10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ứng suất pháp lớn nhất ‐ Ứng suất chính Thành phần ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất, ta gọi đây là ứng suất chính. Để tìm thành phần ứng suất chính, ta lấy đạo hàm của x1 theo góc và cho đạo hàm này bằng không

) sin 2

2

cos 2

0

 

(    x y

   xy

d  x 1 d 

Nên ta được:

tan 2

 P

2  xy    x y

Với P là góc chính. Từ công thức trên ta tính được hai giá trị P vì thế ta có hai góc chính. Một góc chính sẽ có một ứng suất chính lớn nhất và góc chính còn lại hơn kém 90o sẽ có ứng suất chính nhỏ nhất. Hai ứng suất chính này nằm trên hai mặt vuông góc nhau.

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Và theo công thức trên và hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được

Vì thế ta được

2

   x y

R

2  xy

  

  

cos 2

sin 2

 P

  P

   x y 2

R

2  xy R

Thế công thức tính sin và cos vào công thức tính ứng suất pháp trên mặt nghiêng bất kỳ ta được

2

   x y

   x y

2  xy

 1

2

2

  

   Mà ta có điều kiện tổng ứng suất pháp trên hai mặt nghiêng bất kỳ là hằng số

2

   y

x

   x y

           1

2

1

2

x

y

x

y

2  xy

2

2

  

  

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

1

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Nên ta được công thức tính ứng suất chính

2

   x y

   x y

1,2

2  xy

2

2

  

  

Ứng với góc chính

tan

 P

1 2

1 2  xy    x y

Ứng với góc chính này, ta dễ dàng tính được ứng suất tiếp trên phương chính

0

xyP 

Vậy ứng suất pháp trên phương chính đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thì ứng suất tiếp trên phương chính bằng không.

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Trường hợp đặc biệt

Ứng suất đơn trục và song trục

Mặt chính trong cả hai trường hợp này cũng chính là mặt vuông góc với trục x và y vì

o

tan 2

0

0 ,90o

  

 P

 P

Đồng thời trên hai mặt x và y ta thấy rằng ứng suất tiếp bằng không. Vì thế thành phần ứng suất chính cũng bằng thành phần ứng suất đơn trục và song trục.

)

1 max( 

,   x y

2 min(

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

2

)   ,   x y

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ứng suất trượt thuần túy

Góc chính:

o o 45 ,135

Nếu ứng suất tiếp xy>0 thì

xy 

1

tan 2      P  P

2

   xy

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ứng suất tiếp lớn nhất Để tìm thành phần ứng suất tiếp lớn nhất và phương của nó, ta lấy đạo hàm của x1y1 theo góc và cho đạo hàm này bằng không

d 

) cos 2

sin 2

0

 

(    x y

2    xy

x y 1 1 d 

Nên ta được:

Với S là góc mà ứng suất tiếp trên mặt phẳng đó sẽ là lớn nhất. Từ công thức trên và công thức tính góc P ta thấy rằng

cos(2

tan 2

cot 2

 

 

2 ) 0    P

S

 S

 P

1 tan 2

 P

45o

  S

P 

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

3

tan 2    S    x y 2  xy

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

cos 2

sin 2

 

45o

 S

  S 1

  P 1

S 1

 xy R

R

Trên mặt có ứng suất tiếp lớn nhất dương    x y 2

Nên ứng suất tiếp lớn nhất có giá trị

2

2  xy

max

Hoặc tính theo ứng suất chính 1 và 2

1

   x y    2      

max

Ứng suất pháp trên mặt nghiêng này là

     2 2

x

avg

   y   2

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

ĐIỀU QUAN TRỌNG CẦN NHỚ

• Ứng suất chính được xem như là ứng suất pháp lớn nhất và

nhỏ nhất tại một điểm.

• Khi trạng thái ứng suất được biểu diễn là ứng suất chính thì

không có ứng suất tiếp tác dụng lên phần tử.

• Trạng thái ứng suất tại một điểm có thể được biểu diễn bằng ứng suất tiếp lớn nhất. Trong trường hợp này ứng suất pháp trung bình sẽ tác dụng lên phần tử.

• Phần tử được biểu diễn dưới dạng ứng suất tiếp lớn nhất và ứng suất pháp trung bình thì sẽ hợp một góc 45o với phần tử biểu diễn dưới dạng ứng suất chính.

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

4

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ. a) Tìm phương chính. b) Tìm ứng suất chính. c) Tìm ứng suất tiếp lớn nhất và ứng suất pháp tương ứng.

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Xác định các thành phần ứng suất

Phân tố chịu ứng suất phẳng nên ta có ba thành phần ứng suất 40 (MPa)

x  

xy  

y  

Theo công thức tính phương chính ta được

tan 2

 P

80 60

2  xy    x y o

2( 40)  50 ( 10)   o

26, 6 và 116, 6

P 

10 (MPa) 50 (MPa) Tìm phương chính

Tìm ứng suất chính

2

   y

x

   x y

2  xy

max,min

2

2

  

2

2

20

(30)

(40)

   

max

min

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

5

70 MPa và 30 MPa      

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Tìm ứng suất tiếp lớn nhất

Theo công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất ta được

2

2  xy

max

2

2

   x y    2      

(30) (40)  

50 MPa   max

max

min

max

Hoặc ta có thể dùng công thức  70 ( 30)   2 2 Công thức tính ứng suất pháp

  50 MPa    

20 MPa

avg

70 ( 30)   2

   x y '     2

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Vòng tròn Mohr ứng suất

Trong kỹ thuật, đôi khi ta muốn có được kết quả nhanh của ứng suất ở mặt nghiêng bất kỳ, ta có thể sử dụng vòng tròn Mohr ứng suất.

Có hai dạng vòng tròn Mohr ứng suất (trong tài liệu này dùng dạng 2: Dạng 1 là trục ứng suất tiếp hướng xuống, ứng với dạng này thì chiều dương của góc sẽ ngược chiều kim đồng hồ. Dạng 2 là trục ứng suất tiếp hướng lên, ứng với dạng này thì chiều dương của góc sẽ cùng chiều kim đồng hồ

Christian Otto Mohr  (1835‐1918) là kỹ sư xây dựng người Đức.

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

6

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Các bước xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất: Bước 1 : Vẽ trục tọa độ - Vẽ trục nằm ngang hướng qua phải, trục thẳng đứng hướng lên trên.

Bước 2 : Tìm tọa độ tâm C của vòng tròn Mohr Tâm vòng tròn C có tọa độ (avg , 0) với avg= (x +y)/2 Bước 3 : Tìm điểm P là điểm cực của vòng tròn Mohr Điểm cực P có tọa độ (y , xy) Bước 4 : Vẽ vòng tròn Mohr tâm C bán kính CP

2

Chiều dương quy ước quay quanh điểm cực P là cùng chiều kim đồng hồ. Bán kính vòng tròn là

   x y

R

2  xy

2

  

  

Bước 5 : Vẽ đường thẳng đi qua điểm cực P

Từ P vẽ một đường thẳng nằm ngang làm đường chuẩn. Đường này cắt đường tròn tại điểm A, điểm này sẽ có tọa độ (x , xy).

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Nhận xét:

• Vòng tròn Mohr sẽ cắt trục  tại hai điểm, hai điểm này có ứng suất tiếp xy = 0. Vì thế hai điểm này là hai điểm ứng suất chính 1, 2.

•

Tại vị trí = max thì = avg

• Các tính chất về góc đều phù hợp với các công thức trên.

Các xác định trạng thái ứng suất một điểm dùng vòng tròn Mohr

•

Ta cần xác định thành phần ứng suất trên mặt nghiêng có phương góc . Từ P ta kẽ đường thẳng hợp với phương ngang một góc  (chú ý chiều dương theo cùng chiều kim đồng hồ). Đường thẳng đó sẽ cắt vòng tròn tại một điểm. Điểm đó sẽ có tọa độ (x1 , x1y1) chính là trạng thái ứng suất của điểm trên mặt nghiêng .

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

7

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Các bước xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất:

x

xy

y

P

A

x

+

xy

B

1 1x y

1 1x y

1x

C

   y

x

avg

2

1x

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

max

Những điểm đặc biệt trên vòng tròn Mohr

avg

x

xy

y

1S

P

A

x

1P

max

xy

2P

2S

C

2

1

2

   y

x

avg

2

1

min

avg

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

8

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ. Tìm phương chính, ứng suất chính, ứng suất tiếp cực đại và ứng suất pháp tương ứng bằng vòng tròn Morh

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Xác định các thành phần ứng suất

Phân tố chịu ứng suất phẳng nên ta có ba thành phần ứng suất

50 (MPa)

40 (MPa)

10 (MPa)

x  

xy  

y  

Xác định tâm C của vòng tròn Morh

   x y

20 MPa

Tâm C có tọa độ (avg , 0) với

avg

2

50 ( 10)   2

Xác định điểm cực P của vòng tròn Morh Điểm cực P có tọa độ (y , xy) = (-10 , 40)

Xác định bán kính R=CP

2

2

2

R CP 

2  xy

Dùng mối quan hệ hình học trên đường tròn, ta sẽ có được những kết quả cần thiết

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

9

   x y (40) 50      2 50 ( 10)   2            

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

40 MPa

P

A

50 MPa

P 

1

1P

tan 2

P 

1

40

12 P

30

C

70 MPa

40 30 26, 6o

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Tính ứng suất trên mặt nghiêng 60o bằng vòng tròn Mohr 50

AC 

40 MPa

sin



P

A

50 MPa

60o

o

AB  40 50 53,13o cos(120

) 

40

40

o

C

19, 64

120o D

B

 

  CD CE   DE CE  

sin(120 )   45,98

 

E

avg CD 

45,98

 

 

E

E DE Kiểm tra lại bằng công thức !!!

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

10

39, 64 

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất tổng quát

Giả thiết phân tố sử dụng vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng.

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất

 

 x

y

x

       z

 

 

 y

x

y

       z

 

 

 z

x

z

       y

 

 xy xy G  xz xz G  yz yz G

1 E 1 E 1 E

Với E là hệ số mô‐đun đàn hồi, là hệ số Poisson

G là hệ số mô‐đun trượt đàn hồi

G  2(1 )  E 

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất phẳng Do trạng thái ứng suất phẳng nên z=0, xz=0, yz=0

 x

x

        y  

 y

y

        x   1 E 1 E

 z

 

    x y

 E

 

 xy xy G

Với E là hệ số mô‐đun đàn hồi, là hệ số Poisson

G là hệ số mô‐đun trượt đàn hồi

G

2(1

E 

) 

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

11

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ biết E=2e3 MPa, =0,5. a) Tìm các thành phần biến dạng theo trục x, y, z b) Tìm các thành phần biến dạng theo phương 60o c) Tìm biến dạng trượt cực đại

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

a) Phân tố chịu ứng suất phẳng nên ta có ba thành phần ứng suất

50 (MPa)

40 (MPa)

10 (MPa)

x  

xy   y   Do trạng thái ứng suất phẳng nên z=0, xz=0, yz=0

4 

 x

x

5

4 

50 0,3 ( 10)       2, 65 10         y  

5

 y

y

       x

 

5 

10 0,3 50      1, 25 10   1 E 1 E

 

5

 z

x

6 10   50 ( 10)     

    y

 E

4 

 

1 2 10  1 2 10  0,3 2 10 

 xy xy G

5

G

76923 MPa

2(1

E 

2 10  2(1 0,3) 

) 

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

12

  5, 2 10  40 76923

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

b) Theo phương 60o ta có các thành phần ứng suất dựa vào vòng tròn Morh hoặc công thức tính ứng suất trên mặt nghiêng ta được

50 10 39, 64 0,36 MPa

39, 64 MPa

y

+     x x 1

y 1

1

45,98 MPa

1 1

4 

39, 64 0,3 (0,36)

1,98 10 

 x 1

x 1

       y 1

 

4 

0,36 0,3 39, 64

 

0,58 10 

5

 y 1

y 1

       x 1

 

x  x y   1 E 1 E

5 

6 10

 

39, 64 0,36 

  

 

5

 z 1

    y 1

x 1

1 5 2 10  1 2 10  0,3 2 10 

 E

4 

 

5,98 10 

  x y 1 1

x y 1 1 G

45,98  76923

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

3. Trạng thái ứng suất phẳng

c) Biến dạng trượt lớn nhất sẽ tương ứng với ứng suất tiếp lớn nhất

50 MPa

  max

4 

6,5 10 

  max

max G

50 76923

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

13

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Đường cong vật liệu thép trong thí nghiệm kéo

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Trong thí nghiệm kéo vật liệu, ta đang quan tâm đến miền đàn hồi. Để kết cấu vẫn còn hoạt động tốt thì kết cấu không được đạt đến giới hạn chảy của vật liệu. Giới hạn này ta gọi là giới hạn bền của vật liệu

Ta cần tính toán sao cho ứng suất không vượt quá ứng suất cho phép (ứng suất chảy dẻo của vật liệu). Ứng suất cho phép ký hiệu [] và tìm từ thí nghiệm kéo của vật liệu.

Để đảm bảo vật thể làm việc an toàn, ứng suất lớn nhất của các điểm thuộc vật khảo sát phải thỏa mãn điều kiện:

[ ] 

max

Ta gọi công thức trên là điều kiện bền của vật liệu

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

14

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

1. Giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất

Giả thuyết bền này còn có hai tên gọi khác là giả thuyết bền thứ III và giả thuyết bền Tresca.

Theo giả thuyết này thì ứng suất tiếp là yếu tố quyết định sự phá hủy của vật liệu. Do vậy hai trạng thái ứng suất khác nhau sẽ có độ bền như nhay khi hai giá trị ứng suất tiếp lớn nhất bằng nhau.

Công thức tính ứng suất tương đương ở trạng thái ứng suất tổng quát theo giả thuyết bền III là

max(

,

,

)

tdIII

       2 3

2

3

1

1

Henri Édouard Tresca (1814‐1885) là kỹ sư cơ khí người Pháp. Là cha đẻ của lĩnh vực biến dạng dẻo bằng nhiều thí nghiệm bắt đầu năm 1864.

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Ở trạng thái ứng suất phẳng

Công thức tính ứng suất lớn nhất là :

2

 

   x y

max

min

Hoặc

max

2  xy

max

2

 2

  

  

Vậy ta sẽ có ứng suất tương đương theo giả thuyết bền III

2 

tdIII

max

Điều kiện bền theo giả thuyết bền III

[

 

[ ] 

Hoặc

[ ] 

max

min

24 ]    xy

tdIII

    x y

2

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

15

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Trường hợp đặc biệt

2 

tdIII

max

 x

• Ứng suất đơn trục

Điều kiện bền

[

] x 

2 

max

2 xy 

Điều kiện bền

  xy

 • Ứng suất trượt thuần túy tdIII ] [  2

4

• Ứng suất phẳng đặc biệt

2    xy

2 x

tdIII

x

x

Điều kiện bền

[

24 ]    xy

2 x

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

2. Giả thuyết thế năng biến đổi hình dạng

Giả thuyết bền này còn có tên gọi khác là giả thuyết năng lượng, giả thuyết bền thứ IV và giả thuyết bền Von‐Mises. Theo giả thuyết này thì yếu tố chủ yếu khiến vật bị phá hủy là phần năng lượng làm cho vật bị thay đổi về hình dáng.

Công thức tính ứng suất tương đương ở trạng thái ứng suất tổng quát theo giả thuyết bền IV là

2

2

2

tdIV

    2

1

    2 3

    3

1

Richard Edler von Mises (1883‐1953) là nhà khoa học và toán học trong lĩnh vực cơ học vật rắn, cơ học lưu chất, khí động học …

 

 

1 2

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

16

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Ở trạng thái ứng suất phẳng

Ứng suất chính

2

   x y

   x y

2  xy

1,2

2

2

  

  

Ứng suất tương đương theo giả thuyết bền IV

tdIV

2    2 2

2 1

1

Điều kiện bền theo giả thuyết bền IV ] [ 

tdIV

[

]     

1

2

2 1

2 2

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Trường hợp đặc biệt

 x

tdIV

• Ứng suất đơn trục

Điều kiện bền

[

] x 

• Ứng suất trượt thuần túy

3 xy 

tdIV

Điều kiện bền

3

[

] xy 

3

• Ứng suất phẳng đặc biệt

2    xy

2 x

tdIV

x

x

Điều kiện bền

[

23 ]    xy

2 x

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

17

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Ví dụ: Cho phân tố chịu trạng thái ứng suất như hình vẽ. a) Tìm ứng suất tương đương theo giả thuyết bền III. b) Tìm ứng suất tương đương theo giả thuyết bền IV.

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Tìm ứng suất tiếp lớn nhất

Theo công thức tính ứng suất tiếp lớn nhất ta được

2

2  xy

max

2

2

2

   x y        

(30) (40)  

  max

50 MPa

Ứng suất tương đương theo giả thuyết bền III

Công thức tính ứng suất tương đương trong trạng thái ứng suất phẳng

2 

2 50 100 MPa

 

tdIII

max

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

18

10/4/2011

Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 6

CHƯƠNG 4 Ứng suất và biến dạng

4. Các thuyết bền

Tìm ứng suất chính

Theo công thức tính ứng suất chính ta được

2

   x y

   x y

2  xy

1,2

2

2

  

2

2

20

(30)

(40)

   

70 MPa và

30 MPa

 

   1

 2

Ứng suất tương đương theo giả thuyết bền IV

2

Công thức tính ứng suất tương đương trong trạng thái ứng suất phẳng 270

70

30

30

88,88 MPa

2    2 2

tdIV

2 1

1

  

Giảng viên Nguyễn Duy Khương

19