ầ ượ ớ ị ệ C n nh n m nh đi u ki n đ có th v n d ng đ c đ nh lí Côsi và v i các

ố s không âm

ấ ẳ ứ ứ * Ch ng minh b t đ ng th c:

1 a

1 b

1 c

(cid:0) (cid:0) ớ (a +b + c) ( ) (cid:0) 9 v i a, b, c > 0

1 a

1 b

1 c

a c

b a

a b

b c

c a

c b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách 1: Xét (a +b + c) ( ) = 1 +

(

)

(

)

(

)

b a

b c

a b

c b

c a

a c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 3 +

2 (cid:0)

ừ ấ ẳ ứ T b t đ ng th đúng: (a b) 0 ta có: a2 + b2 (cid:0) 2ab

Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có:

(

)

a b

b a

(cid:0) (cid:0)

(

)

(

)

(

)

a b

b a

b c

c b

c a

a c

b c

c b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự T ng t : => 3 + 9

(

)

c a

a c

(cid:0) (cid:0)

1 a

1 b

1 c

(cid:0) (cid:0) Hay (a +b + c) ( ) (cid:0) 9

ậ ụ ấ ẳ ứ ố ớ Cách 2: V n d ng b t đ ng th c Côsi v i 3 s không âm:

Ta có: a +b + c (cid:0) 3 3 abc

3 3

1 a

1 b

1 c

1 abc

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

1 a

1 b

1 c

abc abc

(cid:0) (cid:0) => (a +b + c) ( ) (cid:0) 9 3 = 9

ậ ụ ị ả ứ ạ ắ ọ ớ Rõ ràng v n d ng đ nh lí Côsi gi i ng n g n h n và cũng không ph c t p

ậ ụ ử ụ ơ ở ế ả Trên c s đó s d ng k t qu 4.2.1 v n d ng vào bài toán sau:

3(cid:0) 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ứ ớ Ch ng minh b t đ ng th c: v i x, y, z 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ẳ ự ứ ứ D a vào b t đ ng th c ch ng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y

Rõ ràng a,b, c > 0

(

)(

2).

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ấ ẳ Ta có b t đ ng th c (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

)

9 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

9 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

9 2

3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ỉ ả ấ D u “=” x y ra khi và ch khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z

2 + y2 = 1 thì

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ế ằ II.2.1.4.4. Ch ng minh r ng n u x

ố ớ ể ướ ị ế ổ Đ i v i bài toán này ta không th dùng tr ụ c đ nh nghĩa hay bi n đ i, áp d ng

ấ ẳ ứ ả ấ ừ ấ ẳ các b t đ ng th c khác mà ta ph i xu t phát t ứ b t đ ng th c đúng nào đó

2 (cid:0)

ừ T : xừ 2 + y2 = 1 (*) và t (x y) 0

Ta có: x2 + y2 (cid:0) 2xy => 2xy (cid:0) 1 (**)

2 + 2xy + y2 (cid:0)

ộ ớ C ng (*) v i (**) ta có: x 2

(cid:0) (x + y)2 (cid:0) 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) | x + y| (cid:0) 2 hay

2 ho c x = y = 2

2 2

(cid:0) ằ ả ấ ặ D u b ng x y ra x = y =

4 +b4 (cid:0)

ứ ế ằ * Ch ng minh r ng n u a + b = 2 thì a 2

Xét a4 +b4 2

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ổ ồ ể ặ ứ ế Dùng phép bi n đ i đ ng th c: Vì a + b = 2 nên ta có th đ t:

a = 1 + m

b = 1 m

Có: a4 +b4 2 = (1 +m)4 + (1 m)4 2

= 1 + 4m + 6m2 + 4m3 + m4 + 1 4m +6m2 4m3 + m4 2

= 12m2 + 2m4 (cid:0) 0 vì m2 (cid:0) 0 ; m4 (cid:0) 0

4 +b4 (cid:0)

ậ ừ V y t đó => a 2

(cid:0) ấ ư ặ ạ D u “=” a = b = 1 ho c a = b = 1 nh ng vì a + b = 2 => a = b = 1 (lo i)

2 (cid:0)

ứ ố II.2.1.4.5. Cho 4 s a, b, c, d.Ch ng minh (ab + cd) (a2 + c2) (b2 + d2) (1)

ổ ươ ế ươ Dùng phép bi n đ i t ng đ ng:

(cid:0) ừ T (1) a2b2 + 2abcd + c2d2 (cid:0) a2b2 +a2d2 +c2b2 +c2d2

a2d2 2adbc + b2c2 (cid:0) 0

ứ ằ ẳ (cid:0) (cid:0) (ad bc)2 (cid:0) ớ (cid:0) 0 Đây là h ng đ ng th c luôn đúng v i a, b, c, d (cid:0) R

(cid:0) ả ấ ỉ D u “=” x y ra khi và ch khi ad bc = 0 ad = bc

a (cid:0) b

c d

hay (cid:0) ể nào đ k =

ấ ẳ ứ Trên đây cũng chính là b t đ ng th c Bunhiacopski

ố ớ ọ ừ ỏ ườ ợ ổ T đó đ i v i h c sinh khá gi ể ư i có th đ a ra tr ng h p t ng quát mà

ứ ạ ứ ứ ệ ả ấ ỏ ố không đòi h i ph i ch ng minh vì vi c ch ng minh r t ph c t p đ i

ử ụ ế ấ ậ ầ ỉ ấ ớ ọ v i h c sinh c p 2 mà ch yêu c u nhìn nh n đúng và s d ng đ n b t

ứ

R. ẳ đ ng th c. Cho 2n s aố 1, a2,...an (cid:0) R và b1, b2,...bn (cid:0)

n ) ( b 2

1 +....+ a 2

1 +....+ b 2 n )

n (cid:0)

( a 2 Khi đó ta có (a1b1 +....+anbn)2 (cid:0)

....

a b

a 1 b 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ả D u “=” x y ra khi

ậ ụ ư ế ả V n d ng k t qu bài toán 4.3.1. trên đ a ra bài toán:

2 + 9y2 (cid:0)

1 8

ứ ằ Cho 4x 6y = 1. Ch ng minh r ng 4x

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

(cid:0) ậ ậ ừ ả ế Th t v y t gi thi t: 4x 6y = 1 2.2x + (2).3y = 1

Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = 2; d = 3y

Ta có [2.2x + (2).3y]2 (cid:0) [22 + (2)2][(2x)2 + (3y)2]

1 (cid:0) 8 (4x2+ 9y2)

1 8

(cid:0) 4x2 +9y2 (cid:0)

2[8

2 ])2(

2 y

2 x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có:

2 (cid:0) 10

1 8

2 24

1 12

(cid:0) (cid:0) => x = ; y =

1 8

1 12

ấ ậ ả V y d u “=” x y ra khi x = ; y =

ươ ạ II.2.1.4.6. Lo i toán dùng ph ộ ng pháp làm tr i

ấ ẳ ứ ứ Ch ng minh b t đ ng th c:

...

1 1001

1 1002

1 1003

1 1999

1 2000

5 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ủ ế ồ ổ ố ứ ấ Rõ ràng v trái g m t ng c a 1000 phân s và nhóm th nh t

...

1 1001

1 1002

1 1003

1 1250

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (*)

ạ ử 250 h ng t

...

1 1001

1 1002

1 1250

250 (cid:0) 1250

1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ơ ớ Vì nên (*) l n h n

ươ ự ứ T ng t nhóm th hai:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

...

1 1251

1 1252

1 1253

1 1500

250 1500

1 6

Nhóm th ba:ứ

...

1 1501

1 1502

1 1503

1 1750

250 1750

1 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Nhóm th t :ứ ư

...

1 1751

1 1752

1 1753

1 2000

250 2000

1 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

...

1 1001

1 1002

1 2000

1 5

1 6

1 7

1 8

5 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V y : ậ

ứ ạ ằ ạ II.2.1.4.7. Lo i ch ng minh b ng quy n p

n > n2

ữ ớ ố ươ ấ ẳ ứ V i nh ng s nguyên d ng n nào thì b t đ ng th c sau đúng: 2

ươ ạ Dùng ph ng pháp quy n p:

ử ớ Dùng phép th : V i n = 1 : 2 > 1 đúng

2 = 22 không đúng

ớ V i n = 2 : 2

ấ ẳ ứ ớ V i n = 3, 4 b t đ ng th c không đúng

5 > 52 đúng

ớ V i n = 5 : 2

(cid:0) ả ử ấ ẳ ứ ớ Gi s b t đ ng th c đúng v i n = k (k Z; k (cid:0) 5)

2k > k2

ấ ẳ ứ ứ ả ớ Ta ph i ch ng minh b t đ ng th c đúng v i n = k + 1 nghĩa là:

2k+1 > (k +1)2

2k + 2k (k2 + 2k + 1)

ậ ậ (cid:0) Th t v y (cid:0) (2k k2) + [2k [2k + 1]

ề ả ử Vì 2k > k2 (đúng đi u gi s trên)

(cid:0) ứ ậ ớ Vì k (cid:0) 5 => 2k > 2k+ 1. Do v y b t đ ng th c đúng v i n = 1 và n ấ ẳ 5

...

1 2

1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (n (cid:0) Z; n > 1) * Cho An = 1 + (cid:0)

A n

n 2

(cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ứ Ch ng minh b t đ ng th c:

ộ ố ươ Trong m t s ph ng pháp trên trong các bài toán đã trình bày qua các ví

ươ ộ ươ ặ ạ ụ d thì các ph ng pháp làm tr i, ph ố ng pháp quy n p là g p khó khăn đ i

ở ẽ ươ ượ ề ậ ườ ớ v i các em b i l ph ng pháp này ít đ c đ c p trong tr ổ ng ph thông

ạ ừ ườ ầ ớ ướ ẫ ế (lo i tr tr ọ ng chuyên, l p ch n). Do đó c n h ng d n chi ti ừ t cho t ng

ầ ậ ề ọ ố ượ đ i t ữ ng h c sinh cũng không nêu ra nhi u mà c n t p trung cho nh ng

ươ ườ ế ầ ượ ph ng pháp thông th ng. K t thúc ph n này đ ộ ố c nêu m t s bài toán

ấ ẳ ứ ứ ch ng minh b t đ ng th c trong tam giác.

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ủ ứ ố ộ ạ II.2.1.4.8. Cho a, b, c là s đo ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh

2 +b(c a)2 + c(a b)2

+ 4abc > a3 + b3 + c3

ứ ấ ẳ b t đ ng th c: a(b c)

ể ấ ượ ằ ư ộ ố ớ ọ Đây là m t bài toán khó đ i v i h c sinh nh ng có th th y đ c r ng a, b, c

ố ươ ữ ể ấ ượ ệ ạ hi n nhiên là nh ng s d ả ng và ph i th y đ ộ c quan h các c nh trong m t

ớ tam giác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH l p 8)

ướ ế ậ Tr c h t ta có nh n xét:

c(a b)2 + 4abc = c[(a b)2 + 4ab]= c(a + b)2

+ 4abc a3 b3 c3 > 0

ấ ẳ a(b c)2 +b(c a)2 + c(a b)2

c3 ] > 0

[a(b c)2 a3] + [b(c a)2 b3] + [ c(a b)2

c2 ] > 0

ứ (cid:0) B t đ ng th c (cid:0) (cid:0) a[(b c)2 a2] + b[(c a)2 b2] + c[(a b)2

(cid:0) a(b c a)(b c + a) + b(c a b)(c a + b) + c(a + b c)(a + b + c)> 0

(cid:0) a (a +b c)(b c a) b(a + b c)(c a + b) + (c(a+b c) (a + b+c) > 0

(cid:0) (a + b c) (ab ac a2 bc + ab b2 + ac + ab + c2) > 0

(cid:0) (a + b c)(2ab a2 b2 + c2) > 0

(a + b c)[c (a b)2] > 0

(a + b c)(c + a b)(c + b a) > 0

ấ ẳ ấ ẳ ứ ượ ứ ậ ố ứ B t đ ng th c cu i cùng đúng. V y b t đ ng th c đ c ch ng minh.

ạ ộ * Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c đ dài ba c nh)

)

1 ap

1 bp

1 cp

1 a

1 b

1 c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ể ả ễ ầ ư ể ướ ươ Đ có th gi i d dàng thì c n đ a ra tr c bài toán sau: Cho x, y d ng:

1 x

1 y

(cid:0) (cid:0) ứ Ch ng minh (cid:0)

ơ ở ế ể ả ả ế ễ Trên c s k t qu bài toán này có th gi i quy t d dàng bài toán đã cho ban

đ u.ầ

Ị

II.2.2. TOÁN C C TRỰ

II.2.2.1. Lý lu nậ

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ấ ủ ị ồ ị ớ ự ể ớ ộ ỏ ứ ấ C c tr đ ng nghĩa v i giá tr l n nh t hay nh nh t c a m t bi u th c,

ể ư ữ ắ ầ ậ ọ ộ ố ơ ở ể đ giúp h c sinh ban đ u n m v ng c s lí lu n này ta có th đ a ra m t s

ứ ư ề ấ ằ ẳ ấ v n đ cũng nh các tính ch t, h ng đ ng th c có liên quan.

ị ớ ủ ứ ể ế ằ ấ ấ ỏ ộ Ta nói r ng M là giá tr l n nh t (nh nh t) c a m t bi u th c A n u

ề ượ ệ hai đi u ki n sau đây đ ả c tho mãn.

(cid:0) ằ ố 1. A (cid:0) M (H ng s ) hay A M (H ng)ằ

ủ ể ệ ề 2. Có lúc A = M ( trong đi u ki n nào đó c a bài toán đ bài toán

ị ớ ứ ể ằ ấ ấ ấ ạ ỏ ả x y ra d u b ng) thì ta nói bi u th c A đ t giá tr l n nh t (nh nh t) là M.

Ộ Ố Ứ Ấ Ẳ Ấ Ằ M T S TÍNH CH T H NG B T Đ NG TH C:

a2 (cid:0) a = 0

|a| (cid:0) 0; a2= 0 (cid:0) 0; |a| = 0 (cid:0) a = 0

|a| (cid:0) a (cid:0)

|a + b| (cid:0) ab (cid:0) 0

|a|; |a| = a = |a| (cid:0) a = 0 |a| + |b|; |a+b|= |a| + |b| (cid:0) |a| |b|; |ab|= |a| |b| (cid:0) |a b| (cid:0) ab (cid:0) 0 và |a| (cid:0) |b|

ề ự ạ ấ ạ ị ở ả ố ọ ạ V n đ c c tr là lo i toán khó, đa d ng, phong phú c các môn s h c, đ i

ổ ủ ề ọ ượ ố s , hình h c. Trong khuôn kh c a đ tài xin đ ộ ố ạ c nêu m t s d ng quen

ộ ở ộ ủ ế ậ ạ ố ấ ở ấ ớ thu c ề b môn đ i s c p 2, ch y u t p trung cho 2 l p 8 và 9 b i v n đ

ị ệ ọ ỏ ư ề ự c c tr hi n mà nhi u h c sinh khá gi ầ ấ i cũng nh yêu c u r t quan tâm và

ự ự ế ề cũng là s thay th nhi u trong lĩnh v c này.

ạ ố ự ị ể ở ộ ố ạ II.2.2.2. Các bài toán đ i s c c tr có th m t s d ng sau đây và

ươ ả ph ng pháp gi i:

(cid:0) ớ Z II.2.2.2.1. A = |x+ a| + |x+b| +...+|xn + p| v i a, b, ..p

ươ ả Ph ng pháp gi i

ệ ố ự ấ ị Cách 1: D a vào tính ch t giá tr tuy t đ i

(cid:0) ị ủ ữ ế ế ể A = A n u nh ng giá tr c a bi n đ A 0

ị ủ ế ế ể ữ = A n u nh ng giá tr c a bi n đ A < 0

n + p|

ấ ả ủ ệ Xét t t c các nghi m c a |x

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ừ ề ả ị Phân ra t ng mi n (kho ng) xác đ nh

ả ấ ậ L p b ng xét d u.

ạ ượ ị ớ ấ ấ ả ị Tìm giá tr mà A đ t đ ỏ c giá tr l n nh t (nh nh t) trong kho ng

ủ ế ề ị (mi n) xác đ nh nào đó c a bi n)

(cid:0)2

ấ ẳ ứ ự Cách 2: D a vào các b t đ ng th c tam giác

xa '

xb '

(cid:0) (cid:0) (cid:0) II.2.2.2.2. A = +

ươ ả Ph ng pháp gi i:

ướ ế ứ ậ ị ướ ấ Tr ề ủ c h t xác đ nh mi n c a tam th c b c 2 d i d u căn sao cho

thích h pợ

ứ ướ ế ể ư ượ ề ạ ủ ộ N u các bi u th c d i căn đ a đ ỹ ừ c v d ng lu th a 2 c a m t

ư ề ạ ệ ặ ổ t ng (ho c hi u) thì đ a v d ng (1)

(cid:0) n)2 + q thì khi đó có

ứ ướ ế ế ể ổ N u bi n đ i bi u th c d ề ạ i căn v d ng:(mx

ể ượ ị ớ ỏ th tìm đ ấ ấ c giá tr l n nh t hay nh nh t

ệ ủ ị ớ ư ề ấ ấ ả ả ỏ ớ L u ý là giá tr l n nh t (nh nh t) ph i tho mãn v i đi u ki n c a

ầ ầ bài toán tìm đ ượ ở c ph n đ u

1xn + a2xn+ a3xn 2 +...+an

ạ II.2.2.2.3. D ng a

ươ Ph ng pháp:

ấ ể ư ề ạ ổ ồ ủ ế ổ ố Dùng phép bi n đ i đ ng nh t đ đ a v d ng t ng c a các s

ươ ặ ị ặ ộ ằ ặ ở ố d ng (ho c âm) ho c b ch n b i m t h ng s nào đó)

c c

ax xa '

bx xb '

(cid:0) (cid:0) ạ II.2.2.2.4. D ng A = (cid:0) (cid:0)

ươ Ph ng pháp:

ướ ế ể ẫ ố ả ặ ề Tr ệ c h t ph i đ t đi u ki n đ m u s khác 0

ẫ ố ề ạ ể ư ứ ể ươ Có th đ a m u s v d ng bi u th c luôn d ớ ặ ng (âm) ho c luôn l n

ộ ằ ỏ ơ ặ ố ơ h n ho c nh h n m t h ng s nào đó)

ể ự ứ ử ệ ề ạ ứ ẫ Có th th c hi n phép chia đa th c t cho đa th c m u v d ng:

eDx 2 xb '

xa '

(cid:0) A= M + (cid:0) (cid:0)

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ị ủ ể ứ ể ư ề ạ ơ ả ệ ị ể Xác đ nh giá tr x c a bi u th c phân đ nó tri t tiêu đ đ a v d ng c b n:

(cid:0) ặ A = M +Q(x) (cid:0) M ho c A M + Q(x) M

ộ ố ạ ướ ứ ạ ữ ạ ơ Ngoài ra còn có m t s d ng khác d i nh ng d ng ph c t p h n.

ự ễ ả ướ ẫ II.2.2.3. Th c ti n gi i toán và h ng d n

ấ ủ ứ ể ỏ ị II.2.2.3.1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

A = |x 3| + | x 5|

Cách 1:

(cid:0) ế Xét x 3 n u x 3

|x 3| =

ế 3 x n u x < 3

(cid:0) ế x 5 n u x 5

|x 5| =

ế 5 x n u x < 5

ể ễ ể ề ả ậ Đ d dàng xét trong các mi n ta l p b ng đ xét

+ (cid:0)

5 | 5 x 0

x |x 3| |x 5| A (cid:0) 3 x 5 x 8 2x 3 0 | 2 2 x 3 x 5 2 2x 8

ế N u x < 3 thì A = 8 2x < 2 => A < 2

(cid:0) ế N u 3 x < 5 thì A = 2

(cid:0) ế N u 5 x thì A = 2x 8 (cid:0) 2

(cid:0) ấ ủ ứ ứ ể ậ ỏ ớ ị V y giá tr nh nh t c a bi u th c A là 2 ng v i 3 x (cid:0) 5

ấ ề ệ ố ị Cách 2: Theo tính ch t v giá tr tuy t đ i:

|a+ b| (cid:0) |a|+ |b|

Nên A = | x 3 | + | x 5| = | x 3| + | 5 x| (cid:0) | x 3 + 5 x| = 2

(cid:0) => A= 2 v i 3 ớ x (cid:0) 5 hay (x 3) (5 x) (cid:0) 0

(cid:0) ị ứ ể ể II.2.2.3.2. Tìm giá tr x Z đ cho bi u th c

ỏ ớ ị ấ M = |x 2| + |x 3| + |x 4| + |x5| v i giá tr nh nh t

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ể ả ử ụ ằ ặ Đ gi i nhanh bài này ta s d ng bài trên b ng cách đ t:

|x 2| + |x 4| =M1

|x 3| + |x5| = M2

ấ ủ ế ể ả ỏ ị ồ ử ụ r i s d ng k t qu câu trên đ tìm vì giá tr nh nh t c a M cũng là

1+M2

ấ ủ ỏ ị giá tr nh nh t c a M

ấ ủ ỏ ị ố II.2.2.3.3. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y =

ứ ướ ể Rõ ràng các bi u th c d i căn luôn có nghĩa v i ớ (cid:0) x (cid:0) R

(

)

1 2

3 4

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y =

(

)

(

))

(

3 2

1 2

3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =

)

(

)

(

))

(

)

1 2

3 2

1 2

3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =

ể ễ ọ ộ Ta bi u di n các t a đ :

ể ẳ ạ ộ Theo quan đi m tính đ dài đo n th ng AB M (x; 0)

;

1 2

3 2

;

ạ ộ ẳ ặ trên m t ph ng to đ A( )

1 2

3 2

B( )

ư ậ ề ạ ể ể ằ ọ ể Nh v y ta có th chuy n bài toán v d ng hình h c b ng cách bi u

ạ ộ ừ ạ ộ ẫ ớ ụ ễ di n các to đ trên tr c to đ . T đó bài toán d n t i:

ố ị ể ể ỏ ấ Cho 2 đi m A, B c đ nh. Tìm đi m M sao cho MA + MB là nh nh t

(cid:0) ườ ẳ ớ ớ v i M đ ng th ng // v i AB.

ố ứ ấ ớ Khi đó l y A’ đ i x ng v i A qua Ox thì

(cid:0) (cid:0) Min(AM + BM) =Min(BM’ + M’A’) M’ (a’B, Ox)

ượ ấ ủ ỏ ị => Suy ra đ c giá tr nh nh t c a bài toán

1 4

3 4

1 4

3 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị khi x = 0 giá tr y =

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ỏ ị II.2.2.3.4. Tìm giá tr nh nh t c a

2 + x+ 1

ấ ủ ị ớ ặ ỏ ấ II.2.2.3.5. Tìm giá tr l n nh t ho c nh nh t c a: A = x

ể ả ượ ổ ể ư ế ả ượ Đ gi i đ c bài toán ph i dùng các phép bi n đ i đ đ a đ c v ề

d ng ạ

A = X2 + M

3 4

1 2

Có A = x2 + x + 1 = x2 + 2. x + ( )2 +

1 2

)2 (cid:0) = (x + )2 + 3/4 vì ( x + 0 nên A = (x + )2 + 3/4 (cid:0) ắ

1 2

= 0 => x = 1/2 > AMin = 3/4 khi x +

3 + y3 + xy là nh nh t khi

ể ấ ỏ ị ủ II.2.2.3.6. Tìm giá tr c a x, y đ cho M = x

x + y = 1

3 + y3 + xy

ổ Ta bi n đ i M = x

(x + y) (x2 xy + y2) +xy ế (cid:0)

Vì x + y = 1 => M = x2 xy + y2 + xy = x2+ y2

Có y = 1 x

=> M = x2 + (1 x)2 = x2 + 1 2x + x2

M = 2x2 2x + 1

ế ế ố ổ Đ n đây ta dùng phép bi n đ i gi ng bài 3.1

2x2 2x + 1 = 2(x2 x + 1/4) +1/2

M = 2 (x 1/2)2 + 1/2 (cid:0) 1/2

ấ ỏ => M nh nh t =1/2 khi x = 1/2 => y = 1/2

x x 2 2 x

x 4 x 2

7 2

(cid:0) (cid:0) ị ớ ấ II.2.2.3.7. Tìm giá tr l n nh t A = (cid:0) (cid:0)

ứ ử ự ệ ượ Th c hi n phép chia đa th c t ẫ cho m u ta đ c:

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

3 2

x x 2 2 x

x 4 x 2

7 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ươ ư ế A = = (đ c th ng là 2 d 3) đ n đây thì A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 2

ấ ị ớ ế ấ ạ ị ớ ạ đ t giá tr l n nh t khi đ t giá tr l n nh t ta bi n đ i x ổ 2 2x + 2 (cid:0) (cid:0)

ự ạ ầ ươ t ng t lo i toán ph n (3)

2 (cid:0)

(cid:0)x

3 )1

(

A = 2 +

3 1

Vì (x1)2 + 1 (cid:0) 1 nên A (cid:0) 2 + = 5

ấ ả D u “=” x y ra khi x = 1 và A = 5

ố ớ ư ệ ạ ắ ả ọ ị L u ý đ i v i lo i này h c sinh hay m c ph i là vi c tìm 2 giá tr : Đ ể

2 + 1 ph i nhả

2 (cid:0)

(cid:0)x

3 )1

(

3 )1

(

ấ ớ ấ ớ ớ A l n nh t thì l n nh t. ấ l n nh t thì (x 1) ỏ

nh tấ

ấ ủ ị ớ ứ ể ỏ ấ II.2.2.3.8. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c:

x 2

(cid:0) A= (cid:0) (cid:0)

ị ớ ệ ạ ả ấ ỏ ị ế ấ Đây là lo i toán có c giá tr l n nh t và giá tr nh nh t nên vi c bi n

ị ớ ệ ả ấ ấ ỏ ỳ ổ đ i A ph i tu theo vi c tìm giá tr l n nh t hay nh nh t.

ấ ươ ự ị ớ * Tìm giá tr l n nh t làm t ng t II.2.2.3.7

(

)1 2

( x

x ( 2 x

)1 x

x 2

(

)

1 2

3 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A= = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

)

(

)

1 2

3 4

1 2

3 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ớ nên A l n nh t khi Vì (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

AMax = 2

ấ ả ỏ ị ế ướ ạ ủ ổ * Tìm giá tr nh nh t thì ta ph i vi t A d i d ng t ng c a các s ố

ươ ệ ể ễ ả ượ d ng (vi c này là khó không ph i bài nào cũng có th làm d dàng đ c đòi

ả ả ậ ấ ộ ỏ h i ph i có kĩ năng kĩ x o và nhìn nh n m t cách th u đáo)

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

(

2 3

)1 2 x

( x

x (3

x (3 2 x

[(3

)

]

1 2

3 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A= = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 3

x = 1 (cid:0) AMin =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ị ớ ấ ỏ II.2.2.3.9. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a M =

ỏ ề ệ ộ ấ ủ ề ầ ố * Cu i cùng c a ph n này xin trình bày m t v n đ nh v vi c áp

ứ ể ứ ấ ẳ ị ớ ề ấ ỏ ụ d ng dùng b t đ ng th c đ ch ng minh v giá tr l n nh t và nh nh t.C ấ ụ

ụ ứ ể ấ ẳ th áp d ng b t đ ng th c Côsi

ế ổ ố ươ ủ ủ ấ ằ ằ ố ớ N u t ng c a 2 s d ng b ng h ng s thì tích c a chúng l n nh t khi

ố ằ 2 s b ng nhau

ọ ố G i 2 s là x và y; x + y = 5

S 2

2S 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Côsi:

S 2

S 4

(cid:0) (cid:0) ạ ấ ị ớ xy đ t giá tr l n nh t là

ủ ủ ế ằ ấ ố ố ỏ ổ N u tích c a 2 s là h ng s thì t ng c a chúng nh nh t khi hai s ố

ằ b ng nhau

ươ ự ằ ố Làm t ng t ố 2 s đó là x, y có xy = P (h ng s )

x (cid:0)

2(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Côsi hay

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ủ ỏ ị Giá tr nh nh t c a x + y = 2

ấ ả ậ ộ ế ữ ườ Trong t t c các hình ch nh t n i ti p trong đ ng tròn bán kính R

ớ ấ ệ hình nào có di n tích l n nh t

ề ọ ườ ụ * Còn nhi u bài toán hình h c khác cũng th ậ ng dùng (v n d ng) các

ứ ể ị ớ ấ ấ ả ằ ỏ ấ ẳ b t đ ng th c đ tìm giá tr l n nh t (nh nh t) song cũng ph i nói r ng các

ự ế ượ ụ ễ ể ọ bài toán trong hình h c không d dàng gì mà có th áp d ng tr c ti p đ c mà

ặ ạ ế ả ổ ựơ ố ợ ph i thông qua quá trình bi n đ i ho c t o ra đ c tình hu ng phù h p.

ƯƠ

Ứ

Ả

Ế

II.3. CH

NG 3 : PH

NG PHÁP NGHIÊN C U K T QU NGHIÊN C U

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

II.3.1. K t quế

ả

ả ạ ọ ườ Trong năm h c 2007 2008 khi gi ng d y bình th ng, không đi

ề ề ấ ẳ ỉ ớ ữ ứ ự ứ ế ị vào chuyên đ v b t đ ng th c và c c tr nên ch v i nh ng ki n th c đ ề

ể ả ượ ậ ọ ậ c p trong sách giáo khoa, sách ôn t p thì h c sinh khó có th gi i đ ề c nhi u

ể ấ ơ ơ ề ậ ậ ế ậ ụ bài t p v toán này th m chí hi u r t l m , không bi t v n d ng cái đã có,

ể ử ụ ả ậ ụ ậ ậ ị cái công nh n đ s d ng vào bài t p, trong đó ngay c v n d ng đ nh nghĩa

ấ ượ ứ ậ ạ ề ấ ẳ v b t đ ng th c cũng khó khăn. Chính vì v y mà ch t l ng làm lo i toán

ấ ấ này r t th p.

ệ ậ Thí nghi m khi cho bài t p:

(cid:0) (cid:0) ứ ế Ch ng minh:N u a > 0, b > 0 thì .

ớ ươ ậ Đây là bài toán l p 9 Ch ng căn b c 2

ố ọ ấ ượ ỉ ạ ể Đa s h c sinh không gi ả ượ i đ c do đó ch t l ng ki m tra ch đ t 20

ủ ọ ấ ằ ể ệ 25%. Qua xét nghi m qua bài ki m tra c a h c sinh thì th y r ng không gi ả i

ượ ở ơ ả ữ đ c b i nh ng sai sót c b n sau:

ể ứ ỏ ằ ộ ấ ẳ ứ ầ * Vì đ ch ng t ả ậ r ng m t b t đ ng th c nào đó đúng, ta c n ph i l p

ấ ơ ả ấ ẳ ẽ ự ứ ủ ữ ặ ậ ậ lu n ch t ch , d a trên nh ng tính ch t c b n c a b t đ ng th c. Do v y

ữ ề ầ ọ ạ nhi u h c sinh đã ph m nh ng sai l m sau:

ế ươ ứ ấ ẳ ủ ứ ề ừ II.3.2.1. Tr các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.

ẳ ạ Ch ng h n A > B

C > D

ấ ộ ớ ụ ụ ể ầ => A C > B D là m t sai l m l n. Ta l y ví d c th :

5 > 3; 7 > 1 => 5 7 > 3 1 => 2 > 2 (Vô lý)

ươ ế ủ ứ ộ II.3.2.2. Bình ph ấ ẳ ng 2 v c a m t b t đ ng th c mà không đ ượ c

ế ủ ấ ẳ ứ ệ ể ươ ki m nghi m; xem xét hai v c a b t đ ng th c có d ng hay không? (trong

2 > b2) đ a ra 1 ph n ả

ề ỹ ừ ậ ạ ấ ư khi d y v lu th a b c 2 có tính ch t a> b (a , b > 0 => a

ví d :ụ

2< (7)2

5 > 7 nh ng 5ư

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ử ụ ế ổ ươ ươ II.3.2.3. S d ng các phép bi n đ i không t ng đ ng khác

ươ ấ ẳ ứ ứ ấ ạ Vì ph ủ ế ự ng pháp ch ng minh b t đ ng th c là r t đa d ng, ch y u d a

ứ ầ ấ ẳ ủ ừ ụ ể ặ ề vào đ c thù riêng c a t ng b t đ ng th c c n chú ý có th áp d ng nhi u

ứ ể ề ố ợ ề cách khác nhau đ ch ng minh; song cũng có nhi u bài ph i h p nhi u

ươ ộ ợ ượ ớ ệ ậ ph ng pháp m t cách h p lí mà đã đ c gi ầ i thi u ph n lí lu n.

ủ ữ ự ễ ắ ạ ọ Sau nh ng đúc rút th c ti n c a h c sinh, tôi đã g n bài d y và luôn

ứ ơ ả ề ấ ẳ ữ ứ ế ố ọ ị ủ c ng c trang b cho h c sinh nh ng ki n th c c b n v b t đ ng th c và

ớ ộ ố ệ ươ ứ ươ gi i thi u m t s ph ng pháp ch ng minh và ph ng pháp suy nghĩ, s ử

ươ ể ầ ầ ấ ợ ụ d ng ph ng pháp nào cho h p lí. D n d n các em hi u kĩ v n đ , t ề ừ ế t bi

ụ ế ế ổ ươ ụ ố ậ v n d ng đ n có kĩ năng bi n đ i, có ph ng pháp áp d ng t ậ t. Vì v y trong

ữ ư ế ả ọ ấ năm h c 2007 2008 k t qu cho th y nh ng bài toán đ a ra các em làm đ ượ c

ố ố ạ ề ọ ươ t ng đ i t t đ t 65% 70% và ngày càng gây ni m tin cho h c sinh. Cũng t ừ

ả ượ ả ị ở ề ự ơ ở c s đó mà các em gi c c các bài toán v c c tr . B i các bài toán v i đ ề

ủ ế ừ ơ ở ệ ấ ẳ ứ ứ ị ụ ự c c tr áp d ng ch y u t c s vi c ch ng minh b t đ ng th c.

II.3.2. Ph

ươ ng pháp

ứ ậ ệ ả ọ ậ II.3.2.1. Nghiên c u l p lu n qua đ c tài li u tham kh o

ự ế ả ế ệ ằ ặ ổ ệ II.3.2.2. T ng k t kinh nghi m b ng th c t ạ gi ng d y (đ c bi ồ t là b i

ưỡ ọ ỏ ủ ả ệ ồ d ng h c sinh gi i) c a b n thân và đ ng nghi p

ồ ưỡ ớ ụ II.3.2.3. Tham gia các l p b i d ạ ở ng giáo viên do S Giáo d c Đào t o

ổ ứ t ch c

Ầ

Ậ

Ầ

Ề

Ị Ế PH N III: PH N K T LU N Đ NGH

ườ ế ả ổ ộ Là m t ng ự i giáo viên đã tr c ti p gi ng d y ạ ở ườ tr ấ ng ph thông c p

ộ ố ấ ị ệ ộ ờ ấ ậ 2 trong m t th i gian nh t đ nh. Do v y cũng có m t s kinh nghi m nh t

ả ở ấ ư ộ ố ả ơ ả ườ ị đ nh. Gi i bài toán c p 2 không ph i đ n gi n nh m t s ng i ngoài và

ứ ơ ả ỉ ả ữ ế ế ả ạ ậ ả trong gi ng d y nh n xét. N u ch đ m b o nh ng ki n th c c b n scsh

ư ủ ệ ầ ề ả ớ ỏ ườ giáo khoa m i là đi u ki n c n, songch a đ mà ph i đòi h i ng i giáo viên

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ề ụ ể ứ ừ ể ấ ả ậ ầ c n ph i đi sâu vào t ng v n đ c th nghiên c u nghiêm túc và hi u th t

ả ứ ư ể ắ ế ọ ủ sâu s c nh PoLia có nói “Ph i h ng thú và hi u bi t môn h c c a mình”. Có

ọ ậ ư ậ ủ ể ế ả ớ ỡ ọ nh v y m i có th “giúp đ ” h c sinh c a mình h c t p có k t qu cao.

ạ ườ ỉ ắ ứ ế ề ầ ọ Trong d y h c ngoài ng ữ i th y không ch n m v ng ki n th c, mà đi u vô

ọ ớ ấ ượ ọ ủ ươ ạ cùng quan tr ng t i ch t l ọ ng h c c a h c sinh là ph ạ ng pháp d y d y

ư ế ễ ể ụ ể ả ấ ậ ể nh th nào đ các em d hi u, hi u kĩ, đúng b n ch t và v n d ng t ố ồ t r i

ạ ả ộ ậ ộ ượ sáng t o, tìm ra cách gi i toán m t cách đ c l p. Có đ ư ậ c nh v y ng ườ i

ư ể ễ ầ ậ ấ ộ ệ th y còn là m t nhà bi u di n “ngh thu t” tài tình nh ng r t khó khăn.

ự ế ả ả ộ ộ ạ Là m t giáo viên tr c ti p gi ng d y các em, b n thân luôn luôn có m t

ể ạ ọ ượ ế ư ế suy nghĩ là “D y nh th nào đ các em h c đ c nhanh và có k t qu t ả ố t

ộ ố ề ế ấ ạ ớ ổ ươ nh t. Trong đ tài v i khuôn kh còn h n ch , và m t s ph ng pháp khác

ư ề ậ ươ ỏ ở ọ ổ ế ch a đ c p h t. Trong đó có ph ư ng pháp ch a đòi h i h c sinh ph thông

ư ữ ớ ươ ự ướ ủ ẫ ấ c p 2 nh ng v i nh ng ph ng pháp trên và s h ầ ng d n chu đáo c a th y

ể ự ọ ề ậ ừ ữ thì h c sinh đã có th t mình gi ả ượ i đ ạ c nhi u lo i bài t p, t nh ng bài toán

ế ả ữ ứ ạ ứ ượ ữ ế ả ớ ơ đ n gi n, đ n c nh ng bài toán ph c t p; v i nh ng ki n th c đ c trang b ị

ẽ ọ ượ ạ ơ ở ủ ả trên các em h c sinh s phát huy đ c kh năng c a mình, t o c s cho mình

ụ ế ồ ờ ổ có cách nhìn, phán đoán đúng, đ ng th i có kĩ năng bi n đ i, áp d ng đ ượ c

ứ ữ ề ế công th c và nh ng đi u đã bi t. Thông qua gi ả ượ i đ ề ấ c các bài toán v b t

ứ ả ị ộ ự ẳ đ ng th c mà giúp các em gi i các bài toán c c tr m t cách không khó khăn.

ạ ủ ườ ế ầ ạ ỉ ả Cái khó trong gi ng d y c a ng i th y d y là làm th nào mình ch đóng vai

ả ự ủ ộ ỡ ọ ấ ự trò c a m t “bà đ ” còn h c sinh ph i t mình tìm th y s say mê trong khi

ứ ế ế ậ ọ h c t p, ti p thu ki n th c.

ứ ề ể ệ ặ ờ M c dù đã giành nhi u th i gian, công s c, tìm hi u, rút kinh nghi m và

ể ề ề ả ạ ố ắ c g ng đ cho b n đ tài song do nhi u lí do, trong đó lí do còn h n ch v ế ề

ứ ư ế ươ ề ể ả ắ ki n th c cũng nh ph ỏ ng pháp nên b n đ tài ch c không th tránh kh i

ế ượ ự ổ thi u xót.Tôi mong đ c s đóng góp, b sung.

ả ơ Tôi xin chân thành c m n!

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

ạ M o Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2008

ƯỜ

Ế

I VI T

ị Bùi Th Nga

Ụ

Ả

Ầ

Ệ

PH N IV: TÀI LI U THAM KH O PH C L C

Ả

Ệ

TÀI LI U THAM KH O

ạ ố ớ Sách giáo khoa Đ i s L p 8,9 NXB GD

ậ ộ Sách ôn t p Toán, NXB Hà N i

ạ ố ễ ả ọ Đ i s Hoàng Chúng: Đinh Quang H o, Nguy n Ng c Huân, Phan

ễ Hoàng Quý, Nguy n Văn Vinh

ươ ọ ọ ả ơ ấ ứ ộ ố M t s ph ng pháp ch n l c, gi i toán s c p Phan Đ c Chính,

ễ ậ Nguy n Văn M u

ả Gi ư ế i bài toán nh th nào Polia

ạ ố ố ọ ọ ọ ỗ ứ ữ Nh ng bài toán ch n l c Đ i s , s h c Đ Đ c Thái

ạ ọ Sáng t o toán h c Hoàng Chúng

ọ ọ ấ ả Toán ch n l c c p 2 Lê H i Châu

Ở Ầ

Ầ

I. PH N M Đ U.........................................................................................................1

Ụ Ụ PH L C

I.1 Lý do ọ ch n ề đ

tài.................................................................................1

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II

ả

ấ ẳ

ứ

ự ọ Phát huy trí l c h c sinh trong gi

ự ị i Toán b t đ ng th c và c c tr

I.2 ụ M c đích nghiên

ứ c u ..........................................................................2

I.3 ờ Th i gian ị đ a

ể đi m..............................................................................2

ề ề ậ ặ ặ ớ ự I.4 Đóng góp m i v m t lí lu n, v m t th c

Ộ

Ầ

II. PH N N I DUNG....................................................................................................

ễ ti n...................................2

ươ II.1 Ch ng 1: ổ T ng

quan........................................................................3

ươ ấ ề II.2 Ch ng 2: ộ N i dung v n đ nghiên

ứ c u............................................4

ươ ươ ế ả I.3 Ch ng 3: Ph ứ ng pháp nghiên c u, k t qu nghiên

Ầ

Ậ

Ế

Ị

III. PH N K T LU N KI N NGH ...........................................................................

ứ c u...................8

Ả

Ệ

IV. TÀI LI U THAM KH O........................................................................................

ườ

ạ

ị Bùi Th Nga– Tr

ng THCS M o Khê II