11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
NỘI DUNG
1. Các tiên đề cơ sở
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Cơ sở lý luận
Đối tượng nghiên cứu trong môn học này là các bài toán thuộc dạng thanh
Trong các chương trước chúng ta đã xét thành phần nội lực trong thanh và khung, tiếp đến ta xét thành phần ứng suất như là hàm của nội lực và của tọa độ.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
1
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Nguyên lý cộng tác dụng
Nguyên lý cộng tác dụng hay còn gọi là nguyên lý độc lập tác dụng là “Tác dụng của một hệ lực bằng tổng tác dụng của các lực thuộc hệ lực”.
Với nguyên lý này ta được:
1‐ Biểu đồ nội lực của một hệ ngoại lực bằng tổng biểu đồ nội lực của từng ngoại lực.
2‐ Ứng suất (biến dạng) bằng tổng ứng suất (biến dạng) gây bởi từng thành phần nội lực riêng lẽ
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Các trường hợp thanh chịu lực
1‐ Thanh chịu lực đơn giản:
Trường hợp chịu lực đơn giản là khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ chịu có một thành phần nội lực
a) Thanh chịu kéo nén đúng tâm: Trên thanh chỉ chịu duy nhất thành phần nội lực dọc trục Nz
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
2
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
b) Thanh chịu uốn thuần túy: Trên thanh chỉ tồn tại duy nhất thành phần nội lực mô‐men uốn Mx hoặc My
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
c) Thanh chịu xoắn thuần túy: Trên thanh chỉ tồn tại duy nhất thành phần nội lực mô‐men xoắn Mz.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
3
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
d) Thanh chịu cắt thuần túy: Trên thanh chỉ tồn tại duy nhất thành phần nội lực lực cắt Qy.
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
2‐ Thanh chịu lực phức tạp:
Trường hợp chịu lực phức tạp khi trên mặt cắt ngang của thanh có từ hai thành phần nội lực trở lên
a) Thanh chịu uốn ngang phẳng Trên thanh chịu thành phần nội lực Qy, Mx.
b) Thanh chịu uốn xiên Trên thanh chịu thành phần nội lực Mx, My (bỏ qua Qx, Qy).
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
4
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
c) Thanh chịu uốn và kéo nén đồng thời (thanh chịu kéo nén lệch tâm) Trên thanh chịu thành phần nội lực Mx, My và Nz.
d) Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời Trên thanh chịu thành phần nội lực Mx, My và Mz.
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Tiên đề mặt cắt ngang phẳng
Các điểm nằm trên cùng một mặt cắt vuông góc với tiếp tuyến trục thanh trước khi thanh bị biến dạng thì sẽ tiếp tục nằm trong cùng một mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh sau khi thanh bị biến dạng.
Mặt cắt ngang là mặt vuông góc với trục thanh.
Tiên đề này chứng tỏ không có ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang zy=zx=xy=0 Nhờ vào tiên đề này, khi thực hiện thí nghiệm, thay vì phải khảo sát sự di chuyển của mọi điểm nằm trên tiết diện thì ta chỉ cần khảo sát sự di chuyển của mọi điểm nằm trên tiết diện thì ta chỉ cần khảo sát sự di chuyển của các điểm nằm trên chi vi của hình phẳng tiết diện bằng cách khảo sát đường kẻ trên bề mặt thanh vuông góc với trục thanh.
Tiên đề này không phù hợp cho trường hợp thanh ở trạng thái chịu lực uốn ngang phẳng.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
5
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Tiên đề các thớ dọc
Trong quá trình thanh bị biến dạng thì các thớ dọc không xô đẩy lẫn nhau
Thớ dọc là các đường song song với trục thanh.
Tiên đề này chứng tỏ, khi thanh chịu uốn thì không có lực theo phương vuông góc với trục thanh, nghĩa là tại mỗi điểm của thanh x=y=0, chỉ tồn tại ứng suất pháp z theo phương song song trục thanh.
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Kết hợp hai tiên đề
Khi thanh bị biến dạng thì các tiết diện thanh trước khi thanh bị biến dạng vuông góc với tiếp tuyến trục thanh (hay vuông góc với trục thanh nếu thanh là thẳng) sẽ chuyển động như một hình phẳng rắn tuyệt đối.
Khi lập biểu thức tính ứng suất ta chỉ cần tính các thành phần ứng suất z, zx, zy.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
6
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
1. Các tiên đề cơ sở
Các loại bài toán 1‐ Bài toán thiết kế
Dữ kiện: Cho hệ ngoại lực tác dụng vào thanh, cho biết trước loại mặt cắt sử dụng. Yêu cầu: Xác định kích thước mặt cắt ngang thỏa thuyết bền tương ứng.
2‐ Bài toán phục hồi
Dữ kiện: Cho mặt cắt ngang của thanh với kích thước cụ thể và hệ ngoại lực tác dụng vào thanh nhưng trong đó có một loại lực chưa biết giá trị. Yêu cầu: Xác định giá trị tải trọng tối đa thỏa thuyết bền tương ứng.
3‐ Bài toán nghiệm thu
Dữ kiện: Cho mặt cắt ngang của thanh với kích thước cụ thể và hệ ngoại lực tác dụng vào thanh. Yêu cầu: Kiểm tra xem hệ có thỏa thuyết bền tương ứng hay không.
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
Moment tĩnh đối với trục (momen diện tích cấp một)
y
dA
S
y dA S
;
x dA
x
y
A
A
C
y cy
:
S S , x
y
Moment tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục x, y
x
O
:dA Là diện tích vi phân
x
cx
• Khi moment tĩnh của diện tích đối với một trục bằng không thì trục đó
gọi là trục trung tâm.
• Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt
S
;
Tọa độ trọng tâm mặt cắt:
x C
y C
y A
S x A
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
7
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
Moment tĩnh đối với trục của nhiều mặt cắt
y
2y
x
1y O
1x
2x
n
S
S
...
x
A y n
n
A y i i
y A C
A y 1 1
A y 2
2
x C
i
1
n
S
...
y
A x n n
A x i i
x A C
A x 1 1
A x 2 2
y C
i
1
y A S x A
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
Moment quán tính (momen diện tích cấp hai)
1‐ Moment quán tính đối với một trục
y
y
dA
J
2 y dA
x
A
J
2 x dA
y
A
x
O
x
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
8
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
2‐ Moment quán tính đối với điểm (độc cực)
y
2
J
P
dA
y
A
dA
2
2
x
y
2
x
O
J
J
J P
x
y
x
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
3‐ Moment quán tính ly tâm
J
x y dA
xy
A
• Khi moment quán tính ly tâm đối với 1 trục nào đó bằng 0 thì hệ trục đó gọi là hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
• Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác
định được một hệ trục quán tính chính.
• Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
9
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
4‐ Moment quán tính của một số hình
Hình chữ nhật
h
/2
2
y
J
2 y dA
y b dy
x
h
/2
A
dy
3
x
h
J x
bh 12
h
/2
J
2 x dA
2 x h dy
y
b
h
/2
A
J y
3 b h 12
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
Hình tròn
dA
d 2
R
4
y
dA
d
J
2
3 2
P
R 2
A
0
R
d
Do tính chất đối xứng, ta có:
x
J
J
J
J
J
2
J
2
J
x
P
x
y
x
x
y
4
J
J x
y
J P 2
R 4
4
4
0,1
J
D
P
Với D là đường kính
4
D
D 32 J
0,05
J x
y
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
10
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
Hình vành khăn
y
4
4
4
J
(1
)
4
P
d
D 32
d 32
D 32
D
x
d
4
J
(1
)
4
J x
y
J P 2 4 D
0,05
(1
D 64 4 )
Với
d D
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Đặc trưng hình học của một số hình phẳng
5‐ Moment quán tính đối với hệ trục song song
y
Y
J
J
2 b A
X
x
dA
J
J
2 a A
Y
y
Y
J
y J
a b A
xy
XY
x
x
o
b
X
a
X
O
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
11
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
z
N z A
Ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt ngang nên điều kiện bền của thanh chịu kéo nén đúng tâm
max
z
max
N z A
Trong trường hợp này, thông thường ta chọn mặt cắt có nội lực dọc trục lớn nhất trên toàn thanh để kiểm tra bền
A‐ Thanh chịu lực đơn giản 1‐ Thanh chịu kéo nén đúng tâm Trên mặt cắt chỉ có một thành phần nội lực dọc trục Nz. Do đó trạng thái ứng suất trong thanh chỉ có một thành phần ứng suất pháp z trên diện tích mặt cắt ngang A được tính bằng biểu thức:
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2‐ Thanh chịu uốn thuần túy
Trục đối xứng
Mô‐men uốn trùng phương hoặc vuông góc với trục đối xứng Trường hợp chỉ có mô‐men uốn Mx tại mặt cắt có mô‐men quán tính đối với trục x là Jx, nên công thức tính ứng suất pháp:
x
y
z
M J
Trục đối xứng
x
x
xM
y
Ứng suất các điểm trên mặt cắt là hàm tuyến tính theo y, tức mọi điểm nằm trên cùng một đường song song trục x có ứng suất như nhau.
Ta có một trục trùng với trục x (tức y=0) ta được ứng suất pháp z=0, ta gọi trục này là trục trung hòa.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
12
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang
n
,max
,z n
ny
x
Trục trung hòa
z
x
ky
xM
y
k
,max
,z k
y
Nhận xét: • Đường trung hòa chia tiết diện thành 2 phần: các điểm nằm phía dương
trục y chịu kéo, các điểm nằm phía âm trục y chịu nén (với Mx>0)
• Điểm có trị số ứng suất pháp lớn nhất nằm xa trục trung hòa nhất. Ký hiệu yk, yn là khoảng cách xa nhất đến trục trung hòa lần lượt ở vùng chịu kéo và chịu nén.
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Ứng suất kéo và nén lớn nhất lần lượt là
x
y
k
k
,max
M J
x y
J
M /
x
x
k
x
y
n
n
,max
M J
x y
J
M /
x
x
n
Ký hiệu ymax là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị yk và yn. Ta có mô‐men tiết diện chống uốn đối với trục x
x
W x
J y
max
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
13
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
y
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Moment chống uốn Wx của một số hình phẳng thường gặp 1. Mặt cắt hình chữ nhật
h
/ 2
3
dy
J
2 y dF
2 y bdy
;
x
x
bh 12
/ 2
F
h
h
2
y
W
x
max
h 2
bh 6
h
/ 2
b
;
J
2 x dF
2 x hdy
y
3 b h 12
F
h
/ 2
x
W
max
y
b 2
2 b h 6
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
2. Mặt cắt hình tròn
4
y
x
y
R
d
3
3
J J J P 2
x
max
W W
0,1
D
x
y
y
y R W x R 4 R 4 D 32 3
4
x
y
D
3
x
d
J J (1 )
3. Mặt cắt hình vành khăn 4 D 64 0,1
y
)
4 D (1
max
Với
d D
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
14
J P 2 R W x
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Trục đối xứng
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Trường hợp chỉ có mô‐men uốn My tại mặt cắt có mô‐ men quán tính đối với trục y là Jy, nên công thức tính ứng suất pháp:
M
y
x
z
J
Trục đối xứng
y
x
yM
y
k
,max
n
,max
Ứng suất các điểm trên mặt cắt là hàm tuyến tính theo x, tức mọi điểm nằm trên cùng một đường song song trục y có ứng suất như nhau. Ta có một trục trùng với trục y (tức x=0) ta được ứng suất pháp z=0, ta gọi trục này là trục trung hòa.
nx
kx
Trục trung hòa
x
x
z
y
yM
,z k
,z n
y
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Trường hợp trục trung hòa không trùng với trục đối xứng
Trong trường hợp trục trung hòa không trùng với trục đối xứng thì ứng suất kéo khác ứng suất nén như mặt cắt chữ T
x
y
y
k max
n max
max
min
max
max
x
x
x
Với
W
x
max
J y
max
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
15
y z M J M z W x
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Điều kiện bền tổng quát của thanh chịu uốn thuần túy
M
M
max
max
max
y
max
x J
x
x W x
k
n
1. Thanh làm bằng vật liệu dẻo:
M
max
max
x W x
k
n
2. Thanh làm bằng vật liệu dòn:
Mặt cắt ngang có trục trung hòa trùng với trục đối xứng
k
max
Mặt cắt ngang có trục trung hòa khác trục đối xứng
max
min
x
x
y
y
max
k max
min
n max
x
x
M J
k max
min
M J n ; max k
n
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3‐ Thanh chịu xoắn thuần túy
Trường hợp chỉ có mô‐men xoắn T (hoặc Mz)
Trục (thanh có tiết diện hình tròn) chịu mô‐men xoắn T tạo nên sự chuyển động của các thớ.
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
16
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Xét một phân tố trên biên của trục, dễ dàng ta thấy rằng phân tố chỉ chịu ứng suất tiếp (như hình vẽ)
Công thức tính ứng suất tiếp dọc theo phương bán kính của mặt cắt hình tròn có mô‐men quán tính độc cực JO
T J
O
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Ứng suất tiếp biến đổi tuyến tính theo bán kính của mặt cắt. Ta có biểu đồ phân bố ứng suất tiếp theo bán kính a) Trục tròn đặc:
4
Với
J
R
O
max
R 2
T J
O
R
b) Trục hình vành khăn:
R
max
T J
O
4
4
(
R
r
)
Với
OJ
2
r
R
r
min
T J
O
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
17
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
11/6/2011
Khoa Khoa Học Ứng Dụng Bài giảng Cơ Học Ứng Dụng - Tuần 8
CHƯƠNG 5 Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
3. Tính bền các bài toán thuộc dạng thanh
Điều kiện bền tổng quát của thanh chịu xoắn thuần túy
R
max
T max J
O
1. Tính bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền 3)
[ ] 2
2. Tính bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (thuyết bền 4)
] [ 3
Giảng viên Nguyễn Duy Khương
18
