Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng
•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
7.2 – Chéo hóa ma trận.
7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.
7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.
7.6 – Dạng toàn phương
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
v
Av
u
Au
Ví dụ.
3 2
1 0
A
1
u
2
1
v
Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ xkhác
không, sao cho .
Ax x
Khi đó, véctơ xđược gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tương ứng với trị riêng .
Tính và . Hãy cho biết nhận xét.
A u
Av
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
1 6 6 24
5 2 5 20
Au
Ví dụ
1 6
5 2
A
6
5
u
3
2
v
Véctơ nào là véctơ riêng của A?
Ta có
4.
Au u
là véctơ riêng
u
1 6 3 9
5 2 2 11
Av
Không tồn tại số để
Av v
không là véctơ riêng
v
6
4 4.
5
u
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải.Xét hệ phương trình
1
Ax x
Ví dụ.
3 4
6 5
A
1 2
1; 3
Số nào là trị riêng của A?
1 1
2 2
3 4 1
6 5
x x
x x
1 2
1 2
4 4 0
6 6 0
x x
x x
Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,
ví dụ
1
1
x
khi đó
1
.
Ax x
Vậy là trị riêng.
1
Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng.
2