Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ - Đoàn Trí Dũng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Minh Châu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

203
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với tài liệu "Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ" của tác giả Đoàn Trí Dũng các bạn sẽ được tìm hiểu về 4 kỹ năng cơ bản cần biết; tổng quan các phương pháp giải;... Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ - Đoàn Trí Dũng

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ------------------------***------------------------ THỦ THUẬT Giải toán PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG HÀ NỘI, THÁNG 4 NĂM 2016 1
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 1: 4 KỸ NĂNG CƠ BẢN CẦN BIẾT TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO I. Kỹ năng 1: Kỹ năng nâng lũy thừa: Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán mà trong quá trình giải toán, ta vẫn thường gọi với những tên quen thuộc như “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế”. Học sinh cần nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa như sau: a  b  a  b  2ab . 2  2 2 a  b  a  3a b  3ab  b . 3  3 2 2 3 a  b  c   a  b  c  2 ab  bc  ca  . 2  2 2 2 a  b  c   a  b  c  3 a  b  b  c  c  a  . 3  3 3 3 a  b  c   a  b  c  3 a  b  c ab  bc  ca   3abc . 3  3 3 3 II. Kỹ năng 2: Phân tích nhân tử biểu thức chứa một căn dạng cơ bản: Ví dụ 1: Phân tích nhân tử: x  2 x  3 Đặt x  3  t  x  t 3  3 . Khi đó: x  2 x  3  t 2  2t  3   t  1 t  3 . Do đó thay ngược t  x  3 ta được: x2 x3   x  3 1   x3 3 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x  4  5 x  1  Đáp án: 2 x  1  1  x 1 2  Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x  5  7 2x  1 Đáp án:  2x  1  1  2x  1  6  III. Kỹ năng 3: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn: Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y2  x  y (Tối đa là bậc 2). Thay y  100 , biểu thức trở thành: x2  2xy  y2  x  y  x2  201x  10100 . Bấm máy phương trình bậc 2 ta được 2 nghiệm: x  100,x  101 . 2
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 . Vì 100  y,101  100  1  y  1 , vậy: x2  2xy  y2  x  y   x  y  x  y  1 . Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y . Thay y  100 , biểu thức trở thành: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300 Sử dụng SOLVE ta được x  100  y . Ta có hai cách xử lý sau: Cách 1: Sử dụng CALC: 1 Thay x  1000, y  ta có: 100 x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  1000013.01 xy 1 1  10002  1000.  3  x2  xy  y  3 100 100 Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả:  x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3  Cách 2: Sơ đồ Hoorne: x 1 200 10103 10300 100 1 100 103 0 x  200x  10103x  10300 3 2 Vậy  x2  100x  103 x  100   Hay x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  3 . Chú ý: Phƣơng pháp này rất có ích cho các bài toán về chủ đề tƣơng giao đồ thị hàm số bậc 3. IV. Kỹ năng 4: Kỹ năng tìm max/min của phân số Hƣớng đi 1: Tìm max/min bằng TABLE 1 Ví dụ ta muốn tìm max/min của : x2 2 Với chức năng TABLE của máy tính Casio ta được: 3
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 1 1 max  0.5  x2 2 2 Chú ý rằng: max A  a thì biểu thức  a  A   0 luôn đúng. Do đó nếu sau khi liên hợp:  Xuất hiện  A   , ta tìm minA .  Xuất hiện  A  , ta tìm max A . Hƣớng đi 2: Sử dụng đánh giá ƣớc lƣợng:   b,c  0  . c c  Ước lượng theo số: a b b x1   x 1  Ước lượng theo bậc cao nhất:  x  2x  5  x 2 x x 2 2 Chú ý: Lớn hơn hay nhỏ hơn để chắc chắn ta sử dụng TABLE để kiểm tra, điều này giúp khám phá ra những giá trị min/max khá đặc biệt, chẳng hạn như sau: x2  x  2 x2  x x  1    x2  x  1  x x2  x 2  x2  x  2 x 1 Kiểm tra    trong TABLE với điều kiện có được  x x 1  x 2  2 để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này dương hay âm. 4
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 2: TỔNG QUAN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Các phương pháp chính khi giải toán phương trình: 1. Tƣ duy đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn phụ: Mục đích đưa về một phương trình, bất phương trình cơ bản hơn. Vậy khi nào đặt được ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát hiện sự lặp đi lặp lại:    5x  1  4  5  x  3    3 Ví dụ 5: 2 25x2  18x  9 x 1   2  4x   9  x  1    4x   x  1  4  5 4x  3  x  1   2 2 3 x 1 Thông thường đến bước này cần phải quyết định thực hiện các phép biến đổi cơ bản đưa về ẩn phụ (Cộng, trừ, nhân, chia). Nếu lựa chọn phép chia thì phải triệt tiêu 1 biến:   4x 2   4x 4   4x  2   9  1    5  3  x  1  x  1 x  1   x1    Thường học sinh hay nản nhất ở bước quyết định có ẩn phụ hóa được hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức lạc loài về được ẩn phụ cần đặt, và có thể hệ số bất định hóa: 164  4x      x1 x 1  x 1 4    0   4 Tới đây ta quy đồng và đồng nhất hệ số:   .   16   16 Hay nói cách khác ta biến đổi phương trình về dạng:   4x 2  4x  4x    4x  2   9   1  16  4     5  3  x 1  x  1  x  1    x 1    Đến đây bài toán có thể xử lý được đơn giản hơn rất nhiều. Mời bạn đọc tiếp tục với hai bài toán cơ bản áp dụng sau: 3x2  4x  8 Áp dụng 1: x2  3x  6  x  2 x2  3x  6  x  4   5 3 x2   2 Áp dụng 2: x3  x  2  x3  2x  4  x3  x  2 5
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đặt 2 ẩn phụ trở lên: Mục đích để nhóm nhân tử hoặc sử dụng hàm đặc trưng. Bản chất của hàm đặc trưng cũng chính là phép đặt ẩn phụ, do đó nếu ta tư duy liệu có hàm đặc trƣng đƣợc hay không, ta nên chuyển tư duy thành có thể dồn về hai ẩn phụ được hay không? 2x3  3x2  23x  11  3 x2  4x  5 Ví dụ 6: x  1  0 x2  2x  2  x2  4x  5 Trước tiên học sinh cần biết rút gọn phương trình về dạng:  x  1 x2  2x  2   x  2  x2  4x  5  2x3  3x2  23x  11  0 Tới đây, ta tư duy xếp hai căn sang hai phía và quan sát dễ dàng thấy hai ẩn phụ:  x  1  x  1  1  2x3  3x2  23x  11   2  x  2  x 2 2 1 Tuy nhiên như tôi đã nói ở trên, khó khăn nhất luôn là xử lý nhóm biểu thức còn lại, và theo kinh nghiệm của tôi, đó là sử dụng phương pháp hệ số bất định và đồng nhất hệ số: 2x3  3x2  23x  11         x  1   2  x    x  1   2  x     x  1   2  x  3 3 2 2  Để tìm các hệ số, ngoài việc phá vỡ biểu thức và nhóm theo từng bậc của biến x, ta có thể thay 4 giá trị bất kỳ của x vào để tìm: x  1  27  9  3  39    1 x  0  7  3    11      1 x  3  65  15  5  85  x  4  133  21  7   161   1 Tại sao 3 ẩn mà cần 4 phương trình? Vì cần có một phương trình để kiểm tra đó! Không phải lúc nào cũng đúng đâu nhé, nên phải hết sức cẩn thận ! Vậy ta viết lại thành:  x  1  x  1  1   x  1   x  1   x  1 2 3 2   2  x  2  x  1   2  x   2  x   2  x 2 3 2 Áp dụng 3:  x  1 x2  2x  5  4x x  1  2  x  1 . 2 (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1) 6
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2. Tƣ duy tạo hằng đẳng thức: Đây là một phép biến đổi tay táo bạo nhưng lại giúp ích rất nhiều. Nếu xuất hiện: ab  Tạo ra  a  b  . 2  Nếu xuất hiện: ab  a  b   Tạo ra  a  b  . 3  Ví dụ 7: x2  x  1  2  x  1 x  2  1  3 x 2  1   2 Phương trình  x2  2x  1  2  x  1 x  2  x  2  1  3 x 2  1   2     1  2 2  x 1 x  2 3 x2  1  x  1  x  2  1  x  1  x  1  x  1   3 2 3 2  x  2 1  0  x  1  x  2x  1  x  1    x  2  1  0 3 3 2 3 x  x  3 3 x  1 x3   0     x 2 1 2 2 3 x  2x  1  x  2x  1 x  1  2 3 2 3 3 x 1 x3  Ví dụ 8: 3x 3 x  7 x  3 x  7  7x 3  12x 2  5x  6   3x 3 x  7 x  3 x  7  7x 3  12x 2  5x  6    x3  x  7  3x 3 x  7 x  3 x  7  8x 3  12x 2  6x  1      2x  1  x  3 x  7  2x  1  3 x  7  x  1 3 3  x 3 x7   x  1  x  7  x3  3x2  2x  6  0   x  1 x2  4x  6  0 3    x  1.  3 Ví dụ 9:  2   2 x  1  1   x  4  8x  9x2 3x  2 2x  1  Điều kiện xác định: x  1. Bất phương trình đã cho tương đương với:  2x  3  2 x 1 1   9x  4  2x  1 2 x 3x  2 2x  1 7
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  2x  3  2 x 1 1   3x  2  2x  1 x   Do x  1. Do đó BPT   2x  3  2 x  1  1  3x 2  2x 2x  1      x  1  x  1  0 2 2  2 x  1  x  1  x  2x  1  2 Vì:  x  1  x  1   0;  x  2x  1   0; 2  x  1  x  1  0 , x  1 2 2  2  x  1  x  1    x  2x  1   2  x  1  x  1  0 2 2 x  1  x  1  Vậy để BPT xảy ra thì  VT  0  x  2x  1  x  1. x  1  0  3. Tƣ duy đi tìm nhân tử: A. Tìm nhân tử nghiệm đơn hữu tỷ cơ bản: Liên hợp căn bậc 2 Liên hợp căn bậc 3 Liên hợp căn bậc 3 a b 2 2 a b 3 3 a 3  b3 ab ab 2 ab 2 ab a  ab  b2 a  ab  b2 Chú ý: a 2  ab  b2  a 2  b2   a  b   0, a, b . 1 1 1 2 2 2 2 Giả sử phương trình f  x   0 có nghiệm x  3 và trong phương trình có chứa căn thức x  6 , khi đó với x  3  x  6  3 . x69 x3 Vậy nếu sử dụng liên hợp: x  6  3   khi đó x6 3 x6 3 sẽ xuất hiện nhân tử  x  3  và có thể rút ra làm nhân tử chung. x6  3  x. Tuy nhiên, vì x  3 nên ta cũng có thể đánh giá x  x  6  x  3 x  2  2 Vậy nếu sử dụng liên hợp: x  x  6   ta x x6 x x6 cũng rút được nhân tử  x  3  . Nhƣ vậy bản chất của phƣơng pháp nhân liên hợp là rút ra nhân tử chung để chỉ ra nghiệm của phƣơng trình. Khi hai đại lƣợng a và b có 8
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG giá trị bằng nhau, ta có thể sử dụng nhân liên hợp giữa hai đại lƣợng này. Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 1:  Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa  a   đồng thời có đánh giá a  b thì sử dụng liên hợp: a   a b ab a . Ví dụ: x  1  2 khi đó ta sử dụng liên hợp: x1   x 1  2  x 1 2 x 1 .  Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa  3 a   đồng thời 3 a  b thì sử dụng liên hợp:  3 a b  3 a b  3 a  a  b2 3 a . Ví dụ: 3 x  5  2 khi đó ta sử dụng liên hợp:  3 x5 2  3 x5 2  3 x  5  x  543 x  5 . Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 2: Giả sử bài toán chứa  x  3 và phương trình có nghiệm x  1 . Khi đó ta đánh giá như sau: x  3  2  x  1  2x  x2  1  2x2  ... Do đó ta có thể sử dụng các phương án liên hợp sau:  x  1 x  3  x2  x  2   x  1 x  2 x  1 x  3 x 1 x  3  2x  x  3  4x2  x  3   x  1 4x  3 2x  x  3 2x  x  3 x4  2x2  x  2  x  1  x 3  x2  3x  2   x 1 x  3  2  x  1 x  3 2 x  1 x  3 2 4x4  x  3  x  1  4x 3  4x2  4x  3   2x  x  3  2  2x2  x  3 2x2  x  3 9
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và người sử dụng liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết phối hợp giữa các điều kiện bài toán đưa ra ban đầu để từ đó quyết định đâu là liên hợp cần tìm. Ví dụ 10: 3  x  2   3x  4  3 2x  1  x  3 3  x  2   3x  4  3 2x  1  x  3   2x  1  3 2x  1       3x  4  4  x  3  x  3  0  2 2x  1 x3    x  4  3     0  3  x  4  2x  1  3      3x 4 4 x 3 1  B. Tƣ duy tìm nhân tử nghiệm vô tỷ: Ví dụ 11: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0 Phân tích  Sử dụng TABLE và SOLVE tìm được: x  3.302775638 . Thay vào căn thức tìm nhân tử: x  2  2.302775638  x  1 .  Hƣớng dẫn cách sử dụng TABLE và SOLVE Bƣớc 1: Truy cập Mode 7 (Table): f  x   x3  x 2  x  5   x  4  x  2 Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có sự đổi dấu trong  3; 3.5  . Như vậy phương trình có thể có nghiệm trong khoảng này. Vì vậy ta sẽ sử dụng SOLVE với giá trị khởi đầu x  3.2   3; 3.5  để tìm ra nghiệm này. 10
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ phương trình: x3  x 2  x  5   x  4  x  2  0 Bƣớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với giá trị x  3.3 , ta thu được nghiệm: x  3.302775638 Bƣớc 5: Thay vào căn thức ta có: x  2  2.302775638  x  1 Vậy phương trình có nhân tử là: x  1  x2  Bài giải Cách 1: Sử dụng liên hợp cơ bản: Ta có: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0   x3  2x2  4x  1   x  4  x  1  x  2  0  x2  3x  1     x  1 x2  3x  1   x  4  x 1 x  2 0       x2  3x  1  x  1   x  4  1 0 x 1 x  2    Quy đồng ta được:  x2  3x  1 x2  x  3   x  1 x  2  0   2   x  3x  1 2x2  2x  6  2  x  1 x  2  0 1 2   1  11    2  1 2  2  x  3x  1  x  1  x  2   x      0 . 2   2 4   Cách 2: Sử dụng liên ngƣợc: Ta có: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0   x3  2x2  4x  1   x  4  x  1  x  2  0       x  1 x2  3x  1   x  4  x  1  x  2  0  11
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Liên hợp ngƣợc: Xét biểu thức liên hợp: x  1   x  2 x  1  x  2   x  1   x  2   x 2  3x  1 2   Do đó ta có thể viết lại: x2  3x  1  x  1  x  2 x  1  x  2 .  Do đó:  x  1  x  1  x  2  x  1  x  2    x  4   x  1  x2  0   x  1  x  2    x  1  x  1  x  2   x  4   0   x  1  x  2   x  x  3   x  1 x  2   0 2  1  11   x  1  x  2  x  1  x  2    x      0 2 1 2  2   2 4   ƢU ĐIỂM VÀ NHƢỢC ĐIỂM CỦA LIÊN HỢP CƠ BẢN VÀ LIÊN HỢP NGƢỢC Liên hợp cơ bản Liên hợp ngƣợc Ƣu điểm Có lợi thế khi gặp bài toán Lợi thế khi gặp bài toán từ 2 căn thức trở lên. bất phương trình. Nhƣợc Bất lợi khi giải bất phương Bất lợi khi gặp bài toán điểm trình vì phải xử lý điều có nhiều căn thức. kiện mẫu số. Cần thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình. C. Tƣ duy nhân tử nghiệm bội hữu tỷ: Ví dụ 12: x2  x  1  2x  1  0 Phƣơng pháp nhận diện bằng SOLVE và d/dx: Bƣớc 1: Bấm phương trình trên máy tính Casio và sử dụng SHIFT CALC (SOLVE) ta thu được x  1 . Bƣớc 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm bội bằng cách xét: dx  d 2 x  x  1  2x  1  x 1 0 Vậy x  1 là nghiệm bội kép 12
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Phân biệt nghiệm đơn và bội qua d/dx:  x  a là nghiệm bội của f  x   0 nếu d dx  f x xa  0.  x  a là nghiệm đơn của f  x   0 nếu d dx  f x xa   0. Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE: Bƣớc 1: f  x   x2  x  1  2x  1 . Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5. Bƣớc 2: Nhận xét: Hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm duy nhất x  1 . Như vậy x  1 là nghiệm bội kép. Phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội kép thông qua TABLE  Hàm số đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm đơn.  Hàm số không đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm kép. Phân biệt các loại nghiệm bằng sự kết hợpSOLVE, d/dx và TABLE: Đơn Là nghiệm đơn f  x   0 . Không là nghiệm f '  x   0 . Kép Nghiệm kép f  x   0 . Không là nghiệm kép f "  x   0 . Bội 3 Là nghiệm đơn f  x   0 . Là nghiệm kép f '  x   0 . Bội 4 Là nghiệm kép f  x   0 . Là nghiệm kép f "  x   0 . Chú ý: Các bài toán nghiệm bội phần lớn là nghiệm kép. Giải bài toán nghiệm bội hữu tỷ nhƣ thế nào? Cách 1: Nhân liên hợp: Tổng quát: Nếu x  x0 là nghiệm bội kép hữu tỷ và phương trình có chứa căn thức n A , khi đó ta đặt: ax  b  n A 13
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG ax  b  n A  x   0 0 Ta tìm các hệ số a, b bằng cách giải hệ sau:  a   d n dx A   x  x0 Chú ý:  Nếu là nghiệm bội 3, ta đặt ax2  bx  c  n A .  2   ax  bx  c x  x0  n A  x0      Giải hệ:  ax2  bx  c '   x  x0 dx    d n A x  x0     ax2  bx  c " x  x 0  dx  d  n    A  x  '  x  x0 Trong đó  d  n dx   A  x  '  x  x0 là để tính đạo hàm cấp 2.  Nếu có 2 nghiệm bội kép, ta có thể rút từng nghiệm kép ra lần lượt bằng nhân liên hợp (Liên hợp 2 lần liên tiếp) hoặc ta làm giống như nghiệm bội 3: Đặt ax2  bx  c  n A .  2   ax  bx  c  x  x  n A  x1   1     ax2  bx  c '  x  x1 dx d n  A x  x1 Giải hệ:     ax2  bx  c  x  x2  n A  x2    2   ax  bx  c '    x  x2 dx d n  A x  x2 Bài giải Trong bài toán này, ta có x  1 là nghiệm bội kép, đặt: ax  b  2x  1 . Khi đó ta sẽ tìm các hệ số a, b bằng cách giải hệ sau: 14
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  ax  b  2x  1  x1 a  b  1 a  1     b  0   a  d a 1  2x  1  dx x1 Vậy với a  1, b  0 ta có x  2x  1 nên liên hợp cần tạo ra là :  x  2x  1  . Ta có: x2  x  1  2x  1  0   x  2x  1    x  2x  1  0 2 x2  2x  1 2   x  2x  1    x2  2x  1  0   x  1  1  1  0 .  x  2x  1  Cách 2: Tạo hằng đẳng thức (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép): Ta có: x2  x  1  2x  1  0  2x2  2x  2  2 2x  1  0     2x  1  2 2x  1  1  2 x 2  2x  1  0    2x  1  1  2  x  1  0 2 2 Cách 3: Sử dụng đánh giá AM – GM (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép). a2  b2  AM – GM cho 2 số: ab  a, b  . Do đó sử dụng bất 2 đẳng thức này với những biểu thức chứa căn bậc 2 và lựa chọn 2 đại lượng a, b có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra khi a  b . a 3  b3  c 3  AM – GM cho 3 số: abc  a, b,c  0 . Do đó sử 3 dụng với những biểu thức chứa căn bậc 3 và lựa chọn 3 đại lượng a, b,c không âm có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra khi a  b  c .  Tương tự như vậy ta có thể đánh giá bất đẳng thức AM – GM cho các căn bậc cao hơn. Áp dụng: Vì x  1  2x  1  1 . Vậy a  2x  1, b  1 (AM – GM cho 2 số). 15
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2x  1  1 Ta có: 2x  1.1   2x  1  x . 2 Mà x2  x  1  2x  1 . Do đó: x 2  x  1  x   x  1  0  x  1 . 2 Cách 4: Đặt ẩn phụ và phân tích nhân tử (Phƣơng pháp này hoàn toàn độc lập và không bị lệ thuộc vào máy tính): t2  1 Đặt 2x  1  t  0  x  . Khi đó phương trình trở thành: 2 2  t2  1  t2  1    1   1  t  0  t4  t2  t  1  0   2  2 4 4 1 2   1 4 2    t  1 t 2  2t  3  0   t  1 t 2  2t  3  0  1    2  2x  1  1 x  1  2x  1  0 . 2 Cách 5: Liên hợp ngƣợc:    Ta có: x2  x  1  2x  1  0  x  2x  1  x 2  2x  1  0       x  2x  1  x  2x  1 x  2x  1  0   x  2x  1  x  1  2x  1   0 D. Tƣ duy nghiệm bội vô tỷ: Ví dụ 13: x2  5x  x 3x  1   x  1 5x Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE: Bƣớc 1: Xét hàm số: f  x   x2  5x  x 3x  1   x  1 5x Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị của TABLE: Ta thấy: Phương trình có vẻ như không có nghiệm bởi tất cả các giá trị đều mang dấu dương. Tuy nhiên, điều này có thể được lý giải như sau: 16
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị được các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị được.  Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có sự đổi dấu từ âm sang dương nhưng điều này không hề xuất hiện bởi nghiệm kép vô tỷ này sẽ khiến hàm số không thể đổi dấu khi đi qua trục hoành. Như vậy đây là dấu hiệu của Nghiệm kép vô tỷ, tuy nhiên, điều đó sẽ chỉ được khẳng định hoàn toàn nếu ta tìm được nghiệm của phương trình, mà điều này không quá khó khăn, ta có thể quay trở lại Mode 1 và dùng SOLVE. Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1 và sử dụng SOLVE, ta tìm được: x  2.618033812 Giải bài toán nghiệm bội hữu vô tỷ nhƣ thế nào? Bƣớc 4: Thay vào căn thức ta được:  3x  1  2.618033887  x   5x  3.618033866  x  1 x  3x  1 Vậy ta có đánh giá  .  x  1  5x Cách 1: Tạo hằng đẳng thức: 17
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  0  2x2  10x  2x 3x  1  2  x  1 5x  0     2 2  x  3x  1  x  1  5x 0 Cách 2: Sử dụng đánh giá AM – GM:  x2  3x  1  x 3x  1    x 3x  1   x  1 5x  x2  5x . 2 Ta có:   x  1  5x 2   x  1 5x  2 x  3x  1 3 5 Do đó x2  5x  x 3x  1   x  1 5x   x . x  1  5x 2 Cách 3: Ép tích bằng ẩn phụ: t2 Đặt 5x  t  0  x  . Khi đó phương trình trở thành: 5 t4 t 2 3t 2  t2   t2   1    1  t  t 4  5t 3  25t 2  25t  t 2 15t 2  25  0 25 5 5 5       t 2  5t t 2  5t  5  t 2 5t  5  15t 2  25  0   t 2  5t 10t 2    50t  50  10t 2 5t  5  15t 2  25  0    5t  5  15t 2  25  t  5t  5t  5  15t  25   10t   0 2 2 2   5t  5  15t  25   5t  20t  25t   t  5t  15t  25   0 2 3 2 2 2   5t  5  15t  25   t 10t  50t  50    t  5t   5t  5  15t  25    0 2 2 2 2   5t  5  15t  25   t  5t  5  15t  25   t  5t   0 2 2 2 2   5t  5  15t  25   4t  t 15t  25   0 . Thay ngược t  5x : 2 2 2 2    20x   2  5 5x  5  75x  25 5x 75x  25  0    4x   2 5x  1  3x  1 5x 3x  1  0 . 18
T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 4. Tƣ duy giải toán bằng ẩn phụ không hoàn toàn: Đây là một dạng phương pháp giải quyết các phương trình có dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của phương trình. Các bươc làm như sau: Bƣớc 1: Đặt t  B điều kiện t  0 . Xét phương trình tổng quát có dạng t 2  At  C  B  0 . Bƣớc 2: Gán cho x  100 khi đó ta được phương trình bậc hai với ẩn là t và tham số là  . Bƣớc 3 :  Tính  và tìm  sao cho   f    là số hữu tỷ và   0 .  Khi tìm   f    chúng ta sử dụng TABLE với Start =  9; End = 9; Step = 1 tìm giá trị   0 thỏa mãn điều kiện trên.  Ta tìm được  và tính được . Ví dụ 14: x2  1   x3  x  1  2x2  2x  3 Đặt x3  x  1  t với t  0  t 2  x 3  x  1 khi đó theo phương trình tổng quát ta đi tìm  vậy phương trình đã cho có dạng như sau :     t 2  x2  1 t  2x2  2x  3   x3  x  1  0 ( 2) .  Gán giá trị cho x  10 khi đó phương trình ( 2)   t 2  101t  223  1009  0 . Tới đây ta tiến hành giải  với tham số  và với ẩn là t .   101  4  223  1009     101  4  223  1009  . 2 2 Xét hàm số f      101  4  223  1009  . 2 Sử dụng chức năng TABLE để tìm   0 và  nguyên sao cho f     có giá trị hữu tỷ: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: X F(X) F( X )  101 2  4X  223  1009X  9 587.4904< 8 525.0152< Với các giá trị: 7 462.8271<  START = 9 . 19
THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  END = 9. 6 401.0598<  STEP = 1. 5 339.9426< Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X) 4 279.9017< nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X 3 221.8129< là giá trị khác 0. 2 167.7170< Dựa vào bảng giá trị TABLE như 1 123 trên, ta nhận thấy với X =  1 thì: 0 101 F(X)  123  100  20  3  x2  2 x  3 1 115.5205< Vậy nếu lựa chọn   1 thì: 2 156.7194<   x2  2 x  3 3 209.4015< Do đó, nếu ta lựa chọn: 4 266.8501<   1  5 326.5593<     123  x2  2x  3   f    123 6 387.4854< Vậy với cách đặt ẩn phụ là t và 7 449.1336<   1 ta được phương trình có : 8 511.2426< 9 573.6627<   2   123  100  20  3  x2  2 x  3    x2  2x  3 . Vậy khi đó phương trình đã cho có dạng như sau:       t 2  x2  1 t  2x2  2x  3  x3  x  1  0 .  t   x  1 t   x  2x  3x  2   0 . 2 2 3 2     x  1  4  x  2x  3x  2    x  2x  3    2 2 2 3 2 2    x2  2x  3 . Khi đó, bằng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta thu được  x2  1  x2  2 x  3 t   x2  x  2  hai nghiệm sau :  2 2  x2  1  x2  2 x  3 t   x1  2 Đến đây phương trình sẽ được viết dưới dạng nhân tử như sau :  x2  x  2  t  2 2     t  x  1  0  2t  x  x  2  t  x  1  0      x2  x  2  2 x3  x  1 x  1  x3  x  1  0  20