Thủ thuật giải toán phương trình vô tỷ - Đoàn Trí Dũng

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA ------------------------***------------------------

THỦ THUẬT Giải toán PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1

Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG HÀ NỘI, THÁNG 4 NĂM 2016

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 1: 4 KỸ NĂNG CƠ BẢN CẦN BIẾT TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO

I. Kỹ năng 1: Kỹ năng nâng lũy thừa:

Kỹ năng nâng lũy thừa là rất quan trọng trong quá trình giải toán mà trong quá trình giải toán, ta vẫn thường gọi với những tên quen thuộc như “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế”. Học sinh cần nắm vững các hằng đẳng thức cơ bản về nâng lũy thừa như sau:

 .

 .

 .

 .

 .

II. Kỹ năng 2: Phân tích nhân tử biểu thức chứa một căn dạng cơ bản:

Ví dụ 1: Phân tích nhân tử:

Đặt . Khi đó:

.

Do đó thay ngược ta được:

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Phân tích nhân tử:

Đáp án:

Bài 2: Phân tích nhân tử:

Đáp án:

III. Kỹ năng 3: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn:

Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: (Tối đa là bậc 2).

Thay , biểu thức trở thành:

.

2

Bấm máy phương trình bậc 2 ta được 2 nghiệm: .

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Do đó: .

Vì , vậy:

.

Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: .

Thay , biểu thức trở thành:

Sử dụng SOLVE ta được . Ta có hai cách xử lý sau:

Cách 1: Sử dụng CALC:

Thay ta có:

Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta được kết quả:

Cách 2: Sơ đồ Hoorne:

1 1 200 100 10103 103 10300 0

Vậy

. Hay

Chú ý: Phƣơng pháp này rất có ích cho các bài toán về chủ đề tƣơng giao đồ thị hàm số bậc 3. IV. Kỹ năng 4: Kỹ năng tìm max/min của phân số Hƣớng đi 1: Tìm max/min bằng TABLE

Ví dụ ta muốn tìm max/min của :

Với chức năng TABLE của máy tính Casio ta được:

3

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Chú ý rằng: thì biểu

thức luôn đúng.

Do đó nếu sau khi liên hợp:

.  Xuất hiện , ta tìm

.  Xuất hiện , ta tìm

Hƣớng đi 2: Sử dụng đánh giá ƣớc lƣợng:

 Ước lượng theo số: .

 Ước lượng theo bậc cao nhất:

Chú ý: Lớn hơn hay nhỏ hơn để chắc chắn ta sử dụng TABLE để kiểm tra, điều này giúp khám phá ra những giá trị min/max khá đặc biệt, chẳng hạn như sau:

Kiểm tra trong TABLE với điều kiện có được

4

để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức này dương hay âm.

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 2: TỔNG QUAN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Các phương pháp chính khi giải toán phương trình: 1. Tƣ duy đặt ẩn phụ: Đặt 1 ẩn phụ: Mục đích đưa về một phương trình, bất phương trình cơ bản hơn. Vậy khi nào đặt được ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát hiện sự lặp đi lặp lại:

Ví dụ 5:

Thông thường đến bước này cần phải quyết định thực hiện các phép biến đổi cơ bản đưa về ẩn phụ (Cộng, trừ, nhân, chia). Nếu lựa chọn phép chia thì phải triệt tiêu 1 biến:

Thường học sinh hay nản nhất ở bước quyết định có ẩn phụ hóa được hay không này, đó là cần biến đổi biểu thức lạc loài về được ẩn phụ cần đặt, và có thể hệ số bất định hóa:

Tới đây ta quy đồng và đồng nhất hệ số: .

Hay nói cách khác ta biến đổi phương trình về dạng:

Đến đây bài toán có thể xử lý được đơn giản hơn rất nhiều. Mời bạn đọc tiếp tục với hai bài toán cơ bản áp dụng sau:

Áp dụng 1:

5

Áp dụng 2:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đặt 2 ẩn phụ trở lên: Mục đích để nhóm nhân tử hoặc sử dụng hàm đặc trưng. Bản chất của hàm đặc trưng cũng chính là phép đặt ẩn phụ, do đó nếu ta tư duy liệu có hàm đặc trƣng đƣợc hay không, ta nên chuyển tư duy thành có thể dồn về hai ẩn phụ được hay không?

Ví dụ 6:

Trước tiên học sinh cần biết rút gọn phương trình về dạng:

Tới đây, ta tư duy xếp hai căn sang hai phía và quan sát dễ dàng thấy hai ẩn phụ:

Tuy nhiên như tôi đã nói ở trên, khó khăn nhất luôn là xử lý nhóm biểu thức còn lại, và theo kinh nghiệm của tôi, đó là sử dụng phương pháp hệ số bất định và đồng nhất hệ số:

Để tìm các hệ số, ngoài việc phá vỡ biểu thức và nhóm theo từng bậc của biến x, ta có thể thay 4 giá trị bất kỳ của x vào để tìm:

Tại sao 3 ẩn mà cần 4 phương trình? Vì cần có một phương trình để kiểm tra đó! Không phải lúc nào cũng đúng đâu nhé, nên phải hết sức cẩn thận !

Vậy ta viết lại thành:

Áp dụng 3: .

6

(Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1)

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

2. Tƣ duy tạo hằng đẳng thức: Đây là một phép biến đổi tay táo bạo nhưng lại giúp ích rất nhiều.

 Nếu xuất hiện: Tạo ra .

 Nếu xuất hiện: Tạo ra .

Ví dụ 7:

Phương trình

Ví dụ 8:

Ví dụ 9:

7

Điều kiện xác định: Bất phương trình đã cho tương đương với:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Do Do đó BPT

Vì:

Vậy để BPT xảy ra thì

3. Tƣ duy đi tìm nhân tử: A. Tìm nhân tử nghiệm đơn hữu tỷ cơ bản: Liên hợp căn bậc 3 Liên hợp căn bậc 2 Liên hợp căn bậc 3

Chú ý: .

Giả sử phương trình có nghiệm và trong phương trình

. có chứa căn thức , khi đó với

Vậy nếu sử dụng liên hợp: khi đó

sẽ xuất hiện nhân tử và có thể rút ra làm nhân tử chung.

Tuy nhiên, vì nên ta cũng có thể đánh giá .

Vậy nếu sử dụng liên hợp: ta

cũng rút được nhân tử .

8

Nhƣ vậy bản chất của phƣơng pháp nhân liên hợp là rút ra nhân tử chung để chỉ ra nghiệm của phƣơng trình. Khi hai đại lƣợng a và b có

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG giá trị bằng nhau, ta có thể sử dụng nhân liên hợp giữa hai đại lƣợng này. Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 1:

 Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa

đồng thời có đánh giá thì sử dụng liên hợp:

.

Ví dụ: khi đó ta sử dụng liên hợp:

.

 Nếu trong phương trình hay bất phương trình có chứa

đồng thời thì sử dụng liên hợp:

.

Ví dụ: khi đó ta sử dụng liên hợp:

.

Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 2: Giả sử bài

và phương trình có nghiệm . Khi đó ta đánh

toán chứa giá như sau:

Do đó ta có thể sử dụng các phương án liên hợp sau:







9



THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Việc lựa chọn liên hợp nào là một nghệ thuật và người sử dụng liên hợp trong quá trình làm bài cần phải là một nghệ sĩ, phải biết phối hợp giữa các điều kiện bài toán đưa ra ban đầu để từ đó quyết định đâu là liên hợp cần tìm.

Ví dụ 10:

B. Tƣ duy tìm nhân tử nghiệm vô tỷ:

Ví dụ 11:

Phân tích

.

 Sử dụng TABLE và SOLVE tìm được:  Thay vào căn thức tìm nhân tử: .

Hƣớng dẫn cách sử dụng TABLE và SOLVE

Bƣớc 1: Truy cập Mode 7 (Table):

, End = 7, Step =

Lựa chọn Start = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có sự đổi dấu trong .

Như vậy phương trình có thể có nghiệm trong khoảng này. Vì vậy ta sẽ sử dụng SOLVE với giá để tìm trị khởi đầu

10

ra nghiệm này.

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ phương trình:

Bƣớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với giá trị , ta thu được nghiệm:

Bƣớc 5: Thay vào căn thức ta có:

Vậy phương trình có nhân tử là:

Bài giải

Cách 1: Sử dụng liên hợp cơ bản:

Ta có:

Quy đồng ta được:

.

Cách 2: Sử dụng liên ngƣợc:

11

Ta có:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Liên hợp ngƣợc: Xét biểu thức liên hợp:

Do đó ta có thể viết lại: .

Do đó:

ƢU ĐIỂM VÀ NHƢỢC ĐIỂM CỦA LIÊN HỢP CƠ BẢN VÀ LIÊN HỢP NGƢỢC

Liên hợp cơ bản

Ƣu điểm Có lợi thế khi gặp bài toán

Nhƣợc điểm Liên hợp ngƣợc Lợi thế khi gặp bài toán bất phương trình. Bất lợi khi gặp bài toán có nhiều căn thức.

từ 2 căn thức trở lên. Bất lợi khi giải bất phương trình vì phải xử lý điều kiện mẫu số. Cần thử lại nghiệm sau khi giải xong phương trình. C. Tƣ duy nhân tử nghiệm bội hữu tỷ:

Ví dụ 12: Phƣơng pháp nhận diện bằng SOLVE và d/dx: Bƣớc 1: Bấm phương trình trên máy tính Casio và sử dụng SHIFT CALC (SOLVE) ta thu được .

Bƣớc 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm bội bằng cách xét:

là nghiệm bội kép

Vậy 12

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Phân biệt nghiệm đơn và bội qua d/dx:

 là nghiệm bội của nếu .

 là nghiệm đơn của nếu .

Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE:

Bƣớc 1: .

Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5.

là nghiệm bội kép.

Bƣớc 2: Nhận xét: Hàm số tiếp xúc trục hoành tại điểm duy nhất . Như vậy Phân biệt nghiệm đơn và nghiệm bội kép thông qua TABLE

 Hàm số đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm đơn.  Hàm số không đổi dấu khi đi qua trục hoành là nghiệm kép.

Phân biệt các loại nghiệm bằng sự kết hợpSOLVE, d/dx và TABLE:

Là nghiệm đơn . Không là nghiệm . Đơn

Nghiệm kép . Không là nghiệm kép . Kép

Là nghiệm đơn . Là nghiệm kép . Bội 3

Là nghiệm kép . Là nghiệm kép . Bội 4

Chú ý: Các bài toán nghiệm bội phần lớn là nghiệm kép. Giải bài toán nghiệm bội hữu tỷ nhƣ thế nào? Cách 1: Nhân liên hợp: Tổng quát: Nếu là nghiệm bội kép hữu tỷ và phương trình có

13

chứa căn thức , khi đó ta đặt:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Ta tìm các hệ số bằng cách giải hệ sau:

Chú ý:

 Nếu là nghiệm bội 3, ta đặt .

Giải hệ:

Trong đó là để tính đạo hàm cấp 2.

 Nếu có 2 nghiệm bội kép, ta có thể rút từng nghiệm kép ra lần lượt bằng nhân liên hợp (Liên hợp 2 lần liên tiếp) hoặc ta làm

giống như nghiệm bội 3: Đặt .

Giải hệ:

Trong bài toán này, ta có Bài giải là nghiệm bội kép, đặt:

.

14

Khi đó ta sẽ tìm các hệ số bằng cách giải hệ sau:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vậy với ta có nên liên hợp cần tạo ra là :

.

Ta có:

.

Cách 2: Tạo hằng đẳng thức (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép):

Ta có:

Cách 3: Sử dụng đánh giá AM – GM (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép).

 AM – GM cho 2 số: . Do đó sử dụng bất

đẳng thức này với những biểu thức chứa căn bậc 2 và lựa có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra chọn 2 đại lượng . khi

 AM – GM cho 3 số: . Do đó sử

dụng với những biểu thức chứa căn bậc 3 và lựa chọn 3 đại lượng không âm có giá trị bằng nhau vì dấu bằng xảy ra khi .

 Tương tự như vậy ta có thể đánh giá bất đẳng thức AM – GM

cho các căn bậc cao hơn.

. Vậy (AM – GM cho

15

Áp dụng: Vì 2 số).

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Ta có: .

Mà . Do đó: .

Cách 4: Đặt ẩn phụ và phân tích nhân tử (Phƣơng pháp này hoàn toàn độc lập và không bị lệ thuộc vào máy tính):

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

.

Cách 5: Liên hợp ngƣợc:

Ta có:

D. Tƣ duy nghiệm bội vô tỷ:

Ví dụ 13:

Phƣơng pháp nhận diện bằng TABLE: Bƣớc 1: Xét hàm số:

16

Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị của TABLE: Ta thấy: Phương trình có vẻ như không có nghiệm bởi tất cả các giá trị đều mang dấu dương. Tuy nhiên, điều này có thể được lý giải như sau:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

 Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị được các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị được.

 Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có sự đổi dấu từ âm sang dương nhưng điều này không hề xuất hiện bởi nghiệm kép vô tỷ này sẽ khiến hàm số không thể đổi dấu khi đi qua trục hoành.

Như vậy đây là dấu hiệu của Nghiệm kép vô tỷ, tuy nhiên, điều đó sẽ chỉ được khẳng định hoàn toàn nếu ta tìm được nghiệm của phương trình, mà điều này không quá khó khăn, ta có thể quay trở lại Mode 1 và dùng SOLVE. Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1 và sử dụng SOLVE, ta tìm được:

Giải bài toán nghiệm bội hữu vô tỷ nhƣ thế nào? Bƣớc 4: Thay vào căn thức ta được:

Vậy ta có đánh giá .

17

Cách 1: Tạo hằng đẳng thức:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Cách 2: Sử dụng đánh giá AM – GM:

. Ta có:

. Do đó

Cách 3: Ép tích bằng ẩn phụ:

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

. Thay ngược :

18

.

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

4. Tƣ duy giải toán bằng ẩn phụ không hoàn toàn:

Đây là một dạng phương pháp giải quyết các phương trình có

dạng bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm

đến nghiệm của phương trình. Các bươc làm như sau:

Bƣớc 1: Đặt điều kiện .

Xét phương trình tổng quát có dạng .

Bƣớc 2: Gán cho khi đó ta được phương trình bậc hai với ẩn

là t và tham số là .

Bƣớc 3 :

 Tính và tìm sao cho là số hữu tỷ và .

 Khi tìm chúng ta sử dụng TABLE với Start = 9;

End = 9; Step = 1 tìm giá trị thỏa mãn điều kiện trên.

 Ta tìm được và tính được .

Ví dụ 14:

Đặt

với

khi đó theo phương trình tổng

quát ta đi tìm

vậy phương trình đã cho có dạng như sau :

( 2) .

Gán giá trị cho

khi đó phương trình ( 2)

.

Tới đây ta tiến hành giải với tham số và với ẩn là t .

.

Xét hàm số .

Sử dụng chức năng TABLE để tìm và nguyên sao cho

có giá trị hữu tỷ:

Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: X F(X)

19

Với các giá trị: 587.4904< 525.0152< 462.8271< 9 8 7 .

 START =

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

 END = 9.  STEP = 1.

Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X là giá trị khác 0. Dựa vào bảng giá trị TABLE như trên, ta nhận thấy với X = 1 thì: F(X) Vậy nếu lựa chọn

thì:

Do đó, nếu ta lựa chọn:

Vậy với cách đặt ẩn phụ là t và ta được phương trình có :

401.0598< 339.9426< 279.9017< 221.8129< 167.7170< 123 101 115.5205< 156.7194< 209.4015< 266.8501< 326.5593< 387.4854< 449.1336< 511.2426< 573.6627< 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.

Vậy khi đó phương trình đã cho có dạng như sau:

.

.

.

Khi đó, bằng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta thu được

hai nghiệm sau :

20

Đến đây phương trình sẽ được viết dưới dạng nhân tử như sau :

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

5. Tƣ duy giải toán bằng phƣơng pháp đánh giá :

Ví dụ 15:

Ta có:

Ta nhận xét hàm số: là hàm số đồng biến khi .

Do đó: Ta đánh giá:

 Nếu thì :

(Loại).

 Nếu thì :

(Loại).

 Mặt khác thử lại ta thấy đều

thỏa mãn là nghiệm của phương trình.

Áp dụng:

Áp dụng:

21

Áp dụng:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 3: TỔNG HỢP CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN XỬ LÝ “HẬU QUẢ CỦA LIÊN HỢP VÀ NHÓM NHÂN TỬ”

1. Kỹ năng 1: Thế rút từ phƣơng trình ban đầu: Nguyên tắc: Sau khi liên hợp xong, ta thực hiện phép thế từ phương trình ban đầu vào:

Ví dụ 16:

Thay ngược ta có:

(Đơn giản rồi nhé!)

Ví dụ 17:

Ta có:

ta có:

Thay ngược 22

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

(Xong rồi nhé!).

Áp dụng 4: .

.

Áp dụng 5: 2. Kỹ năng 2: Bình phƣơng phƣơng trình hệ quả:

Ví dụ 18:

(Thỏa mãn điều kiện xác định).

Trƣờng hợp 1: Thay vào phương trình ta thấy đây là một nghiệm thỏa mãn.

. Bình phương hai vế ta Trƣờng hợp 2:

được:

. Thử lại ta thấy các nghiệm này không thỏa mãn

phương trình ban đầu. 3. Kỹ năng 3: Đánh giá không âm: Đánh giá không âm là tạo một lượng vừa đủ không âm, phần còn lại đánh giá theo chiều dương, thông thường đại lượng không âm có thể hiểu là một hằng đẳng thức hoặc sử dụng kết hợp điều kiện:

Ví dụ 19:

Phương trình

23

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Dùng đánh giá ước lượng: .

Dùng TABLE ta nhận thấy:

Ta nhận thấy vừa dùng đánh giá ƣớc lƣợng vừa dùng TABLE sẽ rất hiệu quả.

Ta chứng minh: (Vì ta biết chắc chắn dƣơng rồi nên mới chứng minh đó…) Với x < 3 bất phương trình luôn đúng.

Ngược lại thì quy đồng: (Đúng).

Ví dụ 20:

24

Phương trình

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Ta kết hợp điều kiện xác định với việc tạo hằng đẳng thức ta được:

.

Vậy ta có: Chú ý: Ta có thể giải bằng truy ngƣợc dấu, hàm đặc trƣng. Mời bạn đọc tự thử sức. Nhƣng đôi khi sử dụng kỹ thuật “Parabol nhỏ”, ta có thể tạo đƣợc những bất ngờ thú vị hơn, mời bạn đọc xem bài ví dụ tiếp theo:

Ví dụ 21:

Phương trình

Tới đây, sử dụng TABLE với hàm số:

Ta nhận thấy hàm số tiếp xúc với . Hay nói cách đường thẳng

khác, nhân tử:

Sẽ đem lại hằng đẳng thức!

Thật vậy, đặt .

25

Hay nói cách khác, ta biến đổi phương trình về dạng:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

4. Kỹ năng 4: Sử dụng hằng đẳng thức hoặc AM – GM đánh giá:

Ví dụ 22:

Ta có:

.

Trƣờng hợp 1: Trƣờng hợp 2:

Hướng đi 1: Sử dụng AM – GM để đánh giá vô nghiệm:

 Ta chứng minh Vế phải < A, khi đó Vế trái < A và chuyển

thành bất phương trình Vế trái – A < 0 và chứng tỏ bất

phương trình này vô nghiệm.

 Thông thường để bất phương trình này có thể vô nghiệm, ta

cần biến đổi Vế phải < A sao cho bậc của biểu thức A phải

nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Vế trái. Nếu bậc bằng nhau thì

hệ số bậc cao nhất của A cần phải nhỏ hơn hoặc bằng hệ số

bậc cao nhất của Vế trái.

Chính vì vậy mà theo bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá sau:

Do đó:

(Vô lý).

.

26

Vậy: Hướng đi 2: Sử dụng hằng đẳng thức:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Rõ ràng phương trình vô nghiệm. Vậy: .

Ví dụ 23:

Điều kiện:

Phương trình

Sử dụng quy tắc ước lượng ta có:

Sử dụng TABLE kiểm tra ta thấy:

27

Do đó biến đổi phương trình ta được:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Quá dễ để chứng minh:

Ta chứng minh: Hướng đi 1: Nhóm hằng đẳng thức:

(Đúng).

Hướng đi 2: Sử dụng AM – GM:

Mặt khác, vì đẳng thức không xảy ra. Do đó ta có:

28

Vậy: .

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 4: NHỮNG QUY TẮC KHAI THÁC ĐIỀU KIỆN Có rất nhiều các phương pháp dùng để khai thác điều kiện từ một phương trình tưởng chừng như không thể có điều kiện gì:

Ví dụ 24: Khai thác điều kiện từ:

Ta có:

Mặt khác theo AM – GM ta có:

Vậy ta thu được: hoặc .

Ví dụ 25: Khai thác điều kiện tử:

Ta có: cho nên:

Mặt khác, làm trội ta có: .

Do vậy: .

Vì nên bình phương hai vế ta được:

Vậy ta thu được: (Ép điều kiện rất chặt!).

Ví dụ 26: Khai thác điều kiện từ:

cho nên: .

Vì: Chú ý: Kể cả không phát hiện đƣợc mối quan hệ lớn hơn lúc đầu,

ta cũng có thể xử lý nhƣ sau: .

29

Ví dụ 27: Khai thác điều kiện từ:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Ta có:

Vì bất phương trình chỉ có nghiệm lẻ của phương trình bậc 3, tuy nhiên trong chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương pháp Cardano để xử lý phương trình bậc ba này. Vậy làm thế nào để hóa giải được bất phương trình trên? Chú ý rằng bất phương trình có nghiệm lẻ như sau:

.

Do đó chúng ta có thể khẳng định chắc chắn tại đây ta sẽ có Vậy làm sao để chỉ ra được Ta sử dụng xét ? . Bấm CALC 2 ta được kết quả là 2.

có thể ra được nghiệm là 2.

Như vậy phương trình Thật vậy, ta có: .

. Do đó bằng cách đánh giá này ta đã

có được điều kiện quan trọng cần tìm. Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

30

. Vậy: !

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 5: BỔ ĐỀ CỦA HÀM SỐ LOGARIT TRONG CHỨNG MINH VÔ NGHIỆM

Bổ đề: Chứng minh rằng với mọi thì .

Chứng minh: Xét hàm số: với .

Ta có: với . Vậy là hàm số nghịch

biến và liên tục khi . Do vậy: . Hay nói cách khác,

thì .

với mọi TQ: (Dành cho bạn đọc tự chứng minh).

Bổ đề thứ hai: (Dành cho bạn đọc tự chứng minh).

Ví dụ 28:

Ta dễ dàng nhóm được nhân tử:

.

Xét: (Áp dụng bổ đề)

(Vô nghiệm).

Vậy: .

Ví dụ 29:

Ta có:

(Theo bổ đề), do đó: .

Ta có: BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1. Giải phương trình sau:

31

2. Giải phương trình sau:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 6: KỸ NĂNG ÉP TÍCH

1. Phƣơng pháp ép tích cổ điển:

Ví dụ 30:

Phân tích: Sử dụng máy tính ta được hai nghiệm đơn: khi

đó .

Giải: Đặt khi đó phương trình trở thành:

Không cần phải phá ra cho khổ, phá ra còn dễ sai hơn. Chia đa thức vế trái cho ta được:

. Thay ngược ta Phương trình

được:

Rút gọn

Ví dụ 31:

Phân tích: Có nghiệm kép và một nghiệm vô tỷ

. Thay vào căn ta được . Do đó

nếu đặt ta được .

Vậy phương trình có nghiệm kép và có nhân tử .

Giải: Đặt , phương trình trở thành:

Chia vế trái cho ta có phương trình trở thành:

.

32

Thay ngược phương trình trở thành:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

.

BÀI TẬP ÁP DỤNG TỰ LUYỆN

Bài 1: .

Đáp án:

Bài 2: .

Đáp án:

Bài 3: .

Đáp án:

2. Ép tích hiện đại:

Ví dụ 32:

Phân tích: Đặt . Sử dụng máy tính Casio ta thu được hai

nghiệm đơn khi đó ta có hai nghiệm đơn và .

Giải: Đặt . Phương trình trở thành:

Rút gọn . Vì có nghiệm khi

đó xấu xí quá, do đó các biểu thức còn lại chứa nhân tử

. Thật vậy, phương trình

.

Bấm máy tính phần trong ngoặc có nghiệm

là nhân tử cần tìm. Do vậy phương trình:

33

Nhớ rằng: . Do đó:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

. Thay ngược ta có:

Phân tích sâu hơn: Thật ra kỹ năng ép tích mà sài bằng tay thì sẽ hiệu quả nhất.

Nhớ rằng với các nghiệm: là các

nhân tử cần nhóm. Tuy nhiên phải hết sức khéo léo mới nhóm được.

Ta có:

Ví dụ 33:

Bài toán có 1 nghiệm đơn duy nhất: . Đặt , ta có:

.

Dễ quá đi mất, đặt ngược ta có:

.

34

Ép tích bằng tay:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Ví dụ 34:

Sử dụng máy tính có nghiệm duy nhất . Đặt . Khi đó

ta có: .

Chú ý rằng với

Vậy có chứa nhân tử: . Khi đó ta tách:

Thay ngược ta được kết quả:

.

Ép tích bằng tay: Vì

.

Do đó có nhân tử: .

Đến bây giờ thì rõ như ban ngày:

.

35

ra: Ép đến đây bị thiếu để ép tiếp nên tách bớt

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

.

Cái phần đè thêm vào đó và ép ra nhân tử:

Chịu khó thì bao giờ trời cũng thương mềnh! Đến đây xử nốt thôi<

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải phương trình:

Đặt , phương trình trở thành:

Bài 2: Giải phương trình:

Đặt , phương trình trở thành:

Bài 3: Giải phương trình:

36

Đặt , phương trình trở thành:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 4: Giải phương trình:

. Khi đó phương trình trở Đặt

thành:

Bài 5: Giải phương trình:

37

Đặt . Khi đó:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 6: Giải bất phương trình:

Đặt , ta biến đổi bất phương trình trở thành:

Bài 7: Giải phương trình:

38

Đặt . Ta có:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Chú ý rằng: . Do đó:

Bài 8: Giải phương trình:

Đặt , phương trình trở thành:

Bài 9: Giải phương trình:

39

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 10: Giải phương trình:

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

Bài 11: Giải phương trình:

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

Bài 12: Giải phương trình:

40

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 13: Giải phương trình:

41

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 14: Giải phương trình:

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

.

Bài 15: Giải phương trình:

42

Đặt ẩn phụ . Khi đó phương trình trở thành:

T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

43

15.