Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến vào việc giải một số lớp bài toán thuộc chương trình Trung học phổ thông

- 1 -

B GIÁO DC VÀ ĐÀO TO

ĐI HC ĐÀ NNG

NGUYN TH HOÀNG HIU

NG DNG ĐO HÀM

CA HÀM S MT BIN VÀO VIC GII

MT S LP BÀI TOÁN CHƯƠNG TRÌNH

TRUNG HC PH THÔNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CP

Mã s: 60.46.40

TÓM TT LUN VĂN THC SĨ KHOA HC

Đà Nng - Năm 2011

- 2 -

Công trình ñưc hoàn thành ti

ĐI HC ĐÀ NNG

Ngưi hưng dn khoa hc: TS. Nguyn Ngc Châu

Ngưi phn bin 1:.......................................................

Ngưi phn bin 2:.......................................................

Lun văn s ñưc bo v trưc Hi ñng chm Lun văn

tt nghip thc sĩ ngành Toán hp ti Đi hc Đà Nng vào ngày

.... tháng .... năm 2011.

Có th tìm hiu lun văn ti:

- Trung tâm Thông tin – Hc liu, Đi hc Đà Nng

- Thư vin trưng Đi hc Sư phm , Đi hc Đà Nng

- 3 -

M Đ U

1. Lý do chn ñ" tài:

Đo hàm ca hàm s là mt trong nhng ni dung cơ bn ca

gii tích toán hc, nó có vai trò quan trng không nhng trong toán

hc mà c nhng ngành khoa hc khác. Trong chương trình toán

cp Trung hc ph thông hin hành, ño hàm ca hàm mt bin

ñưc ging dy t năm lp 11. Phn ng d ng ca ño hàm hc

sinh ñưc hc ! năm hc cui cp (lp 12), tuy nhiên vi thi

lưng không nhi"u và ch# ! mt mc ñ nht ñ$nh.

Nu không n%m vng khái nim ño hàm và nhng ng d ng

ca nó thì hc sinh ph thông s khó khăn ñ& hc tt môn Toán

cũng như mt s môn hc khác. Đng thi ño hàm là mt phn

kin thc không th& thiu trong các ñ" thi tuy&n sinh Đi hc – Cao

ñ(ng, ñ" thi hc sinh gi)i cp quc gia, quc t.

Nh*m m c ñích tìm hi&u và h thng các ng d ng ca ño

hàm trong chương trình Trung hc ph thông, tôi chn ñ"

tài ‘‘ng d#ng ño hàm c$a hàm s% m&t bi'n vào vi(c gi)i m&t

s% l*p bài toán thu&c chương trình Trung hc ph- thông’’ cho

lun văn ca mình.

2. M#c ñích nghiên c.u

- Tìm hi&u, nghiên cu các kin thc v" ño hàm ca hàm

mt bin và nhng ng d ng ca nó.

- H thng và phân loi mt s lp bài toán thuc chương

trình Trung hc ph thông có th& gii ñưc nh các ng d ng ca

ño hàm.

- Đưa ra qui trình, ñ$nh hưng vic ng d ng ño hàm vào

vic gii toán.

3. Đ%i tư/ng và phm vi nghiên c.u

- Chương trình toán Trung hc ph thông.

- Các ng d ng ca ño hàm hàm s mt bin trong chương

trình Trung hc ph thông.

- Lp các bài toán có th& gii ñưc b*ng phương pháp ño

hàm.

- 4 -

4. Phương pháp nghiên c.u

- Nghiên cu lý thuyt trong các tài liu v" ño hàm như:

sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham kho, tp chí toán hc,

các tài liu khác t internet...

- Nghiên cu th+c t thông qua vic ging dy, rút kinh

nghim, kt hp vi các kin thc ñã ñt ñưc trong quá trình thu

thp thông tin ñ& h thng và ñưa ra các dng toán c th& gii ñưc

b*ng phương pháp ño hàm.

- Trao ñi, tho lun vi thy hưng dn lun văn.

5. Ý nghĩa khoa hc và th1c tin c$a ñ" tài

Nu hoàn thin tt h thng các kin thc và khai thác ñưc

các ng d ng ca ño hàm trong vic gii toán s giúp cho hc

sinh kh%c sâu các kin thc v" ño hàm, ñng thi có th& ch ñng,

linh hot vn d ng các ng d ng ca ño hàm ñ& gii nhng bài

toán sơ cp.

6. B% c#c lun văn

Ni dung lun văn ñưc cu trúc như sau:

M ñu

Chương 1 - Đo hàm ca hàm s mt bin

Chương 2 - ng dng ca ño hàm trong chương trình Trung

hc ph thông

Kt lun

- 5 -

CHƯƠNG 1 - ĐO HÀM CA HÀM S MT BIN

Chương này trình bày sơ lưc các kin thc cơ s! v" ño

hàm ca hàm s mt bin ñ& làm ti"n ñ" cho chương sau.

1.1. ĐNH NGHĨA ĐO HÀM TI MT ĐI2M

1.2. ĐNH NGHĨA ĐO HÀM TRÊN MT KHONG, ĐON

1.3. ĐO HÀM CP CAO

1.4. TÍNH ĐƠN ĐIU CA HÀM S

1.5. Ý NGHĨA HÌNH HC VÀ VT LÍ CA ĐO HÀM

1.5.1. Ý nghĩa hình hc c$a ño hàm

Xét mt ñưng cong (C) là ñ th$ ca hàm s y = f(x), ñi&m

M c ñ$nh trên (C) và mt cát tuyn di ñng MN.

Nu khi N di chuy&n trên (C) ñn ñi&m M mà cát tuyn MN

dn ñn mt v$ trí gii hn Mt thì ñưng th(ng Mt ñưc gi là tip

tuyn ca ñưng cong (C) ti ñi&m M. Đi&m M ñưc gi là tip

ñi&m.

Gi ))(;(

xfxM và ñi&m

))(;(

xxfxxN ∆+∆+

. H s góc

ca cát tuyn MN là:

xfxxf

∆

−∆+

()

(

tan

Cho N dn ñn M trên (C), lúc ñó

→

∆

(hình 1.1).

Hình 1.1: Minh ha cho tip tuyn

)

(xxf ∆+

f(x

)

x∆+

- 6 -

Nu t, s

∆

có gii hn thì

tan

cũng có gii hn ñó.

Như vy

dn ñn mt góc xác ñ$nh mà ta gi là

, nghĩa

là cát tuyn MN dn ñn mt v$ trí gii hn Mt to vi chi"u

dương ca

mt góc

. Vy

∆

→∆ 0

limtan

Theo ñ$nh nghĩa ño hàm ta có:

)('tan

Cho hàm s y = f(x) có ñ th$ (C) và có ño hàm ti

. Khi

ñó ta có:

Đ3nh lý 1: Đo hàm

)(' xf

ca hàm s f(x) ti

b*ng h s góc

ca tip tuyn vi ñ th$ (C) ti M

( x

, f(

)).

Đ3nh lý 2: Phương trình tip tuyn ca hàm s y = f(x) có ñ th$

000

yxM là:

)x).(x(xfyy 000

−

′

−

1.5.2. Ý nghĩa vt lý c$a ño hàm

1.5.2.1. Bài toán vn tc tc thi

Xét s+ chuy&n ñng th(ng ca mt cht ñi&m. Gi s- quãng

ñưng s ñi ñưc ca nó là mt hàm s s = s(t) ca thi gian t

(s = s(t) còn gi là phương trình chuyn ñng ca cht ñim).

Trong khong thi gian t

tñn t, cht ñi&m ñi ñưc quãng

ñưng là:

)()(

tstsss

−

Nu cht ñi&m chuy&n ñng ñ"u thì t# s: c là mt h*ng s

vi mi t. Đó chính là vn tc ca chuy&n ñng ti mi thi ñi&m .

Nu cht ñi&m chuy&n ñng không ñ"u thì t# s trên là vn

tc trung bình ca chuy&n ñng trong khong thi gian

tt −

Khi t càng gn t

, tc là

tt −

càng nh) thì vn tc trung

bình càng th& hin ñưc chính xác hơn mc ñ nhanh chm ca

chuy&n ñng ti thi ñi&m t

Ngưi ta gi gii hn hu hn:

)()(

lim)(

tsts

−

→

(nu có) là

vn tc tc thi ca chuy&n ñng ti thi ñi&m

- 7 -

Vy vn tc tc thi

)(

ti thi ñi&m

t(vn tc ti

t) ca

mt chuy&n ñng có phương trình s = s(t) b*ng ño hàm ca hàm

s s = s(t) ti ñi&m

t, tc là :

)(')( 00 tstv

1.5.2.2. Bài toán gia tc tc thi

Cho phương trình chuy&n ñng th(ng: s = s(t), gi thuyt s(t)

có ño hàm cp hai.

Ta ñã bit, vn tc tc thi ! thi ñi&m t ca chuy&n ñng là:

v(t)= s’(t)

Cho t mt s gia

∆

thì v(t) có s gia tương ng là

∆

T, s

∆

ñưc gi là gia tc trung bình ca chuy&n ñng

trong khong thi gian

∆

Gii hn nu có ca t, s

∆

khi

→

∆

ñưc gi là gia tc

tc thi ti thi ñi&m t ca chuy&n ñng, kí hiu là

)(t

Ta có:

)('lim)(

∆

→∆

, nhưng v’(t)= s”(t).

Vy: “ Gia tc tc thi ti thi ñi&m t ca chuy&n ñng là :

)(")( tst

”.

1.5.2.3. Bài toán cưng ñ tc thi

Đin lưng Q truy"n trong dây dn là mt hàm s ca thi

gian t:

)(tQQ

Cưng ñ trung bình ca dòng ñin trong khong thi gian

tt −là :

)()(

tQtQ

−

Nu 0

tt −

càng nh) thì t# s này càng bi&u th$ chính xác

hơn cưng ñ dòng ñin ti thi ñi&m t

. Ngưi ta gi gii hn hu

hn:

)()(

lim)(

tQtQ

−

→

(nu có) là cưng ñ tc thi ca

dòng ñin ti thi ñi&m

- 8 -

Vy cưng ñ tc thi )(

tI ca dòng ñin ti thi ñi&m

(vn tc ti

t) b*ng ño hàm ca hàm s

)(tQQ

ti ñi&m

tc là : )(')(

tQtI =

1.6. Ý NGHĨA CA ĐO HÀM TRONG KINH T

Cho hàm s y = f(x) vi x, y là các bin kinh t, trong ñó x là

bin ñc lp hay bin ñu vào; y là bin ph thuc hay bin ñu ra.

Trong qun tr$ kinh doanh, ngưi ta hay quan tâm ñn xu

hưng thay ñi ca y khi x thay ñi mt lưng nh).

Vi ñ$nh nghĩa ño hàm ca hàm mt bin, ta có:

∆

→∆ 0

lim)('

Khi

∆

ñ nh) ta có th& vit :

xxfxfxxfy

xfxxf

∆≈−∆+=∆⇔

≈

∆

−

∆

).(')()(

)('

)()(

Khi

)('1

xfyx ≈∆⇒=∆

Vy ño hàm bi&u di.n xp x# lưng thay ñi ca bin s y

khi bin s x tăng thêm mt ñơn v$. Vi quan h hàm y = f(x) ñ&

mô t s+ thay ñi ca bin kinh t y, khi bin kinh t x thay ñi,

gi )('

xf là giá tr$ biên t y ti

x (còn gi là biên t)

Vi m/i hàm kinh t biên t có mt tên gi riêng, ch(ng hn:

Hàm doanh thu: dQ

dTR

thìQpTR .= (trong ñó p là giá bán

mt sn ph0m, Q là s lưng hàng bán ñưc) ñưc gi là doanh thu

biên t.

Hàm chi phí:

dTC

thìxfTC == )(

, (vi x là sn lưng)

ñưc gi là chi phí biên t.

Hàm sn xut Q = f(L), (vi L là s lao ñng) thì

dQ =

ñưc gi là sn lưng biên t.

- 9 -

1.7. BNG ĐO HÀM CÁC HÀM S SƠ CP

1. (C)’ = 0. (C = const)

2. (x)’ = 1, vi mi x

3. x2

)x( =

′

∀

x > 0

4. (x

)’ = n.x

n – 1

(−=

≠

∀

6. (sinx)’ = cosx

7. (cosx)’ = - sinx

x)(

x) '( 2

2tan1

cos

tan +==

9. x)(

x)(

'x)(

cot1

sin

cot +−=

−

10.

')(ln =, x

≠

11. (a

)’ = a

lna

12.

)'(log

=, vi a > 0

và a

≠

1, x

≠

13. u2

)'u( =,

ñk: u > 0

14. (

u)’ =

−

15. 0,

(

≠∀−= u

16. (sinu)’ = u’.cosu

17. (cosu)’ = - u’.sinu

18.

( )

)(cos

'tan u

19.

( )

)(sin

'cot u

−

20.

( )

'ln =

, u

≠

21. (a

)’ = u’.a

lna

22.

)'(log =

≠

0, a > 0 và a

≠

- 10 -

CHƯƠNG 2 - NG DNG Đ

O HÀM TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HC PH THÔNG

Chương này là ni dung chính ca lun văn, trình bày nhng

ng d ng ca ño hàm hàm s mt bin trong chương trình trung

hc ph thông.

2.1. MT S BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐN KHO SÁT

HÀM S

2.1.1. Ti'p tuy'n c$a ñư4ng cong

Các bài toán lp phương trình tip tuyn ca mt ñưng cong

thưng g1p ! 3 dng sau:

1. Tip tuyn ti mt ñi&m thuc ñưng cong.

2. Tip tuyn ñi qua mt ñi&m cho trưc.

3. Tip tuyn có h s góc cho trưc

Lưu ý: Gi s- hai ñưng th(ng d

, d

ln lưt có h s góc là k

khi ñó:

- Nu d

vuông góc vi d

khi và ch# khi k

. k

= - 1

- Nu d

song song vi d

thì k

= k

Ta xét bài toán tng quát sau: Cho hàm s y = f(x) có ñ th$

tip tuyn d ca (C), bit r*ng:

a. d tip xúc vi (C) ti ))(;(

xfxM

b. d ñi qua );(

yxA

c. d có h s góc k cho trưc

Hư*ng gi)i:

a. Tính f’(x

). Phương trình tip tuyn ca ñ th$ (C) ti

))(;(

xfxM có dng:

))(('

000

xxxfyy −=−

, vi )(

xfy =

b. Gi d là ñưng th(ng bt kỳ ñi qua A(x

;

) và có h s

góc k, khi ñó phương trình ca d là:

y) k(x- x y

Đi"u kin ñ& ñưng th(ng d tip xúc (C) là h phương trình:







+−=

kxf

yxxkxf

)('

)()(

phi có nghim (nghim

);( kx

ca h chính

là hoành ñ tip ñi&m và h s góc k ca tip tuyn)

Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến vào việc giải một số lớp bài toán thuộc chương trình Trung học phổ thông

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi