Tài Liệu Olympic Đại Số
ThS. Nguyễn Hữu Hiệp
E-mail: nguyenhuuhiep47@yahoo.com
Ngày 5 tháng 12 năm 2015
Chương 1
Ma trận-Định thức-Hệ phương trình
1 Định thức
1.1 Phép thế
Định nghĩa 1.1 .
Cho Xn={1; 2; . . . ;n}, n ≥1. Một sóng ánh σ:Xn→Xngọi là một phép thế trên Xn. Nếu σlà ánh
xạ đồng nhất gọi là phép thế đồng nhất.
Một phép thế thỏa σ(i) = j, σ(j) = i, σ(k) = k, ∀k6=i, j(i6=j)gọi là một chuyển trí, ký hiệu là:
(i, j).
Tập tất cả các phép thế của Xnký hiệu là Sn.
Một phép thế có thường được ký hiệu 1 2 3 . . . n
σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n).
Ví dụ: 12345
31254;12345
14325= (2,4).
Định nghĩa 1.2 Cho σlà một phép thế trên Xn. Nếu tồn tại i, j : 1 ≤i < j <≤nvà σ(i)> σ(j)thì
(σ(i), σ(j)gọi là một nghịch thế.
Ví dụ: Phép thế 1 2 3
3 1 2 .có 2 nghịch thế là (3,1),(3,2).
Định nghĩa 1.3 Dấu của phép thế σ(ký hiệu là sign(σ)) bằng 1 nếu số nghịch thế là chẵn (σgọi là
phép thế chẵn) và bằng -1 nếu số nghịch thế là lẻ (σgọi là phép thế lẻ).
Ví dụ: Phép thế 1 2 3 4
4 3 1 2 có 5 nghịch thế nên sig(σ) = −1.
Mệnh đề 1.4 Cho 2 phép thế σ, µ trên cùng tập Xn, ta có:
•Mọi chuyển trí là phép thế lẻ.
•sign(σ) = Q
1≤i<j≤n
i−j
σ(i)−σ(j).
•sign(σµ) = sign(σ)sign(µ).
1
1.2 Định nghĩa định thức
Định nghĩa 1.5 Cho A= (aij )là ma trận cấp n. Định thức ma trận Ađược định nghĩa là:
det(A) = |A|=Y
σ∈Sn
sign(σ)a1,σ(1)a2,σ(2) . . . anσ(n).
Chú ý: Việc dùng định nghĩa để tính định thức là rất phức tạp. Thông thường tính định thức, ta
dùng phương pháp khai triển và các tính chất mà các em học trên lớp. Tuy nhiên, định nghĩa này có ý
nghĩa lớn về mặt lý thuyết. Hầu hết các tính chất về định thức được suy ra từ định nghĩa này. Ta có
thể dùng định nghĩa này để làm một số bài toán chứng minh khá thú vị.
Định nghĩa 1.6 Cho Alà ma trận cấp n
1. Cho khàng 1≤i1< i2<··· < ik≤nvà kcột 1≤j1< j2<··· < jk≤n. Ma trận con của A
lấy từ khàng và kcột trên ký hiệu là: aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ikvà định nghĩa
Mj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik= det(aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik).
2. Bù đại số của ma trận aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ikđược định nghĩa là
Aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik= (−1)i1+i2+···+ik+j1+j2+···+jkdet(bj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik).
trong đó bj1,j2,...,jk
i1,i2,...,iklà ma trận con của Abằng cách bỏ đi khàng i1, i2, . . . , ikvà kcột j1, j2, . . . , jk.
Mệnh đề 1.7 .
1. Khai triển Laplace theo khàng i1, i2, . . . , ik
det(A) = X
1≤i1<i2<···<ik≤n
Aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ikMj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
2. Khai triển Laplace theo kcột j1, j2, . . . , jk
det(A) = X
1≤j1<j2<···<jk≤n
Aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ikMj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
1.3 Hạng ma trận.
Định nghĩa 1.8 Hạng của ma trận Alà cấp cao nhất của các ma trận con khả nghịch của A.
Chú ý: Định nghĩa hạng ma trận ở trên đã được chứng minh tương đương với định nghĩa hạng ma
trận theo ma trận bậc thang và phép biến đổi sơ cấp.
Mệnh đề 1.9 Cho ma trận Acỡ m×n. Ta có các tính chất sau về hạng
1. r(A) = min{m;n}
2. Hạng Abằng hạng của họ véc tơ hàng và bằng hạng của họ véc tơ cột.
3. Gọi Vlà số chiều không gian nghiệm của hệ phương trình AX = 0. Ta có
dim(V) + r(A) = n.
2
4. Cho ánh xạ tuyến tính f:Rn→Rmthỏa f(x) = Ax. Khi đó
r(A) = dim(imf(f)).
Chú ý: Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể đồng nhất ma trận Avới axtt fở trên. Khi đó
•ker(A)≡ker(f), imf(A)≡imf(f)
•r(A) = imf(A)
5. Nếu Alà ma trận vuông. Khi đó, hạng Abằng nkhi và chỉ khi Akhả nghịch.
3
Chương 2
Trị riêng - Véc tơ riêng
1 Trị riêng ma trận - Véc tơ riêng ma trận
Định nghĩa 2.1 Cho Alà ma trận vuông cấp n.λ∈Cgọi là trị riêng (TR) của Anếu tồn tại véc tơ
x∈Rnkhác không thỏa: Ax =λx. Khi đó: véc tơ xgọi là véc tơ riêng (VTR) của Aứng với trị riêng
λ.
Chú ý:
•Nếu xlà VTR ứng với TR λthì αx(α6= 0) cũng là VTR của λ.
•Tập tất cả các VTR ứng với TR λgọi là không gian con riêng ứng với TR λ.
•Số chiều của không gian con riêng gọi là bội đại số (BĐS) của λ.
•Giả sử x6= 0 là VTR ứng với TR λcủa ma trận A. Ta có:
Ax =λx ⇔(A−λE)x= 0 ⇔ |A−λE|= 0.
A−λE gọi là ma trận đặc trưng của A.
•Đa thức p(λ) = |A−λE|gọi là đa thức đặc trưng của A.
•λlà TR của ma trận Anếu A−λE là ma trận suy biến.
•Bội của TR λktrong đa thức đặc trưng gọi là bội đại số (BĐS) của λk.
•Theo định lý cơ bản đại số, tổng BĐS của các TR luôn bằng n.
•Theo định lý viet, tổng các TR bằng vết của A(trace(A)) và tích các TR bằng det(A).
•Giả sử λklà TR của A. Ta có VTR x6= 0 tương ứng với TR của λkthỏa (A−λkE)x= 0. Từ đó,
tập các véc tơ riêng ứng với TR λklà không gian nghiệm của hệ (A−λkx) = 0 và BHH bằng số
chiều của không gian nghiệm hệ thuần nhất (A−λkx) = 0.
•Ta luôn có BĐS lớn hơn hoặc bằng BHH với mọi TR của ma trận A. (Chứng minh.)
4