I. M Đ UỞ Ầ
1. Lý do ch n đ tàiọ ề
B ng th c ti n lý lu n đã kh ng đ nh ki n th c t a đ là c n thi t vàằ ự ễ ậ ẳ ị ế ứ ọ ộ ầ ế
không th thi u trong ch ng trình toán THPT.ể ế ươ
Ph ng pháp t a đ (PPTĐ) là ph ng pháp c b n đ gi i các bài toánươ ọ ộ ươ ơ ả ể ả
v hình h c và đ i s , nhìn th y rõ nh t là các bài toán hình h c l p và hìnhề ọ ạ ố ấ ấ ở ọ ớ
h c không gian l p 12 ng d ng ph ng pháp t a đ , hay h n n a là các bàiọ ớ ứ ụ ươ ọ ộ ơ ữ
toán v tìm giá tr l n nh t nh nh t, ho c b t đ ng th c, ph ng trình và b tề ị ớ ấ ỏ ấ ặ ấ ẳ ứ ươ ấ
ph ng trình…ươ
Đ th y các em th y đ c t m quan tr ng c a ph ng pháp t a đ -ể ấ ấ ượ ầ ọ ủ ươ ọ ộ
ph ng pháp chuy n t hình h c Oclit sang vi c nghiên c u nó b ng công cươ ể ừ ọ ệ ứ ằ ụ
đ i s và gi i tích, tôi ch n đ tài này nh m h ng d n h c sinh kh i THPTạ ố ả ọ ề ằ ướ ẫ ọ ố
có thêm m t ph ng pháp n a đ gi i toán.ộ ươ ữ ể ả
Trong th c t , m t s bài toán s đ c gi i quy t nhanh g n, d hi u h nự ế ộ ố ẽ ượ ả ế ọ ễ ể ơ
n u ta s d ng PPTĐ đ gi i so v i các ph ng pháp s c p khác.ế ử ụ ể ả ớ ươ ơ ấ
II.M c đích nghiên c uụ ứ
V i nh ng lý do trên tôi đã ch n đ tài này nh m m c đích sau:ớ ữ ọ ề ằ ụ
- Đ xu t ph ng án xây d ng quy trình gi i toán b ng PPTĐề ấ ươ ự ả ằ
- Nêu m t s bài toán s d ng PPTĐ và ví d minh h aộ ố ử ụ ụ ọ
III. Đ i t ng, ph m vi nghiên c uố ượ ạ ứ
- Đ i t ng: H c sinh kh i THPTố ượ ọ ố
- Ph m vi: Ch ng trình toán THPTạ ươ ở
IV. Nhi m v nghiên c uệ ụ ứ
- Nh c l i các k t qu c a PPTĐắ ạ ế ả ủ
- Xây d ng quy trình gi i toán b ng PPTĐ.ự ả ẳ
- Th c hành ự
V.Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
- Nghiên c u lý lu nứ ậ
- T ng k t kinh nghi mổ ế ệ
- Th c nghi mự ệ
2
N I DUNGỘ
CH NG I: XÂY D NG QUY TRÌNH GI I TOÁN HÌNH H C B NGƯƠ Ự Ả Ọ Ằ
PH NG PHÁP T A ĐƯƠ Ọ Ộ
1.Di n đ t s ki n hình h c b ng ngôn ng vect .ễ ạ ự ệ ọ ằ ữ ơ
Đi mể M trùng v i Nớ
OM ON=�uuuur uuur
( v i O b t kỳ) .ớ ấ
b) I là trung đi m c a đo n th ng AB ể ủ ạ ẳ
IA IB 0+ =�uur uur r
1( )
2
OI OA OB= +�uur uuur uuur
( V i O là đi m b t kì)ớ ể ấ
c) G là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ
0ABC GA GB GC+ + =�uuur uuur uuur r
V
1( )
3
ABC OG OA OB OC= + +�uuur uuur uuur uuur
V
, v i O là đi m b t kỳ.ớ ể ấ
d) §êng th¼ng a song song víi ®êng th¼ng b
( )AB kCD k R=� �
uuur uuur
( víi vect¬
AB
uuur
cã gi¸ lµ a,
CD
uuur
vect¬ cã gi¸ lµ b )
e) Ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng
f) §êng th¼ng a vu«ng gãc víi ®êng th¼ng b
. 0AB CD =�uuur uuur
( víi vect¬
AB
uuur
cã gi¸ lµ a,
CD
uuur
vect¬ cã gi¸ lµ b )
g) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB
Sö dông c«ng thøc
2
AB AB AB= =
uuur uuur
2.DiÔn ®¹t ng«n ng÷ vect¬ b»ng ng«n ng÷ to¹ ®é
Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy
a)
1 2
1 2
x x
OM ON y y
=
= =
uuuur uuur
víi M ( x1 ; y1 ) vµ N ( x2 ; y2 )
b)
1 2 1 2
IA IB 0 ( ; )
2 2
x x y y
I+ +
+ =
uur uur r
víi A ( x1 ; y1 ) vµ B (
x2 ; y2 )
3
c)
1 2 3 1 2 3
0 ( ; )
3 3
x x x y y y
GA GB GC G + + + +
+ + =
uuur uuur uuur r
víi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) vµ C ( x3 ; y3 ).
d) Vect¬
a
r
vµ vect¬
b
r
cïng ph¬ng
1 2 2 1
0x y x y− =�
víi
1 1 2 2
( ; ), ( ; ).a x y b x y
r r
e)
1 1 2 2
0a b x y x y⊥ + =�
r r
g)
22 2
2 1 2 1
( ) ( )AB AB AB x x y y= = = − + −
uuur uuur
Ch¬ng 3 : Thùc hµnh ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh
líp 10 gi¶i to¸n
h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p to¹ ®é
I. Mét sè chó ý trong gi¶ng d¹y vÊn ®Ò PPT§
1.CÇn híng dÉn häc sinh «n tËp lµm cho häc sinh n¾m
v÷ng kiÕn thøc vect¬ ®Æc biÖt lµ c¸c kiÕn thøc vÒ
to¹ ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ ®Ó lµm c¬
së cho viÖc nghiªn cøu to¹ ®é .
2.CÇn cho häc sinh thÊy râ sù t¬ng øng 1 – 1 gi÷a c¸c
tËp hîp ®iÓm vµ tËp hîp sè.
-Trªn ®êng th¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét sè
thùc x¸c ®Þnh.
-Trªn mÆt ph¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét cÆp sè
thùc s¾p thø tù.
Tõ ®©y dÇn dÇn lµm næi bËt cho häc sinh thÊy ®îc
r»ng mçi h×nh trong mÆt ph¼ng lµ mét tËp hîp ®iÓm
s¾p thø tù theo mét quy t¾c nµo ®ã, do vËy mçi h×nh
®ã ®îc x¸c ®Þnh bëi mét hÖ r»ng buéc nhÊt ®Þnh t¬ng
øng nµo ®ã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cña c¸c
®iÓm trªn h×nh ®ã, thÓ hiÖn häc sinh ph¶i cã c¸c kü
n¨ng c¬ b¶n sau :
+ Khi lÊy M thuéc h×nh H th× c¸c to¹ ®é cña M ph¶i
tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh
H.
4
+ Ngîc l¹i nÕu cã ®iÓm M cã to¹ ®é tho¶ m·n hÖ r»ng
buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H th× M thuéc hinh
H.
II. Híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n b»ng PPT§
Víi nh÷ng bµi to¸n h×nh häc ph¼ng cã chøa c¸c
quan hÖ h×nh häc : th¼ng hµng, song song, vu«ng
gãc ... hay cã chøa c¸c yÕu tè kho¶ng c¸ch, tÝnh
gãc, nÕu ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp th× ta cã thÓ
chuyÓn vÒ bµi to¸n ®¹i sè víi quan hÖ gi÷a c¸c sè
vµ gi÷a c¸c vect¬, gi÷a c¸c phÐp to¸n. C¸c bµi to¸n
nµy rÊt cã kh n¨ng t×m ra ®îc lêi gi¶i, thËm chÝ
cßn rÊt ng¾n gän.
ViÖc gi¶i bµi tËp b»ng PPT§ ®ßi hái häc sinh
ph¶i ®îc luyÖn tËp vËn dông tæng hîp c¸c kiÕn thøc
liªn quan.
•Häc sinh cÇn n¾m ®îc quy tr×nh :
- Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp ( ®©y lµ vÊn ®Ò mÊu
chèt cña bµi to¸n, nÕu chän thÝch hîp th× bµi toan
sÏ ®îc gi¶i quyÕt nhanh gän ).
- Phiªn dÞch bµi to¸n ®· cho sang ng«n ng÷ vect¬
- ChuyÓn bµi to¸n tõ ng«n ng÷ vect¬ sang ng«n ng÷ to¹
®é.
- Dïng c¸c kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n.
- Phiªn dÞch kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷
h×nh häc.
III. Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n
D¹ng 1 : Bµi to¸n chøng minh 2 ®o¹n th¼ng vu«ng gãc
Bµi 1 : Cho
ABCV
c©n t¹i A. Gäi M lµ trung ®iÓm cña
c¹nh AB, G lµ träng t©m
ACMV
. Gäi I lµ t©m ®êng trßn
ngo¹i tiÕp
ABCV
. Chøng minh r»ng
GI CM⊥
.
Gi¶i :
Híng dÉn : Do
ABCV
c©n t¹i A nªn ta chän hÖ to¹ ®é cã
trôc oy qua A vµ vu«ng gãc BC, ox qua BC.
Tõ gt ta ®i t×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm I, G, M theo to¹
®é cña 3 ®iÓm A, B, C
TÝnh to¹ ®é cña vect¬
,GI CM
uur uuuur
.
5