Đây là bài t p m r ng c a mình h i l p 10. Mình đ c 10 đi m 1 ti t đ y! Các b n đ c r i cho ý ki nậ ở ộ ủ ồ ớ ượ ể ế ấ ạ ọ ồ ế
nhé .Th c ra tr c khi vi t đ c bài m r ng này mình cũng có tham kh o 1 s tài li u hehe!!!ự ướ ế ượ ở ộ ả ố ệ
NG D NG C A B T Đ NG TH C CÔ SI. VỨ Ụ Ủ Ấ Ẳ Ứ
Ch c ch n ai h c toán cũng ắ ắ ọ đ u bi t đ n b t đ ng th c Côsi và vai trò quan tr ng c a nó trong vi c gi iề ế ế ấ ẳ ứ ọ ủ ệ ả
toán , đ c bi t là trong vi c ch ng minh b t đ ng th c .Sau đây là 1 trong nh ng ng d ng c a nó.ặ ệ ệ ứ ấ ẳ ứ ữ ứ ụ ủ
Nh c l i b t đ ng th c côsi :ắ ạ ấ ẳ ứ
Cho n s th c ko âm ố ự
n
aaa ,...,, 21
ta luôn có :
nnn aaanaaa ...... 2121 ≥++
Đ ng th c x y ra khi và ch khi :ẳ ứ ả ỉ
n
aaa === ...
21
.
•Bài toán 1: Cho a,b,c>0. Ch ng minh:ứ
2
222 cba
ba
c
ca
b
cb
a++
≥
+
+
+
+
+
Bài gi i ả
a
cb
cb
a≥
+
+
+4
2
c
ab
ab
c
b
ca
ca
b
≥
+
+
+
≥
+
+
+
4
4
2
2
(theo côsi) =>
)(
2
4/)(
22
dpcm
cba
baaccbcba
ba
c
ca
b
cb
a++
=+++++−++≥
+
+
+
+
+
•Bài toán 2: Cho a,b,c,d>0 .Ch ng minh:ứ
A=
Bài gi iả :
7
2
49
2
49
32
32
22 aaadcb
adcb
a=≥
+++
+
+++
(theo côsi ) T ng t v i các s h ng còn l i thì ta đ cươ ự ớ ố ạ ạ ượ
)(
7
49
32323232
7
)(2
dpcm
dcba
dcbacbadbadcadcbdcba
A
+++
=
+++++++++++++++
−
+++
≥
•Bài toán 3: Cho
0;...; 21 >
n
aaa
Ch ng minh:ứ
1
...
...
22
2
2
1
3
2
3
2
1
3
1
−
+++
≥
−
++
−
+
−
=n
aaa
aS
a
aS
a
aS
a
Bn
n
n
V i ớ
)2,(...
21 ≥Ν∈+++= nnaaaS n
Bài gi i:ả
2
2211
22
2
2
1
2
2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
2
22
2
3
2
2
1
2
1
3
1
2
11
1
3
1
)1(
)(...)()(
1
)...(2
1
2
)1(
2
)1(
)(
..............................................
1
2
)1(
2
)1(
)(
1
2
)1(
2
)1(
)(
−
−++−+−
−
−
+++
≥⇒
−
=
−
≥
−
−
+
−
−
=
−
≥
−
−
+
−
−
=
−
≥
−
−
+
−
n
aaSaaSaaS
n
aaa
B
n
a
n
aa
n
aaS
aS
a
n
a
n
aa
n
aaS
aS
a
n
a
n
aa
n
aaS
aS
a
nnn
nnnnn
n
n
C n ch ng minh ầ ứ đ c :ượ
)...)(1()(...)(( 22
2
2
1221)1 nnn aaanaaSaaSaaS +++−≤−++−+−
( )
1
Th t v y:ậ ậ
2
...
2
)1(
...
)...()(
..........................................
2
...
2
)1(
...
)...()(
2
...
2
)1(
...
)...()(
2
1
2
2
2
1
2
121
121
22
3
2
1
2
2
23212
23122
22
3
2
2
2
1
13121
143211
−
−
−
+++
+
−
≤+++=
+++=−
+++
+
−
≤+++=
+++=−
+++
+
−
≤+++=
++++=−
nn
nnnn
nnnn
n
n
n
n
n
n
aaana
aaaaaa
aaaaaaS
aaa
na
aaaaaa
aaaaaaS
aaa
na
aaaaaa
aaaaaaaS
C ng v v i v c a n b t ộ ế ớ ế ủ ấ đ ng th c trên ta đ c (1):=> dpcmẳ ứ ượ
•Bài toán 4:Cho a,b,c>0.Ch ng minh:ứ
5
cba
b3ac
c
a3cb
b
c3ba
a
C
444
333
7
333
7
333
7++
≥
++
+
++
+
++
=
(2)
Bài gi i:ả
Ta có
5
2
25
2
25
)3(
3
47333
333
7
aaaacba
cba
a=≥
++
+
++
T ng tươ ự
25
)3()3()3(
5
)(2 333333333444 cbacbacbacbacba
C++++++++
−
++
≥⇒
C n ch ngầ ứ minh:
)(4)(3
)(5333
)(5)3()3()3(
444333333
444433433433
444333333333
cbacbbaaccabcab
cbaccbcabbabcaacab
cbacbacbacbacba
++≤+++++⇔
++≤++++++++⇔
++≤++++++++
Áp d ng b t ụ ấ đ ng th c Côsi cho 4 s d ng :ẳ ứ ố ươ
4444 ;;; bbba
ta có:
3
441244 443 ababab =≥+
T ng t nh trên ta đ c:ươ ự ư ượ
344
344
344
344
344
43
43
43
43
43
cbcb
baba
acac
caca
bcbc
≥+
≥+
≥+
≥+
≥+
=> dpcm
•Bài toán 5:Cho x,y,z>0.Ch ng minhứ
)
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
zyxyxzxzyzyx
D++≤
++
+
++
+
++
=
(3)
Bài gi i :ả
Áp d ng BĐT Svacx :ụ ơ
)
211
(
16
1
2
1
2
16112
)
121
(
16
1
2
1
2
16112
)
112
(
16
1
2
1
2
16112
zyxyxzyxzyxz
zyxxzyxzyxzy
zyxzyxzyxzyx
++≤
++
⇔
++
≥++
++≤
++
⇔
++
≥++
++≤
++
⇔
++
≥++
C ng v v i v c a 3 BĐT trên thì :ộ ế ớ ế ủ
))(
111
(
4
1dpcm
zyx
D++≤
•Bài toán 6:Cho x,y,z>0 .Ch ng minh:ứ
)
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
222222222222
zyxyxzxzyzyx
E++≤
++
+
++
+
++
=
(4)
Bài gi i :ả
Áp d ng BĐT Svacx ta có :ụ ơ
)
121
(
16
1
2
1
2
16121
222222222222 zyxzyxzxyzyx ++≤
++
⇔
++
≥++
T ng t v i các s h ng còn l i =>ươ ự ớ ố ạ ạ
)
111
(
4
1
)
111
(4
16
1
222222 zyxzyx
E++=++×≤
(dpcm)
•Bài toán 7:Cho x,y,z >0.Ch ng minh:ứ
3
1
)32(
1
)32(
1
)32(
1
222 ≤
++
+
++
+
++
=yxzzxzyyzyxx
F
(5)
(v i ớ
)2
111
333 =++ zyx
Bài gi i :ả
T ng t bài 6 .ươ ự
)
213
(
36
1
32
1
)
321
(
36
1
32
1
)
132
(
36
1
32
1
zyxyxz
zyxxzy
zyxzyx
++≤
++
++≤
++
++≤
++
)(
3
1
6
3
1
36
1
6
1
3
1
12
1
9
1
)
12
(
3
1
)
12
(
3
1
)
12
(
3
1
36
1
)
12
(
3
1
)
12
(
3
1
)
12
(
3
1
12
1
9
1
)
111
(
36
1
)
111
(
12
1
)
111
(
1
1
)
213
(
36
1
)
321
(
36
1
)
132
(
36
1
333333333333
222222333
222
dpcm
yzxyzxxzzyyx
yzxyzxxzzyyxzyx
zyx
z
zyx
y
zyx
x
F
=××+××+=
++++++
++++++≤
++++++++=
++++++++≤⇒
•T vi c gi i các bài toán trên ta có th ừ ệ ả ể đi đ n 1 bài toán t ng quát . T bài toán 1 và 2 ta có th m r ngế ổ ừ ể ở ộ
thành b t đ ng th c nh sau:ấ ẳ ứ ư
(*)
...
...
...
...
......
21
21
2211
2
24231
2
2
13221
2
1
n
n
nn
n
nn
mmm
aaa
amamam
a
amamam
a
amamam
a
+++
+++
≥
+++
++
+++
+
+++
(
Ν∈≠=≥=> ∑nmnjmnia
n
jji ;0);,1(,0);,1((,0
1
2
và
1>n
T BừĐT. k t h p v i bài toán 3 và 4 ta l i m r ng thêm đ c n a và BĐT thành ế ợ ớ ạ ở ộ ượ ữ
(**)
...
...
...
......
1
21
221124231
2
13221
1
∑
=
−−−
+++
≥
+++
++
+++
+
+++
=
n
i
i
qp
n
qpqp
q
nn
qq
p
n
q
n
qq
p
q
n
qq
p
m
aaa
amamam
a
amamam
a
amamam
a
H
(
Ν∈≠=≥=> ∑nmnjmnia
n
jji ;0);,1(,0);,1((,0
1
2
và
1
>
n
;
qpqp 2;, ≥Ν∈
và
1≥q
Cách ch ng minh (**)ứ
2
21
2
113221
13221
1
)...(
)...(
... n
qpq
n
qq
q
n
qq
p
mmm
aamamam
amamam
a
+++
+++
+
+++
−
≥
n
qp
mmm
a
+++
−
...
2
21
1
.
n
qp
n
qpq
n
qq
q
n
qq
p
mmm
a
mmm
aamamam
amamam
a
+++
≥
+++
+++
+
+++
−
−
...
2
)...(
)...(
... 21
2
2
21
2
2
24231
24231
2
Th c hi n tự ệ ng t v i các s h ng còn l i thì :ươ ự ớ ố ạ ạ
2
21
2
2211
2
21
2
113221
21
21
)...(
)...(
...
)...(
)...(
...
)...(2
n
qp
n
q
nn
qq
n
qpq
n
qq
n
qp
n
qpqp
mmm
aamamam
mmm
aamamam
mmm
aaa
H
+++
+++
−
−−
+++
+++
−
+++
+++
≥
−
−−−−
Ta c n ch ng minh:ầ ứ
)...)(...()...(...
)...()...(
)...)(...(
)...(...)...()...(
212121
2
2
4
2
23
2
121
2
3
2
22
2
11
2121
2211
2
24231
2
213221
2
1
qp
n
qpqp
n
qp
n
qpqp
n
qqp
n
qqpqqpqqp
n
qqpqqp
qp
n
qpqp
n
q
nn
qqqp
n
q
n
qqqpq
n
qqqp
aaammmaaam
aaaaaamaaaaaam
aaammm
amamamaamamamaamamama
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−
++++++≤+++++
+++++++⇔
++++++≤
++++++++++++
Áp d ng BĐT Côsi cho (p-q) s th c d ng :ụ ố ự ươ
,
1
qp
a−
,
1
qp
a−
...,
,
1
qp
a−
(p-2q s ),ố
,
2
qp
a−
,
2
qp
a
−
...,
,
2
qp
a−
(q s ) thì:ố
.)(
.)()2(
2
2
1
)...( )(
2
)2)((
121
qqp
qp qqpqpqpqpqp
aaqp
aaqpqaaqp
−
−−−−−−
−=
−≥+−
Th c hi n t ng t v i các s còn l i :ự ệ ươ ự ớ ố ạ
)...)(()...)(( 1
2
3
2
22
2
121
qqp
n
qqpqqpqp
n
qpqp aaaaaaqpaaaqp −−−−−− +++−≥+++−
)...()...( 1
2
3
2
22
2
11211
qqp
n
qqpqqpqp
n
qpqp aaaaaamaaam −−−−−− +++≥+++⇔
)...)(()...)(( 2
2
4
2
23
2
121
qqp
n
qqpqqpqp
n
qpqp aaaaaaqpaaaqp −−−−−− +++−≥+++−
)...()...( 2
2
4
2
23
2
12212
qqp
n
qqpqqpqp
n
qpqp aaaaaamaaam −−−−−− +++≥+++⇔
.....................................
)...)(()...)(( 1
2
1
2
2
2
121
q
n
qp
n
qqpq
n
qpqp
n
qpqp aaaaaaqpaaaqp −
−−−−−− +++−≥+++−
)...()...( 1
2
1
2
2
2
11211
q
n
qp
n
qqpq
n
qp
n
qp
n
qpqp
naaaaaamaaam −
−−−
−
−−−
−+++≥+++⇔
(dpcm)
•T bài toán 5 và bài toán 6 ta l i m r ng ừ ạ ở ộ đ c 1 BĐT:ượ
13221 ...
1
amamam n
+++
+
24231 ...
1
amamam n
+++
+...+
nn amamam +++ ...
1
2211
)
1
...
11
.(
1
21
1
n
n
i
i
aaa
m
+++≤ ∑
=
(***)
T BừĐT (***) .k t h p v i bt 7 ta đ c 1 k t qu r ng h n nh sau:ế ợ ớ ượ ế ả ộ ơ ư
)...(
1
132211
k
n
kkh amamama
T+++
=
+
)...(
1
242312
k
n
kkh
amamama
+++
+...+
)...(
1
2211
k
nn
kkh
namamama +++
)
1
...
11
(
1
21
1
kh
n
khkhn
i
i
aaa
m
+++
=
+++≤ ∑
(****)
Trong đó
0>
j
a
,
),1( nj =
.
0≥
i
m
và
0
1
≠
∑
=
n
i
i
m
;
.1,,1;,, ≥≥>Ν∈ kohnkhn
Cách ch ng minh :ứ
Áp d ng BụĐT Svacx có :ơ
k
n
kk
n
k
n
kk amamam
mmm
a
m
a
m
a
m
13221
2
21
13
2
2
1
...
)...(
... +++
+++
≥+++
)...(
)(
1
...
1
13
2
2
1
2
1
13221
k
n
kkn
i
i
k
n
kk a
m
a
m
a
m
m
amamam +++≤
+++
⇔∑
=
T ng t đ i v i các s h ng còn l i :ươ ự ố ớ ố ạ ạ
2
1
)(
1
∑
=
≤
n
i
i
m
T
.
{
+++
)...(
1
13
2
2
1
1
k
n
kkh
a
m
a
m
a
m
a
+
+++
)...(
1
24
2
3
1
2
k
n
kkh
a
m
a
m
a
m
a
+...+
}
+++ )...(
1
2
2
1
1
k
n
n
kkh
n
a
m
a
m
a
m
a
ta c n ch ng minh:ầ ứ
+++
)...(
1
13
2
2
1
1
k
n
kkh
a
m
a
m
a
m
a
+
+++
)...(
1
24
2
3
1
2
k
n
kkh
a
m
a
m
a
m
a
+...+
+++
)...(
1
2
2
1
1
k
n
n
kkh
n
a
m
a
m
a
m
a
)
1
...
11
.(
21
1
kh
n
khkh
n
i
iaaa
m+++
=
+++≤ ∑
Th t v y ậ ậ
Áp d ng BĐT Côsi cho (h+k) s d ng ụ ố ươ
khkh a
k
a
h
++
21
,
.thì :
kh
kh kkhhkhkhkh
aa
kh
aa
kh
a
k
a
h
21
)( )(
2
)(
121
..
1
).( +
=+≥+
+++++
t ng t v i các s còn l i:ươ ự ớ ố ạ
)
1
...
11
)(()
1
...
11
)((
1322121
kh
n
khkhkh
n
khkh aaaaaa
kh
aaa
kh ++++≥++++ +++
)
1
...
11
()
1
...
11
(
13221
1
21
1kh
n
khkhkh
n
khkh aaaaaa
m
aaa
m+++≥+++ +++
)
1
...
11
()
1
...
11
(
24231
2
21
2kh
n
khkhkh
n
khkh aaaaaa
m
aaa
m+++≥+++ +++
....................................................................
)
1
...
11
()
1
...
11
(
2121
kh
n
khkh
n
kh
n
khkh
n
aaa
m
aaa
m
++++++
+++≥+++
)
1
...
11
(...)
1
...
11
(
)
1
...
11
(
2113221
1
21
1
kh
n
khkh
n
kh
n
khkh
kh
n
khkh
n
i
i
aaa
m
aaaaaa
m
aaa
m
+++
+++
=
++++++++≥
+++⇒ ∑
Ta có th ểđ ý r ng bđt (**) và (****) g n gi ng nhau .T c là có th chuy n bđt (****) v d ng :ể ằ ầ ố ứ ể ể ề ạ