S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁỞ Ụ Ạ
TR NG THPT L NG ĐC B NGƯỜ ƯƠ Ắ Ằ
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
ÁP D NG PH NG PHÁP TI P TUY NỤ ƯƠ Ế Ế
VÀO M T S BÀI TOÁN C C TRỘ Ố Ự Ị
Ng i th c hi n: Tr ng Th Kimườ ự ệ ươ ị
Ch c v : Giáo viênứ ụ
Sáng ki n kinh nghi m thu c môn Toán H cế ệ ộ ọ
1
THANH HÓA 2016
M C L C Ụ Ụ
Trang
A. ĐT V N Đ Ặ Ấ Ề ……………………………….....………………… 3
I. Lí do ch n đ tài…………………………..……......……………….ọ ề 3
II. M c đích ch n đ tài……………………………….....…….………ụ ọ ề
3
III. Đi t ng, ph m vi nghiên c u……………………...…….………ố ượ ạ ứ
3
B. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề………………………………….……….. 4
I. C s lí lu n c a v n đ…………………………….....…..…………ơ ở ậ ủ ấ ề
4
II. Th c tr ng c a v n đ………………………………...…..………...ự ạ ủ ấ ề
4
III. Gi i pháp và t ch c th c hi n………………………....………….ả ổ ứ ự ệ
4
IV. Ki m nghi m………………………………………….....………… ể ệ
17
C. K T LU N Ế Ậ ……………….………………………………………. 18
2
A. ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
I. Lí do ch n đ tài ọ ề
1.1. B t đng th c và các bài toán quy v b t đng th c là m tấ ẳ ứ ề ấ ẳ ứ ộ
trong nh ng bài toán khó nh t trong các kì thi h c sinh gi i các c p và kữ ấ ọ ỏ ấ ỳ
thi THPT Qu c Gia hi n nay. Đi u quan tr ng c a các bài toán c c tr làố ệ ề ọ ủ ự ị
tim ra đc d u “=” c a đng th c. Nh ng khi th c hi n bài toán thì b tượ ấ ủ ẳ ứ ư ự ệ ấ
đng th c l i th ng ng c chi u, gây khó khăn, b t c cho bài toán.ẳ ứ ạ ườ ượ ề ế ắ
1.2. M t trong nh ng đi u m u ch t c a bài toán c c tr là tìm đcộ ữ ề ấ ố ủ ự ị ượ
m t b t đng th c ph đ bi n bi u th c ph c t p thành m t bi u th cộ ấ ẳ ứ ụ ể ế ể ứ ứ ạ ộ ể ứ
đn gi n và có t v còn l i ho c t gi thi t. Các bài toán này khôngơ ả ừ ế ạ ặ ừ ả ế
nh ng ch d ng toán ch ng minh b t đng th c, tìm GTNN, GTLN màữ ỉ ở ạ ứ ấ ẳ ứ
còn các bài toán gi i ph ng trình, h ph ng trình, b t ph ng trình vàở ả ươ ệ ươ ấ ươ
là các bài toán khó nh t trong các đ thi mà k c nh ng em khá, gi i bàiấ ề ể ả ữ ỏ
toán này v n còn là m t n s r t l n.ẫ ộ ẩ ố ấ ớ
1.3. Khi h c sinh đã có đc k năng t nghiên c u, khai thác ki nọ ượ ỹ ự ứ ế
th c thì các em còn có th tham kh o đc nhi u tài li u, sách giáo khoa vàứ ể ả ượ ề ệ
trên m ng Internet,… đ ph c v cho vi c h c t t h n.ạ ể ụ ụ ệ ọ ố ơ
Trong quá trình d y h c, ôn luy n thi h c sinh gi i và Thi THPT Qu c Giaạ ọ ệ ọ ỏ ố
tôi đã d y và khai thác r t nhi u d ng bài toán v c c tr và m t trongạ ấ ề ạ ề ự ị ộ
nh ng d ng đó tôi m nh d n đa ra sáng ki n kinh nghi m v m t đ tàiữ ạ ạ ạ ư ế ệ ề ộ ề
nh đó là: ỏ
” Áp d ng ph ng pháp ti p tuy n vào m t s bài toán c c tr .”-ụ ươ ế ế ộ ố ự ị
CHUYÊN Đ B I D NG H C SINH GI I VÀ THPT QU C GIA Ề Ồ ƯỠ Ọ Ỏ Ố .
II. M c đích ch n đ tài:ụ ọ ề
3
Th c hi n đ tài ự ệ ề ” Áp d ng ph ng pháp ti p tuy n vào m t sụ ươ ế ế ộ ố
bài toán c c tr .”ự ị , tôi h ng t i m c đích: ướ ớ ụ
- Khi nh m đc d u “=” c a b t đng th c, có th s d ng so sánh,ẩ ượ ấ ủ ấ ẳ ứ ể ử ụ
d n bi n t m t bi u th c ph c t p, nhi u n v m t n b c th pồ ế ừ ộ ể ứ ứ ạ ề ẩ ề ộ ẩ ậ ấ
h n.ơ
-Đa ra hàm s xác đnh trên mi n D. Kh o sát hàm s trên D và tìmư ố ị ề ả ố
c c tr .ự ị
-Đc bi t là đi v i ph ng trình, h ph ng trình và b t ph ngặ ệ ố ớ ươ ệ ươ ấ ươ
trình, vi c so sánh, đánh giá cho m t bi u th c d ng ho c âm là r tệ ộ ể ứ ươ ặ ấ
quan tr ng đòi h i các em ph i có cách nhìn t ng quát, sâu r ng v soọ ỏ ả ổ ộ ề
sánh b t đng th c.ấ ẳ ứ
- Do v y, n u h c sinh có đ kh năng nhìn nh n, phân tích bài toánậ ế ọ ủ ả ậ
thì s tìm ra h ng gi i cho m i bài toán t t h n.ẽ ướ ả ỗ ố ơ
III. Đi t ng, ph m vi nghiên c u:ố ượ ạ ứ
1. Sách giáo khoa toán 10,11,12 (Nhà Xu t B n Giáo D c Vi t Nam)ấ ả ụ ệ
2. T p chí báo toán h c và tu i tr (Nhà Xu t B n Giáo D c Vi t Nam-ạ ọ ổ ẻ ấ ả ụ ệ
B giáo d c và đào t o)ộ ụ ạ
3.Các chuyên đ luy n thi h c sinh gi i và THPT Qu c Gia.ề ệ ọ ỏ ố
B – GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
I. C s lí lu n c a v n đ ơ ở ậ ủ ấ ề
1.1. Xét bài toán t ng quát: “Cho ổ
1 2 3
, , ,..., n
a a a a D
tho mãnả
1 2 3 ... n
a a a a n
α
+ + + + =
, v i ớ
D
α
, c n ch ng minh b t đng th cầ ứ ấ ẳ ứ
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ... n
f a f a f a nf
α
+ + +
, đng th c x y ra khiẳ ứ ả
1 2 3 ... n
a a a a
α
= = = = =
”.
Bài toán này có tính ch t n i b t v i v trái là bi u th c đi x ng c aấ ổ ậ ớ ế ể ứ ố ứ ủ
các bi n ế
1 2 3
, , ,..., n
a a a a
và vi t đc d i d ng t ng c a m t hàm s v iế ượ ướ ạ ổ ủ ộ ố ớ
các bi n s khác nhau. D n đn suy nghĩ m t cách t nhiên đ gi i quy tế ố ẫ ế ộ ự ể ả ế
bài toán này là ta xét hàm s ố
( )
y f x=
, sau đó ch ng minh ứ
( )
f x Ax B +
v iớ
m i ọ
x D
, trong đó A, B th a mãn ỏ
( ) ( )
1 2 ... n
A a a a nB nf
α
+ + + + =
(hay
( )
A B f
α α
+ =
). D th y ễ ấ
y Ax B= +
chính là ti p tuy n c a đ th hàm sế ế ủ ồ ị ố
( )
y f x=
t i đi m ạ ể
x
α
=
.
Nh v y qua phân tích, chúng ta có th đa ra đc l i gi i cho bàiư ậ ể ư ượ ờ ả
toán t ng quát trên nh sau: Xét hàm s ổ ư ố
( )
y f x=
,
x D
, vi t ph ng trìnhế ươ
ti p tuy n c a đ th hàm s t i ế ế ủ ồ ị ố ạ
x
α
=
là
y Ax B= +
. Ta ch ng minhứ
( )
f x Ax B +
v i m i ớ ọ
x D
, t đó suy ra: ừ
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ... n
f a f a f a nf
α
+ + +
(đpcm).
4
1.2. Cho hàm s ố
( )
y f x
=
xác đnh và liên t c trên D. Khi đó ti pị ụ ế
tuy n t i m t đi m xế ạ ộ ể 0
D có ph ng trình ươ
( ) ( ) ( )
0 0 0
’ – y f x x x f x= +
luôn n m d i đ th ho c trên đ th .ằ ướ ồ ị ặ ồ ị
Nên ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
’ . – f x f x x x f x
+
.
Ho c : ặ
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
’ . – f x f x x x f x +
.
Vi c kh o sát v chi u c a b t đng th c thì có th dùng đo hàm c p haiệ ả ề ề ủ ấ ẳ ứ ể ạ ấ
đ xét ho c đi v i hàm s đn gi n thì có th v đ th c a hàm s trên Dể ặ ố ớ ố ơ ả ể ẽ ồ ị ủ ố
đ đi chi u.ể ố ế
Suy ra: f(x1) + f(x2) +…+ f(xn)
f’(x0).(x1 + x2 +…+xn) + nf(x0)
Ho c ng c l i: f(xặ ượ ạ 1) + f(x2) +…+ f(xn)
f’(x0).(x1 + x2 +…+xn) + nf(x0)
1.3. Khi h c sinh có đc kĩ năng t nghiên c u, khai thác ki n th c,ọ ượ ự ứ ế ứ
thì các em còn có th tham kh o đc nhi u tài li u, sách giáo khoa và trênể ả ượ ề ệ
m ng internet,... đ ph c v cho vi c h c t p t t h n.ạ ể ụ ụ ệ ọ ậ ố ơ
Vì th , tôi đã m nh d n đa ra sáng ki n kinh nghi m v m t đ tàiế ạ ạ ư ế ệ ề ộ ề
nh , đó là: ỏ“Áp d ng ph ng pháp ti p tuy n vào các bài toán c c tr ”ụ ươ ế ế ự ị –
CHUYÊN Đ B I D NG H C SINH GI I VÀ THPT QU C GIA Ề Ồ ƯỠ Ọ Ỏ Ố .
II. Th c tr ng c a v n đự ạ ủ ấ ề:
2.1. S d ng ph ng pháp ti p tuy n vào các bài toán c c tr giúp h c sinhử ụ ươ ế ế ự ị ọ
có cách gi i bài toán g n h n nhanh và đn gi n thông qua m t b t đngả ọ ơ ơ ả ộ ấ ẳ
th c ph . Cái hay c a ph ng pháp này ch :ứ ụ ủ ươ ở ỗ
Có th đánh giá m t bi u th c thông qua m t bi u th c b c nh t. ể ộ ể ứ ộ ể ứ ậ ấ
Có th ch n v trí ti p tuy n t i đi m sao cho b t đng th c x y ra d uể ọ ị ế ế ạ ể ấ ẳ ứ ả ấ
“=”
Ch ng h n: Xét f(x) = ẳ ạ
2
2
1
xx
+
,
1
0; 3
x� �
� �
L p ph ng trình ti p tuy n c a đ th t i ậ ươ ế ế ủ ồ ị ạ
1
3
x=
. Khi đó ta ch ng minhứ
đc: ượ
5
