Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục

Chia sẻ: Nguyen Hoang Huu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu tenseur - cơ học môi trường liên tục', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục

CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU I. Vecteur h×nh häc vµ kh«ng gian R3: A. VÝ dô: C hóng ta tiÕn hµnh xÐt bµi to¸n chuyÓn ®éng trßn ®Òu. VÞ trÝ cña ®iÓm M ë thêi ®iÓm t ® − îc x¸c ®Þnh bëi vect¬ OM . ë ®©y, ta thÊy vect¬ vËn tèc v vu«ng gãc víi vÐc t¬ OM ( VÐc t¬ vÞ trÝ). V ⊥ OM ⇔ V . OM = 0 Gia tèc h− íng t©m: γ = - ( γ/R) OM MÆt kh¸c ta cã: Lùc h −íng t©m F = mγ V ect¬ vÞ trÝ OM l µ mét bé phËn cña kh«ng gian ph¼ng bao gåm ®iÓm gèc: §©y lµ kh«ng gian h×nh häc hai chiÒu. M«®un || OM || ®ång nhÊt trªn toµn bé chiÒu dµi || OM || = R. ë ® ©y chóng ta cÇn ph©n biÖt OM víi c¸c vect¬ V v µ F . Theo quan ®iÓm vËt lý, OM v µ V , γ , F thuéc nh÷ng kh«ng gian kh¸c nhau. Ta nhËn thÊy sÏ kh«ng cã kh¸i niÖm vu«ng gãc ( V ⊥ OM ) hay tÝch v« h −íng ( V . OM ) nÕu V vµ OM trong cïng mét kh«ng gian. 1
V Ëy t¹i sao ta cã c¸c kh¸i niÖm vu«ng gãc vµ tÝch v« h −íng? Lµ do ta cè t×nh ®− a tÊt c¶ c¸c vÐc t¬ vÒ cïng mét kh«ng gian duy nhÊt. Trong thùc tÕ, ta th− êng biÓu diÔn c¸c vect¬ V v µ F trªn cïng mét tê giÊy. Ta gäi ®©y lµ kh«ng gian h×nh häc ph¼ng. Khi nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña mét ®iÓm trong kh«ng gian, c¸c vect¬ vËn tèc, gia tèc ® −îc xem xÐt nh− lµ nh÷ng vect¬ cña mét kh«ng gian 3 chiÒu (lu«n ®− îc ph©n tÝch thµnh 3 thµnh phÇn). B. Sù hîp nhÊt gi÷a c¸c kh«ng gian Khi nh÷ng ®¹i l −îng vËt lý cã nh÷ng ®Æc ®iÓm to¸n häc t−¬ng ®ång (3 chiÒu; tu©n theo nh÷ng quy t¾c tÝnh to¸n gièng nhau) th× chóng ta coi nh÷ng ®¹i l −îng ®ã lµ c¸c yÕu tè cña kh«ng gian R3 . Kh«ng gian vect¬ h×nh häc ®−îc gäi lµ “biÓu diÔn cã thÓ cã” cña R3 ( PrÐsentation possible). Mét c¸ch tæng qu¸t h¬n, khi nh÷ng ®¹i l− îng cã b¶n chÊt vËt lý kh¸c nhau thuéc nh÷ng kh«ng gian to¸n häc cã cïng n chiÒu vµ tu©n theo cïng mét quy t¾c tÝnh to¸n, chóng ta coi nh÷ng ®¹i l− îng nµy nh− lµ nh÷ng bé phËn cña cïng mét tËp hîp: kh«ng gian vect¬ Rn . II.Quy −íc: KÝ hiÖu Einstein A . ChØ sè c©m: XÐt c¸c chØ sè i vµ j (i, j = 1, n ) vµ ma trËn víi c¸c thµnh phÇn: xij. Gi¶ thiÕt r»ng chóng ta tiÕn hµnh tÝnh víi mçi gi¸ trÞ cña i, tÝnh tæng cña c¸c thµnh phÇn khi j tõ 1 ®Õn n. VÝ dô: Víi mçi dßng cña ma trËn ta tÝnh tæng c¸c thµnh phÇn cã chØ sè cét biÕn ®æi. x 11 x 12 x 13 t 1 = x11 + x 12 + x 13 x 21 x 22 x 23 t 2 = x21 + x 22 + x 23 x 31 x 32 x 33 t 3 = x31 + x 32 + x 33 Ta cã thÓ viÕt d − íi d¹ng tæng qu¸t: n ∑ ti = X ij j =1 2
ChØ sè j, theo nã mµ ng−êi ta cã thÓ tÝnh tæng tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ ® −îc gäi lµ chØ sè c©m. HiÓn nhiªn lµ chóng ta cã thÓ thay ®æi kÝ hiÖu cña chØ sè c©m: n n ∑ t i = ∑ X ij ≡ t i = X ik k =1 j =1 B . Quy − íc cña Einstein: XÐt hai ma trËn vu«ng (n, n): A vµ B. C¸c thµnh phÇn cña chóng lÇn l−ît lµ aij vµ b ij. ChØ sè dßng quy −íc phÝa tr¸i. ChØ sè cét quy − íc ë phÝa ph¶i. Ta tiÕn hµnh tÝnh tÝch P = A.B víi c¸c thµnh phÇn Pij. Khi ®ã: n ∑ P ij = ail b lj b 11 b12 b 13 l =1 b 21 b22 b 23 b 31 b32 b 33 a11 a12 a13 p 11 p12 p 13 a21 a22 a23 p 21 p22 p 23 a31 a32 a33 p 1 p 32 p33 E instein quy −íc chØ sè c©m xuÊt hiÖn hai lÇn trong mét biÓu thøc. Khi ®ã ta bá dÊu Σ v µ viÕt mét chØ sè ë trªn vµ mét chØ sè ë d− íi. n p ij = ∑ ak a k ≡ p ij = ak a k i i j j k =1 T rong ®ã : p ij V íi i lµ chØ sè dßng cßn j lµ chØ sè cét. VÝ dô: n p ijk = ∑ qli rjk p ijk = qli rjk l l 1) hay l =1 n n tij = ∑ ∑r s t h ay tij = rik slk t lj kl 2) ik l j k =1 l =1 X Ðt vÝ dô sau: 3
Nh©n ma trËn P = A.B víi Q = C.D víi p ij = ak b k v µ q ij = ck d k i i j j NÕu chóng ta muèn viÕt râ tÝch P.Q th× ph¶i tiÕn hµnh ®æi tªn cña cÆp chØ sè vµ viÕt nh − sau: |PQ| ij = aki bm clm d lj ⇔ P.Q = A . B. C . D k III. §æi c¬ së trong R3 Ta cã thÓ viÕt mäi vect¬ V cña R3 nh − lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña 3 vect¬ tuú ý cã chung gèc o nh−ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Ký hiÖu ei víi e = 1,2,3. C¸c vect¬ ei lµm thµnh c¬ së cña R3 . Ta ph©n tÝch vect¬ V : 3 ∑ v i ei = v i ei V= i =1 v i lµ thµnh phÇn cña vect¬ V trong hÖ c¬ së ( ei ). XÐt mét hÖ c¬ së kh¸c cña kh«ng gian R 3 , ( E I ) víi I = 1,2,3. Mçi vect¬ Ei l µ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña ei vµ ta cã thÓ viÕt: EI = a i . ei § Ó cã thÓ biÓu diÔn dÔ dµng d − íi d¹ng ma trËn ta viÕt d− íi d¹ng: EI = a i I . ei T rong ®ã: 4
a 11 a 1 1 a 2 3 A = [aiI] = a 12 a 2 2 a 2 3 a 13 a 3 3 a 2 3 a 11 a 1 1 a 2 3 a 12 a 2 2 K hi ®ã: [ E1 E2 E3 ] = [ e1 e2 e3 ] a 2 3 a 13 a 3 3 a 2 3 V íi I lµ chØ sè cét i lµ chØ sè dßng A: ma trËn chuyÓn Ta sÏ tiÕn hµnh t×m thµnh phÇn vi cña vect¬ V t rong hÖ to¹ ®é míi. NhËn thÊy r»ng V k h«ng phô thuéc vµo viÖc chän hÖ to¹ ®é nªn ta cã: V = v i . ei ≡ v t EI MÆt kh¸c EI = aIi ei n ªn ta cã: VI aIi ei = vi ei h ay v i = aiIv I. §©y lµ biÓu thøc biÓu diÔn thµnh phÇn cña V t rong hÖ to¹ ®é cò theo hÖ to¹ ®é míi. NÕu muèn t×m theo hÖ to¹ ®é cò ta cÇn ph¶i ®¶o ma trËn A. Chóng ta sÏ t×m thÊy tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ei v µ EI ¶nh h −ëng tíi trËt tù cña A. KÝ hiÖu B = A -1 lµ ma trËn ®¶o cña A víi c¸c thµnh phÇn b iI. Khi ®ã: v I = b iI v i T a cã b¶ng sau: HÖ míi → hÖ cò HÖ cò → h Ö míi ei = b i I EI ( B = A -1 ) EI = aIi ei v i = aIi v I ( A) v I = bIi v I C hóng ta cÇn chó ý r»ng thµnh phÇn cña c¸c vect¬ cña R3 tu©n theo sù thay ®æi cña hÖ c¬ b¶n. Cã nghÜa lµ khi hÖ c¬ b¶n thay ®æi th× thµnh phÇn cña c¸c vect¬ còng thay ®æi theo. Ta gäi thµnh phÇn nµy lµ 5
ph¶n biÕn víi sù thay ®æi hÖ c¬ b¶n. Khi c¸c thµnh phÇn tu©n theo sù thay ®æi cña hÖ c¬ b¶n th× ta gäi lµ hîp biÕn. C¸c chØ sè kÕt hîp víi thµnh phÇn hîp biÕn cña hÖ ( ei ) n»m ë d −íi cßn chØ sè kÕt hîp víi thµnh phÇn ph¶n biÕn cña (v i) n»m ë phÝa trªn. BiÓu diÔn d −íi d¹ng ma trËn: b 11 b 2 b 3 1 1 V1 v1 V2 2 2 2 v2 b b b = 1 2 3 V3 v3 b 13 b 23 b 33 h ay VI = b iI v i VÝ dô: Cho hÖ trùc giao Oxyz víi c¸c vect¬ ®¬n vÞ i , j , k b©y giê kÝ hiÖu e1 , e2 , e3 . Ta tiÕn hµnh quay mét gãc θ q uanh trôc oz ta sÏ cã thµnh phÇn vect¬ ®¬n vÞ EI : E1 = c os θ e1 + s in θ e2 + 0 e3 E2 = - sin θ e1 + c os θ e2 + 0 e3 E3 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 Ta cã thÓ viÕt: cos θ - sin θ 0 s in θ cos θ 0 [ E1 E2 E3 ] = [ e1 e2 e3 ] 0 0 1 Khi ®ã B = A -1 cã d¹ng: cos θ - sin θ 0 s in θ cos θ 0 B= 0 0 1 vµ V I = b iI . v I ®−îc viÕt nh − sau: cos θ - sin θ 0 V1 v1 = s in θ cos θ 0 V2 v2 V3 0 0 1 v3 6
IV. Kh«ng gian ®èi ngÉu, ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trªn R3: A. §Þnh nghÜa: F ®− îc gäi lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian vect¬ vµo tËp v« h−íng th× F lµm t−¬ng øng mäi vect¬ V cña R 3 lµ mét sè thùc. VÝ dô: a. Cho hÖ c¬ së ®Æc biÖt e j thuéc R 3 . T−¬ng øng gi÷a vect¬ V v µ thµnh phÇn thø hai cña nã trong hÖ c¬ b¶n ®Æc biÖt nµy cã d¹ng: ∀ V ∈ R 3 → F ( V ) ∈ R b ëi F ( V ) ≡ v 2 b. Sù kÕt hîp cña mét m«®un víi mét vect¬, trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi ®Þnh s½n, cã d¹ng: ∀ V ∈ R3 → F ( V ) = | V | ∈ R T rong tr−êng hîp nµy tÝch v« h−íng lu«n d− ¬ng hoÆc b»ng kh«ng c. Nh©n v« h−íng vect¬ V bëi mét vect¬ U c ã d¹ng ∀ V ∈ R3 → F ( V ) = U . V ∈ R V « h −íng kÕt hîp cña mäi vect¬ V lu«n ®éc lËp víi hÖ trôc to¹ ®é trong kh«ng gian. F ( V ) gäi lµ v« h− íng thùc. Trong tr−êng hîp b vµ c ta cã: (v1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 F (V ) = |V | = 3 ∑ viui = v1u1 + v2u2+ v3u3 vµ F( V ) = V . U = i =1 §Þnh nghÜa: Kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R3 lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ R 3 v µo tËp v« h −íng. ∀ V ∈ R3 → F ( V ) ∈ R F ( λ V + V ’) = λ F( V ) + F( V ’) ∀ V vµ V ’ ∈ R 3 vµ λ ∈ R. Ta sÏ chøng minh tr −êng hîp b vµ c. Trong tr−êng hîp b F ( λ V + V ’) = |(λ V + V ’)| ≠ λ | V | + | V ’| ⇒ k h«ng tuyÕn tÝnh 7
Trong tr−êng hîp c F ( λ V + V ’) = U .( λ V + V ’) = λ U . V + U . V ’ = λ F( V ) + F( V ’) ⇒ l µ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. B. HÖ sè cña mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh: a. §Þnh nghÜa: XÐt v« h−íng thùc F( V ) trong hÖ c¬ së ®Æc biÖt ( ei ). Ta cã thÓ biÓu diÔn V bëi c¸c thµnh phÇn v i. Do F lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nªn ta cã thÓ viÕt: F( V ) = F (v i ei ) = v i F ( ei ) KÝ hiÖu f i = F ( ei ). C¸c thµnh phÇn cña f i lµ c¸c hÖ sè cña F trong hÖ c¬ së ( ei ). Ta cã thÓ viÕt ®¬n gi¶n nh − s au: F( V ) = v i f i. b. ¶nh h−ëng cña viÖc thay ®æi hÖ c¬ së trong R 3: NÕu chóng ta thay ®æi hÖ c¬ së ( EI = aIi ei ), c¸c thµnh phÇn cña V s Ï cã d¹ng v I = biI . v i Ta thÊy biÓu thøc vi f i l µ mét bÊt biÕn khi hÖ c¬ së thay ®æi. Nh − vËy, c¸c hÖ sè cña F buéc ph¶i biÕn ®æi ng −îc so víi c¸c thµnh phÇn v i. Ta tiÕn hµnh xem xÐt sù thay ®æi nµy: Gäi F i lµ thµnh phÇn cña hÖ sè F trong hÖ to¹ ®é míi. Ta cã F I = F ( EI ). Nh − v Ëy: F ( V ) = F I V I = f i v i v íi v i = aIi V I. ⇒ F I = f i aIi V Ëy ta cã: FI = aIi f i KÕt luËn: F I = aIi f i ⇔ f i = biI F I C . Kh«ng gian ®¼ng cÊu R 3 : XÐt tËp hîp c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R3 . Ta cã c¸c tÝnh chÊt sau: a. Tæng cña hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh 8
S = F + G ⇔ S ( V ) = F( V ) + G( V ) ∀ V b. TÝch víi mét v« h− íng λ : P = λF ⇔ P( V ) = λ F( V ) ∀ V v íi gi¶ thiÕt chóng ta cã: F = G ⇔ F ( V ) = G( V ) ∀ V Tr −êng hîp ®Æc biÖt: F = 0 ⇔ F ( V ) = 0 ∀ V Nh − v Ëy, tËp hîp c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R3 lµ mét kh«ng gian vect¬ 3 chiÒu gäi lµ kh«ng gian ®¼ng cÊu cña R 3 v µ ta ký hiÖn lµ R 3* . D) HÖ c¬ së trong kh«ng gian ®¼ng cÊu: R 3* lµ mét kh«ng gian vect¬, ta cã thÓ lu«n t×m ® − îc 3 kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®éc lËp t¹o nªn hÖ c¬ së trong R3* cho phÐp ph©n tÝch tÊt c¶ c¸c kh«ng gian tuyÕn tÝnh cßn l¹i. Chóng ta sÏ ®i t×m hÖ c¬ së ®Æc biÖt nµy cña R3* ® ång thêi sÏ dÉn ra nh÷ng ®Æc ®iÓm ®¬n gi¶n ®em l¹i sù thuËn tiÖn cho c«ng t¸c tÝnh to¸n. Chóng ta sÏ ®− a ra d¹ng ®Çu tiªn, kÝ hiÖu e* , mµ ¸nh x¹ cña nã lµm cho vect¬ ®¬n vÞ cña hÖ c¬ së b»ng 1, vµ hai vect¬ cßn l¹i b»ng 0. e* ( e1 )= 1 ; e* ( e2 ) = 0 ; e * ( e3 ) = 0 T− ¬ng tù nh− t rªn ta lËp ®− îc ba d¹ng sau: e *1 , e*2 , e3* . ChØ sè Kronecker δ ji : e*i ( e j ) = δ ji V íi δ ji = 1 si i = i 0 si i ≠ j Ta cã thÓ biÓu diÔn d −íi d¹ng ma trËn 100 → ma trËn ®¬n vÞ [δ ] = 0 1 0 i j 0 01 Chóng ta sÏ tiÕn hµnh kh¶o s¸t tÝnh ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña 3 chØ sè e*i. TiÕp ®ã, ta sÏ chøng minh tæ hîp α i e*i cho ta gi¸ trÞ b»ng 0 khi vµ chØ khi hÖ sè α i = 0. 9
NÕu α i e*i ( V ) = 0 ∀ V = v i ei ⇒ α i e*i (v j e j ) = 0 (thay ®æi chØ sè c©m) hay α i e*i ( v j ( e j )) = 0 ⇔ α iv j e*i ( e j ) α i v j δ ji = 0 Thay e*i( e j )= δ ji ta cã Khai triÓn tæng nµy theo chØ sè j ta cã: α i v 1 δ1i + α i v 2 δ 2i + α i v 3 δ 3i = 0 K hai triÓn tiÕp tæng trªn víi chØ sè i thay ®æi tõ 1 ®Õn 3 ta nhËn thÊy: khi i = j th× δ ji = 1, j ≠ i t h× δ ji = 0. VËy ta cã: α i v i δ ii = 0 ⇒ αi vi = 0 § Ó ®¼ng thøc trªn ®óng ∀ V th× α i = 0. KÕt luËn : Ba ¸nh x¹ e*i ® −îc ®Þnh nghÜa bëi e*i ( e j ) = δ ji lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ nã t¹o thµnh mét c¬ së cña kh«ng gian ®¼ng cÊu R 3* . HÖ c¬ së (e*i) cña R3* ®−îc ®Þnh nghÜa tõ c¬ së ( ei ) cña R 3 . Ta gäi nã lµ c¬ së ®¼ng cÊu kÕt hîp víi ( ei ). Khi kh«ng gian R3 ® −îc thiÕt lËp bëi c¬ së ( ei ) th× ta cã thÓ sö dông kh«ng gian R3* v íi c¬ së ( ei ) ®Ó khai triÓn c¸c vect¬ cña kh«ng gian ®ã (d¹ng tuyÕn tÝnh). E. Thay ®æi c¬ së trong kh«ng gian ®¼ng cÊu: XÐt c¬ së ®¼ng cÊu míi (E*I) trong ®ã E*I ( E j ) = δ JI . Khi ®ã vect¬ V ® − îc khai triÓn trong hÖ míi nh − s au: E*I (v J E j ) = v J E*I ( E j ) = v J δ JI Khai triÓn tæng v J δ JI ta cã víi I =J th× δ JI = 1 ⇒ E*I ( V ) = v J = v I T rong hÖ c¬ së cò ta còng cã e *i ( V ) = v i X Ðt mèi quan hÖ gi÷a 2 c¬ së: 10
E* ( V ) = v I = biI v i = biI e*i B iÓu thøc trªn ®óng ∀ V ∈ R 3 → E*I = biI e* i F . Thµnh phÇn cña c¸c vect¬ trong R3 Gäi F lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trong R 3 víi c¸c thµnh phÇn Φ i t rong c¬ së (e*i) . Ta cã F = Φ i e*i Nh − v Ëy, f( V ) = Φ i e*i ( V ) = Φ iv i Chóng ta ®· ®Þnh nghÜa hÖ sè F: F = ( V ) = f iv i C¸c thµnh phÇn cña F trong hÖ c¬ së (e*i): F = f ie*i Chóng ta còng ®· chøng minh c¸c thµnh phÇn ph¶n biÕn khi cã sù thay ®æi c¬ së trong R 3 : FI = aIi f i G. C¸c thµnh phÇn trªn R 3 v µ R 3* a . TÝnh ®¼ng cÊu cña hai kh«ng gian: Kh«ng gian vect¬ R3* lµ kh«ng gian 3 chiÒu vµ biÓu diÔn mét cÊu tróc t− ¬ng ® −¬ng, so víi cÊu tróc cña R 3 . ë ®©y, ta cã thÓ hiÓu tÝnh ®¼ng cÊu cña hai kh«ng gian chÝnh lµ sù t−¬ng ®ång gi÷a c¸c nguyªn t¾c tÝnh to¸n trong c¸c kh«ng gian ®ã. b. C¸c thµnh phÇn: Chóng ta ®· biÕt c¸c thµnh phÇn ph¶n biÕn (v i) cña mét vect¬ R3 . NÕu chóng ta t×m ra ®− îc mét d·y gåm 3 v« h− íng v i, hµm cña c¬ së ( ei ) ®−îc chän trong R3 vµ quy t¾c biÕn ®æi cña kiÓu ph¶n biÕn khi thay ®æi c¬ së trong R3 . Khi ®ã chóng ta sÏ coi nh÷ng thµnh phÇn nµy nh− l µ thµnh phÇn cña mét vect¬ cña kh«ng gian R3 . Chóng ta cÇn chó ý r»ng ph¶n biÕn cña (vi) lu«n ®¶m b¶o tÝnh chÊt vèn cã cña vect¬ míiV = vi ei T− ¬ng tù nh − vËy chóng ta cã thÓ t×m ra ®− îc d·y gåm 3 v« h −íng f i, hµm cña ( ei ), nh−ng sù biÕn ®æi lóc nµy lµ hîp biÕn. Chóng ta cã thÓ xem chóng nh− l µ thµnh phÇn cña mét vect¬ cña kh«ng gian R3*: F= f i e*i 11
c) VÝ dô: XÐt mét c¬ së ( ei ) cña R 3 k«ng nhÊt thiÕt ph¶i trùc h −íng. Ta tiÕn hµnh tÝnh c¸c thµnh phÇn (vi) cña ( V ) khi chiÕc vect¬ nµy lªn c¸c trôc to¹ ®é. S ¬ ®å trªn chØ lµ mét biÓu diÔn 2 chiÒu ®¬n gi¶n vµ kh«ng nãi hÕt ® −îc tÝnh tæng qu¸t cña bµi to¸n. Trong thùc tÕ, phÐp chiÕu nghiªng trªn ei , vÝ dô lµ v’ e1 c ã m« ®un |v’|| e1 |. KÝ hiÖu v1 cho ta biÕt ® − îc chiÒu cña phÐp chiÕu. TÝch v« h − íng cña V bëi c¸c vect¬ c¬ së cho ta c¸c sèi = v . v ei Xem xÐt trªn s¬ ®å ta quan s¸t thÊy: v 1 = | V | | e1 | cos θ B ©y giê chóng ta xÐt d·y (vi) ®· ®−îc thiÕt lËp. NÕu ta tiÕn hµnh chiÕu vu«ng gãc V xuèng c¸c trôc cña mét c¬ së míi ( EI ) ta thu ®−îc: v I = V . EI hay EI = aIi ei Nh − v Ëy, ta cã: v I = V . aIi . ei = aIi v . ei = aIi v i 12
Ta nhËn thÊy vïng vI ® · ®− îc thu gän tõ v i b »ng c¸ch hîp biÕn. v * = v ie*i lµ mét vect¬ cña R3* . Nh − v Ëy, chóng ta kh¼ng ®Þnh Ta gäi v* lµ vect¬ ®¼ng cÊu cña v . H. Kh«ng gian ®¼ng cÊu cña R 3* R 3*lµ mét kh«ng gian vect¬ t− ¬ng tù nh − R 3, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¼ng cÊu cña nã lµ R3** n h− lµ mét kh«ng gian cña c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trªn R3* . B»ng c¸c phÐp chøng minh t− ¬ng tù ta cã thÓ chØ ra ® −îc R 3** ® ¼ng cÊu víi R3* . NÕu c¬ së cña R3* t hay ®æi th× sÏ dÉn tíi sù thay ®æi c¬ së theo nguyªn t¾c ®¶o chiÒu trong R3** . Ta cã kÕt luËn sau: → → R3 R 3* R 3** base(e*i) base (ei**) base ( ei ) C¸c vect¬ c¬ së sÏ thay ®æi cïng víi c¸c ma trËn. A trong R3 ; B = A -1 t rong R3* , A = B -1 t rong R3** Q ua ®©y, ta cã thÓ coi R 3** vµ R 3 l µ nh− nhau. C¸c vect¬ cña R3** ® −îc xem nh− lµ c¸c phÇn tö cña R 3 . KL: TÝnh ®èi ngÉu lµ mét mèi quan hÖ t− ¬ng ®−¬ng (2 chiÒu) tÝnh ®èi ngÉu R 3 ⇔ R 3* TÓM TẮT CHƯƠNG 1 1 . Chóng ta ®− a ra mét kh«ng gian to¸n häc R 3 ® Ó biÓu diÔn tÊt c¶ c¸c vect¬ vËt lý, dï b¶n chÊt kh¸c nhau, ®− îc x¸c ®Þnh cïng c¸c nguyªn t¾c to¸n häc víi vect¬ vÞ trÝ vµ chóng cïng chÞu sù biÕn ®æi cña c¬ së. E j = aIi ei v íi c¸c vect¬ c¬ së v I = biI v i víi c¸c thµnh phÇn cña c¸c vect¬ v = v i ei 2. Ta ® − a ra mét kh«ng gian vect¬ thø hai R 3* , ®èi ngÉu cña R 3, biÓu diÔn c¸c vect¬ g¾n víi c¸c vect¬ cña R 3 , nh−ng tu©n theo sù thay ®æi cña c¬ së kÕt hîp ®¶o so víi c¬ së cña R3 : 13
F = f i e*i ∈ R 3* t rong ®ã e*i( e j ) = δ ji E*I = biI e*i vµ F I = aIi f i EI = aIi ei T a còng cã : R3** ≡ R 3 3. Quy luËt chuyÓn c¸c vect¬ c¬ së cña R3 d ïng hÖ quy chiÕu ®Ó ®Þnh nghÜa sù thay ®æi cña d·y c¸c chØ sè. ChØ sè ë phÝa trªn → p h¶n biÕn ChØ sè phÝa d −íi → h îp biÕn. 4. Ta sö dông qui −íc Einstein ®Ó ghi c¸c chØ sè c©m: n ∑ v =v ei ⇔ v = i v i ei i =1 14
CHƯƠNG 2 : TENSEUR I. PhÐp nh©n Tenseur A . VÝ dô: Chóng ta xÐt kh«ng gian h×nh häc ph¼ng R2 , gèc O. §iÓm M chuyÓn ®éng trong mÆt ph¼ng vµ vÞ trÝ cña nã ®−îc x¸c ®Þnh bëi vect¬ V = OM ∈ R 2 . Chän hÖ trôc ox , oy v µ c¸c vect¬ c¬ së E1 , E2 . V = v i Ei . Ta cã thÓ khai triÓn V víi c¸c thµnh phÇn XÐt ®iÓm thø hai M’ chuyÓn ®éng cïng mét mÆt ph¼ng víi M. Hai ®iÓm nµy chuyÓn ®éng ®éc lËp víi nhau. VÞ trÝ cña ®iÓm M’ ® −îc biÓu diÔn bëi vect¬ V ’ = OM ’ = v’ i Ei . Theo quan ®iÓm to¸n häc chóng ta cã thÓ coi c¸c vect¬ V v µ V ’ thuéc nh÷ng kh«ng gian ph¼ng kh¸c nhau. V = OM ∈ R 2 v µ V ’= O' M ' ∈ R ’2 Qua viÖc sö dông ¶nh cña E1 vµ E2 ta cã thÓ viÕt: V = OM = v i ei ∈ R 2 v µ V ’ = O' M ' = v ’ i ei ’ ∈ R ’2 Nh − v Ëy, R 2 v µ R ’2 biÓu diÔn vÞ trÝ riªng cña c¸c ®iÓm chuyÓn ®éng trong khi ®ã mÆt ph¼ng ban ®Çu XOY biÓu diÔn vÞ trÝ tøc thêi cña chóng. 15
VÞ trÝ tøc thêi sÏ ® − îc kÝ hiÖu bëi: V ⊗ V ’. Ta quy −íc phÝa bªn tr¸i dÊu ⊗ l µ vÞ trÝ cña chuyÓn ®éng ®Çu tiªn, phÝa bªn ph¶i lµ vÞ trÝ cña chuyÓn ®éng thø hai. Sù kÕt hîp nµy, kÝ hiÖu ⊗ gi÷a mét vÐc t¬ cña R 2 víi mét vect¬ cña R’2 ®− îc gäi lµ phÐp nh©n tenseur. V ⊗ V ’ lµ tÝch tenseur cña V bëi V ’ TËp hîp cña V ⊗ V ’ (vÞ trÝ tøc thêi) lµ tÝch ®Ò c¸c cña R2 b ëi R’2 : R2 x R’2 B. Kh«ng gian “tÝch tenseur”: Chóng ta sÏ thiÕt lËp kh«ng gian R2 x R’ 2 d −íi d¹ng mét kh«ng gian vect¬. §Ó cã thÓ thiÕt lËp ®− îc tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c yÕu tè V ⊗ V ’, kh«ng gian t©m tíi tÝnh tøc thêi cña mçi biÓu diÔn vËt lý, vµ ® − a ra c¸c chØ tiªu ®éc lËp hay kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña c¸c nh©n tè nµy, ng− êi ta ®Þnh nghÜa phÐp céng vµ nh©n v« h −íng. Chóng ta chÊp nhËn 3 tiªn ®Ò sau ®Ó cã thÓ hiÓu râ h¬n b¶n chÊt cña phÐp nh©n v« h −íng víi hai phÐp to¸n céng vµ nh©n víi mét v« h −íng mµ chóng ta võa ®Ò cËp tíi: a) TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp céng: ' ' ' ' V ⊗ (V 1 +V 2 ) = V ⊗ V 1 + V ⊗ V 2 ( V 1+ V 2) ⊗ V ’ = V 1 ⊗ V ’ + V 2 ⊗ V ’ 16
b) PhÐp nh©n víi mét v« h−íng: ( λ V ) ⊗ V ’ = V ⊗ ( λ V ’) = λ ( V ⊗ V ’) vµ ta cã thÓ kÝ hiÖu ®¬n gi¶n λ V ⊗ V ’ c) §éc lËp tuyÕn tÝnh: NÕu p vect¬ V k cña R 2 v µ q vect¬ Vl ' cña R’ 2 ( víi k = 1, p v µ l = 1, q ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong c¸c kh«ng gian cña nã th× tÝch pq phÇn tö ( V ⊗ Vl ' ) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. V× ta t×m ® −îc nhiÒu h¬n hai vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong R2 v µ nhiÒu h¬n hai vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong R’2 nªn ta cã thÓ x©y dùng tÝch tenseur cña c¸c vect¬ nµy, nhiÒu h¬n bèn phÇn tö ( V ⊗ Vl ' ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Tuy nhiªn, tõ mét c¬ së ®Æc biÖt ( ei ) cña R 2 v µ tõ mét c¬ së ( ei ’) cña R ’2 , chóng ta cã thÓ x©y dùng ®−îc bèn phÇn tö ei ⊗ e j ’= πij, dùa trªn tiªn ®Ò cuèi, ®éc lËp tuyÕn tÝnh. KÕt qu¶ lµ mét kh«ng gian vect¬ ®−îc t¹o ra nhê phÐp nh©n tenseur nhÊt thiÕt ph¶i cã sè chiÒu b»ng 4 vµ c¸c phÇn tö πij = ei ⊗ e j ’ cÊu t¹o nªn mét c¬ së (i = 1, 2 ; j = 1,2). Bëi vËy, mét kh«ng gian nh− vËy cã thÓ xem nh − ®− îc sinh ra bëi c¸c phÇn tö πij. Cã nghÜa lµ c¸c phÇn tö nµy lµ tÊt c¶ c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cã thÓ cã cña π ij. Kh«ng gian nµy, ® −îc gäi lµ “tÝch tenseur” cña R2 b ëi R’ 2 (hay R 2 b ëi chÝnh nã), lµ ®éc lËp víi c¬ së ®Æc biÖt ( πij). §Þnh nghÜa: TÝch tenseur cña R 2 b ëi R’ 2 ≡ R 2 , kÝ hiÖu R 2 ⊗ R’ 2 , lµ πij= ⊗ mét tËp hîp cña c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh . Kh«ng gian nµy ’ ei ej cã cÊu tróc cña mét kh«ng gian vect¬ 4 chiÒu víi c¬ së lµ (πij). C¸c phÇn tö cña R 2 ⊗ R’ 2 lµ c¸c tenseur trªn R 2 . NÕu chóng ta kÝ hiÖu mét tenseur T nh − lµ mét tæ hîp cña ( πij), chóng ta cã thÓ biÓu diÔn c¸c thµnh phÇn cña T trªn c¬ së ( πij): 17
T = t ij πij ∈ R 2 ⊗ R’ 2 Chóng ta sÏ hiÓu ngÇm víi nhau kÝ hiÖu πij tõ 1 tíi 4 nh − sau: π1 ≡ π11 ; π2 ≡ π12 ; π3 ≡ π21 ; π4 ≡ π 22 . ViÖc ®¸nh sè cho c¸c thµnh phÇn cña t còng ®− îc tiÕn hµnh t−¬ng tù. Nh− ng ta sÏ biÕt r»ng c¸c phÐp tÝnh trªn tenseur sÏ ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu nÕu chóng ta gi÷ nguyªn nh÷ng chØ sè ban ®Çu cña chóng. C. BiÓu diÔn h×nh häc cña c¬ së ( πij) D. So s¸nh gi÷a tÝch §Ò cac vµ tÝch Tenseur Kh«ng gian R 2 xR’ 2 l µ mét tËp hîp cña c¸c tÝch tenseur cña tÊt c¶ c¸c vect¬ cña R2 víi tÊt c¶ c¸c vect¬ cña R’2 . Kh«ng gian R2 ⊗ R’2 lµ mét tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c tÝch tenseur nµy. LiÖu gi÷a hai kh«ng gian nµy cã sù t −¬ng ®ång? Mét phÇn tö V ⊗ V ’ cña R2 xR’ 2 lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh trªn chÝnh nã, phÇn tö nµy còng thuéc R2 ⊗ R’ 2 nh− ng cã hay kh«ng mèi quan hÖ hai chiÒu? 18
Cho hai vect¬ V = v i ei ∈ R 2 v µ V ’= v’i ei ’ ∈ R ’ 2 . Ta cã thÓ biÓu diÔn c¸c thµnh phÇn cña T: T = ( V ⊗ V ’)= (v i ei ) ⊗ (v’ i ei ’) = v iv’ i ( ei ⊗ ei ’) = v iv’ i πij T a ký hiÖu: tij = v i . v ’i . K hi ®ã: t 11 = v 1v ’1 ; t12 = v1v’2 ; t 21 = v2 v ’1 ; t 22 = v 2v ’2 Ta cã: t 11 t 21 v '1 = = t 12 t 22 v '2 Nh − v Ëy, 4 phÇn tö trªn lµ kh«ng ®éc lËp víi nhau. Ta cã thÓ tÝnh ® −îc mét phÇn tö theo c¸c phÇn tö cßn l¹i. (t11 xt 21 ) t11 ≠ 0 22 VÝ dô: t = v íi t12 N Õu ta ®−a ra mét d·y 4 sè tij t u©n theo mèi quan hÖ trªn, khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn nã nh − lµ c¸c thµnh phÇn trªn (πij) cña mét phÇn tö cña kh«ng gian R2xR’2 . Nh −ng nÕu t ij l µ tuú ý kh«ng tu©n theo quy luËt trªn th× sù biÓu diÔn nh− võa råi lµ kh«ng thÓ. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ: T = t ij πij ∉ R 2 xR’2 . KÕt qu¶ lµ R 2 x R ’2 chØ lµ tËp con cña R 2 ⊗ R’ 2 . Ta cã thÓ minh ho¹ bëi h×nh vÏ: 19
Nh − v Ëy lµ mét phÇn tö cña R2 ⊗ R’ 2 k h«ng hoµn toµn lµ mét “vÞ trÝ tøc thêi” cña chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng nh− ng lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña vÞ trÝ tøc thêi. Kh«ng gian vect¬ R2 ⊗ R’ 2 réng h¬n R 2xR’2 . V¶ l¹i kh«ng gian R 2 xR’ 2 kh«ng h¼n ®· lµ mét kh«ng gian vect¬ bëi mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö ch − a ch¾c ®· cho ta mét phÇn tö cña kh«ng gian ®ã. KÕt luËn: §Ó cã thÓ më réng thªm nh÷ng quy t¾c ®· biÕt tõ tÝnh to¸n vect¬ ®Õn kh¸i niÖm míi lµ tÝnh tenseur ( V ⊗ V ’) chóng ta ph¶i ®− a ra mét tËp tÝch tenseur R2 ⊗ R’ 2 n h− lµ mét kh«ng gian lµm viÖc. E. BiÓu diÔn vËt lý c¸c tenseur: Trong thùc tÕ, trong mçi ph¹m vi sö dông tenseur, viÖc biÓu diÔn vËt lý th−êng xuÊt ph¸t trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa. Trong vÝ dô mµ chóng ta ®· tõng xem xÐt ë trªn, ta cã thÓ h×nh dung ra ®− îc phÇn nµo biÓu diÔn tÜnh cña c¸c tenseur víi t− c¸ch lµ nh÷ng tæ hîp tuyÕn tÝnh πij. Nh÷ng hÖ sè cña c¸c tæ hîp nµy sÏ lµ “täng l −îng tÜnh” øng víi 4 t×nh huèng c¬ b¶n: π11 v µ π22 biÓu diÔn nh÷ng tr −êng hîp mµ c¸c chÊt ®iÓm cã xu h −íng chuyÓn ®éng hîp l¹i víi nhau ë vïng l©n cËn trôc OX vµ OY . π12 v µ π21 øng víi tr −êng hîp mµ c¸c chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cã xu h− íng chuyÓn ®éng tíi, trôc thø nhÊt OX , trôc thø hai OY h ay ng−îc l¹i. Trong c¬ häc l−îng tö, tr¹ng th¸i ®éng cña c¸c ®iÓm chuyÓn ®éng (ph©n tö) ®−îc biÓu diÔn bëi c¸c “hµm sãng” Ψ , phÇn tö cña kh«ng gian Hilbert (réng h¬n lµ kh«ng gian vect¬). Ta x©y dùng c¸c tr¹ng th¸i ®éng cña c¬ së, cho 2 ®iÓm ®Æc biÖt, bëi tÝch tenseur cña c¸c tr¹ng th¸i riªng: Ψ ij = Ψ i ⊗ Ψ j’ 20