12 chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng

Các chuyên đề LUYỆN THI ĐẠI HỌC

B2 Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

THPT Phan Đình Phùng x O A1 A2 F1 F2

Đồng Hới Tháng 08 - 2012 B1

Nguyễn Minh Hiếu

Mục lục

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 8 9

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Hệ Phương Trình Đại Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 14 15

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phương Trình Đường Tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Phương Trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 18 20 20

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Cực Trị Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 24 25 26 27

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Lũy Thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 31 31 33 34

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Hình Chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 35 36 38 40 41

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 46 47

§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 49

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 52 52 54 56

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chuyên đề 9. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 61 62

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Quan Hệ Song Song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Quan Hệ Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Thể Tích Khối Đa Diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 64 65 68

Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Nhị Thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 69 70 71

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1. Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 73 75 PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§1. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định lý 1.1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng I. • Nếu f (cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) đồng biến trên I. • Nếu f (cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) nghịch biến trên I. • Nếu f (cid:48)(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f (x) không đổi trên I.

Lưu ý.

B. Kỹ Năng Cơ Bản

• Nếu f (cid:48)(x) ≥ 0, ∀x ∈ I và f (cid:48)(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f (x) đồng biến trên I. • Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung: “Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm tập xác định. Tính y(cid:48). Tìm các điểm tại đó y(cid:48) bằng 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.

C. Bài Tập

• Tìm tập xác định Df . • Tính y(cid:48) và chỉ ra y(cid:48) ≥ 0, ∀x ∈ Df (hoặc y(cid:48) ≤ 0, ∀x ∈ Df ).

1.1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

√ b) y = −x3 − 3x + 2. e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 1. c) y = x3 + 3x2 + 3x. x2 − 2x − 3. f) y =

g) y = . h) y = . i) y = . a) y = 2x3 − 3x2 + 1. d) y = x4 − 2x2 + 3. 2x + 3 x + 2 x + 2 3x − 1 x2 − 4x + 4 1 − x

1.2. Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + (cid:0)m2 − 4(cid:1) x + 9 luôn đồng biến trên R.

1.3. Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m) x2 − 2x + 2 luôn nghịch biến trên R.

1.4. Tìm m để hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. mx − 2 m − x

1.5. Tìm m để hàm số y = luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. mx − 2 x + m − 3

1.6. Tìm m để hàm số y = x + 2 + luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. m x − 1

1.7. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên (−∞; 1). mx + 4 x + m

1.8. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên (1; +∞). mx − 2 x + m − 3

Nguyễn Minh Hiếu

1.9. Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2 + ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

1.10. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.

§2. Cực Trị Của Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định lý 1.2. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0. Khi đó, nếu y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (cid:48)(x0) = 0.

Định lý 1.3. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a; x0), (x0; b). Khi đó

• Nếu f (cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ (a; x0) và f (cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0. • Nếu f (cid:48)(x) > 0, ∀x ∈ (a; x0) và f (cid:48)(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0.

Định lý 1.4. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0. Khi đó

• Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x0.

• Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. (cid:26) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) < 0 (cid:26) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0

B. Kỹ Năng Cơ Bản

Lưu ý. Nếu y(cid:48)(cid:48)(x0) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0.

1. Tìm cực trị của hàm số.

• Tìm tập xác định. Tính y(cid:48). Tìm các điểm tại đó y(cid:48) bằng 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 2. Điều kiện để hàm số có cực trị, có k cực trị. • Sử dụng ĐL 1.3 và ĐL 1.4. 3. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0.

• Tính y(cid:48), y(cid:48)(cid:48). Hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y(cid:48)(x0) = 0 ⇒ m. • Thay m và x0 vào y(cid:48)(cid:48) để kết luận.

C. Bài Tập

Lưu ý. Nếu y(cid:48)(cid:48)(x0) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y(cid:48) để kết luận.

1.11. Tìm cực trị của các hàm số sau

√ b) y = −x3 − 3x + 2. e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 1. c) y = x3 + 3x2 + 3x. x2 − 2x − 3. f) y =

g) y = . h) y = . . i) y = a) y = 2x3 − 3x2 + 1. d) y = x4 − 2x2 + 3. 2x + 3 x + 2 x + 2 3x − 1 x2 − 4x + 4 1 − x

1.12. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3 (2m − 1) x − 2 b) Đạt cực trị tại x = 0. c) Đạt cực đại tại x = 1. a) Có cực trị.

x3 − mx2 + (cid:0)m2 − m + 1(cid:1) x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số 1.13. Cho hàm số y = 1 3 a) Đạt cực đại tại x = 1. b) Có cực đại, cực tiểu. c) Không có cực trị.

1.14. Cho hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số c) Đạt cực trị tại x = 1. a) Có ba điểm cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 0.

1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2 (2m − 1) x2 + 3 có đúng một cực trị.

1.16. (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + (cid:0)m2 − 9(cid:1) x2 + 10 có ba điểm cực trị.

1.17. Xác định giá trị của m để hàm số y = x2 + mx + 1 x + m c) Đạt cực đại tại x = 2. a) Không có cực trị. b) Đạt cực tiểu tại x = 1.

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§3. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập hợp D. Khi đó (cid:26) f (x) ≤ M, ∀x ∈ D (cid:26) f (x) ≥ m, ∀x ∈ D f (x) ⇔ . f (x) ⇔ . • M = max x∈D • m = min x∈D ∃x0 ∈ D : M = f (x0) ∃x0 ∈ D : m = f (x0)

Lưu ý.

B. Kỹ Năng Cơ Bản

• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. • Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.

• Tính y(cid:48), y(cid:48) = 0 ⇒ xi ∈ D. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Xét tính đơn điệu trên khoảng cho trước. PP1:

• Tính y(cid:48) và chỉ ra y(cid:48) ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc y(cid:48) ≤ 0, ∀x ∈ D). • Từ y(cid:48) ≥ 0, ∀x ∈ D ⇒ m ≥ g(x), ∀x ∈ D. • Lập bảng biến thiên của g(x) trên D. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận. PP2:

• Tính y(cid:48). Tìm các điểm tại đó y(cid:48) = 0 hoặc không xác định. • Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

C. Bài Tập

Lưu ý. f (x). f (x). • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max x∈D • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min x∈D

1.18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

x trên (0; +∞).

b) y = x3 − 3x2 + 1 trên [−2; 3]. e) y = x − 5 + 1 a) y = 1 + 8x − 2x2 trên [−1; 3]. d) y = x3 − 3x2 + 1 trên (1; 4).

g) y = h) y = x4 + 2x2 − 1. c) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1]. f) y = x − 1 x trên (0; 2]. √ 4 − x2. i) y = x + 4 1 + x2 .

√ 2 cos x trên (cid:2)0; π (cid:3). 1.19. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau 3 sin3x trên [0; π]. b) y = 2 sin x − 4 e) y = 5 sin x − 12 cos x − 5. a) y = x + d) y = sin4x + cos4x. c) y = sin4x − 4sin2x + 5. f) y = sin2x + sin 2x + 2cos2x.

1.20. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính khoảng cách đó.

1.21. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0).

3 x3 + (m − 1) x2 + (m − 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3).

1.22. (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − 1

1.23. Tìm m để hàm số y = mx3 − 3 (m − 1) x2 + 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞).

1.24. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞).

1.25. (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên [1; +∞). mx2 + 6x − 2 x + 2

1.26. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên (1; +∞). x2 − 2mx + 2m2 − 2 x − m

1.27. Tìm a để hàm số y = đồng biến trên (2; +∞). x2 − 2ax + 4a2 x − 2a

Nguyễn Minh Hiếu

§4. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1.6. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu f (x) = y0 hoặc f (x) = y0. lim x→+∞ lim x→−∞

f (x) = +∞; f (x) = −∞; f (x) = −∞. Định nghĩa 1.7. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) nếu lim x→x+ 0 lim x→x+ 0 lim x→x− 0 f (x) = +∞ hoặc lim x→x− 0

B. Kỹ Năng Cơ Bản

Định nghĩa 1.8. Đường thẳng y = ax + b, (a (cid:54)= 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) nếu [f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc [f (x) − (ax + b)] = 0. lim x→+∞ lim x→−∞

x→±∞

f (x) ⇒TCĐ. 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. f (x) ⇒TCN. • Tìm lim • Tìm lim x→x± 0

Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.

x→±∞

2. Tìm tiệm cận xiên. C1: Viết lại hàm số dưới dạng y = ax + b + g(x). Chỉ ra lim [y − (ax + b)] = 0 ⇒TCX.

x→±∞

C. Bài Tập

[f (x) − ax] ⇒TCX. C2: Tính a = lim và b = lim x→∞ f (x) x

1.28. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau

. b) y = . c) y = . a) y = 3 − 4x x + 1 2x − 1 x − 2 √ f) y = 2x − 1 + . e) y = . d) y = . 1 x x2 + x x − 1 x − 3 −x + 2 √ x + 3 x + 1 (cid:112) (cid:112) . g) y = h) y = x2 + x − 1. i) y = x + x2 + 2x. x2 − 4x + 4 1 − x

có tiệm cận xiên đi qua A (−1; −3). 1.29. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx2 − 2m (m − 1) x − 3m2 + m − 2 x + 2

1.30. Tìm m để hàm số y = có giao hai tiệm cận nằm trên parabol (P ) : y = x2 + 2x − 1. 2x2 + (m + 1) x − 3 x + m

1.31. (A-08) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y = bằng 450. mx2 + (cid:0)3m2 − 2(cid:1) x − 2 x + 3m

1.32. Tìm m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích x2 + mx − 1 x − 1 bằng 4.

1.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một 2x2 − (5m − 1) x + 4m2 − m − 1 x − m tam giác có diện tích bằng 4.

1.34. Cho hàm số y = . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số đến hai tiệm 3x − 1 x − 2 cận không đổi.

1.35. (A-07) Cho hàm số y = . Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M nằm trên đồ thị hàm số −x2 + 4x − 3 x − 2 đến hai tiệm cận là một hằng số.

1.36. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3x − 5 x − 2

1.37. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. x2 + 2x − 2 x − 1

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§5. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Sơ đồ khảo sát tổng quát.

1. Tập xác định. 2. Sự biến thiên.

• Giới hạn, tiệm cận (nếu có). • Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị). 3. Đồ thị.

• Tương giao với các trục. • Tính đối xứng (nếu có). • Điểm đặc biệt (nếu cần). 2. Điểm uốn.

B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát

Định nghĩa 1.9. Điểm U (x0; f (x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. Mệnh đề 1.10. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0, f (cid:48)(cid:48)(x0) = 0 và f (cid:48)(cid:48)(x) đổi dấu khi qua điểm x0 thì U (x0; f (x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x).

• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a (cid:54)= 0). y (a (cid:54)= 0). y • Hàm số y = ax4 + bx2 + c y y

U U x x O O x x O O

• Hàm số y = (c (cid:54)= 0, ad − bc (cid:54)= 0). • Hàm số y = (a (cid:54)= 0, d (cid:54)= 0). ax + b cx + d ax2 + bx + c dx + e y y y y

I I

C. Bài Tập

I I x x O O x x O O

1.38. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y = x3 + 3x2 − 4. e) y = x3 + x − 2. b) y = −x3 + 3x − 2. f) y = −2x3 − x − 3. c) y = −x3 + 1. g) y = −x3 + 3x2 − 1. d) y = x3 + 3x2 + 3x + 1. 3 x3 − x2 − 3x − 5 h) y = 1 3 .

2 x4 + x2 − 3 2 .

1.39. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y = x4 − 2x2 − 3. e) y = −x4 + 2x2 − 2. b) y = x4 + 2x2 − 1. f) y = 2x4 − 4x2 + 1. c) y = 1 g) y = −2x4 − 4x2 + 1. d) y = 3 − 2x2 − x4. h) y = x4 − 4x2 + 3.

1.40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y = . b) y = . c) y = . d) y = .

. f) y = . g) y = . h) y = . e) y = 4 2 − x x − 2 x + 1 x − 3 2 − x x + 2 x − 1 x + 3 x − 1 2 − x x + 1 −x + 2 2x + 1 x + 3 x − 2

Nguyễn Minh Hiếu

1.41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y = . b) y = . c) y = . d) y = . 2x2 + 5x + 4 x + 2 −x2 − 2x x + 1

h) y = x − 1 + . . g) y = −x + 2 + e) y = . f) y = . 1 x − 1 1 x + 1 x2 + 2x + 2 x + 1 x2 − 2x x − 1 x2 − 2x − 3 x − 2 2x2 − x + 1 1 − x

Chuyên đề 2

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

§1. Phương Trình & Bất Phương Trình Không Chứa Căn

A. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Đưa về phương trình tích. • Biến đổi đưa phương trình về dạng f (x).g(x) = 0.

• Áp dụng công thức f (x).g(x) = 0 ⇔ . (cid:20) f (x) = 0 g(x) = 0 2. Đặt ẩn phụ.

• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp. • Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x). 3. Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối).

• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. • Xét phương trình trên từng khoảng.

B. Bài Tập

Lưu ý. Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f (x)| thì xét hai trường hợp f (x) ≥ 0 và f (x) < 0.

2.1. Giải các bất phương trình sau

a) x2 − 6x + 6 > 0. c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ 0. b) −4x2 + x − 2 ≥ 0. d) x4 + x2 + 4x − 3 ≥ 0.

2.2. Giải các bất phương trình sau

≥ 0. a) b) ≥ 2x + 2.

c) + > 2. d) < . x − 2 x2 − 9x + 8 x + 5 2x − 1 2x − 1 x + 5 x2 − 3x − 2 x − 1 1 x2 − 5x + 4 1 x2 − 7x + 10

√ √

b) x3 − 3 3x2 + 7x − 3 = 0. d) (x − 3)3 + (2x + 3)3 = 18x3. f) (4 + x)2 − (x − 1)3 = (1 − x) (cid:0)x2 − 2x + 17(cid:1). 2.3. Giải các phương trình sau a) x3 − 5x2 + 5x − 1 = 0. c) x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0. e) (cid:0)x2 + 1(cid:1)3 + (1 − 3x)3 = (cid:0)x2 − 3x + 2(cid:1)3 .

2.4. Giải các phương trình sau − (cid:0)x2 − 6x + 5(cid:1)2 = 0.

a) (cid:0)x2 − 4x + 3(cid:1)2 c) x4 + 3x2 + 3 = 2x. e) x4 = 6x2 − 12x + 8. b) x4 = (2x − 5)2. d) x4 − 4x − 1 = 0. f) x4 = 2x3 + 3x2 − 4x + 1.

2.5. Giải các phương trình sau a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2. c) (x + 3)4 + (x − 1)4 = 82. b) (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16. d) x4 + (x − 1)4 = 29 8 .

2.6. Giải các phương trình sau

b) (cid:0)x2 + 1(cid:1) (x + 3) (x + 5) + 16 = 0. d) (cid:0)x2 − 2x + 4(cid:1) (cid:0)x2 + 3x + 4(cid:1) = 14x2. a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3. c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2.

Nguyễn Minh Hiếu

2.7. Giải các phương trình sau

a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 = 0. c) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0. b) 2x4 + 3x3 − 16x2 − 3x + 2 = 0. d) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0.

2.8. Giải các phương trình sau

a) (cid:0)x2 + 5x(cid:1)2 c) (cid:0)x2 − 2x − 2(cid:1)2 − 2 (cid:0)x2 + 5x(cid:1) − 24 = 0. − 2x2 + 3x + 2 = 0. b) (cid:0)x2 + x + 1(cid:1) (cid:0)x2 + x + 2(cid:1) = 12. d) (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810.

2.9. Giải các phương trình sau

= . + = 1. + b) a) 6 2x2 − x + 7 (cid:19)2 (cid:19)2 + = 0. − 2 d) c) + = − . 1 2x2 − x + 1 x2 + 1 x 1 2x2 − x + 3 5 2 x x2 + 1 (cid:19)2 (cid:19)2 (cid:19)2 (cid:18) x − 3 x + 2 (cid:18) (cid:18) x e) x2 + . = 1. f) + = x + 1 4x 4x2 − 8x + 7 (cid:18) x − 1 x + 2 1 x2 + x + 1 3x 4x2 − 10x + 7 (cid:18) x − 3 x − 1 1 x2 + x + 2 13 36

2.10. Giải các phương trình sau (cid:12) = (cid:12) (cid:12)x2 + 5(cid:12) (cid:12). x2 + 4x + 4 = 5 − x2. a) |x − 1| = (cid:12) c) (cid:12) e) (cid:12) (cid:12)x2 − 5x + 4(cid:12) (cid:12)x2 − 5x + 4(cid:12) (cid:12)x2 − 3x + 1(cid:12) (cid:12). (cid:12) − x = 4. (cid:12) = x2 + 6x + 5. (cid:12)x2 + 4x − 5(cid:12) b) (cid:12) √ d) (cid:12)x2 − 5x + 5(cid:12) f) (cid:12) (cid:12) = −2x2 + 10x − 11.

(cid:19)2 (cid:12) − 6 = 0. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a) (cid:0)x2 − x(cid:1)2 c) (cid:12) b) 3 d) (cid:12) 2.11. Giải các phương trình sau + (cid:12) (cid:12)x2 + 3x − 10(cid:12) (cid:12)x2 − x(cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12)x2 − 4(cid:12) (cid:12) = 0. (cid:12) (cid:18) 2x − 1 x + 1 (cid:12) − 6 = 0. − (cid:12) x + 1 2x − 1 (cid:12) (cid:12)x2011 + 2011x − 2012(cid:12) (cid:12) + (cid:12) (cid:12)x2 + 3x − 4(cid:12) (cid:12) = 0.

2.12. Giải các bất phương trình sau

≤ 1.

a) |x − 2| < |2x + 1|. (cid:12)x2 − 5x + 4(cid:12) c) (cid:12) (cid:12) ≤ x2 + 6x + 5. (cid:12) (cid:12) 2x − 3 (cid:12) (cid:12) b) (cid:12) (cid:12) x − 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12)x2 − 2x(cid:12) d) (cid:12) (cid:12) + x2 − 4 > 0.

2.13. Giải các phương trình sau (cid:12)x2 − 5x + 4(cid:12) (cid:12)x2 − 5x(cid:12) (cid:12) = 4.

√ √ √ √ (cid:112) (cid:112) a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3|. c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2|. e) x2 − 2x + 1 + x2 + 4x + 4 = 5. x − 1 + x − 2 x + 2 x − 1 = 2. (cid:12) + (cid:12) b) (cid:12) d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4. f)

§2. Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn

A. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Sử dụng phép biến đổi tương đương. (cid:26) f (x) ≥ 0 (cid:26) g(x) ≥ 0 . . f (x) = g(x) f (x) = g2(x) • (cid:112)f (x) = (cid:112)g(x) ⇔ • 3(cid:112)f (x) = 3(cid:112)g(x) ⇔ f (x) = g(x).    • (cid:112)f (x) < g(x) ⇔ . • (cid:112)f (x) > g(x) ⇔ . • (cid:112)f (x) = g(x) ⇔ • 3(cid:112)f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g3(x). (cid:26) g(x) < 0 f (x) ≥ 0 (cid:26) g(x) ≥ 0     f (x) ≥ 0 g(x) > 0 f (x) < g2(x) f (x) > g2(x) 2. Đặt ẩn phụ

• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x). • Dạng 2. Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v. 3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

• Dự đoán nghiệm (nếu có). • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN). 4. Đánh giá hai vế.

• Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A. Khi đó f (x) = g(x) ⇔ . (cid:26) f (x) = A g(x) = A

B. Bài Tập

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

2.14. Giải các phương trình sau √ √ √ √ 3x + 1. √

a) x − √ c) √ e) 3 x − 1 − 7 = 0. √ √ 5 − x = 3x − 3 − √ √ x − 1 = 3 2x − 1 + 3 2x − 4. 3x + 1. b) (cid:112) d) √ f) 3 2x + 9 = 4 − x + 6x2 + 1 = x + 1. 2x + √ x + 1 + 3 √ x + 2 + 3 x + 3 = 0.

√ √ 2.15. Giải các bất phương trình sau x2 − 4x − 12 > 2x + 3. 6x − 9x2 < 3x. √ a) √ c) 3 b) d) x2 − 4x − 12 ≤ x − 4. x3 + 1 ≥ x + 1.

√ √ √ √ 2.16. Giải các bất phương trình sau x − 2 ≤ x + 1 + 2 5x + 1. b) (A-05) 2x − 4. x − 1 > √ a) (CĐ-09) √ (cid:112) √ d) (A-04) + x − 3 > . 2x + c) 6x2 + 1 > x + 1. √ √ 5x − 1 − (cid:112)2 (x2 − 16) x − 3 7 − x √ x − 3

2 +

4 = 9.

√ √ √ √ 2.17. Giải các phương trình sau (cid:112) (cid:112) (cid:112) a) (D-05) 2 x + 1 − x + 1 = 4. b) x − 1 + 2 x + 2 − x − 1 − 2 (cid:114) (cid:113) (cid:113) √ √ x + 2 + 2 (cid:113) d) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = . c) x + x + 1 x + 1 x + 2 = 1. x + 3 3

4 + c) (x − 2) e)

2.18. Giải các bất phương trình sau √ (cid:113) x 2x2 − 3x − 2 ≥ 0. a) √ √ x − 4 ≥ 8 − x. x2 + 4 < x2 − 4. √ √ √ √ √ x2 − 3x + 2 + x2 − 4x + 3 ≥ 2 x2 − 5x + 4. b) (D-02) (cid:0)x2 − 3x(cid:1) √ √ d) (x + 2) f) x2 + x − 2 + 9 − x2 ≤ x2 − 2x − 8. x2 + 2x − 3 ≤ x2 + 4x − 5.

2.19. Giải các phương trình sau √ √ √ √ 7 − x2 + x √ √ 3 − 2x − x2. x + 6. a) (D-06) √ c) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. x2 − 1 = 2x + 2. 2x2 + 8x + 6 + (cid:112) b) d) 3 (cid:0)2 + (cid:114) (cid:114) √ e) x2 + 3x + 1 = (x + 3) x2 + 1. f) x2 − x − x + 5 = x − 2(cid:1) = 2x + 7 7 x2 = x. x2 +

2.20. Giải các bất phương trình sau √ √ 1 − 1 − ≥ 0. b) a) < 3.

d) √ c) > 2x + 2. 1 − 4x2 x 2x 2x + 1 − 1 (cid:0)1 + 21 − 4x + x2 x + 1 x2 1 + x(cid:1)2 > x − 4. √

2.21. Giải các phương trình sau √ x2 + 3x. √ √ √ √ a) (x + 5) (2 − x) = 3 c) x + 1 + 4 − x + (cid:112)(x + 1) (4 − x) = 5. b) (cid:112)(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x2. √ x − 1 = 4x − 9 + 2 d) 3x − 2 + 3x2 − 5x + 2.

x−3 = −3. √

2.22. Giải các phương trình sau √ √ (cid:113) x+1 b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3) a) x + 4 − x2. 4 − x2 = 2 + 3x (cid:32) √ (cid:33) √ √ √ c) + + 2 = 0. d) (B-2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x. 4 x2 + x2 4 − x2 + 5 2 4 − x2 x x 4 − x2

2.23. Giải các phương trình sau √ √

b) x2 + 2x2 + 4x + 3 ≥ 6 − 2x. d) x2 − 2x + 8 − 6(cid:112)(4 − x) (2 + x) ≤ 0. a) x2 + 3x + 2 ≥ 2 c) x (x + 1) − x2 + 3x + 5. x2 + x + 4 + 2 ≥ 0. √ √ √ f) x + 2 + x − 1 + 2 x2 + x − 2 ≤ 11 − 2x. > 3. e) − 2 √ (cid:114) x + 1 x x x + 1

2.24. Giải các phương trình sau √ √ x2 − 2x. x2 + 2x. √ √ a) x2 − 1 = 2x c) (4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1. b) x2 − 1 = 2x d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24.

2.25. Giải các phương trình sau √ 6 − 5x − 8 = 0. √ √ x − 1. x3 + 1. √ b) (A-09) 2 3 3x − 2 + 3 √ d) 2 (cid:0)x2 − 3x + 2(cid:1) = 3 x3 + 8. √ a) 3 2 − x = 1 − c) 2 (cid:0)x2 + 2(cid:1) = 5

Nguyễn Minh Hiếu

2.26. Giải các phương trình sau √ 3x − 2. 35 − x3(cid:1) = 30. √ b) x3 + 2 = 3 3 √ √ 35 − x3 (cid:0)x + 3 d) x 3 a) x2 + x + 5 = 5. √ c) x3 + 1 = 2 3 2x − 1.

√ x − x 2.27. Giải các phương trình, bất phương trình sau √ √ b) (A-2010) ≥ 1. a) (B-2012) x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x. √ 1 − (cid:112)2 (x2 − x + 1) d) x + (cid:112)3 (1 − x2) = 2 (cid:0)1 − 2x2(cid:1). x2 − 2 = 2 − x3. √ c) 3

√ x − 1 = −x3 − 4x + 5. √ √ √ √ √ 4x − 1 + 2x − 1 + 2.28. Giải các phương trình sau 4x2 − 1 = 1. x2 + 3 = 4 − x. √ √ a) c) e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + 3 = 0. b) d) x5 + x3 − 1 − 3x + 4 = 0. f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x − 1) 2x + 1 = 0.

2 x2 + 3x − 1 2 .

2.29. Giải các phương trình sau √ √ 4 − x = x2 − 6x + 11. √ √ √ b) d) x − 2 + 5x3 + 3x2 + 3x − 2 = 1 + √ a) c) 2(cid:0)√ x2 − 2x + 5 + x − 2 − 1(cid:1)2 x − 1 = 2. √ x + 6 + x − 2 − 2 = 0.

§3. Hệ Phương Trình Đại Số

A. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Đưa về hệ mẫu mực. (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp) 2. Phương pháp thế.

• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia. • Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia. • Loại 3. Thế hằng số.

3. Đặt ẩn phụ. 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

B. Bài Tập

• Nếu y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f (u) = f (v) ⇔ u = v. • Nếu y = f (x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D.

2.30. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x + y + xy = 1 b) a) . (cid:26) x2 + y2 + xy = 7 x + y + xy = 5 x3 + y3 − 3(x − y)2 + 2 = 0 (cid:26) x2 − xy + y2 = 3 (x − y) . (cid:26) x2 + y2 + x + y = 4 c) (DB-05) . d) x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 x2 + xy + y2 = 7(x − y)2 .

x − 3y =   . a) . b) 2.31. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x2 − 2y2 = 2x + y y2 − 2x2 = 2y + x y − 3x =  4y x 4x y

3y = 2x + y =     . d) (B-03) . c) 2y + x = 3x =   3 x2 3 y2 y2 + 2 x2 x2 + 2 y2

2.32. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x2 − xy = 2 . . b) a) (cid:26) x2 − 2xy + 3y2 = 9 x2 − 4xy + 5y2 = 5 2x2 + 4xy − 2y2 = 14 (cid:26) x3 + y3 = 1 . d) (DB-06) c) . x2y + 2xy2 + y3 = 2 (cid:26) (x − y) (cid:0)x2 + y2(cid:1) = 13 (x + y) (cid:0)x2 − y2(cid:1) = 25

2.33. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x + y = −1 a) b) (DB-06) . x3 − 3x = y3 − 3y (cid:26) x2 + 1 + y (y + x) = 4y (cid:0)x2 + 1(cid:1) (y + x − 2) = y . (cid:26) x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 c) (B-08) . d) (D-09) . x2 + 2xy = 6x + 6 (x + y)2 − 5 (cid:26) x (x + y + 1) − 3 = 0 x2 + 1 = 0

Chuyên đề 2. Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

x = y − 1

x+y = 1

√ 2.34. Giải các hệ phương trình sau √ (cid:26) 3 (cid:26) x − 1 x − y = √ a) (B-02) . b) (A-03) . x − y x + y + 2 2y = x3 + 1 x + y = (cid:26) x2 + y2 + 2xy (cid:26) 6x2 − 3xy + x + y = 1 √ c) . d) . x2 + y2 = 1 x + y = x2 − y

2.35. Giải các hệ phương trình sau

(cid:26) xy + x + y = x2 − 2y2 √ √ a) (DB-07) . b) (D-08) . (cid:26) x4 − x3y − x2y2 = 1 x3y − x2 − xy = −1 2y − y x − 1 = 2x − 2y x (cid:26) x3 + 2y2 = x2y + 2xy (cid:26) xy + x − 2 = 0 c) (D-2012) . . d) 2x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0 2(cid:112)x2 − 2y − 1 + 3(cid:112)y3 − 14 = x − 2

2.36. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x3 + 2xy2 + 12y = 0 . a) b) . (cid:26) x2 + y2 + xy = 1 x3 + y3 = x + 3y 8y2 + x2 = 12 (cid:26) 5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2 (x + y) = 0 (cid:26) x3 − 8x = y3 + 2y d) (A-2011) . c) (DB-06) x2 − 3 = 3 (cid:0)y2 + 1(cid:1) . xy (cid:0)x2 + y2(cid:1) + 2 = (x + y)2

y = 2

2.37. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) 2x2 + x − 1 (cid:26) xy + x + 1 = 7y . a) (B-09) b) x2y2 + xy + 1 = 13y2 . y − y2x − 2y2 = −2 (cid:26) x3 − y3 = 9 . c) d) . (cid:26) 8x3y3 + 27 = 18y3 4x2y + 6x = y2 x2 + 2y2 = x − 4y

2.38. Giải các hệ phương trình sau √ (cid:26) x + y − √ a) . b) . x + 1 + √ √ xy = 3 √ (cid:26) √ 2x + y = 3 − 2x − y y + 1 = 4 2x + y + 1 − x + y = 1 (cid:26) x (3x + 2y) (x + 1) = 12 x2 + 2y + 4x − 8 = 0 (cid:26) 2 . d) (DB-05) . c) (CĐ-2010) x2 − 2xy − y2 = 2 3x + 2y = 4 (cid:26) x2 + y2 = 5 √ √ e) . f) (A-08) . y − 1 (x + y − 1) = (y − 2) x + y (cid:26) x2 + y + x3y + xy2 + xy = − 5 4 x4 + y2 + xy (1 + 2x) = − 5 4

2.39. Giải các hệ phương trình sau √ √ (cid:26) √ y = 8 − x3 (cid:26) √ √ √ a) b) . x + 10 + x − 1 + y − 1 = 11 y + 10 = 11 x − 1 − (x − 1)4 = y √ (cid:26) (cid:0)4x2 + 1(cid:1) x + (y − 3) 5 − 2y = 0 . (cid:26) x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y √ . . d) (A-2010) c) (A-2012) 4x2 + y2 + 2 3 − 4x = 7 x2 + y2 − x + y = 1 2

§4. Phương Trình & Hệ Phương Trình Chứa Tham Số

A. Kiến Thức Bổ Sung

f (x). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có: f (x) ≤ m ≤ max • m = f (x) có nghiệm trên D ⇔ min x∈D x∈D f (x).

f (x). • m ≤ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max x∈D • m ≥ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min x∈D f (x).

B. Phương Pháp Giải Cơ Bản

f (x). • m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min x∈D • m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max x∈D

1. Phương pháp tam thức bậc hai. • Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán.

2. Phương pháp chiều biến thiên hàm số. • Từ bài toán biến đổi và rút m theo f (x). • Lập BBT của f (x). Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL. 3. Phương pháp điều kiện cần và đủ.

• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán. • Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra.

Nguyễn Minh Hiếu

C. Bài Tập 2.40. Tìm m để phương trình (cid:0)m −

√ 5(cid:1) x2 − 3mx + m + 1 = 0. a) Có nghiệm. b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu.

2.41. Tìm m để phương trình x2 + 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.

2.42. Tìm m để phương trình (m − 2) x2 − 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

2.43. Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − 2 (m + 1) x2 + 2m − 1 = 0. a) Có một nghiệm. b) Có hai nghiệm phân biệt. c) Có bốn nghiệm phân biệt. √ y = 1 √ 2.44. (D-04) Tìm m để hệ có nghiệm. (cid:26) √ x + √ x y = 1 − 3m √ x + y √ 4x − 2 + 2.45. Tìm m để bất phương trình

x−3 = m có nghiệm.

16 − 4x ≤ m có nghiệm. (cid:113) x+1

√ x2 − 2x + 2 + 1(cid:1) + x (2 − x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn (cid:2)0; 1 + 3(cid:3). 2.46. Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3) 2.47. (DB-07) Tìm m để bất phương trình m (cid:0)√ √ √ x − 1 + m √ x + 1 = 2 4 x2 − 1 có nghiệm thực. 2.48. (A-07) Tìm m để phương trình 3 √

x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt. √ √ √ √ 2.49. (B-06) Tìm m để phương trình 2.50. (B-04) Tìm m để phương trình m (cid:0)√ 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 có nghiệm. 1 + x2 − √ √ 1 − x2 + 2(cid:1) = 2 √ 2x + 2 4 √ 2.51. (A-08) Tìm m để phương trình 4 6 − x = m có hai nghiệm phân biệt. 6 − x + 2

x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.

2x + √ 2.52. (DB-07) Tìm m để phương trình 4 2.53. (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2 + 2x − 8 = (cid:112)m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt.

2.54. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = 0 luôn có nghiệm.

(cid:26) x2 − 5x + 4 ≤ 0 √ 2.55. (DB-04) Tìm m để hệ có nghiệm. x + 16 = 0 3x2 − mx

có nghiệm. 2.56. (D-2011) Tìm m để hệ

√ 1 − x2 = m có nghiệm duy nhất. 2.57. Tìm m để hệ

2.58. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. (cid:26) 2x3 − (y + 2) x2 + xy = m x2 + x − y = 1 − 2m √ 1 − x2 + 2 3 (cid:26) x = y2 − y + m y = x2 − x + m

Chuyên đề 3

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

A. Kiến Thức Cần Nhớ

(cid:26) x1 = x2 y1 = y2

1 + y2 1. −→u .−→v |−→u |.|−→v |

. • Các phép toán vectơ: • Hai vectơ cùng phương: • Tích vô hướng của hai vectơ: • Hai vectơ vuông góc: • Độ dài vectơ: • Góc giữa hai vectơ:

B. Bài Tập

• Tọa độ vectơ: (cid:113) • Khoảng cách giữa hai điểm: AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2. (cid:12) −−→ (cid:12) AB (cid:12) Cho hai vectơ −→u (x1; y1) , −→v (x2; y2) và ba điểm A (xA; yA) , B (xB; yB) , C (xC; yC). Ta có −→u = −→v ⇔ • Hai vectơ bằng nhau: . −→u ± −→v = (x1 ± x2; y1 ± y2); k−→u = (kx1; ky1). −→u , −→v cùng phương ⇔ ∃k (cid:54)= 0 : −→u = k−→v . −→u .−→v = x1x2 + y1y2. −→u ⊥−→v ⇔ −→u .−→v = 0. |−→u | = (cid:112)x2 cos (−→u ; −→v ) = −−→ AB = (xB − xA; yB − yA). (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:19) • Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I . ; (cid:19) • Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G ; . (cid:18) xA + xB yA + yB 2 2 (cid:18) xA + xB + xC 3 yA + yB + yC 3

−−→ AD = 3 −−→ AB − 2 −→ AC. 3.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho −−→ M C. Tìm tọa độ điểm M sao cho −−→ M B = 5 −−→ M A + 2

3.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (2; 5) , B (1; 1) , C (3; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó.

3.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho tam giác M AB vuông tại M .

3.4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (1; −1) , B (5; −3), đỉnh C thuộc trục Oy và trọng tâm G thuộc trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.

3.5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

√ 3; −1(cid:1). Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp 3.6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh GI vuông góc với CM . 3.7. (A-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (0; 2) , B (cid:0)− tam giác OAB.

3 ; 0(cid:1) là trọng tâm tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.

3.8. (B-03) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M (1; −1) là trung điểm cạnh BC và G (cid:0) 2

3.9. (D-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (−1; 0) , B (4; 0) , C (0; m) , m (cid:54)= 0. Tìm toạ độ trọng tâm G. Tìm m để tam giác GAB vuông tại G.

3.10. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3; −7), trực tâm là H (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

Nguyễn Minh Hiếu

§2. Phương Trình Đường Thẳng

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.

• Vectơ −→u (cid:54)= • Vectơ −→n (cid:54)= −→ 0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆. −→ 0 có giá vuông góc với ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Lưu ý. −→n (a; b) ⇒ −→u (b; −a) và ngược lại.

2. Phương trình tham số của đường thẳng.

. • Đường thẳng qua M (x0; y0) và có vectơ chỉ phương −→u (a; b) có phương trình tham số: (cid:26) x = x0 + at y = y0 + bt 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.

a + y

• Dạng: ax + by + c = 0 (a2 + b2 (cid:54)= 0). • Nhận xét:

• Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến −→n (a; b). • Cho x0 tuỳ ý ⇒ y0 ta có điểm M (x0; y0) thuộc đường thẳng. • Đường thẳng qua M (x0; y0) và có VTPT −→n (a; b) có PT: a (x − x0) + b (y − y0) = 0. • Đường thẳng qua A (a; 0) và B (0; b) có phương trình x b = 1 gọi là PT đoạn chắn. • Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0. 4. Góc và khoảng cách.

. • Góc giữa hai đường thẳng: cos (∆1; ∆2) = |−→n1.−→n2| |−→n1| . |−→n2|

B. Bài Tập

√ . • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d (M, ∆) = |ax0 + by0 + c| a2 + b2 • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: d (∆1, ∆2) = d (M, ∆2), trong đó M là điểm bất kỳ trên ∆1.

3.11. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) và C (6; 2). Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC.

3.12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (3; 5). Viết phương trình đường thẳng qua A cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho diện tích tam giác OM N bằng 30.

3.13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (8; 6). Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.

3.14. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

3.15. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; −4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450.

3.16. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0; d2 : 3x + 6y − 1 = 0 và điểm M (2; −1). Tìm giao điểm A của d1, d2. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại A.

3.17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; −5) và hai đường cao lần lượt có phương trình là d1 : 5x + 3y − 4 = 0 và d2 : 3x + 8y + 13 = 0. Lập phương trình cạnh AC.

3.18. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x − 3y + 2 = 0; các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là d1 : 4x − 3y + 1 = 0 và d2 : 7x + 2y − 22 = 0. Lập phương trình hai cạnh còn lại.

3.19. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB(cid:48), B(cid:48)C (cid:48) lần lượt có phương trình là y − 2 = 0, x − y + 2 = 0, x − 3y + 2 = 0 với B(cid:48), C (cid:48) tương ứng là chân các đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.

3.20. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7x − 2y − 3 = 0; d2 : 6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

3.21. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từ B và C lần lượt có phương trình d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2 : y − 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

3.22. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (2; −1) và hai đường phân giác trong của góc B, C lần lượt có phương trình là d1 : x − 2y + 1 = 0 và d2 : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.

3.23. (D-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác bằng 24 và đỉnh A có hoàng độ dương.

3.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành có hai cạnh là x + 3y − 6 = 0 và 2x − 5y − 1 = 0. Biết hình bình hành có tâm đối xứng I (3; 5), hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình hành.

3.25. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

3.26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : và điểm M (3; 1). Tìm điểm M (3; 1) sao cho (cid:26) x = −2 − 2t y = 1 + 2t đoạn M B là ngắn nhất.

3.27. (B-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (2; 2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0, d2 : x + y − 8 = 0. Tìm điểm B ∈ d1 và C ∈ d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

3.28. (B-04) Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 1) , B (4; −3). Tìm điểm C thuộc d : x − 2y − 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

3.29. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 và d : 2x − y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.

3.30. (A-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba đương thẳng d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0. Tìm M thuộc d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến d2.

3.31. Trong mặt phẳng Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3; −4) và đường thẳng ∆ : 2x − y − 1 = 0. Tìm toạ độ M trên ∆ sao cho M P + M Q là nhỏ nhất. Tìm toạ độ N trên ∆ sao cho |N P − N Q| là lớn nhất.

3.32. (CĐ-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C (−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y − 9 = 0; x + 3y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

2 ; 1(cid:1). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC 3.34. (B-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (cid:0) 1 tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.

√ 3.33. (A-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng chứa BC có phương trình √ 3 = 0, A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm trọng tâm tam giác ABC. 3x − y −

3.35. (B-08) Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB là H(−1; −1), đường phân giác trong góc A là x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B là 4x + 3y − 1 = 0.

3.36. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâm G (1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

2 ; 0(cid:1) , AB : x−2y+2 = 0, cạnh AB = 2AD.

3.37. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

3.38. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. 3.39. (B-02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I (cid:0) 1 Tìm toạ độ các đỉnh biết A có hoành độ âm.

3.40. (A-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0, d2 : 2x + y − 1 = 0. Tìm các đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d1, B thuộc d2 và B, D thuộc trục hoành.

2 ; 1

3.41. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương 3 ; 1(cid:1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ trình là x + 3y = 0 và x − y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (cid:0)− 1 nhật ABCD.

3.42. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên (cid:1) và đường thẳng AN có phương trình 2x − y − 3 = 0. Tìm tọa độ cạnh CD sao cho CN = 2N D. Giả sử M (cid:0) 11 điểm A.

Nguyễn Minh Hiếu

§3. Phương Trình Đường Tròn

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương trình đường tròn. (R > 0) √ √ • Dạng 1: (x − a)2 + (y − b)2 = R2 • Dạng 2: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 (cid:0)a2 + b2 > c(cid:1) Có tâm I (a; b) và bán kính R = Có tâm I (a; b) và bán kính R = R2. a2 + b2 − c. 2. Tiếp tuyến với đường tròn. −−→ IM . • Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là • Phương trình tiếp tuyến tại M là: (x0 − a) (x − x0) + (y0 − b) (y − y0) = 0. 3. Bán kính đường tròn.

B. Bài Tập

• Điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi R = IM . • Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).

3.43. (B-06) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp điểm vẽ từ M đến (C). Lập phương trình đường thẳng T1T2. 3.44. (D-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AM N vuông cân tại A. 3.45. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng d : 4x − 3y + m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho (cid:91)AIB = 1200, với I là tâm của (C). 3.46. (D-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định toạ độ điểm M ∈ (C) sao cho (cid:92)IM O = 300. 3.47. (A-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+4x+4y+6 = 0 và đường thẳng ∆ : x+my−2m+3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm M để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 3.48. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C) : x2 + y2 − 4x − 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến M A và M B đến (C), (A, B là tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác M AIB có diện tích bằng 10. 3.49. (B-09) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2 + y2 = 4 5 và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1), biết đường tròn (C1) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C).

3.50. (A-07) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 2) , B (−2; −2) , C (4; −2). Gọi H là chân đường cao vẽ từ B và M, N là trung điểm AB, BC. Viết phương trình đường tròn qua H, M, N .

3.51. (D-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. 3.52. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4, (C2) : x2 + y2 − 12x + 18 = 0 và đường thẳng d : x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2) tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. √ √ 3x + y = 0 và d2 :

√ 3 2 và điểm A có hoành độ dương.

3.53. (A-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x − y = 0. Gọi (T ) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T ), biết tam giác ABC có diện tích bằng

§4. Phương Trình Elip

A. Kiến Thức Cần Nhớ

x O A1 A2 F2 F1

Chuyên đề 3. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

(cid:0)b2 = a2 − c2(cid:1). • Phương trình chính tắc của elip: x2 a2 + y2 b2 = 1 • Trong đó:

B. Bài Tập

Các đỉnh: Các tiêu điểm: Trục lớn: Trục nhỏ: Tiêu cự: Tâm sai: A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b). F1(−c; 0), F2(c; 0). A1A2 = 2a. B1B2 = 2b. F1F2 = 2c. c . e = a . Bán kính qua tiêu: M F1 = a + , M F2 = a − cx a cx a

3.54. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau

c) x2 + 4y2 = 4. a) + = 1. b) + = 1. x2 25 y2 4 x2 9 y2 4

√

3.55. Viết phương trình chính tắc của các đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

√ 3 2 . a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e = b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4. c) (E) có một tiêu điểm là F (cid:0)√

3 2

√ 5 3 và hình chữ nhật cơ

(cid:17) (cid:16) . 3; 0(cid:1) và đi qua điểm M 1;

3.56. (A-08) Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc của elip có tâm sai bằng sở có chu vi 20.

3.57. (D-05) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E) : + = 1. Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối x2 4 y2 1 xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.

√ 3(cid:1) và elip (E) : + = 1. Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm x2 3 y2 2

3.58. (B-2010) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A (cid:0)2; của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (T ); N là điểm đối xứng của F2 qua M . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AN F2.

3.59. (B-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

3.60. (A-2011) Trong mặt phẳng Oxy, cho (E) : + = 1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành x2 4 y2 1 độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

3.61. (A-2012) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 8. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 4

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§1. Cực Trị Của Hàm Số

A. Kiến Thức Bổ Sung

Cách tính tung độ cực trị: • Nếu y = f (cid:48)(x).g(x) + r(x) thì y0 = r(x0).

B. Bài Tập

• Nếu y = . thì y0 = u(x) v(x) u(cid:48)(x0) v(cid:48)(x0)

2 (x1 + x2).

3 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1x2 +

3 x3 − mx2 − 2 (cid:0)3m2 − 1(cid:1) x + 2

= 1 4.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa |x1 − x2| ≤ 2. 4.2. Tìm m để hàm số y = x3 + 2 (m − 1) x2 + (cid:0)m2 − 4m + 1(cid:1) x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa 1 x1 + 1 x2

4.3. (D-2012) Tìm m để hàm số y = 2 2 (x1 + x2) = 1. 4.4. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − (cid:0)m2 − 3m + 2(cid:1) x − 4 có hai cực trị nằm về hai phía trục tung.

có hai cực trị nằm về hai phía trục tung. 4.5. (DB-05) Tìm m để hàm số y = x2 + 2mx + 1 − 3m2 x − m

4.6. (DB-04) Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + 1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương.

4.7. Tìm m để hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox. mx2 + 3mx + 2m + 1 x − 1

2 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

2 mx2 + 1

4.8. (A-02) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3 (cid:0)1 − m2(cid:1) x + m3 − m2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.

4.9. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 4.10. (B-07) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3 (cid:0)m2 − 1(cid:1) x − 3m2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ.

4.11. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx − 3m + 1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x − y = 0.

4.12. (D-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C sao cho OA = BC, trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.

4.13. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều.

4.14. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

có cực đại cực tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng 4.15. (A-07) Tìm m để hàm số y = x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m x + 2 với gốc toạ độ tạo thành một tam giác vuông.

Nguyễn Minh Hiếu

x có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm

4.16. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.

. 4.17. (A-05) Tìm m để hàm số y = mx + 1 cận xiên bằng 1√ 2

luôn có điểm cực đại, điểm 4.18. (B-05) Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, hàm số y = x2 + (m + 1) x + m + 1 x + 1 √ cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20.

3 x3 − mx2 − x + m + 1 có khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

4.19. Tìm m để hàm số y = 1

§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Giao điểm của hai đồ thị.

• Hoành độ giao điểm của (C1) : y = f (x) và (C2) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f (x) = g(x). • Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình f (x) = g(x).

Lưu ý. Phương trình f (x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.

2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.

B. Bài Tập

. • Đồ thị hai hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x0; y0) ⇔ (cid:26) f (x0) = g(x0) f (cid:48)(x0) = g(cid:48)(x0)

4.20. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − 2 và parabol y = x2 − 4x + 2.

4.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

4.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 − 1 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

4.23. Tìm a để đồ thị hàm số y = x3 + ax + 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.

4.24. (D-06) Gọi d là đường thẳng đi qua A (3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 tại ba điểm phân biệt.

1 + x2

2 + x2

3 < 4.

4.25. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m) x + m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x2

4.26. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

luôn cắt đường thẳng y = m − x với mọi giá trị của m. 4.27. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x − 1 x + 1

4.28. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm thuộc hai 2x − 1 x + 1 nhánh phân biệt.

4.29. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt A, B 2x + 1 x + 1 sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

4.30. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm x + 3 x + 1 phân biệt M, N . Xác định m sao cho độ dài M N là nhỏ nhất.

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x2 − 1 x 4.31. (B-09) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = AB = 4.

4.32. Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua x2 − 2x + 2 x − 1 đường thẳng y = x + 3.

4.33. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

4.34. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

4.35. (D-09) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

4.36. (DB-08) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 9.

4.37. (D-02) Tìm m để đồ thị hàm số y = tiếp xúc với đường thẳng y = x. (2m − 1) x − m2 x − 1

4.38. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

A. Kiến Thức Cần Nhớ

B. Bài Tập

3 x3 − 2x2 + 3x (C) tại tâm đối xứng và chứng

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0; y0) là k = y(cid:48)(x0). • Phương trình tiếp tuyến tại M (x0; y0) là y = y(cid:48)(x0) (x − x0) + y0.

4.39. (B-04) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị hàm số y = 1 minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

4.40. (DB-08) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1) x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2).

tại điểm có tung độ bằng −2. 4.41. (TN-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x − 2 x + 1

4.42. (DB-06) Cho hàm số y = . Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và x + 3 x + 1 Q. Chứng minh S là trung điểm P Q.

4.43. Cho hàm số (Cm) : y = x3 + 1 − m (x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.

, biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5. 4.44. (TN-09) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x + 1 x − 2

4.45. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = biết tiếp tuyến song song với đường phân giác −x + 3 2x − 1 góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.

3 x3 − m

3 có đồ thị (Cm). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1.

4.46. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y = , biết d vuông góc với đường thẳng 2x + 3 x + 1 y = x + 2.

4.47. (D-05) Cho hàm số y = 1 2 x2 + 1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x − y = 0.

4.48. (B-06) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (C). Biết rằng tiếp tuyến đó vuông x2 + x − 1 x + 2 góc với tiệm cận xiên của (C).

4.49. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = sao cho tiếp tuyến và hai tiệm cận cắt x x − 1 nhau tạo thành một tam giác cân.

4.50. Tìm m để (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C (0; 1) , D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị 4.51. (A-2011) Cho hàm số (C) : y = −x + 1 2x − 1

(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

4.52. (B-08) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1, biết tiếp tuyến qua M (−1; −9).

Nguyễn Minh Hiếu

4.53. (DB-07) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến qua giao điểm của tiệm −x + 1 2x + 1 cận đứng và trục Ox.

4.54. (DB-05) Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi I là giao hai tiệm cận. Chứng minh rằng không có x2 + 2x + 2 x + 1 tiếp tuyến nào của (C) đi qua I.

4.55. Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến (C) : y = x3 − 12x + 12.

§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).

• Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy. • Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.

2. Vẽ đồ thị hàm số y = |f (x)|. • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x). • Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.

B. Bài Tập

3. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình f (x) = k(m). • Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = k(m) song song với Ox. • Số nghiệm phương trình f (x) = k(m) là số giao điểm của đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = k(m). • Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.

4.56. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 − 3x2 − k = 0.

4.57. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1. Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 − 6x2 − m = 0.

2 x4 − 2x2 + m = 0 có

4.58. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 − 2x2 + m − 1 = 0.

4.59. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình 1 bốn nghiệm phân biệt.

. Tìm m để phương trình sau có hai x2 + 2x + 5 x + 1 4.60. (DB-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = nghiệm dương phân biệt x2 + 2x + 5 = (cid:0)m2 + 2m + 5(cid:1) (x + 1).

4.61. (A-06) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x − 4. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2|x|3 − 9x2 + 12 |x| = m.

4.62. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3+3x2−2. Tìm m để phương trình 2|x|3−3x2+2 (m + 1) = 0 có đúng bốn nghiệm.

4.63. (DB-03) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = . Tìm m để phương trình 2x2 − 4x − 2x2 − 4x − 3 2 (x − 1) 3 + 2m |x − 1| = 0 có hai nghiệm phân biệt.

|x+1| = m có bốn

4.64. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = . Tìm m để phương trình x2+3x+3 x2 + 3x + 3 x + 1 nghiệm phân biệt.

(cid:12)x3 − 3x + 1(cid:12) (cid:12)−2m2 +m = 0 4.65. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt |x − 1|3 − 3 |x − 1| − m = 0. 4.66. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 −3x+1. Tìm m để phương trình (cid:12) có ba nghiệm phân biệt.

(cid:12)x2 − 2(cid:12) (cid:12) = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.

(cid:12)x4 − 4x3 + 3(cid:12) (cid:12) = m có 4.67. (B-09) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2. Với các giá trị nào của m, phương trình x2 (cid:12) 4.68. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 3. Tìm m để phương trình (cid:12) đúng tám nghiệm.

Chuyên đề 4. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§5. Đối Xứng - Khoảng Cách & Các Bài Toán Khác

4.69. Tìm m để hàm số y = qua điểm A (2; 6). m2x − 2 x − 1

4.70. Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số y = −x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = −1 và đồ thị của nó đi qua điểm M (1; 4).

4.71. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x là tâm đối xứng của nó.

nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 4.72. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (C) : y = 2x + 1 x + 1

4.73. (D-04) Tìm m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 thuộc đường thẳng y = x + 1.

4.74. Tìm m để đồ thị hàm số y = − + 3x2 − 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn. x3 m

có tọa độ là các số nguyên. 4.75. Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = 2x − 1 x − 1

4.76. Tìm trên đồ thị hàm số y = các điểm có toạ độ nguyên. −x2 + 3x − 1 x − 1

4.77. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x3 + 2 (m − 1) x2 + (cid:0)m2 − 4m + 1(cid:1) x − 2 (cid:0)m2 + 1(cid:1).

luôn đi qua hai điểm cố định. Gọi M 4.78. Chứng minh rằng với mọi m (cid:54)= ±1, họ đường cong (Cm) : y = mx − 1 x − m là giao điểm của hai tiệm cận của (Cm), tìm tập hợp điểm M khi m thay đổi.

4.79. Cho họ đường cong (Cm) : y = mx3 + (1 − m) x. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của (Cm) đi qua.

4.80. (DB-06) Tìm trên đồ thị hàm số y = − x3 + x2 + 3x − hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua Oy. 1 3 11 3

4.81. Tìm trên đồ thị hàm số y = x3 + 3x − 2 hai điểm đối xứng nhau qua M (2; 18).

4.82. Tìm trên đồ thị hàm số y = hai điểm đối xứng nhau qua M (−2; −1). 3x + 1 x − 2

4.83. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x + 1 x − 1 d : x + 2y − 3 = 0.

4.84. (B-03) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

4.85. (DB-04) Tìm trên đồ thị hàm số y = những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x x + 1 d : 3x + 4y = 0 bằng 1.

có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ. 4.86. Cho hàm số y = 4x + 1 x + 1

4.87. Cho hàm số y = . Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm I của x2 − x + 1 x − 1 hai tiệm cận là nhỏ nhất.

4.88. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 3x − 5 x − 2 nhỏ nhất.

có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ 4.89. Cho hàm số y = x − 1 x + 1 là nhỏ nhất.

4.90. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y = có khoảng cách bé nhất. x − 2 x − 1

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 5

Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

§1. Lũy Thừa

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Các định nghĩa. • Lũy thừa với số mũ nguyên dương: (a ∈ R, n ∈ N∗). an = a.a...a (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) n thừa số

(a (cid:54)= 0). (a (cid:54)= 0, n ∈ N∗).

• Lũy thừa với số mũ 0: • Lũy thừa với số mũ nguyên âm: • Căn bậc n: Lưu ý: a. a0 = 1 a−n = 1 an b là căn bậc n của a ⇔ bn = a. √ Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là n Khi n chẵn thì a < 0 không có căn bậc n.

n→+∞

a. • Lũy thừa với số mũ hữu tỷ: √ n = n a m am (cid:19) • Lũy thừa với số mũ thực: aα = lim arn . a = 0 có một căn bậc n là 0. √ a > 0 có hai căn bậc n là ± n (a > 0; m, n ∈ Z; n ≥ 2). (cid:18) a > 0; (rn) ⊂ Q; rn = α lim n→+∞ 2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Cho hai số a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có

• aα aβ = aα−β.

(cid:17)α • aα.aβ = aα+β. • (aα)β = aαβ. • (ab)α = aα.bα. = • (cid:16) a b aα bα .

B. Bài Tập

• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β. • Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ aα < bα. • Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β. • Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔ aα > bα.

2 3 +

√

7.51+

√

7 √

3(cid:113)

3 − 4

5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau (cid:19)−0,75 (cid:19)− 4 a) (0, 04)−1,5 − (0, 125)− 2 3 . b) + . (cid:18) 1 16 (cid:18) 1 8 (cid:19)−0,75 (cid:19)−1 1 (cid:18) c) 27 − 250,5. . 2 1 4 d) (−0, 5)−4 − 6250,25 − √ (cid:19)− 1 (cid:19)− 3 . f) e) 81−0,75 + . − (cid:18) 1 32 √ √ 102+ √ 22+ (cid:18) 6(cid:113) (cid:19) 3(cid:113) (cid:16) (cid:18) 1 16 (cid:18) 1 125 3−1(cid:17) 42 g) .2−2 h) 25 + 4 6 − 1 + 2 6 1 − 2 6.

4 y + xy 5 x 5 √ √ y x + 4 4

5.2. Rút gọn các biểu thức sau √ √ a 1 a b) . . a) √ 6 b + b 1 3 √ a + 6 b

Nguyễn Minh Hiếu

√

3(cid:17)

3 + a3

1 4 + 1.

3 − a a4 √ √ a a + 4 √ a + 1

2 − b 1 a 1

d) − . c) − . √ 3 √ 3 √ √ a − 4 √ √ a + 4 4 √ (cid:17) (cid:16) √ √ 4 (cid:16) √ b a − √ a − 4 b √ 3 − 1 a2 b √ (cid:16) 3 f) ab : √ a − 3 (cid:17)2 b a + b √ a + 3 (cid:19) √ − 3 . a2 √ ab b √ 3 + a √ . e) a − b √ a − 3 b (cid:18) a + b √ √ a + 3 3 3 b (cid:33) (cid:32) (cid:33)− 2 (cid:32) a 1 . .a g) + . h) a + a − 1 4 + a 1 a 3 b 3 a 1 b 1 2 − b 1 a 1

√ √ 13 và 5 √ 7 + 23. 15 và √ 10 + 3 28. √ b) 4 √ d) 3 √ √ (cid:112) 5.3. Hãy so sánh các cặp số sau √ √ 10 và 5 a) 3 20. c) 3600 và 5400. (cid:112) 5.4. Tính A = a + b + c + 2 ab + bc + a + b + c − 2 ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)

§2. Lôgarit

A. Kiến Thức Cần Nhớ

(a, b > 0; a (cid:54)= 1).

b c = logab − logac.

n logab.

1. Định nghĩa. α = logab ⇔ aα = b 2. Tính chất. • loga1 = 0. • logaa = 1. • Khi a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c. • loga (aα) = α. • alogab = b. • Khi 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c. 3. Quy tắc tính.

α logab.

logba .

• loga (bc) = logab + logac. 1 b = −logab. • loga √ b = 1 n • loga • logab = 1 • loga • logabα = αlogab. • logab = logac.logcb. • logaαb = 1 4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.

B. Bài Tập

• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x. • Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: ln x.

√ 4

√ e(cid:1). 5.5. Tính a) log3 3. d) log 45 − 2 log 3. g) 5 ln e−1 + 4 ln (cid:0)e2√ 0, 5625. c) log258.log85. f) log248 − 1 3 log227. √ i) log 0, 375 − 2 log b) 2log27 log 1000. e) 3log2log416 + log 1 h) log 72 − 2 log 27 108. 2. 256 + log

√ (cid:18) (cid:19) b) . c) log 7. . a) log72 + 1 log57 (cid:32) (cid:33) a4 e) log5log5 . f) 92log34+4log812. d) loga 5.6. Đơn giản biểu thức log24 + log2 10 log220 + log28 √ √ a2. 3 a. 5 √ a 4

54(cid:17)

4 − 1

2 log79−log76 + 5−log√

2 log23+3log55.

(cid:16) (cid:16) . 49log72. i) 72 49 log224 − 1 2 log272 log318 − 1 3 log372 (cid:114) 5(cid:113) √ 5 ... 5 . 5 (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) n dấu căn 2 log94 + 25log1258(cid:17) 81 h) g) 161+log45 + 4

5 a) log3 6 . d) log53 và log0,32.

5.7. So sánh các cặp số sau: 6 5 và log3 b) log 1 e và log 1 π. 2 2 e) log35 và log74. c) log210 và log530. f) log310 và log857.

25135 theo a, b, biết a = log475, b = log845.

5.8. Tính log41250 theo a, biết a = log25. 5.9. Tính log54168 theo a, b, biết a = log712, b = log1224. 5.10. Tính log14063 theo a, b, c, biết a = log23, b = log35, c = log72. 5.11. Tính log 3√

1−log x , z = 10

1−log y . Chứng minh rằng x = 10

1−log z .

5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log1218, b = log2454.

a+b+c

5.13. Cho y = 10

3 ≤ aabbcc.

5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

A. Kiến Thức Cần Nhớ

y y

α > 0 α < 0 (α ∈ R). 1. Hàm số luỹ thừa. • Dạng: y = xα • Tập xác định:

x x Nếu α nguyên dương thì D = R. Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\ {0}. Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞). O O

• Đạo hàm: y(cid:48) = αxα−1. • Tính chất: (Xét trên (0; +∞))

α > 0: Hàm số luôn đồng biến. α < 0: Hàm số luôn nghịch biến. y y

(0 < a (cid:54)= 1). a > 1 0 < a < 1

1 1 2. Hàm số mũ. • Dạng: y = ax • Tập xác định: D = R. • Đạo hàm: y(cid:48) = ax ln a. • Tính chất: x x O O a > 1: Hàm số luôn đồng biến. a < 1: Hàm số luôn nghịch biến. y y

a > 1 0 < a < 1 (0 < a (cid:54)= 1).

x ln a .

1 1 x x O O 3. Hàm số lôgarit. • Dạng: y = loga x • Tập xác định: D = (0; +∞). • Đạo hàm: y(cid:48) = 1 • Tính chất:

a > 1: Hàm số luôn đồng biến. a < 1: Hàm số luôn nghịch biến. 4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.

B. Bài Tập

√

• (uα)(cid:48) = αuα−1.u(cid:48). • (ln x)(cid:48) = . . • (xα)(cid:48) = αxα−1. • (au)(cid:48) = u(cid:48)au ln a. . . • (eu)(cid:48) = u(cid:48)eu. • (logax)(cid:48) = 1 x 1 x ln a • (ex)(cid:48) = ex. u(cid:48) • (ln u)(cid:48) = u • (ax)(cid:48) = ax ln a. u(cid:48) • (logau)(cid:48) = u ln a

3x+2 1−x .

5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau . . c) y = (cid:0)x2 − x − 2(cid:1) f) y = log0,4 a) y = (cid:0)x2 − 2(cid:1)−2 d) y = log2 (5 − 2x). b) y = (cid:0)2 − x2(cid:1) 2 7 . (cid:0)x2 − 2x(cid:1). e) y = log3

√

5.16. Tính đạo hàm của các hàm số sau

c) y = 2xex + 3 sin 2x. f) y = (cid:0) x (cid:1) e2x. 2 − 1 i) y = ln (cid:0)2ex + ln (cid:0)x2 + 3x + 5(cid:1)(cid:1). a) y = (cid:0)3x2 − 4x + 1(cid:1) d) y = log (cid:0)x2 + x + 1(cid:1). g) y = (cid:0)e4x + 1 − ln x(cid:1)π . b) y = 3x2 − ln x + 4 sin x. e) y = ln ex 1+ex . h) y = 2 ln x+1 4 ln x−5 .

5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y = x − e2x trên [0; 1]. d) y = ln (cid:0)3 + 2x − x2(cid:1) trên [0; 2]. g) y = x2e−x trên [0; ln 8]. b) y = e2x − 2ex trên [−1; 2]. e) y = ln (cid:0)4 − 3x2 − x4(cid:1). h) y = x2 ln x trên [1; e]. c) y = (x + 1) ex trên [−1; 2]. f) y = x2 − ln (1 − 2x) trên [−2; 0]. i) y = 5x + 51−x trên [0; log58].

§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ

A. Kiến Thức Cần Nhớ

(0 < a (cid:54)= 1). (0 < a (cid:54)= 1). 2. Bất phương trình mũ cơ bản. • Dạng: ax > b • Cách giải: 1. Phương trình mũ cơ bản. • Dạng: ax = b • Cách giải:

b ≤ 0: Phương trình vô nghiệm. b > 0: ax = b ⇔ x = logab. b ≤ 0: S = R. b > 0, a > 1: ax > b ⇔ x > logab. 0 < a < 1: ax > b ⇔ x < logab.

Lưu ý. Các dạng ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

B. Phương Phương Giải Cơ Bản

Nguyễn Minh Hiếu

C. Bài Tập

• Đưa về cùng cơ số. • Lấy lôgarit hai vế. • Đặt ẩn phụ. • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.

5.18. Giải các phương trình sau

2 = 0.

√ √ √ a) 22x−1 = 3. c) 2x2−x+8 = 41−3x. e) 32x−1 + 32x = 108. √ g) (cid:0)3 + 2 2(cid:1)x+1 = (cid:0)3 − 2 2(cid:1)2x+8 . b) 2x2−x = 4. d) 3x.2x+1 = 72. f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x−1 + 3x−2. h) (cid:0)5 − 2 6(cid:1)x2−3x+2 − (cid:0)5 + 2 6(cid:1) 1−x2

5.19. Giải các bất phương trình sau

a) 2−x2+3x < 4. c) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2. e) x2x−1 < xx2 .

x+5 x−1 > 0, 25.128

x+17 x−3 .

b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28. d) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x−1 + 3x−2. f) (cid:0)√ h) 2x2 ≥ (cid:0)√ 5 − 2(cid:1) x−1 5 + 2(cid:1)x−1 x+1 . .7x2+1 < 7.142x2−4x+3. g) 32

5.20. Giải các phương trình sau

√ 1 − 6.3x + 32(x+1). b) (TN-08) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0. d) (TN-07) 7x + 2.71−x − 9 = 0. f) 32x+1 = 3x+2 + a) 64x − 8x − 56 = 0. c) 22+x − 22−x = 15. e) (D-03) 2x2−x − 22+x−x2 = 3.

5.21. Giải các bất phương trình sau

√ √ a) 4x − 3.2x + 2 > 0. c) 5x + 51−x > 6. > 4. b) 32.4x + 1 < 18.2x. 3(cid:1)x + (cid:0)2 − d) (cid:0)2 + 3(cid:1)x

√ √ √ = 10. − 2 2 = 0. √ + (cid:0)√ (cid:16)(cid:112) = 6.2x. 5(cid:1)x 5 − 2 √ √ √ + (cid:0)5 + 2 + 5.(cid:0)7 − 3 √ − 3(cid:0)2 − + 2 = 0. = 10. − 2(cid:0)2 − = 1. 5.22. Giải các phương trình sau 6(cid:1)x 6(cid:1)x √ 5(cid:1)x 3(cid:1)x a) (cid:0)5 − 2 c) (cid:0)7 + 3 e) (cid:0)7 + 4 3(cid:1)x b) (B-07) (cid:0)√ 2 − 1(cid:1)x √ (cid:16)(cid:112) (cid:17)x d) + 6 5 + 2 √ 3(cid:1)x + 2(cid:0)7 + 4 f) (cid:0)26 + 15 2 + 1(cid:1)x √ (cid:17)x 6 3(cid:1)x 3(cid:1)x

√

5.23. Giải các phương trình sau

x2−2 − 5.2x−1+

x2−2 − 6 = 0.

√ 10x − 2.5x. a) 3.4x − 2.6x = 9x. c) 4x+ e) 27x + 12x = 2.8x. b) 2.16x+1 + 3.81x+1 = 5.36x+1. d) 5.2x = 7 f) (A-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.

x < 0.

4−7.5x

52x+1−12.5x+4 ≤ 2 3 .

5.24. Giải các bất phương trình sau . √ 9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9. b) 252x−x2+1 + 92x−x2+1 ≥ 34.152x−x2 d) f) a) 27x + 12x < 2.8x. x − 13.6 1 x −1 + 4 1 c) 9 1 4−5x e) 52x−5x+1+6 ≤ 1.

= 2.26−5x + 1. b) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0. d) (D-06) 2x2+x − 4.2x2−x − 22x + 4 = 0. f) x2.2x−1 + 2|x−3|+6 = x2.2|x−3|+4 + 2x+1. + 1. = 2(x+1)2 5.25. Giải các phương trình sau a) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x. c) 2x2−5x+6 + 21−x2 e) 4x2+x + 21−x2

√

x−2.

5.26. Giải các bất phương trình sau + 1. a) 12 + 6x > 4.3x + 3.2x. c) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x.30x. b) 4x2+x + 21−x2 d) 52x−10−3 ≥ 2(x+1)2 x−2 − 4.5x−5 < 51+3

2 = 3x.

5.27. Giải các phương trình sau

3 − x = −x2 + 8x − 14. b) 2x = x + 1. d) 1 + 8 x √ f) 2 a) 3x = 11 − x. c) 3x + 4x = 5x. e) 5x2−2x+2 + 4x2−2x+3 + 3x2−2x+4 = 48.

5.28. Giải các phương trình sau

b) 9x + 2 (x − 2) .3x + 2x − 5 = 0. d) 32x − (2x + 9) .3x + 9.2x = 0. a) 4x + (2x − 17) .2x + x2 − 17x + 66 = 0. c) 9x2 + (cid:0)x2 − 3(cid:1) .3x2 − 2x2 + 2 = 0.

Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit

5.29. Giải các phương trình sau √ √ 3x + 7 = 7. a) 22x − 2x + 6 = 6. √ c) 27x + 2 = 3 3 3x+1 − 2. b) 32x + d) 7x−1 = 6log7 (6x − 5) + 1.

x−1 x = 500.

5.30. Giải các phương trình sau = 3x. b) 2x2−4 = 3x−2. x+2 = 4.34−x. d) 8 a) 2x2 c) 5x.8

log3(4x2−4x+4) .

5.31. Giải các phương trình sau = cos 2x. b) 2|x| = sin x. d) 22x+1 + 23−2x = a) 3x2 c) 2x−1 + 2x2 − x.2x−1 − 2x2−x = (x − 1)2.

§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit

A. Kiến Thức Cần Nhớ

(0 < a (cid:54)= 1). 2. Bất phương trình lôgarit cơ bản. • Dạng: logax > b • Cách giải: a > 1: logax > b ⇔ x > ab. 1. Phương trình lôgarit cơ bản. (0 < a (cid:54)= 1). • Dạng: logax = b • Cách giải: logax = b ⇔ x = ab. 0 < a < 1: logax > b ⇔ 0 < x < ab.

B. Phương Phương Giải Cơ Bản

Lưu ý. Các dạng logax ≥ b; logax < b; logax ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

C. Bài Tập

• Đặt ẩn phụ. • Đưa về cùng cơ số. • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit.

5.32. Giải các phương trình sau

(cid:0)x2 − 1(cid:1) = log 1 (x − 1). (cid:0)x2 + 8(cid:1) = log2x + log26. a) log3 (x − 2) = 2. c) log2 e) log2 g) log3x + log4x = log5x. b) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5). d) log2x + log2 (x − 2) = 3. f) log3 (x + 2) + log3 (x − 2) = log35. h) log2x + log3x + log4x = log20x.

5.33. Giải các bất phương trình sau (x + 2) < 0. (x + 1). (cid:0)x2 + 2(cid:1) + log 1 b) log3 d) log2 (x + 3) < log4 (2x + 9). a) log8 (4 − 2x) ≥ 2. c) log 1 5 (3x − 5) > log 1 5

2 log (cid:0)x2 + 4x + 4(cid:1). (x + 6)3.

2 log 1

4 log4(x − 1)8 = log24x.

4 (7 − x) = 1.

4 (x − 1) + log 1 2

(x + 2)2 − 3 = log 1 (4 − x)3 + log 1

4.2x−3 = 0.

(x + 1) − log 1√ 1 (3 − x) − log8(x − 1)3 = 0. √ (cid:0)√ 1 − x(cid:1) − 2 = 0. 1 + x + 5.34. Giải các phương trình sau (cid:0)x2 + 3x + 2(cid:1) + log2 a) log2 c) 1 2 (x + 3) + 1 2 log√ √ e) log√ x + 1 − log 1 2 2 (cid:0)8 − x2(cid:1) + log 1 g) log2 (cid:0)x2 + 7x + 12(cid:1) = log224. b) log (cid:0)x3 + 8(cid:1) = log (x + 58) + 1 d) 3 f) log 1 2 h) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2

√ (cid:0)2x2 + x − 1(cid:1)+logx+1(2x − 1)2 = 4. (cid:0)x + √ b) (A-08) log2x−1 √ (cid:0)x − (cid:0)x − (cid:0)x + (cid:0)x − x2 − 1(cid:1). 5.35. Giải các phương trình sau √ x2 − 1(cid:1) + 3log2 √ x2 − 1(cid:1) .log3 a) log2 c) log2 x2 − 1(cid:1) = 2. x2 − 1(cid:1) = log6

x2−3x+2 x

(2x + 3) ≤ 2. (x − 1) + log26 ≤ 0. ≥ 0. b) log 1 2 d) log0,5 5.36. Giải các bất phương trình sau a) (A-07) 2log3 (4x − 3) + log 1 c) (D-08) log 1 2 (cid:0)3.2x−1 − 1(cid:1) log2 < 0. f) e) ≥ 1. x + 2log 1 4 x+1 2x−1 > 1. log2 (1 − 3log27x) − 1 log2x x h) ≤ 1. g) (B-02) logx [log3 (9x − 72)] ≤ 1. x − 1 log3 (9 − 3x) − 3

x+1 x−1 ≥ 0. (cid:0)√

x2+x x+4 log 1 4

(cid:17) (cid:16) log6 (cid:0)√ x2 + 1 − x(cid:1). log3 log5 x2 + 1 + x(cid:1) > log3log 1 5.37. Giải các bất phương trình sau < 0. x+1 3x−1 . a) (B-08) log0,7 3x−1 x+1 ≤ log 1 c) log3log4 b) log 1 2 d) log 1 3

Nguyễn Minh Hiếu

2 x − 3log2x + 2 = 0.

2 x = 2. √

5.38. Giải các phương trình sau x + log2

(cid:0)3x+2 + 9(cid:1) = 3. a) log2 c) 2log2x − log3x = 2 − log x. e) (cid:112)log3x + (cid:112)4 − log3x = 2. g) log3 (3x + 1) .log3 b) log 1 2 d) log2x3 − 20 log x + 1 = 0. (cid:0)2x+1 + 2(cid:1) = 2. f) log2 (2x + 1) .log2 h) log2 (5x − 1) .log4 (2.5x − 2) = 1.

2 (2x + 1) − 3 log (2x + 1) + 2 > 0.

19−2x

5.39. Giải các bất phương trình sau

8 ≤ −1.

(cid:0)2x−2 + 1(cid:1). b) log2 9 (x − 1) − 3log3 (x − 1) + 1 ≤ 0. (cid:0)2x+1 − 2(cid:1) > −2. d) log2 (2x − 1) log 1 f) log5 (4x + 144) − 4log52 < 1 + log5 a) log2 c) logx−14 ≥ 1 + log2 (x − 1). e) log4 (19 − 2x) log2

5.40. Giải các bất phương trình sau

2 x + log 1

x2 4 .

2 x + log2x4 − 8 > log√

x + log4x2 − 2 > 0. log 1 2 . √ (cid:113) (cid:113) b) 3 (cid:113) c) a) (cid:112)log2x + (cid:112)logx2 ≥ 4√ x2 − 3 > log2 log2√ d) 5 (cid:0)log4x2 − 2(cid:1).

5 x.

2 + log2 x < 1.

5.41. Giải các bất phương trình sau

1 2

x + 1 − 4 log2 a) log2x64 + logx216 ≥ 3. c) (CĐ-2012) log2(2x). log3(3x) > 1. b) logx (125x) .log25x > 3 (cid:113) d) log 1 3

5.42. Giải các phương trình sau

a) x + 2.3log2x = 3. c) xlog29 = x2.3log2x − xlog23. b) x2 + 3log2x = xlog25. d) log2 (cid:0)x + 3log6x(cid:1) = log6x.

2 x + (x − 4) log2x − x + 3 = 0.

2 (x + 1) + (x − 5) log2 (x + 1) − 2x + 6 = 0.

5.43. Giải các phương trình sau

3 (x + 1) + 4 (x + 1) log3 (x + 1) − 16 = 0.

a) log2 c) log2 (cid:0)x2 + 1(cid:1) + (cid:0)x2 − 5(cid:1) log (cid:0)x2 + 1(cid:1) − 5x2 = 0. b) log2 d) (x + 2) log2

√ x). √ (3 + |x|) = 2|x| − 4. 5.44. Giải các phương trình sau √ x) = log3x. √ √ x + 3 x. x) = 2log2 a) log2 (1 + c) 3log3 (1 + e) log2 (cid:0)x2 − 4(cid:1) + x = log2 [8 (x + 2)]. b) log7x = log3 (2 + d) log 1 2 f) 4 (x − 2) [log2 (x − 3) + log3 (x − 2)] = 15 (x + 1).

5.45. Giải các bất phương trình sau √ 15x ≤ 4x.

√ b) 1 + d) 4log x+1 − 6log x > 2.3log x2+2. f) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ 2. a) 3x > 11 − x. c) 1 + 2x+1 + 3x+1 < 6x. e) log7x < log3 ( x + 2).

§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit

4x+2x+1 (cid:26) log2 (3y − 1) = x 4x + 2x = 3y2

5.46. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) 3y+1 − 2x = 5 a) . . b) (D-02) (cid:26) 23x = 5y2 − 4y 2x+2 = y (cid:0)x2 + y2(cid:1) = 1 + log2 (xy) 4x − 6.3y + 2 = 0 (cid:26) log2 . . d) (B-2010) c) (A-09) = 81 3x2−xy+y2

1 y = 1

2y = 0

5.47. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) log 1 (cid:26) log3 (x + 2) < 3 (y − x) − log4 a) . . b) (A-04) (cid:0)x2 + 2x − 8(cid:1) ≥ log 1 log 1 2 (cid:26) √ x2 + y2 = 25 √ x − 1 + . . d) (B-05) c) (D-2010) 16 (cid:26) x2 − 4x + y + 2 = 0 2log2 (x − 2) − log√ 2 − y = 1 3log99x2 − log3y3 = 3

5.48. Giải các hệ phương trình sau (cid:26) x3 − y3 = 2y − 2x (cid:26) 3x − 3y = y − x . . b) a) x2 + xy + y2 = 12 (cid:0)x4 + 1(cid:1) (cid:0)y2 + y − 1(cid:1) + x (y − 2) = 1 √ (cid:26) x + (cid:26) ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y c) . d) . x2 − 12xy + 20y2 = 0 x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1 y + (cid:112)y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

(cid:26) ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y) 5.49. (D-06) Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. y − x = a

Chuyên đề 6

Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

§1. Tọa Độ Trong Không Gian

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Tọa độ trong không gian.

  • Hai vectơ bằng nhau: −→a = −→ b ⇔ .  a1 = b1 a2 = b2 a3 = b3 −→ b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3); k−→a = (ka1; ka2; ka3).

. −→a ± • Các phép toán vectơ: −→ • Tích vô hướng của hai vectơ: −→a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3. −→ b ⇔ −→a . −→a ⊥ • Hai vectơ vuông góc: |−→a | = (cid:112)a2 1 + a2 • Độ dài vectơ: (cid:17) (cid:16)−→a ; −→ b = • Góc giữa hai vectơ: cos (cid:12) (cid:12) (cid:12) • Tọa độ vectơ: −→ b = 0. 2 + a2 3. −→ −→a . b (cid:12) −→ |−→a | . (cid:12) b (cid:12) −−→ AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA). (cid:113) • Khoảng cách giữa hai điểm: AB = −−→ AB (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) =

• Tính chất trung điểm: I là trung điểm của AB ⇔ I ; ; (cid:19) . zA + zB 2 (cid:19) ; ; . • Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G (cid:18) xA + xB yA + yB 2 2 (cid:18) xA + xB + xC 3 yA + yB + yC 3 zA + zB + zC 3

(cid:105) ; (cid:19) . ; 2. Tích có hướng của hai véctơ. (cid:104)−→a , • Định nghĩa. −→ b = a1 a2 b2 b1 a2 a3 b3 b2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a3 a1 (cid:12) (cid:12) b1 b3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:17) (cid:105) (cid:16)−→a , . −→ b . • • (cid:12) −→ (cid:12) b (cid:12) (cid:105) (cid:104)−→a , −→ ⊥−→a ; b −→ 0 ⇔ −→a , = ⊥ −→ b cùng phương. (cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:104)−→a , −→ −→ (cid:12) = |−→a | . (cid:12) (cid:12) (cid:12) b (cid:12) . sin b (cid:12) (cid:105) (cid:104)−→a , −→ −→ b , −→c đồng phẳng. .−→c = 0 ⇔ −→a , b • • Tính chất. (cid:105) (cid:104)−→a , −→ b (cid:104)−→a , −→ b •

• Ứng dụng. (cid:105) (cid:104)−−→ AB, (cid:104)−−→ AB, −→ AC −−→ AD . • Diện tích tam giác: S∆ABC = 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12). . −−→ AD • Thể tích hình hộp: VABCD.A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48)D(cid:48) = (cid:105)(cid:12) −→ (cid:12) AC (cid:12). (cid:12) (cid:104)−−→ (cid:12) AB, (cid:12) • Thể tích tứ diện: VABCD = 1 6 −−→ AA(cid:48)(cid:12) (cid:105) (cid:12) (cid:12). 3. Phương trình mặt cầu. (R > 0). √ R2. (cid:0)a2 + b2 + c2 > d(cid:1). √ a2 + b2 + c2 − d. • Dạng 1: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 Có tâm I (a; b; c) và bán kính R = • Dạng 2: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 Có tâm I (a; b; c) và bán kính R =

B. Bài Tập

Lưu ý. Điểm M thuộc mặt cầu ⇔ R = IM .

6.1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a (5; 7; 2) , −→ b (3; 0; 4) và −→c (−6; 1; −1). a) Hãy tìm các vectơ sau: −→m = 3−→a − 2 −→ b + −→c ; −→n = 5−→a + 6 −→ b + 4−→c ; −→p = 1 −→a − 1 −→c . −→ b + 1 6

Nguyễn Minh Hiếu

−→ b (cid:105) . (cid:12) −→ (cid:12) b (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ; (cid:104)−→a , −→ 0 . (cid:12) (cid:12) −→ −→ b) Tính: |−→a | ; −→a − (cid:12) ; −→a . (cid:12) (cid:12) b b ; (cid:12) −→ b − 2−→x = c) Tìm −→x sao cho −→a + 3 d) Tìm u, v để vectơ −→y (1; u; v) cùng phương với vectơ −→a + 2 −→ b .

6.2. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a (1; 0; −2) ,

−→ 0 . (cid:12) −→a + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12). (cid:17) √ −→ b − 3−→c − 2−→u = (cid:105) −→ . b a) Tìm vectơ −→u biết 2−→a + (cid:16)−→ (cid:104)−→a , c) Tìm −→a b − 2−→c ; 21. −→ b (1; 2; −1) và −→c (0; 3; −2). −→ b + −→c b) Tính d) Tìm vectơ −→u biết −→u ⊥−→a ; −→u ⊥ −→ b và |−→u | =

6.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; −2) , B (2; 1; −1) , C (1; −2; 2).

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. c) Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. b) Tính chu vi tam giác ABC. d) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.

6.4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (−1; −2; 3) , B (0; 3; 1) , C (4; 2; 2). (cid:104)−−→ AB, −→ AC (cid:105) . c) Tính b) Tính cos(cid:92)BAC. a) Tính −−→ AB. −→ AC.

6.5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 3) , B (2; 2; 4) , C (0; 3; −2).

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. c) Tính diện tích tam giác ABC.

6.6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 3) , B (−1; 3; 2) , C (−1; 2; 3). Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.

6.7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−3; −2; 6) , B (−2; 4; 4). Hãy tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.

6.8. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (0; 4; 1) , B (1; 0; 1) , C (3; 1; −2) .. Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC.

6.9. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 1; 1) , B (−1; 1; 0) , C (3; 1; −1). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho M cách đều A, B, C.

6.10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 6; 6) , B (3; −6; −2). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho AM + BM là ngắn nhất.

6.11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 5; 3) , B (3; 7; 4) , C (x, y, 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.

6.12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 1; 1) , B (2; 3; 4) , C (6; 5; 2) , D (7, 7, 5). Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành đó.

6.13. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (2; 1; −1) , B (3; 0; 1) , C (2; −1; 3) và D thuộc trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D, biết thể tích tứ diện ABCD bằng 5.

6.14. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau

a) (x − 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 9. c) x2 + y2 + z2 + y − 5z + 1 = 0. b) x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z + 9 = 0. d) 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x + 8y + 15z − 3 = 0.

6.15. Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau

a) Có tâm I (1; 2; −3) và qua M (2; 0; −1). b) Có đường kính AB biết A (3; 2; −1) và B (1; 1; 2). c) Ngoại tiếp tứ diện OABC biết A (2; 0; 0) , B (0; −1; 0) và C (0; 0; 3). d) Ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A (1; 2; 1) , B (3; −1; 2) , C (−2; 1; 2) và D (1; 1; 3). e) Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và qua ba điểm A (0; 8; 0) , B (4; 6; 2) , C (0; 12; 4).

§2. Phương Trình Mặt Phẳng

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Định nghĩa: Vectơ −→n (cid:54)= −→ 0 có giá vuông góc với (α) gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Lưu ý.

• Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến cùng phương. • Nếu hai vectơ −→a , (cid:104)−→a , −→ b (cid:105) . −→ b không cùng phương và có giá song song hoặc chứa trong (α) thì −→nα =

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Dạng: (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0).

Nhận xét.

• Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến −→n (A; B; C). • Lấy x0; y0 tuỳ ý ⇒ z0 ta có điểm M (x0; y0; z0) ∈ (α). • Mặt phẳng qua M (x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến −→n (A; B; C) có PT: A (x − x0)+B (y − y0)+C (z − z0) = 0. • Mặt phẳng qua A (a; 0; 0) , B (0; b; 0) và C (0; 0; c) có phương trình = 1 gọi là PT đoạn chắn. + + x a y b

z c • Mặt phẳng (Oxy) , (Oxz) , (Oyz) lần lượt có phương trình z = 0, y = 0, x = 0. • Mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ d (I; (α)) = R.

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng (α1) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (α2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Ta có:

. . (cid:26) −→n1 = k−→n2 D1 = kD2 • (α1) ≡ (α2) ⇔ • (α1) ⊥ (α2) ⇔ −→n1.−→n2 = 0. (cid:26) −→n1 = k−→n2 • (α1) // (α2) ⇔ D1 (cid:54)= kD2 • (α1) cắt (α2) ⇔ −→n1 (cid:54)= k−→n2. 4 . Khoảng cách.

√ • Từ một điểm đến một mặt phẳng: d (M ; (α)) = .

B. Bài Tập

• Giữa hai mặt phẳng song song: d ((α) ; (β)) = d (M ; (β)) |AxM + ByM + CzM + D| A2 + B2 + C 2 (M ∈ (α)).

6.16. Lập phương trình mặt phẳng (P ) trong các trường hợp sau

a) Đi qua ba điểm A (1; 0; 0) , B (0; −2; 0) , C (0; 0; 3). b) Đi qua ba điểm A (2; −1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3). c) Đi qua điểm M (2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + 4 = 0. d) Đi qua M (1; 2; 3) và vuông góc AB. Biết A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1). e) Đi qua hai điểm A (3; 1; −1) , B (2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x − y + 3z + 1 = 0. f) Đi qua M (−2; 3; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 1 = 0; (β) : 2x + 3y + z = 0. g) Đi qua hai điểm M (1; 2; 3) , N (2; −2; 4) và song song với trục Oy. h) Trung trực của Ab, biết A (4; −1; 5) , B (2; 3; 1). i) Song song với (β) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0.

6.17. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau

a) (α) : x − 2y + 3z − 3 = 0; (β) : 2x − y + z − 1 = 0. b) (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0; (β) : −4x + 2y − 4z − 1 = 0. c) (α) : 3x − y + 2z + 1 = 0; (β) : 6x − 2y + 4z + 2 = 0.

6.18. Tính các khoảng cách sau

a) Giữa M (2; −3; 1) và (α) : 2x + 2y + z + 3 = 0. b) Giữa A (−4; 1; 5) và (α) : x + 7y − 2z + 1 = 0. c) Giữa (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0 và (β) : 4x − 2y + 4z − 3 = 0.

6.19. (TN-06) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 0) , B (0; 3; 0) , C (0; 0; 6).

a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.

6.20. (TN-07) Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1; −4; 5) , F (3; 2; 7).

a) Viết phương trình mặt cầu qua F và có tâm E. b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF .

6.21. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho (P1) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P1) , (P2).

6.22. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6).

a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD). b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

6.23. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2; −1) , D (1; 4; 0).

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.

Nguyễn Minh Hiếu

6.24. (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0; −5) và mặt phẳng (P ) : 2x+y−3z−4 = 0. Tìm điểm M thuộc (P ) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.

6.25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0.

6.26. (D-04) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 1) , B (1; 0; 0) , C (1; 1; 1) và (P ) : x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ).

6.27. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

6.28. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 4x − 4y − 4z = 0 và điểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

6.29. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1) , B (0; −2; 3) và mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho M A = M B = 3.

6.30. (B-08) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2) , B (2; −2; 1) , C (−2; 0; 1).

a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) : 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho M A = M B = M C.

6.31. (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) : x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

6.32. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3) , C (2; −1; 1) , D (0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P ) bằng khoảng cách từ D đến (P ).

6.33. (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0.

a) Viết phương trình (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3. b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) là lớn nhất.

6.34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2; −1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − 6 = 0. Tìm điểm M trên (P ) sao cho −−→ M A + 2 −−→ M B + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) M C (cid:12) đạt giá trị nhỏ nhất.

6.35. (A-03) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có A trùng gốc toạ độ O, B (a; 0; 0), D (0; a; 0) , A(cid:48) (0; 0; b) , (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC (cid:48).

b để (A(cid:48)BD) vuông góc với (M BD).

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA(cid:48)M . b) Xác định tỉ số a

§3. Phương Trình Đường Thẳng

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Định nghĩa: Vectơ −→u (cid:54)= −→ 0 có giá song song hoặc trùng với ∆ gọi là vectơ chỉ phương của ∆.

Lưu ý. Đường thẳng ∆ có vô số vectơ chỉ phương cùng phương với nhau.

2. Phuơng trình tham số của đường thẳng.

  (∆). Đường thẳng qua M (x0; y0; z0) và nhận −→u (a1; a2; a3) làm vectơ chỉ phương có PTTS:  x = x0 + a1t y = y0 + a2t z = z0 + a3t

Nhận xét.

= = gọi là dạng chính tắc. • Đường thẳng ∆ qua M (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương −→u (a1; a2; a3). • Nếu a1a2a3 (cid:54)= 0 thì ∆ còn viết dưới dạng x − x0 a1 y − y0 a2 z − z0 a3 • Nếu ∆ song song với (α) và M ∈ ∆ thì d (∆; (α)) = d (M ; (α)).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

0 = 0

  (cid:105) . = • d ≡ d(cid:48) ⇔ (cid:104)−→u , −→ u(cid:48) (cid:105) (cid:104)−→u , −→ 0 . = • d và d(cid:48) cắt nhau ⇔ −−−−→ M0M (cid:48) 0 (cid:104)−→u , (cid:104)−→u , −→ u(cid:48) (cid:105) −→ u(cid:48) (cid:105) −→ 0 (cid:54)= −−−−→ M0M (cid:48) . 

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

0 (cid:54)= 0.

  . • d và d(cid:48) chéo nhau ⇔ (cid:104)−→u , −→ u(cid:48) (cid:105) . • d//d(cid:48) ⇔ −−−−→ M0M (cid:48) −→ 0 (cid:105) −→ 0 (cid:54)= (cid:104)−→u , (cid:104)−→u ,  −→ u(cid:48) (cid:105) = −−−−→ M0M (cid:48) 0 4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

  Cho đường thẳng ∆ : và mặt phẳng (α) :Ax + By + Cz + D = 0.  x = x0 + at x = y0 + bt z = z0 + ct

B. Bài Tập

• ∆ ⊂ (α) ⇔ (1) có vô số nghiệm. • ∆⊥(α) ⇔ −→u = k−→n . Số giao điểm của ∆ và (α) là số nghiệm phương trình A (x0 + at) + B (y0 + bt) + C (z0 + ct) + D = 0 (1). • ∆//(α) ⇔ (1) vô nghiệm. • ∆ cắt (α) ⇒ (1) có một nghiệm.

6.36. Lập phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau a) Đi qua A (2; 1; −1) và có vectơ chỉ phương −→u = (−2; 3; 2). b) Đi qua hai điểm A (1; 2; 3) , B (5; 4; 4). c) Đi qua A (−3; 1; 2) và vuông góc với (α) : x − 2y + 3z + 1 = 0.

= = . d) Đi qua M (2; 1; −3) và song song với đường thẳng ∆ : x − 1 2 y + 3 3 z 4

e) Đi qua M (−3; 1; 4) và song song với giao tuyến của (α) : 3x + 2y − 5z + 1 = 0; (β) : x − 4y + 3z + 2 = 0. f) Giao tuyến của (α) : x + z − 1 = 0; (β) : 2x − 2y + 3z + 1 = 0.

6.37. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) và trọng tâm G (0; 2; −1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với (ABC).

6.38. (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −1; 3) và (P ) : x − 2y − 2z − 10 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P ). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P ).

= và (P ) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình = 6.39. (D-2011) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : x − 1 2 y − 3 4 z 1 mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).

6.40. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (4; −6; 3) , B (5; −7; 3). Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P ) : 8x + 11y + 2z − 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho ∆ABC vuông tại B.

6.41. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : , mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 = = x + 1 2 y 1 z − 2 1

và điểm A(1; −1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng M N .

= và hai điểm A (1; −1; 2) , B (2; −1; 0). = 6.42. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x − 1 2 y + 1 −1 z 1 Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AM B vuông tại M .

6.43. (A-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm I(0; 0; 3). Viết phương = = x + 1 1 y 2 z − 2 1 trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

a) d : và (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0. = =

và (α) : x + y + z − 4 = 0. b) d : = = 6.44. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau z − 1 1 z − 2 −3 x − 12 4 x − 1 1 y − 9 3 y − 1 2

6.45. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) d : và d(cid:48) : = = = = . z − 3 −1 y − 3 4 z − 5 −2 x − 2 2 và d(cid:48) : b) d : = = = = .

c) d : = = và d(cid:48) : = = .

d) d : = = và d(cid:48) : = = . x − 1 1 x − 3 −1 x − 1 1 x − 1 2 y 2 y − 4 1 y − 2 3 y + 1 3 z − 5 −2 z − 3 −1 z − 5 1 x − 2 −3 x − 2 −2 x − 1 3 y − 5 3 y + 2 1 y + 2 2 z − 3 −6 z − 1 3 z + 1 2

6.46. (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = 36 và mặt phẳng (P ) : x + 2y + 2z + 18 = 0.

a) Xác định toạ độ tâm T và bán kính của (S). Tính khoảng cách từ T đến (P ). b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua T và vuông góc (P ). Tìm toạ độ giao điểm của d và (P ).

Nguyễn Minh Hiếu

6.47. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường thẳng d : = = . x − 12 4 y − 9 3 z − 1 1

a) Tìm giao điểm M của d và (α). b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa M và vuông góc với d.

6.48. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : = = và d(cid:48) : = = . x − 1 −1 y 1 z −1 x 2 y + 1 1 z 1

a) Chứng minh d và d(cid:48) chéo nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với d(cid:48).

    . Chứng minh 6.49. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : , d2 :   x = t y = 2t z = 1 − t x = 1 + 2s y = 2 + 2s z = −s d1 và d2 cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2.

= = = = . , d2 : 6.50. (B-06) Trong không gian Oxyz cho điểm A (0; 1; 2) và d1 : x 2 y − 1 1 z + 1 −1 x − 1 1 y + 1 −2 z − 2 1

a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và song song với d1, d2. b) Tìm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng.

6.51. (D-03) Trong không gian Oxyz, cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x + 3ky − z + 2 = 0 và (Q) : kx − y + z + 1 = 0. Tìm k để d vuông góc với (α) : x − y − 2z + 5 = 0.

6.52. (D-02) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x − y + 2 = 0 và d là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : (2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0 và (β) : mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0. Xác định m để d song song với (P ).

6.53. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) và mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ).

= = = . = và d2 : 6.54. Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 : x − 7 1 y − 3 2 z − 9 −1 x − 3 −7 y − 1 2 z − 1 3

1 = y+1

−2 = z−2 1 .

6.55. Viết phương trình đường thẳng qua A (1; −1; 1) và cắt d : = = , d(cid:48) : x x − 1 2 z − 3 −1

y 1     6.56. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxz) và cắt d : , d(cid:48) : .   x = t y = −4 + t z = 3 − t x = 1 − 2t(cid:48) y = −3 + t(cid:48) z = 4 − 5t(cid:48)

. Viết phương trình đường = = 6.57. (B-04) Trong không gian Oxyz, cho A (−4; −2; 4) và d : x + 3 2 y − 1 −1 z + 1 4 thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.

6.58. (D-09) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : và (P ) : x + 2y − 3z + 4 = 0. Viết phương trình = = x + 2 1 y − 2 1 z −1 đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.

  . = = 6.59. (A-07) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : và d2 : x 2 y − 1 −1 z + 2 1  x = −2 + 2t y = 1 + t z = 3

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. b) Viết phương trình d vuông góc với (P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.

6.60. (CĐ-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P ) : = = x − 2 −1 y + 1 −1 z + 1 1

2x + y − 2z = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong (P ) vuông góc với d tại giao điểm của d và (P ). Viết phương trình đường thẳng ∆.

§4. Hình Chiếu

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (α).

• Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với (α). • Hình chiếu H là giao điểm của ∆ và (α).

Lưu ý. Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I trên (α).

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

2. Hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d. −−→ M H. • Lấy H ∈ d. Tính • H là hình chiếu của M trên d ⇔ −−→ M H.−→ud = 0. 3. Hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (α).

B. Bài Tập

TH1: d cắt (α). • Tìm giao điểm a của d và (α). • Lấy M cụ thể trên d. Tìm hình chiếu M (cid:48) của M trên d. • Hình chiếu d(cid:48) là đường thẳng AM (cid:48). TH2: d song song (α). • Lấy M cụ thể trên d. Tìm hình chiếu M (cid:48) của M trên d. • Hình chiếu d(cid:48) qua M (cid:48) và song song với d.

6.61. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 4; 2) và mặt phẳng (α) : x + y + z − 1 = 0. Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (α). Tìm toạ độ điểm A(cid:48) đối xứng với A qua (α).

= . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông x − 2 1 y − 1 2 z 1 = 6.62. Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) và ∆ : góc của A lên ∆. Tìm toạ độ điểm A(cid:48) đối xứng với A qua ∆.

= = = = và d2 : x − 2 2 y + 2 −1 z − 3 1 x − 1 −1 y − 1 2

. Tìm A(cid:48) đối xứng với A qua d1. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc d1 và cắt d2. 6.63. (D-06) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3); d1 : z + 1 1

6.64. Trong không gian Oxyz, cho d : = và (P ) : x + y + z − 10 = 0. Viết phương trình hình chiếu = x 2 y − 1 −1 z − 3 1 d(cid:48) của d lên (P ).

= = và (P ) : x + 2y − 2z − 1 = 0.Viết phương trình hình x − 1 2 y + 1 1 z − 2 2 6.65. Trong không gian Oxyz, cho d : chiếu d(cid:48) của d lên (P ).

6.66. Trong không gian Oxyz, lập phương trình d(cid:48) đối xứng của d : qua (P ) : x−y+2z−3 = 0. = = x − 4 3 y − 1 1 z − 1 −5

6.67. (A-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đường thẳng d : . Tìm toạ độ hình = = x − 1 2 y 1 z − 2 2 chiếu vuông góc của A trên d. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.

6.68. (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1; −2; 3) , B (−1; 0; 1) và (P ) : x + y + z + 4 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng AB 6 , có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P ).

6.69. Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x + 2y − 2z − 3 = 0 và (S) : x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 2z − 10 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

6.70. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và (S) : x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

6.71. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 3; 0) , B (3; 0; 3) , C (0; 3; 3) , D (3; 3; 3). Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

6.72. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

§5. Góc Và Khoảng Cách

1. Góc. Gọi α, β, γ là góc giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng và giữa đường thẳng với mặt phẳng. Ta có

(cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:104)−−→ (cid:12) AB, (cid:12) (cid:12) −−→ (cid:12) AB (cid:12)

−−→ AM (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nguyễn Minh Hiếu

B. Bài Tập

(cid:105) −−→ CD (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) • Giữa hai đường thẳng chéo nhau: d (∆, ∆(cid:48)) = . , d (AB, CD) = −→ u(cid:48) (cid:105) (cid:104)−→u , (cid:104)−−→ AB, . −−→ CD (cid:104)−→u , (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:104)−−→ AB, (cid:12) (cid:12) (cid:12) −→ AC (cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12) −−−−→ M0M (cid:48) . 0 −→ u(cid:48) (cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

6.73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD. Tính góc và khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD biết A (3; −1; 0) , B (0; −7; 3) , C (−2; 1; −1) , D (3; 2; 6).

= = . 6.74. (TN-09) Trong không gian Oxyz, cho A (1; −2; 3) và đường thẳng d : x + 1 2 y − 2 1 z + 3 −1

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với d. b) Tính khoảng cách từ A đến d. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.

6.75. (A-05) Trong không gian Oxyz, cho d : và (P ) : 2x + y − 2z + 9 = 0. = = x − 1 −1 y + 3 2 z − 3 1

a) Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến (P ) bằng 2. b) Tìm giao điểm A của d và (P ). Lập phương trình ∆ nằm trong (P ), qua A và vuông với d.

6.76. (TN-08) Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; −2; −2) và (P ) : 2x − 2y + z − 1 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P ). b) Tính d (A, (P )).Viết phương trình (Q) sao cho (Q) song song (P ) và d ((P ) , (Q)) = d (A, (P )).

= và (P ) : 2x − y + 2z − 2 = 0. = 6.77. (CĐ-2010) Trong không gian Oxyz, cho d : x −2 y − 1 1 z 1

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều góc tọa độ O và (P ).

6.78. (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : = = . Viết phương trình mặt cầu x − 1 4 z − 1 1 y + 1 −3 √ có tâm I (1; 2; −3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 26.

= = . Tính khoảng cách từ A đến 6.79. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (0; 0; −2) và ∆ : x + 2 2 y − 2 3 z + 3 2 ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho BC = 8.

−→ AC = (0; 6; 0). Tính khoảng cách 6.80. (B-03) Trong không gian Oxyz, cho A (2; 0; 0) , B (0; 0; 8) và điểm C sao cho từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

  = = . Xác định tọa độ điểm và ∆2 : 6.81. (D-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆1 : x − 2 2 y − 1 1 z 2  x = 3 + t y = t z = t M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.

6.82. (A-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : và (P ) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm = = x − 1 2 y 1 z + 2 −1 √ của ∆ và (P ), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết M C = 6.

6.83. (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho ∆ : = = . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho x 2 y − 1 1 z 2 khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM .

6.84. (B-2010) Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c), (b, c > 0) và (P ) : y − z + 1 = 0. Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1 3 .

= = và hai điểm A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2). 6.85. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x − 1 2 y 1 z −2 Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.

−2 . Xác định điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng khoảng cách từ M đến

2 = y−3

1 = z+1

= = , x + 1 1 y 1 z + 9 6

6.86. (A-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng ∆1 : ∆2 : x−1 (P ).

6.87. (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : và mặt phẳng (P ) : x+y+z −3 = = = x − 2 1 y + 1 −2 z −1 √ 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P ). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho M I vuông góc với ∆ và M I = 4 14.

Chuyên đề 6. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

6.88. (B-2011) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = = x + 2 1 y − 1 3 z + 5 −2 và hai điểm A (−2; 1; 1), √ B (−3; −1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác M AB có diện tích bằng 3 5.

√ 6.89. (A-04) Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A (2; 0; 0) , B (0; 1; 0) , S (cid:0)0; 0; 2 2(cid:1). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM . b) Gọi N là giao điểm của SD và (ABM ), tính thể tích khối chóp S.ABM N .

6.90. (A-04) Trong không gian Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48). Biết A (a; 0; 0) , B (−a; 0; 0) , C (0; 1; 0), B(cid:48) (−a; 0; b) , (a > 0, b > 0).

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B(cid:48)C và AC (cid:48). b) Cho a, b thay đổi sao cho a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B(cid:48)C và AC (cid:48) là lớn nhất.

6.91. (A-06) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) với A (0; 0; 0) , B (1; 0; 0), D (0; 1; 0) , A(cid:48) (0; 0; 1). Gọi M, N là trung điểm AB và CD.

. a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A(cid:48)C và M N . b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A(cid:48)C và tạo với (Oxy) một góc α sao cho cos α = 1√ 6

6.92. Trong không gian Oxyz, cho A (1; 0; 0) , B (0; 1; 2). Tìm C ∈ Oz để (ABC) hợp với (α) : 2x − 2y − z + 5 = 0 một góc 600.

6.93. (D-07) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; 2) , B (−1; 2; 4) và ∆ : = = . x − 1 −1 y + 2 1 z 2

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với (OAB). b) Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho M A2 + M B2 nhỏ nhất.

6.94. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và hai điểm A (−3; 0; 1) , B (1; −1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P ), hãy viết đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

và mặt phẳng (P ) : x + y + z + 2 = 0. = = 6.95. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x − 3 2 y + 2 1 z + 1 −1 √ Gọi M là giao điểm của d và (P ). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P ), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ bằng 42.

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 7

Phương Trình Lượng Giác

§1. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương trình sin x = a.

2 + k2π.

Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm. Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm. (cid:20) x = α + k2π (cid:20) x = arcsin a + k2π • sin x = a ⇔ sin x = sin α ⇔ . • sin x = a ⇔ . x = π − α + k2π x = π − arcsin a + k2π Đặc biệt: • sin x = ±1 ⇔ x = ± π • sin x = 0 ⇔ x = kπ. 2. Phương trình cos x = a.

2 + kπ.

B. Bài Tập

Nếu |a| > 1: Phương trình vô nghiệm. Nếu |a| ≤ 1: Phương trình có nghiệm. • cos x = a ⇔ cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π. • cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k2π. Đặc biệt: • cos x = 0 ⇔ x = π • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π. • cos x = 1 ⇔ x = k2π. 3. Phương trình tan x = a. • tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ. • tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ. 4. Phương trình cot x = a. • cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ. • cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ.

√ 2 2 .

c) sin (cid:0)2x − π f) sin (cid:0) π (cid:1). (cid:1) = 7.1. Giải các phương trình sau a) sin x = 4 3 . d) sin (cid:0)x − π b) sin x = 1 4 . e) sin (cid:0)300 − x(cid:1) = 1 2 . (cid:1) = 1. 3 − x(cid:1) = sin (cid:0)3x + π

√ 2 2 . (cid:1) + sin 5x = 0.

6 − x(cid:1) = −1. cos 2x sin x + cos x

c) cos (cid:0) π √ 7.2. Giải các phương trình sau a) cos x = 2011 2010 . d) cos (cid:0)5x + π (cid:1) = cos 2x. b) cos x = e) cos (cid:0)x + π = cos x − . f) 3 2

√

(cid:1) = tan 2x. b) cot x = −2. e) cot (cid:0)3x − π (cid:1) = tan x. c) tan (cid:0)450 − 3x(cid:1) = − f) tan (cid:0)x + π 3. (cid:1) . tan (cid:0)x + π (cid:1) = 1. 7.3. Giải các phương trình sau √ 3 a) tan x = 3 . d) tan (cid:0)5x + π 4

7.4. Giải các phương trình sau 3. √ √ a) 3 sin 4x + 4 = 0. d) 2 tan (3 − 2x) + 3 = 0. 3 = 0. c) 2 sin (5x − 2) = 3 tan (cid:0) π f) b) 3 cos 3x − 1 = 0. e) 3 cot (cid:0)x − 600(cid:1) − √ 4 − 2x(cid:1) + 3 = 0.

c) 2sin23x − sin 3x − 1 = 0. f) 2cos22x − 3 cos 2x + 1 = 0. 7.5. Giải các phương trình sau a) sin2x − 3 sin x + 2 = 0. d) tan2x − 5 tan x + 6 = 0. b) 3cos2x + 4 cos x + 1 = 0. e) cot2x + 3 cot x − 4 = 0.

b) cos2x − 5 sin x + 5 = 0. e) cos 2x + 5 sin x + 2 = 0. c) sin2x + 7 cos x − 7 = 0. f) 3 cos 2x + 4 cos x − 7 = 0. 7.6. Giải các phương trình sau a) cos2x + 3 sin x − 3 = 0. d) cos22x − 6 sin x cos x − 3 = 0.

Nguyễn Minh Hiếu

7.7. Giải các phương trình sau a) cos 4x − 3 cos 2x + 2 = 0. c) 4 tan 2x − cot 2x + 3 = 0. b) cos22x + 2(sin x + cos x)2 − 3 sin 2x − 3 = 0. d) 5 tan x + 2 cot x = 7. e) 2 tan x + 2 cot x = 3.

§2. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x.

Dạng: a sin x + b cos x = c (a2 + b2 (cid:54)= 0). Cách giải:

√ √ √ • Phương trình tương đương với sin x + cos x = . b a2 + b2 c a2 + b2 a a2 + b2

√ √ = sin α. • Đặt = cos α; a a2 + b2 b a2 + b2 √ • Phương trình trở thành sin (x + α) = . c a2 + b2

Lưu ý: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2. 2. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x.

Dạng: asin2x + b sin x cos x + ccos2x = d. Cách giải:

• Với cos x = 0, thay vào phương trình để giải. • Với cos x (cid:54)= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta có: atan2x + b tan x + c = d (cid:0)1 + tan2x(cid:1). Lưu ý: Phương trình sau có cách giải tương tự

a sin3 x + b sin2 x cos x + c sin x cos2 x + d cos3 x = m sin x + n cos x

B. Bài Tập

3. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x. Dạng: a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0. Cách giải: √ 2. • Đặt sin x ± cos x = t, |t| ≤ • Rút sin x cos x theo t rồi thay vào phương trình để giải. √ 2 sin (cid:0)x ± π Lưu ý: t = sin x ± cos x = (cid:1).

7.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau a) y = 2 sin x + 3 cos x. b) y = cos 2x + 4 sin x cos x. √ . d) y = 3 cos 3x − 1. c) y = 4 sin 3x + sin x + 2 cos x + 1 sin x + cos x + 2

7.9. Giải các phương trình sau √ 5. √ 3 cos 3x = 2. √ a) 2 sin x + cos x = c) 2 sin x − cos x = 3. e) 2 (sin 3x + cos 3x) = 2. b) 3 sin 2x − 4 cos 2x − 5 = 0. d) sin 3x − √ f) cos x + 3 sin x = 1.

7.10. Giải các phương trình sau

√ √ √ 3 sin x + cos x = 2 sin 4x. 2 (sin 4x + cos 4x) = 2 cos (cid:0)x + π (cid:1). b) d) 3 sin x cos x = 2 sin x. a) 2 sin x − 3 cos x = 2. c) cos 2x − 2 √ = 6. f) 3 cos x + 4 sin x + e) 3 sin x + cos x + 2 cos (cid:0)x − π (cid:1) = 2. 6 3 cos x + 4 sin x + 1

2 + cos x

2 + cos4 x √

2 3 sin 2x = 1 + sin2x. 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.

√ √ (cid:1)2 (cid:1) + 7.11. Giải các phương trình sau + 3 cos x = 2. 3 sin 2x = 2. 3 cos 9x = 1 + 4sin33x. √ √ √ a) (D-07) (cid:0)sin x c) cos2x − e) (D-09) b) 4 (cid:0)sin4 x d) 3 sin 3x − f) 2 2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x.

7.12. Giải các phương trình sau √ √ 3 sin x(cid:1) cos x = cos x − 3 sin x + 1. √ √ √ b) (B-2012) 2 (cid:0)cos x + d) (B-09) sin x + cos x sin 2x + f) cos x+sin (cid:0)2x + π (cid:1)−sin (cid:0)2x − π 3 cos 3x = 2 (cid:0)cos 4x + sin3x(cid:1). (cid:1)+1 = 3 (1 + 2 cos x). 3 cos 4x = 3. a) 2 sin 4x + 3 cos 2x + 16sin3x cos x − 5 = 0. c) 1 + 2 (cos 2x tan x − sin 2x) cos2x = cos 2x. e) 4sin3x cos 3x + 4cos3x sin 3x + 3

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác

7.13. Giải các phương trình sau

b) 2sin2x − 3cos2x + 5 sin x cos x − 2 = 0. d) sin 2x − 2sin2x − 2 cos 2x = 0.

a) 3sin2x − 4 sin x cos x + cos2x = 0. c) 3sin2x + 2 sin 2x − 5cos2x = 1. e) sin2x − 2 sin x cos x = 3cos2x. . f) 2 cos x + 4 sin x = 3 cos x

7.14. Giải các phương trình sau

a) 2cos3x = sin 3x. c) sin x cos 2x = 6 cos x (1 + 2 cos 2x). √ e) sin3 (cid:0)x + π 2 sin x. b) 2sin3x + 4cos3x = 3 sin x. d) sin x sin 2x + sin 3x = 6cos3x. f) 4sin3x + 3cos3x − 3 sin x − sin2x cos x = 0. √ √ (cid:1) = √ √ g) (B-08) sin3x− 3cos3x = sin xcos2x− 3sin2x cos x.h) 2 sin x + 2 3 cos x = + . 3 cos x 1 sin x

7.15. Giải các phương trình sau a) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x. b) sin2x (tan x + 1) = 3 sin x (cos x − sin x) + 3.

2 + 2x(cid:1) + 2cos32x = 0.

c) = cos 2x. d) 2 (cid:0)cos3x + 2sin3x(cid:1) 2 sin x + 3 cos x f) sin22x cos (cid:0) 3π e) = 6 cos 2x + 4 sin 2x. = sin 2x. 2 − 2x(cid:1) + 3 sin 2xsin2 (cid:0) 3π sin3x + cos3x 2 cos x − sin x tan x + cot x cot x − tan x

7.16. Giải các phương trình sau

√

2 sin 4x = 1.

b) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1. d) 3 cos 2x + sin 4x + 6 sin x cos x = 3. f) |sin x − cos x| + 4 sin 2x = 1. h) sin32x + cos32x + 1 a) 3 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0. c) 2 sin x + sin 2x − 2 cos x + 2 = 0. 2 sin (cid:0)x − π (cid:1) = 1. e) sin 2x + 4 g) 1 + sin3x + cos3x = 3 2 sin 2x.

7.17. Giải các phương trình sau √ 2 sin x.

+ sin x + = . b) (sin x − cos x)2 + tan x = 2sin2x. d) 3 + sin 2x = tan x + cot x. 1 sin x 1 cos x 10 3 a) 1 + tan x = 2 c) cot x − tan x = sin x + cos x. e) 4 (cid:0)sin xcos2x + cos xsin2x(cid:1) + sin32x = 1. g) tan2x + cot2x + cot x − tan x − 2 = 0. f) cos x + h) 2tan2x − 3 tan x + 2cot2x + 3 cot x − 3 = 0.

§3. Phương Trình Lượng Giác Đưa Về Phương Trình Tích

b) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. d) sin 3x + sin 2x = 5 sin x. 7.18. Giải các phương trình sau a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0. c) sin 3x + sin x − 2cos2x = 0.

7.19. Giải các phương trình sau

√ a) (B-07) 2sin22x + sin 7x − 1 = sin x. c) sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x. e) (CĐ-2012) 2 cos 2x + sin x = sin 3x. 2 cos 2x. b) sin 5x + sin 9x + 2sin2x − 1 = 0. d) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x. f) (D-2012) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x =

7.20. Giải các phương trình sau

√

2 + 2 (8 sin x − 1) cos x = 5.

2 cos 3x

2 − sin x sin x

2 sin 3x

2 = 1 2 .

a) cos 5x cos x = cos 4x. c) cos x cos 3x − sin 2x sin 6x − sin 4x sin 6x = 0. e) 4 cos 5x b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. d) (D-09) f) cos x cos x 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0. 2 cos 3x

2 + 10x(cid:1).

2 sin2x = 2cos2 (cid:0) π 2 sin x − cos x 5 = 3 cos 4x 5 .

(cid:1). b) (B-02) sin23x − cos24x = sin25x − cos26x. d) 1 + sin x 4 − x f) 1 + 2cos2 3x 7.21. Giải các phương trình sau a) sin2x + sin23x = 2sin22x. c) sin22x − sin28x = sin (cid:0) 17π e) cos2x = cos 4x 3 .

2 + cos4 x 2 = 1 − 2 sin x. 1 8 − sin23x 3

7.22. Giải các phương trình sau a) sin4x + cos4x = cos 2x. c) 16 (cid:0)sin6x + cos6x − 1(cid:1) + 3 sin 6x = 0. d) . = b) sin4 x 1 cos23x

7.23. Giải các phương trình sau b) sin x (2 − cos x) = (1 − cos x)2 (1 + cos x).

a) (CĐ-09) (1 + 2 sin x)2 cos x = 1 + sin x + cos x. c) (D-04) (2 cos x − 1) (2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.d) cos 2x + (1 + 2 cos x) (sin x − cos x) = 0. e) (B-05) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0. g) cos 2x + 5 = 2 (2 − cos x) (sin x − cos x). f) (D-08) 2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x. h) 4 sin 2x − 3 cos 2x = 3 (4 sin x − 1).

Nguyễn Minh Hiếu

7.24. Giải các phương trình sau √ b) 2cos3x + cos 2x + sin x = 0. 3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1.

a) (A-2012) c) (B-2010) (sin 2x + cos 2x) cos x+2 cos 2x−sin x = 0.d) (A-07) (cid:0)1 + sin2x(cid:1) cos x + (cid:0)1 + cos2x(cid:1) sin x = 1 + sin 2x. e) 2 cos x (1 − cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 sin x. g) (D-06) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0. f) sin 4x − cos 4x = 1 + 4 (sin x − cos x). h) (A-05) cos23x cos 2x − cos2x = 0.

7.25. Giải các phương trình sau b) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8.

a) 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1. c) (D-2010) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. d) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x. e) 32cos6x − cos 6x = 1. f) 4cos2x − cos 3x = 6 cos x + 2 (1 + cos 2x).

7.26. Giải các phương trình sau

b) 3 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x. d) (B-04) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x) tan2x. f) 1 + 3 sin 2x = 2 tan x. a) 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1. c) (1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x. e) 4sin2x + 3tan2x = 1.

2 = 0.

7.27. Giải các phương trình sau

a) 2 + cos x + 2 tan x c) 1 + 3 tan x = 2 sin 2x. b) tan xsin2x − 2sin2x = 3 (cos 2x + sin x cos x). d) cot x = tan x + 2 tan 2x.

7.28. Giải các phương trình sau a) 2 (tan x − sin x) + 3 (cot x − cos x) + 5 = 0. b) 3 (cot x − cos x) − 5 (tan x − sin x) = 2.

d) . c) 4 cot x − 2 = √ 5 + cos 2x 3 + 2 tan x √ (cid:112) 3 + cos 2x sin x e) 8cos3x − sin23x − 6 sin x + sin2x − 2 = 0. f) 1 + = 2 cos x. 1 − x2 = x (cid:0)1 + 2 1 − x2(cid:1).

7.29. Giải các phương trình sau

7.30. Giải các phương trình sau √ a) sin2x + sin 2x + √ (cid:113) 2 sin (cid:0)x − π b) (cos 4x − cos x)2 = 4 + cos22x. d) sin 4x − cos 4x = 1 + 4 (cid:1). c) sin x + cos x = 2 sin x + 3 2 = 0. 2 + sin10 (cid:0)x − 9π (cid:1).

§4. Phương Trình Lượng Giác Chứa Ẩn Ở Mẫu

7.31. Giải các phương trình sau √ √ = 3. a) = 2 cos x + 1. b) √ c) = 3. d)

3 (sin 2x − sin x) cos x − 1 2 (cid:0)cos3x + 2sin3x(cid:1) 2 sin x + 3 cos x √ cos x (cid:0)2 sin x + 3 = sin 2x. 2(cid:1) − 2cos2x − 1 e) = 0. = 1. f) sin x + sin 2x + sin 3x cos x + cos 2x + cos 3x cos x − 2 sin x cos x 2cos2x + sin x − 1 2sin2x + cos 4x − cos 2x (sin x − cos x) sin 2x 1 + sin 2x

7.32. Giải các phương trình sau

a) tan2x = . − 2 cos x = 2. b) 1 + cos x 1 − sin x 3 (sin x + tan x) tan x − sin x

= . d) c) + = . 1 − cos 4x 2 sin 2x sin 4x 1 + cos 4x 1 cos x 1 sin 2x 2 sin 4x

e) (B-03) cot x − tan x + 4 sin 2x = . f) = 0. 2 sin 2x 3sin22x + 8sin2x − 11 − 3 cos 2x 1 + cos 4x

2 − π

2 = 0.

7.33. Giải các phương trình sau sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 √ b) (D-2011) √ a) (A-06) = 0. 3 2 (cid:0)cos6x + sin6x(cid:1) − sin x cos x 2 − 2 sin x (cid:19) (cid:16) (cid:17) = 4. (cid:1) = 4 sin 1 sin x tan x + 1 sin (cid:0)x − 3π c) (B-06) cot x + sin x e) (D-03) sin2 (cid:0) x 1 + tan x tan (cid:1) tan2x − cos2 x d) (A-08) + f) (D-05) cos4x + sin4x + cos (cid:0)x − π = 0. (cid:18) 7π − x 4 (cid:1) sin (cid:0)3x − π . (cid:1) − 3 x 2 2 = 0.

7.34. Giải các phương trình sau √ sin 2x. b) (A-03) cot x − 1 = = 2 sin x sin 2x. a) (A-2011) 1 2 (cid:1) √ = 3. c) (A-09) cos x. = d) (A-2010) 1 + sin 2x + cos 2x 1 + cot2x (1 − 2 sin x) cos x (1 + 2 sin x) (1 − sin x) cos 2x + sin2x − 1 + tan x (1 + sin x + cos 2x) sin (cid:0)x + π 1 + tan x 1 √ 2

Chuyên đề 7. Phương Trình Lượng Giác

§5. Nghiệm Thuộc Khoảng Cho Trước

7.35. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước √

2 ; 4π(cid:3).

(cid:1). a) sin 2x = 0 trên [0; 2π]. √ 3 trên (cid:2)0; 3π c) 2 cos x + e) cot x + tan x = 2 trên (0; 3π). b) 3 tan x − 3 = 0 trên (0; 3π). d) sin2x + 6 sin x − 7 = 0 trên (cid:0) π f) sin x = cos 2x trên [0; 10].

(cid:1) = 1 + 2 sin x. 7.36. (D-02) Tìm nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0. 7.37. Tìm nghiệm thuộc (cid:0) π 2 ; 3π(cid:1) của phương trình sin (cid:0)2x + 5π (cid:1) − 3 cos (cid:0)x − 7π √ √ (cid:3) của phương trình 3 sin 2x − 4sin32x + 2 7.38. Tìm nghiệm thuộc (cid:2)0; 3π 3cos23x = 2 + 3. √ √ 7.39. Tìm nghiệm thuộc (cid:2)0; 3π 3cos23x = 2 + 3. (cid:3) của phương trình 3 sin 2x − 4sin32x + 2

(cid:18) (cid:19) 7.40. (A-02) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 5 sin x + = cos 2x + 3. cos 3x + sin 3x 1 + 2 sin 2x

7.41. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [2; 40] của phương trình sin x − cos 2x = 0.

7.42. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [1; 70] của phương trình cos 2x − tan2x = . cos2x − cos3x − 1 cos2x

. 7.43. Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [2; 40] của phương trình 2cos2x + cot2x = sin3x + 1 sin2x

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 8

Nguyên Hàm - Tích Phân

§1. Nguyên Hàm

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Khái niệm nguyên hàm.

Định nghĩa 8.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F (cid:48)(x) = f (x), với mọi x thuộc K.

Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là (cid:82) f (x)dx. Vậy (cid:82) f (x)dx = F (x) + C.

B. Bài Tập

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. (cid:90) (cid:90) + C (a > 0, a (cid:54)= 1). 1. 0dx = C. 6. axdu = ax ln a (cid:90) (cid:90) 2. dx = x + C. 7. cos xdx = sin x + C. (cid:90) (cid:90) 8. sin xdx = − cos x + C. 3. xαdx = + C (α (cid:54)= −1). xα+1 α + 1 (cid:90) 4. dx = ln |x| + C. 9. dx = tan x + C. (cid:90) (cid:90) 5. (cid:90) 1 x exdx = ex + C. 10. dx = − cot x + C. 1 cos2x 1 sin2x 3. Tính chất của nguyên hàm. (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) • [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. • kf (x)dx = k f (x)dx (k (cid:54)= 0).

8.1. Tìm các họ nguyên hàm sau (cid:19) (cid:90) (cid:90) (cid:18) (cid:90) √ √ 3 a) x(cid:1) dx. b) x + 1 − dx. c) (cid:0)3x2 + 1(cid:1) (2x − 3) dx. 1 √ x (cid:19) (cid:90) (cid:18) (cid:90) (cid:90) √ (cid:0)x7 + 4x3 − x (cid:0)√ x − 2x(cid:1) (x + 1) dx. e) 3 sin x + dx. f) (cid:0)3 cos x − 3x−1(cid:1) dx. d) 2 x

√ (cid:90) 4x + 1 (cid:90) x + (cid:90) x3 + 5x2 − 3x + x c) √ dx a) b) dx. x (cid:90) (cid:90) d) dx. dx. e) x tan2 xdx. f) 8.2. Tìm các họ nguyên hàm sau √ x + 1 √ x 3 (cid:90) 2x − 1 ex 2x dx. 1 sin2xcos2x

8.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau

a) f (x) = 2 − x2, biết F (2) = . b) f (x) = x − 7 3 c) f (x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1. √ d) f (x) = 3 1 x2 + 2, biết F (1) = 2. x + x3 + 1, biết F (1) = 2.

e) f (x) = ax + b x2 , biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.

8.4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) = thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) = − 1. 1 F (x) + 1 1 x

Nguyễn Minh Hiếu

§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phương pháp đổi biến số.

A F (Ax + B) + C

Định lý 8.2. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì (cid:82) f [u(x)] u(cid:48)(x)dx = F [u(x)] + C. Nhận xét. (cid:82) f (Ax + B) dx = 1

B. Bài Tập

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần. Định lý 8.3. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì (cid:82) u(x)v(cid:48)(x)dx = u(x)v(x) − (cid:82) v(x)u(cid:48)(x)dx.

8.5. Tìm các họ nguyên hàm sau (cid:90) (cid:90) (cid:90) dx. c) I = (cid:0)e3x+1 + cos 5x(cid:1) dx. b) I = a) I = (3x + 3)9dx. (cid:90) (cid:90) e) I = 7 2 − 9x sin2xdx. f) I = sin 5x sin xdx. dx. d) I = (cid:90) 4x − 1 2x + 1

2012

(cid:90) (cid:90) (cid:90) dx. b) I = tan xdx. c) I = a) I = dx. 8.6. Tìm các họ nguyên hàm sau x(x2 + 1) √ (cid:90) (cid:90) (cid:90) √ f) I = dx. e) I = cos5xdx. dx. d) I = ex ex + 1 x x2 + 1 1 + ln x x

8.7. Tìm các họ nguyên hàm sau (cid:90) (cid:90) (cid:90) x3 + 1dx. c) I = x5(cid:112) a) I = x (x − 1)2012dx. b) I = (cid:90) (cid:90) √ x3 dx. x2 + 1 (cid:90) 2 ln x − 1 f) I = sin3x 1 + cos xdx. √ e) I = dx. dx. d) I = x ln x e2x ex + 1

8.8. Tìm các họ nguyên hàm sau (cid:90) (cid:90) (cid:90) a) I = (x − 1) exdx. b) I = x cos xdx. c) I = x2 ln xdx. (cid:90) (cid:90) (cid:90) d) I = ln (2x + 1) dx. e) I = x2e2x−1dx. f) I = ex sin xdx.

§3. Tích Phân

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Khái niệm tích phân.

b (cid:82)

Định nghĩa 8.4. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f

trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx.

b (cid:82)

Nhận xét.

a. Khi đó

a = F (b) − F (a).

b (cid:82)

a) Hiệu số F (b) − F (a) còn được ký hiệu là F (x)|b f (x)dx = F (x)|b

b) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là f (x)dx = f (t)dt = f (u)du = ... = F (b) − F (a).

2. Tính chất của tích phân.

a (cid:82)

b (cid:82)

Định lý 8.5. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có

a b (cid:82)

c (cid:82)

f (x)dx = 0. 1) 2) f (x)dx = − f (x)dx.

a b (cid:82)

b (cid:82)

3) f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx.

4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. 5) kf (x)dx = k f (x)dx (k ∈ R).

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân

b (cid:82)

3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

|f (x)| dx. Bài toán 8.1. Tính tích phân I =

b (cid:82)

Phương pháp. • Cho f (x) = 0 ⇒ x = xi (chỉ lấy những xi thuộc khoảng (a; b)).

xi(cid:82) a

|f (x)| dx. • Khi đó I = |f (x)| dx +

• Xét dấu f (x) trên các khoảng (a; xi) và (xi; b) để phá giá trị tuyệt đối.

B. Bài Tập

Lưu ý. Để xét dấu f (x) trên (a; xi) ta lấy x0 ∈ (a; xi) thay vào f (x) để xác định dấu.

e (cid:90)

1 (cid:90)

6(cid:90)

8.9. Tính các tích phân sau

1 1 (cid:90)

0 1 (cid:90)

ln 2 (cid:90)

b) I = . a) I = 5x4dx. cos 3xdx. c) I = dx x

−1

1 2

√ e) I = (2x − 1)2012dx. f) I = 5 − 4xdx. d) I = e−xdx.

1 (cid:90)

6(cid:90)

8.10. Tính các tích phân sau

0 0 (cid:90)

0 2 (cid:90)

1 (cid:90)

(cid:17) (cid:16) a) I = e2−5xdx. b) I = dx. c) I = dx. sin 2x + π 6 1 cos22x

−1

√ 3 f) I = d) I = (−2x + 1)7dx. e) I = 3x + 2dx. 4 (3 − 5x)3 dx.

2 (cid:90)

1 (cid:90)

ln 2 (cid:90)

8.11. Tính các tích phân sau

0 π

3 (cid:90)

4(cid:90)

8(cid:90)

a) I = (cid:0)6x2 − 4x + 1(cid:1) dx. c) (CĐ-2010) I = dx. b) I = (ex + 2x) dx. 2x − 1 x + 1

√ √ f) I = dx. dx. d) I = cos22xdx. e) I = 1 x + 1 − x − 1 2cos2x + 1 1 − sin2x

8.12. Tính các tích phân sau

4 (cid:90)

2(cid:90)

2 1 (cid:90)

0 1 (cid:90)

2(cid:90)

(cid:19)2 (cid:18) √ (cid:17) (cid:16) a) I = (cid:0)2x + x + dx. x(cid:1) dx. b) I = c) I = 1 + sin cos dx. 1 x x 2 x 2

e) I = f) I = x(x − 1)2009dx. dx. d) I = cos 3x cos xdx. x2 − 3x + 3 x − 2

2 (cid:90)

4 (cid:90)

8.13. Tính các tích phân sau

0 2 (cid:90)

3 (cid:90)

−2 2 (cid:90)

a) I = |x − 1| dx. b) I = |3 − x| dx. c) (D-03) I = (cid:12) (cid:12)x2 − x(cid:12) (cid:12) dx.

−2

2π (cid:90)

3 (cid:90)

e) I = |2x − |x + 1|| dx. f) I = (|x + 1| + |x − 2|) dx. d) I = (cid:12)x2 − 3x + 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx.

√ √ (cid:112) 1 − cos 2xdx. i) (BĐT-103) I = 1 + sin xdx. h) I = g) I = (cid:12) (cid:12) x2 − 4x + 4 − 1 (cid:12) dx. (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nguyễn Minh Hiếu

§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân

A. Kiến Thức Cần Nhớ

b (cid:82)

1. Phương pháp hệ số bất định.

f (x) g(x) dx, trong đó bậc f (x) < bậc g(x).

Bài toán 8.2. Tính tích phân I =

Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.

Lưu ý.

a) Nếu bậc f (x) ≥ bậc g(x) thì chia f (x) cho g(x). b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau

+ • = + . • A x − x0 ax + b (x − x1) (x − x2) A x − x1 B (x − x0)2 .

(tam thức vô nghiệm). + = • ax2 + bx + c (a1x + b1)(a2x2 + b2x + c2) B x − x2 A a1x + b1 C (2a2x + b2) a2x2 + b2x + c2 ax + b (x − x0)2 = B + a2x2 + b2x + c2 Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng để tìm A, B, C, ...

b (cid:82)

2. Phương pháp đổi biến dạng 1.

f (x)dx. Bài toán 8.3. Tính tích phân I =

Phương pháp.

β (cid:82)

• Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ(cid:48)(t)dt. • Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó I = f (ϕ(t)) ϕ(cid:48)(t)dt.

Lưu ý. (cid:104) (cid:105) (cid:17) (cid:16) (cid:112) ; ; a2 − x2 : x = |a| sin t t ∈ − • . . • a2 + x2 : x = |a| tan t, t ∈ − π 2 π 2 π 2 (cid:105) (cid:112) ; t ∈ (cid:104) − • x2 − a2 : x = \ {0}. π 2 π 2 |a| sin t π 2

b (cid:82)

3. Phương pháp đổi biến dạng 2.

Bài toán 8.4. Tính tích phân I = f [u(x)] u(cid:48)(x)dx.

Phương pháp.

b (cid:82)

• Đặt u = u(x) ⇒ du = u(cid:48)(x)dx. • Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b).

• Khi đó I = f (u) du.

Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit.

b (cid:82)

4. Phương pháp tích phân từng phần.

Bài toán 8.5. Tính tích phân I = u(x).v(cid:48)(x)dx.

b (cid:90)

Phương pháp. (cid:26) u = u(x) . ⇒ • Đặt (cid:26) du = u(cid:48)(x)dx v = (cid:82) v(cid:48)(x)dx (chọn C = 0) dv = v(cid:48)(x)dx

a −

• Khi đó I = uv|b vdu.

Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau

1 cos2x ,

1 sin2x

(cid:9) dx

• I = (cid:82) {P (x); ex} dx • I = (cid:82) (cid:8)P (x); sin x, cos x, • I = (cid:82) {P (x); ln x} dx • I = (cid:82) {ex; sin x, cos x} dx u = P (x) u = P (x) u = ln x u = ex (cid:0)hoặc u = sin x, cos x(cid:1)

B. Bài Tập

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân

1 (cid:90)

5 (cid:90)

1 (cid:90)

8.14. Tính các tích phân sau

1 (cid:90)

0 1 (cid:90)

dx. b) I = dx. c) I = dx. a) I = 1 (x − 2) (x + 1) 5x − 13 x2 − 5x + 6 x4 x2 − 1

d) (DB-07) I = dx. e) I = dx. f) (B-2012) I = dx. x (x − 1) x2 − 4 3x − 1 x2 + 6x + 9 x3 x4 + 3x2 + 2

0 (cid:90)

1 (cid:90)

2 (cid:90)

8.15. Tính các tích phân sau

0 1 (cid:90)

1 2 (cid:90)

−1 √ (cid:90)

a) I = dx. b) I = dx. c) I = dx. 3x2 + 3x + 3 x3 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 x (x2 + 2x + 1) 4x − 2 (x + 2)(x2 + 1)

e) I = f) I = d) I = 1 − x4 x + x5 dx. 1 x + x3 dx. 1 (x2 − 3x + 2)2 dx.

1 (cid:90)

8.16. Tính các tích phân sau

0 √

0 2 (cid:90)

1 (cid:90)

2(cid:90)

a) I = b) I = c) I = dx. 1 1 + x2 dx. 1 3 + x2 dx. x3 x8 + 1

2√ 3

(cid:112) √ f) I = dx. d) I = 1 − x2dx. √ e) I = dx. 1 x2 − 1 x x2 1 − x2

1 (cid:90)

√ (cid:90)

8.17. Tính các tích phân sau

0 π (cid:90)

1 (cid:90)

0 2 (cid:90)

(cid:112) a) I = dx. b) I = 2x − x2dx. dx. c) I = 1 x2 + x + 1 (cid:114) 2 + x 2 − x

−π

f) I = dx. √ d) I = dx. e) I = dx. sin2x 3x + 1 x2 + x + 2 x3 + x2 + x + 1 1 1 + x2 x2

1 (cid:90)

8.18. Tính các tích phân sau

1 (cid:90)

2 (cid:90)

0 1 (cid:90)

dx. c) (DB-02) I = dx. a) I = x3(cid:0)1 + x4(cid:1)3 dx. b) I = x + 2 x2 + 4x + 7 x3 x2 + 1

d) (BĐT-18) I = e) I = x5(cid:0)x2 + 1(cid:1)2011 dx. f) I = x (x + 1)3 dx. (2x − 1)10 (x + 1)12 dx.

1 (cid:90)

4 (cid:90)

6 (cid:90)

8.19. Tính các tích phân sau

0 √ 2 (cid:90)

2 1 (cid:90)

64 (cid:90)

√ a) (DB-03) I = x3(cid:112) 1 − x2dx. b) (D-2011) I = dx. c) I = dx. 1 √ 2x + 1 + 4x + 1 4x − 1 2x + 1 + 2

√

√ d) (A-03) I = dx. √ dx. f) I = dx. e) I = 1 √ x + 3 x 1 x2 + 4 x 1 (cid:112)(x + 1) (x + 8)

3 (cid:90)

1 (cid:90)

ln 2 (cid:90)

8.20. Tính các tích phân sau

0 e (cid:90)

0 ln 5 (cid:90)

ln 5 (cid:90)

a) (D-09) I = dx. c) (A-2010) I = dx. b) I = 1 ex − 1 x2 + ex + 2x2ex 1 + 2ex 1 1 + e−x dx.

1 √

e (cid:90)

ln 2 √ (cid:90)

f) (B-2010) I = √ √ dx. e) I = dx. d) (DB-03) I = e2x ex − 1 ex (10 − ex) ex − 1 ln x x(2 + ln x)2 dx.

ln 2 1 + ln3x x

g) I = dx. i) (B-04) I = dx. h) I = 1 + 3 ln x. ln x x 1 x (cid:0)ln2x − 3 ln x + 2(cid:1) dx.

Nguyễn Minh Hiếu

1 (cid:90)

4(cid:90)

8.21. Tính các tích phân sau

2 (cid:90)

0 3 (cid:90)

3 (cid:90)

(x − 2) e2xdx. b) (CĐ-09) I = a) (D-06) I = x (1 + sin 2x) dx. (cid:0)e−2x + x(cid:1) exdx. d) (D-2012) I =

d) (D-08) I = ln (cid:0)x2 − x(cid:1) dx. f) (A-2012) I = e) (D-04) I = dx. ln x x3 dx. 1 + ln(x + 1) x2

e (cid:90)

0 (cid:90)

4(cid:90)

−1

3 (cid:90)

ln 3 (cid:90)

3(cid:90)

8.22. Tính các tích phân sau (cid:19) (cid:18) 2x − d) (D-2010) I = ln xdx. c) I = √ x (cid:0)e2x + 3 x + 1(cid:1) dx. a) I = dx. 3 x x 1 + cos 2x

√ d) (B-09) I = dx. e) I = f) (B-2011) I = dx. xex ex + 1 1 + x sin x cos2x 3 + ln x (1 + x)2 dx.

e (cid:90)

ln 2 (cid:90)

2(cid:90)

8.23. Tính các tích phân sau

π (cid:90)

eπ (cid:90)

2(cid:90)

x3ln2xdx. c) (D-07) I = a) I = x2exdx. x2 cos xdx. b) (DB-07) I =

1 (cid:90)

1 e5 (cid:90)

0 π2 (cid:90)

e) (BĐT-37) I = e2xsin2xdx. f) I = cos (ln x) dx. d) I = ex cos xdx.

√ √ dx. g) (DB-03) I = x3ex2 dx. i) I = x sin xdx. h) (DB-04) I = ln x. ln (ln x) x

§5. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác

A. Kiến Thức Cần Nhớ

b (cid:82)

1. Dạng sinmxcosnxdx.

• Nếu n lẻ thì đặt u = sin x.

b (cid:82)

• Nếu m lẻ thì đặt u = cos x. • Nếu m, n dương chẵn thì hạ bậc. • Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tan x. • Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cot x.

b (cid:82)

a b (cid:82)

2. Dạng {f (sin x); cos x} dx hoặc {f (cos x); sin x} dx. Đặt u = sin x hoặc u = cos x.

1 cos2x

1 sin2x

B. Bài Tập

(cid:9) dx hoặc (cid:9) dx. Đặt u = tan x hoặc u = cot x. 3. Dạng (cid:8)f (cot x); (cid:8)f (tan x);

4(cid:90)

2(cid:90)

4(cid:90)

8.24. Tính các tích phân sau

0 π

0 π 2(cid:90)

4(cid:90)

sin2xdx. b) I = tan xdx. c) I = cos5xdx. a) I =

π 3

3(cid:90)

4(cid:90)

3(cid:90)

e) I = dx. d) I = dx. dx. f) I = 1 sin x 1 cos4x 1 cos3x

π 6

i) I = dx. g) I = dx. sin2x tan xdx. h) I = 1 cos xsin2x sin2x cos4x

4(cid:90)

2(cid:90)

8.25. Tính các tích phân sau

dx. b) (B-05) I = c) (D-05) I = (cid:0)esin x + cos x(cid:1) cos xdx. dx. a) (B-03) I = 1 − 2sin2x 1 + sin 2x sin 2x cos x 1 + cos x

4(cid:90)

2(cid:90)

Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân

√ d) (A-06) I = dx. f) (A-11) I = dx.e) I = dx. (cid:112) x sin x + (x + 1) cos x x sin x + cos x cos x 7 + cos 2x sin 2x cos2x + 4sin2x

6(cid:90)

2(cid:90)

4(cid:90)

8.26. Tính các tích phân sau

cos2x + 2 tan x(cid:1) dx. b) (A-08) I =

6(cid:90)

0 2(cid:90)

2(cid:90)

1 dx. a) I = dx. c) I = tan4x cos 2x cos2x (cid:0) 1 1 3sin2x + cos2x

d) I = dx. e) I = dx. f) (BĐT-57) I = (cid:1) dx. 1 1 + sin x 1 1 + sin x + cos x 1 cos x cos (cid:0)x + π

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân

A. Kiến Thức Cần Nhớ

b (cid:82)

1. Tính diện tích hình phẳng.

b (cid:82)

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S = |f (x)| dx.

a b (cid:82)

|f (x) − g(x)| dx. • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x), y = g(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b là S =

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f (y), x = g(y) và 2 đường thẳng y = a, y = b là S = |f (y) − g(y)| dy.

b (cid:82)

2. Tính thể tích khối tròn xoay. • Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai

f 2(x)dx. đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là Vx = π

b (cid:82)

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) (trong đó

f (x) và g(x) cùng dấu) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là Vx = π (cid:12)f 2(x) − g2(x)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx.

b (cid:82)

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục hoành và hai

B. Bài Tập

g2(y)dy. đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy là Vy = π

8.27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

√

b) y = và hai trục tọa độ. a) y = x2 − 2x; Ox; x = −1 và x = 2. −3x − 1 x − 1

c) y = −x3 − 3x2 và trục hoành. a) (A-07) y = (e + 1) x, y = (1 + ex) x. b) (B-02) y = 4 − x2 . d) y = x2 − 2x và y = −x2 + 4x. (cid:113) 4 và y = x2

x ; y = x2

8.28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau (cid:12)x2 − 4x + 3(cid:12) (cid:12) và y = x + 3. a) (A-02) y = (cid:12) c) y = x3; x + y = 2 và trục hoành. b) (BĐT-96) y2 = 2x và 27y2 = 8(x − 1)3. d) y = 27 27 và y = x2.

3 x3 − x2, y = 0, x = 0 và x = 3.

8.29. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Ox

a) y = 1 c) (B-07) y = x ln x; y = 0 và x = e. b) (BĐT-42) y = xex, x = 1 và trục hoành. d) y = 4 − x2 và y = x2 + 2.

x và y = x2 27 .

8.30. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quay quanh Oy

b) y = x2, y = 27 d) 4y = x2 và y = x. a) (BĐT-63) y = 2x − x2 và y = 0. c) y2 = (x − 1)3 và x = 2.

Nguyễn Minh Hiếu

Chuyên đề 9

Số Phức

§1. Dạng Đại Số Của Số Phức

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Khái niệm số phức. • Định nghĩa: (cid:0)a, b ∈ R, i2 = −1(cid:1).

• Biểu diễn hình học: z = a + bi a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo. b = 0 ⇒ z = a gọi là số thực, a = 0 ⇒ z = bi gọi là số thuần ảo. Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng Oxy.

• Hai số phức bằng nhau: . z1 = z2 ⇔ (cid:26) a1 = a2 b1 = b2 z = a − bi. • Số phức liên hợp: 2. Phép toán số phức. • Cộng, trừ, nhân hai số phức: Xem như nhân hai đa thức.

• Chia hai số phức: = . z1z2 z2z2 z1 z2 √ a2 + b2.

z1 z2

|z2| , |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

Kỹ Năng Cơ Bản

3. Mô đun của số phức. • Định nghĩa: |z| = • Tính chất: |z1.z2| = |z1| . |z2|, (cid:12) (cid:12) = |z1| (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1. Tìm số phức.

• Nếu trong biểu thức chỉ chứa z thì biến đổi để rút z. • Nếu trong biểu thức chứa z, z, |z| thì gọi z = a + bi, (a, b ∈ R) thay vào biểu thức để tìm a, b. 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức. • Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R), thay vào biểu thức để tìm mối liên hệ giữa x, y.

Lưu ý. Một số tập hợp điểm thường gặp:

x : Hypebol.

• y = y0: Đường thẳng song song trục Ox. • y = ax2 + bx + c: Parabol. (cid:113) (cid:113) (x − a)2 + y2 + (x + a)2 + y2 = b: Elip.

C. Bài Tập

• • x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0: Đường tròn. • x = x0: Đường thẳng song song trục Oy. • ax + by + c = 0: Đường thẳng. • y = a • (x − a)2 + (y − b)2 = R2: Đường tròn.

9.1. Thực hiện các phép tính sau

. b) 4 − 3i + c) + . . a) 5 + 4i 3 + 6i 2 − i 1 + 4i 3 + 2i 1 − 2i

f) . d) . e) . 1 (1 + i) (4 − 3i) (2 − 3i) (1 + i) 4 + i (1 + i)2(2i)3 −2 + i 2i(2 + 3i)2 3 + 4i

a) z = (1 + i)2 − (1 − i)2. (cid:19) (cid:19)33 (cid:19)99 9.2. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau b) z = i2011. (cid:18) 2 i7 − . f) z = d) z = . e) z = . c) z = (1 + i)2012. (cid:18) 1 1 i7 2i (cid:18) 1 + i 1 − i 1 − i

Nguyễn Minh Hiếu

9.3. Cho số phức z = x + iy. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau

a) u = z2 − 2z + 4i. b) v = z2 + |z| − 2i. c) w = . z + i iz − 1

9.4. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau

b) (CĐ-2010) (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i)2. √ (cid:33)3 (cid:32) √ 3 1 + i d) (B-2011) z = . 2 + i(cid:1)2 (cid:0)1 − i 2(cid:1). a) (CĐ-09) (1 + i)2 (2 − i) z = 8 + i + (1 + 2i) z. c) (A-2010) z = (cid:0)√ 1 + i

9.5. Tìm số phức z thỏa mãn các điều kiện sau √ 3 a) (D-2011) z − (2 + 3i) z = 1 − 9i. b) (B-2011) z − − 1 = 0. √ 5 + i z 2 và z2 là số thuần ảo. d) (D-2010) |z| = c) (A-2011) z2 = |z|2 + z. (cid:19)4 √ 10 và z.z = 25. f) (B-09) |z − (2 + i)| = e) = 1. (cid:18) z + i z − i

9.6. Tìm môđun của số phức z thỏa mãn các điều kiện sau b) (A-2011) (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1 − i) = 2 − 2i. a) (CĐ-2011) (1 + 2i)2z + z = 4i − 20.

9.7. Giải các phương trình sau (cid:18) (cid:19) iz + = 0. b) ((2 + i) z + 3 + i) a) z = . 1 2i 2 + i 1 − i

−1 + 3i 2 + i c) z + 2z = 2 − 4i. e) z2 + |z| = 0. d) z2 + z = 0. f) z + 2z = (1 + 5i)2. √ 3(cid:1)3 (cid:0)1 + i . Tìm môđun của số phức z + iz. 9.8. (A-2010) Cho số phức z thoả z = 1 − i

. 9.9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 − i) z = 1 − 2i. Tìm môđun của số phức z 1 + z

9.10. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z + = 7 + 8i. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. 2 (1 + 2i) 1 + i

= 2 − i. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2. 9.11. (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn

9.12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời = 1, = 1. 5 (z + i) z + 1 z − 1 z − i z − 2i z + i (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

là số thuần ảo. 9.13. Tìm số phức z thỏa mãn |z| = |z − 2 − 2i| và (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) z − 2i z − 2

9.14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |iz − 3| = |z − 2 − i|.

9.15. Cho số phức z =

c) Tìm m để z có môđun lớn nhất. i − m 1 − m (m − 2i) a) Tìm m để z.z = 1 2 . b) Tìm m để |z − i| ≤ 1 4 .

9.16. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện b) |z − z + 1 − i| = 2. c) 2 |z − i| = |z − z + 2i|. (cid:12) (cid:12) e) (D-09) |z − (3 − 4i)| = 2. f) |z − i| = |(1 + i) z|. d) a) |z + z + 3| = 4. (cid:12) (cid:12) = 4. (cid:12)z2 − (z)2(cid:12)

z z−i

9.17. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện a) |z − 1 + i| = 2. b) |2 + z| = |i − z|. d) 1 ≤ |z + 1 − i| ≤ 2. e) |z − 4i| + |z + 4i| = 10. f) (cid:12) (cid:12) (cid:12) c) |2 + z| > |z − 2|. (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 3.

= (3 − i) z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mặt 9.18. (CĐ-2012) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i) z − 2 − i 1 + i phẳng tọa độ Oxy.

2 z. Chứng minh

9.19. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (1 + i) z − 2, biết |z − 3| = 2.

9.20. Cho các điểm A, B, C và A(cid:48), B(cid:48), C (cid:48) trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức 1 − i, 2 + 3i, 3 + i và 3i, 3 − 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng ABC và A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) là hai tam giác có cùng trọng tâm. 9.21. Gọi M, M (cid:48) theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z khác 0 và z(cid:48) = 1+i tam giác OM M (cid:48) vuông cân.

1 = z0z1. Chứng minh tam giác OAB đều.

0 + z2

9.22. Cho A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z0, z1 khác 0 thoả mãn đẳng thức z2

Chuyên đề 9. Số Phức

§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Căn bậc hai của số phức.

√ • Định nghĩa: Chú ý: a.

Số phức w gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z. Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là w = ± Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là w = ±i(cid:112)|a|. Mỗi số phức z (cid:54)= 0 luôn có hai căn bậc hai.

• Cách tìm căn bậc hai: Gọi w = x + yi, (x, y ∈ R) ta có z = w2 = x2 − y2 + 2xyi ⇔ . (cid:26) x2 − y2 = a 2xy = b 2. Phương trình bậc hai nghiệm phức. • Tính ∆ = b2 − 4ac (hoặc ∆(cid:48) = (b(cid:48))2 − ac). √ ∆ • Trường hợp ∆ là số thực: Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm z = .

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = −

B. Bài Tập

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm z = . −b ± 2a b . 2a −b ± i(cid:112)|∆| 2a • Trường hợp ∆ là số phức: Ta tìm căn bậc hai w của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm z = . −b ± w 2a

9.23. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau

a) z = 13 − 12i. √ 3. c) z = 1 + 4i √ 5. e) z = 4 + 6i b) z = −24 + 10i. √ d) z = 17 + 20i √ f) z = −1 − 2i 2. 6.

9.24. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức

a) z2 − 2z + 2 = 0. c) 2z2 − 5z + 4 = 0. e) z4 + z2 − 6 = 0. b) −z2 + 3z − 9 = 0. d) −3z2 + 2z − 1 = 0. f) z4 + 7z + 12 = 0.

+ . 9.25. Ký hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 − 2z + 1 = 0. Tính giá trị biểu phức A = 1 z2 1 1 z2 2

9.26. (A-09) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính A = |z1|2 + |z2|2.

9.27. (CĐ-2012) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 1 + i = 0. Tính |z1| + |z2|.

+ . 9.28. Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − (i + 2) z + i = 0. Tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) z1 z2 z2 z1

9.29. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức a) iz2 − 2 (1 − i) z − 4 = 0. b) z2 − (5 − i) z + 8 − i = 0. (cid:19) (cid:19)2 c) (D-2012) z2 + 2 (1 + i) z + 5i = 0. d) − 3 − 4 = 0. (cid:18) iz + 3 z − 2i (cid:18) iz + 3 z − 2i e) 3z3 − 24 = 0. f) 8z4 + 8z3 = z + 1.

9.30. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức

a) z2 − 2 (2 + i) z + 7 + 4i = 0. c) (z − i) (cid:0)z2 + 1(cid:1) (cid:0)z3 + i(cid:1) = 0. e) (cid:0)z2 + z(cid:1)2 + 4 (cid:0)z2 + z(cid:1) − 12 = 0. b) (z − 1)2(z + 1)2 + 9z2 = 0. d) 3(cid:0)z2 − z + 1(cid:1)2 f) (cid:0)z2 + 3z + 6(cid:1)2 + 7 (cid:0)z2 − z(cid:1) + 1 = 0. + 2z (cid:0)z2 + 3z + 6(cid:1) − 3z2 = 0.

9.31. Giải các phương trình sau trên tập hợp các số phức

2 + z + 1 = 0.

b) z4 − 4z3 + 7z2 − 16z + 12 = 0. d) z4 + 6z3 + 9z2 + 101 = i3000. a) z3 − 2 (1 + i) z2 + 3iz + 1 − i = 0. c) z4 − z3 + z2

Nguyễn Minh Hiếu

§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Định nghĩa.

Trong đó: r = |z| = , sin ϕ = (r > 0). a r z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (cid:112) a2 + b2, cos ϕ = (cid:26) r1 = r2 (ϕ gọi là một acgumen). (cid:26) r1 = −r2 2. Hai số phức bằng nhau. . z1 = z2 ⇔ b r hoặc z1 = z2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 + π + k2π 3. Nhân chia hai số phức. = (cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)). r1 r2 Chú ý:

= ϕ1 = ϕ2 + k2π z1z2 = r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)). z1 z2 z2 = r2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ). z = r (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)). 1 z

B. Bài Tập

1 r 4. Căn bậc hai dạng lượng giác. w = ± 5. Công thức Moa-vrơ. Hệ quả: (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)). √ (cid:1). r (cid:0)cos ϕ 2 + i sin ϕ zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) (n ≥ 1). (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.

√ 3 + i. 9.32. Tìm acgumen của số phức z = 2 + √ 9.33. Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của số phức z = −2 + 2i 3. √ 3iz − 4 = 0 = 0. Viết dạng lượng giác của 9.34. (B-2012) Gọi z1 vàz2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2 z1 và z2.

9.35. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác √ √ 1 − i 3 a) z = 1 + i. c) z = (cid:0)1 − i 3(cid:1) (1 + i). b) z =

e) z = f) w = z2000 + = 1. d) z = (1 − i)4(cid:0)√ 3 + i(cid:1)6 . 1 z2000 , biết z + 1 z . 1 + i (1 + i)10 3 + i(cid:1)9 . (cid:0)√

8 − i cos π 8 .

9.36. Tính (cid:32) (cid:33)21 (cid:19)2004 (cid:19)365 (cid:18) i √ √ a) z = . b) z = . c) z = . 1 + i (cid:18) 1 + i √ 2 5 + 3i 1 − 2i 3 3

√ b) z = − sin π e) z = cos ϕ + i (1 + sin ϕ). . 3(cid:1)7 (cid:1) i5(cid:0)1 + i 9.37. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 4 − i sin π a) z = cos π 4 . d) z = sin ϕ + 2isin2 ϕ 2 . c) z = cos ϕ − i sin ϕ. f) z = (cid:0)cos π 3 − i sin π

9.38. Tìm số phức z sao cho |z| = |z − 2| và một acgumen của z − 2 bằng một acgumen của z + 2 cộng với π 2 .

9.39. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn có một acgumen bằng π 3 . z − 2 z + 2

9.40. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của mỗi số phức sau

a) w = 2z2. 1 2z d) w = z + z. . b) w = − e) w = z2 + z. c) w = −z2z. f) w = z2 + z.

9.41. Tính tổng Sn = (1 + i)n + (1 − i)n. Từ đó suy ra S2012.

Chuyên đề 10

Hình Học Không Gian

§1. Quan Hệ Song Song

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng qua hai điểm chung là giao tuyến. 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

TH1: Nếu trong (α) chứa b cắt a tại I thì giao điểm của a với (α) là I. TH2: Nếu chưa có b thì tìm (β) chứa a và cắt (α) theo b. Giao điểm của a và (α) là giao của a và b. 3. Chứng minh hai đường thẳng song song.

B. Bài Tập

C1: Chỉ ra hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và sử dụng các tính chất của hình học phẳng. C2: Sử dụng ĐL về giao tuyến của ba mặt phẳng. 4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. Chỉ ra đường thẳng song song với một đường thẳng chứa trong mặt phẳng. 5. Chứng minh hai mặt phẳng song song. Chỉ ra mặt phẳng này song song với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng kia.

10.1. Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song và M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng c) (SBM ) và (SCD). a) (SAC) và (SBD). d) (ABM ) và (SCD). b) (SAB) và (SCD). e) (ABM ) và (SAC).

10.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM . b) Tìm giao điểm F của SD và (ABM ). Chứng minh F là trung điểm của SD. c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của M N với (SBD).

10.3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (M EF ). Tính diện tích thiết diện.

10.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB; G là trọng tâm tam giác SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (CGM ) chứa CD. b) Chứng minh (CGM ) qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (CGM ). c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AGM ).

10.5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm SA, SB.

a) Chứng minh M N song song với CD. b) Gọi P là giao điểm của SC và (ADN ). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI, AB, CD đôi một song song. Tứ giác SABI là hình gì.

10.6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC, BC; K là điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. b) Tính diện tích thiết diện theo a.

10.7. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho M B = 2M C. Chứng minh M G song song với (ACD).

Nguyễn Minh Hiếu

10.8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

a) Chứng minh M N song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD). b) Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mặt phẳng (M N P ). c) Gọi G1, G2 là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAB).

10.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng OM N và (SBC) song song với nhau. b) Gọi I là trung điểm SC; J nằm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh đường thẳng IJ song song với (SAB).

§2. Quan Hệ Vuông Góc

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chỉ ra đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng. 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

C1: Chỉ ra một mặt phẳng chứa đường này và vuông với đường kia. C2: Chỉ ra hình chiếu của đường này trên mặt phẳng chứa đường kia vuông góc với đường kia. 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Chỉ ra một đường thẳng chứa trong mặt này và vuông với mặt kia. 4. Tìm góc giữa hai đường thẳng. Tìm b(cid:48) song song b và cắt a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và b(cid:48). 5. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Góc giữa đường thẳng và hình chiếu là góc cần tìm. 6. Tìm góc giữa hai mặt phẳng. Tìm a, b nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến và cắt giao tuyến tại một điểm. 7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

B. Bài Tập

C1: Tìm đoạn vuông góc chung. C2: Xác định (α) chứa b và song song với a. Khoảng cách giữa a và b là khoảng cách từ M ∈ a đến (α).

10.10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA = 2a.

a) Chứng minh các mặt của hình chóp là các tam giác vuông. b) Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh AH⊥SC và (SAC)⊥(SBD). c) Gọi K là hình chiếu của O lên SC. Chứng minh OK⊥BD. Từ đó tính khoảng cách giữa BD và SC. √ 10.11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a

a) Chứng minh SA vuông góc với BC. c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). 2 và AB = a, O là tâm đáy. b) Tính góc giữa SA và (ABC). d) Tính khoảng cách giữa BC và SA.

10.12. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B; SA = AB = BC = a và SA vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm AB; H, K lần lượt là hình chiếu của A, I lên SB.

a) Chứng minh BC vuông góc với (SAB) và AH vuông góc với SC. Tính góc giữa AC và (SBC). b) Chứng minh tam giác IKC vuông. Từ đó tính diện tích tam giác IKC theo a.

10.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, (cid:92)BAD = 600, SO = a và SO vuông góc với (ABCD). Tính khoảng cách từ O đến (SBC) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

10.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và có góc (cid:92)BAD = 600. Gọi O là giao của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với (ABCD) và SO = 3a 4 . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. Chứng minh (SOF ) ⊥ (SBC) . Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).

10.15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a, SD = x. Chứng minh AC vuông góc với (SBD) và tam giác SBD vuông. Tìm x để SD hợp với (ABCD) một góc bằng 300.

10.16. (A-02) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AM N , biết rằng (AM N )⊥(SBC).

√

10.17. (D-07) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, (cid:92)ABC = (cid:92)BAD = 900, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian

10.18. (B-07) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC. Chứng minh M N ⊥BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng M N và AC.

10.19. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a; (cid:91)ASB = 900, (cid:91)BSC = 600, (cid:91)CSA = 1200. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh SI vuông góc với (ABC) và tính khoảng cách từ S đến (ABC).

10.20. (B-02) Cho hình lập phương ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có cạnh a. Tính theo a khoảng cách giữa A(cid:48)B và B(cid:48)D. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB(cid:48), CD, A(cid:48)D(cid:48). Tính góc giữa hai đường thẳng M P và C (cid:48)N .

10.21. Cho lập phương ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có cạnh a. Gọi K trung điểm DD(cid:48). Tính góc và khoảng cách giữa CK và A(cid:48)D. Tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A(cid:48)C (cid:48) và B(cid:48)C.

§3. Thể Tích Khối Đa Diện

A. Kiến Thức Cần Nhớ

3 Bh.

1. Công thức tính thể tích của một số khối đa diện.

• Khối chóp: V = 1 • Khối hộp chữ nhật: V = abc. • Khối lăng trụ: V = Bh. • Khối lập phương: V = a3. 2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

A . • Đường cao: c b • Định lý Pitago: a2 = b2 + c2. 1 h2 = h bc 1 c2 ; h = a ; tan B = cot C = . b c a B H M C 1 b2 + b • Góc: sin B = cos C = a • Diện tích: S = 1 2 bc = 1 2 ah.

2 BC.

• Tính chất trung tuyến: ∆ABC vuông tại A ⇔ AM = 1 3. Tỷ số thể tích.

B. Phương Pháp Tính Thể Tích

. . . Cho hình chóp S.ABC có A(cid:48), B(cid:48), C (cid:48) lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Ta có: = SA(cid:48) SA SB(cid:48) SB SC (cid:48) SC VS.A(cid:48)B(cid:48)C(cid:48) VS.ABC

C. Bài Tập

• PP1: Sử dụng công thức. • PP2: Sử dụng tỷ số thể tích. • PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ.

10.22. (TN-08) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh SA vuông góc với BC. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.

10.23. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600.

10.24. Cho chóp tứ giác đều S.ABCD đáy a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. √

10.25. (CĐ-09) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng M N vuông góc với đường thẳng SP . Tính theo a thể tích của khối tứ diện AM N P . 10.26. (B-04) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ, (cid:0)0 < ϕ < 900(cid:1). Tính tan góc giữa (SAB) và (ABCD) theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.

10.27. (B-2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

10.28. (TN-07) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ 3; SA vuông góc với (ABC); cạnh bên 10.29. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam vuông tại B; AB = a, AC = a SB lập với (ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Nguyễn Minh Hiếu

10.30. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với (ABC). Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

10.31. (TN-09) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết (cid:92)BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

√

10.32. (TN-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 10.33. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, (cid:92)ACB = 600, 3. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh (SAB) vuông góc với (SBC) và tính thể tích khối BC = a, SA = a tứ diện M ABC.

10.34. (CĐ-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a.

10.35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường cao SA = a. Trên hai cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = DN = x, (0 < x < a). Tính thể tích khối chóp S.AM CN theo a và x. Tìm x để M N nhỏ nhất. √

2, SA = a và SA 10.36. (B-06) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a vuông góc với (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SM B). Tính thể tích của khối tứ diện AN IB.

10.37. (D-06) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCN M .

10.38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, √ 3 cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 3 . Mặt phẳng (BCM ) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCN M . 10.39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A.BCD là hình thoi cạnh a, (cid:92)BAD = 600, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C (cid:48) là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC (cid:48) và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B(cid:48), D(cid:48). Tính thể tích của khối chóp S.AB(cid:48)C (cid:48)D(cid:48).

10.40. (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCN M và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

10.41. (CĐ-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

√

10.42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD = a 13, tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.

10.43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt trung điểm các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích tứ diện CM N P .

√

10.44. (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng 3 và (cid:91)SBC = 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC và (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. √

10.45. (B-08) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BM DN và tính góc giữa hai đường thẳng SM và DN .

10.46. (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

10.47. Cho hình chóp S.ABC có hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a; góc giữa SA và ABC bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Chuyên đề 10. Hình Học Không Gian

√ 2, CD = 2a. Chứng minh AB vuông góc với 10.48. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a CD. Xác định đường vuông góc chung của AB và CD. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

10.49. (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC 4 . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a.

√

10.50. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDN M và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.

10.51. (A-09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

10.52. Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết SA = SB = SC = a, (cid:91)ASB = 600, (cid:91)BSC = 900, (cid:91)CSA = 1200.

10.53. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có đáy là hình vuông cạnh a và AA(cid:48) = AC. √ 3, AC (cid:48) = 2a. Tính 10.54. Cho lăng trụ đứng ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = a thể tích của khối lăng trụ ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48).

√

2 và góc (cid:92)BAD = 600. Gọi M 10.56. Cho hình hộp đứng ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có các cạnh AB = AD = a, AA(cid:48) = a và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A(cid:48)D(cid:48) và A(cid:48)B(cid:48). Chứng minh AC (cid:48) vuông góc với BDM N và tính thể tích khối chóp A.BDM N .

10.55. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có AB = a, AD = 2a, AA(cid:48) = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD(cid:48) và B(cid:48)C. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 3M D, tính khoảng cách từ M đến (AB(cid:48)C) và tính thể tích tứ diện AB(cid:48)D(cid:48)C.

10.57. (D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có đáy là hình vuông, tam giác A(cid:48)AC vuông cân, A(cid:48)C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB(cid:48)C (cid:48) và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD(cid:48)) theo a.

10.58. (D-09) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA(cid:48) = 2a, A(cid:48)C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A(cid:48)C (cid:48), I là giao điểm của AM và A(cid:48)C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến (IBC). √

10.59. (D-08) Cho lăng trụ đứng ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA(cid:48) = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B(cid:48)C.

10.60. Cho lăng trụ tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa A(cid:48)A với (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ, biết hình chiếu của A(cid:48) trên (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC. √ 2, hình chiếu của 10.61. Cho lăng trụ tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a A(cid:48) trên (ABC) trùng trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ, biết CC (cid:48) = 2a.

10.62. Cho hình hộp ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có mặt bên AA(cid:48)D(cid:48)D là hình thoi cạnh 2a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) và cách BC một khoảng bằng a. Biết cạnh bên AA(cid:48) hợp với (ABCD) một góc bằng 600. Tính thể tích khối hộp ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48).

10.63. Cho lăng trụ tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A(cid:48) cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA(cid:48) tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ.

√

10.64. (A-08) Cho lăng trụ ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A(cid:48) trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a, AC = a a thể tích khối chóp A(cid:48).ABC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA(cid:48) và B(cid:48)C (cid:48).

10.65. Cho lăng trụ tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A(cid:48)BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A(cid:48)BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48).

10.66. (B-09) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có BB(cid:48) = a, góc giữa đường thẳng BB(cid:48) và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và góc (cid:92)BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B(cid:48) lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A(cid:48)ABC theo a. √

10.67. (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A(cid:48) trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD(cid:48)A(cid:48)) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B(cid:48) đến mặt phẳng (A(cid:48)BD) theo a.

Nguyễn Minh Hiếu

§4. Mặt Nón - Mặt Trụ - Mặt Cầu

A. Kiến Thức Cần Nhớ

3 πr2h.

1. Diện tích và thể tích.

• Khối nón: Sxq = πrl; • Khối trụ: • Khối cầu: Stp = Sxq + Sđ; Sxq = 2πrl; Stp = Sxq + 2Sđ; S = 4πR2; V = 1 3 Bh = 1 V = Bh = πr2h. V = 4 3 πR3. 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.

B. Bài Tập

• d > R: Mặt phẳng không cắt mặt cầu. • d = R: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm. • d < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính .

10.68. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, (cid:91)SAB = 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

10.69. Cho hình lập phương ABCD.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48) cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón có đỉnh O là tâm hình vuông ABCD và đáy nội tiếp hình vuông A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48)D(cid:48). √

2. Tính diện tích xung 10.70. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng qua trục được tam giác vuông cân cạnh huyền a quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón. Cho dây cung BC của đường tròn đáy sao cho (SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.

10.71. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và (cid:91)SAO = 300, (cid:91)SAB = 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

10.72. Cắt hình trụ tròn xoay bởi mặt phẳng (α) được thiết diện ABCD là hình vuông cạnh a. Biết (α) tạo với đáy một góc 450, tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ.

10.73. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng a. Tính diện tích thiết diện tạo thành.

10.74. (A-06) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O(cid:48), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O(cid:48) lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích tứ diện OO(cid:48)AB. √ 2, SB = 2a. Biết SA vuông 10.75. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

√

10.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) 5. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Xác cùng vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD. √ 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tìm tâm và 10.77. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp. √

10.78. (CĐ-2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a 2, SA = SB = SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. √ √ 2, BC = a 6 và độ dài các cạnh bên √ 10.79. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a bằng a 5. Gọi giao điểm của AC và BD là H. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SHAB.

10.80. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, (SBC) ⊥ (ABC) và SA = SB = a. Chứng minh SBC là tam giác vuông. Biết SC = x, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

10.81. (D-03) Cho (P ) và (Q) vuông góc với nhau cắt nhau theo giao tuyến ∆. Trên ∆ lấy A, B với AB = a. Trong (P ) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến (BCD) theo a. 10.82. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) biết AA(cid:48) = AB = a; AC = 2a và (cid:92)BAC = 600. Gọi M là giao điểm của A(cid:48)C và AC (cid:48). Tính thể tích tứ diện M BB(cid:48)C và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

10.83. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A(cid:48)B(cid:48)C (cid:48) có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A(cid:48)BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A(cid:48)BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Chuyên đề 11

Tổ Hợp - Xác Suất

§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Quy tắc đếm.

• Quy tắc cộng: Giả sử công việc được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện theo n cách, phương án B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n + m cách. • Quy tắc nhân: Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện theo n

cách, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.

• Hoán vị: Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của A. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n (n − 1) (n − 2) ...2.1 (Quy uớc 0! = 1).

n = 1).

n = n (n − 1) (n − 2) ... (n − k + 1). (Quy uớc A0 • Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là

• Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là Ak

n =

n = 1). (0 ≤ k ≤ n), C k

n = C n−k

n + C k−1

n+1 = C k

= (Quy ước C 0 C k Ak n n! n (n − 1) (n − 2) ... (n − k + 1) k! • Một số công thức về tổ hợp: C k (1 ≤ k ≤ n).

B. Bài Tập

Lưu ý. Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt thứ thự còn tổ hợp không biệt thứ tự.

11.1. (B-05) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

11.2. (D-06) Đội thanh niên xung kích của trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho bốn học sinh này thuộc không quá hai lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

11.3. (B-04) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

11.4. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ ba màu.

n+k.

n+k + An+1

n+k = k2An

n+1A2

n+3A2

n+5 = nk!A5

n+5.

n+1

n = n (n − 1) C k−2 n−2. (cid:33) 1 C k+1 n+1

11.5. Chứng minh các hệ thức sau a) An+2 (cid:32) + . = d) (B-08) c) PkA2 b) k (k − 1) C k n + 1 n + 2 1 C k 1 C k n

x + 72 = 6 (cid:0)A2

x + 2Px

x ≤ 6

x + 10.

2x − A2

x C 3

b) 1 a) PxA2 11.6. Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình (cid:1). 2 A2

Nguyễn Minh Hiếu

x ≥ 22003 − 1.

. c) d) C 2

x = 9x2 − 14x.

x + ... + C 2n x + 6C 3

x + C 4 x + 6C 2

x = 90 x = 80 n ≤ 9n.

f) C 1 e) A3 (cid:26) 2Ay x + 5C y x − 2C y 5Ay n + 2C n−2

n+1 + 2C 2

n+2 + 2C 2

n+3 + C 2

n+4 = 149.

n+1 + 3A3 n (n + 1)!

A4 11.7. (D-05) Tính giá trị của M = biết C 2

11.8. (B-06) Cho tập A gồm 2n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử. Tìm k ∈ {1, 2, ..., n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

11.9. (B-02) Cho đa giác đều A1A2...A2n nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n.

§2. Xác Suất

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Không gian mẫu. • Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Ký hiệu là Ω. 2. Biến cố. • Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi một tập con ΩA nào đó của không gian mẫu. Biến cố A xảy ra khi kết quả của T thuộc ΩA. Mỗi phần tử của ΩA gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

• Biến cố sơ cấp: Là biến cố chỉ có một phần tử. • Biến cố chắc chắn: Là không gian mẫu Ω. Biến cố không thể: Là biến cố rỗng ∅. • Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Là biến cố có khả năng xuất hiện mỗi kết quả là như nhau. • Biến cố đối: Là biến cố A không xảy ra. Ký hiệu là A (ΩA = Ω\ΩA). • Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A và B mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại (ΩA ∩ ΩA = ∅). • Biến cố độc lập: Là hai biến cố A và B mà việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng tới biến cố kia. 3. Xác suất của một biến cố.

• Tính chất: 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1, P (cid:0)A(cid:1) = 1 − P (A). • Quy tắc cộng xác suất: Nếu A, B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B). • Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập thì P (A ∩ B) = P (AB) = P (A) .P (B).

4. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Là giá trị độc lập X = {x1, x2, ..., xn} nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được.

• Xác suất tại xk: P (X = xk) = pk, (k = 1..n). Khi đó p1 + p2 + ... + pn = 1. • Bảng phân bố xác suất:

X P ... ... x1 p1 x2 p2 xn pn

n (cid:80) i=1

i pi − E2 (X). x2

n (cid:80) i=1

• Kỳ vọng: E (X) = xipi.

B. Bài Tập

• Phương sai: V (X) = • Độ lệch chuẩn: σ (X) = (cid:112)V (X).

11.10. (B-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

11.11. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu.

11.12. Một tổ có 9 nam và 3 nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm gồm 4 người. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ.

11.13. Một tổ có 13 học sinh, trong đó có 4 nữ. Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ nhất có 4 học sinh, nhóm thứ hai có 4 học sinh, nhóm thứ ba có 5 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm có ít nhất một học sinh nữ.

11.14. Có hai hộp đựng bi. Hộp một có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi. Tìm xác suất để được ít nhất một bi đỏ.

Chuyên đề 11. Tổ Hợp - Xác Suất

11.15. Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác nhau về màu. Hộp thứ nhất chứa ba bi xanh, hai bi vàng và một bi đỏ. Hộp thứ hai chứa hai bi xanh, một bi vàng và ba bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi xanh.

11.16. Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi.

11.17. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý, 7 cuốn sách Hoá (các cuốn sách cùng loại giống nhau), để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số học sinh có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn Ngọc và Thảo có giải thưởng giống nhau.

11.18. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặc bạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai.

11.19. Có hai túi. Túi thứ nhất chứa 3 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa 4 tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được. Lập bảng phân bố xác suất của X và tính E(X).

§3. Nhị Thức Newton

A. Kiến Thức Cần Nhớ

n bn.

nan−2b2 + ... + C n

nan−1b + C 2

nan + C 1

nan−kbk = C 0

n (cid:80) k=0

nan−kbk.

n xn.

nx3 + ... + C n nx3 + ... + (−1)nC n

nx2 + C 3 nx2 − C 3

• Công thức: (a + b)n = C k

n xn. x + C n n .

n + C 1 n − C 1 nxn + C 1

nxn−1 + C 2

nxn−2 + ... + C n−1

B. Bài Tập

• Số hạng tổng quát thứ k + 1: Tk+1 = C k • Một số khai triển thường dùng: nx + C 2 nx + C 2 • (1 + x)n = C 0 • (1 − x)n = C 0 • (x + 1)n = C 0

(cid:16) (cid:17)7 √ 3 11.20. (D-04) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển thành đa thức của biểu thức , x > 0. x + 1 4√ x

11.21. (D-07) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 − 2x)5 + x2(1 + 3x)10.

11.22. (A-04) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (cid:0)1 + x2 (1 − x)(cid:1)8 .

11.23. Tìm hệ số của x4 trong khai triển đa thức P (x) = (cid:0)1 + 2x + 3x2(cid:1)10 .

11.24. Đặt (cid:0)1 − x + x2 − x3(cid:1)4 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a12x12. Tính hệ số a7.

n + ... + 2n.C n n .

11.25. (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C 0

n + 22.C 2 2n + ... + C 2n−1

2n = 2048.

11.26. (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C 1

n + 2.C 2

n + ... + nC n

n + 2.C 1 2n + C 3 n = n.22009.

11.27. Tìm số tự nhiên n sao cho 1.C 1

n = C 3

n. Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức

11.28. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n−1 (cid:19)n Newton của − , x (cid:54)= 0. (cid:18) nx2 14 1 x

n + 3n−2C 2

n + ... + (−1)nC n

n = 2048.

n − 3n−1C 1 √ (cid:17)n

11.29. (B-07) Tìm hệ số của x10 trong khai triển (2 + x)n, biết 3nC 0

n+3 = 7 (n + 3).

n+4 − C n

x3 +

(cid:16) 1 x5 , biết C n+1 11.30. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển

2n+1 = 220 − 1.

2n+1 + ... + C n

2n+1 + C 2

x4 + x7(cid:1)n 11.32. (D-03) Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của (cid:0)x2 + 1(cid:1)n

11.31. (A-06) Tìm hệ số của x26 trong khai triển (cid:0) 1 , biết C 1

x−1

(x + 2)n. Tìm n để a3n−3 = 26n.

x−1 2

3 (cid:1)n

3 (cid:1) + ... + C n

2 + 2− x

n = 5C 1

n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

(cid:17)n (cid:16) (cid:17)n (cid:16) . Biết (cid:0)2− x 2 2 (cid:17)n−1 (cid:0)2− x (cid:16) 2 = C 0 n + C 1 n 11.33. (A-02) Cho khai triển biểu thức rằng trong khai triển đó C 3

Nguyễn Minh Hiếu

2n+1 − 2.2C 2

2n+1 + 3.22C 3

2n+1 + ... + (−1)n22nC 2n+1

2n+1 = 2005.

11.34. (A-05) Tìm số nguyên dương n thỏa C 1

2n + 1

2n + ... + 1

2 C 1

4 C 3

2n C 2n−1

2n = 22n−1 2n+1 .

11.35. (A-07) Chứng minh rằng 1

n +

n + ... +

n +

C 1 C 2 11.36. (B-03) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C 0 C n n . 22 − 1 2 23 − 1 3 2n+1 − 1 n + 1

n = n (n − 1) 2n−2.

n + ... + n (n − 1) C n

n + 4.3.C 4

n + 3.2.C 3

11.37. Chứng minh rằng 2.1.C 2

2009 + 32C 2 b) S = C 0 d) (cid:0)C 0 + (cid:0)C 1 (cid:1)2

2009 + 33C 4 + (cid:0)C 2 (cid:1)2

2009 + ... + 32008C 2008 2009 . + ... + (cid:0)C 2010 (cid:1)2 .

2009 + ... + C 2008 2009 . n + ... + (3n + 2) C n n .

2009 + C 4 n + 8C 2

2009 + C 2 n + 5C 1

2010

(cid:1)2 11.38. Tính tổng a) S = C 0 c) S = 2C 0

201122010 + 22C 2

201122009 + ... + 20112C 2011

2011 20.

11.39. Tính tổng S = 12C 1 √ 3. 11.40. Trong khai triển nhị thức (a + b)50, tìm số hạng có giá trị tuyệt đối lớn nhất, cho biết |a| = |b|

2n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, a2, ..., an.

4 + ... + an

2 + a2

11.41. (A-08) Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + ... + anxn, (n ∈ N∗) và các hệ số a0, a1, a2, ..., an thoả mãn hệ thức a0 + a1

Chuyên đề 12

Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất

§1. Bất Đẳng Thức

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

• a > b và b > c ⇒ a > c. • a > b ⇒ a + c > b + c. • Nếu c > 0 thì a > b ⇒ ac > bc. • Nếu c < 0 thì a > b ⇒ ac < bc. 2. Bất đẳng thức Cauchy. √ ≥ • Đối với hai số: a + b 2 (cid:19)2 √ √ Dạng khác: a + b ≥ 2 ab; a2 + b2 ≥ 2ab; ab ≤ ab ≤ ; . ab, ∀a, b ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. (cid:18) a + b 2 a + b 2

B. Phương Pháp Cơ Bản

abc, ∀a, b, c ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. • Đối với ba số: a + b + c 3 (cid:19)3 √ 3 ; abc ≤ . √ ≥ 3 √ Dạng khác: a + b + c ≥ 3 3 abc; a3 + b3 + c3 ≥ 3abc; abc ≤ a + b + c 3 (cid:18) a + b + c 3

• PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương. • PP2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. • PP3: Phương pháp hàm số.

C. Bài Tập

Lưu ý. Kỹ thuật chọn điểm rơi: Dự đoán dấu bằng xảy ra rồi suy ngược kết quả.

12.1. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức 2a2 + b2 + c2 ≥ 2a (b + c).

12.2. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc (a + b + c).

12.3. Cho a, b > 0. Chứng minh bất đẳng thức a3 + b3 ≥ a2b + ab2.

12.4. Cho a, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức ≤ + . a + b 1 + a + b a 1 + a b 1 + b

+ + > 1. 12.5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a a + b b b + c c c + a

12.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 < + + + < 2. a b + c + d b c + d + a c d + a + b d a + b + c

12.7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ 6. a + b c b + c a c + a b

Nguyễn Minh Hiếu

12.8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ . 1 a 1 b 1 c 9 a + b + c

+ + + ≥ . 12.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 b 16 a + b + c + d

(cid:19)4 12.10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức ≥ abcd. 1 1 1 a c d (cid:18) a + b + c + d 4

+ . + ≥ 12.11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a b + c b c + a 3 2 c a + b

12.12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + ≤ . bc b + c ca c + a a + b + c 2

12.13. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức ab a + b √ x 2 x3 + y2 + √ y 2 y3 + z2 + √ z 2 z3 + x2 ≤ 1 x2 + 1 y2 +

. 12.14. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức (a + b) (b + c) (c + a) abc ≤ 1 z2 . 8 729

12.15. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ . 1 a3 (b + c) 1 b3 (c + a) 1 c3 (a + b) 3 2

√ √ √ + + ≥ 1. 12.16. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức b 8a3 + 1 c 8b3 + 1 (cid:19)x (cid:19)x 12.17. (B-05) Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ 3x + 4x + 5x. a 8c3 + 1 (cid:19)x (cid:18) 20 3 (cid:18) 12 5 (cid:18) 15 4 √ √ √ 12.18. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh bất đẳng thức 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6.

. 12.19. Cho x, y, z thỏa mãn 3−x + 3−y + 3−z = 1. Chứng minh 9z 3z + 3x+y ≥ 3x + 3y + 3z 4

12.20. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + ≥ + (cid:0)a2 + b2 + c2(cid:1). 9x 3x + 3y+z + c3 c + a 9y 3y + 3z+x + 1 2 b3 b + c a3 a + b

(cid:19)2 (cid:17) (cid:18) (cid:16) 1 + 12.21. Cho x, y > 0. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x) 1 + ≥ 256. y x 9 √ y

(cid:114) a (cid:114) b (cid:114) c + + + + > 3. + 12.22. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a b + c b + c b c + a c a + b a + b

(cid:114) (cid:114) (cid:114) a (cid:114) b c + a (cid:32)(cid:114) c + + ≥ 2 + + 12.23. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức (cid:33) . a + b c b + c a (cid:114) c + a b a + b b + c a + c

3 √ 3 . 12.24. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh bất đẳng thức a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 ≥ 2

12.25. Chứng minh bất đẳng thức ≤ 1 − x + , ∀x ∈ [0; 1]. e−x2 1 + x x4 2 (1 + x)

12.26. (CĐ-09) Cho a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b.

(cid:19)b (cid:18) (cid:19)a (cid:18) ≤ 2b + . 12.27. (D-07) Cho a ≥ b > 0. Chứng minh bất đẳng thức 2a + 1 2a 1 2b

(cid:114) (cid:114) (cid:114) √ 12.28. (A-03) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Chứng minh x2 + z2 + y2 + 82.

12.29. (A-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn + + = 4. Chứng minh + + ≤ 1. 1 x 1 y 1 z 1 x2 + 1 2x + y + z 1 z2 ≥ 1 2z + x + y 1 y2 + 1 2y + z + x √ √ + + ≥ 3 3. 12.30. (D-05) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh (cid:112)1 + x3 + y3 xy (cid:112)1 + y3 + z3 yz 1 + z3 + x3 zx

12.31. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ . a 2a + 5 (b + c) b 2b + 5 (c + a) c 2c + 5 (a + b) 1 4

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức & Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất

12.32. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + ≥ 1 a (a + b) 1 b (b + c) 1 c (c + a) 27 2(a + b + c)2 .

12.33. (A-09) Cho x, y, z > 0 và x (x + y + z) = 3yz. Chứng minh bất đẳng thức

(x + y)3 + (x + z)3 + 3 (x + y) (x + z) (y + z) ≤ 5(y + z)3

(cid:19)2 (cid:19)2 (cid:19)2 12.34. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + + + + ≥ 12. √ 3 √ 3 √ 3 (cid:18) x y z xyz (cid:18) y z x xyz (cid:18) z x y xyz

(cid:114) a (cid:114) b (cid:114) c (cid:114) d 12.35. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh bất đẳng thức + + + > 2. b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c

(cid:18) (cid:18) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:19) (cid:16) 1 + ≥ 2 1 + 12.36. Cho x, y, z > 0. Chứng minh bất đẳng thức 1 + 1 + (cid:19) . √ 3 x y y z z x x + y + z xyz

§2. Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất

A. Phương Pháp Cơ Bản

PP1: Sử dụng bất đẳng thức.

B. Bài Tập

• Nếu A(x) = f (x).g(x) mà f (x) + g(x) = const thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi f (x) = g(x). • Nếu A(x) = f (x) + g(x) mà f (x).g(x) = const thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi f (x) = g(x). PP2: Sử dụng phương pháp hàm số.

√

. 12.37. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = + ab a + b a + b √ ab

12.38. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a3 (1 − a)2 + c3 (1 − c)2 .

2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S =

12.39. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = a + b + c + . b3 (1 − b)2 + 1 abc (cid:114) (cid:114) (cid:114) 12.40. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤ 3 a2 + b2 + c2 +

1 c2 + (cid:19) (cid:19) 12.41. (B-07) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + + + + y + z . 1 b2 + (cid:18) y 2 (cid:18) x 2 1 yz 1 zx (cid:18) z 2 1 a2 . (cid:19) 1 xy

12.42. (D-08) Cho x, y > 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

12.43. (B-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P =

12.44. (A-06) Cho x, y (cid:54)= 0 thỏa mãn (x + y) xy = x2 + y2 − xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − y) (1 − xy) (1 + x)2(1 + y)2 . 2 (cid:0)x2 + 6xy(cid:1) 1 + 2xy + 2y2 . 1 x3 + 1 y3 .

(cid:113) (cid:113) 12.45. (B-06) Cho hai số x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x − 1)2 + y2 + (x + 1)2 + y2 + |y + 2|.

12.46. (A-07) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ + P = x2 (y + z) √ √ y + 2z z y y2 (z + x) √ √ z + 2x z x z2 (x + y) √ √ x + 2y y x

√ 12.47. (B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x2.

trên đoạn [−1; 2]. 12.48. (D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+1√ x2+1

(cid:112) (cid:112) −x2 + 4x + 21 + −x2 + 3x + 10. 12.49. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

Nguyễn Minh Hiếu

12.50. (B-2010) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(cid:112) a2 + b2 + c2 M = 3 (cid:0)a2b2 + b2c2 + c2a2(cid:1) + 3 (ab + bc + ca) + 2

12.51. (CĐ-2010) Cho x, y > 0 thay đổi thoả mãn 3x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + . 1 x 1 √ xy

12.52. (D-09) Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = (cid:0)4x2 + 3y(cid:1) (cid:0)4y2 + 3x(cid:1) + 25xy

12.53. (B-09) Cho x, y thỏa (x + y)3 +4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3 (cid:0)x4 + y4 + x2 + y2(cid:1)−2 (cid:0)x2 + y2(cid:1)+1.

12.54. (CĐ-08) Cho x, y thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = 2 (cid:0)x3 + y3(cid:1) − 3xy.

+ + . 12.55. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 (y + z) yz y2 (z + x) zx z2 (x + y) xy

+ + ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x − 1) (y − 1) (z − 1). 12.56. Cho x, y, z > 1 thoả mãn 1 x 1 y 1 z

12.57. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện x + y + z > 0, x + 1 > 0, y + 1 > 0, z + 1 > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + + . x x + 1 y y + 1 z z + 1

12.58. (B-2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 (cid:0)a2 + b2(cid:1) + ab = (a + b) (ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất (cid:19) (cid:19) (cid:18) a2 (cid:18) a3 − 9 . của biểu thức P = 4 b3 + b3 a3 b2 + b2 a2

+ + . 12.59. (A-2011) Cho x, y, z ∈ [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2x + 3y y y + z z z + x

12.60. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x3 + y3 + 3 (xy − 1) (x + y − 2)

12.61. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.

12.62. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(cid:112) P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y2 + 6z2

PHỤ LỤC 1

1. Các quy tắc tính đạo hàm.

(cid:1)(cid:48) . (cid:1)(cid:48)

2. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp.

1. (u ± v)(cid:48) = u(cid:48) ± v(cid:48). 2. (uv)(cid:48) = u(cid:48)v + uv(cid:48). 3. (ku)(cid:48) = ku(cid:48). 4. (cid:0) u 5. (cid:0) 1 v x = y(cid:48) 6. y(cid:48) = u(cid:48)v−uv(cid:48) v2 = − v(cid:48) v2 . u.u(cid:48) x.

Đạo hàm của hàm số y = f [u(x)]

(c = const)

(x (cid:54)= 0) (u (cid:54)= 0) (x > 0) (u > 0)

sin2 x

sin2 u

(cos x (cid:54)= 0) (cos u (cid:54)= 0) (sin x (cid:54)= 0) (sin u (cid:54)= 0)

x ln a

u ln a

3. Bảng nguyên hàm mở rộng.

a+x a−x

a arctan x a + C (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) + C 2a ln (cid:12) √ x2 + a2(cid:1) + C

|a| + C

√

(0 < a (cid:54)= 1) (0 < a (cid:54)= 1) (x > 0) (u > 0) (0 < a (cid:54)= 1, x > 0) (0 < a (cid:54)= 1, u > 0) Đạo hàm của hàm số y = f (x) 1. c(cid:48) = 0 2. x(cid:48) = 1 3. (xα)(cid:48) = αxα−1 4. (cid:0) 1 (cid:1)(cid:48) = − 1 x2 x √ x)(cid:48) = 1 5. ( √ 2 6. (sin x)(cid:48) = cos x 7. (cos x)(cid:48) = − sin x 8. (tan x)(cid:48) = 1 cos2 x 9. (cot x)(cid:48) = − 1 10. (ex)(cid:48) = ex 11. (ax)(cid:48) = ax ln a 12. (ln x)(cid:48) = 1 x 13. (logax)(cid:48) = 1 (uα)(cid:48) = αuα−1.u(cid:48) (cid:1)(cid:48) (cid:0) 1 = − u(cid:48) u2 u √ u)(cid:48) = u(cid:48) ( √ u 2 (sin u)(cid:48) = u(cid:48) cos u (cos u)(cid:48) = −u(cid:48) sin u (tan u)(cid:48) = u(cid:48) cos2 u (cot u)(cid:48) = − u(cid:48) (eu)(cid:48) = eu (au)(cid:48) = u(cid:48)au ln a (ln u)(cid:48) = u(cid:48) u (logau)(cid:48) = u(cid:48)

|a| + C (cid:12) √ x2+a2 (cid:12) (cid:12) + C x 2 ln (cid:0)x + a2 + x2 + a2 a2 − x2 + a2 2 arcsin x

a2+x2 dx = 1 a2−x2 dx = 1 x2+a2 dx = ln (cid:0)x + 1√ a2−x2 dx = arcsin x 1√ a arccos x x2−a2 dx = 1 (cid:12) x2+a2 dx = − 1 (cid:12) a ln (cid:12) √ a2 + x2dx = x 2 a2 − x2dx = x a + C 2 a2+b2 (a sin bx − b cos bx) + C

√ x2 + a2(cid:1) + C √

a2+b2 (a cos bx + b sin bx) + C

1. (cid:82) 2. (cid:82) 3. (cid:82) 4. (cid:82) 5. (cid:82) 6. (cid:82) 7. (cid:82) √ 8. (cid:82) √ 9. (cid:82) eax sin bxdx = eax 10. (cid:82) eax cos bxdx = eax

Lưu ý. Bảng này chỉ dùng để tra cứu không được sử dụng trong chương trình phổ thông.

Nguyễn Minh Hiếu

PHỤ LỤC 2

1. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.

π 2 900 1

0 00 0 π 1800 0 sin α

1 0 1 cos α

π 4 450 √ 2 2 √ 2 2 1

√

0 || 0 tan α

π 6 300 1 2 √ 3 2 √ 3 3 √ 3

π 3 600 √ 3 2 1 2 √ 3 3 3

2. Đẳng thức lượng giác cơ bản.

|| 1 0 || cot α

1. sin2α + cos2α = 1. 4. tan α. cot α = 1.

2. 1 + tan2α = 5. tan α = . .

3. Công thức lượng giác.

3. 1 + cot2α = 6. cot α = sin α cos α cos α sin α 1 cos2α 1 . sin2α

2 [cos (a − b) + cos (a + b)]. 2 [cos (a − b) − cos (a + b)]. 2 [sin (a − b) + sin (a + b)]. 4. sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Công thức biến đổi tổng thành tích.

Công thức cộng. 1. cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b. 2. cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b. Công thức biến đổi tích thành tổng. 10. cos a cos b = 1 11. sin a sin b = 1 12. sin a cos b = 1 3. sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b.

. cos 5. tan (a − b) = 13. cos u + cos v = 2 cos

. sin . 6. tan (a + b) = 14. cos u − cos v = −2 sin tan a − tan b 1 + tan a tan b tan a + tan b 1 − tan a tan b cos . Công thức nhân đôi. 15. sin u + sin v = 2 sin

sin . 16. sin u − sin v = 2 cos u + v 2 u + v 2 u + v 2 u + v 2 u − v . 2 u − v 2 u − v 2 u − v 2

7. sin 2a = 2 sin a cos a. 8. cos 2a = cos2a − sin2a. 8a. cos 2a = 2cos2a − 1. 8b. cos 2a = 1 − 2sin2a. Công thức nhân ba. 17. sin 3a = 3 sin a − 4sin3a. 18. cos 3a = 4cos3a − 3 cos a.

9. tan 2a = Công thức khác. . √ 2 tan a 1 − tan2a Công thức hạ bậc. 19. sin x + cos x = √ (cid:1). (cid:1). 8c. cos2a = . 20. sin x − cos x = 2 sin (cid:0)x + π 2 sin (cid:0)x − π

8d. sin2a = . 21. sin4x + cos4x = 1 − 1

2 sin22x. 4 sin22x.

8e. tan2a = . 22. sin6x + cos6x = 1 − 3 1 + cos 2a 2 1 − cos 2a 2 1 − cos 2a 1 + cos 2a