zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sử dụng phương pháp chuyển hóa hình thức bài toán trong việc tìm lời giải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

10
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sử dụng phương pháp chuyển hóa hình thức bài toán trong việc tìm lời giải trình bày các nội dung: Phương pháp chuyển hóa hình thức bài toán; Bài toán chuyển từ dạng đại số sang dạng hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng phương pháp chuyển hóa hình thức bài toán trong việc tìm lời giải

Journal of educational equipment: Applied research, Volume 2, Issue 305 (January 2024) ISSN 1859 - 0810 Sử dụng phương pháp chuyển hoá hình thức bài toán trong việc tìm lời giải Ngô Thị Huyền* *ThS. Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Received: 13/12/2023; Accepted: 21/12/2023; Published: 28/12/2023 Abstract: Solving problems is a process of groping and exploring based on the problem solver’s understanding. Some people have to tinker for a long time, trying this way and that to solve it, while others find a solution very quickly. So what is the secret to the ability to solve math problems quickly and accurately? How to practice? This article introduces readers to the method of transforming the form of the problem, one of the effective methods to find satisfactory solutions, from which the problem can be viewed from different aspects and angles. Keywords: Methods, transformations, solutions, algebra, trigonometry, geometry. 1. Đặt vấn đề a tan ϕ + b Với các bài toán có dạng quen thuộc, ta có thể y= = a sin ϕ cos ϕ + b cos 2 ϕ . tan 2 ϕ + 1 dễ dàng đưa ra lời giải. Tuy nhiên với các bài toán mà dạng của chúng không mẫu mực, ta khó có thể Suy ra dùng các phép biến đổi thông thường để giải. Khi đó a b b y = sin 2ϕ + cos 2ϕ + ta phải sử dụng đến các công cụ đặc biệt khác hoặc 2 2 2 nghiên cứu các tính chất của các biểu thức để tìm Sử dụng công thức cách đánh giá chúng. Ngoài ra phải tìm cách phát − a 2 + b 2 ≤ a sin u + b cos u ≤ a 2 + b 2 , hiện lớp “ngụy trang” hình thức bài toán để thấy được dạng thực của bài toán, từ đó định hướng được ta được: đường lối giải. b 1 y max = + a2 + b2 2. Phương pháp chuyển hoá hình thức bài toán 2 2 Thực tế có một số bài toán nếu ta biết cách thay b 1 đổi hình thức của bài toán thì sẽ dễ dàng tìm được lời y min = − a2 + b2 . 2 2 giải hoặc có lời giải tốt hơn. Cụ thể ta thường chuyển bài toán có dạng đại số sang dạng lượng giác, dạng Đến đây, việc tìm a và b thoả mãn bài toán qui về đại số sang dạng hình học v.v…Ta xét các bài toán việc giải hệ phương trình: sau đây. b 1 2 2 2 + 2 a + b = 4  2.1. Bài toán chuyển từ dạng đại số sang dạng  lượng giác  b − 1 a 2 + b 2 = −1. 2 2  Bài toán 1. Xác định các tham số a, b sao cho hàm số: Giải hệ trên bằng phương pháp cộng đại số ta thu được 2 nghiệm: a = 4 a = −4  và  đạt giá trị lớn nhất bằng 4, đạt giá trị nhỏ nhất b = 3 b = 3. bằng -1. Rõ ràng nếu để hàm y dưới dạng đại số, bài toán Hướng dẫn giải phải biến đổi dài dòng hơn nhiều. Do hàm y xác định với mọi x và thấy sự có mặt Bài toán 2. Giải bất phương trình: của x2 + 1, ta lượng giác hoá hình thức của hàm số y 1 3x bằng cách đặt: x = tan ϕ . > −1 1− x2 1− x2 Dưới hình thức mới, hàm số y có dạng: Hướng dẫn giải 92 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Journal of educational equipment: Applied research, Volume 2, Issue 305 (January 2024) ISSN 1859 - 0810 Điều kiện tồn tại của bất phương trình: 3 tan α − tan 3 α 1 − x 2 > 0 ⇔ −1 < x < 1 = tan 3α . (1) 1 − 3 tan 2 α cho phép ta nghĩ đến việc đặt: x = cos ϕ Từ đó, đặt: x = tan α , y = tan β , z = tan γ , Khi đó: đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 − x 2 = | sin ϕ | tan 3α + tan 3β + tan 3γ = tan 3α . tan 3β . tan 3γ . (2) Ta có thể chọn 0 < ϕ < π vì khi đó: Mặt khác ta có: − 1 < cos ϕ < 1 tan(α + β + γ ) = tan α + tan β + tan γ − tan α . tan β . tan γ  1 − tan α . tan β − tan β tan γ − tan γ . tan α (3) sin ϕ > 0. Từ giả thiết suy ra: Bất phương trình đã cho trong hình thức mới có tan α + tan β + tan γ = tan α . tan β . tan γ . dạng: 1 3 cos ϕ Thay vào (3) ta được: > −1 tan(α + β + γ ) = 0. sin ϕ 2 sin ϕ Từ (1) suy ra: ⇔ cot 2 ϕ − 3 cot ϕ + 2 > 0 tan(3α + 3β + 3γ ) = 0. cot ϕ < 1 Từ (3) suy ra: ⇔ cot ϕ > 2. tan 3α + tan 3β + tan 3γ − tan 3α . tan 3β . tan 3γ = 0 π 2 hay 2 a) cot ϕ < 1 ⇒ < ϕ < π ⇒ −1 < cos ϕ < ⇒ −1 < xtan 3α + tan 3β + tan 3γ = tan 3α . tan 3β . tan 3γ . < 4 2 2 Đây chính là đẳng thức (2). π 2 2 Bài toán 4. Trên đoạn [0;1], phương trình: < 1 ⇒ < ϕ < π ⇒ −1 < cos ϕ < ⇒ −1 < x < 4 2 2 8x(1− 2x2)(8x4 − 8x2 + 1) = 1 (4) b) Ta tính được: có bao nhiêu nghiệm? cot ϕ 2 Nhận xét: Giải bài toán này trong phạm vi đại số cot ϕ = 2 ⇒ cos ϕ = = , do đó: rất khó. Dựa vào điều kiện 0 < x < 1, ta nghĩ đến việc 1 + cot 2 ϕ 5 chuyển phương trình trên sang dạng lượng giác bằng cách đặt x = sint. (Bạn đọc tự giải). 2 2 2.2. Bài toán chuyển từ dạng đại số sang dạng hình cot ϕ > 2 ⇒ < cos ϕ < 1 ⇒ < x < 1. 5 5 học Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: Bài toán 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  2 − 1 < x < Hướng dẫn giải ⇔ 2 Để ý rằng các tam thức bậc hai dưới dấu căn thức  2  5 < x < 1. trong bài toán này đều dương với mọi x, hơn nữa ta  có thể biến đổi: (đều thoả mãn điều kiện 0 < x < 1). Bài toán 3. Cho x, y, z thoả mãn: 3 Ta liên tưởng đến công thức tính độ dài đoạn x + y + z = xyz và x, y, z ≠ . 3 thẳng: AB2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Chứng minh rằng: trong đó A (x1; y1), B (x2; y2) 3x − x 3 3 y − y 3 3z − z 3 3x − x 3 3 y − y 3 3z − z 3 Hàm y biến đổi về dạng: + + = . . . 1 − 3x 2 1 − 3 y 2 1 − 3z 2 1 − 3x 2 1 − 3 y 2 1 − 3z 2 y = (2 x − 3) 2 + (0 − 2) 2 + (2 x − 7) 2 + (0 − 2) 2 . Hướng dẫn giải Gọi M (2x; 0) chạy trên Ox và A (3; 2), B (7; 2) là Các số hạng có mặt trong bài toán làm ta liên các điểm cố định, ta thu được: tưởng đến công thức lượng giác: y = MA + MB. (hình 2.1) 93 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn
Journal of educational equipment: Applied research, Volume 2, Issue 305 (January 2024) ISSN 1859 - 0810 Ta chuyển về bài toán hình học: Xác định vị trí Ta có: của M trên trục Ox sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt khác: y A B M H 0 3 x 5 7 x A’’ ’’ Hình 2.1 Ta có: MA + MB = MA' + MB ≥ A'B, đẳng thức xảy ra khi z 5 B M ≡ H ⇔ 2x = 5 ⇔ x = , 2 y min = HA + HB = 2HB = 4 2 . y = H + H = 2H = A B B 3 5 Vậy y min = y   = 4 2 . 2 5 O x 1500 Bài toán 6. Cho các số dương x, y, z thoả mãn hệ 1200 A phương trình C Hình 2.2 y Rõ ràng nếu không chuyển về bài toán hình học, chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời Tính D = xy + 2yz + 3xz. giải bài toán này. Hướng dẫn giải 3. Kết luận Các số ở vế phải: 25, 9, 16 làm chúng ta nghĩ đến Các đặc điểm về dạng của bài toán là phần hình bình phương số đo các cạnh của một tam giác vuông. thức của bài toán đó. Do sự thống nhất giữa nội dung Nếu vậy, vế phải cũng là bình phương số đo các cạnh và hình thức nên việc nghiên cứu hình thức bài toán của một tam giác. Bằng cách phân tích lượng giác kết về thực chất là khám phá nội dung bài toán. Việc rèn hợp đại số, ta có các biến đổi sau: luyện khả năng chuyển đổi hình thức bài toán cũng giúp người học rèn luyện khả năng nhìn sự vật hiện tượng dưới các góc độ khác nhau, từ đó thấy được bản chất của sự vật hiện tượng. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thái Hòe, (2001), Rèn luyện tư duy Trong đó tam giác OAB vuông tại O, các tam giác qua việc giải bài tập toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. OAC, OBC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc, tam [2] Trần Chí Hiếu, Nguyễn Danh Phan (1999), giác ABC vuông tại A. (hình 2.2) Các chuyên đề toán THPT đại số 10, NXB Giáo dục, Để tính D, ta tìm cách lập phương trình có chứa Hà Nội. ẩn là D. [3] G. Polya, (1997), Giải bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội. 94 Journal homepage: www.tapchithietbigiaoduc.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.