Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT

Chia sẻ: Mucnang999 Mucnang999 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Vật lý. Góp phần hình thành lòng say mê, hứng thú học tập môn Vật lý, từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT

MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu .................................................................................................................................. 1 2. Tên sáng kiến: ................................................................................................................................ 2 PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN ........................................................................................... 2 I .Cơ sở lý luận của vấn đề .............................................................................................................. 3 1. Chất liệu từ toán học. ....................................................................................................................... 3 2. Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý th ường gặp. ........................................ 4 2.1. Trong cơ học. ............................................................................................................................... 4 Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác. ........................ 4 Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật. ....................................................... 5 Dạng 3: Tìm thời gian ngắn nhất, vận tốc nhỏ nhất của chuyển động. .................................. 5 Dạng 4: Tìm thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu. ....................................................................... 5 2.2. Trong điện học. ............................................................................................................................ 5 II. Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm. .................................................................... 18 PHẦN II KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................... 21 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BGH Ban Giám hiệu CM Chuyên môn THPT Trung học phổ thông THPTQG Trung học phổ thông quốc gia
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Đổi mới giáo dục toàn diện không còn là vấn đề lý luận mà trở thành thực tiễn cấp bách đặt ra cho sự nghiệp giáo dục hiện nay. Vì thế, mỗi giáo viên cần phải nhận thức sâu sắc để có sự điều chỉnh, thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp với xu thế giáo dục chung, góp phần cải thiện và nâng cao chất lượng dạy học. Làm sao cho sản phẩm của giáo dục là những con người năng động, sáng tạo, thích nghi tốt với môi trường và đáp ứng được nhu cầu thực tiễn. Thiết nghĩ, trong quá trình giảng dạy Vật lý, thông qua việc giải bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý, phần nào có thể giúp giáo viên phát huy được tính chủ động, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, tìm hiểu và lĩnh hội các tri thức về khoa học Vật Lý. Một trong những mục tiêu quan trọng đối với quá trình đổi mới phương pháp dạy học Vật Lý hiện nay ở bậc trung học. Mọi người đều biết, cuộc sống là cả một chuỗi những quá trình vận động và phát triển, tiến hoá và đào thải. Hoà nhập vào cuộc sống, con người luôn luôn mong muốn những sự việc, hiện tượng xảy ra xung quanh họ đạt đến sự tối ưu vì thế, con người mới chính là yếu tố hết sức quan trọng trong việc loại trừ những trở ngại, kìm hãm sự phát triễn theo quy luật tự nhiên. Nhận thức đúng đắn về khoa học nói chung và khoa học Vật Lý nói riêng, thiểt nghĩ vẫn không nằm ngoài quy luật trên. Một trong những biểu hiện thực tế, đáng kể của khoa học Vật Lý, là khảo sát các biến cố để tìm sự tối ưu: xem xét một đại lượng nào đó trong hiện tượng sao cho nó đạt đến trạng thái cực trị. Tuy nhiên, tìm cực trị của một đại lượng, là bài toán phức tạp. Thực tế, người học đang gặp không ít khó khăn khi tiếp cận loại toán này. Việc giải quyết vấn đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng vật lý đang tuỳ thuộc vào khả năng vận dụng toán học của giáo viên và học sinh. Chính vì vậy, muốn học sinh đạt được hiệu quả cao trong học tập, giáo viên cần có những định hướng cụ thể về cách giải, để khi tiếp cận, trên cơ sở những định hướng của giáo viên cộng với khả năng sáng tạo của bản thân, học sinh hình dung và vạch ra được phương án phù hợp cho việc giải quyết bài toán cụ thể. Xuất phát từ ý tưởng trên, cộng thêm những khó khăn hiện tại và nhu cầu tìm hiểu bài toán cực trị trong Vật lý của người học, bằng những kinh nghiệm đúc rút trong quá trình trực tiếp giảng dạy Vật Lý ở Trường THPT Phạm Công Bình và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhiều năm gần đây, tôi xin mạnh dạn sắp xếp, tổng hợp và đưa ra một vài cách giải quyết bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý, lấy chất liệu từ các ứng dụng của toán học thường dùng, thiết nghĩ 1
là tương đối phù hợp với nhận thức của học sinh bậc THPT yêu thích và muốn tìm hiểu sâu về khoa học Vật Lý. Dưới đây tôi xin trình bày kinh nghiệm của mình trong đề tài: ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trongmônVật lý THPT. Với hy vọng đây sẽ là một tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp cũng như học sinh, góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Vật lý tại trường THPT Phạm Công Bình Khắc phục những khó khăn hiện tại, tìm ra phương án thích hợp giải quyết vấn đề bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý. Nhằm góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Vật lý. Góp phần hình thành lòng say mê, hứng thú học tập môn Vật lý, từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồng nghiệp. 2. Tên sáng kiến: Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT. 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Nguyễn Hồng Chi Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Phạm Công Bình Số điện thoại: 0973 203 262 Email: chilypcb@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Vật lý lớp 10,11,12 Vấn đề sáng kiến giải quyết: Dạy học ôn tập kiến thức và giải bài tập về: Ứng dụng toán học vào giải bài tập tìm cực trị trong môn Vật lý THPT 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Sáng kiến được áp dụng lần đầu từ tháng 9 năm 2014, đến tháng 02 năm 2020 sau khi được chỉnh sửa bổ sung được áp dụng giai đoạn 2. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: PHẦN I : NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN Về nội dung của sáng kiến: Giới thiệu đầy đủ các dạng bài tập tìm cực trị trong Vật lý từ cơ bản đến nâng cao, tất cả bài tập dều có đáp số, những bài khó thì tác giả có soạn hướng dẫn giải. 2
Trước khi giới thiệu mỗi dạng bài tác giả đều tóm tắt những nội dung lý thuyết quan trọng liên quan có mở rộng và nâng cao. Các bài tập được tác giả lựa chọn trong các tài liệu tham khảo và một số bài do tác giả tự xây dựng theo mục tiêu sát với yêu cầu của các kỳ thi ôn thi học sinh giỏi và thi THPTQG Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến này rất thuận lợi cho cả giáo viên giảng dạy và học sinh học tự học do đã soạn tóm tắt những nội dung lý thuyết quan trọng có mở rộng, nâng cao trước mỗi dạng bài tập, hơn nữa các ví dụ đa dạng nhưng có chọn lọc và cô đọng tránh quá tải cho học sinh. I .Cơ sở lý luận của vấn đề. 1. Chất liệu từ toán học. 1.1. Tam thức bậc hai: y = ax 2 + bx + c ( a 0 ) b với ∀x R thì y có cực trị tại giá trị x = − . 2a b + Nếu a < 0 thì tam thức có cực đại tại giá trị x = − 2a ∆ ∆' khi đó y max = − hoặc ymax = − . 4a a b + Nếu a > 0 thì tam thức có cực tiểu tại giá trị x = − 2a ∆ ∆' khi đó ymin = − hoặc ymin = − . 4a a Trong đó: ∆ = ( −b ) − 4ac và ∆ = ( −b' ) − ac với b = 2b' 2 2 1.2. Bất đẳng thức Cauchy ( không mở rộng ). + Điều kiện: cho a, b 0 a b + Nội dung: ab . Dấu “ = ” xảy ra khi a = b 2 1.3. Bất đẳng thức Bunhiacovxki ( không mở rộng ). + Điều kiện: cho a, b, x, y R. a x + Nội dung: ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) . Dấu “ = ” xảy ra khi b y . + Hệ quả: Nếu a = b = 1 thì ( x + y ) = 2 ( x 2 + y 2 ) . 2 1.4. Bất đẳng thức Bernuolli. + Điều kiện: Cho a > −1 và n ∈ N*. + Nội dung: ( 1 + a ) 1 + na dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1 . 2 1.5. Phương pháp hình học. 1.5.1. Giản đồ véc tơ. 3
+ Cơ sở: Sự tương đồng giữa giao động điều hoà và chuyển động tròn đều “ Một dao động điều hoà có thể xem là hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo ”. + Nội dung: * Để mô tả dao động điều hoà x = Acos( ωt + ϕ ) bằng một véc tơ quay ta làm như sau. Dựng trục Ox nằm ngang. Dựng véc tơ OM có: M * Gốc tại gốc toạ độ O của trục Ox. + * Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A. ϕ * Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu x O x ( chọn chiều dương là chiều của đường tròn lượng giác). Tại t = 0 cho véc tơ OM quay đều quanh O với tốc độ góc ω thì hình chiếu của điểm M lên trục Ox biểu diễn dao động điều hoà x = Acos( ωt + ϕ ). Hệ quả: Để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số ta lần lượt biểu diễn mỗi dao động bằng một véc tơ quay trên cùng một giãn đồ véc tơ, sau đó áp dụng quy tắc hình bình hành để tìm véc tơ tổng. Khi đó véc tơ tổng biểu diễn dao động tổng hợp. 1.5.2. Định lý hàm sin. + Điều kiện: Cho ∆ABC với AB = c; BC = a; AC = b a b c + Nội dung: sin A sin B sin C Trong đó: 0 < sin A;sin B;sin C 1 2. Các dạng cơ bản về bài toán tìm cực trị trong vật lý thường gặp. 2.1. Trong cơ học. Dạng 1: Tìm khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất giữa vật này đối với vật khác. Ví dụ: Bài toán 2.1.1: Hai vật A và B chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc α = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v 1 v và v2 = 1 Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn 3 d1 =30 3 cm. Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu? Bài toán 2.1.2 Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng tới giao điểm O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v1 =15m/s và v2 =10m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo một đoạn S1 = 250m. Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S2 bằng bao nhiêu? 4
Dạng 2: Tìm độ lớn lực cực đại, cực tiểu tác dụng vào vật. Ví dụ: Bài toán 2.1.3: Một vật có khối lượng m được kéo lên trên một mặt phẳng nghiêng góc α, với vận tốc không đổi bởi một sợi dây nối. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ. Hảy xác định góc β hợp bởi sợi dây và mặt phẳng nghiêng để lực căng dây là nhỏ nhất. Tính giá trị lực căng dây lúc đó. áp dụng: m = 50kg; g = 10m.s2; µ = 0,5; α = 300. m F Bài toán 2.1.4: Cho hệ như hình vẽ (Hình 1). m = M α 0,5kg, M = 1kg. Hệ số ma sát giữa m và M là µ1 = 0,1 , giữa M và sàn là µ2 = 0,2. Khi α thay đổi ( 0 0 đặt tại hai điểm A và B trong không khí (ε = 1). Hãy xác địnhcường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB cách AB một đoạn là MH = x . Tìm x để EM đạt cực đại. Biết AB= d Ví dụ: UAB R0 Bài toán 2.2.2 R1 C D R2 Rx 5
Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 2) . Biết UAB= 24V không đổi. Các điện trở có giá trị R0 = 2Ω, R1 =3Ω, R2 = 2Ω, Rx là biến trở con chạy. Di chuyễn con chạy của biến trở. Tìm giá trị của biến trở để công suất toả nhiệt của đoạn mạch CD Hình 2 đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 3). 1 2 L= H ; C = .10 4 F ; r = 50Ω. M L, r π R N C A B R là biến trở. Đặt vào hai đầu A, B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng Hình 3 không đổi 220V 50Hz. a. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. b. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. * Lưu ý rằng: cách phân loại trên đây chỉ mang tính tương đối, chưa thể nói là đầy đủ, bao quát toàn bộ các dạng đối với loại bài toán đã nêu. 1. Dùng tam thức bậc hai. Bài toán 2.1.1. Hai vật A và B chuyễn động thẳng đều trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc α = 300 về phía giao điểm O, với các vận tốc tương ứng v 1 v1 và v2 = Khi khoảng cách giữa hai vật là nhỏ nhất thì vật A cách O một đoạn 3 d1 =30 3 (cm). Hỏi lúc đó vật B cách O một đoạn bao nhiêu? Tìm hiểu: + Chọn hệ toạ độ như hình vẽ. + Phương trình chuyển động của vật A: x = x0 − v1t ( m ) (1) x A + Phương trình chuyển động của vật B: : y = y0 − v2t ( m ) v1 + Khoảng cách hai vật ở thời điểm t. 2 2 2 Ta có: AB OB OA AB OB OA 2OA .OB cos α O Hay d = y + x − 2 xy cos α (2). 2 2 2 Thay x, y từ (1) vào (2) ta có: v12 2 y0 v2 d 2 t v1 ( x0 )t x 2 y 2 3 x0 y 0 . B y 0 0 3 3 áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra: Hình 4 6
3 x0 3 y0 Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = . 2v1 Thay vào (1) với xmA = 30 3 (m), khi đó vật B cách O một đoạn 90 (m). Bài toán 2.1.2 Hai ôtô chuyễn động trên hai đường thẳng vuông góc cùng hướng tới giao điểm O, với các vận tốc không đổi lần lượt là v1 =15m/s và v2 =10m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai ôtô nhỏ nhất thì ôtô thứ nhất cách giao điểm của hai quỹ đạo một đoạn S1 = 250m. Hỏi lúc đó ôtô thứ hai cách giao điểm trên một đoạn S2 bằng bao nhiêu? Tìm hiểu: y + Chọn hệ toạ độ như hình vẽ. + Phương trình chuyển động của ôtô thứ nhất: A x = x0 – v1t (m). (1) + Phương trình chuyển động của ôtô thứ hai: v2 y = y0 – v2t (m). + Khoảng cách hai vật ở thời điểm t. v1 B O x Ta có: AB OB OA AB 2 OB 2 OA 2 Hay d2 = y2 + x2 (2). Thay x, y từ (1) vào (2) ta có: 2 d2 = 325t2 – (30x0 + 20y0)t + x0 y02 . Hình 5 áp dụng tính chất của tam thức bậc hai có a > 0 suy ra: 3 x0 2 y0 Khoảng cách d đạt cực tiểu khi: t = tm = . 65 Thay vào (1) với xmA = 250(m), khi đó vật B cách O một đoạn 375 (m). Bài toán 2.1.6. Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A. Người đó phải tới được điểm B trên mặt hồ trong thời gian ngắn nhất. Cho biết khoảng cách từ B tới bờ hồ là BC = d; AC = s, vận tốc người bơi trong nước là v1 và vận tốc đi trên bờ là v2 (v2> v1). Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A đến B. Tìm hiểu: Nhận xét. + Theo bài ra, nếu bơi thẳng từ A đến B ( Hình vẽ ), thì thời gian bơi đoạn AB không phải luôn là ngắn nhất, vì v1
s−x d 2 + x 2 ( s − x)v1 + v2 d 2 + x 2 t = + = . v2 v1 v1.v2 Đặt: y = − xv1 + v2 d 2 + x 2 = v2 d 2 + x 2 − v1x (1). Khi đó, để tmin thì ymin. Từ (1) suy ra: y 2 + 2v1 xy + v12 x 2 = v22 ( d 2 + x 2 ) Hình 6 2v1 y v22 d 2 − y 2 Hay x 2 − . x + = 0 (2). v22 − v12 v22 − v12 Phương trình (2) v12 y 2 v 22 d 2 y 2 v12 1 v 22 d 2 có ∆’ = 2 2 2 y2( ) . (v 2 v1 ) v 22 v12 (v 22 v12 ) 2 v 22 v12 v 22 v12 v 22 v 22 d 2 2 Để bài toán có nghĩa thì ∆’≥ 0 suy ra: y ( 2 2 2 ) 2 2 y2 d 2 (v 22 v12 ) (v 2 v1 ) v 2 v1 dv1 hay ymin = d v 22 v12 Khi đó x = . v22 − v12 dv1 + Nếu s > x thì nên chạy một đoạn s − rồi mới bơi tới B. v22 − v12 + Nếu s = x thì nên bơi từ A đến B. uur Bài toán 2.1.7. Vật m1 chuyển động với vận tốc V1 tại A và đồng thời va uur chạm với vật m2 đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m1 có vận tốc V1 ' ; hãy xác V1' uur uur định tỷ số của m1 để góc lệch a giữa V1 và V1 ' lớn nhất. (aMax). Biết m1 > m2. V1 (Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3) uur + Động lượng hệ trước va chạm: P1 ' uur uur uur PT = P1 = m1 V1 . + Động lượng hệ sau va chạm: a uur ur uur ' 'uu r uu r uu r uu r P S = P1 Ps = P1 + P2 = m1 V1 + m2 V2 . ' ' uur uur uur + Hệ kín nên Động lượng hệ bảo toàn: PS = PT = P1 uur uur uur uur uur P2 ' + Gọi a = (V1 V1' ) = (P1 PS) Ta có: P2' 2 = P1'2 + P12 − 2PP 1 1 cosα ' 2 (1) Hình 7 8
Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn: m1v12 m1v1' 2 m2V2' 2 = + 2 2 2 2 '2 '2 P P P m '2 1 = 1 + 2 � P1 − P1 = 1 P2 (2) 2 '2 2m1 2m1 2m2 m2 � m2 �P1 � m2 �P1' 1− + Từ (1) và (2) � � ' +�1+ � = 2cosα. � m1 �P1 � m1 �P1 � m2 �V1 � m2 �V1' V1' �� 1− �' �+ 1 + � = 2cosα. Đặt x = > 0. � m V 1 �1 � m V 1 �1 V1 � m2 � � m2 �1 �� 1+ � x+ �1− � = 2cosα � m 1 � � m 1 �x Để aMax thì (cosa)min . Theo BĐT cosi: (cosa)min khi: � m2 � � m2 �1 m1 − m2 �1+ � x= � 1− � �x = � m1 � � m1 �x m1 + m2 V1' m1 − m2 uur uur Vậy khi = thì góc lệch giữa V1 và V1' cực đại. V1 m1 + m2 m12 − m22 Với cosaMax = . m1 Bài toán 2.1.8. Dùng hạt α có động năng 5,00 MeV bắn vào hạt nhân 147 N đứng yên gây ra phản ứng 24 He + 147 N X + 11H . Phản ứng này thu năng lượng 1,21 MeV và không kèm theo bức xạ gamma. Lấy khối lượng các hạt nhân tính theo đơn vị u bằng số khối của chúng. Khi hạt nhân X bay ra theo hướng lệch với hướng chuyển động của hạt α một góc lớn nhất thì động năng của hạt X có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 0,62 MeV B. 0,92 MeV C. 0,82 MeV D. 0,62 MeV (Nguồn câu 30 mã đề 209 đề thi THPTQG 2018) Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có K X + K H − Kα = ∆E � K X + K H = −1, 21 + 5 = 3, 79 MeV � K X = 3, 79 − K X Ta có pH2 = p X2 + pα2 − 2 p X pα � 2 K H = 2.17.K x + 2.4.5 − 2 2.17.K x .2.4.5.cosα � 3,39 − K x = 17 K x + 20 − 4 85.K x .cos α 9
18 K x + 16, 21 � 4 85.cos α = KX 18 K x + 16, 21 16, 21 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: � = 18 K x + �2 18.16, 21 KX Kx 16, 21 Dấu “=” xảy ra khi: 18 K x = K � K x = 0,9MeV x Vậy động năng của hạt X có giá trị gần 0,92 MeV 2. Dùng bất đẳng thức Cauchy. Bài toán 2.2.1: Có hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A và B trong không khí (ε = 1). Hãy xác địnhcường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB cách AB một đoạn là MH =x. Tìm x để EM đạt cực đại. Biết AB= d (Nguồn tham khảo SKKN Nguyễn Thọ Hoài_THPT Yên Thành 3ur) EM Hướng dẫn giải: ur ur ur E 2M E 1M * Ta có véc tơ E M : ur ur ur M + E M = E1M + E 2 M q Với E1M = E2M = k 2 2 x d +x q1 d d ur + Dùng quy tắc tổng hợp véc tơ E M AB A H hướng ra xa AB. Hình 8 2kq x x + EM = 2E1M cosα = 2 2 . = 2kq. = (1) d + x d2 + x 2 (d + x ) 2 2 2 3 * Tìm vị trí của M: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2 d2 + x2 = d + d + x 2 �� d4x 2 3 3 2 (2) ( ) 3 3 3 d2 + x 2 2 � .d .x 2 2 4 2 4kq 4kq d + Từ (1) và (2) EM 2 . Vậy EM(Max) = 2 khi x = . 3 3d 3 3d 2 Bài toán 2.2.2 Cho mạch điện như hình vẽ . Biết UAB = 24V không đổi. Các điện trở có giá trị R0 = 2Ω, R1 =3Ω, R2 = 2Ω, Rx là biến trở con chạy. Di chuyễn con chạy của biến trở. Tìm giá trị của biến trở để công suất toả nhiệt của đoạn mạch CD đạt giá trị cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. UAB R0 Tìm hiểu: R1 + Đoạn mạch CD gồm điện trở R1 // ( R2 nt Rx ). C D R2 Rx 10
+ Điện trở tương đương của của đoạn mạch CD: 6 3R x RCD = (1). 5 Rx + Công suất toả nhiệt trên đoạn mạch CD: PCD = I2RCD. Hình 2 � � � 2 � � U AB � (2). � PCD = R0 2 � � �( RCD + R ) � � CD � � R0 2 � ( � R Từ (2) ta thấy, để (PCD)max thì � CD + ) � . R � � CD � min Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: R0 ( RCD )2 = 4R0 khi RCD = R0 . RCD min 2 U AB Vậy RCD = 2Ω. Thay vào (1) va (2) suy ra Rx = 4Ω và PCDmax = 72W . 4 RCD Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình vẽ. L= 1 2 H ; C = .10−4 F ; r = 50Ω R M L, r N C π π A B R là biến trở. Đặt vào hai đầu A, B một Hình 3 hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi 220V50Hz. a. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch là cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. b. Tìm giá trị của R để công suất tiêu thụ trên biến trở là cực đại. Tìm giá trị cực đại đó. Tìm hiểu: + Tổng trở của toàn mạch: Z = ( R + r ) 2 + ( Z L − ZC ) 2 . 2 U AB P = UIcosϕ = + Công suất tiêu thụ trên toàn mạch: ( Z − Z C ) 2 (1). R+r+ L R+r + Công suất tiêu thụ trên biến trở R: 2 2 2 U AB U AB PR I R R Z2 r2 (Z L Z C ) 2 (2). R 2r R 11
a. Theo (1) để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại thì: (Z L Z C ) 2 R r . R r min Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: (Z L Z C ) 2 R r = 2 ( Z L Z C ) 2 khi R+r = Z L Z C . R r min 2 U AB Từ đó suy ra: R = 50Ω và Pmax = = 242 W. 2( R r ) 2 U Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax khi R = Z L Z C . Và Pmax = AB . 2R b. Theo (2), để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại thì: r2 (Z L Z C ) 2 R . R min Vân dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: r2 (Z L Z C ) 2 R = 2 r 2 ( Z L Z C ) 2 khi R = r 2 ( Z L Z C ) 2 R min 2 U và Pmax = . Từ đó suy ra R = 50 5 và Pmax = 17,32 W. AB 2( R r ) 2 U AB Chú ý: Nếu r = 0 thì Pmax = = P. Công suất tiêu thụ trên biến trở cũng 2( R r ) chính là công suất tiêu thụ trên toàn mạch, khi đó R = Z L Z C . Bài toán 2.2.4. Có n điện trở khác nhau: R1; R2; R3;……..;Rn. Nếu mắc chúng song song mỗi nhánh một điện trở thì điện trở tương đương toàn mạch là R td. Nếu mắc chúng nối tiếp nhau thì điện trở tương đương toàn mạch là R’ td. Chứng minh Rtd' rằng: n 2 . Trường hợp nào dấu “ = ” xảy ra. ξ, r Rtd Tìm hiểu: M A V B 1 1 1 1 + Khi mắc song song ta có: R .... . R1 C td R1 R2 Rn RMN + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: 1 1 1 1 1 1 N A .... n.n .... (1). R1 R2 Rn R1 R2 Rn + Khi mắc nối tiếp ta có: R’td = R1 + R2 +…..+Rn. Hình 9 + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: R1 + R2 +…..+Rn n.n R1 R2 .... Rn (2). 12
Rtd' Lấy (1) nhân với (2) vế theo vế ta được n 2 (đpcm). Rtd ,r Dấu bằng xảy ra khi có n điện trở giống nhau. Bài toán 2.2.4. Mạch điện (như Hình 10). = A V B 9V; r = 1 Ω . Biến trở R có điện trở toàn phần R MN = RCM 10 Ω . Điện trở ampe kế không đáng kể, điện trở R1 vôn kế vô cùng lớn. Phải để C ở vị trí nào thì công C N RCN suất tiêu thụ trong toàn biến trở là lớn nhất? Giá trị lớn nhất ấy là bao nhiêu? Hình 10 Tìm hiểu: + Con chạy C chia biến trở RMN thành hai phần RCM và RCN ta có: RCM + RCN = 10 Ω (1). + Mạch điện được vẽ lại nh hình bên (Hình 10). => Điện trở tương đương của toàn biến trở: RCM RCN R = (2). RCM RCN + Điện trở tương đương của toàn mạch: Rtd = R1 +R. + Cường độ dòng điện chạy qua mạch: I= R r R1 R r td 2 + Công suất tiêu thụ trên toàn biến trở: PMN = I2R = ( R R1 r )2 (3). R R1 r Từ (3), để công suất tiêu thụ trên toàn biến trở đạt cực đại thì: ( R ) 2min . R Vận dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có: R1 r 2 ( R ) 2min = 4R khi R = R1 + r và Pmax = (4). R 4R Từ (1), (2), (4) suy ra: Vị trí con chạy C thoả mãn RCM = 7,24 Ω và RCN = 7,26 Ω . 4. Dùng bất đẳng thức Bernoulli. Bài toán 2.1.5: Xác định lực hút mạnh nhất của Trái Đất đối với tàu vũ trụ đang ở độ cao h? áp dụng bằng số: m = 2 tấn, h = 320 km, lấy g 0 = 10m.s2, R = 6400 km. Tìm hiểu: 13
mM + Khi ở trên Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fd = G = mg0 (1). R2 mM + Khi ở độ cao h so với Mặt Đất tàu chịu lực hút có độ lớn: Fh = G ( R h) 2 (2). mg 0 2 + Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế, đồng thời thay Fd = mg0 suy ra: Fh = h 1 R . 2 h Ta có: (Fh)max nếu 1 . Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli: R min m 2 2 h h h h 1 1 2 1 1 2 . Do đó: h R R R min R mg 0 103.10 10 R Fh max = = = .104 = 9,09(kN ). h 320 11 1+ 2 1+ 2 R 6400 Bài toán 2.1.8. Đồng hồ quả lắc làm bằng con lắc đơn chạy đúng với chu kỳ dao động T 0 = 2s ở nhiệt độ t0 = 250C. Biết hệ số nở dài của dây treo con lắc là α = 5. 10 5 K1 . Khi nhiệt độ là t = 150C. Hãy tính thời gian chạy sai tối thiểu của đồng hồ sau một ngày đêm. Tìm hiểu: l + Chu kì của con lắc đơn được tính: T = 2 . Gọi T0 là chu kì con lắc đơn g khi đồng hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc. Thì thời gian đồng hồ T T0 chạy sai sau một ngày đêm là: t .86400( s) . T0 l0 + Chu kì của con lắc chạy đúng ở nhiệt độ t0 là: T0 = 2 . g l 0 [1 (t t 0 )] + Chu kì của con lắc chạy sai ở nhiệt độ t là: T = 2 . g 1 1 T Ta có: [1 (t t 0 ) [1 (t t 0 )] . => T = T0 2 [1 (t t 0 )] . 2 T0 14
1 Đồng hồ chạy sai ít nhất khi [1 (t t 0 )] 2 . min 1 áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: [1 (t t 0 )]n2 1 (t t 0 ) 2 => Tmin = T0 [1 (t t 0 ) ]. 2 Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau một ngày đêm là: t (t t 0 ) .86400 s . Thay số: ∆t = 21,6 s. 2 Bài toán 4.1. Đồng hồ quả lắc chạy đúng ở trên mặt Đất với chu kì T 0, Một người thợ mỏ đưa đồng hồ xuống hầm sâu h so với mặt Đất mà không điều chỉnh lại, coi sự chênh lệch nhiệt độ ở trên mặt Đất và dưới hầm là không đáng kể. a. Sau một ngày đêm tối thiểu đồng hồ chạy sai bao nhiêu? b. Nếu đưa đồng hồ trên lên độ cao h so với Mặt Đất mà không điều chỉnh lại (coi nhịêt độ không đổi) thì sau một ngày đêm đồng hồ chạy sai tối thiểu bao nhiêu? Tìm hiểu: l + Chu kì của con lắc đơn được tính: T = 2 . Gọi T0 là chu kì con lắc đơn g khi đồng hồ chạy đúng, T là chu kì chạy sai của con lắc. Thì thời gian đồng hồ T T0 chạy sai sau một ngày đêm là: t .86400( s) . T0 M l + Gia tốc trọng trường trên Mặt Đất là: g0 = G T0 2 . R2 g0 + Gia tốc trọng trường ở độ sâu h so với Mặt Đất là: M ( R h) l g1 G T1 2 . R3 g1 + Gia tốc trọng trường ở độ cao h so với Mặt Đất là: M l g2 G T2 2 . ( R h) 2 g2 Trong đó m là khối lượng Trái Đất, R là bán kính Trái Đất. T1 g0 R 1 T0 T1 a. Ta có: T0 g1 R h h h . 1 1 R R 1 b. Đồng hồ chạy sai ít nhất khi h . ( 1− ) R min 15
Vận dụng bất đẳng thức Bernoulli: 1 1 h h h (1 ) 2 1 T1 min T0 (1 ). h R 2R 2R 1 R h Vậy thời gian đồng hồ chạy sai tối thiểu sau một ngày đêm là: t .86400 s . 2R Tương tự câu a) ta có, thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày đêm là: h t .86400s . 2R L 5. Sử dụng phương pháp giãn đồ véc tơ. R M N C A B Bài toán 2.2.3. Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 11). Trong đó R không đổi, độ tự Hình 11 cảm của cuộn dây hoặc điện dung của tụ điện có thể thay đổi. Đặt vào hai đầu mạch một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. a. Khi điện dung của tụ điện biến thiên, tìm C để hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. b. Khi độ tự cảm của cuộn dây biến thiên, tìm L để hiệu điện thế hai đầu cuộn dây cực đại. Tính giá trị cực đại đó. Tìm hiểu: N * Khi điện dung tụ điện biến thiên. U RL α + Giãn đồ véc tơ như hình vẽ (Hình 12). UL R UR Ta có: sin 2 2 const. A β M R Z L áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác ABN suy ra: U AB U AB UC UC = sin β. sin α B Vậy UCmax khi sin 1 hay β = 90 . Từ đó suy ra: 0 Hình 12 U AB U Cmax = R 2 + Z L2 . R R 2 + Z L2 + Xét cho tam giác vuông BAN suy ra: Z C = ZL . Z Hay C = ω ( R 2 +L Z 2 ) . L 16
* Khi độ tự cảm L của cuộn dây biến thiên. R + Giãn đồ véc tơ như hình vẽ (Hình12).Ta có: sin α = = const R 2 + Z C2 U AB áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ODE suy ra: U L = sin β . sin α U Vậy ULmax khi sin 1 hay β = 900. Từ đó suy ra: U max = AB R 2 + Z C2 . R + Xét cho tam giác vuông ODE suy ra: R 2 + ZC2 R 2 + ZC2 ZL = . Hay L = . ZC ω ZC Chú ý: Khi mạch ngoài có điện trở R0 và cuộn dây có điện trở trong r thì thay R trong các biểu thức M L, r R N C trên bằng: R = R0 + r A B ví dụ áp dụng: Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 13). U AB = 120 2 sin ( 100π t ) V , R = 80Ω V 2 r = 20Ω; L = H Hảy xác định điện dung của tụ điện Hình 13 π để số chỉ vôn kế là cực đại. Tìm số chỉ cực đại đó. Giải: ZL 10 −3 Ta có: Để U C = U Cmax thì C = = ( F ). { } ω ( R + r ) 2 + Z L2 25π U AB Khi đó U U Cmax = ( R + r ) 2 + Z L2 = 120 5(V ) . R+r Bài toán 2.1.7. Ôtô chuyễn động thẳng đều với vận tốc v 1 = 54km/h. Một hành khách đang ở A cách ôtô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ôtô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào với vận tốc nhỏ nhất là bao hiêu để đón được ôtô Tìm hiểu: + Giả sử gọi C là vị trí người đón được ôtô (Hình 14). + Ta có: AC = v 2 t; BC = v1t với t là thời gian người đi để đón được xe. A + áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC: β AC BC v 2 .t v1 .t sin α v2 hay v2 = v1 . sin sin sin sin sin β d d α + Vì sin α = = const a nên 2min khi sin β = 1 . Hay β = 900 v B C d Vậy : v2min = v1 sin α = v1 = 10,8km v1 a Hình 14 17
Và khi đó AC ⊥ AB tại A do vậy người đó chạy theo hướng vuông góc với AB. II. Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm. Qua quá trình trực tiếp giảng dạy trên lớp ở các khối 10, 11, 12 và ôn thi học sinh giỏi nhiều năm nay về bộ môn Vật lý tại Trường THPT Phạm Công Bình tôi nhận thấy rằng: Đối với bài toán “Tìm cực trị trong Vật lý” có thể có nhiều cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề. Tuy nhiên “Ứng dụng toán học” để giải bài tập“Tìm cực trị trong môn Vật lý THPT ” theo cách đã trình bày ở trên, bước đầu đã đem lại hiệu quả đáng kể. Thứ nhất: Khắc phục được những khó khăn đối với bài toán tìm cực trị của một đại lượng Vật lý, tức là tìm ra được một số biện pháp thích hợp để giải bài toán sao cho học sinh dễ tiếp thu nhất, đồng thời qua đó học sinh biết cách vận dụng cho việc tự học ở nhà của bản thân. Thứ hai: Gây được hứng thú cho học sinh khi tìm hiểu về bộ môn Vật lý nói chung và bài toán tìm cực trị Vật lý nói riêng. Phát huy được năng lực tự học, tính tích cực, tự giác của học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện. Thứ ba: Học sinh có điều kiện tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Vật lý, tạo tiền đề tốt cho việc nâng cao chất lượng giáo dục bộ môn. Hơn nữa, qua đó cũng giúp cho học sinh có được những kĩ năng, thao tác linh hoạt khi vận dụng các công cụ toán học vào quá trình tìm hiểu các tri thức Vật lý. PHẦN II KẾT LUẬN Làm thế nào để việc học tập và tìm hiểu về bộ môn Vật lý của người học đạt được kết quả cao nhất, đồng thời làm cho người học có hứng thú và đam mê tìm hiểu Vật lý luôn là điều trăn trở không những của riêng bản thân tôi mà còn là suy 18