Tập bài giảng Cơ học ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học ứng dụng là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành

kỹ thuật, vì vậy môn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường

đại học như: đại học Bách khoa Hà Nội, Giao thông vận tải, Thuỷ lợi, Xây dựng,… Ở

trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Điện- Điện tử. Hiện nay, các trường đại học đều có tài

liệu riêng giảng dạy về môn học này với các tên gọi khác nhau như Cơ học cơ sở, Cơ

học kỹ thuật v.v.. với nội dung thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do

đặc thù của ngành. Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Cơ học ứng dụng riêng cho

sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết. Theo chương

trình môn học Cơ học ứng dụng được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên trường Đại

học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm ba phần: Cơ học vật

rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó

phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm

nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật

rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu

lực đơn giản và phức tạp của thanh. Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình môn học Cơ học ứng dụng.

Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học theo quan điểm

hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại

học. Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần

thiết nhằm trang bị các kiến thức cơ học nền tảng trong hệ thống kiến thức cung cấp

cho các sinh viên, đặc biệt cho các sinh viên phi cơ khí.

Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót.

Chúng tôi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để

có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập. Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định.

Nhóm tác giả biên soạn

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................. 1 MỤC LỤC ....................................................................................................................... 3 Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI……………………………………………5 Chương 1 ......................................................................................................................... 5 ĐỘNG HỌC .................................................................................................................... 5 1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM .............................................................................................. 5 1.1.1. Phương pháp véc tơ ....................................................................................... 5 1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các ........................................................................... 7 1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên ......................................................................... 9 1.1.4. Một số chuyển động thường gặp ................................................................. 12 1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI .............................................................. 14 1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn ........................................................... 14 1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn .......................................................... 22 1.3. HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN ............................................. 33 1.3.1. Hợp chuyển động của điểm ......................................................................... 33 1.3.2. Hợp chuyển động của vật rắn ...................................................................... 37 1.4. ĐỘNG HỌC CƠ CẤU ....................................................................................... 42 1.4.1. Một số khái niệm ......................................................................................... 42 1.4.2. Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng .................................................................... 42 1.4.3. Các biến thể của cơ cấu bốn khâu ............................................................... 43 1.4.4. Cơ cấu cam .................................................................................................. 45 1.4.5. Cơ cấu bánh răng ......................................................................................... 46 CÂU HỎI ÔN TẬP ....................................................................................................... 51 Chương 2 ....................................................................................................................... 52 TĨNH HỌC .................................................................................................................... 52 2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC ................... 52 2.1.1. Các khái niệm cơ bản .................................................................................. 52 2.1.2. Các định luật tĩnh học .................................................................................. 57 2.1.3. Các hệ quả ................................................................................................... 61 2.2. KHẢO SÁT HỆ LỰC ........................................................................................ 64 2.2.1. Hệ lực phẳng ................................................................................................ 64 2.2.2. Hệ lực không gian ....................................................................................... 74 CÂU HỎI ÔN TẬP ....................................................................................................... 83 Chương 3 ....................................................................................................................... 84 ĐỘNG LỰC HỌC ......................................................................................................... 84 3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM .................................................... 84 3.1.1. Các khái niệm .............................................................................................. 84 3.1.2. Các định luật cơ bản của động lực học ........................................................ 84 3.1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm ..................................... 86 3.1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học ......................................................... 87 3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ .................................................................................. 89 3.2.1. Các khái niệm .............................................................................................. 89 3.2.2. Nguyên lý Đalămbe ..................................................................................... 93 3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ ...................... 96

gia tốc góc

3.3.1. Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm ................................ 97 3.3.2. Định lý mômen động lượng ....................................................................... 102 3.3.3. Định lý động năng ..................................................................................... 106 3.3.4. Định lý bảo toàn cơ năng ........................................................................... 114 3.4. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN ......................................................................... 117 3.4.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến ................................................................... 117 3.4.2. Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc 117 3.4.3. Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng......................................... 118 CÂU HỎI ÔN TẬP ..................................................................................................... 120 Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG ………………………………………121 Chương 4 ..................................................................................................................... 121 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG............................................................................. 121 4.1. MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 121 4.1.1. Các khái niệm về thanh ............................................................................. 121 4.1.2. Nội lực- Ứng suất ...................................................................................... 122 4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ............................................................................................................................. 123 4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ...... 124 4.1.5. Biến dạng ................................................................................................... 125 4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu ................................................................. 126 4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM ................................................................................. 127 4.2.1. Khái niệm .................................................................................................. 127 4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực ......................................................................... 127 4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ...................................................................... 128 4.2.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản .................................................... 134 4.3. XOẮ N THUẦ N TÚ Y CỦ A THANH THẲ NG ............................................... 135 4.3.1. Khái niệm .................................................................................................. 135 4.3.2. Nô ̣i lực và biểu đồ nô ̣i lực ......................................................................... 136 4.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ...................................................................... 137 4.3.4. Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản ................................................... 141 4.4. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG ........................................................... 143 4.4.1. Khái niệm .................................................................................................. 143 4.4.2. Nội lực và biểu đồ nội lực ......................................................................... 143 4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ...................................................................... 146 4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản .................................................... 154 4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP .................................................................... 156 4.5.1. Thanh chịu uốn xiên .................................................................................. 158 4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời ....................................................................... 161 4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm .................................................................................... 165 4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời .............................................................................. 167 4.5.5. Thanh chịu lực tổng quát ........................................................................... 171 CÂU HỎI ÔN TẬP ..................................................................................................... 172 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 173

Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

Chương 1

ĐỘNG HỌC

1.1. ĐỘNG HỌC ĐIỂM

Trong phần động học điểm, chúng ta khảo sát chuyển động của một điểm đối

với một hệ quy chiếu đã chọn. Để mô tả sáng sủa và gọn gàng các đặc trưng của

chuyển động, chúng ta sử dụng phương pháp véc tơ. Để tính toán thuận tiện, chúng ta

sử dụng các phương pháp tọa độ như phương pháp tọa độ Đềcác, phương pháp tọa độ

tự nhiên, phương pháp véc tơ.

1.1.1. Phương pháp véc tơ

1.1.1.1. Phương trình chuyển động

Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1).

Vị trí của điểm M được xác định bởi

véc tơ . Điểm M chuyển động, do đó

thay đổi theo thời gian:

(1.1)

Phương trình (1.1) được gọi là phương

trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ.

Chú ý rằng điểm M chuyển động liên

tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí

xác định và có hướng chuyển động xác định. Hình 1.1 Do đó là một hàm liên tục, đơn trị.

Tập hợp các vị trí của điểm trong không gian quy chiếu được gọi là quỹ đạo của

nó trong hệ quy chiếu ấy. Phương trình (1.1) là phương trình tham số của quỹ đạo.

Nếu quỹ đạo là đường thẳng, thì chuyển động được gọi là chuyển động thẳng. Nếu quỹ đạo là đường cong, thì chuyển động được gọi là chuyển động cong. Và khi đó, người ta thường lấy tên đường cong quỹ đạo để gọi tên chuyển động

1.1.1.2. Vận tốc chuyển động

Một trong những đặc trưng cơ bản của chuyển động của điểm là khái niệm vận tốc đối với một hệ quy chiếu đã chọn. Chúng ta sẽ xây dựng một cách chặt chẽ khái

niệm này. Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M xác định bởi . Ở thời điểm

(Hình 1.2). Như thế sau khác t1 = t + ∆t, điểm ở vị trí M1 xác định bởi

khoảng thời gian ∆t điểm dịch chuyển được một đoạn:

Hình 1.2 Hình 1.3

Vận tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:

(1.2)

Như thế, vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị

hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm M về phía

của điểm ấy. Véc tơ vận tốc chuyển động. Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s.

1.1.1.3. Gia tốc chuyển động

Giả sử ở thời điểm t, điểm ở vị trí M, có vận tốc là . Sang thời điểm t1 = t +

. Như thế, sau khoảng thời gian ∆t, vận tốc của ∆t, điểm ở vị trí M1 có vận tốc là

điểm biến thiên một đại lượng .

Đại lượng được gọi là gia tốc trung bình của điểm trong khoảng

thời gian ∆t, kể từ thời điểm t. Véc tơ hướng dọc theo véc tơ (Hình 1.3).

Gia tốc của điểm ở thời điểm t được xác định như sau:

(1.3)

Như thế, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc và bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy. Đơn vị của gia tốc là: mét/giây2, ký hiệu là m/s2. 1.1.1.4. Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động

Trước hết ta nêu ra một tiêu chuẩn nhận xét về chuyển động thẳng và chuyển

động cong của điểm. Khi điểm chuyển động thẳng, véc tơ vận tốc luôn không đổi về

phương do đó véc tơ và véc tơ luôn cùng phương. Vì vậy, véc tơ .

Ngược lại, khi điểm chuyển động cong, véc tơ nói chung thay đổi cả về hướng cũng

và véc tơ nói chung không cùng phương. Vì vậy ta có tiêu

như trị số. Các véc tơ chuẩn nhận xét:

Bây giờ ta đưa ra tiêu chuẩn nhận xét về tính đều và tính biến đổi của chuyển

động. Chuyển động là đều khi giá trị của vận tốc v không đổi. Chuyển động nhanh dần

hay chậm dần tùy theo giá trị của vận tốc tăng lên hay giảm đi theo thời gian.

Chú ý rằng, sự thay đổi của v2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận

tốc. Ta có:

Từ đó rút ra tiêu chuẩn nhận xét:

Trong trường hợp thứ 2, nếu > thì chuyển động là nhanh dần < là

chuyển động chậm dần.

1.1.2. Phương pháp toạ độ Đề các

1.1.2.1. Phương trình chuyển động

Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong hệ tọa

độ Đề các vuông góc Oxy (Hình 1.4)

Khi điểm M chuyển động x, y, z biến đổi

liên tục theo thời gian. Vậy các phương trình

chuyển động có dạng:

x=x(t); y = y(t); z = z(t) (1.4)

1.1.2.2. Vận tốc chuyển động

Theo công thức (1-2) ta có:

Hình 1.4

Chiếu đẳng thức lên ba trục tọa độ, ta nhận được:

(1.5)

Dựa vào các biểu thức (1.5), ta có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ

phương của vận tốc :

1.1.2.3. Gia tốc chuyển động

Tương tự như xác định các biểu thức thành phần vận tốc, từ công thức (1.3) ta có:

Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc trên các trục tọa độ:

(1.6)

Từ (1.6) ta cũng có thể xác định dễ dàng độ lớn và các cosin chỉ phương của :

Ví dụ 1.1. Chuyển động của điểm M ở trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi

phương trình:

(1.7)

Trong đó: b, d, ω, là các hằng số dương. Hãy xác định phương trình quỹ đạo, độ lớn của vận tốc, gia tốc của điểm M ở thời điểm t1 = π/2ω. Sau đó xác định phương

trình đường đầu mút của véc tơ vận tốc.

Bài giải: Muốn tìm phương trình quỹ đạo, ta chỉ việc tìm cách khử tham số thời gian t trong các phương trình chuyển động. Trong ví dụ này, từ các phương trình chuyển động ta suy ra:

Do tính chất nên ta có phương trình quỹ đạo:

Vậy quỹ đạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5)

Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t:

Hình 1.5

Ở thời điểm t = π/2ω, điểm M ở vị trí M1 (x1 = b; y1 = 0) và các hình chiếu vận

tốc và gia tốc của nó có dạng:

Để vẽ đường đầu mút véc tơ vận tốc (cũng gọi là đường đầu tốc) ta chọn trên

mặt phẳng vận tốc hệ trục vuông góc 01x1y1 tương ứng như sau (Hình 1.5)

Khử t từ các phương trình tham số của đường đầu mút véc tơ vận tốc, ta nhận

được phương trình:

(1.8)

Đây là phương trình đường đầu mút véc tơ vận tốc dạng tọa độ. Trên hình 1.5

các điểm M’0, M’, M’1 trên đường đầu mút véc tơ vận tốc tương ứng với các điểm M0, M, M1 ở trên quỹ đạo

1.1.3. Phương pháp toạ độ tự nhiên

1.1.3.1. Phương trình chuyển động

O M (C) - +

Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp dụng khi biết trước quỹ đạo chuyển động của điểm. Giả sử cho biết quỹ đạo (C) của điểm ở trong một hệ quy chiếu không gian. Chọn một Hình 1.6

điểm tùy ý O ở trên quỹ đạo làm điểm gốc và định chiều dương trên quỹ đạo (Hình 1.6). Vị trí của điểm M được xác định bằng độ

dài đại số cung .

Điểm M chuyển động do đó thay đổi theo thời gian. Phương trình:

(1.9)

Biểu diễn quy luật chuyển động của điểm M dọc theo quỹ đạo gọi là phương

trình chuyển động của điểm dạng tọa độ tự nhiên.

Chú ý rằng s là một đại lượng đại số. Tuy nhiên nếu chiều chuyển động không

đổi và nếu chọn chiều đó là chiều dương để tính cung, thì với cách chọn gốc O thích

hợp sẽ luôn dương.

1.1.3.2. Một vài tính chất hình học của quỹ đạo

1. Hệ tọa độ tự nhiên Trước hết chúng ta hãy đưa ra

M’ O n - + t M b t

b Hình 1.7 cách xác định mặt phẳng mặt tiếp của quỹ đạo tại điểm M của nó. Trên quỹ đạo ngoài điểm M ta lấy thêm điểm M1 (Hình 1.7). Kẻ các tiếp tuyến MT và M1T1. Qua M kẻ đường MT’1// M1T1. Dựng mặt phẳng P chứa các đường MT và MT’1. Khi cho M1 tiến dần đến M, mặt phẳng P sẽ tiến dần đến một mặt

phẳng giới hạn π, gọi là mặt phẳng mật tiếp của quỹ đạo tại điểm M. Như thế, nếu quỹ

đạo là đường cong phẳng thì mặt phẳng chứa đường cong quỹ đạo là mặt phẳng mật

tiếp tại mọi điểm của quỹ đạo. Khi quỹ đạo là đường cong không gian, ta lấy một

cung rất bé MM’ = d . Vì cung d rất bé nên có thể thay thế nó bằng một cung phẳng

cùng điểm đầu, điểm cuối. Mặt phẳng chứa cung phẳng này sẽ được xem một cách gần

đúng là mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M (Hình 1.7).

Dựng trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M trục Mt hướng theo tiếp

tuyến của quỹ đạo về phía dương. Véc tơ đơn vị trên trục đó là . Dựng trục Mn

hướng theo pháp tuyến của quỹ đạo về phía lõm. Pháp tuyến Mn nằm trong mặt phẳng

mật tiếp gọi là pháp tuyến chính. Véc tơ đơn vị trên trục này là . Dựng pháp tuyến

Mb của quỹ đạo tại M và vuông góc với mặt phẳng mật tiếp. Pháp tuyến Mb gọi là

trùng pháp tuyến. Véc tơ đơn vị trên trục này là . Thường người ta chọn chiều của

sao cho Mtnb tạo thành một hệ trục thuận (Hình 1.7).

Như thế, tại mỗi điểm của đường cong là luôn dựng được một hệ tọa độ vuông góc có ba trục hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, gọi là hệ tọa

độ tự nhiên. Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí của điểm M trên quỹ đạo và phản

ảnh được một phần tính chất hình học của quỹ đạo.

2. Độ cong của quỹ đạo Ta nhận thấy rằng quỹ đạo càng cong thì tiếp tuyến của nó đổi hướng càng

nhanh dọc theo quỹ đạo ấy. Vì vậy người ta đưa ra khái niệm độ cong của quỹ đạo

(Hình 1.8).

Đại lượng:

được gọi là độ cong trung bình của quỹ đạo ứng với cung MM1.

Đại lượng:

được gọi là độ cong của quỹ đạo tại điểm

M. Đại lượng là bán kính cong của quỹ đạo

tại điểm M.

Để minh họa, xét quỹ đạo là đường tròn bán

kính R. Khi đó ∆s=R∆φ.

Vậy ta có:

Hình 1.8

Như thế bán kính cong của đường tròn tại các điểm của chúng chính bằng bán

kính cong của đường tròn đó.

1.1.3.3. Vận tốc chuyển động

Để xác định vận tốc ta sẽ tìm hình chiếu của nó trên các trục của hệ tọa độ tự

nhiên. Vì véc tơ . Mặt khác theo hướng theo tiếp tuyến quỹ đạo tại M, nên

định nghĩa:

Trong phần hình học vi phân, người ta chứng minh . Vì vậy ta rút ra:

; (1.10)

Chú ý rằng:

1.1.3.4. Gia tốc chuyển động

Tương tự như phần vận tốc, ta sẽ tìm hình chiếu của véc tơ gia tốc trên các trục

của hệ tọa độ tự nhiên:

Mặt khác theo định nghĩa:

Trong phần hình học vi phân, người ta đã chứng minh:

Vì vậy ta có:

Cuối cùng ta rút ra: (1.11)

Từ (1.11) ta thấy gia tốc pháp tuyến luôn luôn hướng về tâm cong của quỹ đạo,

còn gia tốc tiếp tuyến thì có thể hướng cùng chiều hoặc ngược chiều với vận tốc .

Từ các biểu thức (1.11) ta đưa ra một vài nhận xét về ý nghĩa của các thành

phần gia tốc.

Từ biểu thức ta thấy: khi điểm chuyển động nói chung v ≠ 0, do đó

an= 0 khi ρ = ∞. Vậy chỉ trong chuyển động thẳng thì an mới luôn luôn triệt tiêu. Trong chuyển động cong, nói chung a ≠ 0. Như thế gia tốc pháp tuyến phản ứng tính cong của quỹ đạo, do đó đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véc tơ vận tốc. Chú ý rằng giá trị của an tỷ lệ với bình phương của vận tốc nên tăng rất nhanh khi giá trị vận tốc tăng.

Từ biểu thức ta rút ra: gia tốc tiếp đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc

) hay tính biến đổi ( ) của chuyển

về mặt trị số. Nó phản ánh tính đều ( động.

1.1.4. Một số chuyển động thường gặp

1.1.4.1. Chuyển động đều: Chuyển động đều của điểm là chuyển động mà vận

tốc của nó có trị số không đổi (v = v0 = hằng số).

Nếu chọn chiều chuyển động không đổi của điểm làm chiều dương trên quỹ đạo

thì phương trình chuyển động của điểm có dạng:

1.1.4.2. Chuyển động biến đổi đều: Chuyển động biến đổi đều của điểm là

chuyển động mà thành phần gia tốc tiếp luôn có trị số không đổi (at = a = hằng số).

Từ biểu thức ta suy ra:

Vậy phương trình chuyển động có dạng:

Trong chuyển động biến đổi đều nếu vt và at cùng dấu thì chuyển động là nhanh dần đều, nếu vt và at ngược dấu nhau thì chuyển động là chậm dần đều. Trong thực tế, thì nếu nếu ta chọn chiều dương trên quỹ đạo trùng với chiều của vận tốc đầu

chuyển động là nhanh dần đều, còn chuyển động là chậm dần

đều cho đến khi dừng lại (v = 0).

Ví dụ 1.2. Cho điểm chuyển động theo quy luật:

Xác định bán kính cong của quỹ đạo theo thời gian t.

Bài giải:

Trước hết đạo hàm các hàm x, y, z theo t:

Ta dễ dàng tính được:

Từ đó suy ra:

Do an = a nên ta có:

Ví dụ 1.3. Một chất điểm chuyển động trên một đoạn cung của đường tròn có bán kính R = 1000m với vận tốc ban đầu v0 = 54 km/h. Sau khi đi được một đoạn đường có chiều dài 500m, vận tốc của chất điểm giảm xuống còn 36 km/h. Cho biết chất điểm chuyển động chậm dần đều.

Tính gia tốc của chất điểm tại lúc xuất phát và lúc vận tốc có giá trị 36 km/h.

Bài giải:

Chọn chiều dương quỹ đạo thuận chiều chuyển động của chất điểm và chọn gốc

toạ độ trùng với vị trí xuất phát của chất điểm (s0 = 0).

Vì chất điểm chuyển động chậm dần đều nên ta có:

Trong đó: at là gia tốc tiếp tuyến của chất điểm. Khử t từ hai phương trình trên, ta có:

Khi thay các giá trị: v0 = 15 m/s (ứng với 54 km/h), v = 10 m/s (ứng với 36 s = 500m, ta nhận được: km/h),

Vì chuyển động là chậm dần đều nên gia tốc tiếp có giá trị như nhau tại mọi

thời điểm (at = 0,125 m/s2), còn gia tốc pháp được tính theo công thức (1.11)

- Gia tốc pháp tại thời điểm xuất phát:

- Gia tốc pháp tại thời điểm vận tốc có giá trị 36 km/h:

Vậy gia tốc toàn phần tại hai thời điểm này là:

1.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

1.2.1. Các chuyển động cơ bản của vật rắn

1.2.1.1. Chuyển động tịnh tiến

1. Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng thuộc vật

luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó.

Ví dụ. Chuyển động của thùng xe trên đoạn đưởng thẳng (Hình 1.9), chuyển động của thanh truyền AB trong cơ cấu bốn khâu có các tay quay O1A và O2B bằng nhau (Hình 1.10) là chuyển động tịnh tiến.

Hình 1.10 Hình 1.9

Chú ý: Không có khái niệm điểm chuyển động tịnh tiến. Khi vật rắn chuyển

động tịnh tiến, các điểm thuộc vật có thể chuyển động không thẳng, không đều.

2. Khảo sát chuyển động của vật Định lí. Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc các điểm

của vật rắn như nhau tại cùng một thời điểm.

Chứng minh. Lấy hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật. các véc tơ định vị của chúng

thỏa mãn điều kiện (Hình 1.11)

(1.12)

Đối với vật rắn bất kỳ, véctơ luôn có độ lớn không đổi, đối với chuyển

động tịnh tiến luôn có hướng không đổi. Vậy = const.

Phương trình (1.12) chứng tỏ rằng vị trí của điểm B là vị trí của điểm A trượt đi một véctơ

hằng . Nếu sự dịch chuyển trên được thực hiện thì quỹ đạo của điểm A sẽ chồng khít lên quỹ đạo

của điểm B. Các quỹ đạo như thế được gọi là như

nhau.

Do =const nên đạo hàm đẳng thức

(1.12) theo thời gian, ta có:

hay

Từ định lý trên ta thấy rằng, việc khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn

được đưa về khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ thuộc vật rắn. Phương pháp

khảo sát chuyển động của điểm đã được trình bày như trong chương trước.

1.2.1.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định

Hình 1.12b

1. Định nghĩa

Hình 1.12a Chuyển động của vật rắn có hai điểm cố định, do đó có một trục đi qua hai điểm

đó cố định, được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định. Trục cố định đó

được gọi là trục quay của vật.

Trên hình 1.12a cho ta mô hình không gian của vật rắn quay quanh một trục cố

định. Giao giữa vật rắn quay và mặt phẳng vuông góc với trục quay cho ta mô hình

phẳng như hình vẽ 1.12b.

2. Khảo sát chuyển động của vật a. Phương trình chuyển động Ta chọn quy ước một chiều quay dương quanh trục. Dựng mặt phẳng P0 cố định qua trục và mặt phẳng động P qua trục và gắn chặt với vật rắn. Góc giữa mặt phẳng P0 và mặt phẳng P và

. Vị trí của vật rắn khi đó được xác định vởi vị trí của mặt

phẳng P đối với mặt phẳng P0 tức là được xác định bởi góc quay

giữa . Khi vật quay, góc quay thay đổi theo thời gian.

(1.13)

Phương trình (1.13) là phương trình chuyển động của vật

rắn quay quanh một trục cố định.

Như thế, vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định

Hình 1.13 được xác định bởi một tham số là góc quay . Do đó vật rắn loại

này có một bậc tự do.

Chú ý: Góc quay có thể dương hay âm tùy thuộc vào chiều quay dương đã

chọn. Thông thường người ta quy ước góc quay được xem là dương nếu vật quay

ngược chiều kim đồng hồ, và xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ. Góc

quay được tính bằng radian (rad).

b. Vận tốc góc của vật Để đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định, người

ta đưa vào các khái niệm vận tốc góc và gia tốc góc.

Đại lượng

(1.14)

gọi là vận tốc góc của vật. Như thế vận tốc góc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay. Dấu của

cho biết chiều quay của vật quanh trục. Nếu = > 0 thì tăng theo thời gian và

vật rắn quay theo chiều dương. Ngược lại nếu < 0 thì vật quay theo chiều âm.

Giá trị tuyệt đối cho biết độ nhanh của chuyển động quay:  có giá trị

càng lớn, thì vật quay càng nhanh.

Đơn vị để tính vận tốc góc là radian trên giây. Ký hiệu là rad/s. Người ta cũng

dùng đơn vị 1/s để tính vận tốc góc.

Trong kỹ thuật người ta hay sử dụng đơn vị vòng/phút để tính tốc độ góc. Do 1

vòng = , 1 phút =60s nên ta dễ dàng thiết lập hệ thức liên hệ giữa hai loại đơn vị:

(1.15)

Ví dụ: n = 9000 vòng/ph thì

c. Gia tốc của vật Đại lượng

(1.16)

Gọi là gia tốc góc của vật. Đơn vị để tính gia tốc góc là radian/giây2. Ký hiệu là rad/s2. Người ta cũng dùng

đơn vị 1/s2 để tính gia tốc góc.

Gia tốc góc đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc góc theo thời gian.

Khi =0, do đó = const, chuyển động quay đều. Khi , chuyển động quay biến

đổi. Nếu = tăng theo thời gian, thì vật rắn quay nhanh dần. Ngược lại khi  giảm

theo thời gian, thì vật rắn quay chậm dần. Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị vận tốc

góc  được đặc trưng bởi sự biến đổi của . Do đó để tìm dấu hiệu nhận biết

tính chất của chuyển động quay, ta xét dấu của đạo hàm:

Do Ta có kết luận:

Khi =0: Vật rắn quay đều;

. >0: Vật rắn quay nhanh dần;

. <0: Vật rắn quay chậm dần.

d. Một vài dạng chuyển động quay đặc biệt - Chuyển động quay đều: Đó là chuyển động quay mà vận tốc góc có trị số

không đổi ( ). Do đó = = const.

Từ đó suy ra: (1.17)

- Chuyển động quay biến đổi đều: Đó là chuyển động quay mà gia tốc góc có trị

số không đổi ( ).

Do , ta suy ra

(1.18)

e. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

Để biểu diễn gọn gàng, sáng sủa những đặc điểm của chuyển động quay của

vật rắn quanh một trục cố định và để chuẩn bị cơ sở nghiên cứu sâu hơn về động học vật rắn. Người ta sử dụng véctơ để biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc. Ký hiệu véctơ

là , véctơ gia tốc góc là .

Véc tơ vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục

cố định là một véc tơ nằm trên trục quay có chiều sao cho

nhìn từ ngọn đến gốc véc tơ ta thấy vật rắn quay ngược

chiều kim đồng hồ và có trị số . Nếu gọi là véc tơ

đơn vị trên trục quay z, ta có:

Véc tơ gia tốc của vật rắn quay quanh một trục cố

định là một véc tơ bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ

vận tốc góc của vật rắn: Hình 1.14

Như thế véc tơ gia tốc góc cũng nằm trên trục quay, chiều và trị số của nó

được xác định bởi dấu và trị số của (Hình 1.14).

3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật Xét chuyển động một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn, nằm cách trục quay z một

đoạn IM=R. Khi vật rắn quay quanh trục z cố định, quỹ đạo của điểm M là một đường

tròn tâm I. Bán kính R, nằm trên mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục quay. Do

biết được quỹ đạo chuyển động của M nên ta sử dụng phương pháp tọa độ tự nhiên để

phân tích chuyển động của điểm M.

a. Phương trình chuyển động của điểm Chọn điểm O trên mặt phẳng P0 làm gốc quy chiếu và lấy chiều quay dương

làm chiều dương. Vị trí của điểm M được xác định bởi cung

(1.19)

b. Vận tốc các điểm

Hình 1.16 Hình 1.15

Ta có:

Vậy vận tốc của điểm M vuông góc với IM, hướng theo chiều quay của vật

(Hình 1.15) và có trị số xác định bởi công thức:

(1.20)

Như thế, vận tốc các điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định được phân

bố quanh trục quay theo quy tắc tam giác đồng dạng (Hình 1.16).

Ta có:

Bây giờ ta thiết lập công thức Ơle, một công thức rất quan trọng trong động học

vật rắn. Trước hết ta lấy hai hệ tọa độ vuông góc: Hệ Ox1y1 cố định, hệ Oxy chuyển động quay quanh một trục cố định O. (Hình 1.17).

Gọi véctơ đơn vị trên trục Ox là ; trên trục

Oy là , . trên các trục Ox1, Oy1 tương ứng là

Từ hình 1.17 ta có:

Hình 1.17 Thực hiện phép tính đạo hàm theo t:

(1.21)

Xét vật rắn quay quanh một trục z cố định. Chọn hệ tọa độ cố định Ox1y1z1 làm

hệ quy chiếu. Lấy hệ tọa độ động Oxyz gắn

liền với vật. (Hình 1.18). Vị trí của điểm M thuộc vật được xác định bởi véctơ :

Trong đó: x, y, z là tọa độ của điểm M

trong hệ tọa độ Oxyz. Chúng là các hằng số.

Vận tốc của điểm M:

Do =const, nên =0. Ta có:

Hình 1.18

Mặt khác, chú ý đến tích véctơ:

Từ trên ta có

(1.22)

Công thức (1.22) gọi là công thức Ơle. Đây là công thức cơ bản của lí thuyết

động học vật rắn. Chú ý rằng, ta có thể thiết lập công thức Ơle nhanh gọn hơn bằng

một vài nhận xét hình học về tích hữu hướng của hai véctơ.

c. Gia tốc các điểm Điểm M chuyển động tròn nên trong trường hợp

tổng quát, gia tốc của nó có hai thành phần: gia tốc pháp

tuyến và gia tốc tiếp tuyến (Hình 1.19):

Gia tốc pháp tuyến hướng từ điểm M vào tâm I.

Trị số của nó:

(1.23)

Hình 1.19 Gia tốc tiếp tuyến hướng cùng chiều với vận tốc

tùy theo vật rắn quay nhanh dần hay chậm dần quanh trục quay.

Trị số của nó:

(1.24)

Gia tốc toàn phần của điểm M tạo với MI một góc mà:

Còn trị số của nó:

Hình 1.20 Như thế, gia tốc các điểm của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định được phân bố theo

quy tắc tam giác thường đồng dạng với hệ số đồng dạng là (Hình 1.20).

Từ công thức Ơle (1.22) ta có:

(1.25)

Bằng một vài suy luận đơn giản, ta rút ra:

(1.26)

4. Vài dạng truyền chuyển động quay đơn giản Trong một máy hoặc một tổ hợp máy thường gồm ba phần (Hình 5.13): Động

cơ, cơ cấu truyền động, bộ phận làm việc.

Cơ cấu Bộ phận Động cơ truyền động làm việc

Hình 1.21

Ở đây bước đầu ta làm quen với một vài cơ cấu truyền động đơn giản nhằm

biến chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyển động quay quanh một trục khác cố định, biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến, biến chuyển

động quay thành chuyển động tịnh tiến và biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển

động quay.

Dưới đây là một vài truyền động đơn giản

a) Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích

Hình 1.22a Hình 1.22b

Hình 1.23a Hình 1.23b

Truyền các chuyển động quay giữa hai trục cố định song song nhau, người ta dùng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích như hình 1.22 và 1.23.

Trong trường hợp biểu diễn như hình 1.22,

ta có:

Hình 1.24 Truyền động như hình 1.23, ta có:

b) Truyền động bánh răng- thanh răng

Để truyền chuyển động giữa một vật quay và một vật tịnh tiến người ta sử dụng

cơ cấu bánh răng- thanh răng hoặc sử dụng cơ cấu bánh- thanh ma sát (Hình 1.24).

c) Truyền động bằng cơ cấu cam Để truyền chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động

quay thành chuyển động tịnh tiến người ta có thể sử dụng các cơ cấu cam như hình 1.25.

Hình 1.25a Hình 1.25b

1.2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn

1.2.2.1. Định nghĩa và mô hình

1. Định nghĩa Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm thuộc

vật luôn luôn dịch chuyển trong một mặt phẳng xác định song song với một mặt phẳng

quy chiếu đã chọn trước (Hình 1.26).

2. Mô hình khảo sát chuyển động

Hình 1.26 Hình 1.27

Xét một đoạn thẳng AB tùy ý của vật rắn K mà AB vuông góc với mặt phẳng quy chiếu P0. Vì K là một vật rắn nên AB=const. Mặt khác do vật rắn K chuyển động song phẳng nên các điểm A, B luôn dịch chuyển trong hai mặt phẳng song song nhau.

Vậy đoạn AB luôn song song với vị trí ban đầu của nó. Theo định nghĩa. AB thực hiện

chuyển động tịnh tiến. Vậy chuyển động của đoạn AB được đặc trưng bởi chuyển

động của điểm M thuộc nó. (Hình 1.26). Vật rắn K là tập hợp vô số thanh AB. Do đó chuyển động song phẳng của vật rắn K được đặc trưng bởi chuyển động của thiết diện

phẳng S trong mặt phẳng P.

Như vậy việc khảo sát chuyển động song phẳng của vật rắn K trong không gian

được đưa về bài toán khảo sát chuyển động phẳng của thiết diện S trong mặt phẳng P (Hình 1.27).

1.2.2.2. Khảo sát chuyển động của vật rắn

1. Phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động cơ bản Xét chuyển động của hình phẳng S trong mặt phẳng chứa nó (Hình 1.28). Ta

chọn hệ quy chiếu cố định Oxy. Lấy một

điểm A tùy ý thuộc S làm điểm cực và gắn

vào A một hệ tọa độ Ax’y’ sao cho trong

quá trình S chuyển đông luôn luôn có

Ax’//Ox; Ay’//Oy.

Chuyển động phẳng của hình S được

phân tích thành hai chuyển động thành phần. Hình 1.28 Chuyển động tịnh tiến của hệ động

Ax’y’ đối với hệ quy chiếu cố định Oxy.

Chuyển động quay quanh A của hệ động đối với hệ động Ax’y’.

Như thế, chuyển động phẳng của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích được

thành hai chuyển động cơ bản: Chuyển động quay tương đối của vật rắn quanh cực A thuộc vật đối với hệ quy chiếu động Ax’y’ và chuyển động tịnh tiến của hệ động Ax’y’

cùng với cực A đối với hệ quy chiếu cố định Oxy.

2. Phương trình chuyển động của vật Theo phân tích trên, vị trí của S đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác

định bởi ba thông số định vị. Đó là góc (để xác định vị trí của S – hoặc hệ tọa độ A

- đối với hệ động Ax’y’) và các tọa độ xA, yA (để xác định vị trí của hệ động Ax’y’

đối với hệ cố định Oxy). Như thế, số bậc tự do của một vật rắn chuyển động song

phẳng là ba.

biến đổi Khi thiết diện phẳng S chuyển động phẳng, ba thông số xA, yA và

theo thời gian t. Do đó phương trình chuyển động của vật rắn chuyển động phẳng là:

(1.27) xA = xA(t); yA = yA(t);

Hai phương trình đầu mô tả thành phần chuyển động tịnh tiến, phương trình thứ

ba mô tả thành phần chuyển động quay tương đối.

3. Vận tốc và gia tốc suy rộng của vật

; thì vị trí của vật rắn Nếu ta đưa vào các tọa độ mở rộng q1 = xA; q2 = yA; q3 =

chuyển động phẳng được xác định bởi véctơ định vị:

(1.28)

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ định vị của vật rắn chuyển động

phẳng được gọi là véctơ vận tốc suy rộng của vật:

(1.29)

Tương ứng với sự phân tích chuyển động ở trên, hai thành phần đầu của véctơ

vận tốc suy rộng mô tả vận tốc của thành phần chuyển động tịnh tiến, còn thành phần

thứ ba của véctơ vận tốc suy rộng mô tả vận tốc góc của thành phần chuyển động quay.

Ta gọi đạo hàm bậc hai theo thời gian của véctơ định vị của vật rắn chuyển

động phẳng là véctơ gia tốc suy rộng của vật:

(1.30)

Như thế, hai thành phần đầu vủa véctơ gia tốc suy rộng mô tả gia tốc của thành

phần chuyển động tịnh tiến, và thành phận thứ ba ( ) của véctơ gia tốc suy

rộng mô tả gia tốc góc của thành phần chuyển động quay.

1.2.2.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật

1. Phương trình chuyển động

Hình 1.29

Lấy một điểm B bất kì thuộc vật rắn s chuyển động phẳng. Vị trí của điểm B

đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác định bởi véctơ định vị

(Hình 1.19): (1.31)

Chiếu đẳng thức véctơ (1.31) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta được:

(1.32)

Trong đó , là các tọa độ của điểm B trong hệ tọa độ A , chúng luôn là

các hằng số.

Các phương trình (1.32) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

(1.33)

Các phương trình (1.32) hoặc (1.33) được gọi là các phương trình chuyển động

của một điểm thuộc vật rắn chuyển động phẳng

2. Vận tốc các điểm

a. Biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm Để nhận được biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm thuộc vật rắn

chuyển động phẳng, ta đạo hàm hai vế của phương trình (1.33) theo thời gian:

(1.34)

Hoặc viết dưới dạng thông thường:

(1.35)

Chú ý: Nếu chưa quen với cách đạo hàm các ma trận, ta có thể đạo hàm hai vế

của các phương trình (1.32) để nhận được các phương trình (1.35).

b. Quan hệ vận tốc giữa hai điểm Định lí 1: Vận tốc của điểm B tùy ý thuộc hình phẳng S chuyển động phẳng,

bẳng tổng hình học vận tốc của điểm cực A và vận tốc của điểm B trong chuyển động

quay của hình phẳng S quanh A.

(1.36)

Chú ý 1: Vận tốc góc của thành phần chuyển động quay không phụ thuộc vào

việc chọn cực. Thực vậy, nếu lấy A làm cực, ta có:

(a)

Nếu lấy B là cực thì:

(b)

Cộng hai đẳng thức (a) với (b) ta có:

(c)

Do là véctơ vuông góc với mặt phẳng S, nên vuông góc với. Từ (c)

Chú ý 2: Từ cách xác định vận tốc một điểm của vật rắn quay quanh một trục cố định, ta dễ dàng xác định véctơ

suy ra:

bằng hình học.

Phương vuông góc với BA

Chiều hướng theo chiều quay

Hình 1.30 Trị số vBA = .AB

Định lí 2: Hình chiều vận tốc hai điểm bất kì của hình phẳng S chuyển động

phẳng lên đường thẳng nối hai điểm đó thì bằng nhau.

(1.37)

Thực vậy:

Chiếu đẳng thức (1.36) lên trục AB ta được:

Do , nên = vậy định lí được chứng minh

c. Tâm vận tốc tức thời Định nghĩa: Điểm P trên hình phẳng S mà tại thời điểm khảo sát có vận tốc

bằng không, gọi là tâm vận tốc tức thời.

Định lí 3: Ở mỗi thời điểm nếu có một điểm duy nhất thuộc hình phẳng S

có vận tốc bằng không.

Trước hết ta chứng minh sự tồn tại của tâm vận tốc tức thời. Giả sử biết vận tốc

và vận tốc góc (Hình 1.31)

Hình 1.32

Hình 1.31

Quay véctơ quanh A theo chiều của đi một góc 900 ta được nửa đường

thẳng AB. Trên AB lấy một điểm P sao cho:

Khi đó:

Mặt khác theo công thức (1.36):

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của tâm P bằng phương pháp phản chứng.

khi đó:

Đó là một điều vô lí vì

giả sử có hai điểm P1 và P2 mà tại thời điểm khảo sát có tính chất

Vậy: P1  P2.

d. Sự phân bố vận tốc các điểm Ta xét sự phân bố vận tốc các điểm của tấm phẳng S chuyển động phẳng. Có

hai khả năng có thể xảy ra tại môi trương điểm:

Khả năng 1: Lấy tâm vận tốc tức thời P làm cực. Xét vận tốc của một điểm M bất kì thuộc

hình phẳng S. Ta có quan hệ vận tốc.

Phương vuông góc với MP

Chiều hướng theo chiều

Trị số = .MP

Vậy khi , vận tốc tức thời của hình phẳng S

phân bố giống như S đang quay quanh tâm vận tốc tức

thời P với vận tốc góc (Hình 1.32)

Người ta nói rằng hình phẳng S quay tức thời

quanh P.

Khả năng 2:

Xét vận tốc hai điểm M, N bất kì của hình phẳng S.

Ta có

Hình 1.33

. Vậy khi Do vMN = MN. = 0, nên

, vận tốc tức thời của các điểm của hình phẳng S đều bằng nhau (Hình 1.33). Người ta nói rằng hình phẳng S chuyển động tịnh tiến tức thời. Như vậy, tại mỗi thời điểm, hình phẳng S hoặc quay tức thời quanh tâm vận tốc

) hoặc chuyển động tịnh tiến tức thời (khi =0). Chú ý rằng tức thời P (khi chuyển động tức thời của hình phẳng chỉ nói lên tính chất của vận tốc. Tuyệt đối không được từ đó suy ra tính chất của gia tốc.

e. Quy tắc thực hành tìm tâm vận tốc tức thời Dựa vào các kết quả ở trên đưa ra ở đây một số quy tắc thực hành tìm tâm vận

tốc tức thời.

Trường hợp 1: Biết vận tốc điểm A và phương vận tốc điểm B. Hai phương này

không song song với nhau.

Dựa vào tính chất , từ A và B ta kẻ tương ứng các đường

vuông góc với và . Giao điểm của chúng là tâm vận tốc P (Hình 1.34a).

Hình 1.34

Trường hợp 2: Biết vận tốc hai điểm A và B, chúng có phương song song với nhau.

Dựa vào tính chất

Ta thấy tâm vận tốc tức thời P chính là giao điểm của đường AB với đường nối

các đầu mút các véctơ và , (Hình 1.34b và 1.34c). Trường hợp giao điểm ở vô

cùng, tấm phẳng thực hiện chuyển động tịnh tiến tức thời

(Hình 1.34d và 1.34đ).

Trường hợp 3: Biết một điểm của hình phẳng có

vận tốc bằng không.

Khi chuyển động phẳng là chuyển động lăn không

trượt của thiết diện phẳng S trên một đường cố định thì

tiếp điểm tiếp xúc có vận tốc tức thời bẳng không. (vì các

tiếp điểm của hai vật khi không trượt trên nhau phải có

Hình 1.35 cùng một vận tốc, mà vật thứ hai cố định). Vì vậy điểm

của vật tiếp xúc với mặt tựa chính là tâm P (Hình 1.34e).

Ví dụ 1.4. Tìm vận tốc của điểm M trên vành của bánh xe bán kính R lăn không

trượt trên đường thẳng. Cho biết vận tốc tâm C của bánh xe là .

Bài giải Vì bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng, nên điểm tiếp xúc giữa bánh xe và

mặt đường là tâm vận tốc tức thời P (Hình 1.35).

Vận tốc góc của bánh xe là:

Vận tốc của điểm M:

3. Gia tốc các điểm

a. Biểu thức giải tích xác định gia tốc của một điểm Đạo hàm biểu thức vận tốc (1.33) ta được:

(1.38)

b. Quan hệ gia tốc giữa hai điểm Định lý 4: Gia tốc của điểm B tùy ý thuộc hình phẳng S chuyển động phẳng,

bằng tổng hình học gia tốc của điểm cực A và gia tốc của điểm B trong chuyển động

quay của hình phẳng S quanh A.

(1.39)

Chú ý 1: Từ các hệ thức (1.38) ta có thể nhận được hệ thức (1.39) bằng một

vài biến đổi toán học không phức tạp.

Chú ý 2: Từ cách xác định thành phần gia tốc tiếp, gia tốc pháp của một điểm

thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định, ta dễ dàng xác định các véc tơ: ,

bằng hình học (Hình 1.36).

Phương Chiều phù hợp với chiều của

Trị số

Hướng từ B đến A Trị số

Trong đó:

Hình 1.36

c. Tâm gia tốc tức thời Định nghĩa: Điểm Q trên hình phẳng S mà tại thời điểm khảo sát có gia tốc

bằng 0 gọi là tâm gia tốc tức thời.

Định lý 5: Ở mỗi thời điểm nếu ω và ε không đồng thời triệt tiêu, có một điểm

duy nhất thuộc hình phẳng S có gia tốc bằng 0.

Chứng minh: Sự tồn tại của tâm Q. Giả sử biết

Quay véc tơ quanh A theo chiều một góc α.

Ta được nửa đường thẳng AB (Hình 7.12). Trên

AB lấy một điểm Q sao cho:

Hình 1.37 Như thế: . Vậy ta có:

Ta chứng minh sự duy nhất của tâm Q bằng phương pháp phản chứng. Giả sử

có hai điểm Q1 và Q2 mà tại thời điểm khảo sát:

Khi đó hệ thức:

Là điều vô lý, vì: . Vậy Q1 Q2

Chú ý:

- Khi ω và ε không đồng thời triệt tiêu thì Q là một điểm giới nội;

- Khi ω và ε đồng thời triệt tiêu thì Q → ∞;

- Nói chung, tâm vận tốc tức thời P và tâm vận tốc tức thời Q của hình phẳng S

không trùng nhau

Ví dụ 1.5: Tại một thời điểm nào đó, tâm O của bánh xe lăn không trượt trên đường ray thẳng có vận tốc v0 = 1m/s và gia tốc a0 = 1.5m/s2, (Hình 1.38). Bán kính bánh xe R = 0.5m. Hãy xác định tâm gia tốc tức thời Q tại thời điểm đó.

Bài giải: Do P là tâm vận tốc tức thời, ta có:

Hình 1.38

Gia tốc góc của bánh xe:

Chiều của ω và ε cho trên hình 1.38

Quay véc tơ theo chiều của đi một góc α:

Ta được nửa đường thẳng OA. Trên đó lấy một điểm Q mà

Điểm Q đó là tâm gia tốc tức thời. Chú ý: Khi a0 = 0 thì ε = 0 và do đó α = 0o; OQ = 0. Như vậy khi vận tốc tâm O

của bánh xe luôn không đổi thì điểm O đó là gia tốc tức thời.

Ví dụ 1.6 Tay quay OA có chiều dài r = 0,1 m quay

đều với vận tốc góc . Con trượt

B chuyển động theo phương ngang. Cho chiều

dài của thanh truyền AB là . Tại thời

Hình 1.39

điểm đang xét tay quay OA vuông góc với thanh

truyền AB (hình 1.39).

Hãy: - Xác định vận tốc con trượt B và vận tốc thanh truyền AB.

- Tính gia tốc của con trượt B và gia tốc góc của thanh truyền AB.

Bài giải: 1) Phân tích: Khâu OA chuyển động quay quanh trục cố định O. Thanh truyền AB chuyển động song phẳng, còn con trượt B chuyển động tịnh tiến. Tay quay OA làm với hướng ngang một góc 600.

2) Vận tốc: Tính vận tốc điểm B khi chọn A làm cực:

(a)

Véc tơ có chiều như hình 1.40 và có giá trị:

Các véc tơ và có phương: có phương dọc trục Ox còn có phương

vuông góc với BA (tức phương ):

Do đó:

Để tìm giá trị của ta chiếu hai vế của đẳng thức (a) lên phương vuông góc

với , tức lên phương thẳng đứng:

Từ đó tính được:

Vận tốc góc của thanh AB bằng:

Tại thời điểm đang xét thanh AB quay thuận chiều kim đồng hồ.

Để tìm vận tốc điểm B cũng có thể sử dụng định lí hình chiếu vận tốc:

Kết quả tìm được trùng với kết quả trên. Để giải bài toán trên cũng có thể sử dụng phương pháp tâm vận tốc tức thời.

Tâm vận tốc tức thời của thanh AB tại thời điểm khảo sát là giao điểm của OA với đường thẳng đứng qua B (hình 1.40).

Ta có: P

Vận tốc điểm B được tính theo công thức:

Gia tốc của điểm B:

(b)

Thành phần hướng từ A đến O và có

Hình 1.40

giá trị:

Thành phần hướng từ B đến A và có

giá trị:

Thành phần hướng vuông góc với AB tại B, có chiều chưa biết (chọn một

chiều xác định, nếu đáp số dương thì chiều đã chọn là đúng, nếu đáp số âm thì chiều ngược lại với chiều đã chọn) và có trị số:

Phương chiều của các véc tơ trong đẳng thức (a) cho trên hình 1.41.

Để tìm giá trị của gia tốc điểm B ta chiếu đẳng thức (b) lên phương AB:

Từ đó:

Khi chiếu đẳng thức (a) lên phương thẳng đứng (vuông góc với ) ta nhận được:

Từ đó:

Ta dễ dàng tìm được gia tốc của thanh AB:

Chiều của gia tốc góc

phù hợp với chiều của , tại

thời điểm khảo sát có chiều

ngược chiều kim đồng hồ. Thanh

Hình 1.41

AB tại thời điểm khảo sát chuyển

động chậm dần.

1.3. HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN

1.3.1. Hợp chuyển động của điểm

1.3.1.1. Khái niệm

1. Mô hình bài toán Điểm M chuyển động đối với hệ quy chiếu động Oxyz. Thông thường hệ quy

chiếu động Oxyz này được gắn liền với một vật S nào đó (Hình 1.42). Hệ quy chiếu

động Oxyz chuyển động đối với hệ quy chiếu cố định O1x1y1z1.

Bài toán đặt ra là khảo sát chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiểu Oxyz đang chuyển động đối với hệ quy chiếu O1x1y1z1.

2. Định nghĩa chuyển động tuyệt đối,

tương đối và chuyển động theo

Hình 1.42

a. Chuyển động tuyệt đối Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu cố định O1x1y1z1 được gọi là chuyển động tuyệt đối. Vận tốc, gia tốc của điểm M trong chuyển động tuyệt đối

(nghĩa là tính toán trong hệ quy chiếu cố định) được gọi là vận tốc tuyệt đối, gia tốc

tuyệt đối. Ký hiệu .

Ta có:

(1.40)

(1.41)

b. Chuyển động tương đối Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu động

Oxyz được gọi là chuyển động tương đối. Vận tốc, gia tốc

điểm M trong chuyển động tương đối (nghĩa là tính toán trong hệ quy chiếu động) được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc

tương đối. Ký hiệu: . Ký hiệu là các véc tơ đơn

vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Tọa độ của điểm M trong hệ quy

chiếu động là x, y, z. Khi đó, ta có:

Theo định nghĩa trên biểu thức của véc tơ có dạng: Hình 1.43

xem là các véc tơ hằng số:

(1.42)

(1.43)

c. Chuyển động theo Chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz đối với hệ quy chiếu cố định

O1x1y1z1 gọi là chuyển động theo.

Để có thế thiết lập biểu thức của vận tốc theo, gia tốc theo, ta đưa vào khái niệm trùng điểm. Gọi điểm M* của hệ quy chiếu động mà ở thời điểm khảo sát có cùng vị trí với điểm M là trùng điểm của điểm M tại thời điểm đó. Như thế, ở mỗi thời điểm, điểm M trùng với một điểm M* nào đó của hệ quy chiếu động.

Vận tốc, gia tốc tuyệt đối của trùng điểm M* tại thời điểm khảo sát (nghĩa là

tính toán trong hệ quy chiếu cố định) được gọi là vận tốc theo, gia tốc theo của điểm

M tại thời điểm đó. Ký hiệu: .

Gọi x*, y*, z* là tọa độ của trùng điểm M* trong hệ quy chiếu động Oxyz (x*,

y*, z* là các hằng số). Ta có:

Theo định nghĩa:

Do x(t) = x*(t), y(t) = y*(t), z(t) = z*(t), nên ta có

(1.44)

(1.45)

Trong các bài toán áp dụng để tính vận tốc theo, gia tốc theo ta tưởng tượng dừng điểm M lại trên hệ quy chiếu động. Sau đó tính toán vận tốc, gia tốc của điểm M

do chuyển động của hệ động đối với hệ quy chiếu cố định gây ra.

3. Các định lý hợp vận tốc, hợp gia tốc

a. Định lý hợp vận tốc Ở mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học các vận tốc

tương đối và vận tốc theo của nó.

(1.46)

Chứng minh: Theo hình 1.42 ta có:

Đạo hàm biểu thức trên ta được:

Chú ý đến (1.40), (1.42) và (1.44) ta suy ra:

b. Định lý hợp gia tốc Ở mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học của gia tốc

tương đối, gia tốc theo và gia tốc Côriôlit.

(1.47)

Khi hệ động Oxyz chuyển động tịnh tiến:

Khi hệ động Oxyz chuyển động quay quanh một trục cố định với vận tốc góc

thì

Chứng minh: Đạo hàm hai lần biểu thức:

Ta được:

Chú ý đến (1.41), (1.43) và (1.45) ta có:

gọi là gia tốc Côriôlit. Trong đó: ac =

Khi hệ quy chiếu động Oxyz chuyển động tịnh tiến, các véc tơ đơn vị là

các véc tơ hằng. Do đó véc tơ .

Khi hệ quy chiếu chuyển động quay quanh một trục cố định ∆ (Hình 1.43), ta

lấy điểm O trên trục ∆ làm gốc trên hệ quy chiếu ấy. Theo công thức tính vận tốc Ơle

Ta có:

Từ đó ta suy ra:

(1.48)

Chú ý: Khi làm các bài tập ta có thế sử dụng quy tắc thực hành để xác định véc

tơ gia tốc Côriôlit như sau:

Hình 1.45 Hình 1.44

- Khi điểm M chuyển động trên một mặt phẳng thì . Khi đó ta quay

theo chiều quay của đi một góc 90o, ta sẽ được phương và chiều của véc tơ . Độ

lớn của nó được tính theo công thức ac = 2ωevr (Hình 1.44).

- Khi điểm M không chuyển động trên một mặt phẳng. Trong mặt phẳng

, chiếu lên mặt phẳng vuông góc với ta được véc tơ . Ta có = vr.sinα. Sau

đó quay một góc 90o theo chiều của ta được phương và chiều của . Độ lớn

của nó (Hình 1.45)

Ví dụ 1.7: Hai bờ sông của một con sông song song với nhau. Chiều rộng của

dòng sông là h. Dòng sông chảy với vận tốc có trị số không đổi. Một người lái

. Xác định hướng của vận tốc

thuyền sang ngang với vận tốc tương đối là để cho thời gian sang sông là ngắn nhất. Với điều kiện đó, xác định vị trí cập bến của thuyền. (Hình 1.46).

Bài giải: Vật điểm khảo sát là con thuyền.

Hệ quy chiếu chuyển động là dòng nước,

hệ quy chiếu cố định là một mốc ở bờ

sông. Khi đó con thuyền sẽ tham gia hai

chuyển động: chuyển động tương đối với

vận tốc và chuyển động với vận

tốc .

Theo định lý hợp vận tốc:

Hình 1.46

Chiếu đẳng thức này lên các trục tọa độ ta được:

Từ đó tích phân lên, với điều kiện đầu x(0) = 0; y(0) = 0, ta được:

Khi thuyền cập bến: y = (ucosα)t = h. Vậy thời gian sang sông là:

Khi α = 0

Vị trí cập bến của con thuyền sẽ bị lùy một đoạn so với điểm xuất phát là:

1.3.2. Hợp chuyển động của vật rắn 1.3.2.1 Hợp hai chuyển động tịnh tiến

Định lý: Hợp hai chuyển động tịnh tiến là một chuyển động tịnh tiến với véc tơ

vận tốc bằng tổng hình học hai véc tơ vận tốc của các chuyển động đã cho.

Giả sử có vật rắn chuyển động tịnh tiến đối với hệ động, vận tốc ; trong khi

hệ động cũng tịnh tiến đối với hệ cố định, vận tốc . Ta xét một điểm M bất kỳ trên

vật. Vận tốc tuyệt đối của M được xác định như sau:

Vì chuyển động tương đối và chuyển động theo đều là tịnh tiến:

Nên:

Công thức này đúng cho mọi điểm thuộc vật. Trong chuyển động tuyệt đối mọi

điểm thuộc vật tại cùng một thời điểm có cùng vận tốc, vậy đó là chuyển động tịnh

tiến. Vận tốc tịnh tiến là:

1.3.2.2 Hợp hai chuyển động quay quanh trục song song

1. Hai chuyển động quay cùng chiều Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song cùng chiều là một chuyển động

quay song song cùng chiều với các chuyển động đó. Chuyển động tổng hợp có trục

quay chia trong đoạn nối hai trục đã cho thành những đoạn tỉ lệ nghịch với các vận

tốc góc và có trị số vận tốc góc bằng tổng các vận tốc góc đã cho.

Cho 2 chuyển động quay như hình 1.47, trục quay của chuyển động tổng hợp đi

qua C nằm trong đoạn nối O1O2 với:

;

2. Hai chuyển động quay ngược chiều Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song ngược chiều là một chuyển động

quay song song cùng chiều với chuyển động quay có vận tốc góc lớn. Chuyển động

tổng hợp có trục quay chia ngoài đoạn nối hai trục đã cho thành những đoạn tỉ lệ

nghịch với các vận tốc góc và có trị số vận tốc góc bằng hiệu các vận tốc góc đã cho.

Hình 1.47 Hình 1.48

Cho 2 chuyển động quay như hình 1.48, trục quay của chuyển động tổng hợp đi

qua C nằm trong đoạn nối O1O2 với:

(Giả sử 1 > 2)

3. Hai chuyển động quay ngược chiều cùng tốc độ Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song ngược chiều cùng tốc độ là một chuyển động tịnh tiến. Vận tốc tịnh tiến bằng tích véc tơ của véc tơ nối trục quay theo

với trục quay tương đối và véc tơ vận tốc góc tương đối, nghĩa là:

Chú ý: ta có thể giải thích định lý trên một

cách trực tiếp. Xét một đoạn thẳng thuộc vật. Vì rằng hai chuyển động quay tương đối và quay

theo có chiều trái nhau và cùng tốc độ, do đó

trong quá trình chuyển động đoạn thẳng không bị

lệch hướng (trong chuyển động tương đối đoạn

thẳng bị quay đi một góc bao nhiêu thì chuyển

động theo đoạn thẳng lại được quay trả lại một Hình 1.49

góc bấy nhiêu). Vậy vật có chuyển động tịnh tiến.

* Nhận xét

Nếu dựng véc tơ trên trục quay của chuyển động tổng hợp; biểu diễn cho

trục, chiều và tốc độ của chuyển động đó – và xem các véc tơ vận tốc góc biểu thị cho

các chuyển động quay – thì ta nhận thấy rằng phép hợp các véc tơ vận tốc góc cho kết

quả tương tự như phép hợp hai lực song song; nghĩa là nói chung hai véc tơ vận tốc thì

được một véc tơ vận tốc góc:

đặt ở điểm xác định như hợp lực, trừ trường hợp hai véc tơ cùng trị số trái chiều

thì được một véc tơ vận tốc (biểu diễn cho chuyển động tịnh tiến).

Hình 1.50

Ví dụ 1.8 Tay quay OA quay ngược chiều kim đồng hồ quanh O với tốc độ no = 120

vòng/phút.

Trong khi đó bánh xe II cũng quay quanh O theo chiều ngược kim đồng hồ với

tốc độ n2 = 180 vòng/phút.

Tìm vận tốc góc so với mặt bảng cố định và so với tay quay OA của bánh xe I gắn vào mút A của tay

quay và ăn khớp với bánh xe II. Cho biết các bánh xe có bánh kính R1 = 2R2

Bài giải Chuyển động của bánh xe I đối với tay quay rõ

ràng là một chuyển động quay (vì tâm A gắn cố định Hình 1.51

trên tay quay). Tay quay lại quay quanh O. Như thế

theo các định lý ở trên, chuyển động của bánh xe I so với mặt bảng cố định chuyển

động tuyệt đối cũng là một chuyển động quay. Ở đây ta chỉ tìm đại số vận tốc góc của

các chuyển động đó.

Muốn thế, ta xét đồng thời chuyển động của bánh xe I và II, nhận tay quay làm

hệ động.

Vì rằng hai bánh xe I và II cũng có tâm gắn cố định trên tay quay (ở O và A),

lại ăn khớp với nhau nên có thể áp dụng công thức về tỉ số truyền quay:

(1)

là đại số vận tốc góc tương đối của các bánh xe so với tay quay (lấy dấu

trừ vì hai bánh xe ăn khớp ngoài).

Gọi là đại số vận tốc góc của tay quay, và là đại số vận tốc góc tuyệt

đối của các bánh xe I và II, ta có:

Như thế, công thức (1) viết được:

gọi là công thức Vilixơ. Dựa vào đã biết ta có thể tìm được :

(2)

Theo bài ra tay quay OA và bánh xe II quay đều theo chiều dương nên:

rad/s

rad/s và

như thế thay vào (2):

rad/s

và rad/s

Bánh xe 1 quay đối với bảng theo chiều dương, còn

nhìn từ tay quay thì thấy bánh xe 1 quay theo chiều âm < 0.

Chú ý: cơ cấu ta vừa xét (cho hai vận tốc góc, có hai

bậc tự do) thường gọi là cơ cấu vi sai.

Nếu bánh xe II cố định thì đó là cơ cấu hành tinh (cho

biết một vận tốc góc, có một bậc tự do). Thực tế ta có thể gặp

những cơ cấu này ở dạng phức tạp hơn (gồm nhiều bánh xe ăn

khớp liên tiếp hay gắn không gian), để giải, nói chung ta đều

dùng công thức Vilixơ. Hình 1.52

4. Hợp hai chuyển động quay quanh trục giao nhau Định lý: Hợp hai chuyển động quay có trục giao nhau là một chuyển động quay

có trục đi qua giao điểm và véc tơ vật tốc góc bằng tổng vận tốc của các chuyển động

đã cho.

Cho 2 chuyển động quay như hình 1.52, trục quay của chuyển động tổng hợp đi

qua O và có vận tốc góc:

Ví dụ 1.9 Tay quay OA quay quanh trục thẳng đứng vận tốc góc ωo làm bánh xe hình nón BC lăn không trượt trên bánh xe cố định nằm ngang. Tìm vận tốc góc đối với tay quay và đối với bánh xe cố định của bánh xe BC. Tìm vận tốc góc của điểm C cao nhất của

bánh xe đó, cho biết bán kính của nó là R, .

Bài giải Theo bài ra, tay quay quay quanh trục thẳng đứng. Đối với tay quay, bánh xe BC rõ ràng lại có chuyển động quay mà

trục là OA. Như thế ở đây ta có bài toán hợp hai chuyển động quay trục giao nhau,

Hình 1.53 chuyển động tổng hợp của bánh BC là một đi qua chuyển động quay mà trục quay

giao điểm O.

Nhận xét thêm rằng điểm B của bánh xe có vận tốc tuyệt đối bằng không, trong chuyển động tuyệt đối thì điểm B nằm yên (bánh xe BC lăn không trượt trên bánh cố

định), vậy trục của chuyển động tổng hợp chính là đường nối OB.

Áp dụng công thức:

với chú ý trong bài này chính là (vận tốc góc theo), có phương theo

OA, nằm theo OB. Ta tìm được và bằng cách từ mút kẻ đường nằm

ngang cho đến lúc gặp đường OB rồi từ đó hạ đường thẳng đứng cho đến lúc gặp

đường OA.

Từ hình vẽ ta tính được vận tốc góc quay tuyệt đối (đối với đĩa cố định) của

bánh BC:

và vận tốc quay của bánh đó đối với tay quay:

ωr = ωectgα = ωoctgα,

chiều của các véc tơ cho ta chiều quay của các chuyển động quay.

Biết chuyển động tuyệt đối của bánh xe BC, ta có thể tìm đơn giản vận tốc tuyệt

đối của điểm C:

vC = CI.

vì rằng CI = CB.cosα = 2R. cosα, ta có:

Véc tơ hướng vuông góc với mặt phẳng AOB vào phía sau ( ).

1.4. ĐỘNG HỌC CƠ CẤU

1.4.1. Một số khái niệm

Cơ cấu là tập hợp các vật có chuyển động xác định, dùng để truyền động hoặc biến đổi chuyển động. Mỗi vật trong cơ cấu được gọi là khâu. Các khâu được nối với nhau bằng các khớp. Khi miền tiếp xúc giữa các khâu là một mặt thì khớp được gọi là khớp sở cấp, còn khi miền tiếp xúc là một đường hay một điểm thì khớp gọi là khớp cao cấp. Khâu cố định được gọi là giá. Khâu nối

giá có chuyển động cho trước được gọi là

khâu dẫn, còn các khâu nối giá khác được gọi

là khâu bị dẫn.

1.4.2. Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng

Hình 1.54

1.4.2.1. Định nghĩa

Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng là một cơ cấu phẳng gồm bốn khâu nối với nhau bằng các khớp quay. Khâu 4 gọi là giá, các khâu 1 và 3 nối giá được gọi là tay quay (nếu nó quay

được toàn vòng) hay cần lắc (nếu nó không quay được toàn vòng). (Hình 1.54 ).

Để xác định vị trí của cơ cấu bốn khâu chỉ cần một thông số định vị (góc định vị

của khâu 1 hoặc khâu 3). Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng có một bậc tự do.

1.4.2.2. Tỉ số truyền

Tỉ số truyền của cơ cấu bốn

khâu bản lề phẳng ký hiệu là i13

Nhận xét: - Tỉ số truyền i13 là một đại lượng biến thiên, nó phụ thuộc vào

góc định vị khâu dẫn: i13 = i13(1).

Nói khác đi nếu khâu dẫn quay đều

Hình 1.55 thì khâu bị dẫn quay không đều.

- Khi P13 là điểm chia ngoài

của đoạn AD thì i13 > 0, hai khâu dẫn và bị dẫn quay cùng chiều. Khi P13 là điểm chia trong của đoạn AD thì i13 < 0, hai khâu dẫn và bị dẫn quay ngược chiều.

- Tại thời điểm khi tay quay và thanh truyền duỗi thẳng hoặc gập vào nhau (P13 

A) thì i13 =  nên 3 = 0, tức là tại thời điểm này thanh lắc đổi chiều quay. Lúc đo vị

trí DC’ và DC” được gọi là vị trí biên của cần lắc (Hình 1.55).

1.4.3. Các biến thể của cơ cấu bốn khâu

1.4.3.1. Cơ cấu tay quay- con trượt

Hình 1.56

Cho cơ cấu 4 khâu bản lề ABCD với tay quay 1 và thanh lắc 3. Nếu khớp D dần

ra vô tận, khi đó quỹ đạo tròn của điểm C biến thành thẳng và chuyển động của 3 biến

thành chuyển động tịnh tiến ⇒ gọi là cơ cấu tay quay con trượt (hình 1.56 b).

Tỷ số truyền:

⇒

: là vận tốc điểm P3 thuộc khâu 3 Vì

khâu 3 chuyển động tịnh tiến nên (vC

là vận tốc của con trượt C).

Chú ý rằng: khi cơ cấu bốn khâu bản lề

suy biến thành cơ cấu tay quay- con trượt thì

đường thẳng AD suy biến thành đường thẳng

vuông góc với trục Ax nằm ngang và do đó

đường thẳng AP cũng vuông góc với trục Ax Hình 1.57 (Hình 1.58).

Vậy tỉ số truyền sẽ bằng:

Tỉ số truyền phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên đường thẳng đứng qua A, nên dù

tay quay quay đều thì con trượt C chuyển động tịnh tiến qua lại theo phương ngang không

đều hoặc ngược lại, khi con trượt chuyển động đều thì tay quay quay không đều.

Hình 1.59

Khi tay quay và thanh truyền duỗi thẳng hoặc chập nhau thì P  B nên PB = 0.

Từ đó suy ra vC = 0. Ứng với các vị trí này con trượt C dừng lại và đổi chiều chuyển động. Các vị trí C’ và C” là hai vị trí biên của con trượt C, còn đoạn C’C” gọi là hành trình của con trượt (Hình 1.59)

1.4.3.2. Cơ cấu culit

Từ cơ cấu tay quay con trượt, nếu lấy khâu 1 hoặc khâu 2 làm giá sẽ được cơ cấu culit biến

Hình 1.60

chuyển động quay của khâu dẫn thành chuyển động quay hoặc lắc của

khâu bị dẫn (culit) (hình 1.60).

Tỉ số truyền: Để tìm tỉ số truyền ta xem cơ cấu culit như biến thể của cơ cấu

bốn khâu bản lề phẳng trong đó khâu 2 biến thành con trượt. Tâm vận tốc tức thời của

khâu 3 là giao điểm của đường AD và đường thẳng vuông góc với DB vẽ qua B.

Do đó:

Tỉ số truyền i13 biến thiên theo vị trí của P31 trên đường thẳng AD. Khâu 1 dù

quay đều thì khâu 3 vẫn quay không đều và ngược lại.

Khi l1 = l4 thì AD = AP31 nên P31 là điểm duy nhất trên đường tròn tâm A bán

kính l1. Trong trường hợp này ta có:

1.4.4. Cơ cấu cam

1.4.4.1. Định nghĩa

Cơ cấu cam là cơ cấu có khâu bị dẫn nối

với khâu dẫn bằng khớp cấp cao và chuyển

động với quy luật theo hình dạng của mặt tiếp

xúc (biên dạng cam) của khâu dẫn. Trong cơ

cấu cam khâu bị dẫn gọi là cần còn khâu dẫn

gọi là cam.

Trên hình 1.61 giới thiệu lược đồ của

một cơ cấu cam đơn giản.

Cho cam quay liên tục một chiều, cần 2

sẽ tịnh tiến qua lại trong rãnh trượt của giá khi Hình 1.61 tiếp xúc với phần biên dạng abc của cam và

đứng yên khi tiếp xúc với phần biên dạng cam cda của cam (là cung tròn có tâm A).

1.4.4.2. Phân loại cơ cấu cam

Cơ cấu cam thường được phân loại như sau: 1. Cam quay hay cam đĩa (Hình 1.62 a, b, c, d, e, f): Cam có hình dạng một hình phẳng quay quanh trục cố đinh, còn cần thì hoặc chuyển động tịnh tiến qua lại trong rãnh của giá (gọi là cần đẩy) hoặc một thanh lắc.

2. Cam tịnh tiến: Cam có chuyển động qua lại, còn cần có chuyển động tịnh tiến

qua lại (gọi là cần đẩy) hoặc lắc qua lắc lại (gọi là cần lắc) (Hình 1.62 g, e). Cũng có

trường hợp chuyển động của cần là chuyển động song phẳng.

1.4.4.3. Ưu nhược điểm của cơ cấu cam

Ưu điểm:

- Có thể thực hiện được hầu như bất kỳ quy luật nào của chuyển động bị dẫn

nhờ chọn biên dạng cam thích hợp.

- Có năng suất cao nếu chọn một cách thích hợp quy luật chuyển động của khâu bị dẫn.

- Rất đắc dụng cho việc phối hợp nhiều động tác trong máy tự động.

Nhược điểm: - Áp lực trên mặt tiếp xúc thường lớn, máy chóng bị bào mòn, xảy ra hiện tượng va đập. - Khó chế tạo chính xác, khó đảm bảo để tiếp xúc được liên tục giữa cam và cần.

Hình 1.62

1.4.5. Cơ cấu bánh răng 1.4.5.1. Giới thiệu cơ cấu bánh răng Cơ cấu bánh răng thường dùng truyền chuyển động giữa hai trục song song nhau hoặc chéo nhau - bộ truyền bánh răng trụ (Hình 1.63, 1.64). Cũng có thể truyền chuyển động giữa hai trục cắt nhau - bộ truyền bánh răng nón (Hình 1.65).

Bộ truyền bánh răng thường có 2 bộ phận chính: + Bánh răng dẫn 1, có đường kính d1, được lắp trên trục dẫn I, quay với số vòng

quay n1, công suất truyền động P1, mô men xoắn trên trục T1

+ Bánh răng bị dẫn 2, có đường kính d2, được lắp trên trục bị dẫn II, quay với

số vòng quay n2, công suất truyền động P2, mô men xoắn trên trục T2.

+ Trên bánh răng có các răng, khi truyền động các răng ăn khớp với nhau, tiếp

xúc và đẩy nhau trên đường ăn khớp (Hình 1.66).

Hình 1.63: Bộ truyền bánh răng

Hình 1.64: Bộ truyền bánh răng trụ răng nghiêng trụ răng thẳng

Hình 1.65: Bộ truyền bánh răng nón (côn)

Nguyên lý làm việc của bộ truyền bánh răng có thể tóm tắt như sau: trục I quay với số vòng quay n1, thông qua mối ghép then làm cho bánh răng 1 quay. Răng của bánh 1 ăn khớp với răng của bánh 2, đẩy răng bánh 2 chuyển động, làm bánh 2 quay, nhờ mối ghép then trục II quay với số vòng quay n2.

Truyền chuyển động bằng ăn khớp, nên trong bộ truyền bánh răng hầu như

không có trượt (chỉ có hiện tượng trượt biên dạng ở phần đỉnh và chân răng), hiệu suất

truyền động của bộ truyền rất cao.

Răng của bánh răng có phần đỉnh răng, phần chân răng, phần biên dạng răng và đoạn cong chuyển tiếp giữa biên dạng răng và chân răng (Hình 1.67). Trong quá trình truyền động, các cặp biên dạng đối tiếp tiếp xúc với nhau trên đường ăn khớp.

1.4.5.2. Phân loại bộ truyền bánh răng Tùy theo hình dạng bánh răng, phương răng và đoạn biên dạng răng, người ta

chia bộ truyền bánh răng thành các loại sau:

- Bộ truyền bánh răng trụ: bánh răng là hình trụ tròn xoay, đường sinh thẳng, thường dùng để truyền chuyển động giữa hai trục song song với nhau, quay ngược chiều nhau. Bộ truyền bánh răng trụ có các loại:

+ Bộ truyền bánh răng trụ răng thẳng, phương của răng trùng với đường sinh

của mặt trụ, sơ đồ biểu diễn bộ truyền bánh răng trụ răng thẳng (Hình 1.63).

+ Bộ truyền bánh răng trụ răng nghiêng, phương của răng nghiêng so với đường

sinh của mặt trụ một góc đ, sơ đồ biểu diễn bộ truyền bánh răng trụ răng nghiêng

(Hình 1.64).

+ Bộ truyền bánh răng răng chữ V, bánh răng được tạo thành từ hai bánh răng nghiêng có góc nghiêng như nhau, chiều nghiêng ngược nhau, sơ đồ biểu diễn bộ

truyền bánh răng trụ răng chữ V (Hình 1.68).

- Bộ truyền bánh răng nón, còn được gọi là bộ truyền bánh răng côn: bánh răng

có dạng hình nón cụt, thường dùng truyền chuyển động giữa hai trục vuông góc với nhau. Bộ truyền bánh răng nón có các loại:

+ Bộ truyền bánh răng nón răng thẳng: đường răng thẳng, trùng với đường sinh

của mặt nón chia.

+ Bộ truyền bánh răng nón răng nghiêng: đường răng thẳng, nằm nghiêng so

với đường sinh của mặt nón.

+ Bộ truyền bánh răng nón răng cung tròn: đường răng là một cung tròn.

Hình 1.67: Thông số hình học của răng bánh răng Hình 1.66: Bộ truyền bánh răng ăn khớp ngoài

Hình 1.68: Bộ truyền bánh răng chữ V

- Bộ truyền bánh răng thân khai: biên dạng răng là một đoạn của đường thân

khai của vòng tròn. Đây là bộ truyền được dùng phổ biến, đa số các cặp bánh răng gặp trong thực tế thuộc loại này.

- Bộ truyền bánh răng Novikov: biên dạng răng là một phần của đường tròn.

- Bộ truyền bánh răng xiclôit: biên dạng răng là một đọan của đường xiclôit.

- Bộ truyền bánh răng - thanh răng: thanh răng là bánh răng đặc biệt, có đường

kính bằng vô cùng, dùng để đổi chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến và

ngược lại.

- Bộ truyền bánh răng hành tinh: ít nhất một bánh răng trong bộ truyền có trục

quay quanh tâm của bánh răng khác.

- Bộ truyền bánh răng ăn khớp trong: tâm của hai bánh răng nằm về cùng một

phía so với tâm ăn khớp, hai vòng tròn lăn tiếp xúc trong với nhau.

- Bộ truyền bánh răng sóng: răng của bánh răng có dạng sóng liên tục, thường

dùng ăn khớp trong để thực hiện một tỷ số truyền rất lớn.

1.4.5.3. Thông số làm việc chủ yếu của bộ truyền bánh răng - Số vòng quay trên trục dẫn, ký hiệu là n1, trên trục bị dẫn n2; v/ph.

- Tỷ số truyền, ký hiệu là u, u = n1/n2 = d2/d1 =z2/z1. - Công suất trên trục dẫn, ký hiệu là P1, công suất trên trục bị dẫn P2; kW. - Hiệu suất truyền động η; η = P2 / P1. - Mô men xoắn trên trục dẫn T1, trên trục bị dẫn T2; Nmm. - Vận tốc vòng của bánh dẫn v1, bánh bị dẫn v2; m/s. - Thời gian phục vụ của bộ truyền, còn gọi là tuổi bền của bộ truyền tb; h.

- Chế độ làm việc,

- Các yêu cầu về môi trường làm việc của bộ truyền.

1.4.5.4. Độ chính xác của bộ truyền bánh răng

Độ chính xác của bộ truyền bánh răng được đánh giá qua 3 độ chính xác thành

phần, đó là:

- Độ chính xác động học, được đánh giá bởi sai số giữa góc quay thực và góc quay danh nghĩa của bánh răng bị dẫn. Độ chính xác này cần cho các cơ cấu phân độ. - Độ chính xác ăn khớp êm, được đánh giá qua tiếng ồn và sự va đập. Khi sai số bước răng, sai số prôfil lớn, thì độ chính xác ăn khớp êm thấp. Độ chính xác này

quan trọng đối với những bộ truyền làm việc với số vòng quay lớn.

- Độ chính xác tiếp xúc, được xác định qua diện tích vết tiếp xúc trên mặt răng.

Người ta bôi sơn lên mặt một bánh răng, cho bộ truyền làm việc, sau đó đo vết sơn

trên mặt răng của bánh thứ hai. Độ chính xác này quan trọng đối với các bộ truyền làm

việc với chế độ tải trọng nặng.

Tiêu chuẩn quy định 12 cấp chính xác cho mỗi độ chính xác nói trên. Cấp 1 là

chính xác cao nhất, cấp 12 là thấp nhất. Tùy theo đặc tính làm việc của mỗi bộ truyền, mà chọn cấp chính xác thích hợp cho từng độ chính xác. Trong một bánh răng cấp

chính xác của các độ chính xác không chênh nhau quá 2 cấp. Vì mỗi độ chính xác

được quyết định bởi sai lệch của một số kích thước của bánh răng. Trong một bánh

răng, độ chính xác của các kích thước không thể sai lệch nhau nhiều.

Bộ truyền bánh răng thường dùng trong các máy thông dụng có cấp chính xác

từ cấp 6 đến cấp 9. Đối với các bộ truyền đặc biệt quan trọng, chịu tải nặng và làm

việc với tốc độ cao có thể chọn cấp chính xác cao hơn (cấp 4, 5).

Ngoài ra, để tránh hiện tượng kẹt răng theo cạnh bên, tiêu chuẩn có quy định 6 kiểu khe hở cạnh bên. Đó là: A, B, C, D, E, H. Trong đó kiểu A có khe hở lớn nhất,

kiểu H có khe hở cạnh bên bằng 0. Mỗi kiểu khe hở còn có dung sai, quy định mức độ

chính xác của khe hở. Các bánh răng có độ chính xác thấp, không được chọn kiểu khe

hở nhỏ. Các bánh răng có độ chính xác cao có thể chọn kiểu khe hở E và H. Các bộ

truyền bánh răng thông dụng thường chọn kiểu khe hở A, B, C.

- Cách ghi ký hiệu độ chính xác của bộ truyền bánh răng, Ví dụ:

Ghi ký hiệu: 8 - 7 - 7 - Ba TCVN 1067-84

+ Bộ truyền bánh răng có độ chính xác động học cấp 8,

+ Độ chính xác ăn khớp êm cấp 7, + Độ chính xác tiếp xúc mặt răng cấp 7,

+ Dạng khe hở cạnh răng B và dạng dung sai của khe hở là a.

Nếu độ chính xác động học, độ chính xác ăn khớp êm và độ chính xác tiếp xúc

cùng cấp thì chỉ cần ghi một số, nếu dạng dung sai trùng với dạng khe hở thì không

cần ghi dạng dung sai, ví dụ: 7 - B TCVN 1067-84.

CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Viết và giải thích phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc chuyển động của

điểm bằng phương pháp véc tơ.

2. Viết và giải thích phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc chuyển động của

điểm trong hệ tọa độ Đềcác. 3. Trình bày cách xây dựng hệ toạ độ tự nhiên. Viết và giải thích phương trình chuyển

động, vận tốc, gia tốc của điểm trong hệ trong hệ toạ độ tự nhiên.

4. Nêu các tiêu chuẩn xác định chuyển động là chuyển động thẳng, chuyển động cong,

chuyển động đều, chuyển động nhanh dần, chuyển động chậm dần. 5. Nêu khái niệm về vật rắn chuyển động song phẳng và xây dựng phương trình

chuyển động song phẳng của vật rắn.

6. Nêu khái niệm và quy tắc xác định tâm vận tốc tức thời của vật chuyển động song phẳng.

7. Nêu khái niệm và cách xác định tâm gia tốc tức thời của vật chuyển động song phẳng.

8. Nêu định lý về quan hệ vận tốc giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật rắn chuyển động song phẳng.

9. Trình bày định lý phân bố vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng.

10. Nêu định lý về quan hệ gia tốc giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật rắn chuyển động

song phẳng.

11. Định nghĩa: Khâu, khớp, cơ cấu. 12. Trình bày định nghĩa cơ cấu bốn khâu bản lề, vẽ hình minh hoạ.

13. Trình bày các biến thể của cơ cấu bốn khâu bản lề, vẽ hình minh hoạ.

14. Định nghĩa và phân loại cơ cấu cam. Vẽ hình minh hoạ.

15. Phân loại bộ truyền bánh răng.

16. Nêu các thông số chủ yếu của bộ truyền bánh răng.

Chương 2

TĨNH HỌC

2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC

2.1.1. Các khái niệm cơ bản

Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản sau đây: Vật rắn tuyệt đối, cân bằng và lực.

2.1.1.1. Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là một tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai

chất điểm bất kỳ luôn luôn không đổi.

Vật rắn tuyệt đối chỉ là mô hình của các vật thể khi các biến dạng của nó bỏ qua được do quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát. Trong

những trường hợp các biến dạng tuy bé nhưng đóng vai trò quan trọng tức là không thể

bỏ qua được thì cần thiết phải bổ sung những giả thiết, tức là xây dựng mô hình gần

đúng hơn. Vấn đề này sẽ được xem xét trong phần hai: Cơ học vật rắn biến dạng.

Để đơn giản, vật rắn tuyệt đối thường được gọi tắt là vật rắn.

2.1.1.2. Cân bằng

Vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với vị trí của

một vật nào đó được chọn làm chuẩn. Vật chọn làm chuẩn được gọi là hệ qui chiếu.

Trong tĩnh học hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính- hệ quy chiếu trong đó định luật quán tính được thoả mãn. Cân bằng đối với hệ quy chiếu quán tính được

gọi là cân bằng tuyệt đối.

Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính gần đúng được chọn là quả đất.

Trong tính toán người ta chọn hệ trục tọa độ gắn liền với hệ quy chiếu, được gọi

là hệ trục tọa độ quy chiếu. Với một hệ quy chiếu có thể gắn với nhiều hệ trục tọa độ

quy chiếu khác nhau.

2.1.1.3. Lực

Từ những quan sát trong đời sống cũng với những kinh nghiệm và thực nghiệm

người ta đi đến nhận xét rằng: nguyên nhân gây ra sự biến đối của trạng thái chuyển động cơ học, tức sự dời chỗ của các vật thể (bao gồm cả biến dạng) trong đó cân bằng chỉ là trường hợp riêng, chính là tác dụng tương hỗ giữa các vật thể- tác dụng cơ học (phân biệt với các tác dụng tương hỗ khác như hoá, nhiệt, điện,…).

Tác dụng tương hỗ cơ học được gọi là lực. Các yếu tố đặc trưng của lực:

- Điểm đặt của lực là điểm mà vật được truyền tác dụng tương hỗ cơ học từ vật khác. - Phương chiều của lực là phương chiều chuyển động từ trạng thái nghỉ của chất

điểm (vật có kích thước bé) chịu tác dụng của lực.

- Cường độ của lực là số đo tác dụng cơ học của lực. Đơn vị của lực là Niutơn,

được ký hiệu N.

Có thể dùng véc tơ biểu diễn các đặc trưng của lực, gọi là véc tơ lực, chẳng hạn:

,… trong đó gốc của véc tơ là điểm đặt của lực, phương chiều của véc tơ biểu diễn

phương chiều của lực, mô đun của véc tơ biểu diễn cường độ của lực. Giá mang véc tơ

lực được gọi là đường tác dụng của lực (hình 2.1).

2.1.1.4. Các định nghĩa khác

1. Hệ lực Hệ lực là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật rắn. Hệ lực gồm các lực

được ký hiệu là: .

Dựa vào tác dụng cơ học của hệ lực ta có một số khái niệm:

- Hệ lực tương đương với hệ lực khác khi nó có tác dụng cơ học như hệ lực đó.

Hai hệ lực tương đương và sẽ được ký hiệu:

- Hợp lực của hệ lực là một lực duy nhất tương đương với hệ lực ấy. Gọi là

hợp lực của hệ lực , ta có:

- Hệ lực cân bằng là hệ lực nếu tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi trạng

thái chuyển động của vật có được khi không chịu tác dụng của hệ lực ấy. Nếu dưới tác

dụng của hệ lực vật rắn cân bằng thì hệ lực được gọi là hệ lực cân bằng hay hệ lực

tương đương với không và được ký hiệu là:

Dựa vào sự phân bố của các đường tác dụng của các lực thuộc hệ lực ta có:

- Hệ lực không gian bất kỳ khi đường tác dụng của các lực nằm tùy ý trong không gian.

- Hệ lực phẳng bất kỳ khi đường tác dụng của các lực nằm tùy ý trong một mặt phẳng.

- Hệ lực song song (phẳng và không gian) khi đường tác dụng của các lực song

song với nhau.

- Hệ lực đồng qui (phẳng và không gian) khi đường tác dụng của các lực đi qua

cùng một điểm.

- Hệ ngẫu lực (phẳng và không gian) khi hệ lực gồm các cặp lực từng đôi một

song song ngược chiều cùng cường độ.

- Hệ lực phân bố: ta xét hai trường hợp của hệ lực phân bố theo chiều dài sau: a) Cường độ lực phân bố đều: q = const

Hợp lực có trị số: R = Q = q.l và có điểm đặt cách đầu mút dầm một đoạn

Hình 2.2 b) Cường độ lực phân bố tuyến tính: Giả sử lực phân bố dọc dầm theo quy luật

tam giác có đáy là q.

Hình 2.3

Hợp lực có trị số: có điểm đặt cách đầu mút dầm một đoạn

Từ hai trường hợp trên ta có thể kết luận: Hệ lực phân bố có phương chiều song song với phương chiều của các lực phân bố có giá t rị bằng diện tích (với tỉ lệ xích nào

đó) của biểu đồ phân bố lực và đi qua trọng tâm của biểu đồ.

2. Vật tự do và vật không tự do Vật rắn có thể thực hiện mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang xét đến vị trí

lân cận của nó, được gọi là vật tự do. Trái lại, nếu một số di chuyển của vật bị cản trở

bởi những vật khác thì vật đó được gọi là không tự do.

Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết

đặt lên vật ấy. Trong tĩnh học, chỉ khảo sát loại liên kết được thực hiện bằng sự tiếp

xúc hình học giữa vật thể được khảo sát với vật thể khác, đó là những liên kết hình

học. Vật không tự do còn được gọi là vật chịu liên kết, còn các vật khác cản trở vật khảo sát gọi là vật gây liên kết.

3. Lực liên kết - lực hoạt động - phản lực liên kết Những lực đặc trưng cho tác động tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ tiếp xúc hình học được gọi là những lực liên kết. Các lực không phải là lực

liên kết được gọi là lực hoạt động. Nói khác đi, lực hoạt động là những lực không bị

biến mất cùng với liên kết. Lực liên kết do các vật gây liên kết tác dụng lên vật chịu

liên kết được gọi là các phản lực liên kết, còn các lực do vật chịu liên kết tác dụng lên

các vật gây liên kết được gọi là áp lực.

2.1.1.5. Khái niệm về mômen

1. Mômen của lực với một điểm

Mômen của lực đối với một điểm O, ký hiệu là

là một véc tơ vuông góc với mặt phẳng chứa

điểm O và lực , có chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút B O r của véc tơ xuống thấy lực vòng quanh O theo chiều d ngược kim đồng hồ, có mô đun bằng tỷ lệ với tích số A

, trong đó là khoảng cách từ tâm mômen đến

đường tác dụng của lực, được gọi là tay đòn của lực

Hình 2.4 đối với tâm mômen O (hình 2.4).

Rõ ràng khi hoặc khi đường tác

dụng của lực qua tâm mômen .

Ngoài ra:

A (x,y,z)

Trong đó:

là véc tơ định vị của điểm A; x, y, z là toạ độ điểm A; Fx, Fy, Fz là các

o hình chiếu của lực trên các trục toạ độ của hệ A’ (x,y,z’) trục toạ độ vuông góc Oxyz; là các véc tơ  đơn vị trên các trục toạ độ.

Hình 2.5 Khi các lực cùng nằm trong một mặt

phẳng với điểm thì các véc tơ mômen của các

lực đối với điểm sẽ song song với nhau. Trong trường hợp đó người ta đưa ra khái

niệm mômen đại số của lực đối với điểm :

Ký hiệu: (2.1)

vòng quanh theo chiều ngược kim đồng hồ và có dấu âm

Dấu dương khi trong trường hợp ngược lại.

2. Mômen của lực đối với một trục

Mômen của lực đối với trục , ký hiệu là là mômen đại số của lực đối

với tâm , trong đó là hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục , còn

là giao điểm của trục với mặt phẳng (hình 2.5) tức là:

(2.1)

Rõ ràng khi hoặc khi song song hoặc cắt trục tức là lực

và trục đồng phẳng.

Sự liên hệ giữa mômen của lực đối với một điểm và mômen của lực đối với một

trục được thể hiện bởi định lý sau:

Định lý: Mômen của lực đối với trục bằng hình chiếu lên trục ấy của véc

tơ mômen của lực đối với điểm nằm trên trục.

(2.3)

Ký hiệu mômen của lực đối với các trục tọa độ là ta có:

(2.4)

Trong đó là hình chiếu của véc tơ tương ứng

trên các trục tọa độ vuông góc Ox, Oy, Oz.

2.1.1.6. Ngẫu lực

Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực

song song ngược chiều và cùng cường độ.

Các đặc trưng của ngẫu lực:

- Mặt phẳng tác dụng của nó (mặt phẳng chứa

hai lực thành phần);

- Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng;

- Cường độ tác dụng của ngẫu lực (mômen Hình 2.6 của ngẫu lực).

Mômen của ngẫu lực là tích số đặc trưng cho cường độ tác dụng của ngẫu

lực.

Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực người ta dùng véc tơ mômen của ngẫu

lực ký hiệu là

, được xác định như sau: - Có gốc tại mặt phẳng ngẫu lực; - Phương: vuông góc với mặt phẳng ngẫu lực; - Chiều: nhìn từ đầu mút của véc tơ ấy xuống mặt phẳng ngẫu lực thấy chiều

quay của ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ; - Mô đun bằng mômen ngẫu lực (hình 2.6).

Trong trường hợp riêng khi xét tác dụng của ngẫu lực trong mặt phẳng thì tác

dụng của nó hoàn toàn được đặc trưng bằng đại số mômen của ngẫu lực.

Đại số mômen của ngẫu lực, ký hiệu là ,

là lượng đại số:

lấy dấu dương khi ngẫu lực có chiều m1 m2 quay dương và lấy dấu trừ lúc ngược lại.

Hình 2.7 Ta có thể biểu diễn ngẫu lực chỉ bằng vòng

có mũi tên (Hình 2.7).

2.1.2. Các định luật tĩnh học

2.1.2.1. Định luật 1: Định luật về hai lực cân bằng

Điều kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác

dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ.

Hai lực thỏa mãn định luật 1 được gọi là hai lực cân bằng (hình 2.8). Định luật 1 đưa ra một tiêu chuẩn về cân bằng. Nói khác đi, để biết một hệ lực đã cho cân bằng

hay không ta cần chứng minh rằng hệ lực ấy tương đương với hai lực cân bằng.

B A B A

Hình 2.8

2.1.2.2. Định luật 2: Định luật thêm bớt hai lực cân bằng

Tác dụng của hệ lực không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng.

Như vậy nếu là hai lực cân bằng thì:

hoặc ngược lại:

Hệ quả: Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó.

Thực vậy, giả sử tác dụng lên vật rắn A, áp dụng định

luật 2, thêm tại B hai lực cân bằng nhau (hình 2.9) cùng đường tác

A B dụng với và

Ta có: ở đây một lần nữa ta áp dụng

định luật 2 để bỏ đi hai lực cân bằng và . Hình 2.9

Như vậy: Lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng

véc tơ trượt. Cần chú ý rằng tính chất nêu trên chỉ có đối với vật tuyệt đối rắn.

2.1.2.3. Định luật 3: Định luật hình bình hành lực

Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm đặt

chung, có véc tơ lực bằng véc tơ chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai véc tơ biểu diễn hai lực thành phần (hình 2.10).

Định luật 3 cho phép xác định hợp lực của hai lực đồng qui

và phân tích một lực thành hai lực thành phần theo qui tắc hình 0 bình hành lực.

Hình 2.10

2.1.2.4. Định luật 4: Định luật tác dụng và phản tác dụng

Lực tác dụng và phản lực tác dụng giữa hai vật có cùng đường

tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ (hình 2.11).

Định luật 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát đối với một vật sang khảo

sát hệ vật.

A B B A

Hình 2.12

2.1.2.5. Định luật 5: Định luật hóa rắn

Một vật biến dạng đang cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hóa rắn

nó vẫn cân bằng.

Định luật 5 có thể hiểu là: một hệ lực đã có khả năng làm cho vật biến dạng cân

bằngthì tất nhiên cũng có khả năng làm cho vật rắn cân bằng (ngược lại không dứt

khoát đúng), và như thế khi có vật biến dạng cân bằng (dưới tác dụng của một hệ lực

nào đó) ta có thể xem đó là vật rắn (hay thay bằng vật rắn) mà không có gì ảnh hưởng

về mặt khảo sát lực.

Nhờ định luật 5 có thể

sử dụng các kết quả đã nghiên

cứu cho vật rắn cân bằng cho Vật biến dạng cân bằng Vật rắn cân bằng

Vật rắn cân bằng

Vật biến dạng cân bằng trở nên không cân bằng Hình 2.13 trường hợp vật biến dạng cân bằng. Tuy nhiên, các kết quả đó chưa đủ để giải quyết bài toán cân bằng của vật biến dạng mà cần phải thêm các giả thiết về biến dạng (ví dụ định

luật Húc trong sức bền vật liệu).

2.1.2.6. Định luật 6: Định luật giải phóng liên kết

Vật không tự do (tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể được xem là vật tự do

cân bằng nếu ta, thay thế tác dụng của các liên kết bằng các phản lực liên kết tương

Hình 2.14

ứng (hình 2.14).

Nhờ định luật giải phóng liên kết, các định luật phát biểu cho vật rắn tự do vẫn

đúng với vật rắn chịu liên kết, khi xem nó là vật tự do chịu tác dụng của hệ lực gồm các lực hoạt động tác dụng lên nó và các phản lực liên kết tương ứng với các liên kết

được giải phóng.

Dưới đây sẽ trình bày một số quy tắc để tìm các đặc trưng của phản lực liên kết

của một số liên kết thường gặp. Ta chỉ giới hạn đối với các liên kết không ma sát.

* Quy tắc xác định phản lực liên kết - Phản lực liên kết nằm ngược với hướng mà theo đó chuyển động của vật

bị cản trở.

- Nếu theo 1 phương nào đó mà chuyển động của vật không bị cản trở

(phương tiếp tuyến) thì phản lực liên kết vuông góc với phương đó (hình 2.15a).

a. Liên kết tựa: Hai vật tựa trực tiếp lên nhau, chỗ tiếp xúc là bề mặt hoặc

đường hoặc điểm. Phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa (hoặc đường tựa)

(hình 2.15). Ký hiệu là .

a) c)

b) Hình 2.15

- Vật tựa lên mặt (Hình 2.15a). - Giá tựa trên con lăn (Hình 2.15b). - Vật tựa lên điểm nhọn. Phản lực có

hướng pháp tuyến với bề mặt của vật (Hình 2.15c).

b. Liên kết dây mềm, thẳng và không giãn: phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát

Hình 2.16

đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây. Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây gọi là sức

căng dây, ký hiệu là . Sức căng dây hướng dọc dây và

hướng ra đối với mặt cắt dây (hình 2.16).

c. Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề

khi chúng có trục (chốt) chung. Trong trường hợp này

hai vật tựa vào nhau nhưng điểm tựa chưa xác định.

Phản lực liên kết đi qua tâm của trục và có phương chiều chưa xác định. Phản lực được phân thành hai Hình 2.17

thành phần vuông góc với nhau , nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đường trục của tâm bản lề (hình 2.17).

d. Liên kết gối: Để đỡ các dầm và

khung... người ta dùng các liên kết, có dạng

B gối cố định (hình 2.18a) và gối con lăn (hình A

2.18b). Phản lực liên kết của gối cố định a) b) được xác định như liên kết bản lề, còn phản Hình 2.18 lực liên kết của gối con lăn được tìm theo

quy tắc của phản lực liên kết tựa.

Hình 2.19a Hình 2.19b

e. Liên kết gối cầu: Được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu của vật chịu liên kết và được đặt vào trong một vỏ cầu gắn liền với vật gây liên kết. Phản lực gối

cầu đi qua tâm O của vỏ cầu, có phương, chiều chưa xác định. Thường phản lực gối

cầu phân thành ba thành phần vuông góc (hình 2.19a-b).

Hình 2.20 Hình 2.21

f. Liên kết ngàm: Là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (Ví dụ như

hàn). Trong trường hợp ngàm phẳng phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa hai lực (hình 2.20). Đối với ngàm không gian, phản lực

liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau (dọc theo ba trục tọa độ) và ba thành phần

ngẫu lực trong ba mặt phẳng tọa độ (hình 2.21).

g. Liên kết thanh Liên kết thanh được thực hiện nhờ các

thanh thỏa mãn điều kiện sau: Chỉ có lực tác dụng

ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và

trọng lượng thanh được bỏ qua. Phản lực có phương qua điểm đầu và điểm cuối của thanh

(hình 2.22). A B Phản lực gọi là ứng lực của thanh là lực Hình 2.22 do thanh tác dụng vật khảo sát.

2.1.3. Các hệ quả A Từ các định luật đã nêu trên ta nhận được các B kết quả sau: O 2.1.3.1. Hợp các lực đồng qui

Giả sử hệ lực đặt tại

(trường hợp hệ lực có đường tác dụng đi qua O thì áp dụng hệ quả trượt lực C có thể đưa về trường hợp này). Áp dụng trực tiếp tiên

Hình 2.23 đề 3 ta tìm được hợp lực của hệ lực (hình 2.23).

Hợp lực đi qua điểm đồng qui và có véc tơ

lực.

(2.5)

Để xác định véc tơ lực của hợp lực có thể sử dụng phương pháp vẽ hoặc

phương pháp xác định hình chiếu của nó trên ba trục vuông góc.

1. Phương pháp vẽ Hợp lực được biểu diễn bằng véc tơ khép kín của đa giác lực được xây dựng như sau: Từ đầu mút của véc A’

B’ tơ biểu diễn lực vẽ véc tơ song song và bằng véc O’ tơ lực , từ vẽ véc tơ song song và bằng véc tơ

Hình 2.24

lực và cứ thế tiếp tục cho đến lực cuối cùng

. Đa giác lực là đa giác lực của hệ 3 lực C’

cạnh là véc tơ khép kín đa giác lực, nó biểu diễn hợp lực của hệ ba lực

Vì hợp lực phải đi qua điểm , nên đa giác lực không cần thiết phải vẽ xuất

phát từ điểm đồng qui mà có thể từ một điểm tùy ý (Hình 2.24). Véc tơ khép kín

của đa giác lực xuất phát từ một điểm bất kỳ được gọi là véc tơ chính của hệ

lực, ký hiệu là .

(2.6)

Từ đó ta có định lí sau: Hợp của hệ lực đồng qui được biểu diễn bằng véc tơ

chính của hệ lực đặt tại điểm đồng qui.

2. Phương pháp hình chiếu Khi chiếu hai vế của đẳng thức véc tơ (2.5) lên 3 trục tọa độ vuông góc ta được (hình 2.25):

(2.7) () (1.7)

Đó là 3 hình chiếu của véc tơ hợp lực

lên 3 trục tọa độ vuông góc. Từ đó có thể xác định được giá trị phương chiều của hợp lực: Hình 2.25

(2.8)

2.1.3.2. Các định lí biến đổi tương đương ngẫu lực

Định lí 1.1: Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều quay

và cùng trị số mô men thì tương đương nhau (hình 2.26).

Định lí 1.2: Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi nó dời đến những mặt

phẳng song song (hình 2.25).

Định lí 1.3: Hai ngẫu lực có véc tơ mô men bằng nhau thì tương đương nhau (hình 2.28).

Như vậy, tác dụng của ngẫu lực hoàn toàn được đặc trưng bằng véc tơ mô men

ngẫu lực .

Trong trường hợp riêng khi xét tác dụng của ngẫu lực trong mặt phẳng thì tác

Hình 2.26

Hình 2.27

Hình 2.28

dụng của nó hoàn toàn được đặc trưng bằng mô men đại số ngẫu lực

Định lí 1.4: Hợp các ngẫu lực được một ngẫu lực, có véc tơ bằng tổng các véc

tơ mô men các ngẫu lực đã cho (hình 2.29).

(2.9)

Định lí 1.5: Hợp các ngẫu lực trong cùng một mặt phẳng được một ngẫu lực

nằm trong mặt phẳng đã cho, có mô men đại số bằng tổng mô men đại số các ngẫu lực đã cho.

Hình 2.29

(2.10)

2.2. KHẢO SÁT HỆ LỰC

2.2.1. Hệ lực phẳng

Hệ lực phẳng bất kỳ là một tập hợp các lực tác dụng

lên cùng một vật rắn và có đường tác dụng cùng nằm bất kỳ

trong một mặt phẳng (hình 2.30).

2.2.1.1. Véc tơ chính và mô men chính của hệ lực phẳng

1. Véc tơ chính của hệ lực phẳng

Hình 2.30

Định nghĩa: Cho hệ lực phẳng , véc tơ

chính của hệ lực, ký hiệu là là véc tơ tổng của các véc tơ

lực của hệ lực:

(2.11)

Phương pháp xác định véc tơ chính:

Sử dụng phương pháp vẽ đa giác lực. Trong trường hợp này đa giác lực là đa

giác phẳng (Hình 2.31).

Hình 2.31

Dùng phương pháp hình chiếu của lực trên các trục tọa độ vuông góc. Trong

trường hợp này chỉ cần xác định hai hình chiếu của nó trên hai trục vuông góc với

nhau.

(2.12)

giá trị và phương chiều của véc tơ chính được xác định theo công thức.

(2.13)

2. Mômen chính của hệ lực phẳng

Mô men chính của hệ đối với điểm O: là đại lượng đại số, ký hiệu là bằng

tổng mô men của các lực của hệ đối với điểm :

(2.14)

Nhận xét:

Véc tơ chính là véc tơ tự do, còn mô men chính phụ thuộc vào điểm lấy mô

men, nghĩa là mô men chính lấy với hai điểm khác nhau sẽ khác nhau:

(2.15)

Trong đó và là mô men chính của hệ đối với điểm O' và O tương ứng

còn là mô men đối với điểm của véc tơ chính đặt tại điểm .

Đối với hệ lực đồng qui thì mô men chính của hệ lực đối với điểm đồng qui bằng không. Đối với hệ ngẫu lực thì véc tơ của hệ ngẫu lực luôn luôn bằng không, còn

mô men chính của hệ ngẫu lực đối với điểm bất kỳ O nào cũng bằng mô men của ngẫu lực tổng cộng tức bằng mô men của các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫu lực.

2.2.1.2. Thu gọn hệ lực phẳng

1. Định lý dời lực song song

Lực đặt tại tương đương với lực bằng nó nhưng đặt tại và một ngẫu

lực có mô men bằng mô men của lực đối với điểm (hình 2.32).

(2.16)

Chứng minh định lý này giống như chứng minh cho trường hợp hệ lực không

gian khi thay thế véc tơ mô men bằng mô men đại số.



Hình 2.32



2. Thu gọn hệ lực về một tâm

Giả sử có một hệ lực phẳng bất kỳ ( ): Yêu cầu thu gọn hệ lực đó.

Lấy một điểm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực gọi là tâm thu gọn. Sử dụng

định lý dời lực song song để dời các lực về tâm (hình 2.33).

Như vậy thu gọn hệ lực về tâm ta được hệ lực đồng qui tại :

và hệ ngẫu lực phẳng:

Hình 2.33

 

Thu gọn hệ lực đồng qui tại ta được véc tơ chính;

(2.17)

Thu gọn hệ ngẫu lực phẳng ta được:

(2.18)

Vậy: Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại một

điểm tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực. Chúng được gọi là lực và

ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn đặt tại tâm thu gọn có véc tơ lực bằng véc tơ chính của

hệ lực còn ngẫu lực thu gọn có mô men bằng mô men chính của hệ lực đối với tâm thu gọn. Trong đó phương chiều và giá trị của lực thu gọn không phụ thuộc vào tâm thu gọn (vì véc tơ chính là véc tơ tự do) còn ngẫu lực thu gọn phụ thuộc vào tâm thu gọn.

2.2.1.3. Các dạng chuẩn của hệ lực phẳng

Dạng chuẩn là dạng đơn giản nhất nhận được khi thu gọn hệ lực. Từ kết quả thu

gọn hệ lực phẳng về một tâm, ta nhận được các dạng sau:

1. Hệ lực cân bằng khi véc tơ chính và mô men chính triệt tiêu

2. Hệ lực phẳng thu gọn về một ngẫu lực khi véc tơ chính triệt tiêu, còn mô men

chính không triệt tiêu.

Trong hai trường hợp trên vì nên theo công thức (2.15), mô men chính

đối với mọi tâm đều bằng nhau và bằng .

3. Hệ lực phẳng có hợp lực

Khi thì tức là hệ đã cho có hợp lực đặt tại có

véc tơ lực bằng véc tơ chính của hệ lực (hình 2.34a).

Khi , hệ lực thu gọn về tâm được một lực và một ngẫu lực

, theo định lý dời lực song song có thể đưa về một lực có phương chiều và giá trị

bằng phương chiều và giá trị của véc tơ chính nhưng đặt tại điểm cách một

đoạn: , Sao cho mô men của hợp lực đối với điểm bằng (hình 2.34b)

tức là .

Từ đó ta có định lý sau:

Định lý Va Ri Nhông: Trong trường hợp hệ lực có hợp lực, mô men của

hợp lực đối với một điểm bất kỳ bằng tổng đại số mô men của các lực của hệ đối

với điểm đó:

(2.19)

 

a) b) Hình 2.34

Như vậy hệ lực đồng qui có hai dạng chuẩn sau: Cân bằng nếu véc tơ chính của

hệ lực triệt tiêu, hoặc có hợp lực nếu véc tơ chính của hệ lực không triệt tiêu.

Dạng chuẩn của một số hệ lực đặc biệt: Hệ lực đồng qui: Cân bằng nếu mô men chính của hệ ngẫu lực triệt tiêu, hoặc

ngẫu lực nếu mô men chính của hệ ngẫu lực không triệt tiêu.

Hệ lực phẳng song song cùng chiều chỉ có một dạng chuẩn là hợp lực vì véc tơ

chính không triệt tiêu.

Hệ lực phẳng song song ngược chiều có thể có ba dạng chuẩn: Cân bằng, ngẫu

lực và hợp lực.

2.2.1.4. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

1. Điều kiện cân bằng Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là véc tơ chính và mô men chính

của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu.

(2.30)

Chứng minh:

Điều kiện cần: theo các dạng chuẩn của hệ lực nếu (2.30) không thỏa mãn thì hệ lực

phẳng hoặc tương đương với một lực hoặc một ngẫu lực sẽ không thỏa mãn tiên đề 1.

Điều kiện đủ: khi véc tơ chính bằng không, hệ lực thu gọn về tâm sẽ được một

ngẫu lực thu gọn về hai lực. Nếu ngẫu lực bằng không thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

2. Các dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng Điều kiện (2.30) có thể được viết dưới dạng các phương trình được gọi là các

phương trình cân bằng.

* Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của

các lực trên hai trục tọa độ vuông góc và tổng mô men các lực đối với một điểm O bất

kỳ bằng không

(2.31)

* Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mô men các lực đối với hai điểm A và B và tổng các hình chiếu của các lực lên trên trục không

vuông góc với đoạn AB bằng không.

(2.32)

* Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mô men của

các lực đối với ba điểm không thẳng hàng triệt tiêu.

(2.33)

Ví dụ 2.1 Cột OA=2a, trọng lượng P thẳng đứng và chôn sâu xuống nền đất (ngàm) (hình

và đặt tại A và ngẫu lực m. Tìm: Phản lực

1.33). Cột chịu tác dụng lực nằm ngang tại ngàm.

Bài giải:

Khảo sát cân bằng của cột AB dưới tác dụng của hệ lực: trọng lực , lực và

ngẫu lực , phản lực ngàm (gồm hai thành phần lực vuông góc và ngẫu lực )

(hình 2.35). Vậy ta có:

Viết phương trình cân bằng của hệ lực theo dạng 1:

A F

P 2a

Khi giải hệ phương trình trên ta nhận được: Y0 X0

Trong các kết quả nhận được thì và lấy

giá trị dương, nên chiều đã sử dụng như trên hình 2.35 Hình 2.35 là đúng, còn có giá trị âm nên chiều đã giả sử như

hình 2.35 là sai. Chiều đúng là chiều ngược lại.

2.2.1.5. Bài toán hệ lực phẳng với liên kết ma sát

Trong phần trước, khi xét liên kết tựa ta xem các vật tiếp xúc nhau tại một điểm

và các mặt tựa tiếp xúc là hoàn toàn nhẵn. Khi đó phản lực liên kết nằm theo phương pháp tuyến của mặt tựa. Trên thực tế sự tiếp xúc xảy ra trẽn một diện tích nhỏ và các

mặt tựa của các vật tiếp xúc vởi nhau là không nhẵn. Do đó, ngoài phản lực nằm theo

phương pháp tuyến nói trên còn xuẩt hiện những lực và ngẫu lực cản được gọi là lực

và ngẫu lực ma sát.

Xét hai vật rắn có liên kết tựa với nhau

Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các

chuyến động hoặc các xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt cùa

nhau.

Thường người ta phân làm ba loại ma sát.

- Ma sát tĩnh và ma sát động. Ma sát được gọi là tĩnh khi giữa hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương đối nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đổi và được gọi là động nếu chúng đă chuyển động tương đối với nhau.

- Ma sát trượt và ma sát lăn. Nếu xu hướng chuyển động hoặc chuyển động xảy

ra giữa hai vật là trượt, ta có ma sát trượt, trường hợp xu hướng hoặc chuyển động xảy

ra là lăn, ta có ma sát lăn.

- Ma sát khô và ma sát nhớt. Ma sát được gọi là khô khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với

nhau và được gọi là ma sát nhớt khi chúng tiếp xúc với nhau qua một màng dầu.

Ta xét một số Ví dụ sau

- Một khối hộp trên mặt nghiêng chịu ma sát trượt tĩnh khi khối hộp còn cân

bằng và chịu ma sát trượt động khi đă xày ra chuyển động trượt.

- Môt bánh xe trên mặt nghiêng đổng thời chịu ma sát trượt tĩnh và ma sát lăn

tĩnh khi bánh xe còn cân bằng và khi nó lăn không trượt thì có ma sát lăn động cùng

với ma sát trượt tĩnh.

- Dây cu - roa truyền động giữa hai bánh xe chịu ma sát trượt tĩnh khi nó bám

chặt và cùng chuyển động vối vành bánh xe và sẽ chịu ma

sát trượt động khi dây cu - roa bị trượt trên vành.

Bản chất vật lí của hiện tượng ma sát rất phức tạp.

Lí thuyết thu gọn hệ lực có thế giúp chúng ta giải thích sự xuất hiện các lực và ngẫu lực ma sát. Do hai vật tiếp xúc

với nhau không phải tại một điểm mà là trên một diện tích

nào đó nên không phải xuất hiện một phản lực liên kết mà

Hình 2.36 là một hệ phản lực liên kết. Nếu xem đó là một hệ lực

phẳng kết quả thu gọn cho một phản lực và một ngẫu

lực . Phân tích phản lực ra hai thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến chúng ta

và lực ma sát vuông góc với nhau. Còn ngẫu lực chính

được phản lực pháp là ngẫu lực ma sát lăn (Hình 2.36).

Dưới đây chúng ta khảo sát ma sát trượt và ma sát lăn chi trong trường hợp tĩnh và khô.

1. Bài toán cân bằng khi có ma sát trượt Để thiết lập định luật ma sát trượt chúng ta hãy quan sát hiện tượng xảy ra đổi

với một vật rắn trên mặt nằm ngang, chịu lực ép (kể cả

trọng lực) thẳng góc với mặt bàn và chịu lực kéo

theo mặt bàn (Hình 2.37). Ta thấy:

- Khi lực kéo khá nhỏ thì vật rắn cân bằng.

- Tiếp tục tăng lực kéo thì vật rắn vẫn cân

tăng đến một giá trị P0 thì

bằng, nhưng khi lực kéo vật rắn bắt đầu trượt.

Điều đó có nghĩa là: vật rắn cân bằng khi trị số

của lực không vượt quá giá trị P0: P ≤ P0 Hình 2.37 Từ thực nghiệm cho biết giá trị P0 tỷ lệ với lực ép

Q và hệ số tỷ lệ f, nghĩa là:

P0 = f.Q Hệ số tỷ lệ f phụ thuộc vào vật liệu tạo nên vật và mặt bàn và vào trạng thái bề

mặt tiếp xúc (thô, ráp) giữa vật rắn và mặt bàn.

Từ đó suy ra:

- Ngoài phản lực pháp tuyến cân bằng với lực ép còn có lực cân bằng với

lực kéo gọi là lực ma sát, kí hiệu

Lực ma sát ngược chiều với lực kéo nghĩa là ngược chiều với xu hướng trượt.

- Giá trị lực ma sát trượt không thế lớn tùy ý mà bị hạn chế, giá trị cực đại của

nó tỉ lệ với giá trị của lực ép nghĩa là tỉ lệ với giá trị của phản lực pháp tuyến .

Do đó, có thể phát biểu định luật ma sát trượt:

Lực ma sát trượt xuất hiện khi có xu hướng trượt tương đối, nằm theo tiếp tuyến

của mặt tựa tiếp xúc, ngược hướng trượt và có giá trị bị chặn trên:

Fms ≤ fN

Trong đó: N là giá trị của phản lực pháp tuyến;

f- hệ số hằng số gọi là hệ số ma sát trượt tĩnh, khô. Nó có giá trị:

Gỗ trên gỗ: f = 0,4  0,7

Kim loại trên kim loại: f = 0,15  0,25

Kim loại trên gỗ: f = 0,6

* Điều kiện cân bằng của vật rắn có kể đến ma sát trượt

- Hệ lực tác dụng lên vật rắn (bao gồm lực đã cho và lực liên kết trong đó có

phản lực ma sát) phải thoả mãn điều kiện cân bằng:

- Lực ma sát phải thoả mãn điều kiện giới hạn của nó: Fms ≤ fN

Ví dụ 2.2 Trên mặt OA có thể quay được quanh O ta đặt một vật nặng. Người ta nghiêng

dần mặt OA, hỏi góc nghiêng  như thế nào thì vật bắt đầu trượt. Hệ số ma sát trượt

giữa vật và mặt OA là f (Hình 2.38)

Bài giải: Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Ta xét vật nặng. Vật chịu tác dụng của các lực

có chiều như hình vẽ.

Khi vật ở trạng thái cân bằng, ta có:

Hình 2.38 Phương trình cân bằng:

(1)

(2)

(3)

Suy ra: (4)

Vậy khi vật rắn sẽ cân bằng, trạng thái cân bằng giới hạn khi tg = f

(5), quá đó vật sẽ trượt.

Nhìn vào phương trình (4) ta thấy thí nghiệm trên có thể dùng để xác định hệ số

ma sát giữa vật và mặt OA.

f = tg

tg = f

rút ra:  = 

Góc nghiêng giới hạn của mặt OA đúng bằng góc ma sát.

Ví dụ 2.3 Thang đồng chất AB có chiều dài 2l và trọng lượng P, tựa trên nền ngang Ox và

tường thẳng đứng Oy đều không nhẵn và tường thẳng đứng Oy đều không nhẵn và có

cùng hệ số ma sát trượt f. Tìm góc nghiêng  của thang với tường để thang cân bằng

(Hình 2.39).

Bài giải Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Khảo sát thang cân bằng ở trạng thái giới hạn

(sắp sửa trượt). Thang chịu tác dụng của các lực như

hình vẽ.

Ta thấy rằng nếu góc  càng lớn thì thang càng

dễ bị trượt. Do đó góc  ứng với trạng thái giới hạn của

thang sẽ có giá trị cực đại.

Ta có hệ lực cân bằng:

Hệ phương trình cân bằng:

Hình 2.39

Từ các phương trình trên ta được:

Khi chú ý đến góc ma sát  (tg = f), ta có:

Vậy:  = 2

Vì góc  tìm được ứng với trạng thái cân bằng giới hạn của thang, nên đó là giá

trị cực đại của góc .

Vậy điều kiện cân bằng của thang sẽ là:  ≤ 2

2. Bài toán cân bằng khi có ma sát lăn Để thiết lập định luật ma sát lăn ta hãy quan sát hiện tượng xảy ra đối với bánh

xe có bán kính R đặt trên mặt nằm ngang, chịu lực nén thẳng đứng và chịu lực kéo

nằm ngang cùng đặt tại tâm O bánh xe (Hình 2.40a)

Hình 2.40

Theo quy tắc dời lực song song, có thể thay lực bằng lực song song cùng

chiều và cùng trị số với lực nhưng đạt tại tiếp điểm I và ngẫu lực cùng chiều quay

quanh I và có mômen M = PR. Lực gây trượt và ngẫu lực M gây lăn.

Để bánh xe không bị trượt có giá trị không vượt quá giá trị cực đại có thể

đạt được của lực ma sát trượt, nghĩa là:

P ≤ f.N = f.Q

Hiện tượng lăn không xuất hiện nếu: M < M0

, tức tỷ lệ Từ thực nghiệm người ta thấy giá trị M0 tỷ lệ với giá trị của lực nén

với giá trị của phản lực pháp tuyến với hệ số tỷ lệ k, tức là:

M0 = k.N

Hệ số k được gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên độ dài

Hệ số ma sát lăn phụ thuộc vào vật liệu tạo thành của hai vật tiếp xúc và trạng

thái bề mặt tiếp xúc… thường hệ số ma sát lăn bé hơn nhiều lần hệ số ma sát trượt.

+ Gỗ trên gỗ: k = 0,05 ÷ 0,08 + Thép trên thép: k = 0,005 + Thép tôi trên thép tôi: k = 0,001

Định luật ma sát lăn. Ngẫu lực ma sát lăn xuất hiện khi có xu hướng lăn tương đối, có chiều ngược

với chiều xu hướng lăn và có giá trị:

Ml ≤ k.N Vì hệ số ma sát lăn bé hơn nhiều lần so với hệ số ma sát trượt nên trong nhiều

trường hợp ma sát lăn được bỏ qua.

Có thể diễn tả khả năng chống lăn bằng cách dời song song phản lực pháp tuyến

về phía bánh xe có xu hướng lăn đến một đoạn d = Ml / N (Hình 2.40b)

Ta có:

Vậy khi có ma sát lăn, phản lực pháp tuyến nằm ở phía vật có xu hướng lăn

đến và cách pháp tuyến một đoạn:

d ≤ k

* Điều kiện cân bằng của vật rắn có kể đến ma sát lăn - Hệ lực tác dụng lên vật rắn phải thoả mãn điều kiện cân bằng:

- Lực ma sát phải thoả mãn điều kiện giới hạn của nó: Fms ≤ fN - Ngẫu lực ma sát lăn phải thoả mãn điều kiện giới hạn của nó: Ml ≤ kN

Ví dụ 2.4 Trên đường nằm ngang có con lăn đồng chất bán kính R, trọng lượng P chịu lực

đẩy theo phương ngang và cách mặt đường một đoạn h. Biết hệ số ma sát trượt f hệ

số ma sát lăn k. Tìm giá trị của lực để con lăn cân bằng. (Hình 2.41)

Bài giải Khảo sát con lăn cân bằng, tức không trượt và

không lăn.

Hệ lực tác dụng lên con lăn có chiều như hình vẽ.

Ta có hệ lực cân bằng:

Phương trình cân bằng

Hình 2.41

Từ các phương trình cân bằng ta nhận được: F = Q; N = P; M = Qh Vậy: Điều kiện để con lăn không bị trượt sẽ là: Q ≤ f.P

Điều kiện để con lăn không bị lăn sẽ là: Q ≤ .P

Thông thường nên điều kiện không lăn thường bị vi phạm trước, nghĩa

là thông thường con lăn lăn trước khi trượt. Tuy nhiên với h quá bé có thể xảy ra trượt trước khi lăn.

2.2.2. Hệ lực không gian

2.2.2.1. Véctơ chính và mômen chính của hệ lực

1. Véc tơ chính của hệ lực

Định nghĩa: Véc tơ chính của hệ lực, ký hiệu , là tổng hình học của các véc

tơ biểu diễn các lực của hệ lực.

(2.34)

Phương pháp xác định véc tơ chính a. Phương pháp vẽ đa giác lực: Để xác định véc tơ chính có thể vẽ đa giác lực. Muốn vậy, từ một điểm bất kỳ ta vẽ nối tiếp những véc tơ song song cùng chiều và có

trị số bằng các véc tơ biểu diễn các lực của hệ lực. Đường gãy khúc nhận được gọi là

đa giác lực. Véc tơ được gọi là véc tơ khép kín đa giác lực. Vậy: Véc tơ chính của

Hình 2.42

hệ lực chính là véc tơ khép kín của đa giác lực.

Trong trường hợp hệ lực phẳng, đa giác lực là đa giác phẳng, còn trong trường

hợp hệ lực không gian, nói chung là đa giác ghềnh.

b. Phương pháp chiếu Dựa vào công thức (2.34), véc tơ chính có thể được xác định qua các hình chiếu

của nó theo các hình chiếu của các lực của hệ lực trên các trục toạ độ vuông góc Oxyz.

(2.35)

Từ đó mô đun và phương chiếu của véc tơ chính được xác định theo công thức:

(2.36)

(2.37)

Trong đó: là góc hợp bởi véc tơ chính với các trục toạ độ.

2. Mômen chính của hệ lực

Định nghĩa: Mômen chính của hệ lực đối với tâm O, ký hiệu là là một véc

tơ bằng tổng hình học các véc tơ mômen của các lực thuộc hệ lực đối với tâm O.

(2.38)

Phương pháp xác định a. Phương pháp vẽ: dựa vào công thức (2.38) ta thấy véc tơ mômen chính của hệ lực đối với và tâm O là véc tơ khép kín đa giác véc tơ, có các cạnh là các véc tơ

song song cùng chiều và có trị số bằng các véc tơ mômen của các lực đối với điểm O.

Đa giác véc tơ đó được gọi là đa giác véc tơ mômen được xây dựng tương tự đa giác

lực, ở đó các lực được thay thế bằng mômen của nó đối với tâm O.

Vậy: Mômen chính của hệ lực đối với một tâm bằng véc tơ khép kín đa giác véc tơ mômen.

b. Phương pháp chiếu

Chiếu phương trình (2.38) lên 3 trục toạ độ của hệ toạ độ vuông góc Oxyz và áp

dụng định lý liên hệ giữa mômen của lực đối với một điểm và mômen của lực đối với

một trục, ta có:

(2.39)

Hình 2.43

2.2.2.2. Thu gọn hệ lực về một tâm

1. Định lý dời lực song song

Định lý: Lực đặt tại A tương đương với lực song song cùng chiều, cùng

cường độ với lực nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực

đối với điểm O.

Chứng minh: Áp dụng tiên đề 2, đặt tại O hai lực cân bằng ( , ), trong đó

lực cùng phương chiều và cường độ với lực . Ta có:

và

Lực chính là lực dời song song đến O, còn hệ gồm hai lực là ngẫu

lực, có véc tơ mômen . Đó là điều cần chứng minh.

Nhận xét: véc tơ mômen ngẫu lực vuông góc với lực , tức lực

nằm trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. Vậy hệ lực gồm một lực và ngẫu lực

có véc tơ mômen vuông góc với (nghĩa là ngẫu lực và lực cùng nằm trong một

mặt phẳng) sẽ tương đương với một lực, tức có hợp lực

2. Thu gọn hệ lực về một tâm

Giả sử có một hệ lực bất kỳ ( ). Để thu gọn hệ lực này về tâm O ta

lần lượt thu gọn từng lực về tâm O nhờ áp dụng định lý dời lực song song.

Cụ thể, (Hình 2.44)

Vậy hệ lực đã cho ( ) tương đương với hệ lực đồng quy tại O

Hình 2.44

( ) và hệ ngẫu lực ( )

Như đã biết hệ lực đồng quy có hợp lực qua O, được biểu diễn bằng véc tơ

chính của hệ lực đặt tại O.

Gọi là hợp lực của hệ lực đồng quy, ta có:

Hệ ngẫu lực ( ), tương đương với một ngẫu lực, có véc tơ mômen :

Tâm O gọi là tâm thu gọn. Ta có định lý sau: Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực

đặt tại một điểm tùy ý, chúng được gọi là lực và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được biểu diễn bằng véc tơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có véc tơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.

3. Các dạng tối giản của hệ lực

Dựa vào kết quả thu gọn hệ lực về một tâm, ta nhận được các dạng tối giản của

hệ lực như sau:

, hệ lực đã cho cân bằng. a.

, hệ lực đã cho tương đương với một ngẫu lực (không phụ b.

thuộc vào tâm thu gọn).

, hệ lực đã cho tương đương với một lực, tức hệ lực có hợp c.

lực.

d. , hệ lực đã cho tương đương với một hệ xoắn.

Đó là 4 dạng tối giản của hệ lực không gian bất kỳ. Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực, ta có định lý sau:

Định lý Varinhông: Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì mômen

của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với

tâm ấy.

* Các dạng tối giản (dạng chuẩn) của hệ lực đặc biệt

- Hệ lực đồng quy tại O: vì , nên

Vậy hệ lực đồng quy hoặc cân bằng hoặc có hợp lực.

- Hệ ngẫu lực: Véc tơ chính của hệ ngẫu lực luôn luôn bằng không

Nên hệ ngẫu lực hoặc cân bằng hoặc tương đương với một ngẫu lực.

- Hệ lực song song: Véc tơ chính của hệ lực song song có phương

song song với các lực thành phần.

Véc tơ mômen chính của hệ lực: vuông góc với phương của

véc tơ chính .

Vậy: Do đó: Hệ lực song song có các dạng chuẩn là: cân bằng, ngẫu lực, hợp lực.

2.2.2.3. Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực

1. Hệ lực không gian bất kỳ

a. Điều kiện cân bằng Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là véc tơ chính và mômen

chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu.

(2.40)

Chứng minh: Điều kiện cần được chứng minh nhờ dựa vào các dạng tối giản của hệ lực. Thực vậy, nếu điều kiện (2.40) không được thoả mãn thì hệ lực không gian

hoặc tương đương với một ngẫu lực hoặc một hợp lực hoặc một hệ xoắn, tức là không

thoả mãn tiên đề 1, vậy hệ lực đã cho không cân bằng.

Điều kiện đủ là hiển nhiên vì véc tơ chính của hệ lực bằng không, khi thu gọn

hệ lực về một điểm bất kỳ ta được một ngẫu lực thu gọn bằng mômen chính của hệ lực đối với điểm O, tức bằng không. Vậy ngẫu lực thu gọn là hai lực cân bằng, theo tiên đề

1, hệ lực đã cho cân bằng.

b. Các phương trình cân bằng Từ điều kiện (2.5) ta có: điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là tổng các hình chiếu của các lực trên ba trục toạ độ vuông góc và tổng mômen của các

lực đối với ba trục ấy đều triệt tiêu.

(2.41)

Muốn chứng minh ta chỉ cần chứng minh đây là điều kiện cần và đủ để có điều

kiện (2.40). Đó là điều rõ ràng.

Các phương trình (2.41) được gọi là các phương trình cân bằng của hệ lực không gian.

2. Hệ lực không gian đồng quy Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là véc tơ chính

của hệ lực triệt tiêu.

hoặc: (2.42)

Trong đó: là hình chiếu của lực trên ba trục toạ độ

vuông góc nhau.

3. Hệ lực không gian song song Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng hình

chiếu của các lực lên trên trục z song song với các lực thành phần và tổng mômen của

các lực đối với hai trục vuông góc với nhau x, y (và vuông góc với trục z) triệt tiêu:

(2.43)

Ví dụ 2.5 Một trục kéo AB có đường trục nằm ngang và được đỡ trên hai ổ trục (bản lề

trục) A và B. Hai nhánh đai của puli có đường kính chịu các lực căng

. Vật được kéo có trọng lực và tang tời có đường kính

. Trục tời chịu tác dụng của ngẫu lực có mômen cản bằng M.

Xác định ngẫu lực cản M cần thiết để trục cân bằng và các phản lực tại các gối

trục A và B. Bỏ qua ma sát, các kích thước cho trên hình 2.6.

a ZA

y 2a M A

a r XA

ZB R P T2

Hình 2.45

T1 XB

Bài giải: Vật khảo sát là trục kéo.

Các thành phần phản lực liên kết tác dụng vào trục kéo có chiều như hình vẽ.

Trục kéo cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

Các phương trình cân bằng của hệ lực có dạng:

Thay các giá trị bằng số vào hệ phương trình trên và giải ra ta nhận được:

ZA, ZB, M > 0

Nhận xét: XA và XB < 0; Vậy thành phần XA và XB có chiều ngược với chiều như hình vẽ.

Ví dụ 2.6 Cánh cửa OABC hình chữ nhật đồng chất có trọng lượng P được giữ cân bằng ở vị trí nằm ngang nhờ gối cầu O, bản lề C và dây BD. Biết đường chéo OB nghiêng 600 với cạnh OA, dây BD nằm trong mặt phẳng thẳng đứng qua OB và nghiêng góc 450 với OB. Tìm các phản lực tại O, C và sức căng

của dây.

Bài giải - Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

- Vật khảo sát là cánh cửa hình chữ nhật

OABC

- Các phản lực liên kết có chiều như hình

vẽ

- Cánh cửa cân bằng dưới tác dụng của

hệ lực:

Phương trình cân bằng của hệ lực không

gian là:

Hình 2.46

Trong đó:

Giải hệ phương trình trên ta được:

Nhận xét: Các phản lực đều có giá trị dương nên chúng có chiều như trên hình

vẽ (có chiều theo chiều giả thiết).

CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Định nghĩa vectơ chính của hệ lực. Phương pháp xác định vectơ chính.

2. Định nghĩa vectơ mômen chính của hệ lực. Phương pháp xác định vectơ mômen

chính.

3. Nêu và chứng minh định lý biến thiên mômen chính. 4. Nêu và chứng minh định lý dời lực song song.

5. Nêu và chứng minh định lý thu gọn hệ lực không gian về một tâm.

6. Trình bày các bất biến của hệ lực không gian khi thay đổi tâm thu gọn.

7. Trình bày các trường hợp thu gọn hệ lực không gian về một tâm cho trước. 8. Trình bày và chứng minh định lý Va ri nhông

9. Trình bày kết quả thu gọn đối với các hệ lực đặc biệt.

10. Trình bày và giải thích các phương trình cân bằng của hệ lực không gian.

11. Nêu điều kiện cân bằng và viết phương trình cân bằng của hệ lực đồng quy.

12. Nêu điều kiện cân bằng và viết phương trình cân bằng của hệ lực song song.

13. Nêu điều kiện cân bằng và viết phương trình cân bằng của một trong các dạng của

hệ lực phẳng.

14. Thanh AB có chiều dài l = 8 m, liên

l

kết bản lề cố định tại A và tì lên tường tại C có chiều cao h = 3m (hình vẽ), tại B

treo vật nặng P = 200N.

300

Hãy xác định phản lực liên kết tại

A và C.

Hình 2.47

15. Điểm M chuyển động theo phương trình: x = a.sint ; y = a.cost; z = ut.

Trong đó a,  và u là không đổi.

Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm M.

Cho: EO3 = 1.6m, EO1 = EO2 =

16. Một xe chở hàng trọng lượng P = 300N được đặt tại điểm M 0.5m, MD = 0.6m, O2D = 0.4m Xác định các phản lực tại: A, B, C.

Hình 2.48

Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC

3.1. CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

3.1.1. Các khái niệm

3.1.1.1. Chất điểm

Còn được gọi là vật điểm, là một điểm hình học có mang khối lượng. Chất điểm

là mô hình của các vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua được do nhỏ so với các vật thể khác hoặc không đóng vai trò gì trong quá trình khảo sát chuyển động, ví dụ

khi xác định tầm xa của viên đạn hoặc khi khảo sát chuyển động của các vật tịnh tiến

có thể xem chúng là chất điểm.

3.1.1.2. Lực

Khái niệm về lực đã được định nghĩa trong tĩnh học. Đó là tác dụng tương hỗ

cơ học giữa các vật thể. Như đã biết, các đặc trưng của lực là đường tác dụng, điểm đặt

và cường độ của lực. Lực được biểu diễn nhờ véc tơ lực. Trong tĩnh học chỉ liên quan

với các lực hằng, trong động lực học, lực nói chung là đại lượng biến đổi (biến đổi cả

về hướng và độ lớn). Lực biến đổi có thể phụ thuộc vào thời gian, vị trí và vận tốc của chất điểm và có thể phụ thuộc đồng thời vào các đại lượng vừa nêu. Trong trường hợp

tổng quát, biểu thức lực có dạng:

(3.1)

3.1.1.3. Hệ quy chiếu quán tính

Muốn khảo sát chuyển động của các vật thể trước hết phải chọn hệ quy chiếu.

Trong động lực học hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính, đó là hệ quy

chiếu mà trong đó định luật quán tính của Galilê được nghiệm đúng. Trong thực tế, tuỳ

thuộc vào yêu cầu của độ chính xác của bài toán khảo sát, người ta chọn các hệ quy

chiếu quán tính gần đúng. Trong thiên văn hệ quy chiếu quán tính được chọn là hệ trục toạ độ có gốc ở tâm mặt trời và ba trục hướng đến ba ngôi sao cố định. Trong kỹ thuật hệ quy chiếu quán tính được chọn thường là hệ trục toạ độ gắn liền với trái đất.

3.1.2. Các định luật cơ bản của động lực học 3.1.2.1. Định luật 1 (Định luật quán tính)

Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động

thẳng đều.

Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều của chất điểm gọi là trạng

thái quán tính của nó.

Như vậy, theo định luật này, nếu không có lực tác dụng lên chất điểm (chất

điểm như vậy gọi là chất điểm cô lập) thì nó có trạng thái quán tính. Nói khác đi, chất

điểm cô lập sẽ bảo toàn trạng thái quán tính của mình cho đến khi chưa có lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái chuyển động. Bằng cách như vậy định luật quán tính không

những cho một tiêu chuẩn về hệ quy chiếu quán tính mà còn phát hiện và khẳng định

lực là nguyên nhân duy nhất làm biến đổi trạng thái chuyển động của chất điểm. Do

đó, định luật quán tính là một trong những phát minh vĩ đại của con người.

3.1.2.2. Định luật 2 (Định luật cơ bản của động lực học)

Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của lực chất điểm chuyển động với

gia tốc có cùng hướng với lực và có giá trị tỷ lệ với cường độ của lực (Hình 3.1)

Như vậy định luật thứ hai được biểu thị bằng hệ thức:

(3.2)

Trong đó hệ số tỷ lệ m có giá trị không đổi, là số đo quán

tính của chuyển động, được gọi là khối lượng của chuyển động.

Định luật thứ hai thiết lập mối quan hệ về số lượng giữa lực tác Hình 3.1 dụng và gia tốc mà chất điểm thu được dưới tác dụng của lực đó.

Đẳng thức (3.2) còn được gọi là phương trình cơ bản của động lực học.

Từ (3.2) khi ta có tức hằng véc tơ (bao gồm cả trường hợp

), tức chất điểm cô lập sẽ có trạng thái quán tính. Tuy nhiên từ đó không thể nói rằng định luật thứ nhất là hệ quả của định luật thứ hai, bởi vì như trên đã nêu, định luật

thứ nhất cho một tiêu chuẩn về hệ quy chiếu quán tính mà trong đó định luật thứ hai

được thiết lập.

Khi viết (3.2) cho chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có:

P = mg (3.3)

Đẳng thức (3.3) thiết lập mối quan hệ giữa trọng lượng và khối lượng của chất

điểm.

3.1.2.3. Định luật 3 (Định luật tác dụng và phản tác dụng)

Các lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm có cùng đường tác dụng, ngược

chiều và cùng cường độ.

Cần lưu ý rằng hai lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm không phải là cặp lực cân bằng vì chúng đặt vào hai chất điểm khác nhau. Định luật thứ 3 không liên quan đến các yếu tố động học nên nó đúng với hệ quy chiếu bất kỳ.

Giá trị đặc biệt của định luật 3 còn ở chỗ nó mô tả tương tác giữa hai điểm và

do đó cho khả năng khảo sát động lực học cơ hệ.

Theo định luật 3, hệ nội lực sẽ gồm các lực từng đôi một trực đối nhau. Do đó,

suy ra tính chất của hệ nội lực: Véc tơ chính và mô men chính của hệ nội lực đối với

một điểm bất kỳ luôn luôn triệt tiêu, tức là:

và (3.4)

Tuy nhiên, như đã lưu ý ở trên, hệ nội lực không phải là hệ lực cân bằng.

3.1.2.4. Định luật 4 (Định luật về tính độc lập tác dụng của các lực)

Dưới tác dụng đồng thời của một số lực, chất điểm có gia tốc bằng tổng hình

học các gia tốc mà chất điểm có được khi mỗi lực tác dụng riêng biệt.

Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng các lực . Theo định

được tính

luật thứ 4 và áp dụng định luật thứ 2, chất điểm chuyển động với gia tốc theo công thức:

Do đó: (3.5)

Điều đó có nghĩa là dưới tác dụng của các lực chất điểm sẽ chuyển

động với gia tốc thoả mãn định luật thứ 2, trong đó lực tác dụng lên chất điểm là hợp

lực của hệ lực . Nói khác đi, trong động lực học chất điểm cho phép sử dụng

quy tắc hình bình hành lực đã nêu trong tĩnh học.

3.1.2.5. Định luật 5 (Định luật giải phóng liên kết)

Chất điểm không tự do (tức chất điểm chịu liên kết) có thể được xem như chất

điểm tự do bằng cách giải phóng nó khỏi liên kết và thay thế liên kết đó bằng phản lực

liên kết.

Định luật thứ 5 cho phép áp dụng bốn định luật đã nêu trên, chúng được phát

biểu đối với chất điểm tự do, cho động lực học chất điểm không tự do.

3.1.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

3.1.3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong dạng véc tơ

Khảo sát chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của lực

(trong trường hợp chất điểm tự do, chịu tác dụng của nhiều lực thì là hợp lực của

là hợp lực của lực

những lực đó, còn trong trường hợp chất điểm không tự do thì hoạt động và lực liên kết).

Chọn một hệ quy chiếu quán tính. Trong hệ quy chiếu này chất điểm sẽ chuyển

, được xác định dựa vào định luật thứ 2 (phương trình cơ bản của

động với gia tốc động lực học).

Gọi là véc tơ định vị của chất điểm trong hệ quy chiếu đã chọn. Như đã biết

từ phần động học:

Do đó, phương trình cơ bản của động lực học chất điểm có thể viết dưới dạng:

(3.6)

Phương trình (1.6) được gọi là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

trong dạng véc tơ.

3.1.3.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ Đề các Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz gắn vào hệ quy chiếu quán tính. Khi chiếu hai

vế của đẳng thức véc tơ (1.6) lên các trục toạ độ ta được:

(3.7)

Hệ phương trình (3.7) được gọi là phương trình vi phân chuyển động của chất

điểm trong dạng toạ độ Đề các.

Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thì số

phương trình giảm xuống còn tương ứng hai hoặc một.

3.1.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong dạng toạ độ tự

nhiên

Khi chiếu hai vế của đẳng thức véc tơ (3.6) lên

các trục toạ độ tự nhiên (Hình 3.2) và dựa vào kết quả

trong phần động học, ta nhận được:

(3.8) Hình 3.2

Trong đó và tương ứng là toạ độ cong và giá trị của vận tốc của chất

điểm;  là bán kính cong của quỹ đạo, còn Ft, Fn, Fb lần lượt là các hình chiếu của lực

lên các trục tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến.

Hệ phương trình (3.8) được gọi là các phương trình vi phân chuyển động của

chất điểm trong dạng toạ độ tự nhiên.

Các phương trình trên áp dụng thuận lợi khi biết quỹ đạo tuyệt đối của chất

điểm, đặc biệt đối với các bài toán của động lực học chất điểm không tự do.

3.1.4. Hai bài toán cơ bản của động lực học

Bài toán thuận: Cho biết chuyển động của vật thể, hãy xác định lực đã gây ra chuyển động đó. Trong trường hợp biết chuyển động của chất điểm qua gia tốc áp dụng trực tiếp

phương trình cơ bản của động lực học.

Trong trường hợp biết chuyển động của chất điểm không phải qua gia tốc mà

qua luật chuyển động hoặc vận tốc của nó thì đầu tiên ta phải tìm gia tốc của chất điểm

nhờ các công thức đã thiết lập ở phần động học, sau đó áp dụng phương trình cơ bản

của động lực học.

Bài toán ngược: Cho biết các lực tác dụng lên vật thể và những điều kiện đầu của chuyển động,

hãy xác định chuyển động của vật thể ấy.

Như đã biết từ phương trình cơ bản của động lực học chất điểm, gia tốc có thể

được xác định từ phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Do đó để tìm

chuyển động của chất điểm cần phải tích phân phương trình vi phân chuyển động. Nếu

tìm được các tích phân, chúng sẽ chứa các hằng số tích phân, thì chỉ biết lớp chuyển

động chứ chưa biết dạng chuyển động cụ thể. Muốn tìm dạng chuyển động cụ thể cần

phải xác định các hằng số tích phân nhờ các điều kiện đầu (vị trí ban đầu và vận tốc

ban đầu).

Ví dụ 3.1 Một vật nặng trọng lượng P được kéo lên với gia tốc a theo

phương thẳng đứng. Tìm sức căng T của dây. (Hình 3.3).

Bài giải Vật khảo sát: Vật nặng được coi như một chất điểm.

Các lực tác dụng lên chất điểm gồm:

Khi viết phương trình (1.2) cho chất điểm khảo sát, ta có;

Chọn trục toạ độ Oz hướng thẳng đứng từ dưới lên trên. Chiếu

phương trình vận tốc trên lên trục Oz:

ma = -P + T

Từ đây rút ra sức căng dây T là;

T = m(g + a)

T = m(g - a) Hình 3.3

Nhận xét: Nếu gia tốc a hướng xuống thì sức căng T của dây sẽ là: Như vậy: khi vật được kéo lên nhanh dần hoặc hạ xuống nhanh

dần với gia tốc có trị số a thì sức căng của dây sẽ bằng trọng lượng của vật cộng thêm hoặc trừ đi đại lượng ma.

T = P  ma

Nếu a = 0 tức là vật được kéo lên hạ xuống không có gia tốc thì T = P. Ta gọi

đó là sức căng tĩnh của dây.

Sức căng của dây trong điều kiện chuyển động có gia tốc của vật nặng bằng sức

căng tĩnh cộng thêm hoặc trừ bớt một lực (phụ thuộc vào gia tốc của vật) được gọi là

phản lực động lực. 3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

3.2.1. Các khái niệm

3.2.1.1. Cơ hệ

Cơ hệ: là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các chất điểm trong đó chuyển động của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của các chất điểm còn lại, nghĩa là

chuyển động của các chất điểm phụ thuộc vào nhau. Nói khác đi, giữa các chất điểm

của cơ hệ tồn tại các tương tác cơ học. Tuỳ thuộc vào bản chất của tương tác cơ học

giữa các chất điểm, cơ hệ được phân thành cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do.

Cơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm mà mối tương tác cơ học giữa chúng được

biểu hiện thuần tuý qua lực tác dụng. Nói khác đi, cơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm

mà di chuyển của nó (di chuyển vô cùng bé) từ vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào

cũng không bị cản trở. Thái dương hệ là một Ví dụ về cơ hệ tự do.

Cơ hệ không tự do, còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các chất

điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và vận tốc của các

chất điểm bị rằng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho trước được gọi

là những liên kết. Cơ cấu máy là một ví dụ về cơ hệ không tự do.

Vật rắn tuyệt đối: là một cơ hệ gồm vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ của nó không đổi trong suốt thời gian chuyển động. Trong thực tế

các vật mà biến dạng của nó có thể bỏ qua do bé hoặc do không đóng vai trò quan

trọng trong quá trình khảo sát chuyển động, được xem là vật rắn tuyệt đối, thường

được gọi tắt là vật rắn.

3.2.1.2. Lực tác dụng lên cơ hệ

Như đã biết, trong trường hợp tổng quát, biểu thức lực có dạng:

(3.9)

Các lực tác dụng lên cơ hệ có thể phân thành ngoại lực và nội lực.

- Ngoại lực được ký hiệu bởi là lực do các vật thể bên ngoài cơ hệ tác dụng

lên các chất điểm thuộc cơ hệ.

- Nội lực, được ký hiệu bởi là lực do các chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng

lẫn nhau.

Các lực tác dụng lên cơ hệ cũng có thể được phân thành lực hoạt động và lực

liên kết.

- Lực liên kết được ký hiệu bởi , là do các liên kết tác dụng lên các chất điểm

của cơ hệ.

- Các lực không phải là lực liên kết, được gọi là lực hoạt động.

Việc phân loại lực theo cách nào sẽ tuỳ thuộc vào phương pháp được dùng để

khảo sát cơ hệ.

3.2.1.3. Các đặc trưng hình học của cơ hệ và vật rắn

1. Khối tâm của cơ hệ Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm: M1, M2,…, MN có khối lượng tương ứng: m1,

. m2,…, mN. Vị trí của các chất điểm được xác định bằng các véc tơ định vị:

(Hình 3.4).

Khối tâm của cơ hệ là điểm hình học C, vị trí của nó được xác định bởi công thức (3.10).

(3.10)

Trong đó được gọi là khối lượng của cơ hệ.

Trong hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, các toạ độ của điểm C được xác định bởi

công thức:

; ; (3.11)

Trong đó: xk, yk, zk là toạ độ của chất điểm Mk.

Hình 3.4

Từ công thức (3.10) hoặc (3.11) suy trực tiếp rằng đối với các vật rắn nằm gần

quả đất thì khối tâm trùng với trọng tâm của chúng.

Các công thức (3.10) hoặc (3.11) có thể áp dụng được

lần cho trường hợp cơ hệ gồm nhiều vật rắn, trong đó mk và

lượt là khối lượng và véc tơ định vị khối tâm của các vật rắn.

2. Mô men quán tính của vật rắn a. Định nghĩa * Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z, ký hiệu

Hình 3.5

Iz, là đại lượng vô hướng, được xác định theo công thức:

(3.12)

Trong đó là khoảng cách đến trục z của chất điểm Mk có khối lượng mk

(Hình 3.5).

Khi đưa vào hệ trục toạ độ Oxyz, dễ dàng chứng minh rằng

(3.13)

Tương tự: (3.14)

Trong đó: xk, yk, zk là các toạ độ của chất điểm Mk. * Mômen quán tính tích Ixy, Iyz, Izx là những đại lượng được xác định theo các

công thức sau:

; ; (3.15)

* Mômen quán tính của vật rắn đối với điểm O:

(3.16)

Trong đó: là véc tơ định vị của chất điểm Mk.

(3.17) Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau: Ixy = Iyx; Ixz = Izx; Izy = Iyz

(3.18)

Trong kỹ thuật người ta đưa ra đại lượng bán kính quán tính của vật rắn đối với

trục z, ký hiệu là được xác định theo công thức sau:

(3.19)

Đơn vị của mômen quán tính là kgm2, đơn vị của bán kính quán tính là m. b. Mômen quán tính của một số vật đồng chất * Thanh đồng chất có chiều dài l, khối lượng M. Hình 3.6

(3.20)

* Vòng tròn đồng chất, hình trụ vỏ mỏng có khối lượng M bán kính R (Hình 3.7).

(3.21)

* Tấm tròn đồng chất, khối trụ đặc có khối lượng M bán kính R (Hình 3.8)

Hình 3.7 Hình 3.8

(3.22)

Tương tự như trong trường hợp vòng tròn đồng chất:

Ta có: (3.23)

Công thức (3.23) cũng dùng để tính cho trường

hợp khối trụ đặc.

Công thức tính mômen quán tính của các vật

khác có thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật.

c. Các định lý liên hệ mômen quán tính của vật

rắn đối với các trục

Định lý 2: Định lý về mômen quán tính của vật

rắn đối với trục đi qua gốc toạ độ (Hình 3.9).

Mômen quán tính của vật rắn đối với trục  bất Hình 3.9 kỳ qua gốc toạ độ có biểu thức:

(3.24)

Trong đó: , ,  là ba góc chỉ phương của trục .

d. Các định lý về trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm Định nghĩa: Trục Oz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu thoả mãn điều

kiện:

(3.25) Ixz = Izy = 0

Trục Oz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán tính

chính và đi qua khối tâm.

Chú ý: Nếu hai trục là quán tính chính tại O thì trục thứ ba vuông góc với chúng

cũng là trục quán tính chính.

3.2.2. Nguyên lý Đalămbe

3.2.2.1. Lực quán tính

Khi sát chất điểm dưới tác dụng của lực chuyển động với gia tốc đối với hệ

quy chiếu quán tính nào đó. Theo định luật cơ bản của động lực học, ta có:

Nó có thể được viết trong dạng:

(3.26)

Đẳng thức (3.26) tương tự điều kiện cân bằng của chất điểm dưới tác dụng của

lực và lực được gọi là lực quán tính, có ký hiệu :

(3.27)

Chú ý 1. Lực quán tính không phải là lực tác dụng vào chất điểm (lực tác dụng vào chất

điểm chỉ là lực ). Dựa vào định luật tác dụng và phản tác dụng có thể khẳng định rằng lực quán tính của chất điểm tự do là lực do chất điểm tác dụng vào vật (số đo của nó là

), đã buộc nó chuyển động với gia tốc .

2. Khái niện cân bằng vừa nêu ở trên chỉ có ý nghĩa hình thức vì lực và

không tác dụng lên cùng một chất điểm.

3. Lực quán tính được xác định khi biết được gia tốc. Như vậy trong bài toán

thuận (bài toán thứ nhất của động lực học) lực quán tính được hoàn toàn xác định, còn

trong bài toán ngược (bài toán thứ 2 của động lực học) lực quán tính là đại lượng chưa

biết.

Trong hệ trục tọa độ Đềcác, lực quán tính được xác định qua các hình chiếu của

nó trên các trục tọa độ.

; ; (3.28)

Trong hệ trục tọa độ tự nhiên, lực quán tính được phân tích thành các phần trên

các trục tọa độ tự nhiên.

(3.29)

Với ; (3.30)

là các véc tơ gia tốc tiếp và gia tốc pháp của chất điểm.

3.2.2.2. Nguyên lý Đalămbe

1. Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm. Tại mỗi thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất điểm

cân bằng nhau

(3.31)

Chú ý: Trong trường hợp của chất điểm không tự do, lực tác dụng vào chất

điểm bao gồm cả phản lực liên kết , tức là:

(3.32)

Ví dụ 3.2. Một quả cầu nhỏ có trọng lượng P được treo vào toa xe chuyển động

thẳng với gia tốc . Dây treo quả cầu bị lệch một góc α = cosnt so với đường thẳng

đứng. Xác định gia tốc của toa xe. (Hình 3.10).

Hình 3.10

Bài giải

của dây.

Khảo sát chất điểm chịu tác dụng của trọng lực và phản lực Lực quán tính của chất điểm, do gia tốc của chất điểm bằng gia tốc của toa xe,

sẽ bằng:

Theo nguyên lý Đalămbe:

Chiếu hai vế của đẳng thức này lên phương vuông góc với dây ta có:

Fqtcosα – Psinα = 0

Nghĩa là

Vậy: a = g.tgα

Bài toán trên cho ta một phương pháp đơn giản để đo gia tốc của toa xe.

2. Nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M1, M2,…, MN, dưới tác dụng của hệ lực

chuyển động với gia tốc

chuyển động với Xét chất điểm Mk có khối lượng mk chịu tác dụng của lực

gia tốc . Lực quán tính của chất điểm ấy là

Theo nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm, với mọi chất điểm của cơ hệ ta có:

Do đó nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ được phát biểu như sau:

Tại mỗi điểm, các lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ và các lực quán tính

của các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng.

(3.33)

3.2.2.3. Phương pháp Tĩnh hình học- Động lực

Nội dung phương pháp Việc khảo sát điều kiện cân bằng của hệ lực có thể dựa vào hai đặc trưng hình

học của nó là véc tơ chính và mômen chính của hệ lực. Dựa trên điều kiện triệt tiêu

véc tơ chính và mômen chính của hệ lực ta thiết lập được phương trình cân bằng của

hệ lực (trong phần Tĩnh học ta đã thiết lập các phương trình cân bằng đối với vật rắn).

Phương pháp thiết lập các phương trình cân bằng cho hệ lực (3.33) dựa vào tính

chất triệt tiêu véc tơ chính và mômen chính của nó được gọi là phương pháp Tĩnh hình

học- động lực.

Để áp dụng phương pháp này các lực tác dụng lên cơ hệ được phân thành

những ngoại lực và những nội lực.

Vì véc tơ chính và mômen chính đối với một điểm bất kỳ của hệ nội lực luôn

triệt tiêu, tức:

Nên phương trình cân bằng của hệ lực (3.33) có dạng sau:

(3.34)

Ví dụ 3.3. Một trục máy mất cân bằng được mô hình bằng hai chất điểm M1, M2 có khối lượng tương ứng bằng m1, m2 nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và chứa trục quay, khoảng cách của chúng đối với trục quay tương ứng bằng e1,

e2. Trục máy quay đều với vận tốc 0. Xác định các phản lực tại ổ trục A và B. Các

kích thước khác được cho như trên hình 3.11. Bỏ qua ma sát tại các trục quay.

Bài giải Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ Khảo sát cơ hệ là trục máy gắn hai chất điểm M1, M2.

Các ngoại lực tác dụng vào cơ hệ:

Các lực quán tính của hai chất điểm M1,

M2 được ký hiệu bởi:

với

Theo nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ

ta có:

Hệ phương trình cân bằng tĩnh học cho

hệ lực trên như sau:

Hình 3.11

Trong đó: và

Giải hệ phương trình trên ta được:

Nhận xét: Các phản lực ở trục không những phụ thuộc vào vận tốc góc của trục

quay mà có phương thay đổi (các véc tơ và quay quanh đường tâm của trục

máy với vận tốc góc 0).

3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

3.3.1. Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm

3.3.1.2. Định lý động lượng

1. Động lượng

Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ, ký hiệu là bằng tích của khối

lượng chất điểm với véc tơ vận tốc của nó.

(3.35)

Động lượng của cơ hệ bằng tổng động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ

(3.36)

Khi đạo hàm theo thời gian hai vế của đẳng thức véc tơ (2.1) ta có:

Do đó: (3.37)

Tức động lượng của cơ hệ bằng động lượng của khối tâm với giả thiết khối tâm

có khối lượng bằng khối lượng của cơ hệ.

Công thức (3.37) rất thuận tiện cho việc tính động lượng của vật rắn. Trong

trường hợp hệ vật rắn, động lượng cơ hệ bằng tổng động lượng của các vật rắn.

Đơn vị của động lượng là: kgm/s

2. Xung lượng của lực (Xung lực)

Xung lượng nguyên tố của lực , ký hiệu là , có biểu thức:

(3.38)

Xung lượng của lực trong khoảng thời gian từ t0 đến t1 có biểu thức:

(3.39)

, thì: Trong trường hợp lực không đổi (về độ lớn và hướng), tức

(3.40)

Đơn vị của xung lượng của lực (được gọi tắt là xung lực) là Ns.

3. Định lý động lượng Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng lực tác dụng

lên chất điểm đó

(3.41)

Chứng minh: Khảo sát chất điểm M có khối lượng m chuyển động dưới tác

dụng của lực (trong trường hợp chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực thì là hợp

lực của các lực đó, tức ).

Khi viết phương trình cơ bản của động lực học cho chất điểm với chú ý là m =

const, ta có:

Đó là điều cần chứng minh.

Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng véc tơ chính của

hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ.

(3.42)

Chứng minh: Đối với chất điểm Mk thuộc cơ hệ, chịu tác dụng của ngoại lực

và nội lực , theo định lý 1 ta có:

Lấy tổng hai vế với chú ý rằng véc tơ chính của hệ nội lực bằng không, ta được:

Đó là điều cần chứng minh.

Định lý 3: Biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian

nào đó bằng xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.

(3.43)

Chứng minh. Từ (3.41) ta có:

Khi tích phân hai vế của đẳng thức này với các cận tương ứng, ta được:

Vậy:

Đó là điều cần chứng minh. Định lý 4: Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian đó:

(3.44)

Chứng minh: Từ (3.42) ta có:

Tích phân hai vế của đẳng thức trên với các cận tương ứng ta nhận được:

Hay:

Đó là điều cần chứng minh.

Trong hệ trục toạ độ Đề các, các định lý vừa phát biểu trên được biểu diễn trong dạng (chúng ta chỉ trình bày đối với trường hợp cơ hệ, còn đối với trường hợp

của chất điểm hoặc được suy ra bằng cách tương tự hoặc xem như là trường hợp

riêng của cơ hệ):

(3.45)

(3.46)

Chú ý: Nội lực không có mặt trong các định lý động lượng của cơ hệ. Từ đó suy

ra rằng nội lực không làm biến đổi động lượng cơ hệ.

Định lý động lượng cho phép tìm được các tích phân đầu của chất điểm và của

cơ hệ trong một số điều kiện của lực tác dụng. Nó cũng được sử dụng có hiệu quả cho

bài toán va chạm và bài toán chuyển động của môi trường liên tục.

4. Định lý bảo toàn động lượng Dưới đây chúng ta chỉ xét cho trường hợp cơ hệ. Đối với chất điểm được xem

như là trường hợp đặc biệt của cơ hệ.

Định lý 5: Nếu véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn bằng

không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn, tức:

thì (3.47)

Chứng minh: Nếu thì từ (3.42) ta có:

Tức là:

Đó là điều cần chứng minh. Định lý 6: Nếu tổng hình chiếu các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trên một trục cố định nào đó luôn luôn bằng không thì hình chiếu của động lượng cơ hệ trên trục đó

được bảo toàn.

thì (3.48)

Chứng minh: Nếu , từ (3.45) ta có:

Vậy:

Định luật bảo toàn động lượng là cơ sở lý thuyết của cơ học vật có khối lượng

biến đổi, đặt nền tảng cho ngành cơ học du hành vũ trụ.

3.3.1.2. Định lý chuyển động khối tâm cơ hệ

Định lý: Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cơ hệ và chịu tác dụng của lực có véc tơ lực bằng véc tơ chính

của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ:

(3.49)

Chứng minh: Áp dụng định lý động lượng dạng đạo hàm (3.42 ta nhận được:

Đó là điều cần chứng minh. Vì phương trình vi phân chuyển động khối tâm (3.49) có dạng phương trình cơ

bản của động lực học chất điểm, nên có thể viết phương trình (3.49) trong các dạng toạ

độ khác nhau. Ví dụ phương trình vi phân chuyển động khối tâm có thể viết trong

dạng toạ độ Đề các:

(3.50)

Từ định lý trên suy ra nội lực không ảnh hưởng đến chuyển động của khối tâm,

dù rằng nội lực có ảnh hưởng đến chuyển động của từng bộ phận cơ hệ.

Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm.

Từ công thức (3.49) ta thấy rằng:

Nếu thì

Tức là: hoặc (3.51)

Vậy: Nếu véc tơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằng không thì

khối tâm của cơ hệ hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.

Đó là định luật bảo toàn chuyển động khối tâm. Tương tự, nếu:

thì , tức là hoặc (3.52)

100

Vậy: Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực tác dụng lên một trục cố định nào đó

luôn luôn bằng không thì hình chiếu của khối tâm của cơ hệ lên trục đó hoặc đứng yên

hoặc chuyển động thẳng đều.

Ví dụ 3.4. Trục quay của động cơ được mô hình bằng khối lượng m2 cách tâm

trục quay khoảng e.

Giả sử trục động cơ quay đều với vận tốc góc .

Vỏ mô tơ có khối lượng m2. Hãy xác định:

- Phương trình chuyển động ngang của vỏ mô tơ

trên nền nhẵn.

- Áp lực thẳng đứng của động cơ tác dụng lên

nên ngang.

Bài giải Khảo sát chuyển động cơ hệ gồm vỏ mô tơ, rô to

và khối lượng lệch tâm.

Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ gồm:

Hình 3.12 Trong đó: : Phản lực của nền lên động cơ.

(Hình 3.12)

Các ngoại lực đều song song với phương thẳng đứng, nên theo định lý bảo toàn

chuyển động của hình chiếu khối tâm lên trên trục nằm ngang, ta có: xC = const = 0 (Vì ban đầu hệ nằm yên)

Theo công thức tính toạ độ khối tâm, ta có:

Từ đó:

Như vậy vỏ của động cơ dao động điều hoà với biên độ a và chu kỳ T:

Để tìm phản lực ta viết phương trình vi phân chuyển động của khối tâm theo

trục thẳng đứng hướng lên Oy, ta có:

Vậy:

Trong đó: g là gia tốc trọng trường.

Theo công thức tính toạ độ khối tâm, ta có:

101

Vậy:

Thay kết quả nhận được vào biểu thức của phản lực N đã tìm ở trên, ta

nhận được:

Như vậy phản lực N biến đổi theo thời gian, nó đạt trị số lớn nhất và bé nhất, đó là:

Để động cơ không rời khỏi nền cần phải thoả mãn điều kiện: Nmin > 0, tức là:

Vậy:

Nếu điều kiện này không thoả mãn thì động cơ sẽ rời khỏi nền và gây ra hiện

tượng va đập giữa động cơ và nền.

3.3.2. Định lý mômen động lượng

3.3.2.1. Mômen động lượng

Mômen động lượng của chất điểm đối với tâm O là đại lượng véc tơ, được ký

hiệu bởi , là mômen của véc tơ động lượng chất điểm đối với tâm O:

(3.53)

Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z là mômen của véc tơ động

lượng chất điểm đối với trục z:

(3.5)

Nếu gọi là hình chiếu của lên trục thì từ định lý liên hệ giữa mômen

lực đối với điểm và mômen lực đối với một trục trong phần tĩnh học, ta rút ra:

(3.55)

Mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm bằng tổng mômen động lượng

của các chất diểm của cơ hệ đối với cùng tâm đó.

(3.56)

102

Mômen động lượng của véc tơ hệ đối với một trục bằng tổng mômen động

lượng các chất điểm của cơ hệ đối với cùng trục đó.

(3.57)

Đơn vị của mômen động lượng là

3.3.2.2. Định lý mômen động lượng

Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của chất điểm đối với

một tâm (đối với một trục) cố định bằng tổng mômen của lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng tâm (đối với cùng trục) ấy.

(3.58)

(3.59)

Chứng minh: Xét chất điểm M, có khối lượng m, chịu tác dụng của lực (nếu

chịu tác dụng của nhiều lực thì là hợp lực của các lực đó). Ta viết phương trình cơ

bản của động lực học chất điểm trong dạng:

Nhân hữu hướng hai vế của đẳng thức này với véc tơ định vị của chất điểm, ta có:

Vế trái của đẳng thức với chú ý:

Có thể viết như sau:

Do đó:

tức

Đó là điều cần chứng minh. Chiếu 2 vế của đẳng thức (3.58) lên trục đi qua O ta sẽ có biểu thức (3.59)

103

Định lý: Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực đối với cùng tâm (cùng trục) đó:

(3.60)

(3.61)

Chứng minh: Xét chất điểm của cơ hệ có khối lượng chịu tác dụng của

ngoại lực và nội lực . Viết công thức (3.59) cho chất điểm trong đó thay

thế lực bằng hợp lực của và , ta có:

Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức với chú ý là mômen chính của hệ nội lực

bằng không, tức là:

ta có:

vậy:

Đó là điều cần chứng minh.

Khi chiếu hai vế của đẳng thức (3.60) lên trục cố định qua O ta nhận được ngay

đẳng thức (3.61).

Từ định lý nêu trên ta có nhận xét: các nội lực không làm biến đổi mômen động

lượng của cơ hệ, mặc dù chúng làm biến đổi mômen động lượng của các bộ phận

thuộc cơ hệ.

3.3.2.3. Định luật bảo toàn mômen động lượng

Dưới đây ta thiết lập định luật bảo toàn mômen động lượng cho cơ hệ, nhưng

chúng cũng áp dụng được một cách dễ dàng cho trường hợp chất điểm, vì chất điểm được xem như một cơ hệ đặc biệt: Từ (3.60) và (3.61) ta thấy:

nếu thì ; tức (3.62)

và nếu

thì ;tức (3.63)

104

Vậy ta có định lý sau: Định lý: Nếu tổng mômen có ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với một tâm (một

trục) cố định luôn luôn bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm (trục)

đó sẽ không đổi.

Áp dụng định lý bảo toàn mômen động lượng cho chất điểm chuyển động dưới

tác dụng lực luôn luôn đi qua điểm cố định O (lực xuyên tâm), ta dễ dàng đi đến kết

luận là chất điểm luôn luôn chuyển động trong mặt phẳng cố định chứa tâm O và vận

tốc đầu của chất điểm. Ví dụ về trường hợp này là chuyển động của các hành tinh trong thái dương hệ (bỏ qua lực tác dụng tương hỗ giữa các hành tinh).

3.3.2.4. Áp dụng vào vật rắn

1. Biểu thức của mômen động lượng của vật rắn quay

quanh trục cố định đối với trục quay của nó

Ta có công thức sau đây:

(3.64)

trong đó là vận tốc góc của vật, là mômen quán

tính của vật rắn đối với trục quay.

Lấy một phần tử của vật rắn, có khối lượng , nằm

cách trục quay một đoạn . Do vận tốc của chất điểm hướng

thẳng góc với bán kính quay , thuận chiều quay của vật, có

Hình 3.13 giá trị bằng , nên động lượng của chất điểm, tức là

nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục quay và cách trục quay

một đoạn ( cũng thẳng góc với bán kính quay ), có

, tức

mômen đối với trục quay cùng dương hay cùng âm theo (Hình 3.13):

Vậy mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay ,

ký hiệu bởi , bằng:

2. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn quay Hình 3.14 quanh một trục cố định

Khảo sát một vật rắn quay quanh một trục cố định dưới tác dụng của các lực

hoạt động .

Các ngoại lực tác dụng lên vật rắn gồm các lực hoạt động và các lực liên

kết tại các ổ trục và (Hình 3.14)

105

Vì các phản lực ổ trục có mômen đối với trục quay bằng không và

mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay là , trong đó là đại lượng

không biến đổi theo thời gian, nên khi áp dụng công thức (3.61) ta được:

(3.65)

Phương trình (3.65) được gọi là phương trình vi phân chuyển động của vật quay

quanh một trục cố định, nó còn có thể viết dưới dạng:

(3.66)

Ví dụ 3.5. Một dây treo vật nặng có trọng lượng Q quấn trên một tang tời có

trọng lượng P và bán kính r. Bỏ qua khối lượng dây và ma sát tại ổ trục của tời. Hãy xác định gia tốc góc của tang tời khi vật nặng rơi xuống theo phương thẳng đứng. Cho

biết bán kính quán tính của tang tời đối với trục quay của nó là . (Hình 3.15)

Bài giải Khảo sát cơ hệ chuyển động của gồm tang tời và vật nặng.

Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ gồm các lực của tang

tời, vật nặng và phản lực tại ổ đỡ.

Áp dụng (2.45) ta có:

Biểu thức mômen quán tính của cơ hệ được tính theo công

thức:

Hình 3.15

Từ đó:

Dấu – chứng tỏ tang quay nhanh dần đều theo chiều kim đồng hồ.

3.3.3. Định lý động năng 3.3.3.1. Động năng

Động năng của chất điểm có khối lượng m, chuyển động với vận tốc là đại

lượng vô hướng, được ký hiệu là T:

(3.67)

Động năng của cơ hệ là tổng động năng của các chất điểm thuộc cơ hệ

(3.68)

106

Đơn vị của động năng là .

3.3.3.2. Công và công suất

1. Công nguyên tố của lực

Công nguyên tố của lực , điểm đặt của nó chuyển động theo đường cong C,

thực hiện di chuyển nguyên tố ds được xác định theo công

sau khoảng thời gian thức sau:

(3.69)

Trong đó là hình chiếu của lực lên phương tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm

đặt của lực (Hình 3.16).

Hình 3.16

Công nguyên tố của lực có thể dương, âm hoặc bằng không tùy thuộc góc

giữa lực và vận tốc góc của điểm đặt lực là nhọn, tù hoặc góc vuông.

Công nguyên tố của lực còn được viết trong các dạng sau:

(3.70)

Trong đó:

là góc giữa lực và vận tốc góc ;

là véc tơ định vị của điểm đặt lực;

là hình chiếu lên phương tiếp tuyến của quỹ đạo tại điểm đặt của lực ;

là các hình chiếu của lực lên các trục tọa độ Đề các .

Trong trường hợp chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực thì là hợp lực của

các lực đó.

2. Công hữu hạn của lực

Khi điểm đặt lực ứng với di chuyển từ vị trí M1 đến vị trí M2 công cả lực

di chuyển đó được xác định như sau:

107

Khi chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực thì lực là hợp lực của các lực đó

và rõ ràng ta có tính chất sau:

Công (công nguyên tố) của hợp lực bằng tổng công (tổng công nguyên tố) của

các lực thành phần.

Đơn vị của công là Nm còn được gọi là Jun (J).

3. Công suất Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian. Công suất được ký

hiệu là W.

(3.71)

Biểu thức của công suất có thể viết trong các dạng sau:

Đơn vị của công suất là Oát (w)

1w= 1 J/s

3.3.3.3. Định lý động năng

Định lý. Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng công suất của

lực tác dụng lên chất điểm:

(3.72)

Chứng minh: Viết phương trình cơ bản của động lực học cho chất điểm, sau đó

nhân vô hướng hai vế với vận tốc của chất điểm, ta có:

Chú ý rằng:

ta có ngay:

Đó là điều cần chứng minh. Phương trình (3.72) còn có thể viết như sau:

(3.73)

Vậy ta có: Định lý: Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác

dụng lên chất điểm.

Định lý: Đạo hàm theo thời gian động năng của cơ hệ bằng tổng công suất của

các nội lực và ngoại lực tác dụng lên cơ hệ:

108

(3.76)

Chứng minh. Đối với chất điểm Mk thuộc cơ hệ, có khối lượng mk, chịu tác

dụng của ngoại lực và nội lực , theo (3.72), ta có:

Khi lấy tổng theo hai vế của đẳng thức vừa nhận được, ta có:

Đó là điều cần chứng minh.

Tương tự với trường hợp của chất điểm ta có:

Định lý: Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng công nguyên tố của các ngoại

lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ.

(3.75)

Chứng minh: Từ công thức (3.74) ta nhận được:

Đó là điều cần chứng minh.

Các định lý trên cho biết tốc độ biến đổi của động năng theo thời gian. Dưới

đây sẽ trình bày các định lý về biến đổi của động năng trong khoảng thời gian hữu hạn

(lượng tích tụ của động năng).

Định lý: Biến thiên động năng của chất điểm trong một chuyển dời nào đó

bằng công của lực tác dụng lên chất điểm sinh ra trong chuyển dời đó.

(3.76)

Chứng minh. Tích phân hai vế của đẳng thức (3.73) với các cận tương ứng ta

nhận ngay được công thức (3.76)

Định lý: Biến thiên động năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng công các ngoại lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời ứng với khoảng thời

gian đó.

(3.77)

Chứng minh. Định lý sẽ được chứng minh, khi ta lấy tích phân hai vế của đẳng

thức (3.75) theo các cận tương ứng:

Từ đó:

109

Đó là điều cần chứng minh. Cần chú ý rằng nội lực làm biến đổi động năng của cơ hệ. Vì vậy định lý động

năng phản ánh bản chất quá trình thay đổi chuyển động của cơ hệ và nhờ nó trạng thái

chuyển động của cơ hệ được nghiên cứu một cách sâu sắc.

3.3.3.4. Áp dụng

1. Biểu thức động năng của vật rắn chuyển động a) Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Vật có khối lượng M chuyển động với vận tốc .

Trong trường hợp này các phần tử của vật đều có cùng vận tốc v, do đó:

(3.78)

b) Vật rắn quay quanh một trục cố định: Xét một phần tử Mk của vật rắn, có

khối lượng mk, nằm cách trục quay một đoạn rk. Vận tốc của Mk sẽ bằng vk = rk,

trong đó  là vận tốc góc của vật quay quanh trục cố định. Do đó:

(3.79)

Trong đó Jz là mômen quán tính của vật đối với trục quay. c) Vật rắn chuyển động song phẳng: Trường hợp của tấm phẳng có vận tốc khối

tâm C là , có vận tốc góc đối với khối tâm C là và có khối lượng M.

Trong đó IC là mômen quán tính của tấm đối với trục qua khối tâm C và thẳng

góc với mặt phẳng tấm.

2. Biểu thức công của một số lực

, di a) Công của trọng lực. Giả sử chất điểm M chịu tác dụng của trọng lực chuyển theo một đường cong C nào đó (Hình 3.17). Để tính công trọng lực ta sử dụng

công thức:

110 Hình 3.17

Khi chọn trục Oz hướng thẳng đứng lên thì: Px = Py = 0; Pz = - P Vậy:

(3.80)

Trong đó h là độ cao di chuyển.

Công của trong lực sẽ dương khi điểm đặt của lực hạ xuống và âm khi điểm đặt của lực được nâng lên và bằng không khi điểm đặt của lực di chuyển trong mặt phẳng

ngang.

Công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng của quỹ đạo của điểm đặt lực mà

chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của điểm đặt. Khi điểm đặt di chuyển được một đoạn đường khép kín thì công của lực bằng không.

Công của hệ các trọng lực. Khi cơ hệ di chuyển tù vị trí I đến vị trí II, các chất

điểm của nó di chuyển tương ứng từ vị trí đến , còn khối tâm cơ hệ di

chuyển từ CI đến CII.

Công của các trong lực trong di chuyển đó sẽ bằng:

(3.81)

Trong đó: P = Pk;

và : là cao độ của khối tâm của cơ hệ ứng với các vị trí II

và I của cơ hệ; hC: là cao độ của di chuyển khối tâm.

b) Công của lực đàn hồi tuyến tính

Lực đàn hồi tuân theo định luật Húc: Trong đó: là véc tơ định vị của chất điểm so với tâm, còn c là hệ số tỷ lệ

không đổi, được gọi là hệ số cứng (Hình 3.18)

Hình 3.18

Công của lực khi điểm đặt của nó di chuyển từ M1 đến M2 được tính theo

111

công thức:

Vậy: (3.82)

Trong trường hợp lò xo, công của lực đàn hồi lò xo khi đầu mút của nó bị biến

dạng một đoạn  so với trạng thái không biến dạng (trạng thái tự nhiên) của nó bằng:

Cũng như trường hợp của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính không phụ

thuộc vào dạng quỹ đạo của điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của

nó.

c) Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động tịnh tiến Theo công thức tính công nguyên tố, ta có:

d) Công của lực tác dụng lên vật quay quanh một trục cố định:

Sử dụng công thức: (3.83)

Công của ngẫu lực tác dụng lên vật quay quanh một trục cố định, ngẫu lực có

mômen và nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục quay:

(3.84)

e) Công của lực đặt vào tấm chuyển động song phẳng

Xem tấm song phẳng quay quanh một trục thẳng góc với mặt phẳng của tấm và

đi qua tâm quay tức thời. Áp dụng trực tiếp công thức tính công của lực tác dụng vào

vật quay ta có:

(3.85)

Trong đó: là mômen của lực đối với tâm quay tức thời.

Công thức (3.85) có thể được viết trong dạng:

(3.86)

Trường hợp tấm phẳng chịu tác dụng ngẫu lực nằm trong mặt phẳng tấm và có

mômen thì:

(3.87)

g) Công của hệ nội lực trong vật rắn Xét hai phần tử bất kỳ của vật rắn Mk và M’k. Lực tác dụng tương hỗ giữa hai

phần tử đó ký hiệu là và với . Hai lực này đều có cùng phương với

MkM’k.

112

Theo công thức tính công nguyên tố ta có:

Vì lực cùng phương và ngược chiều với nên:

Trong đó: k là đại lượng vô hướng dương nào đó.

Vậy:

Vì theo định nghĩa vật rắn, khoảng cách giữa

hai điểm M’k và Mk luôn luôn không đổi.

Từ đó: dA = dAk = 0 Hình 3.19

tức: tổng công các nội lực của vật rắn luôn

luôn bằng không.

Ví dụ 3.6. Một hệ thống chuyền tải gồm hai trục là các trục đặc tròn đồng chất

có trọng lượng Q, bán kính R quay quanh các trục quay riêng cố định O1 và O2 và băng tải là đoạn dây khép kín không giãn, có khối lượng m. (Hình 3.20).

Các gầu xúc có trọng lượng P1 và P2. Trục quay O1 chịu tác dụng ngẫu lực M = const. Tìm vận tốc của gầu xúc theo

đoạn đường di chuyển, cho biết ban đầu hệ đứng yên.

Bài giải Khảo sát cơ hệ gồm: Hai trục quay, băng tải, hai gầu

xúc A và B.

Lực tác dụng lên cơ hệ: lực sinh công gồm các trọng

lực: ; và ngẫu lực M (các trọng lực của hai trục quay và

băng tải không sinh công vì điểm đặt của chúng đứng yên).

Đầu tiên ta tính biểu thức động năng của các vật

thuộc cơ hệ: Hình 3.20

; Ttrục =

Khi tính động năng băng tải ta chú ý rằng do tính chất không giãn của băng tải

113

nên mọi phần tử của băng tải có vận tốc bằng nhau và bằng v:

Tbăng =

Chú ý: vA = vB = v = R.;

Động năng của cơ hệ được tính như sau:

Bây giờ ta chuyển sang tính công của các lực. Vì các lực sinh công chỉ gồm các

trọng lực và ngẫu lực hằng nên có thể tính công hữu hạn:

Áp dụng định lý động năng dạng hữu hạn ta nhận được:

Vậy:

3.3.4. Định lý bảo toàn cơ năng

3.3.4.1. Trường lực

Trường lực là khoảng không gian vật lý mà khi chất điểm chuyển động trong

trường lực chịu tác dụng của lực chỉ phụ thuộc vào vị trí của nó. Trường trọng lực, trường các lực đàn hồi là những Ví dụ về trường lực.

Trường lực thế là trường lực mà công của lực tác dụng lên chất điểm không phụ

thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối

của nó. Lực do trường lực thế tác dụng lên chất điểm đặt trong nó được gọi là lực thế.

Trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính là trường lực thế; còn trọng lực, lực

đàn hồi tuyến tính là những lực thế.

3.3.4.2. Thế năng

Khảo sát cơ hệ gồm các chất điểm M1, M2, …, MN nằm trong trường lực thế

dưới tác dụng của các lực có thế: .

Ta quy ước M là tượng trưng cho vị trí của cơ hệ, ví dụ M1 là vị trí của cơ hệ

khi các chất điểm có các vị trí: ;

0 M = Ak(MM

)

(3.88)

Vì vị trí “0” được chọn tuỳ ý nên thế năng của cơ hệ tại một vị trí nào đó sai

114

khác hằng số cộng tuỳ ý.

0 = 0

Rõ ràng thế năng của cơ hệ tại vị trí “0” bằng không, tức là: M

Vì lực thế chỉ phụ thuộc vào vị trí các chất điểm của cơ hệ, nên biểu thức công

của nó cũng chỉ phụ thuộc vào vị trí các chất điểm của cơ hệ và do đó thế năng của cơ hệ cũng chỉ phụ thuộc vào vị trí các chất điểm cơ hệ, tức là:

 = (x1, y1, z1, x2, y2, z2,…, xN, yN, zN)

Hình 3.21

Áp dụng công thức tính công ta được:

Thế năng của các trọng lực:

 = P.h (3.89)

Trong đó (Hình 3.22): P = Pk;

h: là cao độ khối tâm của cơ hệ so với vị trí “0” được chọn, lấy dấu + trong

trường hợp khối tâm cơ hệ nằm trên vị trí “0” và lấy dấu – trong trường hợp ngược lại.

Hình 3.23

Hình 3.22

Thế năng của lực đàn hồi tuyến tính: trường hợp lò xo

(3.90)

115

Trong đó: 0 là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng tĩnh 0 so với trạng thái

không biến dạng O1 của lò xo. (Hình 3.23).

3.3.4.4. Định lý bảo toàn cơ năng

Giả sử hệ chuyển động trong trường lực thế từ vị trí đầu M0 đến vị trí M nào đó. Theo định lý động năng ta có:

Mặt khác theo tính chất thứ nhất của các lực thế, ta có:

Vậy:

Hay:

(3.91)

Đại lượng: E = T +  được gọi là cơ năng của cơ hệ, nó bằng tổng của động

năng và thế năng của cơ hệ.

Vậy ta có định lý bảo toàn cơ năng:

Khi cơ hệ chuyển động trong trường lực thế thì cơ năng của cơ hệ được

bảo toàn.

Hệ cơ học nghiệm đúng định luật bảo toàn cơ năng được gọi là hệ bảo toàn, còn

lực tác dụng lên cơ hệ được gọi là lực bảo toàn. Như vậy lực thế là lực bảo toàn.

Nếu ngoài các lực bảo toàn còn có những lực không bảo toàn, chẳng hạn như

lực ma sát, tác dụng lên cơ hệ thì cơ năng của cơ hệ sẽ biến đổi do có sự chuyển hoá

giữa cơ năng của cơ hệ khảo sát với các dạng năng lượng khác. Cơ hệ như vậy được

gọi là hệ không bảo toàn.

Hệ thức (3.91) còn được gọi là tích phân năng lượng. Ví dụ 3.7. Một vật quay quanh trục nằm ngang O từ vị trí đầu

được xác định nhờ góc 0 với vận tốc góc đầu 0. Tìm vận tốc góc

của vật quay theo góc quay  của nó. Bỏ qua sức cản của không khí

và ma sát tại ổ trục quay.

Khảo sát cơ hệ là con lắc vật lý (Hình 3.24) Lực tác dụng: gồm phản lực trục quay O, không sinh công và

trọng lực là lực có thế.

Do đó ta có cơ hệ bảo toàn.

Áp dụng định lý bảo toàn cơ năng: E = T +  = const, ta có: Hình 3.24

116

Vậy:

3.4. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Việc áp dụng trực tiếp phương trình cân bằng tĩnh học chỉ thuận tiện đối với cơ hệ gồm chỉ một số hữu hạn các chất điểm. Đối với trường hợp vật rắn cần tìm dạng thu

gọn của hệ lực quán tính của vật rắn. Dưới đây sẽ trình bày kết quả thu gọn hệ lực

quán tính của một số chuyển động thường gặp.

Đầu tiên ta chứng minh rằng đối với vật rắn có chuyển động bất kỳ, véc tơ

chính của hệ lực quán tính của nó luôn luôn bằng:

(3.92)

Trong đó: M là khối lượng của vật;

là gia tốc khối tâm của vật.

Thực vậy, dựa vào định nghĩa của véc tơ chính của hệ lực và định nghĩa của

khối tâm vật rắn, ta có:

Mômen chính của hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động phụ thuộc vào dạng

chuyển động cụ thể của vật rắn.

3.4.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến

Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm

vật rắn được tính như sau:

Trong đó là véc tơ định vị của chất điểm Mk đối

với khối tâm C, tức ; (Hình 3.25).

Chú ý rằng: Hình 3.25

Vậy:

Do đó thu gọn hệ lực quán tính của vật chuyển động

tịnh tiến về khối tâm C ta được một lực đặt tại khối tâm C.

(3.93)

3.4.2. Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc

góc

gia tốc góc Chọn hệ trục tọa độ 0xyz gắn liền vào vật quay, trong đó 0z trùng với trục quay của vật (Hình 3.26). Lấy phần từ Mk’

117

có khối lượng mk và véc tơ định vị (xk, yk, zk). Gia tốc của

chất điểm Nk bằng.

Lực quán tính của chất điểm Mk sẽ là:

Vậy mômen chính của hệ lực quán tính của vật rắn đối với gốc tọa độ O sẽ bằng:

Hình 3.26 Trong hệ trục tọa độ đã chọn, các véc tơ được xác định theo các véc

tơ đơn vị trên các trục tọa độ như sau:

Sau khi thực hiện các phép tính với chú ý rằng:

(3.94) Ta được:

Trong đó:

Véc tơ chính của hệ lực quán tính, như trên đã nêu, bằng:

Sau khi thay:

Chúng ta có:

(3.95)

Như vậy thu gọn hệ thức quán tính của vật quay quanh một trục cố định về một

điểm nằm trên trục quay của vật ta được một lực tính theo công thức (3.98) và một

ngẫu lực được tính theo công thức (3.95).

, 3.4.3. Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng Lấy một chất điểm Mk, khối lượng mk có gia tốc

ta có: (Hình 3.27)

Trong đó:

Hình 3.27 Do đó :

Trong đó:

Vậy:

118

Chú ý rằng:

vì các lực đi qua tâm lấy mômen C.

Trong đó là mômen quán tính của tấm đối với trục thẳng góc với

mặt phẳng tấm và qua khối tâm C.

Vậy:

Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của tấm về khối tâm C sẽ là:

(3.96)

Kết quả này còn đúng cho trường hợp vật rắn chuyển động song song với mặt

119

phẳng đối xứng động lực của nó.

CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Trình bày lực quán tính của chất điểm.

2. Trình bày nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm, cơ hệ.

3. Trình bày phương pháp Tĩnh hình học- động lực.

4. Một vật nặng M có trọng lượng P = 10N treo vào đầu một sợi dây dài 30cm, đầu kia của sợi dây buộc vào điểm O

cố định. Khi chuyển động của vật M vạch thành đường tròn

trong mặt phẳng nằm ngang (M chuyển động tròn đều), lúc đó sợi dây hợp với đường thẳng đứng một góc 600.

Xác định vận tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây. Hình 3.28

5. Một thanh AB đồng chất được gắn bản lề vào một trục

quay thẳng đứng (Hình 3.29). Cho biết OA = a, OB = b. Trục quay đều với vận tốc góc

, chốt bản lề nằm ngang. Bỏ qua ma sát.

Tìm hệ thức giữa góc nghiêng  giữa trục quay và thanh AB và vận tốc góc 

khi chuyển động quay bình ổn, góc  là hằng số.

6. Một tấm hình chữ nhật đồng chất trọng lượng P quay đều quanh trục thẳng đứng với

vận tốc góc  không đổi.

Hãy xác định lực xé tấm theo hướng vuông góc với trục quay trên tiết diện đi

qua trục quay (Hình 3.30).

120

Hình 3.30 Hình 3.29

Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Chương 4

CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

4.1. MỞ ĐẦU

Cơ học vật rắn biến dạng- Sức bền vật liệu là môn khoa học nghiên cứu sự chịu

lực của vật liệu để đề ra phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và độ ổn định của các

công trình hay chi tiết dưới tác dụng của ngoại lực.

Yêu cầu về độ bền là vật liệu không bị phá vỡ, nứt.v.v… trong quá trình chịu lực.

Yêu cầu về độ cứng là biến dạng của các cấu kiện hay chi tiết trong quá trình chịu lực không lớn đến mức độ làm ảnh hưởng đến sự hoạt động bình thường của các

cấu kiện hay chi tiết đó.

Yêu cầu về độ ổn định là các bộ phận của công trình hay chi tiết dưới tác dụng

của ngoại lực vẫn giữ được hình dáng ban đầu.

Khi nghiên cứu tính toán trong Cơ học vật rắn biến dạng ta thường gặp ba dạng

bài toán cơ bản sau:

Bài toán 1: Kiểm tra bền của chi tiết hay cấu kiện trong những trường hợp chịu

lực khác nhau.

Bài toán 2: Xác định kích thước và hình dáng hợp lý của chi tiết và cấu kiện.

Bài toán 3: Xác định tải trọng cho phép có thể tác dụng lên chi tiết hay cấu kiện.

Đối tượng nghiên cứu của Sức bền vật liệu là a) vật rắn thực, tức là vật rắn khi chịu lực thì bị biến

dạng. Ví dụ như thép, đồng, gang, gạch, đá… Đây

là điều khác biệt giữa đối tượng nghiên cứu của Cơ

học vật rắn tuyệt đối và Cơ học vật rắn biến dạng

4.1.1. Các khái niệm về thanh

Các chi tiết công trình được phân loại theo tương quan kích thước hình học trong không gian: hình khối, hình tấm hoặc vỏ, hình thanh. b) Khối: là những vật thể có kích thước theo ba

phương tương đương nhau (hình 4.1a).

Tấm và vỏ: là những vật thể có kích thước theo hai phương rất lớn so với phương thứ ba (hình 4.1b). c)

121

Hình 4.1 Thanh: là những vật thể có kích thước theo một phương rất lớn so với kích thước hai phương kia

(hình 4.1c).

Thanh là vật thể chủ yếu được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu. Ta biểu diễn thanh bởi đường trục của thanh kèm theo hình vẽ mặt cắt ngang.

(Hình 4.2).

Hình 4.2

4.1.2. Nội lực- Ứng suất

Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có một hình

dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại biến

dạng do ngoại lực gây ra. Độ tăng lực liên kết được gọi là nội lực.

P6 P6 P1

C P5 P2 B A C P5

P4 P4 P3 Hình 4.3 Hình 4.4

a) Giả sử có một vật thể đàn hồi chịu lực như 0 z hình 4.3. Để tìm nội lực tại một điểm C nào đó

trong vật thể ta dùng phương pháp mặt cắt như

sau: x

y z b)

Tưởng tượng dùng một mặt cắt (P) đi qua điểm C cắt vật thể thành hai phần A và B. Khảo sát sự cân bằng của một phần, giả sử phần A. Sở dĩ phần A được cân bằng trong toàn vật thể vì nó có hệ nội lực của phần B tác dụng lên A qua mặt cắt (P) cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên

y phần A. Hệ nội lực đó phân bố trên toàn bộ diện tích mặt cắt.

Xung quanh C trên mặt cắt thuộc A lấy

diện tích F. Hợp lực của nội lực tác dụng lên F x

122

Hình 4.5

được biểu diễn bởi (hình 4.4). Lập tỷ số:

(4.1)

𝑝⃗𝑡𝑏 được gọi là ứng suất trung bình tại C. Cho F0 với điều kiện luôn bao

 p

 

p F

quanh điểm C, 𝑝⃗𝑡𝑏 tiến tới giới hạn là 𝑝⃗ , 𝑝⃗ được gọi là ứng sất tại C.

lim   0 F (4.2)

Ứng suất có thứ nguyên: [ Lực/(chiều dài)2] Phân tích thành hai thành phần: thành phần theo phương pháp tuyến với mặt

; thành phần nằm trên mặt cắt gọi là ứng suất

cắt gọi là ứng suất pháp – ký hiệu là tiếp – ký hiệu là (hình 4.5a).

Ta có quan hệ giữa các thành phần ứng suất như sau:

(4.3)

Trên mặt cắt dựng một hệ trục toạ độ 0xyz với trục 0z vuông góc với mặt cắt,

trục 0x và 0y nằm trong mặt cắt. Phân tích ra các thành phần theo phương của các

trục toạ độ là:

Hình theo phương trục 0z gọi là ứng suất pháp. z – là thành phần của

1.4 zx - là thành phần của theo phương trục 0x và zy – là thành phần của

theo phương trục 0y. Hai thành phần zx, zy được gọi là ứng suất tiếp.

Mỗi thành phần ứng suất tiếp đều có hai chỉ số: chỉ số thứ nhất chỉ phương

pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ chiều của ứng suất tiếp. Về trị số ta có quan hệ sau:

z + 2

zx + 2

p2 = 2 (4.4)

Để biểu diễn ứng suất tại một điểm, người ta tách tại điểm đó một phân tố hình

hộp có các mặt song song với các mặt toạ độ. Trên các mặt của phân tố có biểu diễn các thành phần ứng suất tác dụng (hình 4.5b). Thành phần ứng suất pháp sẽ gây ra biến dạng dài của phân tố còn thành phần ứng suất tiếp thì gây ra biến dạng góc của phân tố.

4.1.3. Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang Xét sự cân bằng của phần bên phải, hợp lực của hệ lực đặc trưng cho tác dụng

của phần trái lên phần phải được biểu diễn bằng véctơ đặt tại một điểm K nào đó

(Hình 4.6). Thu gọn hợp lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang, ta sẽ được lực và

mô men (Véctơ chính và mô men chính của hệ nội lực). Nói chung, lực và mô

123

men có phương chiều bất kỳ trong không gian. Để thuận lợi ta phân tích thành 3

phần trên hệ trục toạ độ vuông góc chọn như hình 4.7.

+ Nz, theo phương trục z ( ⊥ mặt cắt ngang) gọi là lực dọc

+ Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. + Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt.

cũng được phân ra ba thành phần :

Hình 4.6

Mômen + Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn . + Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn . + Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn.

Hình 4.7 Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang.

Chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét dưới dạng các

phương trình:

Cũng như ứng suất, nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ trên phần trái sẽ có

cùng trị số, cùng phương nhưng ngược chiều với nội lực tương ứng cũng tại mặt cắt đó

trên phần phải. Như vậy để xác định nội lực tại một mặt cắt ngang bất kỳ, chúng ta có

thể xét phần trái hoặc phần phải, tuỳ theo phần nào đơn giản hơn.

4.1.4. Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang

Nói chung, tại mỗi điểm trên mặt cắt vuông góc với trục z của thanh chịu lực sẽ

có đủ cả ba thành phần ứng suất: .

Lấy vi phân diện tích dF bao quanh điểm C có toạ độ (x,y), trên dF có các thành

. Khi đó các thành phần nội lực được xác định như phần lực là:

(4.5)

124

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Trường hợp tất cả các ngoại lực đều cùng nằm trong một mặt phẳng đi qua trục

z, ví dụ mặt z0y thì các thành phần nội lực cũng phải nằm trong mặt phẳng ấy, như vậy

ta chỉ có 3 thành phần nội lực là Nz, Mx, Qy.

Lực dọc Nz là dương khi nó có chiều đi ra khỏi mặt cắt. Lực cắt Qy là dương khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay thuận chiều kim

đồng hồ góc 900 thì chiều của pháp tuyến ngoài trùng với chiều của Qy.

Mômen uốn Mx là dương khi nó làm căng các thớ phía dưới.

Hình 4.8 4.1.5. Biến dạng

Biến dạng dài: Xét một đoạn thẳng vi phân dz tại điểm C. Sau khi biến dạng,

đoạn vi phân dz này dài ra đoạn dz + dz. Ta gọi dz là độ dãn dài tuyệt đối của đoạn

dz (Hình 4.9). Tỉ số dz/dz gọi là độ dãn dài tỉ đối, ký hiệu z có một chỉ số chỉ

phương biến dạng.

Biến dạng góc (biến dạng trượt): Giả sử trong mặt phẳng Oxy, ta lấy hai đoạn thẳng vi phân dx và dy vuông góc tại C (Hình 4.10). Sau khi biến dạng dx và dy trở

thành dx’ và dy’. Hình chiếu của dx’ và dy’ trên mặt phẳng Oxy không vuông góc với nhau nữa mà hợp với nhau một góc bằng (π/2 – γxy). Ta gọi γxy là biến dạng góc trong mặt phẳng xy tại điểm C. Ký hiệu độ biến dạng góc là γ kèm theo hai chỉ số chỉ mặt

125

phẳng xét biến dạng góc.

Hình 4.9

Hình 4.10

4.1.6. Các giả thiết cơ bản về vật liệu

4.1.6.1. Tính đàn hồi của vật thể

Dưới tác dụng của ngoại lực, vật thể bị biến dạng nghĩa là vật thể không còn

hình dạng ban đầu nữa. Thí nghiệm cho thấy: nếu lực tác dụng chưa vượt quá một giới

hạn nào đó thì khi bỏ lực tác dụng vật thể sẽ trở về hình dạng và kích thước ban đầu.

Tính chất đó được gọi là tính đàn hồi.

Nếu sau khi bỏ lực tác dụng, vật thể có khả năng khôi phục lại hoàn toàn hình

dạng và kích thước ban đầu thì gọi đó là tính đàn hồi tuyệt đối.

Nếu sau khi bỏ lực tác dụng, vật thể chỉ khôi phục lại một phần hình dạng và

kích thước ban đầu thì gọi đó là tính đàn hồi không tuyệt đối.

Vật thể có tính đàn hồi gọi là vật thể đàn hồi. Biến dạng của vật thể tương ứng

với giai đoạn đàn hồi gọi là biến dạng đàn hồi.

Tính đàn hồi của vật thể tuỳ thuộc vào lực tác dụng. Nếu lực tác dụng chưa

vượt qua một giới hạn nào đó thì tính chất biến dạng của vật thể là biến dạng đàn hồi

và có thể xem là đàn hồi tuyệt đối. Nhưng khi lực tác dụng vượt qua giới hạn nào đó,

thì vật thể chỉ đủ sức khôi phục lại một phần vật thể bị biến dạng, còn một phần biến dạng không khôi phục được gọi là biến dạng dư.

4.1.6.2. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu

1. Vật liệu có cấu tạo vật chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng. Liên tục tức là vật liệu được chất đầy trong toàn bộ không gian được giới hạn

bởi vật thể tức là vật thể không có lỗ rỗng.

Đồng nhất tức là tính chất cơ học của vật liệu ở mọi điểm trong vật thể đều

giống nhau.

Đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ - lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau.

2. Biến dạng của vật thể là đàn hồi tuyệt đối và có trị số bé

Biến dạng được coi là bé khi các trị số biến dạng tỷ đối ,  nhỏ thua rất nhiều

so với đơn vị, chúng là các đại lượng vô cùng bé , <<1. Trong biểu thức chứa

biến dạng ta có thể bỏ qua tích của các biến dạng là những vô cùng bé bậc cao.

126

3. Vật liệu tuân theo định luật Hooke

Biến dạng của vật thể tỷ lệ thuận với lực tác động, quan hệ giữa biến dạng và

nội lực là quan hệ bậc nhất thuần nhất. 4.2. KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM

4.2.1. Khái niệm

Một thanh được gọi là kéo hoặc nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của

nó chỉ tồn tại một thành phần lực dọc Nz.

Ví dụ: Khi tác dụng vào các đầu thanh hai lực ngược chiều có phương trùng với

trục thanh và có trị số bằng nhau thì ta sẽ được thanh chịu kéo (hình 4.11a) hoặc chịu

nén đúng tâm (hình 4.11b).

P P P P

a) b) Hình 4.11

Trong thực tế, ta thường gặp những trường hợp chịu kéo hay nén đúng tâm như

trường hợp dây cáp cần trục, trường hợp chịu lực của bu lông khi xiết chặt đai ốc, ống

khói chịu nén do trọng lượng bản thân, thanh truyền (tay biên).

4.2.2. Nội lực và biểu đồ nội lực

Nội lực trên mặt cắt của thanh là lực dọc: Nz Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của lực dọc theo trục của thanh.

(Vẽ theo phương pháp mặt cắt biến thiên)

Quy ước dấu:

- Lực dọc dương khi thanh chịu kéo.

- Lực dọc âm khi thanh chịu nén.

Ví dụ 4.1: Vẽ biểu đồ lực dọc của một thanh chịu lực như (hình 4.12a)

Bài giải: 1. Xác định phản lực tại C: P1 - P2 - Pc = 0

 Pc = P1 - P2 = 20 kN, có chiều như hình vẽ.

2. Vẽ biểu đồ: + Xét đoạn AB: (hình 4.12b) (0 < z < 2a) Chiếu xuống trục z, ta có:



+ Đoạn BC: (hình 4.12c), ( )

Xét cân bằng của phần phải, ta được:

127

Suy ra: - lực nén.

Tương tự ta có thể xét các mặt cắt từ phần trái, chọn gốc toạ độ tại C (hình

4.12d). Kết quả thu được cũng giống như trên. Biểu đồ nội lực như trên hình 4.12e.

Hình 4.12

4.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Để thiết lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo - nén

đúng tâm trước hết ta tiến hành thí nghiệm để quan sát sự biến dạng của thanh.

4.2.3.1. Thí nghiệm

Xét thanh chịu kéo đúng tâm như hình 4.11b giả thiết mặt cắt ngang của thanh

là hình chữ nhật.

Trước khi cho thanh chịu kéo ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường

thẳng song song và vuông góc với trục thanh tạo thành lưới ô vuông như hình 4.13a.

Những đường thẳng song song với trục biểu thị thớ dọc, những đường thẳng vuông

góc với trục biểu thị các mặt cắt ngang. Sau biến dạng ta thấy những đường thẳng đó

vẫn song song và vuông góc với trục thanh, nhưng những ô vuông đều trở thành ô chữ nhật (hình 4.13b).

a) b) Hình 4.13

5.2 4.2.3.2. Các giả thuyết

128

Từ nhận xét đó ta đề ra các giả thuyết sau đây:

- Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông

góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.

- Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên

nhau và cũng không đẩy nhau.

Ngoài hai giả thiết trên, ta vẫn xem vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi

(tuân theo định luật Húc), nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.

4.2.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

Từ thí nghiệm trên, đồng thời dựa vào hai giả thuyết trên ta có thể khẳng định:

trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo hay nén đúng tâm chỉ tồn tại một thành phần

ứng suất pháp z.

Z Z

Hình 4.14

Thật vậy, hãy xét ứng suất trên mặt cắt ngang nào đó. Trên mặt cắt đó, lập một hệ trục toạ độ Oxyz (hình 4.14a). Gọi A là một điểm trên mặt cắt, tách tại A một phân tố hình

hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt toạ độ (hình 4.14b). Theo nhận xét từ thí

nghiệm, mặt cắt ngang vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông của phân tố

không đổi. Mặt khác, các ô vuông trở thành

1 1' 2 ô chữ nhật nên phân tố có biến dạng dài mà

không có biến dạng góc. Từ đó, ta đi đến kết

Nz Nz luận là trên các mặt cắt của phân tố chỉ có

ứng suất pháp. Với giả thuyết các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy nhau cho phép ta kết luận là trên các mặt cắt song song với trục thanh không có ứng suất.

Xác định công thức tính z. 1 1' 2 Ta có:  z.dF = Nz (4.11) Hình 4.15

Để thực hiện tích phân (3.1) ta phải

tìm quy luật biến thiên của z. Ta xét thêm điều kiện biến dạng của thanh.

129

Tưởng tượng tách một đoạn thanh có chiều dài là dz bằng mặt cắt 1-1 và 2-2

như hình 4.15.

Vì mặt cắt ngang sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh cho nên sau khi biến dạng mặt cắt 1'-1' vẫn song song với mặt cắt 2-2 và mặt cắt 1-1. Vậy tất cả các

thớ dọc của đoạn thanh đều có độ dãn dài như nhau là dz và biến dạng dài tương đối z là

hằng số đối với tất cả các điểm trên mặt cắt.

(4.12)

Theo định luật Hooke ta có:

(4.13)

trong đó: E là hằng số tỷ lệ, được gọi là mô đun đàn hồi khi chịu nén hoặc chịu

kéo, nó phụ thuộc vào vật liệu.

Từ (4.12) và (4.13) ta thấy ứng suất pháp phân bố đều trên toàn bộ mặt cắt

Thay vào (3.1) ta được:

(4.14)

trong đó F là diện tích mặt cắt ngang.

4.2.3.4. Biến dạng dọc và ngang

1. Biến dạng dọc

Khi thanh chịu kéo hay nén đúng tâm, chiều dài l của thanh thay đổi một lượng l -

l được gọi là biến dạng dọc tuyệt đối. Từ công thức (4.12) ta có:

. (4.15)

Thay (4.14) vào (4.15) ta được: (4.16)

Từ (4.16) ta có: (4.17)

Trong trường hợp Nz/EF = const trên suố t chiều dài l hoă ̣c có tri ̣ số không đổ i

trong từ ng đoa ̣n thanh thì (4.17) có dạng:

(4.18)

(4.19)

trong đó EF được gọi là độ cứng của thanh khi kéo - nén.

Vậy: biến dạng dọc của một thanh chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm tỷ lệ thuận với

130

lực dọc và chiều dài thanh và tỷ lệ nghịch với độ cứng của thanh.

2. Biến dạng ngang

Theo phương ngang thanh cũng có biến dạng. Gọi x và y là biến dạng dài

tương đối theo hai phương x và y, Poat- xông đã tìm được mối liên hệ giữa x, y và z

như sau:

x = y = -z

trong đó:  là hệ số Poát - xông; nó phụ thuộc vào vật liệu.

Ví dụ: Thép: ; Gang: ;

Nhôm: ; Đồng: .

Ví dụ 4.2. Một cột có sơ đồ chịu lực như hình vẽ 4.16. Tính ứng suất trong cột

và biến dạng dài tuyệt đối của cột. Biết:

Bài giải Ta có:

m 5 , 0

P 1 2000 N N/cm2 - 3000

m 8 , 0

N P N/cm2

N/cm2 +

m 4 , 0

4000N N /cm2

m 5 , 0

P 3 Để xác định biến dạng dài tuyệt -

đối của thanh ta sử dụng công thức (4.18)

cho bốn đoạn thanh rồi cộng các kết quả Hình 4.16 lại.

Biến dạng dọc mang dấu dương nghĩa là thanh bị giãn dài ra.

Ví dụ 4.3. Một thanh thép dài 4m (hình 4.17a) có tiết diện vuông mỗi cạnh a = 20mm chịu hai lực P1 = 80kN ở mút A và P2 = 20kN ở điểm giữa B. Cho biết E = 2.105N/mm2,  = 0,25. Hãy tính chuyển vị của mút thanh và biến dạng tuyệt đối của kích thước ngang tại mặt cắt nguy hiểm.

Bài giải: 1. Lập biểu đồ lực dọc

131

2. Biến dạng dọc (độ giãn) của thanh:

Các mặt cắt nguy hiểm thuộc đoạn BC: ứng suất pháp bằng:

Biến dạng dọc (tương đối) của đoạn

này bằng:

Biến dạng ngang: ex = ey = ez =

0,25.0,00125 = 0,03125%

Biến dạng tuyệt đối của mặt cắt ngang

(lượng co):

Biến dạng ngang rất nhỏ so với biến

dạng dọc.

Hình 4.17 4.2.3.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu

Để nghiên cứu khả năng chịu lực của vật liệu, ta thường tiến hành các thí nghiệm kéo, nén đối với các loại vật liệu khác nhau. Vật liệu được chia làm hai loại:

vật liệu dẻo và vật liệu giòn. Vật liệu dẻo là vật liệu bị phá hoại khi biến dạng khá lớn

như: thép, đồng, nhôm. v.v... Vật liệu giòn là vật liệu bị phá hoại ngay khi biến dạng

còn nhỏ như gang, đá, bê tông.v.v...

Mẫu thí nghiệm kéo nén được gia công theo tiêu chuẩn qui định của nhà nước.

Mẫu thí nghiệm thường có hình dạng như hình 4.18. Chiều dài thí nghiệm là đoạn có

đường kính . Diện tích mặt cắt ngang ban đầu là .

Hình 4.18

1. Kéo vật liệu dẻo P

Tương quan giữa biến dạng l và trị số lực kéo P

được biểu diễn trên hình 3.9, quá trình chịu kéo của vật

liệu được chia thành 3 giai đoạn: Pb P® Pch Ptl

132

a) Giai đoạn đàn hồi: Tương quan giữa P và l

Hình 4.19

là bậc nhất. Lực lớn nhất trong giai đoạn này là lực tỷ lệ Ptl. Tương ứng với Ptl ta có gới hạn

tỷ lệ:

(4.20)

b) Giai đoạn chảy: Lực kéo không tăng nhưng biến dạng tăng liên tục, tương

quan giữa biến dạng và lực là đường nằm ngang. Lực tương ứng với giai đoạn này là Pch và ta có giới hạn chảy là:

(4.21) c) Giai đoạn củng cố: Tương quan giữa

P và l là đường cong. Lực lớn nhất giai đoạn

này là PB và ta có giới hạn bền là:

(4.22)

Nếu ta gọi chiều dài của mẫu sau khi đứt là l1 và diện tích chỗ thắt khi đứt là F1 ta có các

định nghĩa sau: Hình 4.20 Biến dạng dài tỷ đối (tính theo %) là:

Độ thắt tỷ đối (tính theo phần trăm) là:

Từ biểu đồ tương quan giữa P và l ta dễ dàng

suy ra biểu đồ tương quan giữa biến dạng dài tương

đối z = l/ l và ứng suất z = P/Fo như hình 4.20.

Khi kể đến sự thay đổi của tiết diện trong quá trình a)

biến dạng thì biểu đồ tương quan giữa ứng suất và biến dạng có đường nét đứt.

2. Nén vật liệu dẻo Mẫu nén vật liệu dẻo hay vật liệu giòn thường có dạng hình trụ tròn hay hình lập phương b) c) (hình 4.21). Khi nén vật liệu dẻo biểu đồ quan hệ

giữa biến dạng l và trị số lực P được biểu diễn trên Hình 4.21

hình 4.21a. Đối với nén vật liệu dẻo ta chỉ xác định

133

được giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy, còn giới hạn bền thì không xác định được do bề ngang

của mẫu phình ra làm diện tích tiết diện liên tục tăng. Mẫu thí nghiệm có dạng hình trống

(hình 4.21c).

3. Kéo - nén vật liệu giòn Biểu đồ kéo – nén vật liệu giòn có dạng đường cong như hình 4.22. Nhưng

trong một giới hạn đàn hồi nào đó người ta cũng xem quan hệ giữa lực và biến dạng có

dạng bậc nhất.

Đối với vật liệu giòn người ta chỉ xác định được giới hạn bền:

(4.23) P Đường qui ước Với vật liệu giòn thì giới hạn bền khi kéo

PB nhỏ hơn rất nhiều so với giới hạn bền khi nén. B

A Tóm lại, vật liệu dẻo có khả năng chịu kéo Ptl

và nén như nhau, biến dạng khi phá hỏng các vật liệu dẻo lớn hơn vật liệu giòn. Còn vật liệu giòn có Đường cong thực khả năng chịu nén lớn hơn khả năng chịu kéo

nhiều, biến dạng khi phá hỏng rất nhỏ.

4.2.3.6. Ứng suất cho phép- hệ số an toàn

Ta gọi ứng suất nguy hiểm (ký hiệu o) là trị Hình 4.22

số ứng suất mà ứng với nó vật liệu bị phá hỏng. Đối

với vật liệu dẻo thì đối với vật liệu giòn thì .

Nhưng trong chế tạo vật liệu thường không đồng chất hoàn toàn, mặt khác trong

quá trình sử dụng, tải trọng có thể vượt tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết

cấu chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết khi tính toán chưa đúng với sự làm việc

của kết cấu. Vì vậy ta không bao giờ tính toán các bộ phận theo o. Thường ta chọn

một hệ số an toàn để xác định trị số ứng suất cho phép:

(4.24)

4.2.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản

Như vậy muốn đảm bảo sự an toàn cho các cấu kiện khi thanh chịu kéo-nén

đúng tâm thì ứng suất trong thanh phải thoả mãn điều kiện bền:

(4.25)

Từ điều kiện cường độ hay còn gọi là điều kiện bền ta có ba bài toán cơ bản: 1. Kiểm tra bền: giả sử biết tải trọng tác dụng lên thanh, biết giá trị của F và

[]. Trước tiên ta phải xác định nội lực và suy ra ứng suất lớn nhất. Cuối cùng đem so

sánh với ứng suất cho phép theo công thức (4.25).

2. Chọn kích thước mặt cắt. Nếu biết lực dọc và ứng suất cho phép từ (4.25) đễ

134

dàng suy ra diện tích mặt cắt ngang:

(4.26)

3. Xác định tải trọng cho phép: Tương tự, từ (4.25) ta thấy trị số của lực dọc

phải thoả mãn điều kiện:

(4.27)

NAB

Từ trị số của lực dọc ta có thể tìm được giá trị của tải trọng.

u Ví dụ 4.4: Cho kết cấu chịu lực như hình 4.23a.

NBC

 Thanh AB bằng thép, có mặt cắt ngang P hình tròn, đường kính . ứng

suất cho phép của thép

. Hãy tính giá trị lớn nhất của b) a) Biết tải trọng P.

Hình 4.23 Bài giải Dùng mặt cắt 1-1 tách nút B như

hình 4.23b. Chiếu lên phương u vuông góc thanh BC:

(*)

Để tiết kiệm ứng suất trong thanh AB phải bằng ứng suất cho phép []. Lúc đó

lực dọc trong thanh phải bằng:

Từ phương trình (*) ta được:



Ví dụ 3.3: Cũng bài toán trong Ví dụ trên. Nếu thanh BC làm bằng thép như thanh

AB và mặt cắt ngang hình tròn. Hãy chọn đường kính cho thanh BC với giá trị của lực [P].

Giải Trước tiên ta xác định nội lực trong thanh BC. Từ hình 4.23b ta được:

hay

Từ điều kiện bền:

Từ đó suy ra:

4.3. XOẮ N THUẦ N TÚ Y CỦ A THANH THẲ NG 4.3.1. Khái niệm

135

Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một

thành phần nội lực là mômen xoắn Mz.

Ngoại lực gây ra xoắn là những mômen xoắn tập trung, mômen phân bố nằm

trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh. (hình 4.24)

Hình 4.24

Trong kỹ thuật, chúng ta thường gặp ngoại lực tác dụng lên các trục thường

được cho bởi số vòng quay n (vòng/phút) và công suất N (kW) thì mômen xoắn ngoại

lực tác dụng lên trục truyền được quy đổi theo công thức sau:

(4.28)

Nếu công suất được tính bằng mã lực thì mômen xoắn ngoại lực tác dụng lên

trục truyền được quy đổi theo công thức sau:

(4.29)

Các chi tiết hay kết cấu chịu xoắn thường gặp như: trục truyền chuyển động,

các kết cấu không gian, dây lò xo.v.v… 4.3.2. Nô ̣i lực và biểu đồ nô ̣i lực

Nô ̣i lực: Để xác đi ̣nh mô men xoắn nô ̣i lực trên các mă ̣t cắt ngang củ a thanh, ta

dù ng phương pháp mă ̣t cắt. Dấu củ a mô men xoắn nô ̣i lực quy ướ c như sau:

- Nếu nhìn vào mă ̣t cắt ta thấy mô men xoắn nô ̣i lực quay cù ng chiều kim đồ ng

hồ thì nó có dấu dương (>0).

- Nếu mô men xoắ n nô ̣i lư ̣c quay ngươ ̣c chiều kim đồ ng hồ thì nó có dấu

âm (<0).

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của mômen xoắn Mz do ̣c theo

trục của thanh. (Vẽ theo phương pháp mặt cắt biến thiên).

Ví dụ 4.5: Vẽ biểu đồ Mz cho thanh chịu lực như hình 4.25.

Bài giải - Phản lực tại ngàm C:

136

- Chia dầm thành hai đoạn:

và xét sự cân bằng phần trái, + Đoạn AB cắt thanh ở mặt cắt z1

ta tìm được Mz1 =300 Nm.

+ Đoạn BC cắt thanh ở mặt cắt z2 và xét sự cân bằng phần phải ta có:

Mz2= 900 - 1000.z2 Vẽ biểu đồ Mz như trên hình 4.25.

Hình 4.25

4.3.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

4.3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh có mặt cắt tròn

1. Thí nghiệm

z z

a) b)

Hình 4.26

Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn. Trước khi thí nghiệm ta kẻ ở mặt ngoài các đường thẳng song song với trục và các đường tròn vuông góc với trục. Các đường kẻ này tạo thành một lưới ô chữ nhật như hình 4.26a.

Sau khi chịu xoắn những đường thẳng kẻ song song với trục trở thành những

đường xoắn ốc; những đường tròn không bị thay đổi và vẫn vuông góc với trục nhưng lưới ô chữ nhật trở thành lưới ô hình bình hành hình 4.26b.

137

2. Các giả thuyết tính toán Từ thí nghiệm trên, ta có thể đưa ra các giả thuyết sau:

Giả thuyết 1: mặt cắt ngang ban đầu phẳng và thẳng góc với trục của thanh,

khoảng cách giữa các mặt cắt là không thay đổi.

Giả thuyết 2: các bán kính của mặt cắt trước và sau thí nghiệm vẫn thẳng và có

độ dài không đổi.

3. Công thức ứng suất tiếp Trên cơ sở giả thuyết trên, chúng ta có thể xem sự xoắn thanh tròn là kết quả

của biến dạng trượt do các

Mx mặt cắt ngang xoay tương đối dF đối với nhau quanh trục z. Do  d z đó, trong các mặt cắt ngang chỉ phát sinh ứng suất tiếp Mx

vuông góc với bán kính. Các Mx dz ứng suất pháp trên các mặt b) a) cắt ngang và dọc đều bằng

Hình 4.27 không. Vì vậy trạng thái ứng

suất tại mọi điểm của thanh tròn chịu xoắn là trạng thái ứng suất trượt thuần tuý.

Để thiết lập công thức tính ứng suất tiếp, ta tách một đoạn thanh có chiều dài

từ một thanh tròn chịu xoắn. Khi chịu xoắn mặt cắt nào đó sẽ bị xoay đi một góc

so với mặt cắt khác. Góc đó gọi là góc xoắn. Còn góc trượt của thớ nằm cách trục

một khoảng là (hình 4.27a).

Theo định luật Hooke ta có:

(4.30)

trong đó là góc trượt tương đối giữa hai điểm nằm trên thớ dọc cách nhau

một khoảng và cách trục thanh một khoảng là .

(a)

Thay (a) vào (5.3) ta có:

(b)

Lấy một vi phân diện tích dF bao quanh điểm M cách trọng tâm mặt cắt một

khoảng . Nội lực trên diện tích đó là (hình 5.3b). Từ điều kiện cân bằng tĩnh

học, ta có:

(c)

Thay (b) vào (c) ta có:

138

(d)

Vì trên một mặt cắt nên tỷ số do đó công thức (d) được viết lại như sau:

(e)

Suy ra: (4.31)

Đặt: được gọi là góc xoắn tỷ đối.

Tích số G.JP được gọi là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang.

Thay (4.31) vào (b) ta được:

(4.32)

trong đó là khoảng cách từ điểm cần tính ứng

suất đến trọng tâm mặt cắt.

Từ công thức (4.32), ta thấy ứng suất tiếp có quy

luật phân bố như hình 4.28 và ứng suất tiếp đạt giá trị

max tại những điểm nằm trên chu vi của mặt cắt:

(4.33) Hình 4.28

được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang.

Trong trường hợp tiết diện là hình vành khăn thì:

(4.34)

trong đó:

4.3.3.2. Biến dạng và chuyển vị của thanh chịu xoắn

Biến dạng của thanh chịu xoắn được thể hiện bằng góc xoắn tương đối giữa các mặt cắt ngang. Từ công thức (4.31) ta có góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang cách nhau một khoảng dz được tính theo công thức:

(4.35)

Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn l là:

(4.36)

139

trong đó: Mz mômen xoắn là hàm của toạ độ theo trục thanh Mz(z);

mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang.

G là mô đun đàn hồi khi trượt. Nếu Mz, G, JP là hằng số trên suốt chiều dài l của thanh thì (4.36) có dạng:

(rad) (4.37)

Tích số G.JP gọi là độ cứng của thanh chịu xoắn.



Trường hợp thanh có nhiều đoạn và tỷ số không đổi trong từng đoạn chiều dài li

thì công thức (4.36) có dạng: n . l M zi  i  J G .  1 i i iP (4.38)

Ví dụ 4.6: Cho thanh chịu lực, số liệu và kích thước như hình 4.29a. Vẽ biểu đồ

570 Nm

290 Nm

1220 Nm 360 Nm

4 cm

2,8cm

nội lực, tính ứng suất tiếp lớn nhất ở các mặt cắt và góc xoắn tại đầu tự do của thanh. Biết G=8.106 N/cm2. Bài giải Biểu đồ nội lực được vẽ như hình 4.29b.

0,6 m

0,4 m

0,6 m

290Nm

570Nm

+ b)

930Nm

Hình 4.29

140

Ứng suất tiếp lớn nhất trên các đoạn là:

Tính góc xoắn:

4.3.4. Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản

4.3.4.1. Điều kiện cường độ

Để đảm bảo điều kiện bền thì ứng suất tiếp trong thanh không được vượt

quá giá trị ứng suất cho phép:

(4.39)

trong đó: ứng suất tiếp cho phép.

ứng suất cho phép được xác định như sau:

trong đó là ứng suất nguy hiểm được xác định bằng thí nghiệm xoắn phá

hỏng vật liệu.

Ta cũng có thể sử dụng các thuyết bền để xác định . Nếu sử dụng thuyết bền

ứng suất tiếp lớn nhất thì được xác định theo biểu thức sau:

Nếu sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng thì:

4.3.4.2. Ba bài toán cơ bản - Kiểm tra bền theo (4.39);

; - Cho ̣n đi ̣nh kích thước mặt cắt ngang:

- Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên thanh:

Ví dụ 4.7: Cho một trục tròn chịu xoắn bởi các mômen như hình 4.30. Biết:

. Hãy xác định đường kính

trục theo điều kiện bền, cho .

Bài giải: Dùng phương pháp mặt cắt, dễ dàng ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn

141

như hình 4.30b.

. Trên đoạn CD, Mz có giá trị tuyệt đối lớn nhất

Để xác định đường kính trục theo điều kiện bền, ta sử dụng công thức (4.39):

M M M M

a) B C D A

1m 1m 1m

b) Mz 25 50

Hình 4.30

Hay:

Ta chọn .

Ví dụ 4.8 Cho một trục rỗng chịu lực như hình 4.31a. Các puli 1, 2, 3 là bị động có công

suất N1 = 40 mã lực, N2 = 20 mã lực, N3 = 30 mã lực, puli 0 là chủ động.

a)

b)

Hình 4.31

Cho biết n =1000vòng/phút, =d/D =0,6, []=4500N/cm2, G=8.106N/cm2. Xác định D, d. Bài giải: Biểu đồ công suất được vẽ trên hình 4.31b. Mặt cắt nguy hiểm có N0 = 50 mã lực

142



Chọn kích thước theo điều kiện bền (5-11), ta có:



Vậy ta chọn: D=3,64; d=3,64 0,6 = 2,18 (cm).

4.4. UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG

4.4.1. Khái niệm

Một thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực.

Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm.

Ngoại lực gây ra uốn là những lực tập trung, lực phân bố có đường tác dụng

vuông góc với trục dầm hoặc những

mômen tập trung, mômen phân bố nằm

trong mặt phẳng chứa trục dầm.

Mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng

chứa ngoại lực tác dụng (hình 4.32).

Đường tải trọng là giao tuyến của x mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang

của dầm.

Đường tải trọng

z Mặt phẳng quán tính chính trung

tâm là mặt phẳng chứa trục dầm và một

y trục quán tính chính trung tâm.

Mặt phẳng tải trọng trọngträng

Mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng

được tạo bởi trục đối xứng và trục dầm. Hình 4.32 Nếu trục của dầm sau khi bị uốn

là một đường cong nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó gọi là

uốn phẳng.

Trong kỹ thuật, những dầm chịu uốn thường có mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng và mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng, tức là đường tải trọng trùng với trục đối xứng của mặt cắt ngang. Trong những trường hợp này dầm chịu uốn phẳng.

Uốn phẳng được chia làm hai loại: uốn thuần tuý và uốn ngang phẳng. - Uốn thuần tuý phẳng: Trên MCN của dầm chỉ có một thành phần

mômen uốn Mx (My) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

- Uốn ngang phẳng: Trên MCN của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy

và mômen uốn Mx (hoặc Qx và My).

143

4.4.2. Nội lực và biểu đồ nội lực

4.4.2.1. Nội lực

Theo mục 4.1.3 các thành phần nội lực Qy và Mx được quy định về chiều như sau: - Lực cắt Qy được coi là dương nếu pháp tuyến ngoài của mặt cắt ngang quay

một góc 900 thuận chiều kim đồng hồ thì gặp chiều của lực cắt Qy.

- Mô men uốn Mx được coi là dương nếu nó làm thớ dưới trục dầm bị kéo tức là làm

căng các thớ về phía dương trục y, (trong dầm chọn chiều dương y hướng xuống dưới).

4.4.2.2. Biểu đồ nội lực

1. Quan hệ giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố. Xét một đoạn thanh giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Hai mặt cắt cách

q(z) Mx+dMx Qy Mx nhau một khoảng dz chịu tác dụng của tải trọng phân bố qz, qui ước hướng lên trên là chiều dương. Nz+dNz Nz Mặt cắt 1-1 có .

dz Qy+dQy Mặt cắt 2-2 có:

Hình 4.33

Viết phương trình cân bằng cho đoạn

thanh khảo sát ta được:

: đạo hàm bậc nhất của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố theo

chiều dài.

: đạo hàm bậc nhất của mômen uốn bằng lực cắt.

: đạo hàm bậc hai của mômen uốn bằng cường độ lực phân bố theo

chiều dài. Vậy biểu đồ mômen uốn có cực trị tại Qy= 0.

2. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ * Để vẽ nhanh và kiểm tra biểu đồ nội lực cần:

Dựa trên các nhận xét về bước nhảy: - Tại mặt cắt có đặt lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bước nhảy, trị số bước nhảy

bằng trị số lực tập trung.

- Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn có bước nhảy, trị số

bước nhảy bằng trị số mômen tập trung.

144

Dựa trên các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực:

- Trên đoạn thanh không có lực phân bố (q = 0), biểu đồ lực cắt (Qy) là hằng

số, mômen uốn (Mx) là đường bậc nhất.

- Lực phân bố q=const - Qy bậc nhất, Mx là đường bậc hai.

- Trên đoạn thanh có q>0 (hướng lên) thì Qy đồng biến, trên đoạn thanh có q<0

(hướng xuống) thì Qy nghịch biến.

- Trên đoạn thanh có Qy>0 thì Mx đồng biến, trên đoạn thanh có Qy<0 thì Mx

nghịch biến. Tại mặt cắt Qy = 0, Mx đạt cực trị:

+ Cực đại khi q < 0 (có chiều hướng xuống q ↓)

+ Cực tiểu khi q > 0 (có chiều hướng lên trên q↑)

Dựa trên tính đối xứng và tác dụng của tải trọng: - Bề lõm của biểu đồ mômen uốn Mx luôn hứng lấy chiều tác dụng của lực phân bố.

- Trường hợp hệ có kết cấu đối xứng chịu tải trọng đối xứng, biểu đồ mômen

uốn sẽ đối xứng, biểu đồ lực cắt sẽ phản đối xứng qua trục đối xứng của hệ. Nếu kết

cấu đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng thì biểu đồ lực cắt đối xứng và biểu đồ

mômen uốn phản đối xứng.

Nếu biểu đồ trong đoạn đang xét là hằng số thì chỉ cần một giá trị ở điểm đầu

hoặc điểm cuối của đoạn; nếu biểu đồ là đường bậc nhất thì cần hai giá trị ở hai đầu

đoạn; nếu biểu đồ là đường cong thì cần ba giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và tại nơi có

cực trị; nếu không có cực trị thì cần biết chiều lồi lõm của biểu đồ theo dấu đạo hàm bậc hai.

Ví dụ 4.9: Vẽ biểu đồ mômen uốn M và lực cắt Q của thanh chịu lực như hình vẽ 4.34a

theo phương pháp vẽ nhanh.

Bài giải: Xác định các phản lực liên kết:

MA=0 VB= 4qa

MB=0 VA= - qa

Như vậy VA có chiều hướng xuống. Ta có các nhận xét và trình tự vẽ biểu đồ như sau: * Với biểu đồ lực cắt Q: - Tại mặt cắt A có lực tập trung VA = qa hướng xuống nên biểu đồ lực cắt có

bước nhảy xuống. Giá trị bước nhảy bằng qa.

- Trên đoạn AB có lực phân bố đều hướng xuống nên biểu đồ lực cắt là đường

bậc nhất xiên xuống. Lượng biến đổi lực cắt trên đoạn AB bằng hợp lực của lực phân bố trên đoạn đó là 2qa. Như vậy giá trị lực cắt tại mặt cắt bên trái B sẽ là 3qa.

145

- Tại mặt cắt B có lực tập trung VB = 4qa hướng lên nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy lên. Giá trị bước nhảy bằng 4qa. Như vậy giá trị lực cắt tại mặt cắt bên phải B sẽ

là qa.

- Trên đoạn BC không có lực phân bố đều nên biểu đồ lực cắt là đường

nằm ngang.

* Với biểu đồ mômen uốn M:

- Trên đoạn AB có lực phân bố đều hướng xuống nên biểu đồ mômen uốn là

đường cong bậc 2, chiều lõm hướng xuống dưới. Giá trị mômen uốn tại mặt cắt B là:

mB = -qa.2a - q2a.a = -4qa2 - Trên đoạn BC, do biểu đồ lực cắt là hằng số nên biểu đồ mômen uốn là

bậc nhất.

- Tại mặt cắt C có mômen tập trung m0 quay thuận nên biểu đồ mômen có bước

nhảy xuống bằng giá trị mômen tập trung là 2qa2

Từ đó ta vẽ được các biểu đồ lực cắt Q và mômen uốn M như hình 4.34b,c.

Hình 4.34

4.4.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang

4.4.3.1. Uốn thuần tuý

1. Khái niệm về uốn thuần tuý Một dầm chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Ví dụ: trên hình 4.35a biểu diễn dầm công-xôn chịu tác dụng của mômen uốn Mo ở đầu tự do, trên mặt cắt bất kỳ nào cũng có: Qy = 0, Mx = const. Vậy dầm chịu uốn thuần tuý phẳng.

Tương tự, hình 4.35b biểu diễn dầm chịu uốn, mọi mặt cắt trong đoạn CD đều

có: Qy = 0, Mx = const. Vậy đoạn dầm CD chịu uốn thuần tuý.

146

2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang a. Thí nghiệm

Mo Lấy dầm có mặt cắt hình chữ nhật, trước

khi làm thí nghiệm kẻ lên bề mặt của dầm những đường thẳng song song với trục biểu thị các thớ

dọc và những đường vuông góc với trục biểu thị

các mặt cắt ngang của dầm. Các đường kẻ này Hình 4.35a

tạo thành một lưới ô vuông như hình 4.36a. 10.2a P P Sau đó tác dụng lên hai đầu dầm mômen

uốn, ta nhận thấy: các đường kẻ song song với

trục đều trở thành những đường cong đồng dạng

a

P P

P với trục dầm. Các đường kẻ vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và vuông góc với trục dầm (hình

4.36b). Như vậy các góc vuông vẽ trước khi

P biến dạng thì sau biến dạng vẫn là vuông. P.a

b. Các giả thuyết Qua thí nghiệm trên, nếu giả thiết biến

dạng bên trong xảy ra cũng như bên ngoài bề Hình 4.35b

mặt thì ta có thể đề ra các giả thuyết sau: 10.2b

Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông

góc với trục dầm thì sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.

Giả thuyết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng các thớ dọc không chèn ép

lên nhau và cũng không đẩy nhau.

Ngoài các giả thuyết trên, ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu làm việc trong

giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke.

a) c)

b) d)

Hình 4.36

c. Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý Quan sát biến dạng của dầm chịu uốn ta thấy: các thớ dọc ở phía trên trục dầm bị

co lại, các thớ dọc ở phía dưới trục dầm bị giãn dài ra. Như vậy, nếu đi từ thớ bị co đến

147

thớ bị giãn sẽ có thớ không co cũng không bị giãn tức là không bị biến dạng. Thớ đó

được gọi là thớ trung hoà. Các thớ trung hoà tạo thành lớp trung hoà. Giao tuyến của lớp

trung hoà với mặt cắt ngang gọi là trục trung hoà. Trục trung hoà chia mặt cắt thành hai miền: miền gồm các thớ bị co gọi là miền chịu nén và miền gồm những thớ bị giãn gọi

là miền chịu kéo.

Vì các thớ trên bị nén nên bề rộng mặt cắt ở trên sẽ phình rộng ra, các thớ dưới

bị kéo nên bề rộng mặt cắt ở phía dưới bị co lại. Do đó, mặt cắt có dạng như hình 6.3d và đường trung hoà là một đường cong. Nhưng vì biến dạng là bé, nên có thể coi mặt

cắt sau biến dạng vẫn giữ nguyên hình dạng ban đầu. Vì vậy đường trung hoà sau biến

dạng vẫn thẳng. Khi đó, biến dạng của dầm chịu uốn chỉ là sự quay của các mặt cắt

xung quanh trục trung hoà.

d. Ứng suất Xét mặt cắt ngang 1-1, trục ox là đường trung hoà; trục Oy là trục đối xứng,

trục oz vuông góc với mặt cắt ngang (hình 4.37).

Tại điểm B trên mặt cắt ngang ta tách một phân tố hình hộp vô cùng nhỏ mà các

cạnh của nó song song với các trục toạ độ đã chọn. Vì trước và sau khi biến dạng các

góc vuông vẫn bảo toàn nên trên các mặt của phân tố không có ứng suất tiếp. Mặt khác

theo giả thuyết về các thớ dọc thì trên mặt cắt song song với trục z sẽ không có ứng

suất pháp x = y = 0.

x z z

B z B

y dF

Hình 4.37

Vậy trên mặt cắt ngang của dầm chỉ có ứng suất pháp z tác dụng. Trạng thái

ứng suất tại B do đó là trạng thái ứng suất đơn.

Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho phân tố đó là:

(a) z = z. E

Xét một đoạn dầm dz được cắt bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Sau khi biến dạng hai

mặt cắt này tạo với nhau một góc d (hình 4.38).

148

Nếu gọi  là bán kính cong của thớ trung hoà. Ta có:

Như vậy biến dạng cuả thớ m-n cách thớ trung hoà một khoảng cách y sẽ là:

(b)

Thay (b) vào (a) ta được:

(c)

Đường trung hòa



2 1 x y O O' O O' B A 1 2

y dz

Hình 4.38

Theo công thức (c) thì chưa xác định được z vì y,  là những giá trị chưa biết

(do vị trí đường trung hoà chưa xác định).

Xét một phân tố diện tích dF bao quanh B. Phân tố nội lực tác dụng trên đó là

zdF (hình 4.37). Nếu qui về gốc toạ độ O của hệ trục toạ độ trên mặt cắt ngang đang

xét thì ta có các thành phần nội lực.

(d)

Trong trường hợp này, dầm chịu uốn thuần tuý phẳng nên:

(e)

(f)

Thay (c) vào (d) và (e) ta có:

149

Vậy đường trung hoà ox phải trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang. Do đó hệ trục oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Đối với hệ trục này ta có Jxy = 0 và như vậy điều kiện (f) luôn luôn thoả mãn:

(g)

trong đó: Jx là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà. Từ (g) ta có:

(4.40)

EJx được gọi là độ cứng của dầm chịu uốn vì EJx càng lớn thì dầm bị uốn cong

càng ít.

Thay (1) vào (c) ta có:

(4.41)

trong đó: Mx - mômen uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hoà và được

coi là dương nếu làm căng các thớ về phía dương của trục y,

Jx - mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà, y - tung độ của điểm cần tính ứng suất trên trục trung hoà. Quy ước dấu: ứng suất pháp được mang dấu cộng là ứng suất kéo và mang dấu

trừ là ứng suất nén.

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta có thể viết dưới dạng:

(4.42)

trong đó lấy dấu cộng nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ bị kéo và lấy

dấu trừ nếu điểm đang xét nằm trong vùng các thớ bị nén.

e. Biểu đồ ứng suất pháp Theo (4.41) những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục trung

hoà (tức là có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp. Do đó ta chỉ cần vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều cao của mặt cắt ngang. Mặt khác từ (4.41) ta thấy biểu đồ

ứng suất pháp là một đường thẳng qua gốc toạ độ (hình 4.39). Các ứng suất pháp sẽ có giá

trị cực trị tại các điểm cách xa đường trung hoà nhất.

Các ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất ở tại các điểm mép trên cùng và dưới

cùng của mặt cắt sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

(4.43)

150

trong đó: Wx - mômen chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà:

- Wx có thứ nguyên là (chiều dài)3.

min min a) b)

x x

max y max y

Hình 4.39

và

Nếu gọi là các khoảng cách từ thớ chịu kéo và chịu nén ở mép

mặt cắt đến trục trung hoà thì các ứng suất cực trị được tính như sau:

(4.44)

, Với:

Theo (4.44) rõ ràng mômen chống uốn càng lớn thì dầm chịu được mômen uốn

càng lớn.

Mômen chống uốn của một số hình đơn giản:

- Hình chữ nhật:

- Hình tròn:

- Hình vành khăn:

trong đó:

4.4.3.2. Uốn ngang phẳng

151

1. Định nghĩa Một dầm chịu uốn ngang phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành

phần nội lực là lực cắt Qy và mômen uốn Mx (hoặc Qx và My) nằm trong mặt phẳng

quán tính chính trung tâm.

Ví dụ: Xét một dầm chịu lực như hình 4.40. Từ các biểu đồ nội lực ta thấy trên mọi mặt cắt của dầm đều tồn tại cả hai thành phần lực cắt Qy và Mx. Nên dầm đó chịu uốn phẳng.

P l/3 l

A B C

4P/3 P/3

P/3 Pl/3

Hình 4.40

2. Ứng suất pháp của dầm chịu uốn ngang phẳng

a) b)

Hình 4.41

Vì trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn phẳng có hai thành phần nội lực là lực cắt và mômen uốn đó là hợp lực của các thành phần ứng suất tiếp và ứng suất pháp. Do có thành phần ứng suất tiếp và thành phần ứng suất này phân bố không đều theo chiều cao của mặt cắt nên sau biến dạng các mặt cắt không còn phẳng nữa mà bị vênh đi (hình 4.41a). Nếu tại một điểm B bất kỳ trên mặt cắt ta tách một phân tố bằng các mặt cắt song song với các mặt toạ độ thì ta nhận thấy phân tố vừa có biến dạng dài vừa có biến dạng góc (hình 4.41b).

Trong phần uốn thuần tuý, ta sử dụng giả thuyết mặt cắt ngang phẳng và đã xây

152

dựng được công thức tính ứng suất pháp:

Trong uốn ngang phẳng, chúng ta vẫn sử dụng công thức đó để tính ứng suất pháp

trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng mặc dù mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Như vậy, kết quả sẽ mắc phải một sai số. Tuy nhiên, lý thuyết đàn hồi đã chứng minh

được sai số này là nhỏ và có thể bỏ qua được.

3. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang

Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang có thể phân tích ra hai thành phần và

(hình 4.42a). Do mặt ngoài của dầm không chịu lực theo phương z và theo định luật

đối ứng của ứng suất tiếp nên . Điều đó có nghĩa là ứng suất tiếp tại một điểm

bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang chỉ có một thành phần có phương song

phân bố đều theo bề rộng của mặt cắt, song với Qy. Với giả thiết ứng suất tiếp

ta có thể thiết lập công thức tính như sau: tách từ dầm ra một phân tố có chiều dài

dz. Dùng các mặt cắt song song với trục z và vuông góc với trục y, chia phân tố ra làm

hai phần. Khảo sát phần dưới (hình 4.42b), ta thấy trên các mặt của phần phân tố khảo

Mx+dMx

Qy+dQy

FC dz

sát có các thành phần ứng suất .

Hình 4.42b Hình 4.42a

Từ điều kiện cân bằng của phần phân tố khảo sát, ta có phương trình:

(4.45)

trong đó: Fc là diện tích phần mặt cắt ngang được giữ lại ở phía dưới bc là bề rộng của phần diện tích đó tại điểm cách trục trung hoà

khoảng cách là y.

Mặt khác, ta có:

153

(4.46)

Thay (4.46) vào (4.45) ta có:

(4.47)

trong đó: là mômen tĩnh đối với trục x của phần diện tích Fc của mặt

cắt ngang được cắt bởi mặt phẳng đi qua bc.

Công thức (4.47) chính là công thức Giu-rap-xki.

4.4.4. Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản

4.4.4.1. Uốn thuần tuý

- Đối với dầm bằng vật liệu dẻo:

Vì ứng suất cho phép khi kéo và nén bằng nhau nên chỉ kiểm

tra với ứng suất có giá trị tuyệt đối lớn nhất:

(4.48)

- Đối với vật liệu giòn:

Ứng suất cho phép khi kéo và khi nén là khác nhau nên phải kiểm tra hai

điều kiện:

(4.49)

Từ điều kiện bền ta có ba bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho

phép và chọn kích thước mặt cắt.

Ví dụ 4.10: Một dầm bằng vật liệu có ứng suất pháp cho phép khi kéo

và nén , chịu lực như trên hình 4.43a.

Kiểm tra độ bền của dầm.

Bài giải: Trình tự các bước thực hiện

- Vẽ biểu đồ mômen uốn, cho trị số max Mx = 4,5kN.m

16

Hình 4.43

- Tìm các đặc trưng cần thiết của MCN (hình 4.43c), ta được các trị số:

154

;

- Tính các giá trị ;

Vậy dầm đủ bền.

4.4.4.2.Uốn ngang phẳng

Trong trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý, kiểm tra bền ta chỉ cần chú ý đến mặt cắt có mômen uốn Mx lớn nhất. Trên mặt cắt đó, ta chỉ cần kiểm tra ở những điểm nằm xa đường trung hoà nhất.

Nhưng trong uốn phẳng, người ta phải tiến hành kiểm tra ở các vị trí mặt cắt có:

Mômen uốn lớn nhất, lực cắt lớn nhất và mặt cắt có cả mômen uốn và lực cắt cùng

lớn. Trên mỗi mặt cắt, ta cần chú ý phân biệt trạng thái ứng suất tại các điểm đó. Nhìn chung ta cần phải xét đến ba trường hợp sau:

Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: Tại các điểm nằm ở mép trên cùng và dưới cùng

của mặt cắt (tại A hay D hình 4.44) có =0 nên phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện

bền:

- Dầm làm bằng vật liệu dẻo:

(4.50) D

- Dầm làm bằng vật liệu dòn:

Qy Mx (4.51) x B

max,min trị số ứng suất kéo, nén z

lớn nhất trên toàn dầm.

C A y

Phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý: tại các điểm nằm trên trục trung hoà

có nên phân tố ở trạng thái trượt Hình 4.44

thuần tuý. Điều kiện bền:

(4.52)

Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: Đối với những điểm trên mặt cắt tồn tại

cả hai ứng suất pháp và ứng suất tiếp , nên tại đó trạng thái ứng suất của một

điểm là trạng thái ứng suất phẳng. Khi đó ta đưa về ứng suất tương đương tđ, điều

kiện bền là:

(4.53) max tđ ≤ [𝜎]

Từ điều kiện bền ta có ba bài toán cơ bản: kiểm tra bền, xác định tải trọng cho

phép và chọn kích thước mặt cắt.

155

Ví dụ 4.11:

Cho dầm chịu lực như trên hình 4.45. Chọn đường kính của dầm cho hai

trường hợp: dầm có MCN không đổi, dầm có ba bậc như hình 4.46. Biết l=80 cm,

P=5kN, , .

+

Hình 4.45 Hình 4.46

Bài giải - Dầm có MCN không đổi. Theo điều kiện bền, ta có:

trong đó:



- Dầm ba bậc (hình 4.45). Trị số d1, d2 được xác định từ công thức (4.50).

Đối với đoạn giữa:

Đối với đoạn hai đầu:

Từ điều kiện bền, ta có:

Với kích thước đã chọn dầm làm việc đủ bền.

4.5. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Thanh chịu lực đơn giản: Những trường hợp chịu lực của thanh khi kéo (nén), uốn phẳng, xoắn đã xét trong học phần Cơ học 1 được gọi là những trường hợp chịu

lực đơn giản. Lúc này, trên tiết diện của thanh chỉ tồn tại một loại ứng lực độc lập: hoặc lực dọc, hoặc mô men uốn đi kèm theo lực cắt, hoặc mô men xoắn.

Thanh chịu lực phức tạp: Tổ hợp những trường hợp chịu lực đơn giản được

156

gọi là trường hợp chịu lực phức tạp.

Tổng quát nhất trên tiết diện của thanh có đủ sáu thành phần ứng lực như hình

4.47 bao gồm:

- Lực dọc: Nz - Mô men uốn: Mx , My - Lực cắt: Qx, Qy - Mô men xoắn: Mz

Hình 4.47

Ứng suất trên tiết diện Theo nguyên lý cộng tác dụng thì ứng suất và biến dạng của thanh khi chịu lực

phức tạp sẽ bằng tổng ứng suất hoặc tổng biến dạng do từng lực gây ra riêng rẽ.

Ứng suất pháp trên tiết diện chỉ do lực dọc, mô men uốn gây ra và bằng:

Các ứng suất thành phần có cùng phương nên ta viết tổng theo trị số đại số:

(4.54)

Ứng suất tiếp trên tiết diện chỉ do lực cắt, mô men xoắn gây ra và bằng:

(4.55)

Các ứng suất tiếp thành phần có phương khác nhau nên không chuyển được

biểu thức sang phép cộng đại số.

Thành phần có phương chiều phù hợp với lực cắt Qy và có trị số:

Thành phần có phương chiều phù hợp với lực cắt Qx và có trị số:

157

Thông thường, đối với các dầm dài khi tính ứng suất và biến dạng có thể bỏ qua

ảnh hưởng của lực cắt so với ảnh hưởng của mô men uốn do đó trong các phần tính

toán tiếp theo, ta không xét đến ảnh hưởng của ứng suất tiếp

Thành phần có trị số và phương chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện, với

tiết diện tròn thì ứng suất tiếp có phương vuông góc với bán kính, có chiều phù hợp với mô men xoắn nội lực Mz và có trị số:

(4.56)

4.5.1. Thanh chịu uốn xiên

4.5.1.1. Định nghĩa

Thanh chịu uốn xiên (uốn không gian) khi thanh chịu uốn trong cả hai mặt

phẳng quán tính chính. Ứng lực trên tiết diện, khi bỏ qua các lực cắt sẽ bao gồm mô men uốn Mx và mô men uốn My như hình vẽ 4.48a.

Gọi là véc tơ tổng của các véc tơ và , nằm trong mặt phẳng V,

chứa trục z, nhưng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào.

Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng cắt ngang gọi là đường tải trọng. Trong

uốn xiên đường tải trọng đi qua trọng tâm nhưng không trùng với một trục quán tính

trung tâm nào (hình 4.48b ).

4.5.1.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên mặt cắt

ngang (MCN) có toạ độ x, y được tính theo công thức:

(4.57)

Trong đó Mx, My coi là dương khi làm căng phần chiều dương của trục y, trục x.

Hình 4.48

Trong kĩ thuật người ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của Mx,

My và toạ độ x, y:

158

(4.58)

Ta sẽ chọn dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” trước mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn

Mx và My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

Nếu gọi  là góc của đường tải trọng hợp với trục x (hình 4.48b):

Góc  được gọi là dương khi quay từ chiều dương trục x đến đường tải trọng

theo chiều kim đồng hồ.

4.5.1.3. Vị trí đường trung hoà

Từ (4.58) ta có phương trình đường trung hoà:

(4.59)

Hay: (4.60)

Trong đó:

Suy ra: (4.61)

Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang và

không vuông góc với đường tải trọng như trong uốn phẳng.

Từ biểu thức (4.61) ta nhận thấy đối với các mặt cắt ngang có vô số hệ trục quán

tính chính trung tâm như hình tròn, các đa giác đều cạnh sẽ có Ix= Iy nên tgtg = -1 thì

không xảy ra hiện tượng uốn xiên phẳng. Vì đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán

tính chính trung tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với một trục quán tính chính trung

tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng. Bài toán khi đó chỉ là uốn phẳng.

4.5.1.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Hình 4.49

Theo (4.58) mặt ứng suất là mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên

159

đường thẳng song song với đường trung hoà. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong hệ toạ độ như hình 4.49. Trục tung là đường trung

hoà, trục hoành vuông góc với đường trung hoà.

4.5.1.5. Điều kiện bền

Điểm nguy hiểm là các điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc nén.

Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền có dạng:

- Đối với vật liệu dẻo: (4.62)

- Đối với vật liệu giòn:

(4.63)

Trong đó:

; (4.64)

Nếu mặt cắt ngang của thanh là những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ

nhật thì:

;

Do đó: ;

(4.65)

Trong đó : ; (4.66)

Trong trường hợp này điều kiện bền sẽ là:

- Đối với vật liệu dẻo: (4.67)

- Đối với vật liệu giòn: (4.68)

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản sau: - Bài toán kiểm tra bền - Bài toán tìm tải trọng cho phép. - Bài toán chọn kích thước MCN

Ví dụ 4.12 Một dầm công xon bằng gỗ, dài 2m, mặt cắt ngang hình chữ nhật (12  20) cm2, ở đầu tự do chịu lực tập trung P = 2,4 kN. Lực P đặt vuông góc với trục dầm và xiên góc  = 30o với trục Oy (hình 4.50a).

Xác định vị trí đường tải trọng và ứng suất pháp ở các điểm góc A, B, C, D trên

160

mặt cắt ngang ở ngàm.

Pyl

12cm

20cm

Pxl

O Px

Hình 4.50

Bài giải

Phân tích lực P làm hai thành phần theo các trục Ox và Oy

Biểu đồ mô men uốn Mx và My được biểu diễn trên hình 6.5b,c. Vị trí đường tải trọng được xác định theo công thức:

tg =

Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trục x và y

Ta có ứng suất tại điểm A:

Tương tự, chúng ta tính được ứng suất tại các điểm B, C, D tương ứng là:

4.5.2. Uốn và kéo (nén) đồng thời 4.5.2.1. Khái niệm

Thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) khi ứng lực trên tiết diện gồm lực dọc Nz,

161

mô men uốn Mx, My hoặc lực dọc và một trong hai mô men uốn này (hình vẽ 4.51).

Hoặc ví dụ đối với ống khói, trọng lượng

cột gây nén còn tải trọng gió q gây uốn (hình 4.52a). Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của

dây treo không vuông góc với trục thanh thì lúc

đó phân tích lực căng dây thành hai thành phần: thành phần F1 gây uốn, thành phần F2 gây nén (hình 4.52b).

4.5.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Hình 4.51 Ứng suất pháp tại một điểm trên MCN

được xác định theo công thức:

(4.69)

hoặc (4.70)

qbt qgiã

a) b)

Hình 4.52

Trong đó: A - diện tích MCN;

ix, iy - bán kính quán tính chính:

;

Ix, Iy- mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Công thức kỹ thuật có dạng:

(4.71)

162

Trong công thức trên các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu “+” hoặc

“-” trước mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc là kéo hay nén và các mômen uốn Mx, My gây

ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.

4.5.2.3. Vị trí đường trung hoà

Từ phương trình (4.71) ta có phương trình đường trung hoà là:

(4.72)

hay: (4.73)

Đường trung hoà trong trường hợp thanh chịu kéo (nén) đồng thời uốn là một

đường thẳng không đi qua trọng tâm của MCN như trong uốn xiên.

4.5.2.4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN

Tương tự như trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất là phẳng, nên ứng suất pháp

phân bố đều trên đường thẳng song song với đường trung hoà. Biểu đồ phân bố ứng

suất được vẽ như hình 4.53.

Hình 4.53

4.5.2.5. Điều kiện bền

Điểm nguy hiểm là các điểm ở chu vi, xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn. Vậy

điều kiện bền là :

- Đối với vật liệu dẻo: (4.74)

- Đối với vật liệu giòn: ; (4.75)

trong đó:

(4.76)

(4.77)

163

xk, yk : là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất.

xn, yn : là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất.

 Nếu MCN của thanh có dạng như trên hình 4.56 thì lí luận tương tự như

trong uốn xiên ta có:

(4.78)

(4.79)

Ví dụ 4.13

Cho một thanh chịu lực như hình 4.54a. Tìm giá trị ứng suất max và min, vị trí

đường trung hoà và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm.

Cho: P1 = 160 kN; P2 = 4kN; P0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm.

Bài giải Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngàm. Vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

pháp được vẽ trên hình 4.54b.

Hình 4.54

Lực dọc:

Mômen uốn:

164

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và bé nhất là:

Vị trí đường trung hoà: đường trung hoà cắt trục x và trục y tại các điểm:

;

trong đó: ;

; ; .

Khi thay bằng số ta được: x0 = 3,53 cm; y0 = 5,07 cm

4.5.3. Kéo (nén) lệch tâm

4.5.3.1. Định nghĩa

Thanh chịu kéo lệch tâm khi ngoại lực tác dụng là các lực song song như không

trùng với trục thanh. Đây là trường hợp chịu lực thường gặp ở những cột, thanh chịu

kéo nén vì hầu như ta không thể đặt lực đúng trọng tâm tiết diện.

Hình 4.55 Nếu trên tiết diện có lực F đặt lệch tâm tại điểm C(xC, yC) như trên hình 4.55,

bằng cách chuyển lực về trọng tâm tiết diện ta nhận được:

Lực dọc: (4.80) Nz = F

Các mô men uốn: (4.81)

(4.82) Mx = F.yC My = F.xC

Trong các biểu thức trên, F > 0 khi là lực kéo, xC, yC lấy dấu theo hệ toạ độ đã chọn. Nếu trên tiết diện có nhiều lực Fi đặt lệch tâm tại điểm tương ứng Ci (xCi, yCi),

thì giá trị lực F và điểm đặt C được tính theo kết quả của hợp lực

(4.83)

(4.84)

4.5.3.2. Biểu thức ứng suất trên tiết diện

Với các ứng lực theo (4.80), (4.81) ứng suất pháp trên tiết diện sẽ là:

165

(4.85)

Suy ra:

Trong đó rx, ry là các bán kính quán tính của tiết diện:

;

* Với tiết diện hình chữ nhật b  h:

;

* Với tiết diện hình tròn rỗng có đường kính ngoài D và đường kính trong d:

Trong đó ký hiệu:

Bán kính quán tính của tiết diện các thép hình được tìm ở bảng tra theo số

hiệu thép.

Qua biểu thức tính ứng suất (4.85), ta có những nhận xét sau:

+ Bài toán kéo (nén) lệch tâm có thể tính theo trường hợp kéo (nén) đúng tâm

và uốn đồng thời và ngược lại bài toán kéo (nén) đúng tâm và uốn đồng thời cũng có

thể tính theo bài toán kéo (nén) lệch tâm. Trong trường hợp sau, lực và điểm đặt sẽ

được tính theo công thức:

; ;

(4.86)

+ Định luật tác dụng tương hỗ: Ứng suất pháp tại điểm A do lực F đặt tại điểm

C gây ra cũng bằng ứng suất pháp tại điểm C do lực F đặt tại điểm A gây ra.

+ Ứng suất pháp tại trọng tâm tiết diện do lực nén lệch tâm F gây ra không phụ

thuộc vào vị trí điểm đặt lực và luôn bằng N/A.

4.5.3.3. Đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm

Phương trình đường trung hoà tìm theo điều kiện  = 0; ta có:

Nếu đặt: (4.87)

Phương trình đường trung hoà sẽ có dạng:

(4.88)

166

Hai thông số a và b là hoành độ và tung độ của giao điểm của đường trung hoà

với trục hoành và với trục tung như chỉ trên hình 4.56

Hình 4.56

Từ biểu thức (4.87) của a và b ta dễ dàng nhận thấy, ngoài những tính chất

chung, đường trung hoà khi kéo (nén) lệch tâm còn có đặc điểm riêng sau:

1- Đường trung hoà không phụ thuộc giá trị của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào

vị trí đặt tải trọng, đường trng hoà và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong góc phần tư

đối đỉnh của hệ trục toạ độ.

2- Điểm đặt lực nằm trên trục x thì đường trung hoà nằm song song trục y và

ngược lại.

3- Khi điểm đặt di chuyển theo một đường thẳng thì đường trung hoà sẽ xoay

quanh một điểm trên tiết diện.

Ví dụ 4.14 Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục

y. Ứng suất tại điểm A bằng 200 N/cm2, tại B bằng không.

Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng

suất lớn nhất trên cột.

Bài giải

Ta có: PD  PO và Mx = -P.yD

Khi đó: (1)

Hình 4.57 (2)

Từ (2) 

Từ (1) 

Ứng suất nén lớn nhất ở cột:

167

4.5.4. Xoắn và uốn đồng thời

4.5.1.1. Định nghĩa A

u Mu Thanh chịu uốn đồng thời xoắn là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có các thành

phần nội lực là mô men uốn và mô men xoắn . z Mz Bài toán này thường gặp trong các chi tiết máy.

B y Ví dụ như một trục truyền lực không phải chỉ chịu tác dụng mô men xoắn mà còn chịu tác dụng của mô men Hình 4.58 uốn do trọng lượng bản thân trục và trọng lượng của các

chi tiết lắp trên trục.

4.5.4.2. Biểu thức ứng suất trên tiết diện thanh có mặt cắt tròn Hợp hai mô men uốn Mx và My ta được mô men uốn Mu:

Mô men uốn Mu cũng nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm nên hai

điểm có ứng suất pháp là giao điểm của mặt phẳng tải trọng với chu vi mặt cắt

ngang (hình 4.61). Trị số của các ứng suất này:

(4.89)

trong đó Wu là mô men chống uốn của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà u.

Vì mặt cắt ngang là hình tròn nên:

Ứng suất tiếp lớn nhất do mô men xoắn gây ra ở các điểm thuộc chu vi của mặt

cắt. Nó được tính theo công thức:

(4.90)

Vậy tại các điểm A và B ngoài ứng suất pháp cực trị còn có ứng suất tiếp lớn nhất.

Do đó, trạng thái ứng suất tại các điểm này là trạng thái ứng suất phẳng (hình 4.59).

B A

Hình 4.59

4.5.4.3. Điều kiện bền

168

Điều kiện bền của các phân tố đó được viết theo các thuyết bền như sau:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

Vì mặt cắt ngang là hình tròn nên nên:

(4.91)

Hay viết gọn lại: (4.92)

Trong đó:

Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất:

Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

(4.93)

Hay viết gọn lại: (4.94)

Trong đó:

Nếu vật liệu giòn, ta sử dụng thuyết bền Mo. Khi đó điều kiện bền là:

Thay (4.89) và (4.90) vào ta có:

Trong đó:

là ứng suất nguy hiểm khi kéo và ứng suất nguy hiểm khi nén.

Ví dụ 4.15: Một trục truyền bằng thép chịu lực như trên hình 4.60. Trọng lượng Puli G = 3kN, công suất và số vòng quay của môtơ là: W = 50kW,

n = 500vg/ph.

Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng biết

169

Bài giải:

Hình 4.60

Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 4.60a, trong đó:

Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn:



Ứng suất tương đương tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:

Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó:

; ;

170

Các biểu đồ nội lực được biểu diễn trên các hình 4.60b, c, d. Thay số vào ta được:

Vậy trục thoả mãn điều kiện bền.

4.5.5. Thanh chịu lực tổng quát

Một thanh gọi là chịu lực tổng quát khi trên mặt cắt ngang của nó có đầy đủ 6

thành phần nội lực. Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp trên mặt cắt ngang do các thành phần nội lực là lực dọc Nz, mô men uốn Mx, My, còn ứng suất tiếp là do các thành phần nội lực là mô men xoắn Mz , lực cắt Qx, Qy. Việc kiểm tra điều kiện bền thanh chịu lực tổng quát được tiến hành theo trình tự sau:

- Chọn điểm nguy hiểm hoặc nghi ngờ nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm hay

các mặt cắt nghi ngờ nguy hiểm. Điểm nguy hiểm là điểm có ứng suất tương đương lớn nhất được tính theo một thuyết bền nào đó.

171

- Viết điều kiện bền.

CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Phát biểu gải thiết về tiết diện phẳng. Giả thiết này cho ta kết luận gì khi nghiên cứu

ứng suất trên tiết diện.

2. Thế nào là biến dạng dài dọc trục và biến dạng dài ngang trục của thanh chịu kéo,

nén đúng tâm. Biểu thức để tính các biến dạng này. 3. Nêu những điểm đặc trưng và các giai đoạn của đồ thị lực – độ dãn dài khi thí

nghiệm kéo mẫu làm từ vật liệu dẻo.

4. Nêu các đặc trưng cơ học của vật liệu dẻo và vật liệu giòn.

5. Viết điều kiện bền, điều kiện cứng của thanh tiết diện tròn chịu xoắn. Nêu ba bài toán cơ bản tương ứng với các điều kiện này khi tính toán thanh chịu xoắn.

6. Những trường hợp nào được gọi là uốn thuần túy, uốn ngang phẳng?

7. Nêu những giả thiết cơ bản khi tính thanh chịu uốn thuần túy, uốn ngang phẳng.

8. Viết và giải thích công thích tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên tiết diện của

thanh chịu uốn ngang phẳng.

9. Giải thích và nêu điều kiện áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi tính ứng suất và

biến dạng của thanh chịu lực phức tạp.

10. Cách tính trị số ứng suất pháp lớn nhất trên tiết diện thanh chịu lực phức tạp khi

tiết diện có hình dạng bất kỳ và khi tiết diện thanh có hình dạng đặc biệt như hình chữ nhật hoặc hình tròn. 11. Dầm AB mặt cắt ngang hình chữ nhật b  h = (0,1  0,2) m2, chiều dài l = 4m chịu uốn xiên như hình vẽ 4.66. Bỏ qua trọng lượng của dầm. Hãy.

- Vẽ các biểu đồ momen uốn cho dầm.

- Xác định ứng suất lớn nhất phát sinh tại mặt cắt ngàm của thanh.

Hình 4.66

Hình 4.67

12. Một cột mặt cắt hình vuông bị nén lệch tâm trên trục y. Ứng suất tại điểm A bằng 500 N/cm2, tại B bằng không. (Hình 4.67)

- Hỏi tải trọng tác dụng lên cột, độ lệch tâm và ứng suất lớn nhất trên cột.

172

- Tìm trị số ứng suất pháp lớn nhất phát sinh tại chân cột. Kích thước trên hình cho theo cm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đỗ Sanh – Nguyễn Văn Khang. Cơ học tập 1, 2. NXB Giáo dục 2004.

[2]. PGS. TS Lê Ngọc Hồng – Sức bền vật liệu – NXB Khoa học kỹ thuật 2002

[3]. Đỗ Sanh. Bài tập cơ học tập 1, 2. NXB Giáo dục chuyên nghiệp 2000.

[4]. Nguyễn Trọng, Tống Danh Đạo, Lê Thị Hoàng Yến. Cơ học lý thuyết tập 2. NXB Khoa học và kỹ thuật 2006.

[5]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 1 – NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp

[6]. Bùi Trọng Lựu – Sức bền vật liệu tập 2 – NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp

[7]. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng – Bài tập Sức bền vật liệu – NXB Giáo dục 2004 [8]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vượng – Sức bền vật liệu Tập 1 – NXB Giáo dục 2004

[9]. Lê Quang Vinh, Nguyễn Văn Vượng – Sức bền vật liệu Tập 2 – NXB Giáo dục 2004

[10]. Nguyễn Văn Đạo- Cơ học giải tích- NXB Đại học quốc gia, Hà Nội 2002.

[11]. Nguyễn Văn Đạo- Bài tập Cơ học giải tích- NXB Đại học quốc gia, Hà Nội 2002.

[12]. Nguyễn Văn Khang- Động lực học hệ nhiều vật- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà

Nội 2006.

[13]. Thái Thế Hùng (Chủ biên) và các tác giả- Bài tập sức bền vật liệu- NXB Khoa

học kỹ thuật, Hà Nội 2005.

[14]. Đặng Việt Cương- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 1- NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008

[15]. Đặng Việt Cương- Tuyển tập các bài toán giải sẵn môn sức bền vật liệu, Tập 2-

NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008

[16]. Nguyễn Văn Khang- Cơ cở cơ học kỹ thuật- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005.

[17]. GS. TSKH Đỗ Sanh- Cơ học kỹ thuật, tập 2, Động lực học- NXB Giáo dục, 2008.