Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Ch ¬ng 8 M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm ®a nh©n tè bËc hai ®Çy ®ñ hay rót gän
8.1- M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao.
M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 1 chØ gåm c¸c sè h¹ng bËc 1 cho nªn ®é phï hîp thÊp. Muèn n©ng cao ®é phï hîp ph¶i cã c¸c sè h¹ng bËc 2 . Khi ®ã tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2.
x3
+1
-1
+1
x1
-1
+1
-1
x2
Cã nhiÒu gi¶i ph¸p t×m ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 , phæ biÐn nhÊt lµ hai ph ¬ng ph¸p: 1/ Dïng ma trËn t©m trùc giao vµ 2/Dïng ma trËn t©m xoay. Trong ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 cã bao nhiªu sè h¹ng th× Ýt nhÊt ph¶i cã bÊy nhiªu ph ¬ng tr×nh ( bÊy nhiªu thùc nghiÖm ) ®Ó t×m ® îc c¸c hÖ sè håi qui t ¬ng øng cho mçi sè h¹ng. Víi thùc nghiÖm cã 3 nh©n tè ¶nh h ëng lªn kÕt qu¶ thùc nghiÖm. Khi tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 1 ®Çy ®ñ th× vÒ mÆt h×nh häc m« h×nh lµ mét h×nh lËp ph ¬ng 8 ®Ønh, mçi ®Ønh øng víi 1 thùc nghiÖm vµ t×m ® îc mét hÖ sè bi t ¬ng øng. §Ó t×m ® îc c¸c sè h¹ng bËc 2 ta ph¶i lµm thªm c¸c thùc nghiÖm ë t©m ( møc gèc ) vµ nh÷ng thùc nghiÖm ë ®iÓm sao (*) lµ nh÷ng ®iÓm n»m trªn trôc to¹ ®é cña nh©n tè t ¬ng øng.
H×nh 8.1- C¸c ®iÓm sao vµ ®iÓm t©m
Sè thùc nghiÖm cña ®Ó t×m m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao, ® îc tÝnh theo c«ng thøc sau: 8.1 N = 2n-q + 2.n + N0
Trong ®ã: -2n-q: sè thùc nghiÖm ë ma trËn gèc -2.n: sè thùc nghiÖm ë ®iÓm sao. -N0: sè thùc nghiÖm ë ®iÓm t©m, th êng lÊy N0 = 1.
C¸c b íc tiÕn hµnh qui ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao:
B íc1. Chän møc thùc nghiÖm: Chän c¸c møc thùc nghiÖm theo vïng kh¶o s¸t, tÝnh c¸c møc theo c«ng thøc tæng qu¸t sau: Xithùc - Xigèc 8.7 xi= 1; d =
76
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
i B íc2. LËp ma trËn thùc nghiÖm m· ho¸ cña m« h×nh thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao:
'2
ThÝ dô: Ma trËn thùc nghiÖm m· ho¸ bËc 2 t©m trùc gi¸o ®Çy ®ñ cña 3 nh©n tè, cã d¹ng sau:
B¶ng 8.2-Ma tr©n m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm ®Çy ®ñ bËc 2 t©m trùc giao 3 nh©n tè '2 x3 x1x3 N X0 + + 1 2 - x3 2 - - + 2 x3 2 - + + 3 x3 2 - - + 4 x3 2 - - + 5 x3 + + 6 2 - x3 2 - - + 7 x3 + + 8 2 - x3 0 + 9 - 0 + 10 - 0 + 11 - 0 + 12 - 0 + 13 0 + 14 0 + 15 x2x3 + + - - - - + + 0 0 0 0 0 0 0 x1x2 + - - + + - - + 0 0 0 0 0 0 0 x1 - + - + - + - + +d -d 0 0 0 0 0 x2 - - + + - - + + 0 0 +d -d 0 0 0 x3 - - - - + + + + 0 0 0 0 +d -d 0 Y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 (+d)2- y13 (-d)2- y14 y15 x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 2 - x2 - - (+d)2- (-d)2- - - - x1'2 2 - X1 2 - X1 2 - X1 2 - X1 2 - X1 2 - X1 2 - X1 2 - X1 (+d)2- (-d)2- - - - - - -
§Ó ma trËn vÉn ®¶m b¶o tÝnh chÊt trùc giao (®Æc biÖt lµ c¸c ma trËn cét cña c¸c sè
2 -
h¹ng bËc 2) ph¶i ® a thªm tham sè : 8.2 ®Æt: xi'2 = xi
th× ®iÒu kiÖn trùc giao lµ:
x(
x).(
) 0
2 iu
2 ju
N 1u
n
2
q
8.3
q
2 n 2
N
d .2 2 n
0
1–qn
d
2.N
2qn 2
Trong ®ã: 8.4
8.5
V× n, q lµ sè cho tr íc nªn cã thÓ tÝnh s½n d vµ , mét sè gi¸ trÞ tÝnh s½n ghi trong b¶ng sau:
8 /15=0,7303
2/3=0,6667
B¶ng 8.1- C¸c gi¸ trÞ d vµ tÝnh tr íc D 1,000 1,2154 1,4142 1,5467 N 9 15 25 27
M« h×nh 22 23 24 25-1 25 1,7244 43 4/5=0,8000 (4 3 )/9=0,7698 (4 10 )/15=0,8433
77
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
xxb
y
xxb
...
trong tr êng hîp trªn n = 3, tra b¶ng ta cã d = 1,215 vµ = 0,7303.
0
2
3
1
2
3
23
1
3
xb 0 x (
xb 2 (
x
xxb 12 x (
13 1 ....
xb 1 1 b )
xb 3 b )
)
2 1
22
2 2
2 3
33
b 11
Ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2, n yÕu tè cã d¹ng tæng qu¸t nh sau: 8.6
y
y.x iu
u
x.x iu
u
ju
b
b
B íc 3. TÝnh hÖ sè håi qui cña ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m trùc giao:
i
ij
2 )
2 iu
ju
x.x( iu
N 1u N x 1u
N 1u N 1u
N
x
y
).
2 iu
u
u
1
b ii
8.8
8.9
( N
2
x
)
2 iu
(
u
1
B íc 4. §¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña hÖ sè håi qui:
Trong m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 ng êi ta kh«ng lµm thÝ nghiÖm lÆp l¹i toµn bé thùc nghiÖm, do sè thùc nghiÖm qu¸ lín. Ng êi ta lµm lÆp l¹i chØ mét thùc nghiÖm, thùc nghiÖm ®ã th êng lµ thùc nghiÖm ë t©m råi x¸c ®Þnh gi¸ trÞ trung b×nh cña nã. TÝnh ph ¬ng sai cña thÝ nghiÖm lÆp l¹i ë t©m ®ã vµ coi nh ®ã lµ sai sè chung cña c¸c thÝ nghiÖm. Ng êi ta còng dïng chuÈn t ®Ó ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui: 8.10 ti tinh > ti b¶ng (P,f) trong ®ã:
b
ij
i
S
ib
ijb
b 8.11 ti tÝnh = tij tÝnh = S
2 i
2
b ii Sb
ii
2 0 )x( iu
2 0
S
Sb tii tÝnh = S víi:
Sb
Sb
2 ij
2 ii
2
2
2 0 x.
x(
)
x(
)
ju
iu
S 2 iu
1
2
S
8.12
k0
)y 0
2 0
N
1
0
0N y( 1k
8.13
víi N0:sè thÝ nghiÖm lÆp l¹i ë t©m. vµ f = N0 - 1
NÕu ttÝnh > tb¶ng th× hÖ sè håi qui míi lín h¬n sai sè thÝ nghiÖm tøc lµ cã nghÜa.
B íc 5. §¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña m« h×nh theo ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m trùc giao:
78
S
2
y(
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
phï hîp =
u
)yˆ u
1 LN
S
N 1u
2 phuhop 2 0
víi S2 8.14 FtÝnh=
Trong ®ã :
S
2 phuhop
-N = 2n-q + 2n + N0 -L = sè sè h¹ng cßn l¹i sau khi ®· ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui. -f1 = N - L -f2 = N0 - 1 ( N0 lµ sè thùc nghiÖm lÆp ë t©m )
S
2 0
suy ra > 1 8.15 NÕu FtÝnh < Fb¶ng
lµ kh«ng ®¸ng tin cËy nghÜa lµ: sai kh¸c gi÷a gi¸ trÞ hµm môc tiªu tÝnh theo ph ¬ng tr×nh håi qui vµ gi¸ trÞ thùc nghiÖm cña tõng thùc nghiÖm lµ kh«ng ®¸ng tin cËy, tøc lµ m« h×nh ®· m« t¶ ®óng thùc nghiÖm.
VÝ dô 8.1:
X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn ®¹t møc ph©n huû tèi u borat b»ng hçn hîp axit sunfuric vµ axit photphoric. Chän c¸c nh©n tè ¶nh h ëng ®Õn møc ®é ph©n huû y bao gåm: 1/ z1 - nhiÖt ®é ph¶n øng, 0C; 2/ z2 - thêi gian ph¶n øng, phót; 3/ z3 - axit photphoric chuÈn, %; 4/ z4 - nång ®é axit photphoric % P2O5 (d theo hÖ sè hîp thøc).
0 = 61,8%;
Tõ c¸c thÝ nghiÖm s¬ bé, râ rµng ®iÒu kiÖn tèi u ®Ó thùc hiÖn qu¸ tr×nh lµ ë trong vïng thay ®æi c¸c th«ng sè ghi trong b¶ng 8.3. Do ®ã ®Ó cã ph ¬ng tr×nh håi qui, chóng ta sö dông m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc hai t©m trùc giao (b¶ng 8.4). Sè thÝ nghiÖm trong ma trËn thùc nghiÖm ®èi víi n = 4 lµ 25. Gi¸ trÞ sè h¹ng sao = 1,41 (xem b¶ng 8.1). PhÐp chuyÓn tõ c¸c biÕn sè thùc z sang biÕn m· ho¸ kh«ng thø nguyªn x ® îc cho bëi c«ng thøc (III-73).
0 = 69%, nhê ®ã ta tÝnh ® îc sai sè thÝ nghiÖm:
Ph ¬ng sai lÆp l¹i ® îc x¸c ®Þnh theo 4 thÝ nghiÖm bæ sung ë ®iÓm t©m : y1
0 = 59,3%; y3
0 = 58,7%; y4
4
4
0
2
0 )y
0 i
i y(
1i
y2
t¸i sinh =
y
0 y 1i 4
3
= 60,95 s2 = 5,95
Sè bËc tù do cña ph ¬ng sai lÆp l¹i f = 4 - 1 = 3
B¶ng 8.3- §iÒu kiÖn tiÕn hµnh thùc nghiÖm
Nh©n tè Møc gèc Nh©n tè Møc gèc
z0 j 55 37,5 Kho¶ng thay ®æi: zj 25 22,5 z0 j 80 32,8 Kho¶ng thay ®æi : zj 20 18,8 Z1 Z2 z3 z4
2
Theo c«ng thøc (III, 98) vµ (III, 99) chóng ta tÝnh ® îc c¸c hÖ sè ph ¬ng tr×nh håi qui bËc hai vµ c¸c sai sè cña hÖ sè:
bjs = 0,545
2
b0 = 61,54 b44 = -5,34 sbj =
ujs = 0,61
b1 = 17,37 suj =
b12 = 2,18 b13 = 0,2
2 bjjs
= 0,864 b2 = 6,4 b14 = 1,2 sbjj =
79
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
b3 = 4,7 b4 = -4,37
b23 = 0,56 b24 = 0,79 b11 = 4,5 b22 = 1,3 b33 = 4,09 b34 = 1,9
Trang 70 nµy ®Ó dµnh cho cho b¶ng 8.4 ma trËn bËc 2 t©m trùc giao 4 nh©n tè
80
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
TÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè ® îc ®¸nh gi¸ theo chuÈn studen (xem c«ng thøc 8.11).
= 3,57 = 31,9 t12 = t1 =
= 3,8 = 11,7 t34 = t2 =
= 0,318 = 8,64 t13 = t3 =
= 1,97 = 8,04 t14 = t4 =
18,2 61,0 9,1 61,0 2,0 61,0 2,1 61,0 56,0 61,0
= 0,91 = 5,2 t23 = t11 =
= 1,25 = 1,5 t24 = t22 = 76,0 61,0
= 4,73 t33 =
37,17 545,0 4,6 545,0 70,4 545,0 37,4 545 ,0 5,4 864,0 37,4 545,0 09,4 864 ,0 34,5 ,0 864
= 6,22 t44 =
yˆ = 61,54 + 17,37x1 + 6,4x2 + 4,7x3 - 4,37x4 + 2,18x1x2 + 1,9x3x4
2 - 0,8) =
Gi¸ trÞ chuÈn t tra ë b¶ng ph©n vÞ t ®èi víi møc p = 0,05 vµ bËc tù do f = 3 lµ tb (f) = 3,18. Sau khi lo¹i bá c¸c hÖ sè kh«ng cã nghÜa, ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui d íi d¹ng kh«ng thø nguyªn:
2 - 0,8) + 4,09 (x3
2 - 0,8) - 5,34 (x4
2
2 + 4,09x3
2 - 5,34x4
+ 4,5 (x1 = 58,9 + 17,37x1 + 6,4x2 + 4,7x3 - 4,37x4 + 2,18x1x2 + 1,9x3x4 + 4,5x1
N
2 y y )ˆ ( i
i
1
§Ó ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh chóng ta x¸c ®Þnh ph ¬ng sai phï hîp:
ph =
N
1
2,396 25 10
s2 = 26,4 8.16
s
vµ tÝnh F:
s
4,26 95,5
2 ph 2 lap
= 4,4 8.17 FtÝnh =
Gi¸ trÞ chuÈn Fb tra theo b¶ng ë møc P = 0,05 víi bËc tù do f1 = 15 vµ f2 = 3 lµ 8,6. Nh vËy: FtÝnh < Fp (f1,, f2) vµ do ®ã ph ¬ng tr×nh thu ® îc phï hîp víi thÝ nghiÖm.
2
2 + 0,0102z2
2 - 0,015z4
Ph ¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: yˆ= 90,64 - 0,242z1 - 0,07z2 - 1,5z3 + 0,35z4 + 0,00388z1z2 + 8.18 + 0,00506z3z4 + 0,0072z1
81
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
C¸c ®iÒu kiÖn øng víi yˆ= 100% ® îc x¸c ®Þnh theo ph ¬ng tr×nh håi qui võa nªu b»ng ph ¬ng ph¸p Gauss - Zayden: z 1= 900C, z2 = 50 phót, z3 = 90%, z4 = 32,5. C¸c thÝ nghiÖm kiÓm tra ® îc thùc hiÖn trong c¸c ®iÒu kiÖn tèi u. Møc ph©n huû cña Borat lµ 98,5% khi sö dông axit photphoric nãng, nång ®é 30,3% P205 vµ 98,9% nÕu sö dông axit chiÕt nång ®é 29,6% P205. VÝ dô 8.2:
Bµi to¸n nghiªn cøu sai sè t ¬ng ®èi trong vïng tèi u khi ¸p dông ph ¬ng ph¸p quang phæ vi sai ®Ó ph©n tÝch chÕ phÈm nµo ®ã lµ mét vÝ dô minh häa s¬ ®å ph ¬ng tr×nh håi qui m« t¶ vïng tèi u trong tr êng hîp hai nh©n tè ®éc lËp. Hai nh©n tè ®éc lËp lµ nång ®é dung dÞch kh«ng (X1, mg/ml) vµ dung dÞch ® îc ph©n tÝch (X 2 , mg/ml), cßn tham sè tèi u lµ íc l îng sai sè t ¬ng ®èi cña ph ¬ng ph¸p y% ® îc x¸c ®Þnh víi x¸c suÊt P = 0,95 qua 8 thÝ nghiÖm lÆp t¹i mçi ®iÓm cña ma trËn thùc nghiÖm. Ma trËn thùc nghiÖm vµ c¸c kÕt qu¶ ghi ë b¶ng 8.4.
n
2
2
Trªn b¶ng 8.4 cã ghi ph ¬ng sai ® îc t¨ng 10 lÇn hÖ sè biÕn thiªn V = (s : x ) . 100%, sai sè t ¬ng ®èi y% (víi x¸c suÊt 0,95) vµ c¸c chØ sè chÝnh x¸c T = 1/V. BÊt kú mét ®Æc tr ng nµo còng cã thÓ ® îc chän lµm biÕn sè liªn quan tíi c¸c nh©n tè X1 vµ X2. NÕu sö dông chuÈn Khoren cã thÓ chøng minh s2 kh«ng ph¶i lµ ph ¬ng sai tæng qu¸t :
= 0,3556 . 10-6 : (0,9974 . 10-6) = 0,3565,
max :
si
i
1
g = s
lín h¬n gi¸ trÞ tra b¶ng g0,05(7;9) = 0,2901 (xem phô lôc).
Chóng ta h·y kh¶o s¸t hÖ sè biÕn thiªn phô thuéc vµo c¸c nh©n tè ® îc nghiªn cøu.
B¶ng 8.5. Ma trËn m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm lo¹i 22 víi c¸c kÕt qu¶ cña c¸c thÝ nghiÖm ë t©m vµ ë c¸c ®iÓm sao.
100%
X1 0,034 0,002 X2 0,042 0,004 ai ci
x
ThÝ nghiÖm s2. 106 x1 x 2 y = V . t0,95(7) V = s T = 1 V
2 = x5, ta tÝnh ® îc sù thay ®æi biÕn sè
- - + + + - 0 0 0 - + - + 0 0 + - 0 0,1139 0,1634 0,3556 0,0834 0,1016 0,0466 0,0300 0,0962 0,0067 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0957 2,0737 3,7175 1,4822 1,7903 1,2138 0,8898 1,9259 0,4600 1,126 1,138 0,637 1,593 1,318 1,943 2,654 1,225 5,131 0,8880 0,8787 1,5690 0,6277 0,7590 0,5148 0,3768 0,8161 0,1949
2 = x4, x 22
N
x
x
x
NÕu ký hiÖu x1x2 = x3, x11 Theo c«ng thøc sau ®©y:
2 i
' x i
2 iu
' x i
2 iu
8.19
1 N
u
2
2
2
2 = xi + 6 : 9 = xi' + 2/3, (i = 1, 2). Nh thÕ lµ x3 = x1x2 , x4 = 3 . Khi ®Æt vµo nh÷ng ®¼ng thøc nµy c¸c gi¸ trÞ m· ho¸ cña x1 vµ x2 tõ ma
3 , x5 = x 2
ta tÝnh ® îc: x i
theo 8.19, 2 x 1 trËn thùc nghiÖm, ta t×m ® îc c¸c gi¸ trÞ c¸c biÕn sè phô x3, x4, x5 (b¶ng 8.6).
82
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Ph ¬ng tr×nh bËc hai cã d¹ng: 8.20 V = b0' + b1x1 + b2x2 + b3x’3 + b4x’4 + b5x’5 ,
ë ®©y b3 = b12, b4 = b11, b5 = b22.
Tæng b×nh ph ¬ng c¸c biÕn sè míi ® a vµo c«ng thøc tÝnh hÖ sè bi , ® îc ghi ë dßng d íi b¶ng 8.5.
V x1V x2V x 3V x 4V x5V B¶ng 8.6. B¶ng tÝnh phô. x1 x2 x3 x4 X5
-0,8880 0,8787 -1,5690 0,6277 0 0 0,3768 -0,8161 0 0,8880 -0,8787 -1,5690 0,6277 0 0 0 0 0 0,2960 0,2929 0,5230 0,2092 0,2530 0,1716 -0,2512 -0,5441 -0,1299 ThÝ nghiÖm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - - + + + - 0 0 0 - + - + 0 0 + - 0 + - - + 0 0 0 0 0 1/3 1/3 1/3 1/3 -2/3 -2/3 1/3 1/3 -2/3 0,8880 0,8787 1,5690 0,6277 0,7590 0,5148 0,3768 0,8161 0,1949
- 0,8880 - 0,8787 1,5690 0,6277 0,7590 - 0,5148 0 0 0 0,6742 0,2960 0,2929 0,5230 0,2092 - 0,5060 - 0,3432 0,1256 0,2720 - 0,1299 0,7396 -1,3899 -0,9320 0,8205 0 6 0 6 0 4 0 6,6250 2 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 - 2/3 - 2/3 - 2/3 0 2 2 ix
3 . 0,3698 = 0,2161.
Chóng ta tÝnh ® îc: b0' = 6,6250 : 9 = 0,7361; b1 = 0,6742 : 6 = 0,1124; b2 = -1,3899 : 6 = -0,23165; b3 = b12 = -0,9320 : 4 = -0,2330; b4 = b11 = 0,8205 : 2 = 0,41025; b5 = b22 = 0,7396 : 2 = 0,3698; 3 . 0,41025 - 2 b0 = 0,7361 - 2
Chóng ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh lo¹i håi qui:
V = 0,7361 + 0,1124x1 - 0,2316x2 - 0,2330x3 + 0,41025x4 + 0,3698x5.
8.21
2
Qua 32 thÝ nghiÖm lÆp ë t©m thùc nghiÖm ta thu ® îc gi¸ trÞ ph ¬ng sai s2{V} = 0,000594 cña c¸c hÖ sè håi qui ® îc tÝnh theo c«ng thøc:
2
s2{V} = 8.22 V 2 m V 100 21 , ë ®©y m lµ sè thÝ nghiÖm lÆp.
Chóng ta nhËn thÊy r»ng cã thÓ tÝnh hÖ sè biÕn thiªn kh¸ chÝnh x¸c chØ khi cã sè lín thÝ nghiÖm lÆp (lín h¬n 30). Nh vËy trong 32 thÝ nghiÖm ®é lÖch chuÈn cña hÖ sè biÕn thiªn s{V} tÝnh theo c«ng thøc (8.22) lµ xÊp xØ 12,5% so víi hÖ sè biÕn thiªn.
NÕu cho r»ng trong tÊt c¶ c¸c ®iÓm ma trËn thùc nghiÖm ph ¬ng sai cña hÖ sè biÕn thiªn lµ nh nhau vµ xÊp xØ b»ng s2{V} = 0,000594 ta cã thÓ tÝnh ® îc ph ¬ng sai cña c¸c hÖ sè:
s2{b0'} = 0,000594 : 9 = 0,000066; s2{bi} = 0,000594 : 6 = 0,000099; s2{b12} = 0,000594 : 4 = 0,0001485; s2{bii} = 0,000594 : 2 = 0,000297;
83
2
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
2 . 0,000297 = 0,000462.
3
3
. 0,000297 + s2{b0} = 0,00066 +
Tõ ®ã s{b0} = 0,0215; s{bi} = 0,00995; s{b 12} = 0,0122; s{b ii} = 0,0173.
1x + 0,3698 2 2x ,
8.23 Theo chuÈn t cã thÓ tÝnh ® îc gi¸ trÞ c¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh: V = 0,2161 + 0,1124x1 - 0,2316x2 - 0,2330x1x2 + 0,4102 2
8.24 víi : X1 = 0,034 + 0,002x1, X2 = 0,042 + 0,004x2.
: s{bi} c¸c gi¸ trÞ:
Muèn vËy, ta tÝnh theo c«ng thøc ti = b i t0 = 0,2161 : 0,0215 = 10,05; t2 = 0,2316 : 0,00995 = 23,28; t11 = 0,4102 : 0,0173 = 23,7; t1 = 0,1124 : 0,00995 = 11,29; t12 = 0,2330 : 0,0122 = 19,1; t22 = 0,3698 : 0,0173 = 21,37.
C¸c gi¸ trÞ tÝnh ® îc lín h¬n t0,95(31) = 1,70 ë b¶ng. Nh thÕ lµ tÊt c¶ c¸c hÖ sè ®Òu cã nghÜa. Chóng ta nhËn thÊy trong tr êng hîp nµy kÕt luËn ph¶i rÊt thËn träng v× sù ph©n bè hÖ sè biÕn thiªn kh«ng ph¶i lµ b×nh th êng.
Nh ng v× tÊt c¶ hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh v ît h¬n 10 lÇn ®é lÖch chuÈn cña c¸c hÖ sè t ¬ng øng, kÕt luËn vÒ ý nghÜa c¸c hÖ sè ph ¬ng tr×nh cã thÓ xem lµ x¸c ®¸ng kh«ng cÇn cã ®¸nh gi¸ thªm nµo n÷a. §Ó lµm râ tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui b»ng c¸c kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, th êng
1 V
sö dông chuÈn F.ChØ sè chÝnh x¸c T = tháa m·n víi yªu cÇu nµy, chØ sè ®ã cã ph©n bè t
gÇn víi ph©n bè chuÈn khi sè thÝ nghiÖm lÆp kho¶ng 30. Bëi vËy ®Ó ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui biÓu thÞ sù phô thuéc V vµo x1 vµ x2 cã thÓ sö dông ph ¬ng tr×nh:
T = 1:(0,2161+ 0,1124x1- 0,2316x 2- 0,2330x1x2+ 0,4102x 1
2) 2+ 0,3698x 2
T
8.25
, ®é lÖch Víi môc ®Ých nµy th êng ng êi ta tÝnh ® îc c¸c gi¸ trÞ lý thuyÕt V , / V1
T - T vµ b×nh ph ¬ng ®é lÖch (b¶ng 8.7).
B¶ng 8.7. B¶ng tÝnh ph©n tÝch håi qui .
V
/ V1 T
T T
V V
T (T - T)2.108 ThÝ nghiÖm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,126 1,138 0,637 1,593 1,318 1,943 2,654 1,225 5,131 0,8824 0,8852 1,5732 0,6440 0,7387 0,5139 0,3543 0,8175 0,2161 1,1446 1,1297 0,6357 1,5528 1,3537 1,9459 2,8225 1,2232 4,6275 0,0186 0,0083 0,0013 0,0402 0,0357 0,0029 0,1685 0,0018 0,5035 34 596 6 889 169 160 040 127 449 841 2 839 225 324 25 351 225 0,0056 0,0065 0,0042 0,0163 0,0203 0,0009 0,0225 0,0014 0,0212
2 =
Tæng 28 520 758
Tæng b×nh ph ¬ng ®é lÖch SR = (T - T )2 = 0,28520, b×nh ph ¬ng trung b×nh sR 0,28520 : (9-6) = 0,09559.
TÝnh ph ¬ng sai chØ sè chÝnh x¸c s2{T} theo c«ng thøc:
84
2
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
1 2
100
T f2
n
s2{T} = = 0,3125 . 10-5 + 5,1312 : 62 = 0,4246, 8.26
ë ®©y f = n - 1 = 31 - sè bËc tù do.
2 : s2{T} = 0,09559 : 0,4246 = 0,2228 nhá h¬n F0,05(3;31) = 2,92 tra b¶ng. Nh thÕ lµ ph ¬ng tr×nh biÓu diÔn sù phô thuéc T vµo c¸c nh©n tè cã thÓ thõa nhËn lµ nh÷ng kÕt qu¶ phï hîp cña thÝ nghiÖm. Tõ ®ã cã thÓ coi ph ¬ng tr×nh biÓu thÞ sù phô thuéc V vµo c¸c nh©n tè X1 vµ X2 lµ ph ¬ng tr×nh phï hîp.
F = sR
- NhËn xÐt 1. Trong vÝ dô trªn cã thÓ kh«ng cÇn ph¶i ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh biÓu thÞ phô thuéc T vµo c¸c nh©n tè, bëi v× tÊt c¶ ®é lÖch Vi - Vi vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng v ît qu¸ ®« lÖch chuÈn cña hÖ sè biÕn thiªn s{V} = 0,0244 (xem b¶ng 8.7).
- NhËn xÐt 2. Cã thÓ x©y dùng ph ¬ng tr×nh bËc hai kh«ng ph¶i ®Ó cho hÖ sè biÕn thiªn mµ cho chØ sè chÝnh x¸c T. Lóc ®ã ta nhËn ® îc ph ¬ng tr×nh:
T = 3,938 - 0,110x1 + 0,400x2 + 0,236x1x2 - 1,711 2
1x - 1,402 2 2x
V
8.27
2 ®èi víi phô thuéc V d íi d¹ng ®a thøc bËc hai nhá h¬n 2 Rs
®èi víi
vµ ®èi víi hÖ sè biÕn thiªn - ph ¬ng tr×nh d íi d¹ng ph©n sè h÷u tØ : . Nh ng ph ¬ng T1 tr×nh nµy thÓ hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a V vµ c¸c nh©n tè kÐm h¬n so víi ph ¬ng tr×nh ®· lËp ë trªn d íi d¹ng ®a thøc (sR ). : T1 V
Tõ gi¸ trÞ c¸c hÖ sè c¸c sè h¹ng tuyÕn tÝnh ta suy ra r»ng t©m thÝ nghiÖm kh«ng trïng víi tèi u lý thuyÕt, cßn gi¸ trÞ c¸c hÖ sè ë c¸c bËc cßn l¹i cña c¸c nh©n tè chøng minh tÝnh chÊt liªn kÕt phi tuyÕn gi÷a hÖ sè biÕn thiªn (sai sè t ¬ng ®èi) vµ c¸c nh©n tè. Cã thÓ ph©n tÝch tØ mØ h¬n sù liªn kÕt sau khi ® a ph ¬ng tr×nh ®Õn d¹ng chÝnh t¾c vµ dùng c¸c ® êng gi¸ trÞ b»ng nhau cña hÖ sè biÕn thiªn hoÆc cña sai sè t ¬ng ®èi.
Nh©n hÖ sè biÕn thiªn V víi t0,95(7) = 2,36, chóng ta nhËn ® îc ph ¬ng tr×nh sai sè t ¬ng ®èi y% phô thuéc vµo x1 vµ x2:
1x + 0,873 2 2x .
y = 0,510 + 0,265x1 - 0,547x2 - 0,550x1x2 + 0,968 2
8.28
TÝnh chÝnh x¸c trong viÖc x¸c ®Þnh ph ¬ng sai ®Æc tr ng cho sai sè t ¬ng ®èi y% t¹i c¸c ®iÓm cña ma trËn b»ng ph ¬ng ph¸p thùc nghiÖm (8 30 x¸c ®Þnh song song) lµ kh«ng cao l¾m.
Bëi vËy cÇn ph¶i xem ph ¬ng tr×nh m« t¶ sù liªn hÖ gi÷a sai sè t ¬ng ®èi vµ nång ®é dung dÞch ph©n tÝch vµ dung dÞch kh«ng nh lµ ph ¬ng tr×nh néi suy. §ång thêi ph ¬ng tr×nh cho phÐp ph¸t hiÖn c¸c ®Æc ®iÓm liªn kÕt trong giíi h¹n thÝ nghiÖm.
VÝ dô 8.3: Kh¶o s¸t ph¶n øng âxy ho¸ hypophotphit dïng Fe xóc t¸c (x1), trong m«i tr êng axit (x2) theo thêi gian (x3) ta cã:
Ma trËn thùc nghiÖm ® îc tr×nh bµy ë b¶ng 8.8.
B¶ng 8.8- M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m trùc giao Tªn C¸c nh©n tè C¸c hÖ sè håi qui cã nghÜa
85
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Møc gèc Kho¶ng thay ®æi X1 0,032 0,005 X2 1,0 0,5 X3 15 5 b0' = 97,47 b3 = 0,64 b1 = 1,10 b2 = 0,87 B2 = -0,92 b22 = -1,21
B¶ng 8.9- Ma trËn Ma trËn m· ho¸ ThÝ nghiÖm
x0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 x1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1,215 +1,215 0 0 0 0 0 x2 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 0 0 -1,215 +1,215 0 0 0 x3 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 -1,215 +1,215 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hµm môc tiªu (§é oxy hãa) uy~ 94,19 97,65 93,61 97,55 98,47 98,93 94,89 98,83 97,02 99,69 97,68 95,45 97,57 99,13 98,55 yu 96,18 97,88 92,96 98,34 97,36 98,18 95,24 99,32 98,30 98,40 99,78 94,53 97,34 99,24 99,08
0
0,09
0,09
0,09
0,125
C¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui ® îc tÝnh theo ch ¬ng tr×nh chuÈn IBM "Nairi". C¸c ma trËn (XTX)-1 vµ XTY cã cÊu tróc nh sau ®©y:
0,125
0,125
0,229
0,229
0
0,229
0,066
(XTX)-1 = 8.29
86
13,
1,2
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
01,12 12,10
7,1 56,1
05,7 94,6
09,5 74,1
1462
XTY = XTY = 8.30
47,97 10,1
2
40,4 06,3
12
Cuèi cïng, cét c¸c hÖ sè håi qui -B cã d¹ng:
06,4 09,1
13
23
99,0 20,1
11
22
21,1 44,0
66,3 33,1
92,0 64,0 87,0 27,0 22,0 40,0
35,573 41,5
33
' b 0 b 1 b b 3 b b b b b b
=
B = vµ 8.31 tij =
2
TÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui ® îc kiÓm tra theo ®iÒu kiÖn:
0S = 0,485)
tt > tb (tb = 3,18, f = 3,
t ¬ng øng víi c¸c gi¸ trÞ tÝnh ® îc theo chuÈn t:
47,97
(21,1
64,0
92,0
87,0
~ y
);
x
x
x
x
2 2
2 2
xx 21
x 1
2
3
2
8.32 TÊt c¶ c¸c hÖ sè b0', b1, b2, b12, b22 ®Òu cã nghÜa, c¸c hÖ sè cßn l¹i kh«ng cã nghÜa. HÖ sè b3 ë giíi h¹n tÝnh cã nghÜa: tb = 3,18, cßn t3 = 3,06. Cã thÓ ® a yÕu tè X3 vµo ph ¬ng tr×nh håi qui vµ lóc ®ã ph ¬ng tr×nh cã d¹ng sau ®©y: 10,1
hoÆc víi
2x = 0,73 th× ph ¬ng tr×nh håi qui thu ® îc : x10,1 x64,0
x92,0
58,96
y~
xx87,0
1
1
2
3
2 .x21,1 2
2
8.33
Ph ¬ng sai phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui ® îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc 8.14 - 8.15, khi l = 6, N = 15 vµ cét ~y u trong b¶ng 8.7.
04,1
2 phs
Cuèi cïng khi ; (sph = 15,5985)
04,1 485 ,0
2 s ph 2 s 0
8.34 Ft = = 2,15 < FT =19,4;
q = 0,05. Fph = 15 - 6 = 9; f0 = 3 - 1= 2;
87
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
M« h×nh t×m ® îc lµ phï hîp víi thùc nghiÖm. Cã thÓ sö dông nã ®Ó x©y dùng vïng tèi u vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn tèi u cña qu¸ tr×nh oxi hãa hipophotphit natri b»ng s¾t, tøc lµ qua c¸c nh©n tè x1, x 2, x 3 t ¬ng øng lµ nång ®é s¾t, ®é axit vµ thêi gian oxi hãa t ¬ng øng cã ¶nh h ëng ®Õn ph¶n øng oxi hãa hipophotphit natri.
8.2- M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay:
x
M« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay, ® îc tiÕn hµnh trªn c¬ së x©y dùng ma trËn qui ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm bËc 2 t©m xoay, c¸c ma trËn cét bËc cao trong ma trËn thùc nghiÖm cã tÝnh chÊt nh sau:
.N 2
2 iu
N 1u
8.35 víi i = 1 n
x
.N3 4
2 iu
2 ju
N x 1u
8.36
víi ®iÒu kiÖn:
n
2
n
4 2
o
)
8.37
1 2 )
4
o
n 2n
.( Nn ( n
).2
N N
o
oN = sè thùc nghiÖm trªn mÆt môc tiªu= Ngèc + N*
suy ra > ( 8.38
-n = sè nh©n tè kh¶o s¸t. -N = sè thùc nghiÖm cña ma trËn bËc 2 t©m xoay = Ngèc + N * + No -N* = sè thùc nghiÖm ë ®iÓm sao -N0 = sè thùc nghiÖm ë t©m, sè thùc nghiÖm ë t©m: No > 1 - kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®iÓm sao ® îc tÝnh theo c«ng thøc:
d = 2 (n-q)/4 8.39
Tõ c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta cã b¶ng c¸c gi¸ trÞ tÝnh tr íc:
xxb
xb
y
B¶ng 8.10- c¸c gi¸ trÞ d,®iÓm t©m tÝnh tr íc khi biÕt lo¹i m« h×nh ho¸ n 2 3 4 5 5 Ngèc 4 8 16 32 16 2n-q 22 23 24 25 25-1 N* 4 6 8 10 10 N0 5 6 7 10 6 D 1,414 1,682 2.000 2,378 2,000
xb i
i
xb ii
ij
i
j
00
Ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m xoay cã d¹ng tæng qu¸t nh sau: 8.40
2 i
.2{
)2
n(
C
y
x
b
x
.2 4
2 4
2 u0
0
u
2 iu
}y u
A N
8.41 Vµ c¸c hÖ sè håi qui ® îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc sau ®©y: N n N 1 1i u 1u
88
2
y
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
b
b ij
xx iu
u
ju
i
yx iu
u
C N
N C .N 4 1u
N 1u
N
N
N
N
2
2
8.42
b
{
C
[(
n
)2
y
C
1(
.2
y
n
ii
4
2 1 u
u
) 4
2 yx iu
u
C 4
u
ou
] x
x
A N
i
1
u
u
1 u
1
1
8.43
N
A
C
trong ®ã:
]n
.2
n.[(
1 ).2
4
4
2 iux
n 1u
vµ 8.44
N
N
N
b
C
y
C
x
y
0
1
u
2
2 iu
u
u
i
u
1
1
1
Do c¸c hÖ sè C vµ A cã thÓ tÝnh tr íc ® îc, nªn cã thÓ dïng c¸c c«ng thøc tÝnh c¸c hÖ sè b nh sau:
b
C2
x
y
8.45
b
C
ij
4
iu
u
iu
i
3
yx iu
u
N x 1u
N 1u
8.46
b
C
y
C
y
C
ii
4
u
5
2 iu
u
6
u
2 iu
N 1i
N x 1u
N y 1u
N x 1u
8.47
B¶ng 8.11- C¸c hÖ sè Ci ® îc tÝnh tr íc cho trong b¶ng sau: C5 C3 0,0188 0,1250 0,0069 0,0731 0,0037 0,0417 C2 0,1000 0,0569 0,0357 C4 0,1250 0,0625 0,0312 C1 0,2000 0,1667 0,1428 N 2 3 4 C6 0,1438 0,0695 0,0350
*
b
§¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui t×m ® îc theo c¸c bÊt ®¼ng thøc vµ c«ng thøc sau: 8.48 ttÝnh > tb¶ng ( P,f0=N0 - 1)
*
Sb
trong ®ã 8.49 ttÝnh =
S.C
.A.2
n(
S)2
4
2 0
2 0
S
Víi:
S
2 b 0
2 b i
N
N
2
n[(A
).1
n(
S.C)]1
4
2 S.C
2 0
8.50
S
S
2 b ij
2 b ii
N
2 0 N.
4
vµ 8.51
89
0
2
y(
m0
)y 0
N 1m
S
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
2 0
N
1
0
8.52
S
SC
S
SC 3
2 b
2 01
2 b
2 0
0
i
C¸c ph ¬ng sai cña c¸c hÖ sè håi qui còng cã thÓ ® îc tÝnh theo c¸c hÖ sè Ci tÝnh tr íc cho ë b¶ng trªn nh sau:
S
S
S.C.2 4
SC 6
2 b
2 0
2 b
2 0
ij
ii
8.53
S
§¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña m« h×nh t×m ® îc th«ng qua ph ¬ng tr×nh håi qui bËc 2 t©m xoay theo chuÈn F :
S
2 phuhop 2 0
8.54 FtÝnh = < Fb¶ng ( P,fph,f0)
N
0
N
2
u
y 0
m
y 0
^ y y u
2
u
m
1
1
fsk
f
0
Trong ®ã:
phï hîp =
fph
S2 8.55
fph
fsk
N
[
(
fo
L ]
0N
bËc tù do cña ph ¬ng sai phï hîp. -f0 = N0 - 1 = bËc tù do cña thùc nghiÖm lÆp ë t©m , -fsk = N - L bËc tù do cña sù sai kh¸c gi÷a lÝ thuyÕt vµ thùc nghiÖm. -L = sè hÖ sè cã nghÜa trong ph ¬ng tr×nh håi qui kh¶o s¸t tÝnh phï hîp. - )1
NÕu FtÝnh < Fb¶ng th× cho phÐp kÕt luËn, m« h×nh t×m ® îc hoµn toµn m« t¶ ®óng víi thùc nghiÖm kh¶o s¸t.
VÝ dô 8.4:
C¾t gät lµ mét trong nh÷ng ph ¬ng ph¸p gia c«ng c¸c chi tiÕt m¸y b»ng chÊt dÎo. ViÖc chän tr¹ng th¸i gia c«ng thÝch hîp sÏ lµm cho bÒ mÆt chi tiÕt ®¹t ® îc ®é nh½n cÇn thiÕt. Trong vÝ dô sau ®©y, chÊt dÎo ® îc gia c«ng trªn m¸y tiÖn cao tèc.
2
Hµm môc tiªu ® îc chän lµ lµm cùc tiÓu ®é cao kh«ng ®ång ®Òu Rz. C¸c nh©n tè ® îc xem cã ¶nh h ëng ®Õn hµm môc tiªu lµ tèc ®é c¾t vm/phót+. §é dÞch chuyÓn smm/vßng vµ ®é s©u nh¸t c¾t tmm.
2 + b22x2
2 + b33x3
M« h×nh to¸n cña qu¸ tr×nh ® îc chän lµ: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x 1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1
Ph ¬ng ¸n thùc nghiÖm lµ qui ho¹ch thùc nghiÖm t©m xoay bËc hai. Nh©n lµ ma trËn qui ho¹ch ho¸ ®Çy ®ñ 23, 6 thÝ nghiÖm ë 6 ®iÓm sao víi c¸nh tay ®ßn sao = 1,682, vµ 6 thÝ nghiÖm ë t©m. Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm ® îc cho trong b¶ng sau : C¸c møc vµ kho¶ng biÕn thiªn cña c¸c nh©n tè:
90
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
B¶ng 8.12- ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm YÕu tè
Møc trªn +1 314 0,7 0,75 C¸c møc Møc c¬ së 0 205 0,5 0,5 Møc d íi -1 96 0,3 0,25 Kho¶ng biÕn thiªn 109 0,2 0,25 X1 lµ tèc ®é c¾t, m/phót X2 dÞch chuyÓn, mm/vßng X3 ®é s©u nh¸t c¾t, mm
2 = 0,001131,
2 = 0,00193,
2 = 0,00258,
2 = 0,00107
b2 = 1,0039; b23 = 0,0875; b3 = 0,0646; b11 = 0,6409; C¸c hÖ sè trong ph ¬ng tr×nh håi quy ® îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc (8.46) (8.47) Gi¸ trÞ c¸c hÖ sè tÝnh ® îc lµ: b0 = 2,1956; b12 = 0,105; b22 = 0,4466; b1 = 0,2882; b13 = -0,055; b33 = 0,0807.
Ph ¬ng sai c¸c hÖ sè ® îc tÝnh theo c¸c c«ng thøc : (8.53), ta cã: sb0 sbj1 sbjj sbj
KiÓm ®Þnh tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè håi qui theo tiªu chuÈn Student:
j
b
jb
t j S
Ta tÝnh ® îc: t3 = 1,9226;
t0 = 43,912; t12 = 2,3917; t11 = 19,5993; t1 = 8,5773; t13 = 1,2528; t22 = 13,6574 t2 = 29,8779; t23 = 1,9931; t33 = 2,4679
f = 5 Tra b¶ng tp (f); p = 0,05; tra b¶ng : t0,05 (5) = 2,57
2
C¸c gi¸ trÞ t3; t12; t 13; t 23; t33 nhá h¬n tp (f) do ®ã c¸c hÖ sè b3, b12, b13, b23, b33 bÞ lo¹i ra
2 + 0,4466x2
2
2
8.56 khái ph ¬ng tr×nh håi quy. Ph ¬ng tr×nh håi quy cßn l¹i cã d¹ng: y = 2,1956 + 0,2882x1 + 1,003x2 + 0,6409x1
2 x3 + + + + + + + + 0 0 0 0 2,828 2,828 0 0 0 0 0
B¶ng 8.13- Ma trËn qui ho¹ch thùc nghiÖm ph ¬ng ¸n quay bËc 2, ba yÕu tè : STT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x1x2 x 1x3 x 2x3 + + + + - - - + - - - + - - + - + - + - - + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 x0 - + + + - + + + - + + + - + + + + -1,682 + +1,682 + + + + + + + + + x3 - - - - + + + + 0 0 0 0 -1,682 +1,682 0 0 0 0 0 x 2 - - + + - - + + 0 0 -1,682 +1,682 0 0 0 0 0 0 0 x2 + + + + + + + + 0 0 2,828 2,828 0 0 0 0 0 0 0 x1 + + + + + + + + 2,828 2,828 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Y 2,16 2,65 3,80 4,70 2,22 2,48 4,20 4,89 3,55 4,50 1,80 5,15 2,32 2,56 2,31 2,08 2,12 2,32 2,36
91
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
20 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,12
V× r»ng trong c¸c hÖ sè kh«ng cã ý nghÜa cã hÖ sè b33 ë sè h¹ng bËc hai v× vËy ph¶i tÝnh l¹i c¸c hÖ sè cã ý nghÜa theo ph ¬ng ph¸p b×nh ph ¬ng nhá nhÊt :
= 60,29 = 3,9379 = 13,7147 = 49,8654 = 46,7546 20.b0 + 0.b1 + 0.b2 + 13,656b11 + 13,656b22 0.b0 + 13,656b1 + 0.b2 + 0.b11 + 0.b22 0.b0 + 0.b1 + 13,656b2 + 0.b11 + 0.b22 13,656b0 + 0.b1 + b2 + 24b11 + 8b22 13,656b0 + 0.b1 + 0.b2 + 8b11 + 24b22
Gi¶i hÖ ph ¬ng tr×nh trªn ta nhËn ® îc: b0 = 2,28; b11 = 0,6321; b22 = 0,4373
2
2 + 0,4373x2
2:
s
Vµ ph ¬ng tr×nh håi qui nhËn ® îc: 8.57 y = 2,284 + 0,2882x1 + 1,0039x2 + 0,6321x1
2 ph
)1
2 S o ( 0 n
8.58 §Ó kiÓm ®Þnh sù phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui víi thùc nghiÖm ta t×m stt 2 S sk LN
trong ®ã : L- sè hÖ sè cã nghÜa trong ph ¬ng tr×nh håi qui.
N
S
y
,0
3996
2 sk
i
2 )ˆ y i
(
i
1
Tæng b×nh ph ¬ng ®é lÖch Sphh ® îc tÝnh:
n
0
0
2
S
y
)
,0
0770
y
2 0
0 u
(
n
1
vµ
,0
3996
,0
0770
,0
0322
s 2 phh
10
Do ®ã:
F
,2
091
2 s phh 2 s 0
Gi¸ trÞ tÝnh ® îc cña chuÈn F b»ng:
Tra b¶ng F1 - p (f1, f2), víi p = 0,05; f1=10; f2 = 5 ta ® îc :F0,95(10;5) = 4,74.
v
s
t
0
0
Ta cã F < F1 - p ; V× vËy ph ¬ng tr×nh håi qui t×m ® îc m« t¶ ®óng thùc nghiÖm.
x
x
x
;
;
1
3
2
s s
t t
8.59 §Ó dÔ dµng h×nh dung nh÷ng kÕt qu¶ t×m ® îc, ta chuyÓn ph ¬ng tr×nh tõ d¹ng m· hãa (x1, x2, x3) sang d¹ng täa ®é thùc: (v,s, t) b»ng c¸c c«ng thøc v 0 v
205
s
, 0 5
;
x
;
x
v
t
Trong ®ã v0, s0, t0 lµ nh÷ng gi¸ trÞ thùc cña c¸c nh©n tè ë møc gèc; v, s, t lµ gi¸ trÞ c¸c kho¶ng biÕn thiªn cña c¸c nh©n tè. Nh vËy:
x 1
2
3
109
, 0 2
, 0 5 , 0 25
8.60
92
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Thay c¸c biÓu thøc cña x1, x2, x3 vµo ph ¬ng tr×nh ta nhËn ® îc.
Rz = 4,2019 - 0,0218v - 5,913s + 5,32 .10-5v2 + 10,932s2 8.61
VÝ dô 8.5: B¶ng 8.14. M« h×nh ho¸ thøc nghiÖm b©c hai t©m xoay vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm C¸c hÖ sè cã nghÜa Tªn
b0 = 85,14 b1 = 3,43 b3 = -1,32 b13 = 3,00 b11 = 2,60 b33 = -1,19 Møc gèc Møc cao Møc thÊp Møc "+1,41" Møc "-1,41" C¸c yÕu tè X2 X1 4,89 9,20 6,89 10,00 2,89 8,40 7,71 10,33 2,07 8,07
2
B¶ng 8.15
ThÝ nghiÖm x0 x1 Ma trËn thùc nghiÖm 2 x 3 x1 x3 x 1x3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 -1 +1 +1 -1,41 +1,41 0 0 0 0 0 0 0 -1 +1 -1 +1 0 0 -1,41 +1,41 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 2,0 2,0 0 0 0 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 0 0 2,0 2,0 0 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Hµm môc tiªu uy~ yu 87,44 78,80 88,30 91,66 85,50 95,18 84,62 80,90 85,14 85,14 85,14 85,14 85,14 87,1 79,0 88,9 92,8 85,6 94,0 84,5 80,0 83,7 86,0 85,8 83,9 86,3 TÝnh to¸n uy~ )2 (yu - 0,1156 0,0400 0,3600 1,2986 0,0100 1,3924 0,0144 0,8100 2,0736 0,7386 0,4356 1,5376 1,3456 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Sù t¨ng theo ® êng dèc nhÊt dÉn ®Õn ®Ønh nµo ®ã cña kh«ng gian nh©n tè, ë ®©y chØ cã 2 nh©n tè cã nghÜa, cßn mÉu tuyÕn tÝnh kh«ng phï hîp. Gi¶ thiÕt t¹i vïng nµy, ta thùc hiÖn ma trËn bËc 2 t©m xoay - b¶ng 8.12.
N
N
PhÐp tÝnh hÖ sè ph ¬ng tr×nh håi qui b¾t ®Çu tõ phÐp tÝnh c¸c tæng (0y), (iy), (ijy), (iiy):
uy = 1117,60;
1 yx
u
u
1u
1u
N
N
= 27,444; 8.62 (0y) = (1y) =
u
u3
u1
u
u3 yx
yxx
1u
1u
N
N
2
(3y) = = 12,000 (13y) = = -10,545; 8.63
2 u yx 3 u
u1 yx
u
u
1u
1
= 707,00; = 676,00; 8.64 (11y) = (33y) =
93
N
iiy(
)
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
1u
= 707,00 + 676,00 = 1383,80. 8.65
Theo c¸c c«ng thøc tÝnh hÖ sè håi qui, chóng ta tÝnh ® îc c¸c hÖ sè:
b0 = 0,2 (0y) - 0,1 (iiy) = 85,14; b1 = 0,125 (1y) = 3,43 b3 = 0,125 (3y) = - 1,32; b13 = 0,25 (13y) = 3,0; b11 = 0,125 (11y) + 0,0187 (iiy) - 01 (0y) = 2,60; b22 = 0,125 (33y) + 0,0187 (iiy) - 0,1 (0y) = - 1,19.
Cã thÓ tÝnh c¸c hÖ sè c¶ ë d¹ng ma trËn theo ph ¬ng tr×nh B = (XTX)-1 XTY 8.66
8 0
0 0
8 0
0 98,7
0 0
Chóng ta t×m thÊy XTX
0 12
0 0
0 4
0 0
98,7 0
0 4
4 0
0 12
0 0
0 0
13 0 0 8 0 8
XTX = 8.67
0 0
1,0 0
19,0 0
0 125,0
0 0
)9(09,0 0
Chóng ta h íng ma trËn:
0 0
0 018
,0
0 0
125,0 0
0 144,0
25,0 0
0 144,0
0 0
0 0
0 018,0
0 1,0
0 )9(09,0
(XTX)-1 = 8.68
,85
14000225
,3 43073611 32205820 ,1
Cuèi cïng cét B:
56125032 99999976
,2 ,2
191375179
,1
B = 8.69
2
Nh vËy, ph ¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng:
y = 85,14 + 3,43x1 -1,32x3 +3,00x1x3 +2,60x1
2 -1,19x 3
8.70
94
5
1
2
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
2 =
y(
k0
)y 0
N
13,6 4
1
0
1k
= 1,5325. Chóng ta íc l îng ®é ph©n t¸n c¸c hÖ sè theo c¸c phÇn tö chÐo cña ma trËn nghÞch ®¶o nÕu sai sè thÝ nghiÖm b»ng: s0
2 s = 0,199.1,5325 0,31; b 0 2 s = 0,125.1,5325 0,193; b i yˆ= 0,25.1,5325 0,385; 2 s = 0,144.1,5325 0,222; b ii
0bs = 0,56; ibs = 0,44; ijbs = 0,62; iibs = 0,47;
Lóc ®ã:
Chóng ta tÝnh c¸c g¸ trÞ chuÈn t ®èi víi nhãm hÖ sè:
14,85 56,0
6,2 47,0
= 152; = 5,5; t0p = t11p =
19,1 47,0
43,3 44,0
= 7,8; = 2,5; t1p = t22p =
32,1 44,0
0,3 62,0
= 3,0; = 4,8; t3p = t13p =
NÕu tÝnh r»ng tT = 2,78 (q = 0,05, f0 = 4), tÊt c¶ c¸c hÖ sã trõ b22 ®Òu cã ý nghÜa. Song v× b22 n»m ë giíi h¹n cã nghÜa vµ ®Ó t×m to¹ ®é tèi u cña vïng cã thÓ ®Ó nã l¹i.
Ta h·y ®¸nh gi¸ tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui. TÝnh cét y~ (xem b¶ng 8.12) vµ
hiÖu (sù sai kh¸c) b×nh ph ¬ng ®é lÖch. Tæng b×nh ph ¬ng ®é lÖch Ssai kh¸c = 9,361;fsai kh¸c = 13-6 = 7
Tæng b×nh ph ¬ng ®é lÖch cña c¸c thÝ nghiÖm gèc (sè 0) S0 = 6,13; f0 = 5 - 1 = 4.
Lóc ®ã: Sphï hîp = 9,361 - 6,13 = 3,231;fphï hîp = 7 - 4 = 3.
S
/
f
ph
ChuÈn F tÝnh ® îc sÏ lµ:
/
f
ph S
,3 231 3/ 4/13,6
0
0
= 0,70277. 8.71 Fp =
FT = 6,6 (fphï hîp = 3; f 0 = 4; q = 0,05).
V× Fp < FT cho nªn ph ¬ng tr×nh håi qui m« t¶ phï hîp c¸c sè liÖu thùc nghiÖm.
VÝ dô 8.6:
Khi ph©n tÝch vïng tèi u dietylstylbestrola b»ng ph ¬ng ph¸p quang phæ vi sai. Tham sè tèi u lµ sai sè t ¬ng ®èi y, cßn c¸c nh©n tè ®éc lËp lµ nång ®é dung dÞch kh«ng (X1, mg/ml), dung dÞch ® îc ph©n tÝch (X2, mg/ml) vµ nång ®é ® ¬ng l îng Natri hi®r«xit (X3). §Ó m« t¶ vïng gÇn, ng êi ta cã ý ®Þnh sö dông ®¬n trÞ hîp thµnh trung t©m ®· m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm b»ng ph ¬ng ph¸p t©m xoay (b¶ng 8.13). Cã thÓ tÝnh c¸c hÖ sè ph ¬ng tr×nh bËc hai theo c«ng thøc (8.74) - (28.75) nh ng ®¬n gi¶n h¬n nªn theo c¸c c«ng thøc riªng ®èi víi n = 3:
95
N
N
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
yxx
u
iu
ju
u
iu yx
1u
1u
1 8
N
N
, N = 20, (229) ; bi = 0,073224. bij =
056791
,0
u
2 yx iu
u
y
1u
3 1u 1i
N
N
; b0 = 0,166338 .
006889
056791
,0
,0
2 yx iu
u
2 yx iu
u
u
1u
3 1u 1i
N y 1u
, bii = 0,0625 .
Chóng ta cã:
2y=7,4405,
2y = 7,4405.
x2y = -0,81, x3y = -0,94, x1x2y = - 0,94, x1x2y = - 0,44, x1 x1y = -0,11272, y = 10,05, x1x3y = 0,10, 2y = 7,7233, x2 x2x3y = 0,26, x3
B¶ng 8.16- Ma trËn bËc hai t©m xoay vµ kÕt qu¶ thÝ nghiÖm
ai ci ThÝ nghiÖm sè 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X1 28 4 x1 + + - - + + - - -1,682 1,682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X3 0,2 0,1 x3 + + + + - - - - 0 0 0 0 -1,682 1,682 0 0 0 0 0 0 Y 0,32 0,60 0,44 0,62 0,27 0,80 0,46 0,65 0,56 0,60 0,52 0,74 0,80 0,36 0,31 0,45 0,33 0,39 0,52 0,31 X2 40 4 x2 + - + - + - + - 0 0 -1,682 1,682 0 0 0 0 0 0 0 0
2
Tõ ®ã, ta tÝnh ® îc: b1 = 0,073224. (- 0,11272) = - 0,008, t ¬ng tù tÝnh ® îc b2 = - 0,059; b3 = - 0,069; b12 = - 0,44: 8 = - 0,055; b13 = - 0,10: 8 = 0,012; b23 = 0,26 : 8 = 0,0325; b0 = 0,166338 . 10,05 - 0,056791 . (7,4405 + 7,7233 + 7,4405) = 0,388; b11 = 0,0625 . 7,4405 + 0,006889 . (7,4405 + 7,7233 + 7,4405) - 0,056791 . 10,05 = 0,46503 + 0,155721 - 0,57075 = 0,050. T ¬ng tù ta tÝnh ® îc b22 = 0,06768, b33 = 0,05000.
2. 2 + 0,050x3
Ph ¬ng tr×nh håi qui thu ® îc: yˆ= 0,388 - 0,008x 1 - 0,059x2 - 0,069x 3 - 0,055x1x2 - 0,012x1x3 + 0,032x2x3 + 0,050x 1 8.72 + 0,068x2
96
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Ph ¬ng sai tÝnh lÆp l¹i tÝnh theo c¸c thùc nghiÖm ë t©m : s2{y}= 0,01631. Theo c«ng s2{bi} = thøc (8.74 vµ 8.75) cã thÓ tÝnh ph ¬ng sai cña c¸c hÖ sè: s2{b0}= 0,00271430, 0,00119436; s2{bij} =0,00204; s2{bii} = 0,001132, s{b0}= 0,0521; s{bi} =0,0345; s{bij} = 0,0452; s{bii}= 0,0336.
N
2
uy = 5,5650 cã thÓ tr×nh bµy d íi
1u
Theo chuÈn student chØ cã c¸c hÖ sè 0,388: -0,059; -0,069; 0,068 lµ cã gi¸ trÞ (cã tÝnh ®Õn nhËn xÐt ë 2).
u 2 ,y
1u
N
k
8.73 S012 = S0 + S1,0 + S2,10 , f0 = 1 S0 = V× ta biÕt r»ng sai sè t ¬ng ®èi phô thuéc vµo X1 vµ X2, cho nªn cã thÓ ¸p dông phÐp ph©n tÝch håi qui nhãm c¸c hÖ sè, trong tr êng hîp nµy nã trë nªn ®¬n gi¶n v× nhãm c¸c hÖ sè sè h¹ng tuyÕn tÝnh kh«ng phô thuéc vµo c¸c hÖ sè cßn l¹i. Khi ®ã phÐp ph©n tÝch håi qui ® îc thùc hiÖn nh sau: Tæng b×nh ph ¬ng quan tr¾c ® îc d¹ng hai tæng b×nh ph ¬ng - Tæng b×nh ph ¬ng S012 = 5,3350 liªn quan tíi ph ¬ng tr×nh håi qui (c¸c hÖ sè) vµ tæng b×nh ph ¬ng d SR = 0,2300. VÒ phÇn m×nh cã thÓ tr×nh bµy tæng ®Çu tiªn trong chóng d íi d¹ng 3 tæng b×nh ph ¬ng: 1 N N
,yx iu u
1i
1u
8.74 f1,0 = k S1,0 = ë ®©y S0 lµ yÕu tè hiÖu chØnh (tæng b×nh ph ¬ng liªn quan tíi sè h¹ng tù do b0) i b
k
N
lµ tæng b×nh ph ¬ng liªn quan tíi c¸c sè h¹ng bËc mét vµ
b
y
yxx
S
ij
u
ju
iu
u
0
1j,i
1u
8.75 S2,10 = b0
),1k(k
f 10,2
1 2
8.76
tæng ph ¬ng tr×nh liªn quan tíi c¸c sè h¹ng bËc hai.
Theo c¸c tæng b×nh ph ¬ng ®· cã ta tÝnh ® îc b×nh ph ¬ng trung b×nh tøc lµ tÝnh ® îc
2 = S0: f0;
2 = S1,0: f1,0;
2,10 = S2
2,10: f2,10.
2 = 0,11355: 3 = 0,03785, s2,10
2= 5,05; s1,0
s2 8.77 ph ¬ng sai t ¬ng øng víi 1 bËc tù do: s0 s1,0
Ph ¬ng sai ® îc so s¸nh víi ph ¬ng sai tÝnh s2{y}, ®Æc tr ng cho sai sè thÝ nghiÖm, th«ng th êng lµ cã ® îc hiÖu suÊt gi¸ trÞ t ¬ng ®èi cña nhãm hÖ sè nµo ®ã. VÝ dô nh trong vÝ dô ® îc kh¶o s¸t: S0 = 10,052: 20 = 5,0501, f0= 1; S1,0 = (-0,008) . (-0,1127) + (-0,059) . (- 0,81) + (-0,069). (-0,94) = 0,11355, f1,0 = 3; S2,10 = 0,338 . 10,05 + (-0,055).(-0,044) + (- 0,0125) . (-0,10) + 0,0325 . 0,26 + 0,05 . 7,4405 + 0,068 . 7,7233 + 0,05 . 7,4405 - 5,0501 = 2 = 0,1524:6 = 0,15243, f2,10 = 0,5.3,4 = 6; s0 0,025404. Tõ ®ã khi tÝnh s2{y} = 0,01631, chóng ta nhËn ® îc: F0 = 5,05:0,01631 = 309, F0,05(1;31) = 4,17; F1,0 = 0,7385:0,01631 = 23,2; F0,05 (3;31) = 2,92; F2,10 = 0,025405:0,01631 = 1,56, F0,05 = (6; 31) = 2,42.
Nh vËy chØ cã nhãm c¸c hÖ sè phÇn tuyÕn tÝnh cña ph ¬ng tr×nh cã gi¸ trÞ tøc lµ - 0,059 vµ -0,069 nh ®· x¸c ®Þnh tr íc ®©y
§iÒu ®ã cã nghÜa lµ thay cho ph ¬ng tr×nh thu ® îc, ta cã thÓ kh¶o s¸t ph ¬ng tr×nh yˆ= 0,05 - 0,059x2 - 0,069x3, ë ®©y 0,05 mét lÇn n÷a sè bËc tù do l¹i ® îc tÝnh nh lµ trung b×nh ®¹i sè cña tÊt c¶ 20 kÕt qu¶ quan s¸t.
97
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
TiÕp theo ta cã thÓ kiÓm tra tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng kÕt qu¶ thÝ nghiÖm thËm chÝ víi ph ¬ng tr×nh yˆ= 0,50. Nh ng v× ta ®· râ r»ng sai sè t ¬ng ®èi phô thuéc vµo c¸c nh©n tè X1 vµ X2 cho nªn c¸c hÖ sè kh«ng cã nghÜa khi b×nh ph ¬ng c¸c nh©n tè chØ ra r»ng ma trËn ®· chän (Khi ta lÊy c¸c kho¶n thay ®æi cña c¸c nh©n tè) kh«ng bao gåm c¸c giíi h¹n vïng tèi u, mµ trong ®ã c¸c nh©n tè x1, x2,, x 3 ¶nh h ëng quan träng tíi sai sè t ¬ng ®èi. §Ó íc l îng giíi h¹n c¸c ®iÒu kiÖn tèi u cÇn ph¶i më réng ph¹m vi nghiªn cøu.
VÝ dô 8.7:
X¸c ®Þnh ¶nh h ëng cña c¸c t¹p chÊt chøa trong axit photphoric ®· ® îc t¸c tíi møc ®é ph©n huû (y) axit photphoric vµ ®iÒu kiÖn ®Ó thu ® îc møc ®é ph©n huû tèi u (ymax). C¸c nh©n tè sau ®©y lµm ¶nh huëng ®Õn møc ®é ph©n huû: z1 - nhiÖt ®é cña qu¸ tr×nh, 0C; z2, z 3, z4, z5, - nång ®é axit photphoric øng víi MgO, SO3, Al2O3 vµ F, % ( theo khèi l îng)
Møc gèc, kho¶ng thay ®æi vµ giíi h¹n vïng nghiªn cøu ® îc ghi trong b¶ng 8.14. Vïng thay ®æi c¸c nh©n tè ®éc lËp (xem b¶ng III - 25) øng víi kho¶ng thay ®æi nång ®é t¹p chÊt trong axit ® îc t¸ch trong c«ng nghiÖp. Bëi vËy phÐp ngo¹i suy ngoµi giíi h¹n chØ ra ë b¶ng 8.14 khi x¸c ®Þnh ymax lµ kh«ng cã ý nghÜa. B¶ng 8.17- C¸c ®iÒu kiÖn thùc nghiÖm Nh©n tè Nh©n tè
Møc gèc z0j 1,33 Kho¶ng thay ®æi zj 0,37 z4
Møc gèc z0j 50 2,1 2,0 Kho¶ng thay ®æi zj 20 0,9 1,0 0,75 0,25 Z1 Z2 Z3 z5
Muèn x¸c ®Þnh ph ¬ng tr×nh håi qui chóng ta sö dông ma trËn thùc nghiÖm bËc hai t©m xoay (b¶ng 8.15)
B¶ng 8.18 ThÝ nghiÖm sè Y x1 x 2 x3 x4 x5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -2 +2 0 0 0 0 0 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 0 0 -2 +2 0 0 0 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 -2 +2 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -2 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 34,7 40,0 39,0 39,2 26,6 29,5 30,0 34,5 32,2 41,4 33,7 40,9 23,9 33,3 27,7 35,9 25 33,3 49,2 42,0 17,5 41,0 35,6
98
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
24 25 26 27 28 29 30 31 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 +2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 +2 0 0 0 0 0 0 27,2 39,0 30,0 35,4 36,4 33,2 32,4 37,7 36,9
Sè thÝ nghiÖm ë ma trËn thiÕt kÕ ®èi víi n = 5 b»ng 32. Nh©n cña ma trËn lµ ma trËn rót gän 25-1 víi hÖ thøc ph¸t sinh x5 = x1x2x 3x4. Gi¸ trÞ cña sè h¹ng ®iÓm sao = 2 vµ n0 = 6 ® îc x¸c ®Þnh theo b¶ng III - 24. ChuyÓn tõ c¸c biÕn sè thùc z sang biÕn sè m· ho¸ kh«ng thø nguyªn ® îc cho b»ng c«ng thøc (III, 73).
l¨p = 4,466 cã bËc tù
Qua thÝ nghiÖm ë ma trËn t©m chóng ta x¸c ®Þnh ph ¬ng sai lÆp S2 do f = n0 -1 = 5.
Theo sè liÖu b¶ng III - 27 vµ c«ng thøc (III - 105) - (III - 112) ta tÝnh hÖ sè ph ¬ng tr×nh håi qui bËc hai vµ c¸c ph ¬ng sai cña chóng:
2 bjs
= 0,43 sbj = b0= 34,41 b12 = 0,147
2 bujs
= 0,53 sbuj = b1= 1,07794 b13 = 0,256
2 bjjs
= 0,394 sbjj =
b14 = 1,61 b15 = 0,0534 b23 = 0,736 b24 = - 0,198 b25 = 0,403 b34 = 0,401 b35 = 0,256 b45 = 0,93 b2= - 0,146 b3= 4,5098 b4= -0,542 b5= -1,3 b11= -1,5 b22= 2,66 b33= -1,47 b44= -0,93 b55= - 0,15
Chóng ta kiÓm tra tÝnh cã nghÜa c¸c hÖ sè håi qui theo chuÈn t [xem (III - 27)] t 12 = 0,147/0,53 = 0,278
t1 = 1,07/0,43 = 2,48 t2 = 0,146/0,43 = 0,44 t3 = 4,51/0,43 = 10,4 t5 = 1,3/0,43 = 3,02 t11 = 1,5/0,394 = 3,82 t22= 2,66/0,394 = 6,75 t33= 1,47/0,394 = 3,37 t44= 0,93/0,394= 2,36 t55= 0,15/0,394 = 0,38 t13 = 0,256/0,53 = 0,483 t14 = 1,61/0,53 = 3,04 t15 = 0,0534/0,53 = 0,1 t23 = 0,736/0,53 = 0,1375 t24 = 0,198/0,53 = 0,374 t25 = 0,403/0,53 = 0,762 t34 = 0,401/0,53 = 0,758 t45 = 0,93/0,53 = 1,75
yˆ= 36,2 + 4,51x3 - 1,3x5 - 1,45x1
2 + 2,82x2
2 - 1,53x3
2 + 1,61x1x 4
Gi¸ trÞ chuÈn t tra b¶ng ®èi víi møc gi¸ trÞ p = 0,05 vµ sè bËc tù do f = 5 ® îc tp (f) = 2,57. Sau khi lo¹i bæ c¸c hÖ sè kh«ng cã nghÜa mµ ®èi víi nã tû lÖ nhá h¬n t tra b¶ng, chóng ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh håi qui d íi d¹ng m· ho¸ kh«ng thø nguyªn: 8.78
KiÓm tra tÝnh phï hîp cña ph ¬ng tr×nh håi qui t×m ® îc theo chuÈn F chØ ra r»ng nã m« t¶ thÝ nghiÖm mét c¸ch kh«ng phï hîp:
99
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
lÆp = 4,466
sai sè = 15,35
s2 ; s2 ; Ft = 3,43 < Fb = 0,05 (25,5) = 4,5
Ph ¬ng tr×nh nµy cho phÐp tÝnh møc ph©n huû nguyªn liÖu ®· cho ë c¸c nhiÖt ®é kh¸c nhau phô thuéc vµo nång ®é t¹p chÊt thay ®æi trong axit. Muèn x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn thu ® îc møc ph©n huû tèi ®a ymax, ta coi gi¸ trÞ c¸c biÕn mµ ¶nh h ëng cña nã ®· biÕt râ qua ph ¬ng tr×nh håi qui lµ kh«ng ®æi (h»ng sè): x2 = +2, x5 = -2.
yˆ = 52,12 - 1,5x1
2 + 1,61x1x4
¶nh h ëng nång ®é t¹p chÊt SO3 tíi axit photphoric ® îc tr×nh bµy ë ph ¬ng tr×nh b»ng sè h¹ng bËc hai ©m vµ s«a h¹ng tuyÕn tÝnh d ¬ng. Hµm l îng tèi ®a t¹p chÊt nµy b»ng 1,533% ® îc x¸c qua gi¸ trÞ cùc trÞ y theo x3. ë c¸c gi¸ trÞ nµy cña c¸c nh©n tè x2, x3, vµ x5 ph ¬ng tr×nh håi qui cã d¹ng: 8.79
2
yˆ= 52,12 = 0,35X1
2 - 1,85X4
§Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ nhiÖt ®é (x1) vµ nång ®é t¹p chÊt Al2O3 (x4) tèi u, ph ¬ng tr×nh trªn cã d¹ng chÝnh t¾c nh sau: 8.80
ë ®©y 52,12 lµ møc ®é ph©n huû ë t©m bÒ mÆt S.
MÆt môc tiªu lµ parab«l«it hipeb«lic. ë mÆt c¾t bÒ mÆt môc tiªu b»ng mÆt ph¼ng y = const lµ hipeb«n (h×nh III - 8) ë t©m cã cùc ®¹i - cùc tiÓu. C«ng thøc chuyÓn tõ X ®Õn x42
8.81 x1 = (X1 + x1s) cos - (X4 + x4s) sin
8.82 x4 = (X1 + x1s) sin + (X4 + x4s) cos
48%
50%
x4
53%
53%
54%
54%
S(52,12%)
x1
- x1
- x4
8.83 tg 2= b14/ (b11 - b44)
H×nh 8.2- Møc ®é ph©n huû cña axit photphoric phô thuéc vµo nhiÖt ®é vµ hµm l îng Al2O3.
100
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
VÝ dô 8.8: Tèi u ho¸ qu¸ tr×nh ®iÒu chÕ c¸c vi h¹t b»ng ph ¬ng ph¸p t¸n nhá dung dÞch gelatin ®ãng r¾n khi bÞ lµm l¹nh trong dßng dÇu Vad¬lin. Chän biÕn sè ®éc lËp gåm cã: 1/ ¸p suÊt lªn dung dÞch gelatin, kg/cm2 - X1; 2/ tèc ®é dßng dÇu ch¶y mg/gi©y - X2; 3/ ® êng kÝnh lç l íi, mm - X3 vµ 4/ gãc c¾t lç, ®é - X4.
Nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña thùc nghiÖm ghi ë b¶ng 8.16. LÊy l îng h¹t cã ® êng kÝnh cÇn thiÕt lµm hµm môc tiªu y.
B¶ng 8.19- C¸c ®iÒu kiÖn thÝ nghiÖm khi t×m ®iÒu kiÖn tèi u ®iÒu chÕ h¹t
X1 0,35 0,15 X3 0,9 0,3 X4 10 5 X2 16 4 ai ci
§Çu tiªn ta tiÕn hµnh m« h×nh ho¸ thùc nghiÖm bËc mét ®Çy ®ñ (b¶ng 8.17)
yˆ
ThÝ nghiÖm sè B¶ng 8.20- Ma trËn vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm y x3 x1 x 4 x2
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 + + + + - - - - + + + - - - + - + + + - + - + + - - + - - + - - + + - + + + - + - + - - + - - - + - + + + + + - + - - + - - - - 88,42 88,47 62,04 89,87 44,80 51,86 25,00 56,66 66,00 84,00 71,94 38,83 52,85 57,55 81,52 69,30 91,22 85,50 57,24 93,26 46,78 48,82 26,24 55,10 69,00 87,54 71,88 38,00 57,14 54,92 84,64 88,68
KÕt qu¶ thùc nghiÖm theo ma trËn, sè phÇn tr¨m h¹t cã ® êng kÝnh cÇn thiÕt t ¬ng ®èi cao (85 - 90) nªn cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng c¸c thÝ nghiÖm ® îc lÊy c¸ch ®Ønh tèi u kh«ng xa. Bëi vËy nh»m môc ®Ých tiÕt kiÖm thÝ nghiÖm ta cã thÓ bæ sung c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm b»ng nh÷ng thÝ nghiÖm ë c¸c ®iÓm sao vµ ë ®iÓm t©m (b¶ng 8.18); ®ång thêi sö dông ma trËn bËc hai t©m xoay, kh«ng thùc hiÖn t¨ng theo ® êng dèc nhÊt, vµ nhê cã ph ¬ng tr×nh bËc hai ta ph¸t hiÖn ® îc ®iÒu kiÖn tèi u.
B¶ng 8.21. C¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ë c¸c ®iÓm sao vµ ë ®iÓm t©m
yˆ 95,26 33,86 57,66 71,46
ThÝ nghiÖm sè 17 18 19 20 x1 +2 -2 0 0 x2 0 0 +2 -2 x3 0 0 0 0 x4 0 0 0 0 y 97,91 31,50 54,21 75,90
12 22 0 0 0 0 +2 -2 0 0 80,40 49,40 76,78 52,34
101
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
23 24 0 0 0 0 +2 -2 54,70 75,90 53,08 76,04 0 0
25 26 0 0 0 0 0 0 62,64 67,24 64,56 64,56 0 0
27 28 0 0 0 0 0 0 62,77 67,30 64,56 64,56 0 0
29 30 0 0 0 0 0 0 62,60 62,57 64,56 64,56 0 0
uy = 2001,3;
yx1 = 368,31;
yx 2 = - 82,73;
yx 3 = 146,75;
1u
31 0 0 0 67,16 64,56 0
yxx 3
2 = 38,99;
yxx 4
1 = 56,27; yxx 4 2 = 1549,6; yx 2
1 = 53,8; yxx 3 1 = 1546,8; yx 2
2
= 18,31;
yxx 21 3 = 81,37; yx 2
yxx 4 yx 2
4 = 1551,5; u iu yx
= 6193,12. Muèn tÝnh c¸c hÖ sè cña ph ¬ng tr×nh håi qui, tr íc tiªn ta tÝnh c¸c tæng: N yx 4 = - 137,9; 2 = - 14,25; 3 = 1548,3;
PhÐp tÝnh c¸c hÖ sè håi qui vµ ph ¬ng sai cña chóng ® îc thùc hiÖn theo c¸c c«ng thøc (8.46 vµ 8.47): víi A = 24, B = 16, C = 6 . 16 . 31 - 4 . 242 = 672; ta tÝnh ® îc b1 = 368,31 : 24 = 15,35; b2 = -3,45, b3 = 6,11, b4 = -5,74, b12 = 18,31 : 16 = 1,144.
60%
40%
T ¬ng tù ta tÝnh ® îc b13 = 3,36; b14 = 3,51; b23 = 2,44; b24 = -0,89; b34 = 5,09; b0 = [16 . (4 +2) . 2001,3 - 24 . 6196,12] : 672 = 64,61; b 11 = 1546,8 : (2 .16) + [(242 - 16 .31) . 6196,1 - 2.24 . 16 . 2001,3] : (2 . 16 . 672) = - 0,86.
100%
X3 mm
Y
1,2
0,9
0,6
0,3
0,05
0,20
X1 kg/cm2
0,35
0,50
¸p suÊt lªn dung dÞch gelatin. 80%
H×nh 8.3- § êng hiÖu suÊt b»ng nhau cña h¹t (x2 = x4 = 0). y - l îng h¹t tÝnh theo phÇn tr¨m.
102
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Tõ 7 kÕt qu¶ thùc nghiÖp lÆp ë ®iÓm t©m ta tÝnh ®ùoc: SlÆp = 36,963, fE = 6, vËy s2{y} = SE : fE = 36,963 : 6 = 6,1605.
TÝnh ph ¬ng sai cña c¸c hÖ sè b»ng s2{b0} = [16 . (4+2) . 6,1605] : 672 = 0,8801; s2{bi}= 6,1605: 24 = 0,2567; s2{bÞj} = 6,1605 : 16 = 0,3850; s2{bii}= 6,1605. (5 .16 . 31 - 242 . 3) : (2 . 16 . 672 ) = 0,2154; s{b0} = 0,9382; s{bi} = 0,5067; s{bÞj} = 0,6305; s{bii}= 0,4641.
uyˆ tÝnh theo ph ¬ng tr×nh nµy ® îc ® a vµo cét cuèi cïng b¶ng 8.19 vµ b¶ng 8.18.
TiÕp theo ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè theo chuÈn t nÕu tÝnh t = b: s{b} vµ so s¸nh víi t0,05 (6) tra b¶ng. C¸c hÖ sè 1,14; - 0,89; - 0,086; 0,001; -0,039; 0,060 kh«ng cã nghÜa . Chóng ta nhËn thÊy r»ng ma trËn t©m xoay kh«ng ph¶i lµ trùc giao: c¸c hÖ sè b0 vµ bii cã liªn quan víi nhau. Bëi vËy, ®¸nh gi¸ tÝnh cã nghÜa cña c¸c hÖ sè b0vµ bii theo chuÈn t nãi mét c¸ch nghiªm tóc kh«ng ph¶i lµ ®óng ®¾n. Thay cho viÖc ®¸nh gi¸ nh vËy cã thÓ ¸p dông phÐp ph©n tÝch håi qui nhãm hÖ sè. Nh ng cã thÓ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò theo c¸ch kh¸c: v× c¸c hÖ sè bii lµ bÐ, nªn cã thÓ kiÓm tra ph ¬ng tr×nh kh«ng cÇn cã c¸c hÖ sè nµy (phÇn ®ãng gãp cña 2 vµo sù thay ®æi y lµ rÊt nhá). §ång thêi hÖ sè b 0 ® îc tÝnh l¹i theo c«ng thøc b0 = tÊt c¶ biixi (yu) : N, v× nã liªn quan víi bii. Chóng ta thu ® îc ph ¬ng tr×nh: yˆ= 64,56 + 15,35x1 - 3,45x2 + 6,11x3 - 5,74x4 + 3,36x1x 3 + 3,51 x1x4 + 2,43x2x3 + 5,09x3x4. 8.85
C¸c gi¸ trÞ Theo c¸c c«ng thøc (8.73) vµ (8.75): S012 = 64,56 . 2001,3 + 15,35 . 368,31 - 3,45 . (- 82,73) + 6,11 . 146,75 - 5,74 . (-137,9) + 3,36 . 53,8 + 3,51 . 56,27 + 2,43. 38,99 + 5,09 . 81,37 = 137718,3.
SR = 137932 - 137718,3 = 213,7; S = 213,7 - 36,96 = 176,7; f = 31 - 9 - (7-1) = 16 F = ( S : f) : s2{y}= (176,7 : 16) : 6,1605 = 1,79.
F = 1,79 tÝnh ® îc nhá h¬n F0,05(16,6) = 3,92 tra b¶ng, nh thÕ lµ ph ¬ng tr×nh phï hîp víi kÕt qu¶ thÝ nghiÖm. §Ó cã kh¸i niÖm râ rµng vÒ mÉu thu ® îc ta dùng mÆt c¾t mÆt môc tiªu d íi d¹ng ® êng hiÖu suÊt b»ng nhau ®èi víi c¸c cÆp nh©n tè kh¸c nhau trong khi cè ®Þnh hai nh©n tè kh¸c ë møc ®· chän theo lý do nµo ®ã - vÝ dô nh khi x2 = x4 = 0 chóng ta sÏ nhËn ® îc yˆ= 64,56 + 15,35x1 + 6,11x3 + 3,36x1x 3, tiÕp theo b»ng vÝ dô ®· nªu trªn ta dùng nh÷ng ® êng cong hiÖu suÊt b»ng nhau (h×nh 8.3)
M« h×nh thu ® îc chØ râ r»ng viÖc t¨ng ¸p suÊt x1 vµ ® êng kÝnh cña l íi x3 cho phÐp tèi u ho¸ qu¸ tr×nh. C¸c mÆt c¾t kh¸c cho phÐp thu ® îc th«ng tin chi tiÕt h¬n vÒ qu¸ tr×nh ph¶n øng trong vïng nghiªn cøu.
103
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
104
Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
B¶ng 8.4- Ma trËn thùc nghiÖm bËc hai t©m trùc giao 4 nh©n tè. x2 x1' x0 x1 x3 x4 x2' x3' x4' x1x2 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4 x3x4 y
ThÝ nghiÖ m sè 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 0 0 0 0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 0 +1,414 -1,414 0 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 1,2 1,2 -0,8 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 0 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 0 0 0 0 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 0 0 0 0 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 0 0 0 0 86,9 40,0 66,0 34,4 76,8 55,7 91,0 47,6 74,1 52,0 74,5 29,6 94,8 49,6 68,6 51,8 61,8 95,4 41,7 70,0
21 22 23 24 25 +1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 0 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 0 0 0 +1,41 4 -1,414 0 0 0 0 0 +1,414 -1,414 0 0 0 0 0 +1,414 -1,414 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 1,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 1,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 42,4 77,6 58,0 45,6 52,3
67
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
![Bài tập Toán cao cấp (HP1) [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260127/hoahongcam0906/135x160/69221769507713.jpg)
![Đề thi Toán cao cấp 2 năm 2023 (ĐHCQ) - [Kèm đáp án/Giải chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260127/hoahongcam0906/135x160/68291769498962.jpg)
