TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
69
TÍNH KHUNG PHẲNG CÓ NÚT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG NHIỆT
ANALYSING THE PLANAR FRAME WITH SEMI-RIGID CONNECTIONS
UNDER THERMAL LOADS
Đỗ Minh Đức
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Với yêu cầu tính toán kết cấu ngày càng phản ảnh chính xác hơn các phản ứng thực tế
của nó, báo cáo này trình bày cách tính khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng, vec tơ tải trọng nhiệt của
phần tử thanh phẳng có liên kết góc quay đàn hồi tuyến tính tại hai đầu được thiết lập. Để áp
dụng, tác giả ứng dụng phần mềm Matlab lập trình, phân tích và đánh giá nội lực và chuyển vị
cho một khung phẳng cụ thể có xét đến sự thay đổi của nhiệt độ và độ cứng của nút. Kết quả
đạt được góp phần bổ sung thêm vào thư viện các phần tử mẫu của phương pháp phần tử hữu
hạn và có thể phục vụ cho tính toán thiết kế cũng như nghiên cứu kết cấu khung có nút nửa
cứng chịu tải trọng nhiệt.
ABSTRACT
The calculation of structural requirements has increasingly reflected more accurately its
real responses. This article presents the calculation of the planar frames with semi-rigid
connections by means of a finite element method. The stiffness matrix, the load vector and the
thermal load vector for a planar frame member in reference to the two linear elastic rotational
springs at both ends are established. For application, the author has used the Matlab Software
to programme, analyse and assess the internal force and displacement of a planar frame with a
change of temperatures and hardness of the join. The results obtained can contribute to the
addition of sample elements library of the finite element method and the application of the
design as well as the study of frame structures with semi-rigid connections under thermal loads.
1. Mở đầu
Trước đây, khi tính toán kết cấu thường sử dụng giả thiết các nút của khung là
tuyệt đối cứng. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, ví dụ như khung bê tông cốt
thép lắp ghép hoặc bán lắp ghép, khung thép... Các kết cấu này có nút liên kết với độ
đàn hồi nhất định - còn được gọi là nút nửa cứng, sẽ ảnh hưởng đến kết quả tính toán
nội lực và biến dạng theo quan điểm trên.
Hiện nay, đã có nhiều đề tài quan tâm nghiên cứu giải bài toán kết cấu có xét
đến độ đàn hồi của nút, như:
+ Trong [1] và [2], các tác giả tập trung nghiên cứu để giải bài toán bằng
phương pháp lực, phương pháp chuyển vị chịu tải trọng và áp dụng kết quả đạt được để
phân tích đánh giá một số kết cấu cụ thể.
+ Trong [7], các tác giả xây dựng cách giải bài toán bằng phương pháp phần tử
hữu hạn và áp dụng các tiêu chuẩn vào thực tế thiết kế xây dựng.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
70
+ Trong [9], các tác giả đi sâu vào việc mô hình hóa tính đàn hồi của nút từ các
số liệu thí nghiệm thực tế cũng như xây dựng các sơ đồ cơ học cho các liên kết.
+ Trong [3], [5] và [6], các tác giả nghiên cứu hệ chịu tải trọng tác dụng động và
đánh giá ảnh hưởng tính đàn hồi của nút đến sự làm việc thực tế của kết cấu.
Nhìn chung, các đề tài đã đi sâu và giải quyết được cho nhiều trường hợp của hệ
với các đặc điểm liên kết và các hình thức tải trọng tác dụng khác nhau. Còn với tải
trọng nhiệt độ, tác giả nhận thấy có rất ít các nghiên cứu và chỉ dẫn để có thể áp dụng
cho hệ thanh nói chung và hệ thanh có nút nửa cứng nói riêng theo phương pháp phần
tử hữu hạn.
Để góp một phần vào việc nghiên cứu kết cấu có nút nửa cứng, trong bài báo
này, tác giả trình bày kết quả nghiên cứu xác định ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng và
vec tơ tải trọng nhiệt độ của phần tử thanh phẳng có xét đến tính quay đàn hồi của nút
theo phương pháp phần tử hữu hạn. Từ đó ứng dụng phần mềm Matlab [10] và [13] để
lập trình tính toán, đánh giá cho một khung phẳng cụ thể. Kết quả nghiên cứu có thể
được áp dụng vào việc phân tích các khung phẳng có nút nửa cứng chịu tải trọng nhiệt.
2. Cơ sở lý thuyết
Phương trình cân bằng tổng quát của hệ kết cấu theo phương pháp phần tử hữu
hạn mô hình chuyển vị [4]:
[]
{}
[]
FuK = (2 - 1)
Trong đó:
[]
K là ma trận độ cứng,
[
]
F là
vec tơ tải trọng. Các ma trận này được
lắp ghép từ các ma trận độ cứng và tải
trọng phần tử.
Giải phương trình (2 - 1) sẽ xác định được chuyển vị và từ đó xác định được nội
lực trong hệ.
2.1. Ma trận độ cứng phần tử thanh phẳng:
Dùng phương pháp chuyển vị đơn vị, tác giả lập được ma trận độ cứng của phần
tử trên hình 1. Kết quả được biểu diễn ở biểu thức (2 - 2).
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
66
56
65
55
63
53
62
52
36353332
26252322
0
0
0
0
0000
00
0
0
0000
k
k
k
k
k
k
k
kl
EA
l
EA
kkkk
kkkk l
EA
l
EA
Ke
(2 -2)
H
ình 1. Phần tử thanh có liên kết quay đàn hồi
EA
EJ 4
5
1
2
l
r1r2
3
6
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
71
Trong đó:
21
2121
3
22 4
12
rr
)rrrr(
l
EJ
k−
++
=;
21
21
2
3223 4
2
6
rr
)r(r
l
EJ
kk −
+
== ;225225 kkk −
=
=
21
12
2
6226 4
2
6
rr
)r(r
l
EJ
kk −
+
== ;
21
1
33 4
3
4
rr
r
l
EJ
k−
=; 235335 kkk
−
=
=
21
21
6336 4
3
2
rr
rr
l
EJ
kk −
== ;2255 kk
=
;266556 kkk
−
=
=
;
21
2
66 4
3
4
rr
r
l
EJ
k−
=
Theo [7], r là hệ số ngàm đàn hồi (end-fixity factor), r biến thiên trong đoạn
[0,1]; r = 0 ứng với liên kết khớp; r = 1 ứng với liên kết tuyệt đối cứng; r là đại lượng
không thứ nguyên.
Ma trận độ cứng được thiết lập là trùng khớp với kết quả trong [7].
2.2. Vec tơ tải trọng do lực phân bố tác dụng lên phần tử
Dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng cho phần tử trên hình 2
[] [ ]
'
654321 ,,,,, PPPPPPP e= (2 – 3)
Trong đó:
0
41 == PP ;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+
−
−
=1
42 21
21
2rr
rr
ql
P; ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
21
21
2
34
)2(3
12 rr
rr
ql
P;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+
−
−
=1
412 21
12
5rr
rr
ql
P; ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
21
12
2
64
)2(3
12 rr
rr
ql
P;
2.3. Vec tơ tải trọng do nhiệt độ tác dụng lên phần tử
Cũng dựa vào ý nghĩa vật lý, tác giả lập được vec tơ tải trọng nhiệt độ cho phần
tử trên hình 3
[] [ ]
'
654321 ,,,,, TTTTTTT e= (2 – 4)
Trong đó:
ình 2. Phần tử chịu tải trọng phân bố đều
l
q 6
4
1 r1r2
5
3 2
r2
r1
l
2
1
35
4
6
ình 3. Phần tử chịu tải trọng nhiệt
t2
t1
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
72
EA
tt
EAtT c2
21
1
+
−=−=
αα
; 14 TT
−
=
;
21
12
122 4
)(
6
rr
rr
ttEJ
h
T−
−
−=
α
;
21
21
123 4
)2(3
)( rr
rr
ttEJ
h
T−
−
−=
α
;
21
21
125 4
)(
6
rr
rr
ttEJ
h
T−
−
−=
α
;
21
12
126 4
)2(3
)( rr
rr
ttEJ
h
T−
−
−−=
α
.
Với α là hệ số giãn nở vì nhiệt, h là chiều cao của tiết diện phần tử.
Kiểm tra cho thấy ứng với trường hợp r1 = r2 = 0 và r1 = r2 = 1, các biểu thức (2 -
2) và (2 - 3) cho kết quả trùng khớp với trường hợp phần tử có hai đầu khớp lý tưởng và
tuyệt đối cứng trong thư viện phần tử mẫu phương pháp phần tử hữu hạn.
3. Áp dụng tính khung phẳng chịu tải trong nhiệt
3.1. Số liệu bài toán
Xét 1 khung phẳng 3 tầng có nút nửa cứng như
trên hình 4. Khung có cấu tạo như sau:
- Vật liệu có E = 2,1.106(kN/cm2), α = 1.10-5(oC-1)
- Tiết diện cột (20.30)(cm); tiết diện dầm (20.40)(cm)
- t1 = 30(oC); q = 0,02(kN/cm); l = 600(cm);
- h = 360(cm).
- Giả thiết r1 = r2 = r.
3.2. Phân tích
Để xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ và độ cứng
của nút, bài toán được phân tích với các giá trị khác
nhau của t2 [30; 50; 100; 150; 200; 300; 400; 500;
600; 700; 800; 900; 1000] (oC) và r [0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1].
q
t2
t1
q
r
1
r
2
r
2
r
1
r
2
r
1
H
ình 4
.
Mô h
ì
nh khun
g
l
h
h
h
q
H
ình 5 . Đồ thị chuyển vị đứng tại giữa nhịp tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t2
-12.0
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Chuyển vị (cm) r =
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
t2(0C)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010
73
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các ma trận độ cứng, vec tơ tải trọng
phần tử thiết lập ở trên kết hợp lập chương trình tính toán với sự hỗ trợ bằng phần mềm
Matlab [10] và [13], giải được nội lực và chuyển vị trong hệ. Sự thay đổi của nội lực và
chuyển vị tại một số tiết diện theo t2 và r được thể hiện trên hình 5, hình 6 và hình 7.
3.3. Đánh giá kết quả
Kết quả phân tích cho thấy các giá trị của nội lực và chuyển vị thay đổi đáng kể
khi nhiệt độ t2 và r thay đổi. Tốc độ thay đổi tăng nhanh khi t2 tăng. Với r = 0,8 thì so
với nhiệt độ t2 = 30oC, ở nhiệt độ t2 = 500oC, chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng -0,002 lên
0,408 (cm); mômen nhịp tầng 1 tăng 2,14 lên -2833,7(kN.m); mômen tại chân cột trái
giảm -38,08 xuống -35,16(kN.m)
Khi r tăng – độ cứng của nút tăng, xét trường hợp r =1 (nút tuyệt đối cứng) và r
trung bình là 0,8 [7], ở tại thời điểm t2 = 500oC thì chuyển vị đứng nhịp tầng 1 tăng
0,408 lên 1,473(cm); mômen nhịp tăng -2833,7 lên -3363,90(kN.m); mômen chân cột
trái tăng -35,16 lên 170,83(kN.m)
r =
900 1000
t
2
(
0C
)
M (kN.m)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
H
ình 6 . Đồ thị mômen
g
iữa nhị
p
t
ần
g
1 ứn
g
v
ớ
i các
g
iá trị r và theo
t
2
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000 30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800
H
ình 7 . Đồ thị mômen tại chân trái cột tầng 1 ứng với các giá trị r và theo t2
-1000.0
-800.0
-600.0
-400.0
-200.0
0.0
200.0
400.0
600.0
30 50 100 150 200 300 400 500 600 700 800
900
M (kN.m)
r =
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
t2(0C)