Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
Cơ học kỹ thuật: TĨNH HỌC
Engineering Mechanics: STATICS
Chương
3
Cân bằng của vật rắn và hệ vật rắn
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-2-
Nội dung
3.0 Điều kiện cân bằng của vật rắn
3.1 Cân bằng của vật rắn phẳng
1. Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng 2. Các loại liên kết / Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Phần tử hai lực và phần tử ba lực 4. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng 5. Tính xác định tĩnh
3.2 Cân bằng của vật rắn không gian
1. Điều kiện cân bằng và phương tình cân bằng 2. Các loại liên kết / Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Các ví dụ
3.3 Phân tích hệ thanh
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-3-
Điều kiện cân bằng tổng quát cho vật rắn
Vật rắn tự do cân bằng hệ lực tác dụng lên vật là hệ lực cân bằng.
C1
z
Cj
,...,
,...,
0
F2
, F F ( 1 2
F C , n
1
C ) m
F3
F1
,...,
C
,...,
)
)
0
, F F ( 1 2
F C , n
1
m
R M ( , O
O
F4
O
y
x
)
C
0,
O
R O M
O
F 0, k m F ( O k
j
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
1
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-4-
CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG 1. Điều kiện cân bằng và PTCB 2. Các loại liên kết / Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Phần tử hai lực và phần tử ba lực 4. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng 5. Tính xác định tĩnh
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-5-
Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng của hệ lực phẳng
y
F2
)
C
O
R O M
0,
0 F k m F ( O k
O
j
F3
Cj
Dạng 1.
F1
0, 0,
(1) (2)
F4
O
)
C
0
(3)
F kx F ky m F ( O k
j
x
Dạng 2.
0,
(1)
)
C
0
(1)
j
)
C
0
(2)
)
C
0
(2)
j
j
C
)
0
(3)
)
(3)
C
0
Dạng 3. m F ( A k m F ( B k m F ( C k
j
F kx m F ( k A m F ( B k j ( khong AB) x
(A, B, C khong thang hang)
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-6-
Phương trình cân bằng của hệ lực phẳng
y
Cj
0,
Dạng hệ lực Hình vẽ Các PT cân bằng Số PT CB
F1
F3
0,
3
F2
F kx F ky M
C
0,
O
j
O
x
y
0,
Hệ lực phẳng tổng quát
F3
2
F1
0,
F kx F ky
O
x
Hệ lực phẳng đồng qui
F2
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
2
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-7-
Phương trình cân bằng của hệ lực phẳng
y
C1
C3
Dạng hệ lực Hình vẽ Các PT cân bằng Số PT CB
0
kC
C2
O
x
y
0
Hệ ngẫu lực phẳng 1
2
F2
F3
F ky M
0
O
Hệ lực song song y
F1
O
x
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-8-
Các loại liên kết phẳng / Giải phóng liên kết
N1 F N2 Dây (lk một phía) N2 N1 F
Tựa trơn nhẵn (lk một phía) Tựa trơn nhẵn (lk một phía)
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-9-
F F or F Con lăn trong rãnh (lk hai phía) Con lăn (gối di động), (lk một phía)
Các loại liên kết phẳng / Giải phóng liên kết
Fy
F
or
or Fx F
F
y
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Bản lề (gối cố định) Nối bản lề với con trượt (tựa 2 phía) F M Fx o r F F F ngàm F Iên kết thanh M
3
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-10-
Ổ đỡ ngắn (như tựa 2 phía)
Ổ đỡ dài (như ngàm trượt)
P N1 N2
N N2 P P
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-11-
N1 M
Các loại liên kết / Giải phóng liên kết
Ví dụ. Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết cho dầm đồng chất khối lượng 100 kg chịu liên kết ngàm tại đầu A.
2 m
2 m
1200 N
1200 N
Ay
200 N
200 N
Ax
A
3 m
MA
6 m
981 N
(b)
(a)
Fig. 3-9
Lời giải - Vẽ tách dầm khỏi ngàm - Vẽ các lực đã cho - Vẽ các lực/ ngẫu lực thay thế cho liên kết: Ax, Ay, MA (hoặc XA, YA, MA).
Độ lớn chưa biết, còn chiều được giả định.
- Trọng lượng W đặt tại giữa dầm. - Sơ đồ giải phóng liên kết được vẽ ra như trên hình.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-12-
Ví dụ. Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết cho tấm tam giác đồng chất khối lượng 250 kg chịu liên kết bản lề tại A và con lăn tại C như trên hình.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
4
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-13-
Ví dụ : xác định phản lực liên kết
600 N
200 N
0.2 m
Dầm có liên kết và chịu tải như hình vẽ. Xác định lực liên kết tại A và B. Bỏ qua trọng lượng của dầm.
45o
A
B
D
2 m
3 m
2 m
Sơ đồ giải phóng liên kết
100 N
Gối di động A: 01 thành phần lực Ay
F1, 600 N
F3, 200 N
0.2 m
Gối cố định B (bản lề cố định): 02 thành phần lực: Bx, By
45o
Bx
A
B
D
2 m
3 m
2 m
By
Ay
)
,
,
,
0
Hệ lực cân bằng F F F A B B ( , , y
2
1
3
y
x
F2, 100 N
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-14-
Ví dụ : xác định phản lực liên kết
600 N
200 N
Các phương trình cân bằng
0.2 m
45o
Bx
A
B
D
2 m
3 m
2 m
By
Ay
100 N
0 :
o 600 cos 45
0
B x o 600 sin 45
0 :
200
0
B y
F x F y M
A y 0 : 100 2
100 o 600 sin 45
o 600 cos 45
0.2
0
5
7
B
A y
Giải hệ nhận được
319 N,
424 N,
405 N
A y
B x
B y
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-15-
Ví dụ : xác định phản lực liên kết
D
Dầm AB được giữ ngang nhờ gối A và dây CD. Xác định lực liên kết tại A và lực căng dây
C
B
Sơ đồ giải phóng liên kết
A
a
b
Dây DC: 01 thành phần lực TCD
P
D
Gối cố định A (bản lề cố định): 02 thành phần lực: XA, YA
TCD
YA
C
B
)
,
,
0
Hệ lực cân bằng P T X Y ( ,
A
CD
A
A
XA
a
b
P
PT cân bằng
T
X
sin
0,
CD
T
P
CD
P Y , A
b a
cos
P
0
CD
X
P
tan ,
aT
cos
a (
b P )
0
A
A )
F kx A Y T F ky m F ( A k
CD
) ( b a cos a b a ( ) a
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
5
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-16-
Ví dụ : xác định lực tác dụng để hệ cân bằng
,
P r h
Xác định độ lớn lực Q cần tác dụng để giữ hệ , , cân bằng. Cho biết
Q
r h O
Sơ đồ giải phóng liên kết
)
,
,
0
Q P r h
Hệ lực cân bằng , P G Q X Y ( ,
O
O
YO O XO
PT cân bằng
)
hQ
rP
0
km F (
O
P
Q
G
cos r cos
h
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-17-
P
Ví dụ : xác định vị trí cân bằng
A
2a
O
2b
Xác định vị trí cân bằng của hệ (góc lệch ). Cho biết: tấm chữ nhật cạnh 2a, 2b trọng lượng P. Vật treo trọng lượng Q.
B
G
D
Sơ đồ giải phóng liên kết
C
a)
YO
A
2a
O
)
,
0
Hệ lực cân bằng P Q X Y ( , , O
O
XO
2b
B
G
D
Pb
sin
Q a
0
2 sin ] b
P
C
b)
Qa
cos
[ cos 0
PT cân bằng km F ( ) O ( Q b P 2 ) sin
tan
...
Q
P (
Q b 2 )
Qa
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-18-
Ví dụ: Bài toán vật lật
2F
1F
Cần xác định khả năng vật lật quanh điểm nào, chiều lật, từ đó tính mô men gây lật và mô men chống lật:
nF
M M
cl
gl
AN
BN B
Ví dụ: cho P và F, xác định khoảng cách a để hệ không bị lật.
AX
0
BN
A F
/ 2,
M Pa
M Fh
cl
gl
Pa
/ 2
Fh
M M
cl
gl
h P
Fh P 2 /
a
B A
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
a
6
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-19-
Cân bằng hệ vật rắn phẳng
Phương pháp tách vật
Từng vật thuộc hệ cân bằng
Hệ vật rắn cân bằng
Phương pháp hóa rắn
Từng nhóm vật cân bằng
Tiên đề tác dụng và phản tác dụng (action = reaction)
F
P
5
F
3
IV
P
4
V
6
III
II
1
I
B
B
A
2
A
Hệ vật rắn phẳng cân bằng
Sơ đồ tách vật
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-20-
Cân bằng hệ vật rắn phẳng
B
phương pháp tách vật
P
By By
Q
A
C
Bx Bx P Q
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-21-
A C Ax Cx phương pháp hóa rắn + tách vật Ay Cy B Bx P P Q By Ax A A A C C Ax Chú ý: tiên đề tác dụng và phản tác dụng (action = reaction) Cx Ay Ay Cy
Cân bằng hệ vật rắn phẳng
S
1m
By
F
B
D
C
F 2m 2m B C D
Bx
K
K
P
2m B Bx P N By 2m N B F C D A Ay S K Ax MA P A N Ay
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Ax MA A
7
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-22-
Phần tử hai lực và phần tử ba lực
Phần tử hai lực
B A F3 F4 FB=-FA FA B FB=-FA FA A B FB B FA F1 A FB=-FA F5 F2
Phần tử ba lực
A FA A B FA
F1
FB=-FA
F2
F2
F1
O
F3
F3
Ba lực đồng qui
Ba lực song song
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-23-
Phần tử hai lực và phần tử ba lực
Ví dụ. Xác định lực liên kết tại các bản lề A, B, D. Bỏ qua trọng lượng các vật.
P, 400 N C (a)
Phân tích chỉ rõ BD là khâu hai lực.
0.2m 0.5 m
FB
(b)
B
45o
D
B 0.2m D A 0.5 m P, 400 N O C 45o 0.1m 0.5 m
FD
F D
F B
Phân tích chỉ rõ ABC là khâu ba lực.
)
0
P F F ( , , B
A
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-24-
B FB FA A (c) 0.1m
Phần tử hai lực và phần tử ba lực
Phân tích chỉ rõ ABC là khâu ba lực. Đó là hệ 3 lực đồng qui.
)
0
P F F ( , , B
A
0.5 m P, 400 N O
P
C 45o 0.5 m 45o
FA
HD tính toán
FB
tan
0.7 / 0.4
45
60.3
P sin
F A sin 45
sin(180
45
)
F B
1.07
kN F ,
1.32
kN
.
F F ,A B
AF
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
B FB 0.2 m FA A (c) 0.1m
8
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-25-
Lưu ý: Bài toán này hoàn toàn giải được bằng phương pháp tách vật, tổng cộng có 6 phương trình cho 6 ẩn.
BY
BX
BX
DY
AY
BY
AX
X
X
X
F A
A
Y F , B A
B
Y F , D B
D
Y D
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-26-
400 N 400 N C C 0.5 m 0.2m 0.5 m B B 0.2m B DX D A D A 0.1m (a) 0.1m (b) (c)
Tính xác định tĩnh
(3pt, 5 ẩn)
Hệ xác định tĩnh Hệ không xác định tĩnh (do nhiều liên kết hơn cần thiết, = siêu tĩnh) 1200 N
(3pt, 4 ẩn)
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-27-
1200 N Cy Ay A 1200 N By Ax C A B MA 1200 N 3 m A B 1200 N Cy Ay 981 N 1200 N By B Ax C A 981 N 3 m (3pt, 3 ẩn)
Tính xác định tĩnh
Hệ không xác định tĩnh do bố trí liên kết.
O
A
B A 200 N 100 N
0,
)
0
0
F ky
B m F ( O k
kxF
C
100 N
B A O
)
0
km F ( O
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
C
9
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-28-
CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN KHÔNG GIAN 1. Điều kiện cân bằng và PTCB 2. Các loại liên kết không gian/ Sơ đồ giải
phóng liên kết
3. Trình tự giải và ví dụ
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-29-
Phương trình cân bằng của hệ lực không gian C
,...,
0
)
)
,...,
z
Cj
R M ( , O
m
O
1
F2
F3
)
0,
O
C
, F F ( 1 2 R O M
F C , n F 0, k m F ( O k
O
j
F1
Hệ lực không gian tổng quát (6 pt, tối đa 6 ẩn)
F4
O
0,
0,
y
x
F kx M
0,
F ky M
0,
F kz M
0, 0
Ox
Oy
Oz
0
Hệ lực không gian đồng qui (3pt)
F kx
F ky
F kz
0
M
M
M
Hệ lực ngẫu lực không gian (3pt)
Ox
Oz
Oy
Tất cả các lực song song trục z (3pt)
M
M
0
F kz
Ox
Oy
Tất cả các lực cắt trục y (5pt)
M
M
0
F kx
F ky
F kz
Oz
Ox
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-30-
Phương trình cân bằng của hệ lực không gian
0,
z
F ky
Dạng hệ lực Hình vẽ Các PT cân bằng Số PT CB
Cj
0, 0
F3
F kx F kz M
0,
Hệ lực tổng quát 6
F1
F2
Ox
O
Oy
y
x
M M
0, 0
Oz
z
F3
0, 0,
3
F1
O
0
F kx F ky F kz
y
Hệ lực đồng qui
F2
x
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
10
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-31-
Phương trình cân bằng của hệ lực không gian
z
Dạng hệ lực Hình vẽ Các PT cân bằng Số PT CB
C3
Ox
Hệ ngẫu lực
C4
M M
0, 0,
Oy
3
C1
C2
O
M
0
Oz
y
x
z
0
F3
F kz M
0,
Ox
3
F1
M
0,
O
Oy
y
Hệ lực song song
F2
x
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-32-
Phương trình cân bằng của hệ lực không gian
z
0,
F ky
Dạng hệ lực Hình vẽ Các PT cân bằng Số PT CB
F3
F2
0, 0
5
F1
Ox
O
y
F kx F kz M M
0, 0
Oz
x
Lưu ý: số ẩn tối đa không được lớn hơn số phương trình cân bằng.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-33-
Tất cả các lực cắt trục y
Các loại liên kết không gian
Dạng liên kết
Lực liên kết
1. Dây căng T
2. Tựa trơn nhẵn
Số ẩn, hướng của lực liên kết, chuyển động bị hạn chế Một ẩn. Lực căng dây nằm dọc dây, hướng ra ngoài vật, đã biết phương chiều của phản lực liên kết. Chỉ dịch chuyển theo phương làm căng dây bị hạn chế. Một ẩn. Phản lực liên kết vuông góc mặt tựa – hướng vào vật, đã biết phương chiều. Chỉ dịch chuyển theo phương vuông góc mặt tựa bị hạn chế.
Một ẩn. Phản lực liên kết vuông góc mặt tựa – hướng vào vật, đã biết phương chiều. Chỉ dịch chuyển theo phương vuông góc mặt tựa bị hạn chế.
N 3. Con lăn
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
N
11
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-34-
Các loại liên kết không gian
4. Bản lề cầu (cối)
Z Ba ẩn. Phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau. Ba dịch chuyển quay không bị hạn chế. Y X
Z
Z
Y
X
Y
X
5. Bản lề trụ dài Z Mz
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-35-
X Bốn ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Dịch chuyển dọc trục y và quay quanh trục y không bị hạn chế. Mx
Các loại liên kết không gian
6. Rãnh trượt dài chữ nhật Z Mz
X My 7. Ổ đỡ dài chặn
Z
Mz
X
Y
Mx
Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực và 3 thành phần mô men. Cho phép vật dịch chuyển dọc trục y. Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Cho phép vật quay quanh trục y. Liên kết dọc trục y là liên kết một phía. 8. Bản lề trụ ngắn kép
Z
Mz
Năm ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 2 thành phần mô men. Cho phép vật quay quanh trục y.
Y
X
Mx
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-36-
Các loại liên kết không gian
9. Bản lề trụ ngắn (ổ đỡ ngắn)
Y X Hai ẩn. Phản lực liên kết gồm 2 thành phần lực. Dịch chuyển dọc trục z và quay quanh trục ba trục không bị hạn chế do chiều dài ổ không đáng kể.
10. Ngàm không gian
Z
Mz
Y
Sáu ẩn. Phản lực liên kết gồm 3 thành phần lực và 3 thành phần mô men. Vật thể không có khả năng di chuyển.
My
X
Mx
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
12
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-37-
Trình tự giải
Đưa vào hệ trục tọa độ Vẽ sơ đồ giải phóng liên kết. Cần nắm rõ các loại liên kết. Nếu liên kết cản trở dịch chuyển của vật theo hướng nào
đó xác định, phản lực liên kết sẽ có hướng ngược lại.
Nếu dịch chuyển xoay quanh một trục bị cản trở, sẽ có
phản ngẫu lực quanh trục đó.
Liệt kê hệ lực tác dụng lên vật (tất cả các lực, kể cả lực
liên kết).
Viết các phương trình cân bằng. Nếu số phản lực liên kết nhiều hơn số phương trình cân
bằng, bài toán là không xác định tĩnh.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-38-
Ví dụ
Hãy xác định ứng lực trong các thanh và chỉ rõ thanh chịu kéo hay nén.
)
,
0
P S S S ( , , 2
1
3
S
cos 45 sin 45
S 2 S
cos 45 sin 45
0 S
sin 45
0
1 S
P
2,
S
3
3
1 P S
cos 45
0
2
3
F kx F ky F kz
S
S
P
2.
1
2
1 2
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-39-
z z S2 B B y K y K O O A A S1 P S3 x x P C C
Ví dụ
z
D
Tấm tam giác vuông trọng lượng không đáng kể được giữ ngang nhờ hai con lăn B, C và dây đứng AD. Hãy xác định phản lực tại B, C và lực căng dây. Hướng dẫn
2 m
1 m
2 m
A
)
,
,
,
,
0
F F T N N (
B
C
1
2
2 m
C
N
N
0
y
T F2, 300 N F1, 400 N // z NC
T F F 1 2 0
F 2
x
)
0
B 3 N 2
C 2 C 4 N
F kz m F ( ) x k m F ( y k
B
F 1
..
C
N N
F 2 / 2
/ 3 ..
N
..
F N
C
B
2 F 1 B T F 1
2
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
NB B
13
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-40-
Ví dụ
a z ZA A b ZB c XA B M
Hãy xác định mô men M để giữ hệ cân bằng, sau đó xác định phản lực tại hai ổ đỡ A và B. Cho biết trọng lượng Q, và các kích thước a,b,c, và r. Bỏ qua trọng lượng trục tời. x Hướng dẫn
,
,
,
)
0
Q M X Z X Z ( , , A
A
B
B
C y C r XB R
X
X
0
A
B
Z
Z
Q
0
M Qr
A a (
a Q
0
B b Z )
0,
0
X
X
B
A
)
r Q M
0
,
Z
Z
B
A
)
0
B b X )
( a
aQ b a
bQ b a
F kx F kz ( m F ) k x m F ( y k m F ( z k
B
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-41-
Q
Ví dụ
Tấm chữ nhật cạnh a và b, có trọng lượng P được giữ ngang bởi bản lề cầu A, bản lề trụ ngắn B và dây DE. Lực F thẳng đứng tác dụng tại C. Xác định các lực liên kết tại A, B và lực căng dây DE. HD
)
,
,
,
,
,
0
P F X Y Z X Y T , ( , A
A
A
B
B
X
X
T
sin sin
0
T
T
B sin cos
0
A Y T
y
sin sin , sin cos , cos
z
A Z
Z
0
cos T
T x T T T T
P F 0
A a Z
B
T
..,
Z
..
)
1 a P a F 2 b P b T
cos
0
b F
B
A
)
0
a X
b T
B sin cos
1 2
.., ..,
B X Z
.. ..
F kx F ky F kz ( m F ) k x m F ( k y m F ( z k
B
X Y A
A
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-42-
E ZB T B ZA z a YA y b XB C A F XA P D x
HỆ THANH 1. Mở đầu và Các giả thiết 2. Tính xác định tĩnh của hệ thanh 3. Xây dựng hệ thanh tĩnh định 4. Phương pháp cân bằng nút 5. Các thanh không chịu lực 6. Phương pháp mặt cắt
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
14
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-43-
Mở đầu
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-44-
Mở đầu
C
4
8
D
B
5
11
7
1
9
3
E
10
A
6
2
G
F
Các phần tử thanh: 1,2, ..., 11
Các nút: A, B, ..., G
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-45-
Các giả thiết
1. Các phần tử thanh được nối với nhau bằng các bản lề trơn tại hai đầu thanh. Trường hợp các thanh được nối với nhau bằng bu lông hoặc hàn cứng mà trục của các thanh tại cùng mối nối đồng qui thì ta cũng thay thế gần đúng bằng các khớp nối bản lề trơn. Các khớp nối bản lề trơn này được gọi là các nút
2. Các tải trọng chỉ đặt vào các nút, nơi các thanh gặp nhau. Nếu kể đến
trọng lượng phần tử thì ta chia tải trọng về hai đầu thanh.
Đây là sự lý tưởng hóa bài toán để nó giải được bằng những phương pháp đơn giản.
T
T
Hệ thanh không trọng lượng nối với nhau bằng các bản lề trơn.
(a) chịu kéo
C
C
(b) Chịu nén
Khi đó các phần tử thanh sẽ là những phần tử hai lực (thanh chỉ chịu lực dọc – kéo hoặc nén)
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
15
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-46-
Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh
• Để xác định lực trong mỗi thanh, ta có thể vẽ sơ đồ giải phóng liên kết cho các nút của hệ thanh.
• Hệ lực cho mỗi nút
là hệ lực đồng qui, do đó ta viết được 2 PTCB cho mỗi nút của giàn phẳng.
• VD hệ bên có 7 nút, do đó có 7·2 = 14 PTCB cho 14 ẩn (gồm 11 lực thanh và 3 lực tại các gối đỡ).
Một giàn được gọi là xác định tĩnh nếu tất cả các lực thanh và lực gối đỡ có thể được xác định từ các điều kiện cân bằng.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-47-
Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh
Hệ thanh không xác định tĩnh
Hệ thanh xác định tĩnh
B B B P P A A A P C C C
D Thừa liên kết trong (extra member) D D B P B A Thừa liên kết ngoài (extra support) P C A C
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-48-
D D Hệ sẽ sụp đổ khi tác dụng lực
Hệ thanh xác định tĩnh và không xác định tĩnh
Phương pháp xây dựng hệ thanh xác định tĩnh
1. Xây dựng hệ thanh từ cấu trúc có bản
2. Ghép nối hai hệ thanh (lưu ý khi ghép nối)
3. Thay thế 01 thanh nối bằng 01 thanh khác
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
16
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-49-
Phương pháp cân bằng nút
B SBA P
Nội dung phương pháp: • Giả sử các thanh chịu kéo. • Tưởng tượng cắt các thanh nối với một khớp
(nút),
• Bắt đầu với khớp có hai lực thanh chưa biết. • Có thể phải xác định phản lực gối đỡ trước A
khi áp dụng phương pháp cân bằng nút.
Hệ lực tác dụng tại mỗi nút là hệ lực đồng qui. Đối với hệ thanh phẳng, mỗi nút viết được 2 PTCB
SBC B P C SBC
0,
0
F x
F y
Đối với hệ như trên hình, bắt đầu từ nút B -- > nút C -- > nút D.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-50-
SCA C D SAD SCD SCD ND D
Phương pháp cân bằng nút
400 N
Ví dụ: Xác định lực trong các thanh của hệ giàn và chỉ ra thanh chịu kéo hay nén.
C
B
a. Xác định phản lực liên kết tại gối đỡ
4 m
Gối đỡ cố định C và gối đỡ di động A
A
D 600 N
• Khảo sát cả hệ như một vật rắn.
3 m
3 m
• Ba phương trình cân bằng
400 N
Cy C
B
C
600
0,
Cx
F x M
400 3
600 4
0,
4 m
C
A
A y 600 600 N,
x 6 400 C
0, y 600 N,
C
200 N
C F y A y
x
y
D 600 N
3 m
3 m
Ay
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-51-
Phương pháp cân bằng nút
b. Phân tích cân bằng của các khớp
200 N
C
• Tưởng tượng cắt các thanh nối
600 N
400 N
với một khớp,
200 N
FCB (e)
Cy C
B
• Giả sử các thanh chịu kéo. • Bắt đầu với khớp có hai thanh
Cx
chưa biết lực:
4 m
600 N
A
D
• Khớp (nút) A • Khớp (nút) D • Khớp (nút) C hoặc B
3 m
3 m
Ay
FDB
FDC
4
FAB
3
4
3
450 N
600 N
D
A
(d)
FAD
(c)
600 N
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
17
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-52-
Phương pháp cân bằng nút
200 N
FAB
4
400 N
600+
F
F
750
0
F y
AB
AB
4 5
C
B
3
600 N
A
Nút A
FAD
F
+
F
F
450
0
F x
AB
AD
AD
3 5
A
600 N
D 600 N
600 N
FDB
FDC
600
450
F
0,
F
250 N
F x
DB
DB
3 5
4
Nút D
3
F
F
0,
F
200 N
F y
DC
DB
DC
4 5
450 N
600 N
D
F
600 N 0
F
600 N
F x
CB
CB
200 N
Nút C
C
600 N
FCB
200 N 200 N 0,
(for checking)
F y
200 N
FDC
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-53-
Các thanh không chịu lực (zero-force members)
Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn, nếu chúng ta có thể chỉ ra được các thanh không chịu lực mà không cần tính toán. Sau đây là qui tắc xác định thanh không chịu lực.
S
0
S
1
2
1 2 a) Nếu hai thanh không thẳng hàng tại một khớp, đồng thời tại khớp đó không có ngoại lực tác dụng ứng lực trong hai thanh này bằng không.
F
F
1S
0
1
2 S 2 b) Nếu hai thanh không thẳng hàng tại một khớp, lực tác dụng lên khớp nằm trên phương ngoại của một thanh ứng lực trong thanh kia phải bằng không.
S
S
1
3
1 3
0
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-54-
c) Tại nút có ba thanh gặp nhau, có hai thanh thẳng hàng và không có tải trọng đặt lên nút đó thì lực trong thanh thứ ba phải bằng không. 2 S 2
Các thanh không chịu lực (zero-force members)
Hãy chỉ ra các thanh không chịu lực trong các hệ giàn sau:
Phân tích nút A và D
Phân tích nút C và D
E
FDE
(b)
D
(a)
P
D
D
FDC
F
E
FDA
C
x
y
A
C
A
B
B
P
(a)
E
FCD
P
(d)
C
D
y
FCA
FCB
FDE
FAF
x
y
(c)
x
FDC
A
A
B
y
x
FAB
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
18
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-55-
Các thanh không chịu lực (zero-force members)
E
D
Hãy chỉ ra các thanh không chịu lực trong các hệ giàn sau.
P
D
F
E
C
C
A
B
A
B
P
Chúng ta có thể tháo bỏ các thanh không chịu lực được không?
Các thanh không chịu lực có vai trò làm tăng tính ổn định của hệ giàn, và có thể sẽ chịu lực khi tải trọng thay đổi.
Áp dụng phương pháp cân bằng nút cho phép xác định được lực trong tất cả các thanh của hệ giàn. Trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tính lực trong một số thanh mà không phải tất cả các thanh.
Trong trường hợp này phương pháp mặt cắt trình bày trong phần sau sẽ có ưu điểm hơn phương pháp cân bằng nút.
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-56-
Phương pháp mặt cắt
Nội dung phương pháp •
Tưởng tượng tạo ra mặt cắt khép kín cắt qua các thanh cần xác định lực – cô lập một phần của hệ thanh. Đối với hệ thanh phẳng – mặt cắt đi qua tối đa 3 thanh (không đồng qui, không song song).
• Giả sử các thanh này chịu kéo. •
Trước khi cô lập một phần hệ thanh, có thể cần phải xác định phản lực gối đỡ tùy theo hệ. Viết 03 phương trình cân bằng cho việc xác định lực trong ba thanh.
•
0,
0,
M
0
F x
F y
O
2
2
6
6
7
7
1
1
3
3
5
5
9
10
9
10
4
4
8
8
11
11
A A
C C B B
F
F
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-57-
Phương pháp mặt cắt
I
2
6
7
Ví dụ. Xác định lực trong các thanh 2, 3, và 4. Hoặc trong các thanh 6, 7, và 8.
1
3
5
9
10
a
4
8
11
A
Sử dụng mặt cắt I-I:
a
a
a
C B
F
I
I
2
6
S2
7
3
5
9
10
Sử dụng mặt cắt II-II:
S3
6
4
8
11
S6
7
C
F
10
S4
9
a
a
F
11
S7
C
I
8
S8
Hệ lực cân bằng
)
,
0
)
,
0
Hệ lực cân bằng
F S S S ( , , 3
2
4
F S S S ( , , 7
6
8
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
19
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-58-
Phương pháp mặt cắt
Hãy xác định ứng lực trong các thanh GE, GC, BC và cho biết các thanh chịu kéo hay nén.
HD
E G F1, 400 N 3 m A D C B 4 m 4 m 4 m
Trước hết phải xác định phản lực liên kết tại các gối đỡ A và D.
F2, 1200 N
)
,
,
0
, F F X Y N ( , 1
D
A
A
2
X Y N ,
,
A
A
D
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-59-
E G F1, 400 N A XA D C B ND YA F2, 1200 N
Phương pháp mặt cắt
Cả hệ
)
,
,
0
F F X Y N ( , , 1
2
D
A
A
400
X
0,
A
F x M
1200 8
400 3
N
12
0,
1200
N
D 0,
A F Y A
y
D
400 N,
N
900 N,
300 N
X
D
A
Y A
X Y S ( ,
,
S
,
S
,
)
0
Áp dụng pp mặt cắt
A
A
GE
GC
BC
E G F1, 400 N 3 m A D C XA B 4 m 4 m 4 m ND YA F2, 1200 N
M
300 4
S
0
400 3+
G
3 800 N
G SGE
S
M
BC 0
300 8+
S BC 3
C
800 N
GE S
S
300
S
500 N
GE 0
GC
F y
GC
3 5
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Cân bằng của vật rắn -
-60-
A SGC C 400 N B SBC 300 N (c)
Tóm tắt nội dung chương
3.1 Cân bằng của vật rắn phẳng
1. Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng 2. Các loại liên kết phẳng / Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Phần tử hai lực và phần tử ba lực 4. Cân bằng của hệ vật rắn phẳng 5. Tính xác định tĩnh
3.2 Cân bằng của vật rắn không gian
1. Điều kiện cân bằng và phương tình cân bằng 2. Các loại liên kết không gian/ Sơ đồ giải phóng liên kết 3. Các ví dụ
3.3 Phân tích hệ thanh
1. Các giả thiết 2. Phương pháp cân bằng nút 3. Phương pháp mặt cắt
Nguyễn Quang Hoàng - Department of Applied Mechanics-SME
