Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 15
(a) r=|z|=
1 3 2
, tan 32
13
⇒
22
cos sin )
3
2( 3
z i
Không được viết:
cos sin )
3
2( 3
z i
: dấu trừ trước côsin!
Cũng như
cos sin )
3
2( 3
z i
: r<0!
(b)
81 0 9r
⇒
(c)
144 0 12
2
r
⇒
cos sin )
2
12 2
(iz
3.3 Dạng mũ của số phức
Công thức Euler
cos sin
iie
.
Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ:
cos sin( ) i
z r ri e
Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi :
2 2 2
| | || cos sin|| | 0 cos s| in
ir i rz rre
Với z≠ 0,
1 1 1 ( )
1
()
i i i
re r e ez r
⇒
11[cos( ) sin( )]z i
r
1 1 22 ()
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 12
( )( ) cos( ) sin( )][
i i i
z re r e rr e z z rr iz
1
12
2
()
1 1 1
2 2 2
ii
i
z re r e
z r e r
11 1 2 1 2 2
22
[cos( ) sin( )], 0
zr iz
zr
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 16
Lưu ý
1 2 1 2
( )z acgumenz aacgu cgummen z enz
112
2
z
acgumen acgumenz acgumenz
z
1 2
11
21
12 21
22
()
2
,
ii
z re r e
rr
zk
z
z Z
k
.
4.Lũy thừa và khai căn
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương
Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là
i
z re
.
()
n i n n in
re r ez
[ (cos sin )] (cos sin )
nn
r i r n i n
:công thức Moa-vrơ(Moivre)
Ví dụ: Tính
5
(3 3 )i
Bài giải
9 9 3 2r
,
3
tan 3
, chọn
4
5 5 5 55
[3 2(cos sin )(3 3 ] (3 2) (cos sin) )
4 4 4 4
iii
22
2( ) 972 972
22
972 ii
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 17
4.2 Căn bậc n của số phức
Khi r=1, ta có
(cos sin ) cos sin
n
i n i n
.
Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho
1
n
z
.
Giả sử nghiệm
0
( ) 1 1
i i n n in i
rz re e r e e
Nên
1
02
n
r
nk
⇒
1
2
r
k
n
. k∈ ℤ
Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt
222
cos sin , 0,1,2 , 1
k
inkk
i k n
nn
e
.
Ví dụ: Giải phương trình
(a)
21z
(b)
31z
(c)
41z
Bài giải
(a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số
2
2, 0;1
k
iik
keek
0
01e
.
1cos sin 1
i
e i
(b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số
3
2, 0;1;2
k
i
kke
0
01e
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 18
2
132 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
iie i
4
234 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
iie i
(c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số
4
2
2, 0;1;2;3
k
kk
ii
eek
0
01e
2
122
cos sin
iie i
2
22
() cos sin 1
i
i
ee i
3
2
3
3
233
cos sin
22
()
i i
e ie i
Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy
Các căn bậc n của đơn vị là
2, 10;1;2; ;
n
k
k
iken
11
01
k n n
kk
, (
2
n
i
e
)
10
1
n
, (
2cos2 sin2 1
ni
ei
)
Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm
phương trình
n
z w
. Giả sử
R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là
Rei
w
r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là
ei
zr
)( i n i n ni i
Re Rere r e
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 19
suy ra
2
,
nk
r R n
, k∈ ℤ .
Vậy căn bậc n của
Rei
w
là n số phân biệt:
2
() 22
[cos( ) sin( )]
k
i
nn
nn
k
aR kk
e R i
n n n n
, k=0,1,2… n-1.
Ví dụ: Tìm
(a) Căn bậc hai của 2i
(b) Căn bậc ba của
3i
Bài giải
(a)
2
22
i
ie
. Căn bậc hai của 2i có hai giá trị:
()
4
2ik
kea
, k=0,1
4
02 2(cos sin ) 1
44
i
a e i i
5
()
44
1
55
2 2 2(cos sin ) 1
44
ii
a e e i i
.
(b)
()
6
3 2 i
ie
. Có 3 giá trị căn bậc ba là:
2
()
318 3
2k
i
k
a e
, k=0,1,2
18
()
3
03
2 2[cos( ) sin( )] 1,24078
18 1 0,21878
8
i
eia i
2 11
()
3 3 3
318 18
1
11 11
2 2 2(cos s
18 18
in ) 0,43092 1,18394
ii
e e i ia