Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng Sử dụng đạo hàm để giải phương trình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Rèn luyện kỹ năng Sử dụng đạo hàm để giải phương trình" nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh thông qua hoạt động tìm tòi, phân tích, tìm dấu hiệu đặc trưng để lựa chọn công cụ giải quyết bài toán hợp lý và hiệu quả hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng Sử dụng đạo hàm để giải phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỶ NĂNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3 =====  ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỶ NĂNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tên tác giả : Trần Thanh Bình Trường : THPT Tân Kỳ 3 Số ĐT : 0948240913 Tổ bộ môn : Toán - Tin Năm thực hiện : 2021 - 2022
MỤC LỤC Trang 1. MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2 1.3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 1.5. Điểm mới của đề tài:.................................................................................... 2 2. NỘI DUNG: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN ............................ 3 2.1 Cơ sở lý luận ................................................................................................ 3 2.1.1. Kỷ năng và kỷ năng giải toán................................................................ 3 2.2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................ 4 2.2.1. Thực tiễn dạy học rèn luyện .................................................................. 4 2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh. ................... 4 2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh. ............................................. 5 2.3. Các giải pháp thực hiện: .............................................................................. 6 2.3.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên  a; b : ................... 8 2.3.2. Đối với loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm) .................. 15 2.3.3. Đối với loại phương trình dạng f  u   f  v  ..................................... 23 2.3.4. Sử dụng định lí Lagrange .................................................................... 28 2.3.5. Các bài tập làm thêm .......................................................................... 32 2.4. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 40 2.4.1. Mục đích của thực nghiệm .................................................................. 40 2.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 40 2.4.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 40 2.4.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................................. 41 3. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 42 3.1. Kết luận ..................................................................................................... 42 3.2. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài sáng kiến kinh nghiệm ...................... 42 3.3. Những kiến nghị, đề xuất: .......................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 44 PHỤ LỤC............................................................................................................ 45
1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay giáo dục đang có sự chuyển biến mạnh mẻ cả về mọi mặt, trong đó đổi mới về phương pháp dạy, phương pháp học là chủ đạo. Giáo dục cần tạo ra sản phẩm là nhửng thế hệ trẻ có tài năng, có năng lực thực sự. Chính vì vậy theo định hướng chung của giáo dục nước ta và của sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nghệ An nói riêng là thay đổi cách dạy, cách truyền thụ tri thức sao cho phù hợp với các kỳ thi THPTQG, kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy của các trường đại học tốp đầu cả nước. Hội nghị lần thứ 8 BCH TW Đảng Cộng Sản Việt Nam khóa XI, đã thông qua nghị quyết số 29/NQ - TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản tòan diện giáo dục và đào tạo. Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, trong đó kỹ năng giải toán đóng vai trò rất quan trọng đảm bảo mối liên hệ giửa học với hành. Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, chính vì tầm quan trọng của đạo hàm nên trong chương trình môn toán THPT hiện nay, đạo hàm được trình bày ở chương 5 trong chương trình môn toán lớp 11 (khác với chương trình cải cách trước đây) và chương 1 trong chương trình môn toán lớp 12 nhằm giúp học sinh sớm tiếp sớm cận với đạo hàm và giúp các em thấy được một số ứng dụng cơ bản của đạo hàm. Học sinh khi tiếp cận với một bài toán trước hết cần phải lựa chọn công cụ giải quyết bài toán hợp lý và tối ưu. Đối với nhiều bài toán về phương trình thì công cụ đạo hàm là một công cụ hữu hiệu, hơn nữa thông qua đó giúp học sinh phát triển tư duy về phân tích, đánh giá, tổng hợp và so sánh.... Tuy nhiên trong chương trình cũng như sách giáo khoa môn toán ở bậc THPT, học sinh chỉ mới được tiếp cận và hiểu biết về đạo hàm ở một mức độ nhất định, chưa có nhiều ứng dụng và chưa được rèn luyện nhiều về kỹ năng giải toán bằng công cụ đạo hàm. Với mong muốn thông qua đạo hàm giúp học sinh giải một số bài toán về phương trình vô tỉ, phương trình mũ và logarít cũng như có một cái nhìn mới, nhiều phía về các vấn đề đã được học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng Sử dụng đạo hàm để giải phương trình” để trình bày, trong quá trình thực hiện không thể tránh được những khuyết điểm. Rất mong sự góp ý xây dựng từ tất cả 1
đồng nghiệp trong Tổ Toán - Tin Trường nói riêng và đồng nghiệp trong toàn trường nói chung. 1.2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh thông qua hoạt động tìm tòi, phân tích, tìm dấu hiệu đặc trưng để lựa chọn công cụ giải quyết bài toán hợp lý và hiệu quả hơn. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh thông qua bài toán giải phương trình vô tỷ, mủ và logarit. - Rèn luyện kỹ năng thông qua hoạt động giải toán - Là học sinh từ mức khá, giỏi của trường THPT Tân Kỳ 3. 1.4. Phương pháp nghiên cứu - Xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu từ sách, báo, mạng internet về kỹ năng giải toán theo hướng phát triển năng lực cho học sinh. - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích những sai lầm của học sinh khi giải toán, phân tích dữ kiện của bài toán, tìm các dấu hiệu và lựa chọn công cụ hợp lý để giải toán. - Phương pháp điều tra thực nghiệm: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, thăm do tình hình học tập của học sinh 1.5. Điểm mới của đề tài: Thứ nhất: Đề tài được xây dựng thành hệ thống các dạng bài tập. Phương trình có nghiệm duy nhất trên  a; b , phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm), phương trình dạng f  u   f  v  , phương trình sử dụng định lí Lagrange. Thứ hai: Đề tài đưa ra được các quy trình giải qua đó giúp cho học sinh hình thành được các phẩm chất và năng lực toán học cần thiết Thứ ba: Rèn luyện cho học sinh một phong cách học tập, làm việc khoa học, cẩn thận, tránh được những thiếu sót và đạt được hiệu quả cao trong học tập. Thứ tư: Đề tài giúp cho học sinh làm quen với năng lực sáng tạo, năng lực sử dụng công cụ toán học. 2
2. NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỂN 2.1. Cơ sở lý luận 2.1.1. Kỷ năng và kỷ năng giải toán 2.1.1.1. Khái niệm kỷ năng Theo từ điển tiếng việt “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế’’ [24,tr426] Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định’’ [2,tr149] Như vậy kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới. 2.1.1.2. Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản. Trong các môn học ở trường phổ thông, môn toán là môn học giử vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh. Khi học toán kỹ năng giử một vai trò rất quan trọng vì nến không có kỷ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và củng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề. 2.1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán Việc rèn luyện kỹ năng giải toán là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành. Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lý mà học sinh không nắm được bản chất của phát biểu đó nên không biết vận dụng hay không vận dụng thành thạo vào việc giải bài tập. Do đó giải bài tập toán là “chìa khóa” để rèn luyện kỹ năng giải toán. Đẻ rèn luyện kỷ năng giải toán giáo viên cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau: 3
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận biết ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối liên hệ giữa chúng. - Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại. Ngoài ra một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học sinh bằng cách rèn luyện các mặt sau. - Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau và so sánh các cách giải khác nhau để hiểu sâu sắc hơn. - Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm đặc điểm của bài toán. 2.1.1.4. Phân loại các kỹ năng trong môn toán. - Kỹ năng nhận thức. - Kỹ năng thực hành. - Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức. - Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá. 2.2. Cơ sở thực tiễn 2.2.1. Thực tiễn dạy học rèn luyện Qua quá trình 20 năm giảng dạy tại đơn vị tôi nhận thấy: Đa phần các em học sinh khi học khái niệm, khi xây dựng định lý, hệ quả thì thấy trìu tượng, khó hiều và mơ hồ khi vận dụng vào làm bài tập. Nhiều học sinh chưa hiểu về khái niệm, định lý và các ví dụ mẫu nên dẫn đến giải bài tập còn mắc nhiều sai lầm. Khả năng phân tích bài toán, tìm dấu hiệu đặc trưng của bài toán không có Khả năng tìm tòi và tự học của đa số học sinh quá yếu. Nhiều giáo viên ít có cơ hội dạy lớp mũi nhọn và dạy ôn luyện thi đại học nên có sa sút về kiến thức do đó dẫn đến tình trạng định hướng giải cho học sinh cũng mắc nhiều sai lầm trong quá trình dạy học. 2.2.2. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh. Để khảo sát và tìm hiểu về tình hình học tập của học sinh tôi phát phiếu khảo sát cho học sinh hai lớp 12A1, 12A6 với nội dung phiếu khảo sát như sau. 4
PHIẾU KHẢO SÁT Họ và tên học sinh: …………………………. Lớp: …...............................… Em hãy trả lời các câu hỏi sau. Câu Nội dung Có Không 1 Em có thích học bộ môn toán không? 2 Em có gặp khó khăn khi giải phương trình ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao không? 3 Em có thành thạo việc sử dụng ứng dụng của đạo hàm vào việc giải phương trình không? 4 Em có hứng thú khi học chương 1: Ứng dụng của đạo hàm không? 5 Em có nắm được và hiểu được định lý Lagrange không ? 2.2.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh. Bài toán 1. Giải phương trình: sinx = x. (1) Phân tích: Có một số học sinh đã giải như sau. (1)  x  sinx  0 (*) Xét hàm số: f  x   x  sinx, x  Ta có f   x   1  cosx  o,x  . Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R, mà ta lại có f(0) = 0. Nên phương trình (*) có dạng f(x) = f(0)  x  0 là nghiệm của phương trình đã cho. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh là chưa nắm vững tính đơn điệu của hàm số. đó là ngoài f   x   0 phải chú ý rằng còn phải xét f   x   0 tại một số hữu hạm điểm thì hàm số mới đồng biến. Ở đây f   x   0  x  k 2 , k  R là vô số điểm nên chưa thể khẳng định được hàm số đồng biến trên . Bài toán 2. Giải phương trình: x2  3x  1  2 x  1  0 . 5
1 Học sinh giải như sau: ĐK x  . Phương trình đả cho tương đương 2 2 x  1  2 x  1  x2  x  f   2 x  1  f  x  (*) 1 1 Xét hàm: f  t   t 2  t , t  (do x  ) 2 2 1 1 Ta có f   t   2t  1  0, t  và f   t   0  t  . Suy ra f(t) đồng biến 2 2 1   x0 trên  ;   . Từ đó phương trình (*) cho ta 2 x  1  x    x  1. 2  2 x  1  x 2 Vậy phương trình có một nghiệm x = 1. Nguyên nhân lời giải sai lầm là việc xét hàm số: f  t   t 2  t trên 1   1  2 ;   mà không xét t  0; 2  nên làm mất đi nghiệm x  2  2 .  Bài toán 3. Giải phương trình ; 2 x.3x  3x  2 x  1 Phân tích: Học sinh đưa ra lời giải như sau. 1 Phương trình tương đương  2 x  1 3x  2 x  1 . vì x  không phải là 2 2x  1 nghiệm nên ta chia cả hai vế cho 2x - 1, được 3x  . Xét hàm 2x  1 2x  1 1 1 f  x   3x  , x  . có f   x   0, x  nên hàm số đơn điệu với mọi x  2 2x  1 2 2 Và f(1) = 0 suy ra x = 1 là nghiệm. 2x  1 Sai lầm của lời giải là học sinh không nhận thấy đồ thị hàm y  2x  1 2x  1 có hai nhánh. nên xét sự tương giao của hai đồ thị y  và y  3x cắt 2x  1 nhau tại hai điểm có hoành độ là x = 1 ; x = -1. 2.3. Các giải pháp thực hiện Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng để giải toán sơ cấp, do khuôn khổ có hạn, 6
trong đề tài này tôi chỉ trình bày ứng dụng mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi đánh giá năng lực vào các trường Đại học đó là:  Giải các phương trình vô tỉ, mũ, logarít Tôi cố gắng trình bày các bài toán một cách chi tiết, phân tích và nhận xét cách giải nhằm giúp học sinh thấy được khi nào dùng công cụ đạo hàm có hiệu quả cao. Sau đây tôi xin trình bày một số hoạt động thể hiện nội dung đề tài: Khi giải phương trình vô tỉ, mũ, logarít học sinh gặp một số phương trình mà việc giải các phương trình này bằng phương pháp thông thường (phương pháp đặt ẩn phụ, lũy thừa,...) gặp khó khăn, vậy phải dùng công cụ nào để giải quyết đây ? Nhìn lại định nghĩa về phương trình thì thấy rằng mỗi một phương trình chẳng qua là sự tương giao của 2 đồ thị của 2 hàm số nào đó trong một phương trình đã cho, mà một trong những công cụ khảo sát đồ thị của một hàm số một cách “lợi hại” đó chính là đạo hàm. Vậy thử sử dụng công cụ đạo hàm có được không ? nếu sử dụng thì sử dụng như thế nào ? Trước hết tôi yêu cầu học sinh phải nắm được các tính chất cơ bản sau:  Tính chất 1. Nếu hàm số f  x  đơn điệu trên tập D  , với x1 , x2  D khi đó ta có: f  x1   f  x2   x1  x2  Tính chất 2. Nếu hàm số f  x  đơn điệu và liên tục liên tục trên khoảng  a; b  thì tồn tại nhiều nhất một điểm x0   a; b  để f  x0   0 .  Tính chất 3. (Định lí Bolzano-Cauchy ) Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b và f  a . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm x0   a; b  để f  x0   0 .  Tính chất 4. Nếu hàm số f  x  liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình f  x   0 có không quá một nghiệm trên D . 7
2.3.1. Đối với Loại phương trình có nghiệm duy nhất trên  a; b Ví dụ mở đầu. a) Trước hết ta xét phương trình sau: 4x  3.2x  10 Nhận xét: Đặt t  2 x ; t  0 , ta được phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình này tính được t từ đó tính được nghiệm x của phương trình. Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái “có vẻ” là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình, dựa vào tính chất 2 thì phương trình tồn tại nhiều nhất một nghiệm và dễ dàng thấy x  1 là nghiệm. b) Xét phương trình phức tạp hơn: 1  x  x  3  2 Nhận xét: Phương trình này giải bằng cách: Phương trình  1 x  x  3  2 bình phương 2 vế của phương trình 2 lần, tính được nghiệm. Tuy nhiên: Nếu quan sát kỹ thì vế trái “có vẻ” là hàm số giảm trên TXĐ của phương trình, dựa vào tính chất 3 thì phương trình tồn tại nhiều nhất một nghiệm và dễ dàng thấy x  3 là nghiệm. Từ những nhận xét này tôi hình hành cho học sinh các bước giải như sau: Bước 0. Bước phán đoán phương trình có nghiệm duy nhất (có thể xem là bước phân tích). Bước 1. Xây dựng hàm số f  x  trên MXĐ của phương trình. Bước 2. Xét dấu đạo hàm f '  x  để phát hiện tính tăng giảm, nên phương trình nếu có nghiệm thì chỉ có tối đa là một nghiệm. Bước 3. Tìm một nghiệm x  x0 của phương trình. Tôi xin minh họa qua các bài toán cụ thể sau: Bài toán 1. Giải phương trình: x  1  x  2  7  2 x  10 (1) Nhận xét: Trong quá trình giảng dạy tôi thường chia lớp thành các nhóm để học sinh trao đổi và thảo luận và nhận thấy. 8
Bài toán này học sinh thường giải như sau: +) Bình phương 2 vế của phương trình ta được (1)  2 x 1  2  x  1 x  2  3x  39 14 2 x  10 +) Tới đây không thể đặt ẩn phụ cũng như bình phương 2 vế được nữa vì rất phức tạp và lời giải đi vào bế tăc Do đó tôi hướng học sinh suy nghỉ đến một cách cách giải khác Bước 0. Học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề Dấu hiệu: Nếu quan sát kỹ sẽ nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn là các hàm số là các hàm số tăng (hàm số bậc nhất có hệ số a > 0). Học sinh lựa chọn cách thức, công cụ để giải quyết đó là sử dụng đạo hàm và các tính chất nêu ở trên Học sinh thu thập các thông tin và làm rõ các thông tin Sau đó học sinh thực hiện giải quyết vấn đề Giải bài toán 1. ĐKXĐ của phương trình là: x  2 Bước 1. Xét hàm số: f  x   x  1  x  2  2 x  10  7 , với x  2 Bước 2. Xét dấu đạo hàm Ta có: 1 1 1 f ' x     0, x  (2; ) 2 x 1 2 x  2 2 x  10  hàm số tăng trên  2;   do đó theo tính chất 4 thì phương trình f  x   0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình. Bước 3. Tìm một nghiệm mặt khác f  3  0 nên x  3 là nghiệm 9
Vậy phương trình có nghiệm x  3 . Để phù hợp với các kỳ thi THPTQG và các kỳ thi đánh giá năng lực thì yêu cầu học sinh phải tính toán nhanh nên tôi hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay giải bài toán như sau: Bước 1. Vào TABLE nhập f  x   x  1  x  2  2 x  10  7 . Bước 2. Do hàm số đơn điệu và f  2 . f  4   0 nên phương trình chỉ có một nghiệm   2;4  . START = 2. END = 4 Bước 3. Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả x f(x) 2 -1.52629 2.5 -0.54908 3 0 3.5 0.46917 4 0,89292 Qua bài toán này tôi đả hình thành được cho học sinh các năng lực toán học như : Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực hợp tác và năng lực sử dụng công cụ toán học Bài toán 2. Giải phương trình: x2  4 x  9  x2  4 x  9  6 Nhận xét: Giáo viên cho các nhóm tiến hành trao đổi và thảo luận và tôi thấy học sinh gặp khó khăn là thường nghĩ tới bình phương 2 vế, nhưng xuất hiện một phương trình bậc 4 không mẫu mực. Vì vậy lời giải bế tắc Nên tôi hướng học sinh nghĩ đến lựa chọn công cụ đạo hàm để giải quyết bài toán. Qua bài toán này tôi phát triển các năng lực toán học cho học sinh như : Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực hợp tác. 10
Bước 0. Dấu hiệu:  Hàm số y  x  4 x  9 tăng với x  2 , giảm với x  2 2 Hàm số y  x  4 x  9 tăng với x  2 , giảm với x  2 2 Như vậy hàm số vế trái của phương trình tăng với x  2 , giảm với x  2 , chỉ còn lại khoảng  2;2   Phương trình f '  x   0 chỉ có một nghiệm duy nhất x  0 và giá trị này cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Do đó phải lập được BBT của hàm số. Giải bài toán 2. ĐKXĐ: x  Bước 1. Xét hàm số: f  x   x 2  4 x  9  x 2  4 x  9  6 , trên Bước 2. Xét dấu đạo hàm x2 x2 Ta có: f '  x    x2  4x  9 x2  4x  9  x  2  f '  x   0  x  2  f ' x   0  x   2;2  x  2  0; 2  x  0 cho f '  x   0  ( x  2) ( x  2)  5  (2  x) ( x  2)  5 2 2  u v 2  5  v u 2  5 , với u  x  2; v  2  x  u 2  v 2  5  v 2  u 2  5  u 2  v2  u  v (u  0, v  0) Hay:  x22 x  x0 11
Vậy ta có BBT sau x  2 0  2 f (x)   0     f(x) 0 Bước 3. Dựa vào BBT ta có phương trình có nghiệm duy nhất x  0 . Bài toán 3. x 1 Giải phương trình: ln x  x Phân tích: Giáo viên tổ chức lớp thành các nhóm học tập trao đổi và thảo luận. Học sinh phát hiện được vấn đề: Để giải phương trình này học sinh có các lựa chọn 1. khảo sát sự tương giao của hai đồ thị. Với cách lựa chọn này học sinh gặp x 1 khó khăn khi khảo sát hàm số f  x   x x 1 2. Đưa phương trình về dạng : f  x   ln x   0 và xét dấu đạo hàm x chứng minh hàm đơn điệu trên tập xác định và áp dụng tính chất 1 Bước 0. Dấu hiệu: Loại phương trình được gọi là phương trình “siêu việt” . Biến đổi x 1 phương trình về dạng : f  x   ln x   0 và nhận thấy hàm đơn điệu trên x khoảng  0;  nên theo tính chất 2 phương trình có nhiều nhất một nghiệm 12
Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề Giải bài toán 3. ĐKXĐ: x  0 x 1 Bước 1. Xét hàm số: f  x   ln x  x Bước 2. Xét dấu đạo hàm   2 1 x 1 2 x  x 1 x 1 Ta có: f '  x       0; x   0;   x 2x x 2x x 2x x do đó phương trình f  x   0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình. Bước 3. Tìm một nghiệm mặt khác f 1  0 nên x  1 là nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  1 . Nhận xét : Ngoài ra giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay đê giải nhanh. Và qua bài toán 3 này tôi đã hình thành được các các năng lực toán học như : Năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học, năng lực hợp tác và năng lực sử dụng công cụ toán học. Bài toán 4. sin 2 x 2 Giải phương trình:    3cos 2 x  log 6 1296 3 Nhận xét: Đầu tiên tôi cố gắng hình thành cho học sinh năng lực tư duy và lập luận toán học sinh như sau: Bước 0. Dấu hiệu: phân tích và đưa về cùng số mũ 13
sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin 2 x 2 2 2 1  3cos 2 x    312sin    3.  2 x Ta có:,   3 3 3 9 Sau đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề toán học là nhận thấy các hàm số vế trái đều là các hàm số giảm và học sinh lựa chọn cách thức, giải pháp giải quyết bài toán. Sau đó ta có thể thay đổi dữ kiện là vế trái của phương trình là tổng của hai hàm đồng biến ta có bài toán mới và qua đó hình thành cho học sinh năng lực sáng tạo toán học Tiếp tục hình thành năng lực giao tiếp toán học ( Trình bày lời giải) Giải bài toán 4. ĐKXĐ: x  Bước 1. sin 2 x sin 2 x sin 2 x sin 2 x 2 2 2 1  3cos 2 x     312sin x     3.  2 Ta có:   3 3 3 9 Đặt t  sin 2 x , ĐK của t là: t  0;1 t t 2 1 Ta được hàm số f  t      3.   3 9 Bước 2. Xét dấu đạo hàm t t 2 2 1 1 Ta có: f '  t     ln  3.   ln  0, t   0;1 3 3 9 9 do đó phương trình f  t   0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của phương trình. Bước 3. Tìm một nghiệm Chú ý là log 6 1296  4 vì f  0   4 nên t  0 là nghiệm t  0  sin 2 x  0  sin x  0  x  k , k  14
Vậy phương trình có nghiệm x  k , k  . Việc nhận dạng phương pháp này trong các phương trình mũ, logarít dễ hơn so với phương trình vô tỉ. để nhận dạng ta phải phát hiện được các dấu hiệu đặc trưng của bài toán đó là xây dựng được hàm y = f(x) trên miền xác định D . Phải tính thành thạo đạo hàm và xét dấu đạo ham, chỉ ra được hàm số đơn điệu trên D. Qua các bài toán 1 đến đến bài toán 4 ngoài các năng lực toán học được hình thành thì giáo viên cũng rèn luyện được cho học sinh các kỹ năng như: Kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức và kỹ năng tự kiểm tra đánh giá. 2.3.2. Đối với loại phương trình mà 2 vế cùng tăng (cùng giảm) Ví dụ mở đầu. a) Trước hết ta xét phương trình đơn giản sau: x2  x Nhận xét: Phương trình này đơn giản vì thực chất nó là phương trình bậc 2 Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái, vế phải đều là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình. Xét hàm số f  x   x 2  x , đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng 1 lên và yCT    0 do đó phương trình chỉ có 2 nghiệm. Ta tìm được 2 nghiệm đó 4 là x  0, x  1 . b) Xét phương trình phức tạp hơn: x  9  2  x  1 (1) Nhận xét: Phương trình này có thể giải bằng cách bình phương 2 vế của phương trình 2 lần, tính được nghiệm. Tuy nhiên ta thử nhìn phương trình với một tư tưởng mới: vế trái, vế phải đều là hàm số tăng trên TXĐ của phương trình. Xét hàm số f  x   x  9  2  x  1 1 1 ta có: f '  x     f ' x  0 2 x  9 2 x 1 15
Bảng biến thiên: x 1 0  f ( x )  2 2 2 0 f ( x) 2 Vậy phương trình có nghiệm x  0 . Từ những nhận xét này tôi hình hành cho học sinh các bước giải như sau: Bước 0. Nhận xét dạng phương trình (có thể xem là bước phân tích). Bước 1. Tìm các nghiệm của phương trình này. Bước 2. Xét hàm số f  x  trên MXĐ của phương trình và tính đạo hàm f   x  rồi xét dấu đạo hàm Bước 3. Lập BBT của hàm số f  x  để từ đó suy ra số nghiệm của phương trình Tôi xin minh họa qua 4 bài toán: Bài toán 5. Giải phương trình: 3x  5x  6x  2 Nhận xét: Bài này nếu áp dụng các kiến thức và các phương pháp các em đã được học ở lớp 11 giải đều không được. Do đó tôi hướng các em đến việc đưa phương trình về bài toán xét sự tương giao của hai đồ thị ta dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ đó tìm số nghiệm tương ứng. Khi dạy học giáo viên cho học sinh trao đổi và thảo luận theo nhóm để học sinh phát hiện được vấn đề Bước 0. Nhận dạng phương trình Dấu hiệu: 2 vế của phương trình cùng đơn điệu tăng Giải bài toán 5. Học sinh thu thập các thông tin và làm rõ các thông tin sau đó dùng các kiến thức đã được học tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm của hàm số f  x   3  5  6 x  2, x  , lập được bảng biến thiên của hàm số. x x 16
Dự kiến học sinh sẻ gặp khó khăn khi tìm nghiệm của f ( x)  0 vì vây giáo viên cần định hướng cho học sinh tính và xét dấu f ( x) , x  . Và áp dụng tính chất 2 và tính chất 3 kết luận được nghiệm của f ( x)  0 Bước 1. Trước hết ta nhận thấy phương trình này có 2 nghiệm là x  0 và x 1 Bước 2. Lập BBT Xét hàm số f  x   3x  5x  6 x  2, x  f '  x   3x ln3  5x ln5  6, x  f ''  x   3x  ln3  5x  ln5  0, x  2 2 nên phương trình f '  x   0 , nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm  f '(0)  ln 3  ln 5  6  0 hơn nữa   f '(1)  3ln 3  5ln 5  6  0 nên    0;1 để f '    0 Bảng biến thiên: x  0  1  f ( x )   0  0    0 0 f ( x) CT Vậy phương trình có 2 nghiệm x  0 và x  1 . Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh bài toán trên như sau: Bước 1. Vào TABLE gõ f  x   3x  5x  6 x  2 . Bước 2. START = - 1. END = 2 Bước 3. Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả 17