Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp Hà Nội

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0172<br /> Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 115-128<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC HỖ TRỢ GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP<br /> CHO SINH VIÊN GẮN VỚI THỰC TIỄN ĐÀO TẠO NGHỀ<br /> Ở TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI<br /> <br /> Lê Bá Phương<br /> Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội<br /> <br /> Tóm tắt. Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề sử dụng một số phần mềm toán học để hỗ<br /> trợ dạy Toán cao cấp (TCC) gắn với thực tiễn đào tạo nghề ở trường Đại học Công nghiệp<br /> (ĐHCN). Tác giả đã tiếp cận vấn đề bằng cách khai thác phần mềm Matlab và Maple trong<br /> giảng dạy Giải tích toán học cho sinh viên (SV) hai nhóm ngành điện và cơ khí ở trường<br /> ĐHCN Hà Nội. Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa việc sử dụng<br /> Maple, Matlab giúp cho SV nắm vững và vận dụng vào giải quyết bài toán thực tiễn nghề<br /> nghiệp.<br /> Từ khóa: Sử dụng phần mềm toán học, giảng dạy Toán cao cấp, thực tiễn dạy nghề.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Quan niệm học để làm, một trong bốn “cột trụ” của giáo dục (UNESCO, 1985) là sự khẳng<br /> định chắc chắn của thế giới về mục tiêu tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc học.<br /> Về giáo dục đại học, Hội nghị quốc tế UNESCO (Paris, 5-8/7/2009) đã làm rõ hơn vai trò<br /> của giáo dục cũng như triết lí của đào tạo bậc đại học: Không những đào tạo cho SV có kiến thức<br /> vững chắc và biết vận dụng sáng tạo trong hoàn cảnh hiện thời và cả cho tương lai. Trong đó, đặc<br /> biệt nhấn mạnh "... Đào tạo tay nghề cao, những công dân có trách nhiệm chuyên nghiệp tùy theo<br /> nhu cầu hiện tại và tương lai của xã hội" [12].<br /> Về giáo dục nghề nghiệp, ngày 29/11/2013, Ngân hàng Thế giới (WB) đã công bố báo cáo<br /> Phát triển Việt Nam 2014 với tựa đề “Phát triển kĩ năng: Xây dựng lực lượng lao động cho một<br /> nền kinh tế thị trường hiện đại ở Việt Nam", trong đó đưa ra kế hoạch thực hiện "phát triển kĩ năng<br /> kĩ thuật phù hợp với công việc thông qua một hệ thống được kết nối tốt hơn giữa người sử dụng<br /> lao động với SV, các trường đại học và các trường dạy nghề" [11].<br /> Như vậy, giáo dục toán học gắn với thực tiễn đã được các nhà giáo dục trên thế giới quan<br /> tâm nghiên cứu theo hướng hình thành và phát triển năng lực vận dụng vào thực tế; ngay từ bậc học<br /> phổ thông - đối với lứa tuổi đang trưởng thành [9], đến bậc học đại học [12] và đào tạo nghề [11].<br /> - Ở Việt Nam, ngay từ rất sớm, trong cuốn sách "Giáo dục học môn Toán" (1981), các tác<br /> giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đã nhìn nhận việc dạy và học môn Toán ở<br /> các bậc học không chỉ thuần túy như một môn học, mà còn thể hiện yêu cầu và kết quả - xem như<br /> một trong những yếu tố văn hóa mà mỗi con người cần có để vận dụng trong thực tiễn cuộc sống.<br /> Ngày nhận bài: 15/7/2015. Ngày nhận đăng: 10/10/2015.<br /> Liên hệ: Lê Bá Phương, e-mail: lebaphuong70@gmail.com<br /> <br /> <br /> <br /> 115<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> - Vấn đề dạy học Toán gắn với ứng dụng của toán học đã được đưa vào giáo trình Lí luận<br /> Dạy học Toán để đào tạo giáo viên (GV), điển hình là trong Giáo trình Phương pháp dạy học môn<br /> toán [4], tác giả Nguyễn Bá Kim (2015) đã chỉ rõ:<br /> + Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của<br /> Toán học. Ngược lại, tính trừu tượng cao độ làm cho Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể<br /> ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống.<br /> + "Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học" là một trong bốn tư<br /> tưởng cơ bản của dạy học Toán, góp phần thực hiện lí luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với<br /> hành, nhà trường gắn liền với đời sống. Đồng thời, tác giả cũng chỉ ra con đường và quy trình ứng<br /> dụng thực tế của Toán học, gồm ba bước:<br /> Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế;<br /> Bước 2: Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình toán học;<br /> Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế.<br /> - Về khai thác ứng dụng phương tiện dạy học, đặc biệt là máy tính và phần mềm, đã có nhiều<br /> tác giả nghiên cứu và triển khai (Phạm Huy Điển [2], Phạm Minh Hoàng [3], Đào Thái Lai [5],<br /> Trần Vui [10], ...). Trong đó, có thể thấy việc khai thác máy tính với phần mềm phù hợp có khả<br /> năng làm sáng tỏ các kiến thức toán học phức tạp bằng những minh hoạ trực quan hoàn hảo, từ đó<br /> tạo điều kiện để người học nắm vững và vận dụng công cụ này vào thực tế.<br /> - Với đào tạo đại học ngành kĩ thuật, Đỗ Văn Dũng và các tác giả trong bài viết Đa phương<br /> tiện trong dạy học tích cực môn học "Nhập môn ngành Công nghệ kĩ thuật ô tô" [1, trang 120-125]<br /> đã áp dụng quy trình bốn bước dạy học đối với SV như sau:<br /> 1. Dẫn dắt SV vào vấn đề cần học tập;<br /> 2. Hướng dẫn và tổ chức cho SV tìm kiếm và thảo luận nhóm;<br /> 3. Hoạt động làm báo cáo;<br /> 4. Hoạt động thuyết trình;<br /> Trong đó, ở hai bước 1 và 2, máy tính và phần mềm có thể trợ giúp khá hiệu quả đối với SV<br /> khi học và sử dụng TCC vận dụng vào thực tiễn học nghề ở trường ĐHCN.<br /> Với đặc thù đào tạo nghề ở trường ĐHCN, môn TCC không chỉ dừng ở chỗ cho SV hiểu<br /> biết Toán học mà quan trọng là tập dượt cho họ khả năng vận dụng vào giải quyết những bài toán<br /> xuất phát từ thực tiễn ngành nghề được đào tạo.<br /> Nghiên cứu vấn đề này, chúng tôi đã có những kết quả bước đầu về cơ sở lí luận và thực<br /> tiễn, từ đó đề xuất giải pháp (định hướng, quy trình, nội dung và biện pháp) dạy học TCC ở trường<br /> ĐHCN [6-8].<br /> Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi trình bày một kết quả nghiên cứu việc dạy học TCC<br /> gắn với thực tiễn đào tạo nghề thông qua khai thác hai phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng<br /> dạy giải tích toán học ứng dụng vào một số bài toán có nội dung nghề nghiệp (điện, cơ khí) cho<br /> SV trường ĐHCN Hà Nội.<br /> <br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> 2.1. Sử dụng các phần mềm Matlab và Maple hỗ trợ giảng dạy Giải tích toán<br /> học gắn với thực tiễn đào tạo nghề cơ khí và nghề điện ở trường ĐHCN<br /> Với những chức năng và ưu thế của các phần mềm Matlab và Maple, GV và SV trường<br /> ĐHCN có thể khai thác để hỗ trợ những hoạt động dạy và học TCC sau:<br /> <br /> 116<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> - Minh họa trực quan các khái niệm, tính chất toán học phức tạp;<br /> - Kiểm tra, dự đoán kết quả, từ đó xác định hướng giải bài toán;<br /> - Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài toán cùng loại một cách nhanh chóng, chính xác;<br /> - Vẽ các hình trong không gian (đường, mặt, khối, vật thể, ...) để biểu diễn - mô hình hóa<br /> đối tượng trong bài toán thực tế nghề nghiệp.<br /> Trong giảng dạy Giải tích toán học cho SV ngành cơ khí chế tạo, ngành điện tử, việc sử<br /> dụng máy tính cùng với những phần mềm toán học như Matlab, Maple, ... có khả năng trợ giúp vẽ<br /> các đường, mặt cong, khối vật thể, ... trong không gian một cách chính xác, trực quan. Nhờ vậy,<br /> khi học khái niệm tích phân và ứng dụng, SV có thể mô hình hóa, sơ đồ hóa tình huống thực tiễn,<br /> giúp quan sát một cách trực quan từ nhiều góc độ, dễ dàng nhận ra nhiều thuộc tính, quan hệ của<br /> chúng, ... Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân, GV có thể giúp cho SV trong việc mô hình<br /> hóa bài toán thực tiễn, minh họa trực quan các đường cong, mặt cong phức tạp trong không gian<br /> và thể hiện kết quả dưới dạng con số, hình ảnh và đồ thị.<br /> Như vậy, với quan điểm không chỉ dùng Matlab và Maple chứng minh cho việc ứng dụng<br /> toán học, chúng tôi đã sử dụng các phần mềm này trong giảng dạy Giải tích toán học để giúp cho<br /> SV hiểu rõ, nắm vững hơn kiến thức và phương pháp toán học, đồng thời tăng cường cơ hội và<br /> khả năng vận dụng công cụ toán học vào thực tiễn nghề nghiệp của mình. Từ đó góp phần tạo ra<br /> ý thức, thói quen và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn học nghề cho SV trường ĐHCN<br /> Hà Nội.<br /> 2.2. Ví dụ minh họa<br /> Ví dụ 1: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích vật thể<br /> Khi dạy ứng dụng "tích phân hai lớp" để tính diện tích, thể tích vật thể ở những bài toán<br /> nghề nghiệp, GV sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ một số hoạt động sau đây, thông qua đó, SV<br /> không chỉ hiểu rõ nguồn gốc, sự cần thiết của công cụ tích phân, mà còn nắm vững bản chất toán<br /> học, ưu thế và nhất là thấy rõ những tình huống thực tế có thể sử dụng tích phân làm công cụ tính<br /> toán diện tích, thể tích.<br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> + GV đưa ra bài toán: Cho một khối chất rắn có dạng hình trụ nằm trên hình vuông R có<br /> kích thước [0, 2] × [0, 2] và dưới mặt paraboloid z = 16 − x2 − 2y 2 , đường sinh của hình trụ song<br /> song với Oz. Tính thể tích V của khối chất rắn.<br /> + GV: Dùng Matlab để mô phỏng khối chất rắn và hướng dẫn SV thực hiện việc tính thể tích:<br /> Chia R thành 4 hình vuông và diện tích của mỗi hình vuông là ∆S = 1; qua biên của 4<br /> hình vuông ấy dựng 4 hình hộp chữ nhật. Trong mỗi hình vuông Rij ta chọn điểm lấy mẫu để tính<br /> thể tích hình hộp chữ nhật tương ứng là các điểm (xij , yij ) nằm ở góc trên bên phải (hình 1).<br /> + GV: yêu cầu SV tính tổng thể tích của bốn hình hộp chữ nhật<br /> P2 P 2<br /> Vn = f (xij , yij )∆S = f (1, 1).1 + f (1, 2).1 + f (2, 1).1 + f (2, 2).1 = 34<br /> i=1 j=1<br /> + GV: Bây giờ ta chia R lần lượt thành 16; 64; 256 hình vuông, tức ta tăng m và n (m là số<br /> chia đoạn [0, 2] trên Ox, n là số chia đoạn [0, 2] trên Oy) và làm tương tự như trên ta sẽ có các hình<br /> ảnh (hình 2). GV cho SV nhận xét.<br /> SV: Nếu tăng số lượng hình vuông, tức tăng số lượng hình hộp chữ nhật thì tổng thể tích<br /> của các khối hộp chữ nhật đó sẽ xấp sỉ bằng thể tích của khối chất rắn đã cho (Vn ≈ V ).<br /> <br /> <br /> <br /> 117<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 2<br /> <br /> + GV: Khi tăng m và n lên thì sự sai khác giữa V và Vn càng nhỏ. Do đó thể tích V của khối<br /> chất rắn đã cho được coi là giới hạn của Vn khi m, n → ∞. Yêu cầu SV tính thể tích V :<br /> V = lim Vn = lim f (xij , yij )∆S = 48<br /> m,n→∞ m,n→∞<br /> <br /> + GV: Bây giờ ta xét bài toán tổng quát: Cho S là một vật thể hình trụ nằm trên hình chữ<br /> nhật R = [a, b] × [c, d] ở trong mặt phẳng Oxy và dưới mặt cong có phương trình z = f (x, y),<br /> mặt bên là mặt trụ có đường sinh song song với Oz và tựa trên biên của R (hình 3).<br /> Giả thiết rằng hàm z = f (x, y) xác định, liên tục<br /> và không âm trên miền R, tính thể tích V của vật thể S.<br /> + GV: Yêu cầu SV tính ra nháp, sau đó GV hướng<br /> dẫn dùng Matlab để diễn giải và chính xác hóa lời giải<br /> cho SV.<br /> Đầu tiên, chia hình chữ nhật R thành các hình<br /> chữ nhật nhỏ. Chúng ta thực hiện điều này bằng cách<br /> chia đoạn [a, b] thành m đoạn con [xi−1 , xi ] cùng độ dài<br /> ∆x = (b − a)/m và chia đoạn [c, d] thành n đoạn con<br /> cùng độ dài ∆y = (d − c)/n. Bằng cách vẽ các đường<br /> thẳng song song với các trục tọa độ đi qua các mút của<br /> Hình 3<br /> các đoạn con, ta có dạng của các hình chữ nhật nhỏ<br /> Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], tất cả có cùng diện tích<br /> ∆S = ∆x∆y (hình 4).<br /> <br /> 118<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> Nếu trên mỗi  Rij ta chọn một điểm<br /> ngẫu nhiên xij , yij thì chúng ta có thể xấp<br /> ∗ ∗<br /> <br /> xỉ phần của S nằm trên mỗi Rij bởi một khối<br /> hộp<br />  chữ nhật<br />  với đáy là Rij và chiều cao là<br /> f x∗ij , yij∗ (hình 5). Thể tích hình hộp này<br /> bằng chiều<br />  cao<br />  của nó nhân với diện tích<br /> đáy f xij , yij ∆S. Nếu ta làm như thế cho<br /> ∗ ∗<br /> <br /> tất cả hình chữ nhật và cộng các thể tích của<br /> các hình hộp tương ứng, ta nhận được giá trị<br /> xấp xỉ với thể tích của S: Hình 4<br /> Pm P n  <br /> V ≈ f x∗ij , yij∗ ∆S (hình 6)<br /> i=1 j=1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 5 Hình 6<br /> <br /> <br /> Tổng kép này có nghĩa là với mỗi hình chữ nhật con, chúng ta tính giá trị của f tại điểm đã<br /> chọn rồi nhân với diện tích của hình chữ nhật con, rồi cộng vào kết quả.<br /> Bằng trực giác ta thấy rằng, xấp xỉ trên trở nên tốt hơn khi m và n càng lớn và vì vậy<br /> m P<br /> P n   Pm P n  <br /> V = lim f x∗ij , yij∗ ∆S. Nếu tồn tại giới hạn lim f x∗ij , yij∗ ∆S, thì giới<br /> m,n→∞ i=1 j=1 m,n→∞ i=1 j=1<br /> RR<br /> hạn ấy được gọi là tích phân hai lớp của hàm z = f (x, y) trong miền R, kí hiệu là f (x, y)dxdy.<br /> R<br /> Như vậy<br /> RR m P<br /> P n  <br /> f (x, y)dxdy = lim f x∗ij , yij∗ ∆S,<br /> R m,n→∞ i=1 j=1<br /> <br /> và f (x, y) gọi là hàm số dưới dấu tích phân; x, y gọi là các biến số tích phân; R gọi là miền lấy<br /> tích phân.<br /> Ví dụ 2: Ứng dụng phương trình vi phân phân tích mạch điện<br /> Khi dạy ứng dụng của phương trình vi phân để giải bài toán phân tích mạnh điện (đối với<br /> nghề điện), GV và SV sử dụng phần mềm Matlab, Maple để hỗ trợ giải và biểu diễn nghiệm của<br /> phương trình vi phân (đặc biệt là khi cần tính toán, biểu diễn phức tạp). Nhờ vậy, SV nắm vững<br /> công cụ toán học, biết cách khai thác phần mềm để hỗ trợ giải những bài toán nghề nghiệp.<br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> <br /> 119<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> + GV đưa ra bài toán: Cho mạch điện như hình vẽ<br /> (hình 7). Hỏi điện áp vc trên tụ điện trong mạch thay đổi<br /> như thế nào nếu: R = 0, 5; C = 1; V (t) = sin 2πt.<br /> + Hướng dẫn SV giải bài toán:<br /> Theo kiến thức chuyên ngành, điện áp vc trên tụ<br /> điện trong mạch được xác định bởi phương trình vi phân<br /> ′ V (t) − vc<br /> sau: vc = . Với R là điện trở, C là điện dung, Hình 7<br /> RC<br /> V(t) là nguồn điện áp đầu vào.<br /> ′<br /> Thay số, ta có vc R= −2vc + 2 sin 2πt. Giải phương trình vi phân này (dùng Maple) ta thu<br /> được nghiệm vc = e−2t 2e2t sin (2πt) dt.<br /> Từ nghiệm này ta thấy rằng nghiệm có sự dao<br /> động, song không dễ để dự đoán được nghiệm dao động<br /> như thế nào, tức không dễ để dự đoán được điện áp vc<br /> thay đổi như thế nào nếu nguồn V (t) tuần hoàn theo chu<br /> kì thời gian. Lưu ý rằng, nguồn điện áp V (t) = sin 2πt<br /> dao động trong khoảng từ −1 đến 1 trên mỗi một đơn<br /> vị thời gian, đồ thị của hàm điện áp đầu vào V (t) =<br /> sin(2πt) (hình 8).<br /> Chú ý rằng: Về mặt ý nghĩa hình học thì mỗi Hình 8<br /> nghiệm của phương trình vi phân sẽ xác định một đường<br /> cong, gọi là đường cong tích phân của phương trình. Và<br /> thực chất việc giải phương trình vi phân chính là tìm tất<br /> cả các đường cong tích phân của nó. Tuy nhiên, việc biểu<br /> diễn hàm vc bằng hình ảnh không hề dễ dàng, vì vậy cần<br /> đến sự hỗ trợ của Maple.<br /> R Dùng Maple ta vẽ ngay được đồ thị của vc =<br /> e−2t 2e2t sin (2πt) dt (hình 9). Từ đó dễ dàng quan sát Hình 9<br /> và dự đoán sự thay đổi điện áp vc . Trên đồ thị này, ta thấy<br /> rằng nghiệm (các đường cong tích phân) có sự dao động, chúng tiến lại gần nhau và xấp xỉ với một<br /> nghiệm đơn duy nhất. Điều này về mặt kĩ thuật điện có nghĩa là điện áp vc trên tụ điện sẽ dần ổn<br /> định trong khoảng thời gian đủ dài.<br /> Ví dụ 3: Ứng dụng đường cong Lissajous nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của con<br /> lắc<br /> Dạy ứng dụng Giải tích trong giải bài toán thực hành chế tạo cơ khí, GV và SV sử dụng<br /> Matlab vẽ những đường cong thường gặp, cho dưới dạng tham số. Ở ví dụ này là đường cong<br /> Lissajous biểu diễn quỹ đạo dao động của con lắc. Nhờ hiểu bản chất toán học, cùng với việc sử<br /> dụng chức năng vẽ đường cong cho dưới dạng tham số của Matlab mà SV có thể dễ dàng vẽ chúng<br /> với tất cả các trường hợp cụ thể, từ đó hình dung trực quan các quỹ đạo chuyển động của con lắc,<br /> áp dụng hiệu quả trong thiết kế cơ khí.<br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> + GV đưa ra bài toán: Cho một con lắc di động qua lại, quỹ<br /> ( đạo sinh ra được gọi là “đường<br /> x = cos nt<br /> cong Lissajous” và phương trình tham số của quỹ đạo này là , với n là hằng số.<br /> y = sin t<br /> Hãy biểu diễn quỹ đạo chuyển động của con lắc khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Từ đó hãy nhận xét quỹ<br /> <br /> <br /> 120<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> đạo có tính chất như thế nào khi n là một số lẻ và khi n là một số chẵn?<br /> + GV hướng dẫn SV dùng phần mềm Matlab để vẽ từng đường cong khi n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.<br /> Quan sát các hình ảnh, ta thấy rằng khi n chẵn thì đồ thị “Lissajous” là đường cong không<br /> kín, khi n lẻ thì đồ thị “Lissajous” là đường cong kín (hình 10)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 10<br /> <br /> Trong cả 2 trường hợp thì đồ thị đều đối xứng qua trục Ox. Nhưng khi lẻ thì nó có dạng<br /> hình “đồng hồ cát”, nhận cả Ox và Oy làm trục đối xứng, và có tâm đối xứng là O(0, 0). Đặc biệt,<br /> khi n = 1 thì đồ thị “Lissajous” là đường tròn đơn vị tâm (0, 0) bán kính 1.<br /> Ví dụ 4: Ứng dụng đường thân khai của đường tròn trong chế tạo con lắc đồng hồ và<br /> bánh răng khớp nối<br /> Tương tự như trên, khi dạy ứng dụng Giải tích để giải bài toán thực tiễn nghề nghiệp, GV<br /> và SV sử dụng Matlab vẽ đường thân khai của đường tròn biểu diễn một số tình huống trong thực<br /> hành thiết kế chế tạo con lắc đồng hồ và các bánh răng khớp nối trong cơ khí. Điều đó rất có ý<br /> nghĩa khi kĩ sư cần phải lựa chọn phương án thiết kế tối ưu, thể hiện ở ý nghĩa thực tiễn sau:<br /> Đường thân khai của một đường tròn được nghiên cứu bởi Huygens khi ông tìm cách chế<br /> tạo ra những chiếc đồng hồ chính xác. Huyghens phát minh ra bộ phận đáng chú ý là cái hồi - giúp<br /> điều chỉnh tốc độ của đồng hồ. Ông cũng chế tạo ra các má cycloid giúp hệ thống treo quả lắc hoạt<br /> động hiệu quả hơn, đảm bảo cho chuyển động đều của quả lắc bất chấp biên độ lớn của dao động.<br /> Nhờ việc phát minh ra con lắc và những định luật chuyển động của con lắc, đồng hồ đã trở thành<br /> đối tượng nghiên cứu và là điểm xuất phát của nhiều bộ phận máy móc cơ khí.<br /> Một ứng dụng nổi tiếng khác của đường thân khai là chế tạo các bánh răng thân khai, điều<br /> này giúp cho các bánh răng đạt được độ ăn khớp tốt nhất (hình 11). Người đầu tiên đề xuất ý tưởng<br /> này là nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler (1707 - 1783). Ngày nay, người ta đã tìm ra nhiều loại<br /> bánh răng mới, như bánh răng Novikov, . . . (thật ra bánh răng chỉ cần thõa mãn định lí ăn khớp<br /> trong kĩ thuật thì trên lí thuyết đã có thể sử dụng). Tuy nhiên, bánh răng thân khai vẫn được sử<br /> dụng phổ biến do độ bền, hiệu suất cao và dễ chế tạo.<br /> <br /> 121<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 11<br /> <br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> + GV đưa ra bài toán 1: Một sợi dây kim loại (có đàn hồi) quấn quanh một lõi cứng hình<br /> tròn. Khi sợi dây được tháo ra, quỹ đạo điểm cuối của sợi dây tạo thành một đường gọi là đường<br /> thân khai của đường tròn. giả sử( lõi hình tròn có bán kính 1 chứng minh, khi đó phương trình tham<br /> x = cos t + t sin t<br /> số của đường thân khai này là . Trong đó là số đo (tính theo radian) của góc<br /> y = sin t − t cos t<br /> tạo bởi phần dương trục với bán kính đi qua điểm tiếp tuyến của sợi dây với hình tròn.<br /> a) Sử dụng chương trình đồ họa để chắc chắn rằng<br /> các phương trình tham số trên cho ta đồ thị giống với<br /> hình đã cho.<br /> dy<br /> b) Chứng tỏ rằng giá trị tại t = π tính theo<br /> dx<br /> công thức phù hợp với đồ thị biểu diễn.<br /> + GV hướng dẫn SV sử dụng Matlab để vẽ, ta có<br /> hình 12 (đồ thị là đường màu xanh dương):<br /> dx dy<br /> Ta có = t cos t, = t sin t<br /> dt dt<br /> dy dy /<br /> dt Hình 12<br /> ⇒ = dx = tan t<br /> dx /dt<br /> dy<br /> Với t = π thì = tan π = 0. Tức là hệ số góc<br /> dx<br /> của tiếp tuyến đồ thị hàm y(x) tại t = π bằng 0. Dựa<br /> vào hình vẽ (hình 13), ta thấy tiếp tuyến này nằm ngang<br /> (đường thẳng trên cùng màu tím).<br /> + GV đưa ra bài toán 2: Hình 14 biểu thị một hình<br /> lò xo. Hãy viết phương trình tham số cho đường lò xo Hình 13<br /> trên. Sau đó dùng Matlab để vẽ đồ thị và kiểm tra lại<br /> xem có đúng với hình ảnh đã cho hay không. Từ đó tìm các điểm (x; y) của đồ thị mà tại đó tiếp<br /> tuyến có phương thẳng đứng hoặc nằm ngang, hoặc tại những điểm mà đồ thị cắt chính nó.<br /> - Hướng dẫnSV sử dụng kiến thức chuyên ngành và Giải tích toán học, ta có phương trình<br /> x(t) = t + 1 sin 2πt<br /> tham số cần tìm là 2<br /> y(t) = 3 + 2 cos 2πt<br /> <br /> <br /> <br /> 122<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 14 Hình 15<br /> <br /> - Sau đó dùng Matlab vẽ đường có phương trình tham số trên ta được đồ thị này (hình 15)<br /> giống với đường lò xo đã cho (hình 14).<br /> - Bằng công cụ Giải tích cùng với quan sát hình vẽ, ta thấy:<br /> dx<br /> + Tại những điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng thì = 0 ⇔ 1 + π cos 2πt = 0<br />   dt<br /> 1 1<br /> ⇒t= arccos − + k, k ∈ Z. Từ đó các điểm mà đồ thị có phương thẳng đứng là<br /> 2π π <br /> 1 1 1 1 2<br /> (x; y) = arccos(− ) + k + sin arc cos(− ); 3 − ,k ∈ Z<br /> 2π π 2π π π<br /> dy k<br /> + Tại những điểm đồ thị có phương nằm ngang thì = 0 ⇔ −4π sin 2πt = 0 ⇒ t =<br /> dt   2<br /> k k<br /> Từ đó các điểm mà đồ thị có phương nằm ngang là (x; y) = ; 3 + 2(−1) , k ∈ Z<br /> 2<br /> 1<br /> + Dựa vào đồ thị, ta thấy các điểm mà đồ thị cắt chính nó có hoành độ x = + k , k ∈ Z,<br /> 2<br /> 1 1<br /> từ đó thay vào phương trình của x ta được + k = t + sin 2πt.<br /> 2 2<br /> + Với mỗi giá trị k, dùng khảo sát hàm số, ta<br /> chứng tỏ được rằng phương trình trên có 3 nghiệm phân<br /> biệt. Hình bên dưới minh họa cho trường hợp k = 0.<br /> 1<br /> + Phương trình trên có nghiệm t = + k ứng<br /> 2<br /> với điểm thấp nhất của đồ thị nên ta loại điểm này (chú ý<br /> rằng theo đồ thị, điểm đồ thị đi qua hai lần phải là điểm<br /> nằm giữa). Do vậy, ta chỉ cần tìm một nghiệm phương<br /> 1<br /> trình khác với ( + k).<br /> 2<br /> + Quan sát thấy các điểm đồ thị qua hai lần có thể<br /> thu được bằng cách tịnh tiến một điểm bất kì trong các Hình 16<br /> điểm đó qua phải hoặc trái một đơn vị (hình 16). Như<br /> vậy ta chỉ cần tìm nghiệm ứng với trường hợp k = 0 rồi<br /> tịnh tiến các điểm đó. Dùng máy tính ta tính được một nghiệm khác là t ≈ 0.132. Từ đó suy ra tập<br /> 1<br /> điểm cần tìm là (x; y) = + l; 4.353 , l ∈ Z<br /> 2<br /> Ví dụ 5: Ứng dụng đường cong Cycloid trong thực hành thiết kế chế tạo cơ khí<br /> Trong nhiều chuyển động cơ học có quỹ đạo tròn, đường cong Cycloid xuất hiện khá nhiều.<br /> <br /> 123<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> Chẳng hạn, chuyển động của một điểm trên vành bánh xe khi xe đang chạy, hay chuyển động của<br /> quả tạ khi một vận động viên ném tạ xích khi tạ đang bay (vẫn quy ước nếu đường ném của anh ta<br /> là đường thẳng), chuyển động của một chấm nhỏ trên trái bóng tròn khi nó đang lăn (lưu ý ở đây<br /> chỉ tính khi nó lăn chứ không trượt), chuyển động của một chấm nhỏ trên cuộn len khi nó đang lăn<br /> (không trượt)... Khi đó, về mặt toán học, đường cong được vạch ra bởi điểm P nằm trên một đường<br /> tròn, hay còn gọi là đường biên của một hình tròn khi hình tròn ấy lăn trên một đường thẳng, được<br /> gọi là một đường cong Cycloid (hình 17).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 17<br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> + GV đưa ra bài toán: Giả sử hình tròn này có bán kính r và lăn trên trục x. Đặt một vị trí<br /> của P làm điểm gốc, hãy tìm phương trình tham số cho đường cong Cycloid này.<br /> + GV: Chọn θ là tham số để chỉ góc quay của<br /> đường tròn (với θ = 0 khi P đang ở vị trí điểm gốc).<br /> Đặt tọa độ của P là P (x, y). Để có được phương trình<br /> tham số cho đường Cycloid này ta quy về việc biểu diễn<br /> x và y theo θ (hình 18).<br /> - Giả sử đường tròn này đã quay một góc có giá<br /> trị θ radian. Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng, nên<br /> khoảng cách mà nó đã lăn được từ vị trí điểm gốc là:<br /> |OT | = arcP T = rθ. Do đó, tâm của đường tròn là<br /> C (rθ, r).<br /> - Mặt khác, ta có: x = |OT | − |P Q| = rθ −<br /> r sin θ = r(θ − sin θ)<br /> Hình 18<br /> y = |T C| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ)<br /> (<br /> x = r(q − sin q)<br /> Do đó, phương trình tham số của đường Cycloid là với q ∈ R.<br /> y = r(1 − cos q)<br /> Mỗi cung của đường Cycloid bắt nguồn từ việc quay một vòng tròn và được mô tả bởi góc<br /> quay θ với 0 ≤ θ ≤ 2π. Mặc dù những phương trình tham số ở trên thu được từ việc xem xét<br /> trường hợp0 ≤ θ ≤ π/2 , nhưng chúng vẫn còn đúng với các giá trị góc quay θ khác (hình 19).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 19<br /> + GV: Như vậy, khi viết được phương trình tham số của đường Cycloid, ta có thể ứng dụng<br /> vào thực tiễn như thế nào?<br /> <br /> 124<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 20<br /> <br /> <br /> Trong những chiếc đồng hồ quả lắc, khi con lắc dao động tới biên, trong thực tế sợi dây<br /> không còn là đường thẳng, nhưng là hình ảnh của một cung của Cycloid (hình 20). Đương nhiên<br /> tùy theo vị trí của biên là bên trái hay bên phải mà cung Cycloid ấy có hướng khác nhau, hoặc<br /> ngay cả quỹ đạo của con lắc ấy, cũng là một cung Cycloid.<br /> Ngoài ra về mặt toán học vẫn còn những điều khá thú vị có liên quan đến Cycloid, về cung<br /> của Cycloid, về phần diện tích bên dưới của đường Cycloid và giới hạn bởi trục x, ... Chẳng hạn<br /> độ dài một cung của đường Cycloid gấp 4 lần chu vi đường tròn quay (điều này được Christopher<br /> Wren chứng minh năm 1658). Và các đường cong khác có liên quan đến Cycloid. Ví dụ như khi<br /> điểm ta xét không nằm trên đường tròn, nhưng nằm trên một đường tròn ảo khác có bán kính lớn<br /> hơn, ta sẽ thu được đường cong này. Cũng tương tự với trường hợp đường tròn ảo có bán kính nhỏ<br /> hơn ta lại có được một đường cong khác.<br /> Ví dụ 6: Sử dụng Matlab, Maple để vẽ những đường cong phức tạp trong thực hành<br /> thiết kế chế tạo thiết bị cơ khí và điện.<br /> Trong thực tế thiết kế, chế tạo cơ khí, nhiều tình huống cần nghiên cứu các đường cong<br /> phức tạp, việc biểu diễn các đường này trong không gian gặp khó khăn hơn vẽ các đường cong<br /> phẳng, nhất là khi vẽ bằng tay. Để đảm bảo độ chính xác và trực quan, giúp dễ dàng hình dung<br /> cũng như tìm hiểu đặc tính của chúng... GV hướng dẫn SV sử dụng phần mềm Matlab, Maple hỗ<br /> trợ.<br /> Cách thức tiến hành như sau:<br /> a) Đường xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 21 Hình 22<br /> <br /> Đường cong (hình 21) được vẽ bởi phần mềm Matlab mô tả đường cong với phương trình<br /> tham số x = (4 + sin 20t) cos ty = (4 + sin 20t) sin tz = cos 20t.<br /> Nó được gọi là một xoắn ốc hình xuyến (toroidal spiral) bởi vì nó nằm trên một hình xuyến.<br /> b) Đường trefoil knot (được gọi là cây chia ba thắt nút)<br /> Đường cong này (được mô tả trong hình 22) có phương trình<br /> x = (2 + cos 1.5t) cos ty = (2 + cos 1.5t) sin tz = sin 1.5t<br /> Chú ý: Ngay cả khi một đường cong không gian được vẽ bởi máy tính, ảo giác quang học<br /> <br /> 125<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> cũng gây khó khăn để hình dung và nhận ra đường cong thực sự như thế nào? Điều này đặc biệt<br /> đúng đối với đường cong ở hình 22. Ví dụ tiếp theo cho thấy GV có thể làm thế nào để khắc phục<br /> vấn đề này với sự trợ giúp của phần mềm Matlab.<br /> c) Đường xoắn bậc 3 (twisted cubic)<br /> Đường cong với phương trình véc tơ r(t) =< t, t2 , t3 > được gọi là xoắn bậc 3 (twisted<br /> cubic). GV sử dụng Matlab để vẽ đường cong được cho bởi phương trình tham số x = t; y =<br /> t2 ; z = t3 (với t ∈ [−2; 2]). Bằng cách sử dụng lệnh hàm plot3(), hoặc lệnh hàm ezplot3(), ta thu<br /> được hình 23(a), nhưng thật khó để nhìn thấy bản chất thật sự của đường cong từ mỗi hình vẽ đó.<br /> Tuy nhiên, hầu hết các chương trình đồ họa ba chiều trên máy tính cho phép người dùng đặt<br /> đường cong hoặc mặt cong trong một hộp thay vì hiển thị các trục tọa độ. Nhờ vậy, nếu nắm vững<br /> công cụ Matlab, GV có thể giúp cho SV quan sát, thấy rõ bản chất, đặc tính cũng như hình ảnh<br /> thực tế của đường twisted cubic bằng cách:<br /> Cách 1: GV sử dụng chức năng "đặt đường cong" trong một hộp như hình 23, phần (b), ta<br /> sẽ có một hình ảnh rõ ràng hơn về các đường cong: Có thể thấy rằng nó leo lên từ một góc dưới<br /> của hộp tới góc trên gần chúng ta nhất, đặc biệt là đường cong vừa xoắn vừa leo.<br /> Chúng ta nhận được nhiều đặc tính của đường cong khi chúng ta quan sát nó từ nhiều điểm<br /> khác nhau. Phần (c) cho thấy kết quả của quay hộp để nhận được một điểm nhìn khác. Phần (d),<br /> (e) và (f) nhận được khi chúng ta nhìn thẳng vào mặt của hộp. Đặc biệt, phần (d) cho thấy nhìn<br /> trực tiếp từ trên hộp. Nó là hình chiếu của đường cong trên mặt phẳng xy, một parabol có phương<br /> trình y = x2 . Phần (e) cho thấy chiếu trên mặt phẳng xz. Đấy chính là lí do tại sao đường cong<br /> được gọi là xoắn bậc 3.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 23. Các góc nhìn của đường xoắn bậc 3 (twisted cubic)<br /> <br /> Cách 2: Một cách khác để biểu diễn những đường cong phức tạp là khai thác chức năng vẽ<br /> đường cong trong không gian trên một mặt cong.<br /> Biểu diễn đường xoắn bậc 3 (twisted cubic) trong nằm trên mặt trụ parabol y = x2 bằng<br /> cách loại bỏ tham số t từ hai phương trình tham số đầu tiên, x = t và y = t2 . Ta có hình 24 mô<br /> tả cả mặt trụ và đường xoắn bậc 3, khi đó ta thấy rằng đường cong di chuyển lên trên dọc theo bề<br /> mặt của hình trụ.<br /> <br /> <br /> 126<br />  Sử dụng phần mềm toán học hỗ trợ giảng dạy Toán cao cấp cho sinh viên gắn với thực tiễn...<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 24 Hình 25<br /> <br /> Cách 3: Để mô tả các đường xoắn bậc 3 một cách trực quan (đặc biệt là trong những trường<br /> hợp vật thể, đối tượng thực tế kỹ thuật), ta nhận ra rằng nó cũng nằm trên mặt trụ z = x3 . Vì vậy,<br /> nó có thể được xem như là giao tuyến của các mặt trụ y = x2 và z = x3 . Sử dụng chức năng vẽ<br /> giao của hai mặt đó trong Matlab, ta thu được hình ảnh của đường twisted cubic ở hình 25.<br /> d) Đường cycloid và trochoid trong không gian biểu diễn quỹ đạo của hạt tích điện dương<br /> trong điện trường và từ trường trực giao.<br /> Để biết quỹ đạo chuyển động của một hạt tích điện dương trong điện trường và từ trường<br /> trực giao E và B, nhờ sử dụng Matlab, ta có thể vẽ được đường đi của các hạt này. Tuỳ thuộc vào<br /> vận tốc ban đầu, quỹ đạo đó hoặc là một đường cong không gian có hình chiếu trên mặt phẳng<br /> nằm ngang là cycloid - hình 26(a), hoặc một đường cong có hình chiếu là trochoid - hình 26(b).<br /> Hình 27 cho thấy đường cong của hình 26(b) được đưa ra bởi các lệnh tubeplot trong Maple.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 26 Hình 27<br /> <br /> <br /> 3. Kết luận<br /> Để giảng dạy TCC gắn với thực tiễn đào tạo nghề nghiệp cho SV trường ĐHCN cần có<br /> những biện pháp nhiều mặt. Trong đó, GV nắm vững và khai thác hợp lí phương tiện công nghệ<br /> thông tin, nói riêng là máy tính với những phần mềm toán học chuyên dùng (Matlab, Maple, ...)<br /> không những hỗ trợ SV nhận thức tốt môn Toán, mà còn giúp cho họ vận dụng toán học vào giải<br /> quyết những tình huống bài toán trong thực tế học nghề một cách thuận lợi và đạt được hiệu quả<br /> tốt hơn. Từ đó góp phần tạo ra ý thức chủ động, thói quen và kĩ năng vận dụng môn Toán vào thực<br /> hành học nghề ngay từ khi học tập ở trường đại học và sau đó áp dụng vào thực tiễn nghề nghiệp.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 127<br />  Lê Bá Phương<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1] Đỗ Văn Dũng, Nguyễn Bá Hải, Nguyễn Anh Tuấn, 2012. Đa phương tiện trong dạy học tích<br /> cực môn học "Nhập môn ngành Công nghệ kĩ thuật ô tô". Kỷ yếu Hội thảo "Công nghệ thông<br /> tin trong giáo dục Việt Nam: Tích hợp hay chuyển đổi", Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam<br /> - VVOB. Nxb Đại học Sư phạm.<br /> [2] Phạm Huy Điển (chủ biên), 2000. Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple.<br /> Nxb Khoa học và Kĩ thuật.<br /> [3] Phạm Minh Hoàng, 2008. Maple và các bài toán ứng dụng. Nxb Khoa học và Kỹ thuật<br /> [4] Nguyễn Bá Kim, 2015. Phương dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm.<br /> [5] Đào Thái Lai, 2002. Ứng dụng công nghệ thông tin và những vấn đề cần xem xét đổi mới<br /> trong hệ thống phương pháp dạy học môn Toán. Tạp chí Giáo dục, Số 9.<br /> [6] Lê Bá Phương, 2014. Thực trạng dạy học Toán cao cấp ở trường Đại học Công nghiệp nhìn<br /> từ yêu cầu tăng cường liên hệ với thực tiễn nghề nghiệp. Tạp chí Quản lí Giáo dục Số 67/2014,<br /> Học viện Quản lí Giáo dục - Bộ Giáo dục và Đào tạo, trang 39-44.<br /> [7] Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa, 2006. Phương pháp phần tử hữu hạn (Lí thuyết, bài tập<br /> chương trình Matlab). Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.<br /> [8] Nguyễn Anh Tuấn, Lê Bá Phương, 2014. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nghề nghiệp trong<br /> dạy học Toán cơ bản cho sinh viên Trường Đại học Công nghiệp. Tạp chí Khoa học, Trường<br /> Đại học Sư phạm Hà Nội - Volume 59, số 1/2014. Trang 3-11.<br /> [9] PISA 2003 PS for tomorrows world (2004), OECD PUBLICATIONS, 2 rue André-Pascal,<br /> PARIS CEDEX 16, PRINTED IN FRANCE (962004131P1) ISBN 92-64-00642-7 - No.<br /> 53833.<br /> [10] Tran Vui, 2000. Using mathematics investigations to enhance students critical and creative<br /> thinking. SEAMEO RECSAM - Penang, Malaysia.<br /> [11] http://www.sggp.org.vn/giaoduc/2013/11/333657/<br /> [12] http://dantri.com.vn/giao-duc-khuyen-hoc/unesco-va-giao-duc-dai-hoc-537689.htm<br /> <br /> ABSTRACT<br /> <br /> Using mathematical software to support the teaching of advanced mathematics<br /> for students engaged in practical vocational training at the Hanoi University of Industry<br /> <br /> This article looks at the use of mathematical software in teaching Advanced Mathematics<br /> to students engaged in practical vocational training at the University of Industry. The author made<br /> use of Matlab and Maple software to teach calculus to electronics and mechanics students at the<br /> Hanoi University of Industry. Examples are presented to show how Maple and Matlab software<br /> does help students grasp and solve practical problems in their field.<br /> Keywords: Using mathematical software, advanced mathematics teaching associated with<br /> practical vocational training.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 128<br />