Sổ tay toán cấp III

Tập hợp 1. Mét sè kh¸i niÖm + TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ..., A = {x, y, ...}, x  A, y  A + TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P. A = {x\ x tháa m·n ®iÒu kiÖn P} +  gäi lµ tËp rçng (tËp hîp kh«ng cã phÇn tö). + A  B th× A lµ tËp con cña tËp B. + A = B th× tËp A vµ tËp B ®Òu lµ tËp con cña nhau. 2. C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp + Hîp A  B = {x  A hoÆc x  B} + A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C) A  A = A ; A  A  B ; B  A  B A   = A + Giao A  B = {x  A vµ x  B} + A  B = B  A ; A  B  B ; A  B  A A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C) A   =  ; (A B)  C = (A  C)  (B  C) + (A  B)  C = A  (B  C) + HiÖu A \ B = {x | x  A vµ x  B} A \ A =  (A \ B)  C = (A  C) \ B = (A  C) \ (B  C) A \ B = A \ (A  B) A = (A  B)  (A \ B) + PhÇn bï CAS = A\ S (S  A) 3. TËp hîp sè + TËp hîp sè tù nhiªn N = {0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè nguyªn Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè h÷u tØ

+ TËp hîp sè thùc R = {a0, a1, a2, ...| a0  Z, ak  {0, 1, 2, ..., 9}} Nh vËy ta cã : N  Z  Q  R

BiÓu thøc ®¹i sè 1. TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn sè + TÝnh chÊt giao ho¸n cña phÐp céng vµ nh©n a + b = b + a ab = ba + TÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp céng vµ nh©n (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng (a + b)c = ac + bc + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp trõ (a - b)c = ac - bc 2. BiÓu thøc ph©n + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc

+ C¸c phÐp to¸n cña ph©n thøc

3. TØ lÖ thøc + TØ lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc cña hai tØ sè

a, d lµ hai ngo¹i tØ ; b, c lµ hai trung tØ. + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña tØ lÖ thøc : ad = bc + Mét sè tÝnh chÊt kh¸c

Víi a, b, c, d 0 vµ th× :

Luü thõa vµ c¨n sè Lòy thõa

C¨n bËc n

Luü thõa + Mét sè ®Þnh nghÜa * Luü thõa sè mò nguyªn

* Luü thõa sè mò h÷u tØ

(a > 0, x lµ sè v« tØ > 0)

(xn) lµ d·y sè gÇn ®óng thiÕu cña x)

* Luü thõa sè mò v« tØ

+ C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña luü thõa Gi¶ sö a > 0, b > 0 x, y  R ta cã :

+ Mét sè tÝnh chÊt kh¸c * x, y  R, x < y + Víi a > 1  ax < ay + Víi 0 < a < 1  ax > ay * (xn)  R, a > 0 mµ :

C¨n bËc n + §Þnh nghÜa : n  N, c¨n bËc n cña sè a lµ mét sè b sao cho bn = a, kÝ hiÖu lµ Mäi sè a chØ cã mét c¨n bËc lÎ * Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n * Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n, hai c¨n Êy cã sè trÞ ®èi nhau. Gi¸ trÞ d¬ng cña c¨n bËc ch½n n cña sè a > 0 kÝ

hiÖu lµ .

+ víi a > 0 gäi lµ c¨n sè häc +

D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n

D·y sè

CÊp sè céng

CÊp sè nh©n

Mét sè c«ng thøc kh¸c

D·y sè + §Þnh nghÜa Gäi N* = {1, 2, 3, ...} Mét d·y sè lµ mét hµm sè u tõ N* tíi R u : N*  R n  U(n) KÝ hiÖu Un = U(n), viÕt d·y sè díi d¹ng U1, U2, U3, ....Un + C¸ch cho d·y sè * D·y sè cho bëi c«ng thøc : Un = 2n + 1 * D·y sè cho bëi c¸ch m« t¶ c¸c sè h¹ng liªn tiÕp cña nã * D·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi ch¼ng h¹n d·y sè Phibonasi : U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1 víi n  3 DÔ dµng ta cã d¹ng khai triÓn cña d·y : 1, 1, 2, 3, 5, 8... * D·y sè b»ng quy n¹p : - Cho sè h¹ng thø nhÊt U1 - Víi n > 1 cho c«ng thøc Un khi biÕt Un - 1 + D·y sè t¨ng, gi¶m * D·y sè (Un) gäi lµ t¨ng nÕu n  N, Un < Un + 1 D·y sè (Un) gäi lµ gi¶m nÕu n  N, Un > Un + 1 + D·y sè bÞ chÆn D·y sè (Un) bÞ chÆn trªn nÕu  M sao cho n  N, Un  M D·y sè (Un) bÞ chÆn díi nÕu  M sao cho n  N, Un  m Un gäi lµ bÞ chÆn nÕu  M, m sao cho m  Un  M. + C¸c phÐp to¸n trªn d·y sè * (Un)  (Vn) = (Un ± Vn) * (Un) = (Un) * (Un).(Vn) = (Un.Vn)

CÊp sè céng + §Þnh nghÜa CÊp sè céng lµ mét d·y sè trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu lµ tæng cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 gäi lµ c«ng sai. n  N, Un + 1 = Un + d + TÝnh chÊt cña cÊp sè céng Un + 1  Un = Un + 2  Un + 1

+ Sè h¹ng tæng qu¸t Un = U1 + d(n  1) + Tæng n sè h¹ng ®Çu

CÊp sè nh©n + §Þnh nghÜa CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè trong ®ã sè h¹ng ®Çu kh¸c kh«ng vµ kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu b»ng tÝch cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 vµ kh¸c 1 gäi lµ c«ng béi. n  N*, Un + 1 = Un.q + TÝnh chÊt :

+ Sè h¹ng tæng qu¸t : Un = U1.qn - 1 + Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn

+ Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n Víi |q| < 1

Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè

1, N > 0) lµ logarit cña N theo c¬ sè a.

L«garÝt 1. Kh¸i niÖm LogaN (a > 0, a 2. C¸c ®¼ng thøc c¬ b¶n cña logarit

* lgN lµ logarit thËp ph©n (c¬ sè 10)

* LnN lµ logarit tù nhiªn (logarit c¬ sè e)

3. TÝnh chÊt cña logarit

4. §æi c¬ sè

5. Logarit thËp ph©n

Tæ hîp - C«ng thøc Newt¬n

Ho¸n vÞ

ChØnh hîp

Tæ hîp

Tam gi¸c Pascal

C«ng thøc Newt¬n

Ho¸n vÞ + §Þnh nghÜa Mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét bé gåm n phÇn tö ®ã, ®îc s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, mçi phÇn tö cã mÆt ®óng mét lÇn. Sè tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ kh¸c nhau cña n phÇn tö ký hiÖu lµ Pn + C«ng thøc : Pn =1.2.3.....n = n 

ChØnh hîp + §Þnh nghÜa Mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0 < k  n) lµ mét bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö lÊy ra tõ n phÇn tö ®· cho.

Sè tÊt c¶ c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ C«ng thøc :

(Qui íc 0! = 1)

Tæ hîp + §Þnh nghÜa Cho mét tËp hîp A gåm n phÇn tö (n nguyªn d¬ng). Mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0  k  n) lµ mét tËp

con cña A gåm k phÇn tö. Sè tÊt c¶ c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ + C«ng thøc

+ TÝnh chÊt

Tam gi¸c Pascal n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

C«ng thøc Newt¬n

Tk lµ sè h¹ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc :

Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh

HÖ ph¬ng tr×nh

0 vµ miÒn x¸c ®Þnh h(x) chøa miÒm

Ph¬ng tr×nh 1. Mét sè khai triÓn + §¼ng thøc f(x) = g(x) (1) trong ®ã f(x) vµ g(x) lµ nh÷ng biÓu thøc cña x, ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè, x lµ Èn sè. + Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) lµ t×m gi¸ trÞ x = x0 ®Ó cã ®¼ng thøc ®óng f(x0) = g(x0). + T¬ng tù f(x1, x2, x3, ...., xn) = g(x1, x2, x3, ...., xn) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh n Èn, (n  N) + TËp hîp c¸c gi¸ trÞ x0 gäi lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kÝ hiÖu lµ M, nÕu ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm th× tËp hîp c¸c nghiÖm lµ tËp . 2. Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng + Ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ M1. Ph¬ng tr×nh g(x) = 0 (2) cã tËp hîp nghiÖm lµ M2. NÕu M1 = M2  (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng + NÕu M1  M2  (2) lµ ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x) + h(x) = h(x) (2) lµ t¬ng ®¬ng nÕu h(x) cã miÒn x¸c ®Þnh chøa tËp nghiÖm (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x).h(x) = 0 (2) t¬ng ®¬ng  h(x) x¸c ®Þnh cña f(x). 3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt + D¹ng ax + b = 0 (x lµ Èn a, b  R miÒn x¸c ®Þnh lµ R). NghiÖm * a

0 : cã nghiÖm duy nhÊt :

0 : V« nghiÖm

* a = 0, b * a = 0, b = 0 : V« sè nghiÖm trªn R 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai + ax2 + bx + c = 0.  = b2 - 4ac * NÕu  > 0 th× M = {x1, x2}

khi b = 2b', '' = b'2 - ac th× :

* NÕu  = 0, th× M = {x1}

NÕu  > 0, M = {x1, x2}

* NÕu  < 0, th× M = . + Mét sè trêng hîp thêng gÆp

 < 0, M = . * ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0

§Þnh lÝ ViÐt NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã

+ XÐt dÊu nghiÖm (quy íc x1 > x2)

0) (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) 5. Ph¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai * ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a §Æt :

Ph¬ng tr×nh (1) ®a vÒ ay2 + by + c = 0 (2). Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) t×m nghiÖm y  0, sau ®ã t×m x b»ng c«ng thøc

* (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 víi a + b = c + d.

§Æt y = (x + a)(x + b)

§Æt :

Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 kh«ng ph¶i nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). 6. Ph¬ng tr×nh bËc ba + D¹ng x3 + px + q = 0 (1) C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) (c«ng thøc Cac®an«)

+ D¹ng y3 + ay2 + by + c = 0

ta cã ph¬ng tr×nh d¹ng x3 + px + q = 0 vµ cã c«ng thøc gi¶i nh trªn. §Æt 7. Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai

8. Ph¬ng tr×nh tuyÖt ®èi

9. Ph¬ng tr×nh mò

* N  0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * N > 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

10. Ph¬ng tr×nh logarit

1) cã nghiÖm duy nhÊt x = aN logax = N (a > 0, a

HÖ ph¬ng tr×nh 1. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

* NÕu D 0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt

* NÕu D = 0 vµ (Dx 0) hoÆc (Dy 0) hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

0, c' 0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

* NÕu D = Dx = Dy = 0 - Trêng hîp a = a' = b = b' = 0, c - C¸c trêng hîp kh¸c hÖ (1) v« sè nghiÖm. 2. HÖ ph¬ng tr×nh bËc hai + HÖ ph¬ng tr×nh bËc hai hai Èn sè cã d¹ng

Ta chØ xÐt hai hÖ sau :

+ HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi x vµ y (khi thay x bëi y hoÆc y bëi x th× hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ®æi) Ch¼ng h¹n :

§èi víi hÖ ph¬ng tr×nh tr×nh nµy ®Æt S = x + y, P = xy.

+ HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai cã d¹ng

NÕu x = 0, y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm th× ®Æt y = kx vµ ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc hai theo k.

BÊt ph¬ng tr×nh

BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt

BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai

Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c

BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt + DÊu cña nhÞ thøc ax + b

+ BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt thêng cã d¹ng ax + b > 0, ax + b  0, ax + b < 0, ax + b  0. ax + b > 0  ax > -b

* NÕu a = 0, b > 0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tuú ý M = R. * NÕu a = 0, b < 0 bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm M = . + HÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè lµ tËp hîp gåm nhiÒu bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè. T×m miÒn nghiÖm cña tõng bÊt ph¬ng tr×nh, sau ®ã tæng hîp t×m miÒn nghiÖm cña hÖ.

th× :

cã hai nghiÖm

BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai + Tam thøc

+ DÊu cña tam thøc

*  < 0 th× a.f(x) > 0 x  R *  = 0 th× a.f(x) > 0

*  > 0

+ So s¸nh nghiÖm ph¬ng tr×nh bËc hai

+ BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai

ChØ viÖc nh©n hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh víi -1 sÏ ®a vÒ hai trêng hîp trªn.

Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c + BÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi * |f(x)| < m m > 0  -m < f(x) < m m < 0  M =  * |f(x)| > m

+ BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai

+ BÊt ph¬ng tr×nh mò * ax > N

* ax < N

+ BÊt ph¬ng tr×nh logarit

BÊt ®¼ng thøc 1. BÊt ®¼ng thøc + MÖnh ®Ò A > B (A lín h¬n B) hoÆc A < B (A nhá h¬n B) gäi lµ bÊt ®¼ng thøc. + BÊt ®¼ng thøc suy réng : A  B hoÆc A  B + KiÓm nghiÖm bÊt ®¼ng thøc A > B  A - B > 0 2. TÝnh chÊt 1) a > b vµ b > c  a > c (tÝnh chÊt b¾c cÇu)

a + b > c  a > c – b (chuyÓn vÕ th× ®æi dÊu)

3. Mét sè tÝnh chÊt cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

4. C¸c bÊt ®¼ng thøc thêng dïng + BÊt ®¼ng thøc C«si

DÊu "=" x¶y ra  a = b

DÊu "=" x¶y ra  a = b = c * Tæng qu¸t

* Tæng qu¸t a1, a2, a3, ..., an kh«ng ©m th×

 (a2 + b2)(x2 + y2)

DÊu "=" x¶y ra a1 = a2 = a3 = .... = an + BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki (C«si - Svacx¬) * Víi hai cÆp sè (a , b), (x , y) th× : (ax + by)2

(víi quy íc tö b»ng 0 th× mÉu b»ng 0)

DÊu "=" x¶y ra * Tæng qu¸t a1, a2, a3, ..., an, x1, x2, ..., xn  R th× :

DÊu "=" x¶y ra

* Víi ba cÆp sè (a ; b ; c), (A ; B ; C)

+ BÊt ®¼ng thøc Trªbsep * Víi hai cÆp sè (a ; b), (A ; B)

* Tæng qu¸t

DÊu "=" chØ x¶y ra khi a1 = a2 = ... = an hoÆc b1 = b2 = ... = bn + BÊt ®¼ng thøc Becnuli

* Víi a > -1, n  N, (1 + a)n  a + na DÊu "=" chØ x¶y ra khi a = 0, hoÆc n = 0, hoÆc n = 1. * Víi a > -1  1,  R (1 + a)  1 + a DÊu "=" chØ x¶y ra khi hoÆc a = 0 hoÆc  = 1. + Mét sè bÊt ®¼ng thøc kh¸c.

§¼ng thøc chØ x¶y ra khi ab = 0 * |a + b|  |a| + |b| |a - b|  |a| - |b| |a - b|  |a| + |b| |a - b|  | |a| + |b| | |a|  |b|  -b  a  b

Hµm sè

¸nh x¹

Hµm sè

Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n

Ánh x¹ Cho hai tËp hîp X, Y. Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y, Y lµ mét qui t¾c cho øng víi mçi x  X mét vµ chØ mét phÇn tö y  Y, ký hiÖu lµ

X lµ tËp nguån, Y lµ tËp ®Ých, phÇn tö y = f(x) lµ ¶nh cña phÇn tö x  X. ¸nh x¹ tÝch

Th× F gäi lµ ¸nh x¹ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g, ký hiÖu lµ F = g0f.

Hµm sè Cho hai tËp hîp sè X vµ Y (X  R, Y  R). Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét hµm sè f tõ X ®Õn Y, ký hiÖu lµ :

x gäi lµ ®èi sè y = f(x) gäi lµ hµm sè * TËp x¸c ®Þnh TËp hîp c¸c sè thùc x sao cho nhê biÓu thøc cña hµm sè ta tÝnh ®îc y = f(x), ®ã lµ tËp x¸c ®Þnh X = Df * TËp gi¸ trÞ E = {f(x)| x  X} E = f(X) + §å thÞ hµm sè (C) = {(x ; y)| x  X, y = f(x)} + TÝnh chÊt cña hµm sè * Hµm sè ®¬n ®iÖu

Y = f(x) ®ång biÕn trªn

y = f(x) nghÞch biÕn trªn

* Hµm sè ch½n x  X  -x  X vµ f(-x) = f(x) * Hµm sè lÎ x  X  -x  X vµ f(-x) = -f(x) * Hµm sè tuÇn hoµn chu kú T x  X  x + T  X; x - T  X vµ f(x + T) = f(x) = f(x - T) + Hµm sè hîp y = f(u) tËp x¸c ®Þnh D, u = g(x) tËp x¸c ®Þnh D

y = f[g(x)] lµ hµm hîp víi tËp x¸c ®Þnh + Hµm sè ngîc Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn D vµ miÒn gi¸ trÞ T. Hµm sè ngîc cña f lµ :

Thêng ký hiÖu lµ

lµ (C') trong hÖ täa ®é Oxy th× (C) ®èi xøng Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ (C) vµ hµm sè víi (C') qua ®êng ph©n gi¸c cña gãc I vµ gãc III : y = x.

0; a, b  R), D = R, E = R.

Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n 1. Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (1) (a a > 0 hµm sè (1) ®ång biÕn, a < 0 hµm sè nghÞch biÕn. (C) lµ mét ®êng th¼ng 2. Hµm sè bËc hai

D = R Víi a > 0,

Hµm sè ®ång biÕn :

Hµm sè nghÞch biÕn :

, cã täa ®é ®Ønh vµ cã

§å thÞ (C) lµ mét parabol cã trôc ®èi xøng lµ ®êng th¼ng bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn. Víi a < 0,

Hµm sè ®ång biÕn :

Hµm sè nghÞch biÕn :

vµ cã bÒ lâm quay xuèng díi. vµ ®Ønh

(C) lµ parabol, cã trôc ®èi xøng 3. Hµm sè lòy thõa y = x , tËp x¸c ®Þnh vµ tËp gi¸ trÞ, ®å thÞ tuú thuéc vµo   R. 4. Hµm sè mò y = ax D = R, E = (0 ; +) Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn §å thÞ

5. Hµm sè logarit

D = (0 ; +), E = R Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn

Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn §å thÞ

Trêng hîp a = e > 1 ta cã y = lnx (®å thÞ nh h×nh díi)

Giíi h¹n cña hµm sè 1. Giíi h¹n cña d·y sè

2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y §Þnh lÝ 1 (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu mét d·y sè cã giíi h¹n th× d·y sè ®ã bÞ chÆn. §Þnh lÝ 2 (tÝnh chÊt duy nhÊt cña giíi h¹n) NÕu mét d·y (Un) cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt. §Þnh lÝ 3 (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n) Mét d·y sè cã t¨gn vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y sè gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. §Þnh lÝ 4 Cho hai d·y sè (Un) vµ (Vn) cã c¸c giíi h¹n

th× :

3. Giíi h¹n cña hµm sè §Þnh nghÜa

4. Mét sè giíi h¹n ®¸ng chó ý

lµ duy nhÊt

5. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n

§Þnh lÝ 1 : §Þnh lÝ 2 :

§Þnh lÝ 2

§Þnh lÝ 3 : Ba hµm sè f(x), g(x), h(x) x¸c ®Þnh t¹i mét l©n cËn cña ®iÓm x0 (cã thÓ trõ ra ®iÓm x0) x x0 thuéc l©n cËn ®ã f(x)  g(x)  h(x)

Hµm sè liªn tôc 1. Mét sè ®Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D. Hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i x0 nÕu :

Thay cho (2), nÕu chØ cã

th× hµm sè f(x) liªn tôc vÒ bªn ph¶i cña x0.

th× hµm sè liªn tôc vÒ bªn tr¸i cña x0.

Thay cho (2), nÕu chØ cã Hµm sè y = f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0, x0  D nÕu

Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a ; b).

Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) ®ång thêi nã liªn tôc vÒ bªn ph¶i ®iÓm a vµ liªn tôc vÒ bªn tr¸i ®iÓm b. 2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm sè liªn tôc Gi¶ sö y = f(x) vµ y = g(x) lµ hµm sè liªn tôc t¹i x0 th× : f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) vµ f(x)g(x) liªn tôc t¹i x0.

liªn tôc t¹i x0

f(x2). Khi ®ã víi mçi sè M

Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) vµ x1, x2  (a ; b) víi f(x1) n»m gi÷a f(x1), f(x2) ®Òu tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(c) = M. HÖ qu¶ : gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) cã gi¸ trÞ d¬ng vµ gi¸ trÞ ©m trªn kho¶ng ®ã, th× ph- ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x = c thuéc kho¶ng (a ; b). 3. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm sè s¬ cÊp y = f(x) lµ hµm sè s¬ cÊp x¸c ®Þnh trªn D th× hµm sè nµy liªn tôc trªn D. 4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè hîp NÕu y = f(u), u = g(x) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc th× hµm sè hîp y = f[g(x)] lµ mét hµm sè liªn tôc.

§¹o hµm

§Þnh nghÜa ®¹o hµm

C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm

§¹o hµm cÊp cao

Vi ph©n

§¹o hµm vµ liªn tôc

Qui t¾c L'hospital

§Þnh nghÜa ®¹o hµm §¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ :

§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :

.(a ; b)

§¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 :

Hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x0 Hµm sè y = f(x) ®¹o hµm trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) vµ cã ®¹o hµm bªn ph¶i t¹i a vµ bªn tr¸i t¹i b. C¸ch tÝnh ®¹o hµm : Muèn tÝnh ®¹o hµm hµm sè y = f(x), ta cÇn thùc hiÖn 3 bíc sau : 1) Cho sè gia x t¹i x0 vµ tÝnh

2) LËp tØ sè :

3) T×m

C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm

13) y = f(x) cã hµm sè ngîc

§¹o hµm cÊp cao

y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i x, y' = f'(x)

y' = f'(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× ®¹o hµm nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2, ký hiÖu lµ y'' = f''(x) = [f'(x)]'.

§¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = f(x)

§¹o hµm cÊp n cña mét hµm sè

Vi ph©n y' = f(x), D = (a ; b) vµ cã f'(x) t¹i

, vi ph©n cña hµm sè t¹i ®iÓm x lµ dy = y'dx (hoÆc df(x) = f'(x)dx)

Vi ph©n hµm sè hîp : y = f(u) vµ u = g(x) th× dy = f'(u)du

øng dông vi ph©n vµo phÐp tÝnh gÇn ®óng

§¹o hµm vµ liªn tôc NÕu hµm sè y = f(x) ®¹o hµm t¹i ®iÓm

th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm ®ã.

§iÒu ®¶o l¹i kh«ng ®óng. Mét hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm cã thÓ kh«ng cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã.

Qui t¾c L'hospital

vµ . NÕu hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) x¸c ®Þnh trªn (a ; b) chøa Dïng ®Ó tÝnh giíi h¹n c¸c d¹ng v« ®Þnh

vµ cã ®¹o hµm trªn (a ; b) th× :

§êng tiÖm cËn 1. Nh¸nh v« tËn (C) lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) cã nh¸nh v« tËn  x  hay f(x) . 2. TiÖm cËn cña ®êng cong §êng th¼ng (D) ®îc gäi lµ tiÖm cËn cña nh¸nh v« tËn (N)  (C) nÕu kho¶ng c¸ch MH tõ M ®Õn (D) (M  (N)) dÇn ®Õn 0 khi M ch¹y trªn (N) ra xa v« tËn.

3. C¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) : y = f(x) TiÖm cËn ®øng x = x0 nÕu :

hay

TiÖm cËn ngang (C) cã tiÖm cËn ngang y = y0 nÕu :

Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn ph¶i y = b nÕu :

Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn tr¸i y = b' nÕu :

TiÖm cËn xiªn §êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i nÕu :

§êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn tr¸i nÕu :

§êng tiÖm cËn xiªn (D), y = ax + b (vÒ bªn ph¶i)

(h÷u h¹n) (D) vÒ bªn tr¸i th× t¬ng tù. 4. §êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (C) mét sè hµm hay gÆp :

cã hai ®êng tiÖm cËn TiÖm cËn ®øng

cã hai ®êng tiÖm cËn. TiÖm cËn ®øng

TiÖm cËn ngang

TiÖm cËn xiªn

cã hai ®êng tiÖm cËn.

víi TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D1) :

TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D2) :

th× (C) cã Chó ý : NÕu ph©n tÝch ®îc f(x) = g(x) + (x), trong ®ã g(x) lµ ®a thøc bËc lín h¬n 1 vµ tiÖm cËn cong y = g(x).

x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) > f( x0)

x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) < f( x0)

0 th× x0 lµ mét ®iÓm cùc trÞ.

Kh¶o s¸t hµm sè 1. DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè + §Þnh lÝ Lag¬r¨ng NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b). + NÕu f'(x) > 0 x  (a ; b)  f(x) ®ång biÕn trªn (a ; b). + NÕu f'(x) > 0 x  (a ; b)  f(x) nghÞch biÕn trªn (a ; b). + §iÓm tíi h¹n y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D. §iÓm x0  D mµ f'(x0) = 0  x0 gäi lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè f(x). 2. Cùc ®¹i vµ cùc tiÓu + §Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) chøa x0 + §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét - l©n cËn cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x + §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét - l©n cËn cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x + C¸c dÊu hiÖu ®iÓm cùc trÞ + §iÒu kiÖn cÇn Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn (a ; b) chøa x0. Hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 khi x0 lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè (f '(x0) = 0) + §iÒu kiÖn ®ñ DÊu hiÖu 1 : NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn mét l©n cËn x0(x0 –  ; x0 + ) cña ®iÓm x0 vµ cã ®¹o hµm trong l©n cËn ®ã (cã thÓ trõ x0) NÕu f'(x) > 0 trªn (x0 –  ; x0) vµ f'(x) < 0 trªn (x0 ; x0 + )  y = f(x) ®¹t cùc tiÓu t¹i x0. DÊu hiÖu 2 : NÕu hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn mét l©n cËn noµ ®ã cña ®iÓm x0, cã ®¹o hµm liªn tôc cÊp 2 t¹i x0 vµ f'(x) = 0, f ''(x0) + x0 lµ mét ®iÓm cùc tiÓu nÕu f ''(x0) > 0 + x0 lµ mét ®iÓm cùc ®¹i nÕu f ''(x0) < 0 3. Quy t¾c t×m Max vµ Min cña hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ chØ cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm tíi h¹n trªn ®o¹n [a ; b] 1) T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n x1, x2, ..., xn cña f(x) trªn [a ; b]. 2) TÝnh f(x1), f(x2), ..., f(xn) vµ f(a), f(b) 3) Chän sè max{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a), f(b)} Ký hiÖu Max[a ; b]f(x) HoÆc min{f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(xa), f(xb)} kÝ hiÖu lµ min[a ; b]f(x) 4. TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uçn cña ®å thÞ + Kh¸i niÖm låi, lâm, ®iÓm uèn. Trªn ®å thÞ (C) cña hµm sè y = f(x) ta nãi (C) låi trªn kho¶ng (a ; b) lâm trªn kho¶ng (b ; d) vµ B lµ ®iÓm uèn.

Gäi (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i mäi ®iÓm M  (C) * (C) låi trªn (a ; b)  (C) n»m díi d.

* (C) låi trªn (a ; b) (C) n»m díi d. * (C) lâm trªn (a ; b)  (C) n»m trªn d * B lµ ®iÓm uèn cña (C)  qua B(C) thay ®æi tÝnh låi lâm. + DÊu hiÖu låi, lâm, ®iÓm uèn * Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm cÊp hai trªn (a ; b) - NÕu f''(x) < 0 x  (a ; b)  (C) låi trªn (a ; b) - NÕu f''(x) > 0 x  (a ; b)  (C) lâm trªn (a ; b) * Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn (x0 - ; x0 +) vµ cã ®¹o hµm cÊp 2 trong l©n cËn ®ã (cã thÓ trõ ®iÓm x0). NÕu f''(x) ®æi dÊu khi x qua ®iÓm x0 th× B(x0 ; y0) lµ ®iÓm uèn cña (C). §¶o l¹i gi¶ sö hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm liªn tôc ®Õn cÊp 2 trªn kho¶ng (a ; b). Khi ®ã nÕu ®iÓm (x0 ; y0) víi x0  (a ; b) lµ ®iÓm uèn cña (C)  f''(x) = 0 * Quy t¾c t×m ®iÓm uèn - Gi¶i ph¬ng tr×nh f''(x) = 0 - LËp b¶ng xÐt dÊu cña f''(x). Hoµnh ®é ®iÓm uèn lµ c¸c nghiÖm cña f''(x) = 0 t¹i ®ã f''(x) ®æi dÊu. 5. C¸c bíc tiÕn hµnh kh¶o s¸t mät hµm sè 1) T×m tËp x¸c ®Þnh D cña hµm sè, xÐt tÝnh ch½n vµ lÎ vµ tuÇn hoµn (nÕu cã). NÕu hµm ®· cho lµ hµm ch½n (hay hµm lÎ) th× chØ kh¶o s¸t nöa tËp x¸c ®Þnh råi lÊy ®èi xøng qua trôc Oy (hay qua gèc täa ®é O). + NÕu hµm ®· cho lµ hµm tuÇn hoµn chu kú T th× chØ kh¶o s¸t trªn mét chu kú, råi tÞnh tiÕn däc theo trôc Ox mét ®o¹n b»ng T. 2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè + TÝnh ®¹o hµm. + T×m c¸c ®iÓm tíi h¹n (f'(x) = 0). + XÐt dÊu cña f'(x) suy ra chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè. + T×m c¸c cùc trÞ (nÕu cã). Kh¶o s¸t tÝnh låi, lâm, ®iÓm uèn (nÕu cã) 3) XÐt nh¸nh v« cùc cña ®å thÞ (C), t×m c¸c tiÖm cËn cña (C) (nÕu cã). 4) LËp b¶ng biÕn thiªn. 5) VÏ ®å thÞ + T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é. + LÊy thªm mét ®iÓm (ngoµi nh÷ng ®iÓm ®· ghi ë b¶ng biÕn thiªn).

Nguyªn hµm 1. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt cña nguyªn hµm + §Þnh nghÜa * Hµm sè F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a ; b)  F'(x) = f(x), x  (a ; b). * NÕu thay (a ; b) lµ [a ; b] th× ph¶i cã thªm ®iÒu kiÖn F’(a+) = f(a) v–) = f(b) Ký hiÖu : f(x)dx = F(x) + C. + TÝnh chÊt

+ Sù tån t¹i cña nguyªn hµm Mäi hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] ®Òu cã nguyªn hµm trªn ®o¹n ®ã. 2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm + ¸p dông tÝnh chÊt VËn dông c¸c tÝnh chÊt cña nguyªn hµm ®Ó ®a viÖc tÝnh nguyªn hµm phøc t¹p vÒ nh÷ng nguyªn hµm ®¬n gi¶n h¬n. + Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè * Ta cã f(x)dx = f[g(t)]g'(t)dt khi f(x), g(t), g'(t) liªn tôc vµ x = g(t). * Quy t¾c tÝnh 1) §Æt x = g(t) (2) hoÆc t = (x) (3). 2) LÊy vi ph©n hai vÕ cña (2) hoÆc (3). 3) BiÓu thÞ f(x)dx theo t vµ ®êng trßn, gi¶ sö f(x)dx = (t)dt. 4) TÝnh (t)dt = F(t) + C 5) Thay t =(x) trong F(t) + Ph¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm tõng phÇn. * C«ng thøc tÝnh nguyªn hµm tõng phÇn udv = uv - vdu (*) * Quy t¾c tÝnh 1) ViÕt f(x)dx díi d¹ng udv 2) TÝnh du vµ v 3) TÝnh òvdu 4) ¸p dông tÝnh c«ng thøc (*) + Nguyªn hµm cña hµm sè h÷u tØ d¹ng

kh«ng cã nghiÖm ta viÕt :

Sö dông ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè sÏ t×m ®îc :

* NÕu

* NÕu x2 + bx + c = 0 cã nghiÖm lµ x1, x2 th× :

Trong ®ã :

3. B¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n

TÝch ph©n 1. §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt + §Þnh nghÜa Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a ; b] vµ F(x) lµ mét nguyªn hµm cña nã th× tÝch ph©n cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [a ; b] lµ :

a, b gäi lµ cËn tÝch ph©n, f(x) lµ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n (®©y còng lµ c«ng thøc Niut¬n - Laib«nit) + TÝnh chÊt

3) NÕu f(x)  q(x) vµ a < b th× :

Trong trêng hîp f(x)  0, a < b th× :

2. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n

+ Sö dông ®Þnh nghÜa + Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè

+ Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn

3. øng dông cña tÝch ph©n + TÝnh diÖn tÝch c¸c h×nh ph¼ng * Cho hµm sè y = (f) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] th× diÖn tÝch h×nh thang cong giíi h¹n bëi ®å thÞ y = f(x), x = a, x = b, y = 0 lµ

* DiÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè y = f1(x), y = f2(x), ®êng ph¼ng x = a, x = b.

+ TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay

* H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay quanh trôc Ox

* H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay quanh trôc Oy :

C¸c hµm sè lîng gi¸c

Gãc vµ cung

Hµm sè lîng gi¸c cña mét cung (gãc)

C¸c hµm sè lîng gi¸c biÕn sè thùc

BiÓu diÔn c¸c hµm sè lîng gi¸c qua mét hµm sè

C¸c c«ng thøc lîng gi¸c

Gãc vµ cung + §¬n vÞ ®o gãc vµ cung

b»ng gãc vu«ng.

b»ng  rad.

lµ nh÷ng cung ®Þnh híng. ,

* §é : Gãc cã sè ®o * Ra®ian (rad) : Gãc bÑt cã sè ®o  rad 1 rad lµ sè ®o cña cung ®êng trßn cã ®é dµi b»ng b¸n kÝnh. + Gãc vµ cung ®Þnh híng * §êng trßn trªn ®ã cã x¸c ®Þnh mét chiÒu d¬ng, chiÒu ngîc l¹i lµ chiÒu ©m gäi lµ ®êng trßn ®Þnh híng. * Cung ®Þnh híng Trªn ®êng trßn ®Þnh híng gèc A th× cung * Sè ®o cña cung ®Þnh híng. =  + k2 hay s® = a + k

s® + HÖ thøc Sal¬ : + s® s® = s® + k2.

Hµm sè lîng gi¸c cña mét cung (gãc) + C¸c hµm sè lîng gi¸c

+ B¶ng hµm sè lîng gi¸c cña cung ®Æc biÖt

+ DÊu c¸c hµm sè lîng gi¸c

+ HÖ thøc c¬ b¶n

* Hai cung phô nhau

+ Cung cã liªn quan ®Æc biÖt * Hai cung ®èi nhau

* Hai cung phô nhau

* Hai cung bï nhau

* Hai cung h¬n kÐm nhau 

* Hai cung h¬n kÐm nhau

C¸c hµm sè lîng gi¸c biÕn sè thùc + Hµm sè y = sinx

* D = R, E = [-1; 1] * Hµm sè lÎ; hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× T = 2. * Hµm sè ®ång biÕn trong

* Hµm sè nghÞch biÕn trong

* §å thÞ

+ Hµm sè y = cosx

* D = R, E = [-1; 1] * Hµm sè ch½n; hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× T = 2. * Hµm sè nghÞch biÕn trong [k2 ;  + k2], k  Z * Hµm sè ®ång biÕn trong [ + k2 ; 2 + k2], k  Z * §å thÞ

+ Hµm sè y = tgx

E = R * Hµm sè lÎ, hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× T =  * Hµm sè ®ång biÕn trong

* §å thÞ

+ Hµm sè y = cotgx

E = R * Hµm sè lÎ, hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× T =  * Hµm sè nghÞch biÕn trong

* §å thÞ

+ Hµm sè lîng gi¸c ngîc * Hµm sè y = arcsinx TËp x¸c ®Þnh : [-1, 1] TËp gi¸ trÞ :

* Hµm sè y = arccosx TËp x¸c ®Þnh : [-1, 1] TËp gi¸ trÞ : [0 ,] * Hµm sè y = arctgx TËp x¸c ®Þnh : R TËp gi¸ trÞ :

* Hµm sè y = arccotgx TËp x¸c ®Þnh : R TËp gi¸ trÞ : [0 , ]

BiÓu diÔn c¸c hµm sè lîng gi¸c qua mét hµm sè + Qua sin :

+ Qua cos :

+ Qua tg :

+ Qua cotg : (

k )

C¸c c«ng thøc lîng gi¸c 1. C«ng thøc céng sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb

2. C«ng thøc nh©n sin2a = 2sina.cosa

3. C«ng thøc h¹ bËc cña sin vµ cosin

4. C«ng thøc chia ®«i

5. C«ng thøc tÝnh theo

6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng

7. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch

8. Mét sè c«ng thøc kh¸c

Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1. Ph¬ng tr×nh c¬ b¶n * sinx = sin  x =  + k2 x =  + k2 * cosx = cos  x =  + k2

0 nªn chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1), (2), (3) theo thø tù cho cos2x, cos3x, cos4x ®a ph¬ng tr×nh

0 ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm a2 + b2 - c2  0

* cotgx = cotg  x =  + k(x  k) 2. Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1) * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2) * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3) gäi lµ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2, 3, 4 ®èi víi sinx vµ cosx. Do cosx ®· cho vÒ ph¬ng tr×nh míi vµ ta dÔ dµng gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nµy. 3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 Cã ba c¸ch gi¶i lo¹i ph¬ng tr×nh nµy : - Gi¶ sö a 0

§Æt :

Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi t, dÔ dµng gi¶i ®îc ph¬ng tr×nh (1).

Ta dÔ dµng gi¶i ph¬ng tr×nh nµy. - §Æt :

- Do , chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho

§Æt :

(®©y lµ ph¬ng tr×nh c¬ b¶n). Chó ý : Ta lu«n cã :

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi sin(x + ) = 1. 4. Ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1)

(a, b, c lµ h»ng sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) b»ng c¸ch ®Æt :

§a (1) vÒ ph¬ng tr×nh

Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) víi 5. HÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1) HÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c mét Èn. Ch¼ng h¹n cã hÖ ph¬ng tr×nh :

Cã hai ph¬ng ph¸p gi¶i : * Ph¬ng ph¸p thÕ, gi¶i mét ph¬ng tr×nh cña hÖ råi thÕ nghiÖm t×m ®îc vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i. * Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm chung, gi¶i t×m nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh trong hÖ, sau ®ã t×m nghiÖm chung. 2) HÖ ph¬ng tr×nh lîng gi¸c hai Èn. Ch¼ng h¹n cã hÖ ph¬ng tr×nh :

Ph¬ng ph¸p chung lµ ®a nã vÒ hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè hai Èn, hoÆc ®a vÒ ph¬ng tr×nh tæng tÝch.

BÊt ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1. sinx < a -1 < a 1  M = {x | -arcsina + k2 < x < arcsina + 2k, k  Z} a > 1  M = R a  -1  M =  2. Sinx > a -1 < a 1  M = {x | arcsina + k2 < x < -arcsina + 2k, k  Z} a  1  M =  a  -1  M = R 3. Cosx < a -1 < a 1  M = {x | arccosa + k2 < x < 2-arccosa + 2k, k  Z} a > 1  M = R a  -1  M =  4. Cosx > a -1  a <1  M = {x | -arccosa + k2 < x < arccosa + k2, k  Z} a  1  M =  a < -1  M = R 5. tgx < a

6. tgx > a

7. cotgx < a M = {x | arccotga + k < x <  + k, k  Z} 8. cotgx > a M = {x | k < x < arccotga + k, k  Z}

Tam gi¸c - §a gi¸c - H×nh trßn Tam gi¸c

Tø gi¸c

§a gi¸c ®Òu

H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn

Tam gi¸c 1) Mét sè kiÕn thøc quan träng vÒ tam gi¸c + Tæng c¸c gãc trong A + B + C = 2 + §Þnh lÝ hµm c«sin

+ §Þnh lÝ hµm sè sin

(R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC). + §Þnh lÝ hµm sè tang

+ §é dµi ®êng trung tuyÕn, ®êng cao, ®êng ph©n gi¸c.

(ma lµ trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A).

(ha lµ ®êng cao xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A).

(la lµ ph©n gi¸c cña gãc A cña ABC). + TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña A

(D – giao ®iÓm cña ph©n gi¸c vµ c¹nh BC) + §êng trung b×nh

E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, BC th× EF // BC vµ + DiÖn tÝch

(ha,hb ,hc - ®é dµi ®êng cao xuÊt ph¸t tõ A, B, C t¬ng øng)

(c«ng thøc Herong)

S = pr (r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) + Tæng vµ hiÖu c¸c b×nh ph¬ng hai c¹nh

2). Tam gi¸c vu«ng + §Þnh lÝ Pitago

C¸c c«ng thøc kh¸c.

3) Tam gi¸c ®Òu

4) Tam gi¸c vu«ng c©n

Tø gi¸c 1. H×nh thang

2. H×nh b×nh hµnh

3. H×nh ch÷ nhËt

4. H×nh thoi

5. H×nh vu«ng

6. Tø gi¸c néi tiÕp * Tø gi¸c néi tiÕp

(p lµ nöa chu vi tø gi¸c ABCD) 7. Tø gi¸c ngo¹i tiÕp + Tø gi¸c ngo¹i tiÕp  a + c = b + d

8. Tø gi¸c bÊt k× * A + B + C + D = 2

§a gi¸c ®Òu 1. §a gi¸c ®Òu n c¹nh a * Gãc ë t©m

* Gãc trong

* Trung ®o¹n

2. §a gi¸c ®Òu n c¹nh néi tiÕp ®êng trßn b¸n kÝnh R. * C¹nh

* Trung ®o¹n

Chó ý :

+ Tam gi¸c ®Òu néi tiÕp :

+ H×nh vu«ng néi tiÕp + Ngò gi¸c ®Òu néi tiÕp :

+ Lôc gi¸c ®Òu néi tiÕp : a = R. 3. §a gi¸c ®Òu n c¹nh ngo¹i tiÕp ®êng trßn b¸n kÝnh r. + C¹nh

+ Trung ®o¹n d = r.

H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn 1. H×nh trßn + Chu vi C = 2R

+ DiÖn tÝch : S = R2 2. H×nh vµnh kh¨n DiÖn tÝch : S = (R2 – r2) = (2r + d)d

3. H×nh qu¹t + §é dµi cung : l = R

+ DiÖn tÝch : ( tÝnh b»ng rad)

4. H×nh viªn ph©n

( tÝnh b»ng rad)

5. HÖ thøc lîng trong ®êng trßn +

+ Trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn (O) vµ (O') lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm cã cïng ph¬ng tÝch víi hai ®êng trßn ®ã (lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OO'). + T©m ®¼ng ph¬ng cña ba ®êng trßn (O') (O''), (O''') (ba ®iÓm O, O', O'' kh«ng th¼ng hµng) lµ mét ®iÓm cã cïng ph¬ng tÝch víi c¸c ®êng trßn nµy. + T×m trôc ®¼ng ph¬ng * Hai ®êng trßn c¾t nhau t¹i hai ®iÓm lµ ®êng th¼ng ®i qua hai giao ®iÓm ®ã.

* Hai ®êng trßn tiÕp xóc nha t¹i hai ®iÓm lµ tiÕp tuyÕn chung ®i qua ®iÓm ®ã.

* Hai ®êng trßn (O) vµ (O') kh«ng c¾t nhau, dùng ®êng trßn (O'') c¾t c¶ hai ®êng trßn trªn theo thø tù t¹i A, B vµ C, D. Hai ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i M. Th× trôc ®¼ng ph¬ng lµ ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi OO'.

víi OO'.

Mét sè h×nh khèi quen thuéc Khèi ®a diÖn

Khèi trßn xoay

Khèi ®a diÖn 1. H×nh l¨ng trô p chu vi thiÕt diÖn th¼ng S DiÖn tÝch thiÕt diÖn th¼ng B diÖn tÝch ®¸y l ®êng sinh h ®êng cao * Sxq = pl * Stp = pl + 2B * V = Bh = Sl

* Trêng hîp l¨ng trô ®øng (c¹nh bªn vu«ng gãc víi ®¸y) : S = B, h = l. 2. H×nh hép ch÷ nhËt

3. H×nh lËp ph¬ng

(c¸c mÆt bªn)

4. H×nh chãp

* H×nh chãp ®Òu lµ h×nh chãp ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu vµ ch©n ®êng cao ®i qua t©m cña ®¸y.

(c¸c mÆt bªn)

(d lµ trung ®o¹n, p lµ chu vi ®¸y). 5. H×nh chãp côt

* H×nh chãp ®Òu ®îc c¾t ra bëi mét mÆt ph¼ng song song víi ®¸y t¹o thµnh h×nh chãp côt ®Òu.

6. Khèi l¨ng trô côt ®¸y tam gi¸c

(S lµ diÖn tÝch thiÕt diÖn th¼ng)

Khèi trßn xoay 1. H×nh trô

2. H×nh nãn

3. H×nh nãn côt

4. H×nh cÇu vµ c¸c phÇn h×nh cÇu + H×nh cÇu

* DiÖn tÝch mÆt cÇu : * ThÓ tÝch h×nh cÇu :

+ Qu¹t cÇu

(R : b¸n kÝnh mÆt cÇu, r : b¸n kÝnh ®¸y, h : chiÒu cao) + Chám cÇu

+ §íi cÇu

5. Mét sè h×nh kh¸c + H×nh trô côt

+ H×nh xuyÕn * B¸n kÝnh trung b×nh :

* B¸n kÝnh h×nh xuyÕn :

* DiÖn tÝch mÆt xuyÕn :

* ThÓ tÝch :

PhÐp biÕn h×nh

PhÐp tÞnh tiÕn

PhÐp ®èi xøng trôc

PhÐp ®èi xøng t©m

PhÐp quay

PhÐp dêi h×nh

PhÐp vÞ tù

PhÐp ®ång d¹ng

PhÐp biÕn h×nh ¸nh x¹ f tõ tËp hîp P vµo tËp hîp P ®îc gäi lµ phÐp biÕn h×nh cña mÆt ph¼ng nÕu hai ®iÓm kh¸c nhau th× cã hai ¶nh kh¸c nhau vµ mçi ®iÓm thuéc P ®Òu co¸ t¹o ¶nh thuéc P.

+ KÝ hiÖu f lµ phÐp biÕn h×nh, ta viÕt :

®Ó chØ M' lµ ®iÓm t¬ng øng cña ®iÓm M qua phÐp biÕn h×nh f. + NÕu H lµ mét h×nh nµo ®ã th× tËp hîp c¸c ¶nh M' øng víi mçi ®iÓm M cña H còng lµm thµnh mét h×nh H', ta viÕt :

+ TÝch c¸c phÐp biÕn h×nh

th× gäi lµ tÝch cña c¸c phÐp biÕn h×nh g vµ h, vµ kÝ hiÖu lµ vµ

Gäi f = h.g + PhÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt PhÐp biÕn h×nh trong ®ã mçi ®iÓm ®Òu trïng víi ¶nh cña nã ®îc gäi lµ phÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt, kÝ hiÖu lµ e. + PhÐp biÕn h×nh ®¶o ngîc.

+ Cho th× gäi lµ phÐp biÕn h×nh ®¶o ngîc cña f.

(kh«ng ®æi). PhÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M thµnh M' sao cho gäi lµ phÐp tÞnh tiÕn

PhÐp tÞnh tiÕn + Cho vect¬

theo vect¬ kÝ hiÖu lµ

+ Khi , ta cã phÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt e.

+ PhÐp biÕn h×nh tÞnh tiÕn lµ phÐp biÕn h×nh ngîc cña phÐp tÞnh tiÕn .

+ (A', M' theo thø tù lµ ¶nh cña A, M).

biÕn

+ * §êng th¼ng AB thµnh ®êng th¼ng A'B' cïng ph¬ng. * Tia AB thµnh tia A'B' cïng híng. * §o¹n th¼ng AB thµnh ®o¹n th¼ng A'B' b»ng AB. * ABC thµnh A'B'C' = ABC

* Gãc xOy thµnh * §êng trßn (O) thµnh ®êng trßn (O') b»ng nã.

PhÐp ®èi xøng trôc Cho ®êng th¼ng d. PhÐp biÕn h×nh mçi ®iÓm M thµnh ®iÓm M' sao cho

Gäi lµ phÐp ®èi xøng trôc, kÝ hiÖu Sd, d gäi lµ trôc ®èi xøng. + PhÐp biÕn h×nh ngîc cña Sd còng lµ Sd. + Khi M  d th× M' lµ ¶nh cña M trïng víi M nªn d lµ tËp hîp ®iÓm kÐp trong Sd. + PhÐp ®èi xøng trôc biÕn * §o¹n th¼ng AB thµnh A'B' = AB * thµnh vµ

* §êng th¼ng AB thµnh ®êng th¼ng A'B'. * §êng trßn thµnh ®êng trßn b»ng nã.

* Gãc thµnh nhng ngîc híng nhau.

gäi lµ phÐp ®èi xøng t©m, kÝ hiÖu lµ

PhÐp ®èi xøng t©m + Cho ®iÓm O phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh M' sao cho S(O). + PhÐp biÕn h×nh ngîc cña S(O) lµ S(O). + O lµ ®iÓm kÐp trong phÐp biÕn h×nh S(O). + S(O) biÕn : * §o¹n th¼ng AB thµnh A'B' = AB.

thµnh * * §êng th¼ng kh«ng qua O thµnh A'B'//AB.

* §êng trßn (O) thµnh (O') b»ng nã.

* Gãc thµnh .

PhÐp quay Cho ®iÓm O vµ gãc

. PhÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M' sao cho

Gäi lµ phÐp quay, kÝ hiÖu lµ R(0, ) phÐp quay t©m O theo chiÒu quay d¬ng (chiÒu quay ngîc víi chiÒu quay

cña kim ®ång hå), kÝ hiÖu lµ ; theo chiÒu quay ©m, kÝ hiÖu lµ .

lµ .

ta cã phÐp ®èi xøng t©m O.

PhÐp biÕn h×nh ngîc cña + Khi  = 0, ta cã phÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt e, khi PhÐp quay biÕn * §o¹n th¼ng AB thµnh A'B' = AB.

thµnh vµ

* * §êng th¼ng AB thµnh ®êng th¼ng A'B'. * §êng trßn (O) thµnh (O') b»ng nã

* Gãc thµnh

PhÐp dêi h×nh + PhÐp biÕn h×nh biÕn hai ®iÓm A, B bÊt k× thµnh hai ®iÓm A', B' sao cho AB = A'B' gäi lµ phÐp dêi h×nh. + PhÐp tÞnh tiÕn, phÐp ®èi xøng trôc, phÐp ®èi xøng t©m, phÐp quay, phÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt lµ nh÷ng vÝ dô vÒ phÐp dêi h×nh.

TÝch cña hai phÐp dêi h×nh lµ mét phÐp dêi h×nh.

0. PhÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M thµnh ®iÓm M' sao cho , gäi lµ

PhÐp vÞ tù + Cho ®iÓm O vµ mét sè k phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k, kÝ hiÖu lµ H(O , k).

1, O lµ ®iÓm kÐp duy nhÊt cña phÐp vÞ tù. PhÐp biÕn h×nh ngîc cña phÐp H(O , k) lµ + PhÐp vÞ tù víi k = 1 lµ phÐp ®ång nhÊt. + PhÐp vÞ tù víi k = -1 lµ phÐp ®èi xøng t©m O. + Khi k + PhÐp vÞ tù H(O , k) biÕn :

thµnh

* * §êng th¼ng AB thµnh ®êng th¼ng A'B'//AB. * §êng trßn (O ; R) thµnh (O' ; |k|R).

* Gãc thµnh

PhÐp ®ång d¹ng + PhÐp ®ång d¹ng tû sè |k| lµ tÝch cña phÐp H(O , k) vµ mét phÐp dêi h×nh. + PhÐp ®ång d¹ng biÕn : * §o¹n th¼ng AB thµnh ®o¹n th¼ng A'B' = kAB * §êng th¼ng thµnh ®êng th¼ng. * Tia thµnh tia. * Tam gi¸c ABC thµnh tam gi¸c A'B'C' ®ång d¹ng tam gi¸c ABC.

thµnh

* Gãc * §êng trßn (O, R) thµnh (O';| k | R) * A'B'C'D' ®ång d¹ng ABCD

Vect¬

Mét sè kh¸i niÖm vÒ vect¬

C¸c phÐp to¸n víi vect¬

Mét sè kh¸i niÖm vÒ vect¬

+ Vect¬ lµ mét ®o¹n th¼ng ®Þnh híng.

* KÝ hiÖu hay

* A lµ ®iÓm ®Çu, B lµ ®iÓm cuèi.

* Híng ®i tõ A ®Õn B.

* §é dµi vect¬ lµ ®é dµi ®o¹n th¼ng AB kÝ hiÖu hay AB.

. * §êng th¼ng AB lµ gi¸ cña vect¬

+ Vect¬ kh«ng (kÝ hiÖu ) cã ®é dµi b»ng 0 vµ híng tuú ý chän.

+ Hai vect¬ b»ng nhau

+ Hai vect¬ ®èi nhau

+ Hai vect¬ cïng ph¬ng (céng tuyÕn) nÕu chóng cïng gi¸ hoÆc cã gi¸ song song.

+ Hai vect¬ chung gèc O

3) PhÐp nh©n vect¬ víi sè - §iÒu kiÖn céng tuyÕn cña hai vect¬.

+ Cho vect¬ , p  R

cïng híng víi nÕu p > 0 ngîc híng víi nÕu p < 0.

+ TÝnh chÊt

(tÝnh chÊt kÕt hîp)

(tÝnh chÊt ph©n phèi)

+ §iÒu kiÖn céng tuyÕn cña hai vect¬

céng tuyÕn víi

Gãc gi÷a hai vect¬ kÝ hiÖu lµ gãc  t¹o bëi hai tia OA, OB xuÊt ph¸t

tõ mét ®iÓm O bÊt k× .

C¸c phÐp to¸n víi vect¬ 1) PhÐp céng vect¬ + Quy t¾c tam gi¸c (quy t¾c 3 ®iÓm)

+ Quy t¾c h×nh b×nh hµnh

+ Quy t¾c ®a gi¸c

+ Quy t¾c h×nh hép

(tÝnh chÊt giao ho¸n)

(tÝnh chÊt kÕt hîp)

)

(OA, OB, Oc lµ c¸c c¹nh cña h×nh hép, OS lµ ®êng chÐo). + TÝnh chÊt cña phÐp céng vect¬

(tÝnh chÊt vect¬ ®èi)

(tÝnh chÊt vect¬

2) PhÐp trõ vect¬

* Quy t¾c tam gi¸c

* kh«ng céng tuyÕn,

kh«ng céng tuyÕn, bÊt k×

* cÆp sè m, n lµ duy nhÊt 4) C¸c vect¬ ®ång ph¼ng

+ Ba vect¬ gäi lµ ®ång ph¼ng nÕu chóng lÇn lît n»m trªn ba mÆt ph¼ng ®«i mét song song.

+ kh«ng céng tuyÕn vµ ®ång ph¼ng  cÆp (m, n) duy nhÊt sao cho

, bé ba sè k, l, m lµ duy nhÊt. bÊt k× kh«ng ®ång ph¼ng,

+ 5) Mét sè kÕt qu¶ cÇn nhí + I lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB :

+ I lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ ®iÓm bÊt k×

I lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ ®iÓm bÊt k×

6) TÝch v« híng cña hai vect¬

* C«ng thøc tÝnh gãc

* TÝnh chÊt cña tÝch v« híng

* Mét sè c«ng thøc kh¸c vÒ tÝch v« híng

7) TÝch vect¬

+ TÝch vect¬ (hay tÝch cã híng) cña hai vect¬ vµ lµ mét vect¬ kÝ hiÖu lµ

+ TÝnh chÊt cña tÝch vect¬

5) NÕu th× b»ng diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh OABC víi

C¸c ®êng bËc hai trong hÖ täa ®é Oxy

§êng trßn

ElÝp

Hypebol

Parabol

§Þnh nghÜa 3 ®êng C«nic (K) theo tiªu ®iÓm vµ ®êng chuÈn

Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng trßn :

+ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn () víi ®êng trßn (C) t¹i

®èi víi ®êng trßn (C) :

+ Ph¬ng tr×nh cña ®iÓm

+ Ph¬ng tr×nh tham sè

ElÝp + §Þnh nghÜa

lµ hai ®iÓm cè ®Þnh gäi lµ tiªu ®iÓm , a kh«ng ®æi

gäi lµ tiªu cù. Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c vµ c¸c yÕu tè * Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

* Tiªu ®iÓm a : nöa ®é dµi trôc lín b : nöa ®é dµi trôc nhá

* B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M  (E)

®Ønh trªn trôc nhá

* §Ønh trªn trôc lín * Ph¬ng tr×nh c¹nh h×nh ch÷ nhËt c¬ së x = ±a, y = ±b. + §êng chuÈn (E) øng víi Fi (i = 1, 2) lµ ®êng th¼ng i (i =1, 2) vu«ng gãc víi trôc ®èi xøng chøa c¸c tiªu

Víi lµ

+ TiÕp tuyÕn cña ElÝp

thuéc elÝp :

* §êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ElÝp t¹i

* §êng th¼ng (d') : Ax + By + C = 0 lµ tiÕp tuyÕn cña

+ Chó ý : * Ph¬ng tr×nh tham sè

* DiÖn tÝch S = ab

nÕu b > a > 0 th× :

* Trong ph¬ng tr×nh b : nöa ®é dµi trôc lín a: nöa ®é dµi trôc nhá

, Oy lµ trôc tiªu

Hypebol + §Þnh nghÜa

, a kh«ng ®æi lµ hai ®iÓm cè ®Þnh gäi lµ hai tiªu ®iÓm.

gäi lµ tiªu cù.

+ Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c vµ c¸c yÕu tè * Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

Trôc thùc lµ trôc tiªu (trôc Ox) * Tam sai :

* Tiªu ®iÓm a : nöa ®é dµi trôc thùc b : nöa ®é dµi trôc ¶o

* Hai ®êng tiÖm cËn xiªn :

* Hai nh¸nh : - Nh¸nh ph¶i :

- Nh¸nh tr¸i :

* Ph¬ng tr×nh h×nh ch÷ nhËt c¬ së : x = ±a, y = ±b + B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M  (H) * Bªn ph¶i

* Bªn tr¸i

+ Hypebol (H') liªn hîp víi (H) cã ph¬ng tr×nh :

b : nöa ®é dµi trôc thùc a : nöa ®é dµi trôc ¶o Trôc thùc lµ trôc tiªu Oy. * §êng chuÈn cña Hypebol (H) lµ :

+ TiÕp tuyÕn víi Hypebol * Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (d) víi (H) t¹i

* T¬ng tù víi (H') lµ

* Cho (d') : Ax + By + C = 0

- TiÕp tuyÕn

- TiÕp tuyÕn + Ph¬ng tr×nh cña Hypebol ®Òu * D¹ng chÝnh t¾c :

* D¹ng nhËn c¸c trôc täa ®é lµm ®êng tiÖm cËn

Parabol + §Þnh nghÜa (P) = {M : MF = MK} F lµ ®iÓm cè ®Þnh gäi lµ tiªu ®iÓm. (D) lµ ®êng th¼ng cè ®Þnh gäi lµ ®êng chuÈn.

+ Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c vµ c¸c yÕu tè. * Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

p gäi lµ tham sè tiªu (®ã lµ kho¶ng c¸ch tõ tiªu ®iÓm ®Õn ®êng chuÈn). §êng chuÈn (D) cã ph¬ng tr×nh :

* Trôc ®èi xøng Ox * Tiªu ®iÓm

* T©m sai

* B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña M  (P)

+ C¸c ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol

+ TiÕp tuyÕn víi parabol

* TiÕp tuyÕn víi (P) t¹i

* Cho (d') : Ax + By + C = 0 lµ tiÕp tuyÕn cña

cña

cña + Ph¬ng tr×nh tham sè

Ph¬ng tr×nh tham sè

§Þnh nghÜa ba ®êng C«nic (K) theo tiªu ®iÓm vµ ®êng chuÈn

* Víi 0 < e < 1, ®êng (K) lµ (E). * Víi e = 1 ®êng (K) lµ (P).

* Víi e > 1, ®êng (K) lµ (H).

Täa ®é trong mÆt ph¼ng - Täa ®é trong kh«ng gian

Trôc - Täa ®é trªn trôc

HÖ trôc täa ®é trong mÆt ph¼ng

HÖ trôc täa ®é trong kh«ng gian

Mét sè c«ng thøc kh¸c

C«ng thøc ®æi trôc

Trôc - Täa ®é trªn trôc

+ Trôc lµ mét ®êng th¼ng trªn ®ã chän mét ®iÓm O (gäi lµ ®iÓm gèc) vµ mét vect¬ ®¬n vÞ

( n»m trªn trôc, m lµ duy nhÊt) th× m gäi lµ täa ®é cuÈ vect¬ . + Täa ®é cña mét ®iÓm trªn trôc

täa ®é cña ®iÓm M lµ a (M n»m trªn trôc). NÕu ®iÓm M cã to¹ ®é lµ a th× kÝ hiÖu lµ M(a).

+ Täa ®é cña vect¬ nÕu A(a), B(b).

HÖ trôc täa ®é trong mÆt ph¼ng + HÖ trôc täa ®é §Ò c¸c trùc chuÈn (h×nh bªn). O - gèc täa ®é x'Ox - trôc hoµnh y'Oy - trôc tung

- vect¬ c¬ së.

(Oxy) - mÆt ph¼ng täa ®é. + Täa ®é cña vect¬

th×

còng gäi lµ täa ®é cña ®iÓm M.

HÖ trôc täa ®é trong kh«ng gian + HÖ trôc täa ®é §Ò c¸c trùc chuÈn. O - gèc täa ®é Ox - trôc hoµnh Oy - trôc tung Oz - trôc cao

- lµ c¸c vect¬ c¬ së.

Oxy, Oxz, Oyz - mÆt ph¼ng täa ®é. + Täa ®é cña mét ®iÓm - Täa ®é vect¬

* Cho ®iÓm M cã täa ®é kÝ hiÖu lµ hay

* Cho , th× .

Mét sè c«ng thøc kh¸c

MÆt ph¼ng

(víi mét qui íc nÕu mét mÉu nµo ®ã b»ng 0 th× tö sè b»ng 0)

8) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B

10) DiÖn tÝch tam gi¸c

Kh«ng gian

(víi mét qui íc nÕu mét mÉu nµo ®ã b»ng 0 th× tö sè b»ng 0)

8) Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B

10) DiÖn tÝch tam gi¸c

11) Chia mét ®o¹n th¼ng theo tØ sè k

theo tØ sè k §iÓm M(x, y) chia ®o¹n th¼ng * Trªn ®êng th¼ng

* Trªn mÆt ph¼ng

* Trong kh«ng gian

(k -1) Täa ®é trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB - Trªn ®êng th¼ng

- Trªn mÆt ph¼ng

- Trong kh«ng gian

gäi

, ,  : gãc chØ ph¬ng cña .

Cos, cos, cos : cosin chØ ph¬ng cña 13) TÝch vect¬

Th×

céng tuyÕn

14) TÝch hçn t¹p

+ Cho ba vect¬

(gäi lµ tÝch hçn t¹p cña ba vect¬

+ ®ång ph¼ng

C«ng thøc ®æi trôc

+ §æi trôc Oxy  O'XY b»ng phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ Täa ®é cña ®iÓm M trong hÖ Oxy lµ (x, y) trong hÖ O'XY lµ (X, Y) ta cã :

+ §æi trôc Oxy  OXY b»ng phÐp quay gãc  quanh gèc O

vµ phÐp quay R(O', )

+ §æi trôc Oxy  O'XY b»ng phÐp

§êng th¼ng trong mÆt ph¼ng - §êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng trong kh«ng gian §êng th¼ng trong mÆt ph¼ng

§êng th¼ng trong kh«ng gian

Kho¶ng c¸ch

MÆt ph¼ng

MÆt cÇu

§êng th¼ng trong mÆt ph¼ng 1. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng + Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t

gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn cña (d)

lµ vect¬ chØ ph¬ng cña (d)

gäi lµ vect¬ chØ ph¬ng cña (d)

+ Ph¬ng tr×nh tham sè

+ Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

+ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua hai ®iÓm

+ Ph¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n

(a, b lµ ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng mµ ®êng th¼ng c¾t c¸c trôc täa ®é)

+ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua vµ cã hÖ sè gãc k

2. Kho¶ng c¸ch

+ Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm ®Õn ®êng th¼ng (d) = Ax + By + C = 0

+ Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng song song

(nhng kh«ng trïng nhau) :

3. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng

4. Gãc gi÷a hai ®êng th¼ng

cho bëi

Gãc ®Þnh híng

Gãc h×nh häc cho bëi

lµ :

§êng th¼ng trong kh«ng gian 1. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng + Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t

gäi lµ vect¬ chØ ph¬ng cña (d))

+ Ph¬ng tr×nh tham sè

( + Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

+ Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua hai ®iÓm

2. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng * Hai ®êng th¼ng :

cïng n»m trong mÆt ph¼ng (®ång ph¼ng) \\

* (d) chÐo nhau víi

3. Gãc gi÷a hai ®êng th¼ng

cã vect¬ chØ ph¬ng

 lµ gãc gi÷a vµ



Kho¶ng c¸ch + Tõ ®iÓm

®Õn ®êng th¼ng (d) :

+ Hai ®êng th¼ng chÐo nhau

(* g.tr.t d : gi¸ trÞ tuyÖt ®èi) + Hai ®êng th¼ng song song

MÆt ph¼ng 1. Ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng + Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t

gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn.

Mét sè trêng hîp ®Æc biÖt 1) Ax + By + Cz = 0 ®i qua gèc täa ®é. 2) By + Cz + D = 0 song song víi trôc Ox. 3) Ax + Cz + D = 0 song song víi trôc Oy. 4) Ax + By + D =0 song song víi trôc Oz. 5) Ax + D = 0 vu«ng gãc víi trôc Ox. 6) By + D = 0 vu«ng gãc víi trôc Oy. 7) Cz + D = 0 vu«ng gãc víi trôc Oz. 8) By + Cz = 0 chøa trôc Ox. 9) Ax + Cz = 0 chøa trôc Oy. 10) Ax + By = 0 chøa trôc Oz 11) Z = 0 lµ mÆt ph¼ng Oxy. 12) Y = 0 lµ mÆt ph¼ng Oxz. 13) X = 0 lµ mÆt ph¼ng Oyz. + Ph¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n

lµ hai vect¬ chØ ph¬ng).

+ Ph¬ng tr×nh tham sè

+ Ph¬ng tr×nh (P) ®i qua ba ®iÓm

+ Ph¬ng tr×nh (P) chøa hai ®êng th¼ng song song

Ph¬ng tr×nh (P) chøa hai ®êng th¼ng c¾t nhau

2. Gãc gi÷a ®êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0

 : gãc gi÷a (d) vµ (P)

Gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng :

3. VÞ trÝ t¬ng ®èi * §êng vµ mÆt Cho ®êng th¼ng (d) :

vµ mÆt ph¼ng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 (d)  (P)   Aa + Bb + Cc 0

+ Hai mÆt ph¼ng :

+ Kho¶ng c¸ch

* Tõ ®Õn mÆt ph¼ng Ax + By + Cz + D = 0

* Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng

+ Chïm mÆt ph¼ng

Chïm mÆt ph¼ng NÕu :

th× ph¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng lµ :

MÆt cÇu + Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu

lµm ®êng kÝnh :

* Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (C) nhËn

(-a, -b, -c) vµ b¸n kÝnh + Giao cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu (P) : Ax + By + Cz + D = 0

* IH < R th× (P)  (S) lµ mét ®êng trßn n»m trong (P) * IH = R th× (P)  (S) ={H} * IH > R th× (P)  (S) = .

PhÇn I - §¹i sè vµ gi¶i tÝch

1. TËp hîp. 2. BiÓu thøc ®¹i sè. 3. Luü thõa vµ c¨n sè. 4. D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n. 5. LogarÝt. 6. Tæ hîp - C«ng thøc Niu t¬n. 7. Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh. 8. BÊt ph¬ng tr×nh. 9. BÊt ®¼ng thøc. 10. Hµm sè. 11. Giíi h¹n hµm sè. 12. Hµm sè liªn tôc. 13. §¹o hµm. 14. §êng tiÖm cËn. 15. Kh¶o s¸t hµm sè. 16. Nguyªn hµm. 17. TÝch ph©n.

PhÇn II - Lîng gi¸c

1. C¸c hµm sè lîng gi¸c. 2. Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c. 3. BÊt ph¬ng tr×nh lîng gi¸c.

PhÇn III - H×nh häc

1. Tam gi¸c - §a gi¸c - H×nh trßn. 2. Mét sè h×nh khèi quen thuéc. 3. PhÐp biÕn h×nh. 4. Vect¬. 5. C¸c ®êng bËc hai trong hÖ täa ®é Oxy. 6. Täa ®é trong mÆt ph¼ng - Täa ®é trong kh«ng gian. 7. §êng th¼ng trong mÆt ph¼ng - §êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng trong kh«ng gian.